# 固体导热：模型、参数与验证依据

## 一维热方程与边界

取原对称装置的中心面至加热面的半层，坐标x∈[0,R]。初温均匀T0，中心对称零通量，外表面输入恒热流。

$$\rho c\partial_tT=\lambda\partial_{xx}T,\quad T_x(0,t)=0,\quad\lambda T_x(R,t)=q,\quad q=U^2/(2Ar).$$

积分能量给出平均温升率q/(ρcR)。准稳态解是整体线性升温叠加抛物线剖面，因而两面温差qR/(2λ)，与原报告λ反演式和c斜率式一致。早期前沿尚未到中心，不能将该式当作任意时刻的精确反演。

## 参数身份

表 1　默认教学输入

|量|默认|身份|
|---|---:|---|
|λ|0.2W/(m K)|独立教学物性，开放0.1–0.4|
|c|1500J/(kg K)|独立教学物性，开放1000–2000|
|ρ|1124kg/m³|原报告讲义给定|
|半层厚度R|0.010m|原报告输入，开放5–15mm|
|U|18.02V|原报告显示值作为教学输入，开放10–20V|
|r|110Ω|原报告讲义近似值，未独立标定|
|A|0.85×0.09²m²|原面积修正输入|
|热电常数|40μV/K|原0.04mV/K换算|
|T0|20℃|独立教学参考温度|

假定一维、恒定物性、横向绝热、理想接触和恒热流。λ/c不是原有机玻璃的实验校准值。有效面积的0.85修正不等同已计算三维边缘散热。

## 数值实现与独立验证

以均匀单元中心有限体积离散扩散及外侧热流源，Crank–Nicolson解三对角系统。时间步使扩散比αΔt/Δx²≤0.4，保持离散升温非负及精确平均能量（浮点误差内）。中心/表面温度用二阶边界重构；每10s保存数值快照供播放和记录。

独立参考使用均匀初始、Neumann恒热流边界的Fourier级数：

$$T(x,t)=T_0+\frac{qt}{\rho cR}+\frac{qR}{2\lambda}(u^2-1/3)-\frac{2qR}{\lambda\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cos(n\pi u)}{n^2}e^{-n^2\pi^2Fo},\quad u=x/R,\ Fo=\lambda t/(\rho cR^2).$$

Python取200项，比较Fo=0.02/0.1/0.25与材料/几何27组组合；每组用20/40/80格，共243次网格计算，检验剖面二阶收敛和平均能量。Node另验边界升温方向、准稳态物性反演及非法读数。结果见 `docs/simulation/thermal-conductivity-reference.json`。

## 原始资料

主DOCX13–28min共16组跨15min，两面热电势差仍增长；保留末端与平均温差结果，不以本教学PDE倒填原缺参数。近似电阻、面积、密度、厚度和热电换算的系统误差未完整量化。

## 全文核读

周厚兵、唐耿、张欣蕊、赵子珍、卢慧金、王乐乐：《基于准稳态实验方法研究橡胶材料的热传导性质》，物理实验2018，38(7)：17–22。DOI：[10.19655/j.cnki.1005-4642.2018.07.005](https://doi.org/10.19655/j.cnki.1005-4642.2018.07.005)。已核读全文，p17–18公式另经页面视觉核查。

p17式1给热方程，p18式3–5给中心绝热、均温初始和级数解；式6–10给准稳态关系。p21的R=1cm、U=18V、F=0.006885m²、r=110Ω及热电常数0.04mV/K与教学参数有相关装置依据，但该文橡胶密度1310.4kg/m³、导热约0.64W/(m·K)不替换原报告参数。文中未给比热，当前c仍是独立教学输入。18V/60s为论文批次的实验条件。

### 边界式核查

p17印式2使用时间导数等于qc/λ，左右量纲K/s与K/m不一致。Fourier热流定律和半层能量守恒要求空间边界$\partial_xT(R,t)=q_c/\lambda$，单位K/m；当前实现使用此边界。该更正与论文后续空间级数解一致，并由平均能量积分独立确认。论文Fo>0.5为其级数截断近似条件；页面显示实际温差与渐近值偏差，不把它当作材料普适判据。