# DNA 双链长度区间计数 — 补充解法

**Codex（GPT-6）补充解法：闭式等比求和。** [主解法](solution.zh.md)已证明固定长度计数和前缀公式，只需更换 $s=G(h)$ 的求法。

当 $q\not\equiv1\pmod P$ 时，

$$G(h)=q(q^h-1)(q-1)^{-1}\pmod P$$

用快速幂求 $q^h$ 和 $(q-1)^{P-2}$ .同一询问的两个前缀共用逆元，再代入主解法的 $H(n)$ 公式。若 $q\equiv1\pmod P$ ，则每一项均为一，直接取 $G(h)=h\bmod P$ ，不计算零的逆元。

等比级数恒等式与素数模逆元证明一般分支正确，逐项等于一证明特殊分支正确，前缀相减得到最终答案。注意先对 $2K$ 取模；合法输入 $K=500000004$ 确实会产生特殊分支。

每次询问时间 $O(\log(R+1)+\log P)$ ，空间 $O(1)$ ；模数在本题固定。块合并避免求逆元，这份[程序](alternative.cpp)则使用较少的状态变量，两者都通过完整数据。