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近世代数
  第一章 基本概念
    集合
      集合的性质
      集合的分配率
      德摩根定理证明
    映射与变换
      映射
        映射的概念
          设A与B是两个集合，如果对于A中每一个元素x，在B中都有唯一确定的元素与之对应
        单射、满射、双射的等价条件
          单射
          满射
          既满足单射也满足满射
        定理
      变换
        集合自身到自身的映射
        双射变换(n元置换)，个数为n!个
      习题
        置换的运算如计算
    代数运算
      代数系统
        有代数运算的集合，称为代数系统
        代数运算，主要指集合中任意两个元素对某运算的结果唯一确定仍然包含在集合中，即满足封闭性
      S(M)与T(M)
      乘法表
      习题
        判断某运算是否是集合的代数运算
        S(M)乘法表
    运算律
      结合律
        证明某代数运算是否满足结合律
        变换的乘法满足结合律
        定理：若集合M有代数运算满足结合律，则M中任意n(n>=3)个元素无论怎样加括号，其结果相等
      交换律
        定理：若集合M有代数运算既满足结合律又满足交换律,则M中任意n(n>=3)个元素进行运算时，可以任意结合和交换元素的前后次序，其结果相等
      分配率
        左分配律
        右分配率
      习题
        判断某代数运算是否满足结合律、交换律
    同态与同构
      同态与同构的定义
        同态满射叫做同态
        同态双射叫做同构
        自同态
          指集合自身到自身存在同态映射
        自同构
          指集合自身到自身存在同构映射
      定理
      习题
        映射是否为自同态映射、自同态满射和自同构映射
    集合关系与等价的分类
      关系
        对于M中任二两个元素可以确定一个是或者不是的法则，则成为M的一个关系
        等价关系
      分类
        若把集合M的全体元素分成若干互不相交的子集，则称这样的子集为M的一个类；类的全体叫做M的一个分类
        定理：集合M的一个分类决定M的一个等价关系，集合M的一个等价关系决定M的一个分类
      习题
  第二章 群
    群的定义和初步性质
      群的定义
        满足结合律、左单位元、左逆元
        交换群
          对于群中任二两个元素a、b，有ab=ba
        群的阶
          有限群G中所含的元素个数n，称为G的阶
        n次单位根群
        四元数群
      群的基本性质
        定理：群的左单位元也是右单位元，并且是唯一的
      半群与幺半群
        半群定义
          满足代数运算满足结合律的代数系统
        幺半群定义
          半群，且有左右单位元(相等)
        半群作成群的充要条件
      习题
        某集合对运算是否作成群、半群、幺半群
          证明是代数运算
          证明满足结合律
          证明含有左单位元
          证明每个元素都有左逆元
    群中元素的阶
      元素的阶的定义
      元素阶的性质
        有限群中每个元素的阶都是有限的
        群的分类
          周期群
            群中每个元素的阶都时有限的
            无限群也可以是周期群，有限群一定是周期群
          无扭群
            群中除单位元e外，其他所有元素的阶都是无限的
          混合群
            群中除单位元e外，既有有限阶元素也有无限阶元素
      元素阶的定理
      习题
    子群
      子群的概念
        某个群G的非空子集H，如果H本身对G的乘法构成一个群(满足群的三个条件)，则称H为G的子群
      构成子群是充要条件
          需要知道如何证明！！！
      群的中心
        定义
          令G是一个群，G中元素a如果同G中每个元素都可换，则称a是群G一个中心元
          群G的全体中心元作成集合C(G)是G的一个子群，同时C(G)称为群G的中心
      定理五
      习题
        群G的任意个子群的交仍是G的一个子群
          这里是a属于H
    循环群
      循环群的定义
          很显然循环群一定是交换群
        整数加群是无限循环群
        n次单位群Un是一个n阶循环群
          同构意义下
          循环群只有两种
          即整数加群和n次单位根群
      循环群相关定理
          Euler函数，即不大于n且与n互质的元素个数
      习题
          不要求掌握
    变换群
      定义
        双射变换群
        非双射变换群
        n元对称群Sn
      变换群定理
      非双射变换群的例子
        有限群
        无限群
      Cayley定理
        任何群都同一个(双射)变换群同构
        任何n阶有限群都与n元对称群Sn的一个子群同构
      习题
        给定一些变换，问是否作成幺半群，是否作成群
    置换群
      置换群的概念
        n元置换群即n元对称群的一个子群
        k轮换、对换、奇置换，偶置换
          不相连轮换可以交换
        n元交代(错)群
          全体偶置换构成的子群
            个数为n!/2个
        一个n元置换群G的置换或全是偶置换、或奇置换、偶置换各占一半
      置换的阶
        k-轮换的阶为k，不相连轮换乘积的阶为各因子的阶的最小公倍数
      n元置换定理
      习题
        学会求置换的阶
    陪集和拉格朗日定理
      陪集性质
          即对任二左陪集而言
          要么相等
          要么无公共元素
      陪集分解
        左陪集分解、左陪集代表系、指数
        在左陪集分解中，除H外其他xH均不作群，因为不含单位元
      拉格朗日定理
        群G中关于子群H的互异的左(右)陪集的个数，称为H在G中的指数，记为(G:H)
      习题
  第三章 正规子群和群的同态与同构
    群同态与同构的简单性质
      定理一及推论
      定理二及推论
      定理三及推论
      其他重要结论
      习题
    正规子群和商群
      正规子群定义
        群G的中心显然是G的一个正规子群
      构成正规子群的充要条件
        正规子群重要例子
        正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群，即正规子群之间不具有传递性
      定理2
      定理3
      定理4及其推论
      定理5及其推论
          不一定是交换群
          必须要求交换群
      正规子群分类
        Hamilton群
          每个子群都是正规子群的非交换群
        单群
          阶大于1且只有平凡正规子群的群
        推论
        定理6
      习题
    群同态基本定理
      定理1
      群同态基本定理
        即同构意义下，每个群只能与其商群同态
      循环群的同态像
      定理四
      习题
    群同构基本定理
      群同构第一定理
      群同构第二定理
      群同构第三定理
      习题
    群的自同构群
      自同构
        自同构群概念
          例子：求Klein四元群的自同构群
        定理2及其推论
        内自同构
      三种特殊群
        正规子群(不变子群)
          对内自同构保持不变
        特征子群
          对自同构保持不变
        全特征子群
          对自同态保持不变
        三者关系
        重要示例
      定理4
      注意事项
        求解一个群G的内自同构群，可以通过求其中心
        群的自身性质并不能迁移到其自同构群上
        不同结构的群的自同构群可能一样
      习题
  第四章 环与域
    环的定义
      加群概念
        基本概念
          单位元用0表示，并称为零元
          元素a的逆用-a表示，并称为a的负元
        构成加群子群的充要条件
      环的定义
        环的定义
        环的分类
          数域分类
            凡数环都是环
            数域F上全体多项式集合F[x]，称为数域F上的多项式环
            数域F上全体n阶方阵的集合，称为数域F上的n阶全矩阵环
          可交换性
            交换环
            非交换环
          元素个数
            有限环
              有限个元素
            无限环
        环的单位元
          针对乘法而言的
          定义
          单位元情况
            单位元定义
            单位元具体情况
              既没有左单位元，也没有右单位元
                偶数环
              只有左单位元
              只有右单位元
              具有单位元(左右单位元均存在且相等)
          环中关于乘法的运算规则
        子环
          定义
          构成子环的充要条件
          循环环
              加法群是交换群
      习题
    环的零因子和特征
      定义
      重要定理
      整环
        定义
            阶大于1
            有单位元
            无零因子
            交换环
      特征
        定义
        推论
      定理2
          无限均无限
          有限同且素
      定理3
      习题
    除环和域
      除环和域的定义
        除环与域
        定理1
          重要示例
        Wedderburn定理
      定理2
      环构成除环的充要条件
      子除环和子域
          减法
          除法
      分式域与商域
      单位群
        重要推论
        定义
          重要示例
      习题
    综合图例
原本来说这个逆过来是不对的即，若|G'|||G|，不能说明G~G‘的