α΄, Ὁμαλῶς λέγεται φέρεσθαι σημεῖα, ὅσα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἴσα τε ἢ καὶ ὅμοια μεγέθη διεξέρχεται.

βʹ. Ἐὰν δὲ ἐπί τινος γραμμῆς φερόμενόν τι σημεῖον ὁμαλῶς δύο γραμμὰς διεξέλθῃ, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ὅ τε χρόνος πρὸς τὸν χρόνον, ἐν τὸ σημεῖον ἑκατέραν τῶν γραμμῶν διεξῆλθεν, καὶ ἡ γραμμὴ πρὸς τὴν γραμμήν.

α΄. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ἔστω ἡ ΑΒ εὐθεῖα, πόλοι 1) Conf. indicem Graecitatis s. ὅμοιος. 2) Hoc est peracta spacia temporibus proportionalia sunt. MAUROLYCUS fol. 61r. PROPOS. 1—3: Pappus collect. 6 cap. 33 (p. 518 —520). 3) Nam tales circuli describuntur per rectas a punctis ad axem, super quo sphaera versatur, perpendiculares: et ideo per 9m primi sphaericorum Theodosii habent dictum axem communem et polos communes. et per 2m secundi sunt invi- δὲ αὐτῆς τὰ Α Β σημεῖα, καὶ στρεφέσθω ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα τὸν ΑΒ λέγω ὅτι πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν κάθετος ἡ Γ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν πόλων τῶν Α Β καὶ τῆς Γ∠ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ συύλ.(α) τομὴν κύκλον. ἔστω αὐτοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΓΒ. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΑΒ εὐθείας περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, συμπεριενεχθήσεται αὐτῷ καὶ ἡ Γ∠ εὐθεῖα κατὰ πᾶσαν μετακίνησιν τοῦ ΑΓΒ ἡμικυκλίου διαμένουσα τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς, καὶ γράψει κύκλον ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὐ κέντρον ἔσται τὸ ∠ σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῷ ΑΒ ἄξονι [διὰ τὸ καὶ τὴν Γ∠ αἰεὶ διαμένειν τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθάς]. καὶ φανερὸν ὅτι τὰ ΑΒ σημεῖα πόλοι ἔσονται (β) τοῦ γραφέντος κύκλου, ἐπειδήπερ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετος ἦκται καὶ ἐκβέβληται ἡ ΑΒ ἕως τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει πρὸς ὀρθὰς τῷ ΑΒ ἄξονι τοὺς αὐτούς πόλους ἔχοντας τῇ (α) Διὰ τὸ α΄ ὁμοῦ καὶ ϛ΄ τοὺ α΄ τῶν θεοδοσίου σφαιρικῶν. (β) Ἀπὸ τοῦ η΄ τοῦ α΄ βιβλίου τῶν σφαιρικῶν. (γ) σφαίρᾳ. οἱ δὲ περὶ τοὺς αὐτούς πόλους ὄντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσί· πάντα ἄρα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα, ὅσα μὴ ἔστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος, κύκλους γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ σφαίρᾳ καὶ ἔτι ὀρθοὺς πρὸς τὸν ἄξονα.

βʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται.

γʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται, αὗταί ὅμοιαί εἰσιν.

Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧβ φέρεται τὰ Γ ∠ σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Γ Ε περιφέρειαν διαπορευέσθω (ια) καὶ τὸ ∠ σημεῖον τὴν ∠Ζ περιφέρειαν· λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠ περιφερείᾳ.

δʹ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁρίζῃ τό τε ἀφανὲς καὶ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας, στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ αἰεί ἐστι φανερά, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ αἰεί ἐστιν ἀφανῆ.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐ. δὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ.

Ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆς μυλοειδοῦς κινήσεως· τότε γὰρ καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὁρίζων γίνεται, καὶ ἓξ μηνῶν ἡ ἡμέρα καὶ ἓξ μηνῶν ἠ νύξ.

ε΄. Ἐὰν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν καὶ τὸ ἀφανές, πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης αὐτῆς καὶ δύσεται καὶ ἀνατελεῖ καὶ τὸν ἴσον χρόνον ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα ἐνεχθήσεται καὶ ὑπὸ τὸν ὁρίζοντα.

ϛ΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος μένων ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα, ἐφάψεται δύο κύκλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων ἀλλήλοις, καὶ τούτων ὁ μὲν πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ αἰεὶ ἔσται φανερός, ὁ δὲ πρὸς τῷ ἀφανεῖ αἰεὶ ἀφανής.

ζ΄. Ἐὰν ὁ ὁρίζων ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλος τό τε φανερὸν τῇς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς πρὸς τὸν ἄξονα, οἱ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρθὰς ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες (κζ) τὸν ὁρίζοντα κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα αἰεὶ τοῦ ὁρίζοντος τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιοῦνται, ἔτι δὲ καὶ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

η΄. Οἱ τῶν αὐτῶν ἐφαπτόμενοι μέγιστοι κύκλοι, ὧν καὶ ὁ ὁρίζων ἅπτεται, στρεφομένης τῆς σφαίρας ἐφαρμόσουσιν ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα.

Θ΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὣν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, τῶν ἅμα ἀνατελλόντων σημείων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ ὕστερον δύνει, τῶν δὲ ἅμα δυνόντων τὰ πρὸς τῷ φανερῷ πόλῳ πρότερον ἀνατέλλει.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὤν πρὸς τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανέρὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ. ἀφανές, καὶ εἰλήφθω δύο σημεῖα τὰ Γ Ε ὁμόσε ἀνατέλλοντα, καὶ ἔστω ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τὸ Γ ἤπερ τὸ Ε λέγω ὅτι τὰ Γ Ε σημεῖα οὐχ ὁμόσε δύσεται, ἀλλʼ ὕστερον δύσεται τὸ Γ τοῦ Ε.

Ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧν φέρεται τὰ ΓΕ σημεῖα οἱ ΓΖΘ ΕΗΚ. ἐπεὶ ὁ ΑΒΓ ὁρίζων λοξός ἐστιν πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ πρὸς τοὺς παραλλήλους (μγ) Ἐν τῷ ιʹ τῶν κυκλικῶν. FIGURA codicum ABCE, in planum redacta, exhibet circulos θζλγ ηεκ circa centrum α descriptos et circulum αηβε (sic) hos quos dixi secantem. Littera δ abest. (μδ) λοξός ἐστιν· ἡ ΓΖ ἄρα περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ ΕΗ ὁμοία ἡ (με) ΓΛ· ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγίγνεται καὶ τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η. ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Ε ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, δύνει τὸ Ε, ὅταν δὲ τὸ Γ ἐπὶ τὸ Λ παραγένηται, οὐδέπωδύνει τὸ Γ, ἀλλʼ ἔτι ὑπὲρ γῆν ἐστιν· πρότερον ἄρα δύνει τὸ Ε τοῦ Γ· ὥστε ὕστερον δύνει τὸ Γ τοῦ Ε.

Πάλιν δὲ δυνέτω τὰ ΖΗ ἄστρα ὁμόσε· λέγω ὅτι οὐχ ἅμα ἀνατέλλει, ἀλλὰ πρότερον τὸ Ζ τοῦ Η.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΕΗ περιφερείας (μϚ) μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΘΓ λοιπῆς τῆς ΗΚΕ ἐλάσσων ἐστὶν ὁμοία. ἔστω ἡ ΖΘΓ ὁμοία τῇ ΗΚ. ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΖΘΓ περιφέρεια τῇ ΗΚ περιφερείᾳ, στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας ἅμα τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται καὶ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ. πρότερον δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Κ παραγίγνεται ἤπερ ἐπὶ τὸ Ε· πρότερον ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται ἤπερ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε. ἀλλʼ ὅταν μὲν τὸ Ζ ἐπὶ τὸ Γ παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ Ζ, ὅταν δὲ τὸ Η ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἀνατέλλει τὸ Η· πρότερον ἄρα ἀνατέλλει τὸ Ζ τοῦ Η.

ι΄. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὥν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανὲς λοξὸς ὥν (μζ) πρὸς τὸν ἄξονα, καὶ ἔστω μέγιστος τῶν αἰεὶ φανερῶν ὁ ΑΖΕ κύκλος, ὁ δὲ φανερὸς πόλος τῆς σφαίρας ἔστω ὁ ∠, ὁ δὲ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ἔστω ὁ Β∠Γ λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ Β ∠Γ κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ΑΒΓ ὁρίζοντα.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τῶν Α ∠ σημείων μέγιστος η) κύκλος ὁ Α∠Θ ἤξει δὴ καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν (μζ) Τουτέστιν οὗ ἐφάπτεται ὁ ΑΒΓ κύκλος· φανερὸν γὰρ καὶ απὸ τοὺ ϛʹ ὅτι ἐφάπτεται. (μΗ) Ἀπὸ τοῦ εʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν. (μθ) Ζ∠Η Α∠Ε τὸν ΑΖΗ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΕΗ περιφερείᾳ· (ν) ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελεύσεται καὶ τὸ Η τὴν ΗΕ· στρεφομένης ἄρα τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ Ζ τὴν ΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, καὶ τὸ τὴν ΗΕ διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παραγένηται, ἡ Ζ∠Η περιφέρεια ἐφαρμόσει ἐπὶ (να) τὴν Α∠Ε περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος (νβ) ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει. ἀλλʼ ὁ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ ὁ Β∠Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ στρεφομένης τῆς σφαίρας, ὅταν τὸ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τὴν ΕΖΑ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Α παραγένηται, τότε καὶ τὸ Ζ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α σημείου τὴν ΑΗΕ περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ τὸ Ε παρέσται, καὶ ἐφαρμόσει ἡ ΖΔΗ περιφέρεια ἐπὶ τὴν Α∠Ε περιφέρειαν· ὥστε καὶ ὅλος ὁ Β∠Γ κύκλος ἐφʼ ὅλον τὸν Α∠Θ κύκλον ἐφαρμόσει. (μθ) Ἀπὸ τοῦ γʹ τοὺ γʹ τῶν σφαιρικῶν. (ν) ∠ιὰ τοῦ βʹ τούτου. (νᾷ) ∠ιὰ τοῦ ηʹ τούτου. (νβ) Ὡς ἐδείχθη διὰ τοῦ εʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν. 1) Hoc loco circulum αδε eundem quem antea αδθ scriptor appellat, quoniam de sectione circuli αηεζ agitur. Similiter circulus ζδη nunc dicitur qui antea βδγ notatus est. "2) Scilicet propter heodos. sphaer. 1, 15 utraque circum- ferentiarum ζη αε semicirculus est. Et sunt eiusdem circuli itaque etiam inter se aequales; subtracto igitur comnmuni arcu αη restat ζα ═ ηε. Similiter demonstrabitur esse αε ═ εα, et εζ ═ αη. Scholiasta Graecus (μθ ), nescio qua rauione ductus, Theodosii sphaer. 3, 3 citat. ὁ δὲ Α∠Θ κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον· καὶ ὁ Β∠;Γ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον. πάλιν δὴ ὅταν τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Α τὴν ΑΗ διελθὸν ἐπὶ τὸ Η παραγένηται, καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται, καὶ ὁ Β∠ΓΘ κύκλος θέσιν ἕξει ἣν εἶχεν ἐξ ἀρχῆς ὥστε οὐκ ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα πλέον ἢ δὶς ἔσται· ἐν μιᾷ ἄρα περιφορὰ τῆς σφαίρας ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

ιά. Ἐἀν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος λοξὸς ὢν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρίζῃ τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ (νγ) ἀφανές, ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος μειζόνων ἄπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἄπτεται, κατὰ πᾶσαντὴντοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων κύκλων ών ἐφάπτεται τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ λοξὸς ὢν πρὸς, τὸν ἄξονα ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές, καὶ ἐφαπτέσθω τινὸς κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος κύκλος ὁ  ΓΖ μειζόνων ἁπτέσθω τῶν ΖΓ ἢ ὧν ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάπτεται, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ Ζ Η (νγ) Ὡς ὁ ζῳδιακός. δυτικὰ δὲ τὰ Β Γ· λέγω ὅτι ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΗ περιφερείας ἀνατελεῖ, διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύσεται.

Είλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ΖΓ περιφερείας τυχόντα τὰ Θ Κ, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ών φέρεται τὰ Θ Κ σημεῖα οἱ ΑΘΜ ΜΚΞ ἐπεὶ τὸ Ζ (νδ) σημεῖον αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ ἀνατέλλει διὰμ δὲ τοῦ Β δύνει, τὸ δὲ Θ αἰεὶ διὰ μὲν τοῦ Μ ἀνατέλλει διὰ δὲ τοῦ Λ δύνει, ἡ ΖΘ ἄρα περιφέρεια αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖΜ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΛ δύνει· διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ περιφέρεια διὰ μὲν τῆς ΜΞ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΛΜ δύνει, ἡ δὲ ΚΓ διὰ μὲν τῆς ΞΗ ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΝΓ δύνει· ὅλον ἄρα τὸ ΖΓ ἡμικύκλιον αἰεὶ διὰ μὲν τῆς ΖH περιφερείας ἀνατέλλει διὰ δὲ τῆς ΒΓ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον· ὥστε ὅλος ὁ ΖΓ κύκλος αἰεὶ κατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξύ τῶν παραλλήλων κύκλων τάς τε ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις ποιεῖται.