Jonas Bayard étudie à la London Metropolitan University (Royaume-Uni) et décroche un master d'audit et d'expertise comptable à la Paris Business School en 2012. Entre mai et août 2010, il est rédacteur au cabinet de la secrétaire d'État chargée du numérique Nathalie Kosciusko-Morizet. De février 2013 à mars 2014, il est consultant chez Vae Solis Corporate, cabinet de conseil en stratégie de communication.
Entre avril 2014 et août 2017, il est conseiller presse et communication de Nathalie Kosciusko-Morizet, alors conseillère de Paris et députée. Le 11 octobre 2017, il est nommé conseiller presse au cabinet de la secrétaire d'État Brune Poirson placée auprès du ministre de la Transition écologique et solidaire Nicolas Hulot. Il est reconduit dans ses fonctions les 1er et 17 juillet 2019.
Jonas Bayard devient conseiller communication et médias au cabinet d'Éric Dupond-Moretti, garde des Sceaux, ministre de la Justice, par l'arrêté du 16 juillet 2020.
En mai 2022, il quitte le cabinet et devient responsable communication stratégique au Pôle Communication et Numérique du parti politique La République En Marche (LaREM).