Διοφάντου ἐπιπεδομετρικά.

Ἔχει ὁ κύκλος διαμέτρῳ πόδας ζ· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν.

Ποίει τὴν διάμετρον τρισσάκις καὶ αὐτῇ τῇ διαμέτρῳ 1 a] β AB. 3 εἰσιν A. 10 τ] τὰ AB. 11 μερίσωμεν] φήσωμεν B. 18 sqq. Cf. Heronis Alexandrini geometricorum et stereometri- corum reliquiae ed. Hultsch, Berolini 1864 (Geomuetria = Geom., Stereometrica = Ster., Mensura = Mens., Liber Geeponicus = Geep.). 1 a. Cf. Geom. 87, 8, Geep. 61. πρόσβαλε μέρος ζ τῶν ζ· γίνονται κβ· τοσοῦτον ἡ περίμετρος.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· τοὺς ζ ἐφʼ ἑαυτούς, γίνονται b μθ· τούτους διαπαντὸς ἐπὶ τὰ ια, γίνονται φλθ· τούτων ιδʹ, λη U+2220΄· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον.

Κύκλος οὗ ἡ μὲν διάμετρος ιδ, ἡ δὲ περίμετρος μδ· 2a εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς περιμέτρου καὶ διαμέτρου. ποίει οὕτως· λάβε τῆς περιμέτρου τὸ U+2220΄, γίνονται κβ· καὶ τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄, γίνονται ζ· πολυπλασίασον τὰ ζ ἐπὶ τὰ κβ, γίνονται ρνδ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Καὶ ἄλλως. πολυπλασίασον τὰ μδ ἐπὶ τὰ ιδ, γίνονται b χις· τούτων λάβε δʹ, γίνονται ρνδ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἔτι. κύκλου περίμετρος μδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποίησον καθολικῶς τοὺς μδ ἑπτάκις, γίνονται τῆ· τούτων τὸ κβ΄, ιδ· τοσοῦτον ἡ διάμετρος.

Τριῶν κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων, εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν· ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἀνᾶ ζ. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται μθ· ταῦτα δίς, γίνονται ??η· τούτων τὸ ιδʹ, γίνονται ζ· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον.

Τεσσάρων κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων, εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν· ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἀνὰ ζ. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφʼ 1 b. Cf. Geom. 87, 4, Geep. 63. — 2a. Cf Geom. 88, 10. — 2 b. Cf. Geom. 101, 3 et 9. — 3. Cf. Geom. 88, 3; 101, 2. — 4. alsa prorsus solutio: inveniendus enim era numerus 2 quam proxime. — 5. Simile quid Geom. 101, 9. 20 ἀνὰ] ἀπὸ A. 21 δίς] δὲ A in rasura. ἑαυτήν, γίνονται μθ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρμζ ὧν ιδʹ, ι U+2220΄· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω ἡμικύκλιον οὗ ἡ βάσις ιδ, ἡ δὲ κάθετος ζ· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι τοὺς ιδ ἐπὶ τοὺς ζ, γίνονται ??η· ταῦτα καθολικῶς ἑνδεκάκις, γίνονται αοη· τούτων τὸ ιδʹ, οζ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω σφαῖρα ἔχουσα τὴν διάμετρον ι· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται αρ· τούτων τὸ ιδʹ, οη U+2220΄ ιδʹ· ταῦτα τετράκις, γίνονται τιδ δʹ κη· τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐπὶ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν· Ϛ, η, θ, ιβ ὁ μὲν οὖν η πρὸς τὸν ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία· ὁ δὲ ιβ πρὸς τὸν ϛ ἐν διπλασίῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ πασῶν ἕξεων ἔλεγχοι καὶ τῆς ἀναλογίας ἀριθμητικῆς μὲν ἐκ τῶν ϛ καὶ θ καὶ ιβ· οἷς γὰρ ἂν ὑπερέχῃ ὁ μέσος τοῦ πρώτου, τοσούτοις ὑπερέχεται τοῦ τελευταίου. γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ, τοσοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος.

Ἡμικυκλίου λώρου τοῦ λεγομένου ἡ διάμετρος ζ καὶ τὰ πάχη ἀνὰ β. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ δύο πάχη, γίνονται ια· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρκα· ἀπὸ τούτων ὕφειλον τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται μθ, λοιπὸν οβ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ψ ??β· τούτων 6. Cf. Geom. 93, 2 et 8 — 7 Ster. l, 5. — 8 = Ster. l, 30. 5 τὸ κάθετον A. Lacunam statui (item infra l. 17 et 22). τὸ κηʹ, γίνονται κη δʹ κηʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ λώρου.

ἄλλως. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὸ ἓν πάχος, b γίνονται θ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ??θ· τούτων τὸ ζʹ, γίνονται ιδ ζʹ· τοσοῦτον ἡ περίμετρος ἐν τῷ μέσῳ· ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τὰ β, γίνονται κη δʹ κη΄.

Μέθοδος τῶν πολυγώνων.

Πεντάγωνον μετρήσομεν οὕτως οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· 10 a εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ποιῶ πεντάκις, γίνονται φ· ὧν γʹ ρξς ??· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ρξς ??.

Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν b διάμετρον· ἔσται ιζ· ποιῶ δὲ οὕτως· τὰ ι τῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὰ ιζ, γίνονται ρο· ταῦτα μερίζω ἐπὶ τὰ ι, γίνονται ιζ· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ περιγραφομένου κύκλου ιζ.

Ἑξάγωνον δὲ μετρήσομεν οὕτως. ἐὰν ἔχῃ τὴν διάμετρον 11 a ξ, ἡ δὲ πλευρὰ λ, ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτῇ, γίνονται ??· ταῦτα ποιῶ ἑξάκις, γίνονται ευ· ὧν τρίτον καὶ δέκατον, γίνονται βτμ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἑξάγωνον.

Ἄλλως δὲ. πάλιν τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται b ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ιγ, γίνονται α. αψ· ἄρτι μερίζω· ὧν εʹ, γίνονται βτμ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδσν.

Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ 10a Geep. 75, 1 (cf. Geom. 102, 2). — 10 b = Geep. 75, 2. — 11a Geep. 76 (cf. Geom. 102, 4). — 11 b = Geep. 77 (cf. Geom. 102, 3). — 12. Geom. 102, 5. 1 κη] κ A. 5 ἄλλως addidi. 11 ρξϚ prius) ρξ A. 18 ??] A. 21 α] δϋ A. ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· καὶ τὰ ρ ἐπὶ μγ, γίνονται δτ· ὧν τὸ ιβʹ, τμη γʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ κθ, γίνονται β??· τούτων ποιῶ πάντοτε τὸ Ϛʹ, γίνονται υπγ γʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου.

Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον· ἔσται πόδες κϚ · ποιῶ δὲ οὕτως· τὰ κϚ πεντάκις, γίνονται ρλ· ὧν τὸ ιγʹ, ι· τοσοῦτον ἡ πλευρὰ ἑκάστη τοῦ ὀκταγώνου.

Ἐὰν δὲ εἰς τετράγωνον θέλῃς ἐγγράψαι ὀκτάγωνον, ἐὰν ἔχῃ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου κδ, τούτους πεντάκις, γίνονται ρκ· ὧν τὸ ιβ΄, γίνονται ι· τοσοῦτον ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκταγώνου.

Ἔδστω ἐννάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ να, γίνονται ερ· τούτων τὸ η΄, γίνονται χλζ U+2220΄· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν διάμετρον. ἔσται πόδες λ· ποιῶ οὕτως· ἑκάστη πλευρὰ ἔχει ι· ἡ δὲ διάμετρος τριπλάσιον, γίνονται πόδες λ.

Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ πόδες ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. 13a. Geom. 102, 6. — 14a. Geom. 102, 7. — 15a. Geom. 102, 8. 8 ὀκταγώνου] διακονίου A. 10 Lacunam statui. 12 ὀκτα- γώνου] τριγώνου A. 13 θέλεις A. 14 ἔχει A. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνεται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε, γίνεται αφ· ὧν τὸ U+2220΄, γίνεται ψν· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου, πόδες ψν.

Ἄλλως δὲ πάλιν τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνεται ρ· ταῦτα b ἐπὶ τὰ λη, γίνονται γω· τούτων ἀεὶ τὸ εʹ, γίνεται ψξ· αὕτη ἡ μέθοδος ἀκριβῶς ἔχει, ἡ δὲ διάμετρος τοῦ c κύκλου τοῦ περιεχομένου τῷ δεκαγώνῳ ἐστὶ πόδες κε.

Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϚ, γίνονται Ϛχ· ὧν ἕβδομον, ??μγ· ἔστω τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον.

Ἔστω δωδεκάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ με, γίνονται δφ· ὧν τὸ δʹ, γίνονται αρκε· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Ἐὰν θέλῃς ἀπὸ διαμέτρου κύκλου εὑρεῖν πλευρὰν ὀκταγωνικήν, ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον πεντάκις οὖσαν ιβ, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν τὸ ιβʹ, γίνονται ε· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ ὀκταγώνου, ἡ δὲ διάμετρος ιβ.

Πάλιν δὲ προστιθῶ μίαν πλευρὰν τῇ διαμέτρῳ τοῦ b ὀκταγώνου, ὁμοῦ γίνονται ιζ, ὅπερ ἐστὶ διαγώνιος τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου.

Ὁμοίως δὲ καὶ ἐὰν θέλῃς ἐκ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν c 15 b. Ex his corrigas Geom.105,13 etGeep 177 — 16. Geom. 102, 9. Numerus 943 pro fracto proxrimo est. — 17. Geom. 102, 10. — 18 Hîc διάμετρος κύκλου vel l. 20 — 21 τοῦ ὀκταγώνου est diametrus circuli inscripti sive latus quadrati τοῦ ἔξωθεν. 7 κε A; oportebat λ γʹ ιε΄. 15 δφ] Ϛφ A. τὴν διάμετρον τοῦ ὀκταγώνου, ποίει οὕτως· ἐὰν ἡ πλευρὰ ε, πάντοτε ποίει τὴν πλευρὰν δωδεκάκις· ἄρτι μερίζω· ὧν πέμπτον, γίνονται ιβ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου.

Ἄλλως δὲ πάλιν ἡ διαγώνιος ἐπὶ τετραγώνου· ἐὰν ἔχῃ ἡ διάμετρος ιβ, λάμβανε πλευρὰν ὀκταγωνικήν, ὅ ἐστιν ἕ, λοιπὸν μένουσιν ζ· τούτων τὸ U+2220΄, U+222΄· ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῶν ιβ, λοιπὸν μένουσιν η U+2220΄· ταῦτα δίς, γίνονται ιζ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ διαγώνιος τοῦ ἔξωθεν τετραγώνου.

Eἰ δέ ἐστιν ἡ μία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου μείζων, κοινοῦται καὶ λαμβάνω· ὧν U+2220΄· ἐκ τούτου δὲ καὶ εἰ ἔστι συγγών΄., εὑρίσκεται τῇ μεθόδῳ ταύτῃ.

Ὅπως δὲ πάλιν εὐρίσκεταιτὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀκταγώνου. ποιῶ οὕτως· ἐὰν ἔχῃ τὴν διάμετρον ιβ, ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρμδ· τούτων ὑφαιρῶ ἕκιον μέρος, γίνονται κδ· λοιπὸν μένουσιν ρκ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Ἄλλως δὲ πάλιν μετρήσομεν· ἐὰν ἔστιν ἡ διάμετρος ιβ ᾖ, πλευρὰ ἡ μία ἔχει ε· νῦν ποιῶ τὴν πλευρὰν ἐπὶ τὴν διάμετρον τῶν ιβ, γίνονται ξ· ταῦτα δίς, γίνονται ὅ· τοσοῦτόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.

Ὅπως μετρεῖται ὀκτάγωνος, μᾶλλον δὲ καὶ θεμελιοῦται. ποίησον οἶκον τετράγωνον, οὗ τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος ιβ, καὶ λαβὼν τῆς διαγωνίου U+2220΄, ἀπότιθε ἀπὸ 18h. Cf Mens. 52 et Geep. 199. 1 διάμετρον] διάλεκτον A. 3 ιβ] ιε A 5 ἐὰν] ἂν A. 12 Vix sanandus locus : pro κοινοῦται suspicor ποίει οὕτως et postea lacunam. 13 συγγών΄.] forsan legendum σύνεγγυς 〈τε- τράγωνος〉. 19 ἔστιν delevi. 20 ᾖ] ὄγδοον A; forsan ἡ πλευρὰ ἡ μία. γωνίας εἰς γωνίαν, καὶ δυνήσῃ στῆσαι τὸ ὀκτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον.

Ἔχουσι τὰ ια τετράγωνα ιδ κύκλους.

ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα λ τρίγωνα ἰσόπλευρα· ἔστι δὲ τὰ ιγ τῶν λ μέρος τρίτον 〈καὶ〉 δέκατον.

ἔχουσι τὰ ε τετράγωνα γ πεντάγωνα.

ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα ε ἑξάγωνα.

ἔχουσι τὰ μγ τετράγωνα ιβ ἑπτάγωνα.

ἔχουσι τὰ κθ τετράγωνα Ϛ ὀκτάγωνα.

ἔχουσι τὰ να τετράγωνα η ἐννάγωνα.

ἔχουσι τὰ ιε τετράγωνα β δεκάγωνα.

ἄλλως δὲ πάλιν ἔχουσι τὰ λη τετράγωνα ε δεκάγωνα. αὕτη καὶ ἀκριβεστάτη.

ἔχουσι τὰ ξς τετράγωνα ζ ἑνδεκάγωνα.

ἔχουσι τὰ με τετράγωνα δ δωδεκάγωνα.

Ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης ὅτι τὰ λ τρίγωνα ἰσόπλευρα 20a ἴσα ἐστὶν ιγ τετραγώνοις, ἃ τῶν λ ἐστὶ μέρος τρίτον καὶ δέκατον· ποίει οὖν τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ τῶν γινομένων τὸ τρίτον καὶ δέκατον ἔσται τὸ ἐμβαδόν· τουτέστι λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ??· ὧν τρίτον καὶ δέκατον, γίνονται τ??῾· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἄλίως τὸ αὐτὸ κάλλιον. τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται b ??· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ τετράγωνα, γίνονται α. αψ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ λ τρίγωνα, γίνονται τ??.

Ἄλλως. εὑρεῖν πρῶτον τὴν κάθετον. τὰ λ ἐφʼ c ἑαυτά, γίνονται ??· τούτων ἆρον τὸ δʹ, γίνονται σκε· 20a, b, c, d. Geom. 17, 1, 3, 4, 5. 5 καὶ addidi( item infra lin. 18 et 19). 10 η]ζA. 17 τρίτον) τρίγωνον A. λοιπὸν χοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ Ϛκ· τοσοῦτον ἡ κάθετος.

Ἄλλως. τὰ λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ ιε, ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται σκϚ· ταῦτα ἀπὸ τῶν ??, λοιπὸν χοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ κϚ· τοσοῦτον ἡ κάθετος· ταῦτα ἐπὶ τὸ U+2220ʹ τῆς μιᾶς πλευρᾶς, τουτέστι τῆς βάσεως, ἐπὶ τὰ ιε, γίνονται τ??· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ιβ καὶ ἡ κάθετος δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. τῆς βάσεως U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτό, γίνονται λϚ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται ιϚ· σύνθες ὁμοῦ, γίνονται ρκδ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὴν κάθετον, γίνονταιυ ??Ϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ευνϚ τούτων τὸ καʹ, γίνονται σνθ ??ζ΄· τοσοῦτον τὸ στερεόν.

Eὑρεῖν δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς καθέτου τὴν διάμετρον ὅλης τῆς σφαίρας. τῆς βάσεως τὸ U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτό, γίνονται λῶ· ταύτην μέριζε παρὰ τὴν κάθετον, παρὰ τὰ δ, γίνονται θ· μῖξον ὁμοῦ μετὰ τὰ δ, γίνονται ιγ· τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας.

Ἔστω κῶνος ἀτέλεστος, οὗ ἡ περίμετρος τῆς βάσεως ξ, a ἡ δὲ τῆς κορυφῆς Ϛ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. λαμβάνω τὸ γʹ τῆς βάσεως τῶν ξ, γίνονται κ, ἥτις ἐστὶν ἡ διάμετρος· καὶ τῶν Ϛ τῆς κορυφῆς τὸ γʹ, γίνονται β· καὶ ποιῶ ὡς τραπέζιον ἰσοσκελές, καὶ ἀφαιρῶ τὰ β ἀπὸ τῶν κ, λοιπὸν ιη· τούτων τὸ U+2220, θ· ἐπὶ ταῦτα πεσεῖται ἡ κάθετος· ταῦτα 22a. Diaemetri et inde altitudo crassius computantur. 11 τρισάκις A. ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται κα· καὶ τὰ ιε τοῦ κλίματος ἐφ ἑαυτά, γίνονται σκε· ἀπὸ τούτων ἀφαιρῶ τὰ πα, λοιπὸν ρμδ· τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ ιβ. ἔσται ἡ κάθετος τοῦ κώνου, τουτέστι τὸ ὕψος, ιβ.

Εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. σύνθες τὰ ϛ τῆς κορυφῆς b καὶ τὰ ξ τῆς βάσεως, γίνονται ξϚ· τούτων τὸ ἥμισυ, λγ· ἀναγεγράφθω κύκλος οὗ ἡ περίμετρος λγ· γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν πϚ U+2220 η΄. καὶ ὁμοίως ἀφαιρῶ τὰ ϛ τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ξ τῆς βάσεως, λοιπὸν νδ τούτων τὸ ἥμισυ, κζ. ἀναγεγράφθω ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ περίμετρος κζ· γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν νη· τούτων τὸ γʹ, ιθ γ΄· ταῦτα προστιθῶ τοῖς ῆϚ U+2220΄η΄· γίνονται ὁμοῦ ρε U+2220 γʹ η΄· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ ιβ, γίνονται ασοα U+2220΄· τοσοῦτον ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

Μέθοδος καθολικὴ ἐπὶ τῶν πολυγώνων. οὕτως·

Ἔστω πεντάγωνον οὗ ἡ διάμετρος κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν· οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασιάζεις· τρισσάκις, γίνονται ξ· καὶ μερίζω παρὰ τὸν ε, γίνονται ιβ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ πενταγώνου ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὸ πεντάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ πενταγώνου.

Ἔστω ἑξάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε, καθὼς προεῖπον, τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε, γίνονται ξ· καὶ μέριζε· ὡν Ϛʹ, ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι, γίνεται ἡ πλευρὰ ι. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τούτου.

Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν ποίει ἑξάκις, ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἑξαγώνου.

Ἔστω ἑπτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε παρὰ τὴν πολύγωνον, τουτέστι παρὰ τὸν ζ, γίνονται η U+2220΄ ιδʹ. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου.

Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν ἑπτάκις, ἐπειδὴ ἑπτάγωνός ἐστι, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος.

Ἔστω ὀκτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον πεντάκις, γίνονται ρ· ἄρτι μερίζω· ὧν ιβʹ, γίνονται η U+2220΄.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, 25 ═ Geep.148. — 26 ═ Geep. 149. — 27 ═ Geep.150. — 28 ═ Geep. 151. — 29 ═ Geep. 152 De diametro circuli in- scripti hÎc agitur. — 30 ═ Geep. 153. 14 πολύγωνον] πολυγώνου ὀνομασίαν coni. Hultsch. 18 ξ] μθ A. 19 κ] ιϚ A (ac si latus datum foret 7). ποίει τὸ ἀνάπαλιν· πάντοτε τὴν πλευρὰν δωοδεκάκις, γίνονται ρ· καὶ μερίζω καθολικῶς, ὡς προεῖπον· ὧν εʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου. Ἔστωο ἐννάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν θʹ, γίνονται Ϛ ??. τοσοῦτον ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν· τὴν πλευρὰν ἐννάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς· ὧν τρίτον, κ. τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος.

Ἔστω δεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν δέκατον, γίνονται ϛ. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει οὕτως τὸ ἀνάπαλιν· τὴν πλευρὰν δεκάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς τρισσάκις, γίνονται κ. τοσοῦτον ἡ διάμετρος.

Ἔστω ἑνδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· καθολικῶς τὴν διάμετρον τριπλασιάζω, γίνονται ξϚ· ἄρτι μερίζω· ὧν ἑνδέκατον, Ϛ. τοσοῦτον ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν ἑνδεκάκις, γίνονται ξϚ· καὶ μέριζε καθολικῶς· ὧν τρίτον, κβ. ἔστω ἡ διάμετρος τοσοῦτον.

Ἔστω δωδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τρισσάκις, γίνονται ξ· ἄρτι καθολικῶς μερίζω· ὧν δωδέκατον, ε. τοσοῦτον ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν δωδεκάκις, γίνονται ξ· καὶ μερίζω καθολικῶς· ὧν τρίτον, κ. ἔστω τοσοῦτον ἡ διάμετρος.

Ὁμοίως καὶ ἐπὶ οἱουδήποτε πολυγώνου, ἐὰν δοθῇ σοι ἡ διάμετρος, πάντοτε καθολικῶς τριπλασίαζε τὴν διάμετρον, καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε παρὰ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων, καὶ ἕξεις τὴν πλευρὰν τοσοῦτον ἀποφήνασθαι.

Ἐὰν δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν τὴν διάμετρον, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν πολυπλασίαζε ἐπὶ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων· οἷον ἐὰν τρισκαιδεκάγωνον, ποίει τρισκαιδεκάκις τὴν πλευράν, καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε καθολικῶς, ὧν γʹ, καὶ ἕξεις τὴν διάμετρον.

Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῇ αὐτῇ μεθόδῳ χρῶ.

Περὶ κυλίνδρου.

Ἀπέδειξε καὶ ἐνταῦθα Ἀρχιμήδης ὅτι ὅνπερ ἔχει λόγον ὁ κύκλος πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ περὶ αὐτὸν περιγραφόμενον, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύβον τὸν περιέχοντα αὐτὸν καὶ ἴσας πλευρὰς 37 Geep.160. — 38 ═ Geep. 161. — 39 ═ Geep.162. — 40 Geep 163. — 41. Cf Geep. 163. 17 τρισκαιδεκάγωηνον, ποίει supplevi ex Geep. 17—18 τὴν πλευρὰν . . . ὧν γʹ om. Geep. ἔχοντα τῇ διαμέτρῳ τοῦ κυλίνδρου καὶ τὸ ὕψος ἴσον, καὶ ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων εἰπεῖν ὅτι τὰ ἕνδεκα τετράγωνα, τὰ ἐκτὸς περιγραφόμενα τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστὶ δεκατέτρασι κύκλοις τοῖς τὴν αὐτὴν διάμετρον ἔχουσιν, οὕτως καὶ οἱ ἕνδεκα κύβοι ἴσοι εἰσὶ δεκατέτρασι κυλίνδροις, ὧν αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσὶ τῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ ὕψει, καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων λαμβάνομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου καὶ ποιοῦμεν ἑνδεκάκις καὶ μερίζομεν παρὰ ιδ, καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

Ἔστω κύλινδρος οὗ ἡ διάμετρος ζ καὶ τὸ ὕψος ζ· b εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. τὰ ζ κύβισον, γίνονται τ γ ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ια, γίνονται γψογ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ ιδ, γίνονται σξθ U+2220΄.

Τινὲς δὲ πρῶτον τὸ ἐμβαδὸν λαμβάνουσιν ὡς ἐπὶ c τοῦ κύκλου, καὶ τότε ποιοῦσιν ἐπὶ τὸ ὕψος.

Περὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ κυλίνδρου ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ὅτι ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος ἐστὶ a τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου, καὶ πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.

Ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου θέλῃς εὑρεῖν τὸ στερεὸν b τῆς σφαίρας, ὅσον ἂν εὐρέθῃ ὁ κύλινδρος, λαμβάνεις αὐτοῦ τὸ ??. καὶ ἔσται τὸ στερεόν· καὶ ὡς ἐπὶ τῶν ζ, ὅτι ἐστὶ σξθ U+2220΄, τὸ γʹ, γίνονται πθ U+2220΄ γ΄. Κάλλιον ἀπὸ τοῦ κύβου, ὡς ἐπὶ τοῦ κυλίνδρου, c 43c. Cf Ster. l, 4. 6 κυλίνδροι A. 9 παρὰ ιδ] quaedam excidisse videntur. 25 Coni, non sphaerae, solidum computatur. Lacunam suspicor. τὰ πολυπλασιασθέντα μερίζειν παρὰ τὸ ιδ ὧν γ΄· ἔστι δὲ ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος τοῦ κυλίνδρου· τὰ οὖν ιδ τίνος ἐστὶ δίμοιρον; τῶν κα· μέρισον τὰ γινόμενα παρὰ τὰ κα· οὕτως ἐδόθη σφαῖρα ?? τῶν κα ταῦτα κύβισον, γίνονται τμγ· ταῦτα πολυπλασίασον ἑνδεκάκις, γίνονται γψογ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ κα, γίνονται ροθ ??. οὕτω μέτρει πᾶσαν σφαῖραν.

Καὶ ἐπὶ τοῦ κώνου, ἐπειδὴ τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κυλίνδρου, μέριζε παρὰ τὰ ιδ· τὰ ιδ τίνος ἐστὶ γ΄; τῶν μβ. μέτρει ἐπὶ τοῦ κώνου οὕτως· τὰ ζ κύβισον, γίνονται τμγ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται γψογ· μέριζε παρὰ τὰ μβ, γίνονται πθ U+2220΄ γ΄.

Τινὲς δὲ μετρήσαντες τὸν κύλινδρον, λαμβάνουσι τὸ γ΄, καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

Σφαίρας ἡ διάμετρος ιγ· εὑρεῖν ἀήτης τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ιγ κύβισον, γίνονται βρ??ζ· ταῦτα ἑνδεκάκις, β. δρξζ γίνονται· τούτων τὸ καʹ, αρ U+2220΄ δ΄κα΄ πδ΄. τοσοῦτον τὸ στερεόν.

Εὑρεῖν δὲ αὐτῆς καὶ τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τα ιγ ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρξθ· ταῦτα καθολικῶς τετράκις, γίνονται χοϚ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ζυλϚ· τούτων τὸ ιδʹ, φλα ζ΄. τοσοῦτον ἔσται ἡ ἐπιφάνεια.

Ἡμισφαίριον μετρῆσαι οὗ ἡ διάμετρος ιγ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποίει οὕτως· τὰ ιγ κύβισον) γίνονται βρ ??ζ· ταῦτα ἐνδεκάκις, γίνονται β. δρξζ· τοῦ αὐτοῦ μβʹ, γίνονται φοε δ η΄. τοσοῦτον τὸ στερεόν.

Εύρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν· τὰ ιγ ἐφʼἑαυτά

Μεῖζον τμῆμα ἡμισφαιρίου οὗ ἡ βάσις ιβ, ἡ δὲ κάθετος θ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. λαμβάνω τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως· ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται λϛ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται κα· σύνθες ὁμοῦ, γίνονται ρπθ· ταῦτα ἐπὶ κάθετον, ἐπὶ τὰ θ, γίνονται αψα· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται α. ηψια· τούτωον τὸ κα΄, γίνονται ω??α. τοσοῦτον ἔσται τὸ στερεόν.

Εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ἐπιφάνειαν· τῆς βάσεως τὸ ἥμισυ ἐφʼ ἑαυτό, γίνονται λϚ· καὶ τὴν κάθετον, ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται πα· ὁμοῦ γίνονται ριζ· ταῦτα τετράκις, γίνονται υξη· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ερμη· τούτων τὸ ιδʹ, τξζ U+2220΄. τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ἡμισφαιρίου.

Σφαίρας ἔσται ἡ διάμετρος δ· εὑρεῖν αὐτῆς τὸ στερεὸν ἀπὸ τοῦ κυλίνδρου. ποιῶ οὕτως· ἐν τῇ βάσει μέτρει κύκλον ἀπὸ τῆς διαμέτρου. τὸ ἐμβαδὸν εὑρήσομεν οὕτως· ποιοῦμεν τὴν διάμετρον, τὰ δ, ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ιϚ ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ρο τούτων τὸ ιδʹ, γίνονται ιβ U+2220΄ ιδ΄· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν. ταῦτα ποίει ἐπὶ τὴν διάμετρον, ἐπὶ τὰ δ· τὰ γὰρ ἐστὶ τὸ ὕψος τοῦ περιλαμβάνοντος κυλίνδρου τὴν σφαῖραν, δύο ὄντων διαμέτρων τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κυλίνδρου· ἐποίησα οὖν τὰ δ ἐπὶ τὸ ἐμβαδόν, ἐπὶ τὰ ιβ U+2220΄ ιδʹ, γίνονται ν καὶ δύο ἕβδομα. τοσοῦτον ὁ 48 Cf. Mens. 47 unde initium supplevi. — 50. Cf. Ster. l, 9. 4 ρη om. A. 7 A. 13 τξζ U+2220΄] Addendum erat ζ΄ κη΄. 16 ἀπὸ addidi. 17 μέτρει scripsi, μείζονα A. τῆς διαμέτρου scripsi, τοῦ ἐμβαδοῦ A. 21 τὰ δ] τὰ ιδ A. 23 καὶ addidi. 25 ἕβδομον A. κύλινδρος, ὅσον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας. δέδειχε δὲ Ἀρχιμήδης ὅτι κύλινδρος ὁ περιλαμβάνων τὴν σφαῖραν ἡμιόλιός ἐστι τῆς σφαίρας· εἰ οὖν U+2220΄ πρόσθεμα, γʹ ἀφαίρεμα. ἀφαιρῶ οὖν τοῦ κυλίνδρου, ὅ ἐστιν ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τῶν καὶ β ἑβδόμων τὸ γʹ, καταλείπεται λγ γ΄ ζ΄ κα΄. τοσοῦτον τὸ στερεὸν τῆς σφαίρας. ἐὰν δὲ τὸ ?? λάβωμεν τῶν ν καὶ δύο ἑβδόμων, γίνονται ὁμοίως λγ γʹ ζʹ κα΄· ἔσται ἄρα ἡ μὲν ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ν καὶ δύο ἑβδόμων, τὸ δὲ στερεὸν λγ γ΄ ζ΄ κα΄.

Καὶ ἔστω σφαίρας ἡ περίμετρος ιη, εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων, τὰ ιη ἐπὶ τὰ ζ, γίνονται ρκϚ· καὶ τούτων τὸ κβʹ, ἑ καὶ ἑνδέκατα η· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ξγ· ταῦτα κύβισοκ, γίνονται κε καὶ μζ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ βφμα, γίνονται ??η δʹια λγ μδ ρκαʹ τξγ΄.

Ἔτεμον σφαῖραν εἰς μέρη τέσσαρα καὶ εὑρέθη τὸ ἓν τμῆμα ἐξ ἀμφοτέρων τῶν μερῶν ἀνὰ ζ· εὑρεῖν τὸ στερεόν. ποιῶ οὕτως· κυβίζω τὰ ζ, γίνονται τμγ· ταῦτα δίς, γίνονται χπϚ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ζφμϚ· τούτων τὸ κα΄, γίνονται τνθ γʹ. τοσοῦτον τὸ στερεὸν τοῦ τμήματος.