Opticorum recensio Theonis

OPTICORUM RECENSIO THEONIS.

Ἀποδεικνὺς τὰ κατὰ τὴν ὄψιν παραμυθίας ἐκόμιζέ τινας προσεπιλογιζόμενος, διότι κατʼ εὐθείας γραμμᾶς πᾶν φῶς φέρεται. σημεῖον δὲ τούτου μέγιστον τάς τε ἀπὸ τῶν σωμάτων ἀπορριπτουμένας σκιὰς καὶ τὰς ἀπὸ τῶν θυρίδων τε καὶ ὀπῶν φερομένας αὐγὰς κομίζει ἕκαστον δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐγίγνετο, καθάπερ νῦν θεωρεῖται γιγνόμενον, εἴπερ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ ἡλίου φερόμεναι ἀκτῖνες κατά τινας εὐθείας ἐφέροντο. ἐπί τε τῶν παῤ ἡμῖν πυρῶν τὰς ἀποστελλομένας ἔφασκεν αὐγὰς αἰτίας εἶναι τοῦ τε φωτίζεσθαί τινα τῶν παρακειμένων σωμάτων καὶ ἀπορρίπτειν σκιὰς τὰς μὲν ἴσας τοῖς ὑποκειμένοις σώμασι, τὰς δὲ μείζονας, τὰς δὲ ἐλάσσονας τῶν ὑποκειμένων σωμάτων. καὶ ἴσας μὲν ἀπορρίπτειν σκιάς, ὅσα τοῖς φωτίζουσι πυροῖς ἴσα ἐστι, τάς τε ἐσχάτας ἀκτῖνας ἐπὶ τούτων συμβαίνειν παραλλήλους γίγνεσθαι καὶ μήτε συναπτούσας αὐτὰς μειοῦν τὴν σκιὰν μήτε μὴν ἐξαπλουμένας αὔξειν, ἀλλʼ οἷόν ἐστι τὸ ἐπιπροσθοῦν, τοιαύτην καὶ τῆς σκιᾶς συμμετρίαν φυλάσσειν· ἐλάσσονες δὲ τῶν σωμάτων αἱ σκιαί εἰσιν, ὅταν τὰ φωτίζοντα πυρὰ μείζονα ᾖ· τὰς γὰρ ἐσχάτας ἀκτῖνας συμπίπτειν ἑαυταῖς· διὸ δὴ καὶ μειοῦν Τὰ πρὸ τῶν Εὐκλείδου ὀπτικῶν V p v. 1. Post ὄψιν add. Εὐκλείδης m. rec. V. ἐκόμιζε] mut in κομίζει m. rec. V. 2. διότι] δι- del. m. rec. V. 4. ἀπορριπτουμένας] γρ. γινομένας m. rec. V, ἀπορριπτομιένας p. 10. τε] γε V v. 14. Post τὰς σκιάς. μείζους δὲ τῶν σωμάτων αἱ σκιαί εἰσιν, ὅταν τὰ φωτίζοντα πυρὰ ἐλάσσονα ᾖ· τὰς γὰρ ἐσχάτας ἀκτῖνας ἐπὶ τούτων ἐξαπλοῦσθαι συμβαίνει καὶ μεῖζον τὸ σκιαζόμενον μέρος ἀποτελεῖν· οὐδέποτε δʼ ἂν τοῦτο συνέβαινεν, εἰ μὴ αἱ ἀπὸ τοῦ πυρὸς φερόμεναι ἀκτῖνες ἐπʼ εὐθείας ἐφέροντο. ἐκφανέστατα δὲ τούτων πάντων τοῦτο ἐπὶ τῶν κατασκευαστῶς γινομένων θεωρεῖσθαι συμβαίνει. λύχνου γὰρ ὁπωσδηποτοῦν κειμένου εἰ προστεθείη τούτῳ πτυχίον ἔχον ἐπιτομὴν λεπτοῦ πριονίου, ὥστε καὶ τὴν ἐπιτομὴν κατὰ μέσου τοῦ λύχνου πίπτειν, τῷ δὲ πτυχίῳ τούτῳ κατὰ τὰ ἕτερα μέρη παρατεθείη πτυχίον ἔγγιον, ᾧ προσπεσεῖται ἡ αὐγὴ ἡ διὰ τῆς ἐντομῆς φερομένη, πάντως τὴν προσπίπτουσαν αὐγὴν τῷ πτυχίῳ εὐθείαις γραμμαῖς περιεχομένην εὑρήσομεν καὶ τὴν ἐπιζευγνύουσαν τό τε μέσον τοῦ λύχνου καὶ τὴν ἐντομὴν τοῦ πτυχίου κατὰ τὴν αὐτὴν εὐθεῖαν οὖσαν.

ἐναργοῦς οὖν ὄντος τοῦ, ὅτι πᾶν φῶς κατʼ εὐθεῖαν γραμμὴν φέρεται, καὶ πᾶσι προδήλου μεταβαίνειν ἐπὶ τὴν ὄψιν ἠξίου καὶ τὰς ἀπʼ αὐτῆς ἐκχεομένας ἀκτῖνας καὶ ὁμολογεῖν κατʼ εὐθείας φέρεσθαι γραμμὰς καὶ ταύτας ἐν διαστήμασι, καὶ διὰ τοῦτο μηδὲ τὰ ὁρώμενα ἅμα ὅλα ὁρᾶσθαι, ὑπόμνησιν φέρων τοιαύτην· πολλάκις γὰρ βελόνης ἤ τινος τοιούτου ἑτέρου σωματίου ἐκριφέντος εἰς τὸ ἔδαφος φιλοτιμότερόν τινες προσεκάθισαν τῇ ζητήσει καὶ τὸν αὐτὸν τόπον πολλάκις ἐμάτευσαν οὐδενὸς ἐπιπροσθοῦντος τῷ ζητουμένῳ σωματίῳ· 2. φωτίζωντα V, sed corr. 5. συμβαίνειν p. μή] corr. ex μί v. 9. ἔχων v, sed corr. 11. πίπτειν] ν in ras. V, add. m. rec. V. 12 πτυχίον] supra scr. πυκτίον m. rec. V. ἔγγειον V, cor.r m. rec. 13. πόντος v, corr. m. 2. 16. κατά] εἶτα μέντοι γε ὕστερον ἐπιβάλλοντες τὴν ὄψιν τῷ τόπῳ, ἐν ᾧπερ ἦν τὸ σωμάτιον, εἶδον τὴν βελόνην. δῆλον οὖν, ὡς, ὅτε οὐχ ἑωρᾶτο τὸ ἐξερριμμένον, οὐδὲ ὁ τόπος, ἐν ᾧ ἦν, ἑωρᾶτο· ὥστε τοῦ ὑπὸ τὴν ὄψιν τοῦ ζητοῦντος κειμένου τόπου μὴ ἅπαντα τὰ μέρη θεωρεῖσθαι. εἰ γὰρ ἐθεωρεῖτο, καὶ τὸ ζητούμενον ἂν ἑωρᾶτο· οὐχ ἑωρᾶτο δέ. ἐπί τε τῶν ἀτενιζόντων τοῖς βιβλίοις συνιστάμενος ἔφασκε μηδὲ τούτους ἂν δύνασθαι πάντα τὰ ἐν τῇ σελίδι γράμματα ὁρᾶν. πολλὰ γοῦν ἀναγκαζομένους δεῖξαι τῶν σπανίως γραφομένων γραμμάτων μὴ δύνασθαι δεῖξαι διὰ τὸ μὴ πρὸς πάντα τὰ γράμματα τὰς ὄψεις φέρεσθαι, ἀλλʼ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν καὶ πολλὰ τῶν κατατεταγμένων μὴ θεωρεῖν. ὥστε ἐκ τούτου φανερόν ἐστι, διότι οὐδὲ ὁ τόπος τῆς σελίδος ὅλος ὁραθήσεται. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων θεαμάτων τὸ αὐτὸ συμβαίνει. ὥστε οὐχ ὁραθήσεται ἅμα ὅλα τὰ ὁρώμενα· δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι διὰ τὸ κινεῖσθαι τὰς ὄψεις ὑπερβολῇ τάχους μηδὲν ἀπολειπούσας, τουτέστι κατὰ συνέχειαν παραφερομένας καὶ μὴ ἁλλομένας.

πρὸς δὲ τὸ τῇ ὄψει μὴ προσπίπτειν τι εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κινῆσαι αὐτὴν πρὸς τὸ καταλαβεῖν τὸ ὁρώμενον ἔφερεν αἰτίας τοιαύτας· καὶ γὰρ ἐπὶ τοῦ ζητουμένου σώματος καὶ τοῦ τῷ βιβλίῳ ἀτενίζοντος ἀπορίαν κομίζων ἔλεγεν· εἰ ἦν κατʼ εἰδώλων. ἔμπτωσιν τὸ ὁρατικὸν πάθος, καὶ ἀπὸ παντὸς σώματος διηνεκῶς εἴδωλα ἀπέρρεεν, ἃ κινεῖ ἡμῶν τὴν αἴσθησιν, 3. οὖν] om. vp, m. rec. V. ὡρᾶτο V, corr m. 1. ἐξ- εριμμένον V p. 5. θεωρεῖσθαι] -ει- in ras. m. 1 V. 7. ἀτενι- ζώντων v, sed corr. 8. ἔφασκεν V v. συνιστάμενος ἔφασκε] del., supra scr. ὁμοίως φησί m. rec. V. 9. πολλάκις V, corr. m. rec. 14. ἐστι, διότι] mut. in ἐστιν ὅτι m. rec. V. 15 ἄλλων αὐτῶν V, corr. m. rec. 17. ἅμα] supra scr. m. rec. V. 18 Post ὑπερβολῇ ras. 1 litt. v. τάχους] corr. ex τάχος m. 2 v τίς ἡ αἰτία γίγνεται, διʼ ἣν οὐχ ὁρᾷ ὅ τε ζητῶν τὴν βελόνην καὶ ὁ τῷ βιβλίῳ ἀτενίζων πάντα τὰ γράμματα; πότερόν ποτε διὰ τὸ μετεωρίζεσθαι τῇ διανοίᾳ; ἀλλʼ οὐδὲν ἧττον ἐπιλογιζόμενοι ζητοῦσι καὶ ὁλοσχερῶς οὐχ εὑρίσκουσι, πολλάκις δὲ ὁμιλοῦντες ἑτέροις καὶ περισπώμενοι τῇ διανοίᾳ εὑρίσκουσι θᾶττον. ἀλλʼ οὐ πάντα τὰ εἴδωλα εἰσκρίνεται εἰς τὴν ὅρασιν; καὶ τίς αἰτία τοῦ ἀποκληροῦσθαι τὰ εἰσκρινόμενα; καὶ μὴν τὴν φύσιν ἔφασκε κατὰ τὰ ζῶα τὰ μὲν τῶν αἰσθητηρίων πρὸς ὑποδοχὴν εὔθετα κατεσκευακέναι, τὰ δὲ μή. ἀκοὴν μὲν γὰρ καὶ γεῦσιν καὶ ὄσφρησιν κοῖλα κατεσκεύακεν ἐντὸς ὡς ἔξωθεν αὐταῖς προσπίπτειν σώματα κινήσοντα τὰς αἰσθήσεις ταύτας. ἀκοῇ μὲν γὰρ φωνὴ προσπίπτουσα τόπον ἐπιτήδειον ὤφειλεν εὑρίσκειν πρὸς τὸ ἀναμεῖναι καὶ μὴ κατὰ τὴν πρόσπτωσιν εὐθέως ἀποπαλθεῖσαν τήν τε αἴσθησιν ἀκίνητον διαφυλάττειν καὶ τὴν ἐπιφερομένην συγχέαι φωνήν. ὁμοίως δὲ καὶ ὄσφρησιν· ἐπὶ μὲν γὰρ γεύσεως τί δεῖ καὶ λέγειν; διὸ καὶ μάλιστά πως αὗται αἱ αἰσθήσεις κοῖλαί τε καὶ ἀντροειδεῖς κατεσκευάσθησαν πρὸς τὸ ἐμμένειν τὰ προσπίπτοντα σώματα πλείονας χρόνους. καὶ ἐπὶ τῆς ὁράσεως οὖν, εἴπερ ἔξωθεν αὐτῇ προσέπιπτε τὰ κινήσοντα αὐτὴν σώματα, καὶ μὴ αὐτὴ ἐξαπέστελλέ τι ἀφʼ ἑαυτῆς, ἔδει τὴν κατασκευὴν αὐτῆς κοίλην τε καὶ εὔθετον πρὸς ὑποδοχὴν τῶν προσπιπτόντων σωμάτων εἶναι· νυνὶ δὲ θεωρεῖται τοῦτο οὐχ οὕτως ἔχον, ἀλλὰ μᾶλλον σφαιροειδὴς οὖσα θεωρεῖται ἡ ὅρασις.

1. γίνεται p. 5. εὑρήσκουσι v, sed corr. 6. εὐρήσκουσι V, sed corr. 9 ἔφασκεν V p. τά (pr.)] τό V. 10 κατα- σκευακέναι v, V, sed corr. m rec. 11. μέν] om. v. 12. ἔξοθεν v, corr. m. 2. 14. ἐπιτήδιον V. 15. ἀναμῆναι v,

πρὸς οὖν τὸ πιστὸν εἶναι κατὰ τὸ παρὸν τὸ ἀκτῖνας εἶναι τὰς ἐκχεομένας καὶ κινούσας τὸ ὁρατικὸν πάθος ἀρκούντως ἐδόκει εἰρῆσθαι, πρὸς δὲ τὸ τὰς ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ταῖς ὄψεσι κειμένας περιφερείας εὐθείας φαίνεσθαι ἔλεγε τάδε· διότι ἡ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη ὄψις ᾡτινιοῦν θεωρητῷ τοιαύτη ἐστὶν ὥστε μήτε ὑψηλοτέρα· εἶναι τοῦ θεωρουμένου μήτε ταπεινοτέρα· τὸ γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κεῖσθαι τοῦτʼ ἔστιν. εἰ οὖν οὔτε ταπεινοτέρα οὔτε ὑψηλοτέρα ἐστὶν ἡ ὄψις τῆς ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γεγραμμένης περιφερείας, οὐχὶ τοῖσδε μὲν τοῖς μέρεσιν ὑψηλοτέρας προσβάλλει ἀκτῖνας τοῖσδε δὲ ταπεινοτέρας, ἀλλὰ πᾶσι τοῖς μέρεσι τῆς περιφερείας ἴσας τὰς διὰ τοῦ ἐπιπέδου φερομένας ἀκτῖνας προσβάλλει ὥστε τὴν αὐτὴν γίγγεσθαι αἰτίαν τοῦ τε τὸ ἐπίπεδον εὐθείας φαντασίαν ἀπολιπεῖν καὶ τὴν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γεγραμμένην περιφέρειαν. καὶ γὰρ τὸ ἐπίπεδον τὸ ἐπʼ εὐθείας κείμενον τῇ ὄψει αὐτὸ μὲν ἀθεώρητόν ἐστὶ διὰ τὸ μὴ προσπίπτμιν αὐτῷ μηδεμίαν τῶν ἀπὸ τῆς ὄψεως ἐκχεομένων ἀπτίνων, τὸ δὲ πέρας αὐτοῦ θεωρεῖται, ὅπερ ἐστὶν ἡ περιφέρεια. λέγει δὲ ~~διὰ~~ τὴν πρὸς τῇ ὄψει κειμένην γραμμήν, ἥτις τοῖς λοιποῖς τοῦ ἐπιπέδου μέρεσιν ἐπιπροσθοῦσα ἀθεώρητον ποιεῖ τὸ ἐπίπεδον. ἡ δὲ αὐτὴ αἰτία ἡ περὶ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ἐπʼ εὐθείας κειμένου τῷ ὄμματι ποιεῖ εὐθείας ἀποδιδόναι φαντασίαν καὶ τῶν περιφερειῶν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων τῷ ὄμματι. φαίνεσθαι δὲ τὸ μὲν μεῖζον, ὅταν πλείονες ὄψεις ἐπιβάλλωσιν, τὸ δὲ ἴσον, 1. τό (pr.)] τοῦτο V, corr. m. rec. εἶναι] in ras. m. rec. V. 4. ταῖς] corr. ex τάς m. rec. V. 5. ἔλεγεν V, ν eras. v. ἡ] om. p v. αὐτῷ] bis p. v, sed corr. 8. ταπεινωτέρα V, et v, sed corr. 9. ὑψιλλοτέρα v, sed corr. ἐστίν] - ίν in ras. m. 1 V. 14. γίνεσθαι p. 17. ὄψη v. 20. περιφέρεια] ὅταν ἴσαι, τὸ δὲ ἔλασσον, ὅταν ἐλάσσονες γίγνωνται τῶν ὄψεων οἷον γωνίαι τινὲς πρὸς τῷ ὄμματι.

Ὅροι.

α΄. Ὑποκείσθω τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ~~ὄψεις κατʼ~~ εὐθείας γραμμὰς φέρεσθαι διάστημά ~~τι ποιούσας ἀπʼ ἀλλήλων.~~

βʹ. καὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ὄψεων περιεχόμενον σχῆμα εἶναι κῶνον τὴν κορυφὴν μὲν ἔχοντα ~~πρὸς~~ τῷ ὄμματι, τὴν δὲ βάσιν πρὸς τοῖς πέρασι τῶν ὁρωμένων.

γ΄. καὶ ὁρᾶσθαι μὲν ταῦτα, πρὸς ἃ ἂν αἱ ὄψεις προσπίπτωσιν, μὴ ὁρᾶσθαι δέ, πρὸς ἂ ἂν μὴ προσπίπτωσιν αἱ ὄψεις.

δ΄. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἐλάσσονος ἐλάσσονα, ἴσα δὲ τὰ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα.

ε΄. καὶ τὰ μὲν ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ταπεινοτέρων ταπεινότερα.

ϛ΄. καὶ ὁμοίως τὰ μὲν ὑπὸ δεξιωτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα δεξιώτερα φαίνεσθαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἀριστερωτέρων ἀριστερώτερα.

ζ΄. τὰ δὲ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν ὁρώμενα ἀκριβέστερον φαίνεσθαι.

2. οἵων v, sed corr. 3 ὅροι] mg. m. 1 V; ὅροι ὀπτικοί ins. m. 2 p; ἐντεῦθεν οἱ ὅροι τῶν Εὐκλείδου ὀπτικῶν mg. m. rec. v. numeros om. V pv. 8 τῷ] corr. ex τό m. 2 v. 9. πέρασιν V v. 10. αἱ ὄψεις] ras. 3 litt. v 11 προσπίπτωσιν (pr.)] -πτω- supra scr. m. 1 v; praeterea supra add. β;

α΄.

Οὐδὲν τῶν ὁρωμένων ἅμα ὅλον ὁρᾶται.

ἔστω γὰρ ὁρώμενόν τι τὸ Α∠, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΑ, ΒΓ, ΒΚ, Β∠. οὐκοῦν ἐπεὶ ἐν διαστήματι φέρονται αἱ προσπίπτουσαι ὄψεις, οὐκ ἂν προσπίπτοιεν συνεχεῖς πρὸς τὸ Α∠. ὥστε γένοιτο ἂν καὶ κατὰ τὸ Α∠ διαστήματα, πρὸς αἰ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται ἅμα ὅλον τὸ Α∠. δοκεῖ δὲ ὁρᾶσθαι ἅμα τῶν ὄψεων ταχὺ παραφερομένων.

β΄.

Τῶν ἵσων μεγεθῶν ἐν διαστήματι κειμένων τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται.

ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ Γ∠ καὶ τὸ Κ Λ· χρὴ δὲ νοεῖν αὐτὰ ἴσα καὶ παράλληλα, ἔγγιον δὲ ἔστω τὸ Γ∠· καὶ προσπιπτέτωσαν ὄψεις ὡς αἱ Β Β∠, Β Κ, ΒΛ. οὐ γὰρ ἄν εἴποιμεν, ὡς αἱ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ Κ Λ προσπίπτουσαι ὄψεις ὡς διὰ τῶν Γ, ∠ σημείων ἐλεύσονται. ἢ γὰρ ἂν τριγώνου τοῦ Β∠ΛΚΒ ἡ Κ Λ μείζων ἄν ἦν τῆς Γ∠· ὑπόκειται δὲ καὶ ἴση. οὐκοῦν τὸ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων ὁρᾶται ἤπερ τὸ Κ Λ. ἀκριβέστερον ἄρα φανήσεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ.

γ΄.

Ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται.

6. προσπίπτειεν v. 7 καί] del. m. rec. V. 12. διαστήμασι m. rec. V, Post κειμένων add. ἀνίσοις m. rec. 13. ἔγγειον V, corr. m. rec 14 ὁρώμεναν m. rec. V. 15. ἔγγειον V, corr. m. rec 18 αἱ] om. p. 19. τό] corr. ex

ἔστω γὰρ ὄμμα μὲν τὸ Β, ὁρώμὲνον δὲ τὸ Γ∠. φημὶ δή, ὅτι τὸ Γ∠ ἔν τινι ἀποστήματι γενόμενον οὐκέτι ὁραθήσεται. γεγενήσθω γὰρ τὸ Γ∠ ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι τῶν ὄψεων, ἐφʼ οὗ τὸ Κ. οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ οὐδεμία τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεων προσπεσεῖται [πρὸς ὃ δέ γε αἱ ὄψεις οὐ προσπίπτουσιν, ἐκεῖνο οὐχ ὁρᾶται]. ἕκαστον ἄρα τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται.

δ΄.

Τῶν ἴσων διαστημάτων ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων τὰ ἐκ πλείονος ἀποστήματος ὁρώμενα ἐλάττω φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴσα τὰ ΒΓ, Γ∠, ∠Ζ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Κ Β, ΚΓ, Κ∠, ΚΖ ἡ δὲ ΚΒ πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῇ Β Ζ. ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΚΒΖ ἴσαι εἰσὶν αἰ ΒΓ, Γ∠, ∠ Ζ, μείζων ἐστὶν ἡ μὲν Ε γωνία τῆς Η γωνίας, ἡ δὲ Η γωνία τῆς Θ γωνίας. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ μὲν ΒΓ τοῦ Γ∠, τὸ δὲ Γ∠ τοῦ ∠Ζ.

ε΄.

Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα ἄνισα φαίνεται, καὶ μεῖζον αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ ὄμματος κείμενον.

1. Γ∠ — 2. τό] add. m. 2 v. 2. φημὶ δή] λέγω v. 7. πρός — 8. ὁρᾶται] om. p. 8. ἐκείνω v, sed corr 10. γενομένου v, V, sed corr. m. rec. 13 διαστημάτων] μεγεθῶν m. rec. V. 16. Post ἴσα add μεγέθη m. rec. V. 22. Post

ἔστω γὰρ ἴσον τὸ Γ∠ τῷ ΚΛ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ Β∠, ΒΛ, ΒΚ, ΒΓ. οὐκοῦν τὸ Γ∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρᾶται ἤπερ τὸ ΚΛ· μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Γ∠ τοῦ ΚΛ.

Ϛ΄.

Τὰ παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται.

ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ∠ Ζ παράλληλον διάστημα, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ. λέγω, ὅτι τὰ ΒΓ, ∠Ζ ἀνισοπλατῆ φαίνεται, καὶ μεῖζον ἀεὶ τὸ ἔγγιον διάστημα τοῦ πορρώτερον.

προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΞ, ΚΛ, ΚΠ, ΚΝ, ΚΒ, Κ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΞΛ, ΠΝ, Β∠. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΞΚΛ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΚΝ γωνίας, μείζων ἄρα φαίνεται καὶ ἡ ΞΛ εὐθεῖα τῆς ΠΝ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΝ εὐθεῖα μείζων φαίνεται τῆς Β∠ εὐθείας. οὐκέτι οὖν ὀφθήσεται παράλληλα τὰ διαστήματα, ἀλλʼ εἰς ἔλαττον καὶ ἀνισοπλατῆ. τὰ ἄρα παράλληλα τῶν διαστημάτων ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα ἀνισοπλατῆ φαίνεται.

οὕτω μέν, εἰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τὸ ὄμμα τῷ ὁρωμένῳ κέοιτο, εἰ δὲ μετεωρότερον εἴη τὸ ὄμμα, οὕτως.

ἔστω γὰρ τὸ Κ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΚΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α ἐπὶ τὴν Ζ Λ ἡ ΑΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο, καὶ προσπιπτέτωσαν 10. ∠Ζ] Ζ corr. in E m. rec. V. 11. Ante ὄμμα add. τὰ δὲ παράλληλα τὰ ΞΛ, ΠΝ, Β∠ V. 12. ἔγγειον V. 14. ΚΞ] Ξ corr. in Ζ m. rec. V; item lin. 15, 16, 17. 16. μεῖζον v. ΞΚΛ] ΞΛ v. γωνία] in ras. v. ὑπό (alt.)] ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΗ, ΚΖ, Κ∠, ΚΝ, ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΜ, ΚΞ, ΚΟ. ἐπεὶ οὖν ἀπὸ μετεωροτέρου τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Μ ἐπέζευκται ἡ ΚΜ, κάθετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΜΛ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ Κ Ξ ἐπὶ τὴν ΗΝ, ἡ δὲ ΚΟ ἐπὶ τὴν Β∠. ὀρθογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΚΜΛ, ΚΞΝ, ΚΟ∠ τρίγωνα. καί ἐστιν ἡ μὲν ΞΝ τῇ ΜΛ ἴση· παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΜΜ ἑκατέρα δὲ τῶν ΞΚ, ΚΝ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΜΚ, ΚΛ. μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται καὶ τὸ ΜΛ τοῦ ΞΝ ὁμοίως καὶ τὸ ΖΜ τοῦ ΗΞ. ὥστε καὶ ὅλη ἡ Ζ Λ ὅλης τῆς ΗΝ μείζων φαίνεται. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΜ τῆς Β∠. ἀνισοπλατῆ ἄρα καὶ οὕτω φαίνεται τὰ μεγέθη.

ζ΄.

Τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα ἴσα μεγέθη πορρωτέρω ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ. ∠Ζ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Κ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΒ, ΚΓ, Κ∠, ΚΖ ὀρθὴ δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΚΖ Β γωνία. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ Σ γωνία τῆς Φ. ὥστε καὶ ἡ ∠ Ζ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ. ἄνισα ἄρα φαίνεται τὰ Β ∠ Ζ μεγέθη.

2. ΚΞ] corr ex ΚΖ m. rec V 3. Ante κάθετος add. ἡ ΚΜ m. rec. V, idem post ἐστίν (lin. 4) m. 2 v. 4. ΜΛ] supra scr. Ζ m. 2 v. 6. ἐστί ] ἐστίν V v. 8 μεῖζον v. 9. μεῖζον v, corr. m 2. 10. μεῖζον — 11. ΗΞ] om V v. 11. Ζ Μ] ΞΝ p ΗΞ] ΠΞ p. 13. καὶ ὅτῳ] om. V v. 14. τὰ μεγέθη] om. V; καὶ οὕτω τὰ μεγέθη add m. rec. 17. Supra. ἀλλήλων add. μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις m. 2 v. Post τεθέντα add. καὶ ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος m. 2 v. 21. μεῖζον v. 22. μεῖζον v. 23. Post μεγέθη add. τὰ ἄρα ἴσα μεγέθη τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα πορρώτερον ἀλλήλων τεθέντα ἄνισα φαίνεται m. rec. V

η΄.

Τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισον διεστηκότα οὐκ ἀναλόγως τοῖς ἀποστήμασιν ὁρᾶται.

ἔστω γὰρ τὸ ΒΓ τῷ ∠Ζ ἴσον καὶ κείσθω αὐτῷ παράλληλον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΖΓ, ΚΒ, Κ∠, ὧν ἡ ΚΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΓΒ ἔστω. φημὶ δή, ὅτι οὐκ ἀναλόγως φανήσεται τὰ ΒΓ, ∠ μεγέθη τοῖς ΓΚ, ΚΖ διαστήμασιν.

ἐπεὶ γὰρ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΖΚ, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΘΚ ὥστε καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΖ ἐστι μείζων. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΚ κύκλος γραφόμενος ὑπερπεσεῖται τὴν Κ Ζ. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΕΘΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ Θ∠Κ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΘΕΚ τομέα ἤπερ τὸ ΖΘ τρίγωνον πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, ἐναλλὰξ ἄρα τὸ Θ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ΕΘΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. συνθέντι ἄρα τὸ Ζ ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἧπερ ὁ ΕΗΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα. ἀλλʼ ὡς τὸ Ζ∠Κ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΘΚ τρίγωνον, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΘ, ὡς δὲ ὁ ΗΕΚ τομεὺς πρὸς τὸν ΗΘΚ τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΘΚΖ. ἐν μείζονι λόγῳ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΘ ἤπερ ἡ Σ, Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν. ὡς δὲ ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ἡ ΚΓ ἄρα πρὸς τὴν ΚΖ ἐν μείζονι λόγῳ ἐστὶν ἤπερ ἡ Σ, Ρ γωνία πρὸς τὴν Ρ γωνίαν. καὶ ἐκ μὲν τῆς Σ Ρ γωνίας τὸ ∠Ζ ὁρᾶται, ἐκ δὲ τῆς Ρ γωνίας 2. ἄνισον] καὶ ἄνισον v; supra add καὶ παράλληλα m rec V, παράλληλα m. 2 v Supra οὐκ add ἀπὸ τῶν ὀμμάτων m. 2 v. 3 ἀποστήμασιν] corr. in διαστήμασιν m rec. V. τὸ ΒΓ. οὐκ ἀνάλογον ἄρα τοῖς ἀποστήμασι τὰ ἴσα μεγέθη ὁρᾶται.

θ΄.

Τὰ ὀρθογώνια μεγέθη ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενα περιφερῆ φαίνεται.

ἔστω γὰρ ὀρθογώνιον τὸ ΒΓ ~~ἑστὼς μετέωρον~~ ἐξ ἀποστήματος ὁρώμενον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ὁρωμένων ἔχει τι μῆκος ἀποστήματος, οὗ γενόμενον οὐκέτι ὁρᾶται, ἡ μὲν Γ ἄρα γωνία οὐχ ὁρᾶται, τὰ δὲ ∠, Ζ σημεῖα μόνον φαίνεται. ὁμοίως καὶ ἐφʼ ἑκάστης τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦτο συμβήσεται. ὥστε ὅλον περιφερὲς φανήσεται.

ι΄.

Τῶν κάτω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων τὰ πόρρω μετεωρότερα φανεῖται.

ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφʼ οὗ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, Β∠, ΒΖ, ΒΚ, ὧν ἡ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ Γ∠ τοῦ ∠Ζ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ∠Ζ τοῦ ΖΚ. εἰλήφθω ~~γὰρ~~ ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ, προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ Β∠ κατὰ 7. ἑστὼς μετέωρον] m. rec. V. 10 γενομένου V p. 15. ι΄] V, ια΄ mut. in ιβ΄ m. rec. 16. ἐπιπέδον κειμένων V (α, β, ω m. rec.), κειμένων ἐπιπέδων vp. 17. φανεῖται] φαίνεται vp, m. rec V. 20. Β∠] ∠ in ras. m. 2 v. ΒΚ (pr.) τὸ Λ, ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Λ μετεωρότερον, τὸ δὲ Λ τοῦ Μ, ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η, ἐν τούτῳ τὸ Γ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ, ἐν τούτῳ τὸ ∠, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ, ἐν τούτῳ τὸ Ζ, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, Β∠ ἡ ∠Γ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν Β∠, ΒΖ ἡ Ζ∠, διὰ δὲ τῶν ΒΖ, ΒΚ ἡ Κ Ζ, οὐκοῦν ἡ μὲν Γ∠ τῆς ∠ μετεωροτέρα φαίνεται, ἡ δὲ Ζ∠ τῆς ΖΚ τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται.

ια΄.

Τῶν ἄνω τοῦ ὄμματος ἐπιπέδων κειμένων τὰ πόρρω ταπεινότερα φανεῖται.

ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β κάτω τοῦ ∠Ζ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Β∠, ΒΓ, ΒΖ, ὧν ἡ ΒΖ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ Γ`∠ τοῦ ΓΖ ταπεινότερον φαίνεται. διὰ δὴ τὸ προεκτεθὲν θεώρημα ταπεινοτάτη τῶν ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος πρὸς τὸ ∠ ἐπίπεδον προσπιπτουσῶν ἀκτίνων ἐστὶν ἡ Β∠, ἡ δὲ Β τῆς ΒΖ ταπεινοτέρα. ἀλλὰ διὰ μὲν τῶν Β∠, ΒΓ ἀκτίνων τὸ ∠Γ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, ΒΖ τὸ ΓΖ. τὸ ∠Γ ἄρα ταπεινότερον τοῦ Γ Ζ ὁρᾶται.

1. ἐπεὶ οὖν] bis p. 2. τό (pr.)] ἐστι τό V. 4. ἡ ∠Γ] m. 2 p. 6. Ζ∠] ∠Ζ V. 7. ΖΚ] Κ im ras. m. 2 v. 8. Post φαίνεται add. τῶν ἄρα κάτω τοῦ (corr. ex τῶν) ὄμματος κειμένων καὶ τὰ ἐξῆς V. Mg. m. 1 V: ??. ἐκ δὴ τούτου φανερόν ἐστι (ὅτι add m. rec.) τὰ ἐπίπεδα ἐκ τοῦ μέσου θεωρούμενα κοῖλα φαίνεται. τεθείσης γὰρ τῆς ὄψεως κατὰ μέσον τοῦ ἐπιπέδου ἐν τῷ μετεώρω φανερὸν τὸ λεγόμενον προσεκβληθέντος τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου ἐπὶ τὰ ἀριστερά, ὥστε καὶ εἰς τὰ δεξιὰ τὰ πόρρω προσέχειν καὶ εἰς τὰ ἀριστερά. εἰ γὰρ μετεωρότερα τὰ ἄκρα, δῆλον, ὅτι τὸ μέσον κοῖλον. 9. ια΄] mut. in ιβʹ m.

ιβ΄.

Τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθαι, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά.

ἔστω γὰρ ὁρώμενα τὰ ΒΓ, ∠Ζ, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΚΓ, ΚΑ, ΚΒ, ΚΖ, ΚΗ, Κ∠. οὐκοῦν τὸ ∠ παρῆχθαι δοκεῖ εἰς τὰ ἀριστερὰ ἤπερ τὸ H. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ Β εἰς τὰ δεξιὰ δοκεῖ παρῆχθαι ἤπερ τὸ Α. ὥστε τῶν εἰς τοὔμπροσθεν μῆκος ἐχόντων τὰ μὲν ἐν τοῖς δεξιοῖς εἰς τὰ ἀριστερὰ δοκεῖ παρῆχθα, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἀριστεροῖς εἰς τὰ δεξιά.

ιγ΄.

Τῶν ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴσα μεγέθη τὰ ΒΓ, ∠Ζ, ΚΛ ὑπὸ τὸ ὄμμα τὸ Ν κείμενα, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ, Ν∠, ΝΚ. οὐκοῦν μετῶ τάτη ἐστὶν ἡ ΝΒ τῶν λοιπῶν ἀκτίνων· ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον. τὸ ἄρα ΒΙ τοῦ ∠ Ζ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ∠Ζ τοῦ ΚΛ. τῶν ἄρα ἴσων μεγεθῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων τὰ πόρρω κείμενα μετεωρότερα φαίνεται.

ιδ΄.

Τῶν ἴσων μεγεθῶν ἄνω τοῦ ὄμματος κειμένων τὰ πόρρω κείμενα ταπεινότερα φαίνεται.

3. δέ] δʼ p 7. αἱ] λέγω ὅτι αἱ v. 8. ΚΗ] ΚΝ V. 9. Η]| Ν V. 12. τοὔμπροσθε V. ἐχώντων v, sed corr. 13. δεξιοῖς — 14 τοῖς] om. v. 18. ΚΛ] om. v.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΚΝ, ΛΖ, Γ∠ ἄνω τοῦ ὄμματος κείμενα τοῦ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΝ, ΒΖ, Β∠. οὐκοῦν ταπεινοτάτη ἐστὶν ἡ Β∠ ὥστε καὶ τὸ ∠. ὥστε καὶ τὸ μὲν Γ∠ ταπεινότερον φαίνεται τοῦ ΛΖ, τὸ δὲ ΛΖ τοῦ ΚΝ.

ιε΄.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τῶν ὑπὸ τὸ ὄμμα κειμένων, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος μείζονι τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται μεῖζον, ἀπιόντος δὲ ἐλάττονι μεῖζον. ἔστω γὰρ μεῖζον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ, καὶ ὄμμα κείσθω τὸ Κ ἄνω τῶν ΒΓ. ΘΖ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς διὰ τοῦ Θ ἡ Κ∠. οὐκοῦν τὸ ΒΓ τοῦ Θ μεῖζον φαίνεται τῷ Β∠· ἴσον γὰρ ἐφαίνετο τὸ ΘΖ τῷ ∠Γ, ἐπειδὴ ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ ὄμματος καὶ τῆς Κ∠ ἀκτῖνος ἑωρᾶτο. πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ Λ, καὶ διὰ τοῦ Θ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΝ. οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΓ τοῦ Θ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΝ. ἐλάττονι ἄρα φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΓ τοῦ ΘΖ ἀπιόντος τοῦ ὄμματος ἤπερ προσιόντος.

ιϚ΄.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει κάτω τοῦ ὄμματος κειμένου, προσιόντος μὲν τοῦ ὄμματος ἐλάττονι μεῖζον τὸ ὑπερφαινόμενον φαίνεται, ἀπιόντος δὲ μείζονι μεῖζον.

3. Β] m. rec V. 7. ∠ — τό] om. p v ὥστε καί] m. 1 V, καὶ διὰ τοῦτο m. rec 9. Post ΚΝ add τῶν ἄρα ἴσων μεγεθῶν καὶ τὰ ἑξῆς m. rec V 13 ἀπιόντος] -ον- in ras. V 17 τῷ (pr.)] τό v ἴσον] m rec V, comp m. 1.

ἔστω μεῖζον τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ, καὶ τοῦ Λ ὄμματος κάτω κειμένου προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ΛΓ διὰ τοῦ Θ οὐκοῦν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ μεῖζον φαίνεται τῷ ΒΓ. μετακείσθω δὴ τὸ Λ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ Ν∠ διὰ τοῦ Θ. οὐκοῦν πάλιν τὸ ΒΖ τοῦ ΘΚ μεῖζον φαίνεται τῷ Β∠. προσιόντος μὲν ἄρα τοῦ ὄμματος ἐλάττονι μεῖζον φαίνεται ὑπερέχον τὸ ΒΖ τοῖ ΘΚ, ἀπιόντος δὲ μείζονι.

ιζ΄.

Ὅσα ἀλλήλων ὑπερέχει τοῦ ὄμματος ἐπʼ εὐθείας τῷ ἐλάσσονι μεγέθει ὄντος, προσιόντος τε καὶ ἀφιστα μένου τοῦ ὄμματος τῷ ἴσῳ αἰεὶ δόξει τὸ ὑπερφαινό μενον τοῦ ἐλάσσονος ὑπερέχειν.

ὑπερεχέτω γὰρ τὸ Β ∠ τοῦ ΘΗ τῷ ΒΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ. οὐκοῦν ἡ ἀπὸ τοῦ ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΖΓ ἐνεχθήσεται. πάλιν δὴ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Κ. οὐκοῦν διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος ἀκτὶς προσπίπτουσα κατὰ τὴν ΚΓ ἐνεχθήσεται. τῷ αὐτῷ ἄρα ὑπερέξει τὸ Β∠ τοῦ ΘΗ καὶ προσιόντος τοῦ ὄμματος καὶ ἀφισταμένου.

ιη΄.

Τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, πόσον ἐστίν.

ἔστω γάρ, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος, πόσον ἐστί, τὸ ΒΓ, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡλίου διὰ τοῦ Β ἡ Β∠ 4. δή] δέ v προσπιπτέτω] -σπ- in ras. V. 7. ἔλαττον v 11 μεγέθη v. ὄντως v, sed corr 15. ΘΗ] ΘΗ V v ΘΝ p 16. ΓΘ] in ras m. 1 V. 23. ΘΗ] ΘΗ V v. οὐκοῦν σκιὰ ἔσται ἡ Γ∠. ἔλαβον δή τι γνώριμο μέγεθος τὸ ΚΖ καὶ ἐνήρμοσα ὑπὸ τὴν ∠ γωνία παράλληλον τῇ ΒΓ. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς τὸ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ∠ πρὸς τὸ ΖΚ. καὶ γνώριμος ὁ λόγος ὁ τῆς ∠Ζ πρὸς ΖΚ γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ∠Γ πρὸς Γ Β. καί ἐστι γνώριμος ἡ ∠Γ σκιά· γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος.

ιθ΄.

Μὴ ὄντος ἡλίου τὸ δοθὲν ὕψος γνῶναι, ἡλίκο ἐστίν.

ἔστω γάρ, ὃ δεῖ ἐπιγνῶναι ὕψος, πηλίκον ἐστίν τὸ ΒΓ, καὶ κείσθω κάτοπτρον τὸ ΚΑ, ὄμμα δὲ ἕστο τὸ ∠, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ∠Θ καὶ ἀνακεκλάσθω ὡς ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Β πέρας, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος κάθετος ἡ ∠ Ζ. οὐκοῦν ἴσαι εἰσὶν αἱ πρὸς τῷ Θ γωνίαι ἀλλήλαις· τοῦτο γὰρ δείκνυται ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς. ἀλλὰ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση ἐστίν· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἐκατέρα αὐτῶν. λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ ∠ ἴση ἐστίν. ὥστ ὅμοιον ἂν εἴη τὸ ΒΓΘ τρίγωνον τῷ ∠ΖΘ τριγώνῳ ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΓ πρὸς Γ Β, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς Ζ∠ τῆς δὲ ΘΖ πρὸς Ζ ∠ λόγος δοθείς ἐστιν· καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς ΓΒ γνώριμος ὁ λόγος ἐστίν. γνώριμος δ. ἡ ΘΓ γνώριμον ἄρα καὶ τὸ ΓΒ ὕψος.

2. ἐνήρμοσται v. Ante ∠ add. πρὸς τῷ m. rec. V. 4 ΓΒ] Β p. 8. ἐστιν V v. 9 σκιά· γνώριμον] in ras. m 1 V Post ὕψος add. τὸ ἄρα δοθὲν ὕψος ἔγνωσται πόσον ἐστί m rec. V. 13. ἐστί p. 15. Supra ∠Θ add. τῷ κατόπτρο

κ΄.

Τὸ δοθὲν βάθος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν.

ἔστω γὰρ τὸ βάθος, ὅ δεῖ ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΚΒ, καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ∠, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ ∠ΛΚ εἰς τὸ βάθος, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ παρὰ τὴν ΒΚ ἡ ∠Ζ. Δ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΚ τῇ ∠Ζ, καὶ ἐμπέπτωκεν ἡ ∠Κ, τὰς ἐναλλὰξ Β Λ γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚ Λ, Λ∠Ζ ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ κατὰ κορυφὴν αἱ πρὸς τῷ Λ ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα γωνία τῇ λοιπῇ ἴση ἐστίν. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚ Λ τρίγωνον τῷ Λ∠ τριγώνῳ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΛΖ πρὸς Ζ∠, ἡ ΛΒ πρὸς ΒΚ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΛΖ πρὸς Ζ∠ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΛΒ πρὸς ΒΚ λόγος. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ∠Β δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΚ.

κα΄.

Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω γάρ, ὃ δεῖ μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν, τὸ ΒΓ. κείσθω δὴ ὄμμα τὸ ∠, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν σαν ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΖΚ. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς ἡ ΖΚ πρὸς Κ∠, ἡ ΒΓ πρὸς Γ∠. γνώριμος δὲ ὁ τῆς Ζ Κ πρὸς Κ∠ λόγος· γνώριμος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς Γ∠ λόγος. καὶ γνώριμος ἡ Γ∠ γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΓΒ.

3. ἐστίν] ἐστί V p 4 KB] corr ex Κ v. προσπιπτέτο πιπτέτο v. 5 τὸ βάθος] mut in τὸ πέρας τοῦ βάθους m. rec V. 6. Supra παρά add ἤτοι παράλληλος m. rec. V.

κβ΄.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φανεῖται.

ἔστω γὰρ περιφέρεια ἡ ΒΓ. ὄμμα δὲ τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ, ἀφʼ οὐ προσπιπτέτωσαν ὅψεις αἱ ∠Β, Ζ∠, ∠Γ. οὐκοῦν, ἐπεὶ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ἅμα ὁρᾶται, οὐκ ἂν φαίνοιτο ἡ ΖΒ περιφέρεια, τὰ δὲ Ζ, Β πέρατα. δόξει ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια εὐθεῖα εἶναι. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει εἶναι.

κγ΄.

Σφαίρας ὁπωσοῦν ὁρωμένης ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον αἰεὶ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὑπὸ κύκλου περιεχόμενον φαίνεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῶν ΒΚ, ΓΚ∠ ἐπίπεδον· ποιήσει δὴ ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον. ποιείτω δὴ τὸν Γ∠ ΛΝ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ [διάμετρον] κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ Ζ, ΖΒ, ΒΛ, ΛΚ, ΛΖ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ ὑπὸ 4. φανεῖται] cor. ex φαίνεται m. 1 V. 5. τό] τῷ v. 6. ὄν] in ras. m. 1 V. 9. ἐπεί ] ἐπί v, V, sed corr. 12. τὰ δέ] mut. in ἀλλὰ μόνα τά m. rec. V. 17. ἀεί p. 19. ἔστω (alt.)] del. m. rec. V. 21. τό] im ras. V. 22. ΓΚ∠] cor. ex ∠ m. rec. V. 23. ποιείτο v. τόν] τό v. Γ∠ΛΝ] Ν mut. in Ζ m. rec. V, Ζ add. m. 2 p. διάμετρον] m. rec. V( 25. ΒΛ] corr. ex Β∠ V. ΚΖΒ, ΒΛΚ διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίοις εἶναι καὶ ἐκ κέντρου τὰς ΚΖ, ΚΛ, καθʼ ἓν σημεῖον ἐφάψονται αἱ ΒΛ, ΒΖ τῆς σφαίρας· αἰ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ΒΖ, ΒΛ πεσοῦνται. καὶ ἐπεὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθή ἐστι διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν Γ∠ τῇ ΖΛ, καὶ ἴση ἡ ΖΘ τῇ ΘΛ, ἐὰν δὴ μενούσης τῆς ΘΒ τὸ ΘΖΒ τρίγωνον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥ τε ΒΖ περιφερομένη καθʼ ἓν ἐφάψεται τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ Ζ, καὶ κύκλος ἔσται γεγραμμένος διὰ τῶν Ζ, Λ σημείων. ὥστε ὑπὸ κύκλου ἂν περιέχοιτο τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας, ὅ γε ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου· τὸ γὰρ ΖΛ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ὄψεως περιεχόμενον ἔλαττόν ἐστιν ἡμισφαιρίου.

κδ΄.

Τοῦ ὄμματος προσιόντος ἔγγιον τῆς σφαίρας ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον ἔστω τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ∠Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ∠Κ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ν, ΝΚ, ∠Λ, ΛΚ. οὐκοῦν ὀρθαὶ ἔσονται αἱ πρὸς τοῖς Λ, Ν γωνίαι διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται 5. Θ] e corr. m 1 v. 8. εἰς τό] εἰς v. 9 φέ-] in ras. V. Post ἕν add. σημεῖον p m. rec. V. 13. ὅ γε] mut. in καί m. rec V. ἐστιν] mut. in ἔσται m. rec. V. τό — 15. ἡμισφαιρίου ] mut. in ἡ γὰρ ΖΛ διάμετρος οὖσα τοῦ κύκλου τοῦ διαιροῦντος τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἐλάττων ἐστὶ τῆς ∠Γ διαμέτρου οὔσης τῆς σφαίρας m. rec. V. 13 ΖΛ] ΖΝ V, Ν supra scr. m. 2 p. 14. ἐστι p. περιεχόμενον] ὁρώμενον v et supra add. m. 1 p. 17. ἔγγειον V 22. ∠Ν] αἱ ∠Λ, ∠Ν τῆς σφαίρας. αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ ∠ ὄμματος προσπίπτουσαι ἀκτῖνες κατὰ τὰς ∠Λ, ∠Λ πεσοῦνται. πάλιν δὴ μετακινείσθω τὸ ∠ ὄμμα ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ περὶ τὴν ΡΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΡΖ, ΖΚ, ΡΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ΡΖ, ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται τῆς σφαίρας. καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ P ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΡΖ, ΡΣ πεσοῦνται. ὥστε ὁρᾶται ὑπὸ μὲν τῆς Ρ γωνίας τὸ ΖΣ ὑπὸ δὲ τῆς ∠ τὸ ΝΖ Λ μεῖζον δὲ τὸ ΝΖ Λ τοῦ Ζ Σ ἐστιν. φαίνεται δὲ ἔλαττον· μείζων γάρ ἐστιν ἡ Ρ γωνία τῆς ∠ γωνίας, τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται. μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Ζ Σ τοῦ ΝΖ Λ, ἔστι δὲ ἔλαττον.

κε΄.

Σφαίρας διὰ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένης, ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση τῇ εὐθείᾳ τῇ διεστώσῃ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων, ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν Β, Γ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ ΒΖ, ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΓ ἡ Ζ Λ, καὶ κείσθω ἓν ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἕτερον ἐπὶ τοῦ Λ, ἀπὸ δὲ τοῦ ∠ κέντρου ἤχθω παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ∠Κ. οὐκοῦν ἐὰν μενούσης τῆς ∠Κ τὸ ΒΚ παραλληλόγραμμον περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς Β∠ σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας. ὥστε 4. ΡΚ] p, ΚΡ 8. ὁρ-] in ras. m. 1 V. 9. τὸ. ΝΖΛ (pr)) τὸν Ζ Λ v; τὸ ΝΖ, add. ΣΛ m. 2, p. τὸ ΝΖΛ (alt.)] τὸν ΖΛ v; τὸ ΝΖ Λ, supra add Σ m. 2, p. 10 ἐστιν (pr.)] ἐστι p. μεῖζον v. P] e corr p. 13 ΝΖΛ] τὸ ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας μόνον ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν Ζ, Λ ὀμμάτων.

κϚ΄.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, ἡμισφαιρίου μεῖζον τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ μεῖζον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ∠ ∠Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες καθʼ ἓν ἁπτόμεναι αἱ Β∠ ΓΖ. οὐκοῦν ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις, ἐπειδὴ ἡ ΒΓ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου μείζων ἐστί. συμπιπτέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Θ σημεῖον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου αἰ ΘΖ, Θ∠ καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι προσπεπτώκασιν, ἔλασσον ἂν εἴη τὸ ΖΝ∠ ἡμικυκλίου· αἱ γὰρ ΘΖΚ, Θ∠Κ γωνίαι ὀρθαί εἰσιν. τὸ ἄρα λοιπὸν τῆς σφαίρας μεῖζον ἡμισφαιρίου ὁρᾶται ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΖ.

κζ΄.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλασσον ἡ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας ἔλασσον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Κ, τῶν δὲ ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ ἔλαττον ὄν τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, καὶ διὰ τοῦ Κ καὶ τῆς ΒΓ ἐκβεβλήσθω ἐπίπεδον καὶ ποιείτω ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλον τὸν ΖΗΝ. 5. ἡμισφαίριον v, p, sed corr. 10 ποιείτο v. 11 ἀκτῖνος v, sed corr. ἕν] ὃν σημεῖον v, σημεῖον add. m. rec. V. ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων καθʼ ἓν ἐφαπτόμεναι αἱ ΒΖ, ΓΝ καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ· συμπεσοῦνται γάρ, ἐπειδήπερ ἄνισοί εἰσιν ἥ τε ΓΒ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν σφαῖραν ἔλαττον ἡμισφαιρίου περιλήψονται· τὸ ἄρα ΖΗΝ ἔλασσον ἡμισφαιρίου ἐστίν. ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ὀμμάτων ὁρώμενον ἔλασσον ἂν εἴη ἡμισφαιρίου.

κη΄.

Κυλίνδρου ὁπωσοῦν ὁρωμένου ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ἔλαττον ἡμικυλίνδρου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ Κ ἡ ΝΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω ἡ ΒΓ, περὶ δὲ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΖ, ΖΚ, Ν∠, ∠Κ. οὐκοῦν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ζ, ∠· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ ΖΝ, Ν∠, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος φερόμεναι ἀκτῖνες κατὰ τὰς Ν Ζ, Ν∠ πεσοῦνται· ὥστε τὸ Ζ Λ∠ μόνον ὀφθήσεται. ἀλλὰ τὸ ΖΛ∠ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΓΛΒ ἡμικυκλίου· τὸ ἄρα ΖΛ∠ ἔλασσον ἡμικυκλίου ὀφθήσεται, τουτέστιν ὁ κύλινδρος· 4. ἐπειδήπερ — 6. διάμετρος] mut. m. rec. in ἐπειδὴ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ BΓ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας V. 19. τοῦ] corr ὁμοίως γὰρ τῇ βάσει κατὰ πᾶσαν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου δείξομεν. ὥστε ὅλου τοῦ κυλίνδρου τοῦ ἡμίσεος ἔλαττον φαίνεται.

κθ΄.

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος τοῦ κυλίνδρου ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ὄψεων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ κυλίνδρου τοῦ περὶ τὴν βάσιν κύκλου κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ Κ κέντρον ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ, διὰ δὲ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ Γ∠, καὶ περὶ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΝ, ΝΚ, ΒΛ, ΛΚ. διὰ δὴ τὰ πρότερον τὸ ΛΖΝ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου, καὶ ὁμοίως τῇ βάσει ὅλου τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον ἢ τὸ ἥμισυ ὁραθήσεται. προσήχθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Φ, καὶ περὶ τὴν ΦΚ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΦΡ, ΡΚ, ΚΣ, ΣΦ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Φ ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΦΡ, ΦΣ πεσοῦνται, αἱ δέ γε ἀπὸ τοῦ Β κατὰ τὰς Β Λ, ΒΝ μεῖζον ἄρα τὸ ΝΖ Λ τοῦ PΖΣ δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι τὸ PΖΣ τοῦ ΝΖ Λ· μείζων γὰρ ἡ γωνία τῆς Β γωνίας. ὥστε καὶ τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέρος ὀφθήσεται, δοκεῖ δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

1. ἐπιφάνιον v. 2. Ante δείξομεν ins. τὸ αὐτὸ συμβαῖνον m. rec. V. 3. ἡμίσεως V, sed. corr. 5. δέ ] del. m. rec V. ἔγγειον V. 9 Κ (alt.)] e corr m. 1 V. 12. διά — 14. ὁραθήσεται] mg. m. 2 V, om v. 14. ἢ] om. p. 20. Post ΝΖ Λ ras. 1 litt V. μεῖζον v. 21. Ante Φ ins. πρὸς τῷ m. rec. V. Ante Β ins. πρὸς τῷ m. rec. V.

λ΄.

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλασσον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἤχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΒ ἡ ΝΛ, περὶ δὲ τὴν ΚΒ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΚ, Β∠, ∠Κ. οὐκοῦν ὀρθαί εἰσιν αἰ πρὸς τοῖς Ζ, ∠ γωνίαι· καθʼ ἓν ἄρα ἐφάπτονται αἱ Β∠, ΒΖ, καὶ αἵ γε ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Β∠, ΒΖ πεσοῦνται. ἔσται δὴ ὁρώμενον τὸ ΖΡ∠ ἔλασσον ὄν τοῦ ΝΡΛ. ἀλλὰ τὸ ΝΡΛ ἡμικύκλιόν ἐστιν· τὸ ἄρα ΖΡ∠ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ὥστε καὶ τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἔλασσόν ἐστιν ἡμικωνίου· ὁμοίως γὰρ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν κύκλων τῶν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ δείξομεν.

λα΄.

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον μετατεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἔλασσον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων περιλαμβανόμενον μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω γὰρ κώνου βάσις κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Κ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Κ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΚ, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ Κ ἡ ΓΚΒ, γεγράφθω δὲ περὶ τὴν ΑΚ κύκλος, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΚ, Α∠, ∠Κ. μετακείσθω δὴ 8. ∠] ∠ ὡς ἡμικύκλου v. 9. ΒΖ] corr. ex ∠Ζ m. 1 V. 10. Post τοῦ ins. Β m. rec. V. 11. ΖΡ∠] Ζ∠ v. 12. ΝΡΛ (alt.)] Ν postea ins. V. ἐστι V p. 13. ἡμικυκλίου pr. κ in ras. V. 15. ἐν τῇ] in ras. m. 1 V. 18. δέ| del. m. rec. V. ἔγγειον V, sed corr. m. rec. 22. ἐπί] in ras. m. 1 V. 23. ἐπιζεύχθω V, sed corr. 24. ΓΚΒ] ΚΓΒ V τὸ Α ὄμμα ἐπὶ τὸ Ν, καὶ περὶ τὴν ΚΝ κύκλος γεγράφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΡ, PΚ, ΝΣ, ΣΚ. οὐκοῦν αἱ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς Α∠, Α Ζ πεσοῦνται· ὥστε φανεῖται τὸ ΖΦ∠. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος ἀκτῖνες προσπίπτουσαι κατὰ τὰς ΝΡ, ΝΣ πεσοῦνται· ὀφθήσεται ἄρα τὸ PΦ Σ. μεῖζον δὲ τὸ ΖΦ∠ τοῦ PΦΣ. φαίνεται δὲ ἔλασσον· μείζων γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ν γωνία τῆς πρὸς τῷ Α γωνίας.

λβ΄.

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν, ἐὰν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων εὐθεῖαι διαχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἴσον διὰ παντὸς ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης.

ἔστω γὰρ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ Γ∠ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Β σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Κ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Κ ∠, ΚΓ ἁπτόμεναι κατὰ τὰ Γ, ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν ∠, Γ σημείων ἐπὶ τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου αἱ ∠Β, ΓΒ, καὶ διὰ μὲν τῶν 5. καὶ αἱ] corr. ex καί m. 2 V 7 ΖΦ∠] Ζ ΦΛ pv e corr. V. 8. μεῖζον v. 9. τῷ] τό pv. 11. κόνου V, sed corr. 14. ἐπιφανίας v. 15 ἀχθεισῶν] -ει- e corr. V. 16 Ante ἐπίπεδα ras. 2 litt V 19 παραλλήλου] comp. pv, omnibus litteris scriptum add. m. rec. V 24 ∠, Γ] Γ, ∠ p. 25. αἱ ] im ras. V. ΓΒ, ΦΚ ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω, διὰ δὲ τῶν ∠Β, ∠Κ ὁμοίως ἕτερον ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω. οὐκοῦν συμπεσεῖται ~~τὰ ἐπίπεδα~~· αἵ τε γὰρ ΓΒ, ∠Β συμπίπτουσι καὶ αἰ ΓΚ, Κ∠. συμπιπτέτωσαν οὖν τὰ ἐπίπεδα, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι, ὅπου ἂν ἐπὶ τῆς ΒΚ τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσον τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὸ Ζ ὄμμα, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ μὲν τὴν Κ∠ ἡ ΖΝ, παρὰ δὲ τὴν ΓΚ ἡ ΖΣ οὐκοῦν αἱ ΖΝ, ΖΣ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας κατὰ τὰ Ν, Σ ἐφάπτονται· τὰ γὰρ ἐν τῇ Β Γ∠ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τῶν παραλλήλων κύκλων τμήματα ὅμοιά ἐστιν. τὰ ἄρα ἐν τῇ Β∠Γ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ διαστήματα ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστίν, ἢν περιέχουσιν αἱ ΖΣ ΖΝ, γωνία τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν Κ∠, ΚΓ, ἴσον ἂν φαίνοιτο τὸ ΣΝ διάστημα τοῦ κώνου τῷ ∠Γ διαστήματι. ὥσθʼ ὅπου ἄν τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ τῆς ΚΒ εὐθείας, ἴσον ἀεὶ φανεῖται τὸ ὁρώμενον.

λγ΄.

Ἴσον δὲ ἀεὶ τοῦ ὄμματος ἀπὸ τοῦ κώνου ἀπέχοντος μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔλασσον φαίνεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ταπεινοτέρου δὲ μεῖζον.

ἔστω γὰρ κώνου κορυφὴ μὲν πρὸς τῷ ∠ σημείῳ, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ ἤχθω ἡ ΚΘ παρὰ τὴν Β∠, 1. ἐκεβλήσθω, supra scr. Β, V. 3. τὰ ἐπίπεδα] supra scr V, renou. m rec. 5 ἄν] δʼ ἄν V vp. 8 Ζ] postea ins. m. 1 V. 9. Supra παρά (pr.) add ἤτοι παράλληλος m rec. V. Supra παρά (alt.) add. παράλληλος m. rec. V. 10 ΓΚ] in. ras. V. 13 ἐστι p 16. ΚΓ] ΚΝ p 17 τῷ] corr. ex τό m. 1 18 ἄν] corr ex α m 2 V. 25. ὁ] ὁ περὶ τήν V. καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ. φημὶ δὴ ἔλασσον ὀφθήσεσθαι τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τεθέντος τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Σ ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ σημείου ἐπὶ τὰ Θ, Σ σημεῖα αἱ ∠Θ, ∠ Σ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ν, Λ. οὐκοῦν ἐπί τε τοῦ Μ καὶ ἐπὶ τοῦ Λ σημείου τεθέντος τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται τὰ ὁρώμενα τοῦ κώνου, καὶ ἔλασσον μὲν φαίνεται τὸ πρὸς τῷ Ν, μεῖζον δὲ τὸ πρὸς τῷ Λ. ἴσον δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν τῷ πρὸς τῷ Θ, τὸ δὲ πρὸς τῷ Λ τῷ πρὸς τῷ Σ, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ ἐδείχθη. τοῦ ἄρα ὄμματος πρὸς τῷ Θ σημείῳ ὄντος ἔλασσον φαίνεται τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου ἤπερ πρὸς τῷ Σ.

λδ΄.

Ἐν κύκλῳ ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθάς τις ἀχθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα, ἴσαι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου φαίνονται.

ἔστω γὰρ κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου ἡ ΚΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΓΑ, ∠ Ζ. φημὶ δὴ τὴν ΑΓ τῇ ∠Ζ ἴσην φαίνεσθαι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ, ΒΖ, ΒΓ, Β∠. οὐκοῦν δύο αἱ ΒΚ, Κ δυσὶ ταῖς ΒΚ, ΚΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα 2. ὀφθήσεται p, ὠφθήσεται v. ὡρώμενον v, sed corr 3. Σ] om. v. 5. Λ] corr. ex ∠ m. 2 V. 9. τῷ (sec.)] τό v. τῷ (tert.)] τό pv, V, corr m. rec. 10 τῷ Λ τῷ] τὸ Λ τό v. τῷ (tert.)] τό pv 11. τῷ] τό v σημείου v, V, sed. corr. ὄντως v. 12. ἐλάσσων V, sed corr. 15. ἀπὸ τοῦ κέντρου] in ras. m. 1 V. 19 τῷ] τό v. 20. τοῦ] om. p 23. Ante B Κ (alt.) eras. Γ V. ΚΓ] corr. ex Κ∠ m. rec. V. ἑκατέρᾳ. ἔστι δὲ καὶ ἡ P γωνία τῇ Σ ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ βάσις τῇ ΒΓ βάσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ Β ∠ τῇ ΒΑ ἐστιν ἴση. δύο δὴ αἱ ∠Β, ΒΖ δυσὶ ταῖς ΓΒ, Β Α ἴσαι εἰσίν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΓΑ ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ ἴση ἐστίν. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ∠ Ζ φαί. φαίνεται.

λε΄.

Καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ τοῦ κέντρου ἀναχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι αἱ διάμετροι φανήσονται.

ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΚΒ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ Β σημείου αἱ αὐταὶ ταῖς πρότερον. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν αἱ ∠Κ, ΚΒ, ΚΖ, ὀρθὴ ἄν εἴη ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΖΒ ∠. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ὀρθὴ ἄν εἴη· ἴσαι ἄρα ἔσονται ἀλλήλαις. τὰ δέ γε ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ ∠ Ζ τῇ ΑΓ φαίνεται.

2 Σ] Σ γωνίᾳ p. 3. BΓ] corr. ex Β ∠ m. rec. V. 5. Β∠] corr. ex BΓ m. rec. V. 10. ΓΒ Α] ΓΑΒ p. 11. ἐστί p. 17. Post ἐπιπέδῳ add, τοῦ κύκλου m. rec. V. 18. Ante αἱ add. καὶ οὕτως m. rec. V. 19 Post ἔστω

Ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ∠ΑΖ, ΖΑΓ καὶ ΕΑΖ, ΖΑΒ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Α τῇ ΑΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ∠Ζ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶν καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ∠ΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ ἐστιν ἴση. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ ἐστιν ἴση. ὥστε αἰ διάμετροι ἴσαι φανήσονται.

λϚ΄.

Ἐάν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον προσπίπτουσα τοῦ κύκλου μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε ἴση ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται.

ἔστω γὰρ κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΑ καὶ ἔστω μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ἄνισοι φανήσονται.

7. ἴση] εἰσι v. 11. ἐστί p. ∠ΖΑ] ΕΖΑ p. 14. ΕΖΑ] Ζ e corr. V. ὑπό] ἀπό v. 15. ∠ΖΒ] ∠ΒΖ V, corr.

ἤχθω γὰρ ἡ μὲν ΓΖ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ∠Κ ἀνίσους ποιοῦσα γωνίας πρὸς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, Β∠, ΒΖ, ΒΚ, ἔστω δὲ πρότερον ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ μείζων. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ΓΒΖ τῆς περιεχομένης ὑπὸ τῶν ΚΒ∠, ὡς ἐν τοῖς θεωρήμασιν ἀποδείκνυται. τὰ δέ γε ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΓΖ τῆς ∠Κ φαίνεται. ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ τῆς ΑΚ ἐλάσσων ᾖ, μείζων φαίνεται ἡ ∠Κ τῆς ΓΖ.

Ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ἀλλʼ ἐκτός, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Α ἡ ΓΑ, ἔτι δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΒΑ. λέγω, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΒΑ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ. διήχθω γὰρ εὐθεῖα ἡ ∠ΑΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ· καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ὀρθῆς· μείζων ἄρα ἡ ΑΓ πλευρὰ τῆς ΑΖ. ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΑΓ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ γωνία καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖΑ εἰσιν ὀρθαί, καί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΖ ἄνισοι· καὶ λοιπὴ 4. μείζων (pr.)] μεῖζον v. μείζων (alt.)] μεῖζον v, μεί- in ras. V. 6. Post τοῖς add. προτέροις m. rec. V. ἀποδείκνυται] mut. in ἀποδέδεικται m. rec. V. 7. μείζωνος v, sed corr. 11. λζ΄ V p v. κέντρον] m. rec. V, comp. m. 1. 12. ἀγωμένη V, sed corr. 16. ποιουσῶν] - σῶν e corr. m. rec. V. Post τῇ ras. 1 litt. V. 17. τῶν] del. m. rec V, seq. ras. 2 litt. v. 18. τήν] τό v. 22 μεῖζον v. ΑΓ] ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΑΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ ἐστι μείζων. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ πασῶν τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ.

Ὅτι ἡ ΖΒ τῇ ∠Ε ἐστι πρὸς ὀρθάς, δείξομεν οὕτως.

ἐπεὶ ἡ ΒΓ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΓ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΓ ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων ἐστὶ τὸ ΒΓΖ τρίγωνον· καὶ τὸ ΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἐπεὶ οὖν δύο ἐπίπεδα τό τε τοῦ Ε∠ κύκλου καὶ τὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου τέμνουσιν ἄλληλα, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ Γ Ζ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ἡ Ζ∠ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ· κάθετος γὰρ ἦκται ἡ ΓΖ ἐπὶ τὴν Ε∠ καὶ ἡ Ζ∠ ἄρα τῷ τοῦ ΒΓ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΓΖΒ τριγώνου ἐπιπέδῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ∠Ζ ἄρα τῇ ΖΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς. ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΒΖ τῇ ΕΖ ∠ διαμέτρῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς.

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΒΖΑ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Γ, γωνίας, καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΖA μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ζ ΑΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ γωνίας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΖΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΓΑ, καὶ ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Ζ Α πρὸς τὴν ΑΒ 1. τῶν (utrumque)] del. m. rec. V. ἐστιν V v. 3 Post τῇ ras. 1 litt. V. 4. τῶν] del. m. rec. V 5. λη΄ V p v, del. in v. Post ὅτι ins. δέ m. rec. V. ἐστιν V v. 6. ἐστίν V v. 8. τῶν] corr. ex. τῶ m. 2 V. 9 ἐκβαλλόμενον ἐλάσσονα λόγον ἔχει, οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ· ὥστε ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΑ πρὸς ΑΒ. πεποιήσθω οὖν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ Ζ Α πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒ τὴν Α∠ ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ∠ΖΑ. ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΑ∠. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΑ Β γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΒ.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΓΒ∠, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη ἡ ΕΖ πρὸς ὀρθὰς μὲν ἔστω τῇ Γ∠, πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω, καὶ ἔστω ἡ ΕΖ ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου μείζων. ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐστι πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς Γ∠ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν. ἤχθω οὗν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος· ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν ἐπιπέδων τὴν ΑΒ. πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ, καὶ διήχθω διάμετρος ἡ ΗΘ, καὶ κείσθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἴση ἡ Λ Μ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν. 3. πεποιείσθω v. 5. Α ∠] corr. ex Α Β m. 1 V. 6 ἐστίν V v. 7. ΒΓΑ] Α corr. ex ∠ m. rec. V. 9. μεῖζον 10. Ζ ΑΒ] Β e corr. m. rec V 11 μ΄ V p v, del. v. Ant. δύο eras. αἱ V. 17. ἐστιν V v. 20. Post σημείου add. in media linea — V v. 23. ΗΘ] corr. ex. ΕΘ V. 24 Pos ΛΜ del. πρὸς ὀρθάς p. καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν τῇ ΛΜ πρὸς ὀρθὰς μετέωρος εὐθεῖα ἡ ΝΞ, καὶ ἔστω ἡ ΝΞ τῇ ΕΖ ἴση· τὸ ἄρα περὶ τὴν ΛΜ γραφόμενον τμῆμα καὶ ἐρχόμενον διὰ τοῦ Ξ μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΛΝ, ΝΜ. ἔστω τὸ Λ ΣΞΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ, ΞΜ. ἡ ἄρα πρὸς τῷ Ξ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὸ Ε καὶ τὰ Γ, ∠ σημεῖα. ἐκκείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΟ, καὶ ἀφῃρήσθω ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΝΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ, Μο, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΟΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΟΜ. ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΘ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΠ, καὶ ἐκκείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ, ΠΜ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Λ Π Μ τρίγωνον τμῆμα κύκλου. ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Π σημείῳ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Σ γωνίᾳ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Σ μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο γωνίας· τριγώνου γὰρ τοῦ Λ ΣΟ ἐκτός ἐστιν· καὶ ἡ πρὸς τῷ ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Ο· καί ἐστιν ἡ μὲν πρὸς τῷ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕ∠, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ο τῇ ὑπὸ ΗΕΘ, μείζων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ Γ∠ τῆς ΗΘ. πάλιν ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΘ 3. ἀρχόμενον V, corr. m. rec. 4 μείζων] μεῖζον v. 6. ΞΛ.] ΖΛ p. τῷ] im. ras. V, τό v. 7. ἐστίν V v. 9. ἐκκείσθω] ἔτι κείσθω e corr. p. ΖΗ] e corr. v. 11. ΛΟ] Ο e corr. v. ΜΟ] corr. ex. ΜΘ v. περιγράφθω V. sed corr. 12 Post τό (pr.) 1 litt. eras. v. 13. ΛΟΜ] Ο e corr. v. ἐστιν ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Π τῇ ὑπὸ ΑΕΒ μείζων δὲ ἡ Ο τῆς Π. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ εὐθείας.

Μὴ ἔστω δὴ μείζων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἀλλὰ ἐλάσσων· ἔσται δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον· ἡ γὰρ τότε μείζων τῶν διαμέτρων νῦν ἐλάσσων φανήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ∠, ἑτέρα δέ τις διήχθω ἡ ΗΘ, ὄμμα δὲ τὸ Ε ἀφʼ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΕΖ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, πρὸς ὀρθὰς δὲ τῇ Γ∠ ἔστω ἡ ΕΖ, καὶ κείσθω τῇ τοῦ κύκλου διαμέτρῳ ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν πρὸς ὀρθὰς ἡ ΝΞ ἴση τῇ ΕΖ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΞΜ ἔσται δὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΕ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ, Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕ∠. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝΟ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΟ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΛΜ καὶ τὸ Ο σημεῖον τὸ ΛΟΜ τμῆμα. ἡ δὴ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΑΟΜ ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΠ, καὶ, 1. μεῖζον v. 2. μεῖζον v. 3. εὐθείας] γωνίας V, εὐθείας γωνίας p v. 4. μ΄ V v, μαʹ p. 7. μεῖζον v. 11. ἐπιζευχθῆσα v. 18. ἐστίν V v. 19. τῷ] τό v. 22. ἡ] om. v. 24. τμῆμα] τμῆμα κύκλου p. 25. ἡ] supra scr. m. rec. ἐστίν V v. ἀφῃρήσθω ἡ NΠ ἴση τῇ Ε Ζ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΜ καὶ τὸ Π τμῆμα κύκλου τὸ ΛΠΜ· ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ Π γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΠΜ ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε γωνίᾳ, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ τῆς πρὸς τῷ Ο, ἴση δὲ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΕΗ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ τῇ πρὸς τῷ Ε, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν Γ Ε∠, ἐλάσσων ἄρα φανήσεται ἡ Γ∠ τῆς ΗΘ. πάλιν ἐπεὶ ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ Ε περιεχομένη δὲ ὑπὸ τῶν ΘΕΗ τῆς πρὸς τῷ Ε, περιεχομένης δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ, ἐλάσσων ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ.

λζ΄.

Τῶν ἀρμάτων οἱ τροχοὶ ὁτὲ μὲν κυκλοειδεῖς, ὁτὲ δὲ παρεσπασμένοι φανοῦνται.

ἔστω γὰρ τροχός, οὗ διάμετροι αἱ ∠Ζ, ΒΓ οὐκοῦν ὅταν μὲν ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος εἰς τὸ κέντρον νεύουσα πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ἴσαι αἱ διάμετροι φανοῦνται, ὡς ἐν τῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματι ἀπεδείχθη· ὥστε ὁ τροχὸς ὁ τοῦ ἅρματος κυκλοειδὴς φαίνεται τούτων ὑπαρχόντων. παραφερομένου δὲ τοῦ ἄρματος καὶ τῆς ἀπὸ τοῦ ὄμματος νευούσης εἰς τὸ κέντρον ἀκτῖνος μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ τοῦ τροχοῦ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης τῇ ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ἄνισοι αἱ διάμετροι φανοῦνται ὁμοίως διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ δειχθέν· ὥστε παρεσπασμένος ἂν φαίνοιτο ὁ τροχός.

3. ἡ (pr.)] supra scr. m. 2 V. ἡ (alt.)] addidi: om. V p v. 8. φανήσεται] νήσεται in ras. m. 1 V. 11. ΑΕΒ] ΛΕΒ p v (Α deformatum est im V). 13. λζ΄] μα΄ V v, μβ p. 15 παρεσπαμένοι V. 16. διάμε-] in ras. m. 1 V. 18. ᾖ] corr. ex εἰ m 1 v. τῇ] corr. ex τοῦ V.

λη΄.

Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ μετέωρον, τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου, καὶ μεθιστῆται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφεφείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ μετεωρότερον τοῦ ἐπιπέδου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ Γ Β κύκλος γεγράφθω ὁ Β∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται τὸ ΑΒ, ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ἀεὶ ὀφθήσεται. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΑΒ ἐστιν ὀρθὴ καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ ὀρθὴν γωνίαν, πᾶσαι ἄρα αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Γ πρὸς τὸ ΑΒ μέγεθος προσπίπτουσαι ἀλλήλαις ἴσας γωνίας ποιοῦσιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται. ὁμοίως δὲ κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου μετέωρος ἀχθῇ εὐθεῖα, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τὸ ὄμμα τεθῇ ἐπὶ παραλλήλου ὂν τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, καὶ μετακινῆται τὸ μέγεθος, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

λθ΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθιστῆται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται.

ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ μετέωρον ὂν καὶ πρὸς 1. λη΄] μβ΄ V v, μγ΄ p. 3. τό] τῷ v. τοῦ — 4. περι-] dimid. eras. V. 4. Post περιφερείας add. κέντρον ἔχοντος τὸ ὄμμα p. 6. μετεορώτερον V, μετέωρον p; μετεωρώτερον v, sed corr. 8. κεντρῳ] comp. V v. 10. περιφερείας] comp. V v. 12. τήν] om. v. 13. κέντρου] in ras. m. rec. V. 16. Ante ἀχθῇ ras. 2 litt. V. ἐπί] supra scr. m. 1 p. 17 μεγέθη v, sed corr. μετακεινῆται V, sed corr.; μετακινεῖται v, p, sed corr. 19. λθ΄ ] μγ΄ V v, μδ΄ p. 21. ἐπιπέδῳ] om. v. ὀρθὰς πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ Γ∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν τὸ Γ μεθιστῆται ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται. τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν, ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β ὀρθή ἐστιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον φανήσεται.

μ΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μέγεθος μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθιστῆται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας, ἄνισον ἀεὶ ὀφθήσεται.

ἔστω κύκλος ὁ ΑΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἀνεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠ Ζ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ∠ Ζ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθιστῆται, ποτὲ μείζων φανήσεται, ποτὲ ἐλάσσων.

ἤτοι δὴ ἡ ∠ Ζ μείζων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον μείζων, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε κέντρου τῇ ∠ Ζ παράλληλος ἡ ΕΓ, καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ σημεῖον, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ 5. τούτω v. ἐστι p. 6. τό] corr. ex τῷ m. rec. V. 9. μʹ] μεʹ p, μδ΄ V v. 11. δέ] δὲ τὸ (τω v) ὁρώμενον vp. 12. Post ὀφθήσεται add. κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον mg. m. 2 v. 14. σημείου v. 17 Post ποτέ (pr.) del. μέν p. μεῖζον v. 18. ἤτοι δή] ἢ δέ e corr. v, ἤτοι ΕΓ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΓΖ, ΕΖ, ΒΓ, ΕΒ. ἔχομεν δὲ ἐν τῷ παρακειμένῳ τῷ λϚ΄ θεωρήματι, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου ἀγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΕΓ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμόν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ ΑΒ τοῦ ∠Ζ, δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ γωνίας. ἐπεὶ οὖν δέδεικταί, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ε σημείου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΓΕ γωνίας ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐκκείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ Κ Α Λ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ ΓΕΑ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΚΝΜ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΝΟ, καὶ κείσθω τῇ ∠Ζ ἐκατέρα τῶν ΟΝ, ΜΝ ἴση, καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΚ παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΠ καὶ ἴσον 3. -ς με-] in ras. V. 4. δέ] δή v. 7. πρός] supra scr. p. γωνίας p. 8. ἀλλά — 9. ἐστιν] om. v. 9. ἐστι p. 10. ἐστίν V v. 11. ἐστι p. δεῖ] in ras, V, corr. ex δή m. 2 v. 12. ὅτι] om. v, ὡς comp. m. 2. ἐλάσσων V, corr. m. rec. 13. δεῖ] corr. ex δή m. 2 v. ἔλασσον v. 14 ἐστίν V v. 17. ἔλασσον v. ἐστίν V v. 18. τῷ] corr. ex τό m. 2 v 19. τό (pr.)] corr. ex τῷ m. 2 v. τό (tert.)] τῷ v. 22. μέν] del. m. 2 v. 24. ἐστίν V v. καὶ ὅμοιον τῷ ΒΕ. πάλιν διὰ τοῦ Ο τῇ ΚΝ ἴση καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΟΡ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΚ τὸ ΡΝ ἄρα παραλληλόγραμμον ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστι τῷ ΖΕ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ διαγώνιοι αἱ ΡΝ, ΠΝ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΚΝΠ γωνία τῆς ὑπὸ Κ ΝΡ γωνίας ἐλάσσων ἐστίν. καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΝΠ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΝΡ ἴση τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠ μεγέθους ἔλασσον ὀφθήσεται.

ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ ΒΑ τῆς Ζ∠ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς Ζ ∠ ἴσης τε καὶ ἐλάσσονος τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ὑπαρχούσης.

ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ∠ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση, καὶ κατεσκευάσθω πάντα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον ἡμικύκλιον τὸ ΘΚ Λ, καὶ εἰλήφθω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Ν. καὶ ἐπεὶ ἡ ∠Ζ ἴση ὑπόκειται τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΝ. καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ, καὶ ἤχθω τῇ ΘΝ παράλληλος 5. ἐστιν Vv. 7. διαγώνιαι p. 11. ΚΝΡ] corr. ex Κ Ν m. 2 v. 13. ἐστίν] ἐστί p. 14. ἡ δέ — 15. ΑΕΒ] mg. m. 2 v (κείμενον). 15. ἴση] om. v. ἐλάσσων ἄρα] ὥστε καί v. ΑΕΒ] ΑΕΒ ἐλάσσων ἐστί v. 17. ἐλάσσων V, sed ἡ ΚΞ, καὶ τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἴση ἡ ΚΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΘ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΕ∠ ἴση κείσθω ἡ ὑπὸ τῶν ΘΝ∠, καὶ τῇ ΘΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ο, καὶ ἴση τῇ ΘΝ ἀφῃρήσθω ἡ ∠Ο, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΘ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Θ∠, ΘΚ, καί ἐστιν ἴσα τε καὶ ὅμοια τοῖς ΕΖ, ΕΒ. ὥστε καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝ∠ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕ∠, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΚ τῆς ὑπὸ ΘΝ∠. [καὶ] ἐπεζεύχθωσαν αἱ διαγώνιοι αἰ ΕΝ, ΟΝ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΞ τῆς ὑπὸ ΘΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΘΝΞ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΟ. τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠ Ζ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ∠Ζ ἐλάσσων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, καὶ κατεσκευάσθω τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ κείσθω. τῷ τοῦ κύκλου ἡμικυκλίῳ ἴσον τὸ ΘΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ν, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΘΝ τῇ ∠Ζ ἴση ἡ ΝΞ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ὑπὸ ΓΕΑ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΚ, τῇ δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΝΛ, καὶ ἔστω ἴση ἑκατέρα τῶν ΝΚ, ΝΛ τῇ ∠ Ζ, καὶ ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Κ τῇ ΝΞ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΚΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΞ, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ΞΝ παράλληλος ἡ ΛΠ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΞ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ΚΞ, ΞΛ, καί ἐστι τὸ μὲν ΚΞ τῷ ΕΒ ἴσον τε καὶ 3. ΘΝ∠] mut in ΘΝΑ m. rec. V, ΘΝ p add. ∠ m. 2 v. ΘΝ] corr. ex m. rec V. ∠Ο] ΛΟ V. 4 ∠Ο] ΛΟ V. 5. Θ∠] ∠Θ p, Θ V. 6 τοῖς] τῇ p. ἡ μέν] om. v. 7 ΘΝ∠] ΘΝ V. ἐστίν Vv. 8. ἐστίν Vv. 10. ΘΝ∠] ΘΝΛ V. καί] om. Vv. 14 ἐλάσσων p. ὅμοιον, τὸ δὲ ΞΛ τῷ ΕΖ ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΘΝΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΘΝΛ τῇ ὑπὸ ΓΕ∠. μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΓΕ∠ τῆς ὑπὸ ΓΕΑ μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΝΛ τῆς ὑπὸ ΘΜΚ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΟ, ΝΠ· καὶ ἡ ὑπὸ ΞΝΟ ἄρα τῆς ὑπὸ ΞΝΠ ἐλάσσων ἐστίν. ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ ΞΝΟ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΞΝΠ τῇ ὑπὸ ∠ΕΖ ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ καὶ βλέπεται ὑπὸ μὲν τῆς ΑΕΒ τὸ ΑΒ μέγεθος, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ∠ΕΖ τὸ ∠Ζ. ἔλασσον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠ Ζ μεγέθους· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

μα΄.

Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μένοντος, τοῦ δὲ ὁρωμένου μεθισταμένου, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ. ὄμμα δὲ τὸ Ζ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΓ, ΖΒ, καὶ περιειλήξθω τὸ ΖΒΓ τρίγωνον κύκλῳ τῷ ∠Β Ζ. λέγω, ὅτι τὸ ΒΓ μεθιστάμενον ἐπὶ τῆς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας ἴσον ἀεὶ ὁραθήσεται. μετακείσθω γὰρ τὸ ΒΓ ἐπὶ τοῦ Γ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ζ. οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περιφέρεια τῇ Γ∠ περιφερείᾳ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ἔ γωνία τῇ Σ γωνίᾳ. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα φαίνεται τὸ ΒΓ τῷ Γ∠.

2. ὑπό (sec.)] ὑ- in ras. m. 1 V. 3 μείζων (utrumque)] μεῖζον v. ΓΕΑ] τὴν v (inter Γ Α ras. 1 litt.). 9. ὑπὸ ∠ΕΖ] ∠ΕΖ p. 12. μα΄] μη΄ p; μζ΄ V v m. 1; με΄ v m. 2. 13. μένωντος v, sed corr. 15. Post Ζ eras. ∠ V. 17. ΖΒΓ] ΒΖΓ p. 18. ἐπί] ἐ- im extr. lin. v. 21. τᾖ] τῆς V. περιφερείᾳ] -σ add. m. rec. V. 22. Post ἡ eras. η V. τῇ] τῆς p. γωνίᾳ] γωνίας p. ἴσον ἄρα φαίνεται τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται v, corr. m. 2 litteris αβγ adpositis. ὑπό] ὑπὸ τῶν p. 23. τό] τῷ v. Γ∠] Γ supra scr. m. 1 V.

μβ΄.

Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἀεὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ. ὄμμα δὲ τὸ Ζ, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ,καὶ περιειλήφθω τὸ ΒΖΓ τρίγωνον τμήματι κύκλου τῷ Β Ζ Γ, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ ∠, καὶ μεταπιπτέτωσαν αἱ ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ. οὐκοῦν ἴση ἡ Ρ γωνία τῇ Σ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φαίνεται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου ἐπὶ τῆς ΒΓ∠ περιφερείας.

μγ΄.

Ἐστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἄνισον τὸ ὁρώμενον φανεῖται.

ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ Κ∠, εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ Κ∠ προσεκβαλλομένῃ, καὶ εἰλήφθω τῆς ∠Γ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ Ζ ∠, περὶ δὲ τὴν Κ∠ τμῆμα γεγράφθω ὀξεῖαν ἔχον τὴν γωνίαν· ἐφάψεται δὴ τῆς ΒΓ εὐθείας, ἐπείπερ ἐστίν, ὡς ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΚ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β σημείου, καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ∠Β, ΒΚ, 1. μβ΄] μθ΄ V p, v m. 1; μϚ΄ v m. 2. 2 -θιστα-] in, ras. V. 11. τοῦ] mut in τό m. rec. V. μεταπιπτέτωσαι V, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Σ∠. οὐκοῦν ἴση ἡ Φ γωνία τῇ Σ γωνία· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν. καί ἐστιν ἡ Σ τῆς Β γωνίας μείζων· καὶ ἡ Φ ἄρα γωνία τῆς Β μείζων ἐστίν. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ ὄντος μεῖζον φανεῖται τὸ Κ∠ ἤπερ ἐπὶ τοῦ Β.

μδ΄.

Τὸ δʼ αὐτὸ συμβήσεται, κἂν παράλληλος ᾖ ἡ γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει, ἐφʼ ἧς τὸ ὄμμα μεθίσταται.

ἔστω γὰρ παράλληλος ἡ ΒΓ τῷ ὁρωμένῳ τῷ ∠Ζ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ∠Ζ κατὰ τὸ Κ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀνήχθω ἡ ΚΝ. κείσθω οὖν τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ν∠, ΝΖ, περὶ δὲ τὴν ∠Ζ τμῆμα γεγράφθω, ὃ δέξεται τὴν Φ, Α γωνίαν. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΝ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἦκται ἡ ΚΝ τῇ ΒΓ, ἡ ΒΓ ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ∠ΝΖ τμήματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Γ, καὶ προσβεβλήσθωσαν αἱ ΓΖ, Γ∠, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ ΡΖ. οὐκοῦν ἴση ἡ Φ, Α γωνία τῇ Ρ γωνίᾳ. ἡ δὲ Ρ τῆς Σ γωνίας μείζων ἐστίν· μείζων ἄρα καὶ ἡ Φ, Α τῆς Σ. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μεῖζον ἄρα φανεῖται τὸ ∠Ζ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ν κειμένου ἤπερ ἐπὶ τοῦ Γ. τοῦ ἄρα ὄμματος ἐπὶ τῆς ΒΓ μεθισταμένου παραλλήλου οὔσης τῇ ∠Ζ ἄνισον φαίνεται τὸ ὁρώμενον.

2. εἰσι p. 3. Ante Β ras. 1 litt V. ἄρα] in ras. V. 4. ἐστί p. 5 ἐπί] supra scr. m. 1 V Β] e corr. V. 6. μδ΄] να΄ V p, v m. 1; μη΄ v m. 2. 7. ᾖ] supra scr. V. 10. δὲ ἀνήχθω] διανοίχθω v. 13. Α] postea ins. V. 15. ΚΝ] Κ e corr. m. rec. V. 16. τοῦ] mut. in τό m. rec V.

με΄.

Ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται.

ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ Γ∠, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ, περὶ δὲ τὴν Γ∠ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΖΒ, ΖΓ Ζ∠. οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ φαίνεται· ἦν δὲ καὶ ἴση. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται.

μϚ΄.

Ἔστι τις τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω, περὶ δὲ τὴν Γ∠ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ τουτέστι δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ αἰ ΖΒ, ΖΓ, Ζ∠. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ, ΓΖ∠ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται· 1. μεʹ] νβ΄ V, v m. 1; μθ΄ v m. 2; νγʹ p. 6. μείζων v. 7. ἐστίν v. 8. μείζονι] μείζωνι v, sed corr. 9 μείζων] μεῖζον v. 12 μϛʹ] νδʹ p; νγ΄ V v m. 1; ν΄ v m. 2. 13. ἴσα] supra scr. m re.c V. 15 μεῖζον v. τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ Γ∠ ἔστι δὲ μείζων. ἔστι τις ἄρα τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

μζ΄.

Εἰσί τινες τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠, καὶ περὶ τὰς ΒΓ, Γ∠ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν Β ∠. οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ Β Α∠ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν τῳ ΒΚΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΓ τῇ Β∠· ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ Β ∠ τῇ Γ∠ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν θ Α∠, ΒΚΓ, Γ Ζ∠ ἡμικυκλίων κειμένων. εἰσί τινες ἄρα τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται.

μη΄.

Εὑρεῖν τόπους, ἀφʼ ὦν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται.

ἔστω γὰρ εὐθεῖα ἡ Λ Ζ, καὶ περὶ τὴν ΛΖ γεγράφθω τμῆμα τυχόν, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὸ γωνία, 2. φαίνειτο v, corr. m. 1. τις] in ras. m. 1 V. 4. μζʹ νεʹ p; νδ΄ V, m. 1 v; να΄ m. 2 v. 6. συντιθέντα p. 7. μεῖζον v ἡ Κ, τῇ δὲ ΛΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν ΒΓ περιγεγράφθω τμῆμα, ὃ δέξεται τὴν τῆς Κ γωνίας ἡμίσειαν. οὐκοῦν ἡ Κ γωνία διπλασία ἐστὶ τῆς ∠ γωνίας. διπλασία ἄρα φαίνεται ἡ Λ Ζ τῆς ΒΓ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΛΚΖ, Β∠Γ περιφερειῶν κειμένων.

μθ΄.

Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων καὶ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντων προσιόντων μὲν πρὸς τὸ ὄμμα τὸ τελευταῖον προηγεῖσθαι δόξει, παραλλαξάντων δὲ τὸ μὲν προηρούμενον ἐπακολουθεῖν, τὸ δὲ ἐπακολουθοῦν προηγεῖσθαι δόξει.

φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ ΒΓ ∠Ζ Κ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Μ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΓ, ΜΖ. ΜΛ. οὐκοῦν μετεωροτάτη ἐστὶ καὶ δεξιωτέρα τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν ἡ Μ τὸ ἄρα Β δόξει προηγεῖσθαι. παραλλαξάντων δὲ τῶν Β ∠Ζ, Κ Λ καὶ ἐπὶ τῶν ΝΞ, ΠΡ ΣΤ γενομένων προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΝ ΜΠ, ΜΣ. οὐκοῦν πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν δεξιωτέρα τέρα ἐστὶν ἡ ΜΣ, ἀριστερὰ δὲ μᾶλλον ἡ ΜΝ· ὥστε καὶ τὸ μὲν ΣΤ προηγεῖσθαι δόξει, ἐπακολουθεῖν δὲ τὸ ΝΞ. τὸ μὲν ἄρα ΒΓ προηγούμενον ἐπὶ τοῦ ΝΞ γενόμενον δόξει ἐπακολουθεῖν, τὸ δὲ ΛΚ ἐπακολουθοῦ ἐπὶ τοῦ ΣΤ γενόμενον δόξει προηγεῖσθαι.

3. ἐστίν v. 6. μθʹ] νζʹ p; νϚ΄ V, m. 1 v; νγʹ m. rec. v. 8. τελευτέον V. 13. Μ] supra scr. m. 1 V. 14. μετεορωτάτη V, corr. m. rec.; μετεοροτάτη v. 23. δόξει] mg. m. I V.

ν΄.

Ἐάν τινων φερομένων πλειόνων ἀνίσῳ τάχει συμπαραφέρηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ὄμμα, τὰ μὲν τῷ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενα δόξει ἑστάναι, τὰ δὲ βραδυτερον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τὰ δὲ θᾶττον εἰς τὰ προηγούμενα.

φερέσθω γὰρ ἀνίσῳ τάχει τὰ Β, Γ, ∠, καὶ βραδύτατα μὲν φερέσθω τὸ Β, τὸ δὲ ἰσοταχῶς τῷ Κ ὄμματι, τὸ δὲ Δ θᾶττον τοῦ Γ, ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΓ, Κ∠. οὐκοῦν τοῦ ὄμματος συμπαραφερομένου τοῖς Β, Γ, ∠ τὸ μὲν Γ κατὰ τὴν ΓΚ ἀεὶ φερόμενον ἑστάναι δόξει, τὸ δὲ Β ὑπολειπόμενον εἰς τοὐναντίον δόξει φέρεσθαι, τὸ δὲ ∠, ἐπεὶ θᾶττον τοῦ Γ φέρεται, δόξει εἰς τοὔμπροσθεν· πλεῖον γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἀποστήσεται.

να΄.

Ἐάν τινων φερομένων διαφαίνηταί τι μὴ φερόμενον, δόξει τὸ μὴ φερόμενον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι.

φερέσθω γὰρ τὰ Β, ∠, μενέτω δὲ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ Ζ∠. οὐκοῦν τὸ μὲν Β φερόμενον ἔγγιον ἔσται τοῦ Γ τὸ δὲ ∠ ἀποχωροῦν πορρώτερον. ὥστε δόξει τὸ Γ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι.

1. νʹ] νηʹ p; νζ΄ V, m. 1 v; νδ΄ m. 2 v. 2. συμπαραφέρειται v, corr. m. 1. 3. τό] corr. ex τῷ V. τῷ] τό v 4. φερόμενοι V, sed corr. 5 φαίρεσθαι v. 9. ἰσωταχῶς V, sed corr. m 1. 11. ΚΒ] Β Κ seq. lac.1 litt. v. 14. ΓΚ

νβ΄.

Τοῦ ὄμματος ἔγγιον τοῦ ὁρωμένου προσιόντος δόξει τὸ ὁρώμενον ηὐξῆσθαι. ὁράσθω γὰρ τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Ζ κειμένου ὑπὸ τῶν ΖΒ, ΖΓ ἀκτίνων, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἔγγιον τοῦ ΒΓ καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ ∠, καὶ ὁράσθω τὸ αὐτὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ∠Γ ἀκτίνων. οὐκοῦν μείζων ἡ ∠ γωνία τῆς Ζ γωνίας. τὰ δὲ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· δόξει ἄρα ηὐξῆσθαι τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ ∠ ὄντος ἤπερ ἐπὶ τοῦ Ζ.

νγ΄.

Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι.

φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ Β, Κ ὡς ἐπὶ τὰ Ζ μέρη, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες ἤχθωσαν αἱ ΑΓ, Α∠, ΑΖ. οὐκοῦν τὸ Κ ἐλάσσονας ἔχει τὰς ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνας ἠγμένας ἤπερ τὸ Β· ἔλαττον ἄρα διάστημα διελεύσεται καὶ πρότερον παραλλάσσον τὴν ΑΖ ὄψιν δόξει ταχύτερον φέρεσθαι.

νδ΄.

Τοῦ ὄμματος παραφερομένου τὰ πόρρω τῶν ὁρωμένων καταλείπεσθαι δόξει.

1. νβ΄] ξ΄ p: νθ΄ V, m. 1 v; νϚ΄ m. 2 v. 2 ἔγγειον V. 3. ηὐξεῖσθαι V, sed corr. 6 ἔγγειον V. 9 Ante ∠Γ ras. 2 litt. v. 10 μεῖζον v. 11. μειζώνων V, sed corr.

ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β, ἀφʼ οὗ ἤχθωσαν ἀκτῖνες α ΒΓ, Β∠, Β Ζ, ὁρώμενα δὲ τὰ Κ, Λ. οὐκοῦν τοῦ ὄμματος παραφερομένου πρὸς τοῖς Γ μέρεσι θᾶττον παρελεύσονται αἱ ὄψεις τὸ Κ ἤπερ τὸ Λ. δόξει ἄρα τὸ Κ ὑπολείπεσθαι, τὸ δὲ Λ εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τουτέστιν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Ζ μέρη.

νε΄.

Τὰ αὐξανόμενα τῶν μεγεθῶν ἔγγιον δοκεῖ τῷ ὄμ ματι προσάγεσθαι.

ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ ΓΒ ὑπὸ τῶν ΚΒ, Κ ἀκτίνων, καὶ ηὐξήσθω τὸ ΒΓ τῷ Β∠, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ Κ∠. οὐκοῦν μείζων ὑπὸ ∠ΚΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΚΓ γωνίας. τὰ δὲ ὑπ μείζονος γωνίας ὁρώμενα ἔγγιον φαίνεται. ἔγγιον ἄρ δόξει εἶναι τὸ Γ∠ ἤπερ τὸ ΒΓ.

νϚ΄.

Ὅσα μὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἀποστήματι κεῖται μὴ παρ άλληλα κείμενα τῶν ἄκρων μὴ κατάλληλα κειμένων τῶ μέσων μηδὲ ἐπʼ εὐθείας ὄντων, τὸ ὅλον σχῆμα ὁτ μὲν κοῖλον, ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ.

ὁράσθω γὰρ τὰ Β, Γ, ∠ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Γ 5. μέρεσιν V v. 7 τὸ δέ] corr. ex τοῦ δέ V. 11. νε ξγʹ p, ξβ΄ V. νθ΄ im ras. m. 2 v. 12. ἔγγειον V. 14 ΒΓ p. 15. ηὐξείσθω v, sed corr. 16. μεῖζον v. 16 ἔγγιον (pr.)] ἔγγειον V, μείζονα p, om. v. φαίνεται] om. κειμένου, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚB, ΚG Κ∠. οὐκοῦν τὸ ὅλον σχῆμα κοῖλον ἂν δόξειεν εἶναι. μετακινείσθω δὴ πάλιν τὸ ὁρώμενον καὶ ἔγγιον κείσθω τοῦ ὄμματος. οὐκοῦν τὸ ∠ΒΓ δόξει κυρτὸν εἶναι.

νζ΄.

Τετραγώνου ὑπάρχοντος ἐὰν ἀπὸ τῆς συναφῆς τῶν διαμέτρων πρὸς ὀρθάς τις ἀναχθῇ τῷ τοῦ τετραγώνου ἐπιπέδῳ, ἐπὶ δὲ ταύτης τεθῇ τὸ ὄμμα, αἵ τε πλευραὶ τοῦ τετραγώνου καὶ αἱ διάμετροι ἴσαι φανοῦνται.

ἔστω γὰρ τετράγωνον τὸ Γ Ζ, καὶ διάμετροι ἤχθωσαν αἰ ΓΖ, Κ∠, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΘΒ, τὸ δὲ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, Β ∠, ΒΓ, ΒΖ. οὐκοῦν δύο αἱ ΖΘ, ΘΒ δύο ταῖς ΓΘ, ΘΒ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ καὶ αἰ γωνίαι αἱ περιεχόμεναι ὑπʼ αὐτῶν ἴσαι, τουτέστιν αἰ πρὸς τῷ Θ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ βάσις τῇ ΒΓ βάσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΚΒ τῇ Β ∠ ἴση ἐστίν. δύο δὴ αἱ Ζ Β, ΒΓ δυσὶ ταῖς ΚΒ, ∠Β ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ· καί εἰσιν αἱ διάμετροι ἴσαι· ὥστε καὶ αἱ πρὸς τῷ γωνίαι ἴσα ἔσονται. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται ἴσαι ἄρα φανοῦνται αἵ τε διάμετροι καὶ αἱ πλευραὶ τὸ τετραγώνου.

2. ἄν] scripsi: om. V v p. 3. ἔγγειον V. 5. νζ΄] ξεʹ p ξδ΄ V, m. 1 v; ξα΄ m. 2 v. 8. ἐπὶ δέ] ἐπεὶ δή v. ταύτης αὐ seq. lac. 3 litt. v. 9 ἴσοι p. 15. Β∠] Β e corr.

Τῆς δὲ ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου ἀγομένων μήτε ἴσας γωνίας περιεχούσης μετʼ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἄνισοι φανοῦνται. ὁμοίως γὰρ δείξομεν τὰ συμβαίνοντα, καθάπερ καὶ ἐν τοῖς κύκλοις.

2. μήτε (pr.)] μή p. 4. ἴσας] corr. ex ἴσης m. rec. V. In fine: τὰ πρὸ ὀπτικῶν Εὐκλείδου φίλε τέλος εἴληφε εὐδοκοῦντος ᾧ δόξα p.