# 惯性秤：模型、参数与验证

## 模型与校准身份

将水平惯性秤近似为小位移单自由度线性振子，忽略摩擦和阻尼。弹性部件和托盘的惯性并入空载等效质量 $m_0$。释放条件为 $x(0)=A$、$\dot x(0)=0$。

$$(m+m_0)\ddot x+kx=0,\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{m+m_0}{k}}.$$

$$T^2=am+b,\qquad k=\frac{4\pi^2}{a},\qquad m_0=\frac ba,\qquad m_x=\frac{T_x^2-b}{a}.$$

默认教学参数使用原报告八组标准质量的未修约周期进行含截距最小二乘定标。其用途是重现本批次定标关系，不构成对原装置模型的独立实测验证。圆柱观测不进入定标，标称 190.5 g 仅作比较。

## 参数来源

|量|默认值、范围|身份与条件|
|---|---|---|
|附加质量 $m$|100 g；0–250 g|教学加载；原标准质量覆盖25–200 g|
|等效劲度 $k$|20.184331416351085 N/m；10–40 N/m|默认来自本批次斜率，扩展范围为独立教学扫描|
|空载等效质量 $m_0$|43.540722689577976 g|本批次拟合截距与斜率之比，不等于实体托盘称量值|
|初位移 $A$|5 mm；1–10 mm|教学显示设定；小振幅成立范围须实物另行确认|
|周期计数 $N$|20；1–100|默认来自报告计数说明，扫描范围为教学设定|
|圆柱周期|0.681051 s|原报告独立观测，用原定标反推质量|

原 DOCX、规范表格、单位、身份与来源哈希见本实验 `data/provenance.json` 和 `data/observations-01.csv`。周期平方从原周期重新计算。缺少标准质量误差和圆柱周期不确定度，页面质量分量只计算拟合参数协方差传播。

## 验证方法

浏览器使用解析余弦解；独立参考使用 SciPy DOP853 对运动微分方程积分。在附加质量0、100、250 g，劲度10、定标值、40 N/m，幅值1、10 mm的18个情景中检查四个周期、每组65点。位移绝对误差容差为 $10^{-10}\ \mathrm m$，速度为 $10^{-9}\ \mathrm{m/s}$。

拟合另用 NumPy 矩阵最小二乘检查斜率、截距；Node 检查零交点、能量守恒、幅值不变性、劲度缩放、已知定标反演和数据身份。验证记录见 [独立参考](simulation/inertial-balance-reference.json)。这些检查验证算法实现和所声明理想模型的一致性。

## 适用范围与文献依据

参数域为教学范围，尚无实物幅值线性区间验证。阻尼、夹持变化与质量分布改变可使有效参数变化；重力不进入当前水平方向理想方程。

郑雪梅、杨静、庄玲、杨建荣：《阻尼惯性秤的定标和惯性质量的测量》，上饶师范学院学报，2015，35(3)：38–41。[DOI](https://doi.org/10.3969/j.issn.1004-2237.2015.03.009)。已取得并核读四页全文，检查p.38式(1)动力学与式(3)水平秤台关系 $T^2=16\pi^2M^2/(4KM-\lambda^2)$，取零阻尼极限$\lambda=0$即$T^2=4\pi^2M/K$，对应本页$M=m+m_0$。

本文支持理想化理论极限，页面参数和装置另外标识。p.39–40经验二次拟合及参数未用作教学默认或独立数值真值，不沿用待测质量进入定标的非独立处理。默认有效参数来自本项目八组标准质量，未知圆柱不进入定标。全文哈希及定位见[参考文献JSON](inertial-balance-references.json)、[BibTeX](inertial-balance-references.bib)。