Text encoded in accordance with the latest EpiDoc standards
Πᾶς κύκλος ἴσος ἐστὶ τριγώνῳ ὀρθογωνίῳ, οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μιᾷ τῶν περὶ τὴν ὀρθήν, ἡ δὲ περίμετρος τῇ βάσει.
Ἐχέτω ὁ ΑΒΓ△ κύκλος τριγώνῳ τῷ Ε, ὡς ὑπόκειται· λέγω ὅτι ἴσος ἐστίν.
Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω μείζων ὁ κύκλος, καὶ ἐγγεγράφθω
τὸ ΑΓ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ περιφέρειαι δίχα,
καὶ ἔστω τὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ
ὑπερέχει ὁ κύκλος τοῦ τριγώνου· τὸ εὐθύγραμμον ἄρα
ἔτι τοῦ τριγώνου ἐστὶ μεῖζον. Εἰλήφθω κέντρον τὸ Ν καὶ
κάθετος ἡ ΝΞ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ΝΞ τῆς τοῦ τριγώνου
πλευρᾶς. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ περίμετρος τοῦ εὐθυγράμμου τῆς
Ἔστω δὲ ὁ κύκλος, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων τοῦ Ε τριγώνου,
καὶ περιγεγράφθω τὸ τετράγωνον, καὶ τετμήσθωσαν αἱ
περιφέρειαι δίχα, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν
σημείων· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆς ΜΡ ἐστὶν
μείζων· ἡ γὰρ ΡΜ τῇ ΡΑ ἴση ἐστί· καὶ τὸ ΡΟΠ τρίγωνον
ἄρα τοῦ ΟΖΑΜ σχήματος μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ. Λελείφθωσαν
οἱ τῷ ΠΖΑ τομεῖ ὅμοιοι ἐλάσσους τῆς ὑπεροχῆς,
ᾗ ὑπερέχει τὸ Ε τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου· ἔτι ἄρα τὸ περιγεγραμμένον
εὐθύγραμμον τοῦ Ε ἐστὶν ἔλασσον· ὅπερ
ἄτοπον· ἔστιν γὰρ μεῖζον, ὅτι ἡ μὲν ΝΑ ἴση ἐστὶ τῇ
καθέτῳ τοῦ τριγώνου, ἡ δὲ περίμετρος μείζων ἐστὶ τῆς
βάσεως τοῦ τριγώνου. Ἴσος ἄρα ὁ κύκλος τῷ Ε τριγώνῳ.
Ὁ κύκλος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον λόγον ἔχει, ὃν ῑᾱ πρὸς ῑδ.
Ἔστω κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω
τετράγωνον τὸ ΓΗ, καὶ τῆς Γ△ διπλῆ ἡ △Ε, ἕβδομον δὲ ἡ
ΕΖ τῆς Γ△. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει,
ὃν κᾱ πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὸ ΑΕΖ τὸ ΑΓ△ λόγον ἔχει, ὃν ἑπτὰ
ἐπεὶ ἡ μὲν ΑΓ
κάθετος ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ βάσις τῆς διαμέτρου
·
ὁ κύκλος οὖν πρὸς τὸ ΓΗ τετράγωνον λόγον ἔχει,
ὃν ῑᾱ πρὸς ιδ.
τριπλασίων καὶ τῷ ζ΄ ἔγγιστα ὑπερέχουσα δειχθήσεται
Παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων
ἐστὶ καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει τῆς
διαμέτρου, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις.
Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ Ε καὶ
ἡ ΓΛΖ ἐφαπτομένη καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου ὀρθῆς· ἡ ΕΖ
ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τς τρὸς ρνγ, ἡ δὲ ΕΓ πρὸς
τὴν ΓΖ λόγον ἔχει, ὃν σξε πρὸς ρνγ, Τετμήσθω οὖν ἡ
ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ
καὶ ἐναλλὰξ καὶ συνθέντι. Ὡς ἄρα συναμφότερος
ἡ ΖΕ. ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ· ὥστε ἡ ΓΕ πρὸς
ΓΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοα πρὸς ρνγ. Ἡ ΕΗ ἄρα
πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μ θυν πρὸς Μ γυθ·
μήκει ἄρα, ὃν φU+A7FCα η΄ πρὸς ρνγ. Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ
τῇ ΕΘ· διὰ τὰ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον
ἔχει ἢ ὃν αρξβ η΄πρὸς ρνγ· ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα
λόγον ἔχει ἢ ὃν αροβ η΄ πρὸς ρνγ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ
τῇ ΕΚ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἐχει ἢ ὃν βτλδ
δ᾿ πρὸς ρνγ· ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα ἢ ὃν βτλθ δ᾿ πρὸς
ρνγ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΛΕ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΛΓ
μείζονα μήκει λόγον ἔχει ἤπερ τὰ δχογ U+2220΄ πρὸς ρνγ.
Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτου οὖσα ὀρθῆς τέτμηται τετράκις
δίχα, ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ὀρθῆς ἐστι μη΄. Κείσθω οὖν αὐτῇ ἴση
πρὸς τῷ Ε ἡ ὑπὸ ΓΕΜ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ ὀρθῆς ἐστι κδ΄.
Καὶ ἡ ΛΜ ἄρα εὐθεῖα τοῦ περὶ τὸν κύκλον ἐστὶ πολυγώνου
πλευρὰ πλευρὰς ἔχοντος (??)ς. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς τὴν
καὶ ὑπερέχουσιν χξζ U+2220΄, ἅπερ τῶν δχογ U+2220΄ ἐλάττονά
ἐστιν ἢ τὸ ἕβδομον· ὥστε τὸ πολύγωνον τὸ περὶ τὸν
κύκλον τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλάσιον καὶ ἐλάττονι ἢ τῷ
ἑβδόμῳ μέρει μεῖζον· ἡ τοῦ κύκλου ἄρα περίμετρος πολὺ
μᾶλλον ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τριπλασίων καὶ ἑβδόμῳ μέρει
μείζων.
Ἔστω κύκλος καὶ διάμετρος ἡ ΑΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΓ
τρίτου ὀρθῆς· ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει
ἢ ὃν αταν πρὸς ψπ ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ὃν αφξ πρὸς ψπ.
Δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΗ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ
τῇ ὑπὸ ΗΓΒ, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ τῇ
ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση. Καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή·
καὶ τρίτη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ τρίτῃ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἴση. Ἰσογώνιον
ἄρα τὸ ΑΗΓ τῷ ΓΗΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς
ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. Ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ
πρὸς ΓΖ, καὶ συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς
συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ. Διὰ
τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει
ἤπερ βϡια πρὸς ψπ, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἐλάσσονα ἢ
ὃν γιγ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ. Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ· ἡ ΑΘ
ἄρα διὰ τὰ αὐτὰ πρὸς τὴν ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν
εϡκδ U+2220΄ δ΄ πρὸς ψπ ἢ ὃν αωκγ πρὸς σμ· ἑκατέρα γὰρ
ἑκατέρας δ ιγ΄· ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΘ ἢ ὃν αωλη θ ια΄
πρὸς σμ. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ΚΑ· καὶ ὁ ΑΚ πρὸς
τὴν ΚΓ ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἢ ὃν αζ πρὸς ξς·
ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ια μ΄. Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΚΓ ἢ
ὃν αθ ϛ΄ πρὸς ξς. Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ τῇ ΛΑ· ἡ ΑΛ ἄρα
πρὸς τὴν ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ βις ϛ΄ πρὸς
ξς, ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα ἢ τὰ βιζ δ΄ πρὸς ξς.
Ἀνάπαλιν ἄρα ἡ περίμετρος τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν
διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ςτλς πρὸς βιζ δ΄. ἅπερ
τῶν βιζ δ΄ μείζονά ἐστιν ἢ τριπλασίονα καὶ δέκα οα΄· καὶ
ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ (??)ςγώνου τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τῆς
διαμέτρου τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄· ὥστε καὶ
ὁ κύκλος ἔτι μᾶλλον τριπλασίων ἐστὶ καὶ μείζων ἢ ι οα΄.
Ἡ ἄρα τοῦ κύκλου περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλασίων
ἐστὶ καὶ ἐλάσσονι μὲν ἢ ἑβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ ι οα΄
μείζων.