β. Ἀλλʼ ἐκεῖνα μὲν ἄυλα καὶ ἀίδια καὶ ἀτελεύτητα καὶ διὰ παντὸς ὄμοια καὶ ἀπαράλλακτα πέφυκε διατελεῖν, ὡςαύτως τῇ αὐτῶν οὐσίᾳ ἐπιδιαμένοντα, καὶ ἕκαστον αὐτῶν κυρίως ὂν λέγεται, τὰ δὲ ἐν γενέσει τε καὶ φθορᾷ καὶ αὐξήσει καὶ μειώσει καὶ μεταβολῇ παντοίᾳ καὶ μετουσίᾳ φαίνεται διηνεκῶς τρεπόμενα καὶ λέγεται μὲν ὁμωνύμως ἐκείνοις ὄντα, καθʼ ὅσον αὐτῶν μετέχει, ἔστι δὲ τῇ ἑαυτῶν φύσει οὐκ ὄντως ὄντα· οὐδὲ γὰρ τὸ βραχύτατον ἐπὶ ταὐτοῦ διαμένει, ἀλλ᾿ ἀεὶ μεταβαίνει παντοίως ἀλλασσόμενα κατὰ τὸν παρὰ Πλάτωνι Τίμαιον, ὅς φησι· τί τὸ ὂν ἀεί, II. lo. Phil. ιγ—κα. — lambl. p. 6. 7. — Boëth. l. 1. — Scholia ΝΓ in Nobbii spec. p. 11—16. 1. σμικρότητες Γ, lo. Ph. ι — ἰσότητες⌋ ἀνισότητες add. ΝΗΓ, lo. Ph. ι — 3. σώματα Γ — καθʼ αὑτὰ C — 4. 7. συμβεβηκότως G2 bis corr. ex συμβεβηκότα — 7. ὅ] ὅσα P. II, 9. μὲν] καὶ add. ΝΓ ἄυλα, ἀίδια C — 11. ἑαυ- τῶν CμSΓ — διαμένοντα CμSΗΝΓ — 12. αὐτῶν] αὐτοῦ εἴδους τούτων μ — τὰ] ταῦτα CμSΗΝΓ — 13. τε om. ΗΝΓ — 15. μὲν] cod. G2 ex μὴ corr. — καθόσον codd. — 16. τῆς ἑ. φύσεως Ρ — αὐτῶν μS — 17. ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ CμS — διαμένῃ m — 18. μεταβαίνει] μεταῤῥεῖ SΗΓ μεταῤῥεῖ καὶ μεταβ. Ast — παντοίως G2 corr. ex παντοία — ἀλλασσόμενον S — 19. Πλάτωνα S, cf. Tim. 27. D — ὂν] μὲν add. CμSΗΓ γένεσιν δὲ οὐκ ἔχον, καὶ τί τὸ γινόμενον μέν, ὂν δὲ οὐδέποτε, τὸ μὲν δὴ νοήσει μετὰ λόγου περιληπιόν, ἀεὶ καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ὄν, τὸ δʼ αὖ δόξῃ μετʼ αἰσθήσεως ἀλόγου δοξαστόν, γινόμενόν τε καὶ ἀπολλύμενον, ὄντως δὲ οὐδέποτε ὄν. εὔλογον ἄρα καὶ ἀναγκαιότατον, εἰ τοῦ προςήκοντος καὶ ἀνθρώπῳ πρέποντος τέλους ἐφιέμεθα, τουτέστιν εὐζωίας (αὕτη δὲ διὰ φιλοσοφίας μόνης, ὑφʼ ἑτέρου δὲ οὐδενὸς συντελεῖται· φιλοσοφία δὲ ἡμῖν, ὡς ἔφην, σοφίας ὄρεξις, σοφία δὲ ἐπιστήμη τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας, ὄντα δὲ τὰ μὲν κυρίως λεγόμενα, τὰ δὲ ὁμωνύμως), ἀκριβῶς διελεῖν καὶ διαρθρῶσαι τὰ τοῖς οὖσι συμβεβηκότα. τῶν τοίνυν ὄντων τῶν τε κυρίως καὶ τῶν καθʼ ὁμωνυμίαν, ὅπερ ἐστὶ νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, τὰ μέν ἐστιν ἡνωμένα καὶ ἀλληλουχούμενα, οἷον ζῶον, κόσμος, δένδρον καὶ τὰ ὅμοια, ἅπερ κυρίως καὶ ἰδίως καλεῖται μεγέθη, τὰ δὲ διῃρημένα τε καὶ ἐν παραθέσει καὶ οἷον κατὰ σωρείαν, ἃ καλεῖται πλήθη, οἷον ποίμνη, δῆμος, σωρός, χορὸς καὶ τὰ παραπλήσια. τῶν ἄρα δύο εἰδῶν τούτων ἐπιστήμην νομιστέον τὴν σοφίαν· ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶν πλῆθος καὶ πᾶν μέγεθος ἄπειρα τῇ αὑτῶν φύσει ἐξ ἀνάγκης 1. οὐκ] μὴ SΝΓ οὐκ in mg. Γ — γενόμενον m — 3. καὶ om. S — τ᾿ αὐτὰ P — 4. γιγνόμενον Gm — τε om. ΗΝΓ — 5. ὂν] ἔλεγε ταῦτα ὁ Τίμαιος παρὰ Πλάτωνι add. μ. — 7. αὐτή μ — 8. ὑφʼ om. S — 9. ἡμῖν] ἡμ/// G; om. Η, ἐστιν CμSΝΓ — 9. 10. σοφ. ἔφεσις Η, Γ in mg. — 12. διε- λεῖν] διεξελθεῖν (διελεῖν in mg.) S διελεῖν Γ, τε add. Γ — ἀρθρῶσαι — συμβεβηκότως m — 13. ὧν τοίνυν Γ — καὶ καθʼ Γ — 16. δένδ. κόσμ. SΗΝΓ, iidem om. καὶ — ἃ Γ — κυρίως] τε add. μ — 17. τε om. — 18. καλεῖται] καὶ add. Gm — 19. χορ. σωρ. CμSΗΝΓ, Boëth.; στρατός add. S — 20. δύο ἄρα C — τουτ. εἰδ. SΝΓ — 21. νομιστέον] νοη- τέον SΝΓ. — 22. ἄπειρον Γ — αὐτῶν G1P ἑαυτῶν Sμ ἐστί (τὸ μὲν γὰρ πλῆθος ἀπὸ ὡρισμένης ῥίζης ἀρξάμενον P οὐ παύεται προκόπτον, τὸ δὲ μέγεθος ἀπὸ ὡρισμένης ὁλότητος διαιρούμενον οὐδαμὴ δύναται παύειν τὴν τομήν, ἀλλʼ ἐπʼ ἄπειρον διὰ ταῦτα προχωρεῖ), αἱ δὲ ἐπιστῆμαι πάντως πεπερασμένων εἰσὶν ἐπιστῆμαι, ἀπείρων δὲ οὐδέποτε, φαίνεται δή, ὅτι οὔτε περὶ ἁπλῶς μέγεθος οὔτε περὶ ἁπλῶς πλῆθος συσταίη ἄν ποτε ἐπιστήμη (ἀόριστον γὰρ ἑκάτερον καθʼ ἑαυτό ἐστι, πλῆθος μὲν ἐπὶ τὸ πλεῖον, μέγεθος δὲ ἐπὶ τὸ ἔλαττον), ἀλλὰ περί τι ἀπʼ ἀμφοῖν ἀφωρισμένον, ἀπὸ μὲν πλήθους περὶ τὸ ποσόν, ἀπὸ δὲ μεγέθους περὶ τὸ πηλίκον.

γ. Πάλιν δὲ ἐξ ἀρχῆς, ἐπεὶ τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν ὁρᾶται καθʼ ἑαυτό, μηδεμίαν πρὸς ἄλλο σχέσιν ἔχον, οἷον ἄρτιον, περιττόν, τέλειον, τὰ ἐοικότα, τὸ δὲ πρὸς ἄλλο πως ἤδη ἔχον καὶ σὺν τῇ πρὸς ἕτερον σχέσει ἐπινοούμενον, οἷον διπλάσιον, μεῖζον, ἔλαττον, ἥμισυ, ἡμιόλιον, ἐπίτριτον, τὰ ἐοικότα, δῆλον ὅτι ἄρα δύο μέθοδοι ἐπιλήψονται ἐπιστημονικαὶ καὶ III. Io. Phil. κα— λβ. — Iambl. p. 6—10. — Boëth. I. 1. — Theonis Smyrnaei Arithm. cap. l. — Schol. ΝΓ in Nobb. spec. p. 16—22. 1. εἰσι C — γὰρ om. C — 4. διὰ ταύτης CμS διʼ αὐ- τῆς ΝΓ — 5. αἱ δὲ αἱ ἐπιστ. G, αἱ δὲ ἐπιστήμοι ἀπείρων δὲ οὐδέποτε φαίνεται, ἀλλὰ πάντως τῶν πεπερασμένων εἰσιν· δῆλον δὲ ὅτι μ — εἰσὶν] ἐστιν Ρ — 8. ποτε om. PSN — ἐπιστ. ποτε Cμ — ἑκάτερον] καὶ add. mPCμS, erasum in G — 9. καθʼ ἑαυτὸ ἑκ. — πλέον ΗΝΓ — 10. ἐπʼ μ — 11. μὲν] γὰρ add. S — πόσον G2 III, 14. αὑτὸ P — 15. οἷον] τετράγωνον add. SΗΝΓ, Boëth. περισσόν ΝΓ — καὶ τὰ G2 — ἐοικώτως m — 16. ἔχον ἤδη C — 17. ἥμ. μεῖζ. ἔλ. CΝΓ. — ἔλασσον H — 18. καὶ τὰ G2 — δηλονότι codd. — 19. ἄρα om. CμSΗΝΓ — διαὶ λήψονται CμG2SΗΝΓ — ἐπιστ. post μεθ. CΝΓ διευκρινήσουσι πᾶν τὸ περὶ τοῦ ποσοῦ σκέμμα, ἀριθμητικὴμὲν τὸ περὶ τοῦ καθʼ ἑαυτό, μουσικὴ δὲ τὸ περὶ τοῦ πρὸς ἄλλο. πάλιν δὲ ἐπεὶ τοῦ πηλίκου τὸ μέν ἐστιν ἐν μονῇ καὶ στάσει, τὸ δὲ ἐν κινήσει καὶ περιφορᾷ, δύο ἕτεραι κατὰ τὰ αὐτὰ ἐπιστῆμαι ἀκρι τὸ πηλίκον, τὸ μὲν μένον καὶ ἠρεμοῦν γεωμετρία, τὸ δὲ φερόμενον καὶ περιπολοῦν σφαιρική. οὐκ ἄρα τούτων ἄνευ δυνατὸν τὰ τοῦ ὄντος εἴδη ἀκριβῶσαι οὐδʼ ἄρα τὴν ἐν τοῖς οὖσιν ἀλήθειαν εὑρεῖν, ἧς ἐπιστήμη σοφία, φαίνεται δέ, ὅτι οὐδʼ ὀρθῶς φιλοσοφεῖν· ὅπερ γὰρ ζωγραφίη συμβάλλεται τέχναις βαναύσοις πρὸς θεωρίης ὀρθότητα, τοῦτό τοι γραμμαὶ καὶ ἀριθμοὶ καὶ ἁρμονικὰ διαστήματα καὶ κύκλων περιπολήσιες πρὸς λόγων σοφῶν μαθήσιας συνεργίην ἔχουσιν, Ἀνδροκύδης φησὶν ὁ Πυθαγορικός. ἀλλὰ καὶ Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος ἀρχόμενος τοῦ ἁρμονικοῦ τὸ αὐτὸ οὕτω πως λέγει· καλῶς μοι δοκοῦντι περὶ τὰ μαθήματα διαγνώμεναι καὶ οὐδὲν ἄτοπον αὐτοὺς ὀρθῶς, οἷα ἐντί, περὶ ἑκάστου φρο νέειν. περὶ γὰρ τᾶς τῶν ὅλων φύσιος καλῶς διαγνόντες ἔμελλον καὶ περὶ τῶν κατὰ μέρος, οἷα ἐντι, καλῶς ὀψεῖσθαι· περί τε δὴ τᾶς γεωμετρικᾶς καὶ ἀριθμητικᾶς καὶ σφαιρικᾶς παρέδωκαν ἄμμιν σαφῆ 1. αἳ διευκρ. Ast. — πόσου G2 — 2. αὑτὸ CΝΓ — τὸ post δὲ om. Γ — 3. ἐπεὶ] ἐπὶ PS — 5. τὰ om. P ταυτὰ S διακριβιὰσουσι H — 6. ἡρεμ. PH ὁρεμ. G1 — 9. ἀκρι- βῶσαι post δυνατὸν PCμ ἀκριβώσασθαι — 10. ἡ σοφ. — 11—15. ζωγραφία — θεωρίας — συνεργίαν — 12. τοι om. m καὶ add. H — 14. λόγον P — 17. τὸ αὐτὸ om. — 18. δοκοῦντι] τὸ add. PS τοὶ mCμNΓ cf. lo. Phil. κα — μαθηματικὰ P — 19. ὀρθῶς om. Cμ — ἑκάστω H — 20. τᾶς Gm τὰς P τῆς cet. — ὅλων] ἄλλων m ///λλων G — 22. τε] τι G1P — γεωμετρίας G2Cμ ΗΝΓ — τὰς γεω- μετρίας καὶ μουσικᾶς καὶ ἀριθμητικᾶς S — 23. καὶ σφαιρ. om. G1P — ἄμμι H P διάγνωσιν, οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ περὶ μουσικᾶς. ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι ἔμμεναι ἀδελφεά· περὶ γὰρ ἀδελφεὰ τὰ τοῦ ὄντος πρώτιστα δύο εἴδεα τὰν ἀναστροφὰν ἔχει. καὶ Πλάτων δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ τριςκαιδεκάτου τῶν νόμων, ὅπερ τινὲς φιλόσοφον ἐπιγράφουσιν, ὅτι ἐν αὐτῷ περισκοπεῖ καὶ διορίζεται, ποταπὸν χρὴ τὸν ὄντως φιλόσοφον εἶναι, ἀνακεφαλαιούμενος τὰ διὰ πλειόνων προδιαλεχθέντα καὶ προδιαβεβαιωθέντα ἐπιφέρει· ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων φορᾶς τὴν ἀναλογίαν μίαν ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι, φανήσεται δʼ ἂν ὃ λέγομεν ὀρθῶς, εἴ τις εἰς ἓν βλέπων πάντα μανθάνει· δεσμὸς γὰρ ἁπάντων τούτων εἷς ἀναφανήσεται· εἰ δέ τις ἄλλως μεταχειριεῖται φιλοσοφίαν, τύχην δεῖ καλεῖν συνεργόν· οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ἡ ὁδός ποτε, ἀλλʼ οὗτος ὁ τρόπος, ταῦτα τὰ μαθήματα εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ ἰτέον, ἀμελεῖν δὲ οὐ δεῖ. τὸν δὲ ταῦτα πάντα οὕτω λαβόντα, ὡς ἐγὼ λέγω, τοῦτον ἐγὼ καλω σοφώτατον καὶ διισχυρίζομαι παίζων τε καὶ σπουδάζων. δῆλον γάρ, ὅτι κλίμαξί τισι καὶ γεφύραις ἔοικε ταῦτα τὰ 1. μουσικῶν P μωσικᾶς CμNΓ — ταῦτα δὲ P — 2. 3. περὶ γ. ἀδ. G1 om. — 4. Πλ.] epin. 13 — τριςκαιδ.] βιβλίου add. Γ τρεῖς καὶ δ. H — 5. ὅνπερ CΝΓ — 6. περισκοπεῖ om. σκοπεῖ SΝΓ — καὶ διορίζεται om. PCμ — 7. χρὴ] δεῖ PCμH — ὄντως om. PC — 8. τὰ G2 ex το//// [τοὺς?] — προλεχθέντα καὶ διαβεβαιωθέντα SΗΝΓ. διαλεχθ. μ. προβ. C, πρὸς διαλ. καὶ διαβ. P — 11. ὁμολογίαν CμSΗΝΓ Io. Phil. κε — μίαν om. H, εἶναι μίαν καὶ ἀναφ. μ — 13. ὁ λεγόμενας μ — τὰ πάντα SH ἅπαντα ΝΓ — 14. μαν- θάνῃ ΝΓ — τούτ. ἁπ. SHN τὸ τούτ. ἁπ. Γ —- 15. ἄλλος mC — τὴν φιλ. ΝΓ — 17. ταῦτα τὰ G, ταῦτα γὰρ τὰ m — 20. τούτ. δὴ S — τὸν σοφ. H — 21. τε] ἄμα S — 22. ὅτι] ὡς — τισιν ἢ SΝ ἢ καὶ Γ — ἐοίκασι ΝΓ μαθήματα διαβιβάζοντα τὴν διάνοιαν ἡμῶν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν καὶ δοξαστῶν ἐπὶ τὰ νοητὰ καὶ ἐπιστημονικὰ καὶ ἀπὸ τῶν συντρόφων ἡμῖν καὶ ἐκ βρεφῶν ὄντων συνήθων ὑλικῶν καὶ σωματικῶν ἐπὶ τὰ ἀσυνήθη τε καὶ ἑτερόφυλα πρὸς τὰς αἰσθήσεις, τῇ δὲ ἀυλίᾳ καὶ ἀιδιότητι συγγενέστερα ταῖς ἡμετέραις ψυχαῖς καὶ πολὺ πρότερον τῷ ἐν αὐταῖς νοητικῷ. καθὰ καὶ ὁ παρὰ Πλάτωνι ἐν τ πολιτείᾳ Σωκράτης τοῦ προςδιαλεγομένου αἰτίας τινὰς εὐλόγους ἐπιφέρειν δοκοῦντος τοῖς μαθήμασιν, ὡς εὔχρηστά εἰσι πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον, ἡ μὲν ἀριθμητικὴ πρός λογισμοὺς καὶ διανομὰς καὶ συνειςφορὰς καὶ ἀμείψεις καὶ κοινωνίας, ἡ δὲ γεωμετρία πρὸς στρατοπεδεύσεις πόλεών τε καὶ ἱερῶν συγκτίσεις καὶ γεωμορίας, ἡ δὲ μουσικὴ πρὸς ἑορτὰς καὶ θυμηδίας καὶ θεῶν θρησκείας, σφαιρικὴ δὲ καὶ ἀστρονομία πρὸς γεωργίας τε καὶ ναυτιλίαν καὶ τὰς ἄλλας καταρχὰς τῶν πράξεων εὐχερείας καὶ ἐπιτηδειότητας προδηλοῦσα, P ἐπιπλήττων φησίν· ὡς ἡδὺς εἶ, ὅτι ἔοικας δεδιέναι, μὴ ἄρα ἄχρηστα ταῦτα τὰ μαθήματα προςτάττοιμι· τὸ δέ ἐστι παγχάλεπον, μᾶλλον δὲ ἀδύνατον· ὄμμα γὰρ τῆς ψυχῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηἡμῶν 1. τὴν δ. S — 4. ὄντων] ἔτι SΝΓ, ὄντ. ἔτι H — 5. τε] om. ΝΓ, μὲν CμS — 7. πρῶτον P — τῶν . . . νοη- τικῶν P, τῷ . . . νοητῷ ΝΓ — 8. Πλᾴτ. cf. polit. VII, 9, 10. — 10. τοῖς μαθ. δοκ. ΝΓ — εἰσι] ἐστι Γ — 12. διαν. καὶ λογ. ΝΓ — 13. στρατοπ ///δεύσ G καὶ add. CμS — 14. συγκήσεις P συγκίσεις S — 16. καὶ ἀστρ. om. S — 17. γε- ωρ///γίας G -αν SΝΓ — ναυτιλίας C — 18. εὐχερείας Gm εὐχρείας P, in mg.: γρ. εὐκαιρίας, quod schol. in ceteros inrepsit. — ἐπιτηδειότητος P — προδηλοῦσαι G2 -ούσας S — 19. εἶ] ὦ λῷστε add. C λῶστε μ — 19. 20. ἔοικε δεδιέ- ται P — 20. ἄχρηστον P — ταῦτα om. μ τὰ μαθ. ταῦτα ΝΓ — 22. τῆς om. C δευμάτων ἀποτυφλούμενον καὶ κατορυττόμενον διὰ τούτων μόνων ἀναζωπυρεῖται καὶ ἀνεγείρεται κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων σωματικῶν ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἡ περὶ τοῦ παντὸς ἀλήθεια ὁρᾶται.

ε. Πάλιν δὲ ἐπὶ τῆς μουσικῆς· οὐ γὰρ μόνον V. 10. Phil. λθ —μα. — Boëth. I. 1. 1. πρεσβύτερος Ast. — 3. τὸ om. G1m, add. G2 — 5. πάντα G1m, -ως G2 cet. — 7. οὐκ G2 — 8. συνεπιφέρε- ται μουσικός — 10. τὴν om. SC — 11. ταύτη om. SC — 12. διπλάσιον] ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσμον add. CS — 13. ἢ ὀκταπλ. om. C — ἢ ἡμιόλ. om. H — ὃ] ὧν G2SH — 14. λέγων P — ἑκαστω G [ν?] — 15. τὰ τοι.] ταῦτα CS — 16. τε] καὶ add. G — τι om. P — 18. ὑποκειμένου om. CS — 19. τῶν om. P — ὁμωνύμων — 21. 22. συνεπιφέρεται . . . οὐ om. m — 22. ἐκείνῃ] ὑπʼ ἐκείνης CS V, 23. μόνον om. P ὅτι προγενέστερον τὸ καθʼ αὑτὸ τοῦ πρὸς ἄλλο, καθάπερ τὸ μέγα τοῦ μείζονος καὶ τὸ πλούσιον τοῦ πλουσιωτέρου καὶ ὁ ἄνθρωπος τοῦ πατρός, ἀλλʼ ὅτι καὶ αἱ μουσικαὶ συμφωνίαι διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν κατὰ ἀριθμόν εἰσιν ὠνομασμέναι· ὁμοίως καὶ τοὺς άρμονικοὺς λόγους ἀριθμητικοὺς πάντως ἔχουσιν, ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, ἡ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, ἡ δὲ διὰ πασῶν διπλάσιος, τριπλάσιος δὲ ἡ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε, τετραπλάσιος δὲ ἡ τελειοτάτη ἡ δὶς διὰ πασῶν. ἐκδηλότερόν γε μὴν ἡ σφαιρικὴ διʼ ἀριθμητικῆς τυγχάνει πάντων τῶν προςηκόντων αὐτῇ σκεμμάτων οὐ μόνον, ὅτι γεωμετρίας μεταγενεστέρα ἐστιν (ἡ γὰρ κίνησις φύσει μετὰ τὴν μονήν), οὐδʼ τι ἁρμονίας ἐκ παντὸς ἐμμελοῦς τὰ τῶν ἀστέρων κινήματα τέτευχεν, ἀλλʼ ὅτι καὶ ἀριθμῶν περιόδοις καὶ ποσότησιν ἀνατολαί τε καὶ δύσεις καὶ προποδισμοὶ καὶ ἀναποδισμοὶ καὶ ἐπιπροςθήσεις καὶ φάσεις παντοῖαι διαρθροῦνται. ὡς οὖν προγενεστέρας φύσει καὶ τιμιωτέρας καὶ πρεσβυτέρας ὡςανεὶ μητρὸς καὶ τιθήνης καλῶς προτέραν τὴν τεχνολογίαν ὑπεστησάμεθα, τὴν δὲ ἀρχὴν τῆς τεχνολογίας τοῦ σαφοῦς χάριν ἐντεῦθεν ποιησόμεθα.

Ϛ. Πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον ὑπὸ φύσεως ἐν τῷ κόσμῳ διατεταγμένα κατὰ μέρος τε καὶ ὅλα φαίνεται κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τῆς προνοίας καὶ τοῦ τὰ ὅλα δημιουργήσαντος νοῦ διακεκρίσθαι τε καὶ κεκοσμῆσθαι βεβαιουμένου τοῦ παραδείγματος οἷον λόγον προχαράγματος ἐκ τοῦ ἐπέχειν τὸν ἀριθμὸν προυποστάντα ἐν τῇ τοῦ κοσμοποιοῦ θεοῦ P διανοίᾳ, νοητὸν αὐτὸν μόνον καὶ παντάπασιν ἄυλον, οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως τὴν ἀίδιον, ἵνα πρὸς αὐτὸν ὡς λόγον τεχνικὸν ἀποτελεσθῇ τὰ σύμιπαντα ταῦτα, χρόνος, κίνησις, οὐρανός, ἄστρα, ἐξελιγμοὶ παντοῖοι. ἀναγκαῖον ἄρα, τὸν ἐπιστημονικὸν ἤδη ἀριθμὸν ἐπὶ τῶν τοιούτων ὑπάρχοντα καθʼ ἑαυτὸν ἡρμόσθαι καὶ οὐχ ὑπ᾿ ἄλλου, ἀλλʼ ὑφ᾿ ἑαυτοῦ. πᾶν δὲ ἡρμοσμένον ἐξ ἐναντίων πάντως ἥρμοσται καὶ ὄντων γε· οὔτε γὰρ τὰ μὴ ὄντα ἁρμοσθῆναι οἷά τε οὔτε τὰ ὄντα μέν, ὅμοια δὲ ἀλλήλοις, οὔτε τὰ διαφέροντα μέν, ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα· ὑπολείπεται δὴ τά, ἐξ ὧν ἁρμόζεται, καὶ ὄντα εἶναι καὶ διάφορα καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχοντα. ἐκ τοιούτων ἄρα καὶ ὁ ἐπιστημονικὸς VI. 10. Phil. μβ—να. — Boëth. I. 8. VI, 1. ΠάνταG2 in ras. (-ως ?) — 2. τεταγμένα S — 5. κο- σμῆσθαι P διακεκ. CS κατακεκ. — διαβεβ. P — 6. ἐκ τοῦ pro τῷ, quod in edit. Wotfl. scripsi, e P restitui: „ eo, quod numerus imaginis instar est“; καὶ οἷον Gm; post λόγον add. καὶ G2 παράδ. ἐκ τοῦ οἷον ἀρχῆς λόγον πρὸ χαράγματος P οἷον ἀρχὴν καὶ λόγον προχ. C, idem omisso οἷον S οἷον post λόγον H καὶ οἷον ἀρχῆς λόγον καὶ προχ. Γ ἐκ τοῦ ἀρχῆς λόγον καὶ οἷον προχ. coni. Ast. p principale in animo condi- toris exemplar Boëth. — 8. αὐτὸν] ὄντα add. CS αὐτομόνον G — 9. τὴν ἀιδ. Gm καὶ ἀίδ. Cμ om. cet. — 10. ἀποτε- λεσθείη CS — 12. τὸν ἐπιστ.] καὶ αὐτὸν praemittunt Cμ — ἤδη] δὴ CSH — 15. τὸ ἡρμοσμ. CS — πάντα m — 18. ἄλλογα P — 20. ἐκ τούτων P ἀριθμός· ἔστι γὰρ τὰ ἐν αὐτῷ πρώτιστα εἴδη δύο οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος καὶ διαφέροντα ἀλλήλων καὶ οὐχ ἑτερογενῆ, περιττὸν καὶ ἄρτιον, καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαιτῆς καὶ θείας φύσεως διηρμοσμένα ἀλλήλοις ἀχωρίστως καὶ ἑνοειδῶς, ὡς αὐτίκα εἰσόμεθα.

ζ. Ἀριθμός ἐστι πλῆθος ὡρισμένον ἢ μονάδων σύστημα ἢ ποσότητος χύμα ἐκ μονάδων συγκείμενον, τοῦ δὲ ἀριθμοῦ πρώτη τομὴ τὸ μὲν ἄρτιον, τὸ δὲ περιττόν. ἔστι δὲ ἄρτιον μέν, οἷόν τε εἰς δύο ἷσα διαιρεθῆναι μονάδος μέσον μὴ παρεμπιπτούσης, περιττὸν δὲ τὸ μὴ δυνάμενον εἰς δύο ἶσα μερισθῆναι διὰ τὴν προειρημένην τῆς μονάδος μεσιτείαν. οὗτος μὲν οὖν ὁ ὅρος ἐκ τῆς δημώδους ὑπολήψεως· κατὰ δὲ τὸ Πυθαγορικὸν ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος, μέγιστα μὲν πηλικότητι, ἐλάχιστα δὲ ποσόττι, κατὰ φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀντιπεπόνθησιν, περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο παθεῖν, ἀλλʼ εἰς ἄνισα δύο τεμνομενος. ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸ παλαιὸν ἄρτιός ἐστιν ὁ καὶ εἰς δύο ἶσα τμηθῆναι δυνάμενος καὶ εἰς ἄνισα δύο. πλὴν VII. lo. Phil. νβ— ξα. — lambl. p. 11 seq. — Theon. 3—5. — Boëth. I. 3. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 4. 5. 2. τὴν τῆς γῆς ποσότητα P — 4. θαυμαστοῦ P — 5. ἡρμοσμ. P ἐνηρμοσμ. CSH VΙΙ. Περὶ ἀριθμοῦ m; in G lacuna, quam G2 hisce expleuit uerbis: Ὅρος ἀριθμοῦ καὶ διαίρεσις. — Ὅροι ἀριθμο καὶ τῶν εἰδῶν αὐτοῦ μ Ὅρος ἀριθμρῦ — 7. Ἁπλῶς γὰρ ἀριθμ. SH — πλῆθ. ὡρ. ἢ om. ἢ om. S — 8. χύμα G, χῦμα ceteri, cf. Drac. Straton. 57. 6; 95. 25. 100. 20. — 10. ἔστι δὲ om. S — ἄρτιον cf. Eucl. VII, ὅρ. Ϛ, ζ — 11. μέσης CSH ἐν μέσῳ Io. Ph. νδ — 12. μερισθ.] διαιρεθῆναι CSΗ — 18. τὴν φυσ. CSH — 22. τμεθῆναι P τῆς ἐν αὐτῷ ἀρχοειδοῦς δυάδος θάτερον τὸ διχοτόμημα μόνον ἐπιδεχομένης τὸ εἰς ἶσα, ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ παρεμφαίνων τὸ ἕτερον εἶδος μόνον τοῦ ἀριθμοῦ, ὅπως ἂν διχασθῇ, ἀμέτοχον τοῦ λοιποῦ· περισσὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καθʼ ἡντιναοῦν τομὴν εἰς ἄνισα πάντως P γινομένην ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων τὰ τοῦ ἀριθμοῦ δύο εἴδη οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων, ἀλλὰ πάντοτε σὺν ἀλλήλοις. ἐν δὲ τῷ διʼ ἀλλήλων ὅρῳ περιττός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφʼ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ, τουτέστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ἄρτιος δὲ ὁ μονάδι διαφέρων ἐφʼ ἑκάτερον περισσοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστι μονάδι μείζων καὶ μονάδι ἐλάσσων.

η. Πᾶς ἀριθμὸς τῶν παῤ ἑκάτερα συντεθέντων ἅμα ἥμισύς ἐστι καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν κειμένων ὁμοίως ἥμισύς ἐστι καὶ ἔτι τῶν ὑπὲρ ἐκείνους καὶ τοῦτο μέχρις οὗ δυνατόν. μονωτάτη δὲ ἡ μονάς διὰ τὸ μὴ ἔχειν ἑκατέρωθεν αὐτὴν δύο ἀριθμοὺς ἑνὸς μόνου τοῦ παρακειμένου ἥμιούς ἐστιν· ἀρχὴ ἄρα πάντων φυσικὴ ἡ μονάς. καθʼ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου τὸ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸ δὲ περισσάρτιον, τὸ δὲ ἀρτιοπέριττον· ἐναντία μὲν ἀλλήλοις VIII. lo. Phil. ξβ— οη. — lambl. p. 26 —29. — Theon. 5. 8. — Boëth. l. 4–6. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 5. 6. 2. ἐπιδεχομένου G1 -όμενος G2 — τομῇ om. H — 5. ////ἄριθ G — ἄνισον P — 6. ἐμφαίνοντα, τοῦ ἀρ. P — 8. ἀλλήλων] G2 del. ν. — 9. ἀριθμοῦ om. H — 11. ἑκά- τερα C ἑκάτερα τὰ μέρη lo. Ph. ξα — ἀριθμοῦ om. SH — 12. μονάδι om. P — ἐλ. τοῦ περισσοῦ H VIII. Ὅτι φύσει ἀρχή ἐστιν ἡ μονάς τοῦ ἀριθ. μοῦ H in mrg. — 13. ἑκάτερα] ἑκατέρου lo. Phil. ξβ κειμένων add. C — συντεθειμένων — 14. 15. καὶ τῶν . . . . ἐστι om. G1, in mg. G2 — 17. αὐτῆς S — 19. μονὰς καθ᾿ αὑτό διαίρεσις δὲ P ὥςπερ ἀκρότητες τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέρισσον, κοινὸν δὲ ἀμφοτέρων ὥςπερ μεσότης τὸ περισσάρτιον.

Ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἄριθμός ἐστιν ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἶσα δυνάμενος διχασθῆναι κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν καὶ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν ὁποτερονοῦν τοιοῦτον ἔχων δίχα διαιρετόν καὶ πάλιν κατὰ τὰ αὐτὰ τῶν ἐν ἐκείνῳ μερῶν ὁποτερονοῦν εἰς δύο ἶσα διαιρετὸν καὶ μέχρις ἂν εἰς τὴν φύσει ἄτομον μονάδα καταντήσῃ ἡ τῶν ἀεὶ ὑπομερισμῶν διαίρεσις. οἷον ὑποδείγματος χάριν ὁ ξδ· τούτου γὰρ ἥμισυς ὁ λβ καὶ τούτου ὁ ιϚ καὶ τούτου ἥμισυς ὁ η καὶ τούτου ὁ δ καὶ τούτου ὁ β, ἔπειτα τὸ τελευταῖον μονὰς τούτου ἡμίσεια, ἥτις φύσει ἄτομος οὖσα οὐκέτι ἐπιδέχεται τὸ ἥμισυ. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ καί, ὅ τι ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ, πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμον εἶναι τὴν προςηορίαν, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῇ ποσότητι τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμον, μηδέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν ἑκάτερον τούτων. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος ὠνόμασται, ὅτι αὐτὸς ἄρτιος ὢν καὶ τὰ μέρη καὶ τὰ τῶν μερῶν μέρη μέχρι μονάδος ἄρτια 1. καὶ τὸ] τὸ om. G — 3. περισσάρτιον] τοῦ τε ἀρτιά- κις ἀρτίου καὶ ἀρτιοπερίσσου add. S VIII, 4. Ὅρος τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου G in mrg. Περὶ ἀρτιάκις ἀρτίου CH, cf. Eucl. VII, ὅρ. η; lambl. p. 37. 41; lo. Phil. ξη, praef. p. V. — 5. διχασθῆναι] τμηθῆναι SH — 7. ἔχον GP, om. C — αἱρετὸν G1, δι add. G2 — 8. ἐν om. G1P, add. G2SH — ἐκείνων m ἐκείνου C — 9. φύσ/// G1 φύσει G2 φύσιν P — 10. ὑποδιαίρεσις S — 11. χάριν] ἔστω add. C — τὸ ἥμισυ — 12. ἥμισυς om. C — 13. ὁ β] πάλιν praem. SH — εἶτα S — 13. 14. τούτου ἥμισυ H — 14. παραδέχεται S — 17. τῇ προςηγορίᾳ G2CSH, αὐτῇ add. S — 18. ἀρτιάκις om. P — 19. δὲ om. G — 20. μήτι G2CSH μὴ ἄρα lo. Phil. ξζ — ἄρα om. C — 21. 22. καὶ τὰ μέρη om. C ἀεὶ ἔχει ὀνόματί τε καὶ δυνάμει· καὶ ἑτέρως πᾶν μέρος, ὃ ἐὰν ἔχῃ, ἀρτιάκις ἄρτιον κατὰ τὸ ὄνομά ἐστι, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι κατὰ τὴν P δύναμιν. γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ὥςτε μηδένα διαφυγεῖν, ἀλλʼ ἐξ ἑνὸς πάντας ὑποπίπτειν αὐτῇ, εἰ γένοιτο ἂν οὕτως· ἀπὸ μονάδος ὡς ἀπὸ ῥίζης κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον προχωροῦντι μέχρις ἀπείρου, ὅσοι καὶ ἂν γένωνται, οὗτοι πάντες ἀρτιάκις ἄρτιοι εἰσιν, ἄλλους δὲ παρὰ τούτους ἀμήχανόν ἐστιν εὑρεῖν, οἷον πρὸς ὑπόδειγμα α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ, φιβ καὶ ἐφ᾿ ὁσονοῦν. ἕκαστος δὴ τῶν προκειμένων γέγονε μὲν κατὰ τὸν ἀπὸ μονάδος διπλασίονα ἀεὶ λύγον, ὑπάρχει δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καὶ πᾶν δὲ μέρος, ὃ ἂν εὑρεθῇ ἔχων, πάντως καὶ παρώνυμόν ἐστιν ἑνὸς τῶν ἐντὸς αὐτοῦ καὶ μονάδος σύστημα ἐν τούτῳ ὑπάρχει τοσοῦτον, ὁπόσος τῶν ἐντὸς αὐτοῦ εἷς τις ἐστί, κατὰ ἀντιπερίστασιν μέντοι καὶ ἀμοιβήν, ἐὰν μὲν ὦσιν ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιασμῶν· μία μὲν οὐχ οἵα τε μεσότης εὑρεθῆναι, πᾶντως δὲ δύο, ἀφʼ ὧν ἀρχομένη ἡ ἀντιπερίστασις καὶ ἀμοιβὴ μερῶν πρὸς δυνάμεις καὶ 1. ἀεὶ om. — ἑτέρως] ὅτι add. PSH — 2. ἐὰν GP. ἂν cet. — 3. ἔσται H — ἐστι om. H — 2. 3. ἀρτιάκις . . . αὐτὸ καὶ om. C — 5. διαφεύγειν ἐκφυγεῖν (διαφεύ- ξεται) Io. Phil. οβ — ἐξ ἑνὸς] ἑξῆς G2SH, ἐξ ἑν. in mrg. — πάντα H — 6. εἰ Gm καὶ PH, om CS — ἀπὸ μον. ὡς om. P — 8. καὶ om. CSH — ἂν om. P — γένοιντο CS γίνωνται P — 10 ἐστιν om. CSH — εὑρεῖν om. G m — 12. δὴ] γὰρ mC δὲ H — προκειμ.] προειρημένων C — 13. ἀεὶ om. P — 16. μονάδων CSH — 17. ἐν τούτῳ πρὸς τοῦτο S om. C — τοσούτων C — ὁπόσον P -ων CSH — 19. μὲν ὦσιν] μέλλωσιν P — ἄρτιαι S — 20. οὐχ] οὖν praem. G1, del. G2 δυνάμεων πρὸς μέρη προχωρήσει τάξει, πρῶτον μὲν ἐπὶ τοὺς παῤ ἑκάτερα δύο, εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπερκειμένους ἑκατέρωθεν, μέχρις ἂν ἐπὶ τοὺς ἀκροτάτους ἀφίκηται, ὥςτε καὶ τὸ ὅλον ἀντιπαρωνυμεῖσθαι τῇ μονάδι καὶ τὴν μονάδα τῷ ὅλῳ· οἷον λόγου χάριν, ἐὰν τὸν ρκη θῶμεν τὸν μέγιστον, ἀρτιογενεῖς ἔσονται αὐτῷ αἱ ἐκθέσεις τῶν ὅρων, ὀκτὼ γὰρ αἱ μέχρις αὐτοῦ πᾶσαι, καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν, ἀδύνατον γὰρ ἐν ἀρτίῳ, ἀλλʼ ἀναγκαίως δύο, τήν τε η καὶ τὴν ιϛ, αἵτινες ἀνταποκρινοῦνται ἀλλήλαις παρὰ μέρος· τοῦ γὰρ ὅλου τοῦ ρκη ὄγδοον μέν ἐστι τὰ ιϛ, ἔμπαλιν δὲ ἑκκαιδ έκατον τὰ η· καὶ προιόντες ἐφʼ ἑκάτερον τέταρτον μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ δ, καὶ πάλιν ἥμισυ μὲν τὰ ξδ, ἑξηκοστοτέταρτον δὲ τὰ β, καὶ τελευταῖον κατὰ τὰς ἀκρότητας ἑκατοστοεικοστόγδοον μὲν ἡ μονάς, ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ἔμπαλιν τὰ ρκή. ἐὰν δὲ ἐν περισσοῖς ὅροις ἡ ἔκθεσις γένηται, οἷον ἐν ἑπτά, προχειρισαμένων ἡμῶν τὰ ξδ, ἡ μεσότης ἀναγκαίως μία ἔσται κατὰ τὴν τῶν περισσῶν P φύσιν καὶ αὐτὴ μὲν ἑαυτῇ ἀνταποκρινεῖται διὰ τὸ σύζυγον μὴ ἔχειν, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν αὐτῆς ἀεὶ ἀλλήλοις, μέχρις ἂν εἰς τὰ ἄκρα ἡ ἀνταπόκρισις τελευτήσῃ· οἷον ἑξηκοστοτέταρτον μὲν ἡ μονὰς ἔσται, 2. ἐπὶ τὰ P — εἶτα ἐπὶ] εἶτα ὑπὲρ GmPC εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπὲρ ἐκείνους ὑπερκ. S — 6. ἀρτιογενεῖς] ἀρτιοπλη- θεῖς C -πλησθεὶς μ -ταγεῖς mSΓ -παγεῖς H — 7. αὐτοῦ CS — 9. 10. τὴν] τὸν bis G2 CSH — ἀλλῆλαι P — 11. τῶν ρκη P — 12. ἑξκαιδ. mG2 — προιόντες GP (intell. οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι . . ἔχουσι cf. Io. Phil. ογ.) προιόντι ceteri. — 13. ἑκάτερα C — τριακοστόδυο G1 ν add. G2 — 14. ἑξηκοντατέταρτον G1P — 15. ἐκατοστοεικόγδοον P — 18. προχειρησαμένων P — 19. μεσότης] πάντως add. H — 20. αὐτὴ] αὕτη P ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ξδ, καὶ ἥμισυ μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ β, καὶ τέταρτον μὲν τὰ ιϚ, ἑκκαιδ έκατον δὲ τὰ δ, ὄγδοον δὲ ἄνευ ἀντιδιαστολῆς αὐτὰ τὰ ή. συμβέβηκε δὲ πάσαις ταῖς ἐκθέσεσι συντεθειμέναις σωρηδὸν ἴσαις εἶναι τῷ μετʼ αὐτὰς παρὰ μονάδα, ὥςτε ἀναγκαίως ἡ ὁπωςοῦν συγκεφαλαίωσις περισσὸς ἀριθμὸς ἔσται· αἰεὶ γὰρ ὁ παρὰ μονάδα ἶσος τῷ ἀρτίῳ περισσός ἐστι. χρησιμεύσει δʼ ἡμῖν αὕτη ἡ ἐπίγνωσις, ὅσον οὐδέπω, πρὸς τὴν τῶν τελείων ἀριθμῶν σύστασιν· ὑποδείγματος δὲ χάριν τῷ σνϚ οἱ ἐντὸς αὐτοῦ μέχρι μονάδος ἶσοί εἰσι συγκεφαλαιωθέντες παρὰ μίαν μονάδα, τῷ δὲ ρκη τῷ εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν οἱ ἐντὸς αὐτοῦ πάντες ὁμοίως εἰσὶν ἶσοι παρὰ μίαν μονάδα καὶ τοῖς συνεχέσι δὲ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ οἱ ἐντός, καθὰ καὶ αὐτὴ ἡ μονὰς παρὰ μονάδα ἴση τῷ μετʼ αὐτήν, ὅ ἐστι τῷ β, καὶ οἱ συναμφότεροι παρὰ μονάδα τῷ μετʼ αὐτοὺς καὶ οἱ σύντρεις παρὰ μονάδα τῷ ἑξῆς, καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον προχωροῦν ἄπταιστον εὑρήσεις. κἀκεῖνο δὲ μεμνῆσθαι ἀναγκαιότατον· ἐὰν μὲν γὰρ ἄρτιοι ὦσιν αἱ τοῦ προκεχειρισμένου ἀρτιάκις ἀρτίου ἐκθέσεις, πάντως τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἄλληλα πολυπλασιαζομένων 1. κατὰ τὴν μον. om. SH μονάδαν P — τὰ ξδ C — 2. ἑξκαιδ. mG2 — 3. ἀντιδιαστολῆς] ἀντὶ G2 ex al- tero ἄνευ corr., διαστολῆς SH — 4. ή] om. G1 ὀκτώ add. G2 — συντιθεμέναις C — 5. σωρηδ G1 ὸν G2 — ἴσας C — εἶναι] ἐνὶ P ἑνὶ HΓ, qui post μονάδα add. γίνεσθαι — 6. ὁποσονοῦν G2 ὁποσωνοῦν S ὁποσοῦν C — 7. ἐστι] ἔσται SH — μονάδ G1 -α G2 — χρησιμεύσηῃ P — εύει CSH — 9. γνῶσις C — 11. τῶ [τῶν] σνϚ G τῶν ??νς — αὐ- τοῦ] πάντες add. CSH — ἄχρι H — εἰσὶ om. S — 12. μίαν om. S — 13 ὑπʼ] μετ᾿ — πάντες] μέχρι μονάδος add. — 14. καὶ ἐν τοῖς — 18. σὺν τρεῖς P(G1 ?) — 20 ἄρτιαι G2S — 21. προκεχειρ. om. S — ἀρτίου] ἀριθ- μοῦ add. H συντελούμενον ἶσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν μέσων πρὸς ἄλληλα, ἐὰν δὲ περισσαί, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πρὸς ἑαυτό· ἅπαξ γὰρ ρκη ἐν ἀρτίαις ἐκθέσεσιν ἶσόν ἐστι τῷ ὀκτάκις ιϚ καὶ ἔτι τῷ δὶς ξδ καὶ πάλιν τῷ τετράκις λβ καὶ τοῦτο διʼ ὅλου· ἐν δὲ περισσαῖς ἐκθέσεσιν ἶσον τὸ ἅπαξ ξδ τῷ δὶς λβ καὶ τοῦτο τῷ τετράκις ιϚ καὶ τοῦτο πάλιν τῷ ὀκτάκις η μόνον μέσου πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου.

θ. Ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος ὤν, ἀντιδιαστελλόμενος δὲ ἰδικῶς τῷ προφρασθέντι ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ὁ τὴν μὲν εἰς δύο ἶσα διαίρεσιν ἐπιδεχόμενος κατὰ τὸ κοινὸν γένος, τῶν μέντοι μερῶν ἑκάτερον εὐθὺς εἰς δύο ἶσα ἄτμητον ἔχων, οἷον P ὁ ϛ, ὁ ι, ὁ ιδ, ὁ ιη, ἡ κβ, ὁ κϛ, οἱ ὅμοιοι· μετὰ γὰρ τὸ διχασθῆναι ἕκαστον τούτων ἀδίχαστα εὐθὺς τὰ μέρη εὑρίσκεται. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ πᾶν, ὃ ἐὰν εὑρεθῇ μέρος ἔχων, ἐναντιώνυμον τῇ δυνάμει εἶναι καὶ πᾶσαν μέρους ποσότητα ἐναντιοδύναμον τῷ ὀνόματι, μηδέποτε δὲ μηδενὶ τρόπῳ IX. Io. Phil. οθ— πη. — lambl. p. 29—31. — Theon. 9. — Boëth. l. 7. — Schol. NΓ Nobb. p. 6. 1. ἔστι S — ὑπὸ] ἀπὸ P — 3. ὁ ρκη PC — ἐν ἀρτ.] ἐναντίαις H — 4. ἴσος PC — 7. πάλιν om. H — 8. μόνον G μόνου τοῦ ceteri — ἑαυτὸ μ — πολλαπλασιαζ. P, ante μόνον G2, πολυπλ. ΗΓ, om. G1mCμS IX. Περὶ ἀρτιοπερίσσου mCμ H Περὶ τοῦ ἀρ- τιοπ. S — 10. εἰδικῶς CSH — 13. ἑκάτερον G2 [α ?] — εὐθὺς om. S — 15. ὁ Ϛ, ὁ ι om. H — 16. καὶ οἱ ὅμ. CH — 17. εὑρεθήσεται (εὑρίσκ. in mrg.) — 18. ἂν CSH — ἔχον Gm — 19. εἶναι om. H — πᾶσαν μέρ. mCS πᾶσαν τὴν τοῦ μ. G πᾶσαν τῆν τοῦ μ. PH — 20. δὲ om. G ὁμογενῆ τὴν δύναμιν τοῦ μέρους τῷ αὐτῷ ὀνόματι ὑπάρχειν· οἷον ἐφʼ ἑνὸς τοῦ ιη τὸ μὲν ἥμισυ ἀρτιακῶς ὠνομασμένον ὑπάρχει θ, περισσὸν τῇ δυνάμει, τὸ δὲ τρίτον ἔμπαλιν περισσῶς ὀνοματοπεποιημένον Ϛ ἄρτιον τῇ δυνάμει· τὸ δὲ ἐξ ἀντιστροφῆς γ καὶ τὸ θον β, κἀπὶ τῶν ἑτέρων ὁ αὐτὸς εὑρεθήσεται τρόπος. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο τοιαύτης προςηγορίας τέτευχεν, ὅτι ἄρτιος ὢν περισσῶν τῶν ἡμισευμάτων εὐθὺς τετύχηκε. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων, ὅ ἐστι περισσῶν, εὐτάκτως ἐκτεθέντων, μέχρις οὗ βούλει, δυάδι πολυπλασιασθέντων· οἱ γὰρ ἀποτελούμενοι γένοιντο ἂν τάξει οὗτοι Ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ, λ, καὶ μέχρις ἂν προχωρεῖν ἐθέλῃς· διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων τετράδι οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγὺς ἐλαττόνων· αἴτιον δὲ τούτου, ὅτι οἱ ἐξ ἀρχῆς γνώμονες αὐτῶν, τουτέστιν οἱ περισσοί, δυάδι ἀλλήλων ὑπερ φέροντες δυάδι ἐμηκύνθησαν, ἵνα οὗτοι γένωνται, δυὰς δὲ δυάδα πολυπλασιάσασα τετράδα ποιεῖ. ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπʼ ἀλλήλων, τετράδι δὲ ὑπερέχοντες, τρεῖς δὲ ὑπερβαίνοντες, δυάδι δὲ μηκυνομένων 1. αὐτοῦ S ἑαυτοῦ C — 3. ὀνομασμ. G — τὸ δὲ θ περ. S ὁ δὲ θ περισσὸς H — 4. ὠνοματοπεποιημένον G — 5. δυ- νάμει Gm (H in mrg.) ὑποστάσει PCSH — G1 ον G2 — ἀντιστρόφου mC ἀναστρόφου P ἀναστροφῆς S — 6. θG1 -ον G2 — 7. μήτι ἄρα S — 12. διάδι G — πολλαπλασ. CS — 15. ἐθέλοις C θέλῃς S — 16. ἐγγὺς] μ add.: σχόλιον τινὸς ἀνωνύμου· ἀναγκαῖον κτλ. seq. Io. Phil. Schol. πδ. — 18. ὑπερέχοντες C — 19. ///μικ///ύνθησαν G1 ι in η mut. G2 — γενῶνται P γεννῶνται S — 23. τρεῖς] τριάδι PH — δυάδι δὲ] δὲ om. G τῶν περισσῶν γεννώμενοι. ἐναντιοπαθεῖν δὲ λέγονται τοῖς ἀρτιάκις ἀρτίοις, ὅτι τούτων μὲν τὸ μέγιστον ἄκρον μόνον διαιρετόν, ἐκείνων δὲ τὸ ἐλάχιστον μόνον ἦν ἀδιαίρετον· καὶ δὴ καί, ὅτι ἐπʼ ἐκείνων μὲν ἡ ἀντιπερίστασις τῶν μερῶν ἀπʼ ἀκροτήτων εἰς μεσότητα ἢ μεσόσητας ἀπετέλει τὸ ὑπό‾ ἶσον τῷ ἀπό‾ ἢ τῷ ὑπό‾· τούτων δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀμοιβὴν καὶ ἐξέτασιν ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον τῶν δύο ἄκρων συντεθέντων, ἢ εἰ δύο εἴη τὰ μέσα, καὶ αὐτὰ ἶσα ἀμφότερα τοῖς δυσὶν ἄκροις.

ι. Περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου ἐμφαίνων, κοινὸς ὢν ἀμφοτέρων P τῶν εἰρημένων ὡςανεὶ δύο ἀκροτήτων μία τις ὢν αὐτὸς μεσότης· ὅμοιος γὰρ κατὰ μέν τι τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ ὑπάρχει, κατὰ δέ τι τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, καὶ μὲν τοῦ ἑτέρου ἀπήλλακται, τούτῳ κοινωνεῖ τῷ λοιπῷ, δὲ κοινόν τι ἔχει πρὸς ἕτερον, τούτῳ διαφέρει τοῦ λοιποῦ. ἔστι δέ, ὅταν ἀριθμὸς ἄρτιος X. Io. Phil. πθ — ??ε. — lambl. p. 31—35. — Theon. 10. — Boëth. l. 8. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 6. 7. 1. γενόμενοι C (γεννώμ. in mrg.) procreati Boëth. — 2. ἀρ- τιάκοις ἀρτ. GP — 4. ἦν om. SH — 6. 7. τοῖς ὑπο ἢ τῶ ἀπο G2 τῷ ὑπὸ ἢ ἀπὸ C τὸ ἀπὸ ἶσον τῷ ἀπὸ τῷ μείζῳ ἢ τοῖς ὑπὸ τοῦ μέσου P, in mrg. †. intellegendum τὸ ὑπὸ τῶν ἀκροτητων ἶσον τῷ ἀπὸ τῆς μεσότητος ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μεσοτήτων — 7. τούτων] ἐπὶ praemitt. G2H ἐπὶ τῶν ἀρτιοπερίσσων add. S — 8. ἀντεξέτασιν G2CH καὶ κατ᾿ ἐξέτασιν S — 9. εἰ om. G1m — ἢ καὶ δύο εἰσί P — 10. δύο H X. Περὶ περισσαρτίου codd. tit. om. P — 12. ὢν om. CSH — 13. προειρημένων SH — 15. ὑπάρχει om. H — 16. ἀπήλακται P — 17. ᾧ] ὃ H — τὸν ἕτερον H τὸ C — 18. λοιποῦ] ἑτέρου SH εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι δυνάμενος διαιρούμενα ὁμοίως τὰ ἑαυτοῦ μέρη ἔχῃ, ἔστι δʼ ὅτε καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη, μέχρι μέντοι μονάδος μὴ δυνάμενος τὴν τῶν μερῶν λύσιν ἀγαγεῖν· οἷός ἐστιν ὁ κδ, ὁ κη, ὁ μ· ἥμισυ μὲν γὰρ ἕκα αστος τούτων ἴδιον ἔχει καὶ πάντως ἡμίσους ἥμισυ· ἔστι δʼ ὅτε ἐν αὐτοῖς τις εὑρίσκεται καὶ ἐπὶ πλέον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος εἰς τὰ μέρη, οὐδεὶς μέντοι τὸ παράπαν μέχρι τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος τὰ μέρη μεριστὰ εἰς ἡμίση ἕξει. τῷ μὲν οὖν πλείονας μιᾶς τομῆς ἐπιδέχεσθαι ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιοπερίσσου, τῷ δὲ μὴ ἀπολήγειν ποτὲ εἰς μονάδα αὐτοῦ τὰς τομὰς ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου. συμβέκηκε δʼ αὐτῷ μόνῳ ὑφʼ ἓν τὰ ἑκατέρῳ ἐκείνων ἰδίως συμβεβηκότα καὶ πάλιν ἃ μηδετέρῳ· καὶ γὰρ ἐκείνων ὁ μὲν τὸ μέγιστον μόνον μέρος εἶχε τμητόν, ὁ δὲ τὸ μικρότατον μόνον ἄτμητον, οὗτος δὲ οὐδέτερον· πλείονα μὲν γὰρ τοὺ ἑνὸς τμήματα ἐν τῷ μείζονι μέρει ἔχων ὁρᾶται, πλείονα δὲ τοῦ ἑνὸς ἄτμητα ἐν τῷ ἐλάττονι. καὶ πάλιν ἐστὶν ἐν αὐτῷ τινα μὲν μέρη μὴ ἐναντιωνυμοῦντα ταῖς δυνάμεσι μηδʼ ἑτερογενοῦντα πρὸς 1. διαιρούμενος P — 2. ἔχει P ἔχων C — 2. 3. ἔστι δʼ . . . μέρη om. — 3. ἄχρι H — μέντοι om. G1; tuetur Io. PhiI. ??α — 4. λῦσιν G — 5. ὁ κδ] ὁ ιβ praemittit P — μ] μη PH — 7. ἐν αὐτοῖς] καὶ τῶν ἐν αὐτῷ H — 8. ἐπι- δεχόμενον P — 9. φύσει om. H — 10. ἀτόμου om. S — ἥμισυ P — 11. τομὰς H τὰς τομὰς S — 13. μονάδας H — 16. μόνῳ om. C — ὑφ᾿ ἓν ἔχειν τὰς ἑκ. ἐκείνῳ P — 17. ἃ] τὰ S — μηδετέρῳ] ἔχειν add. G2 — καὶ γὰρ] ὅτι S — 19. οὗτος δὲ οὐδ.] τούτῳ δὲ οὐδέτερον τούτων ὑπάρχει P id. S, om. τούτων — 20. τμήματος P — 20. 21. ἐν τῷ μ. . . . ἄτμητα om. G1mP — 21. ὁρᾶται] ὑπάρχει S — 22. ἐστὶν] πάντως add. G2CSH αὐτὰς κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ἔνεστι δὲ πάντως καὶ ἕτερα ἐναντιωνυμούμενα ἑτερογενῶς ὑπὸ τῶν δυνάμεων κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιοπερίσσου· οἷον ἐν τῷ κδ οὐκ ἐναντιωνυμεῖ μὲν μέρη δυνάμεσι, τέταρτον Ϛ, ἥμισυ ιβ, ἕκτον δ, δωδέκατον β, ἐναντιοπαθεῖ δὲ τρίτον η, ὄγδοον γ, εἰκοστοτέταρτον α· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν παραπλησίως. γεννᾶται δὲ οὗτος ἐφόδῳ τινὶ ποικιλωτέρᾳ σημαίνων τρόπον τινὰ καὶ ἐν τῇ γενέσει αὐτοῦ, ὅτι μῖγμα ἀμφοτέρων ἐστίν· ἐπειδὴ γὰρ ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἐξ ἀρτίων ὑφίσταται τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασίων ἐς ἀεί, ὁ δὲ ἀρτιοπέρισσος ἀπὸ περισσῶν τῶν ἀπὸ τριάδος προιόντων P ἐς ἀεί, ἀναγκαῖον τοῦτον ἐξ ἀμφοτέρων τῶν γενῶν συνυφαίνεσθαι, ὡς κοινὸν ἀμφοτέρων. ἐκθώμεθα δὴ τοὺς ἀπὸ τριάδος περιττοὺς ἰδίᾳ εὐτάκτως ἐν ἑνὶ στίχῳ γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ καὶ ἐφεξῆς, τοὺς δὲ ἀπὸ τετράδος ἀρτιάκις ἀρτίους πάλιν ἐφεξῆς ἐν ἑτέρῳ στίχῳ κατὰ τὴν τάξιν τὴν αὐτῶν δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ καὶ ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀπὸ ὁποτέρου δὴ στίχου (ἀδιάφορον γάρ) τῷ πρώτῳ κειμένῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε ἐξ ἀρχῆς πάντας ἑξῆς τοὺς ἐν τῷ λοιπῷ στίχῳ καὶ τοὺς ἀποτελουμένους σημειοῦ, εἶτα 2. καὶ G2 in ras., καὶ ante ὑπὸ eras. G — 4. οὐκ om. G1mP — μέρος Gm μέρει S — 6. ὄγδ. γ om. H — 7. παραπλησ.] ὁμοίως H — δὲ] καὶ add. P — 8. τινὶ om. H — 10. καὶ ἐξ P — ὑφίστατο mCH nascebantur Boëth. — 11. διπλασίον G — 13. ἐς om. m — 14. συνυφάνεσθαι G συνυφίστασθαι — 17. ιθ] κα, κγ, κε, κζ add. H — 18. ἀρτίου P — 19. ἐν om. G — κατὰ τὴν ἑαυτῶν τάξιν CSH — 21. σκη, ??νϛ P φιβ add. C φιβ, ακδ ΗΓ — 24. πολλαπλ. S πάλιν τοῦ αὐτοῦ στίχου τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, μέχρις οὗ ἔχεις, καὶ τοὺς γινομένους ἀπογράφου· εἶτα τῷ τρίτῳ πάλιν ἀριθμῷ τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, καὶ μέχρις ἂν προχωρῇς, οὐδένες ἄλλοι σοι ἀπογεννήσονται πλὴν οἱ περισσάρτιοι. χάριν δὲ ὑποδείγματος χρησώμεθα τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ στίχου τῶν περισσῶν καὶ πολυπλασιάσωμεν αὐτῷ τοὺς ἐν τῷ ἑτέρῳ στίχῳ τάξει πάντας, τρὶς δ, τρὶς η, τρὶς ιϚ, τρὶς λβ, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου· ἔσονται γὰρ ιβ, κδ, μη, ??Ϛ, οὓς δεῖ σημειώσασθαι ἐν ἑνὶ στίχῳ· εἶτα ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς πάλιν τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ τὸ αὐτὸ ποίει, πεντάκις δ, πεντάκις η, πεντάκις ιϚ, πεντάκις λβ· ἀποτελεσθήσονται γὰρ οἵδε κ, μ, π, ρξ· εἶτα πάλιν τῷ τρίτῳ ἀριθμῷ τῷ ζ τὸ αὐτὸ ποίει, ἑπτάκις δ, ἑπτάκις η, ἑπτάκις ιϛ, ἑπτάκις λβ· οἱ γὰρ γινόμενοί εἰσιν κη, νϚ, ριβ, σκδ, καὶ κατὰ τὰ αὐτά, μέχρις οὗ βούλει, προχωρεῖν συμφωνήσει σοι·

ια. Τοῦ δὲ περισσοῦ καὶ πάλιν καθʼ ὑποδιαίρεσιν διακεκριμένου πρὸς τὸν ἄρτιον καὶ κατὰ μηδὲν XI. Io. Phil. ??Ϛ — ??ζ. — Iambl. p. 35 –37. — Theon. 5. 6. — Boëth l. 9. 10. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 7. 1–8. Schema praebent G2CμSΓ, cf. lambl. p. 35. — 9. πολυπλασιασμοῦ PCSH — 10. τάξις m ἐκτάξῃς P ἐντάξης S — παραλλήλως P — 12. 13. τοῖς ἄκροις ὁ μέσος δι- πλάσει P — 13. εἴη C ᾖ cet. — 14. ἶσσι] εἰσι κατὰ σύνθ. τοῖς δυσὶν ἄκροις H — 16. ἢ τοῖς ὑπὸ — εἴησαν om. H — τὰ] τῶν add. H XI. Περὶ τοῦ περισσοῦ GmH, Διαίρεσις τοῦ περιττοῦ N, Περὶ περισσοῦ ἀριθμοῦ Γ, om. cet. — 19. περ. ἀριθμοῦ πάλιν S — καθʼ ὑποδ. om. H — 20. διακεκριμένου P διακρινομένου C κοινωνοῦντος, εἴπερ ἐκεῖνος μὲν διχὴ εἰς ἶσα διαιρετός, οὗτος δὲ εἰς δύο ἶσα ἀδιαίρετος, τρία ὁμοίως εἴδη εὑρίσκεται ἀλλήλων διαφέροντα, ὧν τὸ μὲν καλεῖται P πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, τὸ δὲ ἀντικείμενον τούτῳ δεύτερο καὶ σύνθετον, τὸ δὲ ἐν μεταιχμίῳ ἀμφοῖν τούτοιν θεωρούμενον ὡς μεσότης ἐν ἀκρότησιν, ὃ καθʼ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον.

ιβ. Δεύτερος δὲ καὶ σύνθετός ἐστιν ἀριθμὸς περισσὸς μὲν διὰ τὸ ἐξ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ γένους διακεκρίσθαι, ἀρχοειδὲς δὲ οὐδὲν ἔχων ἐν ἑαυτῷ· συντεθέντος γὰρ ἑτέρου τινὸς τὴν γένεσιν αὐτὸς ἔσχε· διόπερ συμβαίνει αὐτῷ πρὸς τῷ παρωνύμῳ μέρει ἔτι καὶ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα κεκτῆσθαι, τὸ μὲν παρώνυμον καθὰ καὶ ἐπὶ πάντων μονάδα εἶναι πάντως, τὸ δὲ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα οὐδέποτε μονάδα, ἀλλὰ πάντως ἢ ἐκεῖνον ἢ ἐκείνους, ὧν συντεθέντων ἀπετελέσθη, οἷον 10. Phil. ??η, ??θ. Iambl. p. 37, 38. Theon. 7. — Boëth. I. 11. 2. ὑπʼ om. H — ἑτέρου om. P — 3. συντεθέντος] αὐ- τὸς add. SC — γένηται P — 5. ἑαυτῶν] αὐτῶν PC — 6. ἂν om. GP — 9. προυποκείμεναι PC — 10. 11. ἀναλύ- ονται . . . συνίστανται P ἐξ οὗ . . συνίστανται Gm — 9 — 11. στοιχειῶδες καὶ ἀσύνθετον, εἰς ὃ . . . καὶ ἐξ οὗ . . ., αὐτὸ SH XII. Περὶ β καὶ συνθέτου Cμ — 12. δὲ καὶ] καὶ om. G — 16. πρὸς om. P — 17. ἑτερώμυμα] μέρη add. μ — 18. καθὸ S — 19. εἶναι om. C — 20. ἢ ἐκεῖνο ἢ S πάντ. ἢ ἐκείνοις ὧν P θ, ιε, κα, κε, κζ, λγ, λε, λθ· τούτων γὰρ ἕκαστος καὶ ὑπὸ μονάδος μετρεῖται ὡς P οἱ ἕτεροι καὶ παρώνυμον ἔχει μέρος ὡς κἀκεῖνοι διὰ τὴν τοῦ κοινοῦ γένους φύσιν, ἐξηλλαγμένως δὲ καὶ ἰδιαίτερον ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ μέρει ἢ μέρεσι χρῆται, ὁ μὲν θ πρὸς τῷ ἐνάτῳ ἔτι καὶ τρίτῳ, ὁ δὲ ιε ἔτι καὶ τρίτῳ καὶ πέμπτῳ πρὸς τῷ ιεῳ, ὁ δὲ κα καὶ ἑβδόμῳ καὶ τρίτῳ πρὸς τῷ εἰκοστοπρώτῳ, ὁ δὲ κε πρὸς τῷ εἰκοστοπέμπτῳ τῷ παρωνύμῳ ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ χρῆται τῷ πέμπτῳ. δεύτερος οὖν λέγεται, ὅτι καὶ ἄλλῳ σὺν τῇ μονάδι μέτρῳ δύναται χρῆσθαι, καὶ ὅτι οὐκ ἀρχοειδής, ἀλλʼ ἑτέρου προςτεθέντος πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρὸς ἕτερον συντεθέντος αὐτὸς ἐγένετο, ὁ μὲν θ τοῦ γ, ὁ δὲ ιε τοῦ ε ἢ νὴ Δία τοῦ γ, καὶ οἱ ἐφεξῆς κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον· σύνθετος δὲ ἐκ τοιαύτης αἰτίας, ὅτι διαλυθείη ἂν εἰς ἐκείνους, ἐξ ὧν συνέστηκεν, εἴπερ καὶ μετρηθείη ἂν ὑπ᾿ αὐτῶν· οὐδὲν δὲ διαλυτὸν ἀσύνθετον, ἀλλὰ πάντως σύνθετον.

ιγ. Ἀντικειμένων δὴ ἀλλήλοις τῶν δύο τούτων εἰδῶν XIII. lo. Phil. ρ—ριγ. — lambl. p. 38—41. — Boëth. 1. 12—14. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 7—9. 3. μέρος] γένος G — 5. ἰδιαίτως P — 6. ἐνάτῳ GP — ἔτι καὶ τρίτῳ] χρᾶται ἤτοι τῇ τριάδι S — 7. ιε ἔτι] ιε καὶ τρ. ἅμα C ιε αμα κ. τρ. S — 8. ἑκδόμῳ P — εἰκο- στομόνῳ CH — 9. παρωνύμ.] ἑαυτοῦ praem. CH — 12. 13. προςτεθέντος om. CS πρὸς ἑαυτὸν . . . συντεθ. om. P προςτεθ. . . . ἕτερον om. H — 14. αὐτὸς] οὑτος CS — 14. 15. ἐκ τοῦ ε . . ἐκ τοῦ γ H — ἢ νὴ Δία τοῦ γ] καὶ τοῦ γ C ἢ τοῦ γ S — 16. τοιαύτης] τῆς αὐτῆς CSH — 17. εἰς ἐκεῖνα P εἰς τοὺς αὐτοὺς — συνέστημεν P — 18. ἂν om. CSH — ὑπʼ] παῤ H XIII. Περὶ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ [αὑτὸ μ] μὲν συνθέ- του, πρὸς [om. μ] ἄλλο [ἀλλὸ μ] δὲ ἀσυνθέτου C — 20. δύο τούτων om. GmP τοῦ περισσοῦ τρίτον ἀνὰ μέσον τι θεωρεῖται οἱονεὶ ἐξ ἀμφοτέρων εἰδοποιούμενον τὸ καθʼ αὑτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, ὅταν ἀριθμὸς πρὸς τῷ κοινῷ μέτρῳ τῇ μονάδι ἔτι καὶ ἑτέρῳ μετρεῖταί τινι μέτρῳ καὶ διὰ τοῦτο δυνάμενος καὶ ἑτερώνυμον μέρος ἢ μέρη ἐπιδέξασθαι πρὸς τῷ παρωνύμῳ, πρὸς ἄλλον τινὰ ὁμοίως ἔχοντα ἀντεξεταζόμενος εὑρίσκεται μήτε κοινῷ μέτρῳ μετρηθῆναι δυνάμενος πρὸς ἐκεῖνον, μήτε τὸ αὐτὸ ὁμώνυμον μέρος ἔχων τῶν ἁπλῶς ἐν ἐκείνῳ· οἷον ὁ θ πρὸς τὸν κε· ἑκάτερος γὰρ καθʼ ἑαυτὸν δεύτερός ἐστι καὶ σύνθετος, πρὸς δὲ ἀλλήλους μονάδι μόνῃ κοινῷ μέτρῳ χρῶνται καὶ οὐδὲν μόριον ὁμωνυμεῖ ἐν ἀμφοτέροις, ἀλλὰ τὸ ἐν τούτῳ τρίτον οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ οὐδὲ τὸ ἐν ἐκείνῳ πέμπτον ἐν τούτῳ εὑρίσκεται.

Ἡ δὲ τούτων γένεσις ὑπὸ Ἐρατοσθένους καλεῖται κόσκινον, ἐπειδὴ ἀναπεφυρμένους τοὺς περισσοὺς λαβόντες καὶ ἀδιακρίτους ἐξ αὐτῶν τῇ τῆς γενέσεως μεθόδῳ ταύτῃ διαχωρίζομεν, ὡς διʼ ὀργάνου ἢ κοσκίνου τινὸς καὶ ἰδίᾳ μὲν τοὺς πρώτους καὶ ἀσυνθέτους, ἰδίᾳ δὲ τοὺς δευτέρους καὶ συνθέτριάδος 2. κατʼ αὐτὸ m — 4. κοινῷ μ.] μέτρῳ om. S — 5. ἔτι om. H — μετρῆται C μετρούμενος — τινὶ μ.] μέτρῳ om. C — 8. παρεξεταζόμενος S ἐξεταζ. — εὑρίσκη- ται C — 9. 10. τὸ αὐτὸ om. CS — 10. παρώνυμον S — ἔχειν SH — τοῖν ἁπλ. P — 11. ἑκάτερ G1 ος G2 — 15. 16. ἐν τούτῳ om. H XIII. 2. Περὶ τῆς γενέσεως τῶν τρίων τούτων εἰδῶν τοῦ περισσοῦ μ — 19. λαβόντον P λαμβάνοντες S — 21. μὲν G2 ex ἐς τους, χωρὶς δὲ τοὺς μικτοὺς εὑρίσκομεν. ἔστι δὲ ὁ τρόπος τοῦ κοσκίνου τοιοῦτος· ἐκθέμενος τοὺς ἀπὸ πάντας ἐφεξῆς περισσοὺς ὡς δυνατὸν μάλιστα ἐπὶ μήκιστον στίχον, ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ πρώτου ἐπισκοπῶ, τίνας οἷός τέ ἐστι μετρεῖν, καὶ εὑρίσκω δυνατὸν ὄντα τοὺς δύο μέσους παραλείποντας μετρεῖν, μέχρις οὗ ἂν προχωρεῖν ἐθέλωμεν, οὐχ ex eorum, quae in cod. reliquis reperiuntur, numero id suf- ficiat adponere diagramma, quod cod. Ciz. praebet: τὸ Ἐρατοσθένειον κόσκινον. γ γ γ ε ζ θ ια ιγ ιε ιζ γ ε γ ε γ γ ιθ κα κγ κε κζ κθ λα λγ ζ ε θ ια ε γ γ ε ζ λε λζ λθ μα μγ με μζ μθ ζ ιγ ιε θ ζ γ ε γ γ ζ ε να νγ νε νζ νθ ξα ξγ ξε ιζ ια ιθ κα θ ιγ γ γ [ε] θ γ ξζ ξθ οα ογ οε οζ οθ πα κγ κε [ιγ] θ κζ [ε] [γ] [ζ] [γ] [ε] πγ πε πζ πθ ??α ??γ ??ε ??ς [ιε] [κθ] [ιε] [λα] [ιθ] uncis inclusa addidi. de cribro Eratosthenis conf. Mich. Constantini Pselli σύνταγμα εἰς τὰς τέσσαρας μαθηματικὰς ἐπιστήμας, ἀριθμητικὴν κτλ. ed. G. Xy lander, Basil. 1556. p. 4. 1. ἐφεξῆς] τοὺς add. G ἀριθμοὺς add. S — 2. στίχον om. H — πρωτίστου SH Io. Phil. ρ — 3. οἷόν τε G1m οἷός τε PG2CSH Io. Phil. ρ. — μετρεῖν] ἕκᾳστος add. PCSH — 4. δυνατὸν ὄντα om. C τὸν πρῶτον ἤτοι τὸν γ subiciunt PG2CS, praem. H — παραλείποντας recte Ast; παραλεί- ποντα GP διαλείποντας C Io. Phil. ρ. ρα διαλείποντα SH παραλιπόντας lambl. 39. — 5. μετρεῖν om. H — ἂν om. GP ἐθέλομεν P ἐθέλοιμεν C ὡς ἔτυχε δὲ καὶ εἰκῆ μετροῦντα, ἀλλὰ τὸν μὲν πρώτως κείμενον, τουτέστι τὸν δύο μέσους ὑπερβαίνοντα κατὰ τὴν τοῦ πρωτίστου ἐν τῷ στίχῳ κειμένου ποσότητα μετρήσει, τουτέστι κατὰ τὴν ἑαυτοῦ· τρὶς γὰρ· τὸν δʼ ἀπʼ ἐκείνου δύο διαλείποντα κατὰ τὴν τοῦ δευτέρου τεταγμένου· πεντάκις γάρ· τὸν δὲ περαιτέρω πάλιν δύο διαλείποντα κατὰ τὴν τοῦ τριτου τεταγμένου· ἑπτάκις γάρ· τὸν δὲ ἔτι περαιτέρω ὑπὲρ δύο κείμενον κατὰ τὴν τοῦ τετάρτου τεταγμένου· ἐνάκις γάρ· καὶ ἐπʼ ἄπειρον τῷ αὐτῷ τρόπῳ. εἶτα μετὰ τοῦτον ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἐπὶ τὸν δεύτερον ἐλθὼν σκοπῶ, τίνας οἷός τέ ἐστι μετρεῖν, καὶ εὑρίσκω πάντας τοὺς τετράδα διαλείποντας, ἀλλὰ τὸν μὲν πρῶτον κατὰ τὴν τοῦ ἐν τῷ στίχῳ πρώτου τεταγμένου ποσότητα· τρὶς γάρ· τὸν δὲ δεύτερον κατὰ τὴν τοῦ δευτέρου· πεντάκις γάρ· τὸν δὲ τρίτον κατὰ τὴν τοῦ τρίτου· ἑπτάκις γάρ· καὶ τοῦτο ἐφεξῆς ἀεί. πάλιν δὲ ἄνωθεν ὁ τρίτος ὁ ζ ὁ τὸ μέτρον παραλαβὼν μετρήσει τοὺς ἓξ διαλείποντας, ἀλλὰ τὸν μὲν πρώτιστον κατὰ τὴν τοῦ γ ποσότητα πρώτου κειμένου, τὸν δὲ δεύτερον κατὰ τὴν τοῦ ε· δευτεροταγὴς γὰρ οὗτος· τὸν δὲ τρίτον κατὰ τὴν τοῦ ζ· τρίτην γὰρ ἔχει καὶ οὗτος τάξιν ἐν τῷ στίχῳ. καὶ 1. πρώτως] αὐτῶν add. P πρῶτον Io. Phil. ρ — 2. τὸν δύο m ex τοὺς δύο corr. G2 τὸν τοὺς δύο PH 3. 4. κει- μένην . . μετρεῖ Io. Phil. ρ κειμένου lo. Phil. ρβ — 4. ἑαυτοῦ] ποσότητα add. H — 5. τὸν δʼ ἀπʼ] τὸν δὲ περαι- τέρω πάλιν ἀπ᾿ C — λείποντα Gm — κατὰ τὰ m 7. περαιτέρου om. CSH — πάλιν] ἀπ᾿ ἐκείνου add. SH — 8. τεταγμένου] ποσότητα add. S — ἑπτάκις γὰρ om. H — 10. ἐννεάκις CSH — 11. τοῦτο H — 12. οἷόν τε GmP — 13. τετράδα recte Ast, τετράδι codd. — 15. τριο G — 16. 17. τὸν δὲ τρ. . . γὰρ om. H — 20. τὸ μὲν G — γ] τρίτον m — 22. γὰρ G2 in ras. κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν διόλου ἀπαρεμπόδιστον προχωρήσει σοι τοῦτο, ὥςτε τὸ μὲν μετρεῖν διαδέξονται κατὰ τὴν ἐν τῷ στίχῳ αὐτῶν ἐγκειμένην τάξιν, τὸ δὲ πόσους διαλείποντας κατὰ τὴν ἀπὸ δυάδος ἐπʼ ἄπειρον εὔτακτον τῶν ἀρτίων προκοπὴν ἢ κατὰ τὴν τῆς χώρας διπλασίασιν, καθʼ ἣν ὁ μετρῶν τέτακται, τὸ δὲ ποσάκις κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ τριάδος περισσῶν εὔτακτον προχώρησιν. ἐὰν οὖν σημείοις τισὶν ἐπιστίξῃς τοὺς ἀριθμούς, εὑρήσεις τοὺς μεταλαμβάνοντας τὸ μετρεῖν οὔτε ἅμα πάντας τὸν αὐτόν ποτε μετροῦντας, ἔστι δὲ ὅτε οὐδὲ δύο τὸν αὐτόν, οὔτε πάντας ἁπλῶς τοὺς ἐκκειμένους ὑποπίπτοντας P μέτρῳ τινὶ αὐτῶν, ἀλλὰ τινὰς μὲν παντελῶς διαφεύγοντας τὸ μετρηθῆναι ὑφ᾿ οὑτινοςοῦν, τινὰς δὲ ὑπὸ ἑνὸς μόνου μετρουμένους, τινὰς δὲ ὑπὸ δύο ἢ καὶ πλειόνων. οἱ μὲν οὖν μηδαμῶς μετρηθέντες, ἀλλὰ διαφυγόντες τοῦτο πρῶτοί εἰσι καὶ ἀσύνθετοι, ὡς ὑπὸ κοσκίνου διακριθέντες, οἱ δὲ ὑπὸ ἑνὸς μόνου μετρηθέντες κατὰ τὴν ἑαυτῶν ποσότητα, ἓν μόνον μόριον ἑτερώνυμον ἕξουσι πρὸς τῷ παρωνύμῳ, οἱ δὲ ὑπὸ ἑνὸς μέν, ἑτέρου δὲ ποσότητι καὶ μὴ τῇ ἑαυτοῦ ἢ ὑπὸ δύο ὁμοῦ μετρηθέντες πλείονα ἔξουσι τὰ ἑτερώνυμα μέρη πρὸς τῷ παρωνύμῳ· οὗτοι οὖν ἔσονται δεύτεροι καὶ σύνθετοι. τὸ δὲ τρίτον μέρος τὸ κοινὸν 1. αὐτὴν G2 corr. ex αὐτοῦ — διʼ ὅλον P — 1. 2. ἀπαρα- πόδιστον χωρήσει SH — 3. ἐγκειμένην om. CSH — 4. πό- σους] τοσούτους — ἀπὸ G2 ex ὑπό — 5 τῶν om. P — 8. εὔτακτον] ἐπʼ ἄπειρον add. SH — 12. κειμένους H — 16. οὐδαμῶς PC — 18. μόνου om. H — 19. μετρηθέντες] μέ- τρου add. H — ἑαυτοῦ G1 ἐν αὐτῶ C — 20 ἑτερώνυμον om. C — 21. μὲν om. G1 — 23. 24. οὗτοι . . . σύνθετοι om. GmH τοῦτοι PS οἱ δεύτ. S οὗτοι δὲ πάντες δεύτεροί εἰσι καὶ σύνθ. C in mrg. — 24. μέρος] εἶδος CSH ἀμφοτέρων, ὃ καθʼ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, ἔσονται οἱ ἀποτελούμενοι ἀριθμοὶ κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα πρώτου καὶ ἀσυνθέτου μετρήσαντός τινος, εἴ τις γενόμενος συγκρίνοιτο πρὸς ἄλλον ὡςαύτως τὴν γένεσιν ἔχοντα· ὥςπερ ὁ θ (ἐγίνετο ἐκ τοῦ γ κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα μετρήσαντος, τρὶς γάρ), εἰ συγκρίνοιτο πρὸς τὸν κε (ἐγίνετο ἐκ τοῦ ε κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα μετρήσαντος, πεντάκις γάρ), κοινὸν μέτρον τούτοις οὐδέν, εἰ μὴ μονάς. ὡς δʼ ἂν καὶ μέθοδον ἔχοιμεν διαγνωστικὴν τῶν πρὸς ἀλλήλους ἤτοι πρώτων καὶ ἀσυνθέτων ἢ δευτέρων καὶ συνθέτων, ὅτι ἐκείνων μὲν κοινὸν μέτρον μονάς ἐστι, τούτων δὲ πρὸς τῇ μονάδι καὶ ἕτερός τις ἀριθμός, καὶ ποῖος οὗτος ὑπάρχει. εἰ ὁρισθείησαν ἡμῖν δύο περισσοὶ ἀριθμοί, προτείναντός τινος καὶ ἐπιτάξαντος διαγνῶναι, πότερον πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους καὶ ἀσύνθετοί εἰσιν ἢ δεύτεροι καὶ σύνθετοι, καὶ εἰ δεύτεροι καὶ σύνθετοι, ποῖος ἀριθμὸς αὐτῶν κοινὸν μέτρον ἐστί, χρὴ ἀντισυγκρίνειν τοὺς προτεθέντας ἀριθμοὺς καὶ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀεὶ ἀφαιρεῖν, ὁσάκις δυνατόν, εἶτα τούτου ἀφαιρεθέντος ἀνταφαιρεῖν ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, ὁσάκις πάλιν δυνατόν· 1. 2. οἱ καθʼ ἑαυτοὺς μὲν δεύτεροι καὶ σύνθετοι, πρὸς ἄλλους [ἀλλήλους H] δὲ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι SH — 4. πρ. καὶ ἀσύνθ. om C — 6. ἐγίνετο Gm — τοῦ γ] τοῦ τρί- του P — 8. ἐγίνετο ἐκ addidi; ἐγένετο γὰρ καὶ οὗτος ἐκ τοῦ ε CS om. rel. — 10. ἐν τούτοις C — οὐδὲν] ἕτερόν ἐστιν add. CS οὐκ ἔσται PH — μόνη μονὰς CS μόνη ἡ μον. PH — ὥςτ᾿ ἂν Ast. — 11. μέθοδον] ἔφο- δον CSH S in mrg. διδασκαλίας μέθοδον, cf. Io. Phil. ριγ. — 13. μόνη μονὰς μόνον μον. S — 15. ὑπάρχη G — 16. περισσοὶ om. C — 22. ὑφαιρεῖν G1mP — 22. 23. εἶτα . . . . δυνατὸν om. H ἡ γὰρ ἀντιπερίστασις αὕτη καὶ ἀνταφαίρεσις ἀναγκαίως ἤτοι ἐπὶ μονάδα καταλήξει ἢ ἐπί τινα ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, ἀναγκαίως δὲ περισσόν. ὅταν μὲν οὖν ἐπὶ μονάδα αἱ ἀφαιρέσεις περαιωθῶσι, πρώτους καὶ ἀσυνθέτους αὐτοὺς ἀποφαίνουσι πρὸς P ἀλλήλους, ὅταν δὲ ἐπὶ ἕτερόν τινα ἀριθμὸν περισσὸν τῇ ποσότητι διφορούμενον, δευτέρους λέγε εἶναι πρὸς ἀλλήλους καὶ συνθέτους καὶ κοινὸν αὐτοῖς εἶναι μέτρον αὐτὸν ἐκεῖνον τὸν διφορούμενον ἀριθμόν· οἷον ἐὰν ὁ κγ προεβλήθη ἡμῖν καὶ ὁ με, ἄφελε τὸν κγ ἀπὸ τοῦ με, λειφθήσεται κβ· τοῦτον ἀνταφαιρῶν ἀπὸ τοῦ κγ, λοιπὴ μονάς· ταύτην ἀφαιρῶν ἀπὸ τοῦ κβ, ὁσάκις δυνατόν, εἰς μονάδα καταλήξεις· διὰ τοῦτο πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ καὶ κοινὸν αὐτῶν μέτρον ἡ ἀπολειφθεῖσα μονάς. εἰ δὲ ἑτέρους ἀριθμοὺς προθείη τις, τὸν κα καὶ τὸν μθ, ἀφαιρῶ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος· λείπεται κη· εἶτα πάλιν ἐκ τούτου ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν κα (δυνατὸν γάρ), λείπεται ζ· ταῦτα ἀνταφαιρῶ ἀπὸ τοῦ κα, καταλείπεται ιδ· ἐξ ὧν πάλιν τὰ ζ ἀφαιρῶ (δυνατὸν γάρ), λειφθήσεται ζ, ἑβδομάδα δὲ ἀπο 1. ἀντιπερίστασις] ἀντίβασις CSH — 2. καταλήξοι S — 3. καὶ τὸν αὐτὸν om. P — 4. μονάδος G — 5. ἀποφαίνου εἶναι PCSH — 6. ὅτε P — 7. ποσότητι] ἰσότητι H — 7. et 9. διφορούμενον] = iteratum. διαφορουμενον G1mPS, ἀδιαφ., in mrg.: γρ. διφορούμενον G2H; διφορ. C, in mrg. ἀδιαφορ. (cf. Camerar. explic. in Nicom. p. 12.) — 7. λέγει P — 10. ἐὰν om. H — προβληθῇ PCSH — ἄφελε] ἄφειλον H, in mrg. ἄφελε. ἀφαιρῶ C — 11. ἐλείφθησαν κβ S — ἀν᾿ (ἀφαιρῶ P ἀνταφαιρῶ C ἀφαιρῶ H — 12. ἀνταφαιρῶ CS ἀφαιρῶ H — 13. καταλήγει C — 15. αὐτοῖς S — μετρῶν H — ἀποληφθ. C — 16. προςθείη PS — 17. ἀφαιρῶν G — 18. εἶτα] εἰ P — ἀφαιρῶ] ἐπαφ. S — 20. καταλείπεται P καταλίποιτο Gm λείπεται C λειφθήσεται SH — τὰ αὐτὰ ζ CS τὰ ζ ἐπεὶ P — 21. λείπεται C — ἑβδομὰς . . . δύ- ναται SH ἑκδ. P ut solet. ἑβδομάδος οὐ δυνατόν ἀφαιρεθῆναι· ἡ ἄρα κατάληξις αὐτῶν εἰς διφορούμενον τὸν ζ ἐπεραιώθη, δευτέρους δὲ καὶ συνθέτους πρὸς ἀλλήλους ἀποφαίνου τοὺς ἐξ ἀρχῆς τὸν κα καὶ τὸν μθ καὶ κοινὸν αὐτῶν μέτρον πρὸς τῇ καθολικ μονάδι τὸν ζ.

ιδ. Πάλιν δὲ ἄνωθεν· τῶν ἀπλῶς ἀρτίων ἀριθμῶν οἱ μέν εἰσιν ὑπερτελεῖς, οἱ δὲ ἐλλιπεῖς, καθάπερ ἀκρότητες ἀντικείμεναι ἀλλήλαις, οἱ δὲ ἀνὰ μέσον ἀμφοτέρων, οἳ καὶ λέγονται τέλειοι. καὶ εἰσὶν οἱ μὲν ἀντικεῖσθαι λεγόμενοι ἀλλήλοις ὑπερτελεῖς τε καὶ ἐλλιπεῖς ἐν τῇ τῆς ἀνισότητος σχέσει διαιρούμενοι εἴς τε τὸ πλέον καὶ εἰς τὸ ἔλαττον· ἕτερος γὰρ παρὰ ταῦτα τρόπος ἀνισότητος οὐκ ἂν ἐπινοηθείη, καθάπερ οὔτε κακία οὔτε νόσος οὔτε ἀσυμμετρία οὔτε ἀπρέπεια οὔτε τῶν τοιούτων ἕκαστον· ἐν μὲν γὰρ τῷ πλείονι αἵ τε ὑπερβολαὶ καὶ πλεονεξίαι καὶ ὑπερεκπτώσεις καὶ περισσότητες γίνονται, ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι αἱ ἔνδειαι καὶ ἐλλείψεις καὶ στερήσεις καὶ ὀλιγοεξίαι, ἐν δὲ τῷ μεταξὺ τοῦ πλέον καὶ τοῦ ἔλαττον κειμένῳ, ὅ ἐστιν ἴσῳ, ἀρεταί τε καὶ XIV. lo. Phil. ριδ. — lambl. p. 42. 43. — Theon. 32. — Boëth. I. 15. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 9. 2. διφορούμενον GmC διαφορ P ἀδιαφορ SH — 3. δὲ Gm ρ οὖν CSH — ἀποφαίνομαι C -ω S — 4. ἀρ- χῆς] ἀριθμοὺς add. H XIV. Περὶ τῶν τοῦ ἀρτίου εἰδῶν κατὰ δεύτε- ρον [δευτέραν m] διαίρεσιν Gm κατʼ ἐπιδιαίρε- σιν C Ἐπιδιαίρεσις τῶν τριῶν. περὶ ἀρι θμοὺ τε- λείου, ὑπερτελοῦς καὶ ἐλλιποῦς S Περὶ τελείων καὶ ὑπερτελῶν καὶ ἐλλιπῶν H — 8. ἀντικείμενοι ἀλ- λήλοις SH — 9. τέλειοι καὶ εἰσέν. οἱ GP — 11. ἀνισό- τητ G1 ος G2 — 11. διαιρούμενον P — 15. οὔτε ἀπρέπ.] ἢ ἀπρέπ. S — 19. ὀλιγεξίαι C — πλέονος P πλείονος CH 20. ἐλάττονος PCH — ἴσον P ὑγεῖαι καὶ μετριότητες καὶ εὐπρέπειαι καὶ κάλλη καὶ τὰ ὅμοια· ὧν γενικώτατον τὸ λεχθὲν τοῦ ἀριθμοῦ εἶδος τὸ τέλειον.

ιε. Ἐλλιπὴς δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τὸ ἐναντίον τοῖς δειχθεῖσι πεπονθὼς καὶ τὰ ἑαυτοῦ μέρη συντεθέντα ὑφʼ ἓν κατὰ σύγκρισιν ἑαυτοῦ ἐλάττονα κεκτημένος, ὡς εἴ τι ζῶον τῶν κατὰ φύσιν μελῶν ἢ μερῶν ἐλαττοῦται, ἢ εἴ τις μονόφθαλμος εἴη, ὡς τὸ κυκλοτερὴς δʼ ὀφθαλμὸς ἕεις ἐνέκειτο μετώπῳ, ἢ εἴ τις μονόχειρ εἴη ἢ ἐν ἑτέρᾳ τῶν χειρῶν ἐλάττονας τῶν ε δακτύλους κεκτημένος εἴη ἢ ἄγλωσσος ἢ τοιούτου τινὸς ἐστερημένος, ἐλλιπὴς ἂν ὁ τοιοῦτος λέγοιτο καὶ οἱονεὶ πηρὸς κατὰ τὴν τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιότητα τοῦ ἔχοντος τὰ ἴδια μέρη ἐλάττονα ἑαυτοῦ· οἷός ἐστιν ὁ η, ὁ ιδ· ὁ μὲν γὰρ η μέρος ἔχει ἥμισυ, τέταρτον, ὄγδοον, ἅπερ ἐστὶ δ, β, α, συγκεφαλαιωθέντα δὲ εἰς τὸ αὐτὸ ζ γίνονται καὶ ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς· τὰ ἄρα μέρη ἐλλείπει πρὸς τὴν τοῦ ὅλου συμπλήρωσιν. πάλιν ὁ ιδ ἔχει ἥμισυ, ἔβδομον, τεσσαρεςκαιδέκατον, ἅπερ εἰσὶν XV. Iambl. p. 43. 44. — Theon. 32. — Boëth. l. 15. 3. μόνων om. P μόνον H — συνθεθείς P XV. Περὶ ἐλλιποῦς ἀριθμοῦ Gm [ἀρ. om. CSH] περὶ ἀτελοῦς ἀ ρ. μ — 8. φύσιν] αὐτοῦ subicit H — ἐλαττοῖτο CSH — 9. ἢ . . . εἴη CμΓ — 10. cf. Hes. Theog. 145. — μετόπῳ P — 11. μονόχειρον P — 12. τῶν ε δακτύλων ἔχων ἢ εἰ ἄγλωσσος εἴη C τῶν πάντων δακτύλων ἔχων εἴη ἢ ἄγλ SH — 13 τινὸς ἑτέρου S — 15. ἰδιό- τητα] ὁμοιότητα CSH — 16 μέρος] -η SH — 17—19 ὅπερ . . . γίνεται SH — 20. ἐλλείπει] ἐλλιπῆ SH — πρὸς] εἰς C — 21. πάλιν om. SH — εἰσὶν] ὑπάρχει SH ζ, β, α, σύμπαντα δὲ ὁμοῦ ι, ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ἐλλείπει ἄρα καὶ οὗτος ἐν τοῖς μέρεσι πρὸς τὸ συμπληρωθῆναι τὸ ὅλον ἐξ αὐτῶν.

ιζ. Προτετεχνολογημένου δὲ ἡμῖν περὶ τοῦ καθʼ αὑτὸ ποσοῦ νῦν μετερχόμεθα καὶ ἐπὶ τὸ πρός τι. τοῦ πρός τι τοίνυν ποσοῦ δύο αἱ ἀνωτάτω γενικαὶ διαιρέσεις εἰσίν, ἰσότης καὶ ἀνισότης· πᾶν γὰρ ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρούμενον ἤτοι ἶσον ὑπάρχει ἢ ἄνισον, τρίτον δὲ παρὰ ταῦτα οὐδέν. τὸ μὲν οὖν ἶσον θεωρεῖται, ὅταν τῶν συγκρινομένων τὸ ἕτερον μήτε ὑπερέχῃ μήτε ἐλλείπῃ πρὸς τὴν τοῦ λοιποῦ παραβολήν, οἷον ἑκατὸν πρὸς ἑκατὸν ἢ δέκα πρὸς δέκα ἢ δύο πρὸς δύο ἢ μνᾶ πρὸς μνᾶν ἢ τάλαντον πρὸς τάλαντον ἢ πῆχυς πρὸς πῆχυν καὶ τὰ παραπλήσια εἴτε ἐν ὄγκῳ εἴτε ἐν μήκει εἴτε ἐν βάρει εἴτε ἐν ποσότητι ᾑτινιοῦν. ἔστι δὲ καὶ ἰδίως ἡ σχέσις αὕτη ἡ τῆς ἰσότητος ἄσχιστος καθʼ ἑαυτὴν XVII. lo. Phil. ρκβ —ρκη. — lambl. p. 48 — 51. — Boëth. l. 17. 18. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 9. 10. 3. λειφθέντι P — 4. ἑαυτοῦ G1 ἑαυτῷ P — 5. τέ- λειος CH — 7. ἡ δʼ ἄλλη H XVII. Περὶ τοῦ πρός τι ποκοῦ GCμH — 8. Προ- τεχν. G1 προτεχηολογουμένου S — ἡμῖν] ἐν τοῖς ἄνωθεν add. P ἐν τοῖς ἄνω CSH — 9. μετερχώμεθα P ἐρχόμεθα H — 11. εἰσιν om. H — 12. ἕτερον] πῶς add. SH — ὑπάρχη -ειν P — 13. παῤ αὐτὰ SH — 21. ἡ τῆς ἰσό- τητος CSHΓ ἡ τῆς ποσότητος GmP glossema arbitror. τὴν P καὶ ἀδιαίρετος, ὡς ἂν ἀρχικωτάτη, διαφορὰν γὰρ οὐδεμίαν ἐπιδέχεται· οὐ γάρ ἐστι τοῦ ἴσου τὸ μὲν τοιόνδε, τὸ δὲ τοιόνδε, ἀλλʼ ἑνὶ τρόπῳ καὶ τῷ αὐτῷ τὸ ἶσόν ἐστιν. ἀμέλει καὶ τὸ ἀνθυπακοῦον τῷ ἴσῳ οὐχ ἑτερωνυμεῖ πρὸς αὐτό, ἀλλὰ συνωνυμεῖ, ὥςπερ φίλος, γείτων, συστρατιώτης, οὕτω δὴ καὶ ἶσος· ἴσῳ γάρ ἐστιν ἶσος. τὸ δὲ ἄνισον καὶ αὐτὸ καθʼ ὑποδιαίρεσιν διχῆ σχίζεται καὶ ἔστιν αὐτοῦ τὸ μὲν μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον, ἀντωνυμούμενά τε καὶ ἀντίθετα ἀλλήλοις κατὰ ποσότητα καὶ σχέσιν αὐτῶν· τὸ μὲν γὰρ μεῖζον ἑτέρου τινὸς μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον ἔμπαλιν ἑτέρου τινὸς ἔλαττον ἐν συγκρίσει, καὶ τὰ ὀνόματα οὐ τὰ αὐτά, ἀλλὰ διαφέροντα ἔχει ἑκάτερα, ὡς πατὴρ καὶ υὑὸς καὶ τύπτων καὶ τυπτόμενος καὶ διδάσκων καὶ μανθάνων καὶ τὰ ὅμοια. τοῦ μὲν οὖν μείζονος καθʼ ὑποδιαίρεσιν δευτέραν εἰς πέντε εἴδη διαιρουμένου τὸ μέν ἐστι πολλαπλάσιον, τὸ δὲ ἐπιμόριον, τὸ δὲ ἐπιμερές, τὸ δὲ πολλαπλασιεπιμόριον, τὸ δὲ πολλαπλασιεπιμερές. καὶ τοῦ ἀντιθέτου δὲ τοῦ ἴσου σχέσιν lo. Phil. ρκε. ἡ μὲν ἰσότης . . . ἄσχιστός ἐστι lambl. p. 49. Haec autem pars relatiuae ad aliquid quan- titatis, id est aequalitas, naturaliter indiuisa est Boëth. l.17. 1. διαφθορὰν m — 3. τῷ αὐτῷ] artic. om. m αὐτὸ G — 4. ἶσον bis ponunt G2C — ἀμέλλει P — 5. 6. ὡς τὸ φίλ. H — 7. γὰρ] τις add. — καὶ αὐτὸ] καθ᾿ αὑτὸ καὶ S — 8. διχῆ om. G1mP διχάζεται S — 10. αὐτῶν] ἀντωνυ- μούμενα SH — 13. ἑκάτερον SH — 15. ὅμοια] CμG2Γ haecce e Iamblichi commentario (p. 50) sumpta addunt: μεῖζον μὲν οὖν ἐστιν, ὅ πέφυκε μετρούμενον ὑπὸ θατέρου [καὶ τὰ τοιαῦτα μ] κατὰ [μετὰ Γ] μίαν παραβολὴν ἀκα- ταμέτρητον [τι G2μΓ] αυτοῦ [αὐτοὺς μ] ἀπολείπειν [-λι- πεῖν G2Γ] ὁσονοῦν, ἔλαττον δέ, ὁ μετρητικὸν [μετρι- κὸν μ] ὂν τοῦ συζύγου μιᾷ παραβολῇ [μ. π. om. Γ] περι- σχεῖν ὅλον ἀδυνατεῖ. — τοῦ μὲν] τὸ μὲν G1 — 16. καθ᾿ ὑποδ. τοῦ μὲν μείζ. C — δευτέραν om. C — 17. πολυ- πλάσιον S τούτῳ, τουτέστι τοῦ ἐλάττονος, πέντε εἴδη ὁμοίως καθʼ ὑποδιαίρεσιν συνίσταται ἀντικείμενα τοῖς προειρημένοις τοῦ μείζονος πέντε εἴδεσιν (ὡς ὅλον ὅλῳ, τὸ ἔλαττον τῷ μείζονι, οὕτω καὶ ἕκαστον ἑκάστῳ τῇ προλεχθείσῃ τάξει μετὰ τῆς ὑπο προθέσεως ἀντιδιαστελλόμενα), ὑποπολλαπλάσιον, ὑπεπιμόριον, ὑπεπιμερές, ὑποπολλαπλασιεπιμόριον καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερές.

ιη. Ἄνωθεν οὖν πολλαπλάσιόν ἐστιν εἶδος τοῦ μείζονος τὸ πρώτιστον καὶ προγενέστερον φύσει, ὡς εὐθὺς εἰσόμεθα, καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ, ἐπειδὰν ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρῆται, ἔχων αὐτὸν ἐν ἑαυτῷ ὅλον πλεονάκις ἢ ἅπαξ· οἷον πρὸς τὴν μονάδα πάντες οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ ἀπὸ δυάδος ἀρξάμε νοι συγκρινόμενοι τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἀπογεννῶσι τῇ οἰκείᾳ ἀκολουθία· πρῶτος μὲν γὰρ ὁ β διπλάσιος καὶ ἔστι καὶ λέγεται, ὁ δὲ γ τριπλάσιος, XVIII. lo. Phil. ρκθ—ρλδ. — Iambl. p. 51. 52. — Boëth. I. 19. — Schol. NΓ Nobb. p. 10. 1. τούτῳ om. S — τουτέστι] ἤτοι S — εἴδι G1 — συνίστανται C — 3. πέντε om. C — 4. ἔλαττον] δη- λαδὴ C in mg., quod μ in textum recepit. — 6. ὑποπολλ.] τε καὶ . . . καὶ . . . καὶ add. SH — καὶ ὑπο μερές G ὑπο- επιμερές CSH lambl. reliqua om. G1 XVIII. Περὶ τοῦ πολλαπλασίου καὶ τῶν τούτου εἰδῶν Cμ — 9. 10. τοῦ μείζονος om. C — 10. προγενέ- στατον CSH — 11. καὶ ἔστιν addidi, cf. p. 47 lin. 5. 6. — ὁ P ὃς codd. ὅς . . ἔχει C — ἐπιδὰν G — 12. θεωρῆα////αι G1 θεωρεῖται P — 13. ἢ ἅπαξ. cf. lo. Phil. ρκθ. — 16. ἀπο- γεννῶσι CSH ἀπογυμνοῖ GmP — ἀκολουθείᾳ G — πρῶ- τον S — 17. λέγεται] τῆς μονάδος δηλονότι add S — γ] α G2 τρίτος G1m ὁ δὲ δ τετραπλάσιος, καὶ ἐπʼ ἄπειρον· τὸ γὰρ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἤτοι δὶς ἢ τρὶς σημαίνει ἢ ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀντιδιέσταλται δὲ τούτῳ τὸ ὑποπολλαπλάσιον καὶ αὐτὸ φύσει πρώτιστον P ὑπάρχον ἐν τῷ ἐλάττονι τῆς ἀνισότητος μέρει, καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ, ἐπειδὰν μείζονι συγκρίνηται, δυνάμενος μετρεῖν αὐτὸν πληρούντως πλεονάκις ἢ ἅπαξ, τὸ δὲ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἀπὸ τοῦ δὶς ἄρχεται καὶ ἐπʼ ἄπειρον πρόεισιν. ἐὰν μὲν οὖν δὶς μόνον μετρῇ τὸν ἐν συγκρίσει μείζονα, ὑποδιπλάσιος λέγεται ἰδίως, ὥςπερ τὸ α τῶν β, ἐὰν δὲ τρίς, ὑποτριπλάσιος, ὥςπερ τῶν γ τὸ α, ἐὰν δὲ τετράκις, ὑποτετραπλάσιος, ὥςπερ τὸ αὐτὸ α τῶν δ, καὶ ἐφεξῆς οὕτως. γενικῶς δὲ ἀπείρου ὑπάρχοντος ἑκατέρου, τοῦ τε πολλαπλασίου καὶ τοῦ ὑποπολλαπλασίου, ἔτι καὶ αἱ καθʼ ὑποδιαίρεσιν διαφοραὶ καὶ τὰ εἴδη ἐπʼ ἄπειρον φύσει προιόντα θεωρεῖται· τὸ γὰρ διπλάσιον ἀρχόμενον ἀπὸ τοῦ β διὰ πάντων ἀρτίων πρόεισιν, ἕνα παῤ ἕνα λαμβανόντων ἡμῶν τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος· ἐν συγκρίσει δὲ οὗτοι διπλάσιοι λεχθήσονται πρὸς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀρτίους τε καὶ περισσούς. τριπλάσιοι δὲ πάντες εἰσὶν οἱ ἀπʼ ἀρχῆς δύο παραλειπομένων ἐκλεγόμενοι τρίτοι τῇ τάξει, οἷον 1. ὁ δὲ δ τετρ. om. H καὶ ὁ ε πενταπλάσιος add. PC — 2. σημαίνει] συμβαένει H — 3. μέχρ. οὗ] προχωρεῖν add. CSH — 6. ὁ P ὃς codd. ὃς . . δύναται C — μείζοσι P — 7. πληροῦντα G1m — 7. 8. τὸ δὲ . . . ἅπαξ om. mμ — 13. τοῦ γ τὸ αὐτὸ α CSH — 14. τοῦ δ GS — 17. τῇ φύσει CSH — θεωροῦνται CSH — 18. διὰ] ἐπὶ S — 19. παῤ ἕνα] τῶν ἀριθμῶν add. H — τοὺς ἀριθμοὺς om. P — 20. φυσικοῦ] φύσει P — 22. κειμένους] ἀριθμοὺς add. H — 23. πάντως G πάντες rel. Io. Phil. ρλγ. γ, Ϛ, θ, ιβ, ιε, ιη, κα, κδ, οἷς συμβέβηκεν ἕνα παῤ ἕνα ἀρτίοις τε καὶ περισσοῖς εἶναι, καὶ αὐτοὶ δὲ ἐν τῷ ἀπὸ τῆς μονάδος ἀριθμῷ εὐτάκτῳ τῶν ἐφεξῆς πάντων τριπλάσιοί εἰσι προχωροῦντες, ἐφ᾿ ὅσον βούλεταί τις παρακολουθεῖν. τετραπλάσιοι δέ εἰσιν οἱ τριῶν παραλειπομένων πάντη τέταρτοι, οἷον δ, η, ιβ, ιϚ, κ, κδ, κη, λβ καὶ ἐφεξῆς, καὶ οὗτοι δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος εὐτάκτων τετραπλάσιοί εἰσι προιόντες, ἐφʼ ὅσον ἂν εὐτονῇ τις ἕπεσθαι· συμβέβηκε δὲ καὶ τούτοις πάντας εἶναι ἀρτίους· ἕνα γὰρ παῤ ἕνα μόνον παραλειπτέον ἐξ αὐτῶν τῶν ἄνωθεν διακεκριμένων ἀρτίων, ὥςτε ἀναγκαίως ὑπάρχειν τοῖς ἁπλῶς ἀρτίοις διπλασίοις μὲν ἅπασιν εἶναι, τετραπλασίοις δὲ ἕνα παῤ ἕνα καὶ ἑξαπλασίοις ἕνα παρὰ δύο καὶ ὀκταπλασίοις ἕνα παρὰ τρεῖς, καὶ ἐπʼ ἄπειρον οὕτως ἀνάλογον ἡ προκοπή. πενταπλάσιοι δὲ ὀφθήσονται οἱ τέσσαρας μὲν παραλείποντες, πέμπτοι δὲ τεταγμένοι ἀπʼ ἀλλήλων καὶ αὐτοὶ δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς τεταγμένων ἀριθμῶν πενταπλάσιοι, καὶ εἷς παῤ ἕνα περισσὸς καὶ ἄρτιος κατὰ τὴν αὐτὴν τῶν τριπλασίων τάξιν.

κ. Ἔστι δὲ ἐπιμερὴς μὲν σχέσις, ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ ὅλον καὶ προςέτι μέρη αὐτοῦ πλείονα ἑνός· τὸ δὲ πλείονα ἑνὸς ἄρχεται πάλιν ἀπὸ τοῦ β καὶ πρόεισιν ἐπὶ πάντας τοὺς ἐφεξῆς ἀριθμούς· ὥςτε τοῦ ἐπιμεροῦς πυθμήν ἐστιν εἰκότως ὁ πρὸς τῷ ὅλῳ δύο μέρη τοῦ ἀντισυγκρινομένου ἔχων καὶ κληθήσεται ἐπιδιμερὴς εἰδικῶς, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τρία πρὸς τῷ ὅλῳ ἔχων κληθήσεται ἐπιτριμερὴς εἰδικῶς, καὶ μετὰ τοῦτον ἐπιτετραμερής, εἶτα ἐπιπενταμερής, καὶ οὕτως ἀεί. τὰ δέ μέρη ῥίζαν ἔχει καὶ ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ τρίτου· XX. Io. Phil. ρνζ, ονη. — Iambl. p. 58. 59. — Boëth. I. 23. 1. πολλὰ] τινὰ S — 2. ἐπιφαινόμενα H — 3. νῦν om. S — 6. πολλαπλάσιον καὶ ἐπιμόριον PS, H in mrg. — καὶ τὰς] καὶ ἔτι μετὰ τὰς SH — 8. ἀλλήλας C — 9. μέρ G1 ει G2 XX. Περὶ ἐπιμ εροῦς ΡϹΓ — 12 ἀριθμὸν G1 — 13. ἐφ᾿ ἑαυτὸν S — 14. τὸ] τά P lo. Phil. ρνζ — πλείονα] τοῦ add. G2 — 15. προίησιν S — 18. ἐπιμερὴς P — 19. 20. ὁ τρία . . . τοῦτον om. G1 — 20. ἰδικῶς G2 om. H — 21. ἐπιπενταμ. om. G1 — 22. ἕξει CH ἀδύνατον γὰρ ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ ἥμισυ ἅρχεσθαι· ἂν γὰρ καί τινα ὑποθώμεθα β ἡμίση ἔχειν τοῦ ἀντιθέτου πρὸς τῷ ὅλῳ, λήσομεν ἑαυτοὺς πολλαπλάσιον ἀντὶ ἐπιμεροῦς τιθέντες· ἕκαστον γὰρ ὅλον καὶ β ἡμίση αὐτοῦ συντιθέμενα διπλάσιον γίνεται τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ὥςτε ἀναγκαιότατον ἀπὸ β τρίτων ἄρχεσθαι, εἶτα β πέμπτων, εἶτα β ἑβδόμων, καὶ ἐπὶ τούτοις β ἐνάτων κατὰ τὴν τῶν περισσῶν πρόβασιν· τὰ γὰρ β τέταρτα λόγου χάριν πάλιν ἥμισύ ἐστι καὶ τὰ β ἔκτα τρίτον καὶ οὕτω πάλιν ἐπιμόριοι ἀντὶ ἐπιμερῶν γενήσονται, ὅπερ οὐ πρόκειται οὕτε ἡμῖν οὔτε τῇ τῆς τεχνολογίας καταλληλίᾳ. μετὰ δὲ τὸν ἐπιμερῆ εὐθύς συνυφίσταται ὁ ὑπεπιμερής, ὅταν ἀριθμὸς ἐν τῷ συγκρινομένῳ ὅλος ἔχηται αὐτός τε καὶ προςέτι πλείονα αὐτοῦ μέρη ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς.

κα. Τάξις δὲ ἀμφοτέρων καὶ ἀκόλουθος γένεσις εὑρίσκεται, ὅταν ἐκθέμενοι τοὺς ἀπὸ τριάδος ἑξῆς ἀρτίους καὶ περιττοὺς ἀριθμοὺς πρὸς τούτους συγκρίνωμεν τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαροὺς συνεχεῖς XXI. Io. Phil. ρνθ—ρξγ. — lambl. p. 59. 60. — Boëth. I. 23. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 15. 16. 1. ἐνταῦθα C — ἡμίσεος S -ους H — ἄρχεσθαι om. H — ἂν] ἄνευ P — 4. τίθεμεν H — 5. αὐτὸν P — 6. ὥςτε] ἂν add. P — 7—12. εἶτα . . . καταλληλίᾳ om. G1 — 7. 8. ἀπὸ quater ponunt G2 — 7, ἑκδόμων P — 8. Περ- σῶν πρόβλησιν P — 9. τὰ γὰρ δ ὅτε παραλόγου P — 9. 10. ἡμ. ἐστι πάλ. G2 — 10. τρίτον] καὶ τὰ β ὄγδοα τέταοτον add. S — ἐπιμόριον P — 13. ἐπεπιμερής — 14. ὅλος om. SH — ἔχηται om. H — 15. ἑαυτοῦ C — 16. ἠ ἐφεξ CH XXI. Περὶ γενέσεως ἐπιμερῶν τε καὶ ὑπεπιμε- ρῶν P — 18. ἐκθέμενος — 19. συγκρίνομένους P -ίνομεν S -ίνω H in mrg. μεν. περισσοὺς μόνους, πρῶτον πρὸς πρῶτον, οἷον τὸν ε πρὸς τὸν γ, καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον, οἷον τὸν ζ πρὸς τὸν δ, καὶ τρίτον πρὸς τρίτον, οἷον τὸν θ πρὸς τὸν ε, καὶ τέταρτον πρὸς τέταρτον, οἷον τὸν ια πρὸς τὸν Ϛ, καὶ ἐφεξῆς τῇ αὐτῇ τάξει ἐφʼ ὁσονοῦν· οὕτως γὰρ εὔτακτα τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς τε καὶ P ὑπεπιμεροῦς εἴδη κατὰ τοὺς ἑκάστου πυθμένας δηλωθήσεται, ἐπιδιμερὲς πρῶτον, εἶτα ἐπιτριμερὲς καὶ ἐπιτετραμερὲς καὶ ἐπιπενταμερὲς καὶ ἐφεξῆς ἐπὶ πλέον παραπλησίως· μετὰ γὰρ τοὺς πυθμένας ἑκάστου γενήσονται οἱ συνεχεῖς διπλασιαζομένων ἀμφοτέρων τῶν ὅρων ἢ τριπλασιαζομένων καὶ ὅλως κατὰ τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη μεγεθυνομένων.

κβ. Πολλαπλασιεπιμόριος μὲν οὖν ἐστι σχέσις, ὅταν τῶν συγκρινομένων ὁ μείζων πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ τὸν ἐλάσσονα καὶ πρὸς τούτῳ μοριόν τι ἓν αὐτοῦ οἷον δήποτε. διττῶς δὲ ὡς ἂν δὴ σύνθετος ὁ τοιοῦτος ποικίλλεται κατὰ τὴν τῶν συμπλεκομένων ὀνομάτων καθʼ ἑκάτερον ἰδιότητα· ἐπεὶ γὰρ ὁ πολλαπλασιεπιμόριος ἔκ τε τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς σύγκειται, ἕξει ἐν ταῖς εἰδικαῖς ὑποδιαιρέσεσι ποικιλίαν τινὰ καὶ ἐξαλλαγήν, ἰδίᾳ μὲν κατὰ τὸ πρότερον μέρος τοῦ ὀνόματος, ἰδέα δὲ κατὰ τὸ δεύτερον, οἷον κατὰ μὲν τὸ πρότερον P τὸ τοῦ πολλαπλασίου τὸ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσιον ἢ πενταπλάσιον καὶ ἐφεξῆς, κατὰ δὲ τὸ δεύτερον ἀπὸ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς τὰ εἰδικὰ XXII. lo. Phil. ρξδ —ροε. — Iambl. p. 60 seq. — Boëth. I. 24. 25. — Schol. ΝΓ Nobb. P. 17. 1. ὀνομάζονται H — πολλαπλασιεπιμερῆ G — 2. 3. ἡ bis om. PCH — 5. αὐταὶ H. XXII. Περὶ πολλαπλασιεπιμορίου GPCH — 7. ἐστι om. G — σχέσ. τις P — 8. πολλάκις — 9. τούτο G1 — 9. αὐτῷ G1 — 10. διπλῶς CSH cf. lo. Phil. ρξε — δὴ om. P — 11. δισύνθετος G — τοιοῦτος] τρόπος add. P — συμπλακέντων G2SH — 14. γενικῶς] κατὰ τὸ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ἐπιμόριον add. G2 — 15. τινὰ om. SH — 16. 17. ἴδια bis P ἰδίαν S — 16. πρώτερον P — 17. δεύτερον] μέρος τὸ τοῦ ἐπιμορίου add. S — 19. ἐφεξῆς] ὥςτε τὴν σύν- θεσιν τοιαύτῃ τινὶ τάξει προχωρεῖν add G cf. p. 60 lin. 23. — 20. ἀπὸ τοῦ] ἀντὶ τοῦ S τὸ τοῦ CH — τα om. GP αὐτοῦ εὔτακτα τὸ ἐφημιόλιον, τὸ ἐπίτριτον, τὸ ἐπιτέταρτον, τὸ ἐπίπεμπτον καὶ ἐφεξῆς, ὥςτε τὴν σύνθεσιν τοιαύτῃ τινὶ τάξει προχωρεῖν· διπλασιεφήμισυς, διπλασιεπίτριτος, διπλασιεπιτέταρτος, διπλασιεπίπεμπτος, διπλασιεπίεκτος καὶ ἀνάλογον, καὶ ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς τριπλασιεφήμισυς, τριπλασιεπίτριτος, τριπλασιεπιτέταρτος, τριπλασιεπίπεμπτος, καὶ πάλιν ἄνωθεν τετραπλασιεφήμισυς, τετραπλασιεπίτριτος, τετραπλασιεπιτέταρτος, τετραπλασιεπίπεμπτος, καὶ πάλιν ἄνωθεν πενταπλασιεφήμισυς, πενταπλασιεπίτιτρος, πενταπλασιεπιτέταρτος, πενταπλασιεπίπεμπτος καὶ τὰ τούτοις ἐπʼ ἄπειρον ἀναλογοῦντα· ὁσάκις μὲν γὰρ ὁ μείζων τὸν ἐλάττονα ὅλον ἐν ἑαυτῷ ἔχει, παρὰ τὴν τοσαύτην ποσότητα παρονομασθήσεται τὸ πρότερον μέρος τοῦ λόγου τῶν συμπλεκομένων ἐν τῷ πολλαπλασιεπιμορίῳ, οἷον δʼ ἂν τὸ μόριον τὸ πρὸς τῷ πολλάκις ὅλῳ ἐνυπάρχον ἐν τῷ μείζονι ᾖ, πρὸς ἐκεῖνο παρώνυμον ἔσται τὸ δεύτερον εἶδος του λόγου, ἀφʼ οὗ σύνθετον τὸ πολλαπλασιεπιμόριον. ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ· ὁ μὲν ε τοῦ β διπλασιεφημιόλιος, ὁ δὲ ζ τοῦ γ διπλασιεπίτριτος, 1. αὐτοῦ om. — ἴδια καὶ εὔτακτα — 1. 2. τὸ om. quater H — ἠμιόλιον S — 4. 5. διπλασιεφήμ. . . . δι- πλασιεπίπεμπτ. om. — 10—12. καὶ πάλιν . . . τετραπλα- σιεπίπεμπτ. om. G. — 13. ἄνωθεν om. H — 14. πεντα- ηλασιεπίπ. om. — 15. τὰ ἐπὶ τούτοις PH — 17. γὰρ] ἂν add — ὅλον om. C — 18. παρονομάσεται PS — 19. συμπλεγμένων H τὸ συμπεπληρώμενον — 21. προυπάρχον C προςυπάρχ. SH — 22. ἐστι SH — 23. εἶ- δος] μέρος SH — 25. διπλασιεφήμισυς G2CSH ὁ δὲ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ ια τοῦ ε διπλασιεπίπεμπτος· καὶ αἰεὶ οὕτως εὐτάκτους αὐτοὺς γεννήσεις συγκρίνων τοῖς ἀπὸ δυάδος ἑξῆς ἀρτίοις καὶ περισσοῖς τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαρούς περισσούς, πρῶτον πρώτῳ, δεύτερον δευτέρῳ, τρίτον τρίτῳ καὶ τοὺς ἄλλους ὁμοταγεῖς τοῖς ὁμοταγέσιν, ἀπὸ δυάδος δὲ τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων οἱ ἀπὸ πεντάδος συνεχεῖς πεντάδι διαφέροντες διπλασιεφημιόλιοι καθαροὶ ἔσονται ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν, ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου πάντων τῶν τριάδι διαφερόντων ἐκτεθέντων, οἷον γ, Ϛ, θ, ιβ, ιε, ιη, κα, καὶ ἐν ἄλλῳ στίχῳ τῶν ἀπὸ ἑβδομάδος ἑβδομάδι διαφερόντων ἐπʼ ἄπειρον ἐκτεθέντων, οἷον ζ, ιδ, κα, κη, λε, μβ, μθ, καὶ συγκρινομένων μειζόνων ἐλάττοσι, πρώτου πρώτῳ, δευτέρου δευτέρῳ, τρίτου τρίτῳ, τετάρτου τετάρτῳ, καὶ ἐφεξῆς, τὸ δεύτερον εἶδος ἀναφαίνεται P τὸ τῶν διπλασιεπιτρίτων μετὰ τῆς οἰκείας εὐταξίας ἐκκείμενον. εἶτα πάλιν ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἂν ἐκτεθῇ ὁ τῶν τετραπλασίων καθαρὸς στίχος, δ, η, ιβ, ιϚ, κ, κδ, κη, λβ, εἶτα παρεκτεθῇ αὐτῷ ἐν ἄλλῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ τῆς ἑνάδος ἀρχόμενος κατὰ ἐνάδος προκοπὴν συνεχὴς ἀριθμός, οἷον θ, ιη. κζ, λϚ, με, νδ, ἕξομεν ἀναφαινόμενον πάλιν τὸν εἰδικὸν πολλαπλασιεπιμόριον, 6. ὁμοταγεῖς om. H — 8. ἀπὸ τοῦ ε SH — 10. δια- φερόντων] προχωρούντων C διαφορᾷ προχ. S — 20. παρα- τεθῇ SH — 23 ἄλλος στιχος ἀπὸ — ὁ om. G — 24. ἐννάδος bis PH ἐννεάδος C — 24. 25. συνεχῶν ἀριθμῶν C — 26. νδ] ξγ, οβ add. H — 27. ἰδικὸν P τουτέστι τὸν διπλασιεπιτέταρτον εὔτακτον· καὶ τοῦτο ἐπινοεῖν πάρεστι τῷ βουλομένῳ μέχρις ἀπείρου. τὸ δὲ ἕτερον εἶδος ἄρχεται ἀπὸ τοῦ τριπλασιεφημίσους, οἷον ὁ ζ πρὸς τὸν β καὶ ὁ ιδ πρὸς τὸν δ καὶ ἀπλῶς οἱ καθʼ ἑβδομάδα προχωροῦντες πρὸς τοὺς ἀπὸ δυάδος εὐτάκτους ἀρτίους. εἶτα πάλιν ἐξ ὑπαρχῆς ὁ ι πρὸς τὸν γ τριπλασιεπίτριτός ἐστι πρῶτος, ὁ δὲ κ πρὸς τὸν Ϛ τριπλασιεπίτριτος δεύτερος, καὶ ἀπλῶς οἱ δεκαπλάσιοι ἐφεξῆς πρὸς τοὺς ἐφεξῆς τριπλασίους· ἃ δὴ ἀκριβέστερον κατιδεῖν δυνάμεθα καὶ τρανότερον ἐν τῷ προεπιγνωσθέντι διαγράμματι· πρὸς μὲν γὰρ τὸν πρῶτον στίχον οἱ ἐφεξῆς τάξει συγκείμενοι ὅλοι πρὸς ὅλον 4. πρὸς τὸν ιβ † πρὸς τὸν β P τὰ β . . . τὰ ιδ . . . τὰ δ SH — 6. εὐτάκτους om. — 7. εἶτα om. CSH — τὰ ι . . . τὰ γ SH — 8. πρῶτος . . . τριπλ. om. G1 πρῶτος . . . δεύτ. om. P — τὰ δὲ κ . . . τὰ Ϛ G2SH — 9 δεύτερο G1 ς G2 — δεκαπλάσιοι] δεκάδι διαφέροντες G2 — 10. τριπλασίους ς] τριάδι διαφέροντας G2 superscr. S διπλασίους PH. G hocce add. diagramma διπλασι- εφήμισυς διπλασι- επίτριτος διπλασι- επιτέταρτος τριπλασι- εφήμισυς τριπλασι-επίτριτος τριπλασι- επιτέταρτος τετραπλασι- εφήμισυς τετραπλασι- επίτριτος ε β ζ γ θ δ ζ β ι γ ιγ δ θ β ιγ γ ι δ ιδ Ϛ ιη η ιδ δ κ Ϛ κϚ η ιη δ κϚ Ϛ ιε Ϛ κα θ κζ ιβ κα Ϛ λ θ λθ ιβ κζ Ϛ λθ θ κ η κη ιβ λϚ ιϚ κη η μ ιβ νβ ιϚ λϚ η νβ ιβ κε ι λε ιε με κ λε  ι ν ιε ξε κ με ι ξε ιε λ ιβ μβ ιη νδ κδ μβ ιβ ξ ιη οη κδ ιβ οη ιη λε ιδ μθ κα ξγ κη μθ ιδ ο κα Ϟα κη ξγ ιδ Ϟα κα μ ιϚ νϚ κδ οβ λβ νϚ π κδ ρδ λβ οβ ιϚ ρδ κδ με ιη ξγ κζ πα λϚ ξγ ιη Ϟ κζ ριζ λϚ πα ιη ριζ κζ — 10. οὓς δὴ C — 12. διαγράμματι] cf. p. 51. — 13. ἐφεξῆς] στίχοι add. CS —  συγκρινύμενοι CSH τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἐπʼ ἄπειρον ὑποδεικνύουσι πρὸς τὸν αὐτὸν ἀεὶ πρῶτον ἅπαντες συγκρινόμενοι, πρὸς δὲ τούς ὑπεράνω πάντας ἐφεξῆς εἷς ἕκαστος πρὸς τὸν γείτονα· τῆς ἀρχῆς ᾑμῖν ἀπὸ τοῦ δευτέρου γινομένης στίχου πάντα τὰ τοῦ ἐπιμορίου εἴδη κατὰ τὴν οἰκείαν εὐταξίαν γεννᾶται, ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου στίχου πρὸς αὐτόν τε πρῶτον καὶ τοὺς συνεχεῖς αὐτῷ καθʼ ἕκαστον οἱ ἀπὸ τοῦ πέμπτου περισσοταγεῖς πάντες ἀντεξεταζόμενοι τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς πάντα εἴδη εὔτακτα ὑποδείξουσι· τοῦ δὲ πολλαπλασιεπιμορίου αἱ συγκρίσεις τάξιν φυσικὴν καὶ ἰδίαν ἕξουσιν, ἐὰν ἀπὸ τοῦ δευτέρου στίχου ἀρχόμενοι τοὺς ἀπὸ τοῦ πέμπτου συγκρίνωμεν ἀριθμούς, πρῶτον πρὸς πρῶτον καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τρίτον καὶ οὕτως ἑξῆς, πρὸς δὲ τὸν τρίτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἑβδόμου, πρὸς δὲ τὸν τέταρτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἐνάτου, καὶ κατὰ τὴν ἁρμόζουσαν εὐταξίαν, μέχρις ἂν εὐτονῇ τις παρέπεσθαι. δῆλον δέ, ὅτι οἱ ἐλάττονες σὺν τῇ ὑπο προ ἀντονομάζονται καὶ ἐνθάδε πρὸς τοὺς μείζονας κατὰ τὰς ἐγκειμένας πᾶσι προςηγορίας.

β. Δοθέντων σοι τριῶν ὅρων ἐν ᾑτινιοῦν σχέσει καὶ ἀναλογίᾳ, εἴτε πολλαπλασίῳ εἴτε ἐπιμορίῳ εἴτε ἐπιμερεῖ εἴτε συνθέτῳ ἀπὸ τούτων πολλαπλασιεπιμορίῳ ἤτοι πολλαπλασιεπιμερεῖ, μόνον ἵνα ἐν τῷ αὐτ ῷ λόγῳ ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα θεωρῆται, ἐν ᾧ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ἢ ἀνάπαλιν, αἰεὶ τὸν ἐλάττονα ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ μέσου, ἐάν τε πρῶτος ᾖ κείμενος ἐάν τε ἔσχατος, καὶ τίθει αὐτὸν μὲν τὸν II. lo. Phil. rec. I ε—ιβ: rec. II ε— ια. — Soterichi Schol. ined. (cod. H) — Boëth. II. 2. 8. ἀναλυομένου G -μενα PSH — 9. ἐπὶ om. H — αὔξησιν — 12. 13. λοιπόν, ἵν᾿ ὡς ἀλ. ᾖ, ἀποδ. ὅτι στοιχεῖόν ἐστι καὶ ὅτι καὶ αἱ ἀναλ. C — 14. ἔφοδον] οὖν add. P δὲ H — καθολικῶς P II. Ἡ ἔφοδος P — 16. σχέσει] θέσει G1; σχέσει tue- tur Io. Phil. rec. II. ε — 18. ἐπισυνθέτῳ H — πολλα- πλασιπιμορίῳ om. GPH ἐλάσσονα πρῶτον ὅρον, τὸ δὲ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ P δευτέρου μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν δεύτερον τάσσε ὅρον, ἑνὸς δὲ τοιούτου πρώτου καὶ δύο τοιούτων δεύτερων ἀφαιρεθέντων ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν δοθέντων σοι, τὸ λειπόμενον ποίει τρίτον ὅρον καὶ ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν ἄλλῃ τινὶ σχέσει προγενεστέρᾳ κατὰ φύσιν. πάλιν δὲ ἀπʼ αὐτῶν τούτων τῷ αὐτῷ τρόπῳ ἂν ἀφέλῃς ὅρου τὸ λειπόμενον, οἱ τρεῖς ὅροι ἀναπεποδισμένοι σοι εὑρεθήσονται εἰς πυθμενικωτέρους ἄλλους τρεῖς, καὶ τοῦτο ἀεὶ ἀκόλουθον εὑρήσεις γινόμενον, μέχρις ἂν εἰς ἰσότητα ἀναχθῶσιν· ἐξ οὗ πᾶσα ἀνάγκη δηλονότι ἀποφαίνεσθαι, τῆν ἰσότητα τοῦ πρός τι ποσοῦ στοιχεῖον πάντως εἶναι. παρέπεται δὲ τῇ τοιαύτῃ θεωρίᾳ ἐμμουσότατόν τι θεώρημα καὶ χρησιμώτατον εἴς τε τὴν Πλατωνικὴν ψυχογονίαν καὶ εἰς τὰ ἁρ μονικὰ διαστήματα πάντα· κελευόμεθα γὰρ ἐκεῖ πυκνῶς λόγου χάριν ἀποστῆσαι ἐφεξῆς δύο ἡμιολίους λόγους ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ ἐπʼ ἄπειρον ἢ δύο ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπογδόους ἢ οἵους δήποτε ἐπιμορίους καὶ καθʼ ἕκαστον αὐτῶν ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ μέχρις ὅσων τις προςτάσσει. εὔλογον δέ ἐστι, μὴ ἰδιωτικῶς καὶ ἀνεπιστημόνως, ἔστι δὲ ὅτε καὶ διημαρτημένως τὸ τοιοῦτον ποιεῖν, ἀλλʼ ἐντέχνως τε καὶ ἀπταίστως καὶ τάχιστα ἐφόδῳ τοιαύτῃ.

γ. Ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων αὐτῷ, ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὥν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος, οὔτε δὲ πλειόνων οὔτε ἐλαττόνων οὐδεμιᾷ μηχανῇ. διπλάσιοι μὲν οὖν ἡμιολίους φύσουσιν, ὁ πρῶτος ἕνα, ὁ δεύτερος δύο, ὁ τρίτος τρεῖς, ὁ τέταρτος τέσσαρας, ὁ πέμπτος πέντε, ὁ ἕκτος ἕξ καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττονας, ἀλλʼ ἐξ ἀνάγκης πάσης, ὅταν τὴν σύμμετρον ποσότητα ἀπολάβωσιν οἱ γεννηθέντες ἐπιμόριοι ἰσάριθμοι γενόμενοι τοῖς γεννήσασι πολλαπλασίοις, τότε δὴ ἔκ τινος δαιμονίας μηχανῆς εὑρίσκεται ὁ πάντας περαίνων ἀριθμὸς ἀνεπίδεκτος ὢν φύσει ἐκείνου. τοῦ μορίου, καθʼ ὃ προέκοπτον οἱ ἐπιμόριοι· ἀπὸ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι πάντες προκόψουσι καὶ αὐτοὶ ἰσάριθμοι τοῖς γεννῶσιν οἱ γεννώμενοι P καὶ περαιούμενοί γε μετὰ τὴν αὐτάρκειαν τῆς προκοπῆς εἰς ἀριθμούς μὴ ἐπιδεκτικοὺς τρίτου· καὶ ἐπιτέταρτοι δὲ κατὰ ταυτὸν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορύφωσιν λαμβάνοντες ἀριθμὸν μετὰ τὴν αὐτάρκη πρόβασιν τετάρτου μὴ ἐπιδεκτικόν. οἷον διπλασίων μὲν ὑποδείγματος χάριν ἰσαρίθμους γεννώντων ἡμιολίους ὁ μὲν ἄνω στίχος ἔσται πολλαπλασίων ὁ πρῶτος III. Io. Phil. rec. l, ιγ—ιϚ; rec. ll, ιβ—ιε. — Iambl p. 72. 73. — Boëth. II. 2. III. Μέθοδος, ὅπως δεῖ ἐκ τῶν πολλαπλασίων τοὺς ἑπιμορίους εὑρίσκειν — 2. ἀντιπαρωονυμούν- των H — ὁπόσος H — 3. τυγχάνει P -οι C — 7. ὁ ἕκτ. ἕξ om. H — 9. ἐπιμόριοι om. PC — 12. περαιῶν PC — 14. προκόπτουσι H — 15. γινόμενοι, om. οἱ C — 16. μετ αὐτὴν αὐτάρκη αὐτῆς προκ. P — 17. ἀριθμὸν SH — ἐπι- δεκτικ G δεκτικὸν H τρίτον ἀνεπιδεκτικὸν S — 18, πε- ρικορύφωσιν H — 20. δεκτικὸν. H α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ· ἐπεὶ δὲ πρῶτός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα, ἑνὸς κατάρξει οὗτος ἡμιολίου μόνου τοῦ γ, ὅςτις ἡμίσους ἐπιδεκτικὸς οὐκ ἔστιν, ἵνα καὶ ἄλλος αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος· ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος ἑνὸς μόνου γεννητικός ἐστιν ἡμιολίου, ὁ δὲ δεύτερος ὁ δ δυεῖν γεννητικὸς ἡμιολίων, αὐτοῦ μὲν γὰρ ὁ Ϛ, τοῦ δὲ Ϛ ὁ θ, τοῦ δὲ θ οὐκ ἔστιν ἄλλος, ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ὁ δὲ η τρίτος ὢν διπλάσιος τριῶν ἡμιολίων ἔσται πατήρ, ἑνὸς μὲν τοῦ ιβ πρὸς αὐτόν, ἑτέρου δὲ τοῦ ιη πρὸς τὸν ιβ, τρίτου δὲ τοῦ κζ πρὸς τὸν ιη, τετάρτου δὲ οὐκέτι διὰ τὸ καθολικόν, ὁ γὰρ κζ ἥμισυ οὐκέτι ἐπιδέχεται· ὁ δὲ ιϚ τέταρτος ὢν διπλάσιος τεσσάρων ἡγήσεται ἡμιολίων, τοῦ τε κδ, τοῦ λϚ, τοῦ νδ καὶ τοῦ πα τελευταίου, ἵνα ἰσάριθμοι ἀνάγκαίως ὦσι τοῖς γεννήσασιν, ὁ γὰρ πα οὐκέτι ἥμισυ φύσει ἐπιδέχεται· καὶ τούτο μέχρις ἀπείρου προιών ἀνάλογον εὑρήσεις. οἷον ὑποδείξεως ἕνεκα γεγράφθω οὕτως διπλασίου διάγραμμα

δ. Τριπλασίου δὲ ὑπόδειγμα παραπλήσιον διαγράφειν δεῖ·

Τριπλασίων διάγραμμα·

κατὰ μὲν τὸ πλάτος τριπλάσιον.

α γ θ κζ πα σμγ ψκθ

ε. Λοιπὸν δεῖ, σαφηνίσαντας τὰς τῶν λόγων συνθέσεις, τίνων ἑτέρων ἀποδοτικαί εἰσι, μεταβῆναι ἐπὶ τὰ τῆς εἰςαγωγῆς ἀκόλουθα. οἱ πρῶτοι τοίνυν τοῦ ἐπιμορίου δύο λόγοι συλληφθέντες εἰς τὸ αὐτὸ γεννῶσι τὸν τοῦ πολλαπλασίου πρῶτον λόγον, τουτέστι τὸν διπλάσιον· πᾶς γὰρ διπλάσιος σύστημα ἔσται ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου καὶ πᾶς ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος συντεθέντες ἀποδοτικοὶ ἑνὸς διπλασίου πάντως ἔσονται· οἷον ἐπεὶ ὁ γ ἡμιόλιος τοῦ β, ὁ δὲ δ ἐπίτριτος τοῦ γ, ἔσται τοῦ β ὁ δ διπλάσιος σύνθετος ὢν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου· πάλιν ἐπεὶ ὁ Ϛ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ, εὑρήσομεν ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον, ὃς ἐξ ἀνάγκης πρὸς μὲν τὸν ἕτερον τὸν ἐπίτριτον σώζει λόγον, πρὸς δὲ τὸν λοιπὸν τὸν ἡμιόλιον· ὁ γοῦν δ ἀνὰ μέσον κείμενος τοῦ Ϛ καὶ τοῦ γ πρὸς μὲν τὸν γ ἀποδίδωσι λόγον ἐπίτριτον, πρὸς δὲ τὸν Ϛ τὸν ἡμιόλιον. ὀρθῶς ἄρα ἐλέχθη διαλυόμενον μὲν τὸν διπλάσιον εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον διαλύεσθαι, συντιθεμένων δὲ πάντως ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου μόνον συνίστασθαι διπλάσιον P καὶ τὰ τοῦ ἐπιμορίου δύο πρώτιστα εἴδη συντεθέντα ποιητικὰ εἶναι τοῦ τῶν πολλαπλασίων πρωτίστου εἴδους. πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τὸ γεννηθὲν τοῦτο τοῦ πολλαπλασίου πρώτιστον εἶδος μετὰ τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων εἴδους ἀποδοτικὸν V. Io. Phil. rec. I, ιθ, κ rec. II, ιϚ, ιζ. — Boëth. II. 3. V. 1. 2. Λοιπὸν δὴ . . . μεταβῆναι δέον C — 1. προ σαφηνίσαντας PCSH — τῶν ἀναλογιῶν λόγων G — 5. ὅ ἐστι SH — 8 συντιθέντες G — 9. πάντος G παντός P — 12. ἕνα τινὰ S — 14. σώσει S — 19. συντεθειμέ- νου P συντιθέμενον S — 21. δύο om. C — συντι- θέντα G γίνεται τοῦ ὁμογενοῦς αὐτῶν συνεχοῦς εἴδους, τουτέστι τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, ὅπερ ἐστὶ τριπλασίου· ἐκ γὰρ παντὸς διπλασίου καὶ ἡμιολίου συντεθέντων τριπλάσιον ἐξ ἀνάγκης φύεται· οἷον ἐπεὶ τοῦ Ϛ διπλάσιος ὁ ιβ, αὐτοῦ δὲ τούτου ἡμιόλιος ὁ ιη, εὐθὺς καὶ τριπλάσιος ὁ ιη τοῦ Ϛ· καὶ ἑτέρῳ τρόπῳ ἐὰν μὴ τὸν ιβ θέλω μέσον ποιεῖν, ἀλλὰ μᾶλλον τὸν τοῦ Ϛ ἡμιόλιον τὸν θ, τὸ αὐτό μοι ἀπαράλλακτον καὶ σύμφωνον συμβήσεται· τοῦ γὰρ θ ὁ ιη διπλάσιος ὢν τὸν τριπλάσιον λόγον σώσει πρὸς τὸν Ϛ· ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον καὶ εἰς αὐτὰ δὲ πάντως ἀναλύεται. ἰδού γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλάσιος ὢν ἕξει μέσον τὸν γ, ὃς δύο λόγους παραδείξει, τὸν μὲν ἡμιόλιον πρὸς τὸν β, πρὸς ἑαυτὸν δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ· ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεῇ ἐπτρίτῳ δευτέρῳ εἴδει ὄντι τοῦ ἐπιμορίου γένοιτ᾿ ἂν ἐξ ἀμφοτέρων τὸ συνεχὲς τοῦ πολλαπλασίου εἶδος, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, ὃ καὶ ἀναγκαίως εἰς ἀμφότερα ἀναλυθήσεται κατὰ τὴν αὐτὴν τοῖς προδεδηλωμένοις φύσιν· τὸ δὲ τετραπλάσιον προςλαβὸν τὸ ἐπιτέταρτον ποιητικὸν ἔσται τοῦ πενταπλασίου καὶ πάλιν ἐκεῖνο σὺν τῷ 1. αὐτῷ C — 2. ὅ ἐστι CS — 4. συντιθέντων G — ἀνά- φύεται H γίνεται S — 7. μεσοποιεῖν P — 10. σώζει CH — 11. 12. πρώτου εἴδους ἐπιμορίου καὶ πρώτου εἴδους πο- λυπλασίου S — 13. πολυπλ. S — 15. τοῦ β] τοῦ δευτέρου G — 20. γένοιντʼ G — 21. τετραπλάσιον] τριπλάσιος δὲ ὁ ϛ τοῦ β [ἐπεὶ γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλ. H] ἐπίτριτος [δὲ H] ὁ η τοῦ Ϛ, ὁ η ἄρα τοῦ β τετραπλάσιος add. S — 24. προς- λαβών P ἐπιπέμπτῳ τοῦ ἑξαπλασίου, καὶ τοῦτο μέχρι παντός, ἵνα εὔτακτοι οἱ ἐξ ἀρχῆς πολλαπλάσιοι μετὰ εὐτάκτων τῶν ἐξ ἀρχῆς ἐπιμορίων ἀποδοτικοὶ εὑρίσκωνται τῶν ἐπὶ τὸ μεῖζον συνεχῶν πολλαπλασίων· διπλάσιος μὲν γὰρ μεθʼ ἡμιολίου τριπλασιότητος ποιητικός, τριπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτρίτου τετραπλασιότητος, τετραπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτετάρτου πεντα πλασιότητος καί, ἕως προχωρεῖν θέλεις, οὐδὲν P ὑπεναντίον σοι συμβαῖνον φανεῖται.

ϛ. Μέχρι μὲν οὖν τοῦδε ἱκανῶς περὶ τοῦ πρὸς ἕτερόν πως ἔχοντος ποσοῦ διειλέγμεθα συμμετρησάμενοι κατʼ ἐκλογην τὰ προςήκοντα καὶ εὐπερίληπτα τῇ τῶν ἄρτι εἰςαγομένων ἕξει· τὰ γὰρ εἰς τὸν τόπον τοῦτον ὑπόλοιπα προςπληρωθήσεται διαλιπόντων πάλιν ἡμῶν καὶ προτεχνολογησάντων ἕτερά τινα προὐργιατέραν τὴν σκέψιν ἔχοντα ἐκ τῶν συμβεβηκότων τῷ καθʼ αὑτὸ ποσῷ καὶ μὴ τῷ πρὸς, ἕτερόν πως ἔχοντι, αἰεὶ γὰρ δἰ ἀλλήλων φιλεῖ πως διαρθροῦσθαι καὶ σαφηνίζεσθαι τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρήματα· ἃ δὲ χρὴ προεπισκοπῆσαι καὶ προθεάσασθαι, ἔστι περί τε γραμμικῶν ἀριθμῶν καὶ VI. Io. PhiI rec. I, κα—κη; rec. ll, ιη—κα. — lambl. p. 80 — 82. — Boëth. II. 4. 3. εὑρίσκονται P — 8. ἕως ἂν . . θέλῃς SH — 9. σοι] μοι C, om. P — συμβαῖνοι P — φανήσεται H — codices Nicomachi uerba sclematibus inlustrant huncce in modum compositis: o β γ δ ἡμιόλ. ἐπίτρ. cet. διπλάσ. VI. 10. οὖν om. C — 14. προςπληρωθήσονται C — 20. θεωρούμενα H — 20 21. ἐπισκοπ. καὶ θεάσασθαι S — 21. γραμμι////κῶν G ἐπιπέδων καὶ στερεῶν, κυβικῶν τε καὶ σφαιρικῶν, καὶ ἰσοπλεύρων καὶ σκαληνῶν, πλινθίδων τε καὶ δοκίδων καὶ σφηνίσκων καὶ τῶν ὁμοίων, ἃ δὴ ἰδίως μὲν ἐν τῇ γεωμετρικῇ παραδίδοται εἰςαγωγῇ τοῦ πηλίκου οἰκειότερα ὄντα, σπερματικώτερον δὲ προςπαραλαμβάνεται ἐν τῇ ἀριθμητικῇ ὡςὰν μητρὶ καὶ ἀρχεγονωτέρᾳ ἐκείνης· μεμνήμεθα γάρ, ὅτι πρὸ βραχέος τοιαύτη ἡμῖν ἐφάνη συναναιροῦσα μὲν τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἑαυτῇ, οὐ συναναιρουμένη δὲ ἐκείναις, καὶ ἔμπαλιν συνεπιφερομένη μὲν ἐκείναις ἀναγκαίως, οὐ συνεπιφέρουσα δὲ αὐτὰς ἑαυτῇ.

Πρότερον δὲ ἐπιγνωστέον, ὅτι ἕκαστον γράμμα, ᾧ σημειούμεθα ἀριθμόν, οἷον τὸ ι, ᾧ τὰ δέκα, τὸ κ, τὰ εἴκοσι, τὸ ω, ᾧ τὰ ὀκτακόσια, νόμῳ καὶ συνθήματι ἀνθρωπίνῳ, ἀλλʼ οὐ φύσει σημαντικόν ἐστι τοῦ ἀριθμοῦ, ἡ δὲ φυσικὴ καὶ ἀμέθοδος καὶ διὰ τοῦτο ἁπλουστάτη σημείωσις τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν ἡ τῶν μονάδων τῶν ἐν ἑκάστῳ οὐσῶν παράλληλος ἔκθεσις· οἷον μιᾶς μὲν μονάδος γραφὴ διὰ τοῦ ἑνὸς ἄλφα σημεῖον ἔσται τοῦ ἑνός, δυεῖν δὲ μονάδων παραλλήλων, τουτέστι δυεῖν ἄλφα ἔκθεσις σημεῖον ἔσται τῆς δυάδος, τριῶν δὲ ἐπʼ εὐθείας ἀλλήλοις κειμένων τριάδος ἔσται χαρακτήρ καὶ τεσσάρων ἐπʼ εὐθὺ τεταγμένων τετράδος καὶ πέντε πεντάδος καὶ ἀεὶ οὕτως· διὰ γὰρ τῆς τοιαύτης γραφῆς καὶ σημάνσεως ἡ τῶν φρασθησομένων ἐπιπέδων τε καὶ 1. κύβων H — τε] φημί add. C — 2. σκαλινῶν P cf. Eucl. l, ὅρ. κϚ — 3. σφηνίκων GP σφ. καὶ σφηκί- σκων H — 7. ἀρχαιγονωτέρα S — 11. ἀναγκαίως om. C — 14. ᾧ τὰ εἴκ. om. P — 17. εἴη ἂν] ὀρθῶς add. SH — 20. ἄλφα] ἔκθεσις add. C — 22. ἀλλήλοις] παρ- αλλήλοιν S στερεῶν σχηματογραφία τρανωθῆναι δύναιτʼ ἂν μόνως καὶ σαφηνισθῆναι, οἷον μονὰς μὲν α, δυὰς δὲ αα, τριὰς δὲ ααα, τετρὰς δὲ αααα, P πεντὰς δὲ ααααα, καὶ εἰς πλείονα ἀεὶ ἀναλόγως. ἔσται οὖν ἡ μὲν μονὰς σημείου τόπον ἐπέχουσα καὶ τρόπον ἀρχή μὲν διαστημάτων καὶ ἀριθμῶν, οὔπω δὲ διάστημα οὐδὲ ἀριθμός, ὡς τὸ σημεῖον ἀρχὴ μὲν γραμμῆς καὶ διαστήματος, οὔπω δὲ γραμμὴ οὐδὲ διάστημα· ἀμέλει οὔτε σημείῳ σημεῖον συντεθὲν πλεῖόν τι ποιεῖ, ἀδιάστατον γὰρ ἀδιαστάτῳ συντεθὲν διάστημα οὐχ ἕξει, ὥςπερ εἴ τις τὸ οὐδὲν οὐδενὶ συντεθὲν σκέπτοιτο, οὐδὲν γὰρ ποιεῖ· κατὰ ταυτὰ γὰρ ἐφαίνετο καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἡμῖν ἐν ταῖς σχέσεσι, σώζεται μὲν γὰρ ἀναλογία, ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον, οὐ μὴν διάστημα γεννᾶταί τι τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους, ὥςπερ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν χωρὶς ἰσότητος σχέσεων πασῶν· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ μονὰς ἐκ παντὸς μόνη τοῦ ἀριθμοῦ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσασα οὐδὲν πλέον ἑαυτῆς γεννᾷ· ἀδιάστατος ἄρα ἡ μονὰς καὶ ἀρχοειδής, πρῶτον δὲ διάστημα εὑρίσκεται καὶ φαίνεται 8. καὶ εἰ πλείονα εἴη ἀναλ. C καὶ εἰ ἐπὶ πλέον εἴη ἀναλ. S καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ ἀν. H — οὖν] ἡμῖν add. — 9. τόπον . . . τρόπον] λόγον . . . τόπον S — 10. διαστή- ματα οὐδὲ P — 13. 14. πλεῖον . . . συντεθὲν om. P — 14. ἀδιαστάτῳ] ἤτοι ἀμερὲς ἀμερεῖ add. S — 15. σκέψοιτο ἐπισκέπτοιτο — 16 κατὰ ταυτὰ γὰρ] καὶ τ. γ. Ast τὰ αὐτὰ δὲ — 19. οὕτως sol. — 21. ἄλλων τῶν om. H — 23. πολυπλασιάσασα S πλεονάσασα C ἐν δυάδι, εἶτʼ ἐν τριάδι, εἶτα ἐν τετράδι καὶ ἑξῆς ἐν τοῖς ἀκολούθοις· διάστημα γάρ ἐστι δυεῖν ὅρων τὸ μεταξὺ θεωρούμενον. πρῶτον δὲ διάστημα γραμμὴ λέγεται, γραμμὴ γάρ ἐστι τὸ ἐφʼ ἓν διαστατόν· δύο δὲ διαστήματα ἐπιφάνεια, ἐπιφάνεια γάρ ἐστι τὸ διχῆ διαστατόν· τρία δὲ διαστήματα στερεόν, στερεὸν γάρ ἐστι τὸ τριχῆ διαστατὸν καὶ οὐκ ἔστιν οὐδαμῶς ἐπινοεῖν στερεόν, ὃ πλεόνων τέτευχε διαστημάτων ἢ τριῶν, βάθους, πλάτους, μήκους· τούτοις γὰρ αἱ λεγόμεναι περὶ πᾶν σῶμα ὑπάρχειν ἓξ περιστάσεις ὁρίζονται, καθʼ ἃς αἱ κατὰ τόπον κινήσεις διακρίνονται, πρόσω, ὀπίσω, ἄνω, κάτω, δεξιά, ἀριστερά· ἑκάστῳ γὰρ διαστήματι δύο ἐξ ἀνάγκης περιστάσεις παρέπονται ἀλλήλαις ἀντίθετοι, ἑνὶ μὲν αἱ ἄνω καὶ κάτω, ἑτέρῳ δὲ αἱ πρόσω καὶ ὀπίσω, τῷ τρίτῳ δὲ αἱ ἐπὶ δεξιὰ καὶ ἀριστερά. καὶ συμβαίνει πως οὕτως ἀναστρέφειν τὸν λόγον· εἴ τι γὰρ στερεόν ἐστιν, ἐκεῖνο τὰς τρεῖς διαστάσεις πάντως ἔχει, μῆκος, βάθος, πλάτος καὶ ἔμπαλιν, εἴ τι ἔχει τὰς τρεῖς διαστάσεις, ἐκεῖνο πάντως στερεόν ἔστιν, ἄλλο δʼ οὐδέν. οὐκ ἄρα τὸ δύο μόνον ἔχον διαστάσεις ἔσται στερεόν, ἀλλʼ ἐπιφάνεια, αὕτη γὰρ διαστημάτων ἐπιδεκτικὴ δυεῖν ἐστι μόνων· καὶ ἐπʼ αὐτῆς P δυνατὸν ὁμοιοτρόπως ἀντιστρέφειν τὸν λόγον, ἐπι- φάνειά τε γὰρ ὀρθῶς τὸ διχῆ διαστατὸν καὶ πάλιν 1. ἐν δυάδι, εἶτ᾿ οm. P — 2. δύο H — 3. δὲ] γὰρ G — 4—6. δύο . . . διαστατὸν om. C — 7. 8. καὶ οὔτι ἔστιν οὐδαμοῦ S — 8, στερεόν om. — 10. αἱ λεγ.] ἐκλεγόμε- ναι P — 15. ἑτέρῳ] ἑκατέρῳ P — 16. αἱ om. GP — δεξιᾷ καὶ ἀριστερᾷ P — 17. ἀντιστρ. in mrg. — 19. μῆκ., βάθ., πλ. om. H — 21. μόνον] μόνας — 22. ἐστίν H — 23. δεκτική — 24. ὁμοιοτρόπος G ὁμοίως S ἀναστρ. H (in mrg. ἀντιστρ.) — 25. ὀρθῶς] ὑγιῶς CH — ἔμπαλιν S τὸ διχῆ διαστατὸν πάντως ἐπιφάνεια ἔσται. ἑνὶ ἄρα διαστήματι ἠλάττωται ἐπιφάνεια στερεοῦ, ἑνὶ δὲ καὶ γραμμὴ ἐπιφανείας οὖσα τὸ ἐφ᾿ ἓν διαστατὸν καὶ ἑνὸς μόνου τετευχυῖα δικστήματος, λειπομένη δὲ στερεοῦ δυσὶ διαστήμασι· ταύτης δʼ αὐτῆς λείπεται ἑνὶ διαστήματι τὸ σημεῖον· διὰ τοῦτο προελέχθη εἶναι ἀδιάστατον στερεοῦ μὲν τρισὶ διαστήμασι λειπόμενον, ἐπιφανείας δὲ δυσί, γραμμῆς δὲ ἑνί.

ζ. Ἔστιν οὖν σημεῖον ἀρχὴ διαστήματος, οὐ διάστημα δέ, τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἀρχὴ γραμμῆς, οὐ γραμμὴ δέ· καὶ γραμμὴ ἀρχὴ ἐπιφανείας, οὐκ ἐπιφάνεια δέ, καὶ ἀρχὴ τοῦ διχῆ διαστατοῦ, οὐ διχῆ δὲ διαστατόν. καὶ εἰκότως ἡ ἐπιφάνεια ἀρχὴ μὲν σώματος, οὐ σῶμα δέ, καὶ ἡ αὐτὴ ἀρχὴ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ, οὐ τριχῆ δὲ διαστατόν. οὕτως δὴ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἡ μὲν μονὰς ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ ἐφʼ ἓν διάστημα κατὰ μονάδα προβιβαζομένου, ὁ δὲ γραμμικὸς ἀριθμὸς ἀρχὴ ἐπιπέδου ἀριθμοῦ ἐφʼ ἕτερον διάστημα ἐπιπέδως πλατυνομένου, ὁ δὲ ἐπίπεδος ἀριθμὸς ἀρχὴ στερεοῦ ἀριθμοῦ ἐπὶ τρίτον διάστημα πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προςκτωμένου· οἷον καθʼ ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι καὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν ἐπὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ προχωροῦντες διάστημα, ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι ἀρχικωτάτης VII. lo. Phil. rec. l, κθ, λ; rec. lI, κβ, κγ. — lambl. p. 80—82. — Io. Pedias. in Iahnii nou. ann. XCII, p. 371. 372. — Boëth. II. 5. 6. 1. ἔσται om. PH — 2. ἐλαττοῦται H — 5. αὐτῆς] τῆς γραμμῆς — 7. λειπομένου G λειπουμένου P VII. 11. καὶ γρ.] γραμμὴ om. G, ἡ δὲ γρ. SH — 14. ἡ αὐτὸ G — 17. προβιβαζομένη — 20. ἐπιτρίτου P — 21. πρὸς] παρὰ — βάθη GP ῥίζης καὶ διὰ τῶν ἐξῆς συνεχῶν ἀριθμῶν προιόντες, λαμβάνοντες καὶ τὴν ἐπωνυμίαν κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν· πρώτιστοι γὰρ τρίγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς τετράγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς πεντάγωνοι, εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπʼ ἄπειρον· προςαγορεύονται δέ, ὡς ἔφαμεν, ἀπὸ τῶν ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς κειμένων ἀριθμῶν. ἀρχικώτατον ἄρα σχῆμα ἐπιπέδων καὶ στοιχειωδέστατον τὸ τρίγωνον εὑρίσκεται· καὶ γὰρ ἐν τοῖς γραμμικοῖς ἐπιπέδοις ἐὰν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι ἀχθῶσι, λυθήσεται ἕκαστον εὐθύγραμμον σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνα τοσαῦτα, ὅσαιπερ ἂν αὐτοῦ τυγχάνωσιν αἱ πλευραί, αὐτὸ δὲ τὸ τρίγωνον τὸ αὐτὸ τοῖς ἄλλοις παθὸν εἰς ἕτερόν τι οὐ μεταπεσεῖται, ἀλλʼ εἰς ἑαυτό· στοιχεῖον ἄρα καὶ ἐν ἐκείνοις τὸ P ρίγωνον· εἰς αὐτὸ γὰρ τὰ ἄλλα πάντα ἀναλύεται ἀναγκαίως, αὐτὸ δὲ οὐκ εἰς ἕτερον· ἐκ τούτου ἂν καὶ συσταίη τὰ λοιπά, αὐτὸ δὲ ἐξ οὐδενός· στοιχεῖον ἄρα τοῦτο τῶν ἄλλων, αὐτοῦ δὲ οὐδέν. κἀν τοῖς ἀριθμητικοῖς δὲ ἐπιπέδοις προιὼν ὁ λόγος βεβαιώσει τὸ λεγόμενον.

η. Τρίγωνος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ διαλυόμενος VIII. lo. Ph rec. l, λα, λβ; rec. II, κδ. — Iambl. p. 82 83. — Theon. 18. 19. 23 — lo. Pedias. I. I. — Hoëth. II. 6. 3—5. hasce addunt codices figuras: 8. ἐπιπέδων om. H — 9. γὰρ om, G — 9. 10. ἐπὶ τῶν ραμμικῶν ἐπιπέδων S cf. Eucl. l, ὅρ. κ. — 11. ἔκαστος G — 12 τοσαῦτα] τῷ ἀριθμῷ, ὁπόσα add. S — 14, ἕτερον ἄλλο S — 16. εἰς ὃ CSH — λύεται SH — 17. εἰς ἄλλο SH VIII. Περὶ τριγώνου ΗΓ εἰς μονάδας καὶ τὴν κατʼ ἐπίπεδον θέσιν τῶν μορίων ἰσόπλευρον σχηματογραφῶν εἰς τριγωνισμόν, οὗ ὑποδείγμαπα ὁ γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη καὶ οἱ ἐφεξῆς· σχηματογραφίαι γὰρ αὐτῶν εὔτακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε ἅμα καὶ ἰσόπλευροι, καὶ τὸ τοιοῦτον, μέχρις οὗ βούλει, προκόπτων τριγωνιζόμενον εὑρήσεις πρὸ πάντων στοιχειωδέστατον τάττων τὸ ἐκ μονάδος γινόμενον, ἵνα καὶ τρίγωνος δυνάμει φαίνηται ἡ μονάς, ἐνεργείᾳ δὲ πρῶτος ὁ γ. πλευραὶ δὲ παραυξηθήσονται τῷ συνεχεῖ ἀριθμῷ, τοῦ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτου πλευρὰ μονάς, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτου πλευρὰ δυάς, τουτέστι τοῦ γ, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρου πλευρὰ τριάς, τουτέστι τοῦ Ϛ, τοῦ δὲ τρίτου πλευρὰ τετρὰς καὶ τοῦ τετάρτου πεντὰς καὶ τοῦ πέμπτου ἑξὰς καὶ ἀεὶ οὕτως. γεννᾶται δὲ τοῦ φυσικοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος καὶ ἀεὶ ἀπʼ ἀρχῆς τῶν συνεχῶν κατὰ ἕνα συντιθεμένων, κατὰ γὰρ ἑκάστην σύνθεσιν καὶ προςσώρευσιν οἱ εὔτακτοι τρίγωνοι συντελοῦνται· οἷον ἐκ μὲν τοῦ φυσικοῦ στίχου τούτου α, β, γ, δ, ε, Ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ, ιδ, ιε τὸν μὲν πρώτιστον λαβὼν ἔχω τὸν δυνάμει πρῶτον 2. μορίων] μονάδων CS — ἰσοπλεύρως — 3. 4. οὗ . . . γ] ὑπόδειγμα γ S — 5. 6. εὔτακτοι ἔσονται] ἔσ. τοι- αῦται SH — 6. 7 τὸ τοιοῦτον om — 7. προκόπτον C — 9. γινόμενον] συγκείμενον H — δυνάμει] μονάδι G — 11. συνεχῆ G ἀπὸ [ὑπὸ H] τοῦ συνεχοῦς ἀριθμοῦ SH — 12 πρῶτον G1 — 12 13. τοῦτο ἐνεργ. G1 — 14 πλευρὰ om. — τριάς post ϛ GP — 15. τρίτου] τοῦ δέκα add. CSH — 17. φυσικόν G — στιχηδόν PC — 19. ἑκάστου SH — 20. εὔτακτοι] σύνθετοι add. S — 21. τούτου om. CSH — 22. ια . . . ιε om. H — ιε] ὁ α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε, ξϚ, οη, Ϟα, ρε, ρκ add. — 23. ἔχων PH τρίγωνον, τὴν μονάδα 1, εἶτα τὸν συνεχῆ αὐτῷ ἐπισωρεύσας ἔχω τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον, β γὰρ καὶ α ὁ γ ἐστί, καὶ τῇ γε σχηματογραφίᾳ οὕτως συνίσταται· ἐπὶ μιᾷ μονάδι δύο μονάδες παράλληλοι ὑποτίθενται καὶ τριγωνίζεται ὁ γ ἀριθμός 2· εἶτα ἑξῆς ἐπὶ τούτοις ὁ γ συνεχὴς προςσωρευθεὶς καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν Ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προςέτι σχηματογραφεῖ 3· καὶ πάλιν ὁ φύσει ἀκόλουθος ὁ δ ἐπὶ τούτοις σωρευθεὶς καὶ μοναδιστὶ ὑπογραφεὶς τὸν εὔτακτον μετὰ τοὺς εἰρημένους ἀποδίδωσι τὸν ι καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζεται 4· καὶ ὁ ε ἐπὶ τούτῳ, εἶτα ὁ ϛ, εἶτα ὁ ζ καὶ οἱ ἑξῆς ἅπαντες, ὥςτʼ ἐμμελῶς καὶ τὰς πλευρὰς ἑκάστου τοσούτων εἶναι P μονάδων, ὁπόσοιπερ ἀριθμοὶ συνετέθησαν ἐκ τοῦ φυσικοῦ στίχου εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν 5 6 7·

θ. Τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ συνεχὴς τούτῳ καὶ μηκέτι τρεῖς, ὡς ὁ πρόσθεν, ἀλλὰ τέσσαρας ἐν τῇ καταγραφῇ γωνίας ἀποδιδούς, ἐν ἰσοπλεύρῳ μέντοι καὶ αὐτὸς σχηματισμῷ, οἷον α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ· τούτων γὰρ αἱ καταγραφαὶ ἰσόπλευροι τετραγωνισμοὶ οὕτω πως γίνονται·

ι. Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καὶ αὐτὸς κατὰ τὴν ἐξάπλωσιν τὴν εἰς μονάδα σχηματογραφούμενος ἐπιπέδως εἰς πενταγωνικὸν σχῆμα πάντη ἰσόπλευρον, οἷον α, ε, ιβ, κβ, λε, να, ο καὶ οἱ ἀνάλογοι. ἀλλʼ ἔστι τοῦ μὲν πρώτου κατʼ ἐνέργειαν, τουτέστι τοῦ ε ἑκάστη πλευρὰ δυάς, μονὰς μὲν γὰρ τοῦ δυνάμει πρωτίστου πενταγώνου ὑπάρχει τοῦ ἑνός, τοῦ δὲ τῶν ἐκκειμένων δευτέρου τοῦ ιβ πλευρὰ τριὰς καὶ τοῦ μετʼ αὐτὸν τοῦ κβ τετρὰς καὶ τοῦ ἑξῆς τοῦ λε πεντὰς καὶ ἑξὰς τοῦ ἐπὶ τούτῳ τοῦ να καὶ ἀεὶ οὕτως· καθόλου γὰρ τοσούτων μονάδων ἡ πλευρά ἐστιν, ὅσοιπερ εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν συνεσωρεύθησαν ἀριθμοὶ ἐκλεγέντες ἐκ τοῦ κατὰ φύσιν στοιχηδὸν ἐκκειμένου ἀριθ P χύματος· παραπλησίως γὰρ καὶ ὁμοιοτρόπως ἐπισωρεύονται ἀλλήλοις εἰς πενταγώνου γένεσιν οἱ ἀπὸ μονάδος δύο διαλείποντες ἐφʼ ὁσονοῦν, τουτέστιν οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες· ἡ μὲν μονὰς δυνάμει πρῶτος καὶ σχηματογραφεῖται οὕτως 1, ὁ δὲ ε δεύτερος ἐκ τοῦ α καὶ δ συντεθέντων σχηματογραφούμενος καὶ αὐτὸς οὕτως 2, ὁ δὲ ιβ ὁ τρίτος X. Io. PhiI rec. l, λε—λζ; rec. II, κ‌Ϛ, κζ. — lambl. p. 85. — Theon. 26. — Boëth. II. 8. X. Περὶ πενταγώνου H -ων Γ — 2. μονάδας PC secundum unitatem Hoëth. II. 8. — σχηματογραφόμενος P — 6. ἀνάλογον CSH — 7. τουτέστι] ἥγουν H — ἑκάστου P, om. — 9. ἑνὸς] πρώτου S — 12 13. καθ. γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων τοσ. H — 13. ἑκάστου SH — ἔσται H — 14. ἐκλέγοντος P — 15. στιχηδόν PC — 21. ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου G — 21. 22. σχηματογραφούμ. . . . οὕ- τως om. H — 22. ὁ δὲ ιβ ὁ om. H ἔκ τε τῶν δύο προτέρων καὶ τοῦ ζ ἐπισωρευθέντος αὐτοῖς, ἵνα καὶ αὐτὸς τριάδα πλευρὰν σχῇ, ὡς τριῶν συντεθέντων εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν, ὡς καὶ ὁ πρὸ αὐτοῦ ὁ ε δυάδα πλευρὰν εἶχεν ἐκ δύο συντεθείς, ἡ δὲ σχηματογραφία αὐτοῦ τοιαύτη ἐστίν· οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις γενήσονται καθεξῆς προςσωρευομένων τῶν κατὰ τριάδος ὑπεροχὴν εὐτάκτων μετὰ τὴν ἑβδομάδα. ὄντων, οἷον τοῦ ι, ιγ, ιϚ, ιθ, κβ, κε καὶ ἐπʼ ἄπειρον· ἔσονται γὰρ κβ, λε, να, ο, Ϟβ, ριζ καὶ τοῦτο μέχρι παντός.

ια. Ἑξάγωνοι δὲ καὶ ἑπτάγωνοι καὶ οἱ ἑξῆς κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον προβιβασθήσονται ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος τοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος αἰεὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν τῶν ἀποστάσεων γινομένων· ὡς γὰρ ὁ μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας, μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο, ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν διαφέροντας, ἕνα δὲ παραλείποντας, πεντάγωνος δὲ ἀκολούθως τοὺς τριάδι μὲν διαφέροντας, δύο δὲ παραλείποντας, οὓς καὶ ἀπεδείξαμεν ὑποδείγματα αὐτῶν τε καὶ τῶν ἀποτελουμένων ἐκθέμενοι ἐξ αὐτῶν, οὕτως καὶ ἑξάγωνοι γνώμονας ἕξουσι τοῦς τετράδι μὲν διαφέροντας, τρεῖς δὲ παραλείποντας, ἐξ ὧν συντεθέντων σωρηδὸν ἀποτελοῦνται, οἷον α, ε, θ, ιγ, ιζ, κα καὶ ἐφεξῆς, ἵνα οἱ ἀποτελούμενοι ἑξάγωνοι ὦσιν α, Ϛ, ιε, κη, με, ξϛ καὶ ἀεί, μέχρις ἄν τις θέλῃ. οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας, τετράδι δὲ διαλείποντας, οἷον α, Ϛ, ια, ιϚ, κα, κϚ, λα, λϚ καὶ ἐφʼ ὁσονοῦν, αὐτοὶ δὲ οἱ συνιστάμενοί εἰσιν XI. lo. Phil. rec. l, λη—μα; rec. II. κη, κθ. — lambl. p. 85. 86. — Theon. 27. — Boëth. II. 9. XI. 1. καθεξῆς — 2. αὐτῶν G — 3. τοῦ ἀρ. . . . ἐκτεθ. om PC — στιχηδὸν H — 10. ὑπεδείξαμεν CH — 11. θέμενοι H — 14. οἷον] τοὺς add. P — 18. ἂν] οὗ HS — θέλοι P θέλει S — G hanc adscribit figuram (u. marg.) : — οἱ] εἰ G — 19. ἕξουσι C Io, Phil. rec. l, μ α, ζ, ιη, λδ, νε, πα, ριβ, ρμη καὶ τοῦτο μέχρι παντός. ὀκτάγωνοι δὲ κατὰ τὴν P αὐτὴν τάξιν τοῖς τε γνώμοσιν ἑξάδι διαφέροντες προκόπτουσι καὶ τοῖς συστήμασιν ἀναλόγως. ἵνα δὲ ἐπὶ πάντων παρατηροῦντι τοῦτο καθολικὸν σύμφωνον ᾖ, ἑκάστου πολυγώνου τοὺς γνώμονας διαφέρειν ἀλλήλων δυάδι ἐλαττόνως, ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ ὀνόματι ποσότητα τῶν γωνιῶν, τουτέστι μονάδι μὲν τὸν τρίγωνον, δυάδι δὲ τὸν τετράγωνον, τριάδι δὲ τὸν πεντάγωνον, τετράδι δὲ τὸν ἑξάγωνον καὶ πεντάδι τὸν ἑπτάγωνον καὶ ἀεὶ κατὰ παραύξησιν οὕτως.

ιβ. Καὶ περὶ μὲν τῆς τῶν πολυγώνων φύσεως Xl τῶν ἐπιπέδων ἱκανὰ ταῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰςαγωγῇ· ὅτι δὲ συμφωνοτάτη διδασκαλία ἡ περὶ αὐτῶν τῇ γραμμικῇ καὶ οὐκ ἀπᾴδουσα, δῆλον ἂν εἴη οὐ μόνον XII. lo. Phil. rec. l, μβ—μδ; rec. lI, λ—λγ. — Iambl. p. 86—101. — Boëth. II. 10. 11. 1. ριβ, ρμη om. H — 2. ὀκταγώνιοι — haec sche- mata adponit G: α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ ιε ιϚ ιζ ιη ιθ κ κα 5. τὸ αὐτὸ SH XII. 15. συμφωνότατος H — παῤ αὐτῶν C ἐκ τῆς σχηματογραφίας τῆς καθʼ ἕκαστον, ἀλλὰ κἀκεῖθεν· πᾶν τετράγωνον σχῆμα διαγωνίως διαιρεθὲν εἰς δύο τρίγωνα λύεται καὶ πᾶς τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τριγώνους συνεχεῖς λύεται καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγώνων συνεχῶν συνέστηκεν· οἷον τρίγωνοι μέν εἰσιν α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε καὶ οἱ ἑξῆς, τετράγωνοι δὲ α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ δύο δή, οὓς ἂν θέλῃς, τριγώνους συνεχεῖς ἀλλήλοις συνθεὶς πάντως τετράγωνον ποιήσεις καὶ ὁντινοῦν τετράγωνον ἄρα διαλύσας δυνήσῃ δύο ἀπʼ αὐτῶν τριγώνους ποιῆσαι· καὶ πάλιν παντὶ τετραγώνῳ σχήματι τρίγωνον προςζευχθὲν ὁθενοῦν πεντάγωνον ποιεῖ, οἷον τῷ δ τετραγώνῳ ὁ α τρίγωνος προςζευχθεὶς τὸν ε πεντάγωνον ποιεῖ καὶ τῷ θ τῷ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προςτεθείς, δηλονότι ὁ γ, πεντάγωνον τὸν ιβ ποιεῖ, τῷ δὲ ιϛ ὄντι ἀκολούθῳ ὁ Ϛ ἀκόλουθος ἐπισυντεθεὶς τὸν κβ ἀκόλουθον ἀποδίδωσιν καὶ τῷ κε 3. Ηocce sclema codicis G: τετράγωνον εἰς δύο δια- λυόμενον τρί- γωνα. — 5. συνέστη H — 7. με, νε om. H — 9. πα, ρ om. — 10. ἐθέλοις C — 12. αὐτοῦ S — 14. τρίγωνον σχῆμα συζευχθέν — πρωτάγωνον G1 — 15. δ] τετάρτῳ G — προςζευχθεὶς] προςτεθεὶς S συντεθεὶς — 16. ε om. — 16 17. ὁ ἑξῆς om. P τῷ ἑξ. τῶ θ ὁ ἑξ. τρίτος προςτε θεὶς τὸν ἑξῆς πενταγ. ιβ S τῷ ἑξῆς τρίγωνος ὁ γ τὸν ἐξῆς τὸν ιβ πεντάγ. H — 18. ἀκολούθως H ὁ ι τὸν λε καὶ ἀεὶ οὕτως. κατὰ δὲ τὰ αὐτὰ κἂν τοῖς πενταγώνοις οἱ τρίγωνοι προςτιθοῖντο τῇ αὐτῇ τάξει, τοὺς εὐτάκτους γεννήσουσιν ἑξαγώνους καὶ πάλιν ἐκείνοις οἱ αὐτοὶ προςπλεκόμενοι τοὺς ἐν τάξει ἑπταγώνους ποιήσουσι καὶ μετʼ ἐκείνους τοὺς ὀκταγώνους καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον. πρὸς δὲ ὑπόμνησιν ἐκκείσθωσαν ἡμῖν πολυγώνων στίχοι παραλλήλως γεγραμμένοι οἵδε, ὁ πρῶτος τρίγωνων, ὁ μετʼ αὐτὸν τετραγώνων, μετὰ δὲ ἀμφοτέρους πενταγώνων, εἶτα ἑξαγώνων, εἶτα ἑπταγώνων, εἶτα, εἰ ἐθέλοι τις, καὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων·

μῆκος καὶ πλάτος

τρίγωνοι α γ Ϛ ι ιε κα κη λϚ με νε

τετράγωνο α δ θ ιϚ κε λϚ μθ ξδ πα ρ

ιγ. Ἐντεῦθεν ἤδη ῥᾴδιον συνιδεῖν, τίς τε ὁ στερεὸς ἀριθμὸς καὶ πῶς ἰσοπλεύρως ὁ τοιοῦτος προκόπτει· ὁ γὰρ πρὸς τοῖς δυσὶ διαστήμασι τοῖς ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ θεωρουμένοις ἐπὶ μῆκος καὶ ἐπὶ πλάτος τρίτον διάστημα προςειληφώς, ὅ τινες μὲν βάθος, τινὲς δὲ πάχος καλοῦσιν, ἔνιοι δὲ ὕψος, ἐκεῖνος ἂν εἴη στερεὸς ἀριθμὸς ὁ τριχῆ διαστατὸς καὶ ἔχων ἐν ἑαυτῷ μῆκος, βάθος, πλάτος.

Πρώτιστα δὲ οὗτος φαντάζεται ἐν ταῖς λεγομέναις πυραμίσιν. αὗται δὲ γίνονται ἐκ πλατυτέρων βάσεων μειουριζόμεναι εἰς ὀξεῖαν κορυφήν, πρῶτον μὲν κατὰ τριγωνισμὸν ἀπὸ τριγώνου βάσεως, δεύτερον δὲ κατὰ τετραγωνισμὸν ἀπὸ τετραγώνου βάσεως, ἑξῆς δὲ τούτοις κατὰ πενταγωνισμὸν ἀπὸ XIII. Io Phil. rec. I, με, μϚ; rec. II, λδ, λε. — Iambl. p 131—138. — Theon. 28 —30. — Boëth. II. 12— 14. 1. ὁμογωνίου] -ώνου πολυγώνου C — ἀνωτάτου om. C — 2. [μον. ἐλάττ.] delenda censeo; librarii negle- gentia repetita sunt. — παῤ ἓν κειμένου] τῷ πολυγώνῳ τριγώνου CH, om S — 5. καὶ κ. πλάτος, quae Ast deleuit, tuetur Io. Phil. I, μδ (II, λγ) — 6. καὶ κατὰ G XIII. Περὶ στερεῶν Ϲμ — 9. ἰσόπλευρος P — 14. στερεὸς om. P XIII, 2. Περὶ πυραμίδων Ϲμ — 17. πλατυτ.] ἐπι- ει πέδων βάσ. add. H — 18. μειουριζομένων GS μυουριζό- μεναι C — 20. βάσεως om. H δεύτερος . . . βάσεως om. S 21. ἑξῆς . . . ἀπὸ om. P πενταγώνου βάσεως, εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπʼ ἄπειρον. P καθάπερ ἀμέλει καὶ ἐν τοῖς γεωμετρικοῖς στερεοῖς σχήμασιν ἀπὸ τριγώνου ἰσοπλεύρου ἐάν τις εὐθείας ἐννοήσῃ τρεῖς ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς καθʼ ὕψος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον, πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ὑπὸ τεσσάρων περιεχομένη τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἴσων ἀλλήλοις, ἑνὸς μὲν τοῦ ἐξ ἀρχῆς τριγώνου, τριῶν δὲ τῶν περιγραφέντων ὑπὸ τῶν λεχθεισῶν τριῶν εὐθειῶν. καὶ πάλιν ἀπὸ τετραγώνου ἐπιπέδου ἐάν τις τέσσαρας εὐθείας λογίσηται τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τετραγώνου πλευραῖς ἑκάστην ἑκάστῃ πάλιν κατὰ τὸ ὕφος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον, πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ἀπὸ τετραγώνου βάσεως τετραγωνικῶς μειουριζομένη, περιεχομένη δὲ ὑπὸ τεσσάρων μὲν τριγώνων ἰσοπλεύρων, ἑνὸς δὲ τετραγώνου τοῦ ἐξ ἀρχῆς. καὶ ἀπὸ πενταγώνου δὲ καὶ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ μέχρις οὗ βούλεταί τις προχωρεῖν, τῷ αὐτῷ τρόπῳ εὐθεῖαι ἰσάριθμοι ταῖς γωνίαις ἀπʼ αὐτῶν τῶν γωνιῶν ἀνεγειρόμεναι καὶ εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ συννεύουσαι σημεῖον πυραμίδα ἀποκορυφοῦσιν ὀνομαζομένην ἀπὸ πενταγώνου βάσεως ἢ ἑξαγώνου ἢ ἑπταγώνου 1. πενταγώνου βάσεως om. P — πενταγ.] τριγώνου G — 5. ἐπινοήσῃ CSH — τῷ μήκει om. H — 8. ὑπὸ τ. περιεχ. om. H — 10. παραγραφέντων G — 12. λογήσηται GP — 15. ἂν ἀποτελ. om. S — 16. τετραγωνικῶς om. H — μηουριζ. G μυουριζ. C — G adponit hasce figuras: — 17. ἰσοπλεύρων om. H — 20. βούλει C — προχωροῦσι H ἢ ἀνάλογον. οὕτω δὲ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἀπὸ μὲν μονάδος ὡς ἀπὸ σημείου πᾶς γραμμικὸς ηὐξήθη ἀριθμός, οἷον α, β γ, δ, ε καὶ οἱ ἑξῆς ἐπʼ ἄπειρον· ἀπʼ αὐτῶν δὲ τούτων γραμμικῶν ὄντων καὶ ἐφ᾿ ἓν διαστατῶν πως συντεθέντων καὶ οὐχ ὡς ἔτυχεν οἱ πολύγωνοι καὶ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πλάσσονται, τρίγωνοι μὲν παρὰ μηδένα συντεθέντων τῶν γνωμόνων, τετράγωνοι δὲ παρὰ ἕνα, πεντάγωνοι δὲ παρὰ δύο καὶ ἀεὶ οὕτως. τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ αὐτῶν τούτων τῶν ἐπιπέδων πολυγώνων ἀριθμῶν ἐπισωρευομένων ἀλλήλοις καὶ ὡςανεὶ ἐποικοδομουμένων αἱ ὁμογενεῖς ἑκάστῳ πυραμίδες γεννῶνται, ἡ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως ἀπʼ αὐτῶν τῶν τριγώνων, ἡ δὲ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ἀπʼ αὐτῶν τῶν τετραγώνων, ἡ δὲ ἀπὸ πενταγώνου ἀπὸ τῶν πενταγώνων καὶ ἡ ἀπὸ ἑξαγώνου ἀπὸ τῶν ἑξαγώνων καὶ τοῦτο δι᾿ ὅλου. εἰσὶν οὖν αἱ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως εὔτακτοι αὗται α, δ, ι, κ, λε, νϚ, πδ 2. γραμμικῶς GP (-ός tuetur Io. Phil. l, μϚ (lI, λε) — 3 οἷον om H — 6. διαστατὸν C — 8—10. τρίγωνος . . . τετράγωονς . . . πεντάγωνος H — 11. τούτων om. H — 13. ὡς ἂν ἐπ. S — ἐπικοδομ. G ἐνοικοδ. H — 14. ἀπο- γενν. H — 15. αὐτῶν om. S — οἱ δὲ G — 16. βάσεως om. — αὐτῶν om. SΗ — 16. 17. βάσεως . . . πεντα- γώνου om. G — 17. καὶ ἡ . . . ἑξαγώνου om Η — 18. G adscribit: πρώτη πυραμίς. δευτέρα πυραμίς. [τρίτη πυραμίς. om. G] α α α α α α αα αα αα ααα ααα ααα ααα ααααα ααααα καὶ ἐφεξῆς, ὧν ἡ γένεσις αὐτοὶ οἱ τρίγωνοι ἀλλήλοις ἐπισωρευόμενοι, πρῶτος μὲν ὁ α, εἶτα ὁ αγ, P εἶτα ὁ αγϚ, εῖτα πρὸς τούτοις ὁ ι καὶ ἐφεξῆς σύν τοῖς πρόσθεν ὁ ιε καὶ ἐπὶ τούτοις ὁ κα καὶ ἐξῆς ὁ κη καὶ ἐπʼ ἄπειρον. δῆλον δέ, ὅτι καὶ ὁ μείζων τῶν ἀριθμῶν κατώτατος νοεῖται, αὐτὸς γὰρ βάσις εὑρίσκεται, ὁ δὲ εὐθύς μετ᾿ αὐτὸν ὑπὲρ αὐτὸν καὶ ὁ μετ᾿ ἐκεῖνον ὑπὲρ τοῦτον, ἕως ἄν ἡ μονὰς ἐπὶ τῇ κορυφῇ φανῇ καὶ ὡςανεὶ εἰς σημεῖον ἀπομειουρίσῃ τὴν τελείωσιν τῆς πυραμίδος.

ιδ. Αἱ δὲ ἐξῆς πυραμίδες εἰσὶν αἱ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ὁμοιοσχημόνως ἀνιστάμεναι ἐφʼ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον· αὗται δὲ τῷ αὐτῷ τρόπῳ πλάσσονται ταῖς προλεχθείσαις τριγωνικαῖς· τούς γὰρ ἀπὸ μονάδος εὐτάκτους τετραγώνους στοιχηδὸν ἐκθέμενος α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ καὶ τοὺς ἑξῆς πάλιν σωρηδὸν ἐπιτίθημι ἀλλήλοις κατὰ βάθος αὐτούς, τὸν α ἐπάνω τοῦ δ, καὶ γίνεται πυραμὶς ἡ ε ἐνεργείᾳ πρώτη ἀπὸ τετραγώνου βάσεως, δυνάμει γὰρ πρώτη καὶ ἐνταῦθα ἡ μονάς. πάλιν δ᾿ αὐτὴν ταύτην, ὡς ἔχει, τὴν πυραμίδα τὴν ἐκ πέντε μονάδων ἐπιτίθημι ὅλην τῷ θ τετραγώνῳ XIV. Io. Phil. rec. I, μζ, μη; rec. lI, λε—λζ. — Iambl. p. 131 — 138. — Boëth. lI. 14. 15. 2. ἐπισορ. G — 7. εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν H — 8. ἐκεῖνον] καὶ add. G — ἕως [ὡς H] ἂν εἰς SH — 9. ἀπομυου- ρίσῃ C; H in mrg: δύναται καὶ οὕτως ἀπογινώσκεσθαι· ἀπομυουρίσῃ. XIV. 12. ἱστάμεναι S — 15. εὐτάκτως — στιχη- δὸν PC — 19. γίνονται C — 20. τὰ ε — βάσεως] πλευρὰν ἔχουσα πάντοθι [-θεν H] δυάδα add. CH — 21. δινάμει G — πρώτη] α — 21—(p. 103)2. δυνάμει. . . . καὶ συνίσταταί μοι ἡ ιδ πυραμὶς ἀπὸ τετραγώνου βάσεως πλευρὰν ἔχουσα πάντοθι τριάδα, τῆς προτέρας δυάδα ἐχούσης τῆς ε, τῆς δὲ δυνάμει πρωτίστης μονάδα· δεῖ γὰρ καὶ ἐνθάδε τοσούτων ἑκάστην πλευρὰν ἡςτινοςοῦν πυραμίδος μονάδων εἶναι, ὅσοιπέρ εἰσι τὸν ἀριθμὸν οἱ εἰς σύστασιν αὐτῆς συσσωρευθέντες πολύγωνοι. πάλιν γὰρ τὴν ιδ πυραμίδα συνόλην βάσιν ἔχουσαν τὸν θ τετράγωνον ἐπιτίθημι τῷ ιϚ τετραγώνῳ καὶ ἀποτελεῖταί μοι ἡ λ πυραμὶς τρίτη κατ᾿ ἐνέργειαν τῶν ἀπὸ τετραγώνου βάσεως οὖσα· τῇ δ᾿ αὐτῇ τάξει καὶ ἀγωγῇ καὶ ἀπὸ πενταγώνου βάσεως καὶ ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου βάσεως καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ προχωροῦντες πυραμίδας συστησόμεθα τούς ἀναλογοῦντας ἑκάστῃ πολυγώνους ἐπισωρεύοντες ἀλλήλοις ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι ὡς ἀπὸ ἐλαχίστου καὶ προχωροῦντες μέχρις ἀπείρου καθ᾿ ἑκάστην. καὶ ἐκ τούτου δῆλον γίνεται, ὅτι στοιχειωδέστερα τὰ τρίγωνα· πᾶσαι γὰρ ἁπλῶς αἱ δεικνύμεναι καὶ φαινόμεναι πυραμίδες ἀπὸ τῶν καθ᾿ ἑκάστην πολυγώνων βάσεων τριγώνοις μέχρι κορυφῆς περιέχονται.

ιε. Καὶ ἡ μὲν τῶν ἰσοπλεύρων στερεῶν ἀριθμῶν πυραμοειδῶν γένεσις καὶ προκοπὴ καὶ ἐπαύξησις καὶ φύσις τοιαύτη σπέρμα καὶ ῥίζαν ἔχουσα τούς πολυγώνους αὐτούς καὶ τὴν ἐκείνων εὔτακτον ἐπισωρείαν, ἑτέρα δέ τις στερεῶν ἑτερογενῶν εὐταξία ἐστὶ τῶν λεγομένων κύβων, δοκίδων, πλινθίδων, σφηνίσκων, σφαιρικῶν, παραλληλεπιπέδων, τήν τῆς προβάσεως τάξιν ἔχουσα τοιαύτην τινά. οἱ προφρασθέντες τετράγωνοι α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ μθ, ξδ καὶ οἱ ἑξῆς διχῆ ὄντες διαστατοὶ καὶ ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχοντες ἔτι καὶ τρίτον προςλήψονται διάστημα καὶ ἔσονται στερεοὶ καὶ τριχῆ διαστατοί, ἐὰν τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ ἕκαστος πολλαπλασιασθῇ, ὁ μὲν δ δὶς β ὢν πάλιν δὶς γενόμενος, ἵνα ὀγδοὰς ἀποτελεσθῇ, ὁ δὲ θ τρὶς γ ὤν πάλιν τριάδι ἐπ᾿ ἄλλο διάστημα αὐξηθῇ καὶ γένηται ὁ κζ, ὁ δὲ ιϚ τετράκις δ ὑπάρχων πάλιν τετράδι τῇ αὐτοῦ πλευρᾷ μεγεθυνθῇ καὶ γένηται ὁ ξδ, καὶ οἱ ἑξῆς παραπλησίως μέχρι παντός. τοσούτων XV. Io. Phil. rec. l, μθ, ν; rec. II, λη. — Iambl. p. 137. 138. — Boëth II. 16. XV. 2. πυραμίδων Ρ -μίδων H — γέννησις H in mrg. — 2. 3. ἐπαύξησις καὶ φύσις Ρ ἐπαύξησις, φύσις G ἐπαυξήσεως φύσις CSH ἐπαύξησις φυσική Ast — 5. Περι κύβων, δοκίδων, σφηνίσκων καὶ πλινθίδων H — ἑτέρων C — ἑτερογενῶν om. — 7. σφηωίκων C — 10. ξδ om. PCH — 11. ὄντες] ἐπὶ μῆκος ἢ πλάτος add. S — 14. πλευρᾷ] πάλιν add. H — 15. πολυπλ. H διπλασια- σθῇ S — δὶς] ἕκαστος S — 16. γενόμενοι C — ἀποτελε- σθείη H — 16 — 18. ὁ δὲ θ . . . κζ om. C — 19. τῇ αὐτῇ CSH — 18. 19. ὁ κζ . . . γένηται om P — 19. ὁ om. G — 20. παντὸς] κύβοι οὗτοι πάντες καλοῦν- ται add. C δὲ καὶ ἐνθάδε μονάδων αἱ πλευραὶ ἔσονται, P ὅσωνπερ ἧσαν καὶ αἱ τῶν τετραγώνων, ἀφ᾿ ὧν ἐγένοντο, ἕκαστος ἀφ᾿ ἑκάστου, αἱ μὲν τοῦ η δυάδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ δ, αἱ δὲ τοῦ κζ τριάδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ θ, αἱ δὲ τοῦ ξδ τετράδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ ιϚ, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς, ὥςτε καὶ ἡ τῆς δυνάμει κύβου μονάδος πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι, ὅσηπερ καὶ ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος. καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν ἐστι, γωνίας δὲ ἔχει τέσσαρας καὶ πλευρὰς τέσσαρας, ἕκαστος δὲ κύβος ηὐξημένος ὢν ἐξ ἑκάστου τετραγώνου τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ πολυπλασιασθέντος ἐπίπεδα μὲν ἕξει πάντως ἔξ, ὧν ἕκαστον ἶσον τῷ προγόνῳ αὐτοῦ τετραγώνῳ, πλευρὰς δὲ δώδεκα, ὦν ἑκάστῃ ἴση καὶ μο νάδων γε τῶν αὐτῶν τῇ τοῦ προγόνου τετραγώνου πλευρᾷ, γωνίας δὲ ὀκτώ στερεάς, ὧν ἑκάστη περιέχεται ὑπὸ τριῶν πλευρῶν, οἵα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ἐν τῷ προγόνῳ τετραγώνῳ.

ιϚ. Ἐπειδὴ οὖν πάντη ἰσόπλευρον ἐπὶ μῆκος καὶ XVI. Io. Phil. rec. I, να, νβ; rec. II. λθ. — Theon. 29. — Boëth. II. 16. 1. μονάδι H — 3. ἕκαστος] ἕκάστ G -ον Ρ — 5. αἱ πλευραὶ τοῦ θ H — 6. ὥςτε] ὅθεν H — 7. πανταχόθεν P — ὅσηςπερ GSH ὅση P ὅσηπερ C — 12. πολλαπλ. — ἔχει H - 13. ἕξ] ἐξ P — 14316. μονάδων γε τοσαύ- των, ὅση τοῦ προγ. τετραγ. πλευρά P, μον. γε τοσαύτων, ὅσων καὶ C] ἡ τοῦ προγ. τετρ. πλευρά CH — 17. πλευ- ρῶν] τοιούτων scil. γωνιῶν] Ast. see intellegendum γραμμι- κῶν, non ἐπιπέδων; lo Phil. uocem πλευρῶν hoc loco ignorauit cf. rec. l, ν: ὑπὸ γ δέ τινων· γραμμῶν δηλονότι· τί- νων γὰρ ἄλλων; αἱ μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γωνίαι ἑκάστη ὑπὸ β γραμμῶν περιέχεται, βαθυνομένου δὲ τοῦ ἐπιπέδου πρός ταῖς β τῆς γωνίας γραμμαῖς καὶ γ αὐταῖς προςτίθε- ται ἡ τού βάθους. — rec ll, λη: . . . γίνεται στερεὰ γω- νία περιεχομένη ὑπὸ γ εὐθειῶν — ἐν om. P βάθος καὶ πλάτος σχῆμα στερεὸν ὑπάρχει ὁ κύβος καὶ ἐπὶ τὰς λεγομένας ἓξ περιστάσεις ἰσοδιάστατον, ἀκόλουθον ἄρα ἐστίν, ἀντικεῖσθαι αὐτῷ τὸ μηδαμῆ ἴσας ἔχον τὰς διαστάσεις ἀλλήλαις, ἀλλ᾿ ἄνισον τὴν τοῦ βάθους τῇ τοῦ πλάτους καὶ ἑκατέρᾳ τούτων τὴν τοῦ μήκους, οἷον δὶς τρὶς τετράκις ἢ δὶς τετράκις ὀκτάκις ἢ τρὶς πεντάκις δωδεκάκις ἢ κατά τινα ἄλλην ἀνισότητα τοιαύτην. τὰ δὲ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα λέγεται σκαληνὰ ἁπλῶς, ὧν πάντη τὰ διαστήματα ἄνισα ἀλλήλοις ἐστι· τινὲς δὲ αὐτὰ πωλυνωύμως σφηνίσκους καλοῦσι, καὶ γὰρ καὶ οἱ σφῆνες ἀνισόπλευροι πανταχῆ τεκτονικοί τε καὶ οἰκοδομικοὶ καὶ χαλκευτικοὶ καὶ οἱ τῶν ἄλλων τεχνῶν πλάσσονται ἀπὸ ὀξυτέρου ἄκρου διαδύνειν ἀρχόμενοι καὶ αἰεὶ μᾶλλον πλατυνόμενοι ἀνομοίως κατὰ πάντα τὰ διαστήματα· τινὲς δὲ τούς αὐτούς σφηκίσκους καλοῦσι, τοιοῦτος γὰρ καὶ ὁ τῶν σφηκῶν μάλιστα ἄγκος ἀποσφιγγόμενος κατὰ μέσον καὶ τὴν λεχθεῖσαν ὁμοιότητα ἐμφαίνων· παρὰ τοῦτο εἰκὸς καὶ τὸ σφήκωμα ὠνομάσθαι, ἔνθα γὰρ ἂν ἀποσφίγξῃ, τὴν τού σφηκὸς ἐντομὴν μιμεῖται· ἕτεροι δὲ τούς αὐτούς βωμίσκους προςαγορεύουσιν p ἀπὸ οἰκείας εἰκόνος, οἱ γὰρ παλαιότροποι βωμοί, μάλιστα δὲ ἰωνικοί, οὔτε τὸ πλάτος τῷ βάθει οὔτε συναμφότερα τῴ μήκει ἶσα ἔχουσιν οὕτε τὴν βάσιν τῇ κορυφῇ, ἀλλὰ πάντη εἰσὶν ἐξηλλαγμένοι XVI. 3. ἄρα om. S — μηδαμῶς PSH — 4. ἔχων P ἄνισον] ἔχον add. H — 5. 6 ἑκατέραν . . . τῇ S — 6. 7. οἷον θὶς ε, τετράκις ε, ἢ δις δ, τετράκις δ, ὀκτάκις δ, ἢ τρὶς γ, πεντάκις γ, δωδεκάκις γ ἢ κατὰ . . Ρ θὶς τρία τε- τράκις ἢ δὶς δ ὀκτάκις ἢ τρὶς ε δωδεκάκις — 10. σφῆ- ναις G — 16. σφηνίσκους καὶ σφηκ. — 17. μάλιστα om. S — ἀποσφηγγόμ. G ἀποσφιγγόμενοι P — 18. ἀνο- μοιότητα H — 22 παλαιότεροι H — 25. ἐξηλαγμ. P ταῖς διαστάσεσιν. ὡς οὖν ἀκροτήτων δύο κύβου τε καὶ σκαληνοῦ, τοῦ μὲν κατ᾿ ἰσότητα διεστῶτος, τοῦ δὲ κατ᾿ ἀνισότητα πάντη, μέσοι εἰσὶ στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ λεγόμενοι παραλληλεπίπεδοι, ὧν καὶ τὰ ἐπίπεδα ἑτερομήκεις ὑπάρχουσιν ἀριθμοί, ὥςπερρ καὶ τῶν κύβων αὐτῶν τετράγωνοι ἀριθμοὶ ἦσαν τὰ ἐπίπεδα, ὡς ἐδείχθη.

ιζ. Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται, οὐ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευρος μὲν καὶ τετραγώνιος γίνεται ἡ καταγραφή, οὐ μὴν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ πλευραὶ οὐδὲ τὸ μῆκος τῷ πλάτει ἶσον, ἀλλὰ παρὰ μονάδα, οἷον ὁ β, ὁ Ϛ, ὁ ιβ, ὁ κ, ὁ λ, ὁ μβ καὶ οἱ ἐξῆς· ἂν γὰρ αὐτούς ἐπιπέδως διαγράφῃ τις, πάντως οὕτω ποιήσει· ἅπαξ β β, δὶς γ Ϛ, τρὶς δ ιβ καὶ τοὺς ἐξῆς ἀναλόγως· τετράκις ε, πεντάκις ς, ἑξάκις ζ, ἑπτάκις η καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον, μόνον ἵνα μονάδι μείζων ἡ ἑτέρα πλευρὰ τῆς λοιπῆς ᾖ, ἄλλῳ δὲ μηδενὶ ἀριθμῷ· ἐὰν δὲ ἄλλως παρὰ τὴν μονάδα διαφέρωσιν ἀλλήλων αἱ πλευραὶ, οἷον δυάδι, τριάδι, τετράδι ἢ ἐφεξῆς, ὡς τὰ δὶς δ ἢ τρὶς Ϛ ἢ τετράκις η XVII. Io. Phil. rec. l, νγ—νζ; rec. ll, μ—-μβ. — Iambi. p. 102 seq. — Theon. 24. 29 — Boëth. II. 17—20. 3. πάντη om. S XVII. Περὶ ἑτερομήκους GP — 8. ἑτερομήκις G — 10. τετράγωνος C — 14. διαγράφει P — 15. οὕυτω om S — 16. β . . . Ϛ . . \β om. — 17. ἀνάλογον H — 18. ε, πεντ. om. P — 20. οὐδενὶ SΗ — 21. ἄλλως] ἄλλω H — 22. δυάδι η τρ. ἢ τετρ. SH — 24. τρὶς η GRH cf. XVIII, 2. ἢ ὅπως ποτὲ οὖν ἑτέρως, οὐκέτι κυρίως ὁ τοιοῦτος ἑτερομήκης κληθήσεται, ἀλλὰ προμήκης· ἕτερον γὰρ καὶ ἑτερότητα οἱ παλαιοὶ οἱ περί τε Πυθαγόραν καὶ τούς ἐκείνου διαδόχους πυθμενικῶς ἐν τῇ δυάδιἐθεώρουν, ταυτὸν δὲ καὶ ταυτότητα ἐν τῇ μονάδι, ὡς ἐν δυσὶν ἀρχαῖς τῶν ὅλων· εὑρίσκονται δὲ αὗται μονάδι μόνον ἀλλήλων διαφέρουσαι, ὥςτε καὶ τὸ ἕτερον σπερματικῶς μονάδι ἕτερόν ἐστι καὶ οὐκ ἄλλῳ ἀριθμῷ· διόπερ καὶ συνήθως ἐπὶ δυοῖν, ἀλλʼ οὐκ ἐπὶ πλειόνων τὸ ἕτερον λέγεται παρὰ τοῖς ὀρθῶς διαλεγομένοις. ἀλλὰ μὴν καὶ μονάδι μὲν εἰδοποιεῖσθαι ἀπεδείχθη ὁ περισσὸς πᾶς ἀριθμός, δυάδι δὲ ὁ ἄρτιος πᾶς Ὅθεν εἰκότως τὸν μὲν περισσὸν τῆς ταυτοῦ P φύσεως ἐροῦμεν μετέχειν, τὸν δὲ ἄρτιον τῆς θατέρου, καὶ γὰρ δὴ καὶ κατὰ σωρείαν ἑκατέρου ἀποτελοῦνται φύσει, ἀλλʼ οὐχ ἡμῶν θεμένων, τῇ μὲν τοῦ ἀπὸ μονάδος περισσοῦ ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τετραγώνων φύσις, τῇ δὲ τοῦ ἀπὸ δυάδος ἀρτίου ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τῶν ἑτερομηκῶν. πᾶσα ἄρα ἀνάγκη, τὸν μὲν τετράγωνον οἴεσθαι πάλιν τῆς ταυτοῦ φύσεως μετέχειν· τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον καὶ ὅμοιον καὶ ἀπαράλλακτον καὶ ἐν ἰσότητι κείμενον αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἀποδεικνύουσι πρὸς ἑαυτάς, τὸν δὲ ἑτερομήκη τῆς θατέρου· ὃν γὰρ μονὰς πρὸς δυάδα τρόπον παρήλλακται μονάδι μόνῃ διαφέρουσα, τοῦτον καὶ παντὸς ἑτερομήκους αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας διαλλάσσουσιν, 2. ἑτερομήκες G — προμήκις G — 5. 6. ὡς . . . μονάδι om P — 6. δυσὶν] δισσαὶ CS — 9. ἐπὶ δυ.] ἐστὶ δυ. H — 12. ὁ περισσὸς om. — ὁ ante ἄρτιος om. GH — 13. τῆς τοὺ ταυτοῦ S — 17. τετραγώνου P — 20. αὐτοῦ P — μετέχειν] εἶναι S — 25. μόνον S — τοῦτο P τούτῳ S — παντὸς] παντὶ τοῦ S ἡ ἑτέρα τῆς ἑρέρας μονάδι μόνον διαφέρουσα· οἷον ἐκκειμένου μοι τοῦ ἀπὸ μονάδος συνεχοῦς ἐξῆς ἀριθμοῦ ἐκλεξάμενος ἰδίᾳ μὲν τούς περισσούς τάσσω ἐν ἑνὶ στίχῳ, ἰδία δὲ τούς ἀρτίους ἐν ἑτέρῳ, καὶ γίνονταί μοι δύο στίχοι τοιοῦτοι· α, γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ, κα, κγ, κε, κζ· β, δ, Ϛ, η, ι, ιβ, ιδ, ιϚ, ιη, κ, κβ, κδ, κϚ, κη. ἀρχὴ μὲν οὖν τοῦ τῶν περισσῶν στίχου ἡ μονὰς ὁμογενής τε οὖσα καὶ τὴν τοῦ ταυτοῦ φύσιν ἔχουσα· διὸ οὔτε ἐὰν τε ἑαυτὴν πολυπλασιάσῃ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, ἑτεροιοῦται οὔτε ἄλλον ὁντιναοῦν ἐξίστησι τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἀλλὰ τηρεῖ αὐτὸν ἐν ταυτῷ· τὸ δὲ τοιοῦτον περὶ ἄλλον ἀριθμὸν εὑρεῖν ἀδύνατον. τοῦ δ᾿ ἄλλου στίχου ἄρχει ἡ δυὰς ὁμογενὴς αὐτῷ οῡσα καὶ ἑτερότητος καταρκτική· εἴτε γὰρ ἑαυτὴν εἴτε ἄλλον πολυπλασιάσειεν, ἔκστασιν ποιεῖ, οἷον δὶς β, θὶς γ.

ιη. Καὶ περὶ μὲν στερεῶν ἀριθμῶν ἱκανὰ ἐν τῷ παρόντι καὶ ταῦτα· ἐπεὶ δὲ ἀρχὰς τῶν ὅλων οἵ τε φυσικοὶ καὶ οἱ ἐκ τῶν μαθημάτων ὁρμώμενοι τὸ ταυτὸν καὶ τὸ ἕτερον λέγουσιν, ἀπεδείχθη δὲ τὸ ταυτὸντὸν μὲν ὑπάρχουσα ἡ μονὰς καὶ οἱ κατὰ εἰδοποίησιν αὐτῆς περισσοί, πολύ δὲ μᾶλλον οἱ ἐκ τούτων συσσωρευομένων συνιστάμενοι τετράγωνοι ὡς ἂν δὴ ἰσότητος ἐν ταῖς πλευραῖς μετέχοντες, ἕτερον δὲ δυάς τε καὶ ὁ ὑπὸ ταύτης εἰδοποιούμενος πᾶς ἄρτιος, μάλιστα δὲ οἱ ὑπὸ τούτων συσσωρευομένων συνιστάμενοι ἑτερομήκεις διὰ τὸ πρώτης ἀνισότητος XVIII. lo. Phil. rec. l, νη; rec. lI, μγ, μδ. α, Iambl. p. 10 seq. — Theon. 12—14. 17. 21. — Boëth. II, 21. 22. 2. κύκλοι S — 6. τοῦτον P — 7. πολυπλ. SH — σφαιρικοὶ] τότε praemittit S — 10. ἄλλως] πάλιν S XVIII. 13. ὅλων] ὄντων C — 16. ει G — 17. αὐτῆς] ἀριθμοὶ add. H — 18. συνιστάμενοι om. S — 19. ἰσότητα G — 20. εἰδοποιούμενοι ἄρτιοι S — 21. τούτων] -ῳ Π -ου H — σωρευομένων S -ου H — 22. διὰ τὸ καὶ τῆς πρώτης ἀνισ. S διὰ τὸ πρώτως τῆς ἀνισ. C καὶ ἑτερότητος ἐν τῇ τῶν πλευρῶν διαφορᾷ μετέχειν, ἔτι τοῦτο ἀποδεικτέον ἀναγκαιότατα, πῶς ἐν ἀμφοτέροις τούτοις ὡς ἐν ἀρχαῖς καὶ σπέρμασι δυνάμει πάντα τὰ τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιώματα προυπόκειται εἰδῶν τε αὐτοῦ καὶ ὑποδιαιρέσεων σχέσεών τε πασῶν καὶ πολυγώνων καὶ τῶν παραπλησίων. πρότερον δὲ διασταλτέον ἡμῖν, ᾗ διαφέρει προμήκης ἀριθμὸς ἑτερομήκους· ἑτερομήκης μὲν γάρ ἐστιν, ὡς προελέχθη, P ὁ γινόμενος ὑπὸ ἀριθμοῦ τὸν μονάδι ἑαυτοῦ μείζονα πολυπλασιάσαντος, οἷον ὁ Ϛ ὑπὸ τού δὶς γ, ὁ ιβ ὑπὸ τοῦ τρὶς δ, προμήκης δέ ἐστιν ὁ ὑπὸ δύο μὲν ἀριθμῶν διαφέρόντων ὁμοίως καὶ αὐτὸς γινόμενος, οὐ μὴν μονάδι γε, ἀλλὰ μείζονί τινι ἀριθμῷ, οἷον δὶς δ, τρὶς Ϛ, τετράκις, καὶ οἱ παραπλήσιοι τῴ μήκει προπεπτωκότες τρόπον τινὰ καὶ ὑπερβεβηκότες τὴν τῆς μονάδος διαφοράν. οὐκοῦν ὅτι μὲν οἱ τετράγωνοι ὑπό τινων ἀριθμῶν ἰδίῳ μήκει μηκυνθέντων γίνονται, ταυτὸν ἔχοντες τὸ μῆκος τῷ πλάτει, ἰδιομήκεις ἄν κυρίως καὶ ταυτομήκεις λέγοιντο, οἶον δὶς β, τρὶς γ, τετράκις δ καὶ οἱ ἐφεξῆς· εἰ δὲ τοῦτο, ἐπιδεκτικοὶ πάντως ταυτότητος καὶ ἰσότητος, διόπερ ὡρισμένοι τε καὶ περαίνοντες· τὸ γὰρ ἶσον καὶ τὸ ταυτὸν ἑνὶ τρόπῳ 1. πλευρῶν] παλαιῶν S — 2 ἀναγκαιότ om. S — 7. ἡμῖν om. SH — ᾗ | τίνι S — 8. ἑτερομήκεις μὲν G — 9. τοῦ μον. — 10. πολλαπλ. — 13 ἐστιν om. S — 19. αριθμῶν om. S — 20. γίνεται — τὸ αὐτὸ H — 21. πλάτος τῷ μήκει SH — ἰδιωμήκ. G — 22. οἷον om. H — 24. ἐπιδεικτικοὶ SH — 26. τὸ αὐτὸ H καὶ ὡρισμένῳ οιοῦτον· ὅτι δὲ καὶ οἱ ἑτερομήκεις ἀριθμοὶ οὐκ ἰδίῳ μήκει, ἀλλ᾿ ἑτέρου μηκυνθέντος ἀποτελοῦνται, ἑτερομήκεις τε διὰ τοῦτο καὶ ἑτερότητος ἐπιδεκτικοὶ ἀπειρίας τε καὶ ἀοριστίας. τῇ δὲ ἄρα διχοστατεῖ καὶ διανενέμηται καὶ ἐναντία ἀλλήλοις φαίνεται τά τε τοῦ ἀριθμοῦ πάντα καὶ τὰ ἐν κόσμῳ πρὸς ταῦτα ἀποτελεσθέντα καὶ καλῶς οἱ παλαιοὶ φυσιολογεῖν ἀρχόμενοι τὴν πρώτην διαίρεσιν τῆς κοσμοποιίας ταύτῃ ποιοῦνται· Πλάτων μὲν τῆς ταυτοῦ. φύσεως καὶ τῆς θατέρου ὀνομάζων καὶ πάλιν τῆς ἀμερίστου καὶ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ἐχούσης οὐσίας τῆς τε οὖ μερι στῆς γινομένης, Φιλόλαος δὲ ἀναγκαῖον τὰ ἐόντα πάντα εἶμεν ἤτοι ἄπειρα ἢ περαίνοντα ἢ περαίνοντα ἄμα καὶ ἄπειρα, ὅπερ μᾶλλον συγκατατίθεται εἶναι, ἐκ περαινόντων ἅμα καὶ ἀπείρων συνεστάναι τὸν κόσμον, κατ᾿ εἰκόνα δηλονότι τοῦ ἀριθμοῦ· καὶ γὰρ οὗτος σύμπας ἐκ μονάδος καὶ δυάδος σύγκειται ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ, ἃ δὴ ἰσότητός τε καὶ ἀνισότητος ἐμφαντικὰ ταυτότητὸς τε καὶ ἑτερότητος περαίνοντός τε καὶ ἀπείρου ὡρισμένου τε καὶ ἀορίστου.

ιθ. Ἵνα δὲ καὶ ἐναργῶς πεισθῶμεν περὶ τῶν λεγομένων, ὅτι ἄρα ἐκ μαχομένων καὶ ἐναντίων XIX. 10. Phil. rec. I, νθ—ξδ; rec. ll, με. μϚ. — Iambl. p. 102 sqq. — Boëth. II. 22 23. 1. ὅτι δὲ καὶ] ἔτι δὲ CH — 2. ἑτέρῳ — 3. τῇ δὲ] ἡ δὲ P οὕτως H — 9. κοσμωποιίας G — ταύτην Ast. — Πλάτων] cf. Tim. VIII (p 35 A) — 13. Φιλίλαος] ct. Stob. Eclog. phys l. p. 454 Heer. — ἀνάγκη — ἐόντα om. G ὄντα S — 14. πάντα om. P, omnia quae sunt boëth. Il, 22 — εἶμεν] εἶναι P ἦμεν m. 2. εἰ μὲν H ἔμμεναι Γ — 18. ουτως G — ἅπας S — 20. ἐμφαν///τικὰ G ἐκφαντικά H XXIX. 24. μαχομένου καὶ ἐναντίου S συνέστη τὰ ὄντα καὶ εἰκότως ἁρμονίαν ὑπεδέξατο (ἁρμονία δὲ πάντως ἐξ ἐναντίων γίνεται· ἔστι γὰρ P ἁρμονία πολυμιγέων ἕνωσις καὶ δίχα φρονεόντων συμφρόνησις), ἐκθώμεθα ἐν δυσὶ παραλλήλοις ἐπὶ μῆκος στίχοις μηκέτι ἰδίᾳ ἀρτίους ἀπὸ δυάδος καὶ περισσούς ἀπὸ μονάδος, ὡς πρὸ μικροῦ, ἀλλὰ τούς ἐξ αὐτῶν τούτων συσσωρευθέντων αὐτοῖς ἀποτελεσθέντας, τετραγώνους μὲν ἀπὸ περισσῶν, ἑτερομήκεις δὲ ἀπὸ ἀρτίων· ἐνατενίζοντες γὰρ τῇ ἐκθέσει αὐτῶν θαυμάσομεν τὴν φιλαλληλίαν καὶ τὸ συλληπτικὸν ἀλλήλοις εἰς τὸ ἀπογεννᾶν τὰ λοιπὰ καὶ ἐκτελεῖν, ἵνα εἰκότως ἐπινοῶμεν καὶ ἐν τῇ τῶν ὅλων φύσει ἐντεῦθέν ποθεν τὸ τοιοῦτον ὑπὸ τῆς κοσμικῆς προνοίας συντελεῖσθαι. ἔστωσαν οὖν οἱ δύο στίχοι τοιοῦτοι· ὁ μὲν τῶν τετραγώνων ἀπὸ μονάδος α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ μθ, ξδ, πα, ρ, ρκα, ρμδ, ρξθ, ρ??ϛ, σκε· ὁ δὲ τῶν ἑτερομηκῶν ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενος καὶ αὐτὸς οὕτως· β, Ϛ, ιβ, κ, λ, μβ, νϛ, οβ, ??, ρι, ρλβ, ρνϚ, ρπβ, σι, σμ. πρῶτον μὲν οὖν πρῶτος πρώτου πυθμὴν πολλαπλάσιος, δεύτερος δὲ δευτέρου ἡμιόλιος, τρίτος δὲ τρίτου ἐπίτριτος, τέταρτος δὲ τετάρτου ἐπιτέταρτος, 4. σύμφρασις GP συμρόνασιςς CΓ συμφρόνησις S (Theo smyrn. l.p. 15) dissentientium consensio Boëth. II, 22 (cf. Boeckh, Philol p. 61.) — 4. 5. ἐπὶ μῆκος] ἐπιμήκης S -εις H — 6. πρὸ μικροῦ] πρὶν S — 7. τούτων] τοιούτων P τουτέ- στι S — αὐτοῖς] -ῶν S — 10. θαυμάζομεν P — φιλα- δελφίαν C amicitiam Boëth lI, 23 — 12. καὶ ἐν] καὶ om. G — 13 ποθεν om. H — 14. συντελεῖται H — 19. 20 ἀρ- χόμ. . . . οὕτως om. C — 23. πρῶτος om. S — 25. τρίτου] -ον G — τετάρτου -ον G εἶτα ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ τοῦτο ἐπ᾿ ἄπειρον ἀναλόγως· διαφοραὶ δὲ αὐτῶν προκόψουσι κατὰ τὸν συνεχῆ ἀπὸ μονάδος ἀριθμόν, μονὰς μὲν τῶν πρώτων, δυὰς δὲ τῶν δευτέρων, τριὰς δὲ τῶν τρίτων καὶ ἀεὶ οὕτως· εἶτα δὲ ἐὰν ἀρξάμενος ὁ τῶν τετραγώνων δεύτερος συγκρίνηται κατὰ δυασμὸν τῷ πρώτῳ τῶν ἑτερομηκῶν καὶ ὁ τρίτος δευτέρῳ καὶ ὁ τέταρτος τρίτῳ καὶ ἀκολούθως οἱ λοιποί, τούς αὐτούς ἀπαραλλάκτους λόγους διατηρήσουσι τοῖς πρόσθεν, αἱ δὲ διαφοραὶ οὐκέτι ἀπὸ μονάδος, ἀλλ᾿ ἀπὸ δυάδος ἄρξονται προχωρεῖν αἱ αὐταί, καὶ κατὰ πρόβασιν δὲ ἐν τῇ προτέρᾳ συγκρίσει πρῶτος μὲν πρώτου πρῶτον πυθμένα πολλαπλάσιον ἕξει, δεύτερος δὲ δευτέρου δεύτερον ἀπὸ πυθμένος ἡμιόλιον, τρίτος δὲ τρίτου τρίτον ἀπὸ πυθμένος ἐπίτριτον, καὶ παραπλησίως προκόψουσιν οἱ ἐξῆς. ἔτι δὲ οἱ μὲν τετράγωνοι πρὸς ἑαυτούς διαφορὰς τούς περισσούς μόνον ἔχουσιν, οἱ δὲ ἑτερομήκεις τούς ἀρτίους· ἂν δὲ καὶ τὸν πρῶτον ἑτερομήκη μέσον ἀμφοτέρων τῶν πρώτων τετραγώνων θῶμεν, τὸν δὲ δεύτερον τῶν ἐξῆς, τὸν δὲ τρίτον τῶν μετ᾿ αὐτούς, τὸν τέταρτον δὲ τῶν ἐφεξῆς, τούτοις ὀφθήσονται εὐτακτότεραι αἱ P σχέσεις ἐν τρισὶν ὅροις· ἣν γὰρ ὁ δ πρὸς τὸν β σχέσιν ἔχει, οὕτως ὁ β πρὸς μονάδα, καὶ ἣν ὁ θ 5. εἶτα δὲ] ἔπειτα S — ἐὰν ἀρξ.] ἐναρξάμ P — 6. δεύτερος] -α G — 7. δευτέρῳ] β P — 9. λόγους om. P — 13. πρῶτον om. S — 14. δεύτερον πυθμένα GP — τρίτος δὲ om. H — 17. διαφορὰν H — 18. μόνους C — 21. μετὰ τούτους — 23 — (p. 117) 4. ὅροις . . μείζων om — 23 24, ἣν . . . μονάδα] ἣν ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύ- τερον σχ. ἔχ., οὕτως ὁ β πρὸς τὸν δ G ἣν ὁ δεύτερος πρὸς τὸν πρῶτον σχ. ἔχ., οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον P ἣν ὁ πρῶτος πρὸς τὂν δεύτερον σχ. ἔχ., ταύτην καὶ ὁ δεύτερος πρ. τὸν τέταρτον H. codicis C lectionem, quam ταύτην in οὕ- τως mutato recepi, tuetur Io. Phil. I, ξβ (lI, μϚ). πρὸς τὸν Ϛ ἡμιολίως, οὕτως ὁ Ϛ πρὸς τὸν δ, καὶ ἣν ὁ ιϚ πρὸς τὸν ιβ, οὕτως ὁ ιβ πρὸς τὸν θ, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς τῶν ἀριθμῶν καὶ τῶν λόγων προκοπτόντων εὐτάκτως· ὡς γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον, οὕτως ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ἔσται, καὶ οὐ τῷ αὐτῷ λόγῳ, ἀλλὰ ποικίλῳ ἀεὶ κατὰ προκοπήν· καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν συζυγιῶν τὸ ὑπό· ἶσον τῷ ἀπό·- καὶ ἅπαξ τὰ ἄκρα σύν δὶς τῷ μέσῳ ἐναλλὰξ τετράγωνον πάντως ποιήσει καὶ τό πάντων τούτων γλαφυρώτατον, ἐξ ἀμφοτέρων συντιθεμένων τριγώνων γένεσις εὔτακτος γίνεται σημαίνουσα, ὡς τῆς τῶν πάντων ἀρχῆς ἀρχικωτέρα ἡ τούτων φύσις, α καὶ β, καὶ β καὶ δ, καὶ δ καὶ Ϛ, καὶ Ϛ καὶ θ, καὶ θ καὶ ιβ, καὶ ιβ καὶ ιϛ, καὶ ιϚ καὶ κ, καὶ ἀεὶ οὕτως οἱ τῶν πολυγώνων γεννητικοὶ τρίγωνοι εὔτακτοι γίνονται.

κ. Ἔτι δὲ καὶ πᾶς πετράγωνος προςλαβὼν τὴν ἑαυτοῦ πλευρὰν ἑτερομήκης γίνεται ἢ νὴ Δί᾿ ἀφαιρεθεὶς τὴν ἑαυτοῦ πλευράν· οὕτως καὶ τὸ ἕτερον καὶ ἐπὶ τὸ πλεῖον καὶ ἐπὶ τὸ ἔλαττον νοεῖται τοῦ ταυτοῦ, εἴπερ κατὰ πρόςθεσιν καὶ ἀφαίρεσιν συντελεῖται, καθὰ καὶ τοῦ ἀνίσου τὰ δύο εἴδη τό τε μεῖζον καὶ τὸ ἔλαττον κατὰ πρόςθεσιν ἢ ἀφαίρεσιν προςγινομένην τῷ ἴσῳ τὴν γένεσιν λαμβάνει. ἱκανὸν XX. Io. Phil. rec. l, ξε—ξζ; rec. II, μϚ, μζ. — Iambl. P. 102 seq. — Boëth. II. 24—29. 6. ποικίλλων P ποικίλως Io. Phil. I, ξβ — ἀεὶ om. — 8. συνδεὶς P συνθεὶς S — ἐναλλάξ om. C — 9. ποιήσεις S — γλαφυρώτερον — 10, συντιθεμένων] τετραγώνου καὶ ἑτερομήκους add. H — 12—14. αβ καὶ βδ κτλ. S — 13. καὶ δ om. G — 14. κ] καὶ κ καὶ κε add. H XX. 19 νοεῖται] θεωρεῖται H in mrg. — 19. 20. τοῦ αὐτοῦ GP — 20. καθὸ S — 22. τὸ om. GP καὶ τοῦτο τεκμήριον τοῦ ταυτότητος καὶ ἑτερότητος μετέχειν τὰ εἴδη ἀμφότερα, ἑτερότητος μὲν ἀορίστως, ταυτότητος δὲ ὡρισμένως, γενικῶς μὲν μονάδα καὶ δυάδα, ὑποβεβηκότως δὲ περισσόν μὲν ταυτότητος διὰ τὸ μονάδι ὁμογενὲς εἶναι, ἄρτιον δὲ ἑτερότητος διὰ τὸ δυάδι. καὶ ἔτι ἐκδηλότερον, τετράγωνον μὲν διὰ τὸ σύνθεσιν περισσοῦ εἶναι ταυτότητι συγγενῆ ὑπάρχειν, ἑτερομήκη δὲ διὰ τὸ ἀρτίου ἑτερότητι· καὶ γὰρ καὶ ὡς φιλάλληλα ἐν τοῖς δυσὶ στίχοις μεταδιδόασιν ἀλλήλοις τὰ δύο εἴδη ταῦτα παρὰ μέρος τῶν αὐτῶν διαφορῶν, εἰ μὴ καὶ τῶν αὐτῶν λόγων, καὶ ἀνάπαλιν τῶν αὐτῶν λόγων, εἰ μὴ καὶ τῶν αὐτῶν διαφορῶν· ὃ γὰρ μεταξύ τοῦ δ καὶ τοῦ β διπλασίως, τοῦτο ἐπιμορίως μεταξύ τοῦ Ϛ καὶ τοῦ δ, καὶ πάλιν ὃ μεταξύ τοῦ θ καὶ Ϛ ἡμιολίως, P τοῦτο μεταξύ τοῦ ιβ καὶ θ ἐπιτρίτως, καὶ ἀεὶ οὕτως· καὶ ὃ ποιότητι ταυτόν, ποσότητι ἕτερον, καὶ τοὐναντίον ὃ ποσότητι ταυτόν, ποιότητι ἕτερον. καὶ πάλιν, ὅτι ἀναγκαίως κατὰ πάσας τὰς σχέσεις ἡ αὐτὴ διαφορὰ τῶν δύο ὅρων μονάδι ἐξηλλαγμένως μέρος λεχθήσεται, τοῦ μὲν ἥμισυ, τοῦ δὲ τρίτον ὑπάρχουσα, ἢ τοῦ μὲν τρίτον, τοῦ δὲ τέταρτον, ἢ ἄλλως τοῦ μὲν τέταρτον, τοῦ δὲ πέμπτον, καὶ ἐφεξῆς οὕτως. ὃ δὲ μάλιστα βεβαιώσει, ταυτότητος αἰτιώτατον εἶναι τὸ περισσόν, οὐδέποτε δὲ τὸ ἄρτιον, ἐκεῖνο παραδεικτέον ἐν πάσῃ ἀπὸ μονάδος ἀναλόγῳ ἐκθέσει, οἷον διπλασίῳ μὲν α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ, 5. ὁμογενῆ — 10. μεταδίδωσιν CH — 17. 18. κἀκ τοῦ ἐναντίου H, S superscr. — 25. τὸν περ, . . . ἄρτ. P τὸν περ. . . . τὸν ἄρτ. — 26. ἀναλόγως ἀνάλογον H — 27. διπλασίᾳ H τριπλασίῳ δὲ α, γ, θ, κζ, πα, αμγ, ψκθ, βρπζ καὶ μέχρι οὐ βούλει, πάντας εὑρήσεις ἐξ ἀνάγκης τοὺς ἐν περισσαῖς χώραις τετραγώνους, ἄλλους δὲ οὐκέτι οὐδεμιᾷ μηχανῇ, οὐδένα δὲ ἐν ἀρτίᾳ τετράγωνον, ἀλλὰ καὶ οἱ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις ἄπαντες, τουτέστι κύβοι τριχὴ διαστατοὶ ὄντες καὶ ταυτότητος ἐπὶ πλεῖον δοκοῦντες μετέχειν ἔργον εἰσὶ περισσῶν, ἀλλ᾿ οὐκ ἀρτίων, ὁ α καὶ η καὶ κζ καὶ ξδ καὶ ρκε καὶ σιϚ καὶ οἱ ἀνάλογον προχωροῦντες καὶ ἁπλῇ γε καὶ ἀποικίλῳ ἐφόδῳ· ἐκτεθέντων γὰρ τῶν ἀπὸ μονάδος ἐπ᾿ ἄπειρον συνεχῶν περισσῶν ἐπισκόπει οὕτως, ὁ πρῶτος τὸν δυνάμει κύβον ποιεῖ, οἱ δὲ δύο μετ᾿ ἐκεῖνον συντεθέντες τὸν δεύτερον, οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις τρεῖς τὸν τρίτον, οἱ δὲ συνεχεῖς τούτοις τέσσαρες τὸν τέταρτον, οἱ δὲ ἐφεξῆς τούτοις πέντε τὸν πέμπτον καὶ οἱ ἐξῆς ἕξ τὸν ἕκτον καὶ τοῦτο μέχρις αἰεί.

κα. Ἐπὶ δὲ τούτοις καιρὸς ἂν εἴη τὸν περὶ ἀναλογιῶν τρόπον προςθέντας ἀναγκαιότατον ὄντα εἰς τὰς φυσιολογίας καὶ εἰς τὰ μουσικά τε καὶ σφαιρικὰ καὶ γραμμικὰ θεωρήμαται, οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ εἰς τὰς τῶν παλαιῶν συναναγνώσεις, τέλος ἐπιθεῖναι τῇ ἀριθμητικῇ XXI. Io. Phil. rec. l, ξη ογ; rec. ll, μη, μθ. — Iambl. p. 138 — 141. — Boëth. II. 30. 1. τριπλασίᾳ H — 3. οὗ om. P — 4. χώραις] τεταγμέ- νους add. — 5. ἀρτίῳ S — 6 τουτέστιν οἱ — 8. ἔργων P — 10 ὁ η G, artic. quinquies add. SH — 11. ἀνάλο- γοι P — 13. συνεχῶς P — 17 ἐξῆς] εὐθύς H, ἐξ. in mrg. XXI. Περὶ ἀναλογιῶν GCμSHΓ — 19 δὲ] δὴ G ἐπειδὴ P — 20. τρόπον codd. τόπον Ast. ex Iambl. p. 138 recepit — 21. τοὺς μουσ. G εἰσαγωγῇ τὸ ἁρμόζον ἄμα καὶ συμμετρότατον. ἔστιν οὖν ἀναλογία κυρίως δυεῖν ἢ πλειόνων λόγων σύλληφις ἐς τὸ αὐτό, κοινότερον δὲ δυεῖν ἢ πλεόνων σχέσεων, κἂν μὴ λόγῳ τῷ αὐτῷ ὑποτάσσωνται, διαφορᾶ δὲ ἤ τινι ἑτέρῳ. λόγος μὲν οὖν ἐστι δύο ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις, σύνθεσις δὲ τῶν τοιούτων ἡ ἀναλογία, ὥςτε ἐν ἐλαχίστοις ὅροις τρισὶν αὕτη συμμέμικται, δύναταί γε μὴν καὶ ἐν P πλείοσι κατὰ τὸ αὐτὸ διάστημα ἢ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον προχωρεῖν· οἷον τοῦ α πρὸς τὸν β λόγος ἐστὶ δύο ὅρων ὑπαρχόντων, εἷς ὁ διπλάσιος, ἀλλὰ καὶ τοῦ β πρὸς τὸν δ ἕτερος λόγος ὅμοιος· ἀναλογία ἄρα ἡ α, β, δ, λόγων γὰρ σύλληψις ἢ ὅρων τριῶν κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον θεωρουμένων πρὸς ἀλλήλους. καὶ ἐν πλείοσι δὲ καὶ ἐπιμηκεστέραις ἐκθέσεσι τὸ αὐτὸ δύναται θεωρεῖσθαι· προςαπτέσθω γὰρ τέταρτος ὅρος ὁ η μετὰ τὸν δ πάλιν ἐν ὁμοία σχέσει, διπλασίων γάρ, καὶ πάλιν μετὰ τὸν η ὁ ιϚ καὶ ἀεὶ οὕτως. ἐὰν μὲν οὖν ὁ αὐτὸς ὅρος ἀεὶ εἷς καὶ ἀπαράλλακτος πρὸς τούς παρ᾿ ἑκάτερα αὐτοῦ ἀποκρίνηται, πρὸς μὲν τὸν μείζονα ὡς ὑπόλογος, πρὸς δὲ τὸν ἐλάσσονα ὡς 1. συμμετρότητι G -τρώτατον P — 2. ἀναλογία cf. Eucl. V, ὅρ. ζ—θ — 3. σύλλήψεις G — ἐς om. — 4. ὑπο- τάσσονται PC — 6. σχέσεις G — 8. σύμμικται H συμβή- σεται — δύν. γε μὴν καὶ] δύν. μὲν — 9. κατὰ τὸ . . . ἢ om. P — 10. ὁ τοὺ α — 11. ὑπάρχων, ὧν εἷς Ast. — εἶς ὁ διπλ.] ὑποδιπλάσιος H — 12. λόγων G — 15. τριῶν] τοὐλάχιστον add. GS — κατὰ] ἀνὰ — 16. πρὸς ἀλλήλους] ἡ ἀναλογία ἐστί μ — 17. δύνασθαι S — 19. ἐν om. H — διπλάσιος S -ίω C πρόλογος, συνημμένη λέγεται ἡ τοιαύτη ἀναλογία, οἷον α, β, δ κατὰ ποιότητα· οἷος γὰρ ὁ δ πρὸς τὸν β, τοιοῦτος ὁ αὐτὸς β πρὸς τὸν α, καὶ ἀνάπαλιν οἷος ὁ α πρὸς τὸν β, τοιοῦτος ὁ αὐτὸς β πρὸς τὸν δ· κατὰ ποσότητα δὲ οἷον α, β, γ· ὅσον γὰρ ὁ γ τοῦ β ὑπερέχει, τοσοῦτον καὶ αὐτὸς ὁ β τοῦ α, καὶ ἐξ ἐναντίου, ὅσον ὁ α τοῦ β ἐλαττοῦται, τοσοῦτον καὶ αὐτὸς ὁ β τοῦ γ. ἐὰν δὲ ἕτερος μὲν ὄρος ὑπακούῃ πρὸς τὸν ἐλάττονα πρόλογος γινόμενος καὶ μείζων, ἕτερος δὲ καὶ μὴ ὁ αὐτὸς πρὸς τὸν μείζονα ὑπόλογός τε γινόμενος καὶ ἐλάττων, οὐκέτι συνημμένη, ἀλλὰ διεζευγμένη λέγεται ἡ τοιαύτη μεσότης τε καὶ ναλογία· οἷον κατὰ μὲν τὸ ποιὸν α, β, δ, η ὡς γὰρ τὰ β πρὸς τὸ α, οὕτω τὰ η πρὸς τὰ δ, καὶ ἀνάπαλιν ὡς τὸ α πρὸς τὰ β, οὕτως τὰ δ πρὸς τὰ η, ἐναλλάξ τε ὡς τὸ α πρὸς τὰ δ, οὕτω τὰ β πρὸς τὰ η, ἤ ὡς τὰ δ πρὸς τὸ α, οὕτως τὰ η πρὸς τὰ β· κατὰ δὲ τὸ ποσὸν οὕτως 5. πρὸς τὸ α G — 6. τοιοῦτος] οὕτως — αὐτὸς om. S — 10. 11. καὶ ἐξ . . . γ om. H — 10. ὅσον ὁ β τοῦ α G — 11. καὶ τοσοῦτ. G — 14. γινόμενος] λεγόμενος 19—22. ὡς γὰρ . .  ἐναλλάξ] ὡς γὰρ ἡ μονὰς πρὸς τὰ β, οὕτω τὰ δ πρὸς τὰ η, ἐναλλ. H — 20. καὶ ἀνάπ . . δ om. C — 22. καὶ ἐναλλ. τε G τε om. P — 24 25. ἢ ὡς α om. S — 25. τὰ η πρὸς] τὰ β πρ. G — 26. οὕτως] ὡς H α, β, γ, δ· ὅσῳ γὰρ τὸ α τοῦ β λείπεται, τοσούτῳ καὶ τὰ γ τοῦ δ, ἢ ὅσῳ τὰ δ τοῦ γ περισσεύει, τοσούτῳ καὶ τὰ β τοῦ α,  ἢ καὶ ἀναμὶξ ὅσῳ τὰ γ τοῦ α, τοσούτῳ τὰ δ τοῦ β, ἢ ὅσῳ λείπεται τὸ α τῶν γ, τοσούτῳ τὰ β τῶν δ.

κβ. Εἰσὶν οὖν ἀναλογίαι αἱ μὲν πρῶται καὶ παρὰ πᾶσι τοῖς παλαιοῖς ὁμολογούμεναι, Πυθαγόρᾳ τε καὶ Πλάτωνι καὶ Ἀριστοτέλει, τρεῖς πρώτισται ἀριθμητική, γεωμετρική, ἁρμονική, αἱ δὲ ταύταις ὑπεναντίαι ἄλλαι τρεῖς, ἰδίων μὴ τετευχυῖαι ὀνομάτων, κοινότερον δὲ λεγόμεναι μεσότητες τετάρτη, P πέμπτη, ἕκτη· μεθʼ ἃς καὶ ἄλλας τέσσαρας οἱ νεώτεροι εὑρίσκουσι, συμπληροῦντες τὸν δέκατον ἀριθμὸν κατὰ τὸ τοῖς Πυθαγορικοῖς δοκοῦν ὡς τελειότατον, καθ᾿ ὃν καὶ αἱ δέκα σχέσεις ὤφθησαν ἡμῖν πρὸ βραχέος ποσότητα λαμβάνουσαι καὶ αἱ δέκα λεγόμεναι κατηγορίαι καὶ τῶν ἡμετέρων χειρῶν καὶ XXII. Ιο. Phil. rec. l, οδ; rec. II, ν. — Iambl. p. 141. 142. — Boëth. lI. 31. 2. ὅσων . . . τοσσῦτον S — 8. τοσούτῳ ante τὰ δ om. H XXII. 11. ἀναλογία G — 12. παρὰ om. C — Πυθα- γορικοῖς — 13. καὶ Πλάτωνι om. G παρὰ Πλ. καὶ παρὰ Ἀρ. — 15. τετευχεῖαι P — 16. κοινότεραι G — 18. εὗ- ρον S — συμπληροῦντα G — δέκατον om. S τὸν ι CH de- narius numerus Boëth. lI, 31 — 19, Πυθαγόρᾳ S quod erat Pythagorae complacitus Boëth. — 21. ποσότητι G — αἱ δέκα] αἱ δὲ P — ποδῶν αἱ τῶν ἀκρωτηρίων διαιρέσεις καὶ σχέσεις καὶ ἕτερα μυρία, ἃ κατʼ οἰκεῖον τόπον ἐν ἑτέροις ὀ ψόμεθα. νῦν δὲ περὶ τῶν ἀναλογιῶν ἄνωθεν τεχνολογητέον καὶ πρῶτόν γε περὶ τῆς κατὰ τὸ ποσὸν τὴν τῶν ὅρων σύγκρισιν οἰκειούσης ἀλλήλοις καὶ συνδεούσης, ἢ ἐστι κατὰ τὴν τῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους διαφορὰν ἴση κατὰ τὸ ποσὸν οὖσα· αὕτη δ᾿ ἂν εἴη ἡ ἀριθμητική, ταύτης γὰρ ἴδιον προαπεδόθη τὸ ποσόν. τίς οὖν ἡ αἰτία, ὅτι περὶ ταύτης πρώτης καὶ οὐ περὶ ἄλλης; ἢ δῆλον, ὅτι καὶ ἡ φύσις αὐτὴν πρὸ τῶν ἄλλων ἐμφαίνει· ἐν γὰρ τῇ τοῦ ἀπλοῦ ἀριθμοῦ φυσικῇ ἀπὸ μονάδος ἐκθέσει μηδενὸς παραλειπομένου μηδ᾿ ὑπεξαιρουμένου σώζεται ὁ ταύτης μόνης λόγος, ἀλλὰ καὶ ἐν τοῖς ἔμπροσθεν ἀπεδείξαμεν συλλογισάμενοι καὶ αὐτὴν τὴν ἀριθμητικὴν εἰςαγωγὴν πρὸ πασῶν τῶν ἄλλων ὑπάρχειν συναναιροῦσαν μὲν ἑαυτῇ ἐκείνας, οὐ συναναιρουμένην δέ, καὶ συνεπιφερομένην μὲν ἐκείναις, οὐ συνεπιφέρουσαν δέ, ὥςτε εἰκότως καὶ ἡ ὁμώνυμος τῇ ἀριθμητικῇ μεσότης οὐκ ἀλόγως προηγήσεται τῶν ἐν ἐκείναις ὁμωνύμων μεσοτήτων, γεωμετρικῆς τε καὶ ἁρμονικῆς· τῶν γὰρ ὑπεναντίων ἐκδηλότατον ὅτι πολύ μᾶλλον ἡγήσεται, ὧνπερ αὗται ἡγεμόνες. πρωτίστη ἄρα καὶ ἔξαρχος δικαιοτάτη ἡ ἀριθμητικὴ οὖσα φυσικῶς καὶ παρ᾿ ἡμῶν τυγχανέτω διαρθρώσεως πρό γε τῶν ἄλλων.

κγ. Ἔστιν οὖν ἀριθμητικὴ μεσότης, ὅταν τριῶν ἢ πλειόνων ὅρων ἐφεξῆς ἀλλήλοις κειμένων ἢ ἐπινοουμένων ἡ αὐτὴ κατὰ ποσότητα διαφορὰ εὑρίσκηται μεταξὺ τῶν ἐφεξῆς ὑπάρχουσα, μὴ μέντοι λόγος ὁ αὐτὸς ἐν τοῖς ὅροις πρὸς ἀλλήλους γίνηται, οἷον α, β, γ, δ, ε, Ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ· ἐν γὰρ τῇ φυσικῇ ταύτῃ ἐκθέσει τοῦ ἀριθμοῦ συνεχῶς καὶ ἀνυπερβάτως ἐξεταζομένῃ εὑρίσκεται πᾶς ὁςτιςοῦν ὅρος δυεῖν ἀνὰ μέσον τεταγμένος τὴν ἀριθμητικὴν P πρὸς αὐτούς διασώζων μεσότητα· ἶσαι γὰρ αἱ διαφοραὶ αὐτοῦ εἰσι πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν τεταγμένους, οὐ μὴν ἔτι καὶ λόγος ὁ αὐτὸς σώζεται ἐν αὐτοῖς. ἐπιστάμεθα δέ, ὡς ἐν τῇ τοιαύτῃ ἐκθέσει συνημμένη τε καὶ διεζευγμένη γίνεται μεσότης· εἰ μὲν γὰρ ὁ αὐτὸς μέσος ὅρος πρόλογός τε καὶ ὑπόλογος πρὸς τούς ἑκατέρωθεν ὑπακούοι, συνημμένη ἂν εἴη, εἰ δὲ σὺν αὐτῷ ἕτερος, διεζευγμένη γίνεται μεσότης. ἐὰν μὲν οὖν ἐκ τῆς ἐκθέσεως ταύτης τρεῖς ἀποτεμόμενοι οὑςτιναςοῦν παραλλήλους κατὰ τὴν συνημμένην σκοπῶμεν ἢ τέσσαρας ἢ πλείους κατὰ τὴν διεζευγμένην, μονὰς ἂν εἴη πάντων ἡ διαφορά, λόγοι δὲ ἕτεροι ἐκ παντός· ἐὰν δὲ μὴ παραλλήλους, ἀλλὰ διεχεῖς, κατὰ ἴσην μέντοι παράλειψιν, πάλιν δὲ ἤτοι τρεῖς ἢ πλέονας, εἰ μὲν εἷς ὁ παραλειπόμενος XXIII. Io. Phil. rec. l, οε — πβ; rec. lI, να— νη.— Iambl. p. 142 —147. — Boëth. II. 32. XXIII. Περὶ ἀριθμητικῆς μεσότητος GHΓ Περὶ ἀρ. ἀναλογίας CμS — 5. γίνεται P — 8. ἀνεπιβάτως G — ἐξεταζομένων S — 12. ἔτι om. C — 13. τῆ αύτη G — 17. 18. γίν μεσότης om. H — 18. θέσεως P — 22. ἐκ παντὸς παντως S — 23. παράλεψιν G -ληψιν P εἴη καθ᾿ ἑκάστην θέσιν ὅρου, δυὰς ἔσται ἡ διαφορὰ πάντων, καὶ πάλιν ἐν τρισὶ μὲν συνημμένη, ἐν πλείοσι δὲ διῃρημένη· εἰ δὲ δύο οἱ παραλειπόμενοι, τριὰς πάντως ἡ διαφορὰ ἐν ἅπασι συνημμένοις τε καὶ διεζευγμένοις, εἰ δὲ τρεῖς, τετράς, εἰ δὲ τέσσαρας, πεντάς, καὶ τοῦτο ἐφ᾿ ὁποσονοῦν. μετέχει ἄρα ἡ τοιαύτη ποσοῦ μὲν ἴσου ἐν ταῖς διαφοραῖς, ποιοὺ δὲ οὐκέτι ἴσου· διὰ τοῦτο ἀριθμητική· εἰ δ᾿ ἔμπαλιν ποιοῦ μὲν ὁμοίου μετεῖχε, ποσοῦ δὲ οὔ, ἦν ἂν γεωμετρικὴ ἀντὶ ἀριθμητικῆς. ἴδιον δὲ ὑπάρχει τῆςδε τῆς μεσότητος, ὃ μηδεμιᾷ ἄλλῃ συμβέβηκε, τὸ κατὰ σύνθεσιν τῶν ἄκρων ὑποδιπλάσιον ἢ ἶσον τὸ μέσον εἶναι, ἄν τε συνημμένως ἄν τε διεζευγμένως σκοπῆται ἄν τε ἐναλλάξ· ἢ γὰρ τὸ μέσον σύν ἑαυτῷ ἢ τὰ μέσα σύν ἀλλήλοις ἶσα τῇ τῶν ἄκρων συνθέσει. ἔτι καὶ ἄλλο ἔχει ἴδιον· ὃν γὰρ ἔχει λόγον ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν, τοῦτον αἱ διαφοραὶ πρὸς τὰς διαφοράς, τουτέστιν ἐν ἰσότητί εἰσιν· ἔτι τὸ γλαφυρώτατον καὶ τούς πολλούς λεληθός, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινόμενον συγκρινόμενον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου ἔλαττον αὐτοῦ εὑρίσκεται τῷ ὑπὸ τῶν διαφορῶν, ἐάν τε μονάδες ὦσιν ἐάν τε δυάδες ἐάν τε τριάδες ἐάν τε τετράδες ἐάν τε ὁςτιςοῦν ἀριθμός· τέταρτον δέ, ὃ 1. θέσιν om P — 3. εἰ] οἱ — παραλειπ.] εἶεν add. S — 5. διεζευγμένοις] διῃρημένοις PC — 7. ἡ τοι- αύτη] αὕτη SH — 9. ὁμοίως G — μετέχει — 11. τῆςδε] ταύτης S — 12. ὑποδιπλάσιος G — 12 13. τὸ μέ- σον ante ἢ, om. εἶναι διπλάσιον τοῦ μέσου ἡ ἶσον τοῖς μέσοις εἶναι C — 14. αὐτῷ H — 16. ν γὰρ ἔχει κτλ.] cf. Io. Phil. I, οθ: . . . . ψυχρὸν δὲ τὸ αὐτὸ ἑαυτῷ ἶσον λέ- χῶν τὸν μέσον· τὸ γάρ ἶσον ἑτέρῳ τινί ἐστιν ἴσον, οὐχ ἑαυτῷ κτλ. rec. II, νγ: ἐπιλαμβάνονταί τινες αὐτοῦ. ἀγνοοῦντες, ὅτι μάλιστα καὶ πρώτως τὸ ἶσον ἐν τῷ ἐνὶ θεωρεῖται κτλ. — 17. τὰς om. GP — 18. εἰσιν] ἴσῃ P καὶ οἱ πρόσθεν πάντες ἐσημειώσαντο, οἱ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ὄροις λόγοι συγκρινόμενοι πρὸς τούς ἐν P τοῖς μείζοσι μείζονές εἰσι δειχθήσονται δὲ ἐν τῇ ἁρμονικῇ ἐναντίως οἱ ἐν τοῖς μείζοσι μείζονες καὶ οἱ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἐλάττονες· διὰ τοῦτο ὑπεναντία ἡ ἀρμονικὴ μεσότης τῇ ἀριθμητικῇ, μεταίχμιον δὲ αὐτῶν ὥςπερ ἀκροτήτων ἐστὶν ἡ γεωμετρικὴ ἔχουσα τούς ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγους καὶ τούς ἐν τοῖς ἐλάττοσιν ἀλλήλοις ἴσους· ἐν μεσότητι δὲ ἡμῖν ὤφθη τὸ ἴσον τοῦ μείζονος καὶ τοῦ ἐλάττονος. τοσάδε ἡμῖν περὶ τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος.

κδ. δὲ ἐπὶ ταύτῃ συνεχὴς γεωμετρικὴ μεσότης κυρίως ἀναλογία μόνη καλουμένη διὰ τὸ ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον θεωρεῖσθαι πρὸς ἀλλήλους τούς ἐν αὐτῇ ὅρους· ἔστι δέ, ὅταν τριῶν ὅρων ἢ πλειόνων ὡς ἔχει ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, οὕτως αὐτὸς πρὸς τὸν ὑποβεβηκότα ἔχῃ, ἐὰν δὲ πλείονες ὅροι εἶεν, καὶ αὐτὸς πάλιν πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, ποσότητι μέντοι μὴ τῇ αὐτῇ διαφέρωσιν ἀλλήλων, ἀλλὰ λόγου ποιότητι τῇ αὐτῇ, ἐναντίως ἢ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ὤφθη. οἷον ὑποδείγματος χάριν ἐκκείσθωσαν οἱ ἀπὸ μονάδος κατὰ διπλάσιον λόγον προχωροῦντες XXIV. Io. Phil. rec. I, πγ — ??; rec. Il, νδ — νη. — Iambl. p. 147—151. — Boëth. lI, 33—35. 2. λόγοις — 4. 5. καὶ οἱ . . . ἐλάττονες om. H — ῶςπερ ἀκρ. ἐστ. om. H — 11. τόσα μὲν — ἡμῖν] δὴ C XXIV. Περὶ γεωμετρικῆς μεσότητος HΓ Περὶ [τῆς S] γεωμετρικῆς ἀναλογίας CμS — 12. ταύτης P — 13. τὸ ἀνὰ om. P — 15. πλειόνων] ὅρων add. — 16. ἔχει om. — 17. ἔχει S — 17. 18. ἐὰν δὲ . . . εἶεν] καὶ εἰ πλ. οἱ ὅρ. εἷεν C, H post ὑπʼ αὐτόν. εἰ δὲ πλ. εἶεν οἱ ὅρ. S — 19. μὴ οὐ H — 20. λόγον G — 22. διπλασίονα SH α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον, ἢ κατὰ τριπλασίονα α, γ, θ, κζ, πα, σμγ καὶ ἐφεξῆς ἢ κατὰ τετραπλάσιον ἢ παραπλησίως τοῖς ἐκτεθεῖσιν· ἐν ἑκάστῳ γὰρ τούτων τῶν στίχων τρεῖς παράλληλοι ἢ τέσσσαρες ἢ ὁσοιοῦν ληφθέντες τὴν γεωμετρικὴν πρὸς ἀλλήλους ἀποδώσουσιν ἀναλογίαν· ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, οὕτως κἀκεῖνος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν καὶ πάλιν ἐκεῖνος πρὸς τὸν ἔτι ὑπ᾿ αὐτὸν καὶ τοῦτο μέχρι θέλει τις, καὶ ἀναμίξ· οἷον β, δ, η· ὄν γὰρ λόγον ἔχει ὁ η πρὸς τὸν δ, τοῦτον καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β καὶ ἀνάπαλιν, οὐ μὴν ἴσην ποσότητα μεταξὺ ἀλλήλων ἔχουσιν· ἢ πάλιν β, δ, η, ιϚ· οὐ γὰρ μόνον ὁ ιϛ πρὸς τὸν η τὸν αὐτὸν τοῖς πρόσθεν λόγον ἔχει, εἰ καὶ μὴ διαφοράν, ἀλλὰ καὶ ἀναμὶξ διασώζει τὴν ὁμοίαν σχέσιν, ὡς ὁ ιϚ πρὸς τὸν δ, οὕτως καὶ ὁ η πρὸς τὸν β, καὶ ἔμπαλιν ὡς ὁ β πρὸς τὸν η, οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν ιϛ, καὶ διεζευγμένως ὡς ὁ β πρὸς τὸν δ, οὕτως ὁ η πρὸς τὸν ιϛ, ἀναστρόφως τε καὶ κατὰ τὸ διεζευγμένον ὡς ὁ ιϛ πρὸς τὸν η, οὕτως καὶ ὁ δ πρὸς τὸν β· ἔχει γ`ρ τὸν διπλασίονα P λόγον.

κε. Ἔστι γὰρ ἡ τῇ τρίτῃ τάξει μεσότης ἁρμονικὴ καλουμένη, ὅταν ἐν τρισὶν ὄροις ὁ μέσος θεωρῆται πρὸς τούς ἄκρους μήτε ἐν λόγῳ τῷ αὐτῷ ἐξεταζόμενος, τοῦ μὲν πρόλογος, τοῦ δὲ ὑπόλογος, ὡς ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς, μήτε ἐν διαστήμασι μὲν ἴσοις, λόγων δὲ ἑτερότητι, ὡς ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς, ἀλλ᾿ ὅταν, ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον ὅρον ἔχει, οὕτω καὶ ἡ τοῦ μεγίστου διαφορὰ παρὰ τὸν μέσον πρὸς τὴν τοῦ μέσου διαφορὰν παρὰ τὸν ἐλάχιστον, οἷον XXV. Io. Phil. rec. I, ??α—ρ; rec. II, νθ, ξ. — Iambl. p. 151. 152. — Boëth. II. 36. 1. κύβος] ubique κῦβος scribit, cf. Anthol. Palat. XIV, 8 — ἑτερομήκης] στερεός add. Io. Phil. I, πθ. — [ἢ κύβος ἑτερομήκη] om. Io. Phil. l. l. κύβος Αστιθσ Boë- thium secutus addidit; ἐὰν δὲ ἑτερομήκης, κύβον ἑτερο- μήκη P — 5 —7. ἄν δὲ περ. . . . περισσός om. C XXV. Περὶ μουσικῆς ἀναλογίας G Περὶ ἁρ- μονικῆς ἀναλ. Cμ Περὶ ἁμονικῆς μεσότητος ΗΓ — 16. δʼ ὑπόλ GC — ἔχειν G ἔχῃ P — 20. παρὰ] ἡ παρὰ G, om. P γ, δ, Ϛ ἢ πάλιν β, γ, Ϛ· ὁ γὰρ ϛ τοῦ δ τῷ αὐτοῦ τρίτῳ ὑπερέχει, τρίτον γὰρ τοῦ Ϛ τὰ β, καὶ ὁ γ τού δ λείπεται τῷ αὐτοῦ τρίτῳ, τοῦ γὰρ γ τρίτον μονάς· ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ προτέρου ὑποδείγματος οἵ τε ἄκροι ἐν διπλασίῳ λόγῳ καὶ αἱ τούτων πρὸς τὸν μέσον διαφοραὶ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ διπλασίονι πρὸς ἀλλήλας, ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ ἑκατέρα ἐν τριπλασίῳ.

κϚ. Τὸ δὲ πρός τι ἐπέγνωμεν ἐν τῇ τοῦ ὄντος ἀνωτέρω φρασθείσῃ διαιρέσει τῆς ἁρμονικῆς ἴδιον θεωρίας, ἀλλὰ καὶ οἱ μουσικοὶ τῶν ἐν ἁρμονίᾳ συμιφωνιῶν λόγοι ἐν ταύτῃ μᾶλλον εὑρίσκονται τῇ μεσότητι· στοιχειωδέστατος μὲν ὁ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, ὡς δ πρὸς γ, ὅρος πρὸς ὅρον ἐν τῷ κατὰ τὸν διπλάσιον ὑποδείγματι ἢ διαφορὰ πρὸς διαφορὰν ἐν τῷ κατὰ τὸν τριπλάσιον, τοῦ γὰρ Ϛ πρὸς β ἢ πάλιν τοῦ Ϛ πρὸς γ αὗται αἱ διαφοραί· μετὰ δὲ τοῦτον εὐθύς ὁ διὰ πέντε ὑπάρχων ἡμιόλιος τοῦ γ πρὸς β ἢ πάλιν τοῦ Ϛ πρὸς δ, ὅρου πρὸς ὅρον· εἶτα τούτων ἀμφοτέρων σύστημα τοῦ τε ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου ὁ διὰ πασῶν ἐφεξῆς αὐτοῖς κείμενος, ἐν διπλασίῳ ὑπάρχων λόγῳ, ὡς ϛ πρὸς γ ἐν ἀμφοτέροις ὑποδείγμασιν, ὅρος πρὸς ὅρον· ἢ ὁ ἐπὶ τούτῳ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε, τριπλάσιον σώζων ἀμφοτέρων ἄμα τὸν λόγον, σύστημα ὑπάρχων διπλασίου ἄμα καὶ ἡμιολίου, ὥςπερ τοῦ Ϛ πρὸς β, ὅρου πρὸς ὅρον, ἐν τῷ κατὰ τὸν τριπλάσιον ὑποδείγματι, XXVI. lo. Phil. rec. I, ρα—ρζ; rec. ll, ξα. — Iambl. p. 152—157. — Boëth. lI. 37. — Scholia cod. Ciz. XXVI. 1. Ὁ δὲ P — 2. ἀνώθερον ἀνώτερον SH — 3. μουσική G — 4. μάλιστα CSH — μεσότητι] ὥςτε καὶ διὰ ταῦτ᾿ ἂν εὐλόγως ἁρμονικὴ ὀνομάζοιτο add. C — 5. στοιχειωδέστατοι H — τεσσάρων] ὢν add. C — 6. λόγῳ] ὄντες add. — 7. ἢ] ἡ — 8. τὸν τριπλ. scripsi pro τὸ τρ. — 9. 11. πάλιν bis on. S — 12. εἶτα] εἷ G — 12. 13. τοὺ τε . . . ἐπιτρίτου om. CH — 13. αὐτὸς G — 5. παραδείγμασιν C, in mrg. ὑποδ. — Ὅροις πρ. ὅρ. P ὅρου πρ. ὅρ. CSH — ἡ ὁ] ὁ δὲ εἶτα ὁ H — 16. τού- των — διὰ πεμπτόν G — τριπλ.] διπλάσιον σώζων λό- γον G — 17. σώζ. τὸν λόγον ἀμφοτέρου τῶν λόγων C 18. ἅμα post διπλ. om. SH — 19. πρὸς ὅρον Ast. recte adpa-  didit, qui cur ὅρον pro ὅρου ex cod. S receperit, non adpa- ret. ὅρων H — διπλάσιον G1 καὶ πάλιν διαφορὰς πρὸς διαφορὰν ἐν τῷ αὐτῷ, ἐν δὲ τώ κατὰ τὸν διπλάσιον ὅρου μεγίστου πρὸς διαφορὰν αὐτοῦ καὶ τοῦ μέσου ἢ διαφορᾶς τῶν ἄκρων πρὸς διαφορὰν τῶν ἐλαττόνων· τελευταῖον δὲ καὶ μέγιστον σύμφωνον τὸ λεγόμενον δὶς διὰ πασῶν ὡςανεὶ δὶς διπλάσιον, ἁπάρχον δὲ ἐν λόγῳτετραπλασίῳ, ὡς ὁ μέσος ὄρος τῆς ἐν διπλασίοις πρὸς τὴν P τῶν ἐλαττόνων διαφορὰν ἢ ἡ τῶν ἄκρων διαφορὰ τῆς ἐν τριπλασίοις πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων.

κζ. Ὥςπερ δὲ ἐν τῇ τοῦ μουσικοῦ κανόνος κατατομῇ χορδῆς μιᾶς τεταμένης ἢ αὐλοῦ μήκους ἑνὸς ἐκκειμένου τῶν ἄκρων ἀμετακινήτων ὑπαρχόντων, μεταλαμβανούσης δὲ τῆς μεσότητος ἐν μὲν τῷ αὐλῷ XXVII. Io. Phil. rec. I, ρη—ριζ; rec. II, ξβ—ξϚ. — ambl. p. 157—159. — Boëth. II. 38. — Scholia cod. C 1. πολλαπλ. C — 3. διὰ τοῦ ε P — 6. διάστημα H, in mrg. σύστ. — πρός Ϛ G — 7. τριπλασίων — 9. ἐλατ- τόνων] ἐλαχίστων C — 10. διαφορὰν] reperiuntur in codi- cibus schemata quaedam, quorum plenissimumm cod. C ad- ponit: γ II δ III Ϛ II η III ιβ α β β δ ·υ — οἰκειότατα PCSH — 11. ὠνομάσθη CSH XXVII. 13. αὐλικοῦ P — 14. ἐκκειμένον G — ἀμετα- κινήτου P διὰ τρυπημάτων, ἐν δὲ τῇ χορδῇ διʼ ὑπαγωγέως, ἄλλον ἐξ ἄλλου τρόπον ἀποτελεῖσθαι δύνανται αἰ προλεχθεῖσαι μεσότητες, ἀριθμητική τε καὶ γεωμετρική καὶ ἁρμονική, ἵνα εἰκότως καὶ ἐτυμώτατα καλοῖντο διὰ τὴν τοῦ μέσου ὅρου μετάστασίν τε καὶ μεταγωγὴν διαφόρως συντελούμεναι, οὕτως καὶ ἐν ἀριθμητικοῖς δυσὶν ὅροις, εἴτε περισσοῖς ἀμφοτέροις εἴτε καὶ ἀρτίοις, εὔλογόν ἐστι καὶ ἄμα δυνατὸν μένουσιν ἐν τῷ αὐτῷ καὶ μὴ μεταβιβαζομένοις μεσότητα καθ᾿ ἑκάστην τῶν τριῶν ἐφαρμόζουσαν ἐντάσσεσθαι· P κατὰ μὲν ἀριθμητικὴν ἴσῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, κατὰ δὲ γεωμετρικὴν ὁμοίῳ λόγῳ διαφορουμένην, κατὰ δὲ ἁρμονικὴν τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τῶν αὐτῶν μείζονά τε καὶ ἐλάττονα. προκείσθωσαν δὴ πρῶτον ἄρτιοι ὅροι δύο, ὧν μεταξύ αἱ τρεῖς μεσότητες ζητητέον πῶς ἂν ταγεῖεν καὶ τίνες, καὶ ἔστωσαν ὅ τε ι καὶ ὁ μ. πρῶτον οὖν τὴν ἀριθμητικὴν ἐναρμόζω καὶ ἔστιν κε καὶ τὰ παρακολουθήματα αὐτῆς σώζεται πάντα κἀνταῦθα· ὡς γὰρ ἕκαστος ὅρος πρὸς ἑαυτόν, οὕτω καὶ διαφορὰ πρὸς διαφοράν, ἆρα ἐν ἰσότητι, καὶ ὅσῳ ὁ μείζων τοῦ μέσου, τοσούτῳ καὶ οὗτος τοῦ ἐλάττονος ὑπερφέρει, καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου καὶ ὁ τῶν ἐλαττόνων ὅρων λόγος 3. προλεχθεῖσαι] τρεῖς add. CSH — 4. ἑτοιμότατα GP ἐτυμότ. μεσότητες καλ. — 5. ὅρου om. S — μετάστα- σιν] μετάβασιν S — 8. ἀρτίοις] ald. ἀμφοτέροις add. SH — 10. ἐφαρμόζουσα P — 13. διαφορουμένην] ἀδιαφορ. Ast. διαφορουμένην ἀντὶ τοῦ ἑτερουμένην· . . . ὁ λόγος γὰρ ὁ αὐτὸς τῶν εἰρημένων, ἀλλὰ τὸ ποσὸν διάφορον. Schol. Ciz. cf lo. Phil. l, ρια. — 13. τὸν αὐτὸν CH τὴν αὐτήν S — 15. πρῶτον οἱ ὅροι P — 16. ζητητέαι C — 22. ἄρα GP καὶ γὰρ C om. SH — 25. ὥρων G μείζων τοῦ τῶν μειζόνων καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλαττον τοῦ ἀπὸ τοῦ μέσου τῷ ἀπὸ τῶν διαφορῶν τετραγώνῳ, καὶ ὁ μέσος τῷ αὐτῷ ἰδίῳ μέρει καὶ μείζων ὑπάρχει καὶ ἐλάττων τῶν ἄκρων, ἐν δὲ τοῖς ἄκροις θεωρουμένῳ ἑτέρῳ καὶ ἑτέρῳ. ἐὰν δὲ τὴν κ μεσότητα ἐμβάλλω εἰς τούς προκειμένους ἀρτίους ὅρους, τὰ τῆς γεωμετρικῆς ἰδιώματα ἀνακύπτει, ἐξαπόλλυνται δὲ τὰ τῆς ἀριθμητικῆς· οἷος γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον, τοιοῦτος καὶ ὁ μέσος πρὸς τὸν μικρόν, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσο καὶ αἱ διαφοραὶ πρὸς ἀλλήλας ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ θεωροῦνται, ἐν ᾧ καὶ οἱ ὅροι, καὶ οὔτε ἐν τοῖς ἄκροις καθαροῖς ἡ τοῦ μέρους ταυτότης καθ᾿ ὑπεροχὴν καὶ ἔλλειψιν οὕτε ἐν μέσῳ καθαρῷ. ἀλλ᾿ ἐν μέσῳ καὶ θατέρῳ τῶν ἄκρων παρὰ μέρος, ἔν τε μείζοσιν ὅροις καὶ ἐλάττοσιν ἶσος λόγος. ἐὰν δὲ τὸν ιϚ ἀντιλάβω μέσον ὄρον, πάλιν τὰ μὲν τῶν προτέρων δυοῖν μεσοτήτων ἰδιώματα ἐκποδών γίνεται, τὰ δὲ τῆς ἁρμονικῆς ἀναφαίνεται πρὸς τούς αὐτούς διαμένοντα δύο ἀρτίους ὅρους· ὥςπερ γὰρ ὁ μείζων πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ τῶν μειζόνων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων, καὶ ὅσοις μέρεσιν ὁ μέσος ἐλάττων τοῦ μείζονος ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωροῦ μένοις, τοσούτοις ὁ αὐτὸς τοῦ ἐλάττονος μείζων ἐν 3. τετραγώνων P — 5 θεωρουμένων GP, iden addunt τρισὶν ὀγδόοις — 6. ἐμβάλλων G ἐμβάλω PC2 λάβω H — ἀρτίους om. A — 7. ἀνακάπτει P — 8. οἷον P — 9. μικρὸν] ἐλάχιστον C — 11. ἀλλήλους G ἀλλήλαις P — μετα C2 14. τῷ μέσῳ CSH — καθαρῶς CH — 16. ἀντιλάβω C ἀντι μεταλάβω S ἀντιμεταλάβω H — 17. μέσον om. H — 18. ἰδιώὸματα om. S — 19. διαμένοντας SH αὐτῷ τῷ ἐλάττονι θεωρουμένοις, καὶ ὁ μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις λόγος μείζων, ἐλάττων δʼ ὁ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν, ὅπερ οὐκ ἐπ᾿ ἄλλης, καὶ συντεθέντα τὰ ἄκρα καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντα διπλάσιον P ἀποτελεῖ τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων γινομένου. ἂν δὲ οἱ δύο ἄκροι ὅροι μὴ ἄρτιοι ἐκτεθῶσιν, ἀλλὰ περισσοί, οἷον ε, με, ὁ μὲν αὐτὸς ὅρος ὁ κε ἀριθμητικὴν ποιήσει· σἴτιον δὲ τούτου, ὅτι ἐφ᾿ ἑκάτερα αὐτοῦ ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέβησάν τε καὶ ὑπέβησαν οἱ ὅροι τὴν αὐτὴν πρὸς αὐτὸν διατηροῦντες διαφορὰς ποσότητα· ὁ δὲ ιε ἀντιτεθεὶς τὴν γεωμετρικὴν ἀποδίδωσι τριπλάσιός τε καὶ ὑποτριπλάσιος ἑκατέρου ἂν· ὁ δὲ θ μεταλαβών τὸ μέσος εἶναι τὴν ἁρμονικὴν ἀποδίδωσιν, οἷς γὰρ μέρεσι μείζων τοῦ ἐλάττονός ἐστι, τέσσαρσι πέμπτοις αὐτοῦ τοῦ ἐλάττονος, τούτοις τοῦ μείζονος ἐλάττων ἐστὶν ἐν αὐτῷ τῷ μείζονι θεωρουμένοις, τέσσαρσι γὰρ πέμπτοις, καὶ πάντα τὰ προλεχθέντα ἰδιώματα ἐφαρμόζων σύμφωνα εὑρήσεις.

Ἔφοδος δέ, ὡς ἄν ἐντέχνως πλάσσοις τούς προδειχθέντας ὅρους κατὰ τὰς τρεῖς ἀναλογίας, τοιαύτη ἔστω σοι· ἐπ᾿ ἀμφοτέρων τῶν προχειρισθέντων ὅρων περισσῶν τε καὶ ἀρτίων ἀριθμητικὴν μὲν 1. ἐν post μὲν om. — 3. ἄλλης] μεσότητος add. S — 8. κε, με S με, ε C ε με — 11. ὑπέβησαν] G re- petit ὑπερέβησαν — ἐπέβησαν τε καὶ ὑπερέβ. — 12. ιε om. P — 13. ἀντεντεθεὶς C — 13. 15. ἀποδώσει bis H — 16. μέρεσι om. S — τετραπέμπτοις S — 16 —18. τέσσαρσι . . . ἐστιν om. G1 — 19. τέτρασι S — πάντως P — 19. 20. τά ἴδιώμ. P — 20. σύμφωνον — 21, ἐντέχνως] πῶς add, S — πλάσης C — 22 τὰς om. GP εὐρήσεις, συνθεὶς τὰ ἄκρα τούτων τὸ ἥμισυ μέσοντάξον ἢ τὴν τοῦ μείζονος ὑπεροχὴν πρὸς τὸν ἐλάττονα διχῆ τεμών καὶ προςθεὶς τῷ ἐλάττονι μέσον ἕξεις· γεωμετρικὴν δέ, τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων προμήκους τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρὼν μέσον ὅρον ποιήσεις ἢ ὃν ἔχουσι πρὸς ἀλλήλους οἱ ὅροι λόγον ἰδών, τοῦτον δίχα τεμών μέσον ποίησον, οἷον ἐπὶ τετραπλασίου διπλάσιον· ἁρμονικὴν δέ, τῶν ἄκρων τὴν διαφορὰν ποιητέον ἐπὶ τὸν ἐλάττονα καὶ τὸν γενόμενον παραβλητέον ἐπὶ τὸν σύνθετον ἐκ τῶν ἄκρων, εἶτα τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς προςθετέον τῷ ἐλάττονι, καὶ ἔσται ὁ γινόμενος ἁρμονικὴ μεσότης.

κη. Καὶ τάδε μὲν περὶ τῶν παρὰ τοῖς παλαιοῖς θρυλλουμένων τριῶν ἀναλογιῶν, ἃς καὶ ἐπιτηδὲς σαφέστερον καὶ πλατύτερον διηρθρώσαμεν, ὅτι πολλάκις τε καὶ ποικιλώτερον ἐντυγχάνειν ἦν αὐταῖς ἐν τοῖς ἀναγνώσμασι· τὰς δʼ ἐξῆς ἐπιτμητέον οὐ πάνυ φερομένας παρὰ τοῖς ἀρχαίοις, ἀλλὰ εἰς μόνην ἐμπειρίαν ἡμῶν αὐτῶν καὶ τὸ οἱονεὶ πλῆρες τοῦ συλλογισμοῦ παραλαμβανομένας. εἰσὶ δὲ αὗται τάξει XXVIII. Io. Phil. rec. l, ριη—ρλ; rec lI, ξζ—ξθ. — Iambl. p. 159—167. — Boëth. II. 39. 40. 1. εὑρήσεις] εὑρεῖν S — 2. πρὸς τὸν ἐλ. om. PC — 3. δίχα S — 4. ἕξει P — 5. εὙρὼν] λαβών C τεμών S, in mrg. γρ. εὑρών — 6. οἴ ὅροι om. H — 7 τούτων P — ποίησαι G — 8. καὶ ἁρμ. δὲ G — 9. ποίησον H — 10. γινομενον S — ἐπὶ] περὶ ι man. 2 in α mut. παρὰ — 12. γενόμενος G — ἁρμονικός G XXVIII. 15. θρηλλουμένων G τεθρυλλημ. S — ἃς] τὸ G — 17. ἦν] ἦ G — 18. ἐπιθμητέον P ἐπιτηρητέον S1 — 19. παρὰ] π (περὶ) G — 20. αὐτῶν om. CS — τὸ οἱονεὶ] τοῦτο οἰκεῖον S ἐκφερόμεναι ὑφʼ ἡμῶν κατὰ ὑπεναντίωσιν τὴν πρὸς τὰς πεφρασμένας ἀρχετύπους τρεῖς, εἴπερ καὶ ἐξ αὐτῶν τούτων ἀναπλάσσονται, τάξεως τυγχάνουσαι ὁμοίας. τετάρτη μὲν ἡ καὶ ὑπεναντία λεγομένη διὰ P τὸ ἀντικεῖσθαι καὶ ἀντιπεπονθέναι τῇ ἁρμονικῇ ὑπάρχει, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ τῶν ἐλαττόνων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων ἔχῃ, οἷον γ, ε, Ϛ, ἐν γὰρ διπλασίῳ τὰ συγκριθέντα ὁρᾶται· φανερὸν δέ, καθʼ ἃ ἠναντίωται τῇ ἁρμονικῇ· τῶν γὰρ αὐτῶν ἄκρων ἀμφοτέραις ὑπαρχόντων καὶ ἐν διπλασίῳ γε λόγῳ, ἐν μὲν τῇ πρὸ ταύτης ἡ τῶν μειζόνων ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ἐλαττόνων τὸν αὐτὸν ἔσωζε λόγον, ἐν ταύτῃ δὲ ἀνάπαλιν ἡ τῶν ἐλαττόνων πρὸς τὴν τῶν μειζόνων· ἴδιον δὲ ταύτης ἰστέον ἐκεῖνο, τὸ διπλάσιον ἀποτελεῖσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ μείζονος καὶ μέσου πρὸς τὸ ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ ἐλαχίστου, τοῦ γὰρ πεντάκις γ διπλάσιον τὸ ἑξάκις ε. αἱ δὲ δύο μεσότητες πέμπτη καὶ ἕκτη παρὰ τὴν γεωμετρικὴν ἐπλάσθησαν ἀμφότεραι, διαφέρουσι δʼ ἀλλήλων οὕτως· ἡ μὲν πέμπτη ἔστιν, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτω καὶ ἡ αὐτῶν τούτων διαφορὰ πρὸς τὴν τοῦ μεγίστου πρὸς τὸν μέσον, οἷον β, δ, ε· 1. παῥ ἡμῶν — 3. πλάσσονται — 5. ἀντικεῖσθαι καὶ om. S — 7. ἐλάχιστον] ἐλάττονα — 8. τοῦ μείζονος ἔχει G ἔχει S — 10. διπλασίᾳ C — 11. καθʼ ὃ C — ἐναντίωται GP — 12 γε] τε GPH τῶ C — 15 ἐν ταύτῃ] ἐνταῦθα P — 17 τὸ τὸ διπλ. G — τοῦ ante μείζ om. G — 21. ἐμπλασθῆσαν P — ἀλλήλων] αὗται add. C — 23. ἐλάχιστον] ἐλάττονα S διπλάσιος γὰρ ὁ μὲν δ τοῦ β, μέσος ὅρος τοῦ ἐλαχίστου, ὁ δὲ β τοῦ α, ἐλαχίστων διαφορὰ πρὸς διαφορὰν μεγίστων· ὃ δʼ ὑπεναντίον αὐτὴν τῇ γεωμετρικῇ ποιεῖ, ἐκεῖνό ἐστιν, ὅτι ἐπὶ μὲν ἐκείνης ὡς ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα, οὕτως ἡ τοῦ μείζονος πρὸς τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τού μέσου πρὸς τὸν ἐλάττονα, ἐπὶ δὲ ταύτης ἀνάπαλιν ἡ τοῦ ἐλάττονος πρὸς τὴν τοῦ μείζονος· ἴδιον δʼ ὅμως καὶ ταύτης ἐστὶ τὸ διπλάσιον γίνεσθαι τὸ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ μέσου τοῦ ὑπὸ τοῦ μεγίστου καὶ ἐλαχίστου, τὸ γὰρ πεντάκις δ διπλάσιον τοῦ πεντάκις β. ἡ δὲ ἕκτη γίνεται, ὅταν ἐν τρισὶν ὅροις ᾖ ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν μέσον, οὕτως ἡ τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάχιστον ὑπεροχὴ πρός τὴν τοῦ μεγίστου παρὰ τὸν μέσον, οἷον α, δ, ϛ, ἐν ἡμιολίῳ γὰρ ἑκάτεροι λόγῳ· ἐοικυῖα δʼ αἰτία καὶ ταύτῃ τῆς πρὸς τήν γεωμετρικήν ὑπεναντιότητος, ἀναστρέφει γὰρ κἀνταῦθα ἡ τῶν λόγων ὁμοιότης ὡς ἐπὶ τῆς πέμπτης.

κθ. Λοιπὸν καὶ περὶ τῆς τελειοτάτης καὶ τριχῆ διαστατῆς πασῶν τε περιεκτικῆς ἐν βραχεῖ διαρθρώσω μεσότητος χρησιμωτάτης οὔσης εἰς πᾶσαν τὴν ἐν μουσικῇ καὶ φυσιολογίᾳ προκοπήν· κυρίως γὰρ αὕτη καὶ ὡς ἀληθῶς ἁρμονία ἂν λεχθείη μόνη παρὰ XXIX. Io. Phil. rec. l, ρλα—ρλγ. — Iambl. p. 167—176. — Boëth. II. 41. 7. ἑκάτερον G — 8. ἀναλ. δέκα G ἀναλογιῶν om. SH, μεσοτήτων superscr. S — ὅρων — 18. ζ, Ϛ, δ C XXIX. Περὶ τῆς τελεωτάτης Ἐπίλογος H — 20 τριχῶς S — 21. διαρθρώσει P -ῶσαι — 22. χρησιμμρ- τάτης — πᾶσαν] πάντα P — 24. ὡς om. H — ἄν om. P — παρὰ] πάσας G τὰς ἄλλας,  εἴπερ μὴ ἐπίπεδος μηδὲ μιᾷ μόνῃ μεσότητι συνδεομένη, ἀλλὰ δυσίν, ἵν᾿ οὕτω τριχῆ διιστάνοιτο, ὡς ὁ κύβος ἁρμονία πρὸ βραχέος ἐσαφηνίσθη. ὅταν τοίνυν δύο ὅρων ἄκρων τριχῆ διαστατῶν ἀμφοτέρων, εἴτε ἰσάκις ἴσων ἰσάκις, ἵνα κύβος ᾖ, ἢ ἰσάκις ἴσων ἀνισάκις, ἵνα ἢ δοκίδες ἢ πλινθίδες ὦσιν, εἴτε ἀνισάκις ἀνίσων ἀνισάκις, ἵνα σκαληνοί, P δύο ὅροι εὑρίσκωνται ἀνὰ μέσον ἄλλοι ἐναλλὰξ πρὸς τούς ἄκρους τούς αὐτοὺς σώζοντες λόγους καὶ ἀναμίξ, ὥςτε ὁποτερουοῦν αὐτῶν τὴν ἁρμονικὴν σώζοτος ἀναλογίαν τὸν λοιπὸν ἀποτελεῖν τὴν ἀριθμητικήν· ἀνάγκη γὰρ οὕτως διακειμένων τῶν τεσσάρων ἐπιφαίνεσθαι τὴν γεωμετρικὴν ἐμπλέγδην ἀμφοτέραις ταῖς μεσότησιν ἀντεξεταζομένην, ὡς ὁ μέγιστος πρὸς τὸν τρίτον ἀπ᾿ αὐτοῦ, οὕτως ὁ ὑπ᾿ αὐτὸν δεύτερος πρὸς τὸν τέταρτον· τὸ γὰρ τοιοῦτον τὸ ὑπὸ τῶν μέσων ἶσον ποιεῖ τῷ ὑπὸ τῶν ἄκρων· πάλιν δὲ ἄν ὁ μέγιστος πρὸς τὸν ὑπ᾿ αὐτὸν ἐν τοσαύτῃ δειχθῇ διαφορᾶ, ἐν ὅσῃ καὶ αὐτὸς οὗτος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, ἀριθμητικὴ ἡ τοιαύτη ἐξέτασις γίνεται καὶ ἡ τῶν ἄκρων σύνθεσις διπλασία τοῦ μέσου· ἐὰν δʼ ὁ τρίτος ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχῃ καὶ ὑπερέχηται, ἁρμονικὴ καὶ τὸ 1. εἴγε S — 2. διιστάνοιντο S — 5. 6. κύβοι ὦσιν C — 6. ἰσάκις] ἀνισάκις G — 8. εὑρίσκονται — ἄλλοι] ὅροι add. GP ἄλλοι om. C — 8. 9. πρὸς τούς ἄκρους om. SH — 9. σώζονται C — 10. ὁποτεροςοῦν P — σώζοντες P — 11. τῶν λοιπὸν τούς λοιπούς C — 14. ἐξεταζομέ- νην CS ἐνεξεταζ. H — 15. τρίτον τὸν ὑπ αὐτοῦ GP — δεύτερος] ἤγουν ὁ θ add. S — 18. αὐτῶν P — δειχθῇ] διέχῃ H — 19. ὅσους G — 20. ἀριθμητικῆς in mrg. — 22. μεγίστου] μέσου P ὁ τρίτος μέσος — 23. ὑπερέχει P ὑπεροχή καὶ ὑπερέχεται S ὑπὸ τοῦ μέσου καὶ τῆς τῶν ἄκρων συνθέσεως διπλάσιον τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων. ὑπόδειγμα αὐτῆς ἔστω τοιοῦτον Ϛ, η, θ, ιβ· οὐκοῦν ὁ μὲν ϛ σκαληνὸς ἀπὸ τοῦ ἅπαξ β τρίς, ὁ δὲ ιβ ἀπὸ τοῦ δὶς β τρὶς ἐν συνεχείᾳ μηκυνθέντων, τῶν δὲ μέσων ὁ μὲν ἐλάττων ἀπὸ τοῦ ἅπαξ β τετράκις, ὁ δὲ μείζων ἀπὸ τοῦ ἅπαξ γ τρίς, καὶ στερεοί τε οἱ ἄκροι καὶ τριχῆ διαστατοὶ καὶ ὁμογενεῖς αὐτοῖς αἱ μεσότητες, καὶ κατὰ μὲν τὴν γεωμετρικὴν ὡς ὁ ιβ πρὸς τὸν η, οὕτως ὁ θ πρὸς τὸν ϛ, κατὰ δὲ τὴν ἀριθμητικὴν ὅσῳ ὁ ιβ τοῦ θ ὑπερέχει. τοσούτῳ καὶ ὁ θ τοῦ Ϛ, κατὰ δὲ τὴν ἁρμονικὴν ᾧ μέρει ὁ η τοῦ Ϛ ὑπερέχει, ἐν αὐτῷ τῷ Ϛ τοῦ μέρους θεωρουμένου, τούτῳ ὑπὸ τοῦ ιβ ὑπερέχεται ἐν αὐτῷ τῷ ιβ θεωρουμένῳ. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ μὲν η πρὸς Ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς θ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, ὁ δὲ θ πρὸς ϛ ἢ ὁ ιβ πρὸς η διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, ὁ δὲ ιβ πρὸς Ϛ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ· λοιπὸν δὲ ὁ θ πρὸς τὸν η τονιαῖον ἐν ἐπογδόῳ, ὅπερ μέτρον κοινὸν πάντων τῶν ἐν μουσικῇ λόγων, ἄτε καὶ γνωριμώτερον ὄν, ὅτι ἄρα καὶ διαφορὰ τῶν πρώτων καὶ στοιχειωδεστάτων συμφώνων πρὸς ἄλληλα ὑπάρχει.