# Elementarkurs Experimentalphysik *Skriptum zum Kurs „Physik (mit Experimenten)“* **Dr. Herbert Schletter** Technische Universität Chemnitz *Wintersemester 2023/2024*  ## Hinweis zum Urheberrecht [](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Dieses Skriptum steht unter einer [Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Ausgenommen hiervon sind Inhalte (insbesondere Abbildungen), die aus externen Quellen übernommen wurden und dort unter einer anderslautenden Lizenz veröffentlicht wurden. Derartige Inhalte sind im Skript stets mit einem eigenen Lizenzhinweis versehen, der Vorrang vor der hier genannten Lizenz besitzt. ## Vorwort Dieses Skriptum wurde konzipiert und verfasst als Lehrmaterial zur Vorlesung „Physik (mit Experimenten)“ für die Studiengänge ‚Wirtschaftsingenieurwesen‘ und ‚Lehramt an Grundschulen‘ an der Technischen Universität Chemnitz. Es bietet einen Überblick über grundlegende Konzepte und Arbeitsmethoden der Physik mit einem Schwerpunkt auf die Gebiete der klassischen Physik. Da ein Skriptum auf den jeweiligen Vorlesungsinhalt abgestimmt ist, erreicht es nicht den Umfang und die Ausführlichkeit eines Lehrbuchs und kann daher auch ein solches nicht ersetzen. Es bietet jedoch eine didaktische Einführung in das Themengebiet. Der diesem Skriptum zu Grunde liegende Physikkurs hat einen Umfang von 15 Vorlesungen. Dieser recht geringe zeitliche Umfang erfordert eine Konzentration des Vorlesungsinhalts auf die zentralen physikalischen Prinzipien der einzelnen Stoffgebiete zusammen mit den grundlegenden mathematischen Herleitungen. Aufgrund dieser Stoffreduktion trägt dieses Skriptum die Bezeichnung „Elementarkurs“. ### Aufbau des Skriptums Dieses Skriptum wurde in [LiaScript](https://LiaScript.github.io/course/?https://github.com/LiaScript/docs) verfasst, einer Variante der Beschreibungssprache Markdown. Da es sich hierbei um eine reine Textdatei handelt, ist eine Anzeige des (unformatierten) Quelltexts in jedem Texteditor möglich. Die [formatierte Anzeige](https://liascript.github.io/course/?https://raw.githubusercontent.com/HerbertSchletter/elementarkurs-exphy/main/skriptum.md) erfolgt über den LiaScript-Interpreter, der zugleich eine Progressive Web App darstellt. LiaScript bietet verschiedene Darstellungsformate des Inhalts an, die über das Symbol oben rechts ausgewählt werden können. Im Lehrbuch-Modus werden alle Texte angezeigt; im Präsentationsmodus werde einige Texte nicht angezeigt, sondern von einer computergenerierten Stimme vorgelesen. Der folgende Abschnitt (der nur im Lehrbuchmodus sichtbar ist) demonstriert dieses Verhalten. --{{1}}-- Es bleibt dem Leser überlassen, welche Darstellungsform bevorzugt wird. Wenn im Präsentationsmodus Seiten ohne Text auftauchen, so enthalten diese zumeist gesprochenen Text. ## Einführung --{{0}}-- Die erste Frage, die in diesem Skriptum beantwortet werden soll, bezieht sich auf die Zielstellung dieses Buchs. Da es sich um Lehrmaterial der Physik handelt, ist dies gleichbedeutent mit der Frage nach der Zielstellung der Physik. Deshalb findet sich unter der nachfolgenden Überschrift ‚Was ist Physik?‘ als erstes eine Definition dieser Naturwissenschaft, zusammen mit einigen Erläuterungen. --{{1}}-- Im Zentrum der Physik steht die Frage nach den Eigenschaften von Körpern und deren gegenseitigen Wechselwirkungen. Um sich diesem hochgesteckten Ziel zu nähern, hat die Physik zwei grundlegende Herangehensweisen entwickelt, die als Experimentalphysik und Theoretische Physik bezeichnet werden. Wie der Titel dieses Skriptums verrät, ist der vorliegende Kurs im Bereich der Experimentalphysik angesiedelt. --{{2 Deutsch Female}}-- Kennzeichnend für die Experimentalphysik ist das namensgebende Experiment, das als eine gezielte Frage an die Natur aufzufassen ist. Untrennbar mit dem Experimentieren verbunden sind Messungen physikalischer Größen. Beide Begriffe – Experiment und Messung – werden in den nachfolgenden Abschnitten erläutert. --{{3}}-- Der letzte Abschnitt dieses ersten Kapitels lenkt den Blick auf das mathematische Handwerkszeug der Physik. Um die Eigenschaften eines Körpers in ihrem räumlichen und zeitlichen Verlauf anzugeben, werden Bezugsysteme für Raum und Zeit definiert. Für Berechnungen innerhalb dieser Bezugsysteme bedient sich die Physik der Methoden der Vektorrechnung sowie der Differential- und Integralrechnung. ### Was ist Physik? > Die Physik ist eine Naturwissenschaft, die Vorgänge der (unbelebten) Natur > qualitativ und quantitativ beschreibt. Sie fragt nach den Eigenschaften und > gegenseitigen Wechselwirkungen physikalischer Körper. Der Begriff „Körper“ bezeichnet dabei ganz allgemein eine definierte Menge an Materie. Ihm können sehr vielfältige und unterschiedliche Eigenschaften zugeordnet werden. Aus diesem Grund entwickelten sich im Laufe der Zeit verschiedene Teilgebiete der Physik, in denen Körper jeweils unter bestimmten Gesichtspunkten charakterisiert werden. Die Physik strebt danach, komplexe Phänomene auf grundlegende, allgemeingültige und möglichst einfache Gesetzmäßigkeiten zurück zu führen. Um diese Gesetzmäßigkeiten quantitativ auszudrücken, bedient sich die Physik der Mathematik. Dabei ist das wesentliche Ziel der Physik ein qualitatives *Verständnis* der Naturvorgänge. Die quantitative Beschreibung dieser Vorgänge durch mathematische Formeln ist dem nachgeordnet und kann das Verständnis nicht ersetzen. Die Physik strebt eine möglichst einfache Beschreibung der Natur an. Diese Einfachheit kann jedoch nur soweit gehen, dass die Realität nicht durch zu starke Vereinfachungen verfälscht widergegeben wird. Die Komplexität physikalischer Formeln und Beschreibungen widerspiegelt daher lediglich die Komplexität der uns umgebenden Natur. Für eine solche einfache Beschreibung der Naturvorgänge ist es erforderlich (und charakteristisch für die Physik), diese Vorgänge auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren und Unwesentliches außen vor zu lassen. Ein solches vereinfachtes oder reduziertes Abbild der Natur wird als **Modell** bezeichnet. Physikalische Modelle sind stets nur unter bestimmten Voraussetzungen anwendbar. So wird uns in den ersten Kapiteln das Modell des Massepunkts begegnen, bei dem die Form und Größe eines Körpers als unwesentliche Eigenschaften ignoriert werden und lediglich die Masse berücksichtigt wird, die – modellhaft – in einem Punkt gedacht wird. Für die Beschreibung einer geradlinigen Bewegung ist dieses Modell ausreichend, für die Rotation jedoch nicht mehr. Für letztere müssen dann andere Modelle herangezogen werden. Mitunter werden Modelle soweit reduziert, dass sie die Realität nur noch näherungsweise widergeben (z.B. durch Vernachlässigung der unvermeidbaren Reibung bei der Beschreibung von Bewegungen). Es muss dann geprüft werden, ob ein solches Modell den konkreten Sachverhalt mit ausreichender Genauigkeit beschreibt. Ist dies nicht der Fall, muss ein entsprechend aufwändigeres Modell angewendet werden. #### Entwicklung der Physik Die Menschheit hatte seit jeher ein Interesse an der Naturbeobachtung. Die Physik in ihrem heutigen Sinn entstand jedoch erst im 17. Jahrhundert und ist eng mit den Personen Galileo Galilei und Isaac Newton verbunden. Seither ist die Physik geprägt durch: 1. systematisches Experimentieren anstelle einer bloßen Naturbeobachtung und 2. eine enge Verknüpfung von Theorie und Experiment. Vom 17. bis 19. Jahrhundert entwickelten sich die Teilbereiche, die heute als klassische Physik bezeichnet werden: Mechanik, Wärmelehre, Elektrizitätslehre & Optik. Ab ca. 1900 entstand die moderne Physik, zu der (unter anderem) die relativistische Physik, Quantenphysik, Atom-, Molekül- und Festkörperphysik sowie die Elementarteilchenphysik gezählt wird. Die einzelnen Teilgebiete der Physik lassen sich nicht scharf voneinander abgrenzen. So werden beispielsweise die Gesetze der Mechanik auch in der Elektrizitäts- oder Wärmelehre angewendet und finden sich auch in der modernen Physik wieder. ### Arbeitsmethoden der Physik Die Physik kennt zwei grundsätzliche Herangehensweisen zur Untersuchung von Naturvorgängen: In der **Experimentalphysik** werden Naturvorgänge durch Experimente (siehe unten) empirisch untersucht. Durch systematische Veränderung der Einflussgrößen werden physikalische Zusammenhänge ermittelt. Mit Hilfe mathematischer Methoden können Beziehungen zwischen den physikalischen Größen hergestellt und die ermittelten Ergebnisse in Formeln ausgedrückt werden. Die **theoretische Physik** orientiert sich stärker an der mathematischen Vorgehensweise. Dabei bilden physikalische Grundgesetze, Axiome oder Annahmen die Basis der Überlegungen. Darauf aufbauend werden dann – unter Anwendung der Gesetze der Mathematik – neue Zusammenhänge und Gesetze geschlussfolgert. Die zugrunde liegenden Gesetze müssen dabei so formuliert werden, dass sie die Gegebenheiten der Natur widerspiegeln. Beide Herangehensweisen ergänzen sich und müssen identische Ergebnisse liefern. So sollen experimentelle Befunde auch theoretisch (ausgehend von physikalischen Grundgesetzen) erklärt werden. Umgekehrt werden Berechnungen und Vorhersagen der theoretischen Physik experimentell überprüft. Der vorliegende Physikkurs ist in der Experimentalphysik angesiedelt. Das kann jedoch nicht bedeuten, dass auf die Anwendung der Mathematik verzichtet wird. Vielmehr werden auch hier mathematische Methoden genutzt um Beziehungen zwischen physikalischen Größen herzustellen und gefundene Zusammenhänge zu begründen. ### Experimente & Messungen Experimente sind elementarer Bestandteil jeder *Natur*wissenschaft. Ein **Experiment** ist eine gezielte Frage an die Natur. D.h. durch Experimente werden Zusammenhänge der Natur gezielt und systematisch untersucht. Der Aufbau und die Durchführung eines Experiments müssen dieser Zielstellung entsprechen: - Der Versuchsaufbau muss den relevanten Effekt widerspiegeln. - Störende Einflussfaktoren sollen ausgeschlossen oder minimiert werden (z.B. Vermeidung von Reibungsverlusten in der Mechanik, Abschirmung gegen elektromagnetische Felder). - Experimente müssen systematisch durchgeführt werden, indem Einflussfaktoren einzeln unter sonst gleichen Bedingungen geändert werden. - Messungen müssen mit ausreichender Genauigkeit erfolgen. Diese Anforderungen bedingen einen entsprechenden apparativen Aufwand für das Experimentieren, der sich in der Größe und den Kosten von Versuchsaufbauten widerspiegelt. Mitunter sind selbst bauliche Anforderungen an die Laborräume einzuhalten, damit ein Experiment gelingt (z.B. Sonderfundamente für atomar auflösende Elektronenmikroskope). Im Experiment sollen Zusammenhänge der Natur quantitativ erfasst werden. Dazu müssen relevante Größen gemessen werden. Eine **Messung** ist ein Vergleich einer (unbekannten) Größe mit einem Maßnormal. Dieser Vergleich kann direkt (z.B. Längenmessung mit einem Lineal) oder indirekt (z.B. Massebestimmung mit Digitalwaage) erfolgen. Die Maßnormale verkörpern eine festgelegte Quantität der zu messenden Größe und definieren damit gleichzeitig auch die Maßeinheiten der jeweiligen Größe. Beispiele für Maßnormale sind: Lineal für die Längenmessung, Massestücke, ein Metronom als Zeitnormal aber auch elektrische Multimeter usw. Eine physikalische Größe ist definiert als: $$\textrm{Größe}=\textrm{Zahlenwert}\cdot\textrm{Einheit}$$ Beispielsweise könnten für einen Menschen Körpergröße $h$ und Masse $m$ wie folgt angegeben werden: $$\begin{array}{c} h=1{,}88\cdot 1~\mathrm{Meter}=1{,}88~\mathrm m \\ m=87\cdot 1~\mathrm{Kilogramm}=87~\mathrm{kg} \end{array}$$ Physikalische Größen ohne Maßeinheiten existieren nicht. Für jede Größe muss eine Einheit definiert sein. Daraus ergibt sich eine sehr große Zahl physikalischer Einheiten. Um diese zu systematisieren werden Einheitensysteme (oder: Maßsysteme) angewendet. Ein Einheitensystem definiert einen Satz physikalischer Grundgrößen mit den zugehörigen Grundeinheiten. Daraus können alle weiteren Größen mit ihren Einheiten abgeleitet werden. In der Physik ist das Système international d’unités – kurz: SI-System – allgemein gebräuchlich. Die sieben SI-Grundgrößen mit ihren Grundeinheiten sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellt. Alle weiteren physikalischen Einheiten lassen sich aus diesen Grundeinheiten ableiten. Für die Einheit der elektrischen Spannung – das Volt – gilt beispielsweise $$1~\mathrm V=1~\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{A\cdot s^3}} \, .$$ | SI-Grundgröße | Grundeinheit | |:------------------------|:-----------------------------| | Länge | Meter ($1~\mathrm m$) | | Zeit | Sekunde ($1~\mathrm s$) | | Masse | Kilogram ($1~\mathrm {kg}$) | | (absolute) Temperatur | Kelvin ($1~\mathrm K$) | | Stoffmenge | Mol ($1~\mathrm{mol}$) | | Elektrische Stromstärke | Ampere ($1~\mathrm A$) | | Lichtstärke | Candela ($1~\mathrm{cd}$) | Vorsicht ist geboten bei Einheiten, die keine dezimalen Umrechnungsfaktoren besitzen. Das betrifft unter anderem Zeitangaben in Minuten oder Stunden. Hier sollten Angaben stets in Sekunden erfolgen. Ebenso sollten Winkelangaben im Bogenmaß (Radiant) vorgenommen werden. Wie oben bereits angegeben ist eine Messung der Vergleich einer Größe mit einem Maßnormal. Ein solcher Vergleich ist jedoch niemals völlig exakt. Es treten stets **Messunsicherheiten** (Messfehler) auf, die sich unter anderem aus Unzulänglichkeiten oder der begrenzten Anzeigegenauigkeit des Messinstruments ergeben. Diese Messunsicherheiten müssen ermittelt und zum Messwert angegeben werden. Die Angabe eines Messergebnisses ohne Unsicherheit ist für die Praxis wertlos. Die Bestimmung der Messunsicherheit ist somit ebenso wichtig (und ebenso schwierig) wie die Messung selbst. Die Angabe der Messunsicherheit kann als absolute oder relative Unsicherheit erfolgen. Für die Masse der oben angegebenen Person könnte die vollständige Angabe wie folgt aussehen: $$m=(87\pm 4)~\mathrm{kg}\quad\textrm{bzw.}\quad m=87~\mathrm{kg}\pm5\,\% \, .$$ ### Bezugssysteme Die Physik beschreibt Naturvorgänge in ihrer räumlichen und zeitlichen Entwicklung. Dazu müssen physikalische Größen orts- und/oder zeitabhängig gemessen, berechnet und angegeben werden. Mathematisch bedient sich die Physik hierbei der Methoden der Vektorrechnung sowie der Integral- und Differentialrechnung. Darüber hinaus müssen geeignete Bezugsystem definiert werden, damit Orts- und Zeitangaben eindeutig erfolgen können. Für die Zeit wird ein Referenzzeitpunkt festgelegt. In vielen Fällen ist dies implizit der Beginn des Experiments oder der Messung. Es können jedoch auch beliebige andere Referenzzeiten definiert werden. Für Ortsangaben muss ein geeignetes Koordinatensystem definiert werden. Dieses sollte dem betreffenden Sachverhalt so angepasst werden, dass eine einfache Beschreibung des Vorgangs möglich ist. Tatsächlich kann durch die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems der Rechenaufwand erheblich reduziert werden. Für lineare (eindimensionale) Probleme (z.B. geradlinige Bewegung) genügt auch ein eindimensionales Koordinatensystem ($x$-Achse). Für zwei- oder dreidimensionale Beschreibungen werden entsprechend 2D $\left( x,y \right)$ oder 3D $\left( x,y,z \right)$ Koordinatensysteme verwendet. Die bisher genannten Koordinatensysteme sind rechtwinklige oder kartesische Koordinatensysteme. Es handelt sich um sogenannte Rechtssysteme, d.h. die Lage der Achsen zueinander kann durch die Finger der rechten Hand ermittelt werden. Wie in der folgenden Abbildung dargestellt, entsprechen Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger – rechtwinklig abgespreizt – der $x$-, $y$- und $z$-Achse.  Anstelle dieser rechtwinkligen Koordinatensysteme können auch Winkelkoordinatensysteme verwendet werden. In zwei Dimensionen sind dies die Polarkoordinaten $\left(\phi ,r\right)$, die beispielsweise bei der Beschreibung von Kreisbewegungen angewendet werden. In 3D lassen sich anhand von Winkelangaben Zylinderkoordinaten $\left( \phi ,r,z\right)$ und Kugelkoordinaten $\left(\phi , \theta ,r\right)$ aufstellen. Letztere werden beispielsweise für Positionsangaben auf der Erde genutzt: die geografische Länge und Breite entsprechen den Winkeln $\phi$ und $\theta$ eines Kugelkoordinatensystems, dessen Ursprung im Erdmittelpunkt liegt. Um ein physikalisches Problem räumlich zu beschreiben, muss zunächst ein Koordinatensystem festgelegt werden. Diese Festlegung kann willkürlich erfolgen. Es existieren oftmals mehrere gleichwertige Koordinatensysteme. Nach Festlegung eines Koordinatensystems sollte dieses für die gesamte Beschreibung beibehalten werden. Der Wechsel in ein anderes System ist zwar prinzipiell möglich, jedoch mit einem mitunter erheblichen Rechenaufwand verbunden. ## Mechanik --{{0}}-- Die Mechanik ist ein Teilgebiet der klassischen Physik. Sie beschreibt die Bewegungseigenschaften von Körpern sowie die Wirkung von Kräften. In diesem Skriptum bildet die Mechanik das umfangreichste Kapitel, da verschiedene Bewegungsarten unterschieden und mit ihrem jeweils eigenen Formalismus beschrieben werden. Am Beginn steht die Beschreibung geradliniger Bewegungen. Dem schließen sich Rotationsbewegungen und schließlich Schwingungen an. ### Kinematik --{{0}}-- Die Kinematik ist ein Teilgebiet der Mechanik. Sie befasst sich mit der Beschreibung der Bewegung von Körpern. Die Frage nach der Ursache einer Bewegung oder der Änderung eines Bewegungszustands wird nicht betrachtet. Dieses Vorgehen erscheint beinahe zu trivial. Die exakte und quantitative Beschreibung von Bewegungsabläufen ist jedoch Voraussetzung für die nachfolgenden Teilgebiete, in denen die Ursachen der Bewegung ergründet werden. Dementsprechend sollte die Bedeutung der Kinematik nicht unterschätzt werden. --{{1 Deutsch Female}}-- Im Laufe dieses Kapitels werden uns einige Größen begegnen, die aus dem alltäglichen Sprachgebrauch bekannt sind. Dazu zählen Geschwindigkeit und Beschleunigung ebenso wie die Zeit und der Aufenthaltsort eines Körpers. Letzterer wird durch den Ortsvektor in einem Koordinatensystem mathematisch exakt angegeben. #### Der Ortsvektor Für die Bewegung eines Körpers auf geraden oder gekrümmten Bahnen spielen Form und Größe dieses Körpers keine Rolle und können vernachlässigt werden. Auf diese Weise gelangt man zum Modell des Massepunktes bzw. der Punktmasse, bei dem die gesamte Masse des betrachteten Körpers in einem Punkt vereinigt ist (vgl. Hinweise zu physikalischen Modellen im Kapitel [Einführung](#was-ist-physik?)). Die Lage dieses Massepunktes innerhalb des ursprünglichen Körpers ist nicht frei wählbar, sondern entspricht dem Schwerpunkt (oder Massenmittelpunkt), für den eine genaue Berechnungsvorschrift existiert. Auf letztere wird jedoch in diesem Kurs nicht näher eingegangen. Das Modell der Punktmasse kann nicht angewendet werden, wenn die Form des Körpers für einen Vorgang von Bedeutung ist. Dies betrifft beispielsweise die Eigenrotation eines Körpers oder dessen Verformung. Ziel der Kinematik ist also, die Position eines Massepunktes im Raum sowie deren zeitliche Änderung (= Bewegung) anzugeben. Zu diesem Zweck benötigen wir eine Größe, die die Position erfasst. Dies ist der **Ortsvektor** $\vec r$. Er zeigt stets vom Koordinatenursprung zur aktuellen Position des Massepunktes. Im allgemeinen Fall ist der Ortsvektor dreidimensional mit den Komponenten $$\vec{r}(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} .$$ Bei ebenen (zweidimensionalen) Bewegungen enthält der Ortsvektor entsprechend nur zwei Komponenten. Bei geradlinigen Bewegungen reduziert sich der Ortsvektor auf eine skalare Größe. Bewegt sich der Massepunkt, so ändert sich sein Ortsvektor, d.h. der Ortsvektor ist zeitabhängig: $\vec{r}= \vec{r}(t)$. Der Zusammenhang $\vec{r}(t)$ wird als **Orts-Zeit-Gesetz** oder **Weg-Zeit-Gesetz** bezeichnet. Anhand dieses Orts-Zeit-Gesetzes lassen sich grundlegende Bewegungsformen unterscheiden, die im Folgenden zunächst für die geradlinige Bewegung betrachtet werden. #### Geradlinige Bewegung Bei der Beschreibung einer geradlinigen Bewegung wird der Ortsvektor ersetzt durch eine skalare Positions- oder Wegangabe, z.B. $x(t)$. ##### Gleichförmig geradlinige Bewegung Eine geradlinige Bewegung wird als gleichförmig bezeichnet, wenn in gleichen Zeitabschnitten $\Delta t$ jeweils gleiche Strecken $\Delta x$ zurückgelegt werden. In der grafischen Darstellung des Orts-Zeit-Gesetzes $x(t)$ entspricht dies einer Geraden (siehe nachfolgende Abbildung, links). Der Anstieg dieser Geraden gibt an, wie schnell sich die Position des Massepunktes (das heißt sein Ortsvektor) ändert und wird als Geschwindigkeit $v$ definiert: $$v=\frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad\textrm{Einheit: } \left[ v \right]=1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$ Wird diese Berechnung – wie hier angegeben – für einen makroskopischen Zeitraum $\Delta t$ durchgeführt, so ergibt sich die Durchschnittsgeschwindigkeit während des betrachteten Zeitraums. Für die gleichförmige Bewegung ist die konkrete Wahl des Zeitintervalls jedoch unerheblich, da das Orts-Zeit-Gesetz eine Gerade darstellt und damit die Geschwindigkeit für alle Zeitintervalle gleich ist. Folglich ist bei der gleichförmigen Bewegung die Geschwindigkeit eine Konstante (siehe Abbildung, mittleres Diagramm). Aus der Definition der Geschwindigkeit erhält man durch Umstellen für den in einem Zeitintervall zurückgelegten Weg: $$\Delta x = v\cdot\Delta t \, .$$ Setzt man den Beginn des betrachteten Zeitintervalls auf den Zeitpunkt $t=0$, so erhält man das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmig geradlinigen Bewegung: $$x(t) = vt+x_0 \, ,$$ wobei $x_0$ die Position des Körpers (Massepunkts) zum Zeitpunkt $t=0$ angibt. Diese kann durch geeignete Wahl des Koordinatensystems häufig $x_0 = 0$ gesetzt werden.  ##### Beschleunigte geradlinige Bewegung Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit nicht konstant ist, werden als beschleunigt bezeichnet. Das Weg-Zeit-Gesetz ist dabei keine Gerade, d.h., in gleichen Zeitintervallen $\Delta t$ werden zu unterschiedlichen Zeitpunkten verschiedene Wege $\Delta x$ zurückgelegt. Zudem hängt die Bestimmung der Durchschnittsgeschwindigkeit von der Länge des betrachteten Zeitintervalls ab. Zur Bestimmung einer exakten Momentangeschwindigkeit muss daher das betrachtete Zeitintervall infintesimal klein gewählt werden. Mathematisch entspricht dies der Ableitung des Orts-Zeit-Gesetzes nach der Zeit: $$v_\mathrm{momentan}(t) =\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = \dot x(t) \, .$$ Der Zusammenhang $v(t)$ wird dabei als **Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz** bezeichnet. Bei beschleunigten Bewegungen ist also die Geschwindigkeit keine Konstante: $v(t)\neq\mathrm{const.}$ Um die Änderung der Geschwindigkeit zu quantifizieren, wird die **Beschleunigung** $a$ als weitere physikalische Größe eingeführt, die die zeitliche Veränderung der Geschwindigkeit erfasst. Mathematisch bedeutet dies, dass die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit gebildet wird: $$a (t) = \frac{\mathrm dv (t)}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2 x (t)}{\mathrm dt^2} = \ddot{x} (t) \qquad \textrm {Einheit:}\, [a] = 1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$$ In physikalischer Sprechweise ist auch das Bremsen eine Beschleunigung, jedoch mit negativem Vorzeichen $a<0$. Vektoriell ausgedrückt ist beim Bremsen die Richtung der Beschleunigung dem Geschwindigkeitsvektor entgegengesetzt. Ausgehend von der Beschleunigung erhält man das Weg-Zeit-Gesetz durch zweimalige Integration. Für den Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ($a= \mathrm{const.}$) folgt für das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz $v(t)$: $$v (t) = \int\limits a\, \mathrm dt = a \cdot t + C_1 \,.$$ Die Integrationskonstante $C_1$ folgt mathematisch aus der Lösung des unbestimmten Integrals und muss noch mit einer physikalischen Größe identifiziert werden. Aus den Anfangsbedingungen (Anfangszeitpunkt $t = 0$) folgt: $$v(t = 0) = a \cdot 0 + C_1 = C_1\,.$$ Die Integrationskonstante entspricht also der Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t = 0$, d.h. $C_1 = v_0$. Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet also: $$v (t) = a \cdot t + v_0 \,.$$ Das Weg-Zeit-Gesetz erhält man durch Integration des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes: $$x(t)= \int\limits v (t)\mathrm dt = \int\limits (a \cdot t + v_0) \mathrm dt = \frac{1}{2}a t^2 + v_0 t + C_2$$ Über die Anfangsbedingungen lässt sich wiederum die physikalische Bedeutung der Integrationskonstante $C_2$ finden: $$x(t = 0) =\frac{a}{2} \cdot 0^2 + v_0 \cdot 0 + C_2 = C_2$$ Die Konstante $C_2$ entspricht also der Anfangsposition $x_0$ des Körpers zum Zeitpunkt $t=0$. Damit erhalten wir das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: $$x(t)=\frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0$$ Für ungleichmäßig beschleunigte Bewegungen ($a \neq \mathrm{const.}$) ist die Vorgehensweise prinzipiell gleich. Ausgehend vom zeitlichen Verlauf der Beschleunigung $a(t)$ erhält man durch ein- bzw. zweimalige Integration das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz und das Orts-Zeit-Gesetz. Die hergeleiteten Beziehungen für $x(t)$, $v(t)$ und $a(t)$ spiegeln sich auch in den grafischen Darstellungen des Orts-Zeit-Gesetzes, Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes und Beschleunigungs-Zeit-Gesetzes wider. Für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind diese Diagramme in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.  Ein Spezialfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist der freie Fall. Zu dessen Beschreibung definieren wir folgendes eindimensionale Koordinatensystem, wobei wir die Koordinate $x$ der Anschaulichkeit wegen durch die Höhe $h$ ersetzen (siehe Abbildung): - $h$-Achse in vertikaler Richtung, positive Richtung zeigt nach oben. - Der Nullpunkt der $h$-Achse entspricht dem Startpunkt der Bewegung, d.h. $h_0=0$.  Im freien Fall wird der Körper nach unten (d.h. in Richtung der negativen $h$-Achse) beschleunigt. Dabei wirkt die Fallbeschleunigung, die in der Nähe der Erdoberfläche annähernd konstant den Wert $a=g=9{,}81~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ aufweist (siehe folgende Abbildung). Für das Orts-Zeit-Gesetz gilt demnach: $$h=-\frac{g}{2}t^2$$ Beginnt der freie Fall nicht in der Höhe $h=0$, so ist die Anfangshöhe $h_0$ zu berücksichtigen: $$h=-\frac{g}{2}t^2 + h_0$$ Von einem senkrechten Wurf wird gesprochen, wenn der Körper zusätzlich eine Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ in vertikale Richtung erhält. Für das Orts-Zeit-Gesetz gilt dann: $$h=-\frac{g}{2}t^2 + v_0 t + h_0$$  #### Überlagerung von Bewegungen – mehrdimensionale Bewegung Bewegungen, die nicht geradlinig verlaufen, müssen in zwei- bzw. dreidimensionalen Koordinatensystemen beschrieben werden. Der Ortsvektor besitzt dann im allgemeinen Fall drei Komponenten: $$\vec r(t)=\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t)\end{pmatrix}\, .$$ Gleiches gilt für die Geschwindigkeit $$\vec v(t) =\dot{\vec r}(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\vec r(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \\ z(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} \\ \frac{\mathrm dy(t)}{\mathrm dt} \\ \frac{\mathrm dz(t)}{\mathrm dt} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}v_\mathrm x(t) \\ v_\mathrm y(t) \\ v_\mathrm z(t)\end{pmatrix}$$ und die Beschleunigung $$\vec a(t) =\dot{\vec v}(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\vec v(t) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\begin{pmatrix}v_\mathrm x(t) \\ v_\mathrm y(t) \\ v_\mathrm z(t)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\mathrm dv_\mathrm x(t)}{\mathrm dt} \\ \frac{\mathrm dv_\mathrm y(t)}{\mathrm dt} \\ \frac{\mathrm dv_\mathrm z(t)}{\mathrm dt} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_\mathrm x(t) \\ a_\mathrm y(t) \\ a_\mathrm z(t)\end{pmatrix} \, .$$ Die Komponenten dieser Vektoren können getrennt voneinander jeweils als geradlinige Bewegung betrachtet werden. D.h. die Bewegungen in verschiedene Raumrichtungen überlagern sich ohne gegenseitige Beeinflussung. Diese Eigenschaft wird als *Superposition* der Bewegung bezeichnet. Wir betrachten die Bewegung auf einer gekrümmten Bahn am Beispiel des waagerechten Wurfs. Für diesen definieren wir folgendes zweidimensionale Koordinatensystem mit $x$- & $z$-Achse (siehe nachfolgende Abbildung): - Die x-Achse ist waagerecht orientiert, die z-Achse senkrecht - Der Abwurf erfolgt in positive $x$-Richtung: $$\vec v_0 = \begin{pmatrix} v_0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ - Die Fallbeschleunigung zeigt in negative $z$-Richtung: $$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}$$ - Die Abwurfposition liegt über dem Koordinatenursprung: $$\vec r_0 = \begin{pmatrix} 0 \\ h_0 \end{pmatrix}$$  Diese Bewegung wird nun komponentenweise betrachtet. In $x$-Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit $v_0$ vor: $$x(t) = v_0 t$$ In $z$-Richtung liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Anfangshöhe $h_0$ vor: $$z(t) = - \frac{g}{2} t^2 + h_0$$ Beide Bewegungen überlagern sich, und es gilt für den waagerechten Wurf: $$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} v_0t \\ h_0 - \frac{g}{2}t^2 \end{pmatrix}$$ In der vertikalen Richtung führt ein Körper beim waagerechten Wurf demnach dieselbe Bewegung aus wie beim freien Fall. Hinzu kommt lediglich die waagerechte Bewegung. Mit dem eben hergeleiteten Orts-Zeit-Gesetz wird zwar der zeitliche Verlauf der Bewegung beschrieben, nicht jedoch die Bahnkurve, auf der sich der Körper bewegt. Um diese aufzustellen, muss der Parameter $t$ in der obigen Formel eliminiert werden. Man erhält so die parameterfreie Darstellung $z(x)$. Die $x$-Komponente lässt sich wie folgt umformen: $$t = \frac{x}{v_0}$$ Eingesetzt in die $z$-Komponente erhält man: $$z = h_0 - \frac{g}{2}t^2 = h_0 - \frac{g}{2v_0^2}x^2$$ Die Bahnkurve des waagerechten Wurfs ist somit eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $\begin{pmatrix} 0\\ h_0 \end{pmatrix}$ (= Abwurfpunkt). Mit dieser Vorgehensweise lassen sich Orts-Zeit-Gesetze und Bahnkurven für beliebige Bewegungen bestimmen. Die Betrachtung des schrägen Wurfs beispielsweise unterscheidet sich vom vorigen Beispiel lediglich darin, dass der Abwurf nun um einen Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt erfolgt. Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt demzufolge: $$\vec v_0=\begin{pmatrix} v_0 \cdot \cos(\alpha) \\ v_0 \cdot \sin(\alpha) \end{pmatrix} \, .$$ Im Ergebnis ergibt sich wiederum eine parabelförmige Bahnkurve, deren Scheitelpunkt nicht mehr mit dem Abwurfpunkt übereinstimmt, sondern von $h_0$, $v_0$ und $\alpha$ abhängt. ### Dynamik --{{0}}-- Die Dynamik befasst sich mit der Ursache von Bewegungen, oder genauer ausgedrückt: mit der Ursache von Bewegungszustandsänderungen. Eine solche Änderung eines Bewegungszustands erfordert immer das Einwirken einer Kraft. Das quantitative Zusammenspiel von Kraft und Bewegungszustandsänderung wird durch die drei Newtonschen Axiome ausgedrückt, die in den ersten Abschnitten zur Dynamik betrachtet werden. --{{1}}-- Ebenfalls in den ersten Abschnitten wird der Impuls als neue Größe eingeführt. Zunächst dient er nur als quantitativer Ausdruck eines Bewegungszustands. Im weiteren Verlauf der Betrachtungen zeigt sich jedoch, dass es sich beim Impuls um eine Erhaltungsgröße handelt. Solche Größen, die unter bestimmten Voraussetzungen konstant bleiben, haben immer eine große Bedeutung für die Beschreibung oder Berechnung von Naturvorgängen. --{{2 Deutsch Female}}-- Anschließend an die Betrachtung des Impulses, lenken die folgenden Abschnitte das Augenmerk auf den Begriff der Kraft. Dabei werden verschiedene Kräfte durch Formeln quantifiziert. Aufbauend auf die Kenntnis dieser Kräfte wird die Arbeit als physikalische Größe eingeführt. Sie wird immer dann relevant, wenn ein Körper unter dem Einfluss einer Kraft bewegt wird. Dies geschieht beispielsweise beim Anheben oder bei der Beschleunigung eines Körpers. --{{3 Deutsch Female}}-- Die Betrachtung der Arbeit wiederum führt zu der Erkenntnis, dass ein Körper die an ihm verrichtete Arbeit gewissermaßen speichern kann und damit seinerseits in der Lage ist, Arbeit zu verrichten. Diese „gespeicherte Arbeit“ wird als Energie bezeichnet. Sie ist – ähnlich wie der Impuls – eine Erhaltungsgröße. #### Bewegungszustände und Bewegungszustandsänderungen Den Ausgangspunkt für die Betrachtung der Dynamik bilden die beiden folgenden qualitativen Beobachtungen: - Körper (bzw. Massepunkte) ändern ihren Bewegungszustand nicht spontan. Für eine Änderung des Bewegungszustandes ist stets eine Wechselwirkung des Körpers mit seiner Umgebung erforderlich. - Die Größe der Bewegungszustandsänderung wird durch die Stärke dieser Wechselwirkung bestimmt. Wir schlussfolgern daraus, dass sich Körper einer Änderung ihres Bewegungszustandes widersetzen. Diese (qualitative) Eigenschaft wird als Trägheit bezeichnet. Um diese Erkenntnis auch quantitativ zu beschreiben, benötigen wir zunächst eine Größe, die den Bewegungszustand eines Körpers oder Massepunkts beschreibt. Des Weiteren müssen wir auch die Wechselwirkung des Körpers mit seiner Umgebung durch eine physikalische Größe quantitativ erfassen. Zur Beschreibung von Bewegungen kennen wir bereits die Geschwindigkeit als physikalische Größe. Wir ergänzen dies durch eine weitere mechanische Größe: den Impuls $\vec{p}$, der als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit definiert ist: $$\vec{p} = m \cdot \vec{v} \qquad \textrm {Einheit: } [\vec{p}\, ]= 1~\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm s}$$ Die besondere Bedeutung dieser Größe wird später noch diskutiert werden. Wir betrachten sie zunächst als quantitativen Ausdruck eines Bewegungszustands. Der Impuls ist eine vektorielle Größe. Seine Richtung stimmt mit der Bewegungsrichtung überein. Die Wechselwirkung zwischen zwei Körpern beschreiben wir durch die Kraft: $$\textrm {Kraft: } \vec{F} \qquad \textrm {Einheit: }[\vec{F} ] = 1~\frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm s^2}=1~\mathrm N \quad \textrm{(Newton)}$$ Der Vektorcharakter der Kraft widerspiegelt, dass die Wechselwirkung zwischen Körpern stets gerichtet ist. Entsprechend gibt die Richtung des Kraftvektors die Richtung der Wechselwirkung an, während der Betrag $|\vec{F }|$ die Stärke der Wechselwirkung beschreibt. Ferner ist für Kräfte die vektorielle Addition anzuwenden. Bei mehreren auf einen Körper wirkenden Kräften ergibt sich die Gesamtkraft: $$\vec F_\mathrm{ges} = \vec F_1+\vec F_1+\cdots$$ Dies bedeutet auch, dass sich die einzelnen auf einen Körper wirkenden Kräfte überlagern, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Wie schon bei der [Überlagerung von Bewegungen](#überlagerung-von-bewegungen-–-mehrdimensionale-bewegung) spricht man auch hier von *Superposition* der Kräfte. Umgekehrt lässt sich eine wirkende Kraft vektoriell in einzelne Komponenten zerlegen (siehe Abbildung).  Mit diesen Definitionen von Impuls und Kraft können nun die anfänglichen, qualitativen Beobachtungen auch quantitativ ausgedrückt werden. Die entsprechenden Aussagen gehen auf Sir Isaac Newton (1643 – 1727) zurück. #### Die Newtonschen Axiome Als Axiom bezeichnet man in der Physik einen Grundsatz, der sich nicht aus anderen Gesetzmäßigkeiten ableiten lässt, dessen Gültigkeit jedoch durch experimentelle Beobachtungen bestätigt ist. Das **erste Newtonsche Axiom** behandelt die Trägheit eines Körpers: > Ohne äußere Krafteinwirkung ist der Impuls einer Punktmasse zeitlich konstant. Alternativ kann dieses sogenannte *Trägheitsprinzip* auch anhand der Geschwindigkeit (anstelle des Impulses) formuliert werden: > Ein Massepunkt verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen > Bewegung, solange keine Kraft auf ihn einwirkt. Das erste Newtonsche Axiom behandelt also den Fall, dass effektiv keine Kraftwirkung auf einen Massepunkt vorliegt. Das bedeutet nicht, dass gar keine Kräfte auf ihn wirken dürfen. Gemäß dem Superpositionsprinzip können sich mehrere auf einen Körper wirkende Kräfte gegenseitig kompensieren, sodass die Gesamtkraft null ist. Auch in diesem Fall ändert der Körper seinen Impuls nicht. In umgekehrter Lesart sagt das Trägheitsprinzip bereits aus, dass für eine Änderung des Bewegungszustands eines Massepunkts stets eine Kraft einwirken muss. Das **zweite Newtonsche Axiom** (auch *Aktionsprinzip* genannt) drückt den Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls quantitativ aus: > Eine auf eine Punktmasse einwirkende Kraft bewirkt eine Änderung des Impulses > dieser Punktmasse. Es gilt der Zusammenhang: > > $$\vec{F} = \frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm d t} \qquad \textrm {bzw. } \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{F} \mathrm dt = \Delta \vec{p}$$ Das Integral $\int \vec{F} \mathrm dt$ wird auch als *Kraftstoß* bezeichnet und ist identisch mit der Änderung des Impulses. Eine Impulsänderung kann auf zweierlei Weise geschehen: durch Änderung der Geschwindigkeit oder durch Änderung der Masse: $$\frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm dt}= \dot{\vec{p}}= m \cdot \dot{\vec{v}} + \dot{m} \cdot \vec{v}$$ Diese Formulierung gilt also auch für Systeme mit veränderlicher Masse, wie sie beispielsweise in der Relativitätstheorie zu betrachten sind. In vielen Fällen bleibt die Masse eines Körpers jedoch konstant ($\dot{m}=0$), und es kann geschrieben werden: $$\frac{\mathrm d \vec{p}}{\mathrm dt}=\vec{F} = m \dot{\vec{v}} = m \vec{a}$$ Dieser Ausdruck („Kraft ist Masse mal Beschleunigung“) ist die bekanntere – aber nicht allgemeingültige – Formulierung des zweiten Newtonschen Axioms und wird als Newtonsches Grundgesetz der Mechanik bezeichnet. Aus dieser Formel wird auch ersichtlich, welche Rolle die Masse für die Bewegung der Körper spielt: Bei gleicher Kraft wird ein Körper mit größerer Masse weniger stark beschleunigt werden. D.h., er widersetzt sich stärker der Änderung seines Bewegungszustands. Damit ist die Masse das quantitative Maß der Trägheit. Des Weiteren gilt das als *Reaktionsprinzip* bezeichnete **dritte Newtonsche Axiom**: > Stehen zwei Punktmassen nur miteinander, nicht aber mit anderen Punktmassen in > Wechselwirkung, so ist die Kraft $\vec{F_1}$ auf die eine Punktmasse > entgegengesetzt gleich der Kraft $\vec{F_2}$ auf die zweite Punktmasse: > $\vec{F_1} = -\vec{F_2}$ („Actio = Reactio“) Mit Hilfe der Newtonschen Axiome lassen sich nun beliebige Bewegungsprobleme lösen. Ausgehend von den auf einen Massepunkt wirkenden Kräften wird dabei dessen Orts-Zeit-Gesetz berechnet. Das prinzipielle Vorgehen folgt diesen Schritten (hier unter der Annahme, dass die Masse des Körpers konstant bleibt): 1. Ermittlung aller auf einen Massepunkt wirkenden Kräfte $\vec F_i$ 2. Bestimmung der Gesamtkraft durch Vektoraddition aller Teilkräfte $\vec{F}_\mathrm{ges}= \sum_i \vec{F}_i$ 3. Berechnung der Beschleunigung anhand des Newtonschen Grundgesetzes: $$\vec{a}= \frac{\vec{F}_\mathrm{ges}}{m}$$ 4. Zeitliche Integration liefert das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz $\vec{v}(t)$ (siehe oben: [beschleunigte Bewegungen](#beschleunigte-geradlinige-bewegung)). 5. Nochmalige zeitliche Integration ergibt das Orts-Zeit-Gesetz $\vec{r}(t)$. #### Systeme aus mehreren Punktmassen und ihr Impuls Bisher wurden einzelne Punktmassen betrachtet, auf die in irgendeiner Weise eine Kraft einwirkt. Die Herkunft dieser Kraft wurde noch nicht berücksichtigt. Wir haben jedoch bereits zu Beginn dieses Kapitels festgestellt, dass eine Kraft immer aus der Wechselwirkung mit anderen Körpern bzw. Massepunkten resultiert. Bezieht man diese mit in die Betrachtung ein, so erhält man ein System aus mehreren Punktmassen, die jeweils einen Impuls $\vec{p_i}$ besitzen: $$\vec{p_1}=m_1 \cdot \vec{v_1} \qquad \vec{p_2} = m_2 \cdot \vec{v_2} \qquad \textrm{usw.}$$ Der Gesamtimpuls dieses Systems ergibt sich als vektorielle Summe aller Einzelimpulse: $$\vec{p}_\mathrm{ges}=\sum_i \vec{p_i}$$ Wir betrachten im Folgenden sogenannte abgeschlossene Systeme. Dafür müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: - Es wirken keine Kräfte von außen ein. Die Massepunkte des Systems stehen nur miteinander in Wechselwirkung. - Es können keine Massepunkte das System verlassen oder hinzukommen. Prinzipiell können beliebig viele Punktmassen zu einem solchen System gehören. Wir betrachten hier zunächst ein einfaches System aus zwei Massepunkten in einer eindimensionalen Bewegung. Experimentell lässt sich dies realisieren durch zwei Wagen, die sich reibungsfrei auf einer Schiene bewegen können. Anfangs befinden sich beide Wagen in Ruhe. Für Einzel- und Gesamtimpuls gilt: $$p_1 = p_2 =0 \qquad p_\mathrm{ges}=0$$ Zwischen beiden Wagen befinde sich eine gespannte Feder, die plötzlich freigegeben wird und die Wagen auseinanderdrückt. Das bedeutet, dass die Wagen über die Feder miteinander wechselwirken. Das Experiment zeigt, dass die Wagen dabei – abhängig von ihrer Masse – unterschiedlich stark in entgegengesetzte Richtungen beschleunigt werden. Entsprechend unterscheiden sich ihre Endgeschwindigkeiten nach vollständiger Entspannung der Feder. Es gilt jedoch: $$m_1 v'_1 = -m_2 v'_2 \, .$$ Das bedeutet $$p'_1 =-p'_2 \qquad \textrm{und } \qquad p'_\mathrm{ges}= p'_1 +p'_2 =0 \, .$$ Dabei geben gestrichene Größen den Zustand nach der Wechselwirkung an. Der Gesamtimpuls ändert sich bei dieser Wechselwirkung also nicht. Unter Betrachtung der Newtonschen Axiome lässt sich dieses experimentelle Ergebnis auch theoretisch begründen. Wir formulieren diese Begründung allgemein in vektorieller Schreibweise, d.h. ohne die Beschränkung auf eine eindimensionale Bewegung. Wenn zwei Massepunkte nur miteinander wechselwirken (die Feder im obigen Experiment „vermittelt“ lediglich diese Wechselwirkung), müssen zu jedem Zeitpunkt $t^*$ die auf die beiden Massepunkte wirkenden Kräfte entgegengesetzt gleich groß sein (drittes Newtonsches Axiom): $$\vec{F_1}(t^*) = - \vec{F_2}(t^*)$$ Demzufolge müssen auch die Kraftstöße auf beide Massepunkte über beliebige Zeiträume stets entgegengesetzt gleich groß sein: $$\int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{F_1} \mathrm dt = - \int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{F_2} \mathrm dt$$ Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom gilt für die Änderung der Impulse im Zeitraum $t_1 \to t_2$ : $$\Delta\vec{p_1}=\int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{F_1} \mathrm dt \qquad \textrm{sowie} \qquad \Delta \vec{p_2} =\int\limits_{t_1}^{t_2} \vec{F_2} \mathrm dt$$ und somit: $$\Delta \vec{p_1} = - \Delta \vec{p_2}$$ Zum Zeitpunkt $t_1$ (im obigen Experiment war dies vor der Freigabe der Feder) gilt für den Gesamtimpuls: $$\vec{p}_\mathrm {ges}(t_1) = \vec{p_1}(t_1) + \vec{p_2}(t_1)$$ Zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt $t_2$ (nicht nur nach vollständiger Entspannung der Feder) gilt: $$\begin{aligned} \vec{p}_\mathrm{ges}(t_2) & = \vec{p_2}(t_2) + \vec{p_2}(t_2) \\ & = \vec{p_1}(t_1) + \Delta\vec{p_1}+ \vec{p_2}(t_1) + \Delta\vec{p_2} \\ & = \vec{p_1}(t_1) + \vec{p_2}(t_1) \\ & =\vec{p}_\mathrm{ges}(t_1)\end{aligned}$$ Der Gesamtimpuls ist zu diesem Zeitpunkt also gleich dem Anfangs-Gesamtimpuls. Da dies für beliebige Zeitpunkte gilt, schlussfolgern wir, dass sich der Gesamtimpuls im Verlauf der Wechselwirkung nicht ändert. Diese Feststellung kann für Systeme mit mehr als zwei Massepunkten verallgemeinert werden. Solange keine äußeren Kräfte einwirken, treten Wechselwirkungen im System immer paarweise entgegengesetzt auf. Folglich existiert zu jeder Impulsänderung eines Massepunktes die entgegengesetzte Änderung eines anderen Massepunktes. Dies führt zum sogenannten **Impulserhaltungssatz**: > In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls eine Erhaltungsgröße, > d.h. er bleibt zeitlich konstant. Anhand dieses Erhaltungssatzes lassen sich viele Bewegungsprobleme vergleichsweise einfach bearbeiten. Wir werden dies in einem [späteren Kapitel](#anwendungen-der-erhaltungssätze) im Zusammenspiel mit einem weiteren Erhaltungssatz praktizieren. #### Kräfte Während wir in den vorangegangenen Abschnitten stets eine Kraftwirkung vorausgesetzt haben, ohne die Ursache dieser Kraft zu betrachten, sollen im Folgenden einige grundlegende Kräfte, die uns aus unserer Anschauung bereits bekannt sind, in Formeln gefasst werden. ##### Die Gewichtskraft Bereits in der Kinematik hatten wir festgestellt, dass ein fallender Körper – unabhängig von seiner Masse $m$ – die Beschleunigung $\vec{g}$ erfährt. Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom ist hierfür eine beschleunigende Kraft $$\vec{F}_\mathrm G = m \vec{g}$$ erforderlich. Diese wird als Gewichtskraft bezeichnet und wirkt selbstverständlich nicht nur auf fallende Körper, sondern jederzeit auf jeden Körper. Damit ein Körper nicht fällt, muss eine gleich große Gegenkraft aufgebracht werden. Da die Fallbeschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche räumlich (annähernd) konstant ist, gilt dies auch für die Gewichtskraft. Vorsicht ist geboten bei der physikalisch korrekten Benennung von Masse und Gewicht. Die Gewichtskraft (oder Gewicht) ist eine Kraft, die neben der Masse auch von der jeweiligen Fallbeschleunigung abhängt. So wäre beispielsweise auf dem Mond, dessen Fallbeschleunigung nur etwa 16 % des Wertes auf der Erdoberfläche beträgt, die Masse eben dieselbe wie auf der Erde. Hingegen würde sich das Gewicht auf ca. 16 % reduzieren. ##### Die Komponenten der Gewichtskraft - Hangabtriebskraft und Normalkraft Auf der Erdoberfläche wirkt die Gewichtskraft stets senkrecht nach unten. Bei einer geneigten Unterlage kann die Gewichtskraft gemäß dem Superpositionsprinzip in zwei Teilkräfte zerlegt werden, die parallel beziehungsweise senkrecht zur Unterlage orientiert sind (siehe Abbildung). Die Parallelkomponente heißt Hangabtriebskraft $\vec{F}_\mathrm H$, die senkrechte Komponente heißt Normalkraft $\vec{F}_\mathrm N$. Ist die Unterlage um den Winkel $\alpha$ gegen die Horizontale geneigt, so gilt für die Beträge dieser beiden Kräfte: $$\begin{aligned}F_\mathrm H & = F_\mathrm G \cdot \sin{\alpha} = m g \sin{\alpha} \\ F_\mathrm N & = F_\mathrm G \cdot \cos{\alpha} = m g \cos{\alpha}\end{aligned}$$  ##### Die Gravitationskraft Gravitation ist die Anziehung zwischen Körpern (Massepunkten) aufgrund ihrer Masse. Befindet sich eine Masse $M$ im Koordinatenursprung, so erfährt eine zweite Masse $m$ an einem (beliebigen) Ort $\vec{r}$ die Kraft $$\vec{F}_\mathrm {Grav} = -\Gamma\frac{mM}{r^2}\cdot \vec{e}_r \, ,$$ wobei $r=|\vec{r}|$ den Betrag des Ortsvektors bezeichnet. Die Gravitationskonstante $\Gamma$ hat den Wert (siehe [CODATA2018](https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg)) $$\Gamma = 6{,}674\cdot 10^{-11}~\frac{\mathrm m^3}{\mathrm {kg\cdot s^2}} \, .$$ Der Ausdruck $\vec{e}_r$ bezeichnet einen Einheitsvektor (d.h. seine Länge ist 1) in Richtung $\vec{r}$ und gibt damit die Richtung dieser Kraft an: Sie wirkt stets entlang des Ortsvektors zum Koordinatenursprung hin, an dem sich die Masse $M$ befindet. Damit ist die Gravitation eine Zentralkraft. Auf der Erdoberfläche spüren wir die Gravitation als Gewichtskraft. Es gilt also: $$\begin{aligned} F_\mathrm G & = F_\mathrm {Grav}(r=r_\mathrm {Erde}) \\ mg & = \Gamma\frac{mM_\mathrm{Erde}}{r^2_\mathrm{Erde}} \, .\end{aligned}$$ Damit folgt für die Fallbeschleunigung $$g = \Gamma\frac{M_\mathrm{Erde}}{r^2_\mathrm{Erde}} \, .$$ ##### Die Federkraft Die Dehnung oder Stauchung einer (linearen) Feder um eine Auslenkung $\vec{x}$ erfordert eine Kraft, die proportional zu dieser Auslenkung ist: $$\vec{F} = k\vec{x}$$ Dieser Zusammenhang wird auch als lineares Kraftgesetz oder Hookesches Gesetz einer Feder bezeichnet. Selbstverständlich wird dabei davon ausgegangen, dass die Kraft entlang der Federachse angreift. Der Proportionalitätsfaktor $k$ heißt Federkonstante und wird in der Einheit $[k]=1~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$ angegeben. Er gibt die „Härte“ der Feder an. „Weiche“ Federn besitzen eine kleine Federkonstante, das heißt für eine Verformung um eine gewisse Strecke ist entsprechend wenig Kraft aufzubringen. Die Feder ihrerseits setzt dieser Verformung eine Kraft entgegen, die – gemäß dem dritten Newtonschen Axiom – der äußeren Kraft entgegengesetzt, aber gleich groß ist: $$\vec{F}_\mathrm F = -k\vec{x} \, .$$ Diese Kraft wird als Federkraft bezeichnet. ##### Reibungskräfte Reale Bewegungsvorgänge unterliegen stets Einflüssen, die die Bewegung hemmen, das heißt ihre Geschwindigkeit verringern. Solche Einflüsse werden als Reibung bezeichnet. Der Reibung können verschiedene Mechanismen zu Grunde liegen; dementsprechend existieren unterschiedliche Formeln, die die einzelnen Reibungsprozesse beschreiben. Bei der Berechnung von Reibungskräften ist also stets zu prüfen, welche Art Reibung vorliegt. Wir beschränken uns hier auf eine der grundlegenden Reibungsformen: die Festkörperreibung (auch trockene Reibung oder Coulomb-Reibung). Diese wirkt, wenn zwei feste Körper miteinander in Kontakt stehen und sich gegeneinander bewegen. Dies schließt also insbesondere den Fall ein, dass sich ein Körper auf einer festen Unterlage fortbewegt. Die dabei wirkende Reibungskraft $\vec{F}_\mathrm R$ ist (annähernd) unabhängig von der Geschwindigkeit: $$F_\mathrm R = \mu F_\mathrm N$$ $F_\mathrm N$ ist dabei die oben eingeführte Normalkraft, also die Kraft, mit der der Körper auf seine Unterlage wirkt. Der Proportionalitätsfaktor $\mu$ wird als Reibungskoeffizient bezeichnet und hängt von der Materialkombination von Körper und Unterlage ab. In der Regel ist $\mu<1$. Bewegt sich der Körper auf seiner Unterlage, so spricht man von Gleitreibung, und der Koeffizient wird genauer als Gleitreibungskoeffizient $\mu_\mathrm{Gleit}$ bezeichnet. Befindet sich der Körper auf seiner Unterlage in Ruhe, so wirkt eine größere Reibungskraft, die als Haftreibung bezeichnet wird. Der entsprechende Koeffizient heißt dann Haftreibungskoeffizient $\mu_\mathrm{Haft}$. Es gilt: $$\mu_\mathrm{Haft} \gt \mu_\mathrm{Gleit}$$ Um einen Körper auf seiner Unterlage in Bewegung zu setzen, ist also eine größere Kraft erforderlich als für die anschließende Erhaltung dieser Bewegung. Bisher wurden nur die Beträge der Reibungskräfte beschrieben. Ihre Richtung ist stets so, dass sie die Bewegung hemmen. D.h., die Gleitreibung ist der momentanen Geschwindigkeit entgegengerichtet. Die Haftreibung ist der beschleunigenden Kraft entgegengesetzt. ##### Die goldene Regel der Mechanik Es existieren verschiedene Vorrichtungen, die eine auf sie einwirkende Kraft sowohl in ihrer Richtung als auch in ihrem Betrag verändern können. Solche kraftumformende Einrichtungen haben große Bedeutung in der Technik. Zu ihren wichtigsten Vertretern gehören unter anderem Hebel und Flaschenzug. Wird ein Körper mit der Gewichtskraft $F_\mathrm G$ an einem Flaschenzug mit insgesamt 4 Rollen aufgehängt, so ist an der Gegenseite des Flaschenzuges nur noch ein Viertel dieser Gewichtskraft erforderlich, um den Körper zu halten. Um den Körper hingegen um eine gewisse Höhe $h$ anzuheben, muss an der Gegenseite nun (mit der reduzierten Kraft) das Seil um das Vierfache dieser Höhe gezogen werden. Analoge Zusammenhänge gelten auch für alle weiteren kraftumformenden Einrichtungen. Dies führt zur sogenannten „goldenen Regel der Mechanik“: > Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen. Anders ausgedrückt: das Produkt aus Kraft und Weg bleibt an einer kraftumformenden Einrichtung stets dasselbe. Größen, die unter bestimmten Umständen konstant bleiben, sind stets von großer Bedeutung für die Beschreibung von Naturvorgängen. Daher führen wir das Produkt aus Kraft und Weg als eigenständige Größe – die Arbeit $W$ – ein. #### Die Arbeit Wird ein Körper unter dem Einfluss einer Kraft $\vec{F}$ um das Wegelement $\mathrm d\vec{s}$ verschoben, so wird an ihm die **Arbeit** $$\mathrm dW = \vec{F}\cdot \mathrm d\vec{s}$$ verrichtet. Aus dieser Definition der Arbeit ergibt sich auch deren Einheit: $$[W] = 1~\mathrm{Nm} = 1~\mathrm J \qquad \textrm{(Joule).}$$ Die obige Definition der Arbeit enthält ein Skalarprodukt aus der angreifenden Kraft und dem (gerichteten) Wegelement, um das der Körper verschoben wird. Physikalisch bedeutet dies, dass nur Kräfte bzw. Kraftkomponenten, die in Wegrichtung angreifen, auch Arbeit verrichten. Kräfte oder Kraftkomponenten, die senkrecht zum Weg angreifen, verrichten keine Arbeit. Kräfte, die schräg zum Weg angreifen, müssen entsprechend dem Superpositionsprinzip in ihre Komponenten in Wegrichtung beziehungsweise senkrecht dazu zerlegt werden. Nur die erstere verrichtet dabei Arbeit. Wir werden im Laufe dieses Kurses noch Kräfte kennen lernen, die stets senkrecht zum momentanen Wegelement angreifen und daher niemals Arbeit verrichten. Die differentielle Schreibweise in der obigen Formel berücksichtigt den allgemeinen Fall, dass sich die Kraft entlang des Weges ändert (dies ist beispielsweise beim Spannen einer Feder der Fall, siehe unten). Die gesamte zu verrichtende Arbeit ergibt sich durch Integration entlang des Verschiebewegs: $$W = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F}\cdot \mathrm d \vec{s} \, .$$ Sofern die Kraft über den gesamten Verschiebeweg konstant ist und stets in Wegrichtung wirkt, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu $$W = F\cdot s \, ,$$ wobei $s$ für die Länge des gesamten Verschiebewegs steht. Um die Bedeutung dieser physikalischen Größe besser zu verstehen, wollen wir anhand der uns bekannten Kräfte einige Arten der Arbeit betrachten. ##### Die Beschleunigungsarbeit Ein Körper der Masse $m$ soll aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit $v$ beschleunigt werden. Dies geschehe mit einer konstanten Beschleunigung $a$ auf einem Weg der Länge $s$. Da die Wahl von $a$ und $s$ willkürlich ist, sollen diese beiden Größen in der endgültigen Formel eliminiert werden. Wir gehen ferner davon aus, dass die zur Beschleunigung erforderliche Kraft $\vec{F}$ konstant ist und stets parallel zur Bewegungsrichtung angreift. Wir können daher die vereinfachte Formel für die Arbeit ansetzen: $$W = F\cdot s \, .$$ In diese setzen wir für die Kraft das Newtonsche Grundgesetz ein: $$W = m a\cdot s \, .$$ Für die Beschleunigung erhalten wir aus dem Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung: $$s = \frac{a}{2}t^2 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{2s}{t^2} \, .$$ Für die in dieser Formel auftretende Zeit formen wir das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz um: $$v= at \quad \Rightarrow \quad t= \frac{v}{a} \, .$$ Dies setzen wir in die Formel für die Beschleunigung ein und erhalten: $$a= \frac{2s}{t^2} = \frac{2sa^2}{v^2} \quad \Rightarrow \quad \frac{2sa}{v^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{v^2}{2s} \, .$$ Wird dieser Ausdruck in die Formel für die Arbeit eingesetzt, so folgt: $$W = ma \cdot s = m \frac{v^2}{2s} \cdot s = \frac{1}{2} mv^2 \, .$$ Damit haben wir die zum Erreichen einer Geschwindigkeit $v$ (aus dem Stand) erforderliche Arbeit: $$W_\mathrm{Beschl}= \frac{m}{2}v^2 \, .$$ ##### Die Hubarbeit Ein Körper der Masse $m$ soll um eine Höhe $\Delta h$ angehoben werden. Die Kraft, die hierfür aufzubringen ist, entspricht der Gewichtskraft dieses Körpers[^1]: $$F=mg=\mathrm{const} \, .$$ Wir gehen weiterhin davon aus, dass der Körper senkrecht gehoben wird, also $\vec{F} \, || \, \mathrm d\vec{s}$. Damit ergibt sich für die Hubarbeit: $$W = F \cdot s = F \cdot \Delta h = mg\Delta h \, .$$ [^1]: Tatsächlich wird im ersten Moment des Anhebens der Körper zusätzlich beschleunigt, d.h. es wirkt eine größere Kraft. Im Gegenzug wirkt eine geringere Kraft, wenn der Körper bei Erreichen der neuen Höhe abgebremst wird. Diese Beiträge von zusätzlicher und verringerter Kraft kompensieren sich jedoch gegenseitig, sodass der Ansatz der (konstanten) Gewichtskraft korrekt ist. ##### Die Federspannarbeit Eine Feder mit der Federkonstante $k$ soll um eine Auslenkung $x_\mathrm{max}$ gedehnt werden. Hierfür muss die Kraft $\vec{F}= k\vec{x}$ aufgewendet werden. Diese Kraft hängt selbst von der momentanen Auslenkung ab und ändert sich im Verlauf der Dehnung. In diesem Fall muss also tatsächlich das Integral zur Berechnung der Arbeit ausgewertet werden. Wir gehen jedoch auch hier davon aus, dass die Kraft stets in Wegrichtung (d.h. entlang der Federachse) angreift, sodass $\vec F\cdot \mathrm d\vec x = F\mathrm dx$ gesetzt werden kann. Dann gilt: $$W = \int \limits_0^{x_\mathrm{max}} F \mathrm dx= \int \limits_0^{x_\mathrm{max}} kx\mathrm dx= \frac{1}{2}kx^2_\mathrm{max} \, .$$ ##### Reibungsarbeit Wie wir oben festgestellt haben, wirken bei der Bewegung eines Körpers stets Reibungskräfte, die diese Bewegung hemmen, d.h. die Geschwindigkeit verringern. Damit sich ein Körper auch unter dem Einfluss von Reibung mit unveränderter Geschwindigkeit bewegt, muss ständig eine Kraft auf diesen Körper wirken, die den Effekt der Reibung kompensiert. Zur Aufrechterhaltung der Bewegung muss also Arbeit gegen die Reibung verrichtet werden. Damit ein Körper mit unveränderter Geschwindigkeit eine gewisse Wegstrecke $s$ gleitet, muss die Gleitreibung kompensiert werden. Dabei wird die Arbeit $$W = Fs = \mu_\mathrm G F_\mathrm N s$$ verrichtet. #### Die Leistung Wir haben nun verschiedene Arten der Arbeit kennen gelernt. In vielen Situationen ist es darüber hinaus von Interesse, in welcher Zeit eine bestimmte Arbeit verrichtet wird. So ist beispielsweise bei Sportwagen die Zeitdauer für die Beschleunigungsarbeit von $0~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ auf $100~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ ein wichtiges Merkmal. Wir führen daher eine weitere Größe ein, die die Zeitdauer erfasst, in der eine bestimmte Arbeit verrichtet wird. Dazu teilen wir die verrichtete Arbeit durch die dafür benötigte Zeit und erhalten so die **Leistung** $P$ : $$P= \frac{W}{\Delta t} \qquad \textrm{Einheit: } [P]=1~\frac{\mathrm J}{\mathrm s}= 1~\mathrm W \quad \textrm{(Watt).}$$ Genau genommen, handelt es sich hierbei um eine mittlere Leistung über den (makroskopischen) Zeitraum $\Delta t$. Durch den Übergang zu infinitesimal kleinen Zeitintervallen erhält man die momentane Leistung: $$P=\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt} \, .$$ Die Leistung ist als physikalische Größe nicht auf die Mechanik beschränkt und wird uns auch in späteren Kapiteln wieder begegnen (unter anderem als elektrische Leistung). Speziell für die Mechanik lässt sich eine weitere, äquivalente Formel für die Leistung angeben, die aus der obigen Definition der momentanen Leistung folgt: $$P= \frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}= \frac{\vec{F}\cdot \mathrm d \vec{s}}{\mathrm dt}= \vec{F}\cdot \frac{\mathrm d\vec{s}}{\mathrm dt}= \vec{F} \cdot \vec{v} \, .$$ Mechanische Leistung ist also das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit. Setzt man in diese Formel die Momentangeschwindigkeit ein, so erhält man die momentane Leistung. Entsprechend ergibt sich bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit die mittlere Leistung. Beide Formeln für die Leistung sind (in der Mechanik) gleichwertig. Für die Berechnung einer konkreten Fragestellung wird schlicht die zweckmäßigere Formel ausgewählt. #### Die Energie Wenn an einem Körper Arbeit verrichtet wird, so ändert sich in irgendeiner Weise ein Zustand dieses Körpers. Dies kann der Bewegungszustand (im Falle der Beschleunigungsarbeit), seine Lage im Schwerefeld der Erde (Hubarbeit), oder die Spannung einer Feder sein. Die verrichtete Arbeit bleibt auf diese Weise im Körper gespeichert und kann von diesem genutzt werden, um seinerseits Arbeit zu verrichten. Diese „gespeicherte Arbeit“ wird als **Energie** bezeichnet. Sie ist die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten. Abhängig vom „Zustand“, in dem die Energie im Körper gespeichert ist, unterscheidet man verschiedene Arten der Energie. ##### Energieformen der Mechanik **Kinetische Energie** (oder Bewegungsenergie) ist die Energie, die ein Körper aufgrund seiner Geschwindigkeit besitzt. Sie ist gleich der Beschleunigungsarbeit, die erforderlich ist, um den Körper auf seine Geschwindigkeit zu beschleunigen: $$E_\mathrm{kin}=\frac{1}{2}mv^2 \, .$$ Als **potentielle Energie** bezeichnet man Energie, die ein Körper auf Grund seiner Lage besitzt. Im Schwerefeld der Erde wird durch Hubarbeit die potentielle Energie verändert: $$\Delta E_\mathrm{pot}= mg \Delta h \, .$$ Der Nullpunkt der potentiellen Energie kann dabei willkürlich festgelegt werden (muss dann aber beibehalten werden!). Interessant sind lediglich Änderungen beziehungsweise Differenzen der potentiellen Energie. Meist wird verkürzt geschrieben: $$E_\mathrm{pot} = mgh \, .$$ Auch beim Spannen einer Feder muss Arbeit verrichtet werden, die dann als Energie in der Feder gespeichert ist. Diese Federenergie wird ebenfalls zur potentiellen Energie gezählt und ist gleich der zum Spannen erforderlichen Arbeit: $$E_\mathrm{Feder}= \frac{1}{2} k x^2 \, ,$$ wobei $x$ die Dehnung oder Stauchung der Feder aus dem entspannten Zustand angibt. ##### Energieumwandlung Ein Körper, der sich in einer gewissen Höhe $h$ befindet, besitzt dort die entsprechende potentielle Energie $E_\mathrm{pot}=mgh$. Im freien Fall aus dieser Höhe verliert der Körper beständig potentielle Energie, da seine Höhe abnimmt. Gleichzeitig nimmt – aufgrund der beschleunigten Bewegung – seine kinetische Energie zu. Energetisch betrachtet wird also beim freien Fall die anfängliche potentielle Energie des Körpers für die Beschleunigungsarbeit aufgewendet und somit in kinetische Energie umgewandelt. Dabei gilt (als experimentelles Ergebnis): $$\Delta E_\mathrm {pot} = -\Delta E_\mathrm {kin} \, .$$ Die mechanische Gesamtenergie des Körpers (Summe aus kinetischer und potentieller Energie) ändert sich dabei nicht: $$E_\mathrm{ges} = E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin} = \mathrm{const} \, .$$ Dies gilt selbst dann noch, wenn der Körper nicht senkrecht fällt, sondern sich auf anderen (schrägen oder gekrümmten) Bahnen abwärts bewegt. Wenn alle diese Bahnen denselben Höhenunterschied bewältigen, so ist auch die Geschwindigkeit des Körpers am Ende identisch. Die Umwandlung von kinetischer und potentieller Energie geschieht unabhängig vom Weg und hängt lediglich von Anfangs- und Endpunkt ab. ##### Energie und Reibung Was geschieht nun aber mit der Arbeit, die gegen die Reibungskraft verrichtet wurde? Bewegt sich ein Körper unter dem Einfluss der Reibung, ohne dass eine äußere Kraft die Reibung kompensiert, so muss der Körper selbst aus seinem Vorrat an kinetischer Energie diese Reibungsarbeit aufbringen. Dabei nimmt seine kinetische Energie ab, d.h. der Körper wird kontinuierlich langsamer und kommt schließlich zum Stillstand, wenn seine gesamte anfängliche Bewegungsenergie für die Reibungsarbeit aufgewendet wurde. In diesem Fall ändert sich – anders als im oben diskutierten Beispiel – die mechanische Gesamtenergie. Damit sich ein Körper trotz Reibung mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, muss von außen Arbeit zur Kompensation der Reibung an ihm verrichtet werden. Diese Arbeit ändert nicht den Bewegungszustand des Körpers, erhöht also auch nicht dessen Energie. ##### Der Energiesatz der Mechanik Die vorangegangene Betrachtung zeigt, dass mechanische Energie „verloren“ gehen kann. Tatsächlich existieren neben kinetischer und potentieller Energie weitere (nicht-mechanische) Energieformen wie elektrische Energie oder thermische Energie (Wärme). Auch die Reibung bewirkt eine Energieumwandlung: von kinetischer Energie in thermische Energie. Solche Prozesse, die mechanische Energie in andere Energieformen umwandeln, heißen *dissipative Prozesse* bzw. *dissipative Kräfte*. Dabei ist die Energieumwandlung nicht wegunabhängig. Den Gegensatz dazu bilden *konservative Kräfte* bzw. *konservative Prozesse*. Sie wandeln die mechanischen Energieformen nur ineinander um. Dabei ist (wie im Beispiel oben) die Umwandlung unabhängig vom Weg. Führt man diese Erkenntnisse – in verallgemeinerter Form – zusammen, so erhält man den Energiesatz der Mechanik: > Die verschiedenen Formen mechanischer Energie lassen sich ineinander und in > andere Energieformen umwandeln. Wirken in einem System ausschließlich > konservative Kräfte, so ist die gesamte mechanische Energie eine > Erhaltungsgröße. Es gilt: > > $$E_\mathrm{ges}=E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin} = \mathrm{const} \, .$$ #### Anwendungen der Erhaltungssätze Wir kennen nun zwei elementare Erhaltungssätze der Mechanik: Impulssatz und Energiesatz. Ihre Anwendung bietet einen Ansatz zur Lösung zahlreicher mechanischer Probleme. Wir wollen dies an einigen Beispielen betrachten. {{1}} ************************************************ **Beispiel 1: Pendel und Hemmungspendel** Ein Fadenpendel der Masse $m$ wird in eine Höhe $h_1$ ausgelenkt (die Ruhelage des Pendels sei in der Höhe $h=0$). Von dort losgelassen bewegt sich das Pendel beschleunigt nach unten und erreicht bei Durchqueren der Ruhelage seine maximale Geschwindigkeit. Wenn die Reibung vernachlässigt werden kann, gilt der Energiesatz der Mechanik, und für die Maximalgeschwindigkeit folgt: $$mgh_1 = \frac{1}{2}mv^2_\mathrm{max} \quad \Rightarrow \quad v_\mathrm{max} = \sqrt{2gh_1} \, .$$ Auf der Gegenseite steigt der Pendelkörper nach oben. Dabei wird kinetische Energie in potentielle umgewandelt. Seine Maximalhöhe $h_2$ auf dieser Seite erreicht er, wenn diese Energieumwandlung vollständig ist. Also: $$mgh_2 = \frac{1}{2}mv^2_\mathrm{max} = mgh_1 \quad \Rightarrow \quad h_2 = h_1 \, .$$ Der Pendelkörper erreicht also auf beiden Seiten dieselbe Höhe. Wird nun durch einen Anschlag die Fadenlänge des Pendels auf der zweiten Seite verkürzt (Hemmungspendel), so ändert sich zwar die Schwingungsdauer, nicht aber die erreichte Höhe des Pendelkörpers. Für die energetische Betrachtung gilt weiterhin die Gleichheit: $$mgh_2 = \frac{1}{2}mv^2_\mathrm{max} = mgh_1 \quad \Rightarrow \quad h_2 = h_1 \, .$$ ******************************************* {{2}} *********************************************** **Beispiel 2: Zentrale Stöße** Als Stoß bezeichnet man in der Physik eine (beliebige) Wechselwirkung zweier Körper, bei der Impuls übertragen wird. Da diese Wechselwirkung der beiden Stoßpartner ein abgeschlossenes System darstellt, kann der Impulssatz stets angewendet werden. Hingegen ist der Energiesatz nicht in jedem Fall anwendbar, da Stöße auch dissipative Vorgänge enthalten können, beispielsweise durch Entstehung von Wärme oder dauerhafte Verformung der Stoßpartner. Man unterscheidet daher zwischen elastischen Stößen, bei denen nur konservative Kräfte wirken und der Energiesatz der Mechanik anwendbar ist, und inelastischen Stößen, bei denen der Energiesatz der Mechanik nicht gilt. Ein Spezialfall der letzteren ist die gemeinsame Weiterbewegung beider Stoßpartner, die auch als (vollkommen) plastischer Stoß bezeichnet wird. Wir betrachten hier als einen konkreten Fall den elastischen Stoß zwischen zwei Körpern gleicher Masse ($m_1=m_2=m$), wobei Körper 2 vor dem Stoß in Ruhe sei ($v_2=0$). Gesucht sind die Geschwindigkeiten der beiden Körper nach dem Stoß, die wir – zur besseren Unterscheidung – mit $v'_1$ und $v'_2$ bezeichnen. Da es sich um einen elastischen Stoß handelt, können wir den Energiesatz anwenden. Die kinetische Energie vor dem Stoß (zu der nur Körper 1 beiträgt) muss gleich der kinetischen Gesamtenergie nach dem Stoß sein: $$\frac{1}{2}mv^2_1 + \frac{1}{2}mv^2_2 = \frac{1}{2}mv^2_1 = \frac{1}{2}mv'^2_1 + \frac{1}{2}mv'^2_2 \, .$$ Daraus folgt für die Geschwindigkeiten: $$v_1^2=v'^2_1+v'^2_2 \, .$$ Weiterhin gilt der Impulssatz: $$mv_1+mv_2=mv_1=mv'_1+mv'_2 \, .$$ Umstellen dieser Gleichung nach $v'_1$ ergibt: $$v'_1=v_1-v'_2 \, .$$ Dies wird in die obige Formel für die Geschwindigkeiten eingesetzt: $$v_1^2=(v_1-v'_2 )^2+v'^2_2=v_1^2-2v_1 v'_2+2v'^2_2 \, .$$ Umstellen dieser Gleichung ergibt: $$0=v'_2 (v_1-v'_2 ) \, .$$ Dies ist erfüllt, wenn gilt: $$v'_2=v_1 \, .$$ Setzt man dies nun in die Formel für $v'_1$ ein, so folgt: $$v'_1=v_1-v'_2=v_1-v_1=0 \, .$$ Die beiden Körper tauschen also ihre Geschwindigkeiten: Körper 1 kommt zur Ruhe, Körper 2 bewegt sich mit $v_1$ weiter. ********************************************************* ##### Zusammenfassung Wir kennen nun zwei grundsätzliche Herangehensweise zur Berechnung mechanischer Fragestellungen: - Auswertung der auf einen Körper wirkenden Kräfte und Anwendung des 2. Newtonschen Axioms - Betrachtung von Impuls- und Energiesatz Der Lösungsweg über das 2. Newtonsche Axiom erfordert die Kenntnis aller auf einen Körper (oder in einem System mehrerer Körper) wirkenden Kräfte in ihrer räumlichen und zeitlichen Abhängigkeit. Zudem ist er rechnerisch aufwändiger, da er die Integration der Bewegungsgesetze erfordert (Beschleunigung, Geschwindigkeit, Weg). Im Gegenzug liefert diese Herangehensweise die vollständigen Informationen über den Bewegungsablauf in Form des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes und Orts-Zeit-Gesetzes. Der Ansatz über die Erhaltungssätze ist einerseits konzeptionell einfacher, da keine detaillierte Kenntnis der wirkenden Kräfte erforderlich ist. Zudem ist diese Herangehensweise auch rechnerisch einfacher, da keine Integration erforderlich ist. Allerdings liefert dieser Lösungsweg auch nicht den vollständigen Bewegungsablauf, sondern nur eine Aussage über einzelne Zustände, insbesondere Ausgangs- und Endzustand einer Wechselwirkung. Ferner sind die Erhaltungssätze nur unter bestimmten Voraussetzungen anwendbar: Der Impulssatz gilt nur in abgeschlossenen Systemen, der Energiesatz nur bei konservativen Prozessen. Welcher dieser Lösungswege im konkreten Fall zu wählen ist, hängt von der jeweiligen Problemstellung ab. Sind beide Ansätze anwendbar, wird zweckmäßigerweise der einfachere gewählt. ### Rotation — Dreh- und Kreisbewegung --{{0}}-- In den bisherigen Abschnitten zur Mechanik wurden geradlinige Bewegungen betrachtet, die zur besseren Unterscheidung im Folgenden als Translation bezeichnet werden sollen. Bewegungen auf gekrümmten Bahnen wurden dabei als Superposition von geradlinigen Bewegungen aufgefasst. Darüber hinaus ist es sinnvoll für bestimmte Bewegungsarten eigene Größen und Gesetzmäßigkeiten zu formulieren. In den folgenden Abschnitten werden dies zunächst Rotationsbewegungen sein. --{{1}}-- Die Rotation ist eine Sonderform der zweidimensionalen Bewegung, zu der sowohl die Bewegung eines Massepunktes auf einer Kreisbahn mit festem Radius (Kreisbewegung) als auch die Eigenrotation eines ausgedehnten Körpers um seine „Körperachse“ (Drehbewegung) gezählt wird. Letztere lässt sich nicht im Modell der Punktmasse beschreiben. Hierfür wird das Modell des starren Körpers eingeführt. Dieser stellt eine unveränderliche (insbesondere unverformbare) Masseverteilung dar. --{{2 Deutsch Female}}-- Wann ist es aber überhaupt sinnvoll, neue Größen für eine bestimmte Bewegung zu definieren? Es gibt hierfür zwei Argumente: Zum einen, wenn sich die mathematische Beschreibung durch die neuen Größen vereinfacht. Zum anderen, wenn durch die neuen Größen eine anschaulichere Beschreibung möglich ist, da charakteristische Eigenschaften besser zum Ausdruck kommen. --{{3 Deutsch Female}}-- Das Vorgehen bei der Betrachtung der Rotation folgt dem gleichen Schema wie bei der Translation: Zunächst werden in einer kinematischen Betrachtung Größen zur Beschreibung dieser Bewegungsform definiert. Anschließend werden in der Dynamik der Rotation Bewegungszustände und ihre Änderungen betrachtet. #### Kinematik der Rotation Bewegt sich ein Massepunkt auf einer Kreisbahn, so ändert sich permanent die Richtung seiner Geschwindigkeit, da diese tangential zur Kreisbahn orientiert ist. Damit ist die Kreisbewegung stets eine beschleunigte Bewegung, selbst wenn der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist. Damit der Geschwindigkeitsvektor stets tangential zur Kreisbahn verläuft, muss diese permanente Beschleunigung radial zum Zentrum der Kreisbahn gerichtet sein. Daher wird sie als Zentripetalbeschleunigung $\vec{a}_\mathrm z$ bezeichnet (siehe nachfolgende Abbildung).  ##### Drehwinkel und Winkelgeschwindigkeit Zur Beschreibung einer Kreisbewegung definieren wir ein kartesisches Koordinatensystem, wobei die Kreisbahn in der $(x,y)$-Ebene liegt (siehe Abbildung). Der Ursprung dieses Koordinatensystems entspricht der Drehachse, d.h. dem Zentrum der Kreisbahn. Die Drehachse selbst ist somit identisch mit der $z$-Achse des Koordinatensystems.  Neben diesen kartesischen Koordinatenachsen werden für die Kreisbewegung weitere wichtige Einheitsvektoren definiert (siehe folgende Abbildung): Die Richtung der Drehachse wird durch den axialen Einheitsvektor $\vec e_\mathrm{ax}$ repräsentiert. Weiterhin wird für jeden Punkt auf der Kreisbahn der radiale ($\vec e_\mathrm{rad}$) und der tangentiale Einheitsvektor ($\vec e_\mathrm{tang}$) definiert. Während der axiale Einheitsvektor konstant ist, ändern radialer und tangentialer Einheitsvektor eines Massepunktes bei der Kreisbewegung permanent ihre Richtung.  Da der Ursprung des (kartesischen) Koordinatensystems im Zentrum der Kreisbahn liegt, ist folglich der Betrag des Ortsvektors $|\vec{r}|$ des betrachteten Massepunkts identisch mit dem (unveränderlichen) Radius der Kreisbahn $r$. Zur Ortsbestimmung $\vec{r}(t)$ des Massepunktes genügt dann eine skalare Angabe des aktuellen Drehwinkels $\phi(t)$ (bezogen auf die $x$-Achse, gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn – siehe obere Abbildung). Zwischen den kartesischen Koordinaten und dem Drehwinkel bestehen die Zusammenhänge: $$\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot \cos \phi(t) \\ r \cdot \sin \phi(t) \end{pmatrix} \, .$$ Der in einer gewissen Zeitdauer zurückgelegte Weg $s$ entspricht einem Kreisbogen. Mit den Gesetzen der Geometrie gilt: $$\begin{aligned} & s = r (\phi_\mathrm{Ende} - \phi_\mathrm{Anfang}) \\ \textrm{bzw.} \quad & s= r \cdot \Delta \phi \\ \textrm{bzw.} \quad & \mathrm ds = r \cdot \textrm{d} \phi \, . \end{aligned}$$ Analog zur Geschwindigkeit der Translation (= geradlinige Bewegung) lässt sich auch für den Drehwinkel eine Änderungsrate angeben. Sie wird als Winkelgeschwindigkeit $\omega$ bezeichnet und ist definiert als: $$\omega = \frac{\textrm d \phi}{\textrm d t} \qquad \textrm{Einheit: } [\omega] = \mathrm s^{-1} \quad \textrm{(Winkelangabe im Bogenmaß).}$$ Selbstverständlich ist auch die Rotation durch eine Bewegungsrichtung gekennzeichnet. Die Winkelgeschwindigkeit soll diese Richtung widerspiegeln – es muss sich also um eine vektorielle Größe $\vec{\omega}$ handeln. Dazu wird neben dem oben definierten Betrag auch eine Richtung festgelegt. Die Winkelgeschwindigkeit wird dabei als axialer Vektor definiert, d.h. ihre Richtung verläuft entlang der Drehachse. Damit steht der Winkelgeschwindigkeitsvektor senkrecht auf der Ebene der Kreisbahn. Für ihre Richtung gilt die Rechte-Hand-Regel: Zeigt der ausgestreckte Daumen der rechten Hand in Richtung des $\vec{\omega}$-Vektors, so zeigen die gekrümmten Finger dieser Hand die Drehrichtung des Massepunkts an (siehe Abbildung).   Mit den oben eingeführten Einheitsvektoren lässt sich die Winkelgeschwindigkeit folgendermaßen angeben: $$\vec\omega = \frac{\mathrm d \phi}{\mathrm d t}\cdot\vec e_\mathrm{ax} \, .$$ Weiterhin kann natürlich auch für die Kreisbewegung eine (translatorische) Geschwindigkeit $\vec{v}$ als zeitliche Änderung des Ortsvektors $\vec{r}$ angegeben werden. Zur besseren Unterscheidung wird sie als Bahngeschwindigkeit bezeichnet. Für sie gilt in Komponentenschreibweise bei konstantem Bahnradius $r$: $$\begin{aligned} \vec{v} & = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dt}\vec{r} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left[ r \cdot \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix} \right] \\ & = r \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm dt} \begin{pmatrix} \cos \phi \\ \sin \phi \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -\sin \phi \cdot \dot{\phi} \\ \cos \phi \cdot \dot{\phi} \end{pmatrix} \\ & = r \cdot \dot{\phi} \cdot \begin{pmatrix}-\sin \phi (t) \\ \cos \phi (t)\end{pmatrix} \, . \end{aligned}$$ Der letzte Klammerausdruck ist identisch mit dem Einheitsvektor $\vec e_\mathrm{tang}$. Ferner gilt $\dot{\phi}= \omega$. Damit erhält man: $$\vec{v}=\dot{\vec{r}} = r\omega \cdot \vec{e}_\mathrm{tang} \, .$$ Der gleiche Ausdruck ergibt sich bei Bildung des Kreuzprodukts $\vec{\omega} \times \vec{r}$. Es gilt also (bei konstantem Bahnradius): $$\vec{v}= \dot{\vec{r}} =\vec{\omega} \times \vec{r} \, .$$ Für den Betrag der Bahngeschwindigkeit folgt: $v=\omega r$. Ihre Richtung verläuft stets tangential zur Kreisbahn. ##### Beschleunigung bei der Kreisbewegung Verläuft eine Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, so spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Wie oben bereits diskutiert, ändert sich auch in diesem Fall die Bahngeschwindigkeit. Es liegt also eine (Bahn-) Beschleunigung vor. Im allgemeinen Fall kann sich auch die Winkelgeschwindigkeit der Rotation ändern. In diesem Fall definiert man die Winkelbeschleunigung $\vec{\alpha}$ als zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit: $$\vec{\alpha} = \frac{\mathrm d \vec{\omega}}{\mathrm dt} \qquad \textrm{Einheit: } [\vec{\alpha}] = \mathrm s^{-2}$$ Aus dieser Definition folgt, dass auch die Winkelbeschleunigung ein axialer Vektor ist: $$\vec\alpha=\alpha\cdot\vec e_\mathrm{ax} \, .$$ Analog zur Translation lassen sich mit den Größen $\alpha, \omega$ und $\phi$ die Bewegungsgesetze der Rotation aufstellen. So gilt für die gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung: $$\begin{aligned} \alpha & = \textrm{const.} \\ \omega(t) & = \alpha t + \omega_0 \\ \phi (t) & = \frac{\alpha}{2} t^2 + \omega_0 t +\phi_0\end{aligned}$$ Für die Bahnbeschleunigung als zeitliche Änderung der Bahngeschwindigkeit ergibt sich: $$\vec{a} = \dot{\vec{v}} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t } (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \dot{\vec{r}}$$ Die Bahnbeschleunigung enthält also zwei Komponenten. Für den ersten Ausdruck erhalten wir mit $\dot{\vec{\omega}}= \vec{\alpha}$: $$\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r} =\alpha r\cdot\left(\vec e_\mathrm{ax}\times\vec e_\mathrm{rad}\right) = \alpha r \cdot \vec{e}_\mathrm{tang} \equiv \vec{a}_\mathrm t \, .$$ Dies ist die Tangentialkomponente der Bahnbeschleunigung, die eine Änderung des Betrages der Bahngeschwindigkeit verursacht. Sie tritt nur bei Vorliegen einer Winkelbeschleunigung auf. Für die zweite Komponente der Bahnbeschleunigung erhalten wir: $$\vec{\omega} \times \dot{\vec{r}} = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) \, .$$ Für ein solches doppeltes Kreuzprodukt bietet die Mathematik die allgemeine Formel: $$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c}(\vec{a} \cdot \vec{b}) \, .$$ Angewendet auf obigen Ausdruck folgt: $$\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = \vec{\omega} (\vec{\omega} \cdot \vec{r}) - \vec{r}(\vec{\omega} \cdot \vec{\omega}) \, .$$ Mit $\vec{\omega} \perp \vec{r}$ wird das Skalarprodukt $\vec{\omega} \cdot \vec{r}= 0$ und es gilt: $$\vec{\omega} \times\dot{\vec{r}} = -\omega^2 \vec{r} \equiv \vec{a}_\mathrm r \, .$$ Dies ist die Radialkomponente der Bahnbeschleunigung. Sie ist stets zum Koordinatenursprung gerichtet und somit identisch mit der eingangs bereits qualitativ hergeleiteten Zentripetalbeschleunigung $\vec{a}_\mathrm z$. Diese Komponente bewirkt eine permanente Richtungs-, jedoch keine Betragsänderung der Bahngeschwindigkeit. Für ihren Betrag gilt (mit $v=\omega r$): $$a_\mathrm r = \omega^2 r = \frac{v^2}{r} \, .$$ Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom existiert zu jeder translatorischen Beschleunigung eine Kraft. Folglich muss auch zu den beiden Komponenten der Bahnbeschleunigung die zugehörige tangentiale und radiale Kraftkomponente vorliegen. Die tangentiale Kraftkomponente ändert den Betrag der Bahngeschwindigkeit und damit die kinetische Energie des Massepunkts. Sie verrichtet also Beschleunigungsarbeit, wie auch aus der Definition der Arbeit $\mathrm dW=\vec{F} \cdot \vec{\mathrm d s}$ mit $\vec{F} \, || \, \vec{\mathrm ds}$ beziehungsweise $\vec{F} \, || \, \vec{v}$ folgt. Die radiale Komponente der Kraft bewirkt lediglich eine Richtungsänderung der Bahngeschwindigkeit. Analog zur Zentripetalbeschleunigung heißt diese Kraft Zentripetalkraft $\vec{F}_\mathrm z$. Sie ändert nicht die kinetische Energie des Massepunktes, kann also keine Arbeit verrichten. Tatsächlich ergibt sich mit $\vec{F}_\mathrm z \perp \vec{\mathrm d s}$ für diese Kraft $\mathrm dW=\vec{F}_\mathrm z \cdot \vec{\mathrm ds}=0$. #### Dynamik der Rotation Nachdem bisher Rotationsbewegungen nur beschrieben wurden, soll jetzt auch die Ursache dieser Bewegungen – d.h. genauer der Änderung eines Rotationsbewegungszustands – untersucht werden. Zu Beginn steht auch hier die Feststellung, dass ein rotierender Massepunkt oder Körper seinen Rotationszustand nur durch eine Wechselwirkung mit der Umgebung ändert. Zunächst muss also eine Größe gefunden werden, die die Stärke dieser Wechselwirkung ausdrückt. In der Translation wurde hierfür die Kraft eingeführt als Maß der Wechselwirkung zwischen Körpern. Für die Rotation hingegen reicht die Kraft zur Beschreibung der Wechselwirkungen nicht aus. Stattdessen ergeben sich folgende experimentelle Erkenntnisse: - Nur tangential angreifende Kräfte ändern den Rotationszustand. Radial wirkende Kräfte haben keinen Einfluss darauf. - Damit eine Kraft eine Rotationsänderung hervorruft, muss sie in einem endlichen Abstand von der Drehachse angreifen. Kräfte, die an der Drehachse angreifen, haben keinen Einfluss auf den Rotationszustand. - Die Stärke der Wechselwirkung wächst mit dem Betrag der (tangential angreifenden) Kraft sowie mit zunehmendem Abstand von der Drehachse, in dem diese Kraft angreift. Diese Feststellungen führen zur Definition des **Drehmoments** $\vec{M}$: $$\vec{M} =\vec{r} \times \vec{F} \quad M= rF \cdot \sin \angle(\vec{r},\vec{F}) \quad \textrm{Einheit: } [\vec{M}] = 1~\mathrm{Nm} \, .$$ Diese Definition enthält alle geforderten Eigenschaften der Wechselwirkung: Das Kreuzprodukt zwischen Radiusvektor und Kraft berücksichtigt nur tangentiale Kraftkomponenten, und der Betrag des Drehmoments widerspiegelt die gefundenen Abhängigkeiten von $r$ und $F$. Die Richtung des Drehmoments ist durch das Kreuzprodukt eindeutig festgelegt und zeigt entlang der Drehachse; es handelt sich also auch hier um einen axialen Vektor: $$\vec M = rF \cdot \sin \angle(\vec{r},\vec{F}) \cdot\vec e_\mathrm{ax} \, .$$ Als Ausdruck des quantitativen Zusammenhangs zwischen Drehmoment und Rotationszustandsänderung wird eine Formel analog dem zweiten Newtonschen Axiom der Translation gesucht. Zur Bestimmung dieser Formel setzen wir das Newtonsche Grundgesetz in der Form $\vec{F}=m\vec{a}$ in die Definition des Drehmoments ein: $$\begin{aligned} \vec{M} & =\vec{r} \times \vec{F} = m \cdot \vec{r} \times \vec{a} \\ & = m \cdot \vec{r} \times (\vec{a}_\mathrm t + \vec{a}_\mathrm r) \\ & = m\vec{r} \times \vec{a}_\mathrm t + m\vec{r} \times \vec{a}_\mathrm r \, . \end{aligned}$$ Der letzte Summand ist dabei null, da $\vec{r} \, || \, \vec{a}_\mathrm r$. Mit der Definition der Tangentialbeschleunigung (siehe oben) gilt weiterhin: $$\vec{M} = m\vec{r} \times \vec{a}_\mathrm t = m\vec{r} \times (\vec{\alpha} \times \vec{r}) = m\vec{\alpha} r^2 - m \vec{r}(\vec{r} \cdot \vec{\alpha}) \, .$$ Da $\vec{r} \perp \vec{\alpha}$ , gilt $\vec{r} \cdot \vec{\alpha} = 0$ und es folgt: $$\vec{M} = mr^2\vec{\alpha} \, .$$ Diese Formel folgt dem gleichen Schema wie das Newtonsche Grundgesetz $\vec{F}=m \cdot \vec{a}$ („Wechselwirkung = Trägheit $\cdot$ Beschleunigung“), wenn der Ausdruck $mr^2$ als Maß für die Trägheit bei der Rotation aufgefasst werden kann. Tatsächlich bestätigen Experimente die Schlussfolgerung, dass für die Trägheit bezüglich der Rotation neben der Masse einer Punktmasse auch deren (quadratischer) Abstand von der Drehachse entscheidend ist. Basierend auf diesem experimentellen Ergebnis sowie auf der obigen theoretischen Herleitung definieren wir daher das **Trägheitsmoment** $J$: $$J = mr^2 \qquad \textrm{Einheit: } [J] = 1~\mathrm{kg\cdot m^2} \, .$$ Diese Formel gilt zunächst nur für eine Punktmasse. Ein ausgedehnter (starrer) Körper kann als ein Ensemble vieler infinitesimaler Punktmassen gedacht werden. Integration der Trägheitsmomente aller dieser Einzel-Punktmassen über das gesamte Körpervolumen liefert dann das Trägheitsmoment des Körpers. Für grundlegende Körperformen (Kugel, Zylinder usw.) sind die resultierenden Formeln in Nachschlagewerken zu finden. Damit kann das zweite Newtonsche Axiom der Rotation wie folgt geschrieben werden: $$\vec{M} = J\vec{\alpha} \, .$$ Es ist anzumerken, dass diese Formel nur bei konstantem Trägheitsmoment gilt, d.h. sowohl Masse als auch Bahnradius der Rotation müssen konstant sein. #### Der Drehimpuls Für die Translation wurde der Impuls definiert nach dem Schema „Trägheit $\cdot$ Geschwindigkeit“. Wir können nach gleichem Schema eine analoge Größe für die Rotation definieren, indem wir das Trägheitsmoment $J$ als Maß für die Trägheit sowie die Winkelgeschwindigkeit verwenden. So erhalten wir den **Drehimpuls** $L$: $$\vec{L}= J\vec{\omega} \quad \textrm{Einheit: } [\vec{L}] = 1~\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm s}$$ Tatsächlich zeigt das Experiment, dass der Drehimpuls für die Rotation die gleiche Bedeutung hat wie der Impuls für die Translation. So ist der Drehimpuls der quantitative Ausdruck eines Rotationsbewegungszustands. Damit kann das zweite Newtonsche Axiom in allgemeinerer Form ausgedrückt werden, die auch Änderungen des Trägheitsmoments zulässt: $$\vec{M}=\dot{\vec{L}} \qquad \textrm{bzw.} \qquad \int_{t_1}^{t_2} \vec{M} \mathrm dt = \Delta \vec{L} \, .$$ Qualitativ ausgedrückt bedeutet diese Formel, dass durch das Einwirken eines Drehmoments der Drehimpuls eines Körpers oder Massepunkts verändert wird. Des Weiteren gilt auch für den Drehimpuls ein Erhaltungssatz innerhalb abgeschlossener Systeme. Zur bisherigen Definition eines abgeschlossenen Systems kommt nun jedoch die Forderung nach dem Fehlen äußerer Drehmomente hinzu. D.h. ein abgeschlossenes System liegt vor, wenn - keine Teilchen das System verlassen oder betreten können, - keine äußeren Kräfte einwirken und - keine äußeren Drehmomente einwirken. Damit lautet der **Drehimpulserhaltungssatz**: > In einem abgeschlossenen System ist der (Gesamt-) Drehimpuls eine > Erhaltungsgröße. Der Drehimpuls kann in Bezug auf den translatorischen Impuls $\vec{p}$ auch in folgender Form definiert werden: $$\vec{L}= \vec{r} \times \vec{p} \, .$$ Beide Definitionen sind identisch, wie folgende Rechnung zeigt: $$\begin{aligned} \vec{r} \times \vec{p} & = m\vec{r} \times \vec{v} \\ & = m\vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = m[\vec{\omega}(\vec{r} \cdot \vec{r})- \vec{r}(\vec{r}\cdot \vec{\omega})] \\ & = m\vec{\omega}(\vec{r}\cdot \vec{r}) = mr^2\vec{\omega} \\ & = J\vec{\omega} \end{aligned}$$ #### Energie der Rotation Bei der Behandlung der Translation hatten wir festgestellt, dass in der Bewegung eines Körpers Energie gespeichert ist (= kinetische Energie). Es stellt sich die Frage, ob gleiches auch für die Rotationsbewegung gilt. Um dies zu untersuchen betrachten wir folgendes Experiment: Ein Jo-Jo wird als Ganzes aus einer gewissen Höhe $h_0$ fallen gelassen. Es führt dabei einen freien Fall mit der Fallbeschleunigung $g$ aus. Energetisch betrachtet wird dabei potentielle Energie in kinetische umgewandelt. Für die Fallstrecke gilt der Zusammenhang: $$E^\mathrm{oben}_\mathrm{pot} = E^\mathrm{unten}_\mathrm{kin} \qquad \textrm{bzw.} \qquad mgh_0 = \frac{m}{2} v^2_\mathrm{unten} \, .$$ Nun wird das Jo-Jo am Fadenende gehalten. Bei der Bewegung nach unten führt es keinen freien Fall aus, sondern rotiert so, dass der Faden abgewickelt wird. Dabei bewegt es sich signifikant langsamer nach unten als im freien Fall. Die kinetische Energie der Translation am Ende der Fallstrecke ist also kleiner als im obigen Fall. Der „fehlende“ Energiebetrag ist in der Rotationsbewegung gespeichert. Der allgemeine Zusammenhang $$E^\mathrm{oben}_\mathrm{pot} = E^\mathrm{unten}_\mathrm{kin}$$ gilt dabei weiterhin. Die kinetische Energie setzt sich nun jedoch aus zwei Anteilen zusammen: der Translations- und der Rotationsenergie: $$E_\mathrm{kin} = E_\mathrm{trans} + E_\mathrm{rot} \, .$$ In Analogie zur Translation und in Einklang mit experimentellen Ergebnissen definieren wir die Rotationsenergie: $$E_\mathrm{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2 \, .$$ Bei der Betrachtung der kinetischen Energie sind die jeweils vorliegenden Bewegungsformen (Translation / Rotation) zu unterscheiden. Bei einer reinen Translation eines Körpers besitzt dieser selbstverständlich nur Translationsenergie. Rotiert ein Körper um seine eigene Achse ohne sich als Ganzes fortzubewegen, so liegt eine reine Rotation vor und die gesamte kinetische Energie dieses Körpers ist als Rotationsenergie gespeichert. Eine Rollbewegung ist eine Überlagerung von Translation (Fortbewegung des Körpers als Ganzes) und Rotation (Drehung um die Körperachse). In diesem Fall teilt sich die kinetische Energie auf Translations- und Rotationsenergie auf. Das Verhältnis, in dem Translations- und Rotationsenergie zueinander stehen, wird bestimmt durch den Rollradius sowie die Massenverteilung bezüglich der Drehachse – eine große Masse in weiter Entfernung von der Drehachse erzeugt ein höheres Trägheitsmoment und demzufolge einen höheren Anteil Rotationsenergie. #### Zusammenfassung Die folgende Übersicht stellt analoge Größen von Translation und Rotation einander gegenüber und nennt die Zusammenhänge zwischen diesen Größen. Position eines Massepunkts ========================== - Translation: Ortsvektor $\vec r$ oder Weg $s$ - Rotation: Winkel $\phi$ - Zusammenhang: $\mathrm ds = r\cdot \mathrm d\phi$ oder: $\Delta s = r\cdot \Delta\phi$ Geschwindigkeit =============== - Translation: $\vec v = \frac{\mathrm d\vec r}{\mathrm d t}$ - Rotation: $|\vec{\omega}| = \frac{\mathrm d \phi}{\mathrm dt}$ - Zusammenhang: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ beziehungsweise: $v = \omega r$ Beschleunigung ============== - Translation: $\vec{a}= \frac{\mathrm d \vec{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d^2 \vec{r}}{\mathrm dt^2}$ - Rotation: $\vec{\alpha} = \frac{\mathrm d \vec{\omega}}{\mathrm dt}$ - Zusammenhang: $\vec{a}_\mathrm t = \vec{\alpha} \times \vec{r}$ und $\vec{a}_\mathrm z = - \omega^2 \vec{r}$ Wechselwirkung ============== - Translation: Kraft $\vec{F}$. - Rotation: Drehmoment $\vec{M}$. - Zusammenhang: $\vec{M}= \vec{r} \times \vec{F}$ beziehungsweise: $M = rF$, wenn $\vec{r} \perp \vec{F}$ Trägheit ======== - Translation: Masse $m$. - Rotation: Trägheitsmoment $J$. - Zusammenhang: $J = mr^2$ (Punktmasse) 2. Newtonsches Axiom ===================== - Translation: $\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}\mathrm dt = \Delta \vec{p}$ beziehungsweise: $\vec{F}=m\vec{a} \, \, (m=\textrm{const.})$ - Rotation: $\int_{t_1}^{t_2} \vec{M}\mathrm dt = \Delta L$ beziehungsweise: $\vec{M}=J\vec{\alpha} \,\,(J=\textrm{const.})$ Kinetische Energie ================== - Translation: $E_\mathrm{trans}= \frac{1}{2}mv^2$ - Rotation: $E_\mathrm{rot} = \frac{1}{2} J \omega^2$ - Zusammenhang: $E_\mathrm{kin,gesamt} =E_\mathrm{trans} + E_\mathrm{rot}$ Impuls/ Drehimpuls ================== - Translation: Impuls $\vec{p}= m\vec v$ - Rotation: $\vec{L}=J \vec{\omega}$ beziehungsweise: $L = J\omega$ - Zusammenhang: $\vec{L}= \vec{r} \times \vec{p}$ beziehungsweise: $L = rp$, wenn $\vec{r} \perp \vec{p}$ ### Mechanische Schwingungen --{{0}}-- Mechanische Schwingungen sind ein Spezialfall der Bewegung, bei dem sich ein definierter Bewegungsablauf permanent wiederholt. Aufgrund ihres häufigen und vielfältigen Auftretens besitzt diese Bewegungsform eine hohe praktische Bedeutung. Daher werden auch hierfür eigene Größen und Gesetze definiert, die die Charakteristik der Schwingung – den sich wiederholenden Bewegungsablauf – widerspiegeln. #### Kinematik der Schwingung Schwingungen treten nicht nur in der Mechanik, sondern in allen Teilbereichen der Physik auf. Entsprechend allgemein fällt die Definition einer Schwingung aus: > Eine Schwingung ist eine zeitlich periodische Änderung einer beliebigen > physikalischen Größe. Bei mechanischen Schwingungen ist es die periodische Änderung einer mechanischen Größe – in der Regel eine Auslenkung $x$. Es können sich jedoch auch beliebige andere Größen zeitlich periodisch ändern, z.B. Geschwindigkeit, Kraft, Energie,… Wir betrachten zunächst allgemein eine beliebige physikalische Größe $A(t)$, die einer periodischen Änderung unterliegt, d.h. die eine Schwingung ausführt. In der folgenden Abbildung sind zwei mögliche Verläufe dieser periodischen Änderung durch Sinus- und Kosinusfunktion dargestellt. Tatsächlich kann der funktionale Verlauf $A(t)$ aber beliebig periodisch sein. Weitere technisch bedeutsame Schwingungen sind beispielsweise Rechteck, Dreieck und Sägezahn. Im Rahmen dieses Kurses beschäftigen wir uns jedoch nur mit sogenannten harmonischen Schwingungen. Diese werden durch eine einzelne Sinus- oder Kosinusfunktion beschrieben.  Zur Beschreibung der Schwingung definieren wir neue Größen (siehe obige Abbildung): - $A_0$ … Amplitude – Maximale Auslenkung; Die Werte von $A(t)$ liegen stets im Intervall $[-A_0;A_0 ]$. - $T$ … Periodendauer – Zeit zum Durchlaufen einer vollständigen Periode $[T]=1~\mathrm s$ - $f= \frac{1}{T}$ … Frequenz – Zahl der Schwingungen pro Zeiteinheit $[f] = 1~\mathrm s^{-1}= 1~\mathrm{Hz}\,$ - $\omega=2\pi \cdot f=\frac{2\pi}{T}$ … Kreisfrequenz #### Die freie, ungedämpfte Schwingung (am Beispiel des Federschwingers) Eine Schwingung wird als *frei* bezeichnet, wenn sie (nach der anfänglichen Auslenkung) nicht durch eine äußere Kraft angetrieben wird. Die Bezeichnung *ungedämpft* heißt, dass keine Reibungskräfte existieren sollen, was in realen Experimenten selbstverständlich nur näherungsweise der Fall sein kann. Für die mathematische Beschreibung betrachten wir folgendes Federpendel (siehe Abbildung): - Masse $m$ an einer - Feder mit Federkonstante $k$, - lineare Auslenkung in $x$-Richtung, - Ruhelage bei $x=0$.  Aus der Dynamik wissen wir, dass die Feder ihrer Auslenkung die Federkraft entgegensetzt, d.h., es wirkt die Kraft $$F_\mathrm F = -kx \, .$$ Die Richtung dieser Kraft weist stets zur Ruhelage der Feder. Eine solche *rücktreibende* Kraft ist Voraussetzung für eine mechanische Schwingung. Zur Bestimmung des Bewegungsablaufs setzen wir das zweite Newtonsche Axiom (in der vereinfachten Form) an: $$F= ma = m \ddot{x} \, .$$ Mit der Federkraft gilt demnach für das Federpendel: $$-kx = m \ddot{x}$$ beziehungsweise nach Umstellen: $$\ddot{x}= -\frac{k}{m}x \, .$$ Mathematisch betrachtet handelt es sich hierbei um eine lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Verbal ausgedrückt besagt diese Formel, dass eine Funktion $x(t)$ gesucht ist, die bei zweimaliger Ableitung wieder sich selbst (mit negativem Vorzeichen und einem Vorfaktor) ergibt. Aus der Mathematik wissen wir, dass Sinus- & Kosinusfunktionen diese Forderung erfüllen. Daher wollen wir untersuchen, ob eine solche Funktion tatsächlich diese Differentialgleichung erfüllt. Wir wählen den allgemeinen Ansatz: $$x(t)= A \cdot \sin(\omega_0 t +\sigma) \, .$$ Um diesen Ansatz zu überprüfen, müssen wir die Funktion $x(t)$ zweimal ableiten und in die Bewegungsgleichung einsetzen. Es gilt: $$\dot{x}(t)= A \cdot \omega_0 \cdot \cos(\omega_0 t + \sigma)$$ und $$\ddot{x}(t) = -A \cdot \omega_0^2 \cdot \sin(\omega_0 t + \sigma) \, .$$ Eingesetzt in die obige Differentialgleichung ergibt sich: $$\begin{aligned} \ddot{x} &= -\frac{k}{m} x \\ -A \cdot \omega_0^2 \cdot \sin(\omega_0 t + \sigma) &= - \frac{k}{m} \cdot A \cdot \sin(\omega_0 t + \sigma) \, .\end{aligned}$$ Dies ist erfüllt, wenn gilt $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \, .$$ Damit ist unser Ansatz bestätigt und zugleich eine Formel für die Kreisfrequenz gefunden. Für die Periodendauer eines Federpendels ergibt sich $$T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \, .$$ Die beiden Größen $A$ und $\sigma$ sind bisher noch offengeblieben. Sie ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. $A$ ist leicht als die Amplitude der Schwingung zu identifizieren: $A=x_0$. Die Größe $\sigma$ bestimmt, mit welchem Schwingungszustand die Schwingung zum Zeitpunkt $t=0$ startet (Ruhelage, Maximalauslenkung oder ein beliebiger Zwischenzustand). Beginnt beispielsweise die Schwingung bei maximaler Auslenkung, so gilt $\sigma= \frac{\pi}{2}$ , und das Orts-Zeit-Gesetz des Federschwingers lautet: $$x(t) = x_0 \cdot \sin(\omega_0 t + \frac{\pi}{2}) = x_0 \cdot \cos(\omega_0 t) \, .$$ ##### Anmerkung zur Energie eines Federschwingers Das Federpendel besitzt – je nach aktuellem Schwingungszustand – unterschiedliche Beträge der kinetischen und potentiellen Energie: $$E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2} k x^2$$ sowie $$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 \, .$$ Setzen wir für $x$ und $\dot{x}$ unser Orts-Zeit-Gesetz beziehungsweise dessen erste Ableitung ein (siehe oben), so erhalten wir: $$E_\mathrm{pot} = \frac{1}{2} k x_0^2 \cos^2(\omega_0 t)$$ und $$E_\mathrm{kin} = \frac{1}{2} m x_0^2 \frac{k}{m} \sin^2(\omega_0 t) \, .$$ Sowohl potentielle als auch kinetische Energie schwingen, d.h., sie ändern sich zeitlich periodisch. Für die Gesamtenergie ergibt sich: $$\begin{aligned} E_\mathrm{ges} & = E_\mathrm{pot} + E_\mathrm{kin}\\ & = \frac{1}{2} k x_0^2 \left[\sin^2(\omega_0 t) + \cos^2(\omega_0 t)\right] \\ & = \frac{1}{2}k x_0^2 = \mathrm{const} \, . \end{aligned}$$ Die Gesamtenergie des Pendels bleibt also stets konstant. Sie wird nur zwischen kinetischer und potentieller Energie hin und her transformiert. #### Die freie gedämpfte Schwingung (am Beispiel des Federschwingers) Um in der mathematischen Beschreibung einer Schwingung auch die Reibung zu berücksichtigen, muss diese als weitere Kraftkomponente aufgenommen werden. Als Gesamtkraft wird dann für das Federpendel angesetzt: $$F_\mathrm{gesamt} = F_\mathrm F + F_\mathrm{Reib} \, .$$ Ausgangspunkt zur Ermittlung der Bewegungsgesetze ist nach wie vor das zweite Newtonsche Axiom, in das nun beide Kraftkomponenten eingesetzt werden müssen: $$F_\mathrm{gesamt} = F_\mathrm F + F_\mathrm{Reib} = m \ddot{x} \, .$$ Der Reibung können unterschiedliche Mechanismen zu Grunde liegen (z.B. Festkörper-, Flüssigkeits- oder Gasreibung). Entsprechend existieren verschiedene Formeln für die Reibungskraft. Die weitere mathematische Herleitung (auf die wir hier verzichten) wird dadurch rechnerisch aufwändiger, folgt aber dem gleichen Schema wie zuvor. Im Ergebnis zeigt diese Herleitung ebenso wie das Experiment, dass auch gedämpfte Pendel eine Schwingung ausführen können. Dabei nimmt jedoch die Amplitude im zeitlichen Verlauf ab. Die mathematische Herleitung für diesen Fall liefert das Orts-Zeit-Gesetz $$x(t)=x_0 e^{-\delta t} \cdot \sin(\omega t + \sigma) \, .$$ Die Größe $\delta$ charakterisiert die Stärke der Dämpfung. Der Ausdruck $x_0 e^{-\delta t}$ widerspiegelt die zeitliche Abnahme der Amplitude. Eine genaue Betrachtung zeigt zudem, dass die Kreisfrequenz nun abgenommen hat. D.h., die Schwingung verläuft (geringfügig) langsamer als im ungedämpften Fall: $\omega < \omega_0$. Tatsächlich tritt dieses Verhalten jedoch nur auf, wenn die Dämpfung hinreichend klein ist. Bei zu großer Dämpfung kann das Pendel nicht mehr schwingen[^1]. [^1]: Von einer Schwingung wird gesprochen, wenn das Pendel mindestens einmal seine Ruhelage durchquert. Die theoretische Herleitung liefert – ebenso wie die experimentellen Befunde – eine Unterscheidung in drei verschiedene Bewegungsabläufe, die in Abhängigkeit von der Stärke der Dämpfung auftreten können: - Schwingfall: Bei hinreichend kleiner Dämpfung schwingt das System: Die Ruhelage wird mindestens einmal durchquert, bevor das Pendel zur Ruhe kommt. Die Stärke der Dämpfung bestimmt, wieviel Zeit bis zum Stillstand vergeht. - Kriechfall: Bei sehr großer Dämpfung schwingt das Pendel nicht: Die Ruhelage wird nicht durchquert. Das Pendel kehrt lediglich langsam in die Ruhelage zurück. - Aperiodischer Grenzfall: Dieser tritt bei genau einem Wert der Dämpfung auf. Dabei schwingt das Pendel nicht, sondern kehrt schnellstmöglich in die Ruhelage zurück, ohne diese zu durchqueren. Kleinere Dämpfungen führen in den Schwingfall, größere in den Kriechfall. Der aperiodische Grenzfall besitzt große Bedeutung für Systeme, bei denen eine Schwingung durch geeignete Dämpfung vermieden werden soll, zum Beispiel der Stoßdämpfer am Auto oder die Dämpfung einer Schwingtür. #### Erzwungene Schwingungen Bisher wurden Schwingungen betrachtet, die – abgesehen von der erstmaligen Auslenkung – ohne äußere Krafteinwirkung abliefen. Nun soll der Fall betrachtet werden, dass von außen eine Kraft auf das Pendel einwirkt und es „antreibt“. Diese Kraft soll periodisch wirken mit beliebiger Frequenz (nicht zwangsläufig die Eigenfrequenz des Pendels). Auf die mathematische Behandlung verzichten wir hier. Wir stützen unsere Feststellungen auf experimentelle Ergebnisse. Ist die Erregerfrequenz sehr verschieden von der Eigenfrequenz des Pendels (deutlich größer oder deutlich kleiner), so werden nur sehr kleine Amplituden erreicht. Das Pendel schwingt dabei mit der Erregerfrequenz, nicht mit seiner Eigenfrequenz. Liegt die Erregerfrequenz jedoch sehr nah an der Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems, so werden sehr große Amplituden erreicht. Dieser Fall wird als Resonanz bezeichnet. Dabei wird in jeder Periode Energie vom Erreger auf das Pendel übertragen, sodass dessen Amplitude stetig anwächst. Ist das schwingungsfähige System ausreichend stark gedämpft, so stellt sich früher oder später ein Gleichgewicht ein, bei dem durch die Reibung genau so viel Energie abgeführt wird, wie durch die Erregung eingebracht wird. Die Amplitude wächst dann nicht weiter an, sondern bleibt begrenzt. Bei geringer Dämpfung kann im Resonanzfall aber die Amplitude und die Bewegungsgeschwindigkeit des Pendels so stark anwachsen, dass es schließlich zu einer Beschädigung oder Zerstörung des schwingungsfähigen Systems kommen kann. Ein eindrucksvolles Beispiel für diese „Resonanzkatastrophe“ ist der Einsturz der Tacoma Narrows Bridge. ## Wärmelehre --{{0}}-- Die Wärmelehre beschäftigt sich mit den Zuständen und Zustandsänderungen thermodynamischer Systeme. Jeder Körper (egal ob fest, flüssig oder gasförmig) sowie jede Kombination von Körpern – eingeschlossen in einem Behälter mit definiertem Volumen – stellt ein thermodynamisches System dar. Der Zustand eines solchen Systems wird durch eine Reihe sogenannter Zustandsgrößen beschrieben. Diese bilden auch den ersten thematischen Schwerpunkt dieses Kapitels. --{{1}}-- Ein zweiter Schwerpunkt befasst sich mit der Betrachtung der Energie thermodynamischer Systeme. Neben den bekannten Energieformen der Mechanik wird in diesem Zusammenhang die innere Energie eines Systems eingeführt. Schließlich wird auch für thermodynamische Systeme das Prinzip der Energieerhaltung formuliert. ### Zustandsgrößen und Zustandsgleichung Der Zustand eines thermodynamischen Systems wird durch sogenannte Zustandsgrößen beschrieben. Dazu gehören insbesondere: - Volumen $V$: Dieses wird durch den umschließenden Behälter festgelegt. - Teilchenzahl $N$: Die Anzahl $N$ der im thermodynamischen System enthaltenen (mikroskopischen) Teilchen. Anstelle der Teilchenzahl kann auch die Masse $m$ des Systems angegeben werden. Des Weiteren ist eine Angabe der Stoffmenge $n$ möglich. Es gilt der Zusammenhang $$N = n \cdot N_\mathrm A \qquad \textrm{Einheit: } [n] = 1~\mathrm{mol}\, .$$ Dabei ist $N_\mathrm A = 6{,}022\cdot 10^{23}~\mathrm{mol^{-1}}$ die Teilchenanzahl in einem Mol (Avogadro-Konstante). - Temperatur $\vartheta$ bzw. absolute Temperatur $T$: Die absolute Temperatur wird in der Einheit Kelvin angegeben: $[T]=1~\mathrm K$. Für die Temperatur $\vartheta$ existieren weitere Einheiten wie die Celsius-Skala. Die Umrechnung lautet: $$\frac{T}{\mathrm K} = \frac{\vartheta}{\mathrm{°C}} + 273{,}15 \, .$$ In den Formeln der Wärmelehre wird stets die absolute Temperatur angewendet! - Druck $p$: Die Teilchen, aus denen das thermodynamische System besteht, stoßen in ihrer Bewegung gegen die Wände des Behälters und üben damit eine Kraft $F$ auf diese aus. Der Druck in einem thermodynamischen System ist definiert als $$p= \frac{F}{A} \qquad \textrm{Einheit: } [p] = 1~\frac{\mathrm N}{\mathrm m^2} = 1~\mathrm{Pa} \quad \textrm{(Pascal),}$$ wobei $A$ die Fläche der Gefäßwand ist, auf die die Kraft $F$ wirkt. Diese Größen sind nicht unabhängig voneinander. Tatsächlich bestehen zwischen ihnen funktionale Zusammenhänge. Eine mathematische Gleichung, die einen Zusammenhang zwischen Druck, Temperatur, Teilchenzahl und Volumen herstellt, wird als **Zustandsgleichung** eines thermodynamischen Systems bezeichnet. Zur Beschreibung realer Systeme werden auch in der Wärmelehre Modelle angewendet, anhand derer Herleitungen und Berechnungen durchgeführt werden können. Das einfachste Modell eines thermodynamischen Systems ist das **ideale Gas**. Dabei gelten die folgenden vereinfachenden Annahmen: 1. Die Gasteilchen werden als Punktmassen aufgefasst, deren Volumen vernachlässigbar klein ist. Dadurch steht ihnen in ihrer Bewegung das gesamte Behältervolumen zur Verfügung. 2. Die Teilchen treten miteinander und mit den Wänden nur in elastischen Stößen in Wechselwirkung. Eine gegenseitige Anziehung oder Abstoßung findet jedoch nicht statt. In der Realität erfüllen Gase, die sich deutlich oberhalb ihrer Kondensationstemperatur und bei nicht zu hohem Druck befinden, diese Annahmen sehr gut. So kann beispielsweise Luft unter Normalbedingungen als ideales Gas aufgefasst werden. Für ein ideales Gas gilt die Zustandsgleichung: $$pV = nRT \, .$$ Dabei ist $R=8{,}314~\frac{\mathrm J}{\mathrm{mol\cdot K}}$ die allgemeine Gaskonstante. Alle möglichen Zustände (charakterisiert durch die Größen $p$, $V$, $n$ und $T$), die ein ideales Gas annehmen kann, erfüllen diese Zustandsgleichung. Andere Zustände sind für ein ideales Gas nicht möglich. Mit der Zustandsgleichung können Zustandsänderungen eines thermodynamischen Systems (sogenannte thermodynamische Prozesse) berechnet werden. Um das prinzipielle Vorgehen einer solchen Berechnung zu verdeutlichen, betrachten wir beispielhaft folgenden Prozess: Ein ideales Gas wird, ausgehend von dem Druck $p_0$ und der Temperatur $T_0$ in ein festes Volumen $V$ eingeschlossen und auf die Temperatur $T_1>T_0$ erwärmt. Als Folge dieser Erwärmung wird sich der Druck des Gases ändern. Zunächst wird unterschieden, welche Größen bei dem zu untersuchenden Vorgang konstant bleiben und welche sich verändern. Für das obige Beispiel gilt: - konstante Größen: Stoffmenge $n$, Volumen $V$ - veränderliche Größen: Temperatur $T$, Druck $p$ Nun wird die Zustandsgleichung für Anfangs- und Endzustand aufgestellt: $$\begin{aligned} p_0 V &= nRT_0 \\ p_1 V &= nRT_1 \, .\end{aligned}$$ Diese Gleichungen werden jeweils so umgestellt, dass die veränderlichen Größen $p$ und $T$ auf der einen Seite stehen, während die konstanten Größen $n$, $V$ und $R$ auf der anderen Seite erscheinen: $$\frac{p_0}{T_0} = \frac{nR}{V} = \frac{p_1}{T_1} \, .$$ Damit ergibt sich: $$p_1 = p_0 \cdot \frac{T_1}{T_0} > p_0 \, .$$ Der Druck steigt also in Folge der Erwärmung an. Verallgemeinert ergibt sich für konstante Stoffmenge und konstantes Volumen: $$\frac{p}{T} = \mathrm{const.} \qquad \textrm{bzw.} \quad p \propto T \, .$$ Andere Zustandsänderungen können ganz analog behandelt werden. Nach der jeweils konstanten Zustandsgröße benennt man die Zustandsänderungen: - isotherm: $T = \mathrm{const}$ - isobar: $p= \mathrm{const}$ - isochor: $V = \mathrm{const}$ (siehe obiges Beispiel) Neben der Berechnung einer Zustandsänderung lassen sich thermodynamische Prozesse grafisch darstellen, indem jeweils zwei Zustandsgrößen in einem Diagramm gegeneinander aufgetragen werden. Besonders häufig werden hierfür $p$-$V$-Diagramme genutzt (siehe folgende Abbildung). Dabei ergeben isotherme Prozesse eine Hyperbel ($p\propto V^{-1})$, isobare Prozesse erscheinen als horizontale Gerade ($p=\mathrm{const}$) und isochore Prozesse als vertikale Gerade ($V=\mathrm{const}$).  ### Temperatur, innere Energie und Wärme Die Teilchen (Atome, Moleküle), aus denen ein thermodynamisches System besteht, sind in ständiger (ungeordneter) Bewegung, selbst dann, wenn das System insgesamt in Ruhe ist. Aufgrund des ungeordneten Charakters dieser Bewegung und der großen Teilchenanzahl realer Systeme ist die Vektorsumme aller Einzel-Geschwindigkeiten null, weswegen das Gesamtsystem keine Bewegung aufweist. Trotzdem ist in dieser ungeordneten Bewegung kinetische Energie gespeichert. Diese wird als **thermische Energie** $E_\mathrm{therm}$ oder **innere Energie** $U$ des thermodynamischen Systems bezeichnet. Auch sie ist eine Zustandsgröße des Systems. Die innere Energie eines thermodynamischen Systems ist mit der Temperatur verknüpft. Exakter ausgedrückt: Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens im Körper: $$\overline{E_\mathrm{kin}} = \frac{1}{2} m \overline{v^2} \propto T \, .$$ Die thermische Energie eines Systems ist die Summe aller Einzelenergien der Teilchen, aus denen das System besteht. Folglich gilt: $$E_\mathrm{therm} \propto N \cdot T \, .$$ Befinden sich zwei thermodynamische Systeme miteinander in Kontakt, so wissen wir aus Erfahrung, dass sich ihre Temperaturen einander angleichen. Das wärmere System kühlt ab, während das kältere erwärmt wird. Man spricht vom thermodynamischen Gleichgewicht zweier Systeme, wenn sie dieselbe Temperatur besitzen. Allgemein können wir formulieren: > Zwei miteinander in Kontakt stehende thermodynamische Systeme streben ein > thermodynamisches Gleichgewicht an. Befinden sich die Systeme A und B im > thermodynamischen Gleichgewicht und die Systeme B und C im thermodynamischen > Gleichgewicht, so sind auch die Systeme A und C im thermodynamischen > Gleichgewicht. Diese Aussage wird als **Nullter Hauptsatz der Wärmelehre** bezeichnet. Beim Temperaturausgleich gibt das wärmere System thermische Energie ab und kühlt dabei ab. Das kältere System nimmt diese Energie auf, wodurch es sich erwärmt, bis die Temperaturen beider Systeme übereinstimmen. Thermische Energie kann also zwischen thermodynamischen Systemen übertragen werden. Diese übertragene thermische Energie wird als **Wärme** $Q$ bezeichnet. Ihre Einheit ist das Joule: $[Q]=1~\mathrm J$. Durch die Zu- oder Abfuhr von Wärme wird also die innere Energie und damit die Temperatur eines thermodynamischen Systems verändert. Wie groß diese Temperaturänderung bei einem vorgegebenen Wärmeaustausch ausfällt, hängt vom Körper bzw. dessen Material ab. In jedem Fall ist die Temperaturänderung proportional zur aufgenommenen oder abgegebenen Wärme: $$Q \propto \Delta T \, .$$ Diese Proportionalität gilt, solange keine Änderung des Aggregatzustands (fest – flüssig – gasförmig) erfolgt. Der Proportionalitätsfaktor in diesem Zusammenhang wird als **Wärmekapazität** $C$ bezeichnet und gibt an, welche Wärme einem Körper zugeführt werden muss, um dessen Temperatur um $1~\mathrm K$ zu erhöhen: $$Q = C \cdot \Delta T \qquad \textrm{Einheit: } [C] = 1~\frac{\mathrm J}{\mathrm K} \, .$$ Die Wärmekapazität eines Körpers hängt ab von dessen Masse und dem Material, aus dem er besteht. Für jedes Material lässt sich eine **spezifische Wärmekapapzität** $c$ bestimmen, die angibt, welche Wärme erforderlich ist, um $1~\mathrm{kg}$ dieses Materials um $1~\mathrm K$ zu erwärmen. Besteht ein Körper der Masse $m$ nur aus einem Material der Wärmekapazität $c$, so gilt: $$Q = mc \Delta T \qquad \textrm{Einheit: } [c]= 1~\frac{\mathrm J}{\mathrm{kg\cdot K}} \, .$$ Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt $c_\mathrm W=4{,}19~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\cdot K}}$. Dies ist mehr als zehnmal so viel wie für die meisten festen Körper. Daher eignet sich Wasser gut zur Wärmespeicherung oder Wärmeübertragung. Mit diesen Formeln können nun auch Wärmeaustauschprozesse berechnet werden, wie sie beispielsweise beim Mischen zweier Flüssigkeiten stattfinden. Der Wärmeaustausch findet so lange statt, bis beide Körper dieselbe Temperatur $T_\mathrm M$ aufweisen (Dies hatten wir oben bereits als Nullten Hauptsatz der Thermodynamik formuliert). Dabei gibt der wärmere Körper 1 die Wärme $$Q = m_1 c_1 (T_1 - T_M) = m_1 c_1 |\Delta T_1|$$ an Körper 2 ab, dessen Temperatur gemäß $$Q = m_2 c_2 (T_M - T_2) = m_2 c_2 |\Delta T_2|$$ auf die Mischungstemperatur $T_M$ ansteigt. Setzt man beide Formeln gleich (da die Wärme $Q$ in beiden Fällen den gleichen Wert hat), so erhält man nach Umstellen für die Mischungstemperatur: $$T_\mathrm M = \frac{m_1 c_1 T_1 +m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \, .$$ ### Der erste Hauptsatz der Wärmelehre Bisher wurde nur betrachtet, dass die Innere Energie eines Systems durch Zu- oder Abfuhr von Wärme verändert wurde. Aus der Mechanik wissen wir jedoch, dass auch durch die Verrichtung von Arbeit die Energie eines Körpers erhöht werden kann. Dies gilt auch für die Innere Energie eines thermodynamischen Systems. Dies führt zum **Ersten Hauptsatz der Wärmelehre**: > Die Änderung der Inneren Energie eines thermodynamischen Systems ist gleich > der Summe der Arbeit, die am oder vom System verrichtet wird, und der zu- oder > abgeführten Wärme: > > $$\Delta U = W +Q$$ Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist eine Formulierung des Energieerhaltungssatzes für thermodynamische Systeme. Er kann auf alle thermodynamischen Prozesse angewendet werden. Hinweis zum Gebrauch der Vorzeichen: Wird Arbeit *an* einem thermodynamischen System verrichtet (z.B. indem ein Gas komprimiert wird), so erhöht dies die Innere Energie, und diese Arbeit wird positiv gerechnet ($W>0$), ebenso wie zugeführte Wärme. Abgegebene Wärme und Arbeit, die *vom* System verrichtet wird (z.B. indem sich ein Gas ausdehnt) erhalten negative Vorzeichen, da sie die Innere Energie verringern. Betrachten wir nun beispielhaft ein ideales Gas, das anfangs ein Volumen $V_1$ einnimmt und dessen Volumen verkleinert werden soll. Im $p$-$V$-Diagramm (siehe Abschnitt [Zustandsgrößen und Zustandsgleichung](#zustandsgrößen-und-zustandsgleichung)) bewegen wir uns folglich von rechts nach links und sehen, dass der Druck dabei zunimmt. Dazu muss Arbeit gegen den Druck des Gases verrichtet werden: $$\mathrm{d}W = F \cdot \mathrm{d}s = p \cdot A \cdot \mathrm{d}s = p \cdot \mathrm{d}V$$ beziehungsweise $$W = \int p \mathrm{d}V \, .$$ Da diese Arbeit *am* System verrichtet wird, erhöht sie die Innere Energie und damit die Temperatur des Systems. Soll der Vorgang isotherm ablaufen, so muss gleichzeitig die Wärme $-Q=W$ abgeführt werden (daher das negative Vorzeichen). Erfolgt kein Wärmeaustausch mit der Umgebung (man spricht dann auch von einem adiabatischen Prozess), so erhöht sich die Temperatur des Gases. Dieser Effekt wird unter anderem in Dieselmotoren zur Zündung des Kraftstoff-Luft-Gemischs ausgenutzt. ### Aggregatzustände und Umwandlungswärme Bisher wurde stets der Fall betrachtet, dass Wärme, die einem System zugeführt wird, vollständig in thermische Energie übergeht, das heißt, sie führt zu einer Temperaturerhöhung. Wie oben bereits erwähnt, gilt dies jedoch nur, solange sich der Aggregatzustand des Systems nicht ändert. Eine kontinuierliche Temperaturerhöhung führt jedoch früher oder später zum Erreichen der Schmelz- oder Siedetemperatur eines festen bzw. flüssigen Körpers. Beim Schmelzen oder Sieden werden die Bindungen zwischen den einzelnen Teilchen im System aufgespalten. Dafür ist Energie erforderlich, die aus der zugeführten Wärme stammt. Während dieser Umwandlungsprozesse führt die Wärmezufuhr folglich nicht zu einer Temperaturänderung. Man spricht daher auch von latenter (verborgener) Wärme, da sie keine Temperaturänderung hervorruft. Die zugeführte Wärmeenergie ist dennoch im System gespeichert (in Form von Bindungsenergie) und wird bei Abkühlung während der Kondensation oder des Gefrierens wieder abgegeben. Beispielhaft sollen hier die Phasenübergänge von Wasser betrachtet werden, ausgehend von Eis bei einer Temperatur $\vartheta \lt 0~\mathrm{°C}$. Die Wärmezufuhr erwärmt das Eis zunächst bis auf $\vartheta = 0~\mathrm{°C}$, wobei die Temperaturänderung der zugeführten Wärme proportional ist: $\Delta T \propto Q$. Bei einer Temperatur von $0~\mathrm{°C}$ schmilzt das Eis, und die Temperatur steigt (vorerst) trotz fortwährender Wärmezufuhr nicht an. Erst wenn alles Eis geschmolzen ist, steigt die Temperatur wieder proportional zur Wärmezufuhr an, solange bis die Siedetemperatur von $\vartheta = 100~\mathrm{°C}$ erreicht ist. Während des Siedens wiederum bleibt die Temperatur konstant und steigt erst dann weiter an, wenn alles Wasser in Dampf umgewandelt wurde. Dieser Vorgang ist in seinem zeitlichen Verlauf schematisch in der folgenden Abbildung dargestellt (unter der Annahme, dass eine konstante Wärmezufuhr erfolgt, also $Q \propto \Delta t$). Man beachte, dass die Anstiege der Geraden in den drei Bereichen unterschiedlich sind, da Eis, Wasser und Dampf unterschiedliche spezifische Wärmekapazitäten aufweisen.  Die zur Phasenumwandlung erforderliche Energie ist materialabhängig und als spezifische Umwandlungswärme $q_\mathrm u$ (beziehungsweise genauer als spezifische Schmelzwärme $q_\mathrm s$ und spezifische Verdampfungswärme $q_\mathrm v$) tabelliert. Ihre Einheit ist $$[q_\mathrm u]=1~\frac{\mathrm J}{\mathrm{kg}} \, .$$ Die spezifischen Umwandlungswärmen sind um Größenordnungen größer als die zur Erwärmung um $1~\mathrm K$ erforderlichen spezifischen Wärmen. ## Elektrizitätslehre --{{0}}-- Die Behandlung der Elektrizitätslehre beginnt mit der Feststellung einer Wechselwirkung, die mit den bisherigen Erkenntnissen dieses Kurses nicht erklärt werden kann. Darauf aufbauend wird der Begriff der elektrischen Ladung eingeführt, die den Ursprung dieser Wechselwirkung darstellt. Die Elektrizitätslehre kann dann als Lehre von den Eigenschaften und Wechselwirkungen elektrischer Ladungen definiert werden. Bereits in der Antike wurde diese Wechselwirkung beispielsweise bei Bernstein beobachtet. Daher stammt auch die Bezeichnung Elektrizität: das griechische Wort für Bernstein lautet ‚*elektron*‘ (ἤλεκτρον). --{{1}}-- Im ersten Abschnitt der Elektrizitätslehre werden die Eigenschaften dieser Wechselwirkung und der damit verbundenen Kraft betrachtet. Insbesondere werden dabei auch Arbeit und Energie für diese Kraft hergeleitet. Die Ladungen selbst werden dabei weitgehend als ruhend angesehen. Daher wird dieser Teilbereich der Elektrizitätslehre als Elektrostatik bezeichnet. --{{2 Deutsch Female}}-- Der zweite Teilbereich der Elektrizitätslehre in diesem Physikkurs beschäftigt sich mit Ladungen in kontinuierlicher Bewegung, wie sie in elektrischen Stromkreisen auftritt. Dort werden die Grundprinzipien zur Beschreibung des elektrischen Stromflusses in einfachen und verzweigten Stromkreisen behandelt. Ausgehend von der bereits in der Elektrostatik eingeführten elektrischen Energie wird hier auch auf die elektrische Leistung eingegangen. ### Elektrische Ladungen – Elektrostatik Zunächst soll die in der Einführung bereits erwähnte Wechselwirkung qualitativ beschrieben werden. Beobachten lässt sie sich beispielsweise, wenn geeignete Materialien aneinander gerieben werden (z.B. Bernstein an einem Katzenfell). Offensichtlich sprechen Körper sehr unterschiedlich auf diese Wechselwirkung an. Wir führen daher den Begriff der Ladung ein, der – zunächst als qualitative Eigenschaft – angibt, wie stark ein Körper auf diese Wechselwirkung reagiert. Aus experimentellen Beobachtungen schlussfolgern wir die Eigenschaften der elektrischen Ladung beziehungsweise der zugehörigen Wechselwirkung: - Es gibt zwei Arten von Ladungen; diese werden als positiv ($+$) und negativ ($-$) bezeichnet. - Zwischen gleichartigen Ladungen ($++$ oder $--$) herrscht eine abstoßende Wechselwirkung, während sich verschiedenartige Ladungen ($+-$) gegenseitig anziehen. - Ungleichnamige Ladungen kompensieren sich gegenseitig. Ein Körper ist „ungeladen“, wenn er die gleiche Anzahl positiver und negativer Ladungen trägt. Er ist dabei nicht frei von Ladungen. - Ladungen lassen sich trennen (z.B. durch Reibung geeigneter Materialien aneinander). Dabei entsteht ein Ungleichgewicht zwischen positiven und negativen Ladungen, und die betreffenden Körper sind „geladen“. Elektrische Ladungen können jedoch nicht erzeugt werden. Das Aufladen eines Körpers geschieht stets durch Ladungstrennung! - Ladungen sind (nahezu) beliebig teilbar. Ladungen sind immer an Materie gebunden. Mikroskopische Teilchen, die stets dieselbe Ladung tragen, werden als Ladungsträger bezeichnet. Hierzu zählen insbesondere Elektronen und Protonen; aber auch Ionen können als mikroskopische Ladungsträger betrachtet werden. Im Rahmen der Elektrostatik werden diese Ladungstäger zunächst als ruhend betrachtet. Bei Verwendung des Begriffs ‚Ladung‘ wird oftmals nicht scharf zwischen den Ladungsträgern und der (qualitativen und später auch quantitativen) Eigenschaft eines Körpers unterschieden. Wenn beispielsweise von der Übertragung von Ladungen gesprochen wird, bedeutet dies stets, dass Ladungsträger übertragen werden. #### Coulombkraft und elektrisches Feld Die oben qualitativ beschriebene Wechselwirkung trägt den Namen elektrostatische oder Coulomb-Wechselwirkung. Wie in der Mechanik wird die Stärke dieser Wechselwirkung durch eine Kraft – die Coulombkraft – beschrieben. Um diese Kraft quantitativ ausdrücken zu können, wird nunmehr auch die Ladung nicht mehr nur als qualitative Eigenschaft, sondern als physikalische Größe eingeführt. Die **elektrische Ladung** erhält das Formelzeichen $Q$. $$\textrm{Einheit: } [Q]= 1~\mathrm{As} = 1~\mathrm C \quad \textrm{(Coulomb)}$$ Aus dem Millikan-Experiment (auf dessen Behandlung hier verzichtet wird) folgt, dass die Ladung eine gequantelte Größe ist. D.h., es existiert eine kleinste, unteilbare Ladung, die sogenannte Elementarladung $e$. Jede in der Natur vorkommende Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung. Sie beträgt $$e = 1{,}602\cdot 10^{-19}~\mathrm C \, .$$ Beispielweise trägt ein Elektron genau diese Elementarladung: $Q_\mathrm{El}=-e$. Elektronen sind in vielen Fällen für den Transport von Ladungen verantwortlich – z.B. für den Stromfluss in Metallen, aber auch für die Ladungstrennung durch Reibung (Triboelektrizität). Mit der elektrischen Ladung kann nun eine Formel für die Coulombkraft angegeben werden: Befinden sich zwei Ladungen $Q_1$ und $Q_2$ im Abstand $r$ voneinander, so beträgt diese Kraft: $$F_\mathrm C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \, .$$ Die im Vorfaktor auftretende Konstante $\varepsilon_0$ heißt elektrische Feldkonstante. Andere Bezeichnungen sind Influenzkonstante oder Permittivität des Vakuums. Ihr Wert beträgt (Quelle: [CODATA2018](https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?ep0)): $$\varepsilon_0 = 8{,}854\cdot 10^{-12}~\frac{\mathrm{A \, s}}{\mathrm{V \, m}} \, .$$ Die obige Formel gibt nur den Betrag der Kraft an, nicht ihre Richtung. Wie oben bereits qualitativ diskutiert, wirkt diese Kraft immer entlang der Verbindungslinie beider Ladungen – entweder anziehend ($+-$) oder abstoßend ($++$ oder $--$). Die Richtung der Coulombkraft wird also ausgedrückt durch den Verbindungsvektor $\vec r$ zwischen beiden Ladungen, beziehungsweise durch dessen Richtung $\vec e_r$: $$\vec F_\mathrm C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2} \cdot \vec e_r \, .$$ Ausgehend vom Coulombgesetz lässt sich folgende Überlegung anstellen: Befindet sich irgendwo im Raum eine Ladung $Q$, wird eine zweite Probeladung $q$ an jeder Stelle des Raumes eine Kraft spüren, die von ihrer Position relativ zu $Q$ abhängt. Man sagt, im Raum herrsche ein **elektrisches Feld** $\vec{E}$, das durch die Ladung $Q$ erzeugt wird und das die Kraftwirkung vermittelt. Es gilt ganz allgemein: $$\vec{F}= q\vec{E} \, .$$ Vergleicht man diese Formel mit der Coulombkraft, so ergibt sich für das elektrische Feld, das durch die Ladung $Q$ erzeugt wird: $$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \cdot \vec{e_r} \, .$$ Da die Kraft eine vektorielle Größe ist, gilt gleiches auch für das elektrische Feld. Seine Richtung zeigt entlang des Verbindungsvektors $\vec{e_r}$ zwischen $Q$ und $q$. Das elektrische Feld kann in Feldlinienbildern dargestellt werden. Mit Feldlinien zeigt man an, in welche Richtung eine positive Probeladung eine Kraft erfahren würde. Der Feldlinienverlauf einer Ladungsanordnung kann auch experimentell sichtbar gemacht werden, da sich ungeladene Partikel im elektrischen Feld in Form der Feldlinien ausrichten. Zu Demonstrationszwecken werden hierfür in der Regel Grieskörner verwendet, die in Rhizinusöl schwimmen. Für die Darstellung von elektrischen Feldlinienbildern gelten folgende Konventionen, die die experimentellen Beobachtungen widerspiegeln: - Feldlinien beginnen beziehungsweise enden an elektrischen Ladungen. - Die Richtung der Feldlinien weist von positiven Ladungen weg und zu negativen Ladungen hin (Kraftwirkung auf positive Probeladung). - Die Dichte der Feldlinien gibt Auskunft über die Stärke des Feldes und damit auch über den Kraftbetrag. Dichtere Feldlinien widerspiegeln eine höhere Feldstärke. Für Punktladungen ergeben sich damit die nachfolgend gezeigten Feldlinienbilder:    #### Homogenes elektrisches Feld — Plattenkondensator In den bisher gezeigten Feldlinienbildern ist die Feldstärke ortsabhängig: die Feldlinien verlaufen je nach Position in unterschiedliche Richtungen und mit unterschiedlicher Dichte. Solche Felder werden als *inhomogen* bezeichnet. Den Gegensatz dazu bildet ein *homogenes* Feld, wie es in der nachfolgenden Abbildung gezeigt ist. Dort stehen sich zwei ebene, homogen geladene Metallplatten parallel gegenüber. Im Zentrum zwischen diesen Platten verlaufen die Feldlinien parallel im gleichen Abstand zueinander. Die Feldstärke ist in diesem Bereich nicht mehr ortsabhängig: $\vec E(\vec r)=\overrightarrow{\mathrm{const}}$.  Die im obigen Bild gezeigte Anordnung aus zwei parallelen geladenen Platten wird als Plattenkondensator bezeichnet. Wie in der Darstellung erkennbar ist, treten an den Rändern der Platten Inhomogenitäten des elektrischen Felds auf. Ein idealer Plattenkondensator müsste zur Vermeidung dieser Inhomogenitäten theoretisch unendlich ausgedehnt sein. Praktisch sollte der Plattenabstand um mindestens eine Größenordnung kleiner sein als der Plattendurchmesser, um im Inneren ein ausgedehntes homogenes Feld zu erhalten. #### Die elektrische Spannung Anhand des Plattenkondensators lässt sich die **elektrische Spannung $U$** als eine weitere zentrale Größe der Elektrizitätslehre einführen: Werden die beiden Platten wie oben gezeigt unterschiedlich aufgeladen, so liegt zwischen Ihnen eine Spannung an, die durch $$U = Ed$$ gegeben ist, wobei $d$ den Abstand der Kondensatorplatten und $E$ den Betrag der (homogenen) elektrischen Feldstärke bezeichnet. Die Einheit der Spannung ist das Volt: $$[U] = 1~\mathrm V = 1~\frac{\mathrm{kg\cdot m^2}}{\mathrm{A\cdot s^3}} \, .$$ Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für die beiden Kondensatorplatten, sondern allgemein innerhalb eines homogenen Felds zwischen zwei Punkten, die im Abstand $d$ entlang der Feldlinien voneinander entfernt liegen. Stellt man die obige Gleichung um, so erhält man die Feldstärke in einem Plattenkondensator bei vorgegebener Spannung: $$E = \frac{U}{d} \, .$$ Für beliebige (inhomogene) elektrische Felder lässt sich kein einfacher Zusammenhang zwischen Feldstärke und Spannung angeben. Doch auch dort gilt, dass das elektrische Feld immer mit einer Spannung verknüpft ist. Innerhalb eines elektrischen Felds lässt sich stets eine Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten angeben beziehungsweise messen. #### Kapazität eines Kondensators Das elektrische Feld des Plattenkondensators wird durch die auf den Platten befindlichen Ladungen verursacht. Gleiches gilt für die Spannung zwischen den Kondensatorplatten, die ja unmittelbar mit dem elektrischen Feld verknüpft ist. Sowohl experimentelle Untersuchungen als auch theoretische Berechnungen zeigen, dass diese Spannung proportional zur Ladung auf den Kondensatorplatten ist: $$Q = C \cdot U$$ Der in dieser Formel auftretende Proportionalitätsfaktor $C$ wird als **Kapazität** bezeichnet. Ihre Einheit ist $$[C] = 1~\frac{\mathrm{A \, s}}{\mathrm V} = 1~\mathrm F \quad \textrm{(Farad)} \, .$$ Die Kapazität widerspiegelt das „Speichervermögen“ des Kondensators, das in zweierlei Weise aufgefasst werden kann: 1. Auf den Kondensator wird eine definierte Ladungsmenge $Q$ aufgebracht: Die dabei auftretende Spannung zwischen den Kondensatorplatten wird durch die Kapazität bestimmt. Kondensatoren größerer Kapazität erreichen bei gleicher Ladung kleinere Spannungen. 2. Der Kondensator wird auf eine vorgegebene Spannung $U$ aufgeladen: Die Kapazität des Kondensators bestimmt, welche Ladungsmenge dabei auf den Kondensatorplatten gespeichert wird. Kondensatoren größerer Kapazität speichern bei gleicher Spannung eine größere Ladungsmenge. Die Kapazität eines Plattenkondensators wird durch dessen Geometrie bestimmt: $$C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm r A}{d} \, .$$ Der zusätzliche Faktor $\varepsilon_\mathrm r$ ist die relative Permittivität (Dielektrizitätszahl) des Füllmaterials zwischen den Kondensatorplatten. Selbstversändlich sollte dieses Füllmaterial keinen Ladungstransport ermöglichen, da sonst der Kondensator unmittelbar wieder entladen würde. Solche Materialien werden als Isolatoren oder Dielektrika bezeichnet. Für Vakuum oder Luft ist $\varepsilon_\mathrm r=1$. Dielektrika mit großem $\varepsilon_\mathrm r$ steigern die Kapazität des Kondensators. Plattenkondensatoren besitzen äußerst geringe Kapazitäten (Größenordnung: einige $~\mathrm{pF}$). Sie dienen hauptsächlich der Erzeugung homogener Felder für Experimente. Für den elektrotechnischen Einsatz existieren andere Bauformen mit höherer Kapazität. Alle Arten von Kondensatoren beruhen auf dem Prinzip, dass auf zwei voneinander isolierten Elektroden Ladungen gespeichert werden. Ebenso gilt für alle Bauformen die Proporptionalität $Q=CU$. Lediglich der Zusammenhang zwischen Kapazität und Geometrie des Kondensators hängt von der Bauform ab. #### Energie des elektrischen Felds – Coulombenergie Bewegt sich ein Ladungsträger oder ein (makroskopischer) geladener Körper durch ein elektrisches Feld, so geschieht dies unter permanenter Einwirkung der Coulombkraft. Aus der Mechanik wissen wir, dass bei der Bewegung eines Körpers unter dem Einfluss einer Kraft Arbeit verrichtet wird. Dieser Grundsatz gilt selbstverständlich auch im Zusammenhang mit der Coulombkraft. Ausgangspunkt zur Berechnung der Arbeit, die bei Bewegung in einem elektrischen Feld verrichtet wird, ist die Kraft auf eine Probeladung $q$: $$\vec F = q \vec E \, .$$ Wird die Ladung $q$ entgegen dieser Kraft bewegt, so muss die Arbeit $$\mathrm d W = \vec F \vec{\mathrm{d}s} = -q \vec E \vec{\mathrm{d}s}$$ verrichtet werden. Das negative Vorzeichen bedeutet dabei, dass die Bewegung entgegen der Kraft erfolgt. Für die weitere Beschreibung führen wir das **elektrische Potential** $\phi$ als neue Größe ein, indem wir die verrichtetete Arbeit durch die Probeladung teilen. Auf diese Weise erhalten wir eine Größe, die vom konkreten Betrag der Probeladung unabhängig ist: $$\mathrm{d}\phi = \frac{1}{q}\mathrm dW \, .$$ Das an dieser Stelle abstrakt eingeführte Potential $\phi$ stellt eine *messbare* Größe dar und beschreibt – wie auch die Feldstärke $\vec E$ – den felderfüllten Raum. Aus der obigen Einführung des Potentials lässt sich auch ein (einfacher) Zusammenhang zwischen Feldstärke und Potential ableiten:[^1] $$\mathrm{d}\phi = \frac{1}{q}\mathrm dW = -\vec E \vec{\mathrm{d}s} \, .$$ [^1]: Tatsächlich ist der Zusammenhang zwischen elektrischem Potential $\phi$ und Feldstärke $\vec E$ weitaus tiefgründiger. Im Rahmen dieses Kurses wird dies jedoch nicht weiter betrachtet. Die Probeladung soll nun vom Anfangsort $\vec r_1$ zum Ort $\vec r_2$ bewegt werden. Um die gesamte Arbeit zu berechnen, müssen wir entlang des Verschiebeweges von $\vec r_1$ nach $\vec r_2$ integrieren: $$W = \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \mathrm{d}W = -q \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec E \vec{\mathrm ds} = q \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \mathrm d \phi \, .$$ Aus Experimenten sowie aus einer formal-theoretischen Beschreibung des Coulombfeldes kann geschlussfolgert werden, dass der Wert dieses Integrals unabhängig ist vom konkret gewählten Weg, sondern nur von Ausgangs- und Endpunkt abhängt.[^2] Für die Arbeit im elektrischen Feld gilt dann: $$W = q \int\limits_{\vec r_1}^{\vec r_2} \mathrm d\phi = q \big(\phi(\vec r_2)- \phi(\vec r_1)\big) = qU \, .$$ [^2]: Einen ähnlichen Sachverhalt kennen wir bereits von der Energieumwandlung im Schwerefeld der Erde. Hier findet sich der Ursprung der oben bereits eingeführten elektrischen Spannung: Sie entspricht der Differenz des elektrischen Potentials zwischen zwei Punkten. Die an einer Ladung $q$ verrichtete elektrische Arbeit bleibt als Coulombenergie in dieser Ladung gespeichert. Damit ist die Coulombkraft (im Sinne der Elektrizitätslehre) eine konservative Kraft. Folglich trägt jede Ladung $q$ in einem elektrischen Feld die Energie $$E_\mathrm {C}=qU \, .$$ #### Bewegte Ladungen Freibewegliche Ladungsträger (oder auch makroskopische geladene Körper) erfahren durch die Coulombkraft eine Beschleunigung. Unter Benutzung des zweiten Newtonschen Axioms gilt: $$qE = F = ma \, .$$ Für die Beschleunigung folgt daraus: $$a = \frac{qE}{m} \, ,$$ wobei $m$ die Masse des geladenen Körpers angibt. Speziell für ein homogenes Feld lässt sich die Feldstärke durch die Spannung $U$ zwischen zwei Punkten im Abstand $d$ ersetzen: $$a = \frac{qU}{md} \, .$$ Sind alle diese Größen (insbesondere die Spannung) zeitlich konstant, so gilt $a = \mathrm{const}$ und es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor, die mit den entsprechenden [Formeln aus der Kinematik](#beschleunigte-geradlinige-bewegung) beschrieben werden kann. Bei der Beschleunigung einer Ladung im elektrischen Feld wird Coulombenergie in kinetische Energie umgewandelt. Auch hierbei gilt das Prinzip der Energieerhaltung: $$E_\mathrm{C}+E_\mathrm{kin} = \mathrm{const} \, .$$ Dieser Ansatz kann genutzt werden, um die Geschwindigkeit eines geladenen Körpers oder Teilchens nach Durchfliegen einer Spannung $U$ zu berechnen. Befindet sich das Teilchen anfangs in Ruhe, so gilt: $$\begin{aligned} E_\mathrm{C}^\mathrm{Anfang} & = E_\mathrm{kin}^\mathrm{Ende}\\ qU & = \frac{m}{2}v^2\\ v & = \sqrt{\frac{2qU}{m}} \, . \end{aligned}$$ #### Elektrischer Strom & Stromstärke Eine gerichtete Bewegung elektrischer Ladungen wird als **elektrischer Strom** bezeichnet. Dieser Stromfluss ist charakterisiert durch die Ladungsmenge $\mathrm d Q$, die in einer definierten Zeit $\mathrm d t$ durch einen Querschnitt fließt. Das führt zur Definition der **Stromstärke** $I$: $$I = \frac{\mathrm dQ}{\mathrm dt} \quad \textrm{bzw.} \quad I = \frac{Q}{t} \,\textrm{(bei konstantem Strom)} \, .$$ Ihre Einheit ist das Ampere: $$[I] = 1~\mathrm A \quad\textrm{(Ampere – SI-Grundeinheit).}$$ Grundsätzlich können alle Arten von Ladungsträgern zu einem Stromfluss beitragen. In Metallen rufen Elektronen mit der Ladung $-e$ den Stromtransport hervor. In Flüssigkeiten oder Gasen können auch positiv oder negativ geladene Ionen für den Stromtransport verantwortlich sein. Der elektrische Strom als solcher ist nicht wahrnehmbar. Er äußert sich jedoch in verschiedenen Wirkungen, anhand derer ein Stromfluss erkannt und die Stromstärke gemessen werden kann: - Thermische Wirkung: Erwärmung des Materials, durch das der Strom fließt. - Magnetische Wirkung: Erzeugung eines Magnetfeldes. Darüber hinaus können in manchen Fällen mit einem Stromfluss weitere Effekte verbunden sein: - Hervorrufen chemischer Reaktionen (z.B. Elektrolyse) - Erzeugung von Licht (z.B. Leuchtstoffröhre, LED) - Wärmetransport (z.B. Peltierelement) Voraussetzung für einen Stromfluss innerhalb eines Materials ist – neben dem Vorliegen eines elektrischen Feldes – die Existenz beweglicher Ladungsträger. Tatsächlich existieren in allen Materialien elektrische Ladungsträger (Elektronen, Ionen). In vielen Fällen sind diese jedoch so fest gebunden, dass sie sich nicht als einzelne Ladungen bewegen können. In solchen Materialien kann daher kein elektrischer Strom fließen. Sie heißen (elektrische) Isolatoren. Im Gegensatz dazu können sich die Ladungsträger in elektrischen Leitern mehr oder minder frei bewegen. In solchen Materialien können elektrische Ströme fließen. ### Stromkreise Um den Stromfluss durch einen Leiter kontinuierlich aufrecht zu erhalten, müssen permanent Ladungen zu- und abgeführt werden. Dies geschieht, indem die Enden des Leiters an eine Strom- beziehungsweise Spannungsquelle angeschlossen werden. So entsteht ein (geschlossener) Stromkreis. Der Aufbau von Stromkreisen wird in Schaltbildern dargestellt (siehe Abbildung).  #### Elektrischer Widerstand Jedes elektrisch leitfähige Material „behindert“ die Bewegung der Ladungsträger (unter anderem durch Stöße mit ungeladenen oder unbeweglichen Teilchen). Als Folge hiervon stellt sich bei einer vorgegebenen Spannung in einem elektrischen Leiter eine bestimmte Stromstärke ein. Der Quotient aus Spannung und Stromstärke wird als elektrischer Widerstand $R$ bezeichnet und charakterisiert den Leiter: $$R = \frac{U}{I} \quad \textrm{Einheit: }[R] = 1~\frac{\mathrm V}{\mathrm A} = 1~\Omega \quad\textrm{(Ohm).}$$ Der elektrische Widerstand eines Leiters ist nicht in jedem Fall konstant. Es existieren zahlreiche Bauelemente, deren Widerstand von den aktuellen Betriebsbedingungen (Stromstärke, Spannung) abhängt. Die Angabe eines einzelnen Widerstandswerts reicht in diesem Fall nicht zur Charakterisierung des Bauelements aus. Stattdessen können Kennlinien angegeben werden, die den Zusammenhang $I(U)$ zwischen Spannung und Stromstärke eines Bauelements grafisch darstellen. Beispiele für typische Kennlinien verschiedener Bauelemente zeigt die folgende Abbildung.  Im einfachsten Fall ist die Kennlinie eines elektrischen Bauelements eine Gerade. Der Widerstand dieses Bauelements ist folglich konstant und unabhängig von den Betriebsbedingungen. Solche Bauelemente werden als ohmsche Bauelemente bezeichnet, da sie dem ohmschen Gesetz gehorchen: $$R = \frac{U}{I}= \mathrm{const.}$$ Beispielsweise besitzen Metalle einen konstanten elektrischen Widerstand – zumindest, solange sie nicht durch den Stromfluss zu stark erhitzt werden. Führt hingegen die thermische Wirkung des Stroms zu einer Erwärmung des Metalls, so steigt in Folge dieser Temperaturerhöhung auch der Widerstand des metallischen Leiters an. Wenn dieser Effekt vermieden wird, zeigen Metalle ohmsches Verhalten. Damit lässt sich ein ohmscher Widerstand in Form eines homogenen Drahts realisieren. Bei gegebener Länge $l$ und Querschnittsfläche $A$ hat dieser einen elektrischen Widerstand von $$R = \rho \frac{l}{A}\, .$$ Der hier auftretende spezifische elektrische Widerstand $\rho$ ist eine Materialkonstante, die die Leitungseigenschaften charakterisiert. Ihre Einheit ist: $$[\rho]=1~\frac{\mathrm{\Omega \, mm^2}}{\mathrm m} \, .$$ Gute elektrische Leiter besitzen niedrige spezifische Widerstände. Z.B.: - Kupfer: $\rho = 0{,}017~\frac{\mathrm{\Omega \, mm^2}}{\mathrm m}$ (guter Leiter) - Blei: $\rho = 0{,}2~\frac{\mathrm{\Omega \, mm^2}}{\mathrm m}$ (schlechter Leiter) - Glas: $\rho > 1\cdot 10^{16}~\frac{\mathrm{\Omega \, mm^2}}{\mathrm m}$ (Isolator) Anmerkung zur Bezeichnung: Die Adjektive „elektrisch“ (für die physikalische Größe) und „ohmsch“ (für das Bauelement) werden häufig weggelassen und beides nur als Widerstand bezeichnet. Aus dem Zusammenhang ergibt sich dann, ob von der physikalischen Größe oder vom Bauelement die Rede ist. Der Widerstand anderer (nicht-ohmscher) Bauelemente kann von verschiedenen Einflussgrößen abhängen. Z.B.: - Temperatur (Glühlampe, Heiß- & Kaltleiter) - Spannung (Halbleiterdioden) - Helligkeit (Photowiderstand) Diese Abhängigkeiten sind Grundlage verschiedenster Bauelemente und werden auch messtechnisch genutzt. #### Kirchhoffsche Regeln Elektrische Stromkreise können durch Verzweigungen beliebig komplex werden (siehe nachfolgende Abbildung). Sie bestehen jedoch stets aus einfachen (unverzweigten) Bausteinen, die als *Maschen* bezeichnet werden und die an sogenannten *Knoten* miteinander verbunden sind. Zur Berechnung der Spannungen und Ströme in einem Stromkreis dienen die beiden Kirchhoffschen Regeln, die auch als Knoten- und Maschenregel bekannt sind.  Die Maschenregel gibt Auskunft über die Spannungen innerhalb einer Masche: > Die Summe aller Spannungen an Verbrauchern (Widerständen) in einer Masche ist > gleich der Summe der Urspannungen in dieser Masche: > > $$U_0 = U_1 + U_2 + \dots$$ Die Knotenregel gibt Auskunft über die Ströme an einem Knoten: > Die Summe aller in einen Knoten einfließenden Ströme ist gleich der Summe der > ausfließenden Ströme: > > $$I_\mathrm{ein,1} + I_\mathrm{ein,2} + \dots = I_\mathrm{aus,1} + I_\mathrm{aus,2} + \dots$$ Anhand dieser Formeln lassen sich nun die Gesamtwiderstände elektrischer Schaltungen bestimmen. Für komplexe Stromkreise werden hierzu für jeden Knoten beziehungsweise für jede Masche die entsprechenden Formeln aufgeschrieben und das daraus resultierende Gleichungssystem gelöst. Insbesondere folgen aus den Kirchhoffschen Regeln die Formeln für Parallel- und Reihenschaltung von Widerständen. Wir betrachten hierfür zwei ohmsche Widerstände. Tatsächlich gelten diese Zusammenhänge aber für beliebige Bauelemente.  Bei der *Reihenschaltung* zweier Widerstände befindet sich zwischen diesen keine Verzweigung. Aus der Knotenregel folgt, dass durch beide Widerstände derselbe Strom fließen muss. Die Maschenregel besagt, dass sich die Spannungsabfälle beider Widerstände $U_1$ und $U_2$ zur Gesamtspannung $U_\mathrm{ges}$ addieren. Sind keine weiteren Bauelemente an die Spannungsquelle angeschlossen, so ist diese Gesamtspannung gleich der Betriebsspannung der Spannungsquelle. Für den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung ergibt sich damit: $$R_\mathrm{ges} = \frac{U_\mathrm{ges}}{I} = \frac{U_1 + U_2 + \dots}{I} = \frac{U_1}{I} + \frac{U_2}{I} + \dots = R_1 + R_2 + \dots$$ Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist die Summe aller Einzelwiderstände. Bei einer *Parallelschaltung* zweier Widerstände bilden diese eine Masche. Laut Maschenregel müssen ihre Spannungsabfälle identisch sein: $U_1=U_2=U$. Der Spannungsabfall über einem der beiden Widerstände wird dabei als Urspannung dieser Masche aufgefasst. An den Knoten teilt sich der Gesamtstrom in zwei Teilströme auf, die über je einen der beiden Widerstände fließen: $I_\mathrm{ges}=I_1+I_2$. Für den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung gilt demzufolge: $$\frac{1}{R_\mathrm{ges}} = \frac{I_\mathrm{ges}}{U} = \frac{I_1 + I_2 + \dots}{U} = \frac{I_1}{U} + \frac{I_2}{U} + \dots =\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$$ Der Gesamtwiderstand ist dabei kleiner als der kleinste Teilwiderstand. #### Messung von Strom und Spannung Um den Stromfluss durch ein Bauelement zu bestimmen, muss durch das Amperemeter (Strommessgerät) derselbe Strom fließen wie durch das betrachtete Baulement. Gemäß den Kirchhoffschen Regeln müssen Amperemeter und Bauelement hierfür in Reihe (ohne dazwischenliegenden Knoten) angeschlossen werden. Allerdings besitzt das Amperemeter selbst auch einen unvermeidbaren elektrischen Widerstand (sogenannter Innenwiderstand). Die angelegte Spannung teilt sich folglich auf in einen Anteil am Bauelement und einen Anteil am Messgerät. Um die Funktion des Stromkreises möglichst wenig zu beeinflussen, benötigen Amperemeter einen möglichst kleinen Innenwiderstand. Realistisch sind dabei Werte von einigen $\mathrm{m\Omega}$. Bei der Spannungsmessung wiederum muss am Messgerät (Voltmeter) dieselbe Spannung anliegen wie am Bauelement. Folglich muss das Voltmeter parallel zum betrachteten Baulement angeschlossen werden. Da jedoch auch das Voltmeter einen endlichen Innenwiderstand besitzt, fließt ein Teil des Stroms über das Messgerät. Um die Funktion des Stromkreises möglichst wenig zu beeinflussen, muss der Stromfluss durch das Messgerät möglichst klein gehalten werden. Voltmeter benötigen also möglichst hohe Innenwiderstände, die in der Praxis im Bereich mehrerer $\mathrm{M\Omega}$ liegen. #### Elektrische Leistung Bereits im [vorangegangenen Kapitel](#energie-des-elektrischen-felds-–-coulombenergie) wurde festgestellt, dass elektrische Felder Arbeit an beweglichen Ladungsträgern verrichten, indem sie diese beschleunigen. Der Betrag dieser Arbeit war bestimmt durch die Größe der Ladung sowie durch die anliegende Potentialdifferenz: $$W_\mathrm{el} = QU \, .$$ Auch für einen kontinuierlichen Stromfluss muss permanent Arbeit gegen den elektrischen Widerstand des Leiters beziehungsweise Bauelements verrichtet werden. Wird keine elektrische Arbeit mehr verrichtet (zum Beispiel durch Abschalten der Spannung), so kommt auch der Stromfluss zum Erliegen. In der Mechanik hatten wir die Leistung definiert als den Quotienten aus verrichteter Arbeit und der dafür benötigten Zeit. Dies lässt sich selbstverständlich auch auf die elektrische Arbeit anwenden: $$P_\mathrm{el} = \frac{\mathrm d W_\mathrm{el}}{\mathrm d t} = \dot{Q} U + Q \dot{U} \, .$$ Für den Fall konstanter Spannung ($U=$const) erhalten wir: $$P_\mathrm{el} = \dot{Q}U = UI \, .$$ Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung und Strom. Hohe Ströme bewirken (bei fester Spannung) eine hohe Leistung. Die dabei verrichtete Arbeit ergibt sich aus der Leistung und der Dauer der Leistungsabgabe: $$W = \int P \mathrm dt \, .$$ Diese Arbeit wird durch den Stromfluss an den elektrischen Verbrauchern verrrichtet. Sie ist es auch, die bei der „Stromrechung“ bezahlt werden muss. Aus der obigen Gleichung folgt eine weitere Einheit der Arbeit: $$[W]=1~\mathrm{Ws} \quad \textrm{bzw.} \quad [W]=1~\mathrm{kWh} \, .$$ Dabei gilt $$1~\mathrm J = 1~\mathrm{Ws} \, .$$ Die gemeinhin als „Stromzähler“ bezeichneten Messgeräte am Hausanschluss werden korrekterweise als Kilowattstundenzähler bezeichnet, denn sie zeigen die elektrische Arbeit an, wie das folgende Foto zeigt:  An einem ohmschen Widerstand wird die gesamte durch den Strom verrichtete Arbeit in Wärme umgewandelt und an die Umgebung abgegeben (thermische Wirkung des Stroms). Andere Bauelemente setzen einen Teil der Arbeit entsprechend ihres Bestimmungszwecks um, zum Beispiel in Licht (Glühlampe, LED) oder in Bewegung (Elektromotor). Ein Teil der eingesetzten elektrischen Arbeit wird dabei jedoch stets in Wärme umgewandelt und an die Umgebung abgegeben. Der Wirkungsgrad $\eta$ gibt an, wie groß der Anteil der nutzbaren Arbeit beziehungsweise Leistung ist: $$\eta = \frac{\textrm{bestimmungsgemäß nutzbare Arbeit}}{\textrm{Gesamtarbeit}} = \frac{W_\mathrm{nutz}}{W_\mathrm{ges}} = \frac{P_\mathrm{nutz}}{P_\mathrm{ges}} = \frac{P_\mathrm{nutz}}{UI}$$ Beispielsweise besitzt eine Glühlampe einen Wirkungsgrad von nur $\eta =(3 \dots 5)\%$. Mit dem ohmschen Gesetz lassen sich weitere Formeln für die elektrische Leistung angeben: $$P_\mathrm{el} = UI = RI^2 = \frac{U^2}{R} \, .$$ Bei gleicher Stromstärke wird an Bauelementen mit großem Widerstand eine entsprechend größere Leistung umgesetzt. Bei gleicher Spannung wird an Bauelementen mit großem Widerstand eine entsprechend kleinere Leistung umgesetzt. ## Optik Die Optik befasst sich mit den Eigenschaften und der Ausbreitung des Lichts. Licht ist ein Quantenphänomen, das sich in seiner Gesamtheit unserer Vorstellung entzieht. Zur Beschreibung des Lichts nutzen wir Modelle der klassischen Physik, die die beobachtbaren Eigenschaften des Lichts widergeben und die auch unserer Anschauung zugänglich sind. Aufbauend auf die grundlegenden Verhaltensweisen des Lichts haben sich im Laufe der Zeit die folgenden drei Modelle herausgebildet, die bis heute Anwendung finden: - Das **Strahlenmodell** beschreibt die geradlinige Ausbreitung des Lichts (Strahlenoptik oder geometrische Optik). - Das **Wellenmodell** beschreibt die Welleneigenschaften des Lichts wie Interferenz und Beugung (Wellenoptik oder Physikalische Optik). - Mit **Teilchenmodell** dem werden Vorgänge beschrieben, bei denen dem Licht ein Impuls zuzuordnen ist (Teilchenoptik). In der klassischen Physik schließen sich Teilchen- und Welleneigenschaften gegenseitig aus. Das Licht trägt jedoch beide Eigenschaften und zeigt je nach experimentellem Aufbau eine dieser beiden Verhaltensweisen. Zur Beschreibung muss dann jeweils das Modell angewendet werden, das den beobachteten Eigenschaften entspricht. Keines der drei Modelle kann das Licht vollständig beschreiben. Daher ist auch eine völlige Trennung dieser Modelle nicht möglich. ### Geometrische Optik – Strahlenoptik Das einfachste Modell zur Beschreibung des Lichts ist das des Lichtstrahls. Es erlaubt grundlegende Aussagen zur Ausbreitung des Lichts, unterliegt jedoch – wie jedes physikalische Modell – gewissen Einschränkungen: - Die Abmessungen und Abstände der experimentellen Aufbauten müssen wesentlich größer sein als die Wellenlänge des Lichts (d.h. $\gg 0{,}5~\mathrm{\mu m}$), damit keine Wellenphänomene auftreten. - Es sind keine quantitativen Aussagen zu Lichtenergien oder Intensitäten möglich. - Wechselwirkungen des Lichts mit Materie können nicht beschrieben werden. Hierfür wird in der Regel die Teilchenoptik benötigt. #### Ausbreitung des Lichts, Fermatsches Prinzip Innerhalb eines homogenen Mediums breitet sich Licht geradlinig, allseitig und gleichförmig aus. Ein Gegenstand wird für uns sichtbar, wenn Licht, das von ihm ausgeht, in unser Auge gelangt. Von jedem Punkt der Oberfläche des Gegenstandes geht ein Strahlenbündel aus. Dabei spielt es keine Rolle, ob das Licht von dem betreffenden Gegenstand selbst erzeugt oder von ihm reflektiert wird. Die Ausbreitung des Lichts erfolgt mit hoher, aber endlicher Geschwindigkeit. Im Vakuum beträgt die Lichtgeschwindigkeit $$c_\mathrm{Vakuum} = c_0 = 2{,}99792458\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \approx 3\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .$$ Es ist eine der Grundaussagen der Relativitätstheorie, dass dies die größtmögliche Geschwindigkeit in der Natur ist. Innerhalb eines Mediums breitet sich das Licht mit geringerer Geschwindigkeit aus. Dies wird beschrieben durch die Brechzahl $n$ des betreffenden Mediums, die das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit zur Lichtgeschwindigkeit in diesem Medium angibt: $$c_\mathrm{Medium} = c_\mathrm M = \frac{c_0}{n} < c_0 \quad \textrm{bzw. } \quad n= \frac{c_0}{c_\mathrm M} \, .$$ Medien mit hoher Brechzahl heißen **optisch dicht**, solche mit niedriger Brechzahl heißen **optisch dünn**. Das Vakuum ist demzufolge das optisch dünnste Medium. Einige Beispiele für Brechzahlen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. | Material | Brechzahl $n$ | Bezeichnung | |:----------|-----------------------:|:-------------:| | Vakuum | $1{,}0$ | Optisch dünn | | Luft | $1{,}000272 \approx 1$ | | | Wasser | $1{,}33$ | | | Quarzglas | $1{,}46$ | | | Plexiglas | $1{,}49$ | | | Diamant | $2{,}42$ | Optisch dicht | Im Rahmen der Strahlenoptik lässt sich die Ausbreitung des Lichts anhand des **Fermatschen Prinzips** erklären: > Der Lichtweg zwischen zwei Punkten verläuft stets so, dass er ein Extremum > hinsichtlich der Zeit hat. > > $$T_\mathrm{A\rightarrow B}\rightarrow \textrm{Extremum}$$ In der Regel ist dies der Weg mit der kürzesten Laufzeit. Dies ist nicht notwendigerweise der geometrisch kürzeste Weg. Eine alternative Formulierung des Fermatschen Prinzips nutzt den optischen Weg $\sigma$: $$\sigma = n\cdot s \, ,$$ wobei $s$ der geometrische (d.h. der tatsächlich zurückgelegte) Lichtweg ist. Damit lautet das Fermatsche Prinzip: > Das Licht folgt zwischen zwei Punkten stets dem kürzesten optischen Weg. > > $$\sigma_\mathrm{ges} = \sum \sigma_i = \sum n_i s_i \rightarrow \textrm{Min}$$ Der kürzeste optische Weg besitzt die geringste Laufzeit. Somit sind beide Formulierungen äquivalent. Mathematisch betrachtet stellt das Fermatsche Prinzip eine Extremwertaufgabe dar. Aus seiner Anwendung folgen die geradlinige Ausbreitung innerhalb eines Mediums sowie das **Reflexions- und Brechungsgesetz**: > Trifft Licht auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit den Brechzahlen > $n_1$ und $n_2$, so wird im Allgemeinen ein Teil des Lichts reflektiert und ein > Teil transmittiert: > > Für den reflektierten Strahl gilt (Reflexionsgesetz): > > $$\alpha_\mathrm r = \alpha_1$$ > > Für den transmittierten Strahl gilt (Brechungsgesetz): > > $$\frac{\sin{\alpha_1}}{\sin \alpha_2} = \frac{n_2}{n_1} \quad \textrm{bzw.} \quad n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2$$ Alle Winkelangaben beziehen sich dabei auf das Einfallslot. Dieses steht senkrecht auf der Grenzfläche im Auftreffpunkt des einfallenden Strahls. Beim Übergang vom optisch dünneren in das optisch dichtere Medium ($n_1\alpha_2$). Im umgekehrten Fall erfolgt die Brechung vom Lot weg. Dabei kommt es zur Totalreflexion, wenn der Einfallswinkel (der dann im optisch dichteren Medium liegt) größer wird als der Grenzwinkel der Totalreflexion. In diesem Fall verschwindet der transmittierte Strahl, und die gesamte Intensität des eingestrahlten Lichts wird reflektiert. Für den Grenzwinkel der Totalreflexion gilt: $$\alpha_\mathrm{Gr} = \arcsin \frac{n_2}{n_1} \, .$$ #### Brechung an gekrümmten Grenzflächen – Linsen Bisher wurden stets ebene Grenzflächen betrachtet. Dabei spielt es keine Rolle, an welcher Stelle ein Lichtstrahl auftrifft. Der Einfallswinkel ist an jeder Stelle gleich. Folglich werden parallel einfallende Strahlen gleich gebrochen und verlaufen auch nach der Grenzfläche parallel. Bei gekrümmten Grenzflächen hingegen ändert sich das Einfallslot entlang der Grenzfläche. Folglich haben auch parallel einfallende Strahlen unterschiedliche Einfalls- und Brechungswinkel. Somit verlaufen sie nach der Grenzfläche nicht mehr parallel. Im allgemeinen Fall einer beliebigen Krümmungsgeometrie muss dabei tatsächlich jeder Lichtstrahl einzeln in seinem Verlauf betrachtet werden, wofür geeignete Computerprogramme existieren. Einen Spezialfall mit hoher praktischer Relevanz stellt die Brechung an sphärischen Grenzflächen dar, also an Grenzfläche, die Ausschnitt aus einer Kugeloberfläche sind. Optische Bauelemente, die aus zwei sphärischen Flächen, bzw. einer sphärischen und einer ebenen Fläche, bestehen, heißen Linsen. Speziell von dünnen Linsen spricht man, wenn die Dicke der Linse sehr viel kleiner ist als der Krümmungsradius ihrer Oberflächen. Nur mit solchen Linsen wollen wir uns im Folgenden beschäftigen. Beim Durchgang durch eine Linse passiert das Licht zwei Grenzflächen, an denen es jeweils gebrochen wird. Zur Vereinfachung wird eine dünne Linse in der geometrischen und rechnerischen Beschreibung zumeist durch ihre Hauptebene ersetzt und nur eine einmalige Brechung betrachtet. Auch die untenstehenden Abbildungen folgen diesem Schema. Strahlenbündel, die parallel zur optischen Achse auf eine Linse treffen, werden entweder konvergent oder divergent. Im ersten Fall spricht man von einer Sammellinse, im zweiten von einer Zerstreuungslinse. In beiden Fällen lässt sich die Brennweite $f$ sowie der Brennpunkt $\mathrm F$ der Linse angeben, wie die folgenden Abbildungen zeigen. Bei Zerstreuungslinsen befindet sich der (virtuelle) Brennpunkt auf der Einfallseite des Lichts. Die Brennweite ist dabei negativ ($f<0$)!   Die Brennweite ist die entscheidende Größe zur Charakterisierung einer Linse. Ihr Wert wird bestimmt von der Brechzahl des Linsenmaterials sowie der Linsengeometrie, die durch die Krümmungsradien $r_1$ und $r_2$ der beiden Grenzflächen angegeben wird. Aus dem Brechungsgesetz folgt die sogenannte Linsenmacherformel, die angibt, wie diese Größen die Brennweite beeinflussen. Für eine Linse in Luft gilt: $$\frac{1}{f} = (n-1) \biggl( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\biggr)$$ Dabei haben Sammellinsen eine konvexe (nach außen gewölbte) Geometrie, während Zerstreuungslinsen konkav (nach innen gewölbt) sind. Befindet sich die Linse in einem anderen Medium als Luft oder Vakuum, so muss auch dessen Brechzahl berücksichtigt werden. Die obige Formel wird dann entsprechend ergänzt: $$\frac{1}{f} = \left(\frac{n_\mathrm{Linse}}{n_\mathrm{Umgebung}}-1\right) \biggl( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\biggr)$$ #### Optische Abbildung Als optische Abbildung bezeichnet man die Erzeugung eines Bildes von einem Gegenstand. Dieses Bild soll auf einer Abbildungsfläche – allgemein als Schirm bezeichnet – sichtbar werden. Je nach konkreter Abbildungsaufgabe kann dieser Schirm beispielsweise die Leinwand eines Projektors, der Sensorchip einer Kamera oder auch die Netzhaut des Auges sein. Damit ein solches Bild entsteht, müssen die von einem Punkt des Objekts ausgehenden Lichtstrahlen wieder zu einem Bildpunkt auf dem Schirm vereinigt werden. Bilder, die auf diese Weise entstehen, heißen reelle Bilder. Das Gegenstück hierzu bilden virtuelle Bilder, auf die später eingegangen werden wird. Wie oben bereits festgestellt, besitzen Sammellinsen die Eigenschaft, einfallende Strahlen in einem Punkt zu vereinigen. Damit erfüllen sie die Grundvoraussetzung zur Erzeugung eines (reellen) Bildes. Bisher wurde dies lediglich auf den Brennpunkt eines achsenparallel einfallenden Strahlenbündels angewendet. Tatsächlich zeigt das Experiment, dass mit Sammellinsen eine optische Abbildung möglich ist. Zur Beschreibung der optischen Abbildung an einer Sammellinse werden zunächst einige Größen wie in der folgenden Abbildung gezeigt definiert:  Mit diesen Größen kann nun die Abbildung berechnet werden. Die Abbildungsgleichung verknüpft Gegenstands- und Bildweite der Abbildung mit der Brennweite der Linse: $$\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g} \, .$$ Daneben erlaubt die Definition des Abbildungsmaßstabs $V$ eine Aussage über die Bild- und Gegenstandsgröße: $$V = \frac{B}{G} = - \frac{b}{g} \, .$$ Mit dieser Definition kann auch unterschieden werden, ob das entstandene Bild vergrößert oder verkleinert ist, sowie, ob es aufrecht oder invertiert (kopfstehend/seitenverkehrt) ist. In letzterem Fall ist die Bildgröße negativ, was durch das negative Vorzeichen in der Definition des Abbildungsmaßstabs ausgedrückt wird. Neben der Berechnung der optischen Abbildung kann das entstehende Bild auch geometrisch konstruiert werden, indem die Verläufe einzelner Lichtstrahlen durch die Linse nachvollzogen werden. Wie im vorangegangenen Abschnitt bereits angemerkt, kann für eine dünne Linse die zweimalige Lichtbrechung an den beiden Grenzflächen ersetzt werden durch eine einmalige Brechung an der Hauptebene der Linse. Ferner wählt man zur Bildkonstruktion zweckmäßig solche Strahlen aus, deren Verlauf besonders einfach nachzuvollziehen ist. Dies sind Strahlen, die auf der Gegenstandsseite parallel zur optischen Achse (Parallelstrahl), durch den Brennpunkt (Brennpunktstrahl) sowie durch den Linsenmittelpunkt (Mittelpunktstrahl) verlaufen. Ob diese Strahlen tatsächlich zum Bild beitragen, spielt für die Bildkonstruktion keine Rolle. Dabei gelten die Zusammenhänge: - Ein Parallelstrahl wird auf der Bildseite zum Brennpunktstrahl. - Der Mittelpunktstrahl verläuft ohne Brechung durch die Linse. - Der Brennpunktstrahl wird nach der Brechung zum Parallelstrahl.  Befindet sich der Gegenstand innerhalb der Brennweite der Linse ($g 2f$ | $f2f$ | $|V|>1$ | reell, vergrößert, invertiert | | $g=f$ | $b=\infty$ | — | virtuell | | $g1$ | virtuell, vergrößert, seitenrichtig | ### Wellenoptik Bereits bei der Einführung des Modells Lichtstrahl im vorangegangenen Kapitel wurde darauf hingewiesen, dass dieses nur unter gewissen Einschränkungen anwendbar ist. Insbesondere dann, wenn die experimentellen Abmessungen in derselben Größenordnung liegen wie die Wellenlänge des Lichts, treten Wellenerscheinungen auf, die im Strahlenmodell nicht erklärt werden können. Hierfür muss das Wellenmodell des Lichts angewendet werden. Da bisher nicht auf die Beschreibung von Wellen eingegangen wurde, sollen an dieser Stelle zunächst einige allgemeine Aussagen zu Wellen getroffen werden. ​ #### Ausbreitung von Wellen ​ Eine Welle ist die Ausbreitung eines Schwingungszustands im Raum. Die einfachste mechanische Vorstellung einer Welle bildet ein (gespanntes) Seil, das an einem Ende in Schwingung versetzt wird. Diese Schwingungen laufen als Welle über das gesamte Seil fort. Das Seil selbst bewegt sich dabei nicht fort. Es wandert lediglich die Auslenkung über das Seil. Wird das Ende des Seils nicht nur einmalig, sondern periodisch und harmonisch ausgelenkt, so läuft auch diese harmonische Schwingung über das Seil fort und erzeugt ein räumlich periodisches Muster aus Wellenbergen und -tälern. Die so entstandene harmonische Welle ist damit ein räumlich und zeitlich periodischer Vorgang. Die momentane Auslenkung $A(x,t)$ zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort ist dabei gegeben durch $$A(x,t) = A_0 \sin(kx- \omega t + \sigma) \, .$$ Diese Formel widerspiegelt die zeitliche und räumliche Periodizität. Im eben beschriebenen Beispiel dient das Seil als Ausbreitungsmedium der Welle. Im Gegensatz dazu benötigen elektromagnetische Wellen (zu denen auch das Licht gehört) kein Medium. Sie können sich auch im Vakuum ausbreiten. Zur Beschreibung von Wellen werden die folgenden Größen genutzt, von denen einige bereits aus dem Zusammenhang der Schwingungen bekannt sind: - $A_0$ … Amplitude / Maximalauslenkung (siehe [Schwingungen](#kinematik-der-schwingung)) - $\omega=2 \pi f$ … Kreisfrequenz (siehe [Schwingungen](#kinematik-der-schwingung)) - $T$ … Schwingungsdauer (siehe [Schwingungen](#kinematik-der-schwingung)) - $\lambda$ … Wellenlänge (siehe Abbildung), $[\lambda]=\mathrm m$ - $k= \frac{2\pi}{\lambda}$ … Wellenzahl, $[k]=\mathrm m^{-1}$ - $v_\mathrm{ph}$ … Phasengeschwindigkeit (siehe Abbildung)  Die Phasengeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle. Für sie gilt der Zusammenhang: $$v_\mathrm{ph} = \lambda f = \frac{\omega}{k} \, .$$ Bei Licht ist die Phasengeschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit: $$v_\mathrm{ph} = c_0 \quad \textrm{bzw.} \quad v_\mathrm{ph} = c_\mathrm M \, .$$ Die Ausbreitung komplexer Wellenformen und insbesondere das Verhalten von Wellen an Hindernissen werden mittels sogenannter Elementarwellen beschrieben. Als Elementarwelle bezeichnet man eine von einem Punkt ausgehende und sich in alle Richtungen gleichförmig ausbreitende Welle. In zwei Dimensionen ist dies eine Kreiswelle, in drei Dimensionen eine Kugelwelle. Bei der Überlagerung von (Elementar-) Wellen kann sowohl eine Vergrößerung als auch Abschwächung der Amplitude auftreten. Dabei gilt das Prinzip der ungestörten Überlagerung (Superposition): > Zwei Wellen überlagern sich, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Die momentane Auslenkung an einem Ort ergibt sich dabei als Summe der Einzelauslenkungen an diesem Ort zu diesem Zeitpunkt: $$A_\mathrm{ges}(x_0,t_0) = A_1(x_0, t_0) + A_2(x_0, t_0)+ \dots$$ Auf diese Weise lassen sich durch Überlagerung von Elementarwellen beliebige Wellenmuster erzeugen. Dies ist Grundlage des **Huygens-Fresnelschen Prinzips**: > Jeder von einer Wellenfront getroffene Punkt ist Ausgangspunkt einer neuen > Elementarwelle. Die neue Wellenfront ergibt sich als Einhüllende dieser > Elementarwellen. Nach diesem Prinzip kann die Wellenausbreitung geometrisch (zeichnerisch) beschrieben werden. So lassen sich auch Brechung und Reflexion an Grenzflächen mittels Huygens-Fresnelschem Prinzip erklären. ##### Beugung von Wellen Beugung bezeichnet das Eindringen einer Welle in den geometrischen Schattenraum hinter einem Hindernis. Diese charakteristische Welleneigenschaft tritt bei allen Arten von Wellen auf und lässt sich mittels Huygens-Fresnelschem Prinzip erklären: Die von der Kante des Hindernisses ausgehenden Elementarwellen erreichen auch den Raum hinter dem Hindernis. Die Strecke, um die die Welle in den Schattenraum eindringt, hängt ab von der Wellenlänge der jeweiligen Welle.  #### Licht als elektromagnetische Welle Das Licht weist – in den entsprechenden Experimenten – eindeutiges Wellenverhalten auf. So lässt sich beispielsweise die oben beschriebene Beugung auch für das Licht beobachten. Die Beschreibung dieser Erscheinungen muss im Wellenmodell erfolgen. Dabei zeigt sich das Licht als elektromagnetische Welle. D.h., elektrische und magnetische Felder bewegen sich oszillierend entlang der Ausbreitungsrichtung des Lichts fort. In Natur und Technik kommen zahlreiche elektromagnetische Wellen unterschiedlicher Wellenlänge vor (siehe Abbildung). Für das menschliche Auge sichtbar sind die Wellenlängen im Bereich $\lambda \approx (400 \dots 700)~\mathrm{nm}$.  #### Interferenz des Lichts Interferenz ist – neben Beugung – die zweite eindeutige Welleneigenschaft des Lichts. Interferenz bezeichnet die gegenseitige Verstärkung und Abschwächung von Wellen gleicher Wellenlänge. Sie entsteht aus der Superposition der beteiligten Wellen. Zum Nachweis der Interferenz des Lichts betrachten wir den auf Augustin Jean Fresnel zurückgehenden Doppelspiegelversuch (siehe nachfolgende Abbildung). Zentraler Bestandteil dieses Versuchs sind zwei ebene Spiegel, die um einen sehr kleinen Winkel gegeneinander verkippt sind. Ein Laserstrahl wird so auf diese beiden Spiegel gerichtet, dass ein Teil des Lichts am ersten, der andere Teil am zweiten Spiegel reflektiert wird. So entstehen zwei Teilstrahlen, die sich einmal überkreuzen und anschließend divergieren. Durch eine Sammellinse werden diese divergierenden Strahlen wieder zusammengeführt, sodass sie sich auf einem Schirm überlagern. In diesem Überlagerungsbereich beobachtet man ein periodisches Muster aus hellen und dunklen Linien. Es kommt also abwechselnd zur Verstärkung und Auslöschung der beiden Teilstrahlen.  Ein Interferenzmaximum (d.h. ein Bereich maximaler Helligkeit auf dem Beobachtungsschirm) tritt an den Stellen auf, wo sich beide Wellen stets phasengleich überlagern. D.h., die Maxima beider Teilwellen treffen stets zeitgleich an dieser Stelle auf (konstruktive Interferenz). An Stellen, an denen das Maximum der einen Welle zeitgleich mit dem Minimum der anderen Welle auftrifft (destruktive Interferenz), löschen sich beide Wellen aus, und es entsteht ein Interferenzminimum. Ursache für die unterschiedlichen Überlagerungen der beiden Teilwellen ist ihr Gangunterschied $\Delta s$. Dieser ist die Differenz der optischen Lichtwege der beiden beteiligten Wellen von der Quelle zum Beobachtungsort. Phasengleiche Wellen haben einen Gangunterschied von null oder einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge. Entgegengesetzte Phasen (Maximum – Minimum usw.) entsprechen einem Gangunterschied von einer halben Wellenlänge oder $1{,}5\lambda$, $3{,}5\lambda$, … Damit lauten die Bedingungen für Interferenzmaxima und -minima: - Interferenzmaxima treten auf, wenn $\Delta s=n\cdot \lambda \quad (\textrm{mit } n=0,1,2, \dots)$ - Interferenzminima treten auf, wenn $\Delta s=\frac{2n-1}{2}\lambda \quad(\textrm{mit } n=1,2,3,\dots)$ Damit ein stationäres (d.h. zeitlich unveränderliches) Interferenzmuster beobachtet werden kann, müssen die an einem Punkt ankommenden Wellen stets denselben Gangunterschied aufweisen. Z.B.: - Nulltes Maximum: $\Delta s=0$ - Erstes Minimum: $\Delta s= \pm \frac{\lambda}{2}$ - Erstes Maximum: $\Delta s = \pm \lambda$ Diese Gangunterschiede dürfen sich im Zeitverlauf nicht ändern. Dies stellt besondere Anforderungen an die Lichtquelle und den experimentellen Aufbau, die hier nicht weiter betrachtet werden sollen (Stichwort: Kohärenz). Laser erfüllen diese Anforderungen gut, andere Lichtquellen (z.B. Glühlampe) meist schlecht. So sind viele Interferenzphänomene erst mit Laserlicht beobachtbar. #### Beugung des Lichts an einem Spalt In vielen Fällen treten Interferenz und Beugung gemeinsam auf: Lichtwellen werden an einem Hindernis gebeugt und treten in den geometrischen Schattenraum ein. Diese gebeugten Wellen wiederum interferieren miteinander. Ein Beispiel hierfür ist der Durchgang des Lichts durch einen Spalt, dessen Breite mit der Wellenlänge des Lichts vergleichbar ist (siehe nachfolgende Abbildung). In der Praxis lassen sich signifikante Beugungserscheinungen beobachten, wenn die Spaltbreite $d<1~\mathrm{mm}$ beträgt, obgleich dies tatsächlich noch circa 2000 Wellenlängen entspricht. Wird ein Laserstrahl auf einen solchen Spalt gerichtet, so beobachtet man auf einem dahinterliegenden Schirm eine Abfolge von Interferenzmaxima und -minima: senkrecht zur Spaltrichtung erscheint eine „Kette“ heller Lichtpunkte, die alle aus der Beugung und Interferenz des ursprünglichen Laserstrahls entstehen.  Wir wollen die Lage dieser Maxima und Minima geometrisch anhand des Gangunterschieds erklären. Dazu betrachten wir zunächst die Wellen, die von den beiden Rändern des Spalts ausgehen. Für einen vorgegebenen Beugungswinkel $\alpha$ beträgt deren Gangunterschied $$\Delta s_1 = d \cdot \sin \alpha \, ,$$ wobei $d$ die Breite des Spalts bezeichnet. Wir teilen nun den Spalt gedanklich in mehrere Teile auf und betrachten jeweils die paarweise Interferenz von Strahlen aus diesen Teilen. Zunächst sei der Beugungswinkel $\alpha$ so gewählt, dass der Gangunterschied der beiden Randwellen $\Delta s_1 = \lambda$ beträgt. Teilt man den Spalt in zwei Hälften der Breite $\frac{d}{2}$, so existiert zu jeder Welle aus der ersten Hälfte genau eine Welle der zweiten Hälfte, die um eine halbe Spaltbreite versetzt ist. Der Gangunterschied dieser Wellen beträgt $$\Delta s_{\frac{1}{2}} = \frac{d}{2} \cdot \sin \alpha = \frac{\lambda}{2} \, .$$ Diese Wellen löschen sich gegenseitig aus. Da dies für alle Teilwellen gilt, kommt es unter diesem Beugungswinkel zur vollständigen Auslöschung, und es entsteht ein Interferenzminimum. Wird der Beugungswinkel $\alpha$ so gewählt, dass der Gangunterschied der Randwellen $\Delta s_1 =2 \lambda$ beträgt, so teilt man den Spalt gedanklich in vier Teile der Breite $\frac{d}{4}$. So entstehen Wellenpaare mit dem gegenseitigen Abstand $\frac{d}{4}$ (zwischen erstem und zweitem beziehungsweise zwischen drittem und viertem Spaltviertel) und dem Gangunterschied $$\Delta s_{\frac{1}{4}} = \frac{\lambda}{2} \, .$$ Es entsteht also auch unter diesem Winkel ein Interferenzminimum. Verallgemeinert bedeutet dies: Interferenzminima treten am Spalt immer dann auf, wenn der Gangunterschied der Randwellen ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt (Minimabedingung): $$\begin{aligned} & d \cdot \sin \alpha_\mathrm{min} = m \lambda \\ \textrm{bzw.} \quad & \alpha_\mathrm{min} = \arcsin \frac{m\lambda}{d}\\ \textrm{mit} \quad & m = 1, 2, 3, \dots \end{aligned}$$ Nun wird der Beugungswinkel betrachtet, bei dem die beiden Randwellen einen Gangunterschied von $\Delta s_1 = 1{,}5~\lambda$ aufweisen. Dabei wird der Spalt gedanklich in drei Teile geteilt. Die Teilwellen des ersten und zweiten Spaltdrittels lassen sich wiederum zu Paaren zusammenstellen, deren gegenseitiger Abstand $\frac{d}{3}$ und deren Gangunterschied $$s_{\frac{1}{3}} = \frac{\lambda}{2}$$ beträgt. Folglich löschen sich die Teilwellen dieser beiden Spaltteile gegenseitig aus. Für das letzte Spaltdrittel existieren jedoch keine korrespondierenden Wellen, die zu einer Auslöschung führen würden. Folglich bleibt die Intensität dieser Teilwellen erhalten und wird auf dem Beobachtungsschirm als Interferenzmaximum registriert. Analog erhält man ein Interferenzmaximum für den Beugungswinkel, bei dem der Gangunterschied der Randwellen $\Delta s_1 = 2{,}5 \lambda$ beträgt: Der Spalt wird gedanklich in fünf Teile zerlegt. Zwischen erstem und zweitem beziehungsweise drittem und viertem Teil führen wieder die Wellenpaare mit Abstand $\frac{d}{5}$ und Gangunterschied $$\Delta s_{\frac{1}{5}} = \frac{\lambda}{2}$$ zur gegenseitigen Auslöschung. Die Intensität des letzten Spaltfünftels bleibt dabei erhalten. Daraus folgt als allgemeine Maximabedingung am Spalt: $$\begin{aligned} & d \cdot \sin \alpha_\mathrm{max} = \frac{2m +1}{2} \lambda \\ \textrm{bzw.} \quad & \alpha_\mathrm{max} = \arcsin \frac{(2m + 1) \lambda}{2d} \\ \textrm{mit} \quad & m = 1, 2, 3, \dots \end{aligned}$$ Mit diesen Formeln lässt sich die Lage der Maxima und Minima bei der Beugung am Spalt berechnen, nicht jedoch die Intensität an den einzelnen Stellen des Beugungsbilds. Es erscheint aus dieser Überlegung heraus zumindest plausibel, dass die Maxima mit zunehmender Ordnung immer schwächer werden, da ein immer kleinerer Teil der Wellen unausgelöscht bleibt. Die Formeln für Maxima- und Minimawinkel enthalten jeweils den Ausdruck $\frac{1}{d}$. Mit abnehmender Spaltbreite werden die Winkel also entsprechend größer, und das Beugungsbild wird „auseinandergezogen“. Umgekehrt rücken für breitere Spalte die Maxima dichter zusammen und sind schließlich für sehr breite Spalte nicht mehr getrennt wahrnehmbar. Dies stellt den Übergang zur geometrischen Optik dar. Wird die Spaltblende durch ein entsprechend kleines Loch ersetzt, so gelten die Maxima- und Minimabedingungen in alle Richtungen. Das Beugungsbild besteht dann aus konzentrischen Ringen. Mit ähnlichen geometrischen Überlegungen wie oben lassen sich auch die Interferenzmuster von Mehrfachspalten vorhersagen. ## Moderne Physik In den bisherigen Kapiteln wurden die Teilgebiete der *klassischen Physik* in sehr kompakter Form betrachtet: Mechanik, Wärmelehre, Elektrizitätslehre und Optik. Historisch gesehen entstand dieses Wissen wesentlich vom 17. bis zum Ende des 19. Jahrhunderts. Dieses beachtliche Alter der klassischen Physik schmälert jeodch keineswegs die Bedeutung dieser Erkenntnisse für das Verständnis unserer alltäglichen Naturerfahrungen. Ab etwa 1900 zeigte sich, dass die Gesetze der klassischen Physik nicht alle Beobachtungen unserer Umwelt erklären können. In der Folge entwickelten sich „neue“ Teilgebiete der Physik, die bis heute als *moderne Physik* zusammengefasst werden, obgleich sie auch schon über 100 Jahre zurückreichen. Die Gesetze der modernen Physik haben dabei die klassische Physik nicht abgelöst, sondern erweitern das Spektrum physikalischer Erklärungen. Wie wir aus den experimentellen Befunden der bisherigen Kapitel ersehen können, besitzen die Gebiete der klassischen Physik bis heute ihre Gültigkeit. Lediglich bei den Beobachtungen, bei denen die Gesetze der klassischen Physik versagen, liefern die Gebiete der modernen Physik weitergehende Erklärungen. Im Rahmen dieses Skriptums, das auf einen Physikkurs von 15 Vorlesungen ausgelegt ist, kann und soll keine umfassende Behandlung der modernen Physik erfolgen. Stattdessen werden zwei Bereiche herausgegriffen und überblicksartig beschrieben: die Quantenoptik und die Atomphysik. ### Quantenoptik und Welle-Teilchen-Dualismus Mit dem Wellenmodell des Lichts lassen sich viele Phänomene sowohl qualitativ als auch quantitativ mit hoher Präzision beschreiben. Scheinbar im Widerspruch dazu versagt die Wellenoptik bei der Beschreibung mancher Wechselwirkungsprozesse des Lichts hingegen völlig. Entsprechende Beobachtungen stellten die Physik in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts vor große Fragen und führten schließlich ab 1900 zur Entstehung eines neuen Modells[^1] zur Beschreibung des Lichts, das parallel zum Wellenmodell existiert. [^1]: Die Vorstellung, dass das Licht aus einem Strom von Teilchen besteht, existierte bereits in der Antike. Wenn hier von einem neuen Modell die Rede ist, so meint dies konkret die Quantenoptik in ihrer heutigen Form. Für die folgenden Betrachtungen, die sich wesentlich mit Energien von Elektronen und von Licht beschäftigen, ist es sinnvoll, das Elektronvolt ($\mathrm{eV}$) als eine weitere Einheit der Energie einzuführen. Ein Elektronvolt ist die (kinetische) Energie eines Elektrons, das durch eine Spannung von $1~\mathrm V$ beschleunigt wurde: $$1~\mathrm{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}~\mathrm J \, .$$ #### Quantenhafte Energieabgabe des Lichts Eines der Experimente, für das die Wellenoptik keine Erklärung bietet, ist der äußere Photoeffekt oder Hallwachs-Effekt. Eine mögliche Vorgehensweise, diesen Effekt zu beobachten, ist folgende: Eine Platte aus Zink wird an ein Elektrometer (Messgerät zur Ladungsmessung) angeschlossen und negativ aufgeladen. Es herrscht also ein Überschuss an Elektronen in dieser Platte, der zunächst erhalten bleibt. Wird die Platte nun mit dem intensiven weißen Licht einer Bogenlampe bestrahlt, so geht die Aufladung der Platte langsam zurück. Folglich müssen die überschüssigen Elektronen die Platte verlassen haben. Um diesen Versuchsteil zu verstehen, muss man zunächst berücksichtigen, dass die Elektronen im Metall gebunden sind. Um die Platte verlassen zu können, müssen sie eine Energiebarriere – die sogenannte **Austrittsarbeit** $W_\mathrm A$ – überwinden. Diese Energiebarriere ist groß genug, dass die Elektronen sie nicht spontan überwinden können, weshalb die negative Ladung der Platte zunächst erhalten bleibt. Offensichtlich aber wird durch die Bestrahlung der Platte mit Licht Energie auf die Elektronen übertragen, die damit die Austrittsarbeit des Zinks überwinden können und die Platte verlassen. In einem zweiten Versuchsteil wird das vorige Vorgehen wiederholt, jedoch wird nun zwischen Lampe und Zinkplatte eine Glasscheibe positioniert. Obgleich das sichtbare Licht diese Platte nahezu ungehindert passieren kann, tritt dabei keine Entladung der Zinkplatte auf. Diese Beobachtung führt zu dem Schluss, dass nicht das sichtbare Licht für die Entladung der Platte verantwortlich ist, sondern der unsichtbare, kurzwellige UV-Anteil, der im Licht der Bogenlampe ebenfalls mit hoher Intensität vertreten ist. Das UV-Licht wird – im Gegensatz zum sichtbaren Licht – von der Glasplatte vollständig absorbiert. Das sichtbare Licht kann offenbar nicht ausreichend Energie auf die Elektronen übertragen, damit diese die Austrittsarbeit überwinden könnten. Der Energieübertrag auf die Elektronen wird also bestimmt durch die Wellenlänge beziehungsweise Frequenz des eingestrahlten Lichts: Höhere Frequenzen (kleinere Wellenlängen) führen offenbar zu größeren Energieüberträgen. Im Wellenmodell des Lichts ist dies jedoch nicht zu verstehen. Die Energie einer Welle ist bestimmt durch deren Amplitude: $E_\mathrm{Welle}\propto A_0^2$. Die Frequenz spielt dabei keine Rolle. Somit stellt das beschriebene Hallwachs-Experiment einen Widerspruch zur Wellenoptik dar. Die Erklärung dieses Effekts lieferte Albert Einstein – und erhielt hierfür später den Physik-Nobelpreis. Dabei ging er davon aus, dass das Licht nicht beliebige Energiebeträge abgeben kann, sondern nur definierte „Energieportionen“, sogenannte Quanten. Diesen Ansatz hatte bereits fünf Jahre zuvor Max Planck in einem anderen Zusammenhang angewendet. Der Energiebetrag eines solchen Quants ist dabei bestimmt durch die Frequenz des Lichts: $$E_\mathrm{Qu} = hf = h \frac{c}{\lambda}$$ mit dem Planckschen Wirkunsgquantum $$h = 6{,}626\cdot 10^{-34}~\mathrm{Js} = 4{,}136\cdot10^{-15}~\mathrm{eVs} \, .$$ Dabei wechselwirkt stets genau ein Lichtquant mit genau einem Elektron. Ist die Energie des Lichtquants kleiner als die Austrittsarbeit der Metallplatte ($hfW_\mathrm A$ kann das Elektron, das dieses Lichtquant absorbiert hat, die Austrittsarbeit überwinden und die Metallplatte verlassen. Die „überschüssige“ Energie des Lichtquants geht dabei in kinetische Energie des freigesetzten Elektrons über. Damit gilt die Energiebilanz: $$hf = W_\mathrm A + E_\mathrm{kin} \, .$$ Zur experimentellen Überprüfung dieser Energiebilanz muss die kinetische Energie der emittierten Elektronen bestimmt werden. Dazu befindet sich die emittierende Metallschicht zusammen mit einer Gegenelektrode im Vakuum und wird dort mit monochromatischem Licht (d.h. Licht mit genau einer Wellenlänge) bestrahlt. Zwischen emittierender Schicht und Gegenelektrode wird durch Anlegen einer Gegenspannung $U_\mathrm G$ ein elektrisches Feld erzeugt, das die Elektronen abbremst. Ist die Gegenspannung gefunden, bei der die Elektronen vollständig abgebremst werden, so gilt: $$E_\mathrm{kin} = eU_\mathrm G \, .$$ #### Das Photon Handelt es sich bei den Lichtquanten nun lediglich um „Energieportionen“ einer kontinuierlich fortlaufenden Welle, oder sind es eigenständige, real existierende Objekte? Diese Frage war auch historisch zunächst umstritten. Die Erklärung des Photoeffekts zeigt zunächst nur, dass die Energie*übertragung* quantisiert erfolgt. Spätere Experimente zeigten schließlich, dass das Licht selbst (wie jede elektromagnetische Welle) quantisiert ist. Auch unabhängig von der Wechselwirkung mit Elektronen oder anderer Materie liegt das Licht bei seiner gesamten Ausbreitung als Quanten vor. Diese Lichtquanten erhalten den Namen Photonen. Einen Eindruck von diesem Quantencharakter vermittelt die Detektion einzelner Photonen. Tatsächlich können Detektoren, die auf dem äußeren Photoeffekt beruhen, aus einem einzelnen auftreffenden Lichtquant einen messbaren Spannungspuls erzeugen. Wird ein solcher Detektor mit einer sehr geringen Lichtintensität bestrahlt, so können die einzelnen Photonen getrennt registriert werden. Das Auftreffen der Quanten auf dem Detektor geschieht dabei in völlig unregelmäßigen Zeitabständen. Diese Beobachtung widerspricht der Vorstellung einer kontinuierlichen Welle, die lediglich feste Energieportionen überträgt. Nun ist diese Beobachtung allein noch kein zwingender Beweis; sie liefert aber einen Eindruck vom Quantencharakter des Lichts. Die Intensität des Lichts – die in der Wellenoptik mit der Amplitude der Lichtwelle verknüpft ist – ergibt sich in der Quantenoptik aus der Anzahl der pro Zeiteinheit eintreffenden Photonen. Bisweilen werden Photonen auch als Licht*teilchen* bezeichnet. Wenn Photonen den Charakter eines Teilchens aufweisen, dann sollten sie auch einen Impuls haben. Denn aus der Mechanik wissen wir, dass jedes bewegte Teilchen einen Impuls besitzt. Tatsächlich lässt sich auch für das Photon ein Impuls angeben, der mit seiner Frequenz verknüpft ist: $$p_\mathrm{Ph} = \frac{E_\mathrm{Ph}}{c} = \frac{hf}{c} = \frac{h}{\lambda} \, .$$ Dieser Photonenimpuls lässt sich in Experimenten (Stichwort: Compton-Effekt) nachweisen. Die „Lichtmühle“ (Radiometer), die manchmal als Nachweis des Photonenimpulses angeführt wird, beruht jedoch auf anderen Effekten. Für das Licht lässt sich also sowohl ein eindeutiger Wellencharakter (Beugung, Interferenz) als auch ein eindeutiger Teilchencharakter (Photonenimpuls) nachweisen. Das Photon ist dabei weder Welle noch Teilchen im klassischen Sinn, sondern ein Quantenobjekt, das beide Eigenschaften in sich vereint und – je nach experimentellem Aufbau – diesen oder jenen Charakter zeigt. Daher lassen sich auch Wellen- und Teilchenmodell des Lichts nicht vollständig trennen. Dieser Dualismus von Wellen- und Teilcheneigenschaften zeigt sich unter anderem auch bei der Beobachtung von Interferenzen. Aus der Wellenoptik wissen wir, dass das Licht bei Durchgang durch einen Doppelspalt ein Interferenzmuster erzeugt. Ein solches Experiment lässt sich auch mit einzelnen Photonen durchführen: Aus einer speziellen Lichtquelle (Einzelphotonenquelle) treffen einzelne Lichtquanten auf einen Doppelspalt und werden nach dessen Passieren durch einen (oben schon erwähnten) Einzelphotonendetektor gezählt. Tatsächlich zeigt das Licht auch dann Interferenzverhalten: Je nach Detektorposition ergeben sich charakteristische Maxima und Minima in der Zählrate der Photonen. Interferenz entsteht also nicht aus der Überlagerung mehrerer Photonen, sondern ist eine Eigenschaft des einzelnen Photons. Um diesen Welle-Teilchen-Dualismus zu veranschaulichen, werden Photonen mitunter als „Wellenzüge“ endlicher Länge dargestellt. Doch auch diese Vorstellung gerät schnell an ihre Grenzen. Der Charakter des Lichts entzieht sich letztendlich unserer Vorstellung. Anschauliche Modelle des Lichts (kontinuierliche Welle ähnlich einer Wasserwelle, Partikelstrom ähnlich einem Sandsturm,…) können immer besitzen immer nur begrenzte Anwendbarkeiten. #### Wellencharakter der Elektronen Die Tatsache, dass das Licht – klassisch als Welle beschrieben – unter bestimmten experimentellen Bedingungen auch Teilchencharakter aufweist, wirft die Frage auf, ob umgekehrt Objekte, die klassisch als Teilchen beschrieben werden, auch Wellencharakter besitzen. Wir betrachten hierfür Elektronen, die im Vakuum durch eine Spannung $U_\mathrm B=(2 \dots 5)~\mathrm{kV}$ beschleunigt werden. Ihre Geschwindigkeit folgt aus dem Energieansatz (vgl. Kapitel [Energie des elektrischen Felds](#energie-des-elektrischen-felds-–-coulombenergie)): $$v = \sqrt{\frac{2eU_\mathrm B}{m_\mathrm e}} \, .$$ Damit ergibt sich für den Impuls: $$p_\mathrm e = mv = \sqrt{2m_\mathrm e e U_\mathrm B} \, .$$ Diese Elektronen treffen nun im Vakuum auf eine dünne Graphitschicht. Hinter dieser befindet sich in einigem Abstand eine Leuchtschicht, auf der die Auftreffpunkte der Elektronen sichtbar werden. Dabei zeigt sich, dass der Elektronenstrahl bei Durchgang durch die Graphitschicht stark aufgeweitet wird und zugleich auf dem Leuchtschirm konzentrische Ringe hoher und niedriger Intensität zeigt. Dies kann nur als Beugungs- und Interferenzphänomen gedeutet werden und zeigt damit, dass auch Elektronen, die klassisch als Teilchen aufgefasst wurden, Wellencharakter besitzen. Die Anordnung der Kohlenstoffatome in der Graphitschicht wirkt dabei als Beugungsgitter für die Elektronen, deren Wellenlänge mit den Atomabständen im Graphit vergleichbar ist. Somit kann den Elektronen auch eine Wellenlänge zugeordnet werden, die mit ihrem Impuls verknüpft ist (Louis De Broglie , 1923): $$\lambda_\mathrm e = \frac{h}{p_\mathrm e} \, .$$ Diese Formel zeigt, dass die Elektronenwellenlänge vom Impuls und damit von der Beschleunigungsspannung abhängt: höhere Beschleunigungsspannungen bewirken einen höheren Elektronenimpuls und damit eine kürzere Wellenlänge. Tatsächlich führt im oben beschriebenen Experiment eine Erhöhung der Beschleunigungsspannung zu einer Verringerung des Abstands der Interferenzmaxima. Dieser Effekt weist die Verkürzung der Wellenlänge nach. Natürlich zeigen Elektronen weiterhin auch Teilchencharakter. Sie sind – wie das Licht – Quantenobjekte, die beide Eigenschaften in sich vereinen. Ebenso zeigen alle anderen mikroskopischen Teilchen (Protonen, Neutronen, …) den Welle-Teilchen-Dualismus. ### Atomphysik Die Atomphysik beschäftigt sich mit dem Aufbau und den Eigenschaften der Atome. Dies bezieht sich insbesondere auf den Aufbau der Atomhülle. Die innere Struktur der Atomkerne bleibt im Rahmen der Atomphysik unberücksichtigt und stellt mit der Kernphysik ein eigenes Teilgebiet der Physik dar. In den nachfolgenden Abschnitten wird zunächst der grundlegende Aufbau der Atome aus Kern und Hülle erläutert und anschließend das quantenmechanische Atommodell in seinen Grundzügen vorgestellt. Darauf aufbauend werden einige grundlegende (und auch historisch bedeutsame) Experimente der Atomphysik vorgestellt. #### Atomkern und Atomhülle Grundlegend sind Atome aus dem Atomkern und der Atomhülle, die den Kern umgibt, aufgebaut. Diese Erkenntnis geht zurück auf die von Ernest Rutherford durchgeführten Streuversuche, bei denen er eine $0{,}5~\mathrm{\mu m}$ dicke Goldfolie (das entspricht ca. 1000 Atomlagen) mit radioaktiven $\alpha$-Teilchen bestrahlte. Der wesentliche Teil dieser $\alpha$-Teilchen passierte die Goldfolie ohne oder mit nur geringer Ablenkung. Nur ein sehr geringer Teil wurde um große Winkel abgelenkt oder zurückgestreut. Diese Beobachtung führte zu der Erkenntnis, dass die Atome im Wesentlichen aus leerem Raum bestehen. Nahezu die gesamte Masse eines Atoms ist in dessen Kern vorhanden, der um mehrere Größenordnungen kleiner ist als das Atom. Als Richtwerte für den Radius eines Atoms sowie eines Atomkerns gelten: $$\begin{aligned} & r_\mathrm{Atom} \approx 10^{-10}~\mathrm m \\ \textrm{bzw.} \quad & r_\mathrm{Kern} \approx 10^{-15}~\mathrm m \, . \end{aligned}$$   Zur Veranschaulichung dieser Größen- und Massenverhältnisse sei auf das Atomium in Brüssel verwiesen (siehe obige Abbildung). Dieses besteht aus 9 Kugeln von $18~\mathrm m$ Durchmesser, die jeweils ein Eisenatom in 165-milliardenfacher Vergrößerung darstellen. Die Masse eines Eisenatoms beträgt $m= 92{,}7\cdot10^{-27}~\mathrm{kg}$. Ein 165-milliardenfach vergrößertes Eisenatom müsste folglich eine Masse von $m=416\cdot10^6~\mathrm{kg}$ besitzen. Dies ist etwa das Doppelte der Masse des Kreuzfahrtschiffs „Harmony of the Seas“. Diese Masse wiederum wäre vollständig im Atomkern enthalten, der bei gleicher Vergrößerung einen Durchmesser von $\approx 1{,}5~\mathrm{mm}$ besäße. Der Atomkern trägt positive Ladungen. In der Atomhülle befinden sich negativ geladene Elektronen (daher auch die Bezeichnung Elektronenhülle). Die Anzahlen positiver Ladungen (im Kern) und negativer Ladungen (in der Hülle) sind identisch, sodass das Atom als Ganzes elektrisch neutral ist. Im Rahmen der Atomphysik wird der Atomkern als Ganzes mit seiner Masse und seiner Ladung betrachtet. Die Untersuchung der inneren Struktur der Atomkerne ist Aufgabe der Kernphysik, nicht der Atomphysik. Letztere beschäftigt sich mit den Vorgängen in der Atomhülle. Nach den Gesetzen der klassischen Physik dürfte es keine stabilen Atome geben. Aufgrund der Coulombkraft zwischen dem Atomkern und den Elektronen müssten Letztere in den Kern „stürzen“. Der Aufbau der Atome lässt sich daher nur mit den Gesetzen der Quantenphysik erklären. Atommodelle, die auf der klassischen Physik aufbauen, sind zwar anschaulich, physikalisch aber nicht haltbar. Aufgrund ihrer Anschaulichkeit werden diese Modelle dennoch wiedergegeben in dem Wissen, dass letztendlich andere (quantenmechanische) Gesetzmäßigkeiten gelten. #### Das Atommodell der Quantenphysik Die Grundaussagen des quantenphysikalischen Atommodells gehen auf Niels Bohr zurück. Dieser betrachtete die Atome anfangs noch unter den Gesetzen der klassischen Physik und forderte lediglich, dass für Atome einige „Ausnahmen“ von diesen Gesetzen gelten sollten, die unter der Bezeichnung Bohrsche Postulate zusammengefasst werden. Dies betrifft insbesondere die Aussage, dass die Elektronen eben nicht in den Atomkern stürzen. Damit war zwar qualitativ (und teilweise auch quantitativ) eine recht gute Beschreibung möglich. Eine Erklärung, wie das Verhalten der Atome und die geforderten „Ausnahmen“ zu verstehen wären, war jedoch nicht möglich. Erst durch die Entwicklung der Quantenmechanik war auch eine theoretische Beschreibung der Atome möglich. Die Grundaussagen des quantenphysikalischen Atommodells lauten: - In der Atomhülle befinden sich die Elektronen in stabilen Zuständen, d.h., sie geben keine Energie ab. - Diese Zustände werden durch die Hauptquantenzahl $n$ (und weitere Quantenzahlen) beschrieben. - Jeder dieser stabilen Zustände ist durch eine diskrete Energie charakterisiert. Das bedeutet, ein Elektron im Zustand $n$ besitzt exakt die Energie $E_n$. - Übergänge zwischen den verschiedenen Zuständen sind möglich. („Quantensprünge“) - Beim Wechsel von einem Zustand mit höherer Energie $E_n$ in einen Zustand mit niedrigerer Energie $E_m$ wird die Differenzenergie als elektromagnetische Strahlung in Form eines Photons mit der Energie $$E_\mathrm{Ph}=hf=\left| E_n-E_m \right|$$ abgegeben. - Umgekehrt muss ein Elektron für einen Übergang in einen höherenergetischen Zustand die erforderliche Energiedifferenz aufnehmen. Bohr identifizierte die stabilen Elektronenzustände mit Kreisbahnen verschiedener Radien. Diese Annahme führt jedoch zu physikalischen Widersprüchen. In der Quantenmechanik werden die diskreten Elektronenbahnen ersetzt durch abstrakte Energieniveaus, die die Energien der stabilen Zustände widerspiegeln und in Energieniveauschemen dargestellt werden (siehe folgende Abbildung). Dabei wird als Nullpunkt der Energie der ungebundene Zustand eines Elektrons angenommen. Dessen Hauptquantenzahl ist $n=\infty$, und es gilt $E_{\infty}=0$. Die gebundenen Zustände ($n<\infty$) der Elektronen haben somit negative Energien.  Die Energieniveaus erlauben keine Rückschlüsse auf die Aufenthaltsorte oder die Bewegung der Elektronen im Atom. Tatsächlich existiert auch keine vorgegebene Bewegungsbahn, wie sie Bohr angenommen hatte. In der Quantenphysik werden diese diskreten Bahnen ersetzt durch Orbitale. Diese geben Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Elektronen an und werden meist dargestellt als Raumbereiche, in denen sich das Elektron mit 90 %-iger Wahrscheinlichkeit aufhält.  #### Grundlegende Experimente der Atomphysik In den nachfolgenden Abschnitten sollen einige grundlegende Experimente betrachtet werden, die historich betrachtet zur Entwicklung des oben vorgestellten Atommodells geführt. Die Ergebnisse dieser Experimente lassen sich erst durch die Anwendung dieses Atommodells qualitativ und quantitativ verstehen. ##### Das Hallwachs-Experiment Das Hallwachs-Experiment wurde bereits im Zusammenhang der [Quantenoptik](#quantenhafte-energieabgabe-des-lichts) eingehend erläutert. Dabei wurde geschlussfolgert, dass Photonen Energie auf die im Metall gebundenen Elektronen übertragen, die infolgedessen die Austrittsarbeit überwinden und die Metallplatte verlassen können. Die Atomphysik liefert nun auch die Erklärung für die Austrittsarbeit. Dies ist die Bindungsenergie der am schwächsten gebundenen Elektronen eines Festkörpers. Anders ausgedrückt: die Austrittsarbeit entspricht der Energie des höchsten besetzten Energieniveaus. Folglich werden nur schwach gebundene Elektronen durch den äußeren Photoeffekt emittiert. ##### Optische Emissionsspektroskopie des Wasserstoffatoms Als Spektroskopie werden verschiedene Messverfahren bezeichnet, bei denen eine Strahlung analysiert und als Intensitätsverteilung (Spektrum) dargestellt wird. Bei der optischen Emissionsspektroskopie wird die Intensität des von einer Probe ausgesendeten Lichts als Funktion der Wellenlänge untersucht. Atome oder Moleküle eines Gases können beispielsweise in geeigneten Entladungsröhren durch Anlegen einer Hochspannung zum Leuchten angeregt werden. Das dabei emittierte Licht weißt eine charakteristische Farbe auf. Bei der spektroskopischen Untersuchung dieser Emissionen zeigen sich stets diskrete (d.h. einzelne, scharf begrenzte) Wellenlängen, die abgegeben werden. Diese Wellenlängen entsprechen den Energiedifferenzen zwischen je zwei Niveaus der emittierenden Atome oder Moleküle. Zudem sind diese Emissionswellenlängen charakteristisch für die emittierende Substanz, da in jedem Atom oder Molekül die Energieviveaus andere Werte der Bindungsenergie besitzen. Im vorliegenden Fall wird die Emission des atomaren Wasserstoffs analysiert. Da sich das Wasserstoffatom quantenmechanisch exakt berechnen lässt und somit eine genaue Vorhersage der Energieniveaus möglich ist, stellt die Untersuchung der emittierten Strahlung dieses Atoms einen wichtigen quantitativen Test des Atommodells dar. Für die Energieniveaus des Wasserstoffs folgt aus der quantenmechanischen Berechnung: $$E_n = -h \cdot c\cdot R_\infty \cdot \frac{1}{n^2}$$ mit der Rydberg-Konstante: $$R_\infty = 1{,}097\cdot10^{7}~\mathrm{m^{-1}} \, .$$ Das Produkt $c\cdot R_\infty$ wird dabei auch als Rydberg-Frequenz $R_\mathrm H$ bezeichnet. Das resultierende Energieniveauschema ist in der folgenden Abbildung gezeigt. Für die ersten drei Energieniveaus ergibt sich: $$\begin{aligned} E_1 & = -13{,}6~\mathrm{eV} \, ,\\ E_2 & = -3{,}4~\mathrm{eV} \, ,\\ E_3 & = -1{,}51~\mathrm{eV} \, . \end{aligned}$$  Nach den Aussagen des quantenphysikalischen Atommodells müssen die von Wasserstoffatomen emittierten Photonen den Differenzen dieser Energieniveaus entsprechen. Nicht alle dieser Photonen werden dabei im sichtbaren Bereich liegen. Die langwellige Grenze des sichtbaren Spektrums ($\lambda_\mathrm{max}= 700~\mathrm{nm}$) entspricht einer Energie von $E_\mathrm{Ph}=1{,}77~\mathrm{eV}$. Die kurzwellige Grenze mit $\lambda_\mathrm{min}= 380~\mathrm{nm}$ entspricht $E_\mathrm{Ph}=3{,}27~\mathrm{eV}$. Daher entstehen nur bei Übergängen von einem höheren in das zweite Energieniveau ($E_n\rightarrow E_2$ mit $n>2$) Photonen im sichtbaren Bereich. Die zugehörigen Emissionswellenlängen werden als Balmer-Serie bezeichnet. Die folgende Abbildung zeigt eine spektrale Aufnahme der Balmerserie, wobei die Wellenlänge von links nach rechts zunimmt.  Die größte Wellenlänge in dieser Serie ist dem Übergang mit der kleinsten Energiedifferenz zuzuordnen, da die Photonenenergie umgekehrt proportional zur Wellenlänge ist. Dies ist der Übergang $E_3 \rightarrow E_2$ mit der Energiedifferenz $\Delta E=1{,}89~\mathrm{eV}$. Dies entspricht einer Wellenlänge von $\lambda = 656~\mathrm{nm}$, was mit der roten Linie im Wasserstoffspektrum übereinstimmt (siehe obiges Bild). Die kleinstmögliche Wellenlänge ergäbe sich aus dem Übergang eines zuvor ungebundenen Elektrons in das zweite Energieniveau ($E_\infty \rightarrow E_2$), was einer Energiedifferenz von $\Delta E=|E_2 |=3{,}4~\mathrm{eV}$ und einer Wellenlänge $\lambda =365~\mathrm{nm}$ entspricht. Tatsächlich stellen diese beiden Wellenlängen die Grenzen der Balmerserie dar. Wie aus obiger Abbildung bereits ersichtlich ist, liegen die Emissionswellenlängen zur kurzwelligen Seite hin immer dichter beieinander. Dies folgt aus den abnehmenden Energiedifferenzen zwischen den höheren Energieniveaus, da $E_n \propto \frac{1}{n^2}$ . Zugleich nimmt die Intensität der Emissionslinien mit abnehmender Wellenlänge (zunehmender Photonenenergie) ab. Ursache hierfür ist die abnehmende Besetzungswahrscheinlichkeit der höheren Energieniveaus, die Ausgangspunkt für die zugehörigen Elektronenübergänge sind. Damit bestätigt die Untersuchung der Emissionswellenlängen des Wasserstoffatoms sowohl qualitativ als auch quantitativ die Aussagen des quantenphysikalischen Atommodells. Die Emissionsspektroskopie lässt sich selbstverständlich auch auf andere Stoffe anwenden. Auch dabei beobachtet man Emissionen mit diskreten und charakteristischen Wellenlängen. Jedoch erscheinen diese Spektren weitaus weniger regelmäßig als das des atomaren Wasserstoffs, da die zugrundeliegenden Energieniveauschemen weitaus komplexer sind. Zudem lassen sich andere Atome als das des Wasserstoffs sowie Moleküle nicht mehr quantenmechanisch exakt berechnen. So dient die Spektroskopie in diesem Fall der Identifizierung der Atome oder Moleküle sowie der experimentellen Bestimmung der Energieniveaus, nicht jedoch dem quantitativen Test des Atommodells. ##### Resonanzabsorption Die bisher beschriebene Emission von Strahlung entsteht, indem ein Elektron beim Wechsel von einem höheren in ein niedrigeres Energieniveau die „überschüssige“ Energie abgibt. Umgekehrt muss ein Elektron Energie aufnehmen, um in ein höheres Energieniveau zu wechseln. Auch dies kann durch optische Wechselwirkung geschehen. Am deutlichsten tritt dieser Effekt auf, wenn eine Atomsorte mit Licht bestrahlt wird, das von ebendieser Atomsorte auch erzeugt wurde. Dann kann mitunter bereits mit bloßem Auge eine deutliche Schwächung der Lichtintensität beobachtet werden. Diese Schwächung entsteht durch Absorption des Lichts, indem Elektronen in ein höheres Energieniveau übergehen. Ebenso wie die Emission erfolgt auch die Absorption bei diskreten und charakteristischen Wellenlängen, die mit den Emissionswellenlängen übereinstimmen, da die zu Grunde liegenden Energieniveaus dieselben sind. Dieser Effekt wird auch als Resonanzabsorption bezeichnet. ##### Der Franck-Hertz-Versuch Für die Anregung von Atomen – also den Übergang von Elektronen innerhalb dieses Atoms in ein höheres Energieniveau – existieren neben den bisher betrachteten Mechanismen (Gasentladung, Strahlungsabsorption) weitere mögliche Prozesse. Hierzu zählt die Anregung durch Elektronenstoß, die erstmals von James Franck und Gustav Hertz untersucht wurde.  Zur Durchführung dieses Versuchs wird eine evakuierte Glasröhre verwendet, die mit einer geringen Menge eines Gases gefüllt ist. In den ursprünglichen Experimenten verwendeten Franck und Hertz Quecksilberdampf; an dieser Stelle soll die Durchführung mit Neongas beschrieben werden. Eingeschmolzen in diese Glasröhre sind vier Elektroden (siehe folgende Abbildung): Die Kathode (K) wird durch die angelegte Heizspannung $U_\mathrm H$ zum Glühen gebracht und emittiert so Elektronen, die durch die Beschleunigungsspannung $U_\mathrm B$ zur Anode (A) hin beschleunigt werden. Kurz hinter der Kathode befindet sich mit dem Steuergitter (SG) eine zusätzliche Elektrode, die den Stromfluss steuert, den eigentlichen physikalischen Effekt jedoch nicht beeinflusst. Daher wird dieses Gitter im Folgenden nicht weiter betrachtet. Die Anode ist als Netz ausgeführt, sodass die Elektronen diese passieren können und danach auf die Auffängerelektrode (E) treffen. Zwischen Anode und Auffängerelektrode liegt die Gegenspannung $U_\mathrm G$ an, die die Elektronen abbremst.  Gemessen wird im Franck-Hertz-Versuch der an der Auffängerelektrode ankommende Elektronenstrom $I_\mathrm E$ als Funktion der Beschleunigungsspannung $U_\mathrm B$. Eine entsprechende Messkurve ist in der folgenden Abbildung gezeigt.  Die einzelnen Abschnitte (im Bild durch die Zahlen 1 bis 5 markiert) dieser $I_\mathrm E (U_\mathrm B )$-Abhängigkeit lassen sich unter Anwendung des Atommodells und der Gesetze der Elektrizitätslehre erklären: 1. Solange die Beschleunigungsspannung kleiner ist als die Gegenspannung ($U_\mathrm B < U_\mathrm G$), werden die Elektronen vor Erreichen der Auffängerelektrode vollständig abgebremst. Folglich wird an dieser kein Strom gemessen. In der Messkurve in obiger Abbildung zeigt sich an dieser Stelle ein Offset des Messstroms, der durch geeignete Kalibrierung der Messapparatur behoben werden könnte. Da dieser Offset jedoch für die gesamte Messung konstant ist, beeinflusst er die weitere Diskussion nicht. 2. Sobald die Beschleunigungsspannung die Gegenspannung übersteigt, erreichen die Elektronen die Auffängerelektrode und es wird ein Strom gemessen. Mit zunehmender Beschleunigungsspannung wächst dieser Strom an, da die kinetische Energie der Elektronen zunimmt. 3. Oberhalb einer gewissen Beschleunigungsspannung nimmt der Auffängerstrom ab. Dieser Effekt entsteht durch Anregung der Neonatome: Die Atome nehmen Energie der beschleunigten Elektronen auf, sodass innerhalb der Atome gebundene Elektronen in ein höheres Energieniveau übergehen können. Aufgrund der diskreten Energieniveaus kann diese Anregung erst stattfinden, wenn die kinetische Energie der beschleunigten Elektronen die erforderliche Energiedifferenz der Niveaus übersteigt. Gleichzeitig ist in der Röhre ein orange-rotes Leuchten erkennbar (siehe obere Abbildung), das durch die Rückkehr der angeregten Elektronen in ihren Ausgangszustand entsteht. Diese Leucht- oder Anregungszone entsteht zunächst unmittelbar vor der Anode, da erst dort die beschleunigten Elektronen eine ausreichend hohe Energie erreichen. 4. Bei weiterer Erhöhung der Beschleunigungsspannung wandert die Anregungszone in Richtung Kathode, da die beschleunigten Elektronen bereits früher die zur Anregung erfoderliche Energie besitzen. Nach dieser Energieabgabe werden die Elektronen weiter zur Anode hin beschleunigt, sodass der an der Auffängerelektrode gemessene Strom wieder ansteigt. 5. Bei ausreichend hoher Beschleunigungsspannung erhalten die Elektronen nach der ersten Energieabgabe wieder die zur Anregung der Neon-Atome erforderliche Energie. So entsteht unmittelbar vor der Anode eine zweite Anregungszone, in der die beschleunigten Elektronen Energie abgeben. In der Folge nimmt der Auffängerstrom wiederum ab. Bei weiterer Erhöhung von $U_\mathrm B$ wandern beide Anregungszonen in Richtung Kathode. Durch die weitere Beschleunigung der Elektronen nach der zweiten Anregungszone steigt der Auffängerstrom wieder an. Eine dritte Anregungszone entsteht, wenn nach zweimaliger Anregung der Neon-Atome die Elektronen wiederum auf die erforderliche Anregungsenergie beschleunigt werden. Dabei zeigt der Auffängerstrom ein drittes Minimum. Insgesamt sind dann drei Anregungszonen mit ihrem orange-roten Leuchten in der Röhre erkennbar (wie in der oberen Abbildung gezeigt). In einer neongefüllten Franck-Hertz-Röhre treten die Minima des Auffängerstroms in Abständen von $\Delta U_\mathrm B =19~\mathrm V$ auf. Dies entspricht der Energiedifferenz der für die Anregung relevanten Energieniveaus $\Delta E = 19~\mathrm{eV}$. Die Rückkehr in den Ausgangszustand erfolgt stufenweise über mehrere Energieniveaus, wobei nur einer der beteiligten Übergänge das charakteristische orange-rote Licht emittiert.