Né le 24 mai 1926 à Paris, François Bayet est le fils de Jean Bayet (1892-1969), professeur de langue et de littérature latines à la Sorbonne. Un temps réfugié dans l’Allier avec sa famille après la déclaration de guerre, il regagne Paris après la débâcle et entre au lycée Louis-le-Grand. En juillet 1942, jeune scout, il est envoyé au Vélodrome d'Hiver pour distribuer de l’eau aux victimes de la rafle. Pour le jeune homme, déjà révolté par l'occupation allemande, cette expérience est décisive et il décide alors de rejoindre l’armée d’Afrique. Après avoir franchi la ligne de démarcation, il gagne Port-Vendres (Pyrénées-Orientales), dans l’intention d’aller en Afrique du Nord, mais il est arrêté par la gendarmerie avant de pouvoir embarquer et renvoyé dans sa famille.
Ce premier échec ne le dissuade nullement de s’engager dans la Résistance : en novembre 1942, il rallie le corps franc « Liberté » du réseau Vélite-Thermopyles, s’exerçant au maniement d’armes dans une classe désaffectée du lycée Louis-le-Grand et effectuant des entraînements nocturnes en forêt de Chevreuse (Yvelines).
Le 5 juin 1944, il reçoit l’ordre de rallier La Ferté-Saint-Aubin (Loiret) où plusieurs maquis attendent des parachutages d’armes. Lorsqu’une attaque allemande survient le 10 juin à la ferme de By, faisant de nombreuses victimes, son groupe est capturé. François Bayet est écroué à la prison d’Orléans puis interné au camp de Royallieu à Compiègne.
Le 2 juillet 1944, il est déporté à Dachau puis transféré au camp de Neckargerach où il participe à des sabotages. Le 19 décembre 1944, très affaibli, il est transporté au camp-mouroir de Vaihingen. Il y décède le 5 avril 1945.