# 删除参考类方向的十轮研究结果

**当前总结果：** [一般三次方证明](cubic-bound.zh.md)已完成。下文保存当时的有限验证、失败路线和局部引理，实验统计不作追溯改写。

日期：2026-10-12。本批完成十轮研究，接续[首次验证](../examples/reference-components.zh.md)。

**后续更新：** 下一批的左右早横枝反例已经否定方向 A 的一般不交命题，并提出了容量二的替代证明稿，见[新记录](reference-capacity.zh.md)。下文的“仍未解决”及实验统计描述的是这十轮结束时的状态，三条已证引理不受该反例影响。

**本批十轮结束时：一般三次方上界与方向 A 仍未解决。** 本批得到三个严格结论：失效边不能按常数源数收费；原顺序嵌套梳的资源不交性可直接由列带证明；一般资源不交命题等价于一个轴投影跨度界。实验部分没有发现符合方向 A 全部条件的反例，也暴露了现有搜索仍未触及的几何范围。

## 1. 同一条失效边可以承载线性多个剩余源

这是对[标签证明第 40 节](complexity-labels.zh.md)的补充：该节证明每个非参考源有一条失效出边，但不同源之间的出边重数没有界。

**命题。** 存在合法诱导树参数族，即使先支付四个长轴类、重新选择参考类并领取每源点块，仍有线性多个剩余源使用同一条失效出边；它们的未付超额之和也无界增长。

### 构造与第一次失败

使用[嵌套梳参数族](../examples/nested-combs.zh.md)，固定一组源列，取

$$
k\ge6,\quad t=1,\quad w\ge3,\qquad
D=6w,\quad R=D+3,\quad s=2w+5,\quad d=3s,\quad h=(0,d).
$$

上层源为

$$
a_i=(-iR,0),\qquad 1\le i<k.
$$

查询先逐层访问短右梳。构造保证每个平移源匹配它自身指定的完整早前缀。因此，对于每个上层源，其平移候选

$$
a_i+h=(-iR,d)
$$

在访问完第 $i$ 层短梳之前始终存活。该短梳的最后新发现点为 $(iR+D,2+w)$；随后退回该层根，全部是旧位置。接下来沿查询主竖干向下发现

$$
q_{j_i}=(iR+1,0).
$$

这个新点在平移源处映到 $(1,d)$。按构造逐段展开，宿主第一正行恰有

$$
F\cap(\{1\}\times\mathbb Z)
=\{1\}\times\{0,2,s,d+2,d+s\}.
$$

原因是该行只碰到主竖干、短右梳竖干、两根特殊梳竖干及右移后的短梳竖干；横齿从深度三开始。其他高度层相隔超过梳深，不会落到此行。因此 $(1,d)$ 不在道路中，而此前完整早前缀均在道路中：这正是第一次失败。

未平移源处，该父边却始终为

$$
a_i+(iR,0)=(0,0),\qquad
a_i+(iR+1,0)=(1,0).
$$

其起点在标签交域内，终点在道路中但不在交域内。于是所有这些源共享**同一条有向出边**

$$
(0,0)\longrightarrow(1,0).
$$

### 现有付款之后仍有无界复用

记一条梳的非根点数为

$$
B=2w^2+6w.
$$

按现有证明允许的选择，先支付底层类和三个较晚的上层长轴类，再在余项中以第 $k-4$ 类为参考。剩余源为

$$
a_1,\ldots,a_{k-5}.
$$

每源仍有 $B+1$ 笔长资源标记；点块容量是 $d+1$，所以同一条出边上的真实未付超额总和为

$$
(k-5)(B-d)=(k-5)(2w^2-15).
$$

特别地，固定 $w=3$ 时，

$$
n=42k-2,\qquad
\#\{\text{remaining sources}\}=k-5=\Theta(n),\qquad
\text{remaining excess}=3(k-5).
$$

这严格否定“每条失效边只被常数个剩余源使用”及“每条失效边只需承担常数未付量”。它**没有否定方向 B 的所有可能形式**：仍可尝试让共享同一出边的源使用别处的道路预算。该族本来就有完整资源单位分配，也没有否定原算法的三次方目标。

第十轮从真实标记重新计算长轴跨度、四类付款、参考类与每源超额，核对了上述数值，未直接把公式当作实验输出。最大检查成员边长为 1258，超过正式上限；它只用于数学参数族核验，未作为正式输入运行标准程序。

## 2. 原顺序嵌套梳的不交性有列带证明

**命题。** 对公开嵌套梳族的原发现顺序、指定标签，任取真实严格标记子族，并按最晚早端选择参考类。删除参考类后，全部剩余早资源的并与自身标签平移不交。因此每个连通分量都满足方向 A。

这里允许任意合法构造参数，但不改变查询根或发现顺序，也不同时断言其他标签的性质。

底层类的所有早端都晚于上层类。若子族包含底层类，参考类必为底层类；若不包含底层类，剩余类当然也都是上层类。上层标记的早前缀尚未访问底层特殊梳和各长横臂，全部查询列位于

$$
[0,w+2].
$$

相应源列为 $5sj$。因此整个剩余资源并满足

$$
\mathcal U\subseteq
\bigcup_{j=0}^{t-1}\{(r,c):5sj\le c\le5sj+w+2\}.
$$

这些列带平移 $d=3s$ 后不会碰到任何原列带，因为

$$
w+2<3s,\qquad 3s+w+2<5s.
$$

所以严格有

$$
\mathcal U\cap(\mathcal U+h)=\varnothing.
$$

这甚至不需要分别取连通分量。它解释了为什么扩大原顺序嵌套梳的参数会反复通过实验，也说明继续只扩大这族的尺寸不能有效检验一般猜想。

上述论证直接覆盖指定的原顺序资源。对弯折细分、访问顺序扰动或重新选根，新产生的真实标记须重新分析，不能仅凭图形相似就套用此证明。

## 3. 一般不交命题等价于轴投影跨度界

**引理。** 设一个含真实标记的宿主标签分量的平移词为非平凡树平移 $g$，轴为 $L$，沿轴移动的边数为 $\ell>0$。对该标签分量内任一有限非空连通集 $U$，有

$$
\boxed{
U\cap(U+h)=\varnothing
\quad\Longleftrightarrow\quad
\operatorname{diam}\pi_L(U)<\ell.
}
$$

轴坐标按边数计算，$\pi_L$ 表示树上的最近点投影。它不是把点的水平坐标直接取最小值和最大值；弯曲轴尤其需要区分。

**证明。** 若有两个点 $x,gx$ 同在 $U$，连接它们的唯一树路径属于 $U$。这条路径先到达轴，再沿轴行走一个完整平移长度，然后离轴到达终点，所以投影跨度至少为 $\ell$。

反过来，若两个点的投影相距至少一个平移长度，它们在树上的唯一路径包含这段轴。由于 $U$ 连通，此轴段也在 $U$ 内；从中取相距恰为 $\ell$ 的两个轴顶点，它们相差平移 $g$，在实际网格中相差 $h$，因此发生自平移重合。证毕。

该引理只用同一宿主树中的唯一路径及其平移轴，不需要把整个标签交域无限复制。

### 证明目标因此可以改写

对方向 A 的每个剩余资源连通分量，只需、也必须证明

$$
\operatorname{diam}\pi_L(U)\le\ell-1.
$$

单份早资源已经满足这个界，困难在于多份资源的投影区间通过真实资源邻接连成更长的区间。分别证明每个区间短，或只控制相邻两个区间，均不能自动控制整条连接链。

第九轮用保留参考类的正对照与正确删除参考类的情形共同检查这一等价式，覆盖 94 个连通分量，其中 3 个确实自平移相交，全部与跨度判据一致。这是引理的程序复核，证明本身来自上面的唯一路径论证。

## 4. 十轮记录

[实验脚本](../explore_reference_rounds.py)复用公开验证器的坐标与词处理工具，重新计算候选历史。以下表格明确区分有效命题检查、正对照和被诱导性排除的生成尝试。

| 轮次 | 检验对象 | 结果与证据 |
| --- | --- | --- |
| 1 | 保留参考类的正对照，再正确删除参考类 | 正对照找回重复早端及自平移重合；正确删除后的两个输入均通过。[记录](../reference-round-01.json) |
| 2 | 同一失效边的源重数 | 六个参数成员吻合线性增长；完成第 1 节参数证明。[记录](../reference-round-02.json) |
| 3 | 原顺序嵌套梳为何一直通过 | 18 个成员、288 个资源分量通过；完成第 2 节列带证明。[记录](../reference-round-03.json) |
| 4 | 源列相位向左右错开 | 270 次构造中 207 次出现诱导环，63 次合法；合法实例没有反例。[记录](../reference-round-04.json) |
| 5 | 同时改变层间距、短臂长度与源相位 | 600 次尝试中 283 次查询不合法，317 次宿主不合法，没有有效命题检查。[记录](../reference-round-05.json) |
| 6 | 改查询根，使用深度、广度与随机发现顺序 | 144 个组合仅产生 4 个非空参考场景，检查 7 个分量，无反例。[记录](../reference-round-06.json) |
| 7 | 保留一份完整查询副本，增删宿主叶子 | 160 个组合产生 44 个非空参考场景，检查 51 个分量，无反例。[记录](../reference-round-07.json) |
| 8 | 小实例的全部水平标签与全部早时刻切口 | 31 个组合产生 18 个非空场景，无反例；没有多轴连通分量。[记录](../reference-round-08.json) |
| 9 | 轴投影跨度与真实相交的等价关系 | 完成第 3 节一般引理；普通及正对照分量复核一致。[记录](../reference-round-09.json) |
| 10 | 用完整前缀定义独立枚举星心，并重算最终余项 | 两个小输入的全部标记一致；五个参数成员的首个失败点、真实剩余源和超额吻合第 1 节。[记录](../reference-round-10.json) |

第八轮对每个标签，在每个已出现的早时刻取此前全部真实标记定义切口，再作严格筛选；它扩展到这些标记子族的共同切口，并不是穷举所有网格或所有可能查询。

正确删除参考类的实验合计 418 次检查，包含 414 个不同道路与发现顺序组合；按参考场景累计检查 1406 个分量，其中 292 个混合多轴。没有自平移相交或重复早端。这里的组合与分量都可能跨场景复用，不能把它们看作独立随机样本。

**更重要的限制：这些有效检查中，没有一个资源分量的列跨度达到标签距离。** 因而搜索尚未越过自平移相交所必需的简单几何门槛。大量构造在到达这一步之前就产生诱导环；改根与随机化又经常消灭高幂多轴余项。不能把“未找到反例”解读为对一般猜想的强证据。

## 5. 对下一步方向的影响

方向 B 需要控制共享失效边之后的总费用，不能再尝试直接证明该边的常数重数。方向 A 则可聚焦轴投影区间的连接链：利用共同参考晚前缀、真实星心和失败先后次序，限制整条链累计的跨度。若构造反例，先要求有效的非参考资源分量达到一个标签长度的轴跨度，再核对完整历史；只增加短列带中的轴类数没有作用。

从仓库根目录复现某轮，例如第二轮：

```text
python topics/simulation/grid-forest-matching/research/explore_reference_rounds.py --round 2 --output topics/simulation/grid-forest-matching/research/reference-round-02.json
python topics/simulation/grid-forest-matching/research/check_documents.py
```

轮号可取一至十。第 1、9 轮包含有意保留参考类的正对照，其重合不构成方向 A 的反例。正式算法没有修改。