Stereometrica

Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΑΙ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΟΥΜΕΝΩΝ ΗΡΩΟΣ.

Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου ποδῶν ῑ εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τοῖς Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου δείκνυσιν, ὅτι ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας· ὥστε κατὰ τοῦτον τὸν λόγον δεῖ τὰ ῑ ἐφ᾿ ἑαυτὰ λαβεῖν, καὶ τῶν γινομένων ἐπὶ τὰ ια ὧν τὸ ιδ´, καὶ ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου πολυπλασιασθέντα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ῑ, καὶ τῶν γινομένων λαβεῖν τὸ U+2220ʹ ϛʹ καὶ ἀποφέρεσθαι ἐπὶ τὸ τῆς σφαίρας στερεόν· εἰσὶ δὲ πόδες φκγ καὶ ιζ εἰκοστομόνα.

κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον δείκνυται, ὡς ια κύβοι ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἴσοι γίνονται κα σφαίραις· ὥστε δεήσει τὰ ῑ κυβίσαντα· ἔστι δὲ ,ᾱ· τούτων λαβεῖν τὸ ἐνδεκάκις κα΄· καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

Σφαῖρα, ἧς ἡ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ ἀπὸ τῆς περιμέτρου τὴν διάμετρον ἀπὸ τοῦ ὑποκειμένου ὑποδείγματος τῶν κύκλων καὶ ἔσται ἡ διάμετρος ποδῶν ζ. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· 2 στερεομετρουμένων] Hultsch, στερεωμετρουμένων CM. 5 ὁ (alt.)] addidi, om. CM. 9 τῶν γινομένων] CM, τὰ γινό- γίνονται μθ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται τμγ· καὶ ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ,γψογ. ταῦτα ἀνάλυσον παρὰ τὰ κα· γίνονται ροθ ω´. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

τὴν δὲ ἐπιφάνειαν εὑρήσομεν οὕτως· ἀεὶ θὶς τὴν διάμετρον· γίνονται ιδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ρνδ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

Ἄλλως. Σφαῖρα, ἧς ἡ διάμετρος, τουτέστιν ὁ ἄξων, ποδῶν ζ εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ζ τῆς διαμέτρου κύβισον, τουτέστιν αὐτὰ ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται μθ· καὶ ταῦτα πάλιν ἑπτάκις· γίνονται τμγ. ταῦτα ἀεὶ δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ,γψογ· ὧν τὸ κα´· γίνονται ροθ ωʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

Σφαῖραν μετρήσομεν, S ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ᾿ ἑαυτήν· γίνονται μθ. ταῦτα ποιῶ πάλιν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ζ· γίνονται πόδες τμγ· ταῦτα πολυπλασιάζω ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ,γψογ· ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν κᾶ· γίνονται ροθ β. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας.

τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς αὐτῆς σφαίρας εὑρήσομεν οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περίμετρον τῶν κβ· γίνονται πόδες ρνδ. τοσούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ποδῶν ρνδ.

Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ᾿ ἑαυτήν· γίνονται ρ. ταῦτα καθολικῶς ποίησον ἐνδεκάκις· γίνονται ,αρ. τούτων λαβὲ τὸ ιδ´· γίνονται οη U+2220´ ιδ´. ταῦτα καθολικῶς ποίησον ~~δακτύλους ἤγουν~~ τετράκις ~~τετράκις εἶπεν διὰ τὸ τὸν παλαιστὴν ἔχειν δ δακτύλους~~· γίνονται τιδ δ´ κη´. τοσούτου γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

ἐποίησα δὲ τὰ γενόμενα τετράκις παρὰ ταύτην τὴν αἰτίαν· δείκνυσι γὰρ Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας τετραπλάσιον ἑνὸς μεγίστου κύκλου.

Κύκλου ἐπιπέδου διδάσκει τὸ ἐμβαδὸν τετραπλούμενον ποιεῖν σφαίρας ἐπιφάνειαν. μέγιστος δὲ κύκλος ἐστὶν ὁ αὐτὸ τὸ κέντρον ἔχων τῆς σφαίρας.

Ἄλλως μετρῆσαι τὴν ἐπιφάνειαν. ποίησον οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφ᾿ ἑαυτήν· γίνονται ρ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὰ μδ· γίνονται ,δυ. τούτων λαβὲ τὸ ιδ´· γίνονται τιδ δ´ κη´. τοσούτων ποδῶν ~~ἡ περιφέρεια εἴτουν~~ ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

Ἄλλως. ποίησον τὴν διάμετρον δίς· γίνονται κ. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται υ. ταῦτα ἐνδεκάκις· γίνονται ,δυ. τούτων τὸ ιδ´· γίνονται τιδ δ´ κη´. τοσούτων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

Πάλιν σφαίρας τὸ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ. κύβισον τὰ ῑ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται ρ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ ῑ· γίνονται ,ᾱ. ταῦτα ποίησον ἐνδεκάκις καὶ τούτων λαβὲ τὸ κα´· καὶ γίνεται τὸ στερεὸν φκγ καὶ ιζ κα´. ἐποιήσαμεν δὲ τὰ γενόμενα ἐνδεκάκις καὶ ὧν τὸ κα´ ἐλάβομεν διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν· δείκνυσιν Ἀρχιμήδης, ὅτι ια κύβοι ἴσοι γίνονται κα σφαίραις.

Ἄλλως. σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν δ. ποίει οὕτως· μέτρει κύκλον· γίνεται ἄρα ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ιβ U+2220΄ ιδ´· γίνεται καὶ ἡ βάσις τοῦ περελαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν τὸ αὐτό. πολυπλασιάζω οὖν τὰ ιβ U+2220΄ ιδʹ ἐπὶ τὸ ὕψος τοῦ κυλίνδρου τοῦ περιλαμβάνοντος τὴν σφαῖραν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ δ γίνονται δ´ κη´· τοσούτου γίνεται ὁ αὐτὸς κύλινδρος ~~ἡμιόλιος γάρ ἐστι τῆς σφαίρας~~. καὶ ἐλάβομεν ~~τὸ ω´ μέρος~~ τὰ β μέρη τῶν ν δ´ κη´· καὶ τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας· ἔστι δὲ λγ U+2220´ μβ´.

Ἄξων σφαίρας τί ἐστιν; εὐθεῖα διὰ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς σφαίρας, ἀμετακίνητος, περὶ ἣν ἡ σφαῖρα κινεῖται καὶ στρέφεται.

Ἐὰν σφαῖρα τμηθῇ, ἡ τομὴ κύκλος γίνεται. τῶν δὲ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ μέσου τὴν σφαῖραν τέμνουσιν, οἱ δὲ οὔ· οἱ μὲν οὖν διὰ μέσου τέμνοντες καλοῦνται μέγιστοι καὶ πάντες ἀλλήλοις ἴσοι εἰσίν, οἱ δὲ οὐ διὰ μέσου οὐ πάντες πᾶσιν ἴσοι, ἀλλά τινές τισι. καὶ ἔτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἳ μέν εἰσιν ὀρθοὶ πρὸς τὸν ἄξονα, οὗτοι ἑαυτοῖς παράλληλοί εἰσιν· παράλληλοι δέ εἰσιν οἱ τὸ αὐτὸ ἀεὶ διάστημα μεταξὺ ἔχοντες ἑαυτῶν καὶ μήτε μεῖζον μιήτε ἔλαττον.

1 κύβισον] Hultsch, κύβησον CM. 2 ἐνδεκάκις] Μ, ια φ C. 4 φκγ] Hultsch, φκ΄ CΜ. κα΄] κα″/η″? C, κα″ ηκ Μ, κα″ κα″

Ὁρίζων κύκλος ἐστίν, ὃς καὶ αὐτὸς διὰ μέσου τέμνει τὴν σφαῖραν εἴς τε τὸ ἀφανὲς καὶ τὸ φαινόμενον, ἀφʼ οὗ καὶ ὁρίζων ἐκλήθη. διαφοραὶ δὲ τῶν ὁριζόντων πλείους· ὁ μὲν γὰρ ἔστι διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας, ὁ δὲ ὀρθὸς πρὸς τὸν ἄξονα· καὶ ὅσαι εἰσὶ διαφοραὶ τῶν ὁριζόντων, τοσαῦται διαφοροὶ καὶ θέσεις τῆς σφαίρας τυγχάνουσιν.

Ὀξὺς κῶνος, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ τῆς διαμέτρου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη U+2220΄· καὶ λαβὲ ἀπὸ τῶν λ τοῦ ὕψους, τουτέστι τῆς καθέτου, τὸ γ´· γίνονται ῑ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη U+2220´· γίνονται τπε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

Κῶνον μετρήσομεν, οὗ s ἡ διάμετρος τῆς βάσεως ποδῶν ζ, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων ἀπὸ τῶν ζ ποδῶν τῆς διαμέτρου ~~καὶ~~ ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη U+2220΄· καὶ λαμβάνω ἀπὸ τῶν λ ποδῶν τοῦ ὕψους ἢ τῆς καθέτου τὸ γʹ· γίνονται ῑ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ λη U+2220΄·γίνονται πόδες τπε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

1 Ὁρίζων] C, ὁ ὁρίζων Μ. ὃς] Μ, ὁ C. τέμνει] Hultsch, τέμνειν CM 4 ὁ] Hultsch, οἱ CM. τῶν πόλων] Schmmidt, τὸν πόλον CM. 5 ἄξονα] Hultsch, ἄξωνα CM 6 ὁριζόν- των] Μ, ὁριζόντων πλείους C. τοσαῦται] C, τοσαῦτα M. 1 ἡ] C, om M. 7 τῶν κύ- κλων] scripsi cum S, τὸν κύ- κλον CM, τοῦ κύκλου Hultsch. S fol. 14r. 5 ἐμβαδόν] immo στερεόν. 9 καὶ] deleo. 12 ἢ] om. S. 17 ἑξῆς ἡ καταγραφή S (fig. seq. fol. 14 v).

Ἄλλως ὁ αὐτὸς κῶνος ὀξυγώνιος. μετρήσωμεν οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου ποδῶν ϛ, ὁ δὲ ἄξων ποδῶν ιβ, ὅ ἔστιν ὕψος ἢ μῆκος· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἔλαβον τοῦ κύκλου τὴν διάμετρον. τὸ ἐμβαδὸν ποιήσας· ἐφʼ ἑαυτὰ τὰ ϛ καὶ τὰ γινόμενα ἐνδεκάκις καὶ τὸ ιδʹ, καὶ γίνονται κη δʹ κηʹ· ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται τλθ γ ζ΄. τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

ἐπεὶ οὖν οὐχ ὑπόκειταί μοι κυλίνδρου μέτρησιν εὑρεῖν ἐπὶ τοῦ προκειμένου, ἀλλὰ κώνου, ἔλαβον τὸ γ´ τῶν τλθ γ ζ΄· γίνονται ριγ ζ΄. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου· δέδεικται γὰρ ἐν τῇ στοιχειώσει Εὐκλείδου, ὅτι πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον.

Ἔστι κῶνον μετρῆσαι ἀπό τε κλιμάτων καὶ τῆς περὶ τὸν κύκλον διαμέτρου οὕτως· τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν κ, τῆς δὲ βάσεως ἡ διάμετρος ποδῶν κδ· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἔλαβον τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος κ εφʼ ἑαυτά· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ ρμδ· λοιπὰ σνς. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ιϛ· τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

ἵνα δὲ καὶ τὸ στερεὸν εὕρω, ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν κδ τὸν κύκλον· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν υνβ U+2220΄ ιδ΄. τούτων λαβὲ τὸ γʹ· γίνεται τοῦ κώνου τὸ στερεὸν μετὰ τοῦ πολυπλασιασμοῦ τῆς καθέτου.

Κῶνος κόλουρος ὁ καὶ ἀτέλεστος, οὗ ἡ μὲν μείζων διάμετρος ποδῶν ῑ, ἡ CM δὲ ἥττων ποδῶν δ, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὔτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους τὰ ῑ καὶ δ· γίνονται ιδ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ζ, ὅ ἐστιν ἡ διάμετρος, ὡς εἶναι τὸ ἐμβαδὸν ἀκολούθως τοῖς προγεγρμμένοις κύκλοις ποδῶν λη U+2220΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ μήκους· γίνονται ,αρνε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ τερεὸν τοῦ κώνου.

Ἔστω κῶνος κόλουρος, S οὗ ἡ διάμετρος ἡ μείζων ποδῶν ῑ, ἡ δὲ ἥττων ποδῶν δ, καὶ τὸ μῆκος ποδῶν S λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς β διαμέτρους τὰ ῑ καὶ τὰ δ· γίνονται ιδ· ὧν U+2220΄ γίνεται ζ, ὅ ἐστι διάμετρος. τοσούτου τὸ ἐμιβαδὸν γίνεται, ποδῶν ληU+2220΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τοὺς λ τοῦ μήκους· γίνονται πόδες ,αρνε. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ κώνου, ποδῶν ,αρνε.

2 ἔστω] C, ἔσται Μ 6 ιδ΄] C, ιδ΄ λαβεῖν Μ. 7 τὰ]

16 Ἄλλως. κῶνον δὲ κόλουρον μετρῆσαι καὶ εὑρεῖν τὸ στερεὸν ἀπό τε τῶν διαμέτρων καὶ καθέτου. ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ μείζονος κύκλου ποδῶν ϛ, τοῦ δὲ ἐλάττονος ποδῶν β, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ. ποιῶ οὕτως· τὰ ϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ· καὶ τὰ β ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται δ· ὁμοῦ μ. καὶ τὰ ϛ ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὰ β· γίνονται ιβ· καὶ ταῦτα προσέθηκα τοῖς μ· γίνονται νβ. ταῦτα τετράκις, τουτέστιν ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται ση. ποίησον ἐνδεκάκις· γίνονται ,βσπη. τούτων τό μβ΄· γίνονται νδ καὶ κ μβʹ μβʹ, τουτέστι νδ γʹ ζʹ. τοσούτου ἐστὶν ἄρα τὸ στερεόν.

Ἔτι μετρήσωμεν κῶνον κόλουρον ἀπό τε διαμέτρου 1 ἥττων] Μ, ἡττον C. τὸ δὲ—2 λ] C, om. Μ. 4 δύο] C, β΄ Μ. 10 κύκλοις] del. Schmidt. 6 γίνεται] comp. S, ut sem- per. 7 τοσούτου] τσόυ | του S; fort τούτου (sc. τοῦ κύ- κλου). 10 πόδες] π S, ut semper. καὶ ἀπὸ τῶν κλιμάτων, οὗ ἐστι τῆς κορυφῆς ἡ διάμετρος ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε, ἡ δὲ τῆς βάσεως διάμετρος ποδῶν κη· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὑφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ U+2220ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ ρμδ· λοιπὰ πα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται θ. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· συνέθηκα κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται λβ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ιϛ. μετρῶ νῦν κύκλον, οὗ ἡ ~~μὲν~~ διάμετρος ποδῶν ιϛ· ποιῶ τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτὴν καὶ τὰ γενόμενα ἐνδεκάκις· ὧν τὸ ιδ΄· καὶ μετὰ τὸ λαβεῖν με τὸ ἐμβαδὸν ~~καὶ~~ πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. ἀπὸ τούτων πάλιν ἐμέτρησα τὸν ἐλάχιστον κύκλον, καὶ ὅταν εὕρω τὸ ἐμβαδόν, τῶν γινομένων λαμβάνω τὸ γʹ ~~γίνονται λϛ~~· ταῦτα προσθεὶς τῷ τοῦ μείζονος κύκλου ἐμβαδῷ τὰ γενόμενα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τοσοῦτον γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

Ὀβελίσκος ἔχων εἰς τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ μὲν διάμετρος ποδῶν μβ, αἱ δὲ πλευραὶ αὐτοῦ ἐγκεκλιμέναι οὖσαι ἀνὰ ποδῶν οε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ· γίνονται κα. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υμα· καὶ μίαν πλευρὰν CM τοῦ κώνου γενομένην ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ,εχκε· ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ μα πρὸς τοῖς υ· λοιπὰ ,ερπδ· ὧν υμα, ἅτινα ἄφελε ἀεὶ πλευρὰ τετράγωνος· γίνονται οβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

ἐὰν δὲ θέλῃς τοῦ αὐτοῦ ὀβελίσκου τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῆς βάσεως τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὸ προκείμενον ὑπόδειγμα τῶν κύκλων καὶ τὰ γενόμενα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου. τοσούτων ἔκται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ ὀβελίσκου.

Ἔστω κῶνος ὁ λεγόμενος S ὀβελίσκος καὶ ἐχέτω τὴν βάσιν κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν μβ. τοῦ δὲ κώνου αἰ πλευραὶ αἱ ἐγκεκλιμέναι ἔστωσαν ἀπὸ ποδῶν οε· τούτου τὴν κάθετον εὑρήσομεν οὕτως· λαμβάνω τοὺς οε πόδας τῆς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ,εχκε καὶ τῆς βω S σεως τὸ U+2220΄· γίνονται κα. ταῦτα ποίει ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υμα, ἅτινα ἄφελε ἀπὸ τῶν ,εχκε· λοιπὸν μένει ,ερπδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ τραγωνικὴ γίνεται ποδῶν οβ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος τοῦ κώνου, ποδῶν οβ.

εὑρεῖν καὶ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ,ατπϛ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γʹ τῆς καθέτου, ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται πόδες γ γσξδ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τῆς βάσεως τὸ U+2220΄· γίνονται κα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ οβ γίνονται ,αφιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται γ ,γσξδ. τούτων τὸ ζʹ· γίνονται ,δψνβ. τοσούτων ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κώνου.

Κύλινδρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ διάμετρος ποδῶν ζ, καὶ ἡ περιφέρεια ποδῶν κβ. S εὕρομεν ἀπὸ τῆς περιφερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λη U+2220΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ μῆκος τῶν ν· γίνονται πόδες ,αϡκε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

10 γίνονται (alt.)] Μ, comp. C 11 μὲν] C Μ, deleo.

Κύλινδρος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, ἡ δὲ περιφέρεια ποδῶν κβ· εὑρεῖν CM αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ ἀπὸ τῆς περιφερείας ὡς καὶ ἐπὶ τῶν κύκλων τὸ ἐμβαδόν· γί νονται λη U+2220΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ν· γίνονται ,αϡκε. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

3 ὕφειλε] CM, ὕφελε Hultsch. 5 γίνονται] comp C, γίνεται Μ. 3 ποίει] ποιεῖς S. 4 υμα] corr. ex μα S 2. 11 ,ατπϛ] ,απϛ S. 14 ποδῶν] πο S.

Κύλινδρον μέτρει οὕτως, οὗ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν ϛ, ὁ δὲ ἄξων, τουτέστι τὸ μῆκος, ποδῶν ιβ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἐμέτρησα κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ϛ, καθὼς πρόκειται· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ποδῶν κη δʹ κη΄. ταῦτα ἐπολυπλασίασα ἐπὶ τὸν ἄξονα· γίνονται πόδες τλθ καὶ γ ζ΄ ζ΄. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

τὴν δὲ ἐπιφάνειαν αὐτοῦ εὑρήσεις οὕτως· ποίησον τὴν διάμετρον τρὶς καὶ ζ΄, ἐπειδὴ τῆς διαμέτρου ἡ περίμετρος τριπλάσιός ἐστιν καὶ ἐφέβδομος, καὶ προσάγαγε τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ἄξονα, τουτέστιν ἐπὶ τὰ ιβ τοῦ ὕψους· καὶ τοσούτου ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου.

Κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κα· λαμβάνω τούτου τὸ ζʹ καὶ τὸ ηʹ, ἐπειδὴ ἡ ἔδρα τοῦ κίονος κατὰ διάμετρόν ἐστιν τὸ ζʹ καὶ ἡ ἔφεδρος τὸ η΄. μίξας τὰς δύο διαμέτρους κράτει τὸ U+2220΄· γίνονται β U+2220ʹ δ΄ ιϛ΄. ἀπὸ τούτων ποίει κύκλου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες ζ ιεʹ (??)γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται πόδες ρμζ U+2220΄. τοσούτων 4 γίνονται] comp C, γίνε- ται Μ. 4 ϛ] addidi, om CM. 2 εὕρομεν] fort. τὴν βάσιν εὕρωμεν. 6 ἄξονα] Hultsch, ἄξωνα CM CM ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κίονος.

εἰ δὲ θέλεις τὴν ἐπιφάνειαν μετρῆσαι, λαβὲ ἔδρας καὶ ἐφέδρας τοὺς κύκλους καὶ μίξας ἆρον τὸ U+2220΄· ἐπὶ ταῦτα τὸ μῆκος· καὶ τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια ἔσται τοῦ κίονος.

τοῦ κίονος ἔκθεσις τοῦ αὐτοῦ Πατρικίου διόρθωσις· οἱ γὰρ ἀρχαῖοι τὰς δύο διαμέτρους οὐκ ἔμιξαν.

Κύβον μετρῆσαι, τουτέστι σχῆμα στερεὸν περιεχόμενον ὑπὸ τριῶν διαστάσεων, μήκους, πλάτους, ὕψους ἀκολούθως ἢ βάθους· καὶ πῶς; ἐπὶ μὲν τῶν σχημάτων ὕψος, ἐπὶ δὲ τῶν ὀρυγμάτων βάθος. ἔστω οὖν κύβος μῆκος πηχῶν η, πλάτος πηχῶν η καὶ ὕψος πηχῶν η· εὑρεῖν, πόσωον τὸ στερεὸν πηχῶν γίνεται ὁ κύβος. ποιῶ τοὺς η τοῦ μήκους ἐπὶ τοὺς ὀκτὼ τοῦ πλάτους· γίνονται ξδ· τούτους ἐπὶ τοὺς η τοῦ ὕψους· γίνονται φιβ. ἔσται ὁ κύβος πηχῶν φιβ.

Κύβος τετράγωνος ἰσόπλευρος, οὗ ἡ μὲν βάσις ποδῶν ῑ, τὸ μῆκος ποδῶν ῑ, τὸ ὕψος ποδῶν ῑ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ῑ τῆς βάσεως ἑξηκοντάκις· γίνονται χ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τοῦ μήκους· γίνονται ,ϛ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τοῦ ὕψους· γίνονται ϛ· ὧν ~~τούτων~~ τὸ ξ΄· γίνονται ,α. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

Κύβος παραλληλόγραμμος, οὗ ἡ παράλληλος ποδῶν κ, ἡ δὲ ἐπιζευγνύουσα ποδῶν ῑ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ κ τῆς παραλλήλου ἐπὶ τὰ ῑ· γίνονται σ, ὅπερ ἐστὶν ἐμβαδόν. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ τοῦ ὕρψους· γίνονται ,ϛ· τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κύβου.

10 δκολούθως] CM, del. Hultsch. πῶς;] CM, del. Hultsch

Σφηνίσκος, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν ε, τὸ δὲ πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ β πλάτη, τουτέστι τὰ ζ καὶ τὰ ε· γίνονται ιβ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ δύο πάχη, τουτέστι τὰ ϛ καὶ τὰ δ· γίνονται ῑ· ὧν καὶ αὐτῶν τὸ U+2220΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται λ· καὶ ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ κλ· γίνονται ψν. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ σφηωίσκου.

Σφῆνα μετρῆσαι, οὗ τὸ s μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν ζ, τὸ δὲ μικρότερον ποδῶν ε, πάχος τὸ μεῖζον ποδῶν ϛ, τὸ δὲ ἧττον ποδῶν δ ερεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰ β πλάτη τὰ ζ καὶ τὰ ε· γίνονται ιβ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ὁμοίως καὶ τὰ β πάχη τὰ ϛ καὶ τὰ δγίνονται ῑ· ὧν U+2220΄ γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται πόδες λ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ κε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες ψν. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, ποδῶν ψν.

Ἄλλως. ἔστω σφηνίσκος, ὃς καλεῖται ὑπό τινων ὄνυξ, ἔχων τὸ μὲν ἀπὸ κεφαλῆς δακτύλων ἕξ, τὸ δὲ ἄλλο δακτύλων ῑ, τὸ πάχος δακτύλων η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὰ β πλάτη· γίνονται ιϛ· ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται ραη. ἐπὶ τὸ μῆκος ταῦτα τῶν η· γίνονται ,ακδ. τούτων τὸ δ΄· γίνονται 3 τὸ (pr)] addidi, om CM. 8 β] C, δύο M. 14 γίνονται] comp. C, γίνεται Μ. S fol. 15 r. 1 σφῆνα] mut. in σφῆναν S2. οὗ τὸ] corr ex αὐτὸ S. 3 τὸ (pr.)] supra scr. S2. 7 ἐμβα- δόν] immo στερεόν. CΜ σνς· τοσούτων χυδαίων δακτύλων. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον.

Ἄλλως. ἔστω ὄνυξ ἔχων τὸ μὲν μῆκος δακτύλων ῑ, πλάτος δακτύλων ϛ, πάχος δακτύλων ε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ πλάτος καὶ τὸ πάχος· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται τ. τούτων λαμβάνω τὸ U+2220΄· γίνονται ρν. ταῦτα μερίζω ὡς τὸ τετράγωνον· γίνονται στερεοὶ δάκτυλοι ιβ δ΄.

Μείουρον τὸ προεσκαριφευμένον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν λ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ϛ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ϛ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται κδ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται τξ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεόν.

Σφῆνα μείουρον μετρήσομεν, S οὗ τὸ μῆκος ποδῶν λ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ϛ καὶ τὸ πάχος ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ϛ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες κδ· ὧν τὸ U+2220ʹ· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται πόδες τξ. τοσούτων ποδῶν ἔσται. τὸ στερεὸν τοῦ σφηνός, τξ.

CMS

Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐκ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν ϛ, η, θ, ιβ, ὁ μὲν η πρὸς ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία, ὁ δὲ θ πρὸς τὸν ϛ ἐν διπλασίῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ πασῶν· ἕξεων 3 ἔστω] C, ἔσται M. 4 ϛ] C, ἕξ M εὑρεῖν— 6 λ] M, bis C. 5 τὸ (pr. )] MCa, om. Cb. 2 τὸ μὲν μῆκος] M, τὰ μὲν μ C. 10 ἔσται] C, ἐστὶ M. τὸ] C, om. M. S fol. 15 r. 5 ἐμβαδόν] immo στερεόν. 9—p. 28, 8 exstant etiam apud Diophantum pseudepigr. II p. 17, 14 ed. Tannery et S fol. 18 (u. uol. IV p. XVIII). 11 θ] SCM, ιβ Dioph 12 Lac. pr. ita suppleri potest: ϛ 〈ἐν ἡμιολίῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ πέντε, ὁ δὲ ιβ πρὸς τὸν ϛ ⟩, cfr. Aristot Problem. CMS ἐλέγχει καὶ τὰς ἀναλογίας πάσας· ἀριθμητικὴ μέν ἐστιν ἐν ϛ καὶ θ καὶ ιβ· οἷς γὰρ ὑπερέχει ὁ μέσος τοῦ πρώτου τρισίν, ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου· γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ, τοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ, ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος. ἁρμονικῆς ἀναλογίας διττὴ κρίσις, μία μέν, ὅταν, ὃν λόγον ἔχει ὁ ἔσχατος πρὸς τὸν πρῶτον, τοῦτον ἔχῃ ἡ ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ τελευταίου .

Πυραμὶς ἐπὶ τετραγώνου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν κδ, τὸ δὲ κλίμα ἀνὰ ποδῶν ιη· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ κδ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται φοϛ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται σπη. τὰ ιη ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται τκδ· ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ σπη· λοιπὰ λϛ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ϛ. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ κάθετος. λαβὲ τοίνυν τῆς καθέτου τὸ γ΄· γίνονται β. ταῦτα ἐπὶ τὰ φοϛ· γίνονται ,αρνβ. CM τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Πυραμίδα ἐπὶ τετραγώνου SV βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν κδ καὶ τὸ κλίμα τῆς πυραμίδος ποδῶν ιη· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ κδ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες φοϛ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται πόδες σπη. καὶ τὰ ιη τοῦ κλίματος ποιῶ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες τκδ. ἄρτι ὑφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ σπη· λοιπὸν μένουσι πόδες λϛ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ SV γίνεται ποδῶν ϛ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος. ἐπειδὴ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, εὕρωμεν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὸ γ΄ τῆς καθέτου· γίνονται πόδες β. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ φοϛ· γίνονται πόδες αρνβ. τοσούτου ἐστὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν ,αρνβ.

1 ἀριθμητικὴ] ἀριθμητικῆς Dioph., ἄλλως καὶ ἀριθμητικὴ mg. S 2, γεωμετρικὴ SCM. 3 ὑπερέχεται] Dioph., ὑπερεχέτω CM. ὑπὸ] addidi, om. CM et Dioph 5 τοῦτον] S, τούτων CΜ. 6 μέν] CM, om S. ὃν λόγον] CM, τὸν λόγον ὃν S. 7 ἔσχατος) CM, μέσος S. ἔχῃ] Hultsch, ἔχει SCM. ἡ] ἢ CΜ, ὃν S. Lac. sic expleri possunt: ἡ〈ὑπεροχή, ᾗ ὁ μέσος〉 et τελευ- ταίου 〈πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τοῦ πρώτου〉 ; cfr. Nico- machus Scriptt. mus. p. 250, 20; ibid p. 251, 3 adparet, quae sit altera κρίσις hic omissa.

Ἄλλως. ἔστω πυραμὶς τετράγωνος, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιη, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιϛ· δεῖ δὲ ταύτης τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω μίαν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται πόδες σνϛ. ταῦτα δίπλασον· γίνονται φιβ. τούτων λαβὲ τὸ δ΄· γίνονται ρκη. καὶ πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες τκδ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ ρκη· λοιπὰ ρ𝒢ϛ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιδ.

τοσούτων γίνεται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἐπολυπλασίασα πάλιν τὰ ἀπὸ τῆς βάσεως τὰ ιϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες σνς. τούτων τὸ γ΄· γίνονται πόδες πε γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται ,αρ𝒢ε. τοσούτου ἔσται καὶ τὸ στερεὸν τῆς αὐτῆς πυραμίδος.

Πυραμὶς κόλουρος τεθραυσμένη τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ῑ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν θ, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β. εὑρεῖν αὐτῆς τὸρεόν. στεποίει οὕτως· ὕφειλε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν τὰ τῆς βάσεως· λοιπὰ η. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ λβ· λοιπὰ μθ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ζ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

καὶ σύνθες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ι τῆς βά σεως· γίνονται ιβ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. εἶτα ὕφειλε τὰ δύο τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ῑ· λοιπὰ η· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται δ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ· ὧν τὸ γ΄ ε γ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ· γίνονται μα γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται σπθ γ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Πυραμὶς κόλουρος τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν ῑ καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀπὸ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὑφεῖλον β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ῑ ποδῶν τῆς βάσεως· λοιπὸν μένουσι πόδες η. ταῦτα ποιεῖ ἐφʼ ἑαυτὰ πόδας ξδ· ὧν U+2220ʹ γίνονται πόδες λβ. καὶ τὰ θ τοῦ κλίματος ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες πα. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ λβ· λοιπὸν μένουσι πόδες μθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὕρωμεν τὸ στερεὸν οὕτως· σύνθες τοὺς β πόδας τῆς κορυφῆς καὶ τοὺς ῑ πόδας τῆς βάσεως· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ· ὧν U+2220΄ γίνονται ϛ. ταῦτα ποίει ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες λϛ. πάλιν ὑφεῖλον ἀπὸ τῶν ῑ ποδῶν τῆς κορυφῆς τοὺς β πόδας· λοιπὸν μένουσιν η πόδες· ὧν U+2220΄ γίνονται δ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες ιϛ· ὧν γ΄ γίνονται πόδες ε γ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ· γίνονται ὁμοῦ πόδες μα γ΄. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τοὺς ζ πόδας τῆς καθέτου· γίνονται πόδες σπθ γ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Ἄλλως. πυραμὶς τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος ἔστω ἐπὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν δ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιε, α δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν κη· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ πάλιν πολυπλασίασον τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ τὰ ρμδ· λοιπὰ πα. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος τοῦ τετραπεδίου δυνάμει.

καὶ πάλιν ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. καὶ ἄφελε τὴν τοῦ τετραπεδίου κάθετον τὰ πα ἀπὸ τῶν ρμδ· λοιπὰ ξγ. τούτων τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται η παρὰ ιϛ΄.

τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· σύνθες κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται λβ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ιϛ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται σνϛ. πάλιν ἀφεῖλον κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ κδ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη. ταῦτα προσάγαγε τοῖς σνϛ· γίνονται τδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται βυιγ. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Ἔστω πυραμὶς ἑτερομήκης ὁμοίως καὶ κόλουρος εἴτουν ἡμιτελής, ἧς αἱ μὲν β πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ, αἱ δὲ ἄλλαι ἀνὰ ποδῶν κ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν CM κϛ καὶ ἡ κορυφὴ ἡ μὲν κατὰ μῆκος ποδῶν δ, ἡ δὲ κατὰ πλάτος ποδῶν β· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως παράλληλον ἀπὸ παραλλήλου τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ· λοιπὰ ιβ ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὧν U+2220ʹ γίνονται οβ. καὶ ὁμοίως τὰ δ ἀπὸ τῶν κ· λοιπὰ ιϛ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται σνϛ ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ρκη. καὶ τὰ οβ· γίνονται σ. τούτων ἄφελε τὸ U+2220΄· γίνονται ρ. πολυπλασίασον τὰ κλίματα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται χοϛ ἀφʼ ὧν ὕφειλε τὰ ρ· λοιπὰ φοϛ. τούτων λαβὲ τετραγωνικὴν πλευράν· γίνονται κδ. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

σύνθες οὖν τὰς παραλλήλους βάσεις τὰ δ καὶ τὰ κ· γίνονται κδ· ὧν τὸ U+2220ʹ γίνονται ιβ. πάλιν σύνθες τὰ β καὶ τὰ ιδ· γίνονται ιϛ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται η. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται 𝒢ϛ. ἄφελε νῦν κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ δ ἀπὸ τῶν κ· λοιπὰ ιϛ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται η. ὁμοίως καὶ τὰ β ἀπὸ τῶν ιδ· λοιπὰ ιβ· ὧν U+2220΄ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐπὶ τὰ η· γίνονται μη. καθόλου λάμβανε τὸ γ΄· γίνονται ιϛ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς 𝒢ϛ· γίνονται ριβ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται βχπη. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν τῆς ἑτερομήκους πυραμίδος.

Πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου βεβηκυῖα, ἧς ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν κ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν τὸ γ΄ τ. καὶ τὰ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ ὧν ὑφεῖλον τὰ τ· λοιπὰ ρ· ὧν CΜ πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ῑ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

ποίει οὕτως νῦν· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται τ(??)𝒢· ὧν τὸ γ΄· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τῆς καθέτου· γίνονται ,ατ. τοσούτῶν ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς τριγώνου πυραμίδος.

Πυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύτριγώνου ρου τριγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως, ἧς ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀπὸ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται Ϡ ὧν γ΄ γίνονται τ. καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υ. ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τὰ τ· S λοιπὸν μένουσι πόδες ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ῑ. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ κάθετος, ποδῶν ῑ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν ἡ κάθετος ποδῶν ῑ, εὑρήσομεν τὸ ἐμβαδὸν οὕτως· λαβὲ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται Ϡ· ὧν γ΄ καὶ ι΄ γίνονται πόδες τ𝒢. τούτων τὸ γ΄· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ,ατ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν ,ατ.

Ἄλλως. ἔστω πυραμὶς ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἧς τὰ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ιβ· δεῖ δὲ αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεὸν εὑρεῖν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη. τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ ρξθ. ἀπὸ τούτων ὕφειλε τὰ μη· λοιπὰ ρκα· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ἐμέτρησα ἀπὸ τῶν τῆς βάσεως ιβ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου· ἔστι δὲ τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ξβ γ΄ λ΄. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται χπϛ λ΄. τούτων τὸ γ΄· 1 τετράγωνος], C, mg. M2 (γρ.), τετραγωνικὴ γίνεται]comp. C, γίνονται Μ. 4 γίνεται ποδῶν]. ?? π S. 8 ἐμβαδὸν] immo στερεὸν. CM γίνονται σκη U+2220ʹ ϛ΄ʹ. τοσούτου γίνεται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Ἄλλως. πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ῑ, αἱ δὲ πλευραὶ τῆς πυραμίδος ἀνὰ ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· πρῶτον λαβὲ τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τοῦ περιγράφοντος τὸ τρίγωνον· γίνονται ῑ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ἄε. καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρξθ· ἐξ ὧν κούφισον τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

ἐὰν δὲ θέλῃς τὸ στερεὸν εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πρῶτον ζήτει τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται κδ· καὶ λαβὲ τῆς καθέτου τὸ γ΄· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κδ· γίνονται 𝒢ϛ. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Ἔστω πυραμὶς τρίγωνος ἰσόπλευρος τεθραυσμένη εἴτουν κόλουρος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ, αἱ δὲ τῆς βάσεως πλευραὶ ἀνὰ ποδῶν ιδ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ἄφελε κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ ιβ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται μη. καὶ τὰ ἀπὸ τοῦ κλίματος ~~γίνονται πόδες~~ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μη· λοιπὰ ρκα· ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ γίνεται ια. τοσούτου γίνεται ἡ κάθετος.

τὸ στερεὸν μετρήσωμεν οὕτως· συνέθηκα 3 ὀρθογώνιον] M, om. C. 4 οὗ ἡ] Hultsch, ἡ M, οὖ ἡ ὀρθογώνιος C. 7 περιγράφοντος τὸ τρίγωνον| Hultsch coll Stereom.ll, 34; περιγ ρα τριγῶ M, περιτριγώνου C. 8 γίνονται] comp. C, γίνεται M. γίνονται] comp. C, γίνεται M. 9 καὶ— 10 κε] M, om. C. 11 τετράγωνος] C, τετραγωνικὴ M. 12 θέλῃς] M, θέλεις C. 14 γ΄] M, τρίτον C. 17 τεθραυσμένη] Μ, CM κορυφὴν καὶ βάσιν· γίνονται κϛ· ὧν τὸ U+2220΄·γίνονται ιγ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων τρίγωνον ἰσόπλευρον· γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ογ U+2220΄ γ΄ ιε΄. ταῦτα ἐξεθέμην. καὶ πάλιν κορυφὴν ἄφελε ἀπὸ τῆς βάσεως· λοιπὰ ιβ· ὧν U+2220΄γίνονται ϛ. ἐμέτρησα ἀπὸ τούτων ἐλάχιστον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν ξβ γ΄ ιε΄. τούτων τὸ γ΄· γίνονται κ U+2220΄ δ΄ κ΄. ταῦτα προσάγαγε τοῖς πρότερον ἐκτεθεῖσιν ογ U+2220΄ γ΄ ιε΄· γίνονται 𝒢δ U+2220΄ ε΄ ὡς ἔγγιστα. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· καὶ τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν ἤγουν ,αμα U+2220΄ ε΄.

Πάλιν ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετράγωνον, ἧς ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ ποδῶν ῑ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιγ U+2220΄ εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· λαβὲ τοῦ τετραγώνου πλευρὰν γενομένην ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ρ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ U+2220΄ τῆς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά, λέγω δὴ τοῦ κλίματος· γίνονται ρπβ δ΄ ἐξ ὧν ὕφειλε τὰ ν· λοιπὰ ρλβ δ΄· ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ια U+2220΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ κάθετος.

ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ τὸ στερεὸν αὐτῆς CM εὑρεῖν, λαβὲ τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ U+2220΄ γ΄· γίνονται τπγ γ΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος.

Ἔστω πυραμὶς βάσιν SV ἔχουσα τετράγωνον, καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ῑ, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω τὰς πλευρὰς ἀνακεκλιμένας ἀπὸ ποδῶν ιγ U+2220΄· εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τοῦ τετραγώνου τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ρ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ν. καὶ τὰ ιγ U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες ρπβ δ΄. αἴρω ἀπὸ τούτων τὰ ν· λοιπὸν μένουσι πόδες ρλβ δ΄ ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ια U+2220΄.

τὸ δὲ στερεὸν εὑρίσκεται οὕτως· τοῦ τετραγώνο τὸ ἐμβαδὸν sv γίνεται ποδῶν ρ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γ΄ μέρος τῆς καθέτου· γίνονται πόδες τπγ γ΄. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος, ποδῶν τπγ γ΄.

2 γίνεται τὸ] C, γίνονται τὰ M. 4 ἄφελε] CM, ἀφεῖλον Hultsch. 5 U+2220΄ ] C, ἥμισυ M. γίνονται] comp. C, γίνεται M.

Κογχίων μετρήσεις διάφοροι.

Κόγχη, ἧς ἡ βάσις μὲν ποδῶν η, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν δ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. μέτρει κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ η τῆς διαμέτρου ἐφʼ ἑαυτά γίνονται ξδ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ψδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται δ΄ κη΄. τοσούτου γίνεται τῆς κόγχης ἡ ἐπιφάνεια. κύκλος δὲ μετρεῖται, ὅταν ἡ κάθετος καὶ ἡ ἔσω ἕλκουσα ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ δύο ποιῶσι ~~τὴν~~ διάμετρον μίαν ἴσην ἑαυταῖς.

Ἄλλως. κόγχη μετρηθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον· ἔστω τῆς κόγχης ἡ μὲν βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ, ἡ δὲ ἔσω ἕλκουσα ποδῶν γ. ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν ιβ τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. καὶ τὰ δ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. ταῦτα προσάγαγε τοῖς λς· γίνονται νβ. καὶ προσάγαγε αὐτοῖς τὸ ἴδιον U+2220΄· γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται θ. προσάγαγε τοῖς οη· γίνονται πζ. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὴν ἔσω ὑποτείνουσαν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σξα· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ρλ U+2220΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,αυλε· ὧν τὸ κα΄· γίνονται ξη γ΄. τοσούτων γίνεται τὸ στερεὸν

σὺν τῷ κενώματι. ἀφʼ ὧν χρὴ ἆ ραι τὸ κένωμα ὁμοίως μετρήσαντας. ἐχέτω γὰρ ἡ κόγχη τὸ πλάτος τῆς βάσεως τοῦ οἰκοδομήματος ποδῶν β· λοιπὸν ἡ βάσις τοῦ ἐσωφώτου εἴτουν τοῦ κενώματος ποδῶν ῑ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν γ, ἡ δὲ ἔσω τείνουσα ποδῶν β.

γίνεται οὖν τοῦ κενώματος ὁμοίως μετρουμένου κατὰ τὰ προλεχθέντα τῶν ῑ τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄ ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε. καὶ τὰ γ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται θ ὁμοῦ γίνονται λδ· οἷς προσάγαγε τὸ ἴδιον ἥμισυ· γίνονται να. καὶ τὰ β ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται δ. προσάγαγε τοῖς να· γίνονται νε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται χε· ὧν τὸ κα΄· γίνονται κη καὶ ιζ κα΄ κα΄. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος. ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ξη γ΄· λοιπὰ λθ γ΄ ζ΄ κα΄. τοσούτου καταλείπεται τὸ στερεὸν τῆς οἰκοδομῆς, τῆς κόγχης δηλονότι.

Τμήματος σφαίρας, τουτέστιν ἰσαρίθμου, πάντα ποίησον διʼ ἀλλήλων, καὶ τῶν γενομένων καθόλου τὸ U+2220΄ καὶ τὸ μβ΄, ἐπειδήπερ πάσης σφαίρας τοῦ κυβισθέντος τῆς διαμέτρου μέρος U+2220΄ καὶ μβ΄ ἴσον ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ.

Θέατρον, οὗ ἡ μὲν μείζων περιφέρεια ποδῶν υκ, ἡ δὲ ἐλάττων ποδῶν ρπ, αἱ δὲ βαθμίδες εἰσὶ τῷ ἀριθμῷ σπ· εὑρεῖν, πόσους CM ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν μείζονα καὶ τὴν ἐλάττονα, τουτέστι τὰ υκ καὶ τὰ ρπ· γίνονται χ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται τ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς βαθμίδας· γίνονται η ,δ. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ· ἕκαστος γὰρ ποὺς ἕνα ἄνδρα χωρεῖ.

Μαθεῖν θέατρον, πόσους S χωρεῖ ἄνδρας, οὕτως· μετρηθὲν τὸ ἀνώτερον βάθρον ἔσχεν πόδας υκ, καὶ τὸ κατώτερον ἔσχεν πόδας ρπ· ὁμοῦ γίνονται χ πόδες· s ὧν τὸ U+2220΄ γίνονται τ. τὰ δὲ βάθρα ἐστὶν ἀριθμῷ ν. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ τ· γίνονται πόδες α ,ε. τοσούτους ἄνδρας χωρήσει· ἑκάστου γὰρ ἀνδρὸς ὁ τόπος ποδὸς ᾱ ἐστι τοῦ πλάτους.

2 μετρήσαντας] C, μετρήσαντος M. 4 ἐσωφώτου] Hultsch, ἔσω φώτου M, ἐσοφώτου C. 5 γ] M, τριῶν C. 11 ἑνδεκά- κις] M, ια΄ C. 12 γίνονται] comp. C, γίνεται M. 14 λοιπὰ] M, λοι C. 15 τῆς κόγχης δηλονότι] del. Hultsch. 16—26 del. Hultsch. 16 ἰσαρίθμου] M, ἰσορίθμου C. 18 U+2220ʹ] C, ἥμισυ τοῦ κυβισθέντος τῆς διαμέτρου] scripsi, τὸ κυβισθὲν CM.

Ἄλλο θέατρον, οὗ εἰσιν αἱ βαθμίδες, εἰ τύχοι, σν, λαμβάνει δὲ ὁ πρῶτος βαθμὸς ὁ κάτω ἄνδρας μ, ὁ δὲ ἄνω ρκ· εὑρεῖν, πόσους ἄνδρας χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὸν ἀριθμὸν τῶν ἀνδρῶν τοῦ κάτω βαθμοῦ καὶ τοῦ ἄνω· γίνονται ρξ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται π. ταῦτα ἐπὶ τοὺς σν βαθμούς· γίνονται β. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ τὸ θέατρον.

Ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου βαθμοῦ ἕως τοῦ ὑστέρου εἰς τὸ ὕστερον λαμβάνει πλείους ἄνδρας ε, θέλεις δὲ γνῶναι, ὁ ὕστερος βαθμός, τουτέστιν ὁ ἀνώτερος, πόσους ἄνδρας χωρεῖ λαμβάνοντος τοῦ πρώτου βαθμοῦ, τουτέστι τοῦ κατωτέρου, ἄνδρας μ, ἔχοντος τοῦ θεάτρου βαθμοὺς σν, ποίει οὕτως· ὕφειλε ἀπὸ CM τῶν βαθμῶν ᾱ· λοιπὰ σμθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ,ασμε. καὶ πρόσθες τοὺς μ τοὺς τοῦ πρώτου βαθμοῦ· γίνονται ασπε. τοσούτους ἄνδρας χωρεῖ ὁ ὕστερος βαθμὸς ὁ ἄνωθεν.

Ἐὰν δὲ εἴπῃ τις, ὅτι S ἕκαστος βαθμὸς ἐκ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ λαμβάνει πλέον τοῦ ἑτέρου ἄνδρας ἀριθμὸν ε, ἔχει δὲ βαθμοὺς ἀριθμῷ ν, μ δὲ λαμβάνει ὁ ὕστερος βαθμός· ὁ πρῶτος βαθμὸς πόσους χωρεῖ; ποιῶ οὕτως· αἴρω ἀπὸ τῶν ν μονάδα ᾱ· λοιπὸν μένουσι ἄρα σμε. πρόσθες τούτοις τὰ μ τοῦ ὑστέρου βαθμοῦ· γίνονται σπε. τοσούτους χωρήσει ἄνδρας ὁ α΄ βαθμός.

5 γίνονται] scripsi, γίνεται CM. 3 ἀριθμ S, comp. e corr. 8 ποδὸς] π S.

Ἀμφιθέατρον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ· τὴν περίμετρον. ποίει οὕτως· τὰ σμ τοῦ μήκους ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ε ,ζχ· καὶ τὰ ξ τοῦ πλάτους ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ,γχ· καὶ τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται α ,δυ. καὶ σύνθες τοὺς τρεῖς ἀριθμούς· γίνονται ζ εχ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται σοε. ταῦτα δὲ δίς· γίνονται φν. τοσούτου ἔσται ~~ποδῶν~~ ἡ περίμετρος.

Ἔστω ἀμφιθέατρον καὶ ἐχέτω τὸ μὲν μῆκος ποδῶν σμ, τὸ δὲ πλάτος ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται πόδες α ,δυ. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασιάζω ια· γίνονται πόδες ιε ,ηυ. τούτων μερίζω τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες α ,ατιδ δ΄ κη΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ ἐμβαδόν. τὴν δὲ περίμετρον εὑρήσομεν οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος τὰ σμ ἐκ διπλοῦ· γίνονται πόδες ῡπ. προστιθῶ νῦν τὸ πλάτος τοὺς ξ πόδας καὶ τὸ ἕκτον μέρος τοῦ πλάτους· γίνονται ῑ· ὁμοῦ γίνονται πόδες ο. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ῡπ ποσὶ τοῦ διπλοῦ μήκους· γίνονται πόδες φν. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἡ περίμετρος S τοῦ ἀμφιθεάτρου.

Τρίκλινος, οὗ τὸ μὲν πλάτος ποδῶν κϛ U+2220΄, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν λᾱ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν λη, διὰ τοίχου β δ΄. τὸ ἐν τοίχῳ ἐπὶ τὰ λᾱ· γίνονται ξθ U+2220΄ δ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ λη τοῦ ὕψους· γίνονται ,βχν U+2220΄. ταῦτα τετράκις, ἐπειδὴ τέσσαρές εἰσι τοῖχοι· γίνονται α χβ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τοῦ τρικλίνου τὰ ἐν τοίχῳ.

CMV

Τρίκλινος ἤτοι ὡρεῖον, οὗ τὸ μὲν μῆκος πηχῶν κ, τὸ δὲ πλάτος πηχῶν ῑε, τὸ δὲ ὕψος πηχῶν ϛ· εὑρεῖν, πόσους μοδίους χωρεῖ. ποίει οὕτως· τὰ τοῦ μήκους ἐπὶ τὰ ῑε τοῦ πλάτους· γίνονται τ· καὶ ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ τοῦ ὕψους· γίνονται ᾱω. ταῦτα ἀεὶ πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ῑᾱ κβ΄· γίνονται μόδιοι α θωπα U+2220΄ δ΄ κβ΄ μδ΄. τοσούτους μοδίους λαμβάνει ὁ τρίκλινος.

Κολυμβήθρας καὶ φρέατος καὶ γουβικῶν ἀνοιγμάτων καὶ τοίχων καὶ λίθον καὶ πηλῶν καὶ δοκῶν καὶ οἱωνδηποτοῦν σχημάτων ἐὰν μάθῃς τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος, θέλῃς δὲ γνῶναι, πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος· καὶ τοσαῦτα κεράμια ἔσονται ἢ πόδες στερεοί.

Κολυμβήθρα, ἧς τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ῑβ, τὸ δὲ ὕψος ἢ τὸ βάθος ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται. 1 κϛ U+2220΄] scripsi, κζ΄ CM, λα΄ Hultsch. 2 δὲ] M, om. C. διὰ τοίχου] CM, τὸ δʼ ἐν τοίχῳ Hultsch. β] C, ποδῶν β M. τὸ (alt.)] M, τοῦ C. 4 ἐπειδὴ] M, om. C. 5 τέσσαρές] Hultsch. τετράκις M, om. C. τοῖχοι] M, τοίχει C. 6 τοίχῳ] τοι. CM. 7—13 V fol. 11v. 10 τὰ (pr.)] CM, τῶν V. τὰ (alt.)] CM, τῶν V. CM ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὰ ῑβ ἐπὶ τὰ κε· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τοῦ βάθους ἢ τοῦ ὕψους· γίνονται ,αφ. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ κολυμβήθρα.

Κολυμβήθρα, ἧς τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ῑ, τὸ δὲ ὕψος ἢ τὸ βάθος ποδῶν δ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσους πόδας μαρμάρων συνάγει. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ ῑ τοῦ μήκους καὶ τὰ ε τοῦ πλάτους· γίνονται ῑε. ταῦτα δίς· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος ἤτοι τὸ ὕψος· γίνονται ρκ. τοσούτους πόδας μαρμάρων συνάγει ἡ κολυμβήθρα.

ἐὰν θέλῃς καὶ τὸ ἔδαφος τῆς κολυμβήθρας εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ν. τοσούτους πόδας μαρμάρων συνάγει τὸ ἔδαφος. τούτους πρόσθες τοῖς ρκ· γίνονται ὁμοῦ ρο. τοσοῦτοι πόδες μαρμάρων εἰσὶ τῆς κολυμβήθρας.

Φρέαρ, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ε καὶ περιοικοδόμημα τῶν τοίχων ἐχόντων πλάτος ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος αὐτοῦ ποδῶν κ· εὑρεῖν, πόσων ποδῶν ἐστιν ὁ τοῖχος. τοῦ τοίχου τὸ πλάτος δίς· γίνονται δ. ταῦτα προστίθει τοῖς ε τῆς διαμέτρου· γίνονται θ, ὡς εἶναι τὴν διάμετρον τοῦ τε φρέατος καὶ τῶν τοίχων ὁμοῦ ποδῶν θ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πᾱ· ἐξ ὧν ἄφελε τὴν διάμετρον τοῦ φρέατος γενομένην ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται κε· λοιπὰ νϛ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται χιϛ. τούτων ἀεὶ τὸ ιδ΄· γίνονται μδ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κ τοῦ βάθους· γίνονται ωπ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ὁ τοῖχος τοῦ ὅλου φρέατος.

Κοῦπα, ἧς ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ ὕψος αὐτῆς ποδῶν η· ἔχει δὲ οἶνον, εἰ τύχοι, ποδῶν ϛ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· ὕφειλε τὰ τρία τῆς ἄνω διαμέτρου ἀπὸ τῶν ε CM τῆς κάτω· λοιπὰ β. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται ῑβ. τούτων τὸ η΄· γίνεται ᾱ U+2220΄. ὕφειλε τὴν ᾱ U+2220΄ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὰ γ U+2220΄. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ πλάτος, ἕως ὅπῃ ὁ οἶνος ἐτύγχανε.

σύνθες τοίνυν τὰ γ U+2220΄ καὶ τὰ ε· γίνονται η U+2220΄· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται δ δ΄. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ῑη ιϛ΄. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται ρ𝒢η U+2220΄ η΄ιϛ΄. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ῑδ ζ΄ κη΄ ριβ΄ σκδ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ τοῦ ὕψους· γίνονται πε ζ΄. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ κοῦπα.

Βούτης, ἧς ἡ ἄνω διάμετρος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ κάτω ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ῑ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν ἄνω διάμετρον καὶ τὴν κάτω· γίνονται ῑδ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται ζ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται μθ. ταῦτα δεκάκις καὶ ἅπαξ· γίνονται φλθ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται λη U+2220΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τοῦ ὕψους· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ βούτης.

Πλοῖον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις πηχῶν ϛ, ἡ δὲ κάτω βάσις πηχῶν δ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποίει οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται κδ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ κδ τοῦ μήκους· γίνονται φοϛ. τούτων ἀεὶ τὸ γ΄· γίνονται ρ𝒢β. ταῦτα σύνθες μετὰ τῶν φοϛ· γίνονται ψξη· ἅπερ εἰσὶ κεράμια. χωρεῖ δὲ τὸ κεράμιον μοδίους ῑ· γίνονται μόδιοι ζχπ. τοσούτους μοδίους χωρεῖ τὸ πλοῖον.

Εἰ δὲ στερεομετρίαν οἰκοδομῆς ἡμικυκλίου ἤγουν ἀψίδος θέλῃς μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ 1 λοιπὰ] M, λοι C. 2 γίνεται] comp. C, γίνονται M. 4 ὅπῃ] M, ὄπει C. 2 χωρεῖ ἡ κοῦπα] C, ἐστιν ὁ οἶνος M. 10 κάτω] M, om. C. 14 ἐφʼ — 15 γίνονται] bis C, sed del. 18 ποδῶν] CM, πηχῶν Hultsch. 20 τὴν βάσιν (alt.)] M, τοῦ μήκους C. 22 τὸ γ΄] Hultsch. bis CM. ρ𝒢β] C, S κάθετος ποδῶν γ καὶ τὸ πάχος τοῦ τοίχου ποδὸς ᾱ, πρόσθες τοῖς ϛ ποσὶ τῆς διαμέτρου τὸν ᾱ πόδα τοῦ ἑνὸς μέρους τοῦ πάχους τοῦ τοίχου· γίνονται πόδες ζ· ὧν ἡ περίμετρος ἕτερον αὐτῶν U+2220΄ δ΄ μέρος· γίνονται πόδες ῑᾱ. τούτους ἐπὶ τὸ ὕψος τῆς οἰκοδομῆς.

Εἰ θέλεις σκηνῶσαι τὸν ἀέρα τῆς σφαίρας, μέτρησον κατὰ τὴν προγεγραμμένην μέθοδον τῆς σφαίρας χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐμφώτου τῆς σφαίρας ποδῶν η, τὸ δὲ πάχος τῶν β τοίχων ποδῶν β. πολυπλασιάζεις τοὺς η πόδας τοῦ ἐμφώτου ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται πόδες ξδ. τούτους πάλιν πολυπλασιάζεις ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς η πόδας τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες φῑβ. τούτους πολυπλασιάζεις ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ,εχλβ. τούτους μέρισον παρὰ τὸν κᾱ· γίνονται πόδες σξη ζ΄ κα΄. τοσοῦτον ἔστω τὸ σκήνωμα τοῦ ἀέρος τῆς σφαίρας.

Ἡμισφαίριον μετρήσομεν κατὰ τὴν μέθοδον τῆς σφαίρας τὰ συναγόμενα παρὰ τὸν μβ μερίζοντες. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν κβ· εὑρεῖν τούτου τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τοὺς ζ πόδας τῆς διαμέτρου ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται μθ. τούτους πάλιν ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς ζ τῆς διαμέτρου· γίνονται τμγ· ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸν ῑᾱ καὶ μερίζω παρὰ τὸν μβ· γίνονται πθ U+2220΄ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ ἡμισφαιρίου.

Σκήνωσιν μετρῆσαι ἀέρος ἡμισφαιρίου. μέτρησον κατὰ τὴν προγεγραμμένην μέθοδον τῆς μετρήσεως τοῦ 6 sqq. S fol. 12 v sqq. 10 πολυπλασιάζεις] corr. ex πολυ- πλασίασον S. 14 ἑνδεκάκις] ῑα S. 15 γίνονται—κα΄] om. S, sed v. fig. 23 ἐπὶ—μερίζω] supra scr. S 2. 26 Σκήνωσιν] σ- add. S2. S στερεοῦ τοῦ ἡμισφαιρίου χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἐμφώτου τοῦ ἡμισφαιρίου ποδῶν ῑ, τὸ δὲ πάχος τῶν β τοίχων ποδῶν δ. τοὺς ῑ πόδας τῆς διαμέτρου τοῦ ἐμφώτου καὶ μόνους πολυπλασιάζεις ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ρ. τὰ ρ ἐπὶ τοὺς αὐτοὺς ῑ· γίνονται ᾱ. ταῦτα πολυπλασιάζεις ἑνδεκάκις· γίνονται α ,ᾱ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται πόδες σξᾱ U+2220΄ γ΄ ιδ΄. τοσούτων ἔστω ποδῶν τὸ σκήνωμα τοῦ ἀέρος τοῦ ἡμισφαιρίου.

Ἐπιφάνειαν ἤγουν ἐμβαδὸν ἢ χώρησιν τοῦ αὐτοῦ ἡμισφαιρίου τοῦ ἔχοντος διάμετρον ποδῶν ῑ, περίμετρον ποδῶν λᾱ δ΄ ζ΄ κη΄, μετρήσομεν πάντοτε οὕτως· τὴν διάμετρον τῶν ῑ ἐπὶ τοὺς λᾱ δ΄ ζ΄ κη΄ τῆς περιμέτρου· γίνονται τιδ δ΄ κη΄· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται πόδες ρνζ η΄ νϛ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμισφαιρίου.

Κόγχην ἤγουν τεταρτημόριον μετρήσομεν κατὰ τὴν μέθοδον τοῦ ἡμισφαιρίου τὰ συναγόμενα μερίζοντες παρὰ τὸν πδ. οἷον ἔστω ἡ διάμετρος τῆς κόγχης σὺν τοῖς β πάχεσι τῶν τοίχων ποδῶν ῑδ. τούτους ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ρ𝒢ϛ. ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὰ ῑδ τῆς αὐτῆς διαμέτρου· γίνονται βψμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται γ ρπδ. τούτων τὸ πδ΄· γίνονται πόδες τνθ γ΄. τοσούτων ἔστω τὸ στερεὸν τῆς κόγχης ὁλόμαζον.

Σκήνωσιν μετρῆσαι ἀέρος τῆς αὐτῆς κόγχης ἤγουν τεταρτημορίου καὶ εὑρεῖν τὴν στερεομετρίαν τῆς οἰκοδομῆς. μέτρησον κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον τοῦ ὁλομάζου τῆς κόγχης χωρὶς τοῦ πάχους τῶν τοίχων. οἷον τοὺς 6 ἑνδεκάκις] ια S. 7 μβ΄] μβ S. 8 σκήνωμα] κήνωμα S. 10 χώρησιν] χρίσῖ S, supra scr. ω et η, sed del. 11 τοῦ] om. S. περίμετρ S. 21 ἑνδεκάκις] ια S. 22 γ ρπδ] ρπδ S. 24 σκήνωσιν] σ- postea add. S. S ῑ πόδας τῆς διαμέτρου τοῦ ἐμφώτου ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ρ. τὰ ρ πάλιν ἐπὶ τοὺς ῑ· γίνονται ,ᾱ. τὰ ,ᾱ ἑνδεκάκις· γίνονται α ,ᾱ. τούτων τὸ πδ΄· γίνονται πόδες ρλ U+2220΄ γ΄ ιβ΄ κη΄. τοσούτων ποδῶν ἔστω ὁ ἀὴρ τῆς κόγχης· οὓς ἄφελε ἀπὸ τῶν προγεγραμμένων τνθ γ΄ ποδῶν τοῦ ὁλομάζου· καὶ οἱ λοιποὶ πόδες σκη δ΄ η΄ τῆς οἰκοδομῆς.

Χώρησιν μετρῆσαι ἤγουν ἐμβαδὸν τῆς αὐτῆς κόγχης. τοὺς ῑ πόδας τῆς διαμέτρου ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ρ. τούτους ἑνδεκάκις· γίνονται ,ᾱρ. τούτους παρὰ τὸν ῑδ· γίνονται πόδες οη U+2220΄ ιδ΄. τοσούτων ἔστω ποδῶν ἡ χώρησις ἤγουν τὸ ἐμβαδὸν τῆς κόγχης.

Εἰ θέλεις εὑρεῖν καὶ διὰ τῆς περιμέτρου τὴν ἐπιφάνειαν τῆς κόγχης, ποιήσεις οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ζ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν ῑᾱ. τὴν διάμετρον τῶν ζ ἐπὶ τὴν περίμετρον τῶν ῑᾱ· γίνονται οζ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται πόδες λη U+2220΄. τοσούτων ἔστω ποδῶν ἡ ἐπιφάνεια τῆς κόγχης.

Πυραμίδα μετρήσομεν, ἧς τὸ μῆκος ποδῶν κ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν κ καὶ τὸ ὕψος ποδῶν ῑϛ· εὑρεῖν αὐτῆς τὰς ὑποτεινούσας πλευρὰς ἑκάστου τοίχου ἔχοντος πάχος ποδῶν β. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ ἡ πλευρὰ ἔχει ἔξωθεν πόδας κ, τὸ δὲ ἀπὸ τοῦ ἔξωθεν ἐμφώτου ἕως τοῦ μεσοκέντρου, ὡς προεῖπον, τὸ ὕψος ποδῶν ῑϛ, ποίησον οὕτως· τὰ ῑϛ τοῦ ὕψους ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· καὶ τὰ ῑ, τουτέστι τὸ U+2220΄ τῆς πλευρᾶς, ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρ· ὁμοῦ γίνονται πόδες τνϛ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ῑη U+2220΄ δ΄ η΄. τοσούτων ποδῶν 3 ἑνδεκάκις] ια S. 8 Χώρησιν] corr. ex χρῆσιν S. 10 ἑνδεκάκις] ια S. 11 ῑδ] ιδ S. 12 χώρησις] corr. ex χρῆσις S. 18 des. S fol. 14 r. 19 S fol. 15 r, V fol. 9 r. SV ἔσται ἡ ὑποτείνουσα πλευρὰ τοῦ ἑνὸς σκέλους ἕως τοῦ μεσοκέντρου.

εἰ δὲ θέλεις τὸ στερεὸν τῶν τοίχων εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τὴν ὑποτείνουσαν ἐπὶ τὰ ῑ· γίνονται πόδες ρπη U+2220΄ δ΄. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται 𝒢δ δ΄ η΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τοὺς β πόδας· γίνονται ρπη U+2220΄ δ ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ τοίχου τῆς ᾱ πλευρᾶς. ἀλλὰ ἐπειδὴ δ πλευρὰς ἔχει ἡ πυραμίς, γίνονται τῶν δ πλευρῶν πόδες ψνε. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῶν τοίχων τῆς πυραμίδος.

Εἰ δὲ θέλεις εὑρεῖν τῆς στέγης τὸν μόλιβδον ἢ τὸν χαλκὸν ἢ τὸν κέραμον τῆς αὐτῆς πυραμίδος, ποιεῖς οὕτως· τὴν ὑποτείνουσαν, τουτέστι τὰ ῑη U+2220΄ δ΄ η΄, ἐπὶ τοὺς ῑ πόδας· γίνονται πόδες ρπη U+2220΄ δ΄. τούτων ὑφαιρῶ τὸ U+2220΄· λοιπὸν μένουσι πόδες 𝒢δ δ΄ η΄. τοσούτων ποδῶν ἔστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς στέγης τῆς ᾱ πλευρᾶς. ἀλλʼ ἐπειδὴ δ πλευρὰς ἔχει ἡ πυραμίς, ὁμοῦ γίνονται τῶν δ πλευρῶν πόδες τοζ U+2220΄. τοσούτων ἔσται ἡ ἐπιφάνεια τῆς στέγης τοῦ μολίβδου ἢ τοῦ χαλκοῦ ἢ τοῦ κεράμου τῆς πυραμίδος, ποδῶν τοζ U+2220΄, ἐπειδὴ ἀπὸ γ ἔστέγασται ἡ πυραμίς.

Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ῑγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ῑγ κύβισον· γίνονται ,βρ𝒢ζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· β ,δρξζ γίνονται. τούτων τὸ κα΄· γίνονται ,αρν U+2220΄ δ΄ κα΄ πδ΄. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεόν. εὑρεῖν δὲ αὐτῆς καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· ῑγ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα καθόλου τετράκις· γίνονται χοϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ζυλϛ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται φλα ζ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.

7 ᾱ] (h. e. μιᾶς) πρώτης SV. 8 ψνε] ψοε SV. 10 μόλιβ- δον] S, μόλυβδον V. 13 δ΄] Hultsch, δη΄ SV. 15 ᾱ] πρώτης SV. ἐπειδὴ] corr. ex ἐπὶ S. δ] supra scr. V2. 17 τοζ] τὸ ζ V. 19 τοζ] τὸ ζ V. γ] γ΄ SV. Des. V fol. 9v, S fol. 15v. 20 sqq. S fol. 26v. 22 ἑνδεκάκις] ια S. 23 U+2220΄ δ΄] om. S. 26 ἑνδεκάκις] ια S.

Ἡμισφαίριον μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ῑγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ῑγ κύβισον· γίνονται ,βρ𝒢ζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β ,δρξζ. τοῦ αὐτοῦ μβ΄ γίνονται φοε δ΄ η΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τὰ ῑγ ἐφʼ ἑαυτά .

λϛ. ταῦτα τρισσάκις· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται πᾱ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρπθ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ θ· γίνονται ,ᾱψᾱ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται α ηψῑᾱ. τούτων τὸ κα΄· γίνονται ω𝒢α.

τοσούτων ἔσται τὸ στερεόν. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. τῆς βάσεως τὸ U+2220΄ ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται πᾱ· ὁμοῦ γίνονται ριζ. ταῦτα τετράκις· γίνονται ῡξη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,ερμη. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται τξζ U+2220΄. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ἡμισφαιρίου.

Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ῑγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· κύβισον τὴν διάμετρον· γίνονται ,βρ𝒢ζ. ταῦτα ἑνδεκάκις β ,δρξζ. τούτων τὸ κα΄· γίνονται ᾱρν β κα΄. τοσούτων ἔσται τὸ στερεόν.

Ἡμισφαιρίου ἡ διάμετρος ποδῶν ῑγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· κύβισον τὴν διάμετρον· γίνονται βρ𝔮ζ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β δρξζ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται φοε δ΄ ιδ΄.

Τμῆμα μεῖζον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν 3 ἑνδεκάκις] ια S. 4 μβ΄] μβ S. 6—7 lac. indicaui. 7 τρισσάκις] τρισάκις S. 10 ἑνδεκάκις ια S. 11 κα΄] corr. ex κᾱ S. ω𝒢ᾱ] ω𝒢 S. 13 ἑαυτό] ἑαυτά S. 15 ἑνδεκάκις] ια S. 16 γίνονται] comp. supra scr. S. τοσούτου] τοσου S. 17 des. S fol. 26v. 18 S fol. 38 v. 20 ἑνδεκάκις] ια S. 21 κα΄] om. S, sed u. fig. 28. 24 ἑνδεκάκις] ια S. 25 μβ΄] μβ S. S ῑβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. ταῦτα καθόλου ἐπὶ γ· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται πᾱ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρπθ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται ,ᾱψᾱ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται α ηψῑᾱ. τούτων τὸ κα΄· γίνονται ω𝔮ᾱ. τοσούτων ἔσται.

Τμῆμα ἦττον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ῑβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. ταῦτα καθόλου ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ῑϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ρκδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ δ· γίνονται υ𝔮ς. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,ευνϛ. τούτων τὸ κα΄· γίνονται σνθ β ζ΄.

Σφαίρας ἡ διάμετρος ποδῶν ῑγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὰ ῑγ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται χοϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ζυλϛ. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται φλᾱ ζ΄. τοσούτου ἔσται.

Ἡμισφαιρίου ἡ διάμετρος ποδῶν ῑγ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὰ ῑγ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ταῦτα τετράκις· γίνονται χοϛ. ταῦτα ποίει ἑνδεκάκις· γίνονται ζυλϛ. τούτων τὸ κη΄· γίνονται σξε U+2220΄ ιδ΄.

6 ἑνδεκάκις] ια S. 14 ἑνδεκάκις] ια S. 18 ἑνδεκάκις] ια S. 23 τετράκις] δ S. ἑνδεκάκις] ια S.

Τμῆμα μεῖζον ~~ἡ ὑποτείνουσα~~ ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ῑβ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὸ U+2220΄ τῆς διαμέτρου ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται πᾱ. σύνθες· ὁμοῦ ριζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ῡξη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,ερμη. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται τξζ U+2220΄ ζ΄ ιδ΄.

Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ῑβ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τὸ U+2220΄ τῆς διαμέτρου ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ῑϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται νβ. ταῦτα καθολικῶς ἐπὶ τὰ δ· γίνονται πόδες ση. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ,βσπη. τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται ρξγ γ΄ ιδ΄ μβ΄.

Φοῦρνον μετρῆσαι, οὗ τὸ ἔμφωτον ποδῶν ῑ καὶ τὸ πάχος τῆς οἰκοδομῆς ποδῶν β· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὰ β πάχη· γίνονται ῑδ. ταῦτα κύβισον· γίνονται ,βψμδ. ἐκ τούτων ἆρον τὸ ἔμφωτον κυβίσας· γίνονται ᾱ· λοιπὸν ,αψμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται α θρπδ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται ῡνϛ U+2220΄ ζ΄ ιδ΄.

Μέτρησις φούρνου. φοῦρνον V νον μετρήσωμεν οὕτως, οὗ τὸ ἔμφωτον μοδίων ῑ· ταῦτα τὰ ῑ κυβίσεται· ταῦτα ἑνδεκάκις· τούτων τὸ μβ΄. τὸ δὲ βησαλικόν· σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ πάχη· ταῦτα κύβισον.

1 μεῖζον⌋ μείζων S. ἡ ὑποτείνουσα] deleo (glossema ad ἡ διάμετρος). 4 ἑαυτό] ἑαυτά S. 6 ἑνδεκάκις] ια S. 13 ἑν- δεκάκις] ια S. γίνονται] comp. ins. postea S. 14 μβ΄] κβ΄ S.

Ἀστερίσκον μονοείλητον μετρῆσαι, οὗ τὸ ἔμφωτόν ἐστι ποδῶν δ, τὸ δὲ πάχος ἀνὰ ποδὸς ᾱ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες ἑκατέρωθεν τὸν ἕνα πόδα· ὁμοῦ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. ἆρον τὸ ἔμφωτον ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται ῑϛ· λοιπὸν κ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ἕν, ἐπὶ τὸ ὕψος· γίνονται κ. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ξ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται χξ· ὧν ιδ΄ γίνονται μζ ζ΄.

Ἄλλως δὲ πάλιν· σύνθες τὸ ἔμφωτον καὶ ἓν πάχος· γίνονται ε. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνονται ρῑ. ταῦτα ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τὸ ᾱ· γίνονται ρῑ· ὧν ζ΄ γίνονται ῑε U+2220΄ ζ΄ ιδ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται μζ ζ΄.

Ἀστερίσκον διπλοείλητον μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ποδὸς ᾱ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν γ καὶ τὸ ὕψος ποδῶν β· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· ~~σύνθες~~ τὴν διάμετρον ἐπὶ τὰ β· γίνονται η. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ξδ. ἆρον τὸ ἔμφωτον ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται ῑϛ· λοιπὸν γίνονται μη. ταῦτα ἐπὶ τὸ πλάτος, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρμδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,αφπδ· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται ρῑγ ζ΄.

Κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν κ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν ϛ U+2220΄· εὑρεῖν, ἀπὸ ποίου κύκλου τὸ τμῆμα ἢ ἀπὸ ποίας διαμέτρου. ποίει πάντοτε τῆς βάσεως μέρος U+2220΄ ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται ρ. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν ϛ U+2220΄ τοῦ κέντρου· γίνονται ῑε γ΄. νῦν πρόσθες καὶ τὸ κέντρον πόδας ϛ U+2220΄· καὶ γίνεται κᾱ U+2220΄ γ΄ ἡ διάμετρος.

2 ποδῶν] πο S. 3 ἑνδεκάκις] ια S. 9 μζ] μδ S. 15 ποδὸς ᾱ] π ᾱ S; scrib. ποδῶν δ. 16 σύνθες] deleo. 20 ἑνδεκάκις] ια S. 22 ἡ] ἧς ἡ S. 25 ἑαυτό] ἑαυτά S. 27 πόδας] π S.

Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ῑβ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως. ποίει οὕτως· τῆς βάσεως τὸ U+2220΄ ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται λϛ. ἀλλὰ καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ῑϛ. ταῦτα σύνθες· γίνονται νβ. τούτοις πρόσθες τὸ U+2220΄· γίνονται οη. ἔτι τούτοις πρόσβαλε τοῦ κέντρου τὰ γ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται θ· ὁμοῦ πόδες πζ. ταῦτα ἀεὶ τρισσάκις· γίνονται σξᾱ· ὧν τὸ U+2220΄ ρλ U+2220΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,αυλε U+2220΄· ὧν κα΄ γίνονται ξη γ΄. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ, κέντρον ποδῶν ζ, κάθετος ποδῶν ϛ· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως. ποιῶ τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄ ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται κε· καὶ τὰ ϛ τῆς καθέτου ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ· ὁμοῦ γίνονται ξᾱ. τούτοις πρόσθες τὸ U+2220΄. γίνονται ᾱ U+2220΄. καὶ τὰ ζ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται μθ· ὁμοῦ πρόσθες· γίνονται ρμ U+2220΄. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ῡκᾱ U+2220΄· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται σῑ U+2220΄ δ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται βτιη δ΄· ὧν τὸ κα΄· γίνονται ρῑ δ΄ η΄. τοσούτου τὸ στερεόν.

Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ῑβ, τὸ δὲ κέντρον ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν δ εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τὸ U+2220΄ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτό· γίνονται λϛ· καὶ τὰ δ προσλάμβανε ἐφʼ ἑαυτὰ τῆς καθέτου· γίνονται ῑϛ· ὁμοῦ νβ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται κϛ. καὶ τὰ γ τοῦ κέντρου ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται θ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται λε. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ρε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,αρνε· ὧν τὸ κα΄· γίνονται νε. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια.

Τεταρτημορίου κόγχης ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ, κέντρον ποδῶν ζ, κάθετος ποδῶν ϛ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. S οὕτως· τῶν ῑ τὸ U+2220´· γίνονται ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ϛ ἐφ᾿ ἑαυτὰ τῆς καθέτου· γίνονται λϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ξα· ὧν τὸ U+2220´· γίνονται λ U+2220´· καὶ τὰ ζ τοῦ κέντρου ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται μθ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται οθ U+2220´· ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σλη U+2220´· ταῦτα ἑνδεκάκιας· γίνονται ,βχκγ U+2220´· ὧν τὸ κα´· γίνονται ρκδ U+2220´ γ´ ιδ´ μβ´ τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια.

Τεταρτημορίου κόγχης λαβεῖν τὸ στερεὸν τοῦ σκηνώματος. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον κύβισον αὐτὴν ἐφ᾿ ἑαυτήν· ταῦτα ἑνδεκάκις· ὧν πδ´ γίνονται πόδες.

Ἐὰν δὲ ἡμισφαιρίου, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ παρὰ τὸ μβ· γίνονται πόδες. ἐὰν δὲ σφαίρας, ὧν κα´ γίνονται πόδες.

τὂ ἐξεχίγωνον ἐὰν ἔχῃ διαμέτρου πόδας ῑ, μήκους πόδας ῑ, καθέτου πόδας ε, πόσου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως; ποιῶ οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται φ. ταῦτα ἐννεακαιδεκάκις· γίνονται ,θφ· ὧν τὸ κα γίνονται πόδες υωβ γ΄ κα´. τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ποίει οὕτως· τῆς διαμέτρου τὰ ῑ ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,αρ· ὧν κη´ γίνονται πόδες λθ δ´ κη´· ταῦτα ἐπὶ τὰ ῑ τοῦ μήκους· γίνονται πόδες τ𝔮β U+2220´ δ´ η´. τοσούτου ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.

Καὶ ἐὰν ἔχῃ τὸ αὐτὸ ἐξεχίγωνον διαμέτρου πόδας ῑ, μήκους ιε, καθέτου πόδας ε, ποίει οὕτως· τὰ ῑ ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται ρν. ταῦτα ἐπὶ τὰ ε τῆς καθέτου· γίνονται ψν. ταῦτα ἐννεακαιδεκάκις· γίνονται α ,δσν· ὧν κα´ γίνονται πόδες χοη U+2220´ ιδ´. τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως.

6 ἑνδεκάκις] ια S. 9 αὐτὴν ἐφ᾿ ἑαυτήν] αὐτὰ ἐφ᾿ ἑαυ-

Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; οὕτως· τῆς διαμέτρου τὰ ι ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται ρ. ταῦτα ἑνδεκάις· γίνονται ,αρ ὧν κη´ γίνονται λθ δ´ κη´. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες φπθ. τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ ἐπιφάνεια.

Καὶ ἐὰν ἔχῃ τὸ αὐτὸ ἐξεχίγωνον διαμέτρου πόδας ι, μήκους πόδας ιε, καθέτου πόδας ζ, πόσου τὸ στερεόν; ζήτει, καθὼς προγέγραπται, τῇ αὐτῇ μεθόδῳ. καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ζήτει, καθὼς προγέγραπται.

Καὶ ἐὰν ἔχῃ διαμέτρου πόδας ῑ, μήκους πόδας ιε, καθέτου πόδας γ, πόσου τὸ στερεὸν τῆς ὑφαιρέσεως; ποδῶν υζ ζ´. ζήτει, καθὼς προγέγραπται. καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια; ζήτει, καθὼς προγέγραπται.

Ὁμοίως καὶ τὸ τετρακάμαρον τῇ αὐτῇ μεθόδῳ μετρεῖται, τό τε στερεὸν καὶ τὸ κένωμα.

Χρὴ εἰδέναι, ὅτι ἐν τῇ μετρήσει αὐτῶν τῶν εἰλημάτων ἡμισφαιρίου ἤτοι ἐξεχιγώνου ὅτι λαμβάνει τις τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος τοῦ σχήματος καὶ συντίθησι καὶ ποιεῖ τὸ U+2220´, τουτέστι ῑ καὶ η· ὧν τὸ U+2220´· γίνονται θ. καὶ πάλιν τὴν διαγώνιον λαβών, τουτέστι πόδας ιγ, σύνθες μετὰ τῶν θ· γίνονται πόδες κβ· ὧν τὸ U+2220´· γίνονται ια. ἔστω ἡ διάμετρος κοινῷ λόγῳ ποδῶν ια.

Ττρακάμαρον μετρῆσαι. ποίει οὕτως· ἔστω τὸ μῆκος ποδῶν ῑ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ῑ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ε. ποίει τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται πόδες ρ. ταῦτα ἐπὶ τοὺς ε τοῦ ὕψους· γίνονται πόδες φ· ἐξ ὧν ὑφαιρῶ τὸν ἔσωθεν ἀέρα, μῆκος ποδῶν η, πλάτγος ποδῶν η· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, 2 ἐνδεκάκις] ια S. 10 διαμέτρου] ἡ διάμετρος S. 12 ξ´] η´ S. προγέγραπται] προγέγραπται S. 15 τε] om, S. S ετον, ἐπὶ τοὺς δ πόδας· γίνονται πόδες σνϛ ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὰ ιθ· γίνονται πόδες ,δωξδ. ἄρτι μερίζω· ὧν τὸ κα´· γίνονται πόδες σλα U+2220´· ιδ´ κα´. ἆρον ἀπὸ τῶν φ ποδῶν τῆς μάσσης· λοιπὸν γίνονται πόδες σξη ϛ´ ξ´ ιδ´.

Τετράσειρον μετρήσομεν, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ϛ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ϛ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὴν διάμετρον ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται λϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται τ𝒢ϛ· ὧν ιδ´ γίνονται κῆ δ´. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου· γίνοντάι πόδες πδ U+2220´ δ´ καὶ τὰ ιη δ´· ὁμοῦ γίνονται πόδες ργ. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεὸν τοῦ κενώματος.

Καὶ πόσου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ αὐτοῦ τετρασείρου; ποιῶ οὕτως· λάμβανε τὴν περίμετρον ἀπὸ τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες ιθ παρὰ τὸ ξ´. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὴν κάθετον τῶν γ ποδῶν· γίνονται νϛ U+2220´ ιδ´. τοσούτων ἔστω ἡ ἐπιφάνεια τοῦ τετρασείρου.

Ἔλλειψιν μετρήσομεν, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων ποδῶν ιϛ, ὁ δὲ μικρότερος ποδῶν ιβ. ἐπειδὴ οὖν ἐν τοῖς Κωνοειδέσιν ὁ Ἀρχιμήδης δείκνυσιν, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται τὸ ἀπὸ κύκλου διαμέτρου ἴσου τῇ ἐλλείψει, ποίει οὕτως· πολυπλασίαζε τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ιϛ· γίνονται πόδες ρ𝒢β. ταῦτα ποιῶ ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ,βριβ· ὧν ιδ´ γίνονται πόδες ρν U+2220´ δ´ ιδ´ κη´. καὶ ἕξεις τοσούτων ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς ἐλλείφεως ἐμβαδόν.

Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν ΑΓ βάσις ποδῶν ιβ, ὁ δὲ Β ∠ ἄξων ποδῶν ε. ἐπεξεύχθωσαν 3 σλα] λ S 6 V fol. 23 (post Περὶ μέτρ. 49). τετρά- σειρον μετρήσομεν] S, ἄλλη μέτρησις τετρασείρου V. 9 ἑνδε- κάκις] ιά SV. 10 ιδ´] S, τὸ ιδ΄ V. S αἱ ΑΒ, ΒΓ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ U+2220´ ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ, Β∠, τουτέστι ποδῶν λ. ἀπέδειξεν δὲ ὁ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ Ἐφοδικῷ λόγῳ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτον τοῦ τριγώνου τοῦ τὴν βάσιν ἔχοντος αὐτοῦ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν λ· τὸ ἄρα τοῦ τμήματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῆς παραβολῆς ἔσται ποδῶν μ.

Ὄνυχα μετρήσομεν, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ζ καὶ ἡ βάσις ποδῶν ζ καὶ ἡ κοίλη ποδῶν ια· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως τῆς κοίλης οὐκ ἀναγκαίας οὔσης μετρεῖσθαι· τὰ οὖν ζ ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα διὰ παντὸς ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες ρμζ. τούτων τὸ ιδ´· γίνονται πόδες ι U+2220´. ἔστω τὸ ἐμβαδόν. ποδῶν ῑ U+2220´. λοιπόν, ἐὰν ᾖ στερεόν, ποίει ταῦτα τὰ τοῦ ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὸ πάχος· γίνονται ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν κοίλην τοῦ ὄνυχος εὑρεῖν, πάντοτε τῇ καθέτῳ πρόστιθε τὸ ἴδιον U+2220´ καὶ τὸ ιδ´· ὁμοῦ γίνονται πόδες ια.

Διόνυχα μετρήσομεν, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν, τὰ ξ ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται 𝒢η. ταῦτα ἀεὶ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται πόδες σ𝒢δ. τούτων τὸ ιδ´· γίνονται πόδες κα. τοσούτου τὸ ἐμβαδόν. βαδόν. ἐὰν δὲ στερεόν, ποίει τὸ ἐμβαδὸν ἐπὶ πάχος, καὶ ἕξεις τὸ στερεόν.

2 ὑπὸ ΑΓ, Β∠] ΑΒΓ∠ S. ποδῶν λ] ποδὸς ἑνός S 5 το- μῆς] τμήματος S. τουτέστι] τοῦτο S. 7 τοῦ] om. S 8 τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου] om. S et hic et Metric. p. 84, 17—18 ἄρα] U+2220´ S; cfr. Metr p. 84, 18 15 πόδες] πο S. 17 ᾖ] ει S. 20 πάχος] πάχη S.

Τρίκεντρον μετρήσομεν, οὗ ἡ βάσις ποδῶν η καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ η ἐπὶ τὰ θ· γίνονται οβ· ὧν U+2220´ γίνονται λϛ. τούτων τὸ γ´· γίνονται πόδες ιβ. σύνθες· ὁμοῦ γίνονται πόδες μη. τοσούτου τὸ ἐμβαδόν ἐστιν. τινὲς δὲ οὕτως ἐμέτρησαν ὡς παραβολήν.

Ἄλλως δὲ πάλιν μετρήσομεν, οὗ ἡ βάσις ποδῶν η καὶ ἡ κάθετος ποδῶν θ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες βάσιν καὶ κάθετον· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιζ· ὧν U+2220´ γίνονται πόδες η U+2220´ ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά, ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων· γίνονται πόδες οβ δ´. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ψ𝒢δ U+2220´ δ´. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδ´ γίνονται πόδες νϛ U+2220´ δ´ νϛ´.

ΙΙ.

CSM

Μέτρησις τετραστόου ἤτοι τετρακαμάρου ἐπὶ τετραγώνου βάσεως οὕτως·

Ἔστω ἡ πλευρὰ ποδῶν ιβ. ταῦτα ἔφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πόδες ρμδ. ταῦτα δίς· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι ποδῶν ιζ παρὰ τὸ σύνεγγυς. τοσούτου ἡ διάμετρος. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται σπη. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ U+2220´· γίνονται ,βυμη. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται β ,ϛϠκη· ὧν κα´ γίνονται ,ασπβ ϛ κα´.

τοσούτου ἐστὶν ἡ ὑφαίρεσις. ἔτι ἐκ τῆς ὑφαιρέσεως διᾶραι τὰ δ τμήματα τῶν κογχῶν οὕτως· ἡ ἡμίσεια τῶν πλευρῶν ἔστι ποδῶν ϛ ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται λϛ· ταῦτα ἀεὶ καὶ πάντοτε ἐπὶ τὰ γ· γίνονται 11 δ´] seq. ras. 1 litt. S ἑνδεκάκις] ια S. 14 C fol. 110r, S fol. 42r. 15 Μέτρησις] CS, Ἥρωνος μέτρησις M. τετραστόου] CS (-ό- in ras. C), τετραστέγου M. 17 ποδῶν] S, om. CM. 19 ποδῶν] CS, πόδας M. 22 ἑνδε- CSM πόδες ρη. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς καθέτου, τουτέστιν ἀπὸ τῶν β U+2220´· γίνονται ϛ δ´· πρόσβαλε τοῖς ρη· γίνονται πόδες ριδ δ´. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς β U+2220´ πόδας· γίνονται πόδες σπε U+2220´ η´· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ,γρμα· ὧν κα´ γίνονται πόδες ρμθ U+2220´ η´. ταῦτα δίς· γίνονται πόδες σ𝒢θ δ´. λοιπὸν Ϡπβ U+2220´ δ´.

Εἰς σφαῖραν θέλω ἐμβαλεῖν κύβον τετράγωνον· εἰπέ μοι, πόση ἑκάστη πλευρὰ τοῦ κύβου. ποιῶ οὕτως· ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ποδῶν ιξ, ποιῶ τὸ U+2220´· τῆς διαμέτρου· γίνονται πόδες η U+2220´. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πόδες οβ δ´. ταῦτα δίς· γίνονται πόδες ρμδ U+2220´· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιβ. τοσούτων ποδῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ κύβου, ποδῶν ιβ.

τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τῆς σφαίρας. ποιῶ οὕτως· τὴν μίαν πλευρὰν τοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ ποδῶν ιβ, ποίει ἐφ᾿ ἑαυτήν· γίνονται πόδες ρμδ. ταῦτα δίς· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιξ. τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος τοῦ κύβου, ἥτις ἐστὶ διάμετρος τῆς σφαίρας.

CSMV

Κολυμβήθρας καὶ φρέατος καὶ κούππας καὶ κίονος καὶ τοίχων καὶ λίθων καὶ πηλῶν καὶ τῶν δοκῶν οἱονδηποτοῦν σχῆμα ἐάν τις εἴπῃ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος 1 πόδες] π S, om. CM. ἀπὸ—2 δ´] suppleui praeeunte Paulo Tannery; lac. 2 litt., mg ÷S; lac. magn. CM. 2 γίνονται (alt.)—4 πόδας] S, om. CM. 4 γίνονται (pr.)—ἑνδεκάκις] SM, om. C. ἑνδεκάκις] M, ια´ S. 7 Εἰς] SM, εἰ εἰς C. 12 γίνεται] comp. CS, γίνονται M. ποδῶν] S, om. CM. 13 ἐστιν] SC, ἔσται M. ποδῶν ιβ] S, om. CM. 14 τοῦ αὐτοῦ] S, αὐτοῦ τοῦ CM. 15 ποιῶ] S, ποίει CM. 16 ποδῶν] S, πόδες C, πόδας M. ἐφʼ] SC, ἀφ᾿ M. ἑαυτήν] Hultsch, ἑαυτά CMS. 17 σπη S, ρπη´ C, ρπο´ M. 18 γίνεται] comp. CS, γίνον- ται M. ποδῶν] S, om. CM. 19 seq. capp. 20—24 CMS. CSMV καὶ τὸ βάθος ἢ τὸ ὕψος, ἐάν τις ζητήσῃ, πόσα κεράμια χωρεῖ, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται, εὑρήσομεν οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος καὶ τὰ γινόμενα ἐπὶ τὸ βάθος ἢ ἐπὶ τὸ ὕψος· καὶ τοσαῦτα κεράμια ἔσται ἢ πόδες στερεοί.

Οἷον ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος [ἤτοι τὸ βάθος] ποδῶν ε· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει, ἢ πόσοι στερεοὶ γίνονται πόδες. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος ἤγουν τὰ κὲ ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ,αφ. τοσαῦτα χωρήσει κεράμια.

Ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν ῑ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ε καὶ τὸ βάθος ποδῶν δ, καὶ μεμαρμαρώσθω· ζητῶ, πόσους πόδας συνάγει. ποίει οὕτως· συντιθῶ. τὰ ῑ καὶ τὰ ε· γίνονται ιε. ταῦτα ποιῶ δίς· γίνονται λ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς δ πόδας· γίνονται ρκ. γενήσονται οἱ τοῖχοι τῆς κολυμβήθρας ρκ.

ἔστω νῦν καὶ τὸ ἔδαφος τῆς κολυμβήθρας εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται πόδες ν. ταῦτα προστίθημι τοῖς ρκ· γίνονται ρο. ἔσται ποδῶν ρο.

Ἔστω φρέαρ καὶ ἐχέτω διάμετρον ποδῶν ε, καὶ περιοικοδομείσθω τοῖχος ἔχων πλάτος ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος ποδῶν κ· εὑρεῖν, πόσων ποδῶν γίνεται ὁ τοῖχος. 1 ζητήσῃ] MSV, ζητήσει C. 2 χωρεῖ] χωρῇ SV, χωρήσει CM. 6 ἔστω] SV, ἔσται CM. τὸ] CMS, om. V. 7 ἤτοι— 8 ε] CM, ε ἤτοι τὸ βάθος SV; ἤτοι τὸ βάθος deleuerim. 9 ποίει] SV, ποιῶ] CM. 10 ἤγουν] CSV, ἢ ὡς M. τὰ κε—ιβ] CM, τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κε SV 13 sqq. V fol. 10v. 14 μεμαρμαρώσθω] Hultsch, μεμαρμαρούσθα CMSV 17 πόδας] SV, om. CM. 18 τοῖχοι] SV, τύχοι CM. 19 ἔστω—κολυμβήθρας] CSV, om. M. CSMV ποίει οὕτως· τοῦ τοίχου τὸ πλάτος δίς· γίνονται δ. ταῦτα προστίθημι τῇ διαμέτρῳ τοῖς ε· γίνονται πόδες θ· ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ τοίχου καὶ τοῦ φρέατος ποδῶν θ. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πα· καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν πα τὴν διάμετρον τοῦ φρέατος τὰ ε ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται κε· λοιπὸν νϛ. ταῦτα ἀεὶ ἑνδεκάκις· γίνονται χιϛ. τούτων ἀεὶ τὸ ιδ´· γίνονται μδ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ βάθος· γίνονται ωπ. ἔσται ὁ τοῖχος στερεῶν ποδῶν ωπ.

Ἔστω κοῦππα καὶ ἐχέτω τὴν κάτω διάμετρον ποδῶν ε, τὴν δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν η, καὶ ἐχέτω τὸν οἶνον ἕως ποδῶν ϛ· πόσα οὖν κεράμια χωρήσειε; ποιῶ οὕτως· ἀφαιρῶ τὰ γ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὸν β. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται ιβ. τούτων τὸ η´· γίνεται ᾱ ÷U+2220´. καὶ ἀφαιρῶ τὴν ᾱ U+2220´ ἀπὸ τῶν ε· λοιπὸν γ U+2220´. ἔσται οὖν τὸ πλάτος, ἕεως ὅπου ὁ οἶνος ἀνέβαινεν, ποδῶν γ U+2220´.

καὶ ποιῶ τὰ γ U+2220´ καὶ τὰ ε ὁμοῦ· γίνονται πόδες η U+2220´· ὧν U+2220´ γίνονται δ δ´. καὶ ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πόδες ιη ιϛ´. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ρ𝒢η U+2220´ η´ ιϛ´. τούτων μερίζω τὸ ιδ´· γίνονται πόδες ιδ ζ´ κη´ ριβ´ σκδ´. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὔψος, ἐπὶ τοὺς ϛ. γίνονται πόδες πε ξ´ ριβ´. τοσαῦτα κεράμια χωρήσει, πε ζ´ ριβ´.

Ἔστω κοῦππα καὶ ἐχέτω τὴν ἄνω διάμετρον ποδῶν ϛ καὶ τὴν κάτω διάμετρον ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ῑ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει. ποιῶ οὕτως· συντίθημι τὴν ἄνω διάμετρον καὶ τὴν κάτω· γίνονται ιδ ὧν τὸ U+2220´· γίνονται ζ. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται 1 ποίει] SV, ποιῶ CM. γίνονται] comp. CSV, γίνεται M. 2 τῇ] CMS, corr. ex τῷ V2. 3 ἔστω] CMSV, ἔσται Hultsch. τοίχου] CSV, τοίχους M. 4 δ] MSV, ε´ in ras. C. πα— CSMV πόδες μθ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται φλθ. τούτων τὸ ιδ´· γίνονται πόδες λη U+2220´. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τοὺς ῑ πόδας· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρήσει, τπε.

Ἔστω βούττις καὶ ἐχέτω τὴν ἄνω διάμετρον ποδῶν ϛ, τὴν δὲ μέσην ποδῶν η, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ῑ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· συντιθῶ τὴν μέσην διάμετρον καὶ τὴν ἄνω· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιδ· ὧν U+2220´ γίνονται πόδες ζ. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πόδες μθ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες φλθ. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδ´· γίνονται πόδες λη U+2220´. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ ὕψος τοὺς ῑ πόδας· γίνονται τπε. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ ἡ βούττις.

CMS

Ἔστω κίων, οὗ μῆκος ποδῶν κδ, διάμετρος ἡ ἐν τῇ ῥίζῃ ποδῶν γ, ἡ δὲ ἐν τῷ αὐχένι ποδῶν β U+2220´ δ´. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους· γίνονται ε U+2220´ δ´ ὧν U+2220´ γίνονται β U+2220´ δ´ η´. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται πόδες η δ´ ξδ´. ταῦτα ποίει ἑνδεκάκις· γίνονται U+2220´ δ´ λβ´ ξδ´· ὧν ιδ´ γίνονται ϛ U+2220´ παρὰ ιϛ´. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ρνϛ. τοσούτων ποδῶν ἔσται.

Ἀπὸ δὲ περιμέτρου· ἔστω κίων, οὗ τὸ μὲν μῆκος 1 πόδες] SV, om. CM. ἑνδεκάκις] M, ια C, ια´ SV. 4 τπε] SV, τριακόσια ὀγδοήκοντα πέντε CM; del. Hultsch. 5 βούττις] SV, βούτις CM. 9 U+2220΄ SV, τὸ U+2220΄ CM. πόδες SV, om. CM. 11 ἐνδεκάκις] M, comp C, ια΄ SV. 12 ὧν] SV, ὧν τὸ CM. 13 πόδας] SV, om. CM. τπε] SV, πόδες τπε CM. 14 Des V fol.11 v. 16 γ] SM, τριῶν C. τῷ] SM, τῇ C. 17 ποιῶ] S, ποίει CM 18 ὧν— 19 ξδ΄] CS, om. M. 18 ὧν] S, ὧν τὸ C γίνονται] comp S, om C 19 ἐνδεκάκις] CM, ια΄ S. 20 𝒢—ξδ΄] CΜ, 𝒢ϛ U+2220΄ ϛ΄ S ὧν] S, ὧν τὸ CM. παρὰ] S, s ποδῶν κδ, ἡ δὲ περίμετρος ποδῶν θ δ΄ η΄ ιδ΄ κηʹ λβ΄ ξδʹ ρκηʹ υμηʹ, ἡ δὲ ἐλάσσων ποδῶν η U+2220΄ ιϛ΄. σύνθες τὰς β περιμέτρους· γίνονται ιη ιϛʹ λβʹ ρκηʹ σκδ΄· ὧν U+2220΄ γίνονται θ καὶ μ ο λβ΄ ξδ΄ σνϛʹ υμη΄. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πα U+2220΄ . ταῦτα ἑπτάκις· γίνονται πόδες φο U+2220΄ . μέρισον εἰς τὸν πη· γίνονται ϛ δʹ ηʹιαʹ πηʹ ρος΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται ρνϛ.

CMS

Κίων, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν κδ, διάμετρος ἡ μὲν πρὸς ῥίζῃ ποδῶν γ, ἡ δὲ πρὸς κορυφὴν ποδῶν β δ΄· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται θ. ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται σιϛ· ὧν δ΄ γίνονται νδ· ὧν U+2220΄ γίνονται κζ· ὁμοῦ γίνονται πα. ἆρον ἀπὸ τῶν σιϛ τὰ πα· λοιπὸν ρλε.

Λίθου μῆκος ποδῶν η, πλάτος ποδῶν ε, πάχος ποδῶν δ. ποίει διʼ ἀλλήλων· γίνονται ρξ. τοσούτων ποδῶν ἐστι τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

Λίθου μῆκος ποδῶν ϛ δʹ, πλάτος ποδῶν δ ηʹ, πάχος ποδῶν β γʹ. ποιῶ οὕτως· τὰ ϛ δʹ εἰς δ· γίνονται κε· καὶ τὰ δ ηʹ εἰς η· γίνονται λγ· καὶ τὰ β γʹ εἰς γ· γίνονται ζ· καὶ τὰ μέρη διʼ ἀλλήλων· γίνονται U+A7FCϛ. νῦν πολυπλασιάζω τὰ κὲ ἐπὶ τὰ λγ· γίνονται ωκε· καὶ ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τὰ ζ· γίνονται ,εψοε· ὧν U+A7FCϛʹ γίνονται ξ ηʹ λβʹ.

1 λβʹ—2 υμη΄] om. S. ιϛ΄] om. S. 3 ιςʹ] ϛʹ S. σκδ΄] om. S. 4 λβ΄] λβ S. 5 ἑπτάκις] ζ S. 6 πη] κη S. 8 ἡ] CS, om. M. 9 ῥίζῃ] ῥίζης S, ῥίζαν CM. β δ΄] CM, postea ins. in spat. maiore S. 11 ἐπὶ] S, ταῦτα ἐπὶ CM. 13 λοιπὸν] CS, λοιπὰ M. 14 ποδῶν (alt.)] S, om. CM. ε SM, πέντε C. 18 ποδῶν] S, om. CM.] δ] S, τέταρτα CM. 19 τὰ (pr.)] CM, om. S. εἰς η] scripsi, om. S, εἰς ὄγδοα CM. λγ] SM, λϛ C. γ] S, τρίτα CM. 20 δι᾿ ἀλλήλων] MS,

CMS

Λίθου μῆκος ποδῶν ζ ζ΄, πλάτος ποδῶν δ εʹ, πάχος ποδῶν β θ΄. ποίει οὕτως· τὰ ζ ζʹ εἰς ζ· γίνονται ν· καὶ τὰ δ εʹ εἰς ε γίνονται κα· καὶ τὰ β θ΄ εἰς θ γίνονται ιθ· καὶ τὰ μέρη διʼ ἀλλήλων· γίνονται τιε. πολυπλασίαζε νῦν τὰ ν ἐπὶ τὰ κα· γίνονται αν· καὶ ἐπὶ τὰ ιθ· γίνονται α ,θ Ϡν. μέριζε παρὰ τὰ τιε· γίνονται ξγ γʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

Λίθου μῆκος ποδῶν ε ηʹ, πλάτος ποδῶν γ U+2220΄ δ΄, πάχος β ιϛʹ. ποίει οὕτως· τὰ ε ηʹ εἰς η· γίνονται μα· καὶ τοὺς γ U+2220΄ δʹ εἰς δ· γίνονται ιε· καὶ τοὺς β ιϛʹ εἰς ιϛ· γίνονται λγ· καὶ τὰ μόρια διʼ ἀλλήλων· γίνονται φιβ. νῦν πολυπλασίαζε τὰ μα ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται χιε· καὶ ἐπὶ τὰ λγ· γίνονται β σU+A7FCε· ὧν φιβʹ γίνονται λθ U+2220΄ η΄ογ΄.

Λίθου μειούρου τὸ μῆκος ποδῶν η, πλάτος τὸ μεῖζον ποδῶν γ, τὸ δὲ ἔλασσον ποδῶν β ποίει τὰ μείζω πάχη διʼ ἀλλήλων· γίνονται θ· καὶ τοὺς β διʼ ἀλλήλων· γίνονται δ. σύνθες· γίνονται ιγ· ὧν U+2220΄ γίνονται ϛ U+2220΄· καὶ ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται νβ. τοσούτου τὸ στερεὸν τοῦ λίθου.

Σκούτλης μῆκος ποδῶν η U+2220΄ δʹ, πλάτος ποδῶν ε U+2220΄ ϛ΄. ποίει οὕτως· τοὺς η U+2220΄ δʹ εἰς δ· γίνονται λε· καὶ τοὺς ε U+2220΄ ϛʹ εἰς ϛ· γίνονται λδ· καὶ τὰ μόρια διʼ ἀλλήλων· γίνονται κδ. νῦν πολυπλασίαζε τὰ λε ἐπὶ τὰ λδ· γίνονται αρU+A7FC· ὧν κδʹ γίνονται μθ U+2220΄ ιβ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς σκούτλης.

Σκούτλης τριγώνου ὀξείας μῆκος ποδῶν ζ γʹ, πλάτος 1 ζ—ποδῶν] CS, om. M. πάχος] CM, πάχους S. 2 ποδῶν] S, om. CM. εἰς] CS, εἰς τὸ M. 3 τὰ M. (pr.)] MS, CMS ποδῶν δ δ΄. ποίει οὕτως· τοὺς ζ γʹ ἐπὶ τὰ γ· γίνονται κβ· καὶ τοὺς δ δ΄ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιζ· ὧν U+2220΄ γίνονται η U+2220΄· καὶ τὰ μόρια διʼ ἀλλήλων· γίνονται ιβ. νῦν πολυπλασίασον τὰ κβ ἐπὶ τὰ U+2220΄· γίνονται ρπζ. μέριζε παρὰ τὰ ιβ· γίνονται ιε γ΄ δʹ. τοσούτων ποδῶν ἔσται.

Ἔστω κίων τετράγωνος, οὗ αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραὶ ἐκ ποδῶν δ, αἱ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν γ, μῆκος ποδῶν λ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τοὺς ἐν τῇ βάσει πόδας διʼ ἀλλήλων· γίνονται ιϛ· ὁμοίως καὶ τοὺς ἐν τῇ κορυφῇ διʼ ἀλλήλων· γίνονται θ .

Ὤατον δὲ μετρῆσαι, οὗ ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε καὶ ἡ ἄνω διάμετρος ποδῶν γ· εὑρεῖν, πόσους κυάθους χωρήσει. ποίει οὕτως· σύνθες τὰς δύο διαμέτρους· ὁμοῦ γίνονται πόδες η· ὧν U+2220΄ γίνονται πόδες δ. ταῦτα κύβισον· γίνονται πόδες ξδ. ταῦτα ἐνδεκάκις· γίνονται πόδες ψδ. τούτων τὸ μβ΄· γίνονται πόδες ιϛ U+2220΄ ζ΄ ιδ΄ κα΄. τοσούτους κυάθους χωρήσει.

CMSV

Πιθοειδὲς σχῆμα μετρήσομεν, οὗ ἡ μὲν μείζων διάμετρος ποδῶν δ, ἡ δὲ μικροτέρα ποδῶν γ· εὑρεῖν, πόσους χωρήσει ἀμφορέας. ποίει οὕτως· συντιθῶ τὰς β 1 δʹ—2 δ΄] CM, om. S. 4 πολυπλασίασον] S, πολυπλασίαζε CM. 5 ιβ] MS, δώδεκα C. ιε] CM, ε S. 8 αἱ] S, αἱ δὲ CM. γ] MS, τριῶν C. 10 ἐν τῇ βάσει] CS, ἐκ τῆς βάσεως M. 11 ὁμοίως] S, om. C. γίνονται θ] CM (lacunam ind. Hultsch); om. S, in quo seq. p. 86, 11 ταῦτα— 19 (11 U+2220΄ om., 15 μίαν] πρώτην, 16 ἑαυτήν] ἑαυτά, 17 ρμδ—18 ποδῶν] om.). Capp. 21—25 et hoc loco CMS et p. 86, 19 (CaMaSa, ubi differunt). 13 Ὤατον] .ατον Ca. κάτω] CSMa, κάθετος M. 14 καὶ ἡ] CSMa, ἡ δὲ M. διάμετρος] CaMaS, om. CM. γ] τριῶν- CMSV διαμέτρους· γίνονται ζ· ὧν U+2220΄ γίνονται γ U+2220΄. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιβ δʹ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ρλε· ὧν τὸ ιδʹ· γίνονται πόδες θ U+2220΄ ζ΄. τοσούτους ἀμφορέας χωρεῖ· ἔχει δὲ ὁ ἀμφορεὺς ξέστας Ἰταλικοὺς ἀριθμὸν μη.

Πίθου σφαιροειδοῦς ἡ πρὸς τὸ χεῖλος διάμετρος ποδῶν ε, τὸ δὲ βάθος ποδῶν η· εὑρεῖν, πόσους ἀμφορέας χωρεῖ. ποιῶ οὕτως τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄· γίνονται πόδες β U+2220΄. ταῦτα ποιῶ τρισσάκις· γίνονται πόδες ζ U+2220΄. τούτοις προστιθῶ τὸ βάθος· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιε U+2220΄. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες σμ δ΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες ,βχμβ U+2220΄ δ΄. ἄρτι μερίζω· ὧν καʹ γίνονται πόδες ρκε U+2220΄ γʹ πδʹ. τοσούτους ἀμφορέας χωρήσει, διότι ὁ ποὺς ὁ στερεὸς χωρεῖ ἀμφορίσκον α.

Ἄλλου πίθου ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν β U+2220΄, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν γ, τὸ δὲ βάθος ἔχει πόδας ϛ· εὑρεῖν, πόσους ἀμφορέας χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰς β διαμέτρους· γίνονται πόδες ε U+2220΄· ὧν U+2220΄ γίνονται β U+2220΄ δ΄. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες ζ U+2220΄ ιϛ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ϛ πόδας· γίνονται με δʹ η΄. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται πόδες υU+A7FCθ η΄. ἄρτι μερίζω· ὧν ιδ΄ 1 U+2220ʹ (pr.)] τὸ U+2220΄ Ca, τὸ ἥμισον Ma. U+2220΄ (alt.)] MCaSa, U+2220΄ πόδες CSV. 2 ιβ] CaMaSV, πόδες ιβ CMSa. ἑνδεκάκις] ια΄ SV. 3 πόδες (pr.)] SVMa, om. CM. τὸ] CMSaV, om. S. ζ΄] CMaSV, ζʹʹ ταῦτα πρὸς τὸ ὕψος ἀναλόγως τοῦ θʹ πϛ΄ U+2220ʹʹ ζʹʹ M. 4 χωρεῖ] CMS, χωρήσει MaSaV. ἰτταλικοὺς C. 5 ἀριθμὸν] CaMaSaV, ἀριθμῷ CS, ἀριθμῶν M. μη] CMS, CaMaSaV. ἑξῆς ἡ κ hoc loco S (fig. in pag. seq.). 6 Πίθου] CMSV, .ίθου mut in λίθου Ca. 8 χωρεῖ] SV, χωρήσει CM. U+2220΄] CSV, ἥμισυ CaM. 9 τρισσάκις] CM, τριάκις Ma, γ΄ CaSV. 10 πόδες] CaSV, om. CM. 11 ἐφʼ] ἀφʼ Ma. σμ δ΄] B2, σμδ CMSV. 12 ἑνδεκάκις] ια΄ SV. 13 ὧν] ὧν τὸ CaMa γίνονται] comp. CSVMa, γίνε- CMS γίνονται πόδες λε U+2220ʹ ζʹ ριβʹ τοσούτους ἀμφορίσκους χωρήσει· ὁ δὲ ἀμφορίσκος ἔχει πόδα α στερεόν, χωρεῖ δὲ ὁ στερεὸς ποὺς ξέστας Ἰταλικοὺς ἀριθμῷ μη· γίνονται μόδιοι γ, ἕκαστος μόδιος ἐκ ξεστῶν Ἰταλικῶν ἀριθμῷ ιϛ.

Ἔστω λουτὴρ στρογγύλος, οὗ ἡ κάτω διάμετρος ποδῶν ε, ἡ δὲ ἄνω πρὸς τὸ χεῖλος ποδῶν ι, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ε ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρ· ὁμοῦ ρκε. καὶ ποιῶ τὰ ε ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ν. ταῦτα προστιθῶ τοῖς ρκε· ὁμοῦ γίνονται πόδες ροε. τούτων λαμβάνω τὸ γʹ μέρος· γίνονται πόδες νη γ΄. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ϛ πόδας· γίνονται πόδες τν. ἔσονται στερεοὶ πόδες τν, καὶ χωρήσει κεράμια τν.

CMS

Ἔστω κολυμβήθρα καὶ ἐχέτω τὸ μῆκος ποδῶν κε, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ ὕψος ποδῶν ε ~~ἤτοι τὸ βάθος~~· εὑρεῖν, πόσα κεράμια χωρήσει, ἢ πόσοι πόδες στερεοὶ γίνονται. ποίει οὕτως· πολυπλασιάζω τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κε· γίνονται τ. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ,αφ. τοσαῦτα χωρήσει κεράμια.

CMSV

Ἀπὸ σκιᾶς εὑρεῖν κίονος μεγάλου ἢ δένδρου ὑψηλοῦ τὸ ὕψος ἀπὸ ὥρας εʹ ἕως ὥρας ζʹ, ὅτε μικρὰν τὴν σκιὰν ἔχει. ποιῶ οὕτως· θὲς εἰς τὸν ἥλιον ῥάβδον ἴσην δίπηχυν πλησίον τοῦ δένδρου ἢ κίονος καὶ ἰδέ, πόσην σκιὰν ποιεῖ, καὶ νόμιζε, ὅτι ἐποίησε τὴν σκιὰν ποδῶν ϛ· δῆλον, ὅτι διπλασίονα ἀναλογίαν ἔχει ἡ σκιὰ πρὸς 2 πόδα α] ἕνα πόδα CaMaSaV, πόδας α΄ M. 3 ποὺς] CaMaSV, om. CM. ἰτταλικοὺς C. 4 μόδιοι γ] CaMV, μ ο γ S, γʹ μόδιοι Ma, μόδιοι σ C. ξεστῶν] CMSaV, ξεστῶν S. ἰτταλικῶν Ca. 5 ἀριθμῷ] comp. dub. SV, ἀριθμῶν Ma. 7 πρὸς] ἡ πρὸς Hultsch. 10 ρκε] CaMaSaV, σύνθες γίνονται ρκε CMS. τὴν ῥάβδον.

μετρήσωμεν οὖν τοῦ κίονος ἢ δένδρου τὴν σκιάν, καὶ εὑρέθησαν νόμιζε πόδες ρ· λέγω, ὅτι ν πόδας ἔχει. ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ῥάβδου διπλασίονα ἀναλογίαν ἔχει ἡ σκιά, οὕτω καὶ ἐπὶ τοῦ κίονος ἤτοι ἐπὶ τοῦ δένδρου τῷ διαλογισμῷ, καίτοι διάφοροι εὑρίσκονται. ὥσπερ οὖν ἐνταῦθα τὰ μὲν οἷον λόγον ἔχει ἡ ῥάβδος πρὸς τὴν ἀφʼ ἑαυτῆς σκιάν, οὕτω καὶ τὸ δένδρον πρὸς τὴν ἀφʼ ἑαυτοῦ σκιὰν καὶ ὁ κίων.

CMS

Ἐὰν ψαλίς, ἣ ἐγγεγραμμένη ἐστὶν ἐν τετραγώνῳ, ταύτην μετρήσωμεν οὕτως· ἔστω γὰρ αὐτῆς τὸ μὲν μῆκος ποδῶν κα, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ε, τῆς μὲν ψαλίδος ἡ βάσις ποδῶν δ, ἡ δὲ τῆς καμάρας ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ιδ, τὸ δὲ βάθος ποδῶν β, τοῦ δὲ προσεκβεβλημένου τετραγώνου τὸ μῆκος ποδῶν ε, τὸ δὲ πλάτος ἀνὰ ποδῶν δ, τὸ δὲ βάθος ποδῶν γ.

μετρήσομεν οὕτως· τὸ τετράγωνον ὅλον μετρήσωμεν πρῶτον κατʼ ἰδίαν οὕτω· τὰ ιβ ἐπὶ τὰ κα· γίνονται σνβ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ βάθος.

ἐπὶ τὰ ε· γίνονται ασξ. αὐτὴν πάλιν μετρῆσαι 1 τὴν ῥάβδον] CM, τῇ ῥάβδῳ SV. ἢ] CMS, ἢ τοῦ V. 2 εὑρέθησαν] SV, εὑρέθη CM, εὑρεθῆναι Hultsch. πόδες] CSV, πόδας M. 3 ὥσπερ] scr. ὥσπερ γὰρ. τῆς ῥάβδου] Hultsch, τῇ ῥάβδῳ SV, τὴν ῥάβδον CM. 4 ἔχει] CSV, ἔχουσα M. ἤτοι] SV, ἢ CM. 5 τοῦ] SV, om. CM. 6 lac. indicaui λόγον] CSV, λοιπὸν M. 7 ἀφʼ] CMS, ἐφ᾿ V. ἑαυτῆς) des. fol. 47r S. σκιάν—8 κίων] om. V. Des. V. 9 ᾖ] Hultsch, ἡ CMS. ἣ] CM, om. S. ἐγγεγραμμένη] S, γεγραμμένη CM. 12 τῆς (pr.)] scr. καὶ τῆς. δ] scr. ε. ἡ (alt.)] CM, τὸ S. 14 δὲ] S, om. CM. προσεκβεβλημένου] S, προεκβεβλημένου CM. 15 τὸ (pr.)] S, καὶ τὸ CM. ε CS, β΄ M. 16 ποδῶν γ] Hultsch, τούτου CMS (quod retinet Hultsch). μετρήσομεν] S, μετρήσωμεν CM. οὕτως] scripsi, οὗ S, οὗν CM. 17 μετρήσωμεν] S, om. CM. οὕτω] S, οὕτως CM. 19 αὐτὴν] scripsi, ταύτην S, om CM. μετρῆσαι] S, μετρήσομεν CM. CMS τὴν ψαλίδα κατʼ ἰδίαν· μετρήσωμεν δὲ αὐτὴν οὕτως· σύνθες τὴν κάθετον τὰ ιδ καὶ ἔτι τὴν βάσιν τῆς καμάρας τὰ ιϛ εἰς τὸ αὐτό· γίνονται λ. τούτων τὸ U+2220΄ ιε· ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς καμάρας, ἐπὶ τὰ ιδ· γίνονται σι. ταῦτα δίς· γίνονται υκ. ταῦτα ἀφαιροῦμεν ἀπὸ τοῦ ὅλου τετραγώνου, ἀπὸ τῶν ,ασξ· λοιπὸν ωμ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ λοιπὸν τετράγωνον ἄνευ τῆς καμάρας.

τὸ ἔξωθεν μετρήσωμεν τετράγωνον τὸ προσεκβεβλημένον, τουτέστι τὰ δ ἐπὶ τὰ ε· γίνονται κ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὸ βάθος πολυπλασίασον, ἐπὶ τὰ γ· γίνονται ξ. ταῦτα προσθήσομεν τοῖς ωμ· γίνονται Ϡ· καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται τοῦ σχήματος τὸ ἐμβαδὸν σὺν τῇ ψαλίδι.

ἐὰν δὲ μείζων ἡμικυκλίου, λαβὲ τῆς ψαλίδος τὸ καʹ μέρος, οἷον ἂν τὸ σχῆμα, καὶ προστίθει πρὸς τὸ ὅλον ἐμβαδόν· καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ σχῆμα. ἐὰν δὲ ᾖ μείων ἡμικυκλίου ἄν τε ἡμικύκλιον, ὁμοίως μετρήσωμεν· καὶ ἐὰν δύο ᾖ τετράγωνα προσεκβεβλημένα, ὡσαύτως μετρήσωμεν, ὡς προγέγραπται.

Ἔστω ψαλίς, ἧς ἡ βάσις ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ βάθος ἐχέτω ὁ κατακλειόμενος σφὴν ποδῶν β, τὸ πάχος α U+2220΄· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ στερεόν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· γίνονται κα. τούτοις πρόσθες καθόλου τὸ ἴδιον κα· γίνεται α· ὁμοῦ γίνεται κβ ποδῶν ἡ περίμετρος. καὶ πολυπλασιάζω τὰ 2 ἔτι τὴν βάσιν] scripsi, ἐπὶ CMS. 4 ιε] S, om. CM. 5 ιδ—ταῦτα] CM, om. S. δίς] CM, β S. 6 ἀφαιροῦμεν] CS, ἀφαίρει μὲν M. 7 ἀπὸ] CS, ἢ ὡς ἀπὸ M. λοιπὸν] CS, λοιπὰ M. 8 ἄνευ — 9 τετράγωνον] MS, om. C. 9 προσεκβεβλημένον] CS, προεκβεβλημένον M. 11 γ] S, om. CM. προσθήσομεν] Hultsch, προσθήσωμεν CMS. 12 καὶ] CS, CMS β ἐπὶ τὸν α U+2220΄· γίνονται γ. ταῦτα ἐπὶ τὰ κβ· γίνεται ξϛ ποδῶν τὸ στερεόν.

Ἐὰν δὲ ᾖ μείζων καμάρα, καὶ ᾖ ἐν αὐτῇ ἑτέρα ἐγγεγραμμένη καμάρα, καὶ ὦσι τῆς μὲν μείζονος καμάρας αἱ μὲν ἄνωθεν ἀνὰ ποδῶν β, ἡ δὲ βάσις ποδῶν κ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ι, τῆς δὲ ἐλάσσονος καμάρας ἡ μὲν βάσις ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν η, ταύτην μετρήσωμεν οὕτως· συνθέντες τῆς μείζονος καμάρας τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον τὴν ὅλην, τὰ καὶ τὰ κ· γίνονται λ· τούτων ληψόμεθα τὸ U+2220ʹ· γίνονται ιε. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ ι· γίνονται ρν. τούτοις προσθήσομεν πάντως τὸ καʹ μέρος· γίνονται ρνζ ζʹ. καὶ πάλιν ὁμοίως τῆς ἐλάσσονος καμάρας συνθέντες τά τε ιϛ καὶ τὰ η· γίνονται κδ· τούτων ὁμοίως ληψόμεθα τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ η· γίνονται U+A7FCϛ. τούτων ληψόμεθα ὁμοίως τὸ καʹ μέρος· γίνονται δ U+2220ʹ ιδʹ. ταῦτα προσθήσομεν τοῖς U+A7FCϛ· γίνονται ρ U+2220ʹ ιδʹ καὶ τοσσύτων ποδῶν ἔσονται αἱ ἀποχαὶ τῆς μείζονος καμάρας. τῇ δὲ αὐτῇ μεθόδῳ μετρήσωμεν καὶ ἐπʼ ἄλλων ἀριθμῶν·

τὸ δὲ περικείμενον οἰκοδόμημα τῆς καμάρας μετρήσωμεν οὕτως· σύνθες τὴν ἐλάσσονα περιφέρειαν καὶ τὴν μείζονα, τὰ τε ι καὶ τὰ ιη· γίνονται κη. τούτων ληψόμεθα τὸ U+2220ʹ· γίνονται ιδ. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὸ 3 sqq. S fol. 48 r (a praecedentibus non distincta). 5 ἡ δὲ βάσις] αἰ δὲ βάσεις S. 12 πάντως] παντὸς S. 18 lacunam indicaui. 20 ἄλλων] ἀλλήλων S. S βάθος, ἐπὶ τοὺς ι πόδας· γίνονται ρμ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ κη· γίνονται ,γϠκ. καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ οἰκοδομὴ τῆς καμάρας, τουτέστιν ἡ περικειμένη τῷ κενώματι οἰκοδομὴ μετὰ τοῦ ἐπʼ αὐτῆς.

Ἔστω καμάρα, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν κδ, τοῦ δὲ κενώματος οἱ πρῶτοι πρωτοσφῆνες ἐκ ποδῶν β, τὸ δὲ βάθος ποδῶν ιη. ποίει οὕτως· σύνθες πάντοτε τοὺς πρώτους πρωτοσφῆνας· γίνονται δ. τούτοις πρόσθες τὴν διάμετρον τοῦ κενώματος τοὺς κδ· γίνονται κη. τούτους ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ψπδ. ταῦτα ἐνδεκάκις· γίνονται ,ηχκδ. τούτων πάντοτε λάμβανε τὸ κηʹ· γίνονται τη. ταῦτα ἀπόγραψαι. εἶτα τὴν διάμετρον τοῦ κενώματος ἐφʼ ἑαυτὴν τὰ κδ· γίνονται φοϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,ϛτλϛ. ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν κη· γίνονται σκϛ δʹ κη΄. ταῦτα ὕφελε ἀπὸ τῶν τη· λοιπὸν πα ε. ταῦτα ποίησον ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ιη· γίνονται ,αυο U+2220ʹ γ΄ μβ΄.

τοσούτων ποδῶν ἔσται ἡ καμάρα. ἐὰν δὲ ἀπὸ περιφερείας μετρῆται ἡ καμάρα ἡ αὐτή, ποιῶ οὕτως· σύνθες τὰ κδ καὶ πρόσθες τὸν πρῶτον πρωτοσφῆνα, τουτέστι τὸ πάχος τῶν β ποδῶν· ὁμοῦ γίνονται κϛ. ταῦτα πολυπλασίασον εἰς τὰ γ καὶ ζʹ τούτων πρόσθες· γίνονται πα U+2220ʹ ζ΄ ιδ΄· ὧν U+2220ʹ γίνονται μ U+2220ʹ γ΄ μβ΄. τοσούτων ἡ μεσότης τῶν β περιφερειῶν ἐστιν. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸν πρωτοσφῆνα, ἐπὶ τοὺς β πόδας τοῦ πάχους· γίνονται πόδες πα U+2220ʹ ζʹ ιδʹ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ιη πόδας· γίνονται πόδες ,αυο U+2220ʹ γ΄ μβ΄. τοσούτων ποδῶν ἔστω ἡ καμάρα.

4 οἰκοδομὴ μετὰ τοῦ] οἰκοδόμημα τὸ S. αὐτῆς] αὐτήν S. 10 ἑνδεκάκις] ια S. 13 ἑνδεκάκις] ια S. 16 ἐ] U+2220ʹ ε΄ S. τοὺς ιη] corr. ex τὸ σιη S. 19 πρόσθες] fort. delendum. πρῶτον] α S. 21 ζ΄] ζ S. 26 αυο U+2220ʹ] ,αυοϛ S; cfr. fig.

Ὡς δεῖ μετρῆσαι καμάραν ἀπευλόγου. ἔστω καμάρα, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ῑ, οἱ δὲ πρωτοσφῆνες, οἵ εἰσιν πλάτος τοῦ κλίματος τῆς καμάρας, ἑκατέρωθεν ἐκ ποδῶν β, τῶν ἀπευλόγων αἱ βάσεις ἐκ πάχους ποδῶν γ, ἡ δὲ κάθετος ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ πάχους ποδῶν ιε, τὸ δὲ βάθος τῆς καμάρας ποδῶν ιβ. ποιῶ οὕτως· τοὺς τοῦ κενώματος τοὺς ῑ πόδας ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ρ. ταῦτα ποιῶ ἑνδεκάκις· γίνονται αρ. τούτων τὸ κηʹ· γίνονται λθ δ΄ κηʹ. ταῦτα ἀπόγραψαι. καὶ σύνθες τὴν βάσιν τῆς καμάρας σὺν πάχεσι, τὰ γ καὶ τὰ β καὶ ιβ καὶ γ· ὁμοῦ γίνονται κ. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ ιε· γίνονται τ. τούτων τὸ U+2220ʹ· γίνονται ρν. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ λθ δʹ κη΄· λοιπὸν γίνονται πόδες ρι ε. ταῦτα ἐπὶ τὸ βάθος τῆς καμάρας, ἐπὶ τοὺς ιβ πόδας· γίνονται ατκη U+2220ʹ ιδ΄. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν.

Ἐὰν δὲ ἡ καμάρα ὁπτοπλίνθινος ᾖ, τὰ δὲ ἄλλα πάχη διὰ σπαρακτοῦ, καὶ θέλωμεν διαχωρίσαι, τοῦτο ποιοῦμεν οὕτως· σύνθες τοὺς ῑ πόδας τοῦ κενώματος καὶ τοὺς ἑκατέρωθεν πρωτοσφῆνας τοὺς ἀνὰ β· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιδ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρU+A7FCϛ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται βρνϛ· ὧν κηʹ, ἐπειδή ἐστιν U+2220ʹ κύκλου, γίνονται οζ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς τοῦ κενώματος τοὺς λθ δʹ κη΄· λοιπὸν γίνονται πόδες λζ U+2220ʹ ζʹ ιδʹ. τούτους ποίει ἐπὶ τὸ βάθος τῆς καμάρας, ἐπὶ τοὺς ιβ πόδας· γίνονται πόδες υνβ U+2220ʹ ιδʹ. τοσούτων ποδῶν εἰσιν οἱ ὀπτόπλινθοι. τούτους ὕφελε ἀπὸ τοῦ 1 ἀπευλόγου] ἀπʼ εὐλόγου S; cfr. lin. 4. 2 οἵ] om. S. 3 πλάτος] π S. 4 πάχους] π α χ S. 6 πάχους] πα χ S. 7 τοὺς (alt.)] corr. ex τοῦ S. 8 ἑνδεκα S. 9 δʹ] e corr. S. S παντὸς στερεοῦ τῶν στκη U+2220ʹ ιδʹ· λοιπὸν γίνονται σπαρακτοῦ πόδες ωοϛ.

Ὡς δεῖ κόγχην μετρεῖν ἐν τῇ πλίνθῳ, ἧς ἡ διάμετρος τοῦ κενώματος ποδῶν ιη, οἱ πρωτοσφῆνες ἑκατέρωθεν ἐκ ποδὸς α· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· σύνθες τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιη καὶ τοὺς πρωτοσφῆνας τοὺς β· γίνονται πόδες κ. ταῦτα ἐφ᾿ ἑαυτά· γίνονται υ. καὶ πάλιν ἐπὶ τοὺς κ· γίνονται ,η· καὶ ἐγένετο κύβος· ὧν U+2220ʹ γίνονται ,δ, καὶ πάλιν ὧν κα΄ γίνονται ρU+A7FC γʹ ζ΄· ὁμοῦ γίνονται πόδες ,δρU+A7FC γʹ ζ΄. τοσούτου ἔσται ἡ σφαῖρα, ὡς Ἀπολλώνιος ἐν τῷ γʹ τῶν Λογιστικῶν.

πάλιν τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιη ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται τκδ. τούτους ἐπὶ τοὺς ιη· γίνονται πόδες εωβ καὶ λ· ὧν U+2220ʹ γίνονται ,βϠιϛ. καὶ λαβὲ αὐτῶν τὸ μβʹ τῶν ,εωλβ· γίνονται ρλη β ζʹ καʹ· ὁμοῦ σύνθες· γίνονται πόδες ,γνδ β ζʹ κα΄. ταῦτα ὕφειλον ἀπὸ τῶν ,δρU+A7FC γʹ ζʹ· λοιπὸν ,αρλε U+2220ʹ ιδʹ κα΄. τούτων τὸ δʹ, ἐπειδὴ κόγχης ἐστίν, ἔστι δὲ δ΄ τῆς σφαίρας· γίνονται σπγ U+2220ʹ γʹ ιδ΄.

τοσούτου τὸ στερεὸν τῆς κόγχης. ἐὰν δὲ νενομισμένη ἡ μέτρησις ὡς στερεοῦ, καὶ ὑφέλῃς τὸ κένωμα τῆς κόγχης εἰς τὸ ὀπτόπλινθον, καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται τῶν νενομισμένων.

Ἐὰν δὲ κόγχη συνεψηφολογημένη, μετρήσεις οὕτως· ἔστω ἡ διάμετρος ποδῶν ιη. ἐπεὶ ἡ κόγχη δ΄ μέρος ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἡ δὲ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλου 10 γίνονται] τῶν S. 11 Ἀπολλώνιος] Ἀπολ| λώνιος corr. ex Ἀπο| λλώνιος S. γ΄] γ S. 13 ιη] σιη S. 15 ζ΄] om. S. 17 ,δρU+A7FC γʹ ζʹ] ,δρU+A7FC S. 18 τῆς] τῆς S. 20 ᾖ] om. S. στερεοῦ] στερεόν S. 21 ὑφέλῃς] ὑφελεῖς S. 26 τῶν] τοῦ S. S τοῦ ἐπιπέδου ποδῶν ιη, ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται τκδ. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ,γφξδ· ὧν ιδ΄ γίνονται σνδ δζ. τοσούτων ἔσται ποδῶν τὸ ἐν αὐτῇ ψηφολόγημα.

Ἐὰν δὲ ὅλης τῆς σφαίρας βούλῃ τὴν ἐπιφάνειαν εὑρεῖν, τετραπλασίασον τοὺς σνδ δζ· γίνονται ,αιη καὶ β ἕβδομα. τοσούτου ἡ τῆς ὅλης σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται.

λέγει τοῦτο Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαιρικῶν.

Καμάραν μετρῆσαι ἔλαττον ἡμικυκλίου τὸ ἔγχυμα ἔχουσαν, ἧς ἡ βάσις τοῦ κενώματος ποδῶν ιδ, οἱ πρωτοσφῆνες ἑκατέρωθεν ἐκ ποδῶν β, ἡ κάθετος ἐν τῷ κενώματι ποδῶν ϛ, τὸ μῆκος ποδῶν ιε. ποίει οὕτως· σύνθες τοὺς ιδ πόδας τοῦ κενώματος καὶ τοὺς ϛ τῆς καθέτου· γίνονται κ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ι. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται ξ. καὶ σύνθες πάλιν τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ιδ καὶ τοὺς ἑκατέρωθεν πρωτοσφῆνας ἀνὰ ποδῶν β· ὁμοῦ γίνονται ιη. τούτοις πρόσθες τὰ ϛ τοῦ κενώματος τῆς καθέτου καὶ τοὺς β πόδας· γίνονται κϛ· ὧν U+2220΄ γίνονται ιγ. ταῦτα ἐπὶ τὰ τῆς ὅλης ἀνατάσεως, ἐπὶ τὰ η· γίνονται ρδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς τοῦ κενώματος πόδας ξ· λοιπὸν τοῦ στερεώματος πόδες μδ. τούτους ποίησον ἐπὶ τούς ιε τοῦ μήκους· γίνονται πόδες χξ. τοσούτων ἡ καμάρα.

Κόγχην μετρῆσαι, ἧς ἡ βάσις ποδῶν ιβ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ποδῶν δ, ἡ δὲ ὑπὸ τὸ ἀναφύσημα ποδῶν γ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τῶν ιβ τὸ U+2220΄· 1 ἐπιπέδου] scr. ἐπὶ διαμέτρου. 2 ἑνδεκάκις] ια S. 3 δζ] δάκτυλοι ζ S. 6 δζ] om. S. 21 ρδ] ριδ S. 24 πόδες] π S. χξ] χζ S. S γίνονται ϛ σύνθες· γίνονται νβ. πρόσθες αὐτοῖς τὸ U+2220΄· γίνονται κϛ· ὁμοῦ γίνονται οη. καὶ τὰ γ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται θ· μετὰ τῶν οη ὁμοῦ γίνονται πζ. ταῦτα ἐπὶ τὰ γ· γίνονται σξα. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται βωοα. τούτων τὸ μβʹ· γίνονται ξη ϛ΄ ζ΄ κα΄· ~~κατὰ~~ τὸ στερεόν.

τῆς αὐτῆς κόγχης εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ποιῶ οὕτως· τῶν ιβ τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. καὶ τὰ δ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ· ὁμοῦ γίνονται νβ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται κϛ. καὶ τὰ γ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται θ. ταῦτα πρόσθες τοῖς κϛ· ὁμοῦ γίνονται λε. ταῦτα τρίς· γίνονται ρε. ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται αρνε. τούτων τὸ κα· γίνονται νε· ἡ ἐπιφάνεια.

Κόγχην μετρῆσαι, ἧς ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ καὶ ἡ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν β· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· σύνθες διάμετρον καὶ τὰ β πάχη· ιη. ταῦτα κύβισον· γίνονται ,εωλβ. τούτων ἆρον τὴν διάμετρον κυβίσας· γίνονται ,βψμδ· λοιπὸν γίνονται ,γπη. ταῦτα ἐπὶ ια· γίνονται γ ,γϠξη. τούτων τὸ πδʹ· γίνονται υδ γ΄ κα΄. τοσούτων ποδῶν τὸ στερεόν.

Ἄλλως. τῇ διαμέτρῳ πρόσθες τὸ ἓν πάχος· γίνονται ιϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνϛ. ταῦτα ἐπὶ ια γίνονται ,βωιϛ. τούτων τὸ ιδ΄ γίνονται σα ζ΄. ταῦτα δίς· γίνονται υβ καὶ β ἕβδομα.

1 lac. indicaui. 4 ἑνδεκάκις] ια S. 5 βωοα] ,βχοα S. κατὰ] deleo. 10 κϛ] κη S. 11 τρίς] γ S. ἑνδεκάκις] ια S. 15 τὸ· δὲ πλάτος] πλα S. 17 ,εωλβ] ,εχλβ S. 19 ια] ια S. 23 ,βωιϛ] ,βχιϛ S. σα ζ΄] σλζ S. 25 ⟩ — octies S.

Στοὰ ἔχουσα τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ριδ, το δὲ πλάτος ποδῶν ιβ U+2220´· εὑρεῖν, πόσους πήχεις στρωτήρων λαμβάνει. ποίει οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος· γίνονται ,αυκε. προστίθει αὐτοῖς δι᾿ ὅλου τὸ ι´· γίνονται ρμβ U+2220´· σύνθες ὁμοῦ· γίνονται ,αφξζ U+2220´· τοσούτων πηχῶν στερεὸν λήψεται. προσετέθη τὸ ι´ διὰ τὴν μέλλουσαν ἀπουσίαν γίνεσθαι τοῦ στρωτῆρος.

Ἔστω πυλὼν ὁ ὑποκείμενος, ὡς κατατέτακται, ἔχων ἐπάνω τὴν ψαλία· ἐξ ἑκατέρου μέρους ἔστωσαν κίονες στρογγύλοι ἐπὶ βάσεων, καὶ αἱ μὲν βάσεις ἐχέτωσαν τὰ μὲν πλάτη ἀνὰ ποδῶν δ U+2220´, τὰ δὲ μήκη ἀνὰ ποδῶν ζ, τὸ δὲ πάχος ποδῶν γ U+2220´· γίνονται ἕκαστος τοῦ λίθου πόδες ρι δ´. ἐχέτω δὲ ἀπὸ τῆς βάσεως ἡμιπόδια β. ἀφαιρῶ τοίνυν ἀπὸ τοῦ μήκους· λοιπὸν ϛ. τοσούτων ἔσται ἡ βάσις τῶν στύλων. τὸ δὲ ὕψος ἔστω ποδῶν ιδ, ἡ δὲ κορυφὴ ἀνὰ ποδῶν β, τὸ δὲ διάστημα τοῦ πυλῶνος ὡς ἐπὶ τῶν κολοβῶν κώνων ἐστὶν ὑπὸ τὸν ἀνώτερον ὑποδεδειγμένον καὶ ὅσου ἐὰν ὦσιν. ἐκθήσομαι ἐπὶ τῷ αὐτῷ ἐπιχόμενος μέτρῳ τὸ 1 ποδῶν] SV, πηχῶν Hultsch. 4 προστίθει] προστιθε S, πρόϛι V, πρόσθες Hultsch. τὸ] S, τοῦ V 5 τοσούτων— 6 στερεὸν] τοσούτους πήχεις στρωτήρων Hultsch. 6 πηχῶν] S, πηχυῶν V. στερεὸν] scrib. στρωτῆρα. 12 ἕκαστος τοῦ] scrib. ἐξ ἑκατέρου. 13 ρι δ´] ριδ S. ἐχέτω] scrib. ἀπεχέτω; sed de- sunt nonnulla. ἔστω] corr. ex ἔσται S. 16 β] ιβ S. 7 lacunam indicaui. κώνων] κιόνων S. ἐστὶν ὑπὸ] cor- ruptum. 18 lacunas indicaui; deest τρόπον. 19 ἐπὶ] fort. ἔτι ἐπιχόμενος] scrib. ἐπιχρώμενος. *) Natürlich muß eine Benennung durchgeführt werden, entweder Fuß oder Ellen. **) Wenn ἀπουσία richtig ist, wird anf Verlust durch Be- hauungg o. ä. praktische Rücksicht genommen. ***) D. h. nach der Figur: Breite der Vorderseite. Hierbei S μεῖζον ἡμικύκλιον, ὡς ἐμάθομεν· ἐὰν δὲ μείζων ἢ ἐλάσσων, ποίει ὡς τὰ τμήματα τοῦ κύκλου.

τὸ μὲν ἡμικύκλιον μετρηθὲν γίνεται ποδῶν νδ ὅλην γὰρ ἔχει τὴν βάσιν ποδῶν ιβ. ἔπειτα ἀνταναφέρω τούς β πόδας τούς ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐξ ἑκατέρου τοῦ μέρους ~~λοιπόν εἴσι πόδες ν~~. ἐμέτρησα νῦν ἕτερον ἡμικύκλιον ἔλασσον, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου μετρηθέντος, καὶ γίνεται ποδῶν κδ· ἃ συναναφέρω ἀπὸ τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου, οἷον ἀπὸ τῶν νδ τὰ κδ· λοιπὸν λ. τοσούτων ἔσται αὐτὴ ἡ ψαλίς. τῷ δ᾿ ἐν ταῖς στερεομετρίαις ἔξεστιν εὐκόπως κατακολουθεῖν, ἐπεὶ ἑνὸς; ἑκάστου ἡ μέτρησις, καθὼς ἄνω προδεδήλωται.

SVC

Ἔστω οἶκος ἔχων τὸ μῆκος ποδῶν κ καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ιγ U+2220´· δεῖ δὲ γνῶναι, πόσαι εἰς τοῦτον τὸν οἶκον κεραμίδες ἀναβαίνουσιν· ἔστω δὲ ἡ κεραμὶς ποδῶν β, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν α U+2220´. ποίει οὕτως· ἐπειδὴ ἡ κεραμὶς ἡμιπόδιον ὑποτίθεται ὑπὸ τὴν ἑτέραν κεραμίδα, ἄφελε ἀπὸ τοῦ μήκους τῆς κεραμίδος, εἰς ὃν τόπον κατέχει. καὶ ἐπεί ἐστι τὸ μῆκος ποδῶν κ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιγ U+2220´, πολυπλασίασον τὰ κ ἐπὶ ιγ U+2220´· 1 ᾖ] ἡ S. 6 λοιπόν—ν] deleo. 7 ὡς ἐπὶ] ὅς ἐστι S. 10 τῷ] τοῦ S. Fig 68 post lin. 12 repetit S. 14 ιγ U+2220´] ιϛ´ C. 17 ἡ] om. SVC. κεραμὶς] om. C 18 εἰς] locus la- cunosus. 19 κ] ρ C. 20 ἐπὶ] ἐπὶ τὰ C. *) Nämlich 8 des zwischenraumes + 2 + 2 der Scheitel- durchmesser. π ═ 3. **) Nämlich vom Durchmesser des gröBeren Halbkreises. Der Zusatz λοιπόν—ν beweist völligen Mangel an Verständnis der Aufgabe bein Exzerptor; seine Flüchtigkeit hat dann wohl auch z. T. die Auslassungen verschuldet. SVC γίνονται σο. ταῦτα μέρισον εἰς τὰ β δ´· γίνονται ρκ τοσαῦται ἀναβήσονται κεραμίδες ἐπὶ τὸν οἶκον.

Ἐστι δὲ καὶ ἑτέρα μέθοδος ἐπὶ τῶν κεραμίδων ἐὰν ἡ οἶκος ἔχων τὸ μῆκος ποδῶν ξ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν λ, ἄφελε διὰ παντὸς τὸ γ´ μέρος τῶν ξ· λοιπὸν μ. καὶ ἔτι ὁμοίως ἀπὸ τοῦ πλάτους ἀπὸ τῶν λ τὸ γ´· λοιπὸν κ. καὶ πολυπλασίασον τὰ μ ἐπὶ τὰ κ· γίνονται ω. τοσαῦται κεραμίδες ἀναβήσονται ἐπὶ τὸν οἶκον. εὕρηται καὶ ταῦτα τῇ μεθόδῳ.

Ἔστω δὲ στῦλος, καὶ ἐπιστηκέτω ἐπ᾿ αὐτὸν ὑδρία κεράμιον χωροῦσα Ἰταλικὸν ξεστῶν μη, ἔχει δὲ τρύπημα περὶ τὸν πυθμένα δακτύλου ᾱ. ἀπολυομένου οὖν, φησί, τοῦ ὕδατος καὶ ἐνεχθέντος ἐπὶ τὴν γῆν παραχρῆμα κενοῦται ἡ ὑδρία. ἐκ τούτου οὖν τοῦ λόγου εὑρεῖν τὸ ὕψος τοῦ στύλου. ἀποδειχθήσεται οὖν οὕτως· ἐπειδή ἐστιν ἡ ὑδρία κεράμιον χωροῦσα ξεστῶν 1 ρκ] πο δ ρκ´ C. 2 τοσαῦτα C. κεραμίδια C. 5 λοιπὰ C. 6 καὶ] in ras. C. ἔτι] om. C. πλάτους] corr ex πάχους S. 7 λοιπὰ C. καὶ] om. C. τὰ (pr.)] οὖν τὰ C. μη, ὁ δὲ ποὺς ὁ τετράγωνος χωρεῖ ξέστας Ἰταλικοὺς μη, ἔχει δὲ ὁ κύβος τοῦ μη στερεοῦ ποδὸς δακτύλους ,δ𝒢ϛ, ἔστι δὲ τὸ τρύπημα δακτύλου ᾱ, λήψομαι τοίνυν τῶν ,δ𝒢ϛ τὸ ιϛ΄, ἵνα ἔχωμεν πόμῆ, δας εὐθυμετρικούς, οἵ εἰσι δακτύλων κος σνς. τοσούτων ἄρα ποδῶν ἔσται ὁ στῦλος· δα ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

φανερὸν δέ σοι κτύ ἔσται ἐκ τούτου τοῦ λόγου, ὅσου ἂν λων δοθῇ ἡ ὑδρία, καὶ πηλίκον ἂν ᾖ τὸ σνς τρύπημα, ὡς δεῖ μεθοδικῶς ζητῆσαι, καθὼς καὶ ἐπὶ τούτου δέδεικται.

Ἀμφορὰ ὕδατος κρέμαται τρύπημα ἔχουσα δακτύλων β καὶ συνέβη ἅψασθαι τὸ ὕδωρ τῆς γῆς καὶ κεκενῶσθαι τὴν ἀμφοράν. ζητῶ, ἀπὸ πόσων ποδῶν ἐκρέματο τῆς γῆς. ποιῶ οὕτως· ὅσων ἐὰν εἴπῃ δακτύλων, ἕλκε ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται δ. καὶ ἐπειδὴ ὁ ποὺς ἔχει δακτύλους ιϛ, ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται σνϛ. ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν δ· γίνονται ξδ. τοσούτων ποδῶν τὸ ὕψος ἦν.

Ὁ σωλὴν ὁ οὐγκίαν φέρων ἔχει τὴν διάμετρον δακτύλου α. ἐὰν οὖν τις βουληθῇ κατασκευάσαι σωλῆνα γραμμάτων θ, εὑρεῖν, πόσων δακτύλων τάσσωμεν τὸν σωλῆνα ἔχοντα διάμετρον. ποιῶ οὕτως· ἐπειδὴ ὁ σωλὴν οὐγκίας ᾱ δάκτυλον ᾱ ἔχει, ἀναλύω τὴν οὐγκίαν 3 ποδὸς] π, S om. C. δακτύλους] Δ/αα/ S, δακτύλου C. ,δ𝒢ϛ—5 τῶν] S, om C. 5 ,δ𝒢ϛ] δ- deformatum in C. 6 δακτύλων] comp. C, δάκτυλοι S. 9 ἂν] ἄρα C et e corr. in scrib. S. 10 ὑδρία] C, ὑδρεια S. 12 καθὼς] S, καθʼ C 13 ἀμφορὰ] S, ἀμφορεὺς C. κρέμαται] κρεμᾶται S, κρεμμᾶται C. S εἰς γράμματα· γίνονται κδ. καὶ πολυπλασιάζω τὰ κδ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται φοϛ. ἐπειδὴ σωλῆνα θ γραμμάτων βουλόμεθα κατασκευάσαι, πάλιν ποιῶ τὰ θ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πα. ταῦτα εἰς φοϛ· γίνονται ξδ. τοσούτων δακτύλων τὸν σωλῆνα τῶν θ γραμμάτων τάσσομεν.

Πῶς δεῖ ὀθόνας ἐκμετρεῖν εἰς ἄρμενον. ἔστω ἱστός, οὗ τὸ μὲν ὑποκέρας ποδῶν π, βάθος ποδῶν ν· εὑρεῖν, πόσα ὀθόνια ἐμπεσοῦνται εἰς τὸ ἄρμενον ἐχούσης τῆς ὀθόνης τὸ μὲν μῆκος ποδῶν δ, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν γ. ποίει οὕτως· τὰ γ ἐπὶ τὰ δ· γίνονται ιβ. ταῦτα τετράκις· γίνονται μη. καὶ τὰ π ἐπὶ τὰ ν· γίνονται ,δ. τούτων τὸ μη΄· γίνονται πγ γ΄. τοσαῦτα ἀπέρχεται ὀθόνια

Ἄλλως τὸ αὐτό.

τὰ ν ἐπὶ τὰ π· γίνονται ,δ· ὧν δʹ γίνονται ,ᾱ. καὶ ποιῶ τοὺς γ ἐπὶ τοὺς δ· γίνονται πόδες ιβ. λαμβάνω τῶν ,α τὸ ιβ΄· γίνονται πγ γ΄. φανερόν.

Πλοίου τὸ μῆκος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ϛ, ἡ δὲ κατάβασις ποδῶν δ· εὑρεῖν, πόσα κεράμια ἢ πόσους μοδίους χωρεῖ. ποιῶ οὕτως· τὴν κατάβασιν ἐπὶ 4 ξδ] ,ηξδ S. 6 πᾶς—ἄρμενον] S, om. C. 9 πλάτος] π λ S. 11 τετράκις] C, δ S. 13 τὸ] S, εἰς τὸ C. 14 δ΄] S, τὸ δ΄ C. 15 γ] C, ,γ S. δ] S, τέσσαρις C. 16 φανερόν] S, om. C. 18 κατάβασις] fort. κάτω βάσις; sed cfr. lin. 19. πόσα] om. S. Fig. 75 post 51 repetit S. *) D. h. Höhe. **) Wenn die Figur richtig ist, müßte das Κrgebnis dop- pelt so groß sein; aber vielleicht ist das Segel micht als rechtwinkliges Dreieck gedacht, sondern von dieser Form, die dann empirisch berechnet wäre. Dieselbe Rechnung findet sich in 49, wo sie sachgemäßer dar- gestellt ist. Darauf bezieht sich wohl φανερόν Ζ. 16. S τὴν βάσιν· γίνονται πόδες κδ. τούτους πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ μῆκος, ἐπὶ τοὺς κδ· γίνονται πόδες φοϛ. τούτων τὸ γ΄ προστιθῶ τοῖς φοϛ· ὁμοῦ γίνονται ψξη. τοσαῦτα κεράμια χωρεῖ. χωρεῖ δὲ τὸ κεράμιον μοδίους ῑ γίνονται ,ζχπ.

Ἔστω πλοῖον, καὶ ἐχέτω ~~μῆκος~~ ἀπὸ κορύμβου εἰς κόρυμβον τὸ μὲν μῆκος ποδῶν ν, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν ιβ καὶ τὸ βάθος ποδῶν ζ. ποίει οὕτως· τὰ ν ἐπὶ τὰ ιβ· γίνονται χ. ταῦτα ποιῶ ἐπὶ τὸ βάθος, ἐπὶ τοὺς ζ γίνονται ,δσ. ταῦτα ποιῶ διʼ ὅλου ἑξάκι· γίνονται β ,εσ. τοσούτους μοδίους χωρήσει τὸ πλοῖον.

Πλοῖον μετρήσωμεν, οὗ τὸ μῆκος πηχῶν μη, ἡ δὲ ἔμβασις πηχῶν δ καὶ ἡ διάβασις πρῴρας πηχῶν ϛ, ἡ δὲ ἄνω βάσις πρύμνης καὶ πτέρνης πηχῶν η καὶ ἡ βάσις μέση πηχῶν θ· εὑρεῖν, πόσους μοδίους χωρεῖ. ποίει οὕτως· σύνθες πρώραν καὶ πρύμναν· γίνονται ιδ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ζ. τούτοις πρόσθες τὴν διάβασιν τῆς μέσης· ὁμοῦ γίνονται πήχεις ιϛ. τούτων τὸ U+2220ʹ· γίνονται η· τούτους ποιῶ ἐπὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ τοὺς δ πήχεις· γίνονται πήχεις λβ. ἐπὶ τὸ μῆκος, ἐπὶ τοὺς μη πήχεις· γίνονται πήχεις ,αφλϛ. ὁ δὲ πῆχυς χωρεῖ 6 μῆκος] deleo. 12 πηχῶν] S, et sic deinceps. 13 πρώρ |ῥας S. 15 μοδίους] μ Δ S. 16 πρώρῥαν S. πρύμν S. 18 πήχεις] π κ S, et sic deinceps. 19 τοὺς] τὰς corr ex τὰ S. 20 πήχεις (pr.)] sic S. 21 πήχεις (pr.)] sic S. πήχεις (alt.)] S. πῆχυς] sic S. S Ἰταλικοὺς μοδίους ιβ U+2220΄· γίνονται μόδιοι Μ ,θσ. τοσούτους μοδίους χωρήσει τὸ πλοῖον.

Μέτρησις ὄντος σίτου ἐξ ἀποθέσεως.

ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει σίτου μοδίους γ, ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν ιϛ· γίνονται ξέσται μη. ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.

ἐὰν δὲ ᾖ μόδιος ξεστῶν ιη, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει σίτου μοδίους β U+2220ʹ ϛ΄.

ἐὰν δὲ μόδιος ξεστῶν κ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β γʹ ιε΄.

ἐὰν δὲ μόδιος ξεστῶν κβ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β ϛ΄ ξϛ΄.

ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν κδ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μοδίους β.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κε, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον ᾱ U+2220΄ γʹ ιε΄ ν΄.

ἐὰν δὲ ᾖ ὁ μόδιος ξεστῶν κη, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον ᾱ U+2220΄ ζ΄ ιδ΄.

ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν λ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον ᾱ U+2220΄ ι΄. ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.

εἰ δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν λβ, ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει μόδιον ᾱ U+2220΄.

Δεῖ οὖν εἰδέναι ἐπὶ τῆς μετρήσεως τῶν ὁρίων καὶ λαμβάνειν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παντὸς καὶ ποιεῖν ἐπὶ τὸ ὕψος ἤτοι ἐπὶ τὸ βάθος, καὶ ὅτε εὕρῃς τὸ στερεὸν τοῦ 1 μοδίους] μ Δ S. μόδιοι] μ ο S. 2 πλοῑον] des. fol. 53 v, add. ἑξῆς ἡ καταγραφή S, fig. sequitur fol. 54 addito ∻ >>> — (sexies) ∻ 4 μόδιος] μ SV, ut plerumque. 12 ϛ΄ ξϛ΄] S, καὶ (??)ϛ΄ 13 ὁ] S, om. V. μόδιος] μ Δ S. SV παντὸς ~~ἐμβαδοῦ~~ τῆς ἀποθέσεως τοῦ σίτου, τότε πρὸς τὸν μόδιον ποίει τὰ μέτρα οὕτως·

ἐὰν ὁ μόδιος ξεστῶν ιϛ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν ἐπὶ τὰ γ· καὶ τοσοῦτοι μόδιοι ἔσονται, ἐπειδὴ ὁ στερεὸς ποὺς χωρεῖ μοδίους γ, ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν ιϛ, ἕκαστος ξέστης ἀπὸ Γο κ.

ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν ιη, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν, καθὼς προγέγραπται, ἐπὶ τὰ β U+2220ʹ ϛ΄· καὶ τοσοῦτοι μόδιοι ἔσονται.

ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν κ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὰ β γ΄ ιε΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι. ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν κβ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὰ β ϛ΄ ξϛ΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι. ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν κε, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ ἐπὶ τὸν ᾱ U+2220΄ γ΄ ιε΄ ν΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

ἐὰν δὲ ὁ μόδιος ξεστῶν κὴ, ποίει τὸ στερεὸν τοῦ ποδισμοῦ τῆς ἀποθέσεως τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν διὰ τῶν ᾱ U+2220΄ ζ΄ ιδ΄· καὶ τοσοῦτοι ἔσονται μόδιοι.

Δεῖ δὲ εἰδέναι ἐν τῇ ἀποθέσει τοῦ σίτου ἤτοι κριθῶν, ὅτι, ἂν πρόσφατος ἀποτεθῇ, ψυγόμενος ὁ στερεὸς ποὺς ἀποποιεῖ μέρος ι΄ νε΄ οὕτως·

ὄντος σίτου ἐξ ἀποθέσεως ὁ στερεὸς ποὺς ἔχει ξέστας νε, ἕκαστος ξέστης Γο κ. εἰ δὲ πρόσφατος ἐτέθη, ἔχει ὁ στερεὸς

1 ἐμβαδοῦ] S, ἐμβαδὸν V; deleo. 3 μόδιος] μ Δ S, ut sae pius. 4 ἤτοι] S, ἥτε V. κριθῶν] κρι S, κρι θ V. τοσούτων μοδίων V. 5 μοδίους] μο Δ S. 6 ἀπὸ Γο] S, οὐγγιῶν V. 8 ἤτε κριθ V. τὰ] S, τὸν V. 9 τόσου V. 11 τοσούτων) v. μ v. 13 ξϛ΄] ζ΄ SV. καὶ] V, ϛ S, ut saepius. τοσού των V. μόδιοι] S, μ ο V. 15 τὸν] S, τὸ V 18 κρι θ S, κριθ

Μέτρησις ὁρίων διαφόρων.

Σἴτος ἀπόθετος ἀποτεθεὶς πρὸ φανεροῦ χρόνου εὑρέθη εἰς τὸν στερεὸν πόδα μοδίων β U+2220 ἀπὸ ξεστῶν κβ· γίνονται ξέσται Ἰταλικοὶ νε ἀπὸ Γο κ· ἐπιβάλλουσιν εἰς τὸν στερεὸν πόδα λίτραι 𝒢α β. ἐν δὲ τῷ προσφάτως ἀποτεθέντι ἐν τοῖς ὁρίοις εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα μόδιοι β ξέσται μδ ~~καὶ~~ Γο κ· γίνονται λίτραι π· ὅπερ ὅριον ἐμετρήθη.

Ὅριον κριθῶν ἀποκειμένων πρὸ φανεροῦ χρόνου· καὶ εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα τῶν κριθῶν μόδιοι β U+2220΄ ἀπὸ ξεστῶν κβ ἐξ Γο κ γίνονται λίτραι 𝒢α β. ἐν δὲ ταῖς προσφάτως ἀποτεθείσαις κριθαῖς εὑρέθησαν εἰς τὸν στερεὸν πόδα ξέσται Ἰταλικοὶ μη U+2220΄ ϛ΄ Γο κ· γίνονται λίτραι U+2220΄ γ΄.

οἴνου εἰς τὸν στερεὸν πόδα Ἰταλικοὺς λϛ γίνονται ξέσται μ ιη. λάρδου εἰς πόδα ᾱ λίτραι οε. ταῦτα δὲ ἐξαγιάσθησαν ἐπὶ Μοδέστου τηνικαῦτα ὄντος ἐπάρχου πραιτωρίων.

Μέτρησις πυραμίδων.

Πυραμίδα ἐπὶ τετραγώνῳ βεβηκυῖαν μετρήσωμεν οὕτως· ἑκάστη τῶν πλευρῶν τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν κδ καὶ τὰ κλίματα τῆς πυραμίδος ἀνὰ ποδῶν ιη. ποίει τὰ κδ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται φοϛ· ὧν U+2220΄ γίνονται σπη. καὶ τὰ ιη ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται τκδ. ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰς σπη· λοιπὸν λϛ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ϛ. τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετός ἐστι ποδῶν ϛ, λάμβανε τῆς καθέτου γ΄· γίνονται β. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ φοϛ· γίνονται ,αρνβ. τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν.

1—17 fol. 23 V. 4 κβ] Hultsch, κπ V. ἐπιβάλλουσιν] scripsi, ἐπιβάλλει V. 5 λίτραι] λ V, λίτρας Hultsch. β] β΄

56 Ἔστω πυραμὶς ἔχουσα τὴν βάσιν τετράγωνον, καὶ ἐχέτω τὸ τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ῑ, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω πλευρὰς ἀνακεκλιμένας ἀνὰ ποδῶν ιγ U+2220΄· εὑρεῖν τῆς πυραμίδος τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· πολυπλασιάζω τοῦ τετραγώνου τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ρ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ν. καὶ πολυπλασιάζω τὰ ιγ U+2220΄ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρπβ δʹ. ἀφαιρῶ ἀπὸ τούτων τὰ ν· λοιπὸν ρλβ δ΄. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ια U+2220΄.

ἔσται ἡ κάθετος ποδῶν ια U+2220΄. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· ποιῶ τοῦ τετραγώνου τὸ ἐμβαδόν· γίνονται ρ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ γ΄ τῆς καθέτου, ὅ ἐστι ποδῶν γ U+2220΄ γ΄· γίνονται τπγ γ΄. ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος τπγ γ΄.

Πυραμίδα μετρῆσαι βάσιν ἔχουσαν τετράγωνον, ὥστε ἑκάστην τῶν περὶ τὴν βάσιν πλευρῶν ἔχειν ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λϛ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὴν βάσιν. ποιῶ οὕτως· τὴν πλευρὰν τὴν περὶ τὴν βάσιν τὰ ιβ πολυπλασίαζε ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. εἶτα τὴν ἑτέραν ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ σύνθες· γίνονται σπη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ιζ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ διαγώνιος τοῦ περὶ τὴν βάσιν τετραγώνου. ὧν U+2220΄ γίνονται η U+2220΄. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται οβ δ΄· ἀπόγραψαι.

καὶ τὰ τοῦ κλίματος τὰ λϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ,ασ𝒢ϛ. ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ οβ δ΄· λοιπὸν ,ασκδ μετὰ διαφόρου· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λε μετὰ διαφόρου. τοσούτου καὶ ἡ κάθετος. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὰ ρμδ τὸ 2 τὸ τετράγωνον] τοῦ τετραγώνου S. ῑ] corr ex ιβ S 10 εὑρήσωμεν 2. 14 des. fol. 55r S, add. ἑξῆς ἡ καταγραφή; S ἐμβαδόν· γίνονται ,εμ. τούτων λαβὲ τὸ γ΄· γίνονται ,αχπ.

τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν. διὰ τί δὲ τὸ γ΄; ὅτι πᾶν πρίσμα στερεὸν διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας ἴσας ~~τῷ ὕψει τοῦ πρίσματος~~ τριγώνους βάσεις ἐχούσας· πεποιήκαμεν δὲ ὡς στερεὸν παραλληλεπίπεδον, τὸ δὲ στερεὸν παραλληλεπίπεδον ἔχει πρίσματα β, ἕκαστον δὲ πρίσμα τῆς καθʼ ἑαυτὸ πυραμίδος ἐστὶ τριπλάσιον τὸ ἐπὶ τῆς ἡμισείας τῆς ὑποκειμένης πυραμίδος· ἔστι γὰρ τετράγωνον βάσιν ἔχουσα. ἀπέδειξεν Εὐκλείδης ἐν τῷ δωδεκάτῳ.

Πυραμὶς κόλουρος τετράγωνος, ἧς αἱ πλευραὶ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν ῑ καὶ αἱ πλευραὶ τῆς κορυφῆς ἀνὰ ποδῶν β, τὸ δὲ κλίμα ποδῶν θ. μετρηθήσεται οὕτως· ὕφελε τὰ β τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ῑ τῆς βάσεως· λοιπὸν η. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ξδ· ὧν U+2220΄ γίνονται λβ. καὶ τὰ θ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πα. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ λβ· λοιπὸν μθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ.

τοῦτό ἐστιν ἡ κάθετος. ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ζ, εὑρεθήσεται τὸ στερεὸν οὕτως· σύνθες τὰ β τῆς κορυφῆς καὶ τὰ ῑ τῆς βάσεως· ὁμοῦ γίνονται ιβ· ὧν U+2220΄ γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. εἶτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ῑ τὰ β τῆς κορυφῆς· λοιπὸν η· ὧν U+2220΄ γίνονται δ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ· ὧν γ΄ γίνονται ε γ΄. ταῦτα πρόσθες τοῖς λϛ ὁμοῦ γίνονται μα γ΄. ταῦτα ἐπὶ τὰ ζ τῆς καθέτου· γίνονται σπθ γ΄. τοσούτων ἔσται τὸ στερεὸν ποδῶν.

Πυραμίδα ἡμιτελῆ μετρῆσαι τὴν λεγομένην κόλουρον τὴν βάσιν ἔχουσαν τετράγωνον, ἧς αἱ περὶ τὴν s4 τῷ ὕψει τοῦ πρίσματος] deleo; ἀλλήλαις Euclides IV p. 172, 15. 5 παραλληλεπίπεδον] παράλληλον ἐπίπεδον S. S βάσιν πλευραί εἰσιν ἐκ ποδῶν ιϛ καὶ αἱ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν καὶ τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν μ· εὑρεῖν, πόσων ἐστὶ ποδῶν. ποίει οὕτως· τὰ ιϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· καὶ ὁμοίως τὰ ἕτερα ιϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται φιβ. τούτων ἀεὶ λάμβανε πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται κβ β. τοσούτου μετὰ διαφόρου ἡ διαγώνιος τοῦ ἐν τῇ βάσει τετραγώνου.

εἶτα ὁμοίως τὰ περὶ τὴν κορυφὴν τὰ ϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. καὶ ὁμοίως τὰ παρακείμενα τὰ ϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται οβ. τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται η U+2220΄ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ διαγώνιος τοῦ περὶ τὴν κορυφὴν τετραγώνου.

ταῦτα ὕφελε ἀπὸ τῆς ἐν τῇ βάσει διαγωνίου, ἀπὸ τῶν κβ β· λοιπὸν ιδ ϛʹ. ταῦτα πολυπλασίαζε ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σ γ΄ δ΄ θ΄. καὶ ὁμοίως τὰ τοῦ κλίματος τὰ μ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ,αχ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ σ γ΄ δ΄ θ΄ λοιπὸν ,αυ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται λζ δ΄ ϛ΄ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ κάθετος.

ἔχομεν οὖν λίθον μείουρον, ὅ ἐστιν ἀνισοπαχοῦντα, οὗ αἱ περὶ τὴν βάσιν πλευραὶ ἐκ ποδῶν ιϛ, αἱ δὲ περὶ τὴν κορυφὴν ἐκ ποδῶν ϛ, μῆκος ποδῶν λζ δ΄ ϛ΄. ποίει οὕτως· τοὺς ἐν τῇ βάσει διʼ ἀλλήλων· γίνονται σνϛ. καὶ ὁμοίως τοὺς ἐν τῇ κορυφῇ ϛ· γίνονται λϛ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται σ𝒢β· ὧν U+2220΄ γίνονται ρμϛ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ λζ δ΄ ϛ΄· γίνονται ,ευξγ. τοσούτων ποδῶν ἡ κόλουρος πυραμὶς καλουμένη.

ἐὰν δὲ μὴ ᾖ ἡ βάσις μήτε ἡ κορυφὴ τετράγωνος ἀλλὰ ἑτερομήκης, κατὰ ἑκάστην τῶν πλευρῶν πολυ 1 ἐκ] ἐκ (h. e. ἑκάστη) S; item lin 2 (utr.). 2 ποδῶν ϛ καὶ] θ ς seq. spat. 1 litt. S. 6 τοσούτου μετὰ διαφόρου] S πλασιάσας συνθήσεις ~~τὴν πλευρὰν~~ εἰς τὸ τὴν διαγώνιόν σε εὑρεῖν· οἷον ἐπὶ ὑποδείγματος· ἐὰν ἡ μία τῶν περὶ τὴν βάσιν ᾖ ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ ἑτέρα ποδῶν ιβ, ποιήσεις τὰ ιϛ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνϛ· ὁμοίως καὶ τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. σύνθες ὁμοῦ· γίνονται υ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται κ. τοσούτου ἡ διαγώνιος τοῦ ἐν τῇ βάσει τετραγώνου. τοῦ κατʼ αὐτὴν μεθόδου εὑρήσεις τὸ στερεόν.

Πυραμίδα μετρῆσαι τρίγωνον ὀρθογώνιον βάσιν ἔχουσαν, ἧς τὰ κλίματα οὐκ ἐπʼ ἀνάγκης ζητῆσαι ὀρθῆς οὔσης τῆς καθέτου. ἔστω ἡ μὲν κάθετος ποδῶν κε, ἡ δὲ πρώτη τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τοῦ περὶ τὴν βάσιν τριγώνου ποδῶν δ, ἡ δὲ ἑτέρα ποδῶν ε. ποίει οὕτως· τοὺς δ ἐπὶ τοὺς ε· γίνονται κ· ὧν U+2220΄ γίνονται ῑ. τούτους ἐπὶ τοὺς κε τῆς καθέτου· γίνονται σν· ὧν τὸ

ϛ΄ γίνονται μα β διʼ αἰτίαν τοιαύτην· πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν ἐστὶν ἥμισυ τετραγώνου, διαιρεῖται δὲ εἰς γ πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίως τῷ πρίσματι· τοῦτο ἀποδείκνυσιν Εὐκλείδης ἐν τῷ ιβ΄. εἰ οὖν τὸ πρίσμα ἐστὶν ἥμισυ τετραγώνου καὶ διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας, γίνεται ἀναγκαίως τὸ τῆς πυραμίδος τῆς τρίγωνον βάσιν ἐχούσης ἕκιον βάσιν ἐχούσης.

ἀποτετραγωνισθείσης οὖν ληψόμεθα τὸ ϛ΄. ἐὰν δὲ τὸ τρίγωνον ἰσοσκελές· οἷον ἔστωσαν 1 τὴν πλευρὰν] deleo. 7 τοῦ κατʼ—8 μεθόδου] corruptum; scrib. κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον; sed plura desunt 8 des. fol. 56 v S, add. ἑξῆς ἡ καταγραφή; seq. fig. fol 57 r. 10 ἐπʼ ἀνάγκης] fort ἐπάναγκες. 12 πρώτη] scrib. μία (ᾱ). ὀρθὴν] supra scr. S. 17 ἐστὶν] εἰς τὴν S. 19 ὁμοίως] fort. ὁμοίας; sed debuit τὰς αὐτάς τοῦτο] τούτῳ S. 20 ιβ΄] ιβ S 21 γίνεται] ϛU+2220 Γ S (in mg. exced.) τὸ] om. S. 22 lac. indicaui 24 ἰσοσκελής S. s αἱ ἴσαι ἐκ ποδῶν ιβ, ἡ βάσις ποδῶν η, τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν κε τῆς πυραμίδος· ποίει οὕτως· δίελε τὴν βάσιν, τῶν η τὸ U+2220΄· γίνονται δ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. καὶ ποίει μίαν τῶν πλευρῶν τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ δ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ· λοιπὰ ρκη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ποδῶν ια δ΄ κβ΄ μδ΄. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος ἡ ἐν τῇ βάσει τοῦ ἰσοσκελοῦς τριγώνου.

τὸ δὲ ἐμβαδὸν ποιήσεις οὕτως· τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν, τοὺς ια δ΄ κβʹ μδ΄ ἐπὶ τοὺς η· γίνονται U+A7FC U+2220΄ κβʹ. τούτους ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς πυραμίδος, ἣν εὑρήσεις οὕτως· ἐπὶ παντὸς τριγώνου καθόλου λαμβάνων τῆς καθέτου τῆς ἐν τῇ βάσει τὸ U+2220΄, τῶν ια δ΄ κβʹ μδʹ· γίνονται ε U+2220΄ ηʹμδʹ πη΄· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λβ μδ΄· καὶ τὰ τοῦ κλίματος ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται χκε. λοιπὸν ὕφελε τούς λβ μδ΄· γίνονται φU+A7FCγ. τούτων πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται κδ δʹ ηʹ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἡ κάθετος.

ταῦτα ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, ἐπὶ τοὺς U+A7FC U+2220΄ κβ΄· γίνονται ,βσζ. τούτων λάμβανε ϛʹ τετραγώνου· γίνονται πόδες τξζ U+2220΄ γʹ.

τοσούτου ἡ πυραμίς. ἐὰν δὲ ᾗ πυραμὶς τρίγωνον ἀμβλυγώνιον βάσιν ἔχουσα, τοῦ ἀμβλυγωνίου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ποίει ἐπὶ τὴν κάθετον, 4 μίαν] αʹ S. ἐφʼ ἑαυτά] ἐφ᾿ S, ut solet. 6 λοιπὰ ρκη] corr. ex λοιπὸν κη S. 9 τοὺς] τοῦ S. 10 U+2220΄] om. S. 13 ια| ια΄ S. 15 χκε] χ- postea add. S. 16 μδ΄] ∠΄ S. 18 U+A7FC U+2220΄ U+A7FCϛ S. 19 βσζ] πβ U+2220΄ S. lac. indicaui. 20 τξζ] τξϛ S. γʹ] om. S. 21 ᾖ] ἡ S. τρίγωνος ἀμβλυγώνιος S. *) Ein wenig zu groß (11 1/4 1/22 1/44)2 =128 49/484. **) Diese Rechnung setzt voraus, daß die Höhe der Pyra- mide die Höhe der Basis halbiere, was nur bei dem gleich- seibmigen Dreieck der Fall ist. s καὶ λήψῃ τὸ γʹ καὶ ἕξεις τῆς πυραμίδος τὸ στερεόν· ὁμοίως κἂν ὀξυγώνιος ᾖ.

OMS

Ἔστω πυραμὶς ἔχουσα βάσιν τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἔστω ἡ κάθετος ποδῶν ϛ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν η, ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ῑ, ἡ δὲ πυραμὶς ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ ποδῶν ιγ· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον.

ποιῶ οὕτως· εὑρίσκω πρῶτον τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου τοῦ περιγράφοντος τὸ τρίγωνον ποδῶν ι, ἥτις ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα. τούτων λαβὲ τὸ U+2220΄· γίνονται ε ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· καὶ τὰ ιγ τοῦ κλίματος ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρξθ. ὑφαιρῶ ἀπʼ αὐτῶν τὰ κε· λοιπὸν ρμδ. τούτων λαμβάνω πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται πόδες ιβ.

τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· πρῶτον ποιῶ τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, καὶ εἰσὶ πόδες κδ· καὶ λαμβάνω τῆς καθέτου τὸ γ΄, ἥτις ἐστὶ τῆς πυραμίδος· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν· γίνονται U+A7FCϛ πόδες. τοσούτου τὸ στερεόν.

Πυραμίδα ἐπὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου βεβηκυῖαν μετρήσομεν οὕτως· ἔστω ἑκάστη πλευρὰ τῆς βάσεως ἀνὰ ποδῶν λ καὶ τὸ κλίμα ποδῶν κ. ποίει τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται Ϡ. τούτων τὸ γ΄· γίνονται τ· καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά γίνονται υ. ἐκ τούτων ὑφαιρῶ τὰ τ· λοιπὸν ρ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι. τοσούτων ἔσται ἡ κάθετος.

ἐπεὶ οὖν ἡ κάθετος ποδῶν ι, εὑρεθήσεται τὸ ἐμβαδὸν οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται Ϡ. τούτων τὸ γʹ καὶ τὸ ιʹ· γίνονται τὸ. τούτων 2 des. fol. 57 v S. 3 S fol. 58 r. ὀρθογώνιον, οὗ] M, οὗ ὀρθόγω οὗ C, οὗ ὀρθογωνίου S. 4 ἡ δὲ (pr.)] CS, καὶ ἡ M. 7 πρῶτον] αʹ S, om. CM. 11 ὑφαιρῶ] S, ὑφερῶ CM, 12 λοιπὸν] S, λοιπὰ CM. λαμβάνω] S, λάμβανε CM. 13 στερεὸν] corr. ex ἕτερον S, ἕτερον CM, εὑρήσομεν] CM, -ο- e corr. in scrib. CMS τὸ γʹ· γίνονται ρλ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ι τῆς καθέτου· γίνονται πόδες ,ατ. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεόν.

Ἔστω πυραμὶς πεντάγωνον βάσιν ἔχουσα τὴν ὑπογεγραμμένην, ἧς ἑκάστη τῶν περὶ τὴν βάσιν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λε· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν.

καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ πεντάγωνον κύκλος ἔχων τὴν περίμετρον ποδῶν ξγ· ἔσται ἄρα ἡ διάμετρος ποδῶν κ. ταύτης λαβὲ τὸ U+2220΄· γίνονται ι. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρ· καὶ τοὺς τοῦ κλίματος πόδας λε ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται ,ασκε. ἆρον ἀπὸ τούτων τὰ ρ· λοιπὸν ,αρκε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ποδῶν λγ U+2220΄ κβʹ μετὰ διαφόρου. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος.

ταῦτα ποίει ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου οὕτως· λαβὲ τῶν ἐν τῇ βάσει ποδῶν ιβ τὸ U+2220ʹ· γίνονται ϛ. τούτους ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται λϛ. καὶ τὸ U+2220ʹ τῆς διαμέτρου τοὺς ι ἐφʼ ἑαυτούς· γίνονται πόδες ρ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τοὺς λϛ· λοιπὸν γίνονται πόδες ξδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν η.

τοσούτου ἡ κάθετος ἡ ἐν τῷ τριγώνῳ. τούτους ἐπὶ τὴν βάσιν, ἐπὶ τοὺς ιβ· γίνονται U+A7FCϛ· ὧν U+2220ʹ γίνονται μη. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ταῦτα ποίει πεντάκις, ἐπεὶ ε τρίγωνά ἐστιν· γίνονται πόδες σμ. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τοὺς λγ U+2220ʹ κβ΄· γίνονται πόδες ,ην. τούτων λάμβανε τὸ ϛʹ, ἐπεὶ ϛ΄ 3 τὴν] addidi, om. CMS. 4 τῶν—πλευρῶν] S, τῶν πλευρῶν τῶν περὶ τὴν βάσιν CM. 5 ἐκ] MS, ἀνὰ C. 6 περίγεγράφθω] MS, περιγεγράφω C. τὸ (alt.)] Hultsch, τὸν CMS. 7 κύκλος] S, κύκλον CM. 8 ἔσται] CS, ἔστιν M. 11 λοιπὸν] S, λοιπὰ CM. 12 ποδῶν] S, om. CM. 15 τὸ] CM, ὧν τὸ S. λϛ—16 γίνονται] MS, om. C. 17 ὕφελε] S, ὕφειλε CM. 18 πόδες] π S, om. CM. γίνεται] comp. CS, γίνονται M. ποδῶν] S, om. CM. 19 ἡ (alt.)] S, ποδῶν ἡ CM. 22 ἐπεὶ] CMS πρίσματός ἐστιν· γίνονται πόδες ,ατμα β. τοσούτου ἔσται τὸ στερεόν.

δύναται δὲ καὶ χωρὶς τῆς περιγραφῆς τοῦ κύκλου ἡ διάμετρος εὑρεθῆναι. ἐπεὶ γὰρ ἡ τοῦ πενταγώνου δύναται τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ τοῦ δεκαγώνου, τὸ U+2220ʹ τῆς πλευρᾶς, λέγω δὲ τῶν ιβ τὸ U+2220ʹ · γίνονται ϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες λϛ· καὶ τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ. ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ λϛ· λοιπὸν ρη· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ι γʹ ιε΄. τοσούτου ἔσται τοῦ ἑξαγώνου ἡ πλευρά. τοσούτου ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου· α γάρ ἐστι.

Καὶ τὴν ἑξάγωνον μετρήσεις οὕτως οὐκέτι ζητῶν τὴν διάμετρον· οἶον ἔστω πυραμὶς ἑξάγωνος, ἧς ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ιβ, τὰ δὲ κλίματα ἐκ ποδῶν λε· εὑρεῖν τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· καὶ τὰ λε ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ,σακε. ὕφελε ἀπὸ τούτων τὰ ρμδ· λοιπὸν απα· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν λβ U+2220ʹ δ΄ ηʹ ξδʹ.

συντείνει τοσούτου ἡ κάθετος. ταύτην ποίησον ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου, λήψῃ δὲ οὕτως· ἐπεὶ ἓξ τρίγωνα ἰσόπλευρα ἔχει τὸ ἑξάγωνον, τοῦ ἑνὸς τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν λαβὼν ἑξάκι ποιήσεις, καὶ εὑρήσεις τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου· ποιήσεις δὲ

οὕτως τὴν α αὐτοῦ πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ρμδ. τούτων τὸ γʹ· γίνονται μη· καὶ τὸ ι΄· γίνονται ιδ γʹ ιεʹ· ὁμοῦ γίνονται ξβ γʹ ιε΄. ταῦτα ποίησον ἑξάκι, ἐπεὶ ϛ τρίγωνά ἐστιν· γίνονται τοδ γʹ ιε΄. ταῦτα 1 πρίσματός] S, πρίσματα CM. ἐστιν] S, ἐστι CM. πόδες] S, om. CM. ,ατμα β] S, ,ατμβ΄ CM. 3 ἡ (pr.)] S, om. CM. ἐπεὶ γὰρ] S, om. CM. 4 καὶ τοῦ] S, καὶ CM. 5 U+2220ʹ (pr.)] MS, ἥμισυ C. 7 ὕφελε] S, ὕφειλε CM. 8 λοιπὸν] C, λοιπὰ M, ὁμοῦ S. γίνεται] comp. CS, γίνονται M. ποδῶν] π ο CS, πο δ M. CMS ποίησον ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ λβ U+2220ʹ δ΄ η΄ ξδ΄. γίνονται πόδες α ,βτιδ· ὧν ἕκτον, ἐπεὶ ϛʹ πρίσματος· γίνονται πόδες ,βνβ γʹ. τοσούτων ἔσται ποδῶν ἡ πυραμίς, ποδῶν ,βνβ γ΄.

Πυραμίδα ἐπὶ ὀκταγώνου βάσεως βεβηκυῖαν μετρῆσαι. ἔστω πυραμὶς ἔχουσα ἑκάστην τῶν ἐν τῇ βάσει πλευρῶν ἀνὰ ποδῶν ι, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ποδῶν ιε· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν κάθετον καὶ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· λαμβάνω τὸ U+2220ʹ τῆς πλευρᾶς τοῦ ἐν τῇ βάσει ὀκταγώνου, τουτέστιν τῶν τὸ U+2220ʹ · γίνονται ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε. ταῦτα ποίει δίς· γίνονται ν· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ποδῶν ζ ιδʹ. τούτοις προστιθῶ τὸ U+2220ʹ τῆς τοῦ ὀκταγώνου πλευρᾶς τοὺς ε πόδας· ὁμοῦ γίνονται πόδες ιβ ιδʹ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται πόδες ρμϛ μετὰ διαφόρου.

καὶ τὸ U+2220ʹ τῆς πλευρᾶς ποίει ἐφʼ ἑαυτά γίνονται κε. ταῦτα συντίθημι μετὰ τῶν ρμϛ· γίνονται ροα. καὶ τὰ ιε τοῦ κλίματος ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σκε. ἀπὸ τούτων αἴρω τὰ ροα· λοιπὸν νδ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ζ γʹ. τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος.

τὸ δὲ στερεὸν οὕτως· λαμβάνω τοῦ ἐν τῇ βάσει ὀκταγώνου τὸ ἐμβαδὸν καὶ ποιῶ ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τῶν γενομένων τὸ γʹ· ἔστιν δὲ ,αρπα. τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος τῆς ὀκταγώνου.

2 α ,βτιδ—3 πόδες] S, om. CM. 2 ἐπεὶ] ἐπὶ S. 3 ἔσται ποδῶν] S, ποδῶν ἔσται CM. 4 ποδῶν] S, om. CM. 5 ὀκταγώνου] corr. ex ὀκταγώνω in scrib. S, ὀκταγώνῳ CM. βάσεως] Hultsch, βάσει S, βάσιν CM. 6 ἑκάστην] S, ἑκάστη CM. 7 πλευρῶν] CS, om. M. ἀνὰ ποδῶν ι] CS, ποδῶν ἀνὰ ι΄ M. 8 αὐτῆς] Hultsch, αὐτοῦ CMS. 9 λαμβάνω] λάμβανε CM, καὶ λαμβάνω S. 10 τουτέστιν] S, τουτέστι CM. τῶν] CM, ὧν S. γίνονται] comp. CS, γίνεται M. 13 U+2220ʹ ] CS, ἥμισυ M. τοῦ] Haltsch, om. CMS. 15 πόδες] S, om. CM. 16 ποίει] corr.

CMS

Ἔστω πυραμὶς ξυστρωτὴ τρίγωνος ἐπὶ βάσεως περιφερειῶν ἐλασσόνων ἡμικυκλίου, ἧς ἀπὸ πέρατος ἐπὶ πέρας ἡ ὑποτείνουσα τῆς ἐν τῇ βάσει περιφερείας ἑκάστη ποδῶν ι καὶ αἱ προσπίπτουσαι κάθετοι ποδῶν β, πλάτους τὰ κλίματα ἐκ ποδῶν κ. ποίει οὕτως· λαβὲ μιᾶς εὐθείας τῶν ἐν τῇ βάσει τὸ U+2220ʹ · γίνονται ε· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κὲ· καὶ τὴν ἑτέραν ἐφʼ ἑαυτήν, τὰ ι γίνονται ρ· ἀπὸ τούτων ὕφελε τὰ κὲ· λοιπὸν οε τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνεται ποδῶν η U+2220ʹ ηʹ ιϛ΄. τοσούτου ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ τριγώνου ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος.

ταύτης λαβὲ τὸ U+2220ʹ· γίνονται δ δ΄ ιϛ΄ λβʹ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιη U+2220ʹ δ΄ θ΄ μετὰ διαφόρου ~~τοσούτου~~· καὶ τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως τὰ ε ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· ὁμοῦ γίνονται μγ U+2220ʹ δ΄ θʹ. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ϛ U+2220ʹ θʹ. τοσούτου ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸ τρίγωνον.

εὑρεῖν τὴν κάθετον. ποίει τὰ ϛ U+2220ʹ θ΄ ἐφʼ ἑαυτά γίνονται πόδες μγ U+2220ʹ δ΄ θ΄ καὶ τὰ τοῦ κλίματος τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υ· ἀπὸ τούτων ἆρον τὰ μγ U+2220ʹ δ΄ θ΄· λοιπὸν τνϛ ιη΄. τούτων λαβὲ πλευρὰν τετραγωνικήν· γίνονται ιη U+2220ʹ δ΄ θʹ.

τοσούτου ἡ κάθετος. ταύτην ἐπὶ τὸ ἐμιβαδὸν τοῦ τριγώνου, λήψῃ δὲ οὕτω· τὴν U+2220ʹ τῆς βάσεως τὰ ε ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου, ἐπὶ τοὺς ἡ U+2220ʹ ηʹ ιϛ΄· γίνονται μγ U+2220ʹ . τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ταῦτα ἐπὶ τοὺς ιη U+2220ʹ δ΄ θ΄ γίνονται πόδες ωκ U+2220ʹ . τοσούτου τὸ στερεὸν 2 ἐλασσόνων] S, ἐλαττόνων CM. ἡμικυκλίου] S, ἡμικυκλίων CM. 8 ὕφελε] S, ὕφειλε CM. 9 γίνεται] comp. CS, γίνονται M. ποδῶν η] scripsi, πη S, η CM. 10 ιϛ΄| MS, ιβ΄ C. 13 τοσούτου] S; deleo; τοσούτου ἡ κάθετος τῆς πυραμίδος CΜ 14 ὁμοῦ] CMSτοῦ συμπληρώματος.

ἀπὸ τούτων δεῖ ὑφελεῖν τὰς ξύστρας. ποιήσεις δὲ οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον, τὰ ι καὶ τὰ β· γίνονται πόδες ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον τῆς πυραμίδος, ἐπὶ τὰ ιη U+2220ʹ δ΄ θ΄ γίνονται πόδες σκϛ γ΄. ταῦτα τρισσάκι, ἐπειδὴ γ ξύστραι εἰσίν· γίνονται χοθ. ἦν δὲ τὸ ὅλον συμπλήρωμα ποδῶν ωκ U+2220ʹ · ἀπὸ τούτων ἐὰν ὑφέλωμεν τὰ χοθ, λοιπὸν ρμα U+2220ʹ · ὧν ϛʹ ~~γίνονται κγ β~~, ἐπειδὴ ἕκιον πρίσματός ἐστι· γίνονται κγ β. τοσούτου τὸ στερεὸν τῶν ξυστρῶν.

Δέδεικται δὲ ἐν τῷ ιβʹ τῶν Στοιχείων, ὅτι πᾶν πρίσμα τρίγωνον ἔχον βάσιν διαιρεῖται εἰς γ πυραμίδας ἴσας· ὅθεν φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον. ἐκ δὲ τούτων δῆλον, ὅτι πᾶσα πυραμὶς ἐπὶ οἱουδηποτοῦν σχήματος βεβηκυῖα γʹ μέρος ἐστὶ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος καὶ ὕψος ἴσον.

Τὸν δὲ λεγόμενον βωμίσκον μετρήσομεν οὕτως, οὗ τὸ μὲν ὕψος ἐστὶ ποδῶν ν, ἡ δὲ βάσις τοῦ βωμίσκου ἔχουσα τὴν μὲν μείζονα πλευρὰν ποδῶν κδ, τὴν δὲ ἐλάσσω ποδῶν ιϛ, ἡ δὲ κορυφὴ ἐχέτω ἡ μὲν μείζων πλευρὰ πόδας ιβ, ἡ δὲ ἐλάσσων πόδας η.

συνέθηκα τῆς κορυφῆς καὶ τῆς βάσεως τὰς μείζονας πλευράς, οἷον τὰ ιβ καὶ τὰ κδ· γίνονται λϛ· καὶ ἔτι τὰ τῆς βάσεως καὶ τῆς κορυφῆς τὰς ἐλάσσονας πλευρὰς 2 ξύστρας] MS, ξύρας C δὲ] CS, om. M. 3 πόδες] S, om. CM. 5 γʹ] CM, om. S. τρισσάκι] S, τρισσάκις C, τριάκις M. γ] S, τρεῖς CM. 6 εἰσίν] S, εἰσί CM. 7 ωκ] CM, χκ S. λοιπὸν] CS, λοιπὰ M. 8 U+2220΄] CM, om. S. ϛ΄] S, τὸ ϛ CM. γίνονται κγ β] CMS. deleo. β] S, ω CM. ἕκτον] Hultsch, ἐκ τοῦ CMS. 9 β] S, ω CM. τοσούτου] S, om. CM. ἑξῆς ἡ καταγραφή S, seq. fig. fol. 60v. 10 δὲ] S, om. CM. ἐν] S, om. CM. ιβ΄] ιβ S, δωδεκάτῳ CM. τῶν] CS, ἀπὸ τῶν CMS εἰς τὸ αὐτό, οἷον τὰ ιϛ καὶ τὰ η· γίνονται κδ. λαβὲ τὸ U+2220ʹ τῶν λϛ· γίνονται ιη· ὁμοίως καὶ τῶν κδ τὸ U+2220΄· γίνονται ιβ. πολυπλασίασον ταῦτα ἐπὶ τὰ ιη· γίνονται σιϛ.

καὶ πάλιν ἀφαιρῶ ἀπὸ τῆς μείζονος πλευρᾶς τὰ ιβ ἀπὸ τῶν κδ· λοιπὸν γίνονται ιβ. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται ϛ. καὶ πάλιν ὁμοίως τὴν κορυφὴν ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν ἐλάσσονα πλευράν, οἷον τὰ η ἀπὸ τῶν ιϛ· λοιπὸν γίνονται η τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται δ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται κδ.

τούτων τὸ γʹ μέρισον· γίνονται η. ταῦτα προσέθηκα τοῖς σιϛ· γίνονται ὁμοῦ σκδ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸ ὕψος, ἐπὶ τὰ ν· γίνονται α ,ασ καὶ τοσούτων ποδῶν ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ βωμίσκου. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπʼ ἄλλων ἀριθμῶν μετρήσομεν.

Εὑρεῖν ἡμᾶς, πόδα ἐπὶ πόδα τί συνάγει; Ποίει οὕτως· ὁ ποὺς ἔχει δακτύλους ιϛ. τούτους ἐπανάλαβε· γίνονται ιϛ οὗτοι ἐπὶ τοὺς ιϛ σνϛ. τούτους ἀνάλυε εἰς τοὺς ιϛ δακτύλους· γίνονται ιϛ, ποὺς εἷς. ἔχομεν οὖν ἐν ἀποδείξει ἐκ τοῦ εἰπεῖν ἡμᾶς ἀπὸ ιϛ δακτύλων τὸν πόδα, ὅτι γέγονεν εἷς πούς.

ὁ δὲ εἷς U+2220΄ ποὺς ἐπὶ α U+2220΄ πόδα οὕτως ψηφισθήσεται· ἐπεὶ τὸν πόδα ιϛ ἐφωρίσαμεν δακτύλων εἶναι, γίνεται ὁ εἷς U+2220΄ποὺς δάκτυλοι κδ. λέγεις οὖν αὐτὰ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται φοϛ. ταῦτα ὕφειλε παρὰ τῶν ιϛ· γίνονται λϛ, οἵτινες ποιοῦσι πόδας β δ΄.

U+2220΄ δʹ πόδα ἐπὶ U+2220΄ δʹ ποίει οὕτως· τὸ U+2220΄ δάκτυλοι η, τὸ δ΄ δ, ὁμοῦ ιβ, ἅτινα αὐτὰ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται ρμδ. ἐπανάλαβε καὶ τὸν πόδα, τουτέστι τοὺς ιϛ δακτύλους, ἐπὶ τοὺς ιϛ· γίνονται σνϛ. σκόπει οὖν ἄρτι, τὰ ρμδ τί γίνεται εἰς τὰ σνϛ, καὶ λέγομεν U+2220΄ ιϛ΄· ὡς δῆλον εἶναι, ὅτι U+2220΄ δ΄ ἐπὶ U+2220΄· δ΄ γίνεται U+2220΄ ιϛ΄.

β U+2220΄ δʹ ηʹ ιϛʹ πρὸς β U+2220΄ δ΄ η΄ ιϛ΄· ποίησον οὕτως· δὶς ιϛ λβ· U+2220΄ τῶν ιϛ η· δ΄ τῶν ιϛ δ· η΄ τῶν ιϛ β· ιϛʹ τῶν ιϛ α· ὁμοῦ μζ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ,βσθ. τούτους ἀπάρτιζε εἰς τὰ σνϛ οὕτως· ὀκτάκις τὰ σνϛ· γίνονται βμη· μένουσι καὶ ρξα, καί εἰσιν εἰς τὰ σνϛ U+2220΄ ηʹ καὶ σνϛ΄· καὶ ἰδοῦ τὰ β U+2220΄ δʹ η΄ ιϛʹ πρὸς τὰ β U+2220΄ δ΄η΄ ιϛʹ γεγόνασιν η U+2220΄ η΄ καὶ σνϛ΄.

ἀρκείτω τοίνυν εἰς δήλωσιν τῆς τοῦ ποδὸς ἀκριβεστάτης ἐπιψηφίσεως.

1 δ΄ (alt.)] Hultsch, om. C. 4 εἰς τὰ] εἰσ C, εἰς τοὺς Hultsch. 5 ρξα] Hultsch, ρξ C. εἰς τὰ] εἰσ C. 7 γεγόνασιν] B, γεγόναιν C. 4 2 1/2 1/4 1/8 1/16 × 2 1/2 1/4 1/8 1/16; mache so: 2 × 16 ═ 32, 1/2, × 16 ═ 8, 1/4 × 16 ═ 4, 1/8 × 16═2, 1/16×16 ═1, 32 + 8 +4 + 2 + 1 ═ 47; 47 × 47 ═ 2209. Dividiere dies mit 256 so: 8 × 256 2048; es bleiben noch 161, und 161 256 ═ 1/8 1/256; wir haben also getunden 21/2 1/4 1/8 1/16 × 2 1/2 1/4 1/8 1/16 ═ 5 5 8 1/8 1/256. Dies sei nun genug, um die sehr genaue Berech- nung des Fußes zu zeigen.*) *) Vgl. Περὶ μέτρ 27.