Text encoded in accordance with the latest EpiDoc standards (January 2014)
1. Τῶν δεδομένων τὰ μὲν θέσει ἐστὶ δεδομένα, τὰ δὲ μεγέθει, τὰ δὲ καὶ θέσει καὶ μεγέθει.
2. Τὸ δεδομένον λέγεται τετραχῶς· ἢ γὰρ μεγέθει
ἢ εἴδει ἢ λόγῳ ἢ θέσει δεδόσθαι λέγεται. καὶ τί μὲν
τούτων ἕκαστον σημαίνει, αὐτὸς σαφῶς διδάσκει. κοι-
νῶς δὲ λέγεται δεδομένον, ᾧ δυνατόν ἐστιν ἴσον
εὑρεῖν τε καὶ πορίσασθαι.
3. Τὴν τῶν δεδομένων πραγματείαν ἐν ἑνὶ ἐπι-
πέδῳ κειμένων ὑποθετέον, ὥσπερ καὶ τὰ πρῶτα ἓξ τῆς
στοιχειώσεως βιβλία.
4. Δεδομένα ἐστὶ τὰ ὡρισμένα, τουτέστιν ὧν τὰ
πέρατα δέδοται εἴτε διανοίᾳ εἴτε αἰσθήσει· τούτοις γὰρ
δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι ὁμοίως εἴτε διανοίᾳ εἴτε
αἰσθήσει. δύναται δὲ καὶ ῥητὸν καὶ ἄλογον δεδο-
μένον εἶναι, ὡς λέγει Πάππος ἐν ἀρχῇ τοῦ εἰς τὸ ι΄
Εὐκλείδου· τὸ μὲν γὰρ ῥητὸν καὶ δεδομένον ἐστίν,
οὐ πάντως δὲ καὶ τὸ δεδομένον ῥητόν ἐστιν.
5. Ἵνα ᾖ ὡρισμένος τῷ μεγέθει.
6. Ἵνα καὶ τῷ τόπῳ καὶ τῷ μεγέθει ὡρισμένος ᾖ.
7. Ταῦτα ὡς ἐπὶ ἑνὸς ἐπιπέδου ἀκουστέον.
8. Τῷ γὰρ ἀφαιρεθέντι τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ὑπο- μεῖναν μεῖζόν ἐστιν.
9. Τὸ μὲν πρὸ αὐτοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐνταῦθα δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος.
10. Τὰ ϛ τῶν δ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο· καὶ τὰ δ τῶν ς δοθέντι ἔλαττόν ἐστιν· τοῖς γὰρ δύο πάλιν δεδομένοις.
11. Τὸ ἢ ἐν λόγῳ ἀντὶ τοῦ παρʼ ὃ ἐν λόγῳ. ἔχει
δὲ τὴν ἀναφορὰν πρὸς τὸ μεῖζον· παρὰ τοσοῦτον γὰρ
οὐκ ἔχουσι λόγον δοθέντα τὰ δύο μεγέθη, παῤ ὅσον
ὑπερέχει τὸ ἓν τοῦ ἑτέρου δοθέντι τινὶ μεγέθει, οὗ
ἀφαιρεθέντος εὑρίσκεται καὶ ὁ δεδομένος λόγος τῶν
δύο μεγεθῶν. εἰ μὲν γὰρ λείπει τὸ ἢ ἐν λόγῳ, ἀφ-
αιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ λοι-
πὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον ἐστίν. εἰ δὲ πρόσκειται τὸ
ἢ ἐν λόγῳ, ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπερέχοντος οὐκέτι τὸ
λοιπὸν πρὸς τὸ ἕτερον ἴσον, ἀλλʼ ἔχει τινὰ λόγον.
μεῖζον οὖν ἐστι τὸ ἓν μέγεθος τοῦ ἑτέρου ἢ ὥστε
ποιῆσαι λόγον. ἐὰν οὖν ἡ ὑπεροχὴ δεδομένη ᾖ, καὶ
ὁ λόγος δεδομένος ἐστίν.
12. Ἀπὸν γὰρ τὸ προστεθὲν ἐλυμαίνετο τὴν σχέσιν
τοῦ δεδομένου λόγου.
13. Τούτους Ἀπολλωνίου φασὶν εἶναι τοὺς τρεῖς ὅρους.
14. Τουτέστιν ἀκίνητον, ἵνα ὁμολογουμένη μοι ᾖ ὁποία ἐστὶν ἡ γωνία.
15. Εἰδέναι δεῖ, ὡς, ἔνθα ὁ φιλόσοφος λέγει ἀπο-
λελυμένως δεδομένα μεγέθη, μεγέθει δεδόσθαι ση-
μαίνει.
16. Ὁ λόγος τοῦ πόσου διακόλουθος, ἡ θέσις δὲ οὐ διὰ τοῦ πόσου, ἀλλὰ τοῦ κεῖσθαι.
17. P. 6, 2] δέδοται καὶ τὸ διὰ τὸ ἀντιστρό-
φιον τοῦ ὅρου. (l. 4) ὁμοίως καὶ τὸ ∠· ὁ αὐτὸς γὰρ
αὐτῷ πεπόρισται ἐν δεδομένοις μεγέθεσι τοῖς Γ καὶ ∠.
18. Ὁ αὐτὸς γάρ p. 6, 8] διὰ τοὺς ὅρους· λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.
19. Τῶν μὲν δεδομένων μεγεθῶν καὶ ὁ λόγος ὁ
πρὸς ἄλληλα δέδοται· οὐκέτι δέ, εἰ τῶν μεγεθῶν ὁ
20. Τοῦτο ἀντίστροφόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ.
οὐ γὰρ δὴ καθόλου ῥητέον αὐτὸ ἀντίστροφον. ἧν γὰρ
ἂν τὸ ἀντίστροφον τὸ καθόλου ὄν· ἐὰν μεγέθη πρὸς
ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τῷ μεγέθει. τινὲς
δὲ τὸ θεώρημα ψευδογραφοῦντες ἐπείγονται δεικνύειν
ἀντίστροφον αὐτὸ τοῦ πρὸ αὐτοῦ καί τί φασιν ὡς·
ἐὰν μεγέθη τινὰ λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον,
δέδοται τῷ μεγέθει.
21. Καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ p. 6, 20] δέδοται καὶ ὁ
τοῦ Γ πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντίστροφον τοῦ ὅρου.
δέδοται δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ λόγος διὰ τοῦ α΄. δέ-
δοται δὲ καὶ τοῦ Β πρὸς τὸ ∠ λόγος διὰ τὸ ἀντι-
στρόφιον τοῦ ὅρου. ἴσον γὰρ αὐτῷ τῷ Β τὸ ∠
πεπόρισται ἐν δεδομένῳ λόγῳ.
22. Ἴσον ἄρα p. 6, 23] διὰ τοῦ θ΄ τοῦ ε΄. χρὴ δὲ
γινώσκειν, ὅτι τὰ ἴσα καὶ τὸ αὐτὸ λέγειν ἕν ἐστιν.
ὃ γάρ ἐστιν ἴσον τινί, καὶ τὸ αὐτό ἐστιν ἐκείνῳ κατὰ
τὴν ἰσότητα. οὐκ ἀντιστρέφει δέ· οὐ γὰρ ὅπερ ἐστὶ
τὸ αὐτό τινι, καὶ ἴσον ἐστὶν ἐκείνῳ· δύναται γὰρ καὶ
κατὰ ποιότητα τυχὸν τὸ αὐτὸ εἶναι.
23. Ἐὰν λέγῃ ὅτι δέδοται ἄρα, δῆλον, ὅτι τῷ με-
γέθει αὐτῷ δεδόσθαι λέγει. ἐὰν δεδομένον τῷ εἴδει,
λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῷ εἴδει. ἐὰν δεδομένον τῇ
θέσει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα τῇ θέσει. σπανίως πάνυ,
ἐὰν ᾖ δεδομένον τῷ μεγέθει, λέγει ὅτι δέδοται ἄρα
τῷ μεγέθει.
24. Ὅλον ἄρα p. 8, 11] ἐὰν γὰρ ἴσα ἴσοις προσ- τεθῇ, τὰ πάντα ἐστὶν ἴσα.
25. Καὶ τοῦτο ἀντιστρόφιόν ἐστί πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ· τὸ γὰρ κυρίως ἀντιστρόφιον ἧν ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς ὁποσαοῦν διαιρεθῇ, καὶ ἕκαστον τῶν, εἰς ἃ διῄρηται, δεδομένον ἐστίν.
26. Λοιπὸν ἄρα p. 8, 24] ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ λοιπά ἐστιν ἴσα.
27. Οἷον ὁ ιε πρὸς ἑαυτοῦ μέρος τὸν ῑ λόγον ἔχει
τὸν ἡμιόλιον, καὶ πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ε λόγον ἔχει
τὸν τριπλασίονα.
28. Τοῦτο ἔοικε τῷ καὶ ἀντιστρέψαντι λόγον ἔχειν δεδομένον.
29. Ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω p. 10, 10] δυνατὸν γὰρ τριῶν δοθέντων μεγεθῶν τέταρτον ἀνάλογον εὑρεῖν.
30. Λόγος ἄρα τοῦ ∠ Ζ p. 10, 14] τῶν γὰρ δεδο- μένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.
31. Ἀναστρέψαντι ἄρα p. 10, 16] διὰ τοῦ ὅρου τοῦ ε8·
ἀναστροφὴ λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμένου πρὸς τὴν
ὑπεροχήν, ὑπερέχει τὸ ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου.
32. Λόγος ἄρα καί p. 10, 19] ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐπορίσαμεν τὸν τοῦ ∠ Ζ πρὸς ΖΕ.
33. Ὁ ἄρα τοῦ ∠Ε πρὸς ΕΖ p. 12, 5] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ ἐστιν ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ.
34. Λόγος ἄρα τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον p. 12, 8–9] ὁ γὰρ αὐτὸς αὐτῷ πεπόρισται ὁ τοῦ ∠Ζ πρὸς ἑκάτερον τῶν ∠Ε, ΕΖ.
35. Λόγος ἄρα καί p. 12, 24] διὰ τοῦ ϛ΄ τῶν Δεδομένων.
36. Δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον p. 14, 1] διὰ τοῦ β΄
τῶν αὐτῶν. ἐπεὶ γὰρ μέγεθός τι τὸ ΑΒ δοθὲν λόγον
ἔχει πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ ὡς πρὸς ἄλλα τινὰ
ἄρα καὶ ἑκάτερον ἐκείνων ὡς ἄλλο τι δέδοται.
37. Οἱ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.
38. Πάλιν, ἐπεί p. 14, 12] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ὁ τοῦ Γ
πρὸς τὸ Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ
λόγος.
39. Διʼ ἴσου ἄρα p. 14, 18] διʼ ἴσου λόγος ἐστίν:
ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ πλειόνων ὄντων καὶ ἄλλων ἴσων
τὸ πλῆθος, ὅταν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς
πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον
ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν.
40. Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον,
ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με-
γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ, ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο-
μένον, παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα.
Ad prop. X.
41. P. 16, 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως.
42. Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ-
τάσεως. τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο-
διαιρεῖται. τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως
συνεπεράνθη ἐνταῦθα.
43. Καὶ τὸ συναμφότερον p. 16, 24] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
44. Ἔστω μέγεθος τὸ ῑ καὶ ἕτερον κγ, δοθέντα δὲ
ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ῑ τοῖς δοθεῖσι
γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
ἀφαιρείσθω ἴσους
τῶν δοθέντων τῶν
γα τὰ ῑ πρὸς τὰ κ δοθέντα, οἷον ὡς νῦν τῶν β λό-
γων, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται.
45. Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ῑ θεωρήματος, ὅπου
σημεῖον τόδε Ƒ.
οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους
τοῦ ΒΓ ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν ῑ δοθέντι μεῖζον ἔστω
ἢ ἐν λόγῳ. καὶ ἔστω δοθὲν τὸ Α∠ ὂν γ. ἐὰν οὖν
ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ Α∠ τὰ γ,
τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ῑ λόγον ἔχει
δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον· τῷ γὰρ
δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι
λοιπόν, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο-
θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ
τοῦ ΑΓ τοῦ η ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ ΑΒ οἷον δ, τὸ
λοιπὸν τὸ ΒΓ τὰ δ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ τὰ δ λόγον
ὅλη ἡ ΑΓ μονάδων κ.
ὅλη ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ἐστὶ(ν) ιη,
ἡ δὲ ΒΓ η, ἡ δὲ Α∠ δύο.
ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως
καὶ δείκνυσι, καὶ ὅτι λοιπὸν τὸ ΑΒ. ἐὰν γὰρ ἀπὸ
τοῦ ΑΓ ἀφέλω τὸ ΒΓ, τὸ λοιπόν ἐστι τὸ ΑΒ. δείκ-
νυσιν οὖν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ
ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. μετὰ γὰρ τὸ
ἀφαιρεθῆναι καὶ αὐτοῦ τὸ ΑΓ δοθέν, τὸ λοιπὸν τὸ
ΑΓ τῶν ιη ἀφέλω τὸ Α∠ τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Γ
τὰ ιϛ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον
διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον. ὁμοίως καὶ δείκνυσι
λοιπόν, ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ῑ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ
ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον. καὶ διὰ τοῦτο καὶ τὸ
λοιπὸν τὸ ΑΒ τὰ ι τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ τῶν η δοθέντι
μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· ἐὰν γὰρ ἀφέλω καὶ ἀπὸ τοῦ
ΑΒ τῶν ῑ τὸ Α∠ δοθὲν τὰ β, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ ἢ
πρὸς τὸ ΒΓ τὰ η λόγον ἔχει δοθέντα· τὸν γὰρ ἴσον. πάλιν
συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον
ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἔστω τὸ δοθὲν μεῖζον τοῦ ΑΒ τὸ ΑΕ
καὶ ἔστω ιδ. ἐὰν οὖν ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν τοῦ ΑΓ
οἷον ιη, τοῦ δὲ ΒΓ οἷον η, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ΑΓ τοῦ ιη
ἀφέλω τὸ ΑΕ τὰ ιδ, τὸ λοιπὸν τὸ EΓ τὰ δ πρὸς τὸ
αὐτὸ τὸ ΓΒ τὰ η λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς
46. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Β p. 18, 4–5] τοῦτο τὸ σχό-
λιον τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P. πῶς
λέγει· λοιποῦ τοῦ ∠Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς; ἐπεὶ
γὰρ τοῦ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται τοῦ
∠Γ καὶ πρὸς τὸ ∠Β λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ε΄, ὥστε
καὶ ἑκατέρου τῶν ∠Β, ΒΓ πρὸς τὸ ∠Γ λόγος ἐστὶ
δοθείς· καὶ διὰ τὸ η΄ καὶ τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγος
ἐστὶ δοθείς.
47. Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p. 18, 7] ἐπεὶ γὰρ τοῦ
Γ∠ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ, προσκείσθω
πάλιν τὸ ἀπʼ ἀρχῆς δοθὲν τὸ Α∠· ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ
δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ.
48. Τὸ δὴ δοθέν p. 18, 15] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ
τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ
ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον. δύναμαι γὰρ αὐτῷ
ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
49. Λόγος ἄρα λοιποῦ p. 18, 22] δέδοται γὰρ τὸ
ΕΓ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον
50. Μδετὰ τοῦ ἐξῆς p. 20, 2] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα.
51. Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ.
52. Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα· τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ. δοθέν ἐστιν, ὅλον τὸ ΑΕ.
53. Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p. 20, 20] διὰ τὸ ιβ΄
τοῦ ε΄· ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων,
οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε Γ∠ καὶ τὸ Α∠, ἑπόμενα δὲ
τό τε ∠Β καὶ τὸ ∠Ε. ὡς γοῦν τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε,
οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ. ὅλον γὰρ τὸ
ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ∠Α καὶ τὸ Γ∠, καὶ
ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε Ε∠ καὶ τὸ ∠Β.
54. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως
ὁ Γ∠ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς Α∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως
Ε∠ πρὸς ∠Β, καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως
ΕΒ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως
Γ∠ πρὸς ∠Β, δέδοται δὲ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β λόγος,
δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος. μᾶλλον
συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν· ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ-
55. Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ια΄ θεωρήματος, ὅπου
σημεῖόν ἐστι τόδε ⊙. ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ
μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον
ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι· οἷον τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον
ἔχοντος δεδομένον, ἐὰν τὸ Α∠ δεδομένον, τὸ ΑΒ
πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· τοῦ γὰρ ∠Β
πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ Α∠
δεδομένου ὑπάρχοντος, δεδομένον καὶ ῥητὸν ὃν καὶ
ἄλογον, οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον
ἔχει· ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ Α∠, οὐ δύναται τὸ ΑΒ
πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν. διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ
∠Β τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ Β∠ δεδομένον τῷ Α∠
δεδομένῳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα
λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ-
σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι.
56. Ὀ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p. 22, 6 – 7] σχόλιον εἰς
τὸ ια΄ θεώρημα ??· ἐν τῷ ια΄ θεωρήματι λαβὼν τὸ
ἐὰν οὖν βουλώμεθα ποιῆσαι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ,
οὕτως τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, κατασκευάσαντες ποιήσο-
μεν οὕτως· ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ
κείσθω τῇ ΑΕ ἴση ἡ ΓΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΖΒ
πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ἴση τῇ ΖΓ. τουτέστιν ἡ ΑΕ,
πρὸς τὴν Ε∠· δῆλον γάρ, ὅτι ποιοῦντες ὡς τὴν ΖΒ
πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὴν ΑΕ πρὸς ἄλλην τινά, πρὸς
ἐλάσσονα τῆς ΒΕ ποιήσομεν· γεγονέτω οὖν πρὸς τὴν
Ε∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως
ἡ ΑΕ πρὸς Ε∠, συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ,
οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε. ἱση δὲ ἡ ΖΕ τῇ ΑΓ διὰ τὸ
τῇ ΑΕ ἴσην εἶναι τὴν ΓΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ
πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Ε.
57. Σχόλιον. ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ, ΒΓ πρὸς
ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς Α∠. καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς
τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ, ΒΓ, οὕτως τὸ ∠Α
πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ,
οὕτως τὸ Α∠ πρὸς ∠Κ δοθείς.
58. Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ Γ∠ p. 22, 13] ἐπεὶ
γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ
Α∠ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ∠Ε, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ Γ∠
πρὸς λοιπὸν τὸ ∠Β ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ· δοθεὶς
δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ
Γ∠ πρὸς ∠Β.
59. Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη p. 22, 19] κἂν ᾖ δεδομένα κἂν μή.
60. Καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ p. 24, 11] ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.
61. Ἐὰν δὲ μεῖζον ᾖ τὸ Β∠ τοῦ ΑΓ, θέντες τῷ
ΑΓ ἰσον ἀπὸ τοῦ Β∠ καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσαντες δείξο-
μεν τὸ Γ∠ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζον. τοῦτο γὰρ δηλοῖ
τὸ ἐν τῇ προτάσει· ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι
μεῖζόν ἐστιν.
62. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Ζ p. 24, 25 — 26, 1] ὡς ἐν
τοῖς ὅροις· σύγκειται γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ.
63. Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 26, 5] ἐὰν γὰρ ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρεθέν, καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
64. P. 26, 17] κἄν τε ἴσα ᾖ τὰ ΑΕ, ΓΖ κἄν τε ἄνισα.
65. Λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ p. 26, 21–22] τῶν γὰρ δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος πρὸς ἄλληλα δέδοται.
66. Λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ p. 28, 6–7] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄ καὶ διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ ὅρου. ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς Γ∠ λόγος καί ἐστιν ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ΗΑ πρὸς ΖΓ. δέδοται καὶ οὕτως ὁ τοῦ ΗΒ πρὸς Ζ∠.
67. Ἐὰν δὲ ποιήσωμεν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠,
οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ὡς ἐπὶ τὸ Ζ, εὑρε-
θήσεται τὸ Ζ∠ τοῦ ΕΒ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ.
Ad prop. XV.
68. Τοῦτο ἀντιστρόφιόν πως τοῦ πρὸ αὐτοῦ. δείξας
γάρ, ὅτι ἐὰν προστεθῇ δεδομένα μεγέθη τοῖς δεδο-
μένον ἔχουσι λόγον, νῦν καὶ ἀφαιρῶν τὰ αὐτὰ τῶν
αὐτῶν δείκνυσι τὸ αὐτό.
69. Καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ p. 30, 23–24] καὶ δῆλον,
ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ Ε∠ λόγος
ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων.
70. Ἀντιστρόφιον τοῦ ιε΄.
71. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ p. 38, 21] ἐπεὶ γάρ
ἐστιν, ὡς ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως ΑΗ πρὸς Γ∠, δῆλον.
ὅτι καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΗ πρὸς λοιπὸν τὸ Ζ∠ λόγος
ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ιθ΄ τοῦ ε΄ τῶν στοιχείων, καὶ ἐν
ἅπασι τοῖς τοιούτοις διὰ τὸ σχόλιον μάλιστα τοῦ ι΄
θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P.
72. Ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ p. 42, 21] ἐὰν ᾖ ὡς ὅλον πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς ἀφαιρε- θέν, καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται ὡς ὅλον πρὸς ὅλον.
73. P. 44, 5] διὰ μὲν τὸ ε΄ τούτου τοῦ Γ∠ καὶ
πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.
74. P. 44, 6] συμπέρασμα· ὥστε τοῦ Γ∠ πρὸς ἕκαστον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγος δοθείς· ἔστι δὲ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΖ λόγος δοθείς· καὶ τοῦ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθεὶς καὶ πρὸς τὸ Ζ∠.
75. Ὥστε πάντων πρὸς πάντα p. 44, 8] ὥστε
καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΑΕ καὶ ΕΒ μέρη αὐτοῦ λόγος
76. Ἐπεὶ οὖν συνήχθη ὁ τοῦ ΓΖ πρὸς Ζ∠ λόγος
δοθείς, κεῖται δὲ καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δοθείς,
καὶ τοῦ ΓΖ ἄρα πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄.
πάλιν ἐπεὶ ὁ τοῦ ΑΕ πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ὡς
ἐδείχθη, κεῖται δὲ καὶ ὁ τοῦ ΕΒ πρὸς Ζ∠ λόγος δο-
θείς, καὶ ὁ τοῦ ΑΕ ἄρα πρὸς Ζ∠ λόγος ἐστὶ δοθεὶς
διὰ τὸ η΄. καὶ ἐπεὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ πρὸς ἄλληλα λόγον
ἔχει δεδομένον, καὶ τὸ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον
τῶν ΑΕ, ΕΒ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ϛ΄. ὁμοίως
δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον ἔχει
δεδομένον. καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγον ἔχει
δεδομένον, ἔχει δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν
ΓΖ, Ζ∠ λόγον δεδομένον, καὶ τὸ ΑΒ ἄρα πρὸς ἑκά-
τερον τῶν ΓΖ, Ζ∠ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ η΄.
ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Γ∠ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΕΒ
λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε πάντα πρὸς πάντα λόγους
ἔχει δεδομένους.
77. Εἰλήφθω τῶν ∠, Ζ p. 44, 20] δύο δοθεισῶν εὐθειῶν μέσην ἀνάλογον προσευρεῖν.
78. Δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ∠, Ζ p. 44, 22]
ἐπεὶ γὰρ ἐμάθομεν ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα
τὴν ΑΒ, τῇ δὲ Ζ ἴσην τὴν ΒΓ. ἔχομεν τῶν μὲν γω-
νιῶν ἑκάστην δεδομένην διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι· πᾶσα γὰρ
ὀρθὴ δέδοται· ὀρθὴ γὰρ ὀρθῆς οὐ διαφέρει. καὶ δῆλον,
ὅτι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν δεδομένοι εἰσίν· ὁ γὰρ
τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ λόγος δέδοται, ἐπεὶ καὶ ὁ τῆς ∠
πρὸς Ζ λόγος δέδοται. καὶ διὰ τοῦτο δέδοται τὸ ὑπὸ
τῶν ∠, Ζ.
79. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε p. 44, 24] εἰ γὰρ
δέδοταί μοι τὸ τετράγωνον, ἐπεὶ καὶ τὸ ἴσον αὐτῷ
παραλληλόγραμμον τὸ ΑΓ, δέδοται καὶ ἡ εὐθεῖα ἡ
ποιοῦσα αὐτό. καὶ ἄλλως· ἐπεὶ ἕσαι εἰσὶν αἱ δ πλευραὶ
τοῦ τετραγώύνου, δῆλον, ὅτι δέδοται ἡ ποιοῦσα αὐτὸ
εὐθεῖα· ἴσαι γὰρ αὐταὶ ἐπορίσθησαν· ὤστε δέδοται ἡ Ε.
80. Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον αὐτοῦ ἀληθές.
81. Λέγω, ὅτι — σημεῖον p. 46, 17–18] δῆλον, ὅτι τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.
82. Τὰ Α, Β δέδοται τῇ θέσει· μόνον γὰρ τῇ θέσει δέδοται τὰ σημεῖα.
83. Εἰ μὲν γὰρ τὸ Β σημεῖον ἢ ἐντὸς ἢ ἐκτὸς
μεταπεσεῖται, οὐκ ἔσται τῷ μεγέθει δεδομένη ἡ εὐθεῖα·
εἰ δὲ μεταπεσεῖται ἢ ἄνω ἢ. κάτω, οὐκ ἔσται τῇ θέσει
δεδομένη.
84. Παντὸς γὰρ τριγώνου ἡ ἐκτὸς γωνία δυσὶ ταῖς
ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση ἐστίν.
85. Ἐὰν εὐσεῖα τῇ θέσει δοθῇ, δέδοται καὶ τῳ μεγέθει· ἐὰν τῷ μεγέθει, οὔπω καὶ τῇ θέσει· δύναται γὰρ μεταπίπτειν.
86. Θέσει ἄρα p. 52, 23] διὰ τοὺς ὅρους. κύκλος γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὐ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.
87. Τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι
λέγεται, οὗ δέδοται κτλ., ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
88. Ἀντιστρόφιον τοῦ λβλ΄.
89. Ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ p. 64, 9] κἂν τε
οὖν αἱ ΖΕ, ΛΝ παράλληλοι ὦσι κἄν τε μὴ ὦσι παρ-
άλληλοι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν
τὴν ΕΝ, ἔσται ὡς ἡ ΖΗ
πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΞ
πρὸς ΞΕ, ὡς δὲ ἡ ΝΞ
πρὸς ΞΕ, οὕτως ἡ ΝΜ
πρὸς ΜΛ, ὥστε ὡς ἡ
ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ.
90. Δέδοται ἄρα p. 68, 19] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι
εἰσὶν αἱ ΚΕ, ΕΖ, ὁ πρὸς ἀλλήλας λόγος αὐτῶν
δέδοται διὰ τὸ α΄. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ΕΖ, ΖΚ
λόγος δέδοται· καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΚ, ΚΕ λόγος δέδοται.
πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΚΕ, ΕΖ δεδομέναι εἰσὶ τῇ θέσει,
τὸν αὐτὸν ἄρα ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. καὶ διὰ τοῦτο.
δέδοται ἡ ὑπὸ ΚΕΖ τῷ μεγέθει. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ
ὑπὸ ΕΖΚ δέδοται τῷ μεγέθει· καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΖΚΕ
δέδοται τῷ μεγέθει.
91. Δέδοται ἄρα τὸ ∠ΖΕ τρίγωνον p. 70, 21] ἐπεὶ
οὖν δέδοται ἑκατέρα τῶν ∠Ε, ΕΖ, δέδοται καὶ ὁ πρὸς
ἀλλήλας αὐτῶν λόγος διὰ τὸ α΄. ὁμοίως καὶ ὁ τῶν
ΕΖ, Ζ∠ δέδοται λόγος· καὶ ἔτι ὁ τῶν Ζ∠, ∠Ε δέ-
δοται λόγος. ἔστι δὲ καὶ ἑκάστη τῶν ∠, Ε, Ζ γωνιῶν
δεδομένη τῷ μεγέθει. δέδοται ἄρα τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον
τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
92. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ p. 70, 23] ἐπεὶ τὰ
ΑΒΓ, ∠ΕΖ τρίγωνα ἀνάλογον ἔχοντα τὰς πλευρὰς
ἐδείχθη, τῶν δὲ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευρῶν ὁ λόγος
ὁ πρὸς ἀλλήλας δέδοται, δέδονται δὲ αὐτοῦ αἱ γωνίαι·
ἴσαι γάρ εἰσι ταῖς τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου· δέδοται ἄρα
τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
93. Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p. 76, 23]
ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ∠Ε τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο-
μένη, δῆλον, ὅτι, ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος, ἔστι κέν-
τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου
94. Μὴ ἔστω δή p. 80, 6] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή,
εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ.
95. Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p. 80, 11] διὰ τὸ ἀντί-
στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μ΄. ἐπεὶ
γάρ, ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν
πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας, ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν, καὶ τῶν
δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι
καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας.
96. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 82, 21] ὡς ἐν τῷ ς΄
τῶν στοιχείων (VI, 3)· ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα
τμηθῆ, ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τὰ
τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς. εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ,
ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β· καὶ συνθέντι
ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΒ πρὸς
Β∠· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς
ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.
97. Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p. 82, 23] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
98. Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς
βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι-
γώνου πλευραῖς.
99. Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p. 92, 6] ἐπεὶ γὰρ τῆς
ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ὁ
τῆς Γ∠ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς, δῆλον ἄρα, ὡς
καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς
ἐστι λόγος· ἢ καὶ διὰ τὸ η΄, ὃ καὶ βέλτιον.
100. Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 92, 7] ὡς γὰρ ἡ α΄ πρὸς
τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς α΄ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς β΄
τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.
101. Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p. 94, 14] πᾶν γὰρ
τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας
γάρ· δύναμαι αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι· καὶ διὰ τοῦτο
δέδοται καὶ τῷ μεγέθει καὶ αὐτὸ τὸ τετράγωνον καὶ
ἑκάστη αὐτοῦ πλευρά.
102. P. 96,1] δεδομένα τῷ εἴδει καθʼ ἑαυτὰ ἕκαστον.
103. Τῆς δὲ ∠Β p. 96, 8] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει.
104. Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ-
τοις σχολίοις τοῦ πρό, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε P, ὅτι,
ἐὰν α΄ πρὸς β΄ λόγον ἔχῃ δεδομένον, ᾖ δὲ καὶ τὸ γ΄
δεδομένον, καὶ γένηται ὡς τὸ α΄ πρὸς τὸ β΄, οὕτως τὸ γ΄
πρὸς ἄλλο τι τὸ δ΄, οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι
δεδομένον, διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε
τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον, ἀλλὰ ἄλλως, ὡς νῦν λέγει.
105. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ∠ p. 96, 24] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.
106. Καὶ τῆς Γ∠ ἄρα p. 98, 1] σχόλιον. ἐδείχθη
γάρ, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ α΄
πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν
δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον, ἐν τῷ κδ΄. ἢ καὶ οὕτως·
ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται, καὶ ἑκάτερος τῶν
τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός.
107. Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p. 98, 2] ἀντὶ
τοῦ· καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β· καὶ γὰρ
ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας
ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας
γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον· ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει
τὰ ὅμοια· τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα,
τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια.
108. Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p. 102, 23] ἐπεὶ γὰρ δύο
εἴδη τὰ ΕΒ, Β∠ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον
ἔχει δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας
λόγον ἕξουσι δεδομένον.
109. Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p. 104
8–9] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο-
γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ· αὐτοῦ δὲ
τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν
τέσσαρας ὡς ἡ ΑΘ.
110. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε∠ p. 104, 17–18] ἡμί- σεια γάρ ἐστι τῆς Α∠ δοθείσης ἡ Ε∠.
111. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ p. 104, 20] ὅμοιον
γάρ ἐστι τῷ ∠Γ δεδομένῳ.
112. Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ p. 104, 23] ἐπεὶ
γὰρ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, κοινὸν προσκείσθω τὸ
Γ∠· ὅλον ἄρα τὸ Κ∠ τῷ ὅλῳ τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον.
ἀλλὰ τὸ Κ∠ τῷ ΑΚ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ
Ε∠ ἴση· δίχα γὰρ τέτμηται. καὶ τὸ ΑΚ ἄρα τῷ ΒΖ
ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΒ· ὅλον ἄρα τὸ
ΑΓ τῷ γνώμονί ἐστιν ἴσον, τουτέστι τῷ ΒΚ καὶ ΒΖ.
ἔτι κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΘ· τὰ ΑΓ, ΚΘ ἄρα ἴσα
ἐστὶ τῷ ΕΖ.
113. Ἔστι δὲ καὶ ἡ Ε∠ δοθεῖσα p. 06, 5] ἡμίσεια γάρ ἐστιν ἡ Ε∠ τῆς Α∠ δεδομένης.
114. Περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρον p. 106, 17] ἐδείχθη γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις, ὡς τὰ ὅμοια παραλληλό- γραμμα περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.
115. Καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ p. 106, 24] καὶ ὁμοίως
τῷ σχολίῳ τῷ αὐτῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος.
116. Ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει p. 108, 1] τῷ εἴδει γὰρ δεδομένον ὑπόκειται τὸ ΓΒ.
117. Ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ p. 108, 17] ὅτι δὲ
ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΑΗ, δῆλον· παντὸς γὰρ παρ-
αλληλογράμμου εἶς μόνος ἐστὶ γνώμων. καὶ γὰρ γνώ-
μων ἐστὶν ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον
ταραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν,
ὃς προστιθέμενος ὅμοιον ποιεῖ, προσετέθη παρ-
αλληλογράμμῳ, τὸ γενόμενον ὑπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς παρ-
αλληλογράμμου καὶ τοῦ γνώμονος. ὁμοίως δέ, κἂν
ἀφαιρεθῇ γνώμων παραλληλογράμμου· περὶ τὴν αὐτὴν
γάρ ἐστι διάμετρον, ὡς ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τῶν στοιχείων.
118. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ γωνία p. 110,22] δεδομένον γὰρ τῷ εἴδει ὑπόκειται τὸ ΑΖΓΒ.
119. Δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον p.110,23]
ὅτι δέδοται τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον, δῆλον. ἐπεὶ
γὰρ δέδοται ἡ ΖΓΒ γωνία, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΓΖΒ
γωνία· εἰς γὰρ παραλλήλους τὰς ΖΒ, ΓΒ εὐθεῖα ἐμ-
πέπτωκεν ἡ ΓΖ ποιοῦσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ
μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, ὧν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ δέδοται· καὶ
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΗ δέδοται· ὥστε καὶ αἱ λοιπαὶ
δύο δεδομέναι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΓΖ πρὸς
τὴν ΓΒ λόγος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΓ τῇ ΗΒ, ἡ δὲ ΓΒ
τῇ ΖΗ, καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν δέδοται.
120. Τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς
p. 112, 3–4] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΖΒ παραλληλογράμμου πρὸς
τὸ ΑΖΒΓ εἶδος λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΑΖΒΓ
εἴδους πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ διʼ ἴσου
τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.
121. Ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ p. 112, 14] ἐπεὶ γὰρ
παράλληλος ἡ ΓΒ τῇ ΛΘ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν
εὐθεῖα ἡ ΓΚ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
122. Δεῖ τοῦτο προσεπιθεωρεῖν, ὅτι καὶ τὰ τετρά-
γωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον· τούτῳ γὰρ
ἐξῆς προσχρήσεται. ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν, δῆλον. εἰ
γὰρ ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγον ἔχει
δεδομένον, δῆλον, ὅτι καὶ τὰ ΕΒ, ΖΓ πρὸς ἄλληλα
λόγον ἕξει δεδομένον.
123. Τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ δωδέκατον θεώρημα
συμβάλλεται εἰς τὸ παρὸν θεώρημα· ἀλλὰ καὶ τὸ ιγ΄
πάλιν εἰς τὸ μετὰ τοῦτο ἤτοι τὸ ξε΄, καὶ ζήτει αὐτὰ
ἐκεῖ.
124. Πόθεν ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως
ὁ ὑπὸ τῶν Α∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ ἐκ-
κείσθω τις εὐθεῖα ἡ αβ, καὶ
κείσθω τῇ μὲν Α∠ ἴση ἡ αδ,
τῇ δὲ ∠Β ἴση ἡ δβ, καὶ ἤχθω
πρὸς ὀρθὰς ἡ δζ, καὶ κείσθω
τῇ ΒΓ ἴση ἡ δζ· καὶ συμ-
πεπληρώσθω τὸ σχῆμα τὸ αθ
παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ αδ πρὸς
δβ, οὕτως τὸ αζ πρὸς τὸ δθ, καί ἐστι τὸ μὲν αζ
ὡς ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, οὕτως τὸ ὑπὸ Α∠, ΒΓ πρὸς τὸ
ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ.
125. Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ∠Α, ΒΓ p. 118, 13] ἀν-
ήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ σημείου τῇ Α∠ ἴση καὶ
παράλληλος ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ∠Γ
διήχθω ἴση καὶ παράλληλος ἡ
ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ.
καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΕ παραλληλό-
γραμμον τοῦ τριγώνου διπλά-
σιόν ἐστιν· ἐπί τε γὰρ τῆς
αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ἐν ταῖς
αὐταῖς παραλλήλοις· καὶ περι-
έχεται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ ἴση δὲ ἡ
ΕΓ τῇ Α∠, ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΒΓ, διὰ τοῦτο λόγον ἔχει τὸ
παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, ὥστε καὶ διπλα-
126. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ p. 118, 16]
ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τοῦ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τοῖς
ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις.
127. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 120, 13]
καί ἐστιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ∠Β
πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒ, Α∠.
128. Πόθεν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως
καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, Β∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ. Α∠;
ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ εζ καὶ
ἀφῃρήσθω ἀπʼ αὐτῆς τῇ μὲν
Β∠ ἴση ἡ εδ, τῇ δὲ ∠Α ἴση
ἡ δζ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ηδ
ἴση οὗσα τῇ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν
ὡς ἡ εδ πρὸς δζ, οὕτως τὸ εη
πρὸς ηζ, καί ἐστι τὸ μὲν εη
τὸ ὑπὸ τῶν εδ, δη, τουτέστι
τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ΒΓ, τὸ δὲ ηζ τὸ ὑπὸ τῶν ζδ, δη,
129. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ των ΓΒ, Β∠ p.120,17–18]
ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ ιγ΄ θεωρήματι ἐν
τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις.
130. Ὡρ δὲ ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ p. 122, 9] πάλιν καὶ
ἐνταῦθα, ἐὰν τῇ μὲν ΑΒ ἴσην εὐθεῖαν λάβωμεν τὴν εη,
τῇ δὲ Β∠ τὴν ηζ καὶ πρὸς
ὀρθὰς τὴν ηθ ἴσην οὖσαν
τῇ ΑΓ· καὶ συμπεπληρώ-
σθω τὸ σχῆμα· ἔσται ὡς ἡ εη
πρὸς ηζ, τουτέστιν ὡς ἡ
ΑΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ εθ
πρὸς θζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ
τῶν θηε, τουτέστι τὸ ὑπὸ
τῶν ΒΑΓ, πρὸς τὸ θζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν θη, ηζ,
τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠· ἴση γὰρ ἡ μὲν εη
τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ηθ τῇ ΑΓ. ἡ δὲ ηζ τῇ Β∠.
131. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ p. 122, 12] ἐὰν
γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν καὶ
ποιήσωμεν παραλληλόγραμμον, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν Β∠,
132. Τὸ θεώρημα ὡς ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ
καταγέγραπται. ἐὰν δὲ ὀρθὴ ᾖ, αὐτόθεν τὸ ὑπὸ ΒΑ,
ΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· δι-
πλάσιον γὰρ αὐτοῦ ἐστιν. ἐὰν δὲ ἀμβλεῖα ᾖ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ,
ἤχθω κάθετος ἐκβληθείσης τῆς
ΓΑ ἡ ΒΕ. δέδοται οὖν ἡ Ε·
ὀρθὴ γάρ· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ,
ἐπειδὴ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῆς ὑπό-
κειται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΑ
δέδοται. δέδοται ἄρα τὸ τρίγωνον
τὸ ΕΒΑ τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς ΒΑ δοθείς.
ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, τῆς ΑΓ μέσης λαμβανομένης
οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΑΓ λόγος
ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΙ δοθείς. τοῦ
δὲ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς·
διπλάσιον γάρ· ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Α, Γ τῇ ΕΒ παρ-
αλλήλους ἀγάγωμεν καὶ ἔτι διὰ τοῦ Β τῇ ΕΓ, δῆλον
γίνεται· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ
τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.
133. Ἐὰν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα,
ὡς ἔτυχεν, ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ ἀπὸ τῆς καταχθείσης
μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως ἴσον ἐστὶ τῷ
ἀπὸ μίας τῶν ἴσων πλευρῶν.
ἔστω δὴ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ Α∠. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν Β∠, ∠Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.
ἡ Α∠ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤτοι κάθετός ἐστιν ἢ οὔ.
ἔστω πρότερον κάθετος. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΒΓ
τέτμηται δίχα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β∠. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ
τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς
Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ
τῶν Α∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω κάθετος ἡ Α∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ
τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΕ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά
τις τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ
τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε
ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ
τῆς ΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν
τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον. τὸ ἄρα
ὑπὸ Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ Α∠
ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ.
134. Ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνα.
135. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 124, 18] παρ-
άλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ.
136. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 128, 3–4] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Ζ, ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Θ, καὶ ἡ Θ ἄρα τῇ Ζ ἐστιν ἴση· ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.
137. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ∠ΑΓ,
ΑΚ∠ p. 130, 2] ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Β τῇ
ΑΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν εὐθεῖα ἡ Α∠, αἱ ἐντὸς
γωνίαι αἱ ὑπὸ Β∠Α, ∠ΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
138. Καθόλου γάρ, ἐὰν παραλληλογράμμου μία
γωνία δοθῇ, καὶ αἱ λοιπαὶ δεδομέναι εἰσίν. μιᾶς γὰρ
δοθείσης ἐξ ἀνάγκης καὶ ἡ ἐφεξῆς δοθήσεται, ὥστε
καὶ τῶν δοθεισῶν αἱ ἀπεναντίον δοθήσονται.
139. Ἀντιστρόφιον δύο πρὸ αὐτοῦ θεωρήμασιν.
140. Ἀντιστρόφιον τοῖς δύο ὁμοῦ τῷ τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ καὶ τῷ ξθ΄ θεωρήματι.
141. P.132,4] ἐπʼεὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠Β τῇ ΒΜ.
ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΝ τῇ ∠Μ, αἱ ἐναλλὰξ
γωνίαι αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΒΓΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν
ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΑΓ, αἱ ὑπὸ ΜΒΓ,
ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ, ΒΓΝ
ταῖς ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν. ὀρθαὶ δὲ αἱ ὑπὸ
ΑΓΒ, BΓΝ· ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ. ἐὰν
142. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 132, 6] ἐπεὶ γὰρ
ἰσογώνιον κεῖται τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ν,
ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ν ἄρα τῇ πρὸς τῷ Ζ
ἴση. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.
143. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα p. 132, 20] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ δοθεῖσα.
144. Καθόλου γὰρ πάλιν, ἐὰν δύο τετραγώνων
δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνια ἔσται τὰ παραλληλό-
γραμμα.
145. Λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς
p. 134, 6] μᾶλλον ἀληθῶς διὰ τοῦτο· ἐπεὶ γὰρ ἴση
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ Ζ καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ
πλευραὶ λόγον ἔχουσι δεδομένον, διὰ τὸ νῦν πρῶτον
δειχθὲν τοῦ ο΄ θεωρήματος λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς
ΖΘ δοθείς.
146. Αἱ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι p. 136, 9] κατὰ κοινοῦ τὸ ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσιν.
147. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 140, 4] ὅτι δέ,
ἐὰν παραλληλογράμμου δύο πλευραὶ ἐκβληθῶσι, καὶ
συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον, ἰσογώνια ἔσονται τὰ
παραλληλόγραμμα. ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ,
καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΓ, ∠Β, καὶ συμπεπληρώσθω
τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν
τὰ ΑΒ, ΓΘ παραλληλόγραμμα. ἐπεὶ γὰρ παράλληλοί
εἰσιν αἱ Α∠, ΓΒ, ΚΘ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ
ὑπὸ ΓΚΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΑ∠, ὥστε ἰσο-
γώνιά εἰσιν.
148. Πρὸς ἣν ἡ ΑΓ p. 140, 8] ἡ ΑΓ λόγου χάριν πρὸς τὴν ∠ ἢ πρὸς οἷον δή ποτέ τινα λόγον ἐχέτω δεδο- μένον. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι β πρὸς τὴν ΓΚ.
149. P. 140, 8—9] πόθεν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὺς τὴν ΓΚ λόγον
ἔχει δεδομένον; δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ καὶ
ἰσογώνιον τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ,
ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ∠· ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ,
ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· ἴση ἄρα ἡ ∠ τῃ ΓΚ. ἔχει δὲ ἡ ΑΓ
πρὸς τὴν ∠ λόγον δεδομένον· καὶ πρὸς τὴν ΓΚ ἄρα
ἴσην αὐτῇ οὖσαν λόγον ἔχει δεδομένον.
150. Ἐπεὶ συνήχθη ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ
ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, οἷον πρὸς
τὴν ∠, πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον,
ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ∠. ἡ δὲ ΑΓ πρὸς
τὴν ∠ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε ἡ ΑΓ καὶ πρὸς
τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον.
151. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ p. 140,
22] δεικτέον δὲ οὕτως. ἐπεὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ,
οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δο-
θέντα, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ
πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δοθέντα. καὶ ἁρ-
μόσει ἡ προτέρα κατασκευή· καὶ τὸ ἑξῆς δὲ οὕτως
δεικτέον.
152. Λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου
p. 142, 1–2] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΓΜ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας
τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχουσιν, ὥστε
εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς
ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς πρὸς τὴν ΛΓ,
διὰ τὸ νῦν ἄρα δειχθὲν τοῦ ογ΄ τὸ πρῶτον λόγος τοῦ
ΓΜ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.
153. Μὴ ἀντιστρέψῃς· οὐ γὰρ ἀληθές.
154. Ἀντιστρόφιον τῷ πρὸ αὐτοῦ.
155. Τὸ οδ΄ θεώρημα καθολικώτερον τοῦ νς΄.
156. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ p. 144, 14] διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄.
157. Ὅτι δέ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ
ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον, ἀντὶ
τοῦ πρὸς τὴν ἴσην ἑαυτῇ, δείξομεν οὕτως. παρα-
βεβλήσθω γὰρ ὁμοίως τῷ ἐπάνω παρὰ τὴν ΓΒ τῷ
ΕΗ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΞ καὶ κείσθω, ὥστε
ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΝ τῇ ΛΓ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα
ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῃ ΒΞ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ
ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὑπόκειται γάρ· ἀλλὰ τὸ μὲν
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΞ τῷ ΕΗ, ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον,
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΓΝ.
ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς
ἣν ἡ ΛΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι πρὸς τὴν ΑΓ,
διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄. ἔστιν ἄρα ὡς
ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν
ΑΓ, ΓΝ· ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΓΝ.
158. Τῆς δὲ ΑΒ p. 148, 4] δέδοται γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.
159. Καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα p. 148, 22] ἐπεὶ γὰρ τοῦ
ΑΒΓ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ
τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ
ἄρα πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν ἐπεὶ τοῦ
ΒΗ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ
160. Καὶ δῆλον, ὅτι καί, ἐὰν μὴ ἀπὸ τῆς ΕΖ
τετράγωνον ἀναγράψωμεν, ἀλλὰ ἀπὸ ἄλλης τινός, οἷον
τῆς ΖΞ, καὶ πρὸς ἐκείνην, οἷον τὴν ΖΞ, λόγον ἔχει
δεδομένον ἡ ΒΓ.
161. P. 150, 18–20] ἴσον δὲ τὸ ΖΗ τῳ ΕΚ·
λόγος ἄρα τοῦ Γ∠ πρὸς τὸ ΕΚ δοθείς, ὥστε διὰ
τοῦτο καὶ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ
τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ α΄ τοῦ ϛ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.
162. P.152,5–6] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τῆς ΕΘ
πρὸς ΖΛ, ἀλλὰ τῆς ΕΘ πρὸς ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ
τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΛ λόγος δοθείς. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΖΛ
τῇ ΒΖ· τετράγωνον γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΒ
λόγος δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΖΒ πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς·
ὑπόκειται γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς Ε∠ λόγος δοθείς.
καί ἐστιν ἴση ἡ Ε∠ τῇ ΓΜ· ἀπεναντίον γάρ· καὶ
τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΕ λόγος δοθείς. ὁμοίως δὴ καὶ
αἱ λοιπαὶ πλευραί. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ·
ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ εἰς β ὀρθὰς ἡ Γ, καὶ αἱ ἀπεναντίον·
δέδοται ἄρα τῷ εἴδει τὸ Γ∠.
163. Τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ἀληθέστατον, καὶ ἐχρήσατο αὐτῷ κατιών.
164. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 154, 8] ὅτι καθόλου
ἐπὶ ὁμοίου τριγώνου τοῦτο συμβαίνει. ἔστω τρίγωνον
τὸ ΒΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω
ἡ Β∠, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΓ
παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΕ. ἔστιν
ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ
ΘΕ πρὸς ΕΒ, καὶ ἐναλλὰξ
ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ΓΒ
πρὸς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ
ΓΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΜ, καὶ διʼ ἴσου ὡς ἡ ΑΓ
πρὸς ΘΕ, ἡ ∠Β πρὸς ΒΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ
πρὸς ∠Ε, ἡ ΘΕ πρὸς ΜΒ.
165. Οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΜΛ [p. 154, 8]. ἰσογώνια
γὰρ τὰ τρίγωνα, καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας
πλευραί. ὁμόλογος δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΗ· ἴσας
γὰρ γωνίας ὑποτείνουσι τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΘΛΗ· ἡ δὲ
Β∠ ἴση τῇ ΛΜ· ὁμόλογοι γὰρ καὶ αὗται ἴσας γωνίας
ὑποτείνουσιν.
166. Ὅπως ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ ἐστιν ἴση; ἐπεὶ ὑπό-
κειται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ,
167. Δέδοται ἄρα τὸ Α∠Β p. 156, 7] ἐπεὶ τρι-
γώνου τοῦ ΑΒ∠ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι
εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ Α∠Β ὀρθή ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ
∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ
οὖσα ἡ ὑπὸ Α∠Β δέδοται, καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠
μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι ἴσαι δέδονται, ὧν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ δέδοται,
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ δέδοται. ἐὰν γὰρ ἀπὸ
δεδομένου δεδομένον ἀφαιρεθῇ, καὶ τὸ ὑπολειπόμενον
δέδοται.
168. Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ
ΑΒΓ τριγώνου; ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ
∠ΑΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ ΑΕ παράλληλοι ἡ ∠Β, ΖΓ·
τὸ ∠Γ ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται ὑπὸ τῶν
ΓΒ, ΒΔ· ἴση δὲ ἡ Β∠ τῇ ΑΕ· τὸ ἄρα ∠Γ ἐστι τὸ
ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ περιεχόμενον ὀρθογώνιον καί ἐστι
διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ παραλληλό-
γώνου· τὸ δὲ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠.
169. Καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ p. 156, 6] ὡς γὰρ
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ, τουτ-
έστι τὸ ΓΟ πρὸς τὸ ΓΡ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ·
δέδοται δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ·
οὕτως γὰρ ἐδείχθη πρὸ μικροῦ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς
ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος.
170. Καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ p. 156, 19] διὰ τὸ λγ΄ τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.
171. Πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς [p. 158, 4]. ἐὰν γὰρ
διὰ τῶν Γ, Β τῇ ΕΑ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὁμοίως
δὲ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον
ὀρθογώνιον διὰ τὸ ἴσας γίνεσθαι τὰς γωνίας ἑκάστην
τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· δοθήσεται ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον,
καὶ ἔσται λόγος τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΜ δοθείς, τουτ-
έστι πρὸς τὴν ΕΑ· ἴση γὰρ ἡ ΓΜ τῇ ΕΑ.
172. Ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ παράλληλος τῇ ΖΗ ἀγο-
μένη ἐφάπτεται τῆς περιφερείας, δῆλον· καὶ γάρ, ἐὰν
περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τμῆμα περιγράψωμεν, ὅμοια
ἔσται τὰ τμήματα, καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ,
οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΚ· ἡ δὲ ΕΑ ἐφάπτεται· ὥστε
καὶ ἡ διὰ τοῦ Κ.
173. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκάστη τῶν πλευρῶν τοῦ
ΖΗΘ τριγώνου, δέδοται ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΗ λόγος
διὰ τὸ α΄. πάλιν ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΑΒ πρὸς Β∠
λόγος, ὡς δέδεικται, δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς
Β∠ λόγος· ὡς γὰρ δέδεικται ὁ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ
δοθείς, οὕτως δειχθήσεται καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠
λόγος δοθείς· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ λόγος
ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ
ΒΑΓ, ΖΘΗ γωνίαι, καὶ λόγον ἔχει δεδομένον ἡ μὲν
ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ δὲ ΖΘ πρὸς ΘΗ, δεδομένα ἄρα ἐστὶ
τῷ εἴδει.
174. Τούτου τοῦ θεωρήματος ἔνστασις κεῖται ἐν
τῇ πρώτῃ ἐξωχιῇ, ὅπου σημεῖον τόδε ??.
175. Ἔνστασις εἰς τὸ π΄ θεώρημα ??.
φησὶ γὰρ ἐν τῷ π΄ θεωρήματι· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η
σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΗΚ·
καὶ γεγονέτω, φησίν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως
ΒΓ ὁμοίως κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΕ
πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ ἤχθω ἀπὸ
τοῦ Λ σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ
ΛΘΙ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΙΖ, ΙΗ, ΘΗ, ΘΖ. ἐπεὶ
οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ,
καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ
ΗΖ πρὸς ΛΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ,
οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ,
οὕτω γέγονεν ἡ ΖΗ πρὸς ΛΙ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς
ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΙ. καί ἐστιν ἡ
ὑπὸ τῶν ΒΕΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΛΙ ἴση. ὅμοιον
δὲ καὶ ἡ ὑπὸ φῶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· οὕτως γὰρ
ὑπέκειτο διὰ τὸ ἐν ΖΘΗ τμήματι εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΘΗ·
καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση· ὅπερ
ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ διὰ τοῦ Κ σημείου ἀγομένη
παράλληλος τῇ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ΖΘΗ περιφερείας.
ὁμοίως δέ, κἂν ἐντός τις ὑπόθηται.
176. Ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ p.160, 11–12] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ ϛ΄ τῶν στοιχείων.
177. Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, ∠
πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε [p. 164,
– 16]. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ
ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ μὲν Ε ἴση
ἡ ΑΓ, τῃ δὲ ∠ ἴση ἡ ΓΒ, καὶ
πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ
178. Τοῦτό φησιν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δ εὐθεῖαι καὶ
ἔχωσιν οὕτως πρὸς ἀλλήλας· πῶς δὲ ἔχωσιν; ὥστε
λαβεῖν τινα ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας ἂν βούλοιτο, προσ-
λαβεῖν δὲ καὶ τετάρτην ἀνάλογον οὖσαν ταῖς ληφθεί-
σαις τρισί· ἔσται ὡς ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα
πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν μετʼ αὐτὴν τρίτην, οὕτως
ἡ δευτέρα ἤτοι ἡ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέραν,
πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι πρὸς τὴν
οὖσαν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, πρὸς ἣν ἔχει
ἡ πρώτη ἤτοι ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα πρὸς αὐτὴν δευτέραν
οὖσαν λόγον δεδομένον.
ἔστωσαν εὐθεῖαι αὗται αἱ Α, Β, Γ, ∠, καὶ ἔστω ἡ
μὲν Α κδ, ἡ δὲ Β ιβ, ἡ δὲ Γ η, ἡ δὲ ∠ ς. λαβὲ
γοῦν ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας βούλει, οἷον τὴν Α καὶ τὴν Β
καὶ τὴν Γ· προσλαβοῦ καὶ ἑτέραν ἀνάλογον ταύταις
ἤτοι τὴν Ε, καὶ ἔστω δ· ὥστε ἔχει αὐταῖς ἀναλόγως
ἤτοι τὸν διπλασίονα λόγον. ἔχει οὖν ἡ τετάρτη ἤτοι
ἡ προσληφθεῖσα· τετάρτη γὰρ ἀριθμεῖται μετὰ τὰς
τρεῖς τὰς ληφθείσας· πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν Γ τὴν
μετὰ τὴν προσκληθεῖσαν ἀριθμουμένην τρίτην λόγον
ὑποδιπλάσιον. θέλει γοῦν ἔχειν οὕτως καὶ ἡ δευ-
ἔχει δεδομένον· ἔχει γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἤτοι τὸν
ὑποδιπλασίονα. ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευ-
τέρα, ἥτις ἐστὶ ϛ, πρὸς τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν
τετάρτην, δευτέραν δὲ ὡς πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρώτην,
ἤτοι τὴν Β ιβ οὖσαν ὑποδιπλάσιόν ἐστιν.
κἂν γοῦν ταύτας οὐ λαβῇς τὰς εὐθείας ἀλλʼ ἄλλας
τῶν δ, οἵας βούλει, οὕτως εὑρήσεις ταύτας φυλάττειν
τὴν παραδοθεῖσαν τάξιν κατὰ τὴν ἐμὴν τέως ἐπιβολήν·
ἤ, εἰ βούλει, ἔστωσαν μὲν ὡς ἐν τῷ ἐδαφίῳ τοῦ
βιβλίου κείμενα διʼ ἀριθμῶν τοιοῦτον. ἀλλὰ δὴ ἐκ
τῶν ἀριθμῶν οὕτως· καὶ ἁπλῶς οἵους βούλει τρεῖς
πως τῶν ἐξ ἀρχῆς δ λάμβανε, καὶ εὑρήσεις κατὰ τὴν
ἄνωθεν ῥηθεῖσαν ἐξήγησιν ἁρμόζειν τὸ θεώρημα.
179. Λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Β p. 166, 4] ἡ γὰρ ΒΓ τῆς
ΒΑ μείζων ἐστὶ τῇ ∠Γ εὐθείᾳ δοθείσῃ, ὡς ἐν τοῖς
ὅροις.
180. Καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία p.168, 2]
ὡς ἂν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι
δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.
181. Καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ p. 168, 10] συναμφό-
τερος ἡ ΑΒ, ΒΓ ὑπόκειται δοθεῖσα, καί ἐστιν ἴση ἡ
ΑΒ τῇ ∠Β, καί εἰσι δοθεῖσαι· ὥστε καὶ ἡ ∠ΒΓ δο-
θεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα ὅλη ἡ ∠Γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ
δεδομένης τῆς ∠Γ δεδομένη ἡ ∠Β ἀφαιρεθῇ, καὶ ἡ
ὑπολειπομένη δέδοται.
182. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ∠ΓΒ p. 168, 23]
τὸ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ ἐστίν, ὅταν ἀφαιρε-
θέντος τοῦ δοθέντος τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον
ἔχει δεδομένον, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
183. Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ p 170, 4] ἐὰν γὰρ τὴν Β∠ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ποιήσωμεν, δῆλον· ὡς γὰρ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα, οὕτως καὶ αἱ βάσεις.
184. Ἐὰν γὰρ εὐθεῖα ὡς ἡ ΒΓ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ ∠, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθο- γωνίῳ, ὡς ἐν τῷ β΄ θεωρήματι τοῦ β΄ βιβλίου Εὐκλείδου.
185. Καὶ συνθέντι ἄρα p. 170, 18–19] ἐὰν γὰρ συν-
αμφοτέρου τῆς ΒΓ∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς,
συνθέντι συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠
πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς· συναμφότερος δὲ ἡ
ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ δύο εἰσὶν αἱ ΓΒ.
186. Ὡρ δὲ ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ p. 170, 21] ἐὰν γὰρ
ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ΓΒ τῇ ΒΑ καὶ ἴσην τὴν
Β∠ τῇ ΒΕ, δῆλον, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ ὑπὸ
ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠, τουτέστι τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ∠Ε·
ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτως τὰ παραλληλόγραμμα.
187. Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 170, 22] ἐπεὶ γὰρ
δέδοται ἑκατέρα τῶν ΓΒ, Β∠, καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν δεδο-
μένην ἔχει γωνίαν· ὀρθογώνιον γάρ· δέδοται τὸ ὑπὸ
τῶν ΓΒ∠, ὡς ἐν τοῖς ὅροις. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
Β∠ δοθέν· τετράγωνον γάρ· λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν
ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐστι δοθεὶς διὰ τὸ α΄.
188. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ p. 172, 3] ἐπεὶ
γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, τῆς Β∠
πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα
ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ. ἑκάστη ἄρα τῶν
ΑΒ, ΒΓ δοθεῖσα.
189. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα p. 172, 16]
διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ· ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΕΓ δεχόμενον
γωνίαν δοθεῖσαν κατὰ τὸν ὅρον.
190. Ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β, ∠ p. 176, 1] δέδοται ἐξ ἀρχῆς τὸ Β, καὶ τὸ ∠ δὲ διὰ τὸ τὸν κύκλον δεδόσθαι τῇ θέσει.
191. Καί ἐστιν ὀρθή p. 176, 18] διὰ τὸ ιη΄ τοῦ γ΄ βιβλίου τῶν στοιχείων.
192. Τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ∠Γ p. 176, 19] διὰ τὸ ἀνά- παλιν τοῦ ιϛ΄ θεωρήματος τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.
193. Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΑ, ΑΕ p. 180, 10–11] ταῦτα δέδεικται ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τῷ ἐπάνωθεν, ὅπου σημεῖον τόδε ??.1)
194. Καί ἐστιν ἴσον p. 180, 11] ὡς δέδεικται ἐν
τῷ γ΄ βιβλίῳ Εὐκλείδου ἐν τῷ λε΄ θεωρήματι.
195. Τῆς κάτω p. 180, 20] τουτέστι τῆς ὑπὸ τὴν ἀχθεῖσαν καὶ ἀπολαμβάνουσαν τὸ τμῆμα τὸ δεχόμενον τὴν δεδομένην γωνίαν.
196. Διὰ τὰ αὐτὰ δή p.182, 11] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑ∠ ἡμίσεια οὖσα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ δοθείσης δοθεῖσά ἐστιν.
197. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ p. 182, 14] διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ ς΄ βιβλίου τῶν στοιχείων.
198. Καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ p. 182,
–17] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν,
ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ
ἑπόμενα.
199. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ p. 182, 19] ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΑΒ βεβήκασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ Β∠ΓΑ.
200. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 182, 22–23] περὶ γὰρ τὰς ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν.
201. Πῶς ἐστιν, ὡς ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συν-
αμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ; ἐπεὶ τοῦ ΒΑΓ
τριγώνου ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται, ἔστιν
ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ,
ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων. συνθέντι ὡς συναμφό-
τερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς
τὴν ΓΕ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ,
πρὸς τὴν ΒΓ.
202. Πῶς, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν
ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β; ἐδείχθη, ὅτι ἐστὶν ὡς
ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΓ
πρὸς ΓΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν
ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν
203. Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΒΕ∠ τρίγωνον τῷ
ΑΕΓ τριγώνῳ; ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ ∠·
ἀλλὰ καὶ κατὰ κορυφὴν αἱ ὑπὸ ΒΕ∠, ΓΕΑ καὶ
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΒΕ τῇ ὑπὸ ΕΑΓ ἴση διὰ τὸ καὶ
τὸ ∠Γ τμῆμα ὑποτείνειν αὐτάς.1)
204. Πόθεν, ὅτι ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀγομένη ὡς
ἐπὶ τὸ Ε πίπτει καὶ οὐκ ἐπὶ τὸ Η ἢ ἐνδοτέρω; καὶ
σαφέστερον εἰπεῖν· κέντρου ὄντος τοῦ Η καὶ τῇ ΒΗ
διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῆς ΝΗΞ, δεικτέον, ὅτι
ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη οὔτε ἐπὶ
τὸ Η πίπτει οὔτε ἐνδοτέρω τοῦ Η. ὅτι μὲν ἐκτὸς οὐ
γάρ] comp. P, γίνονται Vat., γάρ εἰσι l(compp.)λ. 3.
ἰσογώνιον] -ια Plλ. 4. ΑΕΓ] ΕΑΓ v. ἐστίν] δέ v,
γάρ ρ. ἡ] om. Pl. 6. ∠ΒΕ] ΑΒΕ codd. τῇ] τῆς c.
διήχθω ἐπὶ τὸ Θ ἢ ὁπου-
δηποτοῦν. ἐπεζεύχθω δὲ
καὶ ἡ ΑΘ· διάμετρός ἐστιν
ἡ ΚΘ, ἡμικύκλιόν ἐστιν
ἡ ΚΑΘ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ
ΚΑΘ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ
∠ΑΚ ὀρθή· ἴσαι ἄρα ἀλ-
λήλαις, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ-
σονι· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγο-
μένη τῇ Α∠ ἐπὶ τὰ ἐντὸς τοῦ κύκλου ὡς ἐπὶ τὰ
Κ, Α, Β πεσεῖται· ἐπʼ ἐκεῖνα ἄρα ὡς ἐπὶ τὸ Ε.
205. Ἡ ΘΑ διάμετρος p. 186, 4] πρὸς ὀρθὰς γὰρ
ἦκται τῇ Α∠ ἡ ΑΕ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ Α∠·
αἱ ἄρα ὑπὸ ∠ΑΕ, ΑΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε
καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε ὀρθή ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν·
διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ.
206. P. 186, 7] οὕτως γὰρ κεῖται· καὶ τὸ ∠ δοθὲν καὶ ὁ κύκλος τῇ θέσει δεδομένος.
207. Ἴση ἄρα, φησίν, ὡς ἡ ΖΗ τῃ Η∠, καὶ ἡ ΘΖ
τῇ Α∠· ἰσογώνια γὰρ τὰ Α∠Η, ΗΘΖ τρίγωνα·
παραλλήλων γὰρ οὐσῶν τῶν Α∠, ΕΘ, αἱ ἐναλλὰξ
γωνίαι αἱ ὑπὸ Α∠Η, ΗΖΘ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ διὰ
τὸν αὐτὸν λόγον καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΘ, ΑΘΖ ἴσαι ἀλλή-
λαις· καὶ αἱ πρὸς τῷ Η κατὰ κορυφὴν οὖσαι ἴσαι
εἰσίν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς
Η∠. ἴση δὲ ἡ ΘΗ τῃ ΗΑ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ
Η∠. ὁμοίως καὶ ἡ ΘΖ τῇ Α∠ ἴση ἐστίν.
208. Δοθὲν ἄρα ἐστί p. 186, 15] τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ
δοθέν ἐστι διὰ τὸ 𝔮β΄.
1. Δοθεῖσα ἄρα ἐστίν p. 196, 8] ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΓ εὐθειῶν δέδοται τῇ θέσει, δέδοται ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ γωνία τῷ μεγέθει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις· δύ- ναμαι γὰρ αὐτῇ ἴσην πορίσασθαι.
2. P. 198, 1] ὅτι τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. ~ αἳ γὰρ περιέχουσαί εἰσιν εὐθεῖαι, τῇ θέσει δεδομέναι εἰσίν.
3. Τῶν γὰρ αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν αἱ ΒΗ, Η∠.
4. Τουτέστι τῇ ΗΒ p. 198, 6] αἱ γὰρ ΗΒ, Η∠ ἴσαι εἰσίν· ἐκ τοῦ κέντρου γάρ εἰσι τοῦ κύκλου· ἐξ ἀρχῆς δὲ ἐτέθη ἴση τῇ ΕΖ ἡ Η∠.
5. Ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ p. 198, 7]
ἐὰν τριγώνου παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν εὐθεῖα γραμμὴ
ἀνάλογον τέμῃ τὰς τοῦ τριγώνου πλευράς, ἔστιν ἄρα
ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΘ· ἴση δὲ ἡ ΕΖ
τῇ ΒΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΗΘ.
6. Δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ p. 198, 8–9] ἡ γὰρ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΒΗ∠ δοθεῖσά ἐστιν, ὡς ἐδείχθη ἀνωτέρω.
7. Ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ p. 200, 3] διὰ τὸ δ΄ τοῦ ϛ΄· ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ΚΖΕ, ΕΘΗ τρίγωνα, ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι.
8. Καί ἐστι δοθεῖσα p. 200, 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς
τῷ Α γωνία δεδομένη ἐστίν, ἴση δὲ ἡ πρὸς τῷ Α
ταῖς ∠, γωνίαις, ἡ ἐκτὸς δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναν-
τίον ἴση ἐστίν, ἴσαι δέ εἰσι καὶ αἱ ∠, Γ γωνίαι, ὥστε
δεδομέναι εἰσὶν αἱ ∠, ∠ γωνίαι.
9. Ἡμίσεια γάρ ἐστι p. 2Ο0, 12] ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ
ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ
Α∠Γ, ∠ΓΑ ἴσαις οὔσαις ἀλλήλαις, ἡ ὑπὸ Α∠Γ ἄρα
ἡμίσειά ἐστι τῆς ὑπὸ ΒΑΓ.
10. Καί ἐστιν αὐτῆς διπλῆ p. 202, 5] ἴση γάρ
ἐστιν ἡ πρὸς τῷ ∠ γωνία τῇ πρὸς τῷ Γ· ἔστι δὲ ἡ
ὑπὸ ΒΑΓ δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἴση· ὥστε
11. Ἐκκείσθω δοθεῖσα p. 202, 12] τῷ μεγέθει· οὕτω
γὰρ ἀεὶ λαμβάνει ἀοριστῶς λέγων.
12. Ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β p. 202, 21] ἐμά- θομεν γάρ, ὅτι, ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογον ἔσται.
13. Καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραί p. 204, 8] ἐπεὶ λόγος τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τὸ Α ὅμοιον τῷ Β, τῶν δὲ ὁμοίων σχημάτων αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, πρὸς ἃς αὗται ἀνάλογόν εἰσιν, κἀκεῖναι δεδομέναι ἔσονται.
14. Δέδοται ἄρα τῷ εἴδει p. 204, 19] ἐμάθομεν γὰρ ἐν τοῖς ὅροις, ὅτι εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δε- δόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσί κτλ.
15. Διὰ τὰ αὐτὰ δή p. 204, 24] ὡς ἐν τῷ σχολίῳ
τοῦ νβ΄ ἀπὸ γὰρ ἑκάστης ἀναγράφοντες τετράγωνον
ὁμοίως δείξομεν.
16. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ∠ p. 206, 13] σχόλιον.
ἐκ τῶν λαμβανομένων τῇ Γ∠ τῇ αὐτῇ ἀποδείξει τῇ
ἐπὶ τοῦ ξδ΄ χρησόμεθα.
ἐκθέμενοι εὐθέως τὴν αβ
καὶ τῇ μὲν ΕΓ ἴσην
τὴν αγ, τῇ δὲ ΑΖ
τὴν γβ καὶ πρὸς ὀρ-
θὰς ἀπὸ τοῦ γ τὴν γδ
ἴσην οὖσαν τῇ Γ∠ καὶ
τὰ ἑξῆς ὡς ἐν τῷ ξδ΄ θεωρήματι.
17. Σχόλιον. ὡς γὰρ ἡ ΕΓ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠.
18. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ πρὸς τὸ ΑΓ∠
τρίγωνον p. 206, 15] διπλάσιον γάρ, φησίν, ἔστιν
αὐτοῦ. πῶς; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα
ἡ ηθ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Γ∠ ἴση ἡ
ηθ, τῇ δὲ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα
ἡ ηκ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ κθ παρ-
αλληλόγραμμον, καὶ ἔστω διαγώνιος
ἡ θκ ἀντὶ τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν
θη, ηκ ἐστι τὸ κθ, καί ἐστι δι᾿ αὐτοῦ
ἡ θκ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τοῦ κηθ τριγώνου· ἐπί τε γὰρ
τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς ηθ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρ-
19. Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου
διπλάσιόν ἐστιν; δείξομεν οὕτως. ἤχθω διὰ τοῦ Α
τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΗ
καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΖ
παράλληλος ἡ ΗΘ. δύο
ἄρα παραλληλόγραμμά
ἐστι τὰ ΑΘ, Α∠ (ὑπό-
κειται γὰρ καὶ ἡ ΑΓ τῇ
Β∠ παράλληλος) ἐπὶ τῆς
ΑΗ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς
παραλλήλοις ταῖς ΑΗ, Ζ∠· ἴσον ἄρα τὸ ΑΘ παραλληλό-
γραμμον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ
τῶν ΑΖ, ΑΗ ἐστι τὸ ΑΘ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ Γ∠, καὶ
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ ἐστι τὸ ΑΘ διπλάσιον
δὲ τὸ ΑΘ τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, ἐπεὶ καὶ τὸ Α∠· τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΖ, Γ∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΓ∠
τριγώνου.
20. Καί ἐστι τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 7] διὰ γὰρ τὸ ξς΄ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε καὶ τὸ δίς.
21. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 11–12] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη τῷ ιγ΄ θεωρήματι.
22. Τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΑΓ p. 208, 14] ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐδείχθη ἐν τῷ δ΄ θεωρήματι.
23. Τουτέστι τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ∠
p. 208, 17–18] ἐὰν γὰρ λάβωμεν τὴν βα μίαν εὐθεῖαν
ὡς ἄτμητον, τὴν δὲ δαγ
μίαν μὲν καὶ αὐτήν, τετμη-
μένην δὲ κατὰ τὸ α, γίνεται
τὸ ὑπό τε τῆς ἀτμήτου
τῆς βα καὶ ἑκάστου τῶν
τμημάτων τῶν δα, αγ ἴσον
τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς δαγ καὶ τῆς αβ διὰ τὸ α΄
τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν στοιχείων· ὥστε καὶ τὸ δὶς
ὑπὸ τῶν βα, αδ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν βα, αγ ἴσον
ἐστὶ τῷ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς γαδ καὶ τῆς αβ.
24. Καὶ τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ∠ΑΓ
p. 208, 26] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ∠Α τῇ
Α∠ ὡς τὴν ∠ΑΓ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Γ πρὸς ὀρθὴν
ἀναστήσωμεν τὴν Α∠, δηλαδὴ ἴσης μενούσης τῆς μὲν
25. Καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΑΓ
p. 210, 2] ἔστω εὐθεῖα ἡ δε, καὶ κείσθω τῇ μὲν ∠Α ἴση
ἡ δα, τῇ δὲ ΑΓ ἡ αγ, καὶ ἀπὸ τοῦ α τῇ δγ πρὸς
ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ αβ, καὶ
κείσθω ἡ αβ τῇ ΑΒ ἴση. ἐπεὶ
οὖν ὁ τῆς δαγ πρὸς γα λόγος
ἐστὶ δοθείς, ὡς δὲ ἡ δαγ πρὸς
γα, οὕτως τὸ ὑπὸ δαγ, αβ
πρὸς τὸ ὑπὸ γα, αβ, καὶ τοῦ
ὑπὸ δαγ, αβ πρὸς τὸ ὑπὸ
γα, αβ ἄρα λόγος ἐστίν. ἔστι δὲ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν γα, αβ
πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ξς΄ θεώ-
ρημα· καὶ τὸ ὑπὸ δαγ, αβ ἄρα πρὸς τὸ αβγ τρίγωνον
λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄ θεώρημα.
26. Καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΓΖ p. 210, 21–22]
ἐὰν γὰρ συμπληρώσωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βα, αγ παραλληλό-
γραμμον ὡς τὸ αη, καὶ
διὰ τοῦ ζ παράλληλον
ἀγάγωμεν τῇ αβ, ἔπειτα
ἀφέλωμεν τὸ ὑπὸ τῶν βαζ,
καταλείπεται, τὸ ζη παρ-
αλληλόγραμμον, ὅ ἐστιν
ὑπὸ τῶν βα, ζγ· τῇ γὰρ βα ἴση ἐστὶν ἡ ζκ.
27. Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἀφέλω- μεν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑΖ, τὸ καταλειπόμενόν ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΖΓ.
28. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΑΒ p. 212, 6]
εἰ γὰρ τὴν ΖΓ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΕΓ νοήσωμεν καὶ
κοινὸν ὕψος τὴν ΒΑ, ἔσται τὸ λεγόμενον δῆλον· ὡς
γὰρ ἡ ΕΓ βάσις πρὸς τὴν ΓΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΕΑ
παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΒΑ,
πρὸς τὸ ΑΖ παραλληλόγραμμον, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν
ΖΓ, ΑΒ.
29. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ p. 212, 7–8] διὰ τὸ τὴν ΓΕ κάθετον εἶναι ἐπὶ τὴν ΒΑ ἐκβαλλομένην καὶ γίνεσθαι διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΕΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.
30. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω- μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον. τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓ, ΑΒ ἐστι τὸ ΑΒ, καὶ τὸ ΑΒ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ διὰ τοῦτο λόγον ἔχει πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δεδομένον.
31. Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΕΒ παράλληλον ἀγάγω- μεν καὶ διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ἔσται δῆλον· ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἴση ἐστὶ τῇ ΕΓ, ὡς ἔχει ἄνω τὸ σχόλιον.
32. Πῶς μὲν τὴν ὑπὸ ∠ΕΓ δύναμαι συστήσασθαι ἴσην τῇ ὑπὸ Α∠Γ χωρὶς τῶν Ἀπολλωνίου; οὕτως. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ τῇ ὑπὸ Α∠Γ, μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ Α∠Γ. κείσθω οὖν ἴση τῇ ὑπὸ ΒΓ∠ ἡ ὑπὸ Β∠Ε, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ. ἔστι δὲ κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τοῦ τε ∠ΒΓ τρι- γώνου καὶ τοῦ ∠ΒΕ. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Β∠Γ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ∠ΕΓ ἐστιν ἴση.
33. Πῶς δὲ δυνατὸν καθόλου ἀπὸ τοῦ δοθέντος
σημείου ὡς τοῦ α ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ὡς τὴν
βγ καταγαγεῖν εὐθεῖαν ἴσην ποιοῦσαν γωνίαν τῇ δο-
θείσῃ τῇ ὑπὸ δεζ; δείξομεν οὕτως. ἡ γὰρ ὑπὸ δεζ
ἢ ὀρθή ἐστιν ἢ ὀξεῖα ἢ ἀμβλεῖα. εἰ μὲν οὖν ὀρθή,
φανερόν· ἄγω γὰρ ἀπὸ τοῦ α κάθετον τὴν αη· καὶ
ἔσται ἴση ἡ ε τῇ η. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὀξεῖα ἡ ὑπὸ δεζ.
καὶ ἤχθω κάθετος ἀπὸ μὲν τοῦ δ ἐπὶ τὴν εζ ἡ δθ,
ἀπὸ δὲ τοῦ α ἐπὶ τὴν βγ ἡ αη, καὶ συνεστάτω πρὸς
οὖν ἤχθω ἡ δλ, καὶ τῇ ὑπὸ λδε ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ ηακ.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ δελ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ακη, ὥστε καὶ
ἡ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ δεζ τῇ ἐφεξῆς τῇ ὑπὸ ακγ ἴση ἐστίν.
Τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΒ p. 214, 6–7] ἐὰν
γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης
καὶ ἑνὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον
ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ προ-
ειρημένου τετραγώνῳ.
35. Ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β∠ p. 214, 7–8] ἐὰν γὰρ
τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον, τὸ ὑπὸ πρώτης καὶ τρίτης ἴσον
ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς δευτέρας.
36. Πῶς δυνατὸν ποιῆσαι, ὡς τὸ Α παραλληλόγραμ-
μον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον, οὕτως τὴν Κ πρὸς Λ;
εἰλήφθω τῶν Γ∠, ΕΖ τρίτη ἀνάλογον. ἔστιν ἄρα ὡς
ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀνα-
γραφόμενον, καὶ λοιπὸν ὡς ἐπὶ εὐθειῶν γεγονέτω, ὡς
ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ.
37. Τὸ Α ἄρα πρὸς τὸ Β p. 218, 3] ὡς δέδεικται ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τοῦ Εὐκλείδου ἐν τῷ κγ΄ θεωρήματι.
38. Ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ Κ p. 218, 6] ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, καὶ ληφθῇ τις μία εὐθεῖα, ἡ μία τῶν πρότε- ρον πρὸς τὴν ἑτέραν λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη πρὸς τὴν ἔξωθεν, ὡς ἔτυχεν, ληφθεῖσαν καὶ ὃν ἡ ληφθεῖσα πρὸς τὴν ἑτέραν.
39. Ὁ ἄρα συγκείμενος p. 218, 8] κεῖται δὲ ὡς τὸ Α
πρὸς τὸ Β, οὕτως ἡ Κ πρὸς Λ· ὥστε καὶ ἡ Κ πρὸς Λ
λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν, τοῦ ὃν
ἔχει ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ καὶ ἡ ΘΓ πρὸς ΕΗ.
40. Πῶς δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἀμβλείας ὑποκειμένης τῆς Β γωνίας ἢ ὀξείας; τὸ λημμάτιον ἐν τῷ τέλει εὑρήσεις, ὅπου σημεῖον τόδε α??.
41. Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Α∠Ζ p. 226, 9]
ἐπεὶ γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΑΖ, Ζ∠, καὶ ὅλη ἡ Α∠
δέδοται διὰ τὸ γ΄ ὥστε ἑκατέρα τῶν Α∠, ΑΖ δέδοται.
καὶ δῆλον, ὅτι τὸ ὑπʼ αὐτῶν περιεχόμενον δέδοται, ὡς
ἐν τοῖς ὅροις· ὅ τε γὰρ λόγος τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ
δέδοται, ἐπειδήπερ ἑκατέρα τῶν Α∠, ∠Ζ δέδοται διὰ
τὸ α΄, καὶ αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσίν· ὀρθαὶ γάρ.
42. P. 226, 10] ἐὰν γὰρ διάμετρον ἀγάγωμεν, τὰ λοιπὰ δῆλα, ὡς ἐν τῷ γ΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ λδ΄ θεωρήματι· ὅλαι γὰρ αἱ τέμνουσαι εὐθεῖαι τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων ἴσον ἔχουσι τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης.
43. Ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τοῦ κύκλου.
44. Πῶς ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἑκατέρας τῶν ὑπὸ ΑΓ∠,
ΓΒΕ ἐστι διπλῆ; ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι δίχα
τέμνει τὴν ὑπὸ ΑΓΒ. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΓΕΒ
ἐκτός ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ·
αἱ δὲ ὑπὸ ΓΕΒ, ΕΒΓ τῆς ὑπὸ ΕΒΓ διπλαῖ εἰσιν·
ἴσαι γὰρ ἀλλήλαις εἰσίν, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΕΓ πλευρᾷ
τῇ ΒΓ ἴση· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΓΒΕ.
ἔστι δὲ καὶ τῆς ὑπὸ ΑΓ∠ διπλῆ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓ∠
τῇ ὑπὸ ΓΒΕ.
45. Τουτέστι τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ p. 226, 19] τὸ γὰρ αὐτὸ τμῆμα ὑποτείνει αὐτὰς τὸ Α∠.
46. Καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστι p. 228, 1] ἴση γὰρ ἡ
ὑπὸ ΓΑΒ τῇ ὑπὸ Γ∠Β, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒ∠ τῇ
ὑπὸ ΑΕΒ ἴση διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΓΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΕΒ
ἴσην, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΓΒ τῇ ΓΕ ἴση, ἴση δὲ ἡ ὑπὸ
47. Τῆς γὰρ ὑπὸ ΖΓΒ γωνίας ἴσης οὔσης τῇ ὑπὸ ΓΒΕ συνάγεται ὅλη ἡ ὑπὸ ΖΒΕ ἴση δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΖΒΓ, ΖΓΒ, τουτέστι τῇ ὑπὸ ∠ΖΒ.
48. Ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓΒ p.228, 4] πάλιν δ μεγέθη γίνεται ἀνάλογον, τὰ ΑΓΒ, ΑΒ, Β∠, ∠Ζ.
49. Καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ p. 230, 3] ἐπεὶ γὰρ
ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον, αἱ ἄρα ἀπ-
εναντίον αἱ ὑπὸ ΑΒ∠, ∠ΓΑ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι
εἰσίν. ἀλλὰ καὶ αἰ ὑπὸ ∠ΓΑ, ∠ΓΖ δυσὶν ὀρθαῖς
ἴσαι εἰσίν. κοινῆς ἀφαιρουμένης τῆς ∠ΓΑ ἡ ὑπὸ
ΑΒ∠ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ ἐστιν ἴση.
50. Καὶ ὁμοίως τῷ πρότερον δείξομεν p. 230, 18]
ἐπειδὴ γάρ, ὡς εἴρηται ἐν τῇ κατασκευῇ τοῦ qγ΄ θεω-
ρήματος, τῆς Α γωνίας δίχα τμηθείσης καὶ τῶν τῆς
βάσεως τμημάτων τὸν αὐτὸν ἐχόντων λόγον ταῖς πλευ-
ραῖς συνήγετο, ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν
ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα
τὰ ἑπόμενα, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως συν-
αμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ· ἀλλʼ ἐπεὶ ἰσογώνιον τὸ
ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΓΕ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ
καὶ τρίτης, τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ, Γ∠· δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν
ΒΓ, Γ∠· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΓ, Γ∠ διὰ τὸ πη΄·
ἡ μὲν γὰρ Β∠ ἀπολαμβάνει τμῆμα τὸ ΒΑΓ∠ ἔχον
δεδομένην γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΑ∠, ἡ δὲ Γ∠ τὸ
τμῆμα ἔχον δοθεῖσαν γωνίαν τὴν ὑπὸ ∠ΑΓ· δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς Ε∠.