θ. | Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου, ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α∠. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒ∠ μονάδων κ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδος α, καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ξγ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἔσται μονάδων ϛτ. τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτόν· ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ Α∠ ἄρα ἐφʼ ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτὸ μονάδων αφοε· ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου. 2 〈τῆς〉 addidi 18—19 [ἐφʼ ἑαυτὸν]: delevit man. 2 25 ἥμισυ: in ἡμίσεος mutavit et 〈πλευρὰ〉 add. m. 2 perperam 28 λαβόντα ex λαβεῖν τα fec. m. 1 τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζU+2220δ΄ η΄ ιϛ΄. δεήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· ἔστι δὲ λθU+2220η΄ ιϛ΄.

ι. Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὰς fol. 72v ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίας, καὶ ἔστω ἡ | μὲν Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν Γ∠. τετμήσθω δίχα ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΗΓ. κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Α∠ ΒΗ· συναμφότερος συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση ἐστίν. δοθεῖσα δέ ἐστιν συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ. ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα αὐτῶν· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ, τουτέστι δύο αἱ ΒΗ καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ∠Ε τρίγωνον τῷ ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕ∠ πεντάπλευρον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ ἴσον ἐστι. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἡ δὲ Γ∠ εὑρεθήσεται οὕτως· ἤχθω κάθετος ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ Α∠, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Θ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΑΒ· καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Γ∠. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· σύνθες τὰ ϛ καὶ τὰ ια· γίγνεται ιζ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ηU+2220. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρβ· τοσούτου ἄρα τὸ ἐμβαδόν. ἡ δὲ ∠Γ οὕτως· ὕφελε ἀπὸ τῶν ια τὰ ϛ· καὶ γίγνεται λοιπὰ ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται κε· καὶ τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται ρμδ. πρόσθες τὰ κε· γίγνεται ρξθ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιγ· τοσούτων ἔσται ἡ ∠Γ.

ια. | Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ∠ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α∠ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΕ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν, ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονάδων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ, Γ∠ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν αἱ ΚΗΛ, ΜΘΝ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγωνον τῷ ΒΗΛ, τὸ δὲ ∠ΜΘ τῷ ΓΝΘ ὥστε κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘ∠ ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ∠Μ τῇ ΓΝ, αἱ ἄρα ΑΚ ∠Μ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προστεθεισῶν τῶν Α∠ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ, τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση. καὶ ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ· ἐστι γὰρ μονάδων κβ· ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ· αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ μονάδων ια. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ· ἴση γάρ ἐστι τῇ Α Ζ· τὸ ἄρα ΚΛΝΜ παραλληλόγραμμον ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ τραπέζιον μονάδων ρλβ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ· γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται κε· καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ· ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· σύνθες τὰ ιϛ καὶ fol. 73v τὰ ϛ· γί|νονται κβ· ὧν ἥμισυ· γίγνονται ια· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίγνεται ρλβ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ιβ. Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ· ἡ 2 ΓΗΘ: correxi 3 προστιθέντος: correxi 7 ΚΜΛΗ correxi 10 sq. spatium 8 litterarum; supplevi 12 lacuna 9 litterarum; supplevi 21 〈ταῦτα〉 m. 2. δὲ ΓΕ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων κα· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΕ ὀξυγώνιον τρίγωνον εἶναι ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος μονάδων ιβ. δίχα δὴ τμηθεισῶν τῶν ΑΒ Γ ∠ τοῖς Η, Θ καὶ καθέτων ἀχθεισῶν τῶν ΚΗΛ ΜΘΝ ὁμοίως τῷ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν ΑΒΓ ∠ τραπέζιον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΛΜΝ παραλληλογράμμῳ, συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ Α ∠ διπλῆ ἐστι τῆς ΚΜ· καὶ ἔσται ἡ ΚΜ μονάδων ιϛU+2220· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΖ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρη. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν κζ τὰ ϛ· λοιπὰ γίγνεται κα. καὶ τριγώνου ὀξυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω ἡ ΑΖ κάθετος· ἔστιν δὲ μονάδων ιβ, ὡς ἐμάθομεν· καὶ σύνθες κζ καὶ ϛ· γίγνεται τὸ ἥμισυ ιϛU+2220· ταῦτα ἐπὶ ιβ· γίγνεται ρ𝔮η. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ιγ. Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ κ, ἠ δὲ ΑΓ ϛ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΖ· ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ Ζ∠ μονάδων ϛ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ. καὶ ὁμοίως τοῖς ἐπάνω δειχθήσεται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Β∠ΑΓ καὶ τῆς ΑΕ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρλη. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιζ τὰ ϛ· λοιπὰ ια· καὶ τριγώνου ἀμβλυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ, ια, κ εὑρήσθω ἡ κάθετος· γίγνεται ιβ· καὶ σύνθες τὰ ιζ καὶ ϛ· γίγνεται κγ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιαU+2220· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρλη· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου.

ιδ· Ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγωνίων fol. 74v |ἢ ἀμβλυγωνίων, καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετράπλευρα μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ παράλληλον εἶχε· τὸ δὲ παρὸν τὸ Α ΒΓ∠ τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν ἐχέτω ὀρθὴν, μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλληλο ν καὶ ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ Β Γ μονάδων ι, τὴν δὲ Γ∠ μονάδων κ, τὴν δὲ ∠Α μονάδων ιζ· δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐπεζεύχθω ἡ Β∠· καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΑΕ. ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ ∠Γ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον· καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἔσται δοθέν· ἔστι γὰρ μονάδων φ· ἀλλὰ καὶ 2 διπλάσιον τὸ: corr. m. 2 5 τρίγωνον: corr. m. 2 10 in mg. numerus capitis non adscriptus 14—15 ὀξυγώνων: correxi 15 spatium 12 litterarum; supplevit m. 2 16 spatium 12 litterarum; supplevi. 〈ἕκαστον〉 perperam m. 2 17 spatium 17 litterarum; supplevit m. 2 18 spatium 13 litterarum; supplevit m. 2 τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέν· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ Β∠· καὶ ἔστι μείζονα τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὐπὸ ΑΒ∠· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ Β∠ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ μείζονά ἐστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ. δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ· ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ∠ΒΒΕ δοθέν ἐστι· καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ∠Β ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ Β∠· δοθὲν ἄρα κα τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕΑ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Β∠· καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ τὸ ὑπὸ Β∠ ΑΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ Β∠ ΑΕ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον· ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓ∠· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον δοθὲν ἔσται. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ κ· γίγνεται σ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρ. καὶ πάλιν τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά· 7 τῶ δὶς: corr. man. 2 13 ΒΕΑ: del. Β et τῆς supraripsit ripsit m. 2. γίγνεται υ. σύνθες· γίγνεται φ. καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· fol. 75r γίγνεται ρξθ. ταῦτα μετὰ τῶν φ γίγνεται χξθ· ἄφελε | τὰ ιζ ἐφʼ ἑαυτά· λοιπαὶ τπ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρ𝔮· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται μ ϛρ. ταῦτα παρὰ τὸν φ· γίγνεται οβ έ· ἄφελε ταῦτα ἀπὸ τῶν ρξθ· γίγνονται λοιπαὶ 𝔮ϛU+2220ε΄ι΄. ταῦτα ἐπὶ τὸν φ· γίγνεται μ ηυ. τούτων πλευρὰ γίγνεται σκ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρι· τοσούτου ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τὸ ἐμβαδόν. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ μονάδων ρ· τοῦ ἄρα ΑΒΓ∠ τετραπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται σι. ἔστιν ὅτι δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν, δείξομεν ἑξῆς.

ιε. Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ∠ δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ∠ γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν Β∠ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β∠ καὶ ἡ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ, Α∠ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ∠ τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 5 〈ρ〉 im rasura scripsit man. 2 6 ἐπὶ τῶν: correxi spatium 6 litterarum: supplevi 8 ΑΒΓ: corr. et τριγώνου add. m. 2 10 spatium 4 litterarum: supplevit m. 2 [ἔστιν] delevi 〈σι〉 suprascr. m. 2 spatium 4 litterarum: supplevit m. 2 ΒΘΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΕ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε, Η. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν. συντεθήσεται fol. 75v δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· | ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ ∠Α μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ κάθετος δυνάμει 𝔮ϛU+2220έί, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ έ, ἡ δὲ Β∠ δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Γ∠ ἐστὶ μονάδων κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ πρὸς ρ, τὰ 𝔮ϛ δ πρὸς τί· ἔσται πρὸς κδέ· τοσούτου ἔσται τὸ ἀπὸ ΕΘ. καὶ πολλα πλασιάσαντες τὰ οβ έ ἐπὶ τὰ κδ έ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΕ ΕΘ προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ, ΕΘ, τουτέστι τοῖς οβ έ καὶ κδ έ συντεθεῖσιν. καὶ ἕξομεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ. καὶ σύνθες τὰ 𝔮ϛ U+2220 έ ί καὶ κδ έ· γίγνεται ρκα. καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ τὰ κδ έ· γίγνεται δυνάμει δτνϛ. μέρισον εἰς τὸν ρκα· γίγνεται λϛ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ· ἔστι δὲ ι· γίγνεται ιε· τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν ΕΘ δυνάμει κδέ, ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ, ἡ δὲ ΑΘ μήκει ια.

ιζ. Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ Α∠. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς Β∠, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ Β∠. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Β. τοῦ δὲ ἀπὸ ∠Β τετραπλάσιόν 11 ὡς τὸ: corr. man. 2 ἐστι τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἐπίτριτον ἄρα ἔσται τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠ λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, καὶ πάντα ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΙ, τουτέστιν τό τε ἀπὸ ΒΓ ἐφʼ ἑαυτὸ καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ fol. 77r ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ | δυνάμεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ιβ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τὸ ὑπὸ Α∠ ΒΓ ἐστὶν ἐφʼ ἑαυτό, τουτέστι δύο τρίγωνα ἐφʼ ἑαυτά. ἡ ἄρα ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς δύο τρίγωνα ἐφʼ ἑαυτὰ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς ιβ δύο δὲ τρίγωνα ἐφ᾿ ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό ἐστιν τετραπλάσια. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφʼ ἑαυτὸ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς γ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό· ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται μ· τούτων λαβὲ γ. γίγνεται αωοε. τούτων πλευρὰν λαβέ· καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν, εἰλήφθω ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου. καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν μγ γ΄.

ιη. Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε. οὗ ἐκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζ∠ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ∠ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ᾿  ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν· ἔστι δὲ ὁ πα πρὸς ιϛ. συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ, ὃν θ πρὸς δ. καὶ διελόντι ὁ ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει ὃν ε πρὸς δ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν κε πρὸς ιϛ. καὶ λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν θ πρὸς ιϛ· τῆς ἄρα ΓΗ πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν γ πρὸς δ· ὥστε τῆς Γ∠ πρὸς ΖΞ λόγος ἐστὶν, ὃν ϛ πρὸς δ, τουτέστιν ὃν γ πρὸς β· τὸ ἄρα ἀπὸ Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν γ πρὸς β. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ∠ ΖΗ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ ΑΒΓ∠Ε πενταγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ιε ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. τούτων τὸ τρίτον· γίνεται λγ γ΄. ταῦτα πεντάκις· fol. 78r γίγνεται ρξϛ β. τοσού | του ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου ὡς ἔγγιστα· ἐὰν δὲ ἕτερον τετράγωνον ἑτέρου τετραγώνου πενταπλάσιον μᾶλλον ἐγγίζον λάβωμεν, ἀκριβέστερον εὑρήσομεν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.

ιθ. Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, Η∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ, Η∠· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίνεται ρ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνονται μ. τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται βφ. ταῦτα εἰκοσάκι καὶ ἑπτάκι· γίγνεται μ ζφ. τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα· γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου.

Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃν η πρὸς ζ. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ. τουτέστιν ἴση τῇ fol. 78v ἐκ τοῦ κέν|τρου τοῦ κύκλου· καὶ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ Α∠. ἔσται ἄρα ἡ Α∠ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠, ΑΓ· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β. λόγος ἄρα τῆς Α∠ πρὸς ∠Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃν τοῦ μθ πρὸς ιϛ· καὶ μήκει λόγος τῆς Α∠ πρὸς ∠Β, ὃν ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς Β∠ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς ∠Α λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.

κ. Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς Θ∠ πρὸς ∠Ε, ὃν η πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὴν ∠Κ, ὃν η πρὸς γU+2220, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ζ. ὥστε τῆς ΘΕΚ πρὸς Κ∠ λόγος ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν ιδ γ΄ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα. 5 μ βφ: corr. m. 3 9 ὁ η: correxi 17 ὃν: correxi 27 [Ε] del. m. 1 (?) ὥστε καὶ τῆς ∠Ε πρὸς ΚΘ λόγος, ὃν μβ πρὸς μγ, τουτέστιν ὃν πδ πρὸς πϛ. καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε ΚΘ λόγος ὁ αὐτός· ὥστε τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ∠ΘΕ τρίγωνον λόγος, ὃν πδ πρὸς μγ. τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α πρὸς ζ· καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ πρὸς μγ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ∠Ε δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑπτάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ· γίγνεται δτ. τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται τνη γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.

κα. | Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ∠, ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ. ἡ ἄρα ὑπὸ ∠ΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε τετάρτου ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ∠ΚΛ. συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ Κ∠Μ· τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ∠Μ· ἡμίσους ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Λ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Λ τῇ ΜΛ. διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Μ τοῦ ἀπὸ ΜΛ· ἡ ἄρα ∠Μ πρὸς ΜΛ λόγον ἔχει ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ιβ. ἴση δέ ἐστιν ἡ 1 ΜΒ: Β in rasura m. 2 (?) 4 inserui 17 ἑξῆς ἡ κα- ταγραφή in marg. inf. m. 1 ὃν ιβ πρὸς ιζ. πρὸς ἄρα τὸ ἐννάγωνον λόγον ἔχει, ὃν ιβ πρὸς οϛU+2220, τουτέστιν ὃν κδ πρὸς ρνγ, τουτέστιν ὃν η πρὸς να. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐννάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ να· γίγνεται ερ. τούτων τὸ η΄· γίγνεται χλζU+2220. τοσούτου ἔσται τοῦ ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδόν.

κγ. Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαναἱ ΜΕ, ΜΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ. fol. 80r | ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΜΝ πέμπτου ἐστὶν ὀρθῆς. συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ· δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΝΞΕ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ· λόγος ἄρα τῆς ΕΞ πρὸς ΝΞ, ὃν ε πρὸς δ, πρὸς δὲ τὴν ΕΝ, ὃν ε πρὸς 1 ἐνάγωνον: correxi 4 ἐνάγωνον (sic) m. 1 19 ΘΙΚ: sed Ι del. m. 1 γ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΞ τῇ ΞΜ, ἡ δὲ ΕΝ τῇ ΝΖ· ἔσται ἄρα λόγος τῆς ΕΖ πρὸς ΜΝ, ὃν ϛ πρὸς θ, τουτέστιν ὃν β πρὸς γ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἂρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΜΝ, ὃν β πρὸς γ· ὥστε πρὸς τὸ ΕΖΜ τρίγωνον, ὃν β πρὸς αU+2220· ὥστε πρὸς τὸ δεκάγωνον λόγον ἔχει, ὃν β πρὸς ιε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δεκάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε· γίγνεται αφ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ψν· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.

κδ. Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΗ. τὸ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέκατα τοῦ ἑνδεκαγώνου ἐστὶν. δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι λόγος τῆς ΖΞ πρὸς ΖΗ ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν κε πρὸς ζ, ὁ δὲ τῆς πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν κδ πρὸς ζ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΞ τρίγωνον λόγος ὁ τῶν μθ πρὸς πδ, τουτέστιν ὁ τῶν fol. 80v ζ πρὸς ιβ. τοῦ δὲ τριγώνου | πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγος, ὃν β πρὸς ια· ὥστε πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὃν ζ πρὸς ξϛ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑνδεκάγωνον. συντεθήσεται δὴ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϛ· γίγνεται ϛχ. τούτων τὸ ἕβδομον· γίγνεται Ϡ μβ ϛ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου.

κϛ. Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει c. 2 t. Ι p. 262 Heib.) δείκνυσιν, ὅτι ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίγνεται ὡς ἔγγιστα ιδ κύκλοις· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ι, δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιῆσαι· γίγνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται αρ· ὧν τὸ ιδ΄. γίγνεται οηU+2220ιδ΄. τοσούτου δεῖ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὁ δὲ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ἐν τῷ περὶ πλινθίδων καὶ κυλίνδρων, ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα μὲν λόγον ἔχει ἢ ὃν ἔχει μ αωοε πρὸς μ ζυμα, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὃν ἔχειν μ ζωπη πρὸς μ βτνα· ἀλλʼ ἐπεὶ οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ πρὸς τὰς μετρήσεις οὐκ εὐθετοῦσι, καταβιβάζονται εἰς ἐλαἀριθμούς, ὡς τὸν κβ πρὸς τὰ ζ. ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ιδ καὶ βούληταί τις τὴν περίμετρον εὑρεῖν, δεῖ ποιῆσαι τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων λαβεῖν τὸ ἕβδομον, καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὴν περίμετρον· ἔστι δὲ μονάδων μδ. fol. 81v καὶ ἀνάπα |λιν δὲ, ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποιήσομεν τὰ μδ ἑπτάκις καὶ τῶν γενομένων τὸ κβ΄ λαβόντες ἕξομεν τὴν διάμετρον· ἔστι δὲ ιδ. δείκνυσι δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει (c. 1 t. I p. 259 Heib.), ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ, λαβόντες τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες ζ· πολλαπλασιάσομεν ἐπὶ τὰ μδ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ λαβόντες· εἰσὶ δὲ μονάδες ρνδ· τοσούτου ἀποφαινούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.

κζ. Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγράψομεν ταῦτα. ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια ἀλλήλων τὰ Α, Β, Γ, ∠ ἢ καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ μεγίστου τοῦ Α· λέγω ὅτι τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠· ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ Β, τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ τέτταρσι τοῖς Β. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β καὶ τῷ γ΄ τοῦ Β. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γ΄ τοῦ Β ἴσον ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γ΄ ἴσον ἐστὶ τῷ ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠. ὥστε τὸ γ΄ τοῦ Ἂ ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠.

κη. Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ Β∠ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Β∠, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ Α∠ τῆς ∠Ε, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ. 3 τὰ in τὸ mut. m. 2 ιδ ια: correxi 10 in mg. τὸ τριτημόριον τοῦ Α m. 1 καὶ: ἔτι supra scr. m. 2 11 τῷ γ΄: ριτημορίῳ supra scr. m. 2 14 τέταρσι: correxi fol. 82v ὥστε | καὶ τὸ ὑπὸ Η∠Ε τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΗΚΒ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ Η∠, ΚΒ, τουτέστιν ἢ ∠Β πρὸς ΒΚ. ἡ ἄρα ∠Β τῆς ΒΚ μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ∠Β τῆς ∠Κ, τουτέστι τῆς ΕΖ, ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος.

κθ. Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ∠Β καὶ δίχα αἱ ΑΒ, ΒΓ περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε, Ζ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ, παράλληλος δὲ τῇ Β∠ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ Κ∠. ἡ ἄρα Β∠ τῆς ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. τῆς δὲ ΗΚ ἔστι διπλῆ· ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλασίων· ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΘΗ, τὸ ΑΚΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλάσιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒ∠· ἔλαττον ἄρα ἢ τετραπλάσιον τὸ ΑΒ∠ τοῦ ΑΒΘ· τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου. πολλῷ ἄρα τὸ Α∠Β ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ∠ΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.

λ. | Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν. συντιθέντες 1 Η∠Β: sed ∠ in ras. m. 2 (?) 6 〈ἢ〉 add. m. 2 18 〈ἡ〉 add. m. 2 γὰρ αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον καὶ τούτων τὸ ἥμισυ λαμβάνοντες ἐπὶ τὴν κάθετον ἐποίουν καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος ἀπεφαίνοντο. δοκοῦσι δὲ οὗτοι ἠκολουθηκέναι τοῖς τὴν περίμετρον τοῦ κύκλου τριπλασίονα ὑπολαμβάνουσιν τῆς διαμέτρου. ἐὰν γὰρ ἡμικύκλιον κατὰ τὴν τοιαύτην ὑπόθεσιν μετρῶμεν, ἀκολουθήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου σύμφωνον τῇ εἰρημένῃ μεθόδῳ. οἷον ἔστω ἡμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ κάθετος ἡ Γ∠. καὶ ἔστω ἡ διάμετρος μονάδων ιβ. ἡ ἄρα Γ∠ μονάδων ϛ. οὐκοῦν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἔσται μονάδων λϛ. ἡ ἄρα τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων ιη. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ χωρίου, δεῖ τὰ ιη πολλαπλασιάσαντας ἐπὶ τὰ ϛ λαβεῖν τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες νδ. ὥστε τοῦ ἡμικυκλίου τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὴν εἰρημένην ὑπόθεσιν ἔσται μονάδων νδ. τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται κἂν συνθῇς τὰ ιβ καὶ τὰ ϛ, ἃ γίγνεται ιη. ὧν ἥμισυ λαβὼν ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου ποιήσεις· γίγνεται ὁμοίως νδ.

λα. Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ fol. 83v εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος | τὸ ιδ΄ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ, καθʼ ἣν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῷ ζ΄ μέρει μείζων· ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ, τὴν δὲ ∠Γ κάθετον ζ, ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ· ἐπὶ τὸν ζ· γίγνεται ρνδ. ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ. καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι. 2 τούτου: corr. m. 2 〈τοῦ〉 addidit m. 2 5 ταύτην: corr. m. 2 τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐὰν οὕτως ποιήσωμεν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· ὧν ἥμισυ γίγνεται ιU+2220· ἐπὶ τὰ ζ· γίγνεται ογU+2220. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως μονάδων μθ. τούτων καθόλου τὸ ιδ΄· γίγνεται γU+2220. ταῦτα πρόσθες τοῖς ογU+2220· γίγνεται οζ. ταύτῃ οὖν τῇ ἐφόδῳ χρήσασθαι δεῖ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων τοῦ ἡμικυκλίου τμημάτων· οὐ μέντοι ἐπὶ παντὸς τμήματος πάλιν καὶ αὕτη ἁρμόσει ἡ ἔφοδος, ἀλλʼ ὅταν ἡ βάσις τοῦ τμήματος μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ τῆς καθέτου· ἐπεί τοι, ἐὰν ἡ βάσις ᾖ μονάδων ξ, ἡ δὲ κάθετος α, ἔσται τὸ περιεχόμενον σχῆμα μονάδων ξ, ὃ δὴ μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος. τούτου δὲ μεῖζόν ἐστι τὸ ιδ΄ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως· ἔστι γὰρ μονάδων ξδ ιδ΄. ὥστε οὐκ ἐπὶ παντὸς τμήματος ἁρμόσει ἡ εἰρημένη ἔφοδος, ἀλλʼ, ὡς εἴρηται, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ τριπλῆ, τῇ ἑξῆς ἐφόδῳ χρησόμεθα.

λβ. Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος fol. 84r ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ | ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Β καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ. τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον,  1 συνθέντες: corr. Heiberg 4 τὰ ιδ΄: correxi 16 μεῖζον: correxi 23 ἐπίτριτος: corr. m. 2 28 τοῦ ΘΚ: correxi; τὸν m. 2 τὸ Η, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ, τὸ δὲ τοῦ Μ. καὶ τοῦτο γιγνέσθω, ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται τοῦ Κ. γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχοτομίας ἐπεζεύχθωσαν· τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια· τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν· τὰ ἄρα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ. ἔστω αὐτοῖς ἴσα τὰ ΛΝ. καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως. τὰ ἄρα προειρημένα, οἷς ἴσα ἐστὶ τὰ ΛΝ, τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονά ἢ τετραπλάσια, τὸ δὲ ΛΝ τοῦ Μ μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ὥστε τὰ ἔσχατα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ. ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων, τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γ΄τοῦ Μ, τὸ δὲ γ΄ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ. τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον. τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ 1 τὸ δὲ Η τοῦ Θ τετραπλάσιον, τὸ m. 2; 〈ἔστω δὴ τοῦ Θ τετραπλάσιον〉 Heiberg f. τὸ δὲ 〈Λ〉 9 ∠Ν: corr. m. 2 ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ· τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον· πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ fol. 84v τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τρι| γώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον. ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον προσθῶμεν, ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων· ἐὰν μέντοι τμῆμα ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος, τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ μέχρι τῆς βάσεως, καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον.

λδ. Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ. ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται (c. 5 t. l p. 312 Heib.) ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ ἐλλείψει, δεήσει τὰ ιϛ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα τοῦ ΑΒΓ: correxi 19 ante λδ η΄ delevit μν m. 1 20 γε: corr. m. 2 28 〈διάμετρον〉 κύκλου ἴσου coni. Heiberg τούτων λαβεῖν τὰ ια ιδ΄· ἔστι δὲ ρμϛU+2220· τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐλλείψεως.

λε. Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν βάσις ἐστὶ μονάδων ιβ, ὁ δὲ Β∠ ἄξων μονάδων ε. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. τῷ ἄρα ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΑΓ fol. 85v Β∠, | τουτέστι μονάδων λ. ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λ. τὸ ἄρα τῆς παραβολῆς ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων μ.

λϛ. Ἔστω κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μετρῆσαι χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῶν βάσεών ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ε. ἐὰν δὴ νοήσωμεν τετμημένην τὴν ἐπιφάνειαν κατά τινα πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου καὶ ἀνηπλωμένην, τουτέστιν ἐκτεταμένην εἰς ἐπίπεδον, ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ἔσται ἡ περιφέρεια τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ πλάτος τὸ τοῦ κυλίνδρου ὕψος. ἐπεὶ οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ ἄρα περιφέρεια ἔσται μονάδων μδ· τὸ ἄρα τοῦ παραλληλογράμμου μῆκος ἔσται μονάδων μδ. τὸ δὲ πλάτος μονάδων ε· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἔσται μονάδων σκ. τοσούτου δὲ καὶ ἡ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, τουτέστι μονάδων σκ, ὡς καὶ ὑποτέτακται.

λζ. | Κώνου δὲ ἰσοσκελοῦς τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν ἀκολούθως ἐκπετάσαντες αὐτήν· ἐὰν γὰρ νοήσωμεν ὁμοίως κατὰ πλευρὰν ἀνηπλωμένην καὶ εἰς ἐπίπεδον ἐκτεταμένην, ἔσται τις κύκλου τομεὺς ὥσπερ ὁ ΑΒΓ∠ ἔχων τὴν μὲν ΑΒ πλευρὰν ἴσην τῇ πλευρᾷ τοῦ κώνου, τὴν δὲ ΒΓ περιφέρειαν ἴσην τῇ περιφερείᾳ τῆς βάσεως τοῦ κώνου. ἐὰν οὖν πάλιν δοθῇ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κώνου μονάδων ιδ, ἡ δὲ πλευρὰ μονάδων ι, ἔσται ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια μονάδων μδ, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι. δέδεικται δὲ Ἀρχιμήδει ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει, ὅτι πᾶς τομεὺς ἥμισύς ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ τομέως περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, οὗ ἔστιν ὁ τομεύς· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἐστὶ μονάδων υπ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τομέως ἔσται μονάδων σκ.

λη. Τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ὁ αὐτὸς ἐμέτρησεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 23 t. l p. 136 Heib.) ἀποδείξας τετραπλασίονα οὖσαν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ· ὥστε ἐὰβ δοθῇ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας μονάδων ιδ, δεῖ εὑρεῖν κύκλον τετραπλασίονα τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρός ἐστι μονάδων ιδ. εἰ δὲ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου ἐστὶ τετραπλάσιος, ἡ ἄρα διάμετρος τῆς διαμέτρου ἐστὶ διπλασία, ἐπείπερ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τῶν κύκλων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. τὰ ιδ δίς· γίγνεται κη. τὸ fol. 86v δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρος κη, | ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χιϛ. ὥστε καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται μονάδων χιϛ. ἢ καὶ ἄλλως· ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶν ἐπιφανείᾳ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, τὸ δὲ ὕψος ἴσον· ὥστε δεήσει ἐπιφάνειαν κυλίνδρου μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος ὁμοίως ιδ. ὡς οὖν προεδείχθη, ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐστι μονάδων χιϛ· τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

λθ. Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα σφαίρας, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ, τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ μονάδων ΚΛ, ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ. ἡ δὲ ΖΕ μονάδων ε· ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν. ἀπέδειξεν δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (I c. 42sq. t. l p. 176 Heib.) ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ τμήματος· ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· καὶ ἔστι μονάδων ιγ. ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ εἰρημένου κύκλου ἐστὶ μονάδων κϛ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν, ὡς προείρηται, ἔσται μονάδων φλα ζ΄. τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν, αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι, ἀναγκαῖον δὲ ὡς fol. 87r οἶμαι πρὸς τὰς | ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας, ὡς δέον αὐτὰς μετρεῖσθαι. εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν, ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει, δεήσει ἐπʼ αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀποᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ σχῆμα γραμμῆς, καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς τρίγωνα καταδιαιροῦντα. εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ ἐπιφάνεια, ἀλλʼ ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς τοιούτου, δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ, ἄχρι ἂν περιειληθῇ, εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σινδόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου γραμμῆς, ὡς προείρηται, καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐπιφανείας. εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν, μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρημένων· καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι.

β. Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος μονάδων η. ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον. νενοήσθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ· ἐπεὶ οὖν οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ. τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ στερεόν ἐστιν δοθέν· τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως· καὶ ἔστι μονάδων χκη δ. καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου ἔσται.

γ. | Ἔστω δὴ στερεὸν παραλληλεπίπεδον μετρῆσαι τὸ ὕψος ἔχον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. ἔστω δὲ λόγου ἕνεκεν ἡ μὲν βάσις αὐτοῦ ἑξάγωνος, ἰσόπλευρος καὶ ἰσογώνιος ἡ ΑΒΓ∠ΕΖ, ἡ δὲ ΑΒ πλευρὰ μονάδων ι, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ἐφέδρας κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον ἔστω μονάδων η· ἡ δὲ ἐφέδρα αὐτοῦ ἔσται ἡ ΗΘΚ ΛΜΝ. καὶ ἀπὸ τῆς ΗΘ ΚΛ ΜΝ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον αἱ ΗΞ ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΟ ΟΠ ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΞΟΠΡΣΤ ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν, ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜΝ στερεὸν τῷ ΞΟΠΡΣΤΗ ΘΚΛΜΝ στερεῷ. δοθὲν δὲ τὸ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚ ΚΛΜΝ. 17—18 supplevi δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΚ ΛΜΝ. ὥστε δεήσει λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξαγώνου πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον, τουτέστι τὰς η μονάδας, καὶ τοσούτου τὸ στερεὸν ἀποφήνασθαι. καὶ οἵαν δʼ ἂν ἔχῃ βάσιν τὸ στερεὸν, ὡσαύτως μετρεῖται.

δ. | Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα. καὶ. ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ι, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων η, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ κορυφῆς κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἐπίπεδον ἔστω μονάδων ε· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τοῦ πρίσματος. συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖΗ ποίσματος. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· μένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.

ϛ. Ἔστω δὴ πυραμίδα κόλουρον μετρῆσαι τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν· ἔσται δὴ καὶ ἡ κορυφὴ αὐτῆς τρίγωνος ὁμοία τῇ βάσει. ἔστω οὖν ἡ μὲν βάσις αὐτῆς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ, ἡ δὲ κορυφὴ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ. ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιη, ἡ δὲ ΒΓ κδ, ἡ δὲ ΑΓ λϛ, ἡ δὲ ∠Ε ιμ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΕΖ ιϛ, ἡ δὲ ∠Ζ κδ. ἔστω δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν μονάδων ι. κείσθω τῇ μὲν ∠Ε ἴση ἡ ΑΗ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ, καὶ τετμήσθωσν δίχα αἱ ΒΘ ΒΗ τοῖς Κ, Λ σημείοις, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τρίγωνα, ὡς ἔστιν ἡ ΑΒ πρὸς ∠Ε, τουτεστι πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, τουτέστι πρὸς ΓΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΚΒ καὶ παράλληλοι αἱ ΚΝΜ ΒΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΗ τῇ ΝΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΛ τῇ ΛΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΛΝΞ τῇ ΑΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ, τουτέστι τῇ ΑΓ. παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καὶ ἴσα ἐστίν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΗΚ ΛΝ τῷ ΝΚΛΘ ἴσον ἐστί. λοιπὸν τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον τῶ τῷ ΝΘΓΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΝΞ fol. 90v τῇ ∠Ε, ἡ δὲ ΓΘ, τουτέστιν ἡ ΜΝ, τῇ ΕΖ | καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΞΜ τῇ ∠Ζ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΞ ΜΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΞ τῇ ΜΓ. συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΑΓ ΜΞ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ∠Ζ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΓΞ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΚΗ, συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΑ ΗΑ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ∠Ε, ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΞΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ ΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος σύγκειται ἔκ τε τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον, κορυφὴν δὲ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν, καὶ τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΘΓ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα, καὶ ἑτέρου πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἔτι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον· ἀλλὰ τῶν μὲν πρισμάτων, ὧν βάσις ἐστὶ τὰ ΑΗΝΞ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμα, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῇ πυραμίδι τὸ στερεόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΝΜΘΓ παραλληλογράμμου ἐπὶ τὴν κάθετον, τοῦ δὲ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, τὸ στερεόν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον ἐπὶ τὴν κάθετον, τῆς δὲ πυραμίδος, ἧς βάσις ἐστὶ τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον, τὸ στερεόν ἐστι τὸ τρίτον τοῦ τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν κάθετον, τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἓν καὶ τρίτον ἐστὶ τοῦ ΛΝΘ διὰ τὸ ἴσα εἶναι , τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΛΝΘ τριγώνου τὸ δωδέκατόν ἐστι τοῦ ΒΗΘ τριγώνου· ὥστε τῆς κολούρου πυραμίδος τὸ στερεόν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΞΛΓ τριγώνου προσλαβὸν τὸ ιβʹ μέρος τοῦ ΒΗΘ τριγώνου καὶ πολλαπλασιασθὲν ἐπὶ τὴν κάθετον. καὶ ἔστιν ἡ κάθετος θεῖσα. δεῖξαι ἄρα δεῖ, ὅτι δοθέν ἐστι καὶ τὸ ΞΛΓ τρίγωνον καὶ τὸ ιβʹ τοῦ ΒΗΘ ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστι συναμφότερος ἡ ΑΒ ∠Ε καὶ ἐδείχθη αὐτῆς fol. 91r ἡμίσεια ἡ ΞΛ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΞΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΓ ΓΞ ἐστὶ δοθεῖσα· ὥστε δοθέν ἐστι τὸ ΞΛΓ τρίγωνον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΗ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΘ. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΜΞ, καὶ λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΞ ΜΓ δοθεῖσα, τουτέστιν ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΒ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὸ ιβʹ αὐτοῦ δοθὲν. συντεθήσεται δὲ οὕτως. σύνθες τὰ ιη καὶ τὰ ιβ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιε· καὶ τὰ κδ καὶ ιϛ· ὧν ἥμισυ γίγνεται κ. καὶ λϛ καὶ κδ· ὧν ἥμισυ γίγνεται λ. καὶ μέτρησον τρίγωνον, οὗ πλευραὶ ιε, κ, λ· γίγνεται, ὡς ἐμάθομεν, ἔγγιστα ρλα δ΄. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν ιη τὰ ιβ· λοιπὰ ϛ. καὶ ἀπὸ τῶν κδ τὰ ιϛ· λοιπὰ η. καὶ ἀπὸ τῶν λϛ τὰ κδ· λοιπὰ ιβ. καὶ μέτρησον τρίγωνον, οὗ πλευραὶ ϛ, η, ιβ· ἔσται ὁμοίως, ὡς ἐμάθομεν, κα ἔγγιστα· τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται αU+2220δʹ. πρόσθες ταῖς ρλα δʹ· γίγνονται ρλγ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ΑΒΓ∠ΕΖ κολούρου πυραμίδος.

ζ. Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων τριγώνους ἔχον βάσεις. ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, παράλληλον δὲ τῷ ΑΒΓ τὸυ ∠ΕΖ. ἐπίπεδα δὲ ἔστω τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΕΖ ΑΓ∠Ζ. καὶ δοθεῖσα ἑκάστη fol. 91v τῶν Α Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καὶ ἔτι ἡ ἀ|πὸ τοῦ ∠ΕΖ 1 tres litterae foramine evanidae; supplevi 19 αεδ΄: correxi 24 τρίγωνων correxi 26 〈δὲ〉 add. et τοῦ in τὸ ἐπιπέδου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΕΖ καὶ μείζων ἡ ΒΓ. αἱ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η. λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ Α∠ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται κατὰ τὸ Η. ὅτι μὲν οὖν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΓΖ συμπίπτει τῇ Α∠, φανερόν διὰ τὸ εἶναι τὴν μὲν ΑΒ μείζονα τῆς ∠Ε, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ∠Ζ. λέγω ὅτι κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ γὰρ Α∠ σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῶν ΑΒ ∠Ε ἐστὶν ἐπιπέδῳ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΓ ∠Ζ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α∠Η. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον καὶ ἐμβαλλέτω κατὰ τὸ Θ, τῷ δὲ ∠ΕΖ κατὰ τὸ Κ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘΖΚ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ. ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθεὶς· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΘ πρὸς ΗΚ δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ΘΚ πρὸς ΚΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἐπεὶ οὐν πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δέδοται ἥ τε βάσις καὶ ἡ ἀπὸ τῆ, κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἡ ΗΘ, δοθὲν ἄρα τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δοθέν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΓ∠Ε στερεὸν δοθέν ἐστι. συντεθήσεται δὴ οὕτως. δεῖ τὴν 4 τῶ H: correxi 5 ἐκβαλομένη; correx 12 τὸ δὲ correxi 13 ΓΘ〈ΖΚ〉: explevi intercapedinem ΘΚ ποιῆσαι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΕΖ προστεθείσης τῆς ΚΗ τὴν ΘΗ πρὸς ΗΚ. καὶ εὑρόντα ἑκατέραν τῶν καθέτων τῶν ΗΘ ΗΚ καθʼ ἑαυτὰς μετρῆσαι ἑκατέραν πυραμίδα, ἧς τε βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον καὶ ἧς βάσις τὸ ∠ΕΖ, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, καὶ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν ἀποφαίνεσθαι ἴσην εἶναι τῷ ζητουμένῳ fol. 92r στερεῷ. | καὶ καθόλου δὲ πᾶσα πυραμὶς κόλουρος βάσιν ἔχουσα οἱανδήποτε ὡσαύτως μετρεῖται· ἐκ γὰρ τοῦ λόγου, οὗ ἔχει μία πλευρὰ τῆς βάσεως πρὸς τὴν ὁμόλογον ἐν τῇ κορυφῇ οὖσαν, λέγω δὲ τῇ ἐφέδρᾳ, εὑρεθήσεται ἡ κορυφὴ τῆς πυραμίδος, ἧς τμῆμά ἐστιν ἡ κόλουρος, καὶ ἡ κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς ἐφέδρας ἐπίπεδον. ἔχοντες οὖν καὶ τὴν ἐπὶ τὴν ἐφέδραν καὶ τὸ λοιπὸν ἕξομεν στερεὸν τῆς ἀποτεμνομένης πυραμίδος· ὥστε πάλιν τὴν ὅλην μετρήσαντες πυραμίδα ἀφελοῦμεν τὴν ἀποτεμνομένην καὶ τὸ λοιπὸν ἀποφαινούμεθα στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος.

η. Ἔστω δὲ στερεὸν μετρῆσαι ὑπὸ εὐθυγράμμων περιεχόμενον ἐπιπέδων, οὗ βάσις ἔστω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιον τῷ ΑΒΓ∠ ἢ μή. καὶ κείσθω τῇ μὲν ΕΖ ἴση ἡ ΑΚ, τῇ δὲ ΖΘ ἡ ΒΛ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΒΚ ΓΛ δίχα τοῖς Φ, Χ καὶ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΥ, ΦΜ, ΛΝ, ΧΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ. τὸ δὴ εἰρημένον στερεὸν ἔσται κατατετμημένον εἴς τε στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΡ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΗ, καὶ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, 4 supplevi litt. evanidas 16 ἀποφαινούμεθα: correxi 21 οὖν post ἤτοι ins. m. 2 25 ΗΝ: Ν in ras. m. 2 28 ΕΝ: corr. m. 2 fol. 92v κορυφὴ δὲ ἡ ΖΗ εὐθεῖα, καὶ | ἕτερον πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δε ἡ ΗΘ εὐθεῖα, καὶ πυραμίδα, ἧς ἡ βάσις μὲν τὸ PΓ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον. ἀλλὰ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῶ, οὗ βάσις τὸ ΚΠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ τῷ στερεῷ, τὸ δὲ πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΝΥ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἴσον ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ, ἡ δὲ πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΡΓ παραλληλόγραμμον, ἴση ἐστὶ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις μὲν ἓν καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ· ὥστε τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεὸν ἴσον εἶναι στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ, οὗ βάσις τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ παραλληλογράμμου, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ ἐξ ἀρχῆς στερεῷ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ τρίτον τοῦ ΡΞ ἐπεὶ γὰρ ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΚ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἔστιν αὐτῶν ἡμίσεια ἡ ΑΦ, δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΦ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΦΞ δοθὲν ἄρα τὸ ΑΞ παραλληλόγραμμον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἡ ΒΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΦ, τουτέστιν ἡ ΡΠ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΞ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΞΡ παραλληλόγραμμον. ὥστε καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὕψος τοῦ στερεοῦ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς στερεόν. συντεθήσεται δὴ οὕτως ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἔστω γὰρ ἡ μὲη ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιβ, ἡ δὲ ΕΖ μονάδων 11 supplevi 12 ἴσον: correxi 13 sq. τὸ ΡΞ παραλληλόραμμον: correxi τὸν λόγον ἔχει ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛΜ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, ἐπειδήπερ καὶ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις τὸ ΘΛ παραλληλόγραμμον, ὕψος δὲ τὸ πρὸς τὸ ΖΗ, πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ βάσις ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ αὐτό, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει. διὰ τὰ αὐτὰ fol. 93v δὴ καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΝΞΟΠ τε |τράγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ στερεὸν, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΛ, κορυφὴ δὲ τὸ ΝΟ, πρὸς τὸν κόλουρον κῶνον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. δοθὲν δὲ τὸ ΘΛΝΟ στερεὸν, ὡς δέδεικται· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ κόλουρος κῶνος. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. σύνθες κ καὶ ιβ· ὧν τὸ ἥμισυ γίγνεται ιϛ. ἐφʼ ἑαυτὰ σνϛ, ἐπεί ἐστι τετράγωνος. καὶ ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· λοιπὰ η. ὧν ἥμισυ γίγνεται δ. ἐφʼ ἑαυτὰ ιϛ· τούτων τὸ γʹ· γίγνεται εγ΄. πρόσθες σνϛ· γίγνεται σξα γʹ· τούτων τὸ ια· γίγνεται σε γʹ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ι· γίγνεται βνγ γʹ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.

ι. Ἔστι δὲ καὶ ἄλλως τὸν κόλουρον κῶνον μετρῆσαι προδηλοτέρᾳ μὲν ἀποδείξει χρησάμενον, τῇ δὲ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς λήψει οὐκ εὐχερεστέρᾳ τῆς προγεγραμμένης. ἔστιν κῶνος κόλουρος, οὗ κέντρα τῶν βάσεων τὰ Α, Β, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. καὶ δοθεὶς ἔστω ὅ τε 6 correxi et supplevi 18 post ιϛ inseruit 〈ταῦτα〉 m. 2 f. τετράγωνον 19 supplevit m.2 ἄξων καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων. λέγω ὅτι καὶ τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου δοθέν ἐστιν. νενοήσθω γὰρ ἡ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Γ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ τοῖς Α, Β· καὶ ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον καὶ ποιείτω τομὴν ἐν μὲν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου fol. 94r κώνου τὸ Γ∠Ε τρίγωνον, | ἐν δὲ ταῖς βάσεσιν τὰς ∠Ε ΖΗ διαμέτρους. λόγος ἄρα τῆς ∠Ε πρὸς ΖH δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΖ, τουτέστι τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι τῆς ΒΑ πρὸς ΑΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΒ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ ὥστε καὶ ὅλη ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν, τουτέστιν ὁ ἄξων τοῦ ὅλου κώνου. δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ∠Ε διάμετρος τῆς βάσεως. δέδοται ἄρα καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὁ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος· κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, δοθείς ἐστι· καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ κόλουρος κῶνος δοθείς ἐστι. δεήσει ἄρα ποιῆσαι ὡς τὴν ∠Ε διάμετρον πρὸς τὴν ΖΗ, προστεθείσης τῇ ΑΒ τῆς ΑΓ τὴν ΒΓ πρὸς ΓΑ· καὶ διελόντι ὡς ἡ τῶν ∠Ε ΖΗ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΑ δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ. καὶ μετρῆσαι τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Β κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἀπὸ τούτου ἀφελεῖν τὸν κῶνον, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ τὸ Α κέντρον κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον. καὶ λοιπὸν ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τοῦ κολούρου κώνου.

ια. Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου μονάδων ι εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 34 corroll. vol. l p. 146 Heib.) 16 τὸ τρίτον σημεῖον: suprascr. Γ m. 1 19 ΒΑ: corr. Nath δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας. fol. 94v ὥστε κατὰ | τοῦτον τὸν λόγον δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα λαβεῖν τῶν γενομένων τὸ ια καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολλαπλασιάσαντα, τουτέστιν ἐπὶ τὸν ι, τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ δίμοιρον, καὶ ἀποφήνασθαι τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ. κατὰ δὲ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὅτι ια κύβοι οἱ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίγνονται κα σφαίραις. ὥστε δεήσει κυβίσαντα τὰ ι· ἔστι δὲ α· τούτων λαβεῖν τὰ ια. εἰσὶ δὲ μονάδες φκγ ιζ. καὶ τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

ιβ. Ἔστω δὴ τμῆμα σφαίρας μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ιβ, ἡ δὲ κάθετος μονάδων β. πάλιν οὖν ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν (de sph. et cyl. lI, 2 coroll. vol. l p. 200 Heib.), ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντα αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον λόγον ἔχει, ὃν ἡ τοῦ λοιποῦ τμήματος κάθετος μετὰ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν αὐτὴν κάθετον. ἔστω οὖν τμῆμα τὸ εἰρημένον τῆς σφαίρας τὸ κατὰ τὸ ΑΒΓ τοῦ κύκλου, οὗ κάθετος ἡ Β∠. καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ζ. ὡς ἄρα τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν εἰρημένον κῶνον, οὕτω συναμφότερος ἡ ∠Ε ΕΖ πρὸς τὴν ∠Ε καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Α∠· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Α∠, τουτέστι τὸ ὑπὸ Β∠ ∠Ε. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ ΕΖ. καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ∠Ε ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσά ἐστιν. λόγος ἄρα καὶ τοῦ fol. 95r κώνου, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διά|μετρον τὴν ΑΓ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ Β∠, πρὸς τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἐστὶν δοθείς· καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ κῶνος· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας. δεήσει δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀνάλυσιν λαβεῖν τῶν ιβ τὸ ἥμισυ καὶ ἐφʼ ἑαυτὸ ποιῆσαι· ἔστι δὲ λϛ· καὶ ταῦτα παραβαλεῖν παρὰ τὸν β· γίγνεται ιη. καὶ προσθεῖναι τὰ β· γίγνεται κ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ι· ταῦτα μετὰ τῶν ιη γίγνεται κη· καὶ τὴν κάθετον δὶς ποιῆσαι, τουτέστι τὰ β· γίγνεται δ. ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ιϛ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κη· γίγνεται υμη· τούτων τὸ ια· γίγνεται τνη· τούτων τὸ γ΄· γίγνεται ριζ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τμήματος. καὶ λουτῆρα δὲ ἀκολούθως μετρήσομεν τῇ τοῦ τμήματος μετρήσει· ἔστι γὰρ δύο τμημάτων ὑπεροχή. ἀπὸ τοῦ μείζονος οὖν ἀφελόντες τὸ ἔλασσον ἀποραινούμεθα τὸ τοῦ λουτῆρος στερεόν. καὶ κόγχην δὲ ὁμοίως μετρήσομεν ὡς ἡμισφαιρίου ἢ τμήματος ἥμισυ 1 explevi; ἀλλὰ — δοθεὶς del. m. 2 3 κύκλον: corr. m. 2 5 f. ταύτην τὴν 7 παραλαβεῖν et τῶν: corr. m. 2 12 ἑνδεκάκις ιδ in ras. m. 2 τῶ γʹ: corr. et suppl. m.2 ὑπάρχουσαν. αἱ γὰρ ἐν αὐτῇ ξύσται ἐν ἀδιαφόρῳ παραλαμβάνονται εἰς τὰς μετρήσεις.

ιγ. Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρικῶν σχημάτων μεμετρημένων, ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους, ἀκολούθως τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν· τῆς γὰρ ἐντὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔσης, τουτέστι κενῆς, πάλιν fol. 92v ἔσται ἑκάστη αὐτῶν | δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή. ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν γένεσιν αὐτῆς. ἔστω γάρ τις ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο τυχόντα ἐπʼ αὐτῆς σημεῖα. εἰλήφθω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ μένοντος τοῦ Α σημείου περιφερέσθω κατὰ τὸ ἐπίπεδον ἡ ΑΒ, ἄχρι οὗ εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ συμπεριφερομένου καὶ τοῦ ΒΓ ∠Ε κύκλου ὀρθοῦ διαμένοντος πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ἀπογεννήσει ἄρα τινὰ ἐπιφάνειαν ἡ ΒΓ∠Ε περιφέρεια, ἣν δὴ σπειρικὴν καλοῦσιν· κἂν μὴ ᾖ δὲ ὅλος ὁ κύκλος, ἀλλὰ τμῆμα αὐτοῦ, πάλιν ἀπογεννήσει τὸ τοῦ κύκλου τμῆμα σπειρικῆς ἐπιφανείας τμῆμα, καθάπερ εἰσὶ καὶ αἱ ταῖς κίοσιν ὑποκείμεναι σπεῖραι· τριῶν γὰρ οὐσῶν ἐπιφανειῶν ἐν τῷ καλουμένῳ ἀναγραφεῖ, ὃν δή τινες καὶ ἐμβολέα καλοῦσιν, δύο μὲν κοίλων τῶν ἄκρων, μιᾶς δὲ μέσης καὶ κυρτῆς, ἅμα περιφερόμεναι αἱ τρεῖς ἀπογεννῶσι τὸ εἶδος τῆς τοῖς κίοσιν ὑποκειμένης σπείρας. δέον οὖν ἔστω τὴν ἀπογεννηθεῖσαν σπεῖραν ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου μετρῆσαι. δεδόσθω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ διάμετρος μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, 12 supplevi 22 diversus ἀναγραφεύς a Philone Byz. mech synt. IV p. 52, 43 sq. memoratus 25 περιφερομένων; correxi καὶ ἀπὸ τῶν Α, Z τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ∠ΖΕ ΑΗΘ. καὶ διὰ τῶν ∠, Ε τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ∠ΗΕΘ. δέδεικται δὲ Διονυσοδώρῳ ἐν τῷ περὶ τῆς σπείρας ἐπιγραφομένῳ, ὅτι ὃν λόγον ἔχει ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος πρὸς τὸ ἥμισυ τοῦ ∠ΕΗΘ παραλληλογράμμου, τοῦτον ἔχει καὶ ἡ γεννηθεῖσα σπεῖρα ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸν κύλινδρον, οὗ ἄξων μέν ἐστιν ὁ ΗΘ, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἡ ΕΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ ἐστίν, ἡ ἄρα ΖΓ fol. 96r ἔσται | μονάδων ϛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων η· ἔσται ἄρα ἡ ΑΖ μονάδων ιδ, τουτέστιν ἡ ΕΘ, ἥτις ἐστὶν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως τοῦ εἰρημένου κυλίνδρου· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ κύκλος· ἀλλὰ καὶ ὁ ἄξων δοθείς· ἔστιν γὰρ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ∠Ε. ὥστε δοθεὶς καὶ ὁ εἰρημένος κύλινδρος· καὶ ἔστι τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθέν· ὥστε καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ἀλλὰ καὶ ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος· δοθεῖσα γὰρ ἡ ΓΒ διάμετρος. λόγος ἄρα τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου πρὸς τὸ ∠Θ παραλληλόγραμμον δοθείς· ὥστε καὶ τῆς σπείρας πρὸς τὸν κύλινδρον λόγος ἔστι δοθείς. καὶ ἔστι δοθείς ὁ κύλινδρος· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ιβ· λοιπὰ η. καὶ πρόσθες τὰ κ· γίγνεται κη· καὶ μέτρησον κύλινδρον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων κη, τὸ δὲ ὕψος ιβ· καὶ γίγνεται τὸ στερεὸν αὐτοῦ ζτU+A7FCβ. καὶ μέτρησον κύκλον, οὗ διάμετρός ἐστι μονάδων ιβ· γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ, καθὼς ἐμάθομεν, ριγ ζʹ· καὶ λαβὲ τῶν κη τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιδ. ἐπὶ τὸ ἥμισυ τῶν ιβ· γίγνεται πδ· 13 κύλινδρος; corr. Heiberg 16 supplevi καὶ πολλαπλασιάσας τὰ μ ζτU+A7FCβ ἐπὶ τὰ ριγ ζʹ· καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν πδ· γίγνεται θϠνϛ δ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σπείρας. δυνατὸν δέ ἐστι καὶ ἄλλως μετρῆσαι. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιδ, καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ ἄρα διάμετρός ἐστι μονάδων κη· ὥστε ἡ περιφέρεια τοῦ κύκλου γίγνεται μονάδων πη· ἁπλωθεῖσα ἄρα ἡ σπεῖρα καὶ γενομένη ὡς κύλινδρος ἕξει τὸ μῆκος μονάδων πη· καὶ ἔστιν ἡ διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τουτέστιν ἡ ΒΓ, μονάδων ιβ· ὥστε τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου, ὡς ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ζτU+A7FCβ. πάλιν θϠνς δ.

ιδ. | Ἔστω κυλίνδρου τμῆμα μετρῆσαι τετμημένου διὰ τοῦ κέντρου μιᾶς τῶν βάσεων· καὶ ἔστω ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΑΒ μονάδων ζ, τὸ δὲ ὕψος τοῦ τμήματος μονάδων κ· ἀποδέδειχεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι τὸ τοιοῦτον τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ περιγραφόμενον περὶ τὴν βάσιν τοῦ κυλίνδρου τετράγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ τμήματι. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου· ὅθεν δεήσει τὰ ζ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κ· γίγνεται Ϡπ· καὶ τούτων τὸ ἕκτον γίγνεται ρξγ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου.

ιε. Ὁ δʼ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ αὐτῷ βιβλίῳ δείκνυσιν, ὅτι ἐὰν εἰς κύβον δύο κύλινδροι διωσθῶσιν τὰς βάσεις ἔχοντες ἐφαπτομένας τῶν πλευρῶν τοῦ κύβου, τὸ κοινὸν τμῆμα τῶν κυλίνδρων δίμοιρον ἔσται 1 delevi; f. πολλαπλασίασον 2 θϠU+A7FCϛ δ΄ ϛʹ: correxi 8 ὡς supra lin. add. m. 1 11 ζϠU+A7FCβ: correxi. θϠνϛ δʹ: correxi fol. 97r τοῦ κύβου. τοῦτο δὲ εὔχρηστον | τυγχάνει πρὸς τὰς οὕτως κατασκευαζομένας καμάρας, αἳ γίγνονται ἐπὶ πλεῖστον ἔν τε ταῖς κρήναις καὶ βαλανείοις, ὅταν αἱ εἴσοδοι ἢ τὰ φῶτα ἐκ τῶν τεσσάρων μερῶν ὑπάρχῃ· καὶ ὅπου ξύλοις οὐκ εὔθετοι στεγάζεσθαι τοὺς τόπους.

ιϛ. Ἔστω δὲ πυραμίδα μετρῆσαι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρον τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον. ἧς ἑκάστης πλευρὰς ἔστω μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ε ΕΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ τουτέστι τὸ ἀπὸ τοῦ Γ∠, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε· καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ Γ∠ μονάδων ρμδ. τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Ε ἔσται μονάδων U+A7FCϛ· αὐτὴ δε ἡ ∠Ε ὡς ἔγγιστα μονάδων αθU+2220γ΄· ἐπεὶ οὖν ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δέδοται, δέδοται δὲ καὶ ἡ κάθετος ἡ ∠Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος. ὥστε δεήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὡς ἐμάθομεν πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὰς θU+2220γ΄· καὶ τῶν γιγνομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.

ιζ. | Ἔστω δὲ ὀκτάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ζ. ἔστω τὸ εἰρημένον ὀκτάεδρον, οὗ 3 ἔνιαι ταῖς; correxi 5 f. εὐθετεῖ 6 τὰς f. delendum 23 〈δέδοται〉 addidi; πρὸς add. m. 2 γωνίαι ἔστωσαν αἱ πρὸς τοῖς ΑΒΓ ∠ΕΖ σημείοις· τοῦτο δὲ σύγκειται ἐκ δύο πυραμίδων, ὧν βάσις κοινὴ τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον, κορυφαὶ δὲ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· ἑκατέρας ἄρα αὐτῶν τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠, ὕψος δὲ τὸ ἥμισυ τῆς ΕΖ· ὥστε ὅλου τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν ἐστι τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον, ὕψος δὲ ἡ ΕΖ διάμετρος. ἐπεὶ οὖν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ μονάδων μθ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ ἔσται U+A7FCη· ἡ ἄρα ΕΖ ὡς ἔγγιστα ἔσται μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἐστὶ μονάδων ζ, τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ τετράγωνον ἔσται μονάδων μθ· καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὕψος τοῦ στερεοῦ· τὸ ἄρα στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἔσται μονάδων υU+A7FC· καὶ ἔστι τριπλάσιον τοῦ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ὀκτάεδρον ἔσται ρξγ γʹ· τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν.

ιη. Ἔστω εἰκοσάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἔστω μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν τὸ εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιέχεται, νενοήσθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπιζευγμέναι fol. 98r εὐθεῖαι ἐπὶ τὰς τῶν τριγώνων γωνίας· ἔ|σονται ἄρα εἴκοσι πυραμίδες ἴσαι βάσεις μὲν ἔχουσαι τὰ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνα, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας· καὶ μία αὐτῶν νενοήσθω, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ε· ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου τριγώνων λόγον ἔχει, ὃν τὰ ρκζ πρὸς τὰ U+A7FCγ, καὶ ἔστιν ἡ οῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ μονάδων υ, ἔσται ἄρα ἡ ∠Ε κάθετος μονάδων ζ καὶ μα. ἐπεὶ οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἑκάστη πλευρὰ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ἡ ∠Ε δὲ κάθετος, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ πυραμὶς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον. καὶ ἕστιν εἰκοστὸν μέρος τοῦ εἰκοσαέδρου· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ εἰκοσάεδρον. δεήσει ἄρα τὰ ι ἐπὶ τὰ U+A7FCγ ποιῆσαι καὶ τῶν γενομένων λαβεῖν τὸ ρκζ΄ καὶ ἔχειν τὴν τῆς πυραμίδος κάθετον· καὶ λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἰσοπλεύρου καὶ εἰκοσάκι ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον· καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου στερεόν.

ιθ. Ἔστω δὴ δωδεκάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ι. πάλιν οὖν, ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νοήσωμεν ἐπιζευγμένας εὐθείας ἐπὶ τὰς τοῦ πενταγώνου γωνίας, ἔσονται ιβ πυραμίδες fol. 98v πενταγώ |νους βάσεις ἔχουσαι, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας· λόγον δὲ ἔχει ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν πενταγώνων, ὃν τὰ η πρὸς τὰ θ καὶ ἔστιν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ μονάδων ι· ἡ ἄρα 1 ρκζ μα: correxi 28 ὧν: correxi εἰρημένη κάθετος ἔσται μονάδων ια δ΄. πάλιν οὖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου λαβόντες καὶ πολλαπλασιάσαντες ἐπὶ τὴν κάθετον καὶ τῶν γενομένων τὸ τρίτον λαβόντες ἕξομεν μιᾶς πυραμίδος τὸ στερεόν· ὃ δωδεκάκι ποιήσαντες ἕξομεν τὸ τοῦ δωδεκαέδρου στερεόν.

κ. Τῶν δὴ ἐν τάξει στερεῶν σωμάτων μετρηθέντων εὔλογον ὑπολαμβάνομεν καὶ τὰ ἄτακτα, οἷον ῥιζώδη ἢ πετρώδη, παριστορῆσαι τῇ μετρήσει, ὡς ἔνιοι ἱστοροῦσι τὸν Ἀρχιμήδη ἐπινενοηκέναι πρὸς τὰ τοιαῦτα μέθοδον. εἰ μὲν γὰρ εὐμετάφορον εἴη τὸ μέλλον μετρεῖσθαι, δεήσει δεξαμενὴν πάντη ὀρθογωνίαν ποιήσαντα δυναμένην δέξασθαι, ὃ βουλόμεθα μετρηθῆναι, πληρῶσαι ὕδατος καὶ ἐμβαλεῖν τὸ ἄτακτον σῶμα. δῆλον δὴ οὖν, ὅτι ὑπερχυθήσεται τὸ ὕδωρ καὶ τοσοῦτόν γε, ὅσος ἐστὶν ὁ τοῦ ἐμβληθέντος σώματος εἰς τὸ ὕδωρ ὄγκος, ἐξαρθέντος τοῦ σώματος πάλιν ἐκ τῆς δεξαμενῆς ἐλλιπὲς ἔσται. μετρήσαντες οὖν τὸν ἐκκεκενωμένον τόπον fol. 99r ἀποφανούμεθα τοσούτου | εἶναι τὸ στερεὸν τοῦ ἐμβληθέντος σώματος. ἢ καὶ ἄλλως δυνατόν ἐστι τὸ αὐτὸ μετρῆσαι· ἐὰν γὰρ προσπλασθῇ τὸ ἄτακτον σῶμα κηρῷ ἢ πηλῷ, ὥστε γενέσθαι ἀποκρυβὲν πάντη ὀρθογώνιον, καὶ τοῦτο μετρήσαντες ἀφέλωμεν τὸν πηλὸν καὶ ὀρθογώνιον πλάσαντες ἐκμετρήσωμεν καὶ ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ προτερου μετρηθέντος τὸ καταλειπόμενον, ἀποφανούμεθα τὸ τοῦ σώματος στερεόν· τῇ δὲ τοῦ περιπλάσματος μεθόδῳ χρῆσθαι δεῖ ἐπὶ τῶν μὴ δυναμένων μετατίθεσθαι σωμάτων.

γ. Ἔστω δὴ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχου τὴμ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὴ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΓΑ μονάδων ιε. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Α∠, εἰ τύχοι, μονάδων ιβ. καὶ δέον ἔστω ἀπὸ τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠Ε διαιροῦσαυ τὸ ΑΒΓ πρίγωνον ἐν λόχῳ τῷ δοθάντι. ἔσπω δὴ ὁ λόγος, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ β. ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, ∠ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον αἱ ΒΖ ∠Η. ἔσται δὴ ἡ ΒΖ κάθετος, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων ια ε΄. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς Α∠, τουτέστιν ὡς ιγ πρὸς ιβ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ∠Η, καὶ ἔστιυ ἡ ΒΖ ια εʹ, ἡ ἄρα ∠Η ἔσται μονάδων ι καὶ κβ καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Ε λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς γ, καὶ ἔστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μονάδων πδ, τὸ ἄρα Α∠Ε τρίγωνον ἔσται μονάδων ν καὶ β. τοῦ δὲ Α∠Ε τριγώνου διπλάσιόν ἐσυι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ∠Η τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ ∠Η ἔσται μονάδων ρ καὶ δ. καὶ ἔστιν ἡ ∠Η μονάδων ι καὶ κβ· ἡ ἄρα ΑΕ ἔσπαι μονάδων θU+2220δ΄. κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν ∠Ε, ἔσται τὸ προκείμενον. ἔστι δὲ ἡ μέθοδος τοιαύτη· ἐπεὶ ἡ ΒΖ κάθετός ἐστιν, ια ε΄ ἐπὶ τὰ ιβ· fol. 101r | καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς τὸν ιγ· γίνονται μονάδες ι καὶ κβ, καὶ ἐπεὶ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ὁ τῶν γ πρὸς τὰ β, σύνθες γ καὶ. β· γίγνεται ε· καὶ πολλαπλασίασον τὸν γ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ πδ· γίχνεται σνβ. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν ε· γίγνεται νβοέ. ταῦτα δίς· γίγνεται ρ καὶ δ. μέρισον ταῦτα παρὰ τὸν ι καὶ κβ· γίγνονται μονάδες θ∠δ΄. τοσούτου ἀπολαβὼν τὴν ΑΕ ἐπίζευξον τὴν ∠Ε· καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.

δ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει, ὥστε τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΓΕΖ ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. ἐὰν δὴ τμηθῶσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τοῖς ∠, Ζ, Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ, ἔσται τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ, ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ, οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΑΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΖ, οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ, ὅ ἐστι δοθέν. δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ, ὅ ἐστι δοθὲν. καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ, τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ fol. 101v δι | πλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΧΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ∠ δοθέν ἐστι· θέσει ἄρα αἱ ∠Ε ΕΖ Ζ∠. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΓΑ μονάδων ιε. ἔστω δὲ καὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μονάδων πδ. λοιπὰ ἄρα τὰ Α∠Ε ∠ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ. πολλαπλασίασον τὰ πδ ἐπὶ τὰ κ· γίνεται αχπ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται ϛψκ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ· μέρισον τὰ ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ· γίγνεται μϛ· καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ ΖΓ μονάδων εU+2220. καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς τὸ τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται μονάδων ε κε. πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιγ πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ. γίγνεται ἡ Β∠ μονάδων ε καὶ γ.

ε. Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς Α∠ τῇ ΒΓ διελεῖν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον κῇ ΕΖ εὐθείᾳ, ὥστε λόγον τοῦ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠ δοθέντι ἴσον εἶναι δοθεισῶν τῶν ΕΖ Γ∠ καὶ εἰς τὸ αὐτὸ νευουσῶν σημεῖον τὸ Η· διὰ δὴ τοῦτο ἔσται ὡς τὸ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ὥστε λόγος καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΓ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα fol. 102r τὸ Ζ· κατὰ τὰ αὐτὰ | δὴ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ β πρὸς τὰ γ· καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων κ, αἱ δὲ ΑΒ Γ∠ οἱαιδηποτοῦν. σύνθες τὰ β καὶ τὰ γ· γίγνεται 2 μ κδ: correxi 3 possis etiam μονάδας 9 [τὸ] del. m. 2 16 post λόγον add. εἶναι et post ΕΖΓ∠ add. δοθέντα m. 2; f. 〈θέσει〉 δοθεισῶν 17 post τῶν unam litteram del. 2 (?) 22 τὸ ΕΖ: corr. m. 2 24 ὁ λόγος: sed ὁ del. m. 1 ε· καὶ τὰ κε ἐπὶ τὸν β· γίγνεται ν· ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ι· τοσούτων ἀπειλήφθω μονάδων ἡ ΒΖ. πάλιν τὰ κ ἐπὶ τὰ β· γίγνεται μ· ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται η. τοσούτων ἀπόλαβε τὴν ΑΕ. καὶ ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΖ, ποιήσει τὸ προκείμενον.

ϛ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ ἐπιτετάχθω ἀπὸ τοῦ Η διαγαγεῖν τὴν ΗΘ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. διήχθω οὖν, ὡς ἐμάθομεν, ἡ ΕΖ διαιροῦσα τὸ χωρίον ἐν τῷ αὐτῷ| λόγῳ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΕΘ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ ΕΖ τῷ ΑΒΘΗ· ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΗΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἀπειλήφθω ἡ ΒΖ μονάδων ι· τοσούτου γὰρ ἀπεδείχθη· καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ ἐστὶ μονάδων η, ἡ δὲ ΑΗ μονάδων ε, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μονάδων γ. καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΘ· ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΖΘ μονάδων γ. ὥστε ὅλη ἡ ΒΘ ἔσται μονάδων ιγ· ἐπιζευχθείσης οὖν τῆς ΗΘ ἔσται τὸ προκείμενον.

ζ. | Πάλιν δὲ τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΑΒ τῇ Γ∠ ἀγαγεῖν αὐταῖς παράλληλον τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ 3 ἡ ΒΓ: correxit m. 2 12 ΑΒ τῷ: supplevi 24 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. m. 1 26 ΑΕ: corr. m. 2 ΓΑ ∠Β ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΓΖ∠, λόγος ἄρα ἐστὶν καὶ τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἔστιν τὸ ΑΓΒ∠ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ, λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΒΑ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ· καὶ διελόντι τῆς ΓΑ πρὸς ΑΗ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ· κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΗΒ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΖΒ πετράπλευρον δοθέν ἐστιν. καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΕΗΖ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΗΒ· ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ· δοῦὲν ἄρα τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ Ζ. θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιε, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ϛ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠, ὡς ἐπάνω ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ρνϛ. ἔστω δὲ ὁ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς πὰ ε· σύνθες οὖν γ καὶ ε· γίγνεται η. καὶ τὰ ρνϛ ἐπὶ τὰ γ· γίγνεται υξη. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν η. γίγνεται νηU+2220. τοσούτου ἔσται τὸ ΑΕΒΖ. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ϛ· λοιπὰ ιδ. καὶ τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ϛ· γίγνεται οη. 6 τῆς Γ∠: correx 8 ἡ ΑΗ: corr. m. 2 25 ἔστω: ω ex αι fec. m. 1 29 τὰ η ἐπὶ: correxi fol. 108r παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· | γίγνεται ε καὶ δ. ἔσται ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ δ. πάλιν τὰς ιε ἐπὶ τὸν ϛ· γίγνεται παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ϛ γ. καὶ ἔσται ἡ ΒΗ μονάδων ϛ καὶ γ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ϛ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΗΒ τριγώνου ἔσται μονάδων ιε καὶ γ. τοῦ δὲ ΑΕΖΒ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν νηU+2220· ὅλου ἄρα τοῦ ΕΖΗ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων ογ ιγ. καὶ πολλαπλασίασον μονάδας ε καὶ δ ἐφ᾿  ἑαυτά· γίγνεται λα καὶ β. ἐπὶ τὰ ογ ιγ, καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν ιε καὶ γ, καὶ τῶν γενομένων πλευρὰν λαβέ· γίγνεται ιβ καὶ ιδʹ ὡς ἔγγιστα· καὶ ἀπὸ τῆς εὑρεθείσης πλευρᾶς ἄφελε τὰ ε καὶ δ· ἔσονται λοιπαὶ μονάδες ϛU+2220· ἀπόλαβε οὖν τὴν ΑΕ μονάδων ϛU+2220 καὶ ποίησον ὡς ιγ πρὸς ιε, οὕτως ϛU+2220 πρὸς τί· ἔσται δὲ πρὸς μονάδας ζU+2220· ἀπόλαβε τὴν ΒΖ μονάδων ζU+2220· ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

η. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων β· καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΗΘ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον. διήχθωσαν οὖν αἱ ΗΘ, ΕΖ τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαι τὸ τετράπλευρον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ, ΕΘ· ἔσται δὴ ὁμοίως ἴσον τὸ ΑΗΒΘ τῷ ΑΕΖΒ. ὥστε καὶ τὸ ΗΕΖ τρίγωνον 3 supplevi 4 ἡ ΑΗ: correi 8 et 10 οδ↑ι΄δʹ: correxi dubitanter; f. μ τεσσαρεσκαιδεκάτου δεουσῶν οδ 9 μ κ καὶ δ: correxi λα καὶ β: correxi 11—12 ιβ καὶ γ΄: correxi 15 πρὸς μ ζι: sed ζ ex ι fec. m. 1 ἴσον ἐστὶν τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ. παράλληλος ἄρα ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ. ἤχθω δὴ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΚΖ τρίγωνον τῷ ΕΖΘ. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΖΚ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ. fol. 103v δοθὲν | ἄρα τὸ Θ· ἀλλὰ καὶ τὺ Η· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ποίησον ὡς τὰ ιγ πρὸς τὰ ιε, οὕτως τὰ β πρὸς τί· γίγνεται β καὶ δ. ὅλη δὲ ἡ ΒΖ ἦν ζU+2220· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ ἔσται μονάδων ε καὶ ε. ἡ δὲ ΑΗ ε καὶ δ· καὶ σύνθες τὰς ϛU+2220 καὶ μονάδας ε καὶ δ· γίγνεται ιβ ιδ΄. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ μονάδας ε καὶ ε· καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς μονάδας ε καὶ δ· γίγνονται μονάδες. η δ΄. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΖΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ποιήσει τὸ προκείμενον.

θ. Κύκλου δοθέντος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, γράψαι ἕτερον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον αὐτῷ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠, διαιροῦντα τὸν ἐξ ἀρχῆς κύκλον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τῆς ΑΒ Γ∠ ἴτυος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλον δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ Γ∠ κύκλου δοθείς. ὡς δὲ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω τὰ ἀπὸ τῶν δίαμέτρων τετράγωνα· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ δοθείς· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Γ∠. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ διάμετρος μονάδων κ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε. σύνθες τὰ γ καὶ τὰ ε· γίγνεται η· καὶ τὰ κ ἐφ᾿ ἐαυτά· γίγνεται υ· ἐπὶ τὸν ε· γίγνεται β. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν η· γίγνεται σν· τούτων πλευρὰν λαβὲ ὡς ἔγγιστα· γίγνεται ιε ιγ. τοσούτου ἔσται ἡ Γ∠ διάμετρος.

ι. | Ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθμοῖς διαιρεῖσθαι, προγέγραπται· ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι, δι᾿ ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται, ταῦτα γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα.

Ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβληθείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠ Ε διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ δοθέντι. γεγονέτω· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον, συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΖΑ Ε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ∠. εἰς δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ, ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διῆκταί τις εὐθεῖα 2 τὸν Γ∠: correxi 3 κύκλον: correxi 10 τὸ νε: correxi 12 ιε ιγ΄: correxi 13 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. m. 1 25 del. m. 2 26 θέσεις: θέσει δεδομένας m. 2 ΑΒ, ΑΕ: ?? Nath. χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν· δοθέντα ἄρα τὰ Ε, Ζ σημεῖα. τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς δέδεικται. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον. κἂν τὸ ∠ σημεῖον μὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ, ἀλλʼ ὡς ἔτυχεν, οὐδὲν διοίσει.

ια. Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τμηθείσης τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ τέμνουσαν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον ἐν τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ∠Ε λόγῳ. γεγσνέτω· καὶ ἤχθω τῇ μὲν Α∠ παράλληλος ἡ ΓΗ, τῇ δὲ ΕΒ ἐπιζευχθείσῃ παράλληλος ἡ ΗΘ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ ΕΘ ΕΗ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΘ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΕ. fol. 104v τὸ | ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΘΕ τετραπλεύρῳ· ὡς ἄρα τὸ ΑΗΕ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως τὸ ΑΒΘΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΓ∠ τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΓΘ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠, τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ, τουτέστι τὸ ΕΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΓΖ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΖ∠Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠· ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ Γ, θέσει ἄρα καὶ ἡ ΓΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. καὶ ἔστι παρὰ θέσει τὴν ΒΕ ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΘ· καὶ τέτμηται ἐν δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν ἐπιζεῦξαι τὴν ΒΕ καὶ τῇ μὲν ∠Ε παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΓΗ, τῇ δὲ ΒΕ τὴν ΗΘ, καὶ τεμεῖν τὴν ΘΓ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ 3 δέδεικται: ab Apollonio Pergaeo 4 ΒΕ: correxi 8 τηῖσ: correxi 9 supplevi 12 τὸ ΕΒΘ: correxi 22—23 παραθέσει: correxi dubitanter 27 τῆι ∠Ε ΒΕ: correxi πρὸς Ε∠, οὕτω τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

ιβ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεδόσθω τι τυχὸν σημεῖον τὸ Ε καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω· καὶ διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΘΕ τῷ αὐτῷ λόγῳ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον. δοθέντα ἄρα τὰ Η, Θ. δοθὲν δὲ καὶ fol. 105r τὸ Ε· θέσει | ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΗΖ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἔσται δὴ αὕτη ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιγ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ διδόμενον σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς ἔστω πλευρᾶς τοῦ τετραπλεύρου. καὶ ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Ε· καὶ ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ 8 τὸ ΗΘ: correxi 14 ἔστω: correxi ποιοῦσαν λόγον τοῦ ΑΒΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΓ∠ δοθέντα· καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΒΖΗ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ ΖΗ. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστιν ἡ Α∠ τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ ΑΒΖΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΒΖ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ἀπὸ τοῦ Α καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ κάθετος· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒ ΖΗ· θέσει ἄρα ἡ ΖΕ. τοῦτο γὰρ ἑξῆς. εἰ δὲ μή εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ τετράπλευρον. καὶ ὅλον ἄρα fol. 105v τὸ ΗΖΘ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ | Θ γωνία· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΖ· ἀπῆκται ἄρα εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ.

ιδ. Ἑξῆς δὲ δείξομεν, ὡς δεῖ πολυπλεύρου εὐθυγράμμου δοθέντος καὶ σημείου ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς διαγαγεῖν ἀπὸ τοῦ σημιείου εὐθεῖαν διαιροῦσαν τὸ χωρίον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ· ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς ἔστω τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΗΘ διαιροῦσα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΘΗΖ χωρίου πρὸς τὸ ΗΘΓ∠Ε δοθείς, καὶ συνθέντι ἄρα λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ πρὸς τὸ ΗΘΓ∠Ε δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΓ∠Ε ὧν τὸ ΗΓ∠Ε δοθέν ἐστι· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΘΓ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν αὐτοῦ διπλάσιον, καθέτου ἀχθείσης τῆς ΗΚ ἐπὶ τὴν ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΓΘ ΗΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΗΚ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· θέσει ἄρα 1 δοθείς: corr. Nath ἡ ΘΗ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω δοθεὶς λόγος τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ΜΝ· καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ πρὸς ἄλλο τι χωρίον τὸ Ξ· καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἀφῃρήσθω ἴσον τῷ ΗΓ∠Ε· καὶ ἔστω λοιπὸν τὸ Ο. καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω ἡ ΗΚ· καὶ παραβεβλήσθω τὸ Ο παρὰ τὴν ΗΚ· καὶ ποιείτω πλάτος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΘ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ· ἔσται δὴ ἡ ΗΘ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιε. | Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς πλευρᾶς, καὶ ἔστω τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΗΘ, ὥστε ἐν δοθέντι λόγῳ διαιρεῖν τὸ χωρίον· δοθὲν ἄρα ἔσται τὸ ΚΘΓ∠Ε. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστι ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ἔσται λοιπὸν τὸ ΘΓΕΚ· ὥσ??ε θέσει ἐστὶν ἡ ΗΘ. εἰ δὲ οὔκ εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ· δοθὲν ἄρα τὸ Γ∠ΕΛ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΚΛ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Η Λ γωνία· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΛΘ· ἀπῆκται ἄρα πρὸς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομὴν· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ.

ιϛ. Δύο θέσει παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΑΒ, Γ∠ καὶ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΚΒ∠ ποιοῦσαν συναμφότερον τὴν ΑΒ, Γ∠ δοθεῖσαν. γεγονέτω· καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ζ. δοθεῖσα ἄρα ἡ Γ∠Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· θέσει ἄρα ἡ ΑΖ. καὶ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Η· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ, ∠Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΗ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν θεῖναι τῇ δοθείσῃ ἴσην τὴν ΓΖ καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΑΖ καὶ δίχα τεμεῖν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπιζεύξαντα τὴν ΕΗ ἐκβαλεῖν ἐφʼ ἑκάτερα· καὶ ἔσται ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιζ. | Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ, ὥστε τὰς ἐπι-φανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β. καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠. καὶ τετμήσθω ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, Ζ∠· καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Θ· καὶ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς 1 ἡ ΗΛ: correxi 14 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. 16—17 τὰς ἐπὶ τῶν: correxi 18 〈ὁ〉 addidi Α πρὸς τὴν Β· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Θ πόλῳ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ τμήματος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ∠Ζ. οἱ δὲ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ Ζ∠ τετράγωνα πρὸς ἄλληλα· ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠, τουτέστιν ἡ Α πρὸς τὴν Β. αἱ ἄρα εἰρημέναι ἐπιφάνειαι λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας τὸν τῆς Α πρὸς τὴν Β ταῦτα γὰρ ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας Ἀρχιμήδει δέδεικται (c. 3 t. I p. 207 Heib.).

ιη. | Τὸν δοθέντα κύκλον διελεῖν εἰς τρία ἕσα θυσὶν εὐθείαις. τὸ μὲν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητόν ἐστι, δῆλον, τῆς εὐχρηστίας δὲ ἕνεκεν διελοῦμεν αὐτὸν ὡς ἔγγιστα οὕτω. ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ πλευρὰ ἡ ΒΓ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ∠ΑΕ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ ∠Γ. λέγω ὅτι τὸ ∠ΒΓ τμῆμα τρίτον ἔγγιστά ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ ΑΓ. ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ τομεὺς τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠ τριγώνῳ· τὸ ἄρα Β∠ΖΓΖ σχῆμα τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου κύκλου, ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστιν αὐτοῦ τὸ ∠ΒΓ τμῆμα ὄντος ὡς πρὸς τὸν ὅλον κύκλον. ὁμοίως δὲ καὶ ἑτέραν πλευρὰν ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐγγράψαντες ἀφελοῦμεν ἕτερον τρίτον μέρος· ὥστε καὶ τὸ 6 ZH: correxi 7 inserui 16 τῶ Α: correxi 21—22 τόμους: corr. m. 2 24 Β∠ΖΓΖ: correxi 25 μεῖον: correxi καταλειπόμενον τρίτον μέρος ἔσται μέρος τοῦ ὅλου κύκλου.

ιθ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον τὸ ∠, ὥστε ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν τῶν ∠Α fol. 107v ∠Β | ∠Γ τὰ ΑΒ∠ ∠ΒΓ ΓΑ∠ τρίγωνα ἴσα εἶναι. γεγονέτω· καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΕΒΓ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου. ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΕ ἐστὶ τριπλῆ. καὶ ἔστι ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΕ· καὶ δοθὲν τὸ Β· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· καὶ παρὰ τὴν ΒΓ καὶ ἡ Ε∠· θέσει ἄρα ἡ Ε∠. πάλιν δὲ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ζ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τριπλασία ἐστὶ τῆς ΖΑ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ Ζ∠· θέσει δὲ καὶ ἡ ∠Ε· δοθὲν ἄρα τὸ ∠. συντεθήσεται δὴ οὕτως. εἰλήφθω τῆς μὲν ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΒΕ, τῆς δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ε∠, τῇ δὲ ΑΒ ἡ Ζ∠. ἐπιζευχθεῖσαι οὖν αἱ ∠Α, ∠Β, ∠Γ ποιήσουσι τὰ ΑΒ∠, ∠ΒΓ, Γ∠Α τρίγωνα ἴσα.

Αἱ μὲν οὖν τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων χωρίων διαιρέσεις αὐτάρκως εἴρηνται, ἑξῆς δὲ ἐπὶ τὰ στερεὰ χωρήσομεν. ὅσα μὲν οὖν ἰσοπαχῆ τυγχάνει στερεὰ, οἷον κύλινδροι καὶ παραλληλεπίπεδα καὶ ὅσα ἁπλῶς τὰς βάσεις ταῖς κορυφαῖς τὰς αὐτὰς ἔχει, εὐκόπως διαιρεῖται εἰς τοὺς δοθέντας λόγους. ὃν γὰρ ἔχει λόγον τὸ μῆκος, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ στερεὸν. τῶν 1 καταλιπόμενον: correxi μέρος delevi 3 numerum capitis addidi 3—4 τὸ σημεῖον: correxi 8 τὸ ΕΒΓ: corr. m. 2 12 [καὶ] del. m. 2 δὲ μειούρων αἱ διαιρέσεις οὐχ οὕτως, οἷον πυραμίδων fol. 108r | καὶ κώνων καὶ τῶν τοιούτων· διὸ περὶ αὐτῶν γράψομεν.

κ. Ἔστω γὰρ πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα οἱανδηποτοῦν τὴν ΑΒΓ∠, κορυφὴν δὲ τὸ Ε σημεῖον· καὶ δεδόσθω αὐτῆς μία πλευρὰ ἡ ΑΕ μονάδων ε. καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὴν ἀποτεμνομένην πρὸς τῇ κορυφῇ πυραμίδα τοῦ καταλειπομένου στερεοῦ εἶναι, εἰ τύχοι, τετραπλῆν. τεμνέσθω καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΖΗΘΚ. ἡ ἄρα ΑΖ πλευρά ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ ΖΗΘΚ στερεοῦ· ἡ ἄρα ΑΒΓ∠Ε πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΘΗΚΕ πυραμίδα λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ. ὡς δὲ αἱ πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ο ἀπὸ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν κύβοι· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ· καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος μονάδων ρκε· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβος ἔσται μονάδων ρ. δεήσει ἄρα τῶν ρ μονάδων λαβεῖν κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα· ἔστι δὲ μονάδων δ καὶ θ, ὡς ἑξῆς δείξομεν. ὥστε ἐὰν ἀποληφθῇ ἡ ΕΖ μονάδων δ καὶ θ καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τμηθῇ ἡ πυραμὶς ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ἔσται τὸ προκείμενον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· κύβισον τὰ ε· γίγνεται ρκε. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν, ἐν διαιρεῖται ἡ πυραμὶς, ὃν δ πρὸς α, σύνθες δ καὶ ἓν· γίγνεται ε. καὶ τὰ ρκε ἐπὶ τὸν δ· γίγνεται φ. παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ρ· καὶ τούτων 1 μειούρων αἱ διαιρέσεις litteris paene evanidis 10—11 supplevi 17 〈ὁ〉 addidi κυβικὴν πλευράν· γίγνεται δ καὶ θ. τοσούτου ἔσται ἡ ΕΖ.

Ὡς δὲ δεῖ λαβεῖν τῶν ρ μονάδων κυβικὴν πλευρὰν, νῦν ἐροῦμεν.

Λαβὲ τὸν ἔγγιστα κύβον τοῦ ρ τόν τε ὑπερβάλλοντα καὶ τὸν ἐλλείποντα· ἔστι δὲ ὁ ρκε καὶ ὁ ξδ. καὶ ὅσα μὲν ὑπερβάλλει, μονάδες κε, ὅσα δὲ ἐλλείπει, fol. 108v μονάδες λϛ. | καὶ ποίησον τὰ ε ἐπὶ τὰ λϛ· γίγνεται ρπ· καὶ τὰ ρ· γίγνεται σπ. καὶ παράβαλε τὰ ρπ παρὰ τὰ σπ· γίγνεται θ. πρόσβαλε τῇ κατὰ τοῦ ἐλάσσονος κύβου πλευρᾷ, τουτέστι τῷ δ· γίγνεται μονάδες δ καὶ θ. τοσούτων ἔσται ἡ τῶν ρ μονάδων κυβικὴ πλευρὰ ὡς ἔγγιστα.

κα. Τὸν δοθέντα κῶνον διελεῖν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ. καὶ ἔστω αὐτοῦ ἡ πλευρὰ μονάδων ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν, ὡς εἴρηται, ὥστε τὸν ἀποτεμνόμενον πρὸς τῇ κορυφῇ κῶνον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ καταλειπομένου κολούρου κώνου. ἀκολούθως οὖν τοῖς ἐπὶ τῆς πυραμίδος εἰρημένοις ἕξει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ∠ κύβον λόγον, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ δ· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς Γ∠ κύβος ἔσται μονάδων ρ· αὐτὴ ἄρα ἡ Γ∠ ἔσται μονάδων δ καὶ θ ἔγγιστα. ἀπειλήφθω οὖν ἡ Γ∠ τοσούτων. καὶ διὰ τοῦ ∠ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω παράλληλον τῇ βάσει καὶ ποιείτω τομὴν τὸν ∠Ε κύκλον, ὃς ποιήσει τὸ προκείμενον.

κβ. | Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς κόλουρος κῶνος, ὃν δεῖ διελεῖν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ ὁ ∠Ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν αὐτὸν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα τετραπλάσιον εἶναι τοῦ καταλειπομένου· δεδόσθω δʼ ἡ μὲν τοῦ ΑΒ κύκλου διάμετρος μονάδων κη, ἡ δὲ τοῦ ΑΕ μονάδων κα, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ιβ· καὶ διῃρήσθω, ὡς εἴρηται, τῷ ΖΗ κύκλῳ, ὥστε τὸν ∠ΕΖΗ κῶνον κόλουρον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ ΖΗΑΒ κολούρου κώνου· ὁ ἄρα ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος πρὸς τὸν ∠ΕΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ. καὶ ἔστιν ὁ ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος δοθείς· αἱ γὰρ διάμετροι τῶν βάσεων αὐτοῦ δοθεῖσαί εἰσιν καὶ ἔτι τὸ ὕψος δοθέν· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ∠ΕΖΗ κωνοκόλουρος. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ∠Θ καὶ προσηυξήσθω ὁ κῶνος. καὶ ἔστω αὐτοῦ κορυφὴ τὸ Γ, ἄξων δὲ ὁ Γ∠. ἐπεὶ ἡ ∠Ε ἔστι δοθεῖσα, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Λ, τουτέστιν ἡ ΚΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Κ δοθεῖσά ἐστιν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστιν· λόγος ἄρα τῆς Κ∠ πρὸς ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΚ πρὸς ∠Θ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ∠Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΚ· ὧν ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστιν· ἴση γάρ ἐστι τῇ ∠Θ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠Ε κῶνος καὶ ἡ ΖΗ· καὶ ἔτι ὁ ΓΒΑ· λόγος ἄρα fol. 109v τῶν ΓΑΒ, ∠ΕΓ κώνων πρὸς τὸν ΓΗΖ κῶνον. | ὡς δὲ οἱ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω καὶ οἱ απὸ τῶν ΓΚΛ κύβοι πρὸς τὸν ἀπὸ τοῦ ΓΜ κύβον. δοθέντες δὲ οἱ ἀπὸ τῶν ΚΓΛ κύβοι· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΓΜ κύβος· δοθεῖοα ἄρα ἡ ΓΜ· ὥστε καὶ ἡ ΛΜ· λόγος ἄρα τῆς ΚΛ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστι τῆς Α∠ πρὸς ΑΖ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Α∠, ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· ὥστε καὶ ἡ διʼ αὐτοῦ τομὴ, τουτέστιν ὁ ΖΗ κύκλος. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· λαβὲ τὸ στερεὸν τοῦ κολουροκώνου, ὡς ἐμάθομεν. γίνεται εχ𝔮η. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ· γίγνεται μ βψ 𝔮β. παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται δφνη β· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ∠ΕΖΗ κολουροκώνου. καὶ ἀπὸ τῶν κη ἄφελε κα· λοιπὰ ζ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται γU+2220· καὶ τῶν κη τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιδ· καὶ ποίησον ὡς τὰ γU+2220· πρὸς τὰ ιδ, οὕτως τὸ ὕψος, τουτέστι τὰ ιβ, πρὸς ἄλλον τινά· ἔστι δὲ πρὸς μη. ἄφελε τὰ ιβ· λοιπὰ λϛ· ἔσται ὁ ἄξων τοῦ Γ∠Ε κώνου μονάδων λϛ. καὶ ἔστιν ἡ ∠Ε διάμετρος μονάδων κα· τὸ ἄρα στερεὸν τοῦ κώνου, ὡς ἐμάθομεν, ἔσται δρνη· πρόσθες ταῦτα ἑκατέρῳ τῷ τε εχ𝔮η καὶ τῷ δφνη β· γίγνεται θωνϛ· καὶ τὰ δρνη· γίγνεται μ διδ· σύνθες τὰ δφνη β καὶ τὰ δρνη· γίγνεται μ διδ. καὶ κύβισον τὸν μη· καὶ ἔτι τὸν λϛ· καὶ σύνθες τοὺς β κύβους· γίνονται μ ξσμη. ποίησον οὖν ὡς τὰ 1—2 supplevi 3 δοθείς: correxi 5 ∠Ζ: correxi 6 ∠Θ Θ∠: correxi 7 ∠Ζ: correxi supplevi 10 explevi intercapedinem 12 δφνηβʹ: correxi 13 κβ, sed β in η mutavit m. 1 19 κδ: correxi 21 δφνε: correxi 22 supplevi 23 μδ. correxi μ διδ πρὸς τὸ ἀπὸ ηψιϛ β, οὕτως μ ζσμη πρός τι· ἔστι δὲ πρὸς μ ζν. τούτων λαβὲ κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα· γίγνονται μϛ. ἄφελε τὰς λϛ· λοιπαὶ μονάδες ι· καὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους ἐφʼ ἑαυτά· γίνεται ρμδ· καὶ τὰ γU+2220 ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ιβ δ΄. σύνθες· γίγνονται ρνϛ δʹ· ὧν πλευρὰ γίγνεται ιβU+2220· ἡ τοῦ κωνουκολούρου πλευρὰ ἡ ∠Α ιβU+2220· καὶ ποίησον ὡς τὰ ιβ τοῦ fol. 110r ὕψους πρὸς τὰ ι, οὕτως τὰ ιβU+2220 πρὸς τί· | ἔστι δὲ πρὸς ι ε. καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τετμήσθω ὁ κῶνος, ὡς εἴρηται. καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.

κγ. Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν ἐπιταχθέντα. ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α πρὸς τὴν Β· καὶ ἐκκείσθω κύκλος ἐν ἐπιπέδῳ εἷς τῶν μεγίστων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ κέντρον μὲν τὸ Γ, διάμετρος δὲ ἡ ∠Ε· καὶ τῇ ΓΕ ἴση κείσθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, τὴν Α πρὸς τὴν Β· ἡ δὲ ∠Ε τετμήσθω κατὰ τὸ Θ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΕΖ πρὸς ΖζΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Θ· καὶ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚΛ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Κ∠· καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας καὶ πόλῳ τῷ Μ, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ Κ∠ κύκλος γεγράφθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ ΝΞ. λέγω ὅτι τὰ ἀπολαμβανόμενα τμήματα ὑπὸ τοῦ γραφέντος κύκλου πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἡ Α πρὸς τὴν Β. τοῦτο γὰρ fol. 110v ὁμοίως | Ἀρχιμήδει δέδεικται ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας (c. 4 t. 1 p. 210 Heib.).