# 异星工厂：测试电路板——安全的直接求值

沿用配套讲解中“先排除过大或非正输入，再计算谓词”的方法。Codex（GPT-6）整理为精确整数实现，程序：[alternative.cpp](alternative.cpp)。与[区间化简](solution.zh.md)相比，它保留了三个谓词的求值结构，是备用方案。

## 先证明一个安全范围

当 $x\le0$ 时，$p(x)$ 为假，直接拒绝。对正整数，$15^3=3375>3000$ ，所以 $x\ge15$ 时，$q(x)$ 必为假，也直接拒绝。

只有 $1\le x\le14$ 才继续。此时平方至多 $196$ ，立方至多 $2744$ ，可以安全地用 64 位整数计算，然后逐项检查

$$x^3<3000\land x^2\ge10\land(x^2>2000\lor x^2<700)$$

## 正确性与复杂度

被提前排除的数各有一个必要谓词为假，不会误删合法答案。剩余数全部进行准确的原条件判断，故结果与 $P(x)$ 一致。

输入类型仍用有符号 64 位整数；范围检查必须发生在任何乘法之前。每项 $O(1)$ 时间，整体 $O(T+1)$ 时间、$O(1)$ 额外空间。相比只判断区间，直接求值多做常数次运算，但更接近谓词定义。计时见[主解](solution.zh.md#实测结果)。