# 重复轴类与连通完整资源的参数族

## 1. 参数、实际查询及候选

取整数
$$
k\ge2,\quad t\ge1,\quad t(k-1)\ge2,\quad d\ge10,\quad 5\mid d.
$$
坐标为行、列；增大行号记作向下。查询从原点开始，依次走到第 $4i$ 行，每行先走右二、左二，遍历全部 $k$ 个齿行。到最底行后，走到列五，下走一格再返回；继续右走一个标签长度，到列 $d+5$，再次下走一格返回；沿该行回到列零，再上行四格。其余各行从下到上，分别右走到列 $d+2$、原路回到列零并上行四格，最终回到根。

这是一条明确的实际移动序列，包含所有重复访问。查询是竖直主干、相隔四行的水平齿，以及底行下方两个小钩。

令
$$
U=t(k-1),\qquad L=d+10,\qquad P=L(U-1),\qquad b=P/5+1.
$$
每个上层轴类 $1\le i<k$ 选 $t$ 个源：
$$
a_{i,j}=(-4i,L(t(i-1)+j)),\qquad 0\le j<t.
$$
底层源每隔五列出现：
$$
a_\ell=(-4k,5\ell),\qquad 0\le\ell<b.
$$

对每个上层源，将它映射的完整晚前缀加入宿主，晚端为 $(4i,d+2)$；另将源右移 $d$ 后映射的完整早前缀加入宿主，早端为 $(4i,2)$。底层采用钩端 $(4k+1,5)$ 与 $(4k+1,d+5)$ 做同样操作。宿主恰为这些完整前缀像之并，不额外假设星心。

## 2. 诱导树结构

因 $U\ge2$，最右上层源至少在列 $d+10$。负行部分的竖干因此覆盖从零到 $P+d$ 的全部五倍数列，每根从第 $-4k$ 行通到零行。在负的四倍数齿行，每根竖干右侧带两格短齿。相邻竖干相差五列，两格短齿之间留有空隙，不产生格环。

零行为从列零到 $P+d+5$ 的连续主干。底层钩在第一正行形成相隔五列的叶子。每个上层候选在自己的源列上另产生一个正行子树：竖干和水平长齿，上端一行带两个钩。其宽度最多为 $d+5$，而相邻上层源列间距为 $d+10$，这些正行子树之间至少隔四个空列。每个只在零行的本列附着一次。

负行短齿、零行主干、正行小钩及各正行子树之间没有额外格边。因此整幅道路图是诱导树。

## 3. 全部真实标签标记

选定标签为 $h=(0,d)$。所有真实标记恰为以下列表。

| 源 | 早端 | 晚端 |
| --- | --- | --- |
| 每个上层源 $a_{i,j}$ | $(4i,x)$，$0\le x\le2$ | $(4i,d+x)$ |
| 每个底层源 $a_\ell$ | $(4k,x)$，$0\le x\le4$ | $(4k,d+x)$ |
| 最右底层源 $a_{b-1}$ | $(4k,5)$ | $(4k,d+5)$ |
| 每个底层源 $a_\ell$ | $(4k+1,5)$ | $(4k+1,d+5)$ |

完整前缀有效性由宿主的构造直接保证。最早同行星心还需检查：查询首次走下四格再右走二格，迫使可用候选沿五倍数列的竖干及四倍数齿行对齐。上层同一行的前三个早端，以及底行的前五个早端，分别位于不同列模五相位；更早同相位的点不存在，其他相位的候选在首段移动即失败。

底行列五与列零同相位。除最右源外，前一个列零点已经借用右侧相邻竖干成功，因此列五不是星心。最右源没有再右侧的竖干，才保留列五这笔标记。新钩行的列五是本行第一个查询点，所以相应钩标记都真实。

上述列表也是穷尽的。所有晚端出现在底部钩被访问之后，候选必须覆盖整个查询高度，源只能在负的四倍数行。若某标记的查询齿行落到宿主负行，晚前缀的长横路超出短齿；若落到正行，早候选右移一个标签后没有对应的正行竖干。只有查询齿行恰映到零行可能产生标记。正行钩的高度又确定了每个上层候选所属的具体类。底层源的列范围则由早候选的负行竖干是否存在确定。

所有早端都出现在共同早阶段。它的列范围仅零至五，而标签至少十，故共同早阶段与标签平移不交。全部标记都属于严格共同切口余项。

## 4. 显式单位分配

对每笔标记保留完整早资源，并作如下分配：

- 早端为某齿行的列零、一、二时，分配到源加查询点 $(4,x)$。这是第一条已访问短齿上的相位点，必在完整早前缀中。
- 底行的列三、四，以及最右源的列五标记，分配到自己的早端像。
- 小钩标记也分配到自己的早端像。

第一类按源所属齿行使用不同的宿主行；同一行的源列均为五的倍数，相位零、一、二不冲突。第二类在零行使用相位三、四，最末列五又超过全部上层源短齿的范围。第三类使用第一正行的不同钩点。因此全部分配点互异，证明整个真实资源族的单位 Hall。

底层钩资源包含从本列到下一根竖干列的零行路径。它们依次相交，包含全部上层资源，所以资源并连通。这与所有上层轴类都出现重复早端可以同时成立。

## 5. 精确规模与复杂度范围

计数得到
$$
N=(b+d/5)(6k+4)+2+
t\left(\frac{(d+6)k(k-1)}2+4(k-1)\right),
$$
$$
n=\max\{P+d+6,8k-2\},\qquad
|Q|=k(d+6)+6,\qquad m=k(2d+16)+10.
$$
标记数及资源并大小为
$$
\widetilde M_h=3t(k-1)+6b+1,\qquad
|\mathcal U|=b(6k+4)+1.
$$
最短周期为一、幂次为 $d$。全部 $k$ 类都有长早前缀，上层每个早端有 $t$ 个源，底层最大重复数为 $b$。长早资源数为
$$
t(k-1)+4b+1.
$$
若 $k\ge5$，按[标签证明](../proofs/complexity-labels.zh.md)的规则支付短跨度及四个最大的长轴类，剩下
$$
(k-4)t
$$
笔。这些剩余并不构成 Hall 亏损，上面的显式单位分配已支付整个资源族。

例如令三个增长参数满足 $t=k,d=5k$，则轴类数、每个上层早端的重复数、幂次均随参数增长，而资源并仍连通。这排除的是“只有常数多个重复轴类”的辅助简化。

由 $U\ge\max\{2,k-1\}$ 及棋盘宽度式，可直接验证
$$
|Q|\le2n.
$$
通用逐前缀计数已给出 $W\le N(|Q|-1)\le2nN$。因此本族没有推翻一般三次方猜想；实际移动数也按原路径完整计算。

参数族的渐近结论针对允许规模增长的数学模型；用于运行正式程序的输入仍须满足题面限制。

## 代表性输入

[repeated-axis-classes.in](inputs/repeated-axis-classes.in)

使用 [verify_examples.py](../verify_examples.py) 检查道路森林、移动、候选数与候选检查次数。有限输入只用于复核，不替代上面的参数证明。