# 矩形相交：中心距离

出题人配套讲解中的中心距离判定。Codex（GPT-6）：64 位 C++17 实现，并补充正长度判定以支持退化交集分类。

程序：[alternative-center.cpp](alternative-center.cpp)。与[顶边方法](solution.zh.md)并列，支持完整数据。

## 一维结论

考虑两个闭区间 $[l_A,r_A]$ 、$[l_B,r_B]$ ，定义边长 $w_A=r_A-l_A$ 、$w_B=r_B-l_B$ ，以及两倍中心距离

$$c=|l_A+r_A-l_B-r_B|$$

区间相交当且仅当 $c\le w_A+w_B$ . 证明：当两区间中心分别为 $s_A,s_B$ 时，区间互相够得着等价于 $|s_A-s_B|\le(w_A+w_B)/2$ ；乘以二即得上式。也可以展开绝对值两侧的不等式，分别得到 $l_A\le r_B$ 和 $l_B\le r_A$ .

非空交集具有正长度，当且仅当 $w_A>0$ 、$w_B>0$ 且 $c<w_A+w_B$ . 两区间均有长度时，等号只让端点接触，严格小于产生正长度重叠；若任一区间是点，交集至多是点，必须额外排除。例如 $[0,4]$ 与 $[2,2]$ 的中心重合，仍不能形成正长度交集。

## 二维算法与复杂度

对横纵坐标分别应用一维结论。任一方向为空则整体为空，否则相交。分类时将两个方向的正长度指示值相加，按 $0,1,2$ 分别输出 `Point` 、`Edge` 、`Area` .

中心距离和边长和都可能达到 $4\cdot10^9$ ，超过 32 位有符号整数，应使用 64 位类型。每组 $O(1)$ 时间、$O(1)$ 额外空间，总时间 $O(T+1)$ . 与投影公式相比，它通过中心和边长表达相同的几何事实；退化判定略多，但不需要浮点中心坐标。