# 去对数路线合并后的首次验证：删除参考轴类

**当前总结果：** [一般三次方证明](../proofs/cubic-bound.zh.md)已完成。下文保存当时的有限验证、失败路线和局部引理，实验统计不作追溯改写。

日期：2026-10-12。对应[研究综述的方向 A](../../complexity-research.zh.md)。

**最新状态：** 后续已找到符合全部条件的左右早横枝反例，否定一般不交性；[构造与替代容量证明稿](../proofs/reference-capacity.zh.md)保存新结果。下文保留初始验证时的结论与范围。

**结论状态：有限验证通过，一般命题仍未证明。** 本次重新计算了真实候选历史、星心和资源，没有找到反例。它增加了可复现证据，没有补上一般复杂度的对数缺口。

后续十轮研究已完成，新增失效边常数重数的参数反例、原顺序嵌套梳的列带证明，以及一般不交性的轴投影等价引理，见[十轮研究记录](../proofs/reference-followup.zh.md)。下文保留本次初始实验的原始范围与结果。

## 1. 为什么先选这个命题

宏观上仍要证明不同前缀尺度共享一份预算。方向 A 提供了一个明确的局部切入点：固定真实标签与共同切口，在同一个高幂共轭族中删除最晚早端所属的参考轴类后，任一剩余完整早资源连通分量是否满足

$$
U\cap(U+h)=\varnothing?
$$

连通性包括资源之间的全部单位格邻接，不能只看共享顶点。若该命题成立，已有轴间距引理会排除同一分量内重复的查询早端，再由完整早前缀的 Hall 论证得到单位容量。准确的条件与这一推导见[标签证明第 30—40 节](../proofs/complexity-labels.zh.md)。

已经证明的是每份早资源单独不交。多份不交资源连成一片后是否仍不交，正是待证步骤；森林本身并不自动提供这个结论。

## 2. 检查的是哪些真实对象

[验证脚本](../verify_reference_components.py)只依赖标准库与公开的输入验证器，不依赖私人历史档案。

1. 检查宿主全部诱导四邻接边确实构成森林。从全部道路候选开始，每发现一个新位移就过滤候选，保留完整前缀条件。
2. 对每个目标道路格与查询行，记录首个成功的非零查询点作为星心。只从这个星心产生后续标记，不任意挑选成功点配对。
3. 对每个测试标签，使用全部真实标记的最晚早时刻确定共同切口。设该时刻为 $t_*$，令

$$
P=P_{t_*},\qquad
\tau=\min\{t(x):x\in P,\ x+h\in P\}.
$$

若集合为空，取 $\tau=t_*+1$。只保留 $t(e)<\tau$ 且 $t(f)>t_*$ 的严格标记。

4. 从查询根到各点的方向词计算

$$
g_e=w(f)w(e)^{-1}.
$$

对约简词做循环约简及最短周期分解。按相同标签、最短循环词的循环移位类和幂次数分组，只检查 $q\ge4$ 的族；组内用完整约简词区分查询轴类。

5. 对每个可能参考轴类，取它最晚的早时刻，保留不晚于它的标记，再删除整个参考轴类。对剩余完整早资源的并，检查每个诱导连通分量有无自平移重合和重复早端。
6. 同时核对每个非参考源匹配参考晚前缀、其平移源在正确的早时刻区间首次失败，以及失败父边确实由标签交域内走向域外。
7. 为生成的发现顺序构造真实树上行走，并计入回走移动数。集合模拟得到的真实扫描量再与独立位集实现逐例比较；保存总费用、倍增区间费用和输入指纹。

第 5 步利用已有的单调性覆盖**该固定切口下的所有标记子族**：任何以某轴类为参考的子族，都包含在这个轴类对应的最大可选族中；删除资源不可能新造连通、自平移重合或重复早端。它不覆盖另选切口后产生的所有问题。

同一源的早前缀彼此嵌套，计算资源并时可以只取其中最大的那份，但统计标记和重复早端时仍保留全部标记。

## 3. 输入与扰动范围

| 组别 | 实验数量 | 测试范围 |
| --- | ---: | --- |
| 公开代表输入 | 8 | 重新读取输入并核对指纹，检查其全部实际出现的水平标签 |
| 重新生成的嵌套梳 | 72 | 18 组参数，每组四种发现顺序；只检查该构造的指定标签 |
| 周期弯折后的构造 | 20 | 5 组基础参数，每组四种发现顺序；只检查变换后的指定标签 |

嵌套梳使用 $k\in\{6,7,9\}$、$t\in\{1,2,3\}$、$w\in\{3,4\}$，按[公开构造](nested-combs.zh.md)直接重建道路和查询。道路固定后，分别使用原顺序，以及随机窗口为 8、64、查询点数的三种顺序。随机优先级依附于原发现次序，同时强制父点先于子点，因此每个前缀仍连通。固定种子规则保存在脚本中。

弯折组的基础参数为 $(4,2,1),(5,2,1),(5,2,2),(7,2,1),(9,2,1)$。小宽度成员只借用生成规则，逐例检查合法性，不套用原参数证明中要求 $k\ge6,w\ge3$ 的结论。

弯折变换将原顶点坐标乘六，每条竖边改为六步竖段，每条向右的边改为方向词

$$
E^2S^2E^2N^2E^2.
$$

这条路径净向右六格，中间绕下再返回；标签也乘六。其最短周期长度为十，避免实验只覆盖直轴。变换后的道路仍重新检查全部诱导边，不预设变换必定合法。所有本次实例都在正式边长上限以内。

## 4. 结果与解释

完整逐例记录见[结果 JSON](../reference-components-results.json)。汇总中的参考选择可能相互重叠，不能把不同场景中的同一资源或标记当作互异对象。

| 项目 | 结果 |
| --- | ---: |
| 不同道路与发现顺序组合 | 100 |
| 删除参考类后检查的连通分量，按场景累计 | 904 |
| 含多个非参考轴类的分量 | 678 |
| 含至少三个非参考轴类的分量 | 537 |
| 一个分量中的最多非参考轴类数 | 8 |
| 自标签平移相交的分量 | 0 |
| 含重复查询早端的分量 | 0 |

因此，本次确实检查到了多个非参考轴类连成一片的情况；并非只检查单类或空余项。也有一些访问顺序使非空参考场景消失，这些空检查保留在记录中，没有当作触及难点的证据。

**这些结果不能推出命题成立。** 几何构造主要来自同一嵌套梳机制；弯折族只增加一种最短周期，并未覆盖任意周期或任意森林。实验按实际共同切口筛选，并未穷举所有输入和切口，也没有证明最困难余项的一般容量。

## 5. 接下来需要证明什么

可以考虑一个最小的、会造成自平移重合的连通资源子族：每份资源单独不交，冲突只能在连接资源之后出现。此时应同时使用参考晚前缀的共同匹配条件，以及各平移源在参考早端之前已经失效的次序限制，尝试推出宿主中存在两条不同的连接路径。

这只是具体的待证方案，目前没有完成“冲突必然成环”的推导。若不交命题过强，还可以直接研究较弱但足够的结论：删除参考类后，同一连通分量中的查询早端互异。本次也检查了这个较弱结论，仍无反例。

从仓库根目录复现：

```text
python topics/simulation/grid-forest-matching/research/verify_reference_components.py --output topics/simulation/grid-forest-matching/research/reference-components-results.json
python topics/simulation/grid-forest-matching/research/check_documents.py
```

正式算法没有修改；一般三次方上界仍然开放。