# 杨氏模量：模型、参数与验证依据

## 模型

均匀圆柱金属丝轴向线弹性伸长为 $\Delta L=4mgL/(\pi d^2E)$。教学光杠杆以动足竖向位移 $D\sin\theta=\Delta L$ 定义镜面转角，标尺位移由反射光线几何给出 $\Delta x=H\tan(2\theta)$。小角度时 $\Delta x\simeq 2H\Delta L/D$。

$$E_{\mathrm{LS}}=8gLH/(\pi d_c^2Dk),\qquad d_c=d_{\mathrm{apparent}}-d_0.$$

页面可指定采用零差，比较单次几何反演、小角度反演与多载荷回归。理想前向模型使用几何关系，因而回归近似有可解释的小角度偏差。实际加载与卸载的差异留在原观测中，没有给理想模型添加随机滞后。

## 参数与来源

表 1　默认教学情景

|量|默认|来源身份|
|---|---:|---|
|杨氏模量|200 GPa|指定线弹性材料教学输入|
|真实直径|0.520 mm|独立教学实体输入；原报告零差修正均值另列|
|金属丝长|0.720 m|原报告几何输入|
|镜至标尺|0.690 m|原报告几何输入|
|杠杆臂|0.03526 m|原报告几何输入|
|真实正零差|0.062 mm|原报告给定零差|
|采用零差|0.062 mm|用户可在0.040–0.080 mm改变，保留到记录|
|加载质量|5 kg|教学输入，开放0–10 kg|
|标尺原点|32 mm|独立显示和测量基准|

开放几何域：$L=0.5$–1.0 m、$d=0.4$–0.8 mm、$H=0.5$–1.5 m、$D=30$–50 mm、$E=100$–250 GPa。组合输入还需应变≤0.003、$\Delta L/D≤0.1$；这是软件的线弹性教学域，并非实际金属屈服限认证。原报告预载及清零条件不同，教学原点不用于改写观测刻度。

## 数据与验证

原报告六次直径视值减0.062 mm后取均值，10级加载和卸载读数取同级均值，以五级逐差和线性回归独立复算。源标准不确定度是条件预算，未补造原始仪器误差限。

浏览器用解析拉伸和几何反射。Python独立建立8单元轴向杆刚度矩阵，在端力作用下求位移；用镜面法向量作入射光向量反射得到标尺交点，并核对几何反演E。Node检验零载、直径平方关系、小角度二阶误差、零差影响和不相容记录拒绝。数值证据见 `docs/simulation/young-modulus-reference.json`。

## 文献核读

张莉、荣振宇、王晗语、姜恒钧、韩玉晶、陈小艺：《光杠杆法测杨氏模量实验的一种改进方法》，大学物理2022，41(10)：29–32、79。DOI：[10.16854/j.cnki.1000-0712.210606](https://doi.org/10.16854/j.cnki.1000-0712.210606)。全文五页已核读，p29式1–3经页面核查。

p29式1为轴向线弹性定义与圆截面公式，式2–3是传统光杠杆的小角放大及杨氏模量反演；论文符号b对应本页杠杆臂D，D0对应镜至标尺H。p30式4的tan2α≈2ΔL/b含小角近似，不能作为精确三角恒等式。当前$D\sin\theta=\Delta L$和$H\tan2\theta=\Delta x$是明确定义足点几何的独立展开，并以反射向量验证。p31预拉伸和加载卸载用于理解原记录滞后，p32式7–8支持逐差与斜率分析。论文的平移台改进装置和183GPa钢丝结果不合入本教学场景。