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# 决策树学习笔记

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    作者：[Vincent](https://github.com/Realvincentyuan)，发布于2021-08-28，阅读时间：约6分钟，微信公众号文章链接：[:fontawesome-solid-link:](https://mp.weixin.qq.com/s/waV7HG3KWs-Qx574aUHj3Q)

## 1 前言

决策树是非常经典的机器学习模型，日常工作中许多分类和回归问题都可以用决策树解决，很多更高级、先进的机器学习模型也基于决策树构建，为了夯实基础、正确运用决策树，今天我们来回顾一些决策树里最重要的技术细节。

<figure>
  <img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/BulletTech2021/Pics/2021-8-28/1630120948129-iris_tree.png"  />
  <figcaption>鸢尾花品种分类决策树示例</figcaption>
</figure>


## 2 算法重要细节

### 2.1 如何做预测

示例中深度为2的决策树的展示了做决策的过程和结论，对于150个样本点，在根节点上，决策树以花瓣长度（petal length）是否小于2.45厘米将数据分成两部分，花瓣长度小于2.45厘米的样本被分类成setosa，大于2.45厘米的数据继续以花瓣宽度（petal width）是否小于1.75厘米进行分类，小于的部分被认为是versicolor，大于的部分则是virginica。

图中的samples即为这个大类中的样本数量，如深度为1的左侧叶子节点中samples=50意味着花瓣长度（petal length）小于2.45厘米的样本有50个。而value则代表当前节点中训练数据的分布，如深度为2的左侧绿色节点中[0, 49, 5]表示这个节点中，有0个setosa，49个versicolor和5个virginica，总共54个samples。

### 2.2 预测的依据

在示例的决策树中，还要一个重要的指标叫做`Gini - 基尼系数`，这个系数衡量当前节点的不纯净度（impurity），直观来说，当一个节点里的所有样本都属于同一类时，节点的纯净度最高，基尼系数为0。`Gini`的定义为

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  <img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/BulletTech2021/Pics/2021-8-28/1630138292390-gini.png"  />
  <figcaption>Gini</figcaption>
</figure>

其中$P_{i,k}$是在i个节点中k类的样本占总体样本的比例。比如示例中深度为2的右侧节点的`Gini`为$1-(0/46)^{2}-(1/46)^{2}-(45/46)^{2} ~= 0.043$。以最常用的Python机器学习库`Scikit-Learn(v0.24.2)`中的[DecisionTreeClassifier](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.tree.DecisionTreeClassifier.html#sklearn.tree.DecisionTreeClassifier)类为例，其在实现分类和回归树（Classification and Regression Tree, CART）时，在选择分裂节点的过程中，决策树选择分裂节点和阈值的依据即与`Gini`有关。其优化目标（损失函数）如下所示：

<figure>
  <img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/BulletTech2021/Pics/2021-8-29/1630206173092-CART_Loss.png"  />
  <figcaption>CART分类损失函数</figcaption>
</figure>

其中$G_{left/right}$分别为左侧和右侧节点的`Gini`，而$m_{left/right}$分别为左侧和右侧节点的样本数量。CART算法会做贪心搜索（Greedy Search），从根节点开始分裂，并在层层子节点中搜索能够有效减少`Gini`的特征和阈值，直到分裂的层数到达最大深度（由max_depth参数定义）或已经找不到能够减少`Gini`的节点。直观来说，找到最好的树是一个[NP-complete](https://zh.wikipedia.org/wiki/NP%E5%AE%8C%E5%85%A8)问题，因此算法最终只会找到一个相对好的方案，而非最好的解决方案。

除了`Gini`之外，熵（Entropy）也可以用来衡量分裂节点的效果，用以衡量混乱度，在决策树的节点中，当一个节点里的样本都属于同一类时，熵的值为0。其定义如下：

<figure>
  <img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/BulletTech2021/Pics/2021-8-29/1630205324586-Entropy.png"  />
  <figcaption>熵（Entropy）</figcaption>
</figure>

其中$P_{i,k}$是在i个节点中k类的样本占总体样本的比例。比如示例中深度为2的右侧节点的熵为$-(1/46)log_{2}(1/46)-(45/46)log_{2}(45/46) ~= 0.151$。在`Scikit-Learn(v0.24.2)`中使用`DecisionTreeClassifier`类时，可以通过设置`criterion`参数为`entropy`来使用熵作为衡量指标。但通常使用`gini`和`Entropy`得出的树差别不大。主要的区别在于`Gini`计算更快，并且使用`Gini`会让树将样本更加集中地划分到节点里，而使用`Entropy`会让样本在树的分布更加均衡。

### 2.3 防止过拟合

决策树本身几乎没有假设，同时不依赖于特征缩放（Feature Scaling），但模型本身是需要加约束防止过拟合。可以通过控制模型参数达到正则化的目的。以`Scikit-Learn(v0.24.2)`中使用`DecisionTreeClassifier`类为例，下列参数常用于实施正则化防止过拟合：

- **max_depth**：树的最大深度，默认值是空，意味着树的最大深度不受限制。
- **min_samples_split**：分裂一个节点前所需的最小样本数，默认值为2。
- **min_samples_leaf**：一个叶子节点最少所需的样本数量，默认值为1。
- **min_weight_fraction_leaf**：默认值为0。当设置了`class_weight`后，样本权重不同，而该参数则约束叶子节点中权重占总体样本的比例，大意和`min_samples_leaf`类似，但用比例表示。
- **max_feature**：分裂节点时考虑的特征数量，默认为考虑所有特征。注意，决策树在找到一个有效的分裂节点前不会停止搜索，即便是搜索的特征数量已经超过了max_feature设定的值。
- **max_leaf_nodes**：叶子节点数量的上限，默认值为空。
- **min_impurity_decrease**：分裂一个节点所需减少的最低不纯净度，默认值为0。

通常，增加min_参数或者减少max_参数有助于决策树的正则化。

### 2.4 回归任务

在`Scikit-Learn(v0.24.2)`中可以使用[DecisionTreeRegressor](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.tree.DecisionTreeRegressor.html#sklearn.tree.DecisionTreeRegressor)类来执行回归任务。


<figure>
  <img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/BulletTech2021/Pics/2021-8-29/1630228541305-iris_reg_tree.png"  />
  <figcaption>回归树</figcaption>
</figure>

此时预测值是叶子节点里样本目标值的均值。做回归任务时，CART算法实施方式和分类基本一致，只不过此时优化的目标是减少与目标值的均方差（Mean Squared Error, MSE）

<figure>
  <img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/BulletTech2021/Pics/2021-8-29/1630229474823-CART_regression_loss.png" />
  <figcaption>回归树的损失函数</figcaption>
</figure>

回归树模型参数基本与分类数模型参数一致，可以通过类似的办法防止模型过拟合。

### 2.5 其他重要属性

`Scikit-Learn`的实现中，决策树的`feature_importances_`属性能展示特征的重要性，其依据是各特征对于衡量指标的减少量，返回归一化后的值。如果特征中不同值的数量非常多（高数量类别属性，High Cardinality Features），推荐使用[sklearn.inspection.permutation_importance](https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.inspection.permutation_importance.html#sklearn.inspection.permutation_importance)。

如果要对树进行手动调整如改变分裂的阈值，可以使用[sklearn.tree._tree.Tree](https://scikit-learn.org/stable/auto_examples/tree/plot_unveil_tree_structure.html#sphx-glr-auto-examples-tree-plot-unveil-tree-structure-py)。

## 3 总结

决策树应对分类和回归问题有不错的表现，但也存在一些限制和弱点，如对于数据的方向性和波动较为敏感，这些问题一棵树难以完美解决，那多种几棵树是否有更好的表现呢？下回我们聊聊随机森林！

示例代码：

```python
# 依赖包
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.tree import export_graphviz

import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np


# 导入示范数据
iris = load_iris()
X = iris.data[:,:2] # 选择花瓣长度和花瓣宽度作为特征
y = iris.target

# 查看数据分布
plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])
plt.scatter(X[y==2,0], X[y==2,1])
plt.show()

# 建设一颗决策树
tree_clf = DecisionTreeClassifier(criterion='entropy', max_depth=2)
tree_clf.fit(X, y)

# 导出决策树图形
export_graphviz( tree_clf,
out_file="iris_tree.dot",
feature_names=iris.feature_names[:2],
class_names=iris.target_names,
rounded=True,
filled=True
)

# 决策边界绘制函数
def plot_decision_boundary(model, x):
    #生成网格点坐标矩阵,得到两个矩阵
    M, N = 500, 500
    x0, x1 = np.meshgrid(np.linspace(x[:,0].min(),x[:,0].max(),M),np.linspace(x[:,1].min(),x[:,1].max(),N))
    X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
    y_predict = model.predict(X_new)
    z = y_predict.reshape(x0.shape)
    from matplotlib.colors import ListedColormap
    custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
    plt.pcolormesh(x0, x1, z, cmap=custom_cmap)

# 绘制决策边界
plot_decision_boundary(tree_clf, X)
plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])
plt.scatter(X[y==2,0], X[y==2,1])
plt.show()

# 查看特征重要性
print(tree_clf.feature_importances_)
```