# 三种局部计费方法的反例

以下实例均为合法诱导四邻接森林。它们否定局部计费所需的更强命题，不否定候选算法的三次方上界猜想。坐标使用从零开始的行、列。

## 1. 新成功不必扩大包围盒

[九乘九输入](inputs/unchanged-bounding-box.in)有十九步移动，候选检查次数为四十四。对固定目标，把每次成功时的完整查询前缀平移到该目标；新的成功副本不一定扩大此前副本并集的包围盒。因此不能保证每次成功都向新的边界位置收费。

## 2. 新成功不必扩大副本并集

[十七乘十七输入](inputs/unchanged-union.in)的首行全为道路，次行仅列零、二、四、六、八、十为道路，其余全为障碍。目标格为 $(1,8)$。查询先访问长为九的水平主干，再按列零、四、二、八、六的顺序访问次行齿尖。

第五次齿尖成功对应的整个平移前缀，已包含在前四份副本的并集中；并集仍为二十三格。因此把包围盒与内部未覆盖道路点合并成势能，也不能保证每次成功都令势能增长。该输入有三十九步移动，候选检查次数为一百三十八。

## 3. 相同末步方向仍允许非退化平行四边形

在[八乘八输入](inputs/same-direction-parallelogram.in)中，固定目标格 $(6,5)$，四个首次访问时成功命中该目标的位移依次为

$$
(1,0),\quad(2,-2),\quad(2,0),\quad(1,2).
$$

四次最后一步都向下，且

$$
(1,0)+(2,0)=(2,-2)+(1,2).
$$

这四点构成非退化平行四边形。因此不能把不同时间的成功位移仅按最后一步方向分组，再对每组套用静态禁形引理。静态引理要求同一个完整查询模板的所有相关副本同时存在；这里的成功事件发生在不同前缀。该输入有六十九步移动，候选检查次数为九十七。

[验证脚本](../verify_examples.py)核对上述检查次数，并直接验证后两项的副本包含关系和平行四边形事件。