# 横版场域论：题解

出题人解法：根据朝向确定符号，用模运算维护当前位置。Codex（GPT-6）整理读入、取模边界及正确性说明。

## 方向换算

内部将同学编号、朝向和标签数组均改为零起始下标，当前位置记为 $c$ .背对观察者时，自己的右方是编号增加方向；面对观察者时，自己的左方是编号增加方向。因此，当 $d\ne f_c$ 时向编号增加方向走，否则向编号减小方向走。

先令 $r=p\bmod N$ .正向转移为 $c\leftarrow(c+r)\bmod N$ ；反向转移为 $c\leftarrow(c-r+N)\bmod N$ .因为 $0\le c,r<N$ ，反向取模前已经非负。每次转移后输出对应标签，下一次使用新持有者的朝向。

绕行一整圈不改变持有者，因此用余数代替步数保持结果。方向换算恰好反映面对和背对两种情况。由初始持有者为一号开始归纳，每次转移后保存的下标都是真正的持有者，输出因而正确。

## 复杂度与其他方案

读取资料时间 $O(N)$ ，每次操作 $O(1)$ ，总时间 $O(N+M)$ ，空间 $O(N)$ .零步、整圈和单人队列均由同一公式处理。

逐步模拟耗时 $O(N+\sum p)$ ，可用于小规模验证，但没有空间优势；双向链表逐步行走也有相同缺点。预存每位同学的左右符号只是同一公式的表示变化，因此不额外列为独立解法。程序见 [std.cpp](std.cpp)。