# 某不科学的单调序列的首项加权和: 补充解法

## 共用乘积：出题人解法

令 $P=m(m+1)\cdots(m+n-1)$ .主解中的两个组合数可以共用 $P$ 与分母 $(n+1)!$ ，得到

$$\mathrm{Answer}=P\,((n+1)!)^{-1}\bigl(k(n+m)+c(n+1)\bigr)\pmod p$$

[alternative.cpp](alternative.cpp) 逐项计算 $P$ 与阶乘，再做一次快速幂。正确性直接由 $A=P/n!$ 与 $B=P(n+m)/(n+1)!$ 得到。$m=0$ 时 $P$ 含零因子，自动输出零；$(n+1)!$ 的全部正因子小于 $p$ ，即使分子跨过模数也可安全计算。

时间 $O(n+\log p)$ ，空间 $O(1)$ .值域大时只计算一份乘积，减少重复工作；值域小时，[首选的对称乘积法](solution.zh.md)所需因子更少。两者均通过完整数据。这是出题人已有公式与计算策略，Codex（GPT-6）完成可移植实现和边界证明。