# 牛顿环虚拟实验：模型、参数与验证依据 模型依据采用已取得并核读的李小芳等《基于Python的牛顿环仿真实验平台》[1]。全文第67–68页公式(1)–(5)给出半波损失、接触及非接触空气膜强度；本项目将其归一化并保留空气折射率 $n=1$ 的教学场景。 ## 物理问题与测量过程 实验以读数显微镜测量牛顿环的左右位置，使用暗环直径平方与环级的含截距拟合，以及隔级差两种方法估计平凸透镜的曲率半径。网页提供独立教学场景与原报告观测对照。 原报告配置的波长为 $589.3\ \mathrm{nm}$。原始六组读数来自 `experiments/course-04/newton-rings/data/rings.csv`，级次为 5、10、15、20、25、30。网页从这些读数重新相减计算直径。原报告五组空气劈尖读数作为另一测量批次呈现，并计算细丝厚度。 ## 模型与推导 单色光近法向入射到平凸透镜和平板间的空气膜，两束反射光等振幅；一次反射引入半波损失。忽略吸收、多次反射、像差、谱宽和接触形变。空气折射率取 1。球面近轴膜厚为 $$t(r)=t_0+\frac{r^2}{2R}.$$ 反射强度采用 $$\frac{I(r)}{I_{\max}}=\frac{1-\cos[4\pi t(r)/\lambda]}{2}=\sin^2\!\left(\frac{2\pi t(r)}{\lambda}\right).$$ 暗环满足 $2t=m\lambda$，因此 $$r_m^2=R\lambda(m-2t_0/\lambda),\qquad D_m^2=4R\lambda m-8Rt_0.$$ 使用含截距模型 $D_m^2=am+b$，得到 $R=a/(4\lambda)$、$t_0=-b/(8R)$。不强制过原点。对于固定间隙，隔 $p$ 级之差消除截距： $$R=\frac{D_{m+p}^2-D_m^2}{4p\lambda}.$$ 中心间隙大于零时，中心未必为暗点，图像中从中心向外的可见环序号不一定就是方程中的 $m$。界面级数指方程干涉序号。第一级在 $t_0/\lambda=0.5$ 时收缩为中心点，不能作为有限直径暗环记录。 空气劈尖满足小角度线性膜厚，原报告采用 $N$ 个条纹间隔的长度 $l_N$ 计算细丝直径： $$h=\frac{N\lambda L}{2l_N}.$$ 源报告对“20条纹”的端点计数未另作记录，本项目沿用其公式及 $N=20$ 的间隔约定。 ## 参数来源与开放范围 |参数|默认值|范围|来源身份与解释| |---|---:|---|---| |曲率半径 $R$|800 mm|300–1500 mm|独立教学设定；与原报告拟合值分开| |波长 $\lambda$|589.3 nm|400–700 nm|默认沿用原报告；其他值为单色光模型扫描| |中心间隙 $t_0/\lambda$|0|0–0.5|教学模型控制量，无实测间隙输入| |测微镜中心坐标|25 mm|界面固定|坐标原点约定，对直径与拟合半径无影响| |测微线读数|25 mm|20–30 mm，步长0.001 mm|用户交互读数；步长为软件离散，不能当作真实仪器分度或不确定度| |暗环级数 $m$|5|1–100整数|指定干涉序号，须确认暗环位于可视范围内| |隔级差 $p$|10|1–99整数|默认沿用原报告| 全域光场显示横纵各 $-5$ 至 $5\ \mathrm{mm}$；最远角点 $r^2=50\ \mathrm{mm}^2$，最小半径 $R=300\ \mathrm{mm}$。使用有理化形式求精确球面弓高 $$s=R-\sqrt{R^2-r^2}=\frac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}},$$ 与近轴弓高 $s_0=r^2/(2R)$ 比较，最大相对膜厚偏差为 $1.3891\times10^{-4}$。这项是膜厚几何误差界限，不能直接等同于干涉强度相对误差。图像有限分辨率下，高级次条纹会收细，连续模型读数用于数值验证。 自动操作的范围额外要求 $20\le x_{\rm left}