\n",
" \n",
" \n",
" \n",
"
\n",
"![\"ifo\"](\"draw/ifos.jpg\")
\n",
"\n",
"Die Vermessung von Gravitation mittels Laserinterferometrie. Ein Überblick ausgewählter Missionen. \n",
":::"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "f1b045d1-a620-4f80-803f-4b8151ec3e83",
"metadata": {},
"source": [
"## Interferometer\n",
"\n",
"Interferometer eignen sich insbesondere für Hochpräzisionsmessungen. Das Funktionsprinzip ist immer ähnlich: Zwei Lichtstrahlen werden durch Optiken (Spiegel) und halbdurchlässige Spiegel auf verschiedene Bahnen gelenkt. Wichtig ist es, die beiden Lichtstrahlen an einem halbdurchlässigen Spiegel möglichst perfekt am Ende zu überlagern (interferieren), sodass ein Interferenzmuster am Ausgang des Interferometers entsteht. Dadurch werden die beiden interferierten Lichtstrahlen miteinander verglichen. Ändert sich die Phase eines Lichtstrahls, so ändert sich das Interferenzmuster. D.h. das Muster hängt von der optischen Weglänge ab, die die jeweiligen Lichtstrahlen bis zur Interferenz zurückgelegt haben. \n",
"Dadurch können differentielle Weglängenunterschiede zwischen den zwei Interferometer*armen* gemessen werden, was für folgende Anwendungen benutzt werden kann:\n",
"\n",
"* Positionsänderungen\n",
"* Brechungsindex oder Dichteänderungen in einem der beiden Wege\n",
"* Winkelmessungen \n",
"* Spektroskopie\n",
"* Vibrationsmessungen\n",
"* Geschwindigkeit- und Beschleunigungsmessung (siehe Radar)\n",
"* Verformungsmessung\n",
"* FTIR-Spektrometrie (chemische Analysen)\n",
"* Gravitationswellendetektion\n",
"\n",
"Kennt man die Wellenlänge $\\lambda$ des verwendeten Laserlichts, also z.B. 1550nm (die entspricht der Telekommunikationswellenlänge), so kann man die optische Phase in eine Längenänderung konvertieren.\n",
"\n",
"$$ 2 \\cdot \\Delta L = \\left( \\frac{\\Delta \\phi}{2\\pi} \\right) \\cdot \\lambda $$\n",
"\n",
"- $\\Delta L$ ist die Weglängendifferenz,\n",
"- $ \\Delta \\phi$ ist die Phasenverschiebung in Radiant,\n",
"- $ \\lambda $ ist die Wellenlänge des Lichts.\n",
"\n",
"Der Faktor 2 resultiert daraus, dass in Interferometern der Laserstrahl reflektiert wird und somit die Weglängendifferenz 2x durchläuft. Dies erhöht die **Auflösung** der Messung um den Faktor 2. \n",
"\n",
"* Je kleiner die Wellenlänge, desto genauer können Positiosänderungen des Spiegels gemessen werden\n",
"* Allerdings müssen bei höheren Dynamiken, also Bewegungen die eine Wellenlänge überschreiten, die Wechsel von Hell- nach Dunkel gezählt werden, wobei Fehler passieren können. Daher eignen sich homodyne Laserinterferometer nur bedingt zur Messung von größeren Veränderungen\n",
"* Absolute Längenmessungen sind nicht möglich, lediglich relative Positionsänderungen von Objekten, da sich die Kennlinie periodisch wiederholt. Dies nennt man auch **Inkrementalgeber**. \n",
"\n",
"## Signal eines *homodynen* Laserinterferometers\n",
"\n",
"Bei homodyner Laserinterferometrie werden zwei Lichtstrahlen mit der exakt gleichen Wellenlänge bzw. Frequenz überlagert. Die jeweiligen elektromagnetischen Felder in den beiden Interferometerarmen können wiefolgt aufgeschrieben werden:\n",
"\n",
"$$E_1 = A_1 \\cos(\\omega_0 t)$$\n",
"\n",
"und \n",
"\n",
"$$E_2 = A_2 \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)$$\n",
"\n",
"wobei wir die Amplitude mit $A$ bezeichnen und $\\omega_0$ die Laserfrequenz ist (im Bereichen von einigen Hundert THz). Weiterhin nehmen wir an, dass der Interferometerarm 1 seine Länge nicht ändert und wir im 2. Laserarm die Phase $\\varphi$ messen, die die zu messende Information beinhaltet (z.B. die Bewegung eines Spiegels). \n",
"\n",
"Diese beiden Strahlen werden an einem halbdurchlässigen Spiegel miteinander überlagert. Deren Leistung wird mittels einer Photodiode gemessen, die die einfallene Strahlungsleistung in einen Photostrom umwandelt. Die eintreffende Intensität lässt sich wiefolgt aus den beiden elektromagnetischen Feldern berechnen:\n",
"\n",
"\\begin{align}\n",
"I &\\propto |E_1 + E_2|^2 = |A_1 \\cos(\\omega_0 t) + A_2 \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)|^2 \\\\\n",
"&= A_1^2 \\cos(\\omega_0 t)^2 + 2 A_1 A_2 \\cos(\\omega_0 t) \\cos(\\omega_0 t + \\varphi) + A_2^2 \\cos(\\omega_0 t + \\varphi)^2\n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"Mittels Additionstheoremen\n",
"\n",
"\\begin{align}\n",
"\\cos^2x &= \\frac{1}{2}\\left(1+ \\cos(2x) \\right) \\\\\n",
"\\cos x \\cos y &= \\frac{1}{2}\\left(\\cos(x-y) + \\cos(x+y) \\right) \n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"lässt sich die Gleichung weiter umschreiben zu:"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"id": "e3cf596b-2715-4e89-bbdb-6dced7153894",
"metadata": {},
"source": [
"\\begin{align}\n",
"I &\\propto \\frac{A_1^2}{2} + \\frac{A_1^2}{2}\\cos(2\\omega_0 t) + A_1 A_2 \\left( \\cos(-\\varphi) + \\cos(2\\omega_0 t + \\varphi) \\right) + \\frac{A_2^2}{2} + \\frac{A_2^2}{2}\\cos(2\\omega_0 t + 2 \\varphi)\n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"Da es sich bei der Laserfrequenz um eine sehr hoch frequente Schwingung handelt, die bist zu $10^14$ mal pro Sekunde oszilliert (z.B. 280 THz für infrarotes Licht), agiert die Photodiode selbst als Tiefpassfilter, da sie so hohe Frequenzen nicht mehr auflösen kann. Daher können wir im Folgenden alle Cosinus-Terme der Frequenz $2\\omega_0$ vernachlässigen:\n",
"\n",
"\\begin{align}\n",
"I &\\propto \\frac{A_1^2}{2} + A_1 A_2 \\left( \\cos(-\\varphi) \\right) + \\frac{A_2^2}{2} \\\\\n",
"&= \\frac{A_1^2}{2} + \\frac{A_2^2}{2} + A_1 A_2 \\cos(-\\varphi) \n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"Die Intensität, bzw. Leistung auf der Photodiode hängt somit also nur noch von einem DC-Term ab, der nicht oszilliert, von der Phase $\\varphi$ die es zu messen gilt und dem Produkt der zwei Amplituden. Der DC-Term entspricht dem Gleichanteil des Cosinus-Signals und kann ebenfalls rausgefiltert werden, sodass lediglich das Cosinus-Signal mit der relevanten Phaseninformation übrig bleibt:\n",
"\n",
"$$I \\propto A_1 A_2 \\cos(\\varphi)$$\n",
"\n",
"Dies ist die *periodische* Kennlinie eines homodynen Laserinterferometers und wird im Folgenden grafisch dargestellt. Das animierte Oszilloskop-Signal zeigt an, wie sich die Ausgangsleistung in einem Interferometer je nach Spiegelposition ändern würde. "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 5,
"id": "abda71de-32f0-44f7-8e31-ec8f8824f1b2",
"metadata": {
"tags": [
"hide-input"
]
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/html": [
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"![\"ifo_oR\"](\"draw/ifo_oR.png\")
\n",
"\n",
"Laserinterferometer mit optischen Resonator.\n",
":::\n",
"\n",
"Der Einfluss der Phasenänderung auf die Intensität kann durch die Finesse des Resonators und die Eigenschaften des verwendeten Lichts beeinflusst werden.\n",
"Die Grundgleichung für die Intensität der Lichtwelle in einem Fabry-Perot-Resonator (eine Art von optischem Resonator) in Abhängigkeit von der Phasenänderung ist:\n",
"\n",
"$$\n",
"I(\\Delta\\phi) = I_0 \\cdot \\frac{1}{1 + F \\cdot \\sin^2(\\Delta\\phi/2)}\n",
"$$\n",
"\n",
"wo:\n",
"- $I(\\phi)$ ist die Intensität des Lichts im Resonator,\n",
"- $I_0$ ist die Intensität des einfallenden Lichts,\n",
"- $\\mathcal F$ ist die Finesse des Resonators,\n",
"- $\\Delta\\phi$ ist die Phasenänderung.\n",
"\n",
"In dieser Gleichung ist die Finesse ($\\mathcal F$) ein Maß für die \"Schärfe\" der Resonanz des Resonators und wird oft durch die Formel\n",
"\n",
"$$\n",
"\\mathcal F = \\frac{\\pi \\sqrt{R}}{1 - R}\n",
"$$\n",
"\n",
"ausgedrückt, wobei $R$ die Reflektivität der Spiegel ist.\n",
"\n",
"Die Gleichung zeigt, dass die Intensität im Resonator maximiert wird, wenn die Phasenänderung ein Vielfaches von $2\\pi$ ist, was bedeutet, dass die Bedingungen für *konstruktive* Interferenz erfüllt sind. Umgekehrt wird die Intensität minimiert, wenn die Phasenänderung ein ungerades Vielfaches von $\\pi$ ist, was die Bedingungen für *destruktive* Interferenz erfüllt.\n",
"\n",
"Die Breite der Resonanzspitzen und die Tiefe der Resonanztäler werden durch die *Finesse* des Resonators beeinflusst. Ein Resonator mit hoher Finesse wird schmalere Resonanzspitzen und tiefere Resonanztäler aufweisen, d.h. die Kennlinie wird steiler, was einer höheren Empfindlichkeit entspricht.\n",
"\n",
"Eine kleine Bewegung der Spiegel kann nun eine drastische Änderung in der Intensität verursachen, was die Messung von sehr kleinen Signalen, wie den von Gravitationswellen verursachten, ermöglicht. Im nachfolgenden Diagramm ist dargestellt, wie sich die Kennlinie in der Anwesenheit von optischen Resonatoren in Abhängigkeit von der Spiegelreflektivität $R$ in einem Interferometer ändert. "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"id": "e79bcf6e-0166-4113-aad5-e3efc5f43692",
"metadata": {
"tags": [
"hide-input"
]
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/html": [
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"