# 数字全息虚拟实验：模型、参数与验证依据

已核读刘航、肖永亮、田军龙、李红星、钟建新，《基于深度学习的离轴菲涅耳数字全息非线性重构》，光子学报2020，49(7)：0709001，DOI：[10.3788/gzxb20204907.0709001](https://doi.org/10.3788/gzxb20204907.0709001)。全文12页已读，0709001-2/-3的记录与滤波公式、-6的场景参数、-11/-12的参考文献均渲染核看。本项目采用该文明确讨论的经典物理部分；其训练数据、网络和重构性能不作为本项目实现或验收依据。

传播基础另核读朱湘柱、曾阳素，《衍射理论公式的诠释与应用》，大学物理2007，26(10)：27–30，全文4页实际阅读并逐页渲染。p27第1.1节式(1)说明单色标量均匀介质的Helmholtz基础；p28–29例1式(9)/(10)说明Fresnel采用相位二阶展开、忽略高阶项的条件。下面的横向频域传播由这一方程独立推导，不称该文直接给出本项目$H_z$。全文没有DOI字段，不猜填。

## 物体、记录与数值再现

物体不是单一平面波，而是二维复振幅的两个高斯斑：中心(-0.50,0)mm、宽度σ₁0.18mm、振幅0.7、相位0；第二斑中心(0.45,0.25)mm、宽度σ₂0.24mm、振幅0.4、相位π/3。每个斑按 $A\exp[-r^2/(2\sigma^2)]$ 定义，场域L=4mm。

通过Fresnel频域传递函数 $H_z=\exp[-i\pi\lambda z(f_x^2+f_y^2)]$ 将物场传播至记录面，叠加已知离轴参考 $R\exp(i2\pi f_cx)$，实际记录其复振幅模平方。对记录强度FFT，在负载频(-f_c,0)处选半径B的一阶边带，逆FFT并乘 $\exp(i2\pi f_cx)/R$ 解调，再以负距离传播实现数值再现。

刘2020 p0709001-2第1.1节式(1)/(3)给传播后的物光与参考光干涉，正确的记录展开是 $I=|U_z|^2+|R_c|^2+R_c^*U_z+R_cU_z^*$。p0709001-3第1.2节式(4)包含传感器窗口；式(5)/(6)描述频域选择一阶交叉项及逆变换后再衍射，并明确零级和两交叉项不重叠的条件。本文定义参考 $R_c=R\exp(i2\pi f_cx)$，因而选负载频项 $R_c^*U_z$，解调后得到非共轭物场；论文选共轭交叉项，级次正负与本项目约定不混用。

原文p0709001-2式(2)末项写为 $R_c\operatorname{FrT}_{z}(U_0^*)$，一般不等于应有的 $R_c[\operatorname{FrT}_{z}(U_0)]^*$；本项目依据式(1)直接复振幅模平方及其正确展开计算，未使用该项。该文用FrT记号及T-FFT叙述，未展示本项目的频域Fresnel核或完整数值采样判据。上述核由角谱的近轴展开独立得到：$\sqrt{\lambda^{-2}-f_x^2-f_y^2}\simeq\lambda^{-1}-\lambda(f_x^2+f_y^2)/2$，移除共同相位后即为$H_z$。该频域核现以新核读朱2007的Helmholtz与二阶相位近似为物理基础，逐步独立推导见下一节。

## 传播基础与独立推导

来源步骤：朱2007 p27第1.1节说明均匀介质单色标量场满足Helmholtz方程；采用自由空间$k=2\pi/\lambda$。本项目显式设定只有朝正z传播的分量、无反射边界、相干同偏振标量场。对横向x/y作二维FT是独立数学操作，得到

$$\frac{\partial^2\widetilde U}{\partial z^2}+\bigl[k^2-4\pi^2(f_x^2+f_y^2)\bigr]\widetilde U=0.$$

选择前向传播分支，去除全场共同$\exp(ikz)$相位，精确标量角谱传递函数为

$$H_z^{AS}=\exp\left[i2\pi z\left(\sqrt{\lambda^{-2}-f_x^2-f_y^2}-\lambda^{-1}\right)\right].$$

这一ODE求解和分支选择是项目独立推导。对平方根取二阶近轴展开便得到实现中的$H_z=\exp[-i\pi\lambda z(f_x^2+f_y^2)]$，与朱文的二阶相位近似原则一致；不将其空间核式(17)冒认为该角谱核。保留的物场带宽远低于$1/\lambda$，验证另按精确角谱检查场的近轴误差。朱文式(15)重复$1/(i\lambda)$因子、式(17)分母有不对称的$-y^2$，本项目没有使用其排印表达式或源码。

该流程恢复复场，图中可切换强度与相位；保留有限边带截断、背景泄漏和离焦造成的模型误差。没有利用已知真物场直接替代再现结果。相对复场误差只是在教学中对已知物体的诊断，与独立算法验证分开。

## 适用域与采样

默认波长632.8nm来自原配置，记录距离300mm沿用原场景尺度；上述物体、参考振幅、载频和边带均为独立数字教学设定。λ500–700nm、记录/再现100–500mm、R0.5–2、N128/256/512。固定f_c=10mm⁻¹、B=3.5mm⁻¹；最粗网格Nyquist16mm⁻¹，f_c+B=13.5<16，载频在整数周期格点40/L。原报告30°干板干涉的亚微米级条纹不能在本页像素间隔直接采样，故不把原全息图像当作该场景输入。

传播采用近轴标量模型、完全相干同偏振、周期边界，移除各传播步共同载波相位。参考角由 $\sin\theta_r=\lambda f_c$ 给出，波长改变时相应调整参考角。未模拟感光材料非线性、显影、吸收、噪声、相干长度或真实干板的空间分辨率。

刘文p0709001-6第3.1节使用MNIST物体、3.5mm场、27.3μm像素、128²网格、λ632.8nm及0.3–0.5m传播距离。这些是其网络训练场景，不转移为本项目物体、窗口或采样认证。该处参考波与x轴角α=π/2.02，若按平面波方向余弦读取，则$f_c=\cos\alpha/\lambda\approx24.58\,\mathrm{mm}^{-1}$，高于该像素的Nyquist约18.315mm⁻¹；文章没有给载频解混叠论证，因此不采用其角度/网格组合。本项目独立固定10mm⁻¹载频、3.5mm⁻¹边带并验证网格、域及近轴误差，源报告30°干板场景继续分离。

数值采样为独立DFT关系：$\Delta x=L/N$、频率间隔$1/L$、Nyquist为$N/(2L)$。当前载频10mm⁻¹是4mm场中的整数40周期，负载频孔径边缘13.5mm⁻¹低于最粗Nyquist16mm⁻¹。高斯物场频谱并非严格紧支撑，所以仅有该不等式不足以声称零泄漏；本页明确保留有限边带截断和背景泄漏，使用已知物体的再现差作为教学诊断，并分别进行精确角谱、网格与域加倍的独立验证。没有把网络训练像素数当作采样正确性的证明。

物像强度共用线性0–1.21灰度；记录强度按(R+1.1)²上限显示；频谱使用log(1+强度)，三个灰度尺度身份明确。弱强度区的相位仅是数值显示，不解释为可测可靠相位。

## 数据身份与原记录

ideal-model保存完整场景与派生指标，manual-probe保存实际像素/物方坐标、复振幅和模平方。源三次记录条件、三次物像尺寸单独呈现；理论可见度不当作实测，对记录光程差亦不推断未给的相干长度。没有从源定性观察和尺寸表拼造二维物体。

## 独立验证

浏览器使用自实现radix-2复FFT；Python用NumPy FFT2，独立完成Fresnel传播、直接相干记录、负载频孔径及复解调，再逐像素比较完整复场与记录强度。覆盖3波长×3距离×3参考振幅共27场景。

进一步检查：128→256网格加倍的共同点收敛；同像素间隔下4→8mm域加倍的周期边界影响；使用精确标量角谱传播 $\exp[i2\pi z(\sqrt{\lambda^{-2}-f_x^2-f_y^2}-\lambda^{-1})]$ 检查Fresnel近轴近似；以及传播能量守恒、逆传播和两半距合成。

初次最大逐像素复场误差3.67×10⁻¹⁵、全息强度7.99×10⁻¹⁵、网格加倍3.05×10⁻¹¹；Fresnel对精确角谱的相对场差3.30×10⁻⁷，域加倍相对场差2.60×10⁻⁵。匹配距离的教学再现相对复场误差最大3.28×10⁻⁴，来自有限边带等模型过程，不作为机器精度误差。

```text
node --test tests/holography-model.test.mjs
python scripts/validate_holography_simulation.py --repo-root . --output-root .
```

验证JSON包括模型及FFT哈希、源输入哈希、环境、容差和实际误差。实际核读的依据覆盖经典干涉记录、频率选取、衍射再现、均匀介质标量Helmholtz与二阶相位近似原则；横向FT、前向分支、去共同相位、Fresnel频域核和离散采样是明确的独立推导，并由不同算法和收敛检验核验。当前仅支持上述已定义的理想教学场景，不由此宣称任意物体/距离的数值传播均已验证。

从已核读p0709001-11参考文献[7]提取后续专门目标：E. Cuche、P. Marquet、C. Depeursinge，《Spatial filtering for zero-order and twin-image elimination in digital off-axis holography》，Applied Optics2000，39(23)：4070–4075；p0709001-12参考文献[22]为J.W. Goodman《Introduction to Fourier Optics》1995，[29]为钱晓凡《信息光学数字实验室》2015。目标题录与全文尚未核查，不迁用其定位或数值。