Catoptrica (recensio Theonis?)

CATOPTRICA.

Όψιν εἶναι εὐθεῖαν, ἧς τὰ μέσα πάντα τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ.

Τὰ ὁρώμενα ἅπαντα καθʼ εὐθείας ὁρᾶσθαι.

Ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ θεωρουμένου τινὸς ὕψους, ὃ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ἐπιπέδῳ, γίγνονται ἀνάλογον, ὡς ἡ μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ θεωροῦντος εὐθεῖα πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ πρὸς ὀρθὰς ὕψους, οὕτω τὸ τοῦ θεωροῦντος ὕψος πρὸς τὸ πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ὕψος.

Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τοῦ τόπου καταληφθέντος, ἐφʼ ὃν ἡ κάθετος πίπτει ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου, οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον.

Καὶ ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις καταληφθέντος τοῦ τόπου, διʼ οὗ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον ἄγεται τῆς σφαίρας, οὐκέτι ὁρᾶται τὸ ὁρώμενον. τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐν τοῖς κοίλοις συμβαίνει.

Ἐὰν εἰς ἀγγεῖον ἐμβληθῇ τι καὶ λάβῃ ἀπόστημα ὡς μηκέτι ὁρᾶσθαι, τοῦ αὐτοῦ ἀποστήματος ὄντος ἐὰν ὕδωρ ἐγχυθῇ, ὀφθήσεται τὸ ἐμβληθέν.

α΄.

Ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται.

Ὅροι m, ὅροι κατοπτρικῶν m. rec. v. 1. Supra εὐθεῖαν ἧς scr. ὑποκείσθω m. 2 V, mg. m. 1; κατὰ κοινοῦ τὸ ὑπο- κείσθω ἧς] corr. ex εἶς v. 5. ἐστιν V v. γίνονται M.

ἔστω ὄμμα τὸ Β, ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ. ὄψις δʼ ἀπὸ τοῦ ὄμματος φερέσθω ἡ ΒΚ καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ ∠. φημὶ δὴ τὴν Ε γωνίαν ἴσην εἶναι τῇ Ζ. ἤχθωσαν κάθετοι ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον αἱ ΒΓ, ∠Α. οὐκοῦν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ∠Α πρὸς ΑΚ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς ὅροις ὑπέκειτο· ὅμοιον ἄρα τὸ ΒΓΚ τρί γωνον τῷ ∠ΑΚ τριγώνῳ. ἴση ἄρα ἡ Ε γωνία τῇ γωνίᾳ· τὰ γὰρ ὅμοια τρίγωνα ἰσογώνιά ἐστιν.

ἔστω δὴ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ ∠. λέγω, ὅτι ἴδη ἐστὶν ἡ Ε, Θ γωνία τῇ Ζ, Λ. παρέθηκα ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΝΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Ζ. ἀλλὰ καὶ ἡ Θ τῇ Λ· ἐφάπτεται γὰρ ἡ ΜΝ. ὅλη ἄρα ἡ Ε, Θ ὅλῃ τῇ Λ, Ζ ἐστιν ἴση.

ἔστω δὴ πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ ∠. λέγω, ὅτι ἡ Ε γωνία ἴση ἐστὶ τῇ Ζ. παρατεθέντος γὰρ ἐπιπέδου ἐνόπτρου ἴση γίγνεται ἡ Θ, Ε γωνία τῇ Ζ, Λ· ἴση δὲ καὶ ἡ Θ τῇ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ Ε τῇ Ζ ἴση ἔσται.

1. Post Β add. καί m. rec. V. 2. ΒΚ| ΒΕ M. 5. Ante ΓΚ add. τήν M, m. rec V. ΑΚ] τὴν ΑΚ, ΑΚ e corr., M; τήν add. m. rec. V. 6. ὑπέκειτο] mut. in ὑπόκειται m. rec. V. 7. Post ἄρα add. ἐστίν m. rec V. 8. τρίγωνα] om. M. 9. β΄ V. 10. ΑΚΓ] corr. ex ΑΚ m. rec. V. 15. τὸ ΝΜ — 18. ἴση] eras. V, m. rec. : τὸ ΝΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΜΚΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΝΚ∠, ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΜΚ τῇ ὑπὸ ΑΚΝ· ἐφάπτεται γὰρ ἡ ΜΝ· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ BΚΓ τῇ ὑπὸ ∠;ΚΑ ἴση

β΄.

Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπέσῃ ὄψις ἴσας ποιοῦσα γωνίας, αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται.

ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπεπτωκέτω ἴσας ποιοῦσα γωνίας τὴν Ε, Ζ τῇ Θ. λέγω, ὅτι ἀνακλωμένη ἡ ΒΚ ἐφʼ ἑαυτῆς ἥξει, τουτέστιν ἐπὶ τὸ Β. μὴ γάρ, ἀλλʼ εἰ δυνατόν, ἡκέτω ἐπὶ τὸ ∠. καὶ ἐπειδὴ αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις ἀνακλῶνται γωνίαις, ἴση ἐστὶν ἡ Ε γωνία τῇ Θ, ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Ε, Ζ γωνία τῇ Θ ἴση. καὶ ἡ Ε, Ζ ἄρα γωνία τῇ Ε γωνίᾳ ἔσται ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ἡ ἄρα ΒΚ διʼ αὑτῆς ἀνακλασθήσεται. ἡ δʼ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόσειεν ἂν ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ τῶν κοίλων ἐνόπτρων.

γ΄.

Πρὸς ὁποῖον ἂν τῶν ἐνόπτρων προσπίπτουσα ὄψις ἀνίσους ποιῇ γωνίας, οὔτε διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος γωνίας.

ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΚΗΓ, ὄψις δὲ ἡ ΒΚ προσπιπτέτω μείζονα ποιοῦσα γωνίαν τὴν Ζ τῆς Θ, Λ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΚ ἀνακλωμένη οὔτε αὐτὴ διʼ ἑαυτῆς ἀνακλασθήσεται οὔτε ἐπὶ τὴν Θ, Λ γωνίαν. εἰ μὲν 1. β΄] δ΄ Vv. 2 προσπέσοι M. Dein add. ἡ m, m. rec. V. 6. τήν — Θ] τὰς ὑπὸ ΑΚΒ, ΓΚΒ m, m. rec V. ΒΚ] ΒΕ M. 8. ἡκέτω] ἱκέτω M. ὄψις v, corr. m. 2. 9. Ε] ὑπὸ ΑΚ∠ m, m. rec V. Θ] ὑπὸ ΓΚΒ m, m. rec. V. 10. Ε, Ζ (pr.) — Θ] ὑπὸ ΑΚΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ m, m. rec. V. Ε, Ζ (alt.)] ὑπὸ ΑΚΒ m, m. rec. V. 11. Ε] ὑπὸ ΑΚ∠ m, m. rec. V. γωνία ἔσται] ἐστιν m, m. rec. V. ἐλάττονι M. 12. ἐστίν] om. M. ΒΚ] ΒΕ M. διʼ αὑτῆς] ὄψις ἐφʼ ἑαυτῆς m, m. rec. V αὑτῆς] mut. in ἑαυτῆς m. 2 v 13. ἁρμόσειεν] ἁρμόσειε καί m, m. rec. V. ἄν] M, om. Vmv. γὰρ ἥξει ἐπὶ τὸ Β, ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ, Λ ἴση· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ μείζων. εἰ δὲ διὰ τοῦ ∠, ἴση ἔσται ἡ Ζ γωνία τῇ Θ· ἔστι δὲ μείζων. ἡ ἄρα ΒΚ ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὴν μείζονα γωνίαν τὴν Ζ· δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τῆς μείζονος τῇ ἐλάσσονι ἴσην ἀφαιρεθῆναι. ἔστι δὲ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἐπὶ τῶν κυρτῶν καὶ κοίλων.

δ΄.

Αἱ ὄψεις ἐπὶ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν ἀνακλώμεναι οὔτε συμπεσοῦνται ἀλλήλαις οὔτε παράλληλοι ἔσονται.

ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΓ∠, ΒΑΕ. λέγω, ὅτι αἱ Γ∠, ΑΕ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ ∠, Ε. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ γωνία τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Μ, μείζων δὲ ἡ Ζ τῆς Κ διὸ τὸ ἐκτὸς εἶναι ἐν τῷ ΒΑΓ τριγώνῳ, μείζων ἂν εἴη καὶ ἡ Θ τῆς Μ. οὐκ ἄρα παράλληλος ἡ Γ∠ τῇ ΑΕ ἐστιν, οὐδὲ συμπίπτουσιν ἐπὶ τὰ Ε, ∠.

ἔστω πάλιν κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΖΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΖ∠, ΒΗΕ. λέγω, ὅτι αἱ Ζ∠, ΕΗ οὔτε παράλληλοί εἰσιν οὔτε συμ- 1. Β, ἔσται] Β α V m. 1, β ἔσται m, m. rec. V; ΒΕ e corr. M, ΒΚ v. Ζ] ὑπὸ ΑΚΒ m, m. rec. V. Θ, Λ] ὑπὸ ΓΚΒ m, m. rec. V. 2 εἰ δέ — 3. μείζων] om M. 3. ἔστι] ἔστιν Vv. 4. ΒΚ] ΒΕ M. τὴν μείζονα — Ζ] τῆς μείζονος γωνίας τῆς ὑπὸ ΑΚΒ m, m. rec. V. 5 ἴσην] ἴσον v, et V, corr. m. rec. 6 ἔστιν Vv. 8. δ΄] ϛ΄ v et in ras. V. 15. Ζ] μὲν ὑπὸ ΒΓΖ m, m. rec. V. Θ] ὑπὸ ∠ΓΑ m, m. rec. V. Κ] ὑπὸ ΒΙΓ m, m. rec. V. 16 Μ] ὑπὸ ΕΑΗ m, m. rec. V. μείζων] e corr. v. Ζ] ὑπὸ ΒΓΖ m, m. rec. V. Κ] ὑπὸ ΒΑΓ m, m. rec. V. ἐν τῷ] τοῦ m, πεσοῦνται ἐπὶ τὰ Ε, ∠. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΗΖ εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ Κ, Θ τῇ Λ διὰ τὸ ἐν ἴσαις ἀνακλᾶσθαι γωνίαις, εἴη ἂν μείζων ἡ Λ, Μ τῆς Κ. ἡ δὲ Κ τῆς Ν, Ξ ἐστι μείζων, ἡ δὲ Ν, Ξ τῆς Ο, Π μείζων· αὐτὴ γὰρ ἡ Ξ ἴση ἐστὶ τῇ Ο, Π· μείζων ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο, Π. πολλῷ ἄρα ἡ Λ, Μ τῆς Ο μείζων ἐστίν. οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται αἱ Ζ∠, ΗΕ εὐθεῖαι οὐδὲ παράλληλοί εἰσιν.

ε΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἢ ἐπὶ τὸ κέντρον ἢ ἐπὶ τῆς περιφερείας ἢ ἐκτὸς τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, τουτέστι μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι συμπεσοῦνται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Β, καὶ κείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Β, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Β ὄψεις πρὸς τὴν περιφέρειαν αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠. ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς σημείοις τοῖς Α, ∠, Γ γωνίαι· ἡμικυκλίου γάρ εἰσιν. αἱ ἄρα ὄψεις ἀνακλώμεναι διʼ ἑαυτῶν ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται. ὥστε συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Β.

ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, ὄμμα δὲ τὸ Β, 1. ΗΖ] Ζ M. 2. Post ἑκάτερα add. κατὰ τὰ Θ, Κ σημεῖα καί m, m. rec V. Post ἴση ras. 1 litt. V. Κ — 3. Λ] μὲν ὑπὸ ΒΖΘ γωνία (om. V) τῇ ὑπὸ ∠ΖΚ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΗΘ τῇ ὑπὸ ΕΗΚ m, m. rec V. 3. εἴη — 7. ἐστίν] μείζων δὲ ἡ ὑπὸ ΒΖΘ γωνία τῆς ὑπὸ (ΒΖΘ — ὑπό postea add. m) ΒΗΘ, εἴη ἂν καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΚ μείζων τῆς ὑπὸ ΕΗΚ m, m. rec V. 4. ἐστιν v. 5. μεῖζον v, corr. m. 2. ἐστίν V v. 6 μείζονα v, corr. m. 2. 8. Ζ ∠] ∠Ζ m. 9 ε΄] η΄ Vv. 10. τὸ κέντρον] τοῦ κέντρου m, m. rec. V. 11 θῇς] θεῖς V, κείσθω δὲ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ΒΓ, ΒΑ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε σημεῖα. ἐπεὶ μεῖζον τὸ ΑΓΒ τμῆμα τοῦ ΒΓ τμήματος, μείζων ἡ Ζ γωνία τῆς γωνίας. καὶ ἡ ἄρα τῆς Κ μείζων. αἱ ἄρα Ζ, τῶν Θ, Κ μείζους εἰσίν. λοιπὴ ἄρα ἡ Λ τῆς Μ ἐλάσσων· πολλῷ μᾶλλον ἄρα τῆς Ν. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ Γ∠, ΑΕ κατὰ τὸ Ξ ὁμοίως δειχθήσεται, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας πίπτῃ τὸ ὄμμα, ὡς ἐπὶ τοῦ ἑξῆς θεωρήματος.

Ϛ΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἀνὰ μέσον τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα, ὁτὲ μὲν συμπεσοῦνται αἱ ὄψεις ἀνακλώμεναι, ὁτὲ δὲ οὐ συμπεσοῦνται.

ἔστω ἔνοπτρον κοῖλον τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ ∠, ὄμμα δὲ κείσθω τὸ Β μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς περιφερείας, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Η, Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἕως τοῦ ἐνόπτρου αἱ ΑΘ, ΓΚ. ἡ ΑΘ δὴ τῆς ΓΚΘ ἢ μείζων ἐστὶν ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ ὄψις τῇ ΓΚ ὄψει, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΑΓΘ περιφέρεια τῇ ΓΘΚ περιφερείᾳ. ὥστε καὶ ἡ Μ γωνία τῇ Ξ· αἱ γὰρ τῶν ἴσων περιφερειῶν γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις. καὶ αἱ Μ, Λ γωνίαι ἄρα ταῖς Ν, Ξ εἰσιν ἴσαι διὰ τὴν ἀνάκλασιν. 1. δέ] om. M 3. Post ἐπεί add. οὖν m, m. rec. V. μείζων v Deinde add. ἐστιν m, m rec. V. ΒΓ τμήματος] κύκλουματος M. 4. Post μείζων add. ἐστίν m. 2 m. καί — 5. μείζων] διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΚΗ (corr. in Κ τῆς Η) μείζων ἐστίν m. 4. Η] mut. in Κ m. rec. supra scr. διὰ τὸ πρῶτον V; Η διὰ τῆς α΄ Mv. 5. ἄρα (pr.)] del. m. rec V. Κ (pr.)] mut. in m. rec. V. Post μείζων add. ἐστί m. rec. V. Ζ, Η] ΖΕ M, et V, corr m. 1; ΖΚ m, m. rec. V. τῶν] τῆς M. Θ, Κ] mut. in Θ, m. rec. V. 6 εἰσί M. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Ο τῇ Π ἴση ἐστίν. μείζων ἄρα ἡ Ρ τῆς Ο. ἐπεὶ γὰρ ἡ Ρ γωνία τῆς Π μείζων ἐστὶ διὰ τὸ ἐκτὸς εἶναι, ἡ δὲ Π τῇ Ο ἴση, καὶ ἡ Ρ ἄρα τῆς Ο μείζων ἐστίν. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΟΡΖ. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΓΖ, ΑΗ ὡς ἐπὶ τὰ Η, Ζ. τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται, κἂν μείζων ἡ ΑΘ ὄψις τῆς ΓΚ· μείζονες γὰρ ἔσονται αἱ Λ, Μ γωνίαι τῶν Ν, Ξ, ἡ δὲ Π τῆς Ο μείζων ἔσται καὶ ἡ Ρ τῆς Ο. ἐὰν δὲ ἡ ΑΘ εὐθεῖα ἐλάσσων τῆς ΓΚ, διὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται ἡ Ο γωνία τῆς Π. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς Π μείζων. οὐδὲν ἄρα κωλύει ἴσην εἶναι τὴν Ρ τῇ Ο ἢ ἐλάσσονα τῆς Ο, καὶ μὴ συμπίπτειν τὴν ΑΗ τῇ ΓΖ. φανερὸν δέ, ὅτι, κἄν τε μείζων ᾖ ἡ ΑΘ περιφέρεια τῆς ΓΚ, ἐάν τε ἴση, ἡ σύμπτωσις τῶν ἀνακλάσεων οὔτε ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου οὔτε ἐκτὸς οὐ μὴ γίνηται, ἀλλʼ ἐντὸς μόνον.

ζ΄.

Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται.

ἔστω ὕψος μὲν τὸ ΑΕ, ἔνοπτρον δὲ ἐπίπεδον τὸ ΑΛ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΓ, Β∠ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Κ. οὐκοῦν φαίνεται ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων ἐπʼ εὐθείας τὸ μὲν Ε τὸ ἄνω ἐπὶ τοῦ Θ κάτω ὄντος, τὸ δὲ Κ κάτω ὄν ἐπὶ τοῦ Ζ τοῦ ἄνω ὄντος. ὥστε ἀνεστραμμένα ἐστὶ τῇ φαντασίᾳ.

1. ἐστί Mm. 3. ἐστίν Vv. 4. ἐστί Mm, comp. v. 5. ΟΡΖ] ΡΟΖ M. Deinde add. ὁμοίως τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι ἀποδείκνυται Vm. αἱ] αἱ ἄρα M. 6. ἔσται] ἐστι M. 8. ἔσται] ἐστί M. 9 ΓΚ] Γ∠ M. 10. ἔσται] ἐστίν M. ἔστι] ἔστιν Vv. 12. ἐλάττονα M. ΑΗ] ΑΚ M. 17. ζ΄] ια΄ Vv. 22. φαίνεται] om. m. 23 τό (pr.)] φαίνεται τό m. 24. ὄν] ὄν τοῦ Ο m, m. rec. V. τοῦ (alt.)] del. m. rec. V, om. m. ὄντος] ὄντος τοῦ Θ m, m. rec. V. 25. ἐστίν Vv, εἰσί m.

ἔστω πάλιν βάθος μὲν τὸ ΕΑ, ἔνοπτρον δὲ ἐπίπεδον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ ∠, ὄψεις δὲ αἱ ∠Γ, ∠Β ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Ζ. ὁμοίως τῶν ὄψεων ἐκβληθεισῶν ἐπὶ τὰ Θ, Κ φανεῖται τὸ μὲν Ε κάτω ὄν ἐπὶ τοῦ Θ ἄνω ὄντος, τὸ δὲ Ζ ἄνω ὄν ἐπὶ τοῦ Κ κάτω ὄντος.

η΄.

Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν κυρτῶν ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται.

ἔστω ὕψος τὸ ΑΕ, ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ Α∠Γ, ὄψεις δὲ αἱ Β∠, Β ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Θ. δέδεικται, ὅτι οὐ συμπεσοῦνται. τὰ δὲ λοιπὰ ὁμοίως τοῖς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις.

ἔστω πάλιν βάθος τὸ ΑΕ, ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, Θ αἱ ΒΓΕ, Β∠Θ. τὰ δὲ λοιπὰ καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις.

θ΄.

Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων, ὡς τῇ ἀληθείᾳ ἔχει, οὕτω καὶ φαίνεται.

1. ιβ΄ Vv. ΕΑ] ΑΕ m. 2. δὲ τὸ ∠] om. m. 4. Ante ὁμοίως add. οὐκοῦν m. rec. V. ὁμοίως — 5. ἐκβληθεισῶν] οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν ὁμοίως τῶν ὄψεων ἐπʼ εὐθείας m. 5. Ante ἐπί add. ἐπʼ εὐθείας m. rec. V. 6. ὄν] corr. ex ὤν m. 2 v. 7. ἄνω] ἀνά? M. 8. ὄν] ὂν τοῦ Ε m, m. rec. V. Post ὄντος add. τοῦ Θ. τὰ ἄρα ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων ἀνεστραμμένα φαίνεται m. 9. η΄] ιγ΄ Vv. 12. ΑΕ] ΑΘ Mm. 13. Β∠] in ras. V, ΒΓ m.

ἔστω ὄμμα τὸ Β, μῆκος δὲ πλάγιον τὸ ∠Ε, ἔνοπτρον δὲ τὸ ΑΓ. οὐκοῦν ἀνακλασθεισῶν τῶν ὄψεων φαίνεται τὸ μὲν ∠ ἐπὶ τὸ Α, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τὸ Γ, καί ἐστιν οὕτω τῇ φαντασίᾳ, καθάπερ καὶ τῇ ἀληθείᾳ ἔχει, τὸ ἔγγιον ἔγγιον, τὸ ἀπώτερον ἀπώτερον.

ι΄.

Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κυρτῶν ἐνόπτρων, καθάπερ ἐστὶν ἀληθῶς, καὶ φαίνεται.

ἔστω μῆκος τὸ Ε∠, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἔνοπτρον δὲ κυρτὸν τὸ ΑΓ, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, ∠. τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτά.

ια΄.

Τὰ ὕψη καὶ τὰ βάθη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων, ὅσα μέν ἐστιν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως τῶν ὄψεων, ἀνεστραμμένα φαίνεται καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις, ὅσα δέ ἐστιν ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως, καθάπερ ἔστιν, καὶ φαίνεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ, σύμπτωσις δὲ αὐτῶν ἐπὶ τὸ Ζ, ὕψη δὲ τό τε ∠Ε καὶ τὸ ΚΝ, καὶ τὸ μὲν ΚΝ ἐντὸς τῆς τοῦ Ζ συμπτώσεως, τὸ δὲ ∠Ε ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως. οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις φαίνεται τὸ 2. δὲ τό] δὲ ἐπίπεδον τό m. ἀνακλασθησῶν v. 7. τό (alt.)] τὸ δέ m. 9. ι΄] ιϚ΄ Vv. 12. ἔστω] ἔστω πλάγιον m. μὲν Κ ἐπὶ τοῦ Μ, τὸ δὲ Ν ἐπὶ τοῦ Λ ὥστε ἀνεστραμμένα φαίνεται. πάλιν ἐπὶ τοῦ ἐκτὸς τῆς συμπτώσεως ὕψους φαίνεται τὸ μὲν ∠ ἐπὶ τοῦ Η, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Θ, ὡς ἔχει, οὕτως φαίνεται.

πάλιν βάθος μὲν τὸ ∠Ε καὶ ΚΘ, ἔνοπτρον δὲ κοῖλον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Ζ. οὐκοῦν ἐκβληθεισῶν τῶν ὄψεων ὁμοίως τὰ μὲν Κ, Θ φαίνεται ἀνεστραμμένα, τὸ μὲν Κ κατὰ τὸ Γ, τὸ δὲ Θ κατὰ τὸ Α, καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις, τὰ δὲ ∠, Ε, καθάπερ καὶ ἔστιν, τὸ μὲν Ε κάτω κατὰ τὸ Α, τὸ δὲ ∠ ἄνω κατὰ τὸ Γ.

ιβ΄.

Τὰ πλάγια μήκη ἀπὸ τῶν κοίλων ἐνόπτρων, ὅσα μὲν ἐντὸς τῆς συμπτώσεως κεῖται τῶν ὄψεων, καθάπερ 1. τοῦ (utrumque)] τό M. ἀντεστραμμένα M. 3. τοῦ τό M. 4. τοῦ] τό M. ὡς] ὥστε ὡς m, ὡς οὖν M. οὕτως οὕτω m, οὕτω καί M. 5. ιη΄ Vv. πάλιν — 12. Γ] καὶ ἐπὶ τῶν βαθῶν ὁμοίως ἡ αὐτή ἐστιν ἀπόδειξις m. 6. ΑΓ] Α∠ M. 9. Γ] ∠ M. 11. ἔτι M. Α] Η M. 13. ιβ΄] ιθ΄ Vv. 15. κεῖται] θεωρεῖται M. τῶν ὄψεων κεῖται m. ἔστιν, οὕτω καὶ φαίνεται, ὅσα δʼ ἐκτός, ἀντεστραμμένα.

ἔστω γὰρ μήκη μὲν πλάγια τὰ Ε∠, ΘΚ, κοῖλον δὲ ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι καὶ συμπίπτουσαι κατὰ Η τὸ αἱ ΒΑ∠, ΒΓΕ, καὶ τὸ μὲν ΘΚ πλάγιον μῆκος ἔστω ἐντὸς τῆς συμπτώσεως τῆς Η, τὸ δὲ ∠Ε ἐκτός. οὐκοῦν τὰ μὲν Θ, Κ κατὰ φύσιν φαίνεται, καθάπερ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις καὶ κυρτοῖς ἐνόπτροις, τὰ δὲ Ε, ∠ ἀντεστραμμένα· τὸ μὲν γὰρ ∠ ἐπὶ τοῦ Α φαίνεται, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Γ.

ιγ΄.

Δυνατόν ἐστι διὰ πλειόνων ἐνόπτρων ἐπιπέδων ἰδεῖν τὸ αὐτό.

ἔστω, ὃ δεῖ ὀφθῆναι, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἔνοπτρα δὲ τρία τὰ Γ∠, ∠Ε, ΕΖ. ἤχθω δὴ κάθετος ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ∠ ἔνοπτρον ἡ ΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ. καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ ΕΖ κάθετος ἡ ΑΖ, καὶ τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ∠Ε ἔνοπτρον κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἔστω τῇ ΘΚ ἴση ἡ ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Σ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜΞΣ, ἀπὸ δὲ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Θ ἡ ΜΡΘ, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΑΡ, ΒΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΓΣ, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Γ γωνίαι, δύο δὴ αἰ ΒΓ, ΓΦ δυσὶ 5. Η] Ν v. ΒΑ∠] ΑΒ, Α∠ M. 7. τά] τό m. 9. τά] φαίνεται γὰρ τὸ μὲν Θ κατὰ τὸ Α, τὸ δὲ Κ κατὰ τὸ Γ, τό m. ἀντεστραμμένον m. 11. ιγʹ] κ΄ V v. 12. ἐστιν v. 16. ἴση — τῇ] καὶ τῇ ΒΓ ἴση ἔστω ἡ m. 17. ἀπό] ἐπί v. τοῦ] corr. ex τό v. Α] postea ins. m. τό] τήν M. ΕΖ] ΖΕ ἔνοπτρον m. κάθετος ἤχθω m. 18. ἴση ἔστω m. ∠Ε] in ras. m. 19. ἔστω] om. m. ἡ (alt.)| ἔστω ἡ m, τῇ v. 20. ἐπιζεύχθω M. ΛΜΞΣ] ΛΜΣΞ M. 21. τό] τόν M v, ταῖς ΣΓ, ΓΦ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΦ ὀρθὴ οὖσα γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Σῶ ὀρθῇ οὔσῃ ἴση ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν πρὸς τῷ Β γωνία τῇ πρὸς τῷ Σ, ἡ δὲ γωνία τῇ Τ. ἀλλʼ ἡ Τ τῇ Ν ἐστιν ἴση· κατὰ κορυφὴν γάρ· ὥστε ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Ν γωνία τῇ Ξ. ἡ ἄρα ΒΞ ὄψις ἀνακλασθήσεται ἐπὶ τὸ Μ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ Κ Λ, καὶ ὀρθαὶ δὲ αἱ πρὸς τῷ Κ, ἴση ἐστὶν ἡ Ο γωνία τῇ Π. ἀνακλᾶται ἄρα ἡ. αὐτὴ ὄψις ἡ ΒΞΜ ἐπὶ τὸ Ρ διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐπὶ τὸ Α διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΡΑ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΕΡΜ ὁμοίως ταῖς λοιπαῖς ἀποδείξεσιν. ὁρᾷ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις τὸ Α διὰ τῶν τριῶν ἐνόπτρων ὄντων ἐπιπέδων τῶν Γ∠, ∠Ε, ΕΖ.

ιδ΄.

Ἔστι δὲ καί, διʼ ὅσων ἄν τις ἐπιτάξῃ ἐνόπτρων ἐπιπέδων, ἰδεῖν τὸ αὐτό· δεῖ δὲ κατὰ τὸν ἀριθμὸν τῶν ἐνόπτρων πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον συνίστασθαι δυσὶ πλείους ἔχον πλευρὰς τῶν ἐνόπτρων.

ἔστω γάρ, ὃ μὲν ὀφθῆναι δεῖ, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον δύο πλευρὰς, 1. ΣΓ, ΓΦ] ΓΣ, ΣΦ M. ΓΦ] ΓΞ m. 2. ΒΓΦ] ΒΓΞ m. ὀρθή ὀρθῇ] ante θ ras. 1 litt V. ΣΓΦ] ΣΓΞ m. 3. ἐστί M m γωνίαι] γωνίαις M 4. ὑποτίνουσιν V. 5. τῷ (pr.)] corr. ex τό m, τό v. τῷ (alt.)] τό v. 6. Ξ] Φ m. Τ (alt.) — ἴση] Τ γωνία τῇ Ν ἴση ἐστί m. 7. ἐστίν Vv. Ξ] Φ m. 9 δέ] om. m. 10. τῷ] τό v. Κ] Κ γωνίαι m. 11 ΒΞΜ] ΒΞ M. 14 Β] e corr m. τριῶν] M. 16. ιδʹ] κα΄ Vv. 17 ἔπτιν V. ἐπιτάξῃ πλείους ἔχον τῶν ἐνόπτρων καὶ ἔστω τὸ ΑΒ∠ πολυγώνιον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ γραφομένου περὶ τὸ πολύγωνον τὸ Θ, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΘΕ, Θ∠, ΘΒ, ΘΑ ἐπὶ τὰς γωνίας, καὶ προσκείσθωσαν ἔνοπτρα ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ταῖς ἐπεζευγμέναις. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Ζ Λ γωνία τῇ ΝΚ ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα· ὧν ἡ Ν τῇ Λ ἴση ἐστίν, λοιπὴ ἄρα ἡ Ζ τῇ Κ ἴση ἐστίν. ὥστε ἡ ἀνάκλασις τῆς ΒΓ ὄψεως ἐπὶ τὸ ∠ ἔσται· διὰ γὰρ ἴσων γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίνονται. ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ πρὸς τοῖς ∠, Ε σημείοις γωνίαι ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς ἐνόπτροις. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ὄμματος ὄψις ἀνακλωμένη καὶ προσπεσοῦσα πρὸς πάντα τὰ ἔνοπτρα ἥξει ἐπὶ τὸ Α.

ιε΄.

Ἔστι δὲ καὶ διὰ κυρτῶν ἐνόπτρων καὶ διὰ κοίλων ἰδεῖν τὸ αὐτό.

ἔστω γάρ, δεῖ ἰδεῖν, τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ὁμοίως ἀναγεγράφθω πολύγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε καὶ πρὸς τοῖς Γ, ∠, Ε σημείοις ἔστω ἔνοπτρα ἐπίπεδα, ἀφʼ ὧν ὁρᾶται τὸ Α, καθάπερ δέδεικται, καὶ προσκείσθω τούτοις κοῖλα ἢ κυρτὰ ἒνοπτρα 1. ἔχων v, sed corr. τῶν] τῶν ἐπιταχθέντων m. καί — πολυγώνιον] τὸ ΑΒΓ∠Ε m. 2. γραφομένου] om. m. 3. περί] ἐπί M v. πολύγωνον — αὐτοῦ] ΑBΓ∠Ε πολύγωνον περιγραφομένου καὶ ἔστω τὸ Θ καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου πρὸς τὰς τοῦ AΒ Γ∠Ε πολυγώνου γωνίας m. πολύγωνον] πολυγώνιον M, V, sed corr. 4. αἱ] εὐθεῖαι αἱ M. Θ Α, Θ Β, ΘΓ, Θ ∠, Θ Ε m. ἐπὶ τὰς γωνίας] om. m. 6. ἐπιζευγμέναις V v; Θ Θ∠, ΘΕ m. 7. ΝΚ] Κ M. ΚΝ m. 9 ∠ ἔσται] δκ M. 12. ὄμματος] V, om. M m v. 13 προσπεσοῦσα] προσπίπτουσα m. 15. ιεʹ] κβ΄ V v, 16. ἐνόπτρων — κοίλων] κατὰ τὰς ἁφὰς τῶν ὄψεων. οὐκοῦν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ζ τῇ Θ, ἡ δὲ Κ τῇ Λ ὅλη ἄρα ἡ ΚΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΘΛ. ἀνακλασθήσεται ἄρα ἡ ὄψις ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τοῦ Γ ἐπὶ τὸ ∠ καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Ε καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Α. φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ κυρτῶν ἢ κοίλων ὄντων ἀπάντων καὶ ἀναμεμιγμένων ἔστιν ἰδεῖν τὸ αὐτό.

ις΄.

Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου κάθετον ὁρᾶται.

ἔστω ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ Γ∠, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὁρώμενον δὲ τὸ Α, καὶ ἔστω κάθετος ἡ ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον ἡ ΑΓ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ Γ οὐχ ὁρᾶται τὸ Α, τὸ Α ἄρα ὀφθήσεται ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ. ἀλλὰ δὴ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ Β∠ ὄψει· κατὰ τὸ Ε ἄρα· ὑπέκειτο γὰρ ἡμῖν τὸ εὐθύ, οὗ τὸ μέσον τοῖς ἄκροις ἐπιπροσθεῖ· ὥστε εὐθεῖα ἔσται ἡ ΑΕ καὶ ἡ ΒΕ.

ιζ΄.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.

ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ Γ∠, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψις 2. ἡ (pr.)] eras. v. ἴση — 3. ΘΑ] ὅλῃ τῇ ΛΘ ἴση ἐστίν m. 2. ἐστίν Vv. 5. καί ( alt.)] om M v m. 6. καί] ἤ m. ἀναμεμιγμένον m, sed corr.; ἀναμεμηγμένων v, sed corr. 8. ιϛ΄] κγ΄ V v. 10. τοῦ] τῶν M. 13. ὑπέκειτο] ὑπόκειται m. 14. φαινομένοις] ὅροις m. 16. ΑΓ ∠ M m. Β∠] Β Α M m. 17. κατά] μετά M. ἄρα] om. m. ὑπέκειτο] ὑπόκειται m. δὲ ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Α, καὶ ὁράσθω τὸ Α, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ὄψις ἐπὶ τὸ Ε. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ Γ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται, ὀφθήσεται ἄρα ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΓ κατὰ τὴν σύμβασιν τῆς Β∠ ὄψεως καὶ ~~ἀπὸ~~ τῆς ΑΓ ἐπὶ τοῦ Ε, καθάπερ ἐπὶ τοῖς ἐπιπέδοις.

ιη΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ Γ∠, ὄψις δὲ ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Α ὁρώμενον, τῆς δὲ σφαίρας κέντρον ἔστω τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ε ἐπεζεύχθω εὐθεῖα καὶ ἐκβεβλήσθω. οὐκοῦν ἐπεὶ ὑπέκειτο ἐν τοῖς φαινομένοις, ὅτι καταληφθέντος τοῦ τόπου τοῦ ∠ τὸ Α οὐχ ὁρᾶται, ὥστε φαίνεται ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΕ, ὀφθήσεται ἄρα κατὰ τὴν συμβολὴν τῆς Α∠ εὐθείας καὶ τῆς ΒΓ ὄψεως κατὰ τὸ Ζ.

ιθ΄.

Ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐνόπτροις τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἴσον τῷ ὁρωμένῳ, καὶ τὸ ἀπόστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἴσον ἐστίν.

1. Α (alt.)] ΑΕ m, ∠Ε M. 4 ὑπέκειτο] ὑπόκειται m. φαινομένοις] ὅροις m. 5. οὐχ ὁρᾶται τὸ Α m. 6. τῇ] τῆς Vv. τήν] om. M. ἀπό] om. m. 7. ἐπί (alt.)] ἐν Mm. 8. ιηʹ] κε΄ Vv. 12 Γ∠] ΑΓ M, Γ∠ ὄμμα δὲ τὸ Ε m. 14. εὐθεῖα] εὐθεῖα ἡ ΑΕ m. 15. ὑπόκειται ἐν τοῖς ὅροις m. 17. φαίνεσθαι M e corr. m. 2 V. τῇ] τῆς V M v m. 19. κατά] ἤτοι κατά m. 20 ιθʹ] κϚ΄ Vv. 22 ἴδωλον V. 23. τό (pr.)]

ἔστω ἐπίπεδον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ Ε, ∠, ὁρώμενον δὲ ἔστω τὸ Ε ∠, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, ∠ ἐπὶ τὸ ἔνοπτρον κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ε Ζ, ∠Θ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθωσαν δὲ καὶ αἱ ΒΓ, ΒΑ ὄψεις καὶ συμπιπτέτωσαν ταῖς καθέτοις κατὰ τὰ Κ, Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΚ. οὐκοῦν φαίνεται τὸ μὲν Ε ἐπὶ τοῦ Κ, τὸ δὲ ∠ ἐπὶ τοῦ Λ· τοῦτο γὰρ προεδείχθη. τὰ ἄρα ἀριστερ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά. καὶ ἐπεὶ ἴσ ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΙΕ, κ εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ, ἴση ἂν εἴη καὶ ἡ ΖΚ τ ΖΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Θ τῇ ΘΑ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπόστημα, ὃ ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ Ε∠, τῷ, ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ Κ Λ. καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠ τῷ εἰδώλῳ τῷ Κ Λ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΕΖ τῇ ΖΚ, τὴν δὲ ∠Θ τῇ ΘΛ, κοινὴν δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΖ.

κ΄.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ φαίνεται καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερά, καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον ἔχει.

ἔστω ἔνοπτρον κυρτὸν τὸ ΑΓ, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεῖς δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ 2. ὁρώμενον — 3. Ε∠] om. m. 4. κάθετος V, corr. m. 2. 5. ΒΓ, ΒΑ] ΕΖ, ΒΓ, Β M. 6. ταῖς] τοῖς M, ταῖς ∠Λ, ΕΚ m. 10. τῶν ΚΓΖ] ΓΚΖ m. τῶν (alt.)] om. m. ΖΓΕ| corr. ex ΞΓΕ v; ΒΑΕ, supra scr. ΓΖ, M. 11. τῷ] τό v. ἴση] ἴση ἄρα M v m. ἂν εἴη] ἔσται m. 12. καί] δὴ καί m. ΘΛ] corr. ex ΘΑ m. 2 V, corr. ex ∠Λ M. 13. ὅ (alt.)] ᾧ v m supra scr. m. rec. V. 14. τό (quart.)] τῷ M, V, sed corr. 15. εἰδώλῳ] ὁρωμένῳ M. 16. ∠Θ] Θ∠ m. 18. κʹ] κζ΄ V. 20. ἀπό — 21. ἔχει] ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλοι ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου, ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀποστήματος, οὗ ἀπέχει τί. ἀνακλώμεναι ἐπὶ τὰ ∠, Ε, ὁρώμενον δὲ τὸ ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ κέντρου ἤχθωσαν ἐπὶ τὰ ∠, Ε αἱ Θ∠, ΘΕ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ὄψεις ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἐπεζεύχθω τὸ ΖΗ εἴδωλον. οὐκοῦν τὸ μὲν ∠ φαίνεται ἐπὶ τοῦ Η, τὸ δὲ Ε ἐπὶ τοῦ Ζ. τὰ ἄρα δεξιὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιά. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς περιφερείας ἡ ΡΑΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΑ, ΑΕ πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσας ποιοῦσι γωνίας διὰ τὴν ἀνάκλασιν, ἐφάπτεται δὲ ἡ ΚΑΡ δίχα ἂν εἴη τετμημένη ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΖ γωνία. καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ Κ γωνία· μείζων ἄρα ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ πολλῷ μᾶλλον ἡ ΕΛ τῆς ΛΖ. ἔλασσον ἄρα ἀπέχει τὸ εἴδωλον τὸ ΖΗ ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου, μεῖζον δὲ τὸ ὁρώμενον τὸ Ε∠.

κα΄.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὸ εἴδωλον ἔλασσόν ἐστι τῶν ὁρωμένων.

ἔστω γὰρ κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΟΓ, ὄμμα δὲ τὸ Β, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΒΑ, ΒΓ ἐπὶ τὰ ∠, Ε. οὐκοῦν 1. τά] m, τό V Mv. ὁρώμενον — ∠Ε] om. m. 2. Θ∠] Θ e corr. M m. 3. αἱ] αἱ ΒΓ, Β Α m. Ζ, Η] Η, Ζ m. 4. τοῦ] τό M. 5. τοῦ] τό V? 6. ὅτι] δὴ ὅτι m. μεῖζον v. 7. Α] corr. ex m. ἐφαπτομένου M. περιφερείας] σφαίρας m. 8. Α Ε] Ε V. τὴν περιφέρειαν] τῇ περιφερείᾳ m. 9. ποιοῦσιν V v. γωνίας ποιοῦσι m. 10 τεταγμένη v. τῶν] om. m. 11. ΕΑΖ] ΑΕΖ M. καί] ὑπὸ τῆς Κ εὐθείας m. ἐστιν — γωνία] δὲ ἡ ὑπὸ ΕΚΑ, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΑΚΖ m. μεῖζον v. 12. μᾶλλον] ἄρα μείζων m. ΕΛ] corr. ex Ε∠ V. 13. ἔλαττον M. ΖΗ] ΖΝ v. 14. μεῖζον — Ε ∠] ἤπερ τὸ Ε∠ ὁρώμενον m. Post Ε∠ add ὡς ἐξῆς τοῦτο δείκνυται M v. 15. καʹ] κη΄ V v. 16. ἐν — 17. ὁρωμένων] καὶ ὁμοίως δειχθήσεται, ὅτι καὶ τὸ ∠ Ε ὁρώμενον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΗΖ εἰδώλου m. 16. ἐστιν Vv. 19. ΒΑ, ΒΓ] ΒΓ, ΒΑ m. ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου θεωρεῖται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. παρακείσθω δὴ ἔνοπτρον ἐπίπεδον τὸ ΑΓ ἁπτόμενον τῶν ὄψεων κατὰ τὰ Α, Γ. οὐκοῦν ἡ ὄψις ἡ μέλλουσα ἰδεῖν τὸ Ε ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου οὐκ ἔστιν ἡ ΒΑΕ· οὐ γὰρ ποιεῖ γωνίας ἴσας πρὸς τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ. οὐδὲ μὴν κλασθήσεται μεταξὺ τῶν Α, Γ. κεκλάσθω γάρ, εἰ δυνατόν, καὶ ἔστω ἡ ΒΖΕ ὄψις. ἴση ἄρα ἡ Η γωνία τῇ Θ διὰ τὴν ἀνάκλασιν. ἡ δὲ Θ μείζων τῆς ΝΙ, ἡ δὲ Μ τῆς Η· ὥστε καὶ ἡ Μ τῆς ΝΙ μείζων ἐστίν· ὅπερ ἀδύνατον. αὐτὴ γὰρ ἡ Ι μείζων τῆς Μ ἐστιν· ἴση γάρ ἐστιν ὅλῃ τῇ πρὸς τῇ περιφερείᾳ. ἐκτὸς ἄρα ἀνακλασθήσεται τοῦ Α. κεκλάσθω καὶ ἔστω ἡ ΒΚΕ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΒΛ∠ πεσεῖται ἐκτός. τὸ ἄρα Ε∠ ὑπὸ μείζονος γωνίας θεωρεῖται ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου ἐνόπτρου τῆς περιεχομένης ὑπὸ ΚΒΛ ἤπερ ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ. ἴσον δὲ ἐδείχθη φαινόμενον ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐνόπτρῳ. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ ἐνόπτρου τὸ εἴδωλον ἔλασσον φαίνεται τοῦ ὁρωμένου.

1. ἐνόπτρου] ἐνόπτρου τοῦ ΑΟΓ m. 2. ΑΕΓ] Α in ras. V. 3. τά] τὸ M. 4. ἡ (alt.)] om. V M v m. μέλλουσα] lacum. M. Ε] mut. in Ε∠ m. 2 V. 5. ἔστιν ἡ] ἔσται ἧ αὐτὴ τῇ m. 7. κεκλίσθω M m. 8. ἄρα] ἄρα ἐστίν m. Η] ὑπὸ ΒΖΓ m. Θ] ὑπὸ ΒΖΑ γωνίᾳ m. 9. Θ] ὑπὸ ΒΖΓ, postea add. γωνία, m. μεῖζον v, μείζων ἐστί m. ΝΙ] V v, ὑπὸ ΒΑΖ m, Ν M. ἡ δέ — 12. περιφερείᾳ] καὶ ἡ ὑπὸ ΒΖΑ ἄρα (supra scr. m. 1) γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον m. 10. Η] Ν M v. ΝΙ] Ν V? M. μεῖζον v. 11. Ι] Ν M. μεῖζον v. τῆς] τοῦ M. 12. ἐκτός] ἐντός M. 14 ὁμοίως] μ V. δέ] om. M. ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ Γ m. 16. τῆς — ΚΒΛ] om. m. 17. ἴσον — 18. ἐνόπτρῳ] μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΒΛ τῆς ὑπὸ ΑΒΓ καί m.

κβ΄.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις ἀπὸ τῶν ἐλασσόνων ἐνόπτρων ἐλάσσονα φαίνεται τὰ εἴδωλα.

ἔστω σφαῖρα μείζων μὲν ἡ ΑΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ ΕΛ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Θ, ὄμμα δὲ τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΑΘ, καὶ ἀπὸ τῆς σφαίρας ἀνακεκλάσθω ὄψις ἡ ΒΓ∠. λέγω, ὅτι ἡ ἀνακλασθησομένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ ∠ οὔτε διὰ τοῦ Γ πεσεῖται οὔτε ἐκτὸς τοῦ πιπτέτω γὰρ πρότερον, εἰ δυνατόν, διὰ τοῦ Γ καὶ ἀνακεκλάσθω ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπὶ τὸ ∠ καὶ ἔστω ἡ ΒΕ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Κ. δίχα δὴ τεμεῖ ἡ ΘΓΚ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓ∠ γωνίαν διὰ τὸ τὴν ΒΓ∠ ἴσας ποιεῖν γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὴν ἀνάκλασιν. διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζευγνυμένη καὶ ἐκβληθεῖσα δίχα τεμεῖ τὴν ὑπὸ ΒΕ∠. τεμνέτω καὶ ἔστω ἡ ΘΕΖ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ ΒΕ∠, καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΚ τῆς ὑπὸ ΒΕΖ. ἔστι δὲ καὶ ἐλάσσων· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἥξει διὰ τοῦ Γ ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας.

1. κβʹ] κθ΄ V v. 4. μείζων v. 6. Β ΑΘ] B e corr. m, ΒΘ M. τῆς] τῆς Α m. 8. τῆς] om. M. ἐλάττονος M, λε m. 9. γάρ] supra scr. m. 10. ἐλάσσονος] ελ m. 11 ἐπεζεύχθω — 12. Γ] ἐπιζευχθεῖσα (-α e corr.) ἡ ΒΓ m. 12 καί] om. m. 13. τῶν] om. M m. 14. τό] supra scr. m. ΒΓ∠ ὄψιν m. 15 δέ] δή M. 16. καί] εὐθεῖα καί m. ἐκβληθεῖσα] ἐκβαλλομέμη m. 17. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. μεῖζον v. 18. περιεχομένη] om. m. τῶν] om. m. ΒΓ∠ γωνία m. 19. ἡ ὑπὸ ΒΓΚ τῆς ἡμισείας τῆς ὑπὸ ΒΕΖ m. ἡ (alt.) — 20. ΒΕΖ] om. m. 20. ἔστιν V v. ἐλάττων M.

ὑποκείσθω δὲ πάλιν τὰ αὐτά, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΕ∠ ἐκτὸς πιπτέτω τοῦ Γ, καὶ τεμνέτω ἡ ΒΕ τὴν μείζονα σφαῖραν κατὰ τὸ Ζ. ἡ δὴ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνακλωμένη ὄψις ἡ ΒΖΚ οὐ συμπεσεῖται τῇ Γ∠ τοῦτο γὰρ δέδεικται. τῇ ἄρα Ε∠ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ. ἡ ἄρα ΒΖΚ ὄψις ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ μείζονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ Κ, καὶ ἡ αὐτὴ ἡ ΒΕΚ ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ὁρᾷ τὸ αὐτὸ Κ· τοῦτο δὲ ἐπάνω ἐδείχθηἀδύνατον. μεταξὺ ἄρα πεσεῖται τῶν Γ Α ἡ ἀνακλωμένη ὄψις ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἐπὶ τὸ ∠. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου μέρους τὸ αὐτὸ ποιοῦσα. ὑπὸ ἐλάσσονος ἄρα γωνίας θεωρεῖται τῆς πρὸς τῷ Β γιγνονένης ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου ἤπερ ἀπὸ τοῦ μείζονος. ἔλασσον ἄρα φαίνεται τὸ εἴδωλον ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος ἐνόπτρου.

κγ΄.

Ἐν τοῖς κυρτοῖς ἐνόπτροις τὰ εἴδωλα κυρτὰ φαόνεται.

1. δέ] δή m. ἐλάττονος M, ελ m. 3. μείζονα] ΑΓ m. 4. Ζ (utrumque)] Ν m. 5. ΒΖΚ| ΒΖΕ M, ΒΝΞ m. 8 Ε∠] corr. ex ΕΛ m. 2 V, Ε∠ συμπεσεῖται ἡ ΝΞ m. 9. Κ]

ἔστω κυρτὸν ἔνοπτρον τὸ ΑΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ὄψεις δὲ ἀνακλώμεναι αἱ ΕΑ, ΕΓ ἐπὶ τὰ ∠, Β, ἡ δὲ ΖΕ ἀνακλωμένη διʼ ἑαυτῆς ἐπὶ τὸ Ε. οὐκοῦν τῶν ὄψεων μέγισται μέν εἰσι τῷ μήκει αἱ πορρωτάτω, ἐλάχισται δὲ αἱ κατὰ μέσον, ὥσπερ ἡ ΕΖ. φαίνεται ἄρα τοῦ ἐνόπτρου ἔγγιον μᾶλλον τὸ Ε, πορρωτάτω δὲ τὸ Β καὶ τὸ ∠. ὥστε ὅλον κυρτὸν φαίνεται.

κδ΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τοῦ κέντρου τὸ ὄμμα τεθῇ, αὐτὸ μόνον φαίνεται τὸ ὄμμα. ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ ∠, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ Β, ὄψεις δὲ αἱ ΒΑ, ΒΓ, Β∠. οὐκοῦν ἴση ἡ Ε γωνία τῇ Ζ. ἥξει ἄρα ἀνακλωμένη ἡ ΒΓ ὄψις ἐπὶ τὸ Β. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ λοιπαί. αὐτὸ μόνον ἄρα ὁρᾶται τὸ Β.

κε΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς περιφερείας θῇς τὸ ὄμμα ἢ ἔξω τῆς περιφερείας, οὐ φαίνεται τὸ ὄμμα.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓΒ, καὶ τὸ ὄμμα κείσθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τὸ Β, ὄψεις δὲ προσπιπτέτωσαν αἱ ΒΑ, ΒΓ καὶ ἀνακεκλάσθωσαν. οὐκοῦν μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΜΘ γωνία τῆς Κ, ἡ δὲ ΕΛ τῆς Ζ. 2. ΕΑ] ΕΛ M. 3. ἑαυτῆς] αὐτῆς M. 4. εἰσιν V v. αἱ] corr. ex ε v. πορρωτάτω τοῦ μέσου m. 5. κατά] κατὰ τό m. ἡ ΕΖ] corr. ex ἡ ΕΞ v, ἐνταῦθα μέγισται μέν εἰσιν αἱ ∠Α, ΒΓ ἐλαχίστη δὲ ἡ ΕΖ m. 8. κδʹ] λα΄ V v. 9. τοῦ κέντρου] τὸ κέντρον M. 12. ἴση] ἴση ἐστίν m. 14 λοιπαί] Β Α καὶ B∠ ὄψεις ἐπὶ τὸ B ἥξουσιν m. 16. κεʹ] λβ΄ V v. 18 θῇς] ὥστε οὐκ ἀνακλασθήσονται αἱ ΒΑ, ΒΓ ὄψεις ἐπὶ τὸ Β ὄμμα. εἰς τὸ ὄμμα δὲ εἰ ἀνεκλῶντο, ἴσαι ἂν αἱ γωνίαι πρὸς τοῖς Α, Γ ἐγίγνοντο. δειχθήσεται δέ, κἂν ἐκτὸς τῆς περιφερείας γένηται τὸ ὄμμα, τὰ αὐτὰ συμβαίνοντα, τουτέστι τὸ μὴ ὁρᾶσθαι τὸ ὄμμα διὰ τὸ τὰς ἀνακλάσεις μὴ γενέσθαι ἐπʼ αὐτό.

κϚ΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐκβαλὼν διάμετρον τῆς σφαίρας ἐκ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀναγάγῃς καὶ εἰς τὸ ἕτερον μέρος θῇς τὸ ὄμμα, οὐδὲν τῶν ἐν τῷ αὐτῷ μέρει, ἐν τὸ ὄμμα ἐστίν, ὀφθήσεται, τουτέστιν οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἔστω τῆς σφαίρας ἡ Α∠, καὶ τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ ἡ ΖΓ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β, ὄψις δὲ ἡ ΒΕ. οὐκοῦν ἡ ΒΕ ἀνακλωμένη οὐχ ἥξει οὔτε ἐπὶ τὸ Β οὔτε ἐπὶ τὸ Ζ· ἐν γὰρ ἴσαις γωνίαις ἀνακλᾶται. ἥξει ἄρα ὡς ἡ ΕΘ. ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν ἐντὸς ἐμπέσῃ τὸ ὄμμα, ὅπου τὸ Θ, ἢ ἐπὶ τῆς διαμέτρου, ὅπου τὸ Μ, ἀνακλώμεναι αἱ ὄψεις αἱ ΘΚ, ΜΝ ἥξουσιν ὡς αἱ ΚΛ, ΝΞ. οὐκ ἄρα ὁρᾶται οὐδὲν τῶν ἐν 1. ὄψεις] om. m. 2. εἰς — εἰ] εἰ γὰρ εἰς τὸ ὄμμα m. δέ] scr. γάρ. ἄν] om. V M v. αἱ] om. M. αἱ — 3. ἐγίγνοντο] ἐγίγνοντο αἱ πρὸς τοῖς Α, Γ σημείοις γωνίαι· οὐκ εἰσὶ δὲ ἴσαι. οὐδʼ ἄρα αἱ ΒΑ, BΓ ὄψεις ἐπὶ τὸ Β ὄμμα ἀνακλῶνται m. 4. γένηται] τεθῇ m. 5. τουτέστιν V v. διά — 6. αὐτό] ὑπὸ πασῶν τῶν ἀνακλωμένων ὄψεων εἰ μὴ ὑπὸ μόνης τῆς διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένης m. 6. γίνεσθαι M. 7. κϚʹ] λγ΄ V v. 10. εἰς] mut. in ἐπί M. 12. οὔτε (pr.)] οὔτε τι m. διαμέτρου] o ÷ ο M, ut saepe. 15. καί] κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ m. 16. ἀπό — Ζ] om. m. 17. ὄψεις V, V, sed corr. m. 2. 20. ἐμπέσει v, τεθῇ m. τῷ αὐτῷ μέρει, ὅπου ἐστὶ τὸ ὄμμα, οὔτε τῶν ἐπὶ τῆς διαμέτρου οὔτε τῶν ἐκτὸς τῆς διαμέτρου.

κζ΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν ἐπὶ τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων ὀφθήσεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἡ Α∠, κέντρον δὲ τὸ Ζ, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἡ ΖΓ, ὄμματα δὲ τὰ Β, Ε ἴσον ἀπέχοντα τοῦ κέντρου, ὄψις δὲ ἡ ΒΓ. οὐκοῦν ἀνακλωμένη ἥξει ἐπὶ τὸ Ε· ἐν ἴσαις γὰρ γωνίαις ἀνακλᾶται. ἄλλη δὲ οὐδεμία ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε. εἰ γὰρ ἥξει ὡς ἡ ΒΘ, ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΘΖ· δίχα ἄρα τμηθήσεται ἡ ὑπὸ ΒΘΕ ὑπὸ τῆς ΖΘ, καὶ ἀνάλογον ἔσται ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΕ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ· ὅπερ ἀδύνατον· ἡ μὲν γὰρ ΒΘ μείζων ἐστὶ τῆς ΘΕ, ἡ δὲ ΒΖ ἴση τῇ ΖΕ. οὐδεμία ἄρα ἥξει ἀνακλωμένη ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ε. μία ἄρα ὄψις μόνον ἀνακλασθήσεται ἐφʼ ἑκατέρου τῶν Β, Ε ὀμμάτων, καὶ οὐκ ὀφθήσεται τὸ Ε· οὐ γὰρ συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ἐκβαλλομένη τῇ Β∠ ἐπὶ τὰ Γ, ∠ μέρη, ἐφαίνετο δὲ ἕκαστον κατὰ τὴν συμβολὴν μόνον τῶν ὁρωμένων· οὐδὲ ἡ ΕΓ οὐ μὴ συμπέσῃ τῇ ΕΑ ἐπὶ τὰ Γ, Α μέρη· ἐν γὰρ τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἕκαστον τῶν ὁρωμένων κατὰ τὴν ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου εἰς τὸ κέντρον τῆς σφαίρας ἀγομένην εὐθεῖαν ὁρᾶται.

1. ἐστίν V. v. οὔτε] οὔτε τι m. 3. κζ΄] λδ΄ V v. 5. τὰ ὄμματα] τὸ ὄμμα M. 9. τὰ Β] e corr. M. τοῦ] τοῦ Z m. 11. ἀνακλωμένη — 12. ἥξει] om. M v m. 12. ἡ] postea add. m. 14. BΘΕ] ΒΘΕ γωνία m. ΖΘ] ΖΘ εὐθείας m. ἔσται] ἐστιν M. 15. ΘΕ] τὴν ΘΕ M m. ΖΕ] τὴν ΖΕ M m. 16. ἐστίν V. ΖΕ] ΕΖ M. 18. μόνον] om. Mm.

κη΄.

Ἐν τοῖς κοίλοις ἐνόπτροις ἐὰν τὴν ἐκ τοῦ κέντρου δίχα τεμὼν καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγὼν θῇς τὰ ὄμματα ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, θῇς δὲ ἢ ἀνὰ μέσον τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἢ ἐπʼ αὐτῆς τῆς πρὸς ὀρθάς, οὐδέτερον τῶν ὀμμάτων φαίνεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΓ∠, διάμετρος δὲ ἡ Α∠, κέντρον δὲ τὸ Κ, καὶ ἡ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΚΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Π, πρὸς ὀρθὰς δὲ αὐτῇ ἔστω ἡ ΕΠΖ, καὶ ὄμματα τὰ Β, Θ μεταξὺ κείμενα τῆς τε διαμέτρου τῆς Α∠ καὶ τῆς ΕΖ ἐν παραλλήλοις ταῖς ΕΖ, ΒΘ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ΚΓ, ὄψις δὲ ἔστω ἡ ΒΓ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Θ ἴσας γὰρ ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ περιφερείᾳ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΖΕ τῇ ΒΘ καὶ ἴσην τὴν ΒΝ τῇ ΝΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΒ, ΚΘ ἐκβεβλήσθωσαν, ἐκβεβλήσθω δὲ καὶ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Φ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Β Κ, μείζων ἐστὶν ἡ Ρ γωνία τῆς Ι. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΘ μείζων τῆς ὑπὸ ΘΒΚ, τουτέστι τῆς ὑπὸ ΒΘΚ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ τῇ ΚΘ. οὐκ ἄρα ὀφθήσεται τὸ Θ κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν φαίνεται τῶν ΒΓ, ΚΘ.

ἔστω πάλιν τὰ αὐτὰ τῇ ἐπάνω, τὰ δὲ Β, Θ ὄμματα ἔστωσαν ἐπὶ τῆς δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τεμνούσης τὴν 1. κηʹ] λε΄ Vv. 3. δίχα] πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ διαμέτρῳ δίχα m. ἀγαγών] ἀγαγὼν εὐθεῖαν m. τά] corr. ex τό m. 1 M. 4. ἴσον] μεταξὺ τῆς τε διαχθείσης καὶ τοῦ κέντρου ἴσον m. θῇς — 5. ὀρθάς] om. m. 6. πρὸς ὀρθάς] διαχθείσης m. φαίνεται] φανεῖται m. 8. ἡ (pr.)] om. m. ἡ ΚΓ δίχα] τῇ Α∠ ἡ ΚΓ καί m. 9. κατά] ἡ ΚΓ δίχα κατά m. πρός — ἔστω] καὶ διὰ τοῦ Π διήχθω τῇ ΚΓ πρὸς ὀρθάς m. αὐτῇ] αὐτῆς M v. 10. κείμενα] κείσθω m, ἠγμένα M. διαμέτρου — 11. ΕΖ (pr.)] ΕΖ καὶ τοῦ Κ κέντρου m. 13. ἴσας] corr. ex ἴας m. 2 V. 14. εἶναι] om. M. 15. ΒΝ] BΗ m. ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τῆς Α∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΒΖ, ἡ δὲ ΓΘ τῇ Ζ Θ, παράλληλος ἂν εἴη ἡ ΒΓ τῇ ΖΘ. οὐκ ἄρα συμπεσεῖται ἡ ΒΓ ὄψις τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ ὁρώμενον, τουτέστι τῇ ΖΘ, ἐπὶ τὰ Θ, μέρη. ὥστε οὐ φαίνεται τὸ Θ ὄμμα· κατὰ γὰρ τὴν συμβολὴν ἐφαίνετο τῶν ΒΓ, ΖΘ.

ἔστω πάλιν τὰ αὐτά, τῆς δὲ διχοτομίας ἀνωτέρω κείσθω τὰ ὄμματα τὰ Β, Γ ἴσον ἀπέχοντα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς Ζ Α. φημὶ δὴ φαίνεσθαι τὰ Β, Γ καὶ τὰ δεξιὰ ἀριστερὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ δεξιὰ καὶ τὸ εἴδωλον μεῖζον τοῦ προσώπου καὶ τὸ ἀπόστημα ἀπὸ τοῦ ἐνόπτρου ἔχον μεῖζον τὸ εἴδωλον. ἔστω γὰρ ἡ ΒΑ ὄψις ἀνακλωμένη, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Β, Γ αἱ ΖΒ, ΖΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ. ἐπεὶ οὖν διχοτομία ἐστὶ τὸ Ν, μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΒΑ καὶ ἡ Κ γωνία τῆς Ε. ἴση δὲ ἡ Κ τῇ ∠· μείζων ἄρα καὶ ἡ ∠ τῆς Ε. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΖΒ, ΓΑ ἐκβληθεῖσαι. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ ΒΑ, ΖΓ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Θ. ὀφθήσεται ἄρα τὸ μὲν Γ ἐπὶ τοῦ Θ, τὸ δὲ Β ἐπὶ τοῦ Π, καὶ φαίνεται τὰ μὲν δεξιὰ ἀριστερά, τὰ δὲ ἀριστερὰ δεξιά. ἀλλὰ μὴν καὶ μείζων ἡ ΘΠ τῆς ΒΙ παράλληλοι γάρ 1. ἐπί] om. m. τῆς] τά M. ἴση] ἴση ἐστίν m. 2. τῇ (utr.)] τῆς M. Post δέ del. τό v. ΖΘ] ΓΖ m. 4. τουτέστιν V, comp. v ΖΘ] ΖΘΕ M. 6 τῶν] corr. ex τω m. 1 V. 7. κθ΄ m, λζ΄ V v. 11 ἀπό] ὃ ἀπέχει τὸ εἴδωλον m. 12. ἔχον] corr. ex ἔχων v, om. m. τὸ εἴδωλον] τοῦ ἀποστήματος, οὗ ἀπέχει τὸ πρόσωπον m. 15. ἐστί] ἐστίν V v. Ν] M v m. μεῖζον v. ΒΖ] ΖΒ M m. 16. Κ (pr.)] ὑπὸ Β Α Ζ m. Ε] ὑπὸ ΒΖ m. ἡ Κ (alt.) — 17. Ε] τῇ μὲν ὑπὸ Β ΑΖ ἡ ὑπὸ ΓΑΖ, τῇ δὲ ὑπὸ ΒΖΑ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ Β ΑΓ ὅλης τῆς ὑπὸ ΒΖΓ μείζων ἐστί m. 16. τῇ] corr. εἰσιν. τὸ ἄρα εἴδωλον φαίνεται μεῖζον καὶ μεῖζον ἀπέχον τοῦ ἐνόπτρου· μείζων γὰρ ἡ ΜΑ τῆς ΑΛ.

ἐὰν δὲ ἔξω τῆς διαμέτρου τεθῇ τὰ ὄμματα, τὰ δεξιὰ φαίνεται δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ καὶ τὸ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ προσώπου καὶ ἐν τῷ ἀνὰ μέσον τοῦ προσώπου καὶ τοῦ ἐνόπτρου.

ἔστω γὰρ ὄμματα τὰ Β, Γ, κέντρον δὲ τὸ Ζ τοῦ ἐνόπτρου, καὶ τῇ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς ἔστω ἡ Α Ζ ∠, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΓ, καὶ ἴση τῇ ΒΑ ἔστω ἡ ΑΓ. καὶ ὄψις ἡ Β∠ ἀνακλωμένη ἐπὶ τὸ Γ καὶ διὰ τοῦ κέντρου αἱ ΒΖΚ, ΓΖΕ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Κ ἡ ΚΕ ἐπεζεύχθω. οὐκοῦν τὸ μὲν Β ἐπὶ τοῦ Κ φαίνεται, τὸ δὲ Γ ἐπὶ τοῦ Ε. τὰ ἄρα δεξιὰ δεξιὰ καὶ τὰ ἀριστερὰ ἀριστερὰ φαίνεται καὶ τὸ ΕΚ εἴδωλον ἔλασσον τοῦ ΒΓ προσώπου· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΕΚ τῇ ΒΓ· καὶ ἀνὰ μέσον τοῦ ἐνόπτρου καὶ τοῦ προσώπου φαίνεται τὸ εἴδωλον.

ἀναγομένου δὲ τοῦ προσώπου ἔτι ἔλασσον φαίνεται τὸ εἴδωλον. ἔστω γὰρ τὸ ΜΝ πρόσωπον τὸ αὐτὸ τῷ ΒΓ ἀφεστηκὸς ἀπὸ τοῦ ΒΓ κείμενον ὁμοίως. οὐκοῦν 1. εἰσι M m. 2. μεῖζον v. 3. λ΄ m, λη΄ V v. 4 δεξιὰ φαίνεται m. 5. ἔλαττον M. μέσον μέσῳ V v. 7. τοῦ ἐνόπτρου τὸ Ζ m. 8. Α Ζ ∠] Α∠ V, sed corr. m. 1. 9. τῇ Β ἴση m. 11. BΖΚ] ΒΖΕ M. ἀπό — ΚΕ] om. m. ἐπεζεύχθω ἡ ΕΚ m. 12. Β] Γ m. τοῦ] corr. ex τό M. Κ] Ε 15. 13. Γ] Β m. καί] φαίνεται καί m. 14. φαίνεται] om. m. 18. ἔλαττον M. 20. BΓ (alt.)] ΒΓ καί m. οὐκοῦν] ὀκοῦν V, corr. ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὸ Ζ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ἀνώτερον πεσεῖται τοῦ Κ ὡς τὸ Λ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ζ ἀνώτερον τοῦ Ε ὡς τὸ Θ. φαίνεται ἄρα τὸ ΜΝ ὡς τὸ ΘΛ. καί ἐστιν ἔλασσον τὸ ΘΛ τοῦ ΕΚ καὶ ἔγγιον τοῦ ἐνόπτρου.

κθ΄.

Δυνατόν ἐστιν ἔνοπτρον κατασκευασθῆναι ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ φαίνεσθαι πλείω πρόσωπα, τὰ μὲν μείζονα, τὰ δὲ ἐλάσσονα, καὶ τὰ μὲν ἔγγιον, τὰ δὲ πορρώτερον, καὶ τῶν μὲν τὰ δεξιὰ δεξιά, τὰ δὲ ἀριστερὰ ἀριστερά, τῶν δὲ τὰ ἀριστερὰ δεξιά, τὰ δὲ δεξιὰ ἀριστερά. ἔστω γὰρ ἐπίπεδον τὸ ΑΜ. οὐκοῦν ἐν τούτῳ γένοιτʼ ἂν κυρτὰ μὲν ἔνοπτρα οἷα τὰ ΑΟΓ, ΘΡΚ, κοῖλα δὲ οἷα τὰ Γ∠Ε, ΖΗΘ, ἐπίπεδα δὲ οἷα τὰ ΕΖ, ΛΜ. τεθέντος οὖν τοῦ προσώπου, ὅπου τὸ Ν, φαίνεται ἀπὸ μὲν τῶν ἐπιπέδων ἴσα τὰ εἴδωλα καὶ ἴσον ἀπέχοντα, ἀπὸ δὲ τῶν κυρτῶν ἐλάσσονα καὶ ἔλασσον ἀπέχοντα, ἀπὸ δὲ τῶν κοίλων παντοδαπῶς, καθάπερ δέδεικται.

2. ὡς τό] ἕως τοῦ m. Λ] om. M lac. rel. 3. Ν] E Μ. ὡς] ἕως V M v m. τὸ (alt.)] V. v seq. ras.;

λ΄.

Ἐκ τῶν κοίλων ἐνόπτρων πρὸς τὸν ἥλιον τεθέντων πῦρ ἐξάπτεται.

ἔστω κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ, ἥλιος δὲ ὁ ΕΖ, κέντρον δὲ τοῦ κατόπτρου τὸ Θ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ ∠ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἐπὶ τὸ Θ κέντρον ἡ ∠Θ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, προσπεπτωκέτω δὲ ἡ ∠Γ ἀκτὶς καὶ ἀνακεκλάσθω ἐπὶ τὸ Κ. ἀνακλασθήσεται δὴ ἐπάνω τοῦ Θ κέντρου· ἡ γὰρ γωνία ἡ πρὸς τῇ περιφερείᾳ ἡ Π ἐλάσσων ἐστὶ τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΒΓ∠. καὶ ἔστω ἡ Α Β περιφέρεια ἴση τῇ ΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἄλλη τις ἀκτὶς προσπιπτέτω ἡ ∠Α. φανερὸν οὖν, ὅτι ἀνακλωμένη ἡ Α ∠ ἀκτὶς πεσεῖται ἐπὶ τὸ Κ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΑΒ περιφέρειαν τῇ ΒΓ. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, ὅτι πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ ∠ προσπίπτουσαι πρὸς τὸ ἔνοπτρον καὶ ἴσας ἀπολαμβάνουσαι εἰς τὸ αὐτὸ συμπεσοῦνται τῇ Θ ἀνώτερον τοῦ Θ.

ἔστω πάλιν κοῖλον ἔνοπτρον τὸ ΑΒΓ, ἥλιος δὲ ὁ ∠ΕΖ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε διὰ τοῦ Θ κέντρου ἔστω ἡ ΕΘΒ, καὶ ἀπʼ ἄλλων [διὰ] τῶν ∠, Ζ αἱ ∠ΘΓ ΖΘΑ. οὐκοῦν προδεδείχαμεν, ὅτι αἱ ἀπὸ τοῦ Ε ἀκτῖνες συμπεσοῦνται εἰς ἑαυτὰς διὰ τὰς Π, Ρ γωνίας ἴσας οὔσας· διάμετροι γάρ εἰσιν· αἰ δὲ ἀπὸ τοῦ Ζ διὰ τὰς 1. λ΄] μ΄ V v, λβʹ m. 7. προσπεπτωκέτο v. ∠Γ] ∠ΓΚ V. 8. δή] δέ M. 10. ἐλάττων M. ἐστίν V v. τῆς (pr.)] τῇ V. τῆς λοιπῆς τῆς V. 13. Α∠] ∠Α m. πεσεῖται] προσπεσεῖται M. 15. ὁμοίως] Μ V. 16. πρός ἀκτῖνες πρός m. ἴσας περιφερείας ἀπολαμβάνουσαι ἑκατέρωθεν τοῦ Β m. 17. αὐτό] om. M lac rel. 19. μα΄ V v. Κ, Λ γωνίας, αἱ δὲ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὴν ∠Γ διὰ τὰς Ν, γωνίας ἴσας οὔσας. ὅτι δὲ πᾶσαι αὐταὶ εἰς ἑαυτὰς ἀνακλῶνται, δῆλον· ἐκ τοῦ γὰρ κέντρου οὖσαι ἡμικύκλια ποιοῦσιν, αἱ δὲ τῶν ἡμικυκλίων γωνίαι ἴσαι εἰσίν· διʼ ἴσων ἄρα γωνιῶν αἱ ἀνακλάσεις γίγνονται· εἰς ἑαυτὰς οὖν ἀνακλῶνται. πᾶσαι ἄρα συμπεσοῦνται ἀπὸ πάντων τῶν σημείων ἐπὶ τὰς διὰ τοῦ κέντρου καὶ ἐν τῷ κέντρῳ [ἀκτῖνας]. τούτων οὖν τῶν ἀκτίνων ἐκθερμαινομένων περὶ τὸ κέντρον πῦρ ἀθροίζεται. ὥστε ἐνταῦθα στύππιον τεθὲν ἐξαφθήσεται.

1. Κ, Λ] πρὸς τῶ Α m. γωνίας] γωνίας ἴσας οὔσας ὁμιοίως ἀλλήλαις m. ἐπὶ τὴν ∠Γ] om. m. 2. Ν, Ξ] πρὸς τῷ Γ m. ἴσας οὔσας] οὔσας ἴσας M, διάμετροι γάρ εἰσι πᾶσαι m. 3. ἐκ τοῦ γάρ] ἐκ γὰρ τοῦ M, διὰ γὰρ τοῦ m. οὖσαι] ἰοῦσαι m. 4. ἡμικύκλια] ἡμικύκλιον M. ποιοῦσι M. τῶν ἡμικυκλίων] τῷ ἡμικυκλίῳ M. γωνίαι] γωνίαι αἱ γινόμεναι πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων καὶ περιεχόμεναι ὑπʼ αὐτῶν τε τῶν διαμέτρων καὶ τῶν περιφερειῶν m. 5. εἰσί M m. γίνονται M, γίνονται καὶ διὰ τοῦτο m. 6. οὖν] om. m. 8. ἀκτῖνας] deleo. 10. στύππιον] καὶ υππιον M, supra scr. m. 2: ςύπιον. ln fine: Εὐκλείδου κατοπτρικά V, τέλος m.