# Übungsaufgaben zum Elementarkurs Experimentalphysik **Dr. Herbert Schletter** Technische Universität Chemnitz  ## Hinweis zum Urheberrecht [](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) Diese Aufgabensammlung steht unter einer [Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz](http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). Ausgenommen hiervon sind Inhalte (insbesondere Abbildungen), die aus externen Quellen übernommen wurden und dort unter einer anderslautenden Lizenz veröffentlicht wurden. Derartige Inhalte sind im Skript stets mit einem eigenen Lizenzhinweis versehen, der Vorrang vor der hier genannten Lizenz besitzt. ## Verwendung dieser Aufgabensammlung Diese Aufgabensammlung ist abgestimmt auf das Vorlesungsskriptum „Elementarkurs Experimentalphysik“ und vertieft dessen Inhalten durch Verständnisfragen und Berechnungsaufgaben. Der Aufgabenumfang ist auf eine Dauer von einem Semester mit einer Doppelstunde (90 Minuten) Übung alle zwei Wochen ausgelegt. Die Aufgabenkomplexe sind nach dem Verlauf des Skriptums geordnet und in einzelne Übungen gegliedert, die jeweils auf einen Übungstermin ausgerichtet sind. Mit Ausnahme der ersten Übung enthalten die Übungen in der Regeln drei Aufgabenbereiche: - Verständnisfragen: Hier sollen physikalische Sachverhalte qualitativ beurteilt oder beschrieben werden. Die Beantwortung kann in LiaScript direkt in der Aufgabe vorgenommen und es erfolgt eine Ergebniskontrolle. Bei einigen Aufgaben werden mit der Lösung zusätzliche Erläuterungen eingeblendet. Die Verständnisfragen dienen vor allem dem Selbststudium. Eine Besprechung im Übungstermin erfolgt nur auf Nachfrage seitens der Studenten. - Übungsaufgaben: Hierbei handelt es sich um Berechnungsaufgaben, die für eine Besprechung in den Übungen vorgesehen sind. Die Aufgaben selbst sollten bereits vor dem jeweiligen Übungstermin bearbeitet werden, damit eventuelle Unklarheiten bei der Herangehensweise zielgerichtet diskutiert werden können. Zur Selbstkontrolle kann bei jeder Aufgabe der Ergebniswert überprüft werden. Weitere Erläuterungen sind nicht bei den Aufgaben hinterlegt. Diese sollen in der Übung erfolgen. - Hausaufgaben: Dies sind Berechnungsaufgaben, die für das Selbststudium vorgesehen sind. Ebenso wie bei den Übungsaufgaben ist auch hier eine Ergebniskontrolle möglich. Zusätzlich wird bei den Hausaufgaben zusammen mit der Lösung ein vollständiger Lösungsweg eingeblendet. Eine Besprechung dieser Aufgaben in der Übung erfolgt nur auf Nachfrage. ## Übung 1: Mathematische & physikalische Grundlagen Die erste Übung enthält vor allem eine Wiederholung mathematischer (und in geringerem Umfang auch physikalischer) Methoden, die als „Handwerkszeug“ in Vorlesungen und Übungen des Physikkurses wichtig sind. Wenn alle Aufgaben dieses Komplexes sorgfältig bearbeitet wurden, kann diese Übung auch als kompaktes Kompendium für die weiteren Übungen dienen. Da es sich bei den meisten Aufgaben um ein Zusammentragen von Informationen handelt, ist in dieser ersten Übung keine Ergebniskontrolle vorgesehen. Ebenso entfällt die Unterteilung in Verständnisfragen, Übungs- und Hausaufgaben. Der gesamte Komplex wird zum ersten Übungstermin besprochen werden. ### Differentialrechnung Ziel der Differentialrechnung ist die Bestimmung der Ableitung einer gegebenen Funktion. Die Ableitung der Funktion $f(x)$ ist definiert als $$\left .\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\right |_{x=x_0} = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ und gibt den Anstieg der Funktion im Punkt $x_0$ an. Funktionen können von beliebigen Größen abhängen und entsprechend nach jeder dieser Größen abgeleitet werden. In der Physik treten besonders häufig Ableitungen nach einer Ortskoordinate $x$ sowie nach der Zeit $t$ auf. Für diese haben sich die folgenden Kurzschreibweisen etabliert: $$\frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} = f'(x) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(x)}{\mathrm d x^2} = f''(x)$$ $$\frac{\mathrm d f(t)}{\mathrm d t} = \dot f(t) \qquad \frac{\mathrm d^2 f(t)}{\mathrm d t^2} = \ddot f(t)$$ #### Ableitungsregeln Vervollständigen Sie die folgenden Ableitungsregeln: - Ableitung mit konstanten Faktoren: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( c\cdot f(x) \right) =$$ - Ableitung von Summen und Differenzen: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \pm g(x) \right) =$$ - Produktregel: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(x) \cdot g(x) \right) =$$ - Quotientenregel: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) =$$ - Kettenregel: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( f(g(x)) \right) =$$ #### Spezielle Ableitungen Ergänzen Sie die Ableitungen folgender Funktionen: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \mathrm{const.} \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \mathrm{const.} \right) =$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( x^n \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( x^n \right) =$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \sin x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \sin x \right) =$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( e^x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( e^x \right) =$$ $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left( \ln x \right) = \qquad \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\left( \ln x \right) =$$ ### Integralrechnung Ziel der Integralrechnung ist die Bestimmung einer Stammfunktion $G(x)$ zu einer gegebenen Funktion $g(x)$: $$G(x)=\int g(x)\mathrm dx \, .$$ Dabei gilt: $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}G(x) = G'(x) = g(x) \, .$$ Der Ausdruck $\int g(x)\mathrm dx$ wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und ergibt die Funktion $G(x)$. Das Ergebnis einer (unbestimmten) Integration kann überprüft werden, indem die ermittelte Stammfunktion $G(x)$abgeleitet wird. Dabei muss die ursprüngliche Funktion $g(x)$ reproduziert werden. Die Bestimmung einer Stammfunktion ist nicht eindeutig: Es tritt stets eine (zunächst unbestimmte) additive Konstante auf (sogenannte Integrationskonstante). Für ein konkretes physikalisches Problem wird der Wert dieser Konstante aus den Anfangs- oder Randbedingungen bestimmt. Ein bestimmtes Integral $$\int_a^b g(x)\mathrm dx = \left. G(x)\right|_a^b = G(b) - G(a)$$ ist durch seine Integrationsgrenzen $a$ und $b$ gekennzeichnet und liefert einen Zahlenwert, der der Fläche unter der Funktion im Intervall $[a,b]$ entspricht. #### Unbestimmte Integrale spezieller Funktionen Lösen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: $$\int c\mathrm dx =$$ $$\int x^n \mathrm dx =$$ $$\int\sin x\mathrm dx =$$ $$\int\cos x\mathrm dx =$$ $$\int e^x \mathrm dx =$$ $$\int\frac 1x \mathrm dx =$$ $$\int f'(x) \mathrm dx =$$ #### Integrationsregeln Ergänzen Sie die folgenden Integrationsregeln: - Vielfache oder Bruchteile einer Funktion: $$\int c\cdot f(x)\mathrm dx =$$ - Summen von Funktionen: $$\int \left[ f(x) \pm g(x) \right] \mathrm dx =$$ - gleiche Integrationsgrenzen: $$\int_a^a f(x) \mathrm dx =$$ - vertauschte Intgerationsgrenzen: $$\int _b^a f(x) \mathrm dx = \dots \int _a^b f(x) \mathrm dx$$ ### Vektoren Zahlreiche Größen der Physik sind neben ihrem Betrag (einschließlich Einheit) auch durch eine Richtung gekennzeichnet (z.B. Geschwindigkeit, Kraft). Diese gerichteten (oder vektoriellen) Größen werden mathematisch durch Vektoren beschrieben. Das Gegenstück zu den vektoriellen Größen bilden skalare Größen, die nur duch ihren Betrag gekennzeichnet sind (z.B. Masse. Energie). Veranschaulicht werden Vektoren durch Pfeile, deren Länge den Betrag den Betrag des Vektors widerspiegelt. In einem kartesischen Koordinatensystem werden Vektoren angegeben durch ihre Komponenten in $x$-, $y$- und $z$-Richtung: $$\vec a = \begin{pmatrix}a_\mathrm x \\ a_\mathrm y \\ a_\mathrm z \end{pmatrix} \, .$$ Alternativ kann ein Vektor als Betrag und Richtung angegeben werden: $$\vec a = \left |\vec a \right | \cdot \vec e_a \, ,$$ wobei der Ausdruck $\vec e_a$ einen sogenannten Einheitsvektor mit dem Betrag $1$ bezeichnet. Einheitsvektoren können für beliebige Richtungen angegeben werden. Von grundlegender Bedeutung sind die Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen: $$\vec e_x =\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \qquad \vec e_y =\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \qquad \vec e_z =\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \, .$$ Damit kann ein Vektor auch in der Form $$\vec a = a_\mathrm x\vec e_x + a_\mathrm y\vec e_y + a_\mathrm z\vec e_z$$ angegeben werden. #### Rechenregeln für Vektoren Vervollständigen Sie die folgenden Rechenregeln für Vektoren: - Addition von Vektoren: $$\vec a + \vec b =$$ - Subtraktion von Vektoren: $$\vec a - \vec b =$$ - Multiplikation mit einem Skalar: $$c\cdot\vec a =$$ - Berechnung des Betrags: $$\left |\vec a\right | =$$ - Berechnung eines Einheitsvektors: $$\vec e_a =$$ - Gelten für die Vektoraddition das Kommutativ- und das Assoziativgesetz? #### Skalarprodukt Das Skalarprodukt ist das Produkt zweier Vektoren, das eine Zahl (Skalar) ergibt. Es wird durch einen Punkt dargestellt. Ergänzen Sie hierzu die folgenden Informationen: - Berechnung des Skalarprodukts: $$\vec a\cdot\vec b =$$ - Wie verhält sich das Skalarprodukt bei parallelen bzw. bei zueinander senkrechten Vektoren? - Gelten für das Skalarprodukt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (in Verbindung mit der Vektoraddition)? - Wie lässt sich das Skalarprodukt geometrisch veranschaulichen? #### Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) ist das Produkt zweier Vektoren, das einen Vektor ergibt. Es wird durch ein Kreuz dargestellt. Ergänzen Sie hierzu die folgenden Informationen: - Berechnung des Kreuzprodukts: $$\vec a \times\vec b = \begin{pmatrix}a_\mathrm x \\ a_\mathrm y \\ a_\mathrm z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_\mathrm x \\ b_\mathrm y \\ b_\mathrm z\end{pmatrix}=$$ - Betrag des Kreuzprodukts: $$\left | \vec a \times \vec b \right | =$$ - Welche Orientierung besitzt der Ergebnisvektor des Kreuzprodukts (bezogen auf die beiden Ausgangsvektoren)? - Wie verhält sich das Kreuzprodukt bei parallen bzw. zueinander senkrechten Vektoren? - Wie lassen sich Richtung und Betrag des Kreuzprodukts geometrisch veranschaulichen? - Wie verhalten sich die Kreuzprodukte der Einheitsvektoren entlang der Koordinatenachsen: $$\vec e_x \times \vec e_y =$$ $$\vec e_y \times \vec e_z =$$ $$\vec e_z \times \vec e_x =$$ - Gelten für das Kreuzprodukt das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz (in Verbindung mit der Vektoraddition)? ### Größen und Einheiten #### Einheitenvorsätze Ergänzen Sie die Faktoren, die durch folgende Einheitenvorsätze angegeben werden: - Bruchteile: $$\textrm{Dezi}\quad\mathrm d=$$ $$\textrm{Zenti}\quad\mathrm c=$$ $$\textrm{Milli}\quad\mathrm m=$$ $$\textrm{Mikro}\quad\mathrm \mu=$$ $$\textrm{Nano}\quad\mathrm n=$$ - Vielfache: $$\textrm{Deka}\quad\mathrm {da}=$$ $$\textrm{Hekto}\quad\mathrm h=$$ $$\textrm{Kilo}\quad\mathrm k=$$ $$\textrm{Mega}\quad\mathrm M=$$ $$\textrm{Giga}\quad\mathrm G=$$ #### Einheitenumrechnung I Rechnen Sie folgende Einheiten ineinander um: - $\mathrm{dam}$ in $\mathrm{mm}$ - $\mathrm{m^2}$ in $\mathrm{mm^2}$ - $\mathrm{h}$ in $\mathrm{s}$ - $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm s}$ in $\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ - $\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}}$ in $\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}}$ #### Einheitenumrechnung II In den folgenden Formeln werden diese Größen mit ihren Einheiten verwendet: - Weg $s$ in $\mathrm m$, - Geschwindigkeit $v$ in $\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$, - Zeit $t$ in $\mathrm s$, - Masse $m$ in $\mathrm{kg}$. Eventuell vorhandene Indizes ändern nicht die genannten Einheiten. Ermitteln Sie die Einheit des Ergebnisses folgender Formeln: $$v_0 \cdot t + s_0$$ $$\frac{v_0^2}{2\cdot s}$$ $$m\cdot v$$ $$\sqrt{v_0^2 \left ( 1-\frac{s}{s_\mathrm B} \right)}$$ $$\frac{m}{2}v^2$$ $$\frac{s}{v}$$ ## Übung 2: Kinematik und Dynamik ### Verständnisfragen #### Züge An einem Bahnhof fährt ein ICE gerade in dem Moment los, als auf dem Nachbargleis ein Güterzug mit konstanter Geschwindigkeit an ihm vorbeifährt. Die Orts-Zeit-Gesetze beider Züge sind in folgendem Diagramm dargestellt:  Die horizontale Achse stellt die Zeit $t$ (in Sekunden), die vertikale Achse den zurückgelegten Weg $s$ (in Metern) dar. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? [[X]] Zum Zeitpunkt $t=40~\mathrm{s}$ hat der ICE den Güterzug eingeholt. [[ ]] Zum Zeitpunkt $t=40~\mathrm{s}$ haben beide Züge dieselbe Geschwindigkeit. [[X]] Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Streckenintervall $[0\dots 800~\mathrm m]$ ist für beide Züge gleich. [[X]] Zu einem Zeitpunkt $t<40~\mathrm s$ haben beide Züge dieselbe Geschwindigkeit. [[ ]] Über die Geschwindigkeiten der Züge kann keine Aussage getroffen werden, da nur die Orts-Zeit-Gesetze dargestellt sind. [[ ]] Wenn der Güterzug nicht gebremst hätte, wäre er nicht vom ICE eingeholt worden. ******************************************************************************** - Zum Zeitpunkt $t=40~\mathrm{s}$ hat der ICE den Güterzug eingeholt. - **Richtig**: Zu diesem Zeitpunkt schneiden sich die beiden Orts-Zeit-Kurven. Beide Züge befinden sich also an gleicher Position. - Zum Zeitpunkt $t=40~\mathrm{s}$ haben beide Züge dieselbe Geschwindigkeit. - **Falsch**: Die Anstiege der beiden Kurven sind zu diesem Zeitpunkt unterschiedlich. Bei gleicher Geschwindigkeit könnte der ICE den Güterzug nicht überholen. - Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Streckenintervall $[0\dots 800~\mathrm m]$ ist für beide Züge gleich. - **Richtig:** Für diesen Streckenabschnitt benötigen beide Züge 40 Sekunden. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist unabhängig von der Bewegungsform (gleichförmige Bewegung des Güterzugs, gleichmäßig beschleunigte Bewegung des ICE). - Zu einem Zeitpunkt $t<40~\mathrm s$ haben beide Züge dieselbe Geschwindigkeit. - **Richtig**: Der Güterzug fährt die ganze Zeit über mit konstanter Geschwindigkeit. Der ICE ist anfangs langsamer, nach 40 Sekunden überholt er den Güterzug mit höherer Geschwindigkeit. Zu einem Zeitpunkt dazwischen muss der ICE ebenso schnell wie der Güterzug gewesen sein. - Über die Geschwindigkeiten der Züge kann keine Aussage getroffen werden, da nur die Orts-Zeit-Gesetze dargestellt sind. - **Falsch**: Die Geschwindigkeit kann aus den Anstiegen der dargestellten Kurven abgelesen werden. - Wenn der Güterzug nicht gebremst hätte, wäre er nicht vom ICE eingeholt worden. - **Falsch**: Der Güterzug war die gesamte dargestellte Zeit über mit konstanter Geschwindigkeit unterwegs. Er ist eingeholt und überholt worden, ohne dass er gebremst hat. ******************************************************************************** #### Senkrechter Wurf I Ein Körper wird aus einer Höhe $h_0 >0$ senkrecht nach oben geworfen und landet später auf dem Boden ($h=0$). Wählen Sie aus, welche Diagramme (Nummer 1 bis 7) für diesen Vorgang den Zusammenhang $h(t)$ (Höhe-Zeit), $v(t)$ (Geschwindigkeit-Zeit) und $a(t)$ (Beschleunigung-Zeit) korrekt darstellen. Die horizontale Achse entspricht in allen Diagrammen der Zeit $t$.        [[**1**] [**2**] [**3**] [**4**] [**5**] [**6**] [**7**]] [ [X] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] Darstellung $h(t)$ [ [ ] [ ] [X] [ ] [ ] [ ] [ ] ] Darstellung $v(t)$ [ [ ] [ ] [ ] [X] [ ] [ ] [ ] ] Darstellung $a(t)$ ******************************************************************************** - **Höhe-Zeit-Diagramm** $h(t)$: Der Zusammenhang $h(t)$ wird durch **Diagramm 1** beschrieben: Die Bewegung beginnt in einer Höhe $h>0$. Anschließend nimmt die Höhe zunächst zu, da der Körper senkrecht nach oben geworfen wird. Nach Erreichen der maximalen Wurfhöhe, die durch den Scheitelpunkt der Kurve gegeben ist, nimmt die Höhe des Körpers wieder ab. Am Ende des dargestellten Vorgangs beträgt die Höhe $h=0$. - **Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm** $v(t)$: Der Zusammenhang $v(t)$ wird durch **Diagramm 3** beschrieben: Da der Körper nach oben geworfen wird, ist seine Geschwindigkeit anfangs positiv. Aufgrund der konstant wirkenden Fallbeschleunigung nimmt die Geschwindigkeit linear ab. Bei der maximalen Wurfhöhe wechselt die Geschwindigkeit das Vorzeichen und ist während der Abwärtsbewegung negativ. - **Beschleunigung-Zeit-Diagramm** $a(t)$: Der Zusammenhang $a(t)$ wird durch **Diagramm 4** beschrieben: Die wirkende Beschleunigung ist konstant. Es ist die nach unten gerichtete (d.h. negative) Fallbeschleunigung $a = -g = -9{,}81~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$. ******************************************************************************** #### Bewegung auf der Luftkissenbahn Eine Luftkissenbahn mit einer Gesamtlänge von $2~\mathrm m$ sei geneigt aufgestellt, sodass das obere Ende um $\Delta h = 14{,}5~\mathrm{cm}$ höher liegt als das untere Ende. Positionen auf der Luftkissenbahn werden durch die Koordinate $x$ angegeben. Das untere Ende der Bahn entspricht $x = 0$, das obere Ende liegt bei $x = 2~\mathrm m$. Am unteren Ende der Bahn wird ein Gleiter nach oben angeschoben (Anfangsgeschwindigkeit $v_0$). Danach erfolgt kein weiterer Eingriff in die Bewegung des Gleiters. Sobald der Gleiter die Stelle $x = 10~\mathrm{cm}$ erreicht, startet die automatische Aufzeichnung des Orts-Zeit-Gesetzes. Das resultierende Diagramm $x(t)$ ist in der nachfolgenden Abbildung gezeigt. Die $x$-Koordinate (vertikale Achse) ist dabei in Metern angegeben. Zeitangaben (horizontale Achse) erfolgen in Sekunden.  Welche der folgenden Aussagen bezüglich der ober dargestellten Bewegung sind richtig? [[X]] Der Betrag der auf den Gleiter wirkenden Beschleunigung wird durch die Fallbeschleunigung $g$ und den Neigungswinkel der Bahn bestimmt. [[ ]] Aussagen zur Geschwindigkeit oder Beschleunigung des Gleiters können nicht getroffen werden, da nur das Orts-Zeit-Gesetz gezeigt ist. [[X]] Auf den Gleiter wirkt permanent eine konstante Beschleunigung, die zum unteren Bahnende gerichtet ist. [[ ]] Nach etwa 2 Sekunden erreicht der Gleiter seine größte Geschwindigkeit. [[X]] Am Ende der Messdauer (bei $t = 4~\mathrm s$) befindet sich der Gleiter unmittelbar vor dem unteren Bahnende. [[X]] Das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt eine fallende Gerade. [[ ]] Die auf den Gleiter wirkende Beschleunigung ist zunächst positiv und wechselt im Umkehrpunkt ($t \approx 2~\mathrm s$) das Vorzeichen. Der Betrag ändert sich dabei nicht. [[ ]] Der Gleiter bewegt sich während der gesamten Messdauer aufwärts. ******************************************************************************** * Der Betrag der auf den Gleiter wirkenden Beschleunigung wird durch die Fallbeschleunigung g und den Neigungswinkel der Bahn bestimmt. * **Richtig**: Die Fallbeschleunigung ist stets senkrecht orientiert. Die Beschleunigung des Gleiters entspricht dem Anteil der Fallbeschleunigung parallel zur Luftkissenbahn. * Aussagen zur Geschwindigkeit oder Beschleunigung des Gleiters können nicht getroffen werden, da nur das Orts-Zeit-Gesetz gezeigt ist. * **Falsch**: Geschwindigkeit und Beschleunigung entsprechen der ersten beziehungsweise zweiten Ableitung der Orts-Zeit-Kurve. Aus dem Kurvenverlauf lassen sich somit auch Rückschlüsse auf diese beiden Größen ziehen. * Auf den Gleiter wirkt permanent eine konstante Beschleunigung, die zum unteren Bahnende gerichtet ist. * **Richtig**: Da die Bahn gerade ist, wirkt auch eine konstante Beschleunigung (siehe auch Aussage 1). * Nach etwa 2 Sekunden erreicht der Gleiter seine größte Geschwindigkeit. * **Falsch**: Zu diesem Zeitpunkt befindet sich der Gleiter etwa im Umkehrpunkt seiner Bahn. Die Geschwindigkeit wechselt im Umkehrpunkt das Vorzeichen und ist für einen Moment Null. Große Geschwindigkeiten zeigen sich durch steile Anstiege der Orts-Zeit-Kurve, wie sie zu Beginn und am Ende der Messdauer vorliegen. * Am Ende der Messdauer (bei $t = 4~\mathrm s$) befindet sich der Gleiter unmittelbar vor dem unteren Bahnende. * **Richtig**: Am rechten Rand des Diagramms endet die Kurve in der Nähe der Position $x = 0$. * Das zugehörige Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt eine fallende Gerade. * **Richtig**: Die Orts-Zeit-Kurve ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deren Ableitung ist eine fallende Gerade. Ebenso lässt sich aus der konstanten Beschleunigung (Aussagen 1 und 3) auf eine linear abnehmende Geschwindigkeit schließen. * Die auf den Gleiter wirkende Beschleunigung ist zunächst positiv und wechselt im Umkehrpunkt ($t \approx 2~\mathrm s$) das Vorzeichen. Der Betrag ändert sich dabei nicht. * **Falsch**: Im Umkehrpunkt wechselt zwar die Geschwindigkeit das Vorzeichen, nicht aber die Beschleunigung. Letztere ist konstant und negativ. * Der Gleiter bewegt sich während der gesamten Messdauer aufwärts. * **Falsch**: Anfangs bewegt sich der Gleiter aufwärts und erreicht dann seinen Umkehrpunkt (Scheitelpunkt der Orts-Zeit-Kurve). Danach bewegt sich der Gleiter abwärts (fallender Ast der Parabel). ******************************************************************************** #### Senkrechter Wurf II Ein Körper wird senkrecht nach oben geworfen. Was gilt für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung im höchsten Punkt? [[X]] Der Betrag der Geschwindigkeit ist null: $\left| v \right| = 0$. [[ ]] Der Betrag der Geschwindigkeit ist größer als null: $\left| v \right| > 0$. [[ ]] Der Betrag der Beschleunigung ist null: $\left| a \right| = 0$. [[X]] Der Betrag der Beschleunigung ist größer als null: $\left| a \right| > 0$. ******************************************************************************** * Der Betrag der Geschwindigkeit ist null: $\left| v \right| = 0$. * **Richtig**: Im höchsten Punkt der Bahn ändert sich die Bewegungsrichtung von *aufwärts* zu *abwärts*. Die Geschwindigkeit wechselt dabei das Vorzeichen und ist für einen Moment Null. * Der Betrag der Geschwindigkeit ist größer als null: $\left| v \right| > 0$. * **Falsch**: siehe oben. * Der Betrag der Beschleunigung ist null: $\left| a \right| = 0$. * **Falsch**: Während des gesamten Vorgangs wirkt konstant die Fallbeschleunigung $\left | a \right | = g$. * Der Betrag der Beschleunigung ist größer als null: $\left| a \right| > 0$. * **Richtig**: siehe oben. ******************************************************************************** #### Grimsehlversuch I Zwei Kugeln befinden sich auf einer Startvorrichtung, von der sie gleichzeitig und aus gleicher Höhe ihre Bewegung beginnen: Kugel 1 fällt senkrecht nach unten, Kugel 2 wird waagerecht abgeworfen. Welche Aussagen über die Bewegung der Kugeln sind richtig? [[X]] Beide Kugeln erreichen gleichzeitig den Boden, da in vertikale Richtung dieselbe Bewegung ausgeführt wird. [[ ]] Beide Kugeln haben bei Auftreffen auf den Boden dieselbe Geschwindigkeit, da auf beide Kugeln dieselbe Beschleunigung (Fallbeschleunigung) wirkt. [[X]] Die waagerecht abgeworfene Kugel behält in horizontale Richtung ihre Anfangsgeschwindigkeit bei. [[X]] Die Kugeln befinden sich zu jedem Zeitpunkt in derselben Höhe. [[X]] Der Abstand zwischen den Kugeln nimmt kontinuierlich zu. [[ ]] Die senkrecht fallende Kugel erreicht den Boden eher, da sie einen kürzeren Weg zurücklegt. [[ ]] Die horizontale Bewegung der abgeworfenen Kugel wird immer langsamer. So entsteht die charakteristische Parabelform der Flugbahn. ***************************************************************************** * Beide Kugeln erreichen gleichzeitig den Boden, da in vertikale Richtung dieselbe Bewegung ausgeführt wird. * **Richtig**: Für Bewegungen gilt das Prinzip der ungestörten Überlagerung (Superposition). Die vertikale Bewegung ist demnach unabhänhgig von der horizontalen Bewegung und für beide Kugeln identisch. * Beide Kugeln haben bei Auftreffen auf den Boden dieselbe Geschwindigkeit, da auf beide Kugeln dieselbe Beschleunigung (Fallbeschleunigung) wirkt. * **Falsch**: Die vertikale Geschwindigkeitskomponente ist für beide Kugeln identisch. Die abgeworfene Kugel besitzt zusätzlich eine horizontale Geschwindigkeitskomponente, sodass ihre Gesamtgeschwindigkeit größer ist. * Die waagerecht abgeworfene Kugel behält in horizontale Richtung ihre Anfangsgeschwindigkeit bei. * **Richtig**: Bei Vernachlässigung der Luftreibung (was hier gerechtfertigt ist) liegt in horizontale Richtung keinerlei Beschleunigung vor. * Die Kugeln befinden sich zu jedem Zeitpunkt in derselben Höhe. * **Richtig**: Dies ist gleichbedeutend mit der ersten Aussage. * Der Abstand zwischen den Kugeln nimmt kontinuierlich zu. * **Richtig**: Die abgeworfene Kugel bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in horizontale Richtung und entfernt sich dabei von der anderen Kugel. * Die senkrecht fallende Kugel erreicht den Boden eher, da sie einen kürzeren Weg zurücklegt. * **Falsch**: Für die Bestimmung der Fallzeit spielt nur der vertikale Bewegungsablauf eine Rolle. Dieser ist für beide Kugeln identisch. Somit erreichen auch beide Kugeln gleichzeitig den Boden. Die zusätzliche horizontale Bewegung der abgeworfenen Kugel hat keinen Einfluss hierauf. Natürlich legt die abgeworfene Kugel einen längeren Weg zurück, sie besitzt jedoch auch (aufgrund der Abwurfs) eine höhere Gesamtgeschwindigkeit. * Die horizontale Bewegung der abgeworfenen Kugel wird immer langsamer. So entsteht die charakteristische Parabelform der Flugbahn. * **Falsch**: Die horizontale Geschwindigkeit der abgeworfenen Kugel bleibt konstant (siehe dritte Aussage). Die Parabelform entsteht durch die aufgrund der Fallbeschleunigung zunehmende vertikale Geschwindigkeit. **************************************************************************** #### Erstes Newtonsches Axiom Ein Körper bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Was lässt sich dabei über die auf den Körper wirkenden Kräfte schlussfolgern? [[ ]] Es dürfen keinerlei Kräfte auf den Körper einwirken, da sich sonst seine Geschwindigkeit in jedem Fall ändern würde. [[ ]] Es können nur Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung angreifen. [[X]] Es können beliebige Kräfte auf den Körper einwirken, solange ihre (vektorielle) Summe null ist. [[ ]] Jede einzelne Kraft, die auf den Körper wirkt, muss zeitlich konstant sein. ******************************************************************************** * Es dürfen keinerlei Kräfte auf den Körper einwirken, da sich sonst seine Geschwindigkeit in jedem Fall ändern würde. * **Falsch**: Entscheidend ist die resultierende Gesamtkraft. Diese kann Null sein, selbts wenn verschiedene (Einzel-) Kräfte auf den Körper einwirken. * Es können nur Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung angreifen. * **Falsch**: Diese Aussage ist doppelt inkorrekt: Einerseits bewirken auch senkrecht angreifende Kräfte eine Beschleunigung, wenn sie nicht kompensiert werden. Andererseits lassen sich auch Kräfte in Bewegungsrichtung kompensieren, sodass sie keine Änderung des Bewegungszustands verursachen. * Es können beliebige Kräfte auf den Körper einwirken, solange ihre (vektorielle) Summe null ist. * **Richtig**: Kräfte überlagern sich vektoriell gemäß dem Superpositionsprinzip. Entscheidend für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine von Null verschiedene Gesamtkraft. * Jede einzelne Kraft, die auf den Körper wirkt, muss zeitlich konstant sein. * **Falsch**: Auch zeitlich veränderliche Kräfte können sich gegenseitig kompensieren, sodass die Gesamtkraft unverändert Null ist. ******************************************************************************** #### Zweites Newtonsches Axiom Das zweite Newtonsche Axiom beinhaltet die Formel $\int_{t_1}^{t_2}F \mathrm dt = \Delta p$. Welche der folgenden Schlussfolgerungen aus dieser Formel sind richtig? [[X]] Ein Körper ändert seinen Impuls, wenn die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte nicht null ist. [[ ]] Die Änderung des Impulses ist unabhängig vom gewählten Zeitintervall $[t_1, t_2]$. [[X]] Die Formel $F=m\cdot a$ ist ein Sonderfall der obigen Formel (bei konstanter Masse). [[ ]] Je größer die Masse eines Körpers, umso stärker wird er (bei gleichem Kraftstoß) beschleunigt. [[ ]] Die Formel erlaubt keinerlei Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit, da nur der Impuls berechnet werden kann. [[X]] Auch kleine Kräfte können eine starke Impulsänderung bewirken, wenn sie über einen langen Zeitraum wirken. ******************************************************************************** * Ein Körper ändert seinen Impuls, wenn die Summe aller auf ihn wirkenden Kräfte nicht null ist. * **Richtig**: Eine Änderung des Bewegungszustands (was gleichbedeutend ist mit einer Änderung des Impulses) geschieht stets durch die Einwirkung einer (resultierenden) Kraft. * Die Änderung des Impulses ist unabhängig vom gewählten Zeitintervall $[t_1, t_2]$. * **Falsch**: Je länger die Kraft einwirkt, umso größer wird die resultierende Impulsänderung sein. * Die Formel $\vec F=m\cdot \vec a$ ist ein Sonderfall der obigen Formel (bei konstanter Masse). * **Richtig**: Die obige Formel lautet in differenzieller Schreibweise $\vec F = \dot{\vec p}$. Bei konstanter Masse gilt $\dot{\vec p} = m\vec a$. * Je größer die Masse eines Körpers, umso stärker wird er (bei gleichem Kraftstoß) beschleunigt. * **Falsch**: Der Gegenteil ist der Fall: Bei größerer Masse erfordert dieselbe Impulsänderung eine kleinere Geschwindigkeitsänderung. Körper mit größerer Masse werden also weniger stark beschleunigt bei gleichem Kraftstoß. * Die Formel erlaubt keinerlei Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit, da nur der Impuls berechnet werden kann. * **Falsch**: Da \vec p = m\vec v gilt, können aus der Impulsänderung auch Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit gezogen werden, wenn Informationen über die Masse vorliegen. * Auch kleine Kräfte können eine starke Impulsänderung bewirken, wenn sie über einen langen Zeitraum wirken. * **Richtig**: Je länger eine Kraft einwirkt, umso größer wird resultierende Impulsänderung. Bei konstanter Kraft ist die Impulsänderung proportional zur Länge des Zeitintervalls. ******************************************************************************** ### Übungsaufgaben #### Von 0 auf 100 Bei Autos wird gelegentlich angegeben, wie lange sie „von 0 auf 100“ brauchen. Gemeint ist die Zeitdauer für die Beschleunigung aus dem Stand auf $v_\mathrm{end} = 100~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$. Für die folgenden Berechnungen wird davon ausgegangen, dass die Beschleunigung während des gesamten Vorgangs konstant ist. 1. Wie groß ist die Beschleunigung $a$, wenn die Geschwindigkeit von $v_\mathrm{end} = 100~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ nach $t=12{,}3~\mathrm s$ erreicht wird? [[ $0{,}48~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | $1{,}37~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | ($2{,}26~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$) | $3{,}15~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ ]] 2. Welche Strecke $s$ legt das Fahrzeug dabei zurück? [[ $s=53~\mathrm m$ | ($s=171~\mathrm m$) | $s=224~\mathrm m$ | $s=396~\mathrm m$ ]] #### Bremsvorgang eines Zugs Ein Regionalexpress ist mit einer Geschwindigkeit von $v_0 = 140~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ unterwegs. Bei der Annäherung an einen Bahnhof zeigt das Vorsignal „Halt erwarten“. Der Zug kann also nicht in den Bahnhof einfahren, sondern muss am Einfahrsignal, das sich $1000~\mathrm m$ nach dem Vorsignal befindet, anhalten. Der Triebfahrzeugführer (so die korrekte Bezeichnung!) startet beim Passieren des Vorsignals den Bremsvorgang des Zugs. Die Bremsverzögerung wählt er dabei so, dass der Zug genau am Einfahrsignal zum Stillstand käme. 1. Berechnen Sie den Betrag der Beschleunigung, die der Zug bei diesem Bremsvorgang erfährt. [[ $a=0{,}14~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | ($a=0{,}76~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$) | $a=1{,}29~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | $a=1{,}58~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | $a=2{,}21~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ ]] 2. Welche der folgenden Darstellungen gibt das korrekte Geschwindigkeits-Orts-Gesetz für diesen Bremsvorgang wieder? - Diagramm 1  - Diagramm 2  - Diagramm 3  [[ Diagramm 1 | Diagramm 2 | (Diagramm 3) ]] 3. Als sich der Zug noch $180~\mathrm m$ vor dem Einfahrsignal befindet, schaltet dieses um und gibt die Einfahrt in den Bahnhof mit einer Höchstgeschwindigkeit von $v=40~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ frei. Muss der Zug zu diesem Zeitpunkt noch weiter abgebremst werden oder hat er diese Höchstgeschwindigkeit bereits unterschritten? [[ (Der Zug muss weiter abbremsen.) | Der Zug hat diese Geschwindigkeit bereits unterschritten. ]] #### Zielwerfen Bei einer Spielshow sollen die Kandidaten von einer erhöhten Plattform aus Bälle auf eine auf den Boden gemalte Zielscheibe werfen. Das Zentrum der Zielscheibe (mit der Maximalpunktzahl 10) hat einen Durchmesser von $D_\mathrm Z = 80~\mathrm{cm}$. Die umgebenden Ringe (in absteigender Wertigkeit von 9 bis 1 Punkte) haben jeweils eine Breite von $b_\mathrm R = 40~\mathrm{cm}$. Der horizontale Abstand zwischen der Werferplattform und dem Mittelpunkt der Zielscheibe beträgt $x_\mathrm m = 7~\mathrm m$. Der Abwurf erfolgt in einer Höhe $h_0 = 9~\mathrm m$ über dem Boden. In allen Fällen wird davon ausgegangen, dass der Ball in horizontale Richtung abgeworfen wird. 1. Mit welcher Geschwindigkeit muss der Kandidat den Ball abwerfen, damit genau der Mittelpunkt der Zielscheibe getroffen wird? [[ $v=0{,}7~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=1{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=2{,}5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=3{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=4{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v=5{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v=6{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=7{,}0~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] 2. Die Bewegung des Wurfarms lässt sich verständlicherweise nur mit begrenzter Genauigkeit steuern. Folglich werden einige Bälle langsamer und andere schneller als diese (unter 1. berechnete) optimale Geschwindigkeit abgeworfen. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf mit einer um 25% höheren Geschwindigkeit erfolgt? [[ 10 Punkte | 9 Punkte | 8 Punkte | 7 Punkte | (6 Punkte) | 5 Punkte | 4 Punkte | 3 Punkte | 2 Punkte | 1 Punkt | 0 Punkte ]] 3. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf mit einer um 25% geringeren Geschwindigkeit erfolgt? [[ 10 Punkte | 9 Punkte | 8 Punkte | 7 Punkte | (6 Punkte) | 5 Punkte | 4 Punkte | 3 Punkte | 2 Punkte | 1 Punkt | 0 Punkte ]] 4. Welche Punktzahl wird erreicht, wenn der Abwurf zwar mit der (unter 1. berechneten) optimalen Geschwindigkeit erfolgt, jedoch nicht exakt Richtung Mittelpunkt der Zielscheibe, sondern mit einer seitlichen Abweichung von $\alpha = 5°$? [[ 10 Punkte | (9 Punkte) | 8 Punkte | 7 Punkte | 6 Punkte | 5 Punkte | 4 Punkte | 3 Punkte | 2 Punkte | 1 Punkt | 0 Punkte ]] #### Der „Kirchenflug“ von Limbach-Oberfrohna Am 25. Januar 2009 ereignete sich in Limbach-Oberfrohna ein spektakulärer Unfall: Ein Auto kam mit hoher Geschwindigkeit von der Straße ab und raste eine Böschung hinauf, die in diesem Moment wie eine Sprungschanze fungierte. Vom Ende der Böschung flog das Fahrzeug durch die Luft und landete schließlich im Dach der Kirche. Das Auto verschwand dabei fast vollständig zwischen dem Gebälk des Dachstuhls. Spektakulär ist der Unfall auch deshalb, weil der Fahrer zwar schwer verletzt aber ohne bleibende Schäden den Unfall überlebte. Aus den zahlreichen Medienberichten über diesen Unfall war zu entnehmen, dass der Flug eine Weite von $35~\mathrm m$ überspannte und in einer Höhe von circa $6~\mathrm m$ endete. Der Steigungswinkel der Böschung wird mit $17°$ angenommen. Berechnen Sie daraus die Geschwindigkeit des Fahrzeugs zu Beginn des Flugs. [[ $v_0 = 55~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm m}$ | $v_0 = 75~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm m}$ | $v_0 = 95~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm m}$ | $v_0 = 115~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm m}$| ($v_0 = 135~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm m}$)]] **Hinweis:** Die Zahlen in der Aufgabenstellung wurden überwiegend den Medienberichten entnommen beziehunsgweise aus den dortigen Angaben hergeleitet. Teilweise fanden sich unterschiedliche Angabe zur Höhe des Aufschlagpunkts. Insofern ist diese Aufgabe eine Anlehnung an den tatsächlichen Unfallhergang. Sie erhebt jedoch nicht den Anspruch, eine detaillierte Rekonstruktion darzustellen. #### Achterbahn mit Katapultstart Der Zug einer Achterbahn werde bei einem sogenannten Katapultstart auf einer horizontalen Beschleunigungsstrecke auf eine Endgeschwindigkeit von $v_\mathrm e = 100~\frac{\mathrm {km}}{\mathrm h}$ beschleunigt. Das Antriebssystem übt dabei eine Kraft von $F = 80~\mathrm{kN}$ auf den Achterbahnzug aus, der eine Masse von $m = 7{,}5~\mathrm t$ besitzt. 1. Wie lang muss die Beschleunigungsstrecke sein? [[ ($s_\mathrm B = 36{,}17~\mathrm m$) | $s_\mathrm B = 47{,}53~\mathrm m$ | $s_\mathrm B = 53{,}47~\mathrm m$ | $s_\mathrm B = 75{,}34~\mathrm m$ ]] 2. Geben Sie die Beschleunigung des Achterbahnzugs in $\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ sowie in Vielfachen der Fallbeschleunigung an. [[ $a= 4{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | $a= 6{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | $a= 8{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | ($a= 10{,}7~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$) ]] [[ ($a=1{,}1~g$) | $a=3{,}3~g$ | $a=5{,}5~g$ | $a=7{,}7~g$ ]] #### Dynamik mit Modellbahnwagen Auf einer geradlinigen, horizontalen Modellbahnschiene stehen zwei identische Güterwagen. Außerdem befindet sich in der Mitte der Schiene eine Halterung mit einer gespannten Feder. Die beiden Wagen liegen links und rechts an dieser Feder an, sodass sie nach deren Freigabe auseinandergedrückt werden. Die Feder selbst ist in der Halterung nicht fixiert, sondern wird lediglich für eine Bewegung parallel zum Gleis geführt. Die Bewegungsstrecke der beiden Wagen wird jeweils durch einen Prellbock festgelegt, der auf dem Gleis fixiert ist. Die Leermasse beider Wagen beträgt $m_\mathrm W =63~\mathrm g$. Wagen 2 besitzt zudem eine Beladung unbekannter Masse. Die Prellböcke wurden so eingestellt, dass beide Wagen nach Entspannung der Feder das Bahnende gleichzeitig nach $t=0{,}87~\mathrm s$ erreichen. Die Bewegungsstrecken der beiden Wagen betragen dabei $s_1 = 43~\mathrm{cm}$ und $s_2 = 27~\mathrm{cm}$. Reibungseffekte können vernachlässigt werden. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass die Dehnung der Feder sehr klein im Vergleich zu den Bewegungsstrecken ist. Die gesamte Bewegung kann daher als gleichförmig angenommen werden (Vernachlässigung der Beschleunigungsstrecke). 1. Welche Masse hat die Beladung des zweiten Wagens? [[ $m_\mathrm B = 17~\mathrm g$ | ($m_\mathrm B = 37~\mathrm g$) | $m_\mathrm B = 57~\mathrm g$ | $m_\mathrm B = 77~\mathrm g$ | $m_\mathrm B = 97~\mathrm g$ ]] 2. Am Prellbock des Wagens 1 wurde beim Aufprall eine durchschnittliche Kraft von $F= 420~\mathrm{mN}$ gemessen. Wie lang dauerte dieser Aufprall, bei dem der Wagen zum Stillstand kam? [[ ($t = 74~\mathrm{ms}$) | $t = 165~\mathrm{ms}$ | $t = 254~\mathrm{ms}$ | $t = 345~\mathrm{ms}$ ]] ### Hausaufgaben #### Achterbahn mit Katapultstart II Der Zug einer Achterbahn werde bei einem sogenannten Katapultstart auf einer horizontalen Beschleunigungsstrecke durch ein Antriebssystem innerhalb von $2{,}5~\mathrm s$ auf eine Endgeschwindigkeit von $100~\frac{\mathrm {km}}{\mathrm h}$ beschleunigt. 1. Geben Sie die mittlere Beschleunigung in $\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ sowie in Vielfachen der Fallbeschleunigung an. 2. Wie lang muss die Beschleunigungsstrecke sein? ----- - Antwort Teilaufgabe 1 [[ ($a=11{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 1{,}1~g$) | $a=22{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 2{,}2~g$ | $a=33{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 3{,}3~g$ | $a=44{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 4{,}4~g$ ]] ******************************************************************************** Da die mittlere Beschleunigung ermittelt werden soll, kann von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ausgegangen werden. Für diese gilt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz $$v(t) = at+v_0 \qquad \textrm{mit }v_0 =0 \, .$$ Mit der gegebenen Endgeschwindigkeit $v_\mathrm e = 100~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h} = 27{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ und der Beschleunigungsdauer $t_\mathrm B = 2{,}5~\mathrm s$ folgt daraus: $$v_\mathrm e=a\cdot t_\mathrm B$$ beziehungsweise $$a=\frac{v_\mathrm e}{t_\mathrm B} = 11{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 1{,}1~\mathrm g \, .$$ ******************************************************************************** - Antwort Teilaufgabe 2 [[ $s_\mathrm B=16{,}35~\mathrm m$ | $s_\mathrm B=25{,}55~\mathrm m$ | ($s_\mathrm B=34{,}75~\mathrm m$) | $s_\mathrm B=43{,}95~\mathrm m$]] ******************************************************************************** Das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung lautet: $$s(t) = \frac a2 t^2 + v_0 t + s_0 \, .$$ Mit $v_0 = 0$ und $s_0 = 0$ folgt daraus: $$s_\mathrm B = \frac a2 t_\mathrm B^2 = \frac 12 \frac{v_\mathrm e}{t_\mathrm B}\cdot t_\mathrm B^2 = \frac 12 v_\mathrm et_\mathrm B = 34{,}75~\mathrm m \, .$$ ******************************************************************************** #### Freifallturm In einem „shot’n’drop“ Freifallturm wird die Gondel mit den Fahrgästen zunächst vom Boden aus nach oben katapultiert. Dieser „Abschuss“ dauere $0{,}92~\mathrm s$. Anschließend steige die Gondel weitere $35~\mathrm m$ in die Höhe, bevor sie ihren freien Fall beginnt. In einer Höhe von $17~\mathrm m$ über dem Boden werde das Bremssystem aktiviert, das die Gondel zum Stillstand am Boden bringt. 1. Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Gondel unmittelbar nach dem Abschuss. 2. Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung während des Abschussvorgangs. Geben Sie diese in $\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ sowie in Vielfachen der Fallbeschleunigung an. 3. Welche Maximalhöhe erreicht die Gondel? 4. Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung während des Bremsvorgangs. 5. Skizzieren Sie für den gesamten Vorgang die Diagramme $h(t)$ (Höhe-Zeit), $v(t)$ (Geschwindigkeit-Zeit) und $a(t)$ (Beschleunigung-Zeit). Nehmen Sie dabei konstante Beschleunigungen bei Abschuss und Bremsvorgang an. ----- * Antwort Teilaufgabe 1 [[ $v_0 = 17{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v_0 = 26{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v_0 = 35{,}9~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_0 = 44{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_0 = 53{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] ******************************************************************************** Die Bewegung der Gondel zwischen Abschuss und Bremsvorgang entspricht einem senkrechten Wurf nach oben. Dabei gilt das allgemeine Höhe-Zeit-Gesetz: $$h(t) = h_0 + v_0 t - \frac g2 t^2 \, .$$ Für die gegebene Steighöhe $h_\mathrm s =35~\mathrm m$ folgt daraus: $$h_\mathrm s = v_0t_\mathrm s-\frac g2 t_\mathrm s^2 \, ,$$ wobei $t_\mathrm s$ die Steigzeit angibt. Für diese folgt aus dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: $$v(t_\mathrm s) = v_0-gt_\mathrm s = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad t_\mathrm s = \frac{v_0}{g} \, .$$ Eingesetzt in die Formel der Steighöhe ergibt sich: $$h_\mathrm s = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac g2\cdot \frac{v_0^2}{g^2} = \frac{v_0^2}{2g}\, .$$ Damit ergibt sich als Anfangsgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Abschuss: $$v_0 = \sqrt{2gh_\mathrm s} = 26{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 2 [[ $a=4{,}9~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 0{,}5~\mathrm g$ | $a=12{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 1{,}3~\mathrm g$ | $a=19{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 1{,}9~\mathrm g$ | $a=24{,}7~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 2{,}5~\mathrm g$ | ($a=28{,}5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 2{,}9~\mathrm g$) ]] ******************************************************************************** Zur Berechnung der mittleren Beschleunigung kann von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ausgegangen werden. Es gilt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (ohne Anfangsgeschwindigkeit): $$v(t) = at \, .$$ Dabei wird nach der Beschleunigungsdauer $t_\mathrm B=0{,}92~\mathrm s$ die oben errechnete Geschwindigkeit erreicht. Für die Beschleunigung folgt daraus: $$a=\frac{v_0}{t_\mathrm B} = \frac{\sqrt{2gh_\mathrm s}}{t_\mathrm B} = 28{,}5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} = 2{,}9~\mathrm g \, .$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 3 [[ $h_\mathrm{max} = 23{,}2~{\mathrm m}$ | $h_\mathrm{max} = 36{,}8~{\mathrm m}$ | ($h_\mathrm{max} = 47{,}1~{\mathrm m}$) | $h_\mathrm{max} = 52{,}4~{\mathrm m}$ ]] ******************************************************************************** Zur Ermittlung der Gesamthöhe kommt zur gegebenen Steighöhe (nach dem Abschuss) noch die während des Abschussvorgangs zurückgelegte Strecke $h_\mathrm B$ hinzu. Es wird wieder eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angenommen und das Höhe-Zeit-Gesetz (ohne Anfangshöhe & und ohne Anfangsgeschwindigkeit) angesetzt: $$h_\mathrm B = \frac 12 at_\mathrm B^2 = \frac 12\frac{\sqrt{2gh_\mathrm s}}{t_\mathrm B}t_\mathrm B^2 = \sqrt{\frac{gh_\mathrm s}{2}}t_\mathrm B = 12{,}1~\mathrm m \, .$$ Für die Maximalhöhe folgt dann $$h_\mathrm{max} = h_\mathrm B + h_\mathrm s = 47{,}1~{\mathrm m} \, .$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 4 [[ $a_\mathrm{Br}= 0{,}173~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | $a_\mathrm{Br}= 1{,}73~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ | ($a_\mathrm{Br}= 17{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$) | $a_\mathrm{Br}= 173~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ ]] ******************************************************************************** Für den Bremsvorgang steht ein Bremsweg $s_\mathrm{Br} = 17~\mathrm m$ zur Verfügung. Zur Ermittlung der mittleren Bremsverzögerung wird wiederum eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung angesetzt. Dabei gelten das Weg-Zeit- und das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: $$s(t) = v_\mathrm F t - \frac{a_\mathrm{Br}}{2} t^2$$ $$v(t) = v_\mathrm F - a_\mathrm{Br}t \, ,$$ wobei $v_\mathrm F$ die im freien Fall bis zum Einsetzen der Bremsen erreichte Geschwindigkeit bezeichnet. Die Dauer des Bremsvorgangs $t_\mathrm{Br}$ ist unbekannt. Daher muss die Zeit aus den obigen Formeln eliminiert werden. Am Ende des Bremsvorgangs ist die Geschwindigkeit auf 0 abgesunken, d.h. $$v(t_\mathrm{Br}) = v_\mathrm F - at_\mathrm{Br} = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad t_\mathrm{Br} = \frac{v_\mathrm F}{a_\mathrm{Br}} \, .$$ Eingesetzt in das Weg-Zeit-Gesetz folgt für den Bremsweg $$s(t_\mathrm{Br}) = s_\mathrm{Br} = v_\mathrm F \cdot \frac{v_\mathrm F}{a_\mathrm{Br}} - \frac 12 a_\mathrm{Br} \frac{v_\mathrm F^2}{a_\mathrm{Br}^2} = \frac{v_\mathrm F^2}{2a_\mathrm{Br}} \, .$$ Für die Bremsverzögerung folgt daraus: $$a_\mathrm{Br} = \frac{v_\mathrm F^2}{2s_\mathrm{Br}} \, .$$ Die Fallgeschwindigkeit $v_\mathrm F$ folgt aus der Fallhöhe $h_\mathrm F$ vom höchsten Punkt bis zum Einsetzen der Bremsen: $$h_\mathrm F = h_\mathrm{max} - s_\mathrm{Br} \, .$$ Aus dem Weg-Zeit-Gesetz dieses freien Falls folgt: $$h_\mathrm F = \frac g2 t_\mathrm F^2 \qquad \Longrightarrow \qquad t_\mathrm F = \sqrt{\frac{2h_\mathrm F}{g}} \, .$$ Damit ergibt sich für die erreichte Fallgeschwindigkeit: $$v_\mathrm F = gt_\mathrm F = g\sqrt{\frac{2h_\mathrm F}{g}} = \sqrt{2gh_\mathrm F} \, .$$ Dies wird in die Formel für die Bremsverzögerung eingesetzt: $$a_\mathrm{Br} = \frac{v_\mathrm F^2}{2s_\mathrm{Br}} = \frac{\sqrt{2gh_\mathrm F}^2}{2s_\mathrm{Br}} = g\cdot \frac{h_\mathrm F}{s_\mathrm{Br}} = 17{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \, .$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 5 [[ (Musterlösung anzeigen) | Musterlösung nicht anzeigen ]] ******************************************************************************** Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die geforderten Diagramme mit den berechneten Kurven der Höhe $h(t)$, der Geschwindigkeit $v(t)$ und der Beschleunigung $a(t)$. Die Berechnung erfolgte anhand der in der Aufgabenstellung gegebenen Werte. Die einzelnen Kurven widerspiegeln den Bewegungsablauf des Freifallturms daher nicht nur qualitativ, sondern auch quantitativ. Da in der Aufgabenstellung nur Skizzen gefordert waren, sind die quantitativen Beschriftungen der Diagrammachsen zur Lösung der Aufgabe nicht erforderlich. Die angegebenen Zeiten haben folgende Bedeutungen: - $t_1$: Ende des Abschussvorgangs, - $t_2$: Erreichen des Umkehrpunkts, - $t_3$: Einsetzen der Bremsen, - $t_4$ (rechter Rand der Diagramme): Ende des Bremsvorgangs, Stillstand am Boden.

Beschreibung des $h(t)$-Diagramms: - $t=0 \rightarrow t_1$: Nach oben geöffneter Parabelast - $t_1 \rightarrow t_3$: Nach unten geöffnete Parabel, Scheitelpunkt bei $t_2$ - $t_3 \rightarrow t_4$: Nach oben geöffnete Parabel - Bei $t_1$ und $t_3$ darf die Kurve keinen Knick aufweisen!

Beschreibung des $v(t)$-Diagramms: - $t=0 \rightarrow t_1$: Linearer Anstieg $v=0 \rightarrow v_0$ - $t_1 \rightarrow t_3$: Lineare Abnahme $v_0 \rightarrow v_\mathrm F$, Nulldurchgang bei $t_2$ - $t_3 \rightarrow t_4$: Linearer Anstieg $v_\mathrm F \rightarrow v=0$

Beschreibung des $a(t)$-Diagramms: - $t=0 \rightarrow t_1$: $a= \mathrm{const.} \approx 3~\mathrm g$ - $t_1 \rightarrow t_3$: $a= \mathrm{const.} = -\mathrm g$ - $t_3 \rightarrow t_4$: $a= \mathrm{const.} \approx 2~\mathrm g$ ******************************************************************************** #### Grimsehlversuch II Im sogenannten Grimsehl-Versuch starten zwei identische Kugeln zeitgleich und aus gleicher Höhe ihre Bewegung: die eine führt einen freien Fall aus, während die andere horizontal abgeworfen wird. Die horizontal abgeworfene Kugel erreicht nach einer Flugzeit von $t_\mathrm f =0{,}57~\mathrm s$ den Boden. Ihr Auftreffpunkt liegt $d=78~\mathrm{cm}$ von dem der anderen Kugel entfernt. 1. In welcher Höhe über dem Boden befand sich der Abwurfpunkt? 2. Welche Anfangsgeschwindigkeit besaß die horizontal abgeworfene Kugel? 3. Welche Geschwindigkeiten $v_\mathrm{Fall}$ beziehungsweise $v_\mathrm{Wurf}$ besitzen die Kugeln beim Auftreffen auf den Boden? ----- - Antwort Teilaufgabe 1 [[ $h_0 = 0{,}36~\mathrm m$ | $h_0 = 0{,}74~\mathrm m$ | $h_0 = 1{,}07~\mathrm m$ | ($h_0 = 1{,}59~\mathrm m$) | $h_0 = 2{,}48~\mathrm m$ ]] ******************************************************************************** Zunächst ist festzuhalten, dass beide Kugeln gleichzeitig den Boden erreichen, da in vertikaler Richtung in beiden Fällen ein freier Fall vorliegt. Das Höhe-Zeit-Gesetz des freien Falls lautet: $$h(t) = h_0 - \frac g2 t^2 \, .$$ Nach der Flugzeit $t_\mathrm f$ haben beide Kugeln den Boden ($h=0$) erreicht: $$h(t_\mathrm f) = h_0 - \frac g2 t_\mathrm f^2 = 0 \, .$$ Daraus ergibt sich für die Anfangshöhe: $$h_0 = \frac g2 t_\mathrm f^2 = 1{,}59~\mathrm m \, .$$ ******************************************************************************** - Antwort Teilaufgabe 2 [[ $v_0 = 0{,}71~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v_0 = 1{,}37~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v_0 = 3{,}71~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_0 = 7{,}13~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] ******************************************************************************** Die horizontale Bewegungskomponente der abgeworfenen Kugel entspricht einer gleichförmigen Bewegung mit der Abwurfgeschwindigkeit. Die Überlagerung mit der Fallbewegung beeinflusst die horizontale Bewegung nicht. Während der Flugzeit $t_\mathrm f$ wird die horizontale Strecke $d$ zurückgelegt. Das bedeutet für die Abwurfgeschwindigkeit: $$v_0 = \frac{d}{t_\mathrm f} = 1{,}37~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .$$ ******************************************************************************** - Antworten Teilaufgabe 3 [[ $v_\mathrm{Fall} = 1{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm{Fall} = 4{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v_\mathrm{Fall} = 5{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v_\mathrm{Fall} = 5{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm{Fall} = 7{,}0~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] ******************************************************************************** Die frei fallende Kugel besitzt nur die vertikale Geschwindigkeitskomponente, die eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit der Fallbeschleunigung darstellt. Die Endgeschwindigkeit nach der Fallzeit $t_\mathrm f$ ist damit: $$v_\mathrm{Fall} = g\cdot t_\mathrm f = 5{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .$$ ******************************************************************************** [[ $v_\mathrm{Wurf} = 1{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm{Wurf} = 4{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm{Wurf} = 5{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v_\mathrm{Wurf} = 5{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v_\mathrm{Wurf} = 7{,}0~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] ******************************************************************************** Bei der horizontal abgeworfenen Kugel überlagern sich die horizontale und vertikale Geschwindigkeitskomponente vektoriell. Die vertikale Komponente ist identisch mit der frei fallenden Kugel, die horizontale Bewegung erfolgt gleichförmig mit der Abwurfgeschwindigkeit. Als Gesamtgschwindigkeit ergibt sich daraus: $$v_\mathrm{Wurf} = \sqrt{v_\mathrm{hor}^2 + v_\mathrm{vert}^2} = \sqrt{\frac{d^2}{t_\mathrm f^2}+g^2t_\mathrm f^2} = 5{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s} \, .$$ ******************************************************************************** ## Übung 3: Arbeit und Erhaltungssätze ### Verständnisfragen #### Bremsweg Ein PKW bremst auf trockener, horizontaler Farbahn von seiner Anfangsgeschwindigkeit bis zum Stillstand ab. Dabei legt er den Bremsweg $s_0$ zurück. Treffen Sie Aussagen zum Bremsweg für die folgenden Situationen. Hinweis: Es wird nur der in der jeweiligen Teilaufgabe genannte Parameter geändert. Alle anderen Größen entsprechen der oben beschriebenen Situation. Insbesondere ist die vom Bremssystem auf die Räder ausgeübte Kraft in allen Fällen identisch. 1. Der PKW sei mit der doppelten Anfangsgeschwindigkeit unterwegs. [[ (Der Bremsweg beträgt $4\cdot s_0$.) | Der Bremsweg beträgt $2\cdot s_0$. | Der Bremsweg beträgt $1\cdot s_0$. | Der Bremsweg beträgt $0{,}5\cdot s_0$. | Der Bremsweg beträgt $0{,}25\cdot s_0$. ]] ***************************************************************************** Eine Verdopplung der Geschwindigkeit bewirkt eine Vervierfachung der kinetischen Energie. Bei gleicher Kraft vervierfacht sich der zum Aufbringen der Reibungsarbeit erforderliche Bremsweg. ***************************************************************************** 2. Die Masse des PKW werde verdoppelt. [[ Der Bremsweg beträgt $4\cdot s_0$. | (Der Bremsweg beträgt $2\cdot s_0$.) | Der Bremsweg beträgt $1\cdot s_0$. | Der Bremsweg beträgt $0{,}5\cdot s_0$. | Der Bremsweg beträgt $0{,}25\cdot s_0$. ]] ***************************************************************************** Der PKW hat in diesem Fall die doppelte kinetische Energie und benötigt entsprechend die doppelte Reibungsarbeit, um zum Stillstand zu kommen. ***************************************************************************** 3. Der PKW sei auf nasser Straße unterwegs, sodass die Reibung zwischen Rad und Straße verringert ist. Es kommt *nicht* zum Blockieren der Räder. [[ Der Bremsweg wird größer. | (Der Bremsweg bleibt gleich.) | Der Bremsweg wird kleiner. ]] ***************************************************************************** An den wirkenden Kräften ändert sich in diesem Fall nichts. Solange die Reibung zwischen Rad und Straße ausreichend ist, dass die Räder nicht ins Rutschen geraten, tritt keine Verminderung der Bremswirkung auf. ***************************************************************************** 4. Der PKW sei auf nasser Straße unterwegs, sodass die Reibung zwischen Rad und Straße verringert ist. Dabei blockieren die Räder und der PKW rutscht. [[ (Der Bremsweg wird größer.) | Der Bremsweg bleibt gleich. | Der Bremsweg wird kleiner. ]] ***************************************************************************** In diesem wirkt nich die Bremskraft der Fahrzeugbremsen, sondern lediglich die (geringere) Gleitreibung zwischen Rädern und Straße. ***************************************************************************** 5. Der Bremsvorgang geschehe auf einer Gefällestrecke. [[ (Der Bremsweg wird größer.) | Der Bremsweg bleibt gleich. | Der Bremsweg wird kleiner. ]] ***************************************************************************** Die Hangabtriebskraft wirkt als zusätzliche beschleunigende Kraft. Zur Verminderung der Geschwindigkeit trägt nur der Teil der Bremskraft bei, der die Hangabtriebskraft übersteigt. ***************************************************************************** 6. Während des Bremsvorgangs herrscht starker Gegenwind. [[ Der Bremsweg wird größer. | Der Bremsweg bleibt gleich. | (Der Bremsweg wird kleiner.) ]] ***************************************************************************** Der PKW muss Arbeit gegen den Widerstand der entgegenströmenden Luft verrichten. Auch diese Arbeit wird aus dem Vorrat an kinetischer Energie des Fahrzeugs gespeist. ***************************************************************************** #### Erhaltungssätze Im Folgenden sind einige physikalische Vorgänge aus dem Bereich der Mechanik beschrieben. Entscheiden Sie jeweils, ob der Energiesatz der Mechanik oder der Impulserhaltungssatz anwendbar sind. Zu jedem Vorgang ist das System angegeben, das für den Impulserhaltungssatz betrachtet werden soll. Die Reibung sei bei allen Bewegungsvorgängen vernachlässigbar. [[Energiesatz der Mechanik anwendbar] [Impulserhaltungssatz anwendbar]] [ [X] [ ] ] Schwingung eines Federpendels, bestehend aus einem Massestück an einer Feder (System: Federpendel) [ [X] [X] ] elastischer Stoß zweier Gleiter auf der Luftkissenbahn (System: beide Gleiter) [ [ ] [X] ] Das Projektil einer Pistole trifft auf eine Zielscheibe und bleibt in dieser stecken. (System: Projektil und Zielscheibe) [ [ ] [ ] ] Vollbremsung eines PKW bis zum Stillstand (System: PKW) [ [ ] [X] ] Zwei Eishockeyspieler prallen zusammen und klammern sich aneinander fest. (System: beide Spieler) [ [X] [X] ] Ein perfekter Gummiball wird gegen eine Wand geworfen und prallt von dieser ab. (System: Gummiball und Wand) [ [X] [ ] ] Ein Apfel fällt vom Baum senkrecht nach unten. (System: Apfel und Apfelbaum) ******************************************************************************** Die Erhaltungssätze gelten stets nur unter gewissen Voraussetzungen: Der Energiesatz der Mechanik erfordert das Vorliegen rein konservativer Kräfte. Der Impulssatz gilt nur in abgeschlossenen Systemen. Ist die jeweilige Voraussetzung nicht erfüllt, kann auch der entsprechende Erhaltungssatz nicht angewendet werden. * Schwingung eines Federpendels, bestehend aus einem Massestück an einer Feder (System: Federpendel) * **Energiesatz anwendbar** * **Impulssatz nicht anwendbar**: Das Federpendel ist kein abgeschlossenes System. Es wirken Kräfte auf den Aufhängepunkt der Feder. Bei senkrecht schwingendem Pendel wirkt zudem die Erdanziehungskraft. * Elastischer Stoß zweier Gleiter auf der Luftkissenbahn (System: beide Gleiter) * **Energiesatz anwendbar** * **Impulssatz anwendbar** * Das Projektil einer Pistole trifft auf eine Zielscheibe und bleibt in dieser stecken. (System: Projektil und Zielscheibe) * **Energiesatz nicht anwendbar**: Das Projektil wird in der Zielscheibe reibungsbedingt abgebremst. Möglicherweise tritt auch eine (plastische) Verformung ein. Beides sind dissipative Vorgänge. * **Impulssatz anwendbar** * Vollbremsung eines PKW bis zum Stillstand (System: PKW) * **Energiesatz nicht anwendbar**: Beim Bremsen wird die kinetische Energie des PKW in Wärme dissipiert. * **Impulssatz nicht anwendbar**: Durch die Reibung zwischen Rädern und Straße erfolgt ein Impulsübertrag auf den Untergrund. * Zwei Eishockeyspieler prallen zusammen und klammern sich aneinander fest. (System: beide Spieler) * **Energiesatz nicht anwendbar**: Hierbei handelt es sich um einen inelastischen Stoß. Das Aneinander-Festklammern und die gemeinsame Weiterbewegung erfordern stets nichtkonservative Kräfte. * **Impulssatz anwendbar** * Ein perfekter Gummiball wird gegen eine Wand geworfen und prallt von dieser ab. (System: Gummiball und Wand) * **Energiesatz anwendbar** * **Impulssatz anwendbar** * Ein Apfel fällt vom Baum senkrecht nach unten. (System: Apfel und Apfelbaum) * **Energiesatz anwendbar** * **Impulssatz nicht anwendbar**: Auf den Apfel wirkt die Erdanziehungskraft, die ihren Ursprung außerhalb des genannten Systems hat. ******************************************************************************** #### Stabhochsprung Beim Stabhochsprung nutzen die Sportler einen biegsamen Stab, um große Höhen zu überspringen. Zum Ende des Anlaufs wird der Stab auf den Boden aufgesetzt, während der Springer weiterläuft. Dabei biegt sich der Stab durch. Nach dem Absprung „katapultiert“ der Stab den Springer nach oben.

Die folgenden Aussagen behandeln den Stabhochsprung aus Sicht der (mechanischen) Energie. Beurteilen Sie die Richtigkeit dieser Aussagen. [[X]] Der Sportler gewinnt beim Anlauf kinetische Energie. Ein Teil dieser Energie wird auf den Stab übertragen, wenn dieser sich durchbiegt. [[X]] Nachdem der Springer den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht hat, wird seine potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. [[X]] Der Stab sollte so elastisch sein, dass möglichst wenig Energie durch dissipative Prozesse verloren geht. [[X]] Die Sprungmatte, auf der der Springer landet, sollte einen möglichst großen Teil der auf sie übertragenen Energie in dissipativen Vorgängen aufbrauchen. [[X]] Zum Durchbiegen des Stabs wird Arbeit verrichtet, die als Energie im Stab gespeichert ist. [[X]] Die gesamte für den Sprung erforderliche Energie muss der Sportler durch den Anlauf und Absprung aufbringen. Der Stab kann keine zusätzliche Energie erzeugen. ******************************************************************************** * Der Sportler gewinnt beim Anlauf kinetische Energie. Ein Teil dieser Energie wird auf den Stab übertragen, wenn dieser sich durchbiegt. * **Richtig**: Der Stab fungiert gewissermaßen als Energiespeicher. Nach dem Absprung wird diese Energie bei der Streckung des Stabs wieder auf den Springer übertragen. * Nachdem der Springer den höchsten Punkt seiner Flugbahn erreicht hat, wird seine potenzielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. * **Richtig**: Dies trifft auf jede Fallbewegung zu. * Der Stab sollte so elastisch sein, dass möglichst wenig Energie durch dissipative Prozesse verloren geht. * **Richtig**: Die zur Durchbiegung des Stabs aufgebrachte Arbeit soll möglichst vollständig in die Aufwärtsbewegung des Springers übergehen. * Die Sprungmatte, auf der der Springer landet, sollte einen möglichst großen Teil der auf sie übertragenen Energie in dissipativen Vorgängen aufbrauchen. * **Richtig**: Hier soll die Fallbewegung des Springers gebremst, also seine kinetische Energie abgeführt werden. Eine elastische Sprungmatte würde den Springer wieder nach oben katapultieren. * Zum Durchbiegen des Stabs wird Arbeit verrichtet, die als Energie im Stab gespeichert ist. * **Richtig**: Die Verformungsarbeit geht in elastische Energie des Stabs über. * Die gesamte für den Sprung erforderliche Energie muss der Sportler durch den Anlauf und Absprung aufbringen. Der Stab kann keine zusätzliche Energie erzeugen. * **Richtig**: Durch die Verformung des Stabs kann dieser lediglich Energie speichern, die ihm zugeführt wurde. ******************************************************************************** ### Übungsaufgaben #### Achterbahn Der Wagen einer Achterbahn (Masse $m=5~\mathrm{t}$) wird aus dem Stand heraus auf horizontaler Strecke beschleunigt. Anschließend rollt der Wagen (ohne weiteren Antrieb) einen Hügel hinauf zum höchsten Punkt der Bahn, der sich $h=32~\mathrm{m}$ über der Beschleunigungsstrecke befindet. Auf diesem höchsten Punkt besitzt der Wagen noch eine Geschwindigkeit $v_\mathrm{o}=5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Welche Beschleunigungsarbeit hat das Antriebssystem am Wagen verrichtet? [[ ($W_\mathrm{Beschl} = 1632~\mathrm{kJ}$) | $W_\mathrm{Beschl} = 3114~\mathrm{kJ}$ | $W_\mathrm{Beschl} = 18992~\mathrm{J}$ ]] #### Reibungsarbeit Auf einer horizontalen Luftkissenbahn bewegt sich ein Gleiter (Masse $m=200~\mathrm g$) zunächst reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit von $v_0 = 0{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Als die Luftzufuhr abgestellt wird, kommt der Gleiter schlagartig mit der Bahn in Kontakt und wird reibungsbedingt innerhalb einer Strecke von $s=2~\mathrm{cm}$ zum Stillstand gebracht. 1. Gesucht ist der Gleitreibungskoeffizient $\mu_\mathrm G$ zwischen Bahn und Gleiter. [[ ($\mu_\mathrm G = 0{,}102$) | $\mu_\mathrm G = 0{,}153$ | $\mu_\mathrm G = 0{,}204$ $\mu_\mathrm G = 0{,}255$ | $\mu_\mathrm G = 0{,}306$ ]] 2. Wie ändert sich der Bremsweg, wenn der Gleitreibungskoeffizient $\mu_\mathrm G$ verdoppelt wird? [[ Der Bremsweg vervierfacht sich. | Der Bremsweg verdoppelt sich. | Der Bremsweg bleibt gleich. | (Der Bremsweg beträgt die Hälfte des ursprünglichen Werts.) | Der Bremsweg beträgt ein Viertel des ursprünglichen Werts. ]] 3. Wie ändert sich der Bremsweg, wenn die Geschwindigkeit $v_0$ des Gleiters verdoppelt wird? [[ (Der Bremsweg vervierfacht sich.) | Der Bremsweg verdoppelt sich. | Der Bremsweg bleibt gleich. | Der Bremsweg beträgt die Hälfte des ursprünglichen Werts. | Der Bremsweg beträgt ein Viertel des ursprünglichen Werts. ]] 4. Wie verändert sich der Bremsweg, wenn die Masse $m$ des Gleiters verdoppelt wird? [[ Der Bremsweg vervierfacht sich. | Der Bremsweg verdoppelt sich. | (Der Bremsweg bleibt gleich.) | Der Bremsweg beträgt die Hälfte des ursprünglichen Werts. | Der Bremsweg beträgt ein Viertel des ursprünglichen Werts. ]] #### Alpe d’Huez Der in den französischen Alpen gelegene Ort Alpe d'Huez gehört zu den berühmtesten Etappenzielen der Tour de France. Der Anstieg von Le Bourg-d’Oisans hinauf nach Alpe d’Huez überwindet auf einer Streckenlänge von $13{,}8~\mathrm{km}$ einen Höhenunterschied von $1090~\mathrm m$. Der (bisherige) Rekord für diese Strecke liegt bei einer Fahrzeit von 36 Minuten und 40 Sekunden. 1. Welcher mittleren Leistung entspricht dies, wenn das Fahrrad eine Masse von $m_\mathrm R = 8{,}2~\mathrm{kg}$ hat und für den Radfahrer eine Masse von $m_\mathrm F = 59~\mathrm{kg}$ angenommen wird? 2. Angenommen, der Fahrer sei tatsächlich die gesamte Strecke über mit dieser mittleren Leistung unterwegs: mit welcher Geschwindigkeit absolviert er dabei einen Streckenabschnitt mit 8% Steigung? ----- * Antwort Teilaufgabe 1 [[ $P=266{,}3~\mathrm W$ | ($P=326{,}6~\mathrm W$) | $P=632{,}6~\mathrm W$ | $P=663{,}2~\mathrm W$ ]] * Antwort Teilaufgabe 2 [[ $v=3{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=4{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v=5{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v=6{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) ]] #### Ballschleuder Eine einfache Ballschleuder sei mit mit einer Feder der Federkonstante $k=120~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$ ausgestattet. Beim Spannen wird diese Feder um $d=20~\mathrm{cm}$ zusammengedrückt. Es wird damit ein Tennisball (Masse $m_\mathrm B = 58~\mathrm g$) unter einem Winkel von $\alpha = 45°$ abgeschossen. 1. Welche Geschwindigkeit $v_0$ hat der Ball nach dem Abwurf? 2. Welche maximale Höhe erreicht der Ball auf seiner Flugbahn? ----- * Antwort Teilaufgabe 1 [[ ($ v_0 = 9{,}1~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $ v_0 = 10{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $ v_0 = 11{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $ v_0 = 12{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $ v_0 = 13{,}5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] * Antwort Teilaufgabe 2 [[ $h_\mathrm{max} = 0{,}3~\mathrm m$ | $h_\mathrm{max} = 1{,}2~\mathrm m$ | ($h_\mathrm{max} = 2{,}1~\mathrm m$) | $h_\mathrm{max} = 3{,}0~\mathrm m$ ]] #### Modelleisenbahn I Auf einer Modellbahnanlage rollt ein Waggon der Masse $m_1=65~\mathrm g$ auf horizontaler Strecke mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_1 = 0{,}3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ gegen einen ruhenden Waggon der Masse $m_2 = 90~\mathrm g$. Die Kupplung zwischen beiden Waggons rastet dabei ein und sie rollen gemeinsam weiter. 1. Gesucht ist die Geschwindigkeit $v_\mathrm n$ der beiden Wagen nach dem Zusammenstoß. [[ ($v_\mathrm n = 0{,}126~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v_\mathrm n = 0{,}238~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm n = 0{,}300~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm n = 0{,}534~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] 2. Berechnen Sie den Energiebetrag $E_\mathrm{diss}$, der bei diesem Vorgang durch dissipative Vorgänge verloren geht. [[ $E_\mathrm{diss} = 0{,}8~\mathrm{mJ}$ | ($E_\mathrm{diss} = 1{,}7~\mathrm{mJ}$) | $E_\mathrm{diss} = 2{,}6~\mathrm{mJ}$ | $E_\mathrm{diss} = 3{,}5~\mathrm{mJ}$]] #### Eisläufer Auf einer Eislaufbahn prallen zwei Eisläufer aufeinander. Person 1 (Masse $m_1 = 85~\mathrm{kg}$) hatte zuvor eine Geschwindigkeit von $v_1 = 0{,}8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Person 2 (Masse $m_2 = 63~\mathrm{kg}$) hatte eine anfängliche Geschwindigkeit $v_2 = 1{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Der Zusammenstoß geschah in einem rechten Winkel zueinander. Um einen Sturz zu vermeiden klammern sich die beiden Eisläufer aneinder fest und rutschen gemeinsam weiter. Der gesamte Vorgang wird als reibungsfrei angenommen. 1. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Eisläufer nach dem Stoß weiter? 2. In welche Richtung verläuft diese Bewegung (bezogen auf die ursprüngliche Bewegungsrichtung der ersten Person)? ----- * Antwort Teilaufgabe 1 [[ $v' = 0{,}60~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v' = 0{,}75~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v' = 1{,}28~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v' = 1{,}66~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v' = 2{,}20~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$]] * Antwort Teilaufgabe 2 Der Winkel zwischen der Geschwindigkeit nach dem Stoß und der anfänglichen Bewegungsrichtung von Person 1 beträgt [[ $\alpha = 25°$ | $\alpha = 34°$ | $\alpha = 43°$ | ($\alpha = 52°$) | $\alpha = 61°$ | $\alpha = 70°$ ]] #### Stoß zweier Bälle Bei einer Spielshow soll eine Billardkugel (Masse $m_\mathrm B = 170~\mathrm g$) so mit Tischtennisbällen (Masse $m_\mathrm T = 2{,}7~\mathrm g$) beworfen werden, dass sie den Zielbereich des Spielfelds erreicht. Welche Geschwindigkeit $v_\mathrm B'$ erhält die anfangs ruhende Billardkugel, wenn sie von einem Tischtennisball mit der Geschwindigkeit $v_\mathrm T = 5~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ zentral und elastisch getroffen wird? ----- * Antwort [[ $v_\mathrm B' = -0{,}24~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm B' = -0{,}16~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm B' = -0{,}08~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm B' = 0$ | $v_\mathrm B' = 0{,}08~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v_\mathrm B' = 0{,}16~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) | $v_\mathrm B' = 0{,}24~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ ]] ### Hausaufgaben #### Modelleisenbahn II Auf einer Modellbahnanlage fährt eine Lokomotive mit einer konstanten Geschwindigkeit $v=15~\frac{\mathrm{mm}}{\mathrm s}$. Dabei stößt sie gegen einen ruhenden Waggon der Masse $m_\mathrm{W}=75~\mathrm g$. Dieser Stoßvorgang erstreckt sich über eine Zeitdauer $t_\mathrm s = 0,08~\mathrm s$. Dabei rastet die Kupplung zwischen Lok und Waggon ein, sodass sich beide gemeinsam weiterbewegen. Die Lokomotive behält bei dem gesamten Vorgang ihre Geschwindigkeit bei. 1. Welche Arbeit $W$ muss der Motor der Lokomotive beim Ankuppeln des Waggons verrichten, um die ursprüngliche Geschwindigkeit beizubehalten? 2. Welche mittlere Kraft $F$ wirkt während des Stoßvorgangs auf den Waggon? ----- * Antwort Teilaufgabe 1 [[ $W=6{,}26~\mathrm{\mu J}$ | $W=7{,}63~\mathrm{\mu J}$ | ($W=8{,}44~\mathrm{\mu J}$) | $W=9{,}21~\mathrm{\mu J}$]] ******************************************************************************** Da die Geschwindigkeit der Lok unverändert bleiben soll, muss der angekuppelte Wagen auf die Geschwindigkeit $v$ beschleunigt werden. Die dabei zu verrichtende Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie die Waggons: $$W = \Delta E_\mathrm{kin, Waggon} = \frac{m_\mathrm W}{2}v^2 = 8{,}44~\mathrm{\mu J} \, .$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 2 [[ $F = 8~\mathrm{mN}$ | $F = 10~\mathrm{mN}$ | $F = 12~\mathrm{mN}$ | ($F = 14~\mathrm{mN}$) ]] ******************************************************************************** Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom ist die Impulsänderung des Waggons identisch dem auf ihn wirkenden Kraftstoß: $$\Delta p = Ft_\mathrm s \, .$$ Da der Waggon anfangs in Ruhe war, entspricht die Impulsänderung seinem Impuls nach dem Stoß: $$\Delta p = m_\mathrm W v \, .$$ Für die mittlere Kraft während des Stoßvorgangs folgt daraus: $$F=\frac{\Delta p}{t_\mathrm s} = \frac{m_\mathrm W v}{t_\mathrm s} = 14~\mathrm{mN} \, .$$ ******************************************************************************** #### Ballistisches Pendel Zur Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit eines Luftgewehrs wird ein ballistisches Pendel verwendet: Dabei trifft das Projektil aus kurzer Entfernung auf einen freischwingend aufgehängten Kugelfangkasten und bleibt in diesem stecken. Dieser wird dabei um eine horizontale Strecke von $s=5{,}5~\mathrm{cm}$ ausgelenkt. Die Masse des Projektils beträgt $m_\mathrm P=0{,}5~\mathrm g$, die des Kugelfangs $m_\mathrm K = 400~\mathrm g$. Die Pendellänge des Kugelfangs beträgt $l= 750~\mathrm{mm}$. 1. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v_\mathrm P$ des Projektils. 2. In Deutschland ist für frei verkäufliche Waffen die Mündungsenergie (d.h. die Energie des Projektils unmittelbar nach Verlassen des Laufs) auf $E_\mathrm{max}=7{,}5~\mathrm J$ begrenzt. Vergleichen Sie dies mit der eben errechneten Projektilgeschwindigkeit. ----- * Antwort Teilaufgabe 1: [[ $v_\mathrm P = 38{,}6~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm P = 84{,}4~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | $v_\mathrm P = 117{,}9~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ | ($v_\mathrm P = 160{,}2~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$) ]] ******************************************************************************** Beim Stoß des Projektils mit dem Kugelfang wird Impuls und Energie übertragen. Da der Stoß plastisch verläuft (das Projektil bleibt im Kugelfang stecken), gilt der Energiesatz der Mechanik nicht. Der Impulserhaltungssatz hingegen kann angewendet werden und lautet in diesem Fall: $$\begin{aligned} p_\mathrm{ges,vor} & = p_\mathrm{ges,nach} \\ m_\mathrm{P}v_\mathrm P & = (m_\mathrm P + m_\mathrm K) v'_\mathrm K \, , \end{aligned}$$ wobei die gestrichene Größe für die Geschwindigkeit nach dem Stoß steht. Für die anfängliche Projektilgeschwindighkeit bedeutet dies: $$v_\mathrm P = \frac{m_\mathrm P + m_\mathrm K}{m_\mathrm P}v'_\mathrm K \, .$$ Die Geschwindigkeit $v'_\mathrm K$ des Kugelfangs nach dem Stoß wird aus dessen Pendelbewegung bestimmt. Hierfür gilt der Energiesatz der Mechanik, der für den Vergleich von tiefstem und höchstem Punkt (Höhe $h$) folgende Form hat: $$\begin{aligned} E_\mathrm{pot,oben} & = E_\mathrm{kin,unten} \\ (m_\mathrm P + m_\mathrm K)gh & = \frac 12 (m_\mathrm P + m_\mathrm K) {v'_\mathrm K}^2 \, . \end{aligned}$$ Daraus folgt $$v'_\mathrm K = \sqrt{2gh} \, .$$  Die Höhe des Pendels im Umkehrpunkt wurde jedoch nich direkt gemessen, sondern lediglich die horizontale Auslenkung. Aus der obigen Darstellung ist ersichtlich, dass der Satz des Pythagoras angewendet werden kann in der Form $$l^2=(l-h)^2+s^2 \, .$$ Daraus lässt sich die Höhe des Pendels im Umkehrpunkt ermitteln: $$\begin{aligned} (l-h)^2 & = l^2 - s^2 \\ l-h & = \sqrt{l^2-s^2} \\ h & = l-\sqrt{l^2-s^2} = 2{,}02~\mathrm{mm} \, . \end{aligned}$$ Die zweite Lösung $h=l+\sqrt{l^2-s^2}$ wurde dabei übergangen, da $h Wir nehmen an, vier Kindern spielen mit diesem Karussell: Drei von ihnen haben auf der Sitzbank Platz genommen, das vierte steht als Anschieber außerhalb des Karussells. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? [[X]] Wenn anstelle des Anschiebers, der außen steht, eines der Kinder im Karussell anschieben will und hierfür den „Tisch“ als Angriffspunkt nutzt, dann muss es für die gleiche (Winkel-) Beschleunigung eine größere Kraft aufwenden als der Anschieber von außen. [[X]] Die beim Anschieben auf das Karussell ausgeübte Kraft bewirkt ein Drehmoment, das letztendlich für die (Winkel-) Beschleunigung verantwortlich ist. [[X]] Um das Karussell möglichst stark zu beschleunigen, sollte der Anschieber seine Kraft tangential (bezogen auf die Kreisform der Karussellscheibe bzw. des Geländers) ausrichten. [[X]] Solange sich das Karussell dreht, wirkt auf die drei Kinder auf der Sitzbank eine (Bahn-) Beschleunigung; selbst dann noch, wenn sich die Winkelgeschwindigkeit nicht ändert. [[X]] Auf die Kinder im Karussell wirkt eine tangentiale Bahnbeschleunigung genau dann, wenn sich die Winkelgeschwindigkeit des Karussells ändert. [[X]] Wenn die drei Mitfahrer bei drehendem Karussell ihr Gewicht weiter nach innen verlagern, dann dreht sich das Karussell schneller, ohne dass hierfür angeschoben werden müsste. ******************************************************************************** * Wenn anstelle des Anschiebers, der außen steht, eines der Kinder im Karussell anschieben will und hierfür den „Tisch“ als Angriffspunkt nutzt, dann muss es für die gleiche (Winkel-) Beschleunigung eine größere Kraft aufwenden als der Anschieber von außen. * **Richtig**: Für die gleiche Winkelbeschleunigung muss dasselbe Drehmoment wirken. Bei kürzerem Kraftarm ist hierfür eine größere Kraft erforderlich. * Die beim Anschieben auf das Karussell ausgeübte Kraft bewirkt ein Drehmoment, das letztendlich für die (Winkel-) Beschleunigung verantwortlich ist. * **Richtig**: Änderungen der Winkelgeschwindigkeit erfolgen stets aufgrund eines Drehmoments (Zweites Newtonsches Axiom der Rotation). * Um das Karussell möglichst stark zu beschleunigen, sollte der Anschieber seine Kraft tangential (bezogen auf die Kreisform der Karussellscheibe bzw. des Geländers) ausrichten. * **Richtig**: Nur tangential angreifende Kräfte bewirken ein Drehmoment. * Solange sich das Karussell dreht, wirkt auf die drei Kinder auf der Sitzbank eine (Bahn-) Beschleunigung; selbst dann noch, wenn sich die Winkelgeschwindigkeit nicht ändert. * **Richtig**: Es wirkt stets die Zentripetalbeschleunigung in Richtung der Drehachse. Auch ohne Änderung des Betrags der Geschwindigkeit erfordert die permanente Richtungsänderung der Bewegung eine Beschleunigung. * Auf die Kinder im Karussell wirkt eine tangentiale Bahnbeschleunigung genau dann, wenn sich die Winkelgeschwindigkeit des Karussells ändert. * **Richtig**: Eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit bewirkt eine Änderung des Betrags der Bahngeschwindigkeit, was zu einer tangentialen Beschleunigung führt. * Wenn die drei Mitfahrer bei drehendem Karussell ihr Gewicht weiter nach innen verlagern, dann dreht sich das Karussell schneller, ohne dass hierfür angeschoben werden müsste. * **Richtig**: Dies folgt aus der Drehimpulserhaltung: Die Verlagerung der Masse in Richtung Drehachse verringert das Trägheitsmoment, was bei konstantem Drehimpuls zu einer Vergrößerung der Winkelgeschwindigkeit führt. ******************************************************************************** #### Federpendel Gegeben ist ein Federpendel bestehend aus einer Feder mit der Federkonstanten $k$ und einem daran angehängten Massestück der Masse $m$. In dieser Konfiguration kann das Pendel als ungedämpft betrachtet werden. Seine Kreisfrequenz beträgt $\omega_0$. Treffen Sie möglichst präzise Aussagen, wie sich die folgenden Änderungen am Pendel auf dessen Kreisfrequenz auswirken. Dabei wird stets nur der in der jeweiligen Teilaufgabe genannte Parameter geändert. Alle anderen Größen bleiben wie oben beschrieben. * Die angehängte Masse wird halbiert. Die Kreisfrequenz [[ verdoppelt sich | (erhöht sich um den Faktor $\sqrt 2$) | erhöht sich geringfügig | ändert sich nicht | verringert sich geringfügig | verringert sich um den Faktor $\sqrt 2$ | halbiert sich]] ****************************************************************************** Die Kreisfrequenz ist umgekehrt proportional zur Wurzel der Masse. ****************************************************************************** * Die Feder wird gegen eine mit der vierfachen Federkonstante ausgetauscht. Die Kreisfrequenz [[ (verdoppelt sich) | (erhöht sich um den Faktor $\sqrt 2$) | erhöht sich geringfügig | ändert sich nicht | verringert sich geringfügig | verringert sich um den Faktor $\sqrt 2$ | halbiert sich]] ****************************************************************************** Die Federkonstante steht unter der Wurzel im Zähler. ****************************************************************************** * Das Pendel befinde sich auf dem Mond, wo die Fallbeschleunigung nur 16% des Wertes auf der Erdoberfläche beträgt. Die Kreisfrequenz [[ erhöht sich um 16% | erhöht sich um $\sqrt{16}$% | erhöht sich geringfügig | (ändert sich nicht) | verringert sich geringfügig | verringert sich um $\sqrt{16}$% | verringert sich um 16%]] ****************************************************************************** Anders als bei einem Fadenpendel ist die Kreisfrequenz eines Federpendels nicht von der Fallbeschleunigung abhängig. ****************************************************************************** * Das Pendel befinde sich komplett unter Wasser, sodass die Reibung nun eine signifikante Rolle spielt. Die Kreisfrequenz [[ verdoppelt sich | erhöht sich um den Faktor $\sqrt 2$ | erhöht sich geringfügig | ändert sich nicht | (verringert sich geringfügig) | verringert sich um den Faktor $\sqrt 2$ | halbiert sich]] ****************************************************************************** Hier liegt nun eine gedämpfte Schwingung vor, deren Kreisfrequenz gegenüber der ungedämpften Schwingung verringert ist. Die Änderung der Kreisfrequenz ist abhängig von der Stärke der Dämpfung. Solange aber der Schwingfall vorliegt (was in der Aufgabenstellung implizit durch die Frage nach der Kreisfrequenz gegeben ist), handelt es sich um lediglich eine kleine Änderung der ursprünglichen Kreisfrequenz. ****************************************************************************** #### Gedämpfte Schwingung – Stoßdämpfer Der Stoßdämpfer eines Autos kann (ein wenig vereinfacht) als gedämpftes Federpendel beschrieben werden. Das gesamte Fahrzeug stellt dabei den Pendelkörper (Masse m) dar, die Feder (Federkonstante k) ist im Stoßdämpfer enthalten. Die Bewegung der Feder wird dabei gedämpft, indem sie sich in einem zähflüssigen Öl befindet. Bewerten Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen bezüglich eines gedämpften Federpendels für den konkreten Anwendungsfall eines Stoßdämpfers im Auto. [[X]] Die Feder sollte so gedämpft sein, dass der Stoßdämpfer nach einmaliger Belastung zügig wieder in seine Ausgangslage zurückkehrt. Dies entspricht dem aperiodischen Grenzfall eines gedämpften Pendels. [[X]] Ist die Dämpfung der Feder zu schwach, so schwingt das Fahrzeug nach jeder Straßenunebenheit nach. [[ ]] Selbst mit einer sehr starken Dämpfung der Feder lässt sich eine Schwingung nicht völlig vermeiden. Der Stoßdämpfer wird sich nach einer Auslenkung immer mehrfach auf- und abbewegen. [[ ]] Die Dämpfung der Feder hat keinen Einfluss auf das Schwingungsverhalten des Stoßdämpfers. Sie dient lediglich dazu, den Verschleiß zu verringern. ******************************************************************************** * Die Feder sollte so gedämpft sein, dass der Stoßdämpfer nach einmaliger Belastung zügig wieder in seine Ausgangslage zurückkehrt. Dies entspricht dem aperiodischen Grenzfall eines gedämpften Pendels. * **Richtig**: Dies ist das gewünschte Verhalten eines Stoßdämpfers. Ein Nachschwingen des Stoßdämpfers (Schwingfall) ist ebenso wenig sinnvoll wie ein langes Verharren im ausgelekten Zustand (Kriechfall). * Ist die Dämpfung der Feder zu schwach, so schwingt das Fahrzeug nach jeder Straßenunebenheit nach. * **Richtig**: Dieses Verhalten entspricht dem Schwingfall eines gedämpften Pendels. * Selbst mit einer sehr starken Dämpfung der Feder lässt sich eine Schwingung nicht völlig vermeiden. Der Stoßdämpfer wird sich nach einer Auslenkung immer mehrfach auf- und abbewegen. * **Falsch**: Bei (hinreichend) großer Dämpfung tritt der aperiodische Grenzfall oder der Kriechfall auf, bei denen keine Schwingung vorliegt. * Die Dämpfung der Feder hat keinen Einfluss auf das Schwingungsverhalten des Stoßdämpfers. Sie dient lediglich dazu, den Verschleiß zu verringern. * **Falsch**: Die Stärke der Dämpfung entscheidet darüber, ob der Schwingfall, der aperiodische Grenzfall oder der Kriechfall vorliegt. ******************************************************************************** #### Gefederte Aufhängung – Resonanz In einem Labor soll eine empfindliche Messapparatur möglichst wenig durch Schwingungen des Gebäudes beeinflusst werden. Hierzu befindet sich die Apparatur in einer Rahmenkonstruktion, die über eine Feder an der Decke des Labors aufgehangen ist. Die gesamte Vorrichtung bildet in dieser Form ein Federpendel. Nachdem diese Vorrichtung aufgebaut wurde, zeigte sich, dass das Pendel durch Gebäudeschwingungen bisweilen in Resonanz gerät. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf diese Situation. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. [[X]] Nur Gebäudeschwingungen einer bestimmten Frequenz können die Resonanz auslösen. [[X]] Der Austausch der Feder gegen eine mit anderer Federkonstante ist ein vielversprechender Ansatz zur Vermeidung der Resonanz. [[ ]] Da die Resonanz unabhängig von der Eigenfrequenz des Pendels ist, kann die Resonanz nicht durch Veränderungen an der Aufhängung oder der Rahmenkonstruktion vermieden werden. [[X]] Durch eine geeignete Dämpfung der Bewegung der Feder oder der Rahmenkonstruktion lässt sich das Anwachsen der Amplitude vermeiden. ******************************************************************************** * Nur Gebäudeschwingungen einer bestimmten Frequenz können die Resonanz auslösen. * **Richtig**: Resonanz tritt auf, wenn die Erregerfrequenz (hier die Frequenz der Gebäudeschwingung) mit der Eigenfrequenz des Pendels übereinstimmt. * Der Austausch der Feder gegen eine mit anderer Federkonstante ist ein vielversprechender Ansatz zur Vermeidung der Resonanz. * **Richtig**: Dies ändert die Eigenfrequenz des Federpendels. * Da die Resonanz unabhängig von der Eigenfrequenz des Pendels ist, kann die Resonanz nicht durch Veränderungen an der Aufhängung oder der Rahmenkonstruktion vermieden werden. * **Falsch**: Resonanz tritt auf, wenn ein Pendel mit seiner Eigenfrequenz erregt wird. Änderungen der Eigenfrequenz (durch Veränderungen am Pendel) können somit die Resonanz vermeiden. * Durch eine geeignete Dämpfung der Bewegung der Feder oder der Rahmenkonstruktion lässt sich das Anwachsen der Amplitude vermeiden. * **Richtig**: Dies verhindert nicht zwangsläufig den Resonanzfall, kann aber die Amplitude hinreichend klein halten. ******************************************************************************** ### Hausaufgaben #### Kurvenfahrt Bei einer Zugfahrt wirken auf die Fahrgäste Beschleunigungen sowohl entlang der Fahrtrichtung als auch quer zur Fahrtrichtung (sogenannte seitliche Beschleunigungen). Um den Fahrkomfort nicht zu beeinträchtigen, sollen die seitlichen Beschleunigungen den Wert $a_\mathrm{max} = 0{,}85~\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$ nicht übersteigen. Welchen Radius müssen die Kurven auf einer Bahnstrecke, die mit $200~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}$ befahren werden soll, mindestens aufweisen, um diesen Wert der Beschleunigung nicht zu übersteigen? Hinweis: Betrachten Sie die Kurven als Kreisausschnitte. Der Radius dieses Kreises entspricht dem Kurvenradius. [[ $r_\mathrm{min} = 1633~\mathrm m$ | $r_\mathrm{min} = 3136~\mathrm m$ | ($r_\mathrm{min} = 3631~\mathrm m$) | $r_\mathrm{min} = 6331~\mathrm m$ ]] ******************************************************************************** Die in der Aufgabe genannten seitlichen Beschleunigungen entsprechen der Radialbeschleunigung (oder Zentripetalbeschleunigung) der Kreisbewegung: $$a_\mathrm{seit} = a_\mathrm r = \frac{v^2}{r} \, ,$$ wobei r den Radius der Kreisbahn bezeichnet. Umgestellt nach dieser Größe ergibt sich $$r = \frac{v^2}{a_\mathrm r} \, .$$ Der Mindestkurvenradius ergibt sich, wenn in diese Formel die maximale seitliche Beschleunigung eingesetzt wird: $$r_\mathrm{min} = \frac{v^2}{a_\mathrm{max}} = 3631~\mathrm m \, .$$ Anmerkung: Um kleinere Kurvenradien realisieren zu können, ohne die Streckengeschwindigkeit herabzusetzen, werden Kurven meist mit einer Überhöhung gebaut. ******************************************************************************** #### Federkonstante Um die Federkonstante einer Feder zu bestimmen, wird folgender Versuch durchgeführt: Die Feder wird mit einem angehängten Massestück ($m = 100~\mathrm g$) in Schwingung versetzt. Für 10 vollständige Perioden wird dabei eine Gesamtdauer von $7{,}1~\mathrm s$ gemessen. Ermitteln Sie daraus den resultierenden Wert der Federkonstante. [[ $k=1{,}56~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$ | $k=3{,}65~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$ | $k=5{,}74~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$ | ($k=7{,}83~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$) | $k=9{,}92~\frac{\mathrm N}{\mathrm m}$ ]] ******************************************************************************** Für die Kreisfrequenz eines Federpendels gilt $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \, .$$ Für die Periodendauer folgt daraus $$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \, .$$ Umgestellt nach der Federkonstanten folgt $$k = \frac{4\pi^2 m}{T^2} = \frac{4\pi^2 m}{(0{,}1\cdot t_{10})^2} \, ,$$ wobei $t_{10}$ die gegebene Gesamtdauer für 10 Schwingungen bezeichnet. Als Ergebnis folgt $$k=7{,}83~\frac{\mathrm N}{\mathrm m} \, .$$ ******************************************************************************** #### Gefederte Aufhängung In einem Labor soll eine empfindliche Messapparatur möglichst wenig durch Schwingungen des Gebäudes beeinflusst werden. Hierzu befindet sich die Apparatur in einer Rahmenkonstruktion, die über eine Feder an der Decke des Labors aufgehangen ist. Die Rahmenkonstruktion besteht aus einem Metallgestell (Masse $8~\mathrm{kg}$), das eine massive Steinplatte (Masse $35~\mathrm{kg}$) trägt. Auf dieser Platte wird die Apparatur (Masse $1{,}4~\mathrm{kg}$) aufgestellt. Die Feder, die im unbelasteten Zustand eine Länge von $30~\mathrm{cm}$ aufweist, wird durch das Anhängen der kompletten Rahmenkonstruktion (einschließlich Messapparatur) um $5\%$ gedehnt. Welche Eigenfrequenz weist das so entstandene Federpendel auf? [[ ($f= 4{,}1~\mathrm{Hz}$) | $f= 7{,}3~\mathrm{Hz}$ | $f= 15{,}6~\mathrm{Hz}$ | $f= 23{,}9~\mathrm{Hz}$ ]] ******************************************************************************** Die Kreisfrequenz eines Federpendels ist allgemein gegeben durch $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \, .$$ Die Frequenz ist demnach $$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \, .$$ Im konkreten Fall der Aufgabenstellung ist für die Masse $m=m_\mathrm{ges}$ die Gesamtmasse von Metallgestell, Steinplatte und Messapparatur einzusetzen. Die Federkonstante $k$ ist nicht direkt gegeben, lässt sich aber aus der gegebenen Längenänderung der Feder bestimmen. Hierfür wird das Hooke’sche Gesetz der Feder angesetzt: $$F= k\Delta l \, .$$ Die Längenänderung beträgt $5\%$ der Ausgangslänge: $\Delta l = 0{,}05\cdot l$. Die wirkende Kraft ist hier die Gewichtskraft der angehängten Rahmenkonstruktion: $$F = F_\mathrm G = m_\mathrm{ges}g \, .$$ Für die Federkonstante ergibt dies: $$k = \frac{m_\mathrm{ges}g}{0{,}05 l} \, .$$ Dies wird in die Formel der Frequenz eingesetzt: $$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_\mathrm{ges}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{0{,}05 l}} = 4{,}1~\mathrm{Hz} \, .$$ ******************************************************************************** ## Übung 5: Wärmelehre ### Verständnisfragen #### Temperaturausgleich Eine kalte Teetasse wird mit frisch gebrühtem Tee gefüllt. In der Folge wird sich der Tee abkühlen und die Tasse erwärmen. Welche der folgenden Aussagen sind dabei korrekt? (Wechselwirkungen mit der weiteren Umgebung seien vernachlässigbar.) [[ ]] Der Temperaturausgleich endet, wenn Tee und Tasse dieselbe innere Energie besitzen. [[X]] Der Temperaturausgleich endet, wenn Tee und Tasse dieselbe Temperatur besitzen. [[X]] Die gesamte innere Energie von Tee und Tasse ändert sich nicht: $U_\mathrm{Tee} + U_\mathrm{Tasse}=const.$ [[ ]] Es stellt sich immer genau die Temperatur ein, die dem Mittelwert der anfänglichen Tassen- und Teetemperatur entspricht. [[ ]] Aufgrund der hohen Wärmekapazität von Wasser gibt der Tee mehr Wärme ab, als die Tasse aufnimmt. [[ ]] Es stellt sich stets eine Temperatur ein, die näher an der anfänglichen Teetemperatur liegt, da das Wasser eine größere Wärmekapazität besitzt als die Tasse. [[X]] Die Ausgleichstemperatur von Tee und Tasse, die sich einstellt, hängt neben den Anfangstemperaturen und den relevanten Wärmekapazitäten auch von den Massen von Tasse und Tee ab. [[X]] Der Temperaturausgleich geschieht durch die Übertragung von Wärme zwischen Tee und Tasse. ******************************************************************************** * Der Temperaturausgleich endet, wenn Tee und Tasse dieselbe innere Energie besitzen. * **Falsch**: Wie die Bezeichnung Temperaturausgleich bereits besagt, gleichen sich die Temperaturen von Tee und Tasse an. Die inneren Energien sind auch bei gleichen Temperaturen im Allgemeinen unterschiedlich. * Der Temperaturausgleich endet, wenn Tee und Tasse dieselbe Temperatur besitzen. * **Richtig**: Dies ist die Aussage des Nullten Hauptsatzes der Wärmelehre. * Die gesamte innere Energie von Tee und Tasse ändert sich nicht: $U_\mathrm{Tee} + U_\mathrm{Tasse}=\mathrm{const}$. * **Richtig**: Auch hier gilt das Prinzip der Energieerhaltung. Da keine Arbeit verrichtet wird und keine Wechselwirkung mit der Umgebung stattfinden soll, kann nur Wärme zwischen Tee und Tasse übertragen werden. * Es stellt sich immer genau die Temperatur ein, die dem Mittelwert der anfänglichen Tassen- und Teetemperatur entspricht. * **Falsch**: Die Endtemperatur, die sich einstellt, hängt von den Massen und den Wärmekapazitäten von Tee und Tasse ab. * Aufgrund der hohen Wärmekapazität von Wasser gibt der Tee mehr Wärme ab, als die Tasse aufnimmt. * **Falsch**: ES gilt das Prinzip der Energieerhaltung. Da keine Wechselwirkung mit der Umgebung stattfinden soll, nimmt die Tasse die gesamte vom Tee abgegebene Wärme auf. Die daraus resultierenden Temperaturänderungen von Tee und Tasse werden im Allgemeinen unterschiedlich sein. * Es stellt sich stets eine Temperatur ein, die näher an der anfänglichen Teetemperatur liegt, da das Wasser eine größere Wärmekapazität besitzt als die Tasse. * **Falsch**: Neben den Wärmekapazitäten entscheiden auch die Massen über die Endtemperatur. Wird eine kleine Menge Tee in eine sehr große Tasse gegeben, so wird die Endtemperatur näher an der ursprünglichen Tassentemperatur liegen. * Die Ausgleichstemperatur von Tee und Tasse, die sich einstellt, hängt neben den Anfangstemperaturen und den relevanten Wärmekapazitäten auch von den Massen von Tasse und Tee ab. * **Richtig**: Die für eine bestimmte Temperaturänderung erforderliche Wärme wird durch (spezifische) Wärmekapazität und Masse bestimmt. * Der Temperaturausgleich geschieht durch die Übertragung von Wärme zwischen Tee und Tasse. * **Richtig**: Der Tee gibt Wärme ab. Dadurch sinkt seine innere Energie und folglich seine Temperatur. Im Gegenzug nimmt die Tasse ebendiese Wärme auf, wodurch ihre innere Energie ind ihre Temperatur zunimmt. ******************************************************************************** #### Innere Energie In einem Standzylinder, der durch einen (verschiebbaren) Kolben dicht verschlossen ist, befindet sich eine gewisse Stoffmenge eines (idealen) Gases. Betrachten Sie die folgenden Prozesse und bewerten Sie, * ob Arbeit am System ($W>0$) beziehungsweise vom System ($W<0$) verrichtet wird, * ob das System Wärme aufnimmt ($Q>0$) oder abgibt ($Q<0$), * ob und mit welchem Vorzeichen sich die innere Energie $U$ dieses Gases ändert. 1. Der Zylinder mit dem Gas wird erhitzt, wobei sich der Kolben allmählich aus dem Zylinder hinausbewegt. [[$\lt 0$] [$=0$] [$\gt 0$]] [ [X] [ ] [ ] ] Arbeit $W$ [ [ ] [ ] [X] ] Wärme $Q$ [ [ ] [ ] [X] ] Innere Energie $\Delta U$ ***************************************************************************** * $W<0$: Beim Hinausdrücken des Kolbens verrichtet das eingeschlossene Gas Arbeit gegen den äußeren Luftdruck. * $Q>0$: Beim Erhitzen wird Wärme zugeführt. * $\Delta U >0$: Durch das Erhitzen erhöht sich die Temperatur und demzufolge die innere Energie des eingeschlossenen Gases. ***************************************************************************** 2. Der Zylinder mit dem Gas wird erhitzt. Der Kolben sei dabei fixiert, sodass er seine Position nicht ändert. [[$\lt 0$] [$=0$] [$\gt 0$]] [ [ ] [X] [ ] ] Arbeit $W$ [ [ ] [ ] [X] ] Wärme $Q$ [ [ ] [ ] [X] ] Innere Energie $\Delta U$ ***************************************************************************** * $W=0$: Da der Kolben fixiert ist, findet keine Änderung des Volumens des eingeschlossenen Gases statt. * $Q>0$: Beim Erhitzen wird Wärme zugeführt. * $\Delta U>0$: Durch das Erhitzen erhöht sich die Temperatur und demzufolge die innere Energie des eingeschlossenen Gases. ***************************************************************************** 3. Der Kolben wird langsam in den Zylinder gedrückt, wobei ein ständiger Temperaturausgleich mit der Umgebung stattfindet. [[$\lt 0$] [$=0$] [$\gt 0$]] [ [ ] [ ] [X] ] Arbeit $W$ [ [X] [ ] [ ] ] Wärme $Q$ [ [ ] [X] [ ] ] Innere Energie $\Delta U$ ***************************************************************************** * $W>0$: Beim Hineindrücken des Kolbens wird von außen Arbeit am eingeschlossenen Gas verrichtet. * $Q<0$: Für den Temperaturausgleich muss die zugeführte Arbeit als Wärme wieder abgeführt werden. * $\Delta U=0$: Da die Temperatur konstant auf dem Wert der Umgebungstemperatur bleibt, ändert sich die innere Energie nicht. ***************************************************************************** 4. Der Kolben wird sehr schnell in den Zylinder gedrückt, sodass kein Temperaturausgleich mit der Umgebung stattfindet. [[$\lt 0$] [$=0$] [$\gt 0$]] [ [ ] [ ] [X] ] Arbeit $W$ [ [ ] [X] [ ] ] Wärme $Q$ [ [ ] [ ] [X] ] Innere Energie $\Delta U$ ***************************************************************************** * $W>0$: Beim Hineindrücken wird von außen Arbeit am eingeschlossenen Gas verrichtet. * $Q=0$: Es findet kein Temperaturausgleich statt. * $\Delta U>0$: Da keine Wärme abgeführt wird, führt die am eingeschlossenen Gas verrichtete Arbeit zur Erhöhung der inneren Energie. ***************************************************************************** #### Luftpumpe Mit einer Luftpumpe soll ein Fahrradreifen aufgepumpt werden. Wenn der Kolben der Luftpumpe in den Pumpenzylinder hinheingedrückt wird, dichtet er diesen vollständig ab, sodass die Stoffmenge der eingeschlossenen Luft konstant bleibt. Bei Herausziehen des Kolbens hingegen ist dieser nicht dicht, sodass neue Luft von außen in den Pumpenzylinder gelangt. Zudem verhindert ein sogenanntes Rückschlagventil das Zurückströmen von Luft aus dem Fahrradreifen in die Luftpumpe. Die folgenden Aussagen betrachten diesen Vorgang aus physikalischer Sicht. Bewerten Sie deren Richtigkeit. [[X]] Beim Hineindrücken des Pumpenkolbens wird Arbeit an der eingeschlossenen Luft verrichtet. [[X]] Je größer der Druck im Innenraum der Luftpumpe ist, umso mehr Kraft muss auf den Kolben ausgeübt werden, um ihn in den Pumpenzylinder hinein zu pressen. [[ ]] Das Hineindrücken des Pumpenkolbens ändert die innere Energie der eingeschlossenen Luft nicht. [[X]] Die eingeschlossene Luft erwärmt sich, wenn der Pumpenkolben hineingedrückt wird. Dieser Effekt ist umso stärker, je schneller das Hineindrücken geschieht. [[ ]] Die in der Luftpumpe eingeschlossene Luft wird nicht komprimiert, sondern ohne Druckänderung in den Fahrradreifen „verschoben“. [[X]] Das Hineindrücken des Pumpenkolbens verringert das Volumen der eingeschlossenen Luft, wodurch sich der Druck erhöht. ******************************************************************************** * Beim Hineindrücken des Pumpenkolbens wird Arbeit an der eingeschlossenen Luft verrichtet. * **Richtig**: Die eingeschlossene Luft muss soweit komprimiert werden, dass ihr Druck den Innendruck im Reifen übersteigt. * Je größer der Druck im Innenraum der Luftpumpe ist, umso mehr Kraft muss auf den Kolben ausgeübt werden, um ihn in den Pumpenzylinder hinein zu pressen. * **Richtig**: Je größer der Druck im Reifen, umso größer ist auch der Druck, der in der Luftpumpe erreicht werden muss. Dieser Druck wiederum wirkt von innen auf den Pumpenkolben. * Das Hineindrücken des Pumpenkolbens ändert die innere Energie der eingeschlossenen Luft nicht. * **Falsch**: Die an der eingeschlossenen Luft verrichtete Kompressionsarbeit erhöht deren innere Energie, was zu einer Erwärmung führt. * Die eingeschlossene Luft erwärmt sich, wenn der Pumpenkolben hineingedrückt wird. Dieser Effekt ist umso stärker, je schneller das Hineindrücken geschieht. * **Richtig**: Die Erwärmung ist eine Folge der an der eingeschlossenen Luft verrichteten Kompressionsarbeit. Je schneller diese erfolgt, umso weniger Zeit bleibt der Luft, Wärme an die Umgebung abzugeben (annähernd adiabatischer Prozess). * Die in der Luftpumpe eingeschlossene Luft wird nicht komprimiert, sondern ohne Druckänderung in den Fahrradreifen „verschoben“. * **Falsch**: Um Luft in den Fahrradreifen zu bringen, muss dessen Innendruck überwunden werden. In der Luftpumpe muss die Luft mindestens auf diesen Druck komprimiert werden. * Das Hineindrücken des Pumpenkolbens verringert das Volumen der eingeschlossenen Luft, wodurch sich der Druck erhöht. * **Richtig**: Aus der Zustandsgleichung kann abgelesen werden, dass Volumenverringerungen zu einer Druckzunahme führen. ******************************************************************************** ### Rechenaufgaben #### Kühlschrank Gegeben ist ein Kühlschrank, der ein Luftvolumen von $V_\mathrm L = 0,8~\mathrm m^3$ enthält. Anfangs sei dieser Kühlschrank ausgeschaltet und habe die Temperatur $\vartheta_1 = 23~^\circ\mathrm{C}$. Dabei betrage der Luftdruck im Kühlschrank $p_1 = 101,325~\mathrm{kPa}$. Anschließend wird der Kühlschrank bei verschlossener Tür in Betrieb genommen und kühlt den Innenraum auf eine Temperatur von $\vartheta_2 = 4~^\circ\mathrm C$ ab. Welcher Druck $p_2$ herrscht im Kühlschrank am Ende des Abkühlvorgangs, wenn kein Ausgleich mit der Umgebung stattfindet? [[ $p_2 = 91{,}2~\mathrm{kPa}$ | $p_2 = 92{,}4~\mathrm{kPa}$ | $p_2 = 93{,}6~\mathrm{kPa}$ | ($p_2 = 94{,}8~\mathrm{kPa}$) | $p_2 = 96{,}0~\mathrm{kPa}$ ]] #### Solar-Luftschiff Sogenannte Solar-Luftschiffe sind ein Outdoor-Spielzeug. Sie bestehen aus einer dünnen schwarzen schlauchförmigen Folie, die mit Luft gefüllt und verschlossen wird. Durch Sonnenbestrahlung erwärmt sich die Luft soweit, dass das Luftschiff aufsteigt. Ein solches Solarluftschiff sei anfänglich mit einem Volumen von $V_\mathrm a = 1~\mathrm m^3$ Luft bei einer Temperatur von $\vartheta_\mathrm a = 13~\mathrm{°C}$ befüllt. Sobald sich das Volumen des Luftschiffs um $40~\mathrm l$ vergrößert hat, beginnt es zu schweben. Auf welche Temperatur $\vartheta_\mathrm e$ hat sich die eingeschlossene Luft dabei erwärmt? [[ ($\vartheta_\mathrm e = 24{,}4~\mathrm{°C}$) | $\vartheta_\mathrm e = 36{,}6~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_\mathrm e = 48{,}8~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_\mathrm e = 60{,}0~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_\mathrm e = 72{,}2~\mathrm{°C}$ ]] #### Kerzenheizung Eine Kerzenflamme gibt bei der Verbrennung innerhalb einer Stunde eine Wärme von $Q = 250~\mathrm{kJ}$ an die Umgebung ab. Diese Kerze befinde sich in einem geschlossenen Raum, der ein Luftvolumen von $V_\mathrm{L}=30~\mathrm{m}^3$ enthält. Die anfängliche Lufttemperatur betrage $\vartheta_1=20~^{\circ}\mathrm{C}$. Um welchen Temperaturbetrag $\Delta T$ erwärmt die Kerze die Luft innerhalb einer Stunde? (Die Wärmeabgabe an die Wände oder Gegenstände im Raum sei vernachlässigbar.) Die Dichte der Luft beträgt $\rho_\mathrm{L}=1{,}204~\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$. Ihre Wärmekapazität ist $c_\mathrm{L}=1{,}005~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg \cdot K}}$. [[ ($\Delta T = 6{,}89~\mathrm K$) | $\Delta T = 8{,}96~\mathrm K$ | $\Delta T = 9{,}68~\mathrm K$ ]] #### Teekanne Bei der Zubereitung eines Tees werden $m_\mathrm W = 850~\mathrm g$ kochendes Wasser in eine Teekanne aus Keramik (Masse $m_\mathrm K = 880~\mathrm g$, spezifische Wärmekapazität $c_\mathrm K = 0{,}73~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\cdot K}}$) gegossen. Welche Temperatur $\vartheta_\mathrm M$ hat das Wasser nach dem Temperaturausgleich mit der Kanne? Vor dem Befüllen besaß die Kanne Raumtemperatur ($\vartheta_\mathrm K = 22~\mathrm{°C}$). Wärmeabgabe an die Umgebung darf vernachlässigt werden. [[ $\vartheta_\mathrm M = 76~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_\mathrm M = 82~\mathrm{°C}$ | ($\vartheta_\mathrm M = 88~\mathrm{°C}$) | $\vartheta_\mathrm M = 94~\mathrm{°C}$]] #### Adiabatische Kompression In einem Zylinder, der durch einen (beweglichen) Kolben dicht verschlossen ist, befindet sich eine gewisse Menge Luft mit der Masse $m_\mathrm L = 0{,}5~\mathrm g$, deren Temperatur anfangs $\vartheta_1 = 23~^\circ\mathrm C$ beträgt. Der Kolben werde schlagartig in den Zylinder gepresst, wobei sich die eingeschlossene Luft auf $\vartheta_2 = 78~^\circ\mathrm C$ erwärmt. Ein Wärmeaustausch mit der Umgebung finde dabei nicht statt. Die spezifische Wärmekapazität der Luft beträgt $c_\mathrm L = 1{,}005~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\cdot K}}$. Welche Arbeit $W$ wurde beim Hineinpressen des Kolbens in den Zylinder verrichtet? [[ ($W = 27{,}64~\mathrm J$) | $W = 42{,}76~\mathrm J$ | $W = 64{,}27~\mathrm J$ | $W = 76{,}42~\mathrm J$ ]] ### Hausaufgaben #### Weinflasche Eine Weinflasche ist mit einem Korken verschlossen. Dieser hat eine Höhe von $h = 4~\mathrm{cm}$ und steckt vollständig im Flaschenhals, sodass er mit dem oberen Rand der Flasche abschließt. Unterhalb des Korkens befindet sich in der Flasche eine $2~\mathrm{cm}$ hohe Luftsäule. Der Rest der Flasche ist mit Wein gefüllt. Der Flaschenhals hat einen Durchmesser von $2~\mathrm{cm}$. Anfangs befinde sich die Flasche und ihr gesamter Inhalt auf Raumtemperatur ($\vartheta_1 = 23~\mathrm{°C}$) und der Druck im Inneren entspreche dem normalen Luftdruck ($p = 101{,}3~\mathrm{kPa}$). Die Luft kann in beiden Fällen als ideales Gas aufgefasst werden. 1. Der Korken wird nun mit einem Korkenzieher herausgezogen. Welcher Druck herrscht in der Flasche, unmittelbar bevor der Korken komplett entfernt ist? Es wird davon ausgegangen, dass der Korken dicht schließt (es kann also keine Luft in die Flasche nachströmen) und dass am Wein keinerlei Veränderungen erfolgen. 2. Bei einer anderen Art des Öffnens soll die eingeschlossene Luft soweit erhitzt werden, dass der Korken durch den entstehenden Überdruck aus der Flasche herausgedrückt wird. Damit sich der Korken in Bewegung setzt, muss auf ihn eine Kraft von $F = 250~\mathrm N$ wirken. Auf welche Temperatur muss die eingeschlossene Luft hierfür erhitzt werden? Auch hier sollen Temperaturänderungen des Weins unberücksichtigt bleiben. * Antwort Teilaufgabe 1: [[ $p_2 = 11{,}99~\mathrm{kPa}$ | ($p_2 = 33{,}77~\mathrm{kPa}$) | $p_2 = 55{,}55~\mathrm{kPa}$ | $p_2 = 77{,}33~\mathrm{kPa}$ | $p_2 = 99{,}11~\mathrm{kPa}$ ]] ******************************************************************************** Ausgangspunkt ist die Zustandsgleichung des idealen Gases: $$pV = nRT \, .$$ Die Aufgabenstellung fragt nach dem Zusammenhang zwischen Volumen und Druck. Da keine weiteren Angaben zur Temperatur gemacht sind, wird von einem isothermen ($T = \mathrm{const}$) Vorgang ausgegangen. Dann gilt $$p_1 V_1 = nRT = p_2 V_2 \, ,$$ beziehungsweise $$p_2 = \frac{V_1}{V_2} p_1 \, .$$ Das Volumen ist nicht direkt gegeben, lässt sich aber aus Durchmesser und Höhe der Luftsäule bestimmen: $$V_1 = \frac{\pi}{4} d^2 h_1 \quad \textrm{und} \quad V_2 = \frac{\pi}{4}d^2h_2 \, .$$ Für $h_2$ gilt dabei: $h_2 = 6~\mathrm{cm}$. Für den Enddruck folgt dann: $$p_2 = \frac{h_1}{h_2}p_1 = 33{,}77~\mathrm{kPa} \, .$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 2: [[ $\vartheta_2 = 78~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_2 = 216~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_2 = 743~\mathrm{°C}$ | $\vartheta_2 = 1486~\mathrm{°C}$ | ($\vartheta_2 = 2053~\mathrm{°C}$) ]] ******************************************************************************** Auch hier wird die Zustandsgleichung des idealen Gases angesetzt, wobei jetzt ein isochorer Vorgang ($V=\mathrm{const}$) vorliegt und der Zusammenhang zwischen Druck und Temperatur gesucht ist: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{nR}{V} = \frac{p_2}{T_2}$$ beziehungsweise $$T_2 = \frac{p_2}{p_1}T_1 \, .$$ Der erforderliche Enddruck ergibt sich aus der gegebenen Kraft auf den Korken: $$p_2 = \frac{F}{A} = \frac{F}{\frac{\pi}{4}d^2} = \frac{4F}{\pi d^2} \, ,$$ wobei die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises verwendet wurde. Für die gesuchte Temperatur bedeutet das: $$T_2 = \frac{4F}{\pi d^2}\frac{T_1}{p_1} = 2326~\mathrm{K}$$ beziehungsweise $$\vartheta_2 = 2053~\mathrm{°C}\, .$$ ******************************************************************************** Anmerkungen: * Selbstverständlich muss in den Formeln stets die absolute Temperatur (in Kelvin) eingesetzt werden. Im hier dargestellten Lösungsweg wurden die jeweiligen Umrechnungen nicht explizit aufgeführt. * Tatsächlich wird sich eine Erwärmung der Luft in der Flasche wie im zweiten Aufgabenteil nicht realisieren lassen, ohne auch den Wein zu erwärmen. Durch die Verdunstung von Wein in der Flasche wäre dann die Stoffmenge des Gases nicht mehr konstant und eine exakte Berechnung kaum noch möglich. * Die Inspiration für diese Rechenaufgabe entstammt dem Buch „Physik mit Barrique“ von Lutz Kasper und Patrik Vogt (Springer 2022) #### Brennwert von Lebensmitteln Auf Lebensmitteln wird der sogenannte Brennwert angegeben, also die Energie, die eine bestimmte Masse (in der Regel $100~\mathrm g$) dieses Lebensmittels dem Körper zuführt. Um diesen Brennwert zu bestimmen, werden im Labor tatsächlich kleine Mengen des jeweiligen Lebensmittels in einer Messapparatur verbrannt. Diese Messapparatur besteht aus einem Wasserbad, das nach außen gut isoliert ist, sodass kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. In diesem Wasserbad befindet sich eine Probenkapsel aus Edelstahl, in der das betreffende Lebensmittel kontrolliert verbrannt wird. Aus der Erwärmung des Wassers wird die bei der Verbrennung freigesetzte Energie ermittelt. Eine solche Apparatur beinhalte eine Masse von $0{,}75~\mathrm{kg}$ Wasser. Die Probenkapsel habe eine Masse von $165~\mathrm g$. In dieser Apparatur werden $0{,}5~\mathrm g$ Vollmilchschokolade verbrannt. Das Wasser erwärmt sich dabei von der Anfangstemperatur $\vartheta_1=23{,}47~\mathrm{°C}$ auf $\vartheta_2=27{,}20~\mathrm{°C}$. Berechnen Sie die bei der Verbrennung der Schokolade freigesetzte Wärmemenge. Hinweis: Die spezifische Wärmekapazität von Edelstahl beträgt $c_\mathrm s = 0{,}47~\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\cdot K}}$. [[ $Q = 48~\mathrm{J}$ | $Q = 769~\mathrm{J}$ | ($Q = 12~\mathrm{kJ}$) | $Q = 467~\mathrm{kJ}$ | $Q = 3{,}4~\mathrm{MJ}$ ]] ******************************************************************************** Der allgemeine Zusammenhang zwischen zugeführter Wärme und Temperaturänderung ist durch die Wärmekapazität eines Körpers oder Systems gegeben: $$Q = \Delta U = C\Delta T \, .$$ In der oben beschriebenen Apparatur werden sowohl das Wasser als auch die Probenkapsel erwärmt. Beide Beiträge müssen also jeweils mit Masse und spezifischer Wärmekapazität berücksichtigt werden: $$Q = (m_\mathrm w c_\mathrm w + m_\mathrm k c_\mathrm s)\Delta T = 12~\mathrm{kJ} \, .$$ ******************************************************************************** ## Übung 6: Elektrizitätslehre ### Verständnisfragen #### Kräfte zwischen geladenen Körpern Die Wechselwirkung zwischen elektrisch geladenen Körpern soll in einem Experiment qualitativ untersucht werden. Hierfür werden folgende Materialien verwendet (siehe Foto): * Ein Tischtennisball, der an einem dünnen Faden freischwingend aufgehängt ist * Kuntstoffstab und Nylontuch * Glasstab und Fell Alle diese Materialien sind zu Beginn des Versuchs elektrisch ungeladen.

Die Vorgehensweise ist folgende: 1. Kuntstoffstab und Nylontuch werden kräftig aneinander gerieben. * Hinweis: Der Kunststoffstab wird hierdurch negativ aufgeladen. 2. Der Kunststoffstab wird in Kontakt zum Tischtennisball gebracht. 3. Anschließend wird der Kunststoffstab in die Nähe des Balls gebracht, ohne diesen weiter zu berühren. 4. Glasstab und Fell werden kräftig aneinander gerieben. 5. Der Glasstab wird in die Nähe des Tischtennisballs gebracht ohne diesen zu berühren. * Beobachtung: Dabei wird der Ball zum Stab hin angezogen. Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen zu diesem Versuch! [[ ]] In Schritt 3 wird der Tischtennisball zum Kunststoffstab hin angezogen. [[X]] Der Glasstab ist nach Schritt 4 positiv geladen. [[X]] In Schritt 2 werden Ladungsträger auf den Tischtennisball übertragen, sodass der Ball anschließend ebenfalls negativ geladen ist. [[ ]] Da der Kunststoffstab nach Schritt 1 negativ geladen ist, kann er keinerlei positive Ladungsträger mehr besitzen. [[ ]] Die beiden Stäbe besitzen zu Versuchsbeginn keine Ladungsträger. Diese werden erst durch die Reibungsvorgänge (Schritte 1 und 4) erzeugt. [[ ]] Die Anziehungskraft zwischen Ball und Glasstab (Schritt 5) entsteht, da ein Strom zwischen beiden Körpern fließt. ******************************************************************************** * In Schritt 3 wird der Tischtennisball zum Kunststoffstab hin angezogen. * **Falsch**: Kunststoffstab und Ball sind beide negativ geladen, sodass es zur Abstoßung zwischen gleichartig geladenen Körpern kommt. * Der Glasstab ist nach Schritt 4 positiv geladen. * **Richtig**: So kommt es zur Anziehung zwischen ungleichartig geladenen Körpern im Schritt 5. * In Schritt 2 werden Ladungsträger auf den Tischtennisball übertragen, sodass der Ball anschließend ebenfalls negativ geladen ist. * **Richtig**: Ladungen lassen sich von einem Körper auf einen anderen übertragen. Aus der im letzten Schritt beobachteten Anziehung kann die Aufladung des Balls geschlussfolgert werden. * Da der Kunststoffstab nach Schritt 1 negativ geladen ist, kann er keinerlei positive Ladungsträger mehr besitzen. * **Falsch**: Positive und negative Ladungsträger sind immer vorhanden. Die negative Aufladung des Stabs bedeutet lediglich einen Überschuss an negativen Ladungsträgern. * Die beiden Stäbe besitzen zu Versuchsbeginn keine Ladungsträger. Diese werden erst durch die Reibungsvorgänge (Schritte 1 und 4) erzeugt. * **Falsch**: Positive und negative Ladungsträger sind immer vorhanden und können nicht erzeugt werden. Die Aufladung erfolgt durch Ladungstrennung, die zu einem Ungleichgewicht zwischen positiven und negativen Ladungen führt. * Die Anziehungskraft zwischen Ball und Glasstab (Schritt 5) entsteht, da ein Strom zwischen beiden Körpern fließt. * **Falsch**: Die Wechselwirkung zwischen Ladungen erfolgt unabhängig von deren Bewegung. Ein Stromfluss würde zu einem Ladungsausgleich führen und die beobachtete Kraftwirkung würde sehr schnell verschwinden. ******************************************************************************** #### Elektrisches Feld Die folgende Abbildung zeigt elektrische Feldlinienbilder einer einzelnen Punktladung (links), zweier Punktladungen (Mitte) sowie eines Plattenkondensators (rechts):

Blaue Punkte / Flächen stehen dabei jeweils für Ladungen beziehungsweise geladene Körper. Die grünen Kreise markieren bestimmte Positionen für die nachfolgenden Aussagen. Die nachfolgenden Aussagen beziehen sich auf die obigen Darstellungen. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. [[ ]] Die Punktladung in der linken Darstellung ist negativ. [[X]] Die beiden Punktladungen in der mittleren Darstellung tragen entgegengesetzte Vorzeichen. [[X]] Im Zentrum des Plattenkondensators liegt ein homogenes Feld vor. [[X]] Platziert man an Position 1 eine positive Probeladung, so wirkt auf diese eine Kraft nach oben (d.h. in Richtung oberer Bildrand). [[ ]] Da sich Position 2 genau mittig zwischen den beiden Punktladungen befindet, erfährt eine dort befindliche Probeladung keine Kraftwirkung. [[ ]] Da an Position 3 die Feldlinien parallel verlaufen, erfährt eine dort befindliche Probeladung keine Kraftwirkung. ******************************************************************************** Grundsätzlich gilt für elektrische Feldlinienbilder: * Die Pfeilrichtung entspricht der Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung. * Die Dichte der Feldlinien widerspiegelt den Betrag der Feldstärke: eine hohe Feldliniendichte entspricht einer großen Feldstärke. Damit ergibt sich für die einzelnen Aussagen: * Die Punktladung in der linken Darstellung ist negativ. * **Falsch**: Da positive Probeladungen abgestoßen werden (siehe Pfeilrichtung), muss es sich um eine positive Ladung handeln. * Die beiden Punktladungen in der mittleren Darstellung tragen entgegengesetzte Vorzeichen. * **Richtig**: Die Feldlinien führen von der linken Ladung weg und zur rechten Ladung hin. * Im Zentrum des Plattenkondensators liegt ein homogenes Feld vor. * **Richtig**: Die Feldlinien verlaufen dort parallel (gleiche Richtung des Felds) und in gleichen Abständen (konstanter Betrag der Feldstärke). * Platziert man an Position 1 eine positive Probeladung, so wirkt auf diese eine Kraft nach oben (d.h. in Richtung oberer Bildrand). * **Richtig**: Die Pfeilrichtung gibt die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung an. An Position 1 entspricht dies der Richtung zum oberen Bildrand. * Da sich Position 2 genau mittig zwischen den beiden Punktladungen befindet, erfährt eine dort befindliche Probeladung keine Kraftwirkung. * **Falsch**: In diesem Bereich ist die Feldliniendichte dieser Ladungsanordnung am größten. Folglich ist dort auch die wirkende Kraft maximal. * Da an Position 3 die Feldlinien parallel verlaufen, erfährt eine dort befindliche Probeladung keine Kraftwirkung. * **Falsch**: In jedem Bereich, der von Feldlinien durchsetzt ist, liegt auch eine Kraftwirkung auf Probeladungen vor. ******************************************************************************** #### Elektrostatische Aufladungen Elektrostatische Aufladungen sind ein sehr alltägliches Phänomen. Es dürfte wohl jede Person schon einmal die Erfahrung gemacht haben, bei Berührung eines metallischen Gegenstands einen „elektrischen Schlag“ erhalten zu haben. Dieser entsteht durch die Entladung einer zuvor aufgebauten elektrostatischen Ladung. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf elektrostatische Aufladungen beziehungsweise die daraus resultierende Entladung. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. [[X]] Elektrostatische Aufladungen können entstehen durch Reibung zweier verschiedener Materialien aneinander (sogenannte Reibungselektrizität). [[ ]] Bei der Aufladung eines Körpers werden positive beziehungsweise negative Ladungsträger erzeugt. [[X]] Da elektrostatische Aufladungen leicht Spannungen von mehreren Kilovolt erreichen können, können empfindliche elektronische Geräte dadurch beschädigt werden. [[ ]] Die gegensätzliche Aufladung zwischen aufgeladener Person und Fußboden erzeugt eine anziehende Coulombkraft, die ähnlich groß ist wie die Gewichtskraft. [[X]] Bei der Entladung fließt kurzzeitig ein kleiner elektrischer Strom, der zu einem Ausgleich der unterschiedlichen Ladungen führt. [[X]] Da bei der oben beschriebenen elektrostatischen Aufladung nur sehr kleine Beträge der elektrischen Ladung auftreten, sind derartige Aufladungen bzw. die daraus resultierenden Entladungen in aller Regel unbedenklich. [[X]] Werden zwei (zuvor elektrisch neutrale) Körper durch Reibung aneinander aufgeladen, so tragen sie im Anschluss gleiche Beträge der elektrischen Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen. [[ ]] Bei der Entladung werden die positiven und negativen Ladungsträger vernichtet. Ihre Masse wird gemäß der Formel $E=mc^2$ in Energie umgewandelt, die als Funke sichtbar wird. ******************************************************************************** * Elektrostatische Aufladungen können entstehen durch Reibung zweier verschiedener Materialien aneinander (sogenannte Reibungselektrizität). * **Richtig**: Bestimmte Materialkombinationen erzeugen sehr schnell eine elektrische Aufladung. Im Alltag sind dies beispielsweise verschiedene Textilien. * Bei der Aufladung eines Körpers werden positive beziehungsweise negative Ladungsträger erzeugt. * **Falsch**: Ladungen sind grundsätzlich immer vorhanden und können nicht erzeugt werden. Die Aufladung geschieht durch Ladungstrennung, sodass ein Ungleichgewicht zwischen positiven und negativen Ladungsträgern entsteht. * Da elektrostatische Aufladungen leicht Spannungen von mehreren Kilovolt erreichen können, können empfindliche elektronische Geräte dadurch beschädigt werden. * **Richtig**: Dies betrifft vor allem offene Bauelemente oder Schaltkreise, bei deren Benutzung eine Aufladung vermieden werden sollte. * Die gegensätzliche Aufladung zwischen aufgeladener Person und Fußboden erzeugt eine anziehende Coulombkraft, die ähnlich groß ist wie die Gewichtskraft. * **Falsch**: Zwar bewirkt die gegensätzliche Aufladung tatsächlich eine anziehende Coulombkraft. Deren Größenordnung ist jedoch wesentlich kleiner als die Gewichtskraft eines Menschen, sodass sie praktisch zumeist ignoriert werden kann. * Bei der Entladung fließt kurzzeitig ein kleiner elektrischer Strom, der zu einem Ausgleich der unterschiedlichen Ladungen führt. * **Richtig**: Die zuvor getrennten Ladungen bewegen sich solange, bis wieder ein Gleichgewicht zwischen positiven und negativen Ladungsträgern besteht. * Da bei der oben beschriebenen elektrostatischen Aufladung nur sehr kleine Beträge der elektrischen Ladung auftreten, sind derartige Aufladungen bzw. die daraus resultierenden Entladungen in aller Regel unbedenklich. * **Richtig**: Die hohe Spannung allein ist für den Menschen in aller Regel unproblematisch, solange sehr kleine Beträge der Ladung beteiligt sind und somit bei einer Entladung nur sehr kleine Ströme fließen. * Werden zwei (zuvor elektrisch neutrale) Körper durch Reibung aneinander aufgeladen, so tragen sie im Anschluss gleiche Beträge der elektrischen Ladung mit entgegengesetztem Vorzeichen. * **Richtig**: Da Ladungen weder erzeugt noch vernichtet werden, sondern lediglich getrennt werden, muss das anfangs vorhandene Gleichgewicht positiver und negativer Ladungsträger bestehen bleiben. * Bei der Entladung werden die positiven und negativen Ladungsträger vernichtet. Ihre Masse wird gemäß der Formel $E=mc^2$ in Energie umgewandelt, die als Funke sichtbar wird. * **Falsch**: Die Entladung geschieht durch einen Stromfluss, der zu einem Ladungsausgleich führt. Die Energie des Funkens entstammt der Coulombenergie der zuvor getrennten Ladungen. ******************************************************************************** #### Glühlampen Gegeben sind zwei Glühlampen mit den Angaben * 6 V / 5 W (Lampe 1) und * 6 V / 2 W (Lampe 2). Diese beiden Lampen werden einmal parallel und einmal in Reihe an eine Spannungsquelle mit $U_0 = 6~\mathrm V$ angeschlossen. Entscheiden Sie für die angegebenen Konstellationen, ob diese in Parallelschaltung, in Reihenschaltung oder in keinem der beiden Fälle eintritt. [[Reihenschaltung] [Parallelschaltung] [Diese Konstellation tritt nicht auf.]] [( ) ( ) (X)] Keine der Lampen leuchtet. [( ) ( ) (X)] Nur Lampe 1 leuchtet (möglicherweise mit reduzierter Helligkeit). [(X) ( ) ( )] Nur Lampe 2 leuchtet (möglicherweise mit reduzierter Helligkeit). [( ) ( ) (X)] Beide Lampen leuchten, jedoch mit reduzierter Helligkeit. [( ) (X) ( )] Beide Lampen leuchten mit ihrer normalen Helligkeit. ******************************************************************************** Zunächst ist festzustellen, dass Lampe 1 einen geringeren elektrischen Widerstand aufweist als Lampe 2, da bei gleicher Spannung eine höhere Leistung erzielt wird. Ausgehend davon lässt sich vorhersagen, welche Lämpchen bei Reihen- bzw. Parallelschaltung leuchten. * In Reihenschaltung teilt sich die Spannung entsprechend den Widerständen auf die einzelnen Verbraucher auf. Der größte Teil der Spannung fällt folglich an Lampe 2 ab, die dadurch zum Leuchten gebracht wird. Lampe 1 bleibt aufgrund# des zu geringen Spannungsabfalls dunkel. Andere Betrachtung: In Reihenschaltung fließt durch beide Lämpchen derselbe Strom, dessen Betrag durch den Gesamtwiderstand bestimmt wird. Dieser Strom reicht aus, um Lämpchen 2 zum Leuchten zu bringen. Das leistungsstärkere Lämpchen 1 bleibt jedoch dunkel, da dieses einen deutlich größeren Strom benötigen würde. * In Parallelschaltung liegt an beiden Lämpchen die Versorgungsspannung der Spannungsquelle an. Da beide Lämpchen mit ihrer vorgesehenen Betriebsspannung versorgt werden, leuchten beide mit ihrer normalen Helligkeit. Die anderen aufgeführten Konstellationen treten nicht auf. ******************************************************************************** #### Sitzheizung Eine Heizmatte, die für den Anschluss an $U=12~\mathrm V$ vorgesehen ist, besitzt zwei unabhängige Heizwicklungen, die jeweils einen Widerstand von $R=6~\Omega$ besitzen. Durch unterschiedliche Beschaltung dieser Heizwicklungen lassen sich drei verschiedene Leistungsstufen der Heizmatte erreichen. Wählen Sie die Beschaltungen für diese drei Leistungsstufen aus und berechnen Sie die jeweilige Leistung. Heinweis: Betrachten Sie die Heizwicklungen als ohmsche Widerstände. Die Versorgungsspannung soll nicht geändert werden. * **Heizstufe 1 – geringste Leistung** Beschaltung: [[ (Reihenschaltung) | Parallelschaltung | eine Heizwicklung einzeln ]] ***************************************************************************** Für die elektrische Leistung gilt bei vorgegebener Spannung: $$P = \frac{U^2}{R} \, .$$ Schaltungen mit größerem elektrischen Widerstand weisen folglich eine kleinere Leistung auf. Die geringste Leistung ergibt sich bei maximalem Widerstand, der bei Reihenschaltung erreicht wird. ***************************************************************************** Leistung: [[ $P_1 = 1~\mathrm W$ | $P_1 = 2~\mathrm W$ | $P_1 = 3~\mathrm W$ | $P_1 = 6~\mathrm W$ | ($P_1 = 12~\mathrm W$) | $P_1 = 24~\mathrm W$ | $P_1 = 48~\mathrm W$]] ****************************************************************************** In Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand die Summe der Einzelwiderstände: $$R_\mathrm{ges} = 2\cdot R = 12~\Omega \, .$$ Für die Leistung folgt daraus: $$P_1 = \frac{U^2}{R_\mathrm{ges}} = 12~\mathrm W \, .$$ ****************************************************************************** * **Heizstufe 2 – mittlere Leistung** Beschaltung: [[ Reihenschaltung | Parallelschaltung | (eine Heizwicklung einzeln) ]] ****************************************************************************** In Reihenschaltung liegt der größte Widerstand vor (siehe oben). In Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand stets kleiner als der kleinste Teilwiderstand. Der Widerstand einer einzelnen Heizwicklung liegt folglich zwischen diesen beiden Werten. ****************************************************************************** Leistung: [[ $P_2 = 1~\mathrm W$ | $P_2 = 2~\mathrm W$ | $P_2 = 3~\mathrm W$ | $P_2 = 6~\mathrm W$ | $P_2 = 12~\mathrm W$ | ($P_2 = 24~\mathrm W$) | $P_2 = 48~\mathrm W$]] ****************************************************************************** Hier gilt: $$R_\mathrm{ges} = R = 6~\Omega \, .$$ Für die Leistung folgt daraus: $$P_2 = \frac{U^2}{R_\mathrm{ges}} = 24~\mathrm W \, .$$ ****************************************************************************** * **Heizstufe 3 – größte Leistung** Beschaltung: [[ Reihenschaltung | (Parallelschaltung) | eine Heizwicklung einzeln ]] ****************************************************************************** In Parallelschaltung ist der Gesamtwiderstand stets kleiner als der kleinste Teilwiderstand. ****************************************************************************** Leistung: [[ $P_3 = 1~\mathrm W$ | $P_3 = 2~\mathrm W$ | $P_3 = 3~\mathrm W$ | $P_3 = 6~\mathrm W$ | $P_3 = 12~\mathrm W$ | $P_3 = 24~\mathrm W$ | ($P_3 = 48~\mathrm W$)]] ****************************************************************************** In Parallelschaltung zweier identischer Widerstände gilt für den Gesamtwiderstand: $$\frac{1}{R_\mathrm{ges}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \, .$$ Daraus ergibt sich: $$R_\mathrm{ges} = \frac{1}{2}R \, .$$ Für die Leistung folgt daraus: $$P_3 = \frac{U^2}{R_\mathrm{ges}} = 48~\mathrm W \, .$$ ****************************************************************************** #### Stromerzeugung Ein Fahrrad-Heimtrainer ist mit einem Generator zur Stromerzeugung ausgestattet. Die Spannung, die dieser Generator erzeugt, ist abhängig von der Drehzahl des Heimtrainers: je größer die Drehzahl, desto höher die Spannung. Maximal können $50~\mathrm V$ erreicht werden. Der Strom, der dabei fließt, wird durch den Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers bestimmt. Als Verbraucher können angeschlossen werden: ein Wasserkocher (Widerstand $R = 60~\Omega$) sowie eine Halogenlampe mit $R = 2{,}4~\Omega$. Beide Verbraucher können für den Zweck dieser Aufgabe als ohmsche Bauelemente aufgefasst werden. Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen. [[X]] Ist die Lampe angeschlossen, so gibt der Generator bei gleicher Spannung eine größere Leistung ab als bei Anschluss des Wasserkochers. [[X]] Die Person auf dem Heimtrainer muss (mindestens) dieselbe Leistung beim Treten aufbringen, die vom Generator als elektrische Leistung an den Verbraucher abgegeben werden soll (Prinzip der Energieerhaltung). [[X]] Je kleiner der Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers, umso mehr Kraft muss beim Treten in die Pedale bei gleicher Drehzahl (also auch gleicher Spannung) aufgewendet werden. [[ ]] Wird der Wasserkocher mit der Maximalspannung des Generators betrieben, so wird eine Leistung von 3000 W umgesetzt. ******************************************************************************** * Ist die Lampe angeschlossen, so gibt der Generator bei gleicher Spannung eine größere Leistung ab als bei Anschluss des Wasserkochers. * **Richtig**: Aufgrund des kleineren Widerstands der Lampe fließt bei gleicher Spannung ein größerer Strom, was zu einer höheren Leistung führt. * Die Person auf dem Heimtrainer muss (mindestens) dieselbe Leistung beim Treten aufbringen, die vom Generator als elektrische Leistung an den Verbraucher abgegeben werden soll (Prinzip der Energieerhaltung). * **Richtig**: Auch hier kann keine Energie aus dem Nichts entstehen. Die abgegebene elektrische Leistung muss auch (als mechanische Leistung) zugeführt werden. Da in der Realität der Wirkungsgrad der Energiewandlung kleiner als 100% ist, muss tatsächlich sogar eine höhere mechanische Leistung aufgebracht werde. * Je kleiner der Widerstand des angeschlossenen Verbrauchers, umso mehr Kraft muss beim Treten in die Pedale bei gleicher Drehzahl (also auch gleicher Spannung) aufgewendet werden. * **Richtig**: Bei kleinerem Widerstand wird bei gleicher Spannung eine höhere elektrische Leistung abgegeben (siehe erste Aussage). Dies erfordert eine größere mechanische Leistung, die bei gleicher Drehzahl durch eine höhere Trittkraft realisiert wird. * Wird der Wasserkocher mit der Maximalspannung des Generators betrieben, so wird eine Leistung von 3000 W umgesetzt. * **Falsch**: Für die Leistung gilt $P=UI = \frac{U^2}{R}$, was in diesem Fall lediglich $\approx 42~\mathrm W$ ergibt. Der Zahlenwert 3000 ergibt sich, wenn der Wert der Spannung (in Volt) mit dem des Widerstands (in Ohm) multipliziert wird. Das Produkt $UR$ ergibt jedoch nicht die Leistung. ******************************************************************************** Die folgenden beiden Aussagen beziehen sich auf die Situation, dass Wasserkocher und Halogenlampe in Parallelschaltung an den Generator angeschlossen sind. [[X]] An beiden Verbrauchern liegt dieselbe Spannung an. [[X]] Der Generator gibt (bei gleicher Spannung) eine höhere Leistung ab als bei Anschluss eines einzelnen Verbrauchers. ******************************************************************************** * An beiden Verbrauchern liegt dieselbe Spannung an. * **Richtig**: Dies ist die Aussage der Kirchhoff’schen Maschenregel. * Der Generator gibt (bei gleicher Spannung) eine höhere Leistung ab als bei Anschluss eines einzelnen Verbrauchers. * **Richtig**: Der Gesamtstrom ist die Summe der beiden Teilströme durch die beiden Verbraucher. Ebenso addieren sich die beiden Einzelleistungen zur Gesamtleistung. ******************************************************************************** Die folgenden beiden Aussagen beziehen sich auf die Situation, dass Wasserkocher und Halogenlampe in Reihenschaltung an den Generator angeschlossen sind. [[ ]] Aufgrund ihres kleineren Widerstands fließt durch die Lampe ein größerer Strom als durch den Wasserkocher. [[X]] Aufgrund seines größeren Widerstands liegt am Wasserkocher eine höhere Spannung an als an der Lampe. ******************************************************************************** * Aufgrund ihres kleineren Widerstands fließt durch die Lampe ein größerer Strom als durch den Wasserkocher. * **Falsch**: Laut Knotenregel muss durch Lampe und Wasserkocher derselbe Strom fließen. * Aufgrund seines größeren Widerstands liegt am Wasserkocher eine höhere Spannung an als an der Lampe. * **Richtig**: In Reihenschaltung teilt sich die Gesamtspannung entsprechend der Widerstände auf die einzelnen Verbraucher auf. ******************************************************************************** #### Wasserkraftwerk In einem Wasserkraftwerk strömt Wasser aus einem höhergelegenen Reservoir (natürlicher oder künstlicher See, Zuleitungsgraben, Talsperre oder Ähnliches) durch eine (oder mehrere) Turbine(n). Die Turbinen wiederum treiben Generatoren an, die aus dieser Bewegung schließlich elektrischen Strom erzeugen. Die folgenden Aussagen befassen sich mit dieser Art der Stromerzeugung. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. [[X]] In einem Wasserkraftwerk wird die mechanische Energie des Wassers in elektrische Energie umgewandelt. [[ ]] Die maximal erreichbare elektrische Leistung wird durch die Durchflussmenge des Wassers (gemessen in $\frac{\mathrm m^3}{\mathrm s}$) bestimmt. Der Höhenunterschied zwischen Reservoir und Turbinen hat keinen Einfluss. [[ ]] Die maximal erreichbare elektrische Leistung wird durch den Höhenunterschied zwischen Reservoir und Turbinen bestimmt. Die Durchflussmenge des Wassers hat keinen Einfluss. [[X]] Die abgegebene elektrische Leistung ist kleiner als die zugeführte mechanische Leistung des durch die Turbinen fließenden Wassers. ******************************************************************************** * In einem Wasserkraftwerk wird die mechanische Energie des Wassers in elektrische Energie umgewandelt. * **Richtig**: Die mechanische Energie des Wassers liegt anfangs als potenzielle (aufgrund der erhöhten Lage des Reservoirs) und / oder kinetische (aufgrund der Fließgeschwindigkeit) vor. * Die maximal erreichbare elektrische Leistung wird durch die Durchflussmenge des Wassers (gemessen in $\frac{\mathrm m^3}{\mathrm s}$) bestimmt. Der Höhenunterschied zwischen Reservoir und Turbinen hat keinen Einfluss. * **Falsch**: Die maximal erreichbare Leistung wird bestimmt durch das Produkt von Durchflussmenge und Höhendifferenz. * Die maximal erreichbare elektrische Leistung wird durch den Höhenunterschied zwischen Reservoir und Turbinen bestimmt. Die Durchflussmenge des Wassers hat keinen Einfluss. * **Falsch**: Die maximal erreichbare Leistung wird bestimmt durch das Produkt von Durchflussmenge und Höhendifferenz. * Die abgegebene elektrische Leistung ist kleiner als die zugeführte mechanische Leistung des durch die Turbinen fließenden Wassers. * **Richtig**: Auch Wasserkraftwerke weisen in ihrer Energieumwandlung einen Wirkungsgrad $<1$ auf. Ein Teil der Energie geht stets durch dissipative Prozesse „verloren“. ******************************************************************************** ### Rechenaufgaben #### Elektrostatische Wechselwirkung Zum Nachweis der elektrostatischen Wechselwirkung werden zwei Tischtennisbälle (Masse $m=2{,}7~\mathrm g$, Durchmesser $D=40~\mathrm{mm}$) genutzt, die jeweils an einem $l=1~\mathrm m$ langen Faden im Abstand $d=10~\mathrm{cm}$ voneinander aufgehängt sind (Abstand gemessen zwischen den Mittelpunkten der Bälle). Beide Bälle werden mit derselben elektrischen Ladung $Q$ aufgeladen. Dabei werden sie jeweils um eine horizontale Strecke $\Delta x = 4~\mathrm{cm}$ aus ihrer Ruhelage ausgelenkt. Welchen Betrag hat die Ladung $Q$ auf jedem der Bälle? [[ ($Q=61{,}8~\mathrm{nC}$) | $Q=38{,}1~\mathrm{\mu C}$ | $Q=57{,}1~\mathrm{mC}$ | $Q=21{,}9~\mathrm{C}$ ]] #### Tauchsieder Ein Fahrrad-Heimtrainer ist mit einem Generator zur Stromerzeugung ausgestattet. Damit kann – abhängig von der Drehzahl – eine Spannung von maximal $50~\mathrm V$ erzeugt werden. An diesen Generator ist ein Tauchsieder angeschlossen, der für einen Betrieb mit Netzspannung ($U_0 = 230~\mathrm V$) ausgelegt ist und dabei eine Leistung von $P_0=1000~\mathrm W$ aufweist. Tatsächlich wird der Tauchsieder vom Generator aber lediglich mit einer Spannung von $U_\mathrm G = 42~\mathrm V$ versorgt. 1. Welcher Strom $I_\mathrm G$ fließt dabei durch den Tauchsieder? [[ $I_\mathrm G = 0{,}15~\mathrm A$ | $I_\mathrm G = 0{,}47~\mathrm A$ | ($I_\mathrm G = 0{,}79~\mathrm A$) | $I_\mathrm G = 1{,}11~\mathrm A$ | $I_\mathrm G = 1{,}43~\mathrm A$ ]] 2. Welche Leistung $P_\mathrm G$ weist der Tauchsieder dabei auf? [[ ($P_\mathrm G = 33~\mathrm W$) | $P_\mathrm G = 77~\mathrm W$ | $P_\mathrm G = 121~\mathrm W$ | $P_\mathrm G = 165~\mathrm W$ | $P_\mathrm G = 209~\mathrm W$ | $P_\mathrm G = 253~\mathrm W$ ]] #### Lichterbogen Ein Lichterbogen für die Weihnachtsbeleuchtung besitzt 7 Glühlampen und ist für den Anschluss an $230~\mathrm V$ (Haushaltsteckdose) vorgesehen. Die Glühlampen tragen jeweils die Bezeichnung „34 V / 3 W“.  1. Wie müssen diese Lampen innerhalb des Lichterbogens angeschlossen sein, um bei einem Betrieb mit 230 V nicht beschädigt zu werden? [[ (Reihenschaltung) | Parallelschaltung ]] 2. Berechnen Sie den elektrischen Widerstand $R_\mathrm L$ eines Lämpchens. [[ $R_\mathrm L = 360~\Omega$ | $R_\mathrm L = 365~\Omega$ | $R_\mathrm L = 370~\Omega$ | $R_\mathrm L = 375~\Omega$ | $R_\mathrm L = 380~\Omega$ | ($R_\mathrm L = 385~\Omega$) ]] 3. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand $R_\mathrm{ges}$ aller 7 Lämpchen (in der korrekten Schaltung). [[ $R_\mathrm{ges} = 55~\Omega$ | $R_\mathrm{ges} = 385~\Omega$ | $R_\mathrm{ges} = 770~\Omega$ | ($R_\mathrm{ges} = 2695~\Omega$) ]] 4. Berechnen Sie die Gesamtleistung $P_\mathrm{ges}$ des Lichterbogens (mit der korrekten Schaltung der Glühlampen). [[ $P_\mathrm{ges} = 18{,}2~\mathrm W$ | ($P_\mathrm{ges} = 19{,}6~\mathrm W$) | $P_\mathrm{ges} = 21{,}0~\mathrm W$ | $P_\mathrm{ges} = 22{,}4~\mathrm W$ ]] #### Modelleisenbahn – Motor Auf einer Modellbahnanlage bewegt sich ein Zug, der aus einer Lokomotive (Masse $m_\mathrm L = 180~\mathrm g$) und fünf identischen Wagen (Masse jeweils $m_\mathrm W = 62~\mathrm g$) besteht. Anfangs habe der Zug eine Geschwindigkeit von $v_1 = 5~\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm s}$ und beschleunigt dann innerhalb von $t_\mathrm b = 4~\mathrm s$ auf $v_2 = 15~\mathrm{\frac{cm}{s}}$. Während des Beschleunigungsvorgangs fließt ein Strom von $I=130~\mathrm{\mu A}$ zum Elektromotor der Lok. Die Versorgungsspannung beträgt $U=12~\mathrm V$. Reibungseffekte seien vernachlässigbar. 1. Welche mechanische Arbeit $W_\mathrm B$ verrichtet der Motor der Lok während der Beschleunigung? [[ ($W_\mathrm B = 4{,}9~\mathrm{mJ}$) | $W_\mathrm B = 5{,}8~\mathrm{mJ}$ | $W_\mathrm B = 6{,}7~\mathrm{mJ}$ | $W_\mathrm B = 7{,}6~\mathrm{mJ}$ | $W_\mathrm B = 8{,}5~\mathrm{mJ}$]] 2. Welchen Wirkungsgrad $\eta$ weist der Motor der Lok bei diesem Beschleunigungsvorgang auf? [[ $\eta = 0{,}13$ | $\eta = 0{,}36$ | $\eta = 0{,}51$ | ($\eta = 0{,}78$) | $\eta = 0{,}94$ ]] #### Pumpspeicherwerk Das Pumpspeicherwerk Markersbach im Erzgebirge ist das zweitgrößte seiner Art in Deutschland. Auf den Internetseiten des Betreibers finden sich hierzu folgende Informationen: Das Kraftwerk liefert eine maximale elektrische Leistung von $P_\mathrm{el} = 1046~\mathrm{MW}$. Hierfür nutzt es sechs Turbinen, die jeweils einen Wasserdurchfluss von $70~\frac{\mathrm m^3}{\mathrm s}$ aufweisen. Die Fallhöhe (Höhenunterschied zwischen Ober- und Unterbecken) beträgt $\Delta h = 288~\mathrm m$. Bei vollständig gefülltem Oberbecken kann das Kraftwerk vier Stunden unter Volllast betrieben werden. 1. Welches Wasservolumen muss im Oberbecken gespeichert sein, um die genannte Betriebsdauer zu gewährleisten? [[ $V=3{,}012\cdot 10^3~\mathrm{m^3}$ | $V=4{,}024\cdot 10^4~\mathrm{m^3}$ | $V=5{,}036\cdot 10^5~\mathrm{m^3}$ | ($V=6{,}048\cdot 10^6~\mathrm{m^3}$) | $V=7{,}060\cdot 10^7~\mathrm{m^3}$ | $V=8{,}072\cdot 10^8~\mathrm{m^3}$ ]] 2. Berechnen Sie den Wirkungsgrad der Stromerzeugung in diesem Kraftwerk (bezogen auf die mechanische Energie des Wassers). [[ $\eta = 97~\%$ | $\eta = 94~\%$ | $\eta = 91~\%$ | ($\eta = 88~\%$) | $\eta = 85~\%$ | $\eta = 82~\%$ | $\eta = 79~\%$ ]] 3. Die erzeugte elektrische Energie wird mit einer Spannung von $U=380~\mathrm{kV}$ in das Übertragungsnetz eingespeist. Welcher Strom fließt dabei, wenn das Kraftwerk mit maximaler Leistung arbeitet? [[ $I=1{,}25~\mathrm{kA}$ | $I=1{,}50~\mathrm{kA}$ | $I=1{,}75~\mathrm{kA}$ | $I=2{,}00~\mathrm{kA}$ | $I=2{,}25~\mathrm{kA}$ | $I=2{,}50~\mathrm{kA}$ | ($I=2{,}75~\mathrm{kA}$) ]] ### Hausaufgaben #### Glühlampen in Parallel‐ und Reihenschaltung Gegeben sind zwei Glühlampen, die die Angaben „6 V / 5 W“ beziehungsweise „6 V / 2 W“ tragen. Diese beiden Lampen werden einmal parallel und einmal in Reihe an eine Spannungsquelle mit $U_0=6~\mathrm V$ angeschlossen. 1. Berechnen Sie für die Parallelschaltung der beiden Glühlampen den von der Spannungsquelle abgegebenen Gesamtstrom sowie die Gesamtleistung. 2. Berechnen Sie für die Reihenschaltung der beiden Glühlampen den von der Spannungsquelle abgegebenen Gesamtstrom sowie die Gesamtleistung. ----- * Lösung Teil 1 [[ $I_\mathrm{ges} = 0{,}42~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 2{,}5~\mathrm{W}$ | $I_\mathrm{ges} = 0{,}5~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 3~\mathrm{W}$ | ($I_\mathrm{ges} = 1{,}17~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 7~\mathrm{W}$) | $I_\mathrm{ges} = 1{,}67~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 10~\mathrm{W}$ ]] ******************************************************************************** Wir betrachten die Glühlampen vereinfacht als ohmsche Bauelemente. Aus den nominellen Spannungs- und Leistungsangaben lässt sich der Widerstand der beiden Lampen ermitteln: $$\begin{aligned} R=\frac{U^2}{P} \quad \longrightarrow \quad R_1 & = \frac{U_1^2}{P_1} =\frac{(6~\mathrm V)^2}{5~\mathrm W} = 7{,}2~\Omega \\ R_2 & = 18~\Omega \end{aligned}$$ In Parallelschaltung ergibt sich daraus ein Gesamtwiderstand von $$R_\mathrm{ges} = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)^{-1} = \frac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = 5{,}14~\Omega \, .$$ Demzufolge wird von der Spannungsquelle der Gesamtstrom $$I_\mathrm{ges} = \frac{U_0}{R_\mathrm{ges}} = 1{,}17~\mathrm A$$ abgegeben. Daraus ergibt sich eine Gesamtleistung von $$P_\mathrm{ges} = U_0 I_\mathrm{ges} = 7~\mathrm W \, .$$ Die Gesamtleistung ist die Summe der Einzelleistungen beider Lampen. ******************************************************************************** * Lösung Teil 2 [[ $I_\mathrm{ges} = 0{,}08~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 0{,}48~\mathrm{W}$ | $I_\mathrm{ges} = 0{,}13~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 0{,}78~\mathrm{W}$ | ($I_\mathrm{ges} = 0{,}24~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 1{,}44~\mathrm{W}$) | $I_\mathrm{ges} = 0{,}38~\mathrm A$, $P_\mathrm{ges} = 2{,}28~\mathrm{W}$ ]] ******************************************************************************** Für die Reihenschaltung der beiden Lampen ergibt sich ein Gesamtwiderstand von $$R_\mathrm{ges} = R_1 + R_2 = 25{,}2~\Omega \, .$$ Folglich fließt ein Gesamtstrom von $$I_\mathrm{ges} = \frac{U_0}{R_\mathrm{ges}} = 0{,}24~\mathrm A \, ,$$ woraus sich eine Gesamtleistung $$P_\mathrm{ges} = U_0 I_\mathrm{ges} = 1{,}44~\mathrm W$$ ergibt. Die Gesamtleistung ist kleiner als die kleinste Einzelleistung. ******************************************************************************** #### Straßenbahn Die Oberleitung eines Straßenbahnnetzes weist eine Spannung von $U = 600~\mathrm V$ auf. Für den Beschleunigungsvorgang einer Straßenbahn fließt ein konstanter Strom $I = 395~\mathrm A$. Dieser Beschleunigungsvorgang dauert $t = 15~\mathrm s$. Dabei wird eine mechanische Beschleunigungsarbeit von $W_\mathrm B = 3000~\mathrm{kJ}$ verrichtet. Welchen Wirkungsgrad $\eta$ besitzen die Antriebsmotoren dieser Straßenbahn? [[ $\eta = 76{,}9~\%$ | ($\eta = 84{,}4~\%$) | $\eta = 89{,}2~\%$ | $\eta = 94{,}7~\%$ | $\eta = 100~\%$ ]] ******************************************************************************** Der Wirkungsgrad ergibt sich als Verhältnis der nutzbaren Arbeit zur gesamten aufgewendeten Arbeit: $$\eta = \frac{W_\mathrm{nutz}}{W_\mathrm{aufwand}} \, .$$ Die nutzbare Arbeit ist im oben beschriebenen Fall die gegebene Beschleunigungsarbeit. Als Aufwand ist die elektrische Arbeit zu zählen, für die gilt $$W_\mathrm{el} = UIt \, .$$ Damit ergibt sich: $$\eta = \frac{W_\mathrm B}{W_\mathrm{el}} = \frac{W_\mathrm B}{UIt} = 0{,}844 = 84{,}4~\% \, .$$ ******************************************************************************** ## Übung 7: Optik ### Verständnisfragen #### Lichtbrechung Die folgende Grafik zeigt den Strahlenverlauf des Lichts von einer Lichtquelle über eine Grenzfläche zu zwei Beobachtern. An der Grenzfläche treffen zwei Medien mit den Brechzahlen $n_1$ und $n_2$ aufeinander (in der Darstellung durch unterschiedliche Farbgebung angedeutet).

Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen zur Lichtbrechung und -reflexion bezogen auf die obige Darstellung. [[X]] Der Einfallswinkel $\alpha_1$ ist kleiner als der Grenzwinkel der Totalreflexion. [[X]] Das Licht breitet sich in den beiden Medien mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus. [[ ]] Eines der beiden Medien muss Luft sein, da Brechung und Reflexion nur an Luft-Grenzflächen auftreten können. [[ ]]In der Realität treten niemals reflektierter und transmittierter (gebrochener) Strahl gleichzeitig auf. Es kommt entweder zu vollständiger Reflexion oder vollständiger Transmission. In der Darstellung dürfte exakterweise auch nur ein Strahl eingezeichnet werden. [[X]] Da der dargestellte Strahlenverlauf von der Quelle zum Beobachter 2 dem Brechungsgesetz gehorcht, stellt er den schnellstmöglichen Lichtweg dar. [[ ]] Medium 2 ist optisch dichter als Medium 1, d.h. es besitzt eine höhere Brechzahl: $n_2 > n_1$. ******************************************************************************** * Der Einfallswinkel $\alpha_1$ ist kleiner als der Grenzwinkel der Totalreflexion. * **Richtig**: Andernfalls würde der transmittierte Strahl zum Beobachter 2 verschwinden. * Das Licht breitet sich in den beiden Medien mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus. * **Richtig**: Die unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten in den beiden Medien (ausgedrückt durch unterschiedliche Brechungsindizes) sind Ursache für die Brechung des transmittierten Strahls. * Eines der beiden Medien muss Luft sein, da Brechung und Reflexion nur an Luft-Grenzflächen auftreten können. * **Falsch**: Brechung und Reflexion treten an allen Grenzflächen auf, an denen zwei Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex aufeinander treffen. * In der Realität treten niemals reflektierter und transmittierter (gebrochener) Strahl gleichzeitig auf. Es kommt entweder zu vollständiger Reflexion oder vollständiger Transmission. In der Darstellung dürfte exakterweise auch nur ein Strahl eingezeichnet werden. * **Falsch**: Im Allgemeinen treten Brechung und Reflexion gemeinsam auf. Einzig im Fall der Totalreflexion verschwindet der gebrochene Strahl. * Da der dargestellte Strahlenverlauf von der Quelle zum Beobachter 2 dem Brechungsgesetz gehorcht, stellt er den schnellstmöglichen Lichtweg dar. * **Richtig**: Das Fermatsche Prinzip der Lichtausbreitung besagt, dass das Licht den Weg mit einer extremalen (also minimalen oder maximalen) Laufzeit wählt. Hier liegt – wie in den meisten Fällen – ein Minimum der Laufzeit vor. * Medium 2 ist optisch dichter als Medium 1, d.h. es besitzt eine höhere Brechzahl: $n_2 > n_1$. * **Falsch**: Die Brechung am Übergang von Medium 1 zu Medium 2 erfolgt vom Lot weg, d.h. der Brechungswinkel ist größer als der Einfallswinkel. Dieses Verhalten tritt auf, wenn Medium 2 die kleinere Brechzahl aufweist. ******************************************************************************** #### Bildkonstruktion Die folgende Zeichnung enthält die Bildentstehung an einer Linse. Der Pfeil stellt den abzubildenden Gegenstand dar. Die senkrechte Strich-Punkt-Line symbolisiert die Hauptebene der (dünnen) Linse. Die waagerechte schwarze Linie stellt die optische Achse dar. Die drei gelben Linien veranschaulichen drei exemplarische Strahlenverläufe vom Gegenstand durch die Linse.

Die folgenden Fragen beziehen sich auf die obige Darstellung. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. [[X]] Es entsteht ein virtuelles Bild des Gegenstands. [[ ]] Das entstehende Bild ist verkleinert. [[ ]] Es entsteht ein kopfstehendes/seitenverkehrtes Bild. [[X]] Bei der Linse handelt es sich um eine Sammellinse. [[ ]] Die Gegenstandsweite ist identisch mit der Brennweite der Linse. [[ ]] Da die eingetragenen Lichtstrahlen sich auf der Bildseite der Linse nicht schneiden, kann die Abbildungsgleichung für diesen Fall nicht angewendet werden. ******************************************************************************** Zur Beantwortung der Fragen kann es hilfreich sein, zunächst die Skizze zu vervollständigen, indem das entstehende Bild eingetragen wird. Auf der Bildseite divergieren die eingezeichneten Strahlen. Ihre rückwärtigen Verlängerungen treffen sich in einem Punkt auf der Gegenstandsseite. Die dargestellten Strahlenverläufe entsprechen dem Wirkungsprinzip einer Lupe.

Die drei eingezeichneten Strahlen entsprechen auf der Gegenstandsseite dem Brennpunktstrahl (oben, auf der Bildseite wird daraus ein Parallelstrahl), dem Parallelstrahl (Mitte, wird zum Brennpunktstrahl auf der Bildseite) und dem Mittelpunktstrahl (unten). Der Schnittpunkt des bildseitigen Brennpunktstrahls mit der optischen Achse markiert den (bildseitigen) Brennpunkt der Linse. Der gegenstandsseitige Brennpunkt liegt in gleichem Abstand von der Hauptebene. Grundsätzlich ist eine Einschätzung der Richtigkeit der oben aufgeführten Aussagen auch allein aus den vorgegebenen Strahlenverläufen möglich. Die vervollständigte Skizze vereinfacht jedoch die Beurteilung. * Es entsteht ein virtuelles Bild des Gegenstands. * **Richtig**: Auf der rechten Seite divergieren die drei Strahlen, sodass kein reelles Bild entsteht. Ihre rückwärtigen Verlängerungen treffen sich jedoch auf der linken Seite der Linse in einem virtuellen Bildpunkt. * Das entstehende Bild ist verkleinert. * **Falsch**: Das (virtuelle) Bild entsteht weiter links als der Gegenstand und ist vergrößert. Auch ohne Bildkonstruktion ist dies aus dem oberen der drei Strahlen ersichtlich, der als Parallelstrahl (auf der Bildseite) die Höhe des Bildes bestimmt. * Es entsteht ein kopfstehendes/seitenverkehrtes Bild. * **Falsch**: Die Bildkonstruktion ergibt ein aufrechtes Bild. Auch dies kann bereits aus der Lage des oberen Strahls abgeleitet werden. * Bei der Linse handelt es sich um eine Sammellinse. * **Richtig**: Da ein vergrößertes virtuelles Bild entsteht, muss eine Sammellinse vorliegen. Zerstreuungslinsen erzeugen stets verkleinerte Bilder. Außerdem kann dies (u.a.) aus dem mittleren der drei Strahlen abgeleitet werden. Der gegenstandsseitige Parallelstrahl wird zum Brennpunktstrahl, der die optische Achse im bildseitigen Brennpunkt rechts von der Linse schneidet. Die Brennweite ist folglich positiv. * Die Gegenstandsweite ist identisch mit der Brennweite der Linse. * **Falsch**: In diesem Fall würden die drei Strahlen rechts von der Linse parallel verlaufen. Die Gegenstandsweite ist kleiner als die Brennweite der Linse. * Da die eingetragenen Lichtstrahlen sich auf der Bildseite der Linse nicht schneiden, kann die Abbildungsgleichung für diesen Fall nicht angewendet werden. * **Falsch**: Auch dieser Fall wird durch die Abbildungsgleichung erfasst. Es ergibt sich eine negative Bildweite, da das (virtuelle) Bild auf Gegenstandsseite entsteht. ******************************************************************************** #### Lupe Eine Lupe wird genutzt, um kleine Dinge vergrößert zu betrachten. Sie besteht aus einer einzelnen Sammellinse, die so eingesetzt wird, dass beim Blick hindurch ein vergrößertes, aufrechtes Bild der dahinterliegenden Objekte beobachtet werden kann.

Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen bezüglich einer Lupe. [[ ]] Das Bild, das von der Lupe erzeugt wird, befindet sich an derselben Position wie das Objekt. [[ ]] Damit die beschriebene Vergrößerungswirkung erzielt wird, muss der Abstand zwischen Lupe und Objekt größer sein als die Brennweite der Linse. [[X]] Die Lupe erzeugt ein virtuelles Bild des Objekts. [[ ]] Wenn die Lupe verkehrt herum gehalten wird, entsteht ein verkleinertes Bild des Gegenstands. ******************************************************************************** * Das Bild, das von der Lupe erzeugt wird, befindet sich an derselben Position wie das Objekt. * **Falsch**: Das vergrößerte Bild befindet sich hinter dem Gegenstand (Bildweite ist größer als Gegenstandsweite). Dies lässt sich sowohl rechnerisch anhand der Abbildungsgleichung als auch grafisch durch die Bildkonstruktion überprüfen. Auch im obigen Beispielbild ist dies erkennbar: Während das durch die Lupe betrachtete Bild der Briefmarke scharf abgebildet wird, erscheint die Hand, die die Pinzette mit der Briefmarke hält, unscharf. * Damit die beschriebene Vergrößerungswirkung erzielt wird, muss der Abstand zwischen Lupe und Objekt größer sein als die Brennweite der Linse. * **Falsch**: In diesem Fall entstünde ein reelles, kopfstehendes Bild. Aufrechte, virtuelle Bilder entstehen an einer Sammellinse nur, wenn sich der Gegenstand innerhalb der Brennweite befindet. * Die Lupe erzeugt ein virtuelles Bild des Objekts. * **Richtig**: Reelle Bilder an einer Sammellinse sind stets kopfstehend. Das bei der Lupe entstehende Bild kann zwar mit dem Auge oder einer Kamera betrachtet werden, lässt sich jedoch nicht auf einem Schirm auffangen. * Wenn die Lupe verkehrt herum gehalten wird, entsteht ein verkleinertes Bild des Gegenstands. * **Falsch**: Die Brennweite (und damit auch die Abbildungseigenschaften) einer dünnen Linse sind unabhängig von der Seitenwahl der Linse. Wird die Linse verkehrt herum gehalten, erzeugt sie dennoch dasselbe Bild wie zuvor. ******************************************************************************** #### Beamer-Objektiv Mit einem Beamer werden digitale Bilder oder Videos auf eine Leinwand projiziert. Dazu befindet sich im Inneren des Beamers ein Bild-Chip, der aus den ankommenden digitalen Daten das zu projizierende Bild erzeugt. Das Objektiv des Beamers schließlich projiziert den Bild-Chip auf die Leinwand. In physikalischer Sprechweise handelt es sich dabei um eine optische Abbildung. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf diese optische Abbildung durch das Beamer-Objektiv. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. Das Objektiv kann dabei näherungsweise als dünne Linse aufgefasst werden. [[ ]] Es wird ein virtuelles Bild erzeugt. [[ ]] Der Abstand zwischen Bild-Chip und Hauptebene des Objektivs muss größer sein als das Doppelte der Brennweite des Objektivs. [[X]] Im Sinne der optischen Abbildung stellt der Bild-Chip den Gegenstand dar. [[X]] Damit das Bild auf der Leinwand richtig herum erscheint, muss es auf dem Bild-Chip kopfstehend und seitenverkehrt sein. [[X]] Wird die Brennweite des Objektivs verändert, so ändert sich die Größe des projizierten Bilds auf der Leinwand. [[X]] Wird das Objektiv entlang der optischen Achse verschoben, so ändern sich Gegenstands- und Bildweite. Dies kann zum Scharfstellen des Bilds genutzt werden. [[X]] Es entsteht ein vergrößertes Bild. [[ ]] Das Objektiv muss eine Zerstreuungslinse sein. ******************************************************************************** * Es wird ein virtuelles Bild erzeugt. * **Falsch**: Das Bild ist reell, da es auf der Leinwand entsteht. * Der Abstand zwischen Bild-Chip und Hauptebene des Objektivs muss größer sein als das Doppelte der Brennweite des Objektivs. * **Falsch**: In diesem Fall entstünde ein verkleinertes Bild. Projektoren generieren aber vergrößerte Bilder. * Im Sinne der optischen Abbildung stellt der Bild-Chip den Gegenstand dar. * **Richtig**: Der Bild-Chip dient als Gegenstand, dessen (vergrößertes) Bild auf der Leinwand sichtbar wird. * Damit das Bild auf der Leinwand richtig herum erscheint, muss es auf dem Bild-Chip kopfstehend und seitenverkehrt sein. * **Richtig**: Reelle Bilder entstehen stets kopfstehend & seitenverkehrt. Damit das Bild auf der Leinwand korrekt erscheint, muss es dementsprechend auf dem Bilchip „verkehrt herum“ sein. * Wird die Brennweite des Objektivs verändert, so ändert sich die Größe des projizierten Bilds auf der Leinwand. * **Richtig**: Dies wird zum Beispiel bei Zoom-Objektiven genutzt, bei denen die Brennweite des Objektivs verändert wird. * Wird das Objektiv entlang der optischen Achse verschoben, so ändern sich Gegenstands- und Bildweite. Dies kann zum Scharfstellen des Bilds genutzt werden. * **Richtig**: Durch die Verschiebung ändern sich Gegenstands- und Bildweite und es kann die Einstellung gesucht werden, bei der Abbildungsgleichung erfüllt ist. * Es entsteht ein vergrößertes Bild. * **Richtig**: Dies ist der Zweck eines Beamers. Der Bildchip selbst hat nur eine Abmessung von wenigen Zentimetern, während das entstehende Bild mehrere Meter groß sein kann. * Das Objektiv muss eine Zerstreuungslinse sein. * **Falsch**: Zerstreuungslinsen erzeugen grundsätzlich virtuelle Bilder. Reelle Bilder werden stets mit Sammellinsen erzeugt. ******************************************************************************** #### Fresnel’scher Doppelspiegelversuch Beim sogenannten Fresnelschen Doppelspiegelversuch wird ein Laserstrahl durch zwei gegeneinander verkippte Spiegel in zwei separate Lichtbündel aufgespalten (siehe Zeichnung). Durch eine Sammellinse werden diese beiden Lichtbündel so abgelenkt, dass sie sich auf einem Beobachtungsschirm überlagern.

Bewerten Sie die Richtigkeit der nachfolgenden Aussagen über diesen Versuch. [[ ]] Dieser Versuch lässt sich nur im Teilchenmodell des Lichts verstehen. [[ ]] Der Überlagerungsbereich ist gleichmäßig ausgeleuchtet. Er erscheint heller als die Bereiche, die nur von einem Teilstrahl getroffen werden. [[X]] Der Überlagerungsbereich zeigt ein periodisches Muster aus hellen und dunklen Streifen. [[ ]] Der Versuch würde das gleiche Ergebnis liefern, wenn auf den Doppelspiegel verzichtet würde und die beiden Lichtbündel von zwei separaten Lasern erzeugt würden. [[X]] Damit ein Interferenzmuster beobachtet werden kann, muss der Gangunterschied der an einem Punkt ankommenden Teilwellen zeitlich konstant sein. [[X]] Interferenzminima treten an Stellen auf, wo der Gangunterschied der ankommenden Teilwellen $\frac{\lambda}{2}$ beträgt (oder ein ungeradzahliges Vielfaches hiervon). [[ ]] Die beiden Lichtbündel kreuzen sich in ihrem Verlauf mehrfach (siehe obige Skizze). Dabei entsteht jedesmal ein Interferenzmuster, das in den Lichtwellen „gespeichert“ ist. Die Beobachtung der Interferenzmuster ist daher auch möglich, wenn der Schirm außerhalb des Überlagerungsbereichs aufgestellt wird. [[X]] Das beobachtete Interferenzmuster entsteht, da der Gangunterschied der ankommenden Lichtwellen an jeder Stelle des Schirms unterschiedlich ist. ******************************************************************************** * Dieser Versuch lässt sich nur im Teilchenmodell des Lichts verstehen. * **Falsch**: Dieses Experiment weist die Interferenz nach, die ein charakteristisches Wellenphänomen ist. * Der Überlagerungsbereich ist gleichmäßig ausgeleuchtet. Er erscheint heller als die Bereiche, die nur von einem Teilstrahl getroffen werden. * **Falsch**: Im Überlagerungsbereich kommt es aufgrund von Interferenz zur Ausbildung von Maxima und Minima. * Der Überlagerungsbereich zeigt ein periodisches Muster aus hellen und dunklen Streifen. * **Richtig**: Diese Maxima und Minima entstehen durch Interferenz der Wellen aus den beiden Lichtbündeln. * Der Versuch würde das gleiche Ergebnis liefern, wenn auf den Doppelspiegel verzichtet würde und die beiden Lichtbündel von zwei separaten Lasern erzeugt würden. * **Falsch**: Zwei separate Lichtquellen sind nicht kohärent zueinander, d.h. ihre gegenseitige Phasenbeziehung ist nicht konstant. Auf diese Weise könnte kein Interferenzmuster entstehen und der Überlagerungsbereich würde lediglich heller erscheinen als die Bereiche, die nur von einem Teilstrahl getroffen werden. * Damit ein Interferenzmuster beobachtet werden kann, muss der Gangunterschied der an einem Punkt ankommenden Teilwellen zeitlich konstant sein. * **Richtig**: Andernfalls würden sich die Maxima und Minima permanent und sehr schnell verschieben, was zu einem gleichmäßig ausgeleuchteten Überlagerungsbereich führen würde. Aus diesem Grund lässt sich dieser Versuch auch nicht mit zwei separaten Lichtquellen realisieren (siehe vorherige Aussage). * Interferenzminima treten an Stellen auf, wo der Gangunterschied der ankommenden Teilwellen $\frac{\lambda}{2}$ beträgt (oder ein ungeradzahliges Vielfaches hiervon). * **Richtig**: So treffen stets Wellenberge auf Wellentäler, was zur vollständigen Auslöschung (destruktive Interferenz) führt. * Die beiden Lichtbündel kreuzen sich in ihrem Verlauf mehrfach (siehe obige Skizze). Dabei entsteht jedesmal ein Interferenzmuster, das in den Lichtwellen „gespeichert“ ist. Die Beobachtung der Interferenzmuster ist daher auch möglich, wenn der Schirm außerhalb des Überlagerungsbereichs aufgestellt wird. * **Falsch**: Wellen überlagern sich ungestört (Prinzip der Superposition). Interferenzmuster sind nur am Ort der Überlagerung beobachtbar. Die beteiligten Wellen selbst werden nicht verändert. * Das beobachtete Interferenzmuster entsteht, da der Gangunterschied der ankommenden Lichtwellen an jeder Stelle des Schirms unterschiedlich ist. * **Richtig**: Maxima entstehen an Positionen, bei denen der Gangunterschied ein Vielfaches der Wellenlänge beträgt. Minima entstehen an Positionen, wo der der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt. Durch die Abfolge unterschiedlicher Gangunterschiede in der Ebene des Beobachtungsschirms entsteht das Interferenzmuster. ******************************************************************************** #### Einzelspalt Ein roter Laserstrahl trifft auf eine schmale Spaltblende. Auf einem Schirm hinter dieser Blende ist ein Interferenzmuster zu beobachten. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? [[X]] Die größte Intensität ist im nullten Maximum zu beobachten, das sich geradlinig (in Strahlrichtung) hinter dem Spalt befindet. [[ ]] Die Maxima höherer Ordnung weisen alle identische Intensitäten auf, da stets der gleiche Anteil an Teilwellen beiträgt. [[X]] Minima entstehen an Positionen, an denen sich alle ankommenden Teilwellen gegenseitig auslöschen. [[X]] Zwei Teilwellen löschen sich gegenseitig aus, wenn ihr Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist: $\Delta s = \frac{2m+1}{2}\lambda$. [[ ]] Eine Verbreiterung des Spalts bewirkt, dass die Abstände zwischen benachbarten Maxima größer werden. [[ ]] Wird der ursprüngliche rote Laser gegen einen grünen ausgetauscht, so ändern sich die Positionen der Maxima und Minima nicht. ******************************************************************************** * Die größte Intensität ist im nullten Maximum zu beobachten, das sich geradlinig (in Strahlrichtung) hinter dem Spalt befindet. * **Richtig**: Die Intensitäten der Maxima höherer Ordnung sind erheblich kleiner. * Die Maxima höherer Ordnung weisen alle identische Intensitäten auf, da stets der gleiche Anteil an Teilwellen beiträgt. * **Falsch**: Mit zunehmender Ordnung nimmt die Intensität der Maxima ab. * Minima entstehen an Positionen, an denen sich alle ankommenden Teilwellen gegenseitig auslöschen. * **Richtig**: Minima sind Orte vollständiger destruktiver Interferenz * Zwei Teilwellen löschen sich gegenseitig aus, wenn ihr Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist: $\Delta s = \frac{2m+1}{2}\lambda$. * **Richtig**: Dann fallen jeweils Wellenberg und Wellental zusammen. * Eine Verbreiterung des Spalts bewirkt, dass die Abstände zwischen benachbarten Maxima größer werden. * **Falsch**: Die Breite der Maxima und Minima verhalten sich invers zur Spaltbreite. Ein breiterer Spalt führt zu kleineren Abständen im Beugungsmuster. Wird der Spalt im Vergleich zur Wellenlängen sehr groß, kann schließlich kein Beugungsmuster mehr beobachtet werden. * Wird der ursprüngliche rote Laser gegen einen grünen ausgetauscht, so ändern sich die Positionen der Maxima und Minima nicht. * **Falsch**: Grünes Licht hat eine kürzere Wellenlänge als rotes. Die Abstände zwischen den Maxima und Minima werden dadurch kleiner. ******************************************************************************** #### Beugungsmuster Das Licht eines roten Lasers (Wellenlänge $\lambda = 656~\mathrm{nm}$) fällt auf einen schmalen Einzelspalt (Spaltbreite $d = 0{,}1~\mathrm{mm}$). In einer Entfernung von $l = 1~\mathrm m$ hinter dem Spalt ist ein Schirm aufgestellt, auf dem das nachfolgende Muster beobachtet wird:

Beurteilen Sie die Richtigkeit der nachfolgenden Aussagen ausgehend von der oben beschriebenen Anordnung. [[ ]] Die Maxima und Minima entstehen, weil Anteile des Laserlichts an den Kanten des Spalts reflektiert werden. [[X]] Wird der rote Laser gegen einen grünen (Wellenlänge $\lambda = 532~\mathrm{nm}$) ausgetauscht, werden die Abstände zwischen den Maxima und Minima kleiner. [[ ]] Die Breite des Einzelspalts hat keinen Einfluss auf die Lage der Maxima und Minima, sondern bestimmt lediglich deren Helligkeit. [[ ]] Da das entstehende Muster (annähernd) waagerecht verläuft, muss auch der Spalt (annähernd) waagerecht orientiert sein. [[X]] Minima entstehen an Positionen, an denen sich alle ankommenden Teilwellen gegenseitig auslöschen (destruktive Interferenz). [[X]] Damit sich zwei Teilwellen gegenseitig vollständig auslöschen, muss ihr Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge betragen. [[X]] Die Breite der Minima und Maxima wird auch durch den Abstand zwischen Spalt und Schirm bestimmt. [[ ]] Wird der Spalt im Uhrzeigersinn gedreht, so dreht sich das entstehende Beugungsmuster gegen den Uhrzeigersinn. ******************************************************************************** * Die Maxima und Minima entstehen, weil Anteile des Laserlichts an den Kanten des Spalts reflektiert werden. * **Falsch**: Das Licht wird am Spalt gebeugt. Reflexion spielt hierbei keine Rolle. * Wird der rote Laser gegen einen grünen (Wellenlänge $\lambda = 532~\mathrm{nm}$) ausgetauscht, werden die Abstände zwischen den Maxima und Minima kleiner. * **Richtig**: Mit kleiner werdender Wellenlänge werden auch die Beugungswinkel der Maxima und Minima und damit auch deren Abstände auf dem Schirm kleiner. * Die Breite des Einzelspalts hat keinen Einfluss auf die Lage der Maxima und Minima, sondern bestimmt lediglich deren Helligkeit. * **Falsch**: Je breiter der Spalt, umso enger liegen Maxima und Minima beieinander. Für große Spaltbreiten sind schließlich keine Beugungseffekte mehr beobachtbar. * Da das entstehende Muster (annähernd) waagerecht verläuft, muss auch der Spalt (annähernd) waagerecht orientiert sein. * **Falsch**: Die Auffächerung der Strahls geschieht senkrecht zur Spaltrichtung. Der Spalt verläuft also (annähernd) senkrecht. * Minima entstehen an Positionen, an denen sich alle ankommenden Teilwellen gegenseitig auslöschen (destruktive Interferenz). * **Richtig**: Auf diese Weise wird die Intensität Null. * Damit sich zwei Teilwellen gegenseitig vollständig auslöschen, muss ihr Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge betragen. * **Richtig**: Wenn Maximum auf Minimum trifft, kommt es zur gegenseitigen Ausläschung. * Die Breite der Minima und Maxima wird auch durch den Abstand zwischen Spalt und Schirm bestimmt. * **Richtig**: Spaltbreite und Wellenlänge des Lichts bestimmen die Beugungswinkel. Der Abstand zum Schirm bestimmt dann die sichtbaren Abstände. * Wird der Spalt im Uhrzeigersinn gedreht, so dreht sich das entstehende Beugungsmuster gegen den Uhrzeigersinn. * **Falsch**: Das Beugungsmuster verläuft stets senkrecht zur Spaltrichtung und dreht sich deshalb in die gleiche Richtung mit. ******************************************************************************** ### Übungsaufgaben #### Rettungsschwimmer An einem Badestrand beobachtet ein Rettungsschwimmer von einem Aussichtspunkt aus das Geschehen am und im Wasser. Dabei entdeckt er einen Schwimmer, der offensichtlich Hilfe benötigt und den der Rettungsschwimmer in möglichst kurzer Zeit erreichen muss. Zur besseren Beschreibung dieses Sachverhalts wird folgendes Koordinatensystem verwendet: - Der Ausgangspunkt des Rettungsschwimmers befindet sich im Koordinatenursprung. - Die Grenze zwischen Strand und Wasser verläuft geradlinig parallel zur $x$-Achse bei $y=20~\mathrm m$. - Der Schwimmer im Wasser, den der Rettungsschwimmer erreichen muss, befindet an der Position $\vec r_\mathrm s = \left( 35~\mathrm m , 45~\mathrm m \right)$. Auf dem Festland läuft der Rettungsschwimmer mit einer Geschwindigkeit von $v_\mathrm l = 3~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. Im Wasser erreicht er eine Geschwindigkeit von $v_\mathrm w = 0{,}9~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$. 1. Berechnen Sie die Zeiten, die der Rettungsschwimmer benötigt um den Schwimmer zu erreichen, für die folgenden verschiedenen Wege: 1. Zunächst zum Punkt $\left( 35~\mathrm m, 20~\mathrm m \right)$, danach nach $\vec r_\mathrm s$. [[ $t_1 = 40{,}3~\mathrm s$ | ($t_1 = 41{,}2~\mathrm s$) | $t_1 = 43{,}6~\mathrm s$ ]] 2. Zunächst zum Punkt $\left( 28{,}65~\mathrm m, 20~\mathrm m \right)$, danach nach $\vec r_\mathrm s$. [[ ($t_2 = 40{,}3~\mathrm s$) | $t_2 = 41{,}2~\mathrm s$ | $t_2 = 43{,}6~\mathrm s$ ]] 3. Auf geradlinigem Weg von $\left( 0, 0 \right)$ nach $\vec r_\mathrm s$. [[ $t_3 = 40{,}3~\mathrm s$ | $t_3 = 41{,}2~\mathrm s$ | ($t_3 = 43{,}6~\mathrm s$) ]] 2. Welchen Bezug hat diese Aufgabe zur Optik? #### Regensensor Regensensoren im Auto funktionieren nach folgendem Prinzip: An der Innenseite der Windschutzscheibe befindet sich eine Infrarot-Lichtquelle, deren Licht in das Glas der Windschutzscheibe gelangt (in der Regel wird zur Einkopplung des Lichts in das Glas ein zusätzliches Prisma genutzt, das hier jedoch nicht betrachtet wird). Der Strahlenverlauf ist dabei so gewählt, dass das Licht an der (trockenen) Oberfläche der Windschutzscheibe totalreflektiert wird und zurück in den Sensor gelangt. Dort wird die Intensität des ankommenden IR-Lichts gemessen. Das Glas der Windschutzscheibe habe einen Brechungsindex von $n_\mathrm g = 1{,}536$. 1. Berechnen Sie den Grenzwinkel der Totalreflexion am Übergang zwischen Windschutzscheibe und Luft. [[ ($\alpha_\mathrm g = 40{,}6°$) | $\alpha_\mathrm g = 46{,}2°$ | $\alpha_\mathrm g = 52{,}0°$ | $\alpha_\mathrm g = 60{,}8°$ | $\alpha_\mathrm g = 68{,}1°$ ]] Muss der Lichtstrahl des Regensensors steiler oder flacher auf die Grenzfläche treffen? [[ Der Lichtstrahl muss steiler auf die Grenzfläche treffen. | (Der Lichtstrahl muss flacher auf die Grenzfläche treffen.) ]] 2. Der Lichtstrahl des Regensensors treffe unter einem Winkel von $45°$ auf die Grenzfläche. Die Außenseite der Scheibe sei mit einem geschlossenen Wasserfilm ($n_\mathrm w = 1{,}33$) bedeckt. Unter welchen Brechungswinkel tritt der Lichtstrahl in die Wasserschicht ein? [[ $\alpha_\mathrm w = 47{,}5°$ | ($\alpha_\mathrm w = 54{,}7°$) | $\alpha_\mathrm w = 75{,}4°$ ]] 3. Kann der Lichtstrahl unter den oben genannten Bedingungen einen homogenen Wasserfilm auf der Windschutzscheibe verlassen? [[ Ja, der Lichtstrahl kann die Grenzfläche zwischen Wasser und Luft passieren. | (Nein, der Lichtstrahl wird an der Grenzfläche zwischen Wasser und Luft totalreflektiert.) ]] Wieso eignet sich das geschilderte Prinzip trotzdem als Regensensor? #### Kamera Mit einer Fotokamera soll eine Aufnahme von einem $G= 42~\mathrm m$ hohen Turm gemacht werden. Das Objektiv der Kamera (das als dünne Linse behandelt wird) hat eine Brennweite von $f=85~\mathrm{mm}$. Der Bildsensor der Kamera hat eine Höhe von $|B|=36~\mathrm{mm}$. In welcher Entfernung $g$ vom Turm muss sich die Kamera mindestens befinden, damit dieser vollständig auf dem Bild erscheint? [[ $g = 32{,}73~\mathrm m$ | $g = 59{,}51~\mathrm m$ | ($g = 99{,}25~\mathrm m$) | $g = 141{,}83~\mathrm m$ | $g = 182{,}26~\mathrm m$]] #### Fotoobjektiv Auf einem Fotoobjektiv befinden sich folgende Angaben: Brennweite $70~\mathrm{mm}$, Fokussierbereich: $0{,}85~\mathrm m\dots\infty$ (gemessen als Abstand zwischen Objekt und Sensorebene). Die Scharfstellung erfolgt durch Verschieben des Objektivs entlang der optischen Achse. Um welche Strecke $d$ muss das Objektiv an der Kamera verschoben werden können, um diesen Fokussierbereich zu realisieren? (Das Objektiv kann dabei wie eine dünne Linse behandelt werden.) [[ $d=1~\mathrm{mm}$ | $d=3~\mathrm{mm}$ | $d=5~\mathrm{mm}$ | ($d=7~\mathrm{mm}$) | $d=9~\mathrm{mm}$ | $d=11~\mathrm{mm}$ ]] #### Interferenz am Einzelspalt Ein Laserstrahl mit der Wellenlänge $\lambda=635~\mathrm{nm}$ ist auf einen schmalen Spalt gerichtet. Auf einem Schirm, der sich $l=1~\mathrm m$ hinter dem Spalt befindet, wird dabei ein Interferenzmuster beobachtet. Die beiden Maxima erster Ordnung (die sich links und rechts neben dem zentralen Maximum nullter Ordnung befinden), haben einen Abstand $x=1{,}75~\mathrm{cm}$ voneinander. Berechnen sie daraus die Spaltbreite $d$. [[ ($d=0{,}11~\mathrm{mm}$) | $d=0{,}18~\mathrm{mm}$ | $d=0{,}25~\mathrm{mm}$ | $d=0{,}32~\mathrm{mm}$ | $d=0{,}39~\mathrm{mm}$ | $d=0{,}46~\mathrm{mm}$ | $d=0{,}53~\mathrm{mm}$ ]] ### Hausaufgaben #### Brechzahl des Wassers Zur Bestimmung der Brechzahl $n_\mathrm W$ von Wasser wird folgendes Experiment durchgeführt (siehe Abbildung): Über einem hohen Standzylinder aus Glas befindet sich ein Laser-Entfernungssensor. Dieses Messgerät sendet Lichtpulse aus, die am angepeilten Objekt reflektiert werden und zurück in den Sensor gelangen. Der Sensor misst die Laufzeit des Lichts von der Aussendung bis zur Rückkehr des reflektierten Lichts.  Der Laserstrahl dieses Messgerätes ist auf eine Reflektorscheibe gerichtet, die sich unter dem Standzylinder befindet. Zunächst ist im Zylinder nur der Boden etwas mit Wasser bedeckt. Der Lasersensor bestimmt dabei eine Laufzeit von $t_1=5{,}18~\mathrm{ns}$. Nun wird Wasser in den Standzylinder gefüllt, sodass der Wasserspiegel um $\Delta h=30~\mathrm{cm}$ angehoben wird. Die Laufzeit des Lichts beträgt am Ende der Befüllung $t_2=5{,}92~\mathrm{ns}$. Bestimmen Sie daraus den Brechungsindex von Wasser $n_\mathrm W$ (der Brechungsindex von Luft hat den Wert $n_\mathrm L=1$). [[ $n_\mathrm W = 1{,}30$ | $n_\mathrm W = 1{,}33$ | ($n_\mathrm W = 1{,}37$) | $n_\mathrm W = 1{,}40$ ]] ******************************************************************************** Der Laufweg des Lichts lässt sich in zwei Anteile aufspalten: 1. $s_\mathrm W=2\Delta h$: Die Strecke, um die der Wasserspiegel steigt. Zu Beginn legt das Licht diesen Weg durch Luft zurück, am Ende des Experiments durch Wasser. Da das Licht den Standzylinder zweimal passiert (Hin- und Rückweg) ist die Höhendiffernz doppelt zu berücksichtigen. 2. $s_\mathrm R$: Die gesamte restliche Strecke durch Glas, Luft und die Anfangsmenge an Wasser. Für diese Strecke tritt keine Veränderung ein. Der gesamte zurückgelegte Weg ist dann $s_\mathrm{ges}=s_\mathrm W + s_\mathrm R$. Die Laufzeit des Lichts lässt sich in analoger Weise in die beiden Anteile $t_\mathrm W$ und $t_\mathrm R$ aufteilen: $t_\mathrm{ges}=t_\mathrm W +t_\mathrm R$. Zu Beginn des Experiments: $$t_1= t_\mathrm{W(Luft)}+t_\mathrm R$$ und am Ende des Experiments: $$t_2= t_\mathrm{W(Wasser)}+t_\mathrm R$$ Für die Zeitdifferenz $$t_2-t_1= t_\mathrm{W(Wasser)}+t_\mathrm R-(t_\mathrm{W(Luft)}+t_\mathrm R)=t_\mathrm{W(Wasser)}- t_\mathrm{W(Luft)}$$ ist dabei nur die Teilstrecke $s_\mathrm W$ relevant. Für deren zugehörige Laufzeit gilt am Anfang des Experiments: $$t_\mathrm{W(Luft)}=\frac{s_\mathrm W}{c_0}$$ sowie am Ende des Experiments: $$t_\mathrm{W(Wasser)}=\frac{s_\mathrm W}{c_\mathrm W}=\frac{s_\mathrm W}{c_0}n_\mathrm W$$ Einsetzen in die Formel für die Zeitdifferenz: $$\begin{aligned} t_2 - t_1 & =\frac{s_\mathrm W}{c_0}n_\mathrm W - \frac{s_\mathrm W}{c_0} \\ & = \frac{s_\mathrm W}{c_0}\left( n_\mathrm W -1 \right) \\ & = \frac{2\Delta h}{c_0}\left( n_\mathrm W -1 \right) \end{aligned}$$ Umstellen liefert die Formel für die Brechzahl: $$n_\mathrm W = 1+\frac{c_0}{2\Delta h}\left(t_2 - t_1 \right) \, .$$ Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung ergibt sich: $$n_\mathrm W =1{,}37$$ ******************************************************************************** #### Lichtgeschwindigkeit Ein Laser-Entfernungssensor arbeitet nach folgendem Prinzip: Er sendet einzelne Lichtpulse aus, die am angepeilten Objekt reflektiert werden und zurück in den Sensor gelangen. Dort wird die Laufzeit des Lichts zwischen Aussendung und Eintreffen des reflektierten Lichts gemessen und anschließend in eine Entfernung umgerechnet, wobei die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit zu Grunde gelegt wird.

1. Welche Laufzeit misst der Sensor, wenn das Objekt $s = 22~\mathrm m$ entfernt ist? 2. Um welchen Betrag ändert sich die gemessene Laufzeit des Lichts, wenn sich zwischen Sensor und angepeiltem Objekt eine Glasscheibe (Dicke $d = 7~\mathrm{mm}$, Brechungsindex $n_\mathrm g = 1{,}58$) befindet? ----- * Lösung Teil 1 [[ $t=74{,}61~\mathrm{ns}$ | ($t=146{,}76~\mathrm{ns}$) | $t=218{,}22~\mathrm{ns}$ | $t=561{,}39~\mathrm{ns}$ | $t=782{,}42~\mathrm{ns}$ ]] ******************************************************************************** Da sich Licht gleichförmig ausbreitet, können die Gesetze der gleichförmigen Bewegung angewendet werden. Somit gilt $$t = \frac{2s}{c_0} \, ,$$ wobei $c_0 = 2{,}998\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit bezeichnet. Der Faktor 2 entsteht, da die Strecke $s$ zweifach zurückgelegt wird (Hin- und Rückweg). Als Laufzeit ergibt sich $$t = \frac{2s}{c_0} = 146{,}76~\mathrm{ns} \, .$$ ******************************************************************************** * Lösung Teil 2 [[ ($\Delta t = 0{,}027~\mathrm{ns}$) | $\Delta t = 0{,}23~\mathrm{ns}$ | $\Delta t = 0{,}41~\mathrm{ns}$ | $\Delta t = 0{,}69~\mathrm{ns}$ | $\Delta t = 0{,}85~\mathrm{ns}$ ]] ******************************************************************************** Für diese Fragestellung muss lediglich der Lichtweg über die Strecke $2d$ betrachtet werden. Der Faktor 2 entsteht auch hier wieder, da die Glasplatte zweimal passiert wird. Ohne Glasplatte legt das Licht diese Strecke mit der Geschwindigkeit $c_0$ zurück und die Laufzeit beträgt $$t_0 = \frac{2d}{c_0} \, .$$ In der Glasplatte breitet sich das Licht mit der (geringeren) Geschwindigkeit $c_\mathrm g$ aus, für die gilt $$c_\mathrm g = \frac{c_0}{n_\mathrm g} \, .$$ Die Laufzeit durch die Glasplatte beträgt damit $$t_\mathrm g = \frac{2d}{c_\mathrm g} = \frac{2dn_\mathrm g}{c_0} \, .$$ Daraus folgt für die Laufzeitdifferenz, die durch das Einfügen der Glasplatte hervorgerufen wird: $$\begin{aligned} \Delta t & = t_\mathrm g - t_0 \\ & = \frac{2dn_\mathrm g}{c_0} - \frac{2d}{c_0} \\ & = \frac{2d}{c_0} \left( n_\mathrm g -1 \right) \\ & = 0{,}027~\mathrm{ns} \, . \end{aligned}$$ ******************************************************************************** #### Beamer-Objektiv Das Objektiv eines Beamers hat die Brennweite $f=100~\mathrm{mm}$. Der Chip, der das zu projizierende Bild im Inneren des Beamers erzeugt hat eine Breite von $G=30~\mathrm{mm}$. In welcher Entfernung vom Objektiv (das als dünne Linse behandelt wird) muss eine $3~\mathrm m$ breite Leinwand aufgestellt werden, damit das entstehende Bild diese gerade ausfüllt? [[ $b=4{,}1~\mathrm m$ | $b=6{,}1~\mathrm m$ | $b=8{,}1~\mathrm m$ | ($b=10{,}1~\mathrm m$) ]] ******************************************************************************** Die Abbildungsgleichung einer dünnen Linse lautet $$\frac 1f = \frac 1b + \frac 1g \, .$$ Weiterhin ist der Abbildungsmaßstab definiert: $$\left | V \right | = \frac{\left | B \right |}{G}=\frac{b}{g} \, .$$ Die Bildgröße ist negativ (kopfstehendes / seitenverkehrtes Bild). Damit ist auch $V$ negativ. Wir rechnen hier nur mit Beträgen und schreiben kurz: $$V= \frac BG =\frac bg \, .$$ Dies wird nach $g$ umgestellt: $$g=\frac GB \cdot b$$ und in die Abbildungsgleichung eingesetzt: $$\frac 1f = \frac 1b + \frac BG \cdot \frac 1b = \left( 1+ \frac BG\right)\frac 1b \, .$$ Daraus ergibt sich für die Bildweite: $$b=\left(1+\frac BG\right) f = \left(1+\frac{3000~\mathrm{mm}}{30~\mathrm{mm}}\right) \cdot 100~\mathrm{mm}=10{,}1~\mathrm m \, .$$ ******************************************************************************** #### Porträtfotografie Porträtfotos werden bevorzugt mit einem Tele-Objektiv (d.h. Brennweite $>50~\mathrm{mm}$ bei Vollformatkameras) aufgenommen, um unschöne Verzerrungen zu vermeiden. Ein Hobbyfotograf möchte ein Porträt von einer Person aufnehmen. Aufgrund des begrenzten Platzes in seinem Fotostudio kann der Abstand zwischen Kamera (gemessen von der optischen Hauptebene des Objektivs) und der zu fotografierenden Person nicht größer als $1{,}8~\mathrm m$ sein. Welche maximale Brennweite kann dabei verwendet werden, wenn ein Ausschnitt von $50~\mathrm{cm}$ Höhe erfasst werden soll? Die Kamera habe einen Vollformat-Sensor mit der Größe $24~\mathrm{mm} \times 36~\mathrm{mm}$ und wird selbstverständlich im Hochformat verwendet. Das Objektiv kann als dünne Linse behandelt werden. [[ $f = 34~\mathrm{mm}$ | $f = 53~\mathrm{mm}$ | $f = 86~\mathrm{mm}$ | ($f = 121~\mathrm{mm}$) ]] ******************************************************************************** Die Abbildungsgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Brennweite $f$, Bildweite $b$ sowie Gegenstandsweite $g$: $$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b} \, .$$ Da die Bildweite unbekannt ist, wird zudem der Abbildungsmaßstab genutzt: $$\frac{g}{b} = \frac{G}{\left| B \right|} \, .$$ Für die Bildweite (bzw. deren Reziprokwert) ergibt sich hieraus: $$\frac{1}{b} = \frac{1}{g}\frac{G}{\left| B \right|} \, .$$ Dies wird in die Abbildungsgleichung eingesetzt: $$\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{g}\frac{G}{\left| B \right|} = \frac{1}{g}\left(\frac{G}{\left| B \right|} + 1 \right) \, .$$ Für die Brennweite bedeutet das: $$f = \frac{g}{\frac{G}{\left| B \right|} + 1} \, .$$ Die Gegenstandsweite ist der (maximale) Abstand zwischen Objektiv und der zu fotografierenden Person: $g=1{,}8~\mathrm m$. Die Gegenstandsgröße ist als Höhe des zu erfassenden Ausschnitts gegeben: $G=50~\mathrm{cm}$. Demzufolge muss als Bildgröße ebenfalls die Höhe des (im Hochformat verwendeten) Bildsensors angesetzt werden: $|B| = 36~\mathrm{mm}$. Dies ergibt als maximale Brennweite $$f = 121~\mathrm{mm} \, .$$ ******************************************************************************** ## Übung 8: Moderne Physik Das letzte Kapitel dieser Übungssammlung enthält Fragen, die über die klassische Physik hinausgehen, entsprechend dem letzen Kapitel des Vorlesungsskriptums. In der Regel wird im Semesterverlauf kein eigener Übungstermin für diesen Aufgabenkomplex zur Verfügung stehen. Folgerichtig wurde auf Übungsaufgaben verzichtet und lediglich Verständnisfragen und Hausaufgaben hier aufgenommen. Die Bearbeitung sollte mit den Mitteln der Vorlesung selbstständig möglich sein. Gelegenheit zu Rückfragen gibt es im letzten regulären Übungstermin, bei einem Konsultationstermin oder jederzeit bei Vorlesendem oder Übungsleiter. ### Verständnisfragen #### Hallwachs-Versuch In der Vorlesung wurde der äußere Photoeffekt (Hallwachs-Effekt) demonstriert. Dazu wurden folgende Utensilien benutzt (siehe Abbildung): * Zinkplatte * Elektrometer (Messgerät zur Ladungsmessung), das mit der Zinkplatte verbunden ist * Reibzeug (PVC-Stab und Nylonstrumpf) zur elektrostatischen Aufladung * Bogenlampe **Hinweis**: Das Licht der Bogenlampe enthält neben dem sichtbaren Anteil auch Infrarot- (größere Wellenlängen als das sichtbare Licht) und Ultraviolettstrahlung (kleinere Wellenlängen als das sichtbare Licht). * Glasscheibe

Die Durchführung dieses Versuchs läuft wie folgt: 1. Die Zinkplatte wird (bei ausgeschalteter Bogenlampe) mit dem Reibzeug negativ aufgeladen. * Beobachtung: Das Elektrometer zeigt eine Aufladung der Platte an. * Die Ladung auf der Platte bleibt erhalten (keine Entladung). 2. Die Platte wird mit dem Licht der Bogenlampe bestrahlt. * Beobachtung: Das Elektrometer zeigt eine Entladung der Platte an. 3. Die Zinkplatte wird (wieder bei ausgeschalteter Bogenlampe) erneut aufgeladen. * Beobachtung: Wie in Schritt 1 4. Die Glasscheibe wird zwischen Lampe und Zinkplatte aufgestellt, sodass das Licht zunächst diese Scheibe passieren muss, bevor es auf die Metallplatte trifft. 5. Die Bogenlampe wird wieder eingeschalten und beleuchtet durch die Glasscheibe hindurch die Zinkplatte. * Beobachtung: Es tritt keine Entladung der Platte auf. 6. Die Glasscheibe wird (bei weiterhin eingeschalteter Lampe) entfernt. * Beobachtung: Es kommt zur Entladung der Platte 7. Die Glasscheibe wird wieder in den Lichtweg gebracht. * Beobachtung: Die Entladung der Platte wird gestoppt. Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen zu diesem Versuch. [[X]] Nach der Aufladung der Platte (Schritt 1 & 3) verhindert die Austrittsarbeit des Zinks, dass Elektronen die Platte verlassen. [[X]] Für die Entladung der Platte ist nur die Ultraviolettstrahlung der Bogenlampe verantwortlich. [[X]] Die Energie, die das Licht auf ein Elektron der Platte übertragen kann, wird durch die Wellenlänge des Lichts bestimmt. [[ ]] Für die Entladung der Platte ist nur die Infrarotstrahlung der Bogenlampe verantwortlich. [[ ]] Die Glasscheibe erhöht die Austrittsarbeit der Metallplatte. [[ ]] Für die Entladung der Platte ist nur das sichtbare Licht der Bogenlampe verantwortlich. [[X]] Ein Elektron nimmt stets nur die Energie eines Lichtquants (Photons) auf. Ist dessen Energie kleiner als die Austrittsarbeit des Zinks, kann das Elektron die Platte nicht verlassen. [[ ]] Die Entladung der Platte (Schritte 2 & 6) entsteht, weil das Licht der Bogenlampe die Metallplatte erwärmt. ******************************************************************************** Für die Energie eines Photons mit der Frequenz f gilt: $$E_\mathrm{Ph} = hf = h\frac{c}{\lambda} \, .$$ Photonen kleinerer Wellenlänge besitzen demzufolge größere Energien. * Nach der Aufladung der Platte (Schritt 1 & 3) verhindert die Austrittsarbeit des Zinks, dass Elektronen die Platte verlassen. * **Richtig**: Austrittsarbeit bezeichnet die Energiebarriere, die die Elektronen (mindestens) überwinden müssen, um die Metallplatte zu verlassen. * Für die Entladung der Platte ist nur die Ultraviolettstrahlung der Bogenlampe verantwortlich. * **Richtig**: Das UV-Licht kann die Glasscheibe nicht passieren, wodurch das Ausbleiben der Entladung in diesem Fall zu erklären ist. Langwelligere Photonen (sichtbares und Infrarot-Licht) tragen nicht genügend Energie zur Überwindung der Austrittsarbeit. * Die Energie, die das Licht auf ein Elektron der Platte übertragen kann, wird durch die Wellenlänge des Lichts bestimmt. * **Richtig**: Dies ist eine der Grundaussagen der Quantenoptik (siehe oben), die durch diesen Versuch bestätigt wird. * Für die Entladung der Platte ist nur die Infrarotstrahlung der Bogenlampe verantwortlich. * **Falsch**: Nur die energiereiche UV-Strahlung führt zur Entladung (siehe Aussage 2). * Die Glasscheibe erhöht die Austrittsarbeit der Metallplatte. * **Falsch**: Die in makroskopischer Entfernung aufgestellte Platte hat keinerlei Einfluss auf die Energieverhältnisse der Metallplatte. * Für die Entladung der Platte ist nur das sichtbare Licht der Bogenlampe verantwortlich. * **Falsch**: Nur die energiereiche UV-Strahlung führt zur Entladung (siehe Aussage 2). * Ein Elektron nimmt stets nur die Energie eines Lichtquants (Photons) auf. Ist dessen Energie kleiner als die Austrittsarbeit des Zinks, kann das Elektron die Platte nicht verlassen. * **Richtig**: Aus diesem Grund bleibt die Entladung aus, wenn das energiereiche (kurzwellige) UV-Licht durch die Glasplatte blockiert wird. * Die Entladung der Platte (Schritte 2 & 6) entsteht, weil das Licht der Bogenlampe die Metallplatte erwärmt. * **Falsch**: Tatsächlich führt die Bestrahlung der Platte auch zu einer Erwärmung. Diese ist jedoch viel zu gering, als dass Elektronen zur thermischen Emission angeregt werden könnten. ******************************************************************************** #### Äußerer Photoeffekt Beim äußeren Photoeffekt trifft Licht auf eine Metallplatte und löst Elektronen aus dieser Platte heraus. Welche der folgenden Aussagen zu diesem Effekt sind richtig? [[X]] Um Elektronen aus der Metallplatte freizusetzen, muss deren Austrittsarbeit überwunden werden. [[X]] Es werden nur Elektronen aus den höchsten besetzten Energieniveaus freigesetzt. [[ ]] Der Effekt tritt nur auf, wenn die Platte mit einer sehr hohen Lichtintensität bestrahlt wird. [[X]] Der Effekt tritt nur bei hinreichend kleinen Wellenlängen des bestrahlenden Lichts auf. [[X]] Ein Elektron nimmt stets nur die Energie eines Photons auf. Reicht dessen Energie nicht zur Freisetzung, so bleibt das Elektron in der Platte gebunden. [[X]] Wird ein Elektron aus der Platte freigesetzt, so besitzt es eine kinetische Energie, die der Differenz zwischen der Energie des eintreffenden Photons und der Bindungsenergie die Elektrons entspricht. ******************************************************************************** * Um Elektronen aus der Metallplatte freizusetzen, muss deren Austrittsarbeit überwunden werden. * **Richtig**: Als Austrittsarbeit wird die Energiebarriere bezeichnet, mit der Elektronen in der Platte gebunden sind. * Es werden nur Elektronen aus den höchsten besetzten Energieniveaus freigesetzt. * **Richtig**: Um Elektronen aus tieferen Energieniveaus freizusetzen, würden deutlich höhere Energien benötigt, als durch Licht übertragen werden können. * Der Effekt tritt nur auf, wenn die Platte mit einer sehr hohen Lichtintensität bestrahlt wird. * **Falsch**: Der Energieübertrag auf die Elektronen wird nicht durch die Intensität des Lichts bestimmt. Eine höhere Intensität erhöht zwar die Rate an freigesetzten Elektronen pro Zeiteinheit, ist jedoch nicht Voraussetzung für diesen Effekt. * Der Effekt tritt nur bei hinreichend kleinen Wellenlängen des bestrahlenden Lichts auf. * **Richtig**: Die Energie eines Photons ist umgekehrt proportional zu dessen Wellenlänge. * Ein Elektron nimmt stets nur die Energie eines Photons auf. Reicht dessen Energie nicht zur Freisetzung, so bleibt das Elektron in der Platte gebunden. * **Richtig**: Die gebundenen Elektronen können nicht die Energie mehrerer Photonen kumulieren. * Wird ein Elektron aus der Platte freigesetzt, so besitzt es eine kinetische Energie, die der Differenz zwischen der Energie des eintreffenden Photons und der Bindungsenergie die Elektrons entspricht. * **Richtig**: Die „überschüssige“ Energie des Photons geht in die Bewegungsenergie des freigesetzten Elektrons über. Da die kinetische Energie nicht gequantelt ist, können hier beliebige Energiebeträge aufgenommen werden. ******************************************************************************** #### Photon Im Rahmen der Quantenoptik werden Lichtteilchen als Photonen bezeichnet. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? [[X]] Die Energie eines Photons wird durch dessen Frequenz bzw. Wellenlänge bestimmt. [[ ]] Ein Photon kann beliebige Anteile seiner Energie abgeben. [[ ]] Das (einzelne) Photon besitzt nur Teilcheneigenschaften. Die Welleneigenschaften des Lichts entstehen erst durch Überlagerung vieler Photonen. [[X]] Das Photon besitzt einen Impuls, der experimentell nachgewiesen werden kann. [[X]] Die Lichtintensität, die auf einem Sensor registriert wird, entspricht der Anzahl der Photonen, die pro Zeiteinheit auf diesen Sensor auftreffen. [[ ]] Photonen sind ein reines Gedankenmodell, das experimentell nicht zugänglich ist, da keine Detektion einzelner Photonen möglich ist. ******************************************************************************** * Die Energie eines Photons wird durch dessen Frequenz bzw. Wellenlänge bestimmt. * **Richtig**: Es gilt $E_\mathrm{Ph} = hf = \frac{hc}{\lambda}$. * Ein Photon kann beliebige Anteile seiner Energie abgeben. * **Falsch**: Photonen können nur vollständig absorbiert werden. * Das (einzelne) Photon besitzt nur Teilcheneigenschaften. Die Welleneigenschaften des Lichts entstehen erst durch Überlagerung vieler Photonen. * **Falsch**: Phänomene wie die Interferenz werden auch an einzelnen Photonen beobachtet. Das Photon interferiert mit sich selbst. * Das Photon besitzt einen Impuls, der experimentell nachgewiesen werden kann. * **Richtig**: Der Compton-Effekt weist beispielsweise den Photonenimpuls nach. * Die Lichtintensität, die auf einem Sensor registriert wird, entspricht der Anzahl der Photonen, die pro Zeiteinheit auf diesen Sensor auftreffen. * **Richtig**: Dies stellt in gewisser Weise eine Brücke zur Wellenoptik dar. * Photonen sind ein reines Gedankenmodell, das experimentell nicht zugänglich ist, da keine Detektion einzelner Photonen möglich ist. * **Falsch**: Beispielsweise können Detektoren, die auf dem äußeren Photoeffekt beruhen, aus einem einzelnen Photon einen messbaren Spannungspuls erzeugen. ******************************************************************************** #### Doppelspaltexperimente In einem Doppelspaltexperiment werden zwei schmale Spalte, die dicht nebeneinander (d.h., Spaltabstand und Spaltbreite liegen in derselben Größenordnung) parallel angeordnet sind, mit Licht oder einer anderen Strahlung beleuchtet/bestrahlt. Spaltbreite und -abstand sind dabei auf die verwendete Strahlung abgestimmt. Im Falle von Licht liegen beide Größen in derselben Größenordnung wie die Wellenlänge des Lichts. Hinter dem Doppelspalt befindet sich ein Messgerät, dass die Intensität der ankommenden Strahlung ortsaufgelöst erfassen kann. Im Falle von sichtbarem Licht kann dies auch ein eobachtungsschirm sein, auf dem die Lichtintensität visuell beurteilt wird. Die folgenden Aussagen beziehen sich auf Doppelspaltexperimente mit dem intensiven Licht eines Lasers oder einer Weißlichtquelle. Während ein Laser monochromatisch arbeitet (d.h., er strahlt nur Licht einer bestimmten Wellenlänge ab), sind im weißen Licht alle Wellenlängen des sichtbaren Bereichs enthalten. Beurteilen Sie die Richtigkeit der Aussagen. [[X]] Aufgrund der hohen Lichtintensität der Laserstrahlung kann in diesem Fall bereits mit bloßem Auge ein Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm erkannt werden. [[X]] Bei der Verwendung von weißem Licht liegen die Maxima für die einzelnen Wellenlängen an unterschiedlichen Positionen, sodass das Licht in den Interferenzmaxima in seine Farbbestandteile aufgespalten wird. ******************************************************************************** * Aufgrund der hohen Lichtintensität der Laserstrahlung kann in diesem Fall bereits mit bloßem Auge ein Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm erkannt werden. * **Richtig**: Ein einfacher Laserpointer genügt, um Interferenzmuster zu erzeugen, die mit bloßem Auge erkennbar sind. * Bei der Verwendung von weißem Licht liegen die Maxima für die einzelnen Wellenlängen an unterschiedlichen Positionen, sodass das Licht in den Interferenzmaxima in seine Farbbestandteile aufgespalten wird. * **Richtig**: Die Lage der Maxima und Minima hängt auch von der Wellenlänge des verwendeten Lichts ab. Bei weißem Licht führt dies zu einer Farbaufspaltung. ******************************************************************************** Die folgenden Aussagen beziehen sich auf Doppelspaltexperimente mit einzelnen Photonen. Die (monochromatische) Lichtquelle wird dabei so betrieben, dass sich niemals mehr als ein Photon in der Apparatur befindet. Beurteilen Sie die Richtigkeit der Aussagen. [[ ]] In diesem Fall ist kein Interferenzmuster zu erwarten, da Interferenz stets aus der Überlagerung mehrerer Photonen resultiert. [[ ]] Die experimentelle Realisierung des Doppelspaltexperiments mit einzelnen Photonen ist (bisher) nicht gelungen, da kein Detektor für Einzelphotonen existiert. ******************************************************************************** * In diesem Fall ist kein Interferenzmuster zu erwarten, da Interferenz stets aus der Überlagerung mehrerer Photonen resultiert. * **Falsch**: Interferenz ist eine Eigenschaft des einzelnen Photons. Das Photon interferiert mit sich selbst. * Die experimentelle Realisierung des Doppelspaltexperiments mit einzelnen Photonen ist (bisher) nicht gelungen, da kein Detektor für Einzelphotonen existiert. * **Falsch**: Beispielsweise können Detektoren, die auf dem äußeren Photoeffekt beruhen (Sekundärelektronenvervielfacher mit Photokathode, engl.: Photomultiplier), aus einem ankommenden Photon einen messbaren Spannungspuls erzeugen. ******************************************************************************** Die folgenden Aussagen beziehen sich auf Doppelspaltexperimente mit Elektronen, die aus einer Kathode emittiert und anschließend durch eine angelegte Spannung beschleunigt werden. Um die Ausbreitung der Elektronen nicht zu stören, befindet sich der gesamte Aufbau hierbei unter Vakuum. Beurteilen Sie die Richtigkeit der Aussagen. [[ ]] Das entstehende Interferenzmuster beweist noch nicht den Wellencharakter der Elektronen, da eine Erklärung auch anhand von Streuprozessen der (als Teilchen angenommenen) Elektronen möglich ist. [[ ]] Wird die angelegte Beschleunigungsspannung vergrößert, so nehmen die Abstände zwischen den Maxima im Interferenzmuster zu. ******************************************************************************** * Das entstehende Interferenzmuster beweist noch nicht den Wellencharakter der Elektronen, da eine Erklärung auch anhand von Streuprozessen der (als Teilchen angenommenen) Elektronen möglich ist. * **Falsch**: Eine Aufweitung des Elektronenstrahls kann grundsätzlich auch durch Streuung begründet werden. Die Entstehung von Maxima und Minima lässt sich jedoch nicht durch Streuprozesse erklären. * Wird die angelegte Beschleunigungsspannung vergrößert, so nehmen die Abstände zwischen den Maxima im Interferenzmuster zu. * **Falsch**: Mit größer werdender Beschleunigungsspannung verkleinert sich die Wellenlänge der Elektronen. Folglich nehmen die Abstände im Interferenzmuster ab. ******************************************************************************** #### Wasserstoffatom Das Wasserstoffatom ist das am einfachsten aufgebaute Atom: es besitzt genau ein Elektron in seiner Elektronenhülle. Die folgende Abbildung zeigt das zugehörige Energieniveauschema dieses Atoms:

Die nachfolgenden Aussagen beziehen sich auf das Wasserstoffatom und dessen Energieniveauschema. Beurteilen Sie deren Richtigkeit. Hinweis: Die Photonenenergien des sichtbaren Lichts liegen im Bereich zwischen $1{,}77~\mathrm{eV}$ und $3{,}27~\mathrm{eV}$. [[X]] Das Elektron kann im Wasserstoffatom jeden Zustand einnehmen, der im Energieniveauschema eingetragen und durch eine Hauptquantenzahl n charakterisiert ist. [[X]] Im Grundzustand befindet sich das Elektron im Zustand $n=1$. [[X]] Soll das Elektron von einem Ausgangsniveau in ein Niveau mit höherer Hauptquantenzahl $n$ übergehen, so muss es hierfür Energie aufnehmen. Dies kann beispielsweise durch Absorption elektromagnetischer Strahlung geschehen. [[X]] Die Strahlung, die bei einem Übergang aus einem angeregten Zustand ($n>1$) in den Grundzustand abgegeben wird, liegt grundsätzlich im Ultraviolettbereich. [[ ]] Bei keinem der möglichen Übergänge zwischen den Energieniveaus wird sichtbares Licht abgestrahlt. [[ ]] Das Elektron kann nur zwischen benachbarten Energieniveaus wechseln ($\Delta n= \pm 1$). Es kann kein Energieniveau übersprungen werden. ******************************************************************************** * Das Elektron kann im Wasserstoffatom jeden Zustand einnehmen, der im Energieniveauschema eingetragen und durch eine Hauptquantenzahl n charakterisiert ist. * **Richtig**: Das Elektron kann jeden der diskreten Zustände einnehmen, jedoch keinen Zustand, der zwischen den eingetragenen Energieniveaus liegt. * Im Grundzustand befindet sich das Elektron im Zustand n=1. * **Richtig**: Der Grundzustand ist derjenige mit der niedrigsten Energie. * Soll das Elektron von einem Ausgangsniveau in ein Niveau mit höherer Hauptquantenzahl $n$ übergehen, so muss es hierfür Energie aufnehmen. Dies kann beispielsweise durch Absorption elektromagnetischer Strahlung geschehen. * **Richtig**: Die erforderliche Energiedifferenz zwischen den beteiligten Energieniveaus muss dem Elektronn zugeführt werden. Absorptionsprozesse, wie sie auch im sichtbaren Bereich beobachtet werden können, sind ein möglicher Prozess hierfür. * Die Strahlung, die bei einem Übergang aus einem angeregten Zustand ($n>1$) in den Grundzustand abgegeben wird, liegt grundsätzlich im Ultraviolettbereich. * **Richtig**: Bereits zum nächsthöheren Energieniveau besteht eine Energiedifferenz, die den Bereich des sichtbaren Lichts überschreitet. * Bei keinem der möglichen Übergänge zwischen den Energieniveaus wird sichtbares Licht abgestrahlt. * **Falsch**: Übergänge aus einem höheren Niveau nach $n=2$ emittieren teilweise sichtbares Licht, wie ein Vergleich der Energieniveaus mit den Energien des sichtbaren Lichts zeigt. Beim Übergang $n=3 \rightarrow n=2$ liegt das emittierte Licht beispielsweise im roten Spektralbereich. * Das Elektron kann nur zwischen benachbarten Energieniveaus wechseln ($\Delta n= \pm 1$). Es kann kein Energieniveau übersprungen werden. * **Falsch**: Es sind beliebige Wechsel zwischen den einzelnen Energieniveaus möglich. Nur so können die verschiedenen emittierten Photonenenergien (bzw. Wellenlängen) erklärt werden. ******************************************************************************** #### Franck-Hertz-Versuch Die nachfolgende Darstellung zeigt eine im Franck-Hertz-Experiment aufgenommene Messkurve. Aufgetragen ist die an der Auffängerelektrode gemessene Stromstärke $I_\mathrm E$ (in willkürlichen Einheiten) über der Beschleunigungsspannung $U_\mathrm B$ zwischen Kathode und Anode. Die verwendete Franck-Hertz-Röhre war mit Neongas gefüllt. Der gemessene Strom zeigt über die gesamte Messung einen Offset von $\approx 0{,}2~\mathrm{w.E.}$.

1. Markieren Sie im Diagramm 1. den Spannungsbereich, bei dem genau zwei Anregungszonen in der Franck-Hertz-Röhre sichtbar sind, sowie 2. die Spannung, bei der die erste Anregungszone am nächsten an der Kathode ist. [[ (Lösung anzeigen) | Lösung verdeckt halten ]] ******************************************************************************** Die geforderten Eintragungen sind in der folgenden Abbildung gezeigt:

Erläuterung der Eintragungen: 1. Das zweite Maximum in der Messkurve markiert die kleinste Spannung, bei der eine zweimalige Anregung möglich ist. Entsprechend markiert das dritte Maximum die kleinste Spannung, bei der drei Anregungen geschehen. Da bei diesen Spannungen die letzte Anregung gerade erst einsetzt, wird die zugehörige Anregungszone noch nicht erkennbar sein. Das jeweils nachfolgende Minimum kennzeichnet die Spannung, bei der die letzte Anregungszone voll ausgebildet und demzufolge auch deutlich sichtbar ist. Die Festlegung der Grenzen des gefragten Spannungsbereichs weist daher eine gewisse Toleranz auf. Sie sollten frühestens im jeweiligen Maximum (wie oben gezeigt) und spätestens im darauffolgenden Minimum angesetzt werden. 2. Die Anregungszonen entstehen jeweils unmittelbar vor der Anode und verschieben sich mit zunehmender Spannung in Richtung Kathode. Der kleinste Abstand zur Kathode ist daher bei der größten Spannung gegeben. ******************************************************************************** 2. Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen, die sich alle auf den Franck-Hertz-Versuch mit der oben gezeigten Messkurve beziehen. [[X]] Nur Elektronen, die nach Passieren der Anode eine hinreichend hohe kinetische Energie besitzen, können die Auffängerelektrode erreichen und so zum gemessenen Strom beitragen. [[ ]] Die Neonatome werden durch Stöße mit den Elektronen ionisiert und tragen dann als positive Ladungsträger ebenfalls zum gemessenen Strom bei. [[X]] Aus den Spannungen, bei denen Maxima bzw. Minima auftreten, lassen sich Rückschlüsse auf die Energieniveaus der Neonatome ziehen. [[ ]] Im ursprünglichen Experiment nutzten Franck und Hertz eine mit Quecksilberdampf gefüllte Röhre. Die Wahl des Füllgases hat jedoch keinen Einfluss auf die Lage der Maxima und Minima in der Messkurve. [[ ]] Da in der Messkurve mehrere Minima auftreten, müssen in den Neonatomen verschiedene Energieniveaus angeregt werden. Jedes dieser unterschiedlichen Energieniveaus ist für genau ein Minimum der Messkurve verantwortlich. [[X]] Die oben gezeigte Messkurve mit ihren charakteristisch ausgeprägten Minima ist ein Beweis für die diskreten Energieniveaus der Atome und die quantenhafte Energieübertragung. ******************************************************************************** * Nur Elektronen, die nach Passieren der Anode eine hinreichend hohe kinetische Energie besitzen, können die Auffängerelektrode erreichen und so zum gemessenen Strom beitragen. * **Richtig**: Zwischen Anode und Auffängerelektrode liegt ein elektrisches Gegenfeld an. Zum Überwinden dieses Gegenfelds müssen die Elektronen ausreichend Energie besitzen. * Die Neonatome werden durch Stöße mit den Elektronen ionisiert und tragen dann als positive Ladungsträger ebenfalls zum gemessenen Strom bei. * **Falsch**: Die Neonatome werden angeregt, d.h. innerhalb der Atome wechseln Elektronen in ein höheres Energieniveau. Eine Ionisation (Freisetzung eines zuvor im Atom gebundenen Elektrons) findet nicht statt. Die hierfür nötige Energie liegt deutlich über den für das Experiment relevanten Anregungsenergien. * Aus den Spannungen, bei denen Maxima bzw. Minima auftreten, lassen sich Rückschlüsse auf die Energieniveaus der Neonatome ziehen. * **Richtig**: Der Abstand zwischen benachbarten Maxima widerspiegelt die Energiedifferenz der an der Anregung beteiligten Energieniveaus des Neonatoms. * Im ursprünglichen Experiment nutzten Franck und Hertz eine mit Quecksilberdampf gefüllte Röhre. Die Wahl des Füllgases hat jedoch keinen Einfluss auf die Lage der Maxima und Minima in der Messkurve. * **Falsch**: In der Tat benutzten Franck und Hertz ursprünglich eine mit Quecksilberdampf gefüllte Röhre. Dort treten die Maxima und Minima jedoch bei anderen Spannungen auf, da die Energieniveaus des Quecksilber vollkommen verschieden von denen des Neons sind. * Da in der Messkurve mehrere Minima auftreten, müssen in den Neonatomen verschiedene Energieniveaus angeregt werden. Jedes dieser unterschiedlichen Energieniveaus ist für genau ein Minimum der Messkurve verantwortlich. * **Falsch**: Es liegt nur eine Anregung zu Grunde. Allerdings können die Elektronen bei ausreichend hoher Beschleunigungsspannung diese Anregung der Neonatome mehrfach auslösen, sodass mehrere Minima entstehen. Lägen verschiedene Anregungsniveaus zu Grunde, würden die Maxima bzw. Minima in der Messkurve nicht äquidistant auftreten. * Die oben gezeigte Messkurve mit ihren charakteristisch ausgeprägten Minima ist ein Beweis für die diskreten Energieniveaus der Atome und die quantenhafte Energieübertragung. * **Richtig**: Die Maxima und Minima entstehen, weil eine Anregung der Neonatome nur zwischen diskreten Energieniveaus möglich ist und die erforderliche Anregungsenergie nicht in mehreren Teilportionen aufgenommen werden kann. ******************************************************************************** ### Hausaufgaben #### Äußerer Photoeffekt Eine negativ geladene Zinkplatte soll durch den äußeren Photoeffekt entladen werden. Welche Wellenlänge $\lambda_\mathrm{max}$ darf das dabei zur Bestrahlung eingesetzte Licht höchstens haben, damit dieser Effekt auftreten kann? Die Austrittsarbeit von Zink beträgt $W_\mathrm A=4{,}34~\mathrm{eV}$. [[ $\lambda_\mathrm{max} = 162~\mathrm{nm}$ | ($\lambda_\mathrm{max} = 286~\mathrm{nm}$) | $\lambda_\mathrm{max} = 347~\mathrm{nm}$ | $\lambda_\mathrm{max} = 491~\mathrm{nm}$ ]] ******************************************************************************** Eine Entladung durch den äußeren Photoeffekt tritt auf, wenn die Photonenenergie die Austrittsarbeit erreicht oder übersteigt: $E_\mathrm{Ph}\ge W_\mathrm A$. Für die minimale Photonenenergie bedeutet das: $$E_\mathrm{Ph,min}=\frac{hc}{\lambda_\mathrm{max}}=W_\mathrm A \, .$$ Für die maximale Wellenlänge des bestrahlenden Lichts folgt daraus $$\begin{aligned} \lambda_\mathrm{max} & =\frac{hc}{W_\mathrm A} \\ & = \frac{4{,}136\cdot 10^{-15}~\mathrm{eVs}\cdot 3\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}}{4{,}34~\mathrm{eV}}\\ & =286~\mathrm{nm} \, . \end{aligned}$$ ******************************************************************************** #### Energiebilanz des Photoeffekts In einer Photozelle werden die durch den äußeren Photoeffekt emittierten Elektronen im Vakuum durch ein angelegtes elektrisches Gegenfeld abgebremst. In einer solchen Zelle befinde sich eine Kaliumschicht ($W_\mathrm A=2{,}28~\mathrm{eV}$), die mit dem blauen Licht einer Quecksilberdampflampe ($\lambda=436~\mathrm{nm}$) bestrahlt wird. 1. Welche kinetische Energie besitzen die dabei aus der Kaliumschicht emittierten Elektronen? 2. Mit welcher Spannung muss das elektrische Gegenfeld mindestens betrieben werden, damit die Elektronen vollständig abgebremst werden? ----- * Antwort Teilaufgabe 1 [[ ($E_\mathrm{kin} = 0{,}56~\mathrm{eV}$) | $E_\mathrm{kin} = 1{,}08~\mathrm{eV}$ | $E_\mathrm{kin} = 1{,}38~\mathrm{eV}$ | $E_\mathrm{kin} = 2{,}13~\mathrm{eV}$]] ******************************************************************************** Die Energiebilanz des äußeren Photoeffekts lautet (unter der Voraussetzung, dass die Photonenenergie die Austrittsarbeit übersteigt): $$\frac{hc}{\lambda} = E_\mathrm{Ph} = W_\mathrm A + E_\mathrm{kin} \, .$$ Umstellen dieser Gleichung nach der kinetischen Energie und Einsetzen der Zahlenwerte ergibt $$\begin{aligned} E_\mathrm{kin} & = \frac{hc}{\lambda}-W_\mathrm A \\ & = \frac{4{,}136\cdot 10^{-15}~\mathrm{eVs}\cdot 2{,}99\cdot 10^8~\frac{\mathrm m}{\mathrm s}}{436\cdot 10^{-9}~\mathrm m} - 2{,}28~\mathrm{eV}\\ &= 0{,}56~\mathrm{eV} \, . \end{aligned}$$ ******************************************************************************** * Antwort Teilaufgabe 2 [[ $U_\mathrm{gegen} = 0{,}27~\mathrm V$ | ($U_\mathrm{gegen} = 0{,}56~\mathrm V$) | $U_\mathrm{gegen} = 0{,}81~\mathrm V$ | $U_\mathrm{gegen} = 1{,}08~\mathrm V$ ]] ******************************************************************************** Um die emittierten Elektronen gerade abzubremsen, müssen sie ihre kinetische Energie als Arbeit gegen das elektrische Feld aufbringen. Für die Arbeit im elektrischen Feld gilt $W_\mathrm{el} =QU$. $$E_\mathrm{kin}=W_\mathrm{el}=eU_\mathrm{gegen}$$ Damit ergibt sich für die Gegenspannung $$U_\mathrm{gegen}=\frac{E_\mathrm{kin}}{e} = \frac{0{,}56~\mathrm{eV}}{e} = 0{,}56~\mathrm{V} \, .$$ ******************************************************************************** #### Balmerserie des Wasserstoffs Die Balmer-Serie enthält die von Wasserstoffatomen emittierte elektromagnetische Strahlung, die auf Übergänge eines Elektrons von einem höheren Energieniveau in das Niveau $E_2$ hervorgerufen wird. Berechnen Sie die größte und zweitgrößte sowie die kleinstmögliche Wellenlänge dieser Serie. ----- * Größte Wellenlänge der Balmerserie [[ $\lambda = 1875~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 1281~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 820~\mathrm{nm}$ | ($\lambda = 656~\mathrm{nm}$) | $\lambda = 486~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 434~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 389~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 365~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 122~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 97~\mathrm{nm}$ ]] ******************************************************************************** Für die Energieniveaus $E_n$ im Wasserstoffatom gilt: $$E_n = -hcR_\infty\cdot\frac {1}{n^2} \, .$$ Die Balmerserie enthält die Übergänge $E_n \rightarrow E_2$ für $n>2$. Die Energie des abgestrahlten Photons entspricht der Energiedifferenz der beteiligten Niveaus. Für die Balmerserie bedeutet das: $$\begin{aligned} E_\mathrm{Ph} & = E_n - E_2\\ & = -\frac{hcR_\infty}{n^2} + \frac{hcR_\infty}{2^2} \\ & = hcR_\infty\left(\frac 14-\frac{1}{n^2}\right) \\ & = hcR_\infty\cdot \frac{n^2-4}{4n^2} \, . \end{aligned}$$ Weiterhin gilt der Zusammenhang zwischen Photonenenergie und Wellenlänge: $$E_\mathrm{Ph} = \frac{hc}{\lambda} \quad \longrightarrow \quad \lambda = \frac{hc}{E_\mathrm{Ph}} \, .$$ Durch Einsetzen der obigen Photonenenergie erhält man die allgemeine Gleichung für die Wellenlängen der Balmerserie: $$\lambda_{n\rightarrow 2} = \frac{hc}{hcR_\infty}\cdot\frac{4n^2}{n^2-4} = \frac{4n^2}{R_\infty\left(n^2-4\right)} \,.$$ Die größte Wellenlänge dieser Serie entspricht dem Übergang mit der kleinsten Energiedifferenz, also $n=3$: $$\lambda_{3\rightarrow 2} = \frac{4\cdot 3^2}{R_\infty\left(3^2-4\right)} = 656~\mathrm{nm} \, .$$ ******************************************************************************** * Zweitgrößte Wellenlänge der Balmerserie [[ $\lambda = 1875~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 1281~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 820~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 656~\mathrm{nm}$ | ($\lambda = 486~\mathrm{nm}$) | $\lambda = 434~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 389~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 365~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 122~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 97~\mathrm{nm}$ ]] ******************************************************************************** Die nächstkürzere Wellenlänge entspricht $n=4$: $$\lambda_{4\rightarrow 2} = \frac{4\cdot 4^2}{R_\infty\left(4^2-4\right)} = 486~\mathrm{nm} \, .$$ ******************************************************************************** * Kleinstmögliche Wellenlänge der Balmerserie [[ $\lambda = 1875~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 1281~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 820~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 656~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 486~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 434~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 389~\mathrm{nm}$ | ($\lambda = 365~\mathrm{nm}$) | $\lambda = 122~\mathrm{nm}$ | $\lambda = 97~\mathrm{nm}$ ]] ******************************************************************************** Die kürzeste Wellenlänge entspricht dem Übergang $E_\infty = 0 \rightarrow E_2$ mit $E_\mathrm{Ph} = \left|E_2\right|$: $$\lambda_{\infty\rightarrow 2} = \frac{hc}{\left|E_2\right|} = \frac{4}{R_\infty} = 365~\mathrm{nm} \, .$$ ********************************************************************************