# 落球黏度：模型、参数与验证依据

## 模型

浮力、重力及Stokes拖曳作用于均匀球体，管壁用一阶乘子 $W=1+2.4d/D$ 表示。以球体自身质量作惯性项：

$$m\dot v=(\rho_s-\rho_l)Vg-3\pi\eta dWv,\quad v(0)=0.$$

$$v_\infty=(\rho_s-\rho_l)gd^2/(18\eta W),\quad\tau=\rho_s d^2/(18\eta W),\quad x=v_\infty[t-\tau(1-e^{-t/\tau})].$$

数值二分反解两标线到达时刻；反演黏度用收尾近似 $\eta_{app}=(\rho_s-\rho_l)gd^2\Delta t/(18sW)$。从释放点开始计时会包括短暂加速阶段，导致正偏差。

## 参数来源

表 1　默认条件与身份

|量|默认|身份|
|---|---:|---|
|黏度|0.5 Pa·s|教学输入，未作为蓖麻油25℃独立标定|
|球径|0.990 mm|原0.0995 cm视值减正零差0.005 mm|
|管径|20 mm|原报告给定|
|标线间距|0.200 m|原报告给定|
|球密度|7800 kg/m³|原报告给定|
|液密度|950 kg/m³|原报告给定|
|重力|9.8 m/s²|原报告采用|
|释放点至首标线|0.020 m|独立教学几何输入|

软件开放黏度0.2–1.2Pa·s、球径0.5–2mm、管径20–40mm、间距0.1–0.3m、入区前距离0–0.05m。组合须Re≤0.1且d/D≤0.1。忽略端壁、附加质量、历史力、温度梯度与非牛顿效应；一阶壁修正本身是近似，不将数值验证当作该经验式的实验认证。

## 观测与验证

原主报告六次累计时间31.28–189.60s单独回归累计斜率；另两组照片不拼接。源累计读数须代表同一测量区间累计下落耗时，投放间隔缺记录。原预算只含直径和计时指定分量，不完整量化密度、温度、管径、区间长度与模型误差。

独立Python用Radau积分浮重力和壁修正线性拖曳的力平衡，触发两标线位置事件，比较区间时长、到达时刻及0/1/3/5τ速度位移。Node另验终速受力平衡、瞬态ODE、壁效应、加速段偏差及适用域拒绝。结果见 `docs/simulation/liquid-viscosity-reference.json`。

## 文献核读



## 落球条件全文依据

代伟、兰小刚、徐平川、谢春茂：《用落球法测液体黏度的实验条件分析》，大学物理2014，33(7)：20–23。DOI：[10.16854/j.cnki.1000-0712.2014.07.006](https://doi.org/10.16854/j.cnki.1000-0712.2014.07.006)。全文已核读，p20及p22另经PDF页面渲染核查。p20引言列Stokes五条件及Re=ρ液dv/η，式1给壁面(1+2.4r/R)和端部(1+3.3r/h)；p21§1讨论长筒下端部项的近似。p22§4式5是低Re运动微分方程，其零初速指数终速结构与当前教学动力学对应。

当前模型只保留壁面1+2.4d/D，设教学长筒的端部项可忽略。d/D≤0.1和Re≤0.1不能独立保证端部误差小；原液深h缺失，真实原记录的端部修正仍无法量化。此边界在页面读数区域旁注。论文p23离液面至少5cm是其蓖麻油/球径场景建议，不作为普适常数，也不与本页教学释放距离直接混合。论文表1转引物性不替换当前原报告密度或教学η。