Commentarii in libros de sphaera et cylindro

ΕΥΤΟΚΙΟΥ ἈΣΚΑΛΩΝΙΤΟΥ ὙΠΟΜΝΗΜΑ ΕΙΣ ΤΟ ΠΡΩΤΟΝ ΤΩΝ ἈΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΠΕΡΙ ΣΦΑΙΡΑΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ.

Εἰς τὸ ά.

Εἰς τὰ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδους οὐδένα τῶν πρὸ ἡμῶν ἀξίαν εὑρὼν σύνταξιν καταζεζλημένον καὶ κατανοήσας μὴ διʼ εὐμάρειαν τῶν θεωρημάτων τοῦτο παροραθῆναι· ἐπιστάσεως γὰρ ἀκριζοῦς, ὡς ἴστε, καὶ εὐεπιζόλου δεῖται φαντασίας· ὠρέχθην κατʼ ἐμὴν δύναμιν σαφῶς ἐκθέσθαι τὰ ἐν αὐτοῖς δυσθεώρητα προαχθεὶς μᾶλλον εἰς τοῦτο τῷ μηδένα πω καθεῖναι εἰς ταύτην τὴν ὑπόθεσιν ἢ διὰ τὴν δυσκολίαν ὀκνήσας καὶ ἅμα τὸ Σωκρατικὸν λογισάμενος, ὡς τοῦ θεοῦ συλλαμζάνοντος πάνυ εἰκὸς καὶ ἐπὶ τέλος ἡμᾶς τῆς σπουδῆς ἐλθεῖν· ἐκ τρίτων δὲ διανοηθεὶς ὡς, εἴ τι καὶ παρὰ μέλος διὰ νεότητα φθέγξομαι, τοῦτο ὑπὸ τῆς σῆς περί τε τὴν ἄλλην φιλοσοφίαν ἐπιστημονικῆς θεωρίας καὶ διαφερόντως περὶ τὰ μαθήματα ἐπανορθώσεως τεύξεται, ἀνέθηκά σοι, κράτιστε φιλοσόφων Ἀμμώνιε. Πρέποι δ᾿ ἄν σοι τῇ ἐμῇ σπουδῇ συνάρασθαι, καὶ εἰ μὲν ἀνεμιαῖον δόξῃ τὸ γράμμα, αὐτόθεν μηδὲ εἰς ἄλλον ἐλθεῖν συγχωρήσῃς, εἰ δὲ τοῦ σκοποῦ μὴ πάντη διαμαρτάνον, δήλωσον ἣν ἔχεις περὶ αὐτοῦ γνώμην, ὡς εἴ γε τῇ ὑμετέρᾳ κρίσει βεζαιωθῇ, πειράσομαι καὶ ἄλλο τυχὸν τῶν Ἀρχιμηδείων συντάξεων ἑρμηνεῦσαι.

Εἰς τοὺς ὅρους.

Προειπὼν τὰ μέλλοντα ἐκτίθεσθαι ὑπʼ αὐτοῦ θεωρήματα τὸ σύνηθες πᾶσιν γεωμέτραις ἐν τῇ ἐκθέσει τηρῶν τάς τε ὀνομασίας, αἷς αὐτὸς κατʼ ἐξουσίαν ἐχρήσατο, καὶ τοὺς ὅρους τῶν ὑποθέσεων καὶ αὐτὰς τὰς ὑποθέσεις διὰ τῆς ἀρχῆς τοῦ συγυράμματος διασαφῆσαι βούλεται καί φησιν πρῶτον εἶναί τινας ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλας γραμμάς, αἵτινες τῶν ἐπιζευχνυουσῶν τὰ πέρατα αὐτῶν εὐθειῶν ἢ πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτά εἰσιν ἢ οὐδὲν ἔχουσιν ἐπὶ τὰ ἕτερα. Σαφὲς δ᾿ ἂν εἴη τὸ λεγόμενον, εἰ γνωσόμεθα τίνας καλεῖ τὰς ἐν ἐπιπέδῳ καμπύλας γραμμάς. Ἰστέον οὖν ὅτι καμπύλας γραμμὰς καλεῖ οὐχ ἁπλῶς τὰς κυκλικὰς ἢ κωνικὰς ἢ ἄκλαστον ἐχούσας τὴν συνέχειαν, ἀλλὰ πᾶσαν ἁπλῶς ἐν ἐπιπέδῳ γραμμὴν τὴν παρὰ τὴν εὐθεῖαν καμπύλην ὀνομάζει, μίαν δὲ γραμμὴν ἐν ἐπιπέδῳ τὴν ὁπωσοῦν συναπτομένην, ὥστε κἂν ἐξ εὐθειῶν σύφκειται

τῇ ΑΒΓ △. Ἀλλ᾿ ἐπειδή, ὡς καὶ ἀνωτέρω εἴρηται, καμπύλας γραμμὰς οὐ τὰς περιφερεῖς μόνον καλεῖ, ἀλλὰ καὶ τὰς ἐξ εὐθειῶν συγκειμένας, ἐκ δὲ τούτων ἦν ἡ ἐπιλογὴ τῶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλων, ἐνδεχόμενον ἂν εἴη λαζεῖν ἐπί τινος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλης γραμμῆς δύο τυχόντα σημεῖα, ὥστε τὴν ἐπ᾿ αὐτὰ ἐπιζευγνυμένην εὐθεῖαν ἐπὶ μηδέτερα μὲν μέρη πίπτειν τῆς γραμμῆς, ἐπ᾿ αὐτὴν δὲ ἐφαρμόζειν. Διό φησιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην καλεῖν γραμμήν, ἐν ἧ αἱ διὰ δύο ὁποιωνοῦν σημείων ἀχόμενοι εὐθεῖαι ἤτοι πᾶσαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πίπτουσιν τῆς γραμμῆς ἢ τινὲς μὲν ἐπὶ τὰ αὐτά, τινὲς δὲ κατʼ αὐτῆς, ἐπὶ τὰ ἕτερα δὲ μέρη οὐδεμία τὰ δὲ αὐτὰ ἔξεστιν ἐπινοεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιφανειῶν.

Εἶτα ἑξῆς ὀνομάζει τομέα στερεὸν καὶ ῥόμβον στερεὸν σαφῶς ἐμφανίζων τὴν ἔννοιαν τῶν ὀνομάτων.

Μετὰ δὲ ταῦτα αἰτήματά τινα λαμβάνειν ἀξιοῖ χρησιμεύοντα αὐτῷ πρὸς τὰς ἑξῆς ἀποδείξεις καὶ ὄντα μὲν κἀξ αὐτῆς τῆς αἰσθήσεως ὡμολογημένα, οὐδὲ δὲ ἧττον δυνατὰ καὶ ἀποδειχθῆναι ἔκ τε τῶν κοινῶν ἐννοιῶν καὶ ἐκ τῶν δεδειγμένων ἐν τοῖς Στοιχείοις.

Ἔστι δὲ πρῶτον τῶν αἰτημάτων τὸ τοιόνδε· πασῶν τῶν ταὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐλαχίστην εἶναι τὴν εὐθεῖαν.

Ἔστω γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα μέν τις πεπερασμένη ἡ ΑΒ, ἑτέρα δὲ τις γραμμὴ ἡ ΑΓΒ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσα τὰ A, Β. φησὶν δὴ δεδόσθαι αὐτῷ τὴν ΑΒ ἐλάττονα εἶναι τῆς ΑΓΒ, Λέγω οὖν ὅτι τοῦτο ἀληθὲς ὂν ᾐτήσατο. Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΓΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ. φανερὸν δὴ ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ τῆς ΑΒ μείζους εἰσίν. Πάλιν δὴ εἰλήφθωσαν ἐπὶ τῆς

ΑΓΒ γραμμῆς ἄλλα τυχόντα σημεῖα τὰ △, Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α △, △Γ, ΓΕ, ΕΒ. ὁμοίως δὴ καὶ ἐνταῦθα δῆλον ὅτι δύο μὲν αἱ Α △, △Γ τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν, δύο δὲ αἱ ΓΕ, τῆς ΓΒ· ὥστε αἱ Α △, △Γ, ΓΕ, ΕΒ πολλῷ μείζους εἰσὶ τῆς ΑΒ. Ὁμοίως δὴ κἂν ἄλλα σημεῖα λαβόντες μεταξὺ τῶν εἰλημμένων ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὰ νῦν ληφθέντα εὐθείας, εὑρήσομεν αὐτὰς ἔτι μείζους οὔσας τῆς ΑΒ, καὶ τοῦτο συνεχῶς ποιοῦντες τὰς μᾶλλον συνεγγιζούσας τῇ ΑΒΓ γραμμῇ εὐθείας ἔτι μείζους εὑρήσομεν. Ὥστε ἐκ τούτου συμφανὲς εἶναι αὐτὴν τὴν γραμμὴν μείζονα εἶναι τῆς ΑΒ δυνατοῦ ὄντος κατὰ πᾶν αὐτῆς σημεῖον ἐπιζεύξαντας εὐθείας λάβεῖν ἐξ εὐθειῶν συγκειμένην τὴν οἷον αὐτὴν οὖσαν γραμμὴν μείζονα δεικνυμένην διὰ τῶν αὐτῶν τῆς ΑΒ οὐ γὰρ ἄτοπον ἐν ταῖς τῶν ὁμολογουμένων ἀποδείξεσιν καὶ τοιαύτας ἐννοίας προσλαμβάνειν.

Μετὰ δὴ τοῦτό φησιν λαμβάνειν καὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν γραμμῶν ἐκείνας ἀνίσους εἶναι τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας οὔσας κατὰ τὸν ἀνωτέρω εἰρημένον τρόπον οὐ μόνον δὲ ἤρκεσεν εἰς τὸ ἀνίσους εἶναι τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας εἶναι, ἀλλὰ καὶ ὅταν ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν ἢ ὅλην περιλαμβάνῃ ἢ μέρος μὲν περιλαμβάνῃ, μέρος δὲ καὶ κοινὸν ἔχῃ καὶ μείζονα εἶναι τὴν περιλαμβάνουσαν τῆς περιλαμβανομένης.

Νενοήσθωσαν γὰρ πρὸς τὸ καὶ τοῦτο κατάδηλον γενέσθαι ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμαὶ αἱ ΑΒΓ △ΕΖ καὶ ΑΗΘΖ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι τὰ Α, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαι καὶ ἔτι περιλαμβανομένη ὅλη ἡ ΑΗΘΖ ὑπὸ τῆς ΑΒΓ △ΕΖ γραμμῆς καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης αὐταῖς τῆς ΑΖ εὐθείας. Φημὶ δὴ ὅτι καὶ ἄνισοί εἰσιν αἱ προκείμεναι γραμμαί, καὶ μείζων ἡ περιλαμβάνουσα.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΘ, ΓΖ, △Ζ. Ἐπεὶ οὖν, ἐὰν νοηθῇ ἐπιζευγνυμένη ἡ ΘΑ, ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τοῦ ΑΒΘ ἐντὸς συνεσταμέναι εἰσὶν αἱ ΑΗ, ΗΘ, ἐλάττους εἰσὶν αἱ ΑΗ, ΗΘ τῶν ΑΒ, ΒΘ, Κοινὴ προσκείσθω ἡ ΘΖ αἱ ἄρα ΑΗ, ΗΘ, ΘΖ ἐλάττους εἰσὶν τῶν ΑΒ, ΒΘ, ΘΖ. Ἀλλ᾿ αἱ ΒΘ, ΘΖ ἐλάττους εἰσὶ τῶν ΒΓΖ. ἐντὸς γὰρ πάλιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ ΒΓΖ συνεσταμέναι εἰσίν· πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΖ τῶν ΑΗ, ΗΘ, ΘΖ μείζους εἰσίν. Ἀλλὰ τῆς ΓΖ μείζονες αἱ Γ △, △Ζ, τῆς δὲ △Ζ αἱ △Ε, ΕΖ. ἔτι πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΓ △ΕΖ μείζους εἰσὶ τῶν ΑΗΘΖ.

Σαφηνείας δὲ χάριν ὑποκείσθωσαν καὶ ἕτεραι γραμμαὶ ὁμοίως ταῖς προειρημέναις ὡε αἱ ΑΒΓ △Ε, ΑΖΗΘΚΕ. Λέρω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ περιλαμβάνουσα.

Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ ΑΖ, ΗΘ ἐπὶ τὸ Λ. Ἐπεὶ οὖν πάλιν δύο αἱ ΖΛ, ΛΗ μείζους εἰσὶ τῆς ΖΗ, κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΖ, ΗΘ αἱ ἄρα ΑΛ, ΛΘ μείζους εἰσὶ τῶν ΑΖ, ΗΖ, ΗΘ, Ἀλλ᾿ αἱ ΑΛ, ΛΘ ἐλάττους τῶν ΑΒΘ πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΘ μείζους τῶν ΑΖΗΘ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ΘΚ· μείζους ἄρα αἱ ΑΒΘΚ τῶν ΑΖΗΘΚ. Ἀλλ᾿ αἱ ΒΘΚ ἐλάττους τῶν ΒΓΚ πολλῷ ἄρα μείζους αἱ ΑΒΓΚ τῶν ΑΖΗΘΚ. Κοινὴ προσκείσθω ἡ Κ· αἱ ἄρα ΑΒΓΚΕ μείζους τῶν ΑΖΗΘΚΕ. Ἀλλ᾿ αἱ ΓΚΕ ἐλάττους τῶν Γ △Ε. πολλῷ ἄρα αἱ ΑΒΓ △Ε μείζους εἰσὶ τῶν ΑΖΗΘΚΕ.

Κἂν περιφέρειαι δὲ ὦσιν ἤτοι αἱ περιλαμβάνουσαι ἢ αἱ περιλαμβανόμεναι ἢ καὶ ἀμφότεραι, τὸ αὐτὸ ἔνεστιν νοεῖν. Συνεχῶν γὰρ σημείων ἐπ᾿ αὐτῶν λαμβανομένων καὶ ἐπὶ αὐτὰ ἐπιζευγνυμένων εὐθειῶν ληφθήσονται γραμμαὶ ἐξ εὐθειῶν συγκείμεναι, ἐφ᾿ ὧν ἁρμόσει ἡ προειρημένη ἀπόδειξις, τῶν ἐξ εὐθειῶν συγκειμένων οἷον αὐτῶν γινομένων τῶν προτεθεισῶν διὰ τὸ καὶ πᾶσαν γραμμὴν κατὰ συνέχειαν σημείων τὴν ὕπαρξιν ἔχουσαν νοεῖσθαι.

Ὅτι δὲ εἰκότως τὴν ἀνισότητα τῶν γραμμῶν οὐ μόνον τῷ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας εἶναι ἐχαρακτήρισεν, ἀλλὰ προσέθηκεν τὸ καὶ δεῖν περιλαμβάνεσθαι τὴν ἑτέραν ὑπὸ τῆς ἑτέρας καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης εὐθείας· τούτου γὰρ μὴ ὄντος οὐδὲ τὸ ἀνίσους εἶναι τὰς γραμμὰς πάντη ἀληθὲς ὑπῆρχεν, ὡς ἔστι κατανοῆσαι ἐκ τῶν ὑποκειμένων καταγραφῶν. Ἡ γὰρ ΑΒΓ △ γραμμὴ καὶ ἡ ΑΕΖ △ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοῖλαί εἰσι, καὶ ἄδηλον ὁποτέρα αὐτῶν μείζων ἐστίν· δυνατὸν γὰρ καὶ ἴσας εἶναι. Δυνατὸν δὲ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἑκατέραν νοεῖν καὶ τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσας ἀμφοτέρας, κατʼ ἐναντίαν δὲ θέσιν ἀλλήλαις κειμένας, ὡς ὁποτέρα τῶν εἰρημένων τῇ ΑΗΘΚ △ καὶ οὕτως γὰρ ἄδηλος ἥ τε ἰσότης καὶ ἀνισότης αὐτῶν. Διὸ καλῶς πρόσκειται τὸ δεῖν ἢ ὅλην τὴν ἑτέραν ὑπὸ τῆς ἑτέρας περιλαμβάνεσθαι καὶ τῆς τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχούσης εὐθείας, ἢ τινὰ μὲν περιλαμβάνεσθαι, τινὰ δὲ καὶ κοινὰ ἔχειν, ὡς ἐπὶ τῶν ΑΗΘΚ △ καὶ ΑΛΜΝΞ △ ἐπὶ γὰρ τούτων τινὰ μὲν περιλαμβάνεται, τινὰ δὲ κοινά ἐστιν, ὡς τὰ AΛ, ΜΝ.

Δεόντως δὲ πάνυ κἀκεῖνο πρὸς κρίσιν τῆς ἀνισότητος παρελήφθη τὸ δεῖν τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχειν τὰς γραμμάς· τούτου γὰρ μὴ ὄντος οὐδ᾿ , ἂν περιλαμβάνοιντο ὑπὸ ἀλλήλων, πάντως ἄνισοί εἰσιν, ἀλλ᾿ ἐνίοτε ἴσαι, ἢ καὶ ἡ περιλαμβανομένη μείζων. Ὅπερ ἵνα σαφὲς γένηται, νενοήσθωσαν ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν περιέχουσαι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν σημεῖον τὸ △, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α △, ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ Α △ τῆς ΑΒ, κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ △Ε, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΕ δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ. Ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΑΖΓ τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν, ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ, καὶ αἱ ΕΖΓ ἄρα τῆς ΑΓ μείζους εἰσίν. Κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ ΑΒ, △Ε. αἱ ἄρα △ΖΓ τῶν ΒΑΓ μείζους εἰσίν. Ὥστε μιᾶς γραμμῆς νοουμένης τῆς ΒΑΓ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλης, ἑτέρας δὲ τῆς △ΖΓ περιλαμβανομένης ὑπὸ τῆς ἑτέρας, μὴ ἐχούσης δὲ τὰ αὐτὰ πέρατα, οὐ μόνον ὅτι οὐ μείζων ἡ περιλαμβάνουσα, ἀλλὰ καὶ ἐλάττων ἐδείχθη.

Καὶ ἐπὶ γραμμῶν δὲ ἐκ πλειόνων εὐθειῶν συχκειμένων τὸ αὐτὸ τοῦτο ἔστι θεωρῆσαι. Νενοήσθωσαν γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ △ καὶ ἐπεζευγμένη ἡ Α △. Πάλιν δὴ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ △Ε, καὶ ἡ ΕΑ δίχα τετμήσθω τῷ Ζ, καὶ τῇ Α △ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ· καὶ κείσθω τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ πάλιν δίχα τετμήσθω ἡ ΘΗ κατὰ τὸ Κ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΗ ἤχθω ἡ ΗΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· καὶ πάλιν τῇ ΗΛ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΜΛ τῷ Ν, καὶ πάλιν πρὸς ὀρθὰς τῇ ΚΛ ἤχθω ἡ ΛΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΝΓ. φανερὸν οὖν διὰ τὰ προδεδειγμένα ὅτι μείζων ἡ μὲν △Ζ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΖΚ τῆς ΑΗ, ἡ δὲ ΚΝ τῆς ΗΛ, ἡ δὲ ΝΓ τῆς ΛΓ· ὥστε καὶ ὅλη ἡ γραμμὴ ἡ △ΖΚΝΓ μείζων τῆς ΒΑΗΛΓ.

Καλῶς ἄρα προσετέθη τὸ τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχειν ἐπὶ τῶν ἀνίσων.

Τὰ αὐτὰ δὲ δυνατὸν ἐπινοοῦντα δεικνύειν καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιφανειῶν ἀνὰ πᾶσι τοῖς προειρημένοις, ὅταν αἱ λαμβανόμεναι ἐπιφάνειαι τὰ πέρατα ἔχωσιν ἐν ἐπιπέδοις.

Εἰς τὸ β΄ θεώρημα.

Τὸ δὴ ΑΓ ἑαυτῷ ἐπισυντιθέμενον ὑπερέξει τοῦ △ | Δηλαδὴ ὡς τοῦ ΑΒ ἤτοι ἐπιμορίου ἢ καὶ ἐπιμεροῦς τυγχάνοντος τοῦ △. Εἰ δὲ εἴη τὸ ΑΒ τοῦ △ ἤτοι πολλαπλάσιον ἢ πολλαπλασιεπιμόριον ἢ καὶ πολλαπλασιεπιμερές, ἀφαιρεθέντος ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἴσου τῷ △ τοῦ ΒΓ τὸ λοιπὸν τὸ ΓΑ ὑπερέξει τοῦ △, ὥστε μηκέτι πολλαπλασιάζεσθαι αὐτό, ἀλλ᾿ αὐτόθεν δεῖν τῷ ΑΓ ἴσον ἀποτίθεσθαι τὸ ΑΘ, καὶ τὴν αὐτὴν ἀπόδειξιν ἁρμόζειν.

Καὶ συνθέντι τὸ ΖΕ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ Ὅτι γάρ, ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τρίτον πρὸς τέταρτον, καὶ συνθέντι ὁ αὐτὸς λόγος ἀκολουθεῖ, δειχθήσεται οὕτως.

Ἔστωσαν τέσσαρα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ, △Ε, ΕΖ, τὸ δὲ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ △Ε πρὸς τὸ ΕΖ. Λὲγω ὅτι καὶ συνθέντι τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς τὸ ΖΕ.

Γεγονέτω γὰρ ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ, οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΖΘ. ἀνάπαλιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ. Μείζονα δὲ λόγον ἔχει τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ καὶ τὸ ΘΖ ἄρα πρὸς ΖΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ. Μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘ τοῦ Ε △ καὶ ὅλον τὸ ΘΕ τοῦ △Ζ, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ΘΕ πρὸς ΕΖ, τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὸ συνθέντι καὶ τὸ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΕΖ. Ἀλλὰ δὴ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ τὸ πρὸς ΖΕ. Λέγω ὅτι καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ.

Πάλιν γὰρ ὁμοίως, ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὸ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως τὸ ΖΕ πρὸς ΕΘ, ἔσται τὸ ΘΕ μεῖζον τοῦ △Ζ. Καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΕΖ ἔσται μεῖζον τὸ ΘΖ τοῦ △Ε, καὶ διὰ τοῦτο τὸ ΘΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ διὰ τὸ διελόντι, μείζονα λόγον ἕξει ἤπερ τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ.

Φανερὸν δὲ διὰ τῶν ὁμοίων ὅτι, κἂν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ, καὶ συνθέντι καὶ πάλιν διελόντι ὁ αὐτὸς λόγος ἔσται.

Ἐκ δὲ τῶν αὐτῶν καὶ ὁ τοῦ ἀναστρέψαντι λόχος ἐμφανής ἐστιν. Ἐχέτω γὰρ τὸ ΑΓ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ. Λέγω ὅτι καὶ ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ △ πρὸς △Ε.

Ἐπεὶ γὸρ τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ζ πρὸς ΖΕ, καὶ διελόντι τὸ ΑΒ πρὸς ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ △Ε πρὸς ΕΖ, ἀνάπαλιν τὸ ΒΓ πρὸς ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς Ε △, καὶ συνθέντι τὸ ΓΑ πρὸς ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Ζ △πρὸς △Ε.

Εἰς τὸ γ΄.

Καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ Θ ἴση κατήχθω ἡ ΚΜ Δυνατὸν γὰρ τοῦτο προσεκβληθείσης τῆς ΚΛ ὡς ἐπὶ τὸ Χ καὶ τεθείσης τῇ Θ ἴσης τῆς καὶ κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ, κύκλου γραφέντος ὡς τοῦ ΧΜΝ. ἔσται γὰρ ἡ ΚΜ ἴση τῇ ΚΧ, τουτέστι τῇ Θ.

Ἡ ἄρα ΝΓ πολυγώνου ἐστὶ ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά Τῆς γὰρ μιᾶς ὀρθῆς ἐπὶ τεταρτημορίου βεβηκυίας καὶ τῆς τομῆς κατὰ ἀρτίαν διαίρεσιν ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γινομένης δῆλον ὅτι καὶ ἡ τοῦ τεταρτημορίου περιφέρεια εἰς ἀρτιακισαρτίους τὸν ἀριθμὸν ἴσας διαιρεθήσεται περιφερείας ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα εὐθεῖα μίαν τῶν περιφερειῶν πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρά.

Ὥστε καὶ ἡ ΟΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου πλευρά | Ἐὰν γὰρ τῇ ὑπὸ ΞΗΝ γωνίᾳ ἴσην ποιήσαντες τὴν ὑπὸ ΠΗ △ ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ ἐπιζεύξωμεν καὶ προσεκβάλωμεν ἄχρι τῆς ΗΘ τῆς μετὰ Η △ γωνίαν περιεχούσης ἴσην τῇ ὑπὸ ΠΗ △, ἔσται ἴση ἡ ΠΘ τῇ ΠΟ καὶ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ Η △, κοινὴ δὲ ἡ ΗΠ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσν, καὶ βάσις ἄρα ἡ ΞΠ τῷ Π △ ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΞΗ ὀρθὴ οὖσα τῇ ὑπὸ Π △Η· ὥστε ἐφάπτεται ἡ △Π. Ἐπεὶ οὖν αἱ πρὸς τῷ △ ὀρθαί εἰσιν, εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΠΗ △, △ΗΘ ἴσαι, καὶ ἡ πρὸς ταῖς ἴσαις κοινὴ ἡ △Η, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ Π △ τῇ Θ △. Ἀλλ᾿ ἡ ΞΠ τῇ Π △ ἐδείχθη ἴση· καὶ ἡ ΘΠ ἄρα τῇ ΠΟ ἐστὶν ἴση καὶ πάσαις ταῖς ὁμοίως ἐφαπτομέναις. Ὥστε ἡ ΘΠ πολυγώνου ἐστὶν ἰσοπλεύρου καὶ ἀρτιοπλεύρου πλευρὰ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου.

Ὅτι δὲ καὶ ὁμοίου τῷ ἐγγραφομένῳ αὐτόθεν δῆλον. Ἴσης γὰρ οὔσης τῆς μὲν ΟΗ τῇ ΗΠ, τῆς δὲ ΓΗ τῇ ΗΝ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΠ τῇ ΓΝ· διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΠΘ τῇ ΝΚ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΝΚ τῇ ὑπὸ ΟΠΘ ἴση ἐστί. Καὶ διὰ τοῦτο ὅμοιόν ἐστι τὸ περιγεγραμμένον τῷ ἐγγεγραμμένῳ.

Ἡ ἄρα ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ Μείζονος γὰρ οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ γωνίας τῆς ὑπὸ ΓΗΤ, ἐὰν τῇ ὑπὸ ΓΗΤ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΛΚΡ νοῦ Ρ μεταξὺ τῶν Λ, Μ νοουμένου, τὸ ΛΚΡ τρίγωνον τῷ ΓΗΤ ὅμοιόν ἐστιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΡΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ· ὥστε καὶ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΤ.

Εἰς τὸ ζ΄.

Διὰ δὴ τοῦτο ἔλασσόν ἐστι τὸ περιγραφόμενον τοῦ συναμφοτέρου | Ἐπεὶ γὰρ τὸ περιγραφόμενον πρὸς τὸ ἐγγραφόμενον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸν κύκλον, πολλῷ ἄρα τὸ περιγραφόμενον πρὸς τὸν κύκλον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸν κύκλον ὥστε τὸ περιγραφόμενον ἔλασσόν ἐστι τοῦ συναμφοτέρου.

Καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ κύκλου λοιπὰ τὰ περιλείμματα ἐλάσσονά ἐστι τοῦ Β χωρίου.

Εἰς τὸ η΄.

Αἱ ἄρα ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ Α, Β, Γ ἐπιζευγνύμεναι κἀθετοί εἰσι ἐπʼ αὐτάς Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ὁ κῶνος, καὶ ἔστω κορυφὴ μὲν αὐτοῦ τὸ Η, κέντρον δὲ τῆς βάσεως αὐτοῦ τὸ Θ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Η ἡ ΗΑ. Λὲγω ὅτι ἡ ΗΑ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν △E.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΗΘ κάθετός ἐστιν πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα ὥστε καὶ τὸ ΗΘΑ τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὴν βάσιν. Καὶ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων τῇ ΘΑ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ △Ε ἡ ἄρα △Ε τῷ ΗΘΑ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΗΑ. Ὁμοίως δὲ δειχθήσονται καὶ αἱ ἐπὶ τὰ Γ, Β ἐπιζευγνύμεναι ἀπὸ τῆς κορυφῆς κάθετοι οὖσαι ἐπὶ τὰς △Ζ, ΕΖ.

Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ ὅτι ἐπὶ μὲν τοῦ πρὸ τούτου καλῶς προσέκειτο τὸ δεῖν πάντως τὴν ἐγγραφομένην πυραμίδα ἰσόπλευρον ἔχειν τὴν βάσιν οὐκ ἄλλως γὰρ αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰς τῆς βάσεως πλευρὰς ἴσαι ἡδύναντο εἶναι· ἐπὶ δὲ τοῦ προκειμένου οὐ προσέθηκεν τὸ εἶναι ἰσόπλευρον τὴν βάσιν διὰ τὸ δύνασθαι, κἂν ὁποία τις ᾖ, τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖν.

Εἰς τὸ θ΄.

Μείζονα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΒ △, Β △Γ τρίγωνα τοῦ Α △Γ τργώνου Ἐπεὶ γὰρ στερεὰ γωνία ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ △, αἱ ὑπὸ Α △Β, Β △Γ μείζους εἰσὶν τῆς ὑπὸ Α △Γ, καί, ἐὰν

ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς βάσεως ἐπιζεύξωμεν ὡς τὴν △Ε κάθετον γινομένην ἐπὶ τὴν ΑΓ, ἔσται ἡ ὑπὸ Α △Β μείζων τῆς ὑπὸ Α △Ε. Συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ Α △Β ἴση ἡ ὑπὸ Α △Ζ, καὶ τεθείσης τῆς △Ζ ἴσης τῇ △Γ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. Ἐπεὶ οὖν δύο δυσὶν ἴσαι, ἀλλὰ καὶ γωνία γωνίᾳ, καὶ τὸ ΑΒ △ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ Α △Ζ τριγώνῳ μείζονι ὄντι τοῦ Α △Ε καὶ τὸ ΑΒ △ ἄρα τρίγωνον τοῦ Α △Ε μεῖζόν ἐστιν. Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ △ΒΓ τοῦ △ΕΓ δύο ἄρα τὰ Α △Β, △ΒΓ τοῦ Α △Γ μείζονά ἐστιν.

Εἰς τὸ ι΄.

Ἤχθω γὰρ ἡ ΗΖ ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου καὶ παράλληλος οὖσα τῇ ΑΓ δίχα τμηθείσης τῆς ΑΒΓ περιφερείας κατὰ τὸ Β Ὅτι γὰρ ἡ οὕτως ἀγομένη παράλληλος γίνεται τῇ ΑΓ, δειχθήσεται ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Θ ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΘΑ, Θ △, ΘΓ. Ἐπεὸ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α △ τῇ △Γ, καὶ κοινὴ ἡ △Θ, δύο δυσὶν ἴσαι. Ἀλλὰ καὶ βάσις ἡ ΑΘ βάσει τῇ ΘΓ· καὶ γωνία ἄρα γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΗΒ △, △ΒΖ γωνίαι ὀρθαί· ἀπὸ γὰρ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπέζευκται ἡ ΘΒ· ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ὑπὸ △ΗΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ △ΖΒ ἐστὶν ἴση. Καὶ διὰ τοῦτο ἡ Η △ τῇ △Ζ ἴση ἐστίν ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ.

Περιγράφοντες δὴ πολύγωνα περὶ τὸ τμῆμα ὁμοίως δίχα τεμνομένων τῶν περιλειπομένων περιφερειῶν καὶ ἀγομένων ἐφαπτομένων λείψομέν τινα ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ Θ χωρίου | Ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγραφομένων δὲδεικται

ἐν τῇ Στοιχειώσει ὅτι τὰ ἐγγραφόμενα τρίγωνα εἰς τὰ τμήματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῶν καθ᾿ ἑαυτὰ τμημάτων, καὶ διὰ τοῦτο δυνατὸν ἦν τέμνοντας τὰς περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντας εὐθείας καταλείπειν τινὰ ἀποτμήματα ἐλάσσονα τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ δὲ τῆς περιγραφῆς οὐκέτι τοῦτο δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει.

Ἐπεὶ οὖν ἐν τῷ προκειμένῳ τοῦτό φησιν, ὃ καὶ ἔστιν αὐτὸ συλλογίσασθαι διὰ τοῦ Ϛ΄ θεωρήματος, δεικτέον ὅτι ἡ ἐφαπτομένη ἀφαιρεῖ τρίγωνον μεῖζον ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ περιλείμματος, οἷον ὡς ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὅτι τὸ Η △Ζ τρίγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ περιλείμματος τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν Α △, △Γ καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας.

Τῶν γὰρ αὐτῶν ἐπεζευγμένων, ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ △ΒΖ, μείζων ἐστὶν ἡ △Ζ τῆς ΒΖ. δὲ ΖΒ τῇ ΖΓ ἴση· ἐφάπτεται γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν καὶ ἡ △Ζ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων. Ὥστε καὶ τὸ △ΒΖ τρίγωνον μεῖζόν ἐστι τοῦ ΒΖΓ τριγώνου ὑπὸ γὰρ τὸ αὐτὸ ὕψος εἰσίν· πολλῷ ἄρα τοῦ ΒΖΓ περιλείμματος μεῖζόν ἐστιν. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ △ΒΗ τοῦ ΒΗΑ μεῖζον· ὅλον ἄρα τὸ △ΖΗ μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ Α △Γ περιλείμματος.

Εἰς τὸ ιγ΄.

Νοείσθω δὴ εἰς τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον καὶ ἐγγεγραμμένον καὶ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένον ὅμοιον τῷ περὶ τὸν Β περγεγραμμένῳ | Ὅπως μὲν οὖν ἔστιν εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον ἐνγγράψαι ὅμοιον τῷ ἐν ἑτέρῳ ἐγγεγραμμένῳ δῆλον, εἴρηται δὲ καὶ Πάππῳ εἰς τὸ ὑπόμνημα τῶν Στοιχείων περὶ δὲ τὸν δοθέντα κύκλον πολύγωνον περιγράψαι ὅμοιον τῷ περὶ ἕτερον κύκλον περιγεγραμμένῳ οὐκέτι ὁμοίως ἔχομεν εἰρημένον· ὅπερ νῦν λεκτέον.

Τῷ γὰρ εἰς τὸν Β κύκλον ἐγγεγραμμένῳ ὅμοιον εἰς τὸν Α ἐγγεγράφθω καὶ περὶ αὐτὸν τὸν Α ὅμοιον τῷ εἰς αὐτόν, ὡς ἐν τῷ γ΄ θεωρήματι· καὶ ἔσται ὅμοιον καὶ τῷ περὶ τὸν Β περιγεγραμμένῳ.

Καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ εὐθύγραμμα τὰ περὶ τοὺς Α, Β κύκλους περιγεγραμμένα, τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὅνπερ καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει | Τὸ τοιοῦτον ἐπὶ μὲν τῶν ἐγγεγραμμένων δέδεικται ἐν τῇ Στοιχειώσει, ἐπὶ δὲ τῶν περιγεγραμμένων οὐκέτι· δειχθήσεται δὲ οὕτως.

Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς τὰ περιγεγραμμένα καὶ ἐγγεγραμμένα εὐθύχραμμα καὶ ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν κύκλων ἐπεζευγμέναι αἱ ΚΕ, ΚΜ, ΛΘ, ΛΝ· φανερὸν δὴ ὅτι αἱ ΚΕ, ΛΘ ἐκ τῶν κέντρων εἰσὶ τῶν περὶ τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα κύκλων καὶ πρὸς ἀλλήλας εἰσὶ δυνάμει ὡς τὰ περιγεγραμμένα πολύγωνα. Καὶ ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ΚΕΜ, ΛΘΝ ἡμίσειαί εἰσι τῶν ἐν τοῖς πολυγώνοις γωνιῶν, ὁμοίων ὄντων τῶν πολυγώνων δῆλον ὅτι καὶ αὐταὶ ἴσαι εἰσίν. Ἀλλὰ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ, Ν ὀρθαί· ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΕΜ, ΛΘΝ τρίγωνα, καὶ ἔσται ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΛΘ, ἡ KM πρὸς ΛΝ· ὥστε καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΛ, οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΝ, οὕτως τὰ περιγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα.

Τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ εὐθύγραμμον τὸ περὶ τὸν Β κύκλον, ὅνπερ τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον | Ἐπεὶ γὰρ τὰ περὶ τοὺς Α, Β κύκλους εὐθύγραμμα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ ἐκ τῶν κέντρων δυνάμει, τουτέστιν ἡ Τ △ πρὸς Η δυνάμει, τουτέστιν ἡ Τ △ πρὸς ΡΖ μήκει, τουτέστιν ὡς τὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ, ἴσον δὲ τὸ ΚΤ △ τῷ περὶ τὸν Α κύκλον περιγεγραμμένῳ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΤ △ πρὸς τὸ περὶ τὸν Β κύκλον περιγεγραμμένον, οὕτως τὸ αὐτὸ ΚΤ △ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΡΛ τρίγωνον.

Ἐναλλὰξ ἄρα ἐλάσσονα λόγον ἔχει τὸ πρίσμα πρὸς τὸν κύλινδρον ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πυλύγωνον πρὸς τὸν Β κύκλον· ὅπερ ἄτοπον | Ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κυλίνδρου, οὕτως τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς τὸν Β κύκλον πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλασσον τοῦ Β κύκλου, πρὸς μείζονα λόγον ἔχει τὸ ἐγγεγραμμένον ἤπερ πρὸς τὸν κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ πρίσματος πρὸς τὴν τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μείζονα λόχον ἔχει ἤπερ τὸ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὸν κύκλον. Ἐδείχθη δὲ ἔχον καὶ ἐλάσσονα ὅπερ ἄτοπον.

Εἰς τὸ ιδ΄.

Ἡ δὲ Γ πρὸς τὴν μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ πολύγωνον τὸ ἐν τῷ Α κύκλῳ ἐγγεγραμμένον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος τῆς ἐγγεγραμμένης εἰς τὸν κῶνον | Ἡ γὰρ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ κώνου μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου πρὸς τὴν ἐπὶ τὴν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου κάθετον ἀγομένην ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου.

Νενοήσθω γὰρ χωρὶς ἡ ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφὴ καὶ εἰς τὸν Α κύκλον ἐγγεγραμμένον πολύγωνον τὸ ΖΘΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ Α ἐπὶ μίαν πλευρὰν τοῦ πολυγώνου τὴν ΘΚ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΗ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ πολυγώνου. Νενοήσθω δὴ καὶ τοῦ κώνου κορυφὴ τὸ Λ σημεῖον καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Η ἐπεζευγμένη ἡ ΛΗ, ἥτις κάθετος γίνεται ἐπὶ τὴν ΘΚ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῷ λήμματι τοῦ ή θεωρήματος. Ἐπεὶ οὖν ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ ἐγγεγραμμένον πολύγωνον, ἔστι δὲ καὶ ἰσοσκελὴς ὁ κῶνος, αἱ ἀπὸ τοῦ Λ ἐφ᾿ ἑκάστην τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου ἀγόμεναι κάθετοι ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΗ· ἑκάστη γὰρ αὐτῶν δύναται τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος καὶ τῆς ἴσης τῇ ΑΗ. Διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου καὶ τῆς ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τῆς ἐπιφανείας τῆς πυραμίδος τὸ γὰρ ὑφ᾿ ἑκάστης πλευρᾶς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἐπ᾿ αὐτὴν ἀγομένης ἴσης τῇ ΛΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ καθ᾿ ἑαυτὴν τριγώνου. Ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος κοινοῦ ὕψους τῆς περιμέτρου τοῦ πολυγώνου λαμβανομένης. Ἀχθείσης δὴ τῆς ΗΝ παρὰ τὴν ΜΛ ἔσται ὡς ἡ ΑΜ πρὸς MΛ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΝ. δὲ ΑΗ πρὸς ΗΝ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΛ μείζων γὰρ ἡ ΛΗ τῆς ΗΝ· καὶ ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς ΜΛ, τουτέστιν ἡ πρὸς τὴν △, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΛ, τουτέστιν ἤπερ τὸ πολύγωνον πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς πυραμίδος.

Εἰς τὸ ιϚ΄.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς Α △ καὶ συναμφοτέρου τῆς △Ζ, ΑΗ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν △Ζ τῇ ΑΗ | Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ △Ζ τῇ ΑΗ, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, ἡ Β△ πρὸς △Ζ· καὶ διὰ τοῦτο τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν ΒΑ, △Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων τῶν Β△, ΑΗ. Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, △Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β△, △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α△, △Ζ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β΄ βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ΑΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Β△, △Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α△, △Ζ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ △Α, ΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ Β△, ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ △Α, ΑΗ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Β∠, ∠Ζ καὶ τῷ ὑπὸ Α△, △Ζ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Α△, ΑΗ.

Εἰς τὸ κγ΄.

Tὸ δὲ πλῇθος τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου μετρείσθω ὑπὸ τετράδος | Ὑπὸ τετράδος βούλεται μετρεῖσθαι τὰς πλευρὰς τοῦ πολυγώνου διὰ τὸ τοῦ κύκλου κινουμένου περὶ τὴν ΑΓ διάμετρον πάσας τὰς πλευρὰς κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν χρησίμου ἐσομένου αὐτῷ ἐν τοῖς ἑξῆς τοῦ τοιούτου. Μὴ γὰρ ὑπὸ τετράδος μετρουμένων τῶν πλευρῶν τοῦ πολυγώνου, κἂν ἀρτιόπλευρον ᾖ, οὐ πάσας δυνατὸν κατὰ κωνικῶν φέρεσθαι ἐπιφανειῶν, ὡς κατανοῆσαι ἔνεστιν ἐπὶ τῶν τοῦ ἑξαφώνου πλευρῶν· δύο γὰρ τὰς ἀπεναντίον αὐτοῦ παραλλήλους πλευρὰς κατὰ κυλινδρικῆς φέρεσθαι ἐπιφανείας συμβαίνει. Ὅπερ, ὡς εἴρηται, οὐ χρήσιμον αὐτῷ πρὸς τὰ ἑξῆς.

Εἰς τὸ λ΄.

Ἡ δὲ ΚΘ ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ σημεῖον, καθ᾿ ὃ ἐφάπτεται ἡ ΚΖ τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου, νοούμενον τὸ Μ, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΧΚ, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΧΚ τῇ ΧΖ, εἰσὶν δὲ καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Μ, ἴση γίνεται καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΜΖ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΖΧ τῇ ΧΘ ἴση· παράλληλος ἄρα ἡ ΧΜ τῇ ΚΘ, καὶ διὰ τοῦτο ἔσται ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΧ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΧΜ. Διπλῆ δὲ ἡ ΘΖ τῆς ΧΖ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΘ τῆς ΧΜ ἐκ τοῦ κέντρου οὔσης τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου.

Εἰs τὸ λβ΄.

Ἔχει δὲ καὶ ἡ διάμετρος τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΗΛ, ΓΚ, ὀρθῶν γινομένων τῶν πρὸς τοῖς Κ, Λ καὶ παραλλήλου τῆς ΑΚ τῇ ΛΕ ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΗΛΕ τρίγωνον τῷ ΓΚΑ τριγώνῳ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΗΛ πρὸς ΛΕ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ τὸ περιγεγραμμένον κύκλου διάμετρον, ὡς δὲ ἡ ΓΚ πρὸς ΚΑ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετρον· ὡς ἄρα πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου διάμετρον, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ ἐγγεγραμμένου γωνίας πρὸς τὴν τοῦ ΑΒΓ△ κύκλου διάμετρον. Ὡς δὲ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, οὕτως ἡ διάμετρος πρὸς τὴν πλευράν, ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΚ· καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι πρὸς τὴν ΑΚ. Ἀλλ᾿ ὡς πᾶσαι πρὸς τὴν πλευρὰν τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΕΛ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ τῆς ΕΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, ὡς δὲ πᾶσαι πρὸς τὴν ΑΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ πασῶν καὶ τῆς ΑΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν, πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ κοινοῦ ὕψους πάλιν λαμβανομένης τῆς ΑΚ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ. Καὶ ὡς ἄρα αὐτὴ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν πρὸς τὴν ΑΚ. Ἐναλλὰξ ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν, οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ὡς ἡ διάμετρος τοῦ Μ πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ Ν, ἡ ΕΛ πρὸς ΑΚ.

Εἰς τὸ λδ΄.

Αἱ δὲ Ι, Θ εἰλημμέναι, ὥστε τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν τὴν Κ τῆς | καὶ τὴν | τῆς Θ καὶ τὴν Θ τῆς Η | Τὸ προκείμενόν ἐστι δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν ἀριθμητικῇ ἀναλογίᾳ, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ τῷ ἴσῳ ἀλλήλων ὑπερέχειν. Ποιητέον δὲ τοῦτο οὕτως· ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΚ ἄνισοι, καὶ ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσης τῇ ΓΚ τῆς Β△ ἡ λοιπὴ ἡ Α△ τετμήσθω τρίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ τῇ μὲν ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Η, τῇ δὲ ΖΒ ἴση ἡ Θ. Ἔσονται δὴ αἱ Θ, Η ποιοῦσαι τὸ προκείμενον.

Λὲγω δὴ ὅτι καὶ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑB πρὸς τὴν Η.

Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η, οὕτως ἡ Η πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Λ. Καὶ ἐπεὶ ᾧ μέρει ἑαυτῆς ἡ ΑΒ ὑπερέχει τῆς Η, τούτῳ καὶ ἡ Η ἑαυτῆς ὑπερέχει τῆς Λ, τὸ δὲ αὐτὸ μέρος τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τοῦ μέρους τῆς Η, μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η ἤπερ ἡ Η τῆς Λ. Τῷ δὲ αὐτῷ ὑπερέχει ἡ ΑΒ τῆς Η καὶ ἡ Η τῆς Θ· μείζονι ἄρα ὑπερέχει ἡ Η τῆς Θ ἤπερ ἡ Η τῆς Λ· ὥστε μείζων ἡ Λ τῆς Θ. Ἐὰν δὴ πάλιν ποιήσωμεν ὡς τὴν Η πρὸς τὴν Λ, οὕτως τὴν Λ πρὸς Μ, πολλῷ μείζων ἔσται τῆς ΓΚ. Καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Η, Λ, Μ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Μ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς Η· ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν Η.

Εἰς τὸ λζ΄.

Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΕΘ καὶ τῶν ΕΖ, Γ△, ΚΑ δέδεικται ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΕΛ, ΚΘ | Ἐν γὰρ τῷ δευτέρῳ καὶ εἰκοστῷ θεωρήματι δέδεικται ὅτι αἱ ΕΖ, Γ△, ΚΑ πρὸς τὴν ΘΚ τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον, ὃν ἡ ΛΕ πρὸς ΕΘ· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων.

Τὸ δὲ ὑπὸ ΕΛ, ΚΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΑ | Καὶ γὰρ τοῦ ὑπὸ ΛΘ, ΘΚ ἴσου ὄντος τοῦ ἀπὸ ΘA, ὥς ἐστι δῆλον ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΛ καὶ διὰ τοῦτο ὁμοίου γινομένου τοῦ ΘΑΚ τριγώνου τῷ ΘΑΛ· ἔσται γὰρ ὡς ἡ ΛΘ πρὸς ΘΑ, ἡ ΑΘ πρὸς ΟΚ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης.

Εἰς τὸ λθ΄.

Ἕξει δὴ τὸ αὐτὸ κέντρον τῷ ΑΒΓ κύκλῳ | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ △ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Θ, Ε, Λ, ἴσαι ἔσονται διὰ τὸ καὶ τὰς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὰς ἀφὰς ἐπιζευγνυμένας εὐθείας καθέτους εἶναι ἐπὶ τὰς ἐφαπτομένας, καὶ αὐτὰς δὲ τὰς ἐφαπτομένας δίχα τέμνεσθαι πρὸς τῇ ἁφῇ.

Ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ, μείζων γίνεται ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας | Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΜΖ κατὰ κωνικῆς ἐπιφανείας φέρεται, κατὰ κολούρου κώνου ἐπιφανείας οἰσθήσεται, ᾗ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς τε ΖΜ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΖΗ καὶ τῆς ΜΝ. Ὁμοίως δὴ καὶ τῇ ὑπὸ τῆς ΜΑ γενομένῃ κολούρου κώνου ἐπιφανείᾳ ἴσος ἐστὶ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς ΜΑ καὶ τῆς ἡμισείας συναμφοτέρου τῆς ΑΒ καὶ ΜΝ. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΖΜ μείζων τῆς ΜΑ, ἡ δὲ ΖΗ τῆς ΑΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ μέση τῆς μέσης· ὥστε καὶ ἡ ἐπιφάνεια τῆς ἐπιφανείας. Ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΜ, ΝΗ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΜΑ, ΝΒ ἐπιφανείας.

Εἰς τὸ μ΄.

Ἡ ἄρα τοῦ σχήματος τοῦ ΚΖΛ ἐπιφάνεια μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου | Καὶ τὰ ἑξῆς. Ἀσαφέστερον δοκεῖ συνῆχθαι τὸ εἰρημένον, λέγοις δ᾿ ἂν σαφῶς οὕτως· ἐπειδὴ ὁ Ν κύκλος ἴσος ἐστὶ τῆ ἐπιφανείᾳ τοῦ σχήματος, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν δύναται τὸ ὑπὸ ΜΘ, ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΜΘ, ΖΗ μεῖζον τοῦ ὑπὸ Γ△, △Ξ· ἡ μὲν γὰρ ΜΘ ἴση δέδεικται τῇ Γ△, ἡ δὲ ΖΗ μείζων τῆς ∠Ξ ὁ Ν ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Γ△, △Ξ. Τὸ δὲ ὑπὸ Γ△, △Ξ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΑ· ὁ ἄρα Ν κύκλος, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ περιγεγραμμένου, μείζων ἐστὶ τοῦ κύκλου, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ △Α.

Εἰς τὸ μα΄.

Ἀλλὰ τὰ εἰρημένα χωρία πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πλευρᾶς πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ πλευρᾶς | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ △ΛΚ, παραλλήλου οὔσης τῆς ΕΚ τῇ ΑΛ ἐστὶν ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Α, ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ. Ὡς δὲ ἡ Ε△ πρὸς △Α, ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, ἡ ΕΖ πρὸς ΑΓ καὶ ἡ ἡμίσεια τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ἡμίσειαν τῆς ΑΓ. Ὁμοίως δὴ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν ἐπιζευγνυουσῶν τὰς γωνίας τῶν πολυγώνων δειχθήσεται ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχουσι λόγον πρὸς ἀλλήλας, ὃν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ. Καὶ ὡς ἄρα ἓν, πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως πᾶσαι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰς τοῦ περιγεγραμμένου γωνίας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ μείζονος τμήματος πρὸς πάσας τὰς ἐπιζευγνυούσας μετὰ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως τοῦ ἐλάσσονος τμήματος. Ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν· τὰ γὰρ ὅμοια εὐθύγραμμα ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, καὶ τοῦ μὲν τῆς ΕΚ πρὸς ΑΛ λόγου διπλασίων ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΛ, τῶν δὲ ἐπιζευγνυουσῶν τὰς τοῦ μείζονος πρὸς τὰς ἐπιζευγνυούσας τὰς τοῦ ἐλάττονος διπλασίων ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ τῆς ΕΚ καὶ πασῶν πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς ΑΛ καὶ πασῶν· ὅμοια γὰρ καὶ ταῦτα διὰ τὸ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχειν.

Καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας, οὕτως ἡ ΑΛ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον ἠγμένην | Ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζεύξωμεν εὐθεῖαν, ἔσται ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἐπʼ ἀμφοτέρας τὰς ΕΚ, ΑΛ, καὶ ἔσται ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Α, τουτέστιν ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευχθεῖσα, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἐλάσσονος σφαίρας πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ΑΛ κάθετον.

Ἐδείχθη δὲ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΑΛ, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν κύκλου | Ἐπεὶ δέδεικται ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ πολύγωνον πρὸς τὸ πολύγωνον, οὕτως ὁ Μ κύκλος πρὸς τὸν Ν, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ν.

Εἰς τὸ μβ΄.

Ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων διπλάσιός ἐστι τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἐγγεγραμμένου | Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ περιγεγραμμένου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ἴσου τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἐγγεγραμμένου, οὕτως ἡ πλευρὰ τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου πρὸς τὴν πλευρὰν τοῦ ἐγγεγραμμένου. Οἱ δὲ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους ἐν διπλασίονι λόγῳ εἰσὶν τῶν ἐκ τῶν κέντρων καὶ ἡ ἐπιφάνεια ἄρα πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.

Εἰs τὸ μδ΄.

Τὸ ἄρα περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ὁ στερεὸς τομεὺς πρὸς τὸν Θ κῶνον | Εἰ γὰρ τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα ἢ τριπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ △ πρὸς Ζ, ἡ δὲ πρὸς Ε μείζονα ἢ τριπλασίονα, τὸ ἄρα περιγεγραμμένον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ △ πρὸς Ε. Ἡ δὲ △ πρὸς Ε ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον· καὶ τὸ περιγεγραμμένον ἄρα πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ τομεὺς πρὸς τὸν κῶνον.

Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὸ πρῶτον τῶν Ἀρχιμήδους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.

Εἰς τὸ β΄.

Σαφῶς ἡμῖν τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ θεωρημάτων γεγραμμένων ἀκόλουθος καὶ ἡ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἐν τοῖς τοῦ δευτέρου θεωρήμασι σπουδή.

Φησὶν δὴ πρῶτον ἐν τῷ α΄ θεωρήματι·

Εἰλήφθω τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος | Τοῦτο δὲ διχῶς δυνατόν ἐστιν ποιεῖν ἤτοι τῆς βάσεως τῆς αὐτῆς σωζομένης ἐν ἀμφοτέροις ἢ τοῦ ὕψους. Καὶ ἵνα σαφέστερον γένηται τὸ λεγόμενον, νενοήσθω κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ Α κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΑΓ, καὶ δέον ἔστω αὐτοῦ ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν.

Ὑποκείσθω δὴ πρότερον ὁ ΑΓ κύλινδρος, καὶ προσεκβεβλήσθω τὸ ΑΓ ὕψος τοῦ κυλίνδρου, καὶ κείσθω τῆς ΑΓ ἡμίσεια ἡ Γ△ ἡ ἄρα Α△ ἡμιολία ἐστὶν τῆς ΑΓ. Ἐὰν δὴ νοήσωμεν κύλινδρον βάσιν μὲν ἔχοντα τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν Α△ εὐθεῖαν, ἡμιόλιος ἔσται τοῦ προτεθέντος τοῦ ΑΓ· οἱ γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.

Eἰ δὲ κῶνος εἴη ὁ ΑΓ, τμηθείσης τῆς ΑΓ δίχα ὡς κατὰ τὸ Ε ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Α κύκλον, ὕφος δὲ τὴν ΑΕ, ἔσται ἡμιόλιος τοῦ ΑΓ κώνου ὁ γὰρ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Α κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΑΓ εὐθεῖαν, τοῦ μὲν ΑΓ κώνου τριπλάσιός ἐστι, τοῦ δὲ ΑΕ κυλίνδρου διπλάσιος ὥστε δῆλον ὅτι καὶ ὁ ΑΕ κύλινδρος ἡμιόλιός ἐστι τοῦ ΑΓ κώνου.

Οὕτως μὲν οὖν τῆς αὐτῆς βάσεως σωζομένης ἔν τε τῷ προτεθέντι καὶ ἐν τῷ λαμβανομένῳ γενήσεται τὸ πρόβλημα, ἕνεστι δὲ καὶ τῆς βάσεως διαφόρου τυγχανούσης, τοῦ δὲ ἄξονος τοῦ αὐτοῦ μένοντος, τὸ αὐτὸ ποιεῖν.

Ἔστω γὰρ πάλιν κῶνος ἢ κύλινδρος, οὗ βάσις ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, οὗ δέον ἔστω ἡμιόλιον κύλινδρον εὑρεῖν ὕψος ἔχοντα ἴσον τῇ ΘΚ. Ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΖΗ διαμέτρου τοῦ κύκλου τετράγωνον τὸ ΖΛ, καὶ προσεκβληθείσης τῆς ΖΗ κείσθω αὐτῆς ἡμίσεια ἡ ΗΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον· τὸ ἄρα ΖΝ ἡμιόλιόν ἐστι τοῦ ΖΛ καὶ ἡ ΜΖ τῆς ΖΗ. Συνεστάτω δὴ τῷ ΖΝ παραλληλογράμμῳ ἴσον τετράγωνον τὸ ΞΠ, καὶ περὶ διάμετρον μίαν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τὴν ΞΟ κύκλος γεγράφθω. Ἔσται δὴ ὁ ΞΟ ἡμιόλιος τοῦ ΖΗ· οἱ γὰρ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα, Καὶ ἐὰν πάλιν νοηθῇ κύλινδρος βάσιν μὲν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἔσται ἡμιόλιος τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσις μὲν ὁ ΖΗ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ.

Εἰ δὲ κῶνος εἴη, ὁμοίως τὰ αὐτὰ ποιήσαντες καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ΖΝ παραλληλογράμμου ἴσον συστησάμενοι τετράγωνον ὡς τὸ ΞΠ καὶ περὶ τὴν πλευρὰν αὐτοῦ τὴν Ξ0 κύκλον γράψαντες νοήσωμεν ἀπʼ αὐτοῦ κύλινδρον ὕψος ἔχοντα τὴν ΘΚ· ἕξομεν αὐτὸν ἡμιόλιον τοῦ προτεθέντος κώνου. Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΖΝ παραλληλόγραμμον τοῦ ΞΠ τετραγώνου τριπλάσιον, τοῦ δὲ ΖΛ ἡμιόλιον, τὸ ΖΛ τοῦ ΞΠ ἔσται διπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου διπλάσιος καὶ ὁ κύλινδρος τοῦ κυλίνδρου. Ἀλλ᾿ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν ΖΗ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τριπλάσιός ἐστι τοῦ περὶ τὴν αὐτὴν βάσιν καὶ ὕψος τὸ αὐτὸ κώνου ὥστε καὶ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν ἔχων τὸν Ξ0 κύκλον, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ΘΚ, ἡμιόλιός ἐστι τοῦ προκειμένου κώνου.

Εἰ δὲ δέοι μήτε τὸν ἄξονα τὸν αὐτὸν εἶναι μήτε τὴν βάσιν, γενήσεται τὸ πρόβλημα πάλιν διχῶς ἢ γὰρ τὴν βάσιν ἕξει ἴσην τῇ δοθείσῃ ἢ τὸν ἄξονα ὁ ποριζόμενος κύλινδρος. Ἔστω γὰρ πρότερον ἡ βάσις διδομένη, ὡς ὁ

Ξ0 κύκλος, καὶ δέον ἔστω κύλινδρον εὑρεῖν ἡμιόλιον τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἀπὸ βάσεως τῆς ΞΟ. Εἰλήφθω, ὡς προείρηται, τοῦ δοθέντος κώνου ἢ κυλίνδρου ἡμιόλιος κύλινδρος βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ προτεθέντι ὁ ΦΥ, καὶ γεγονέτω ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΞΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΥ, οὕτως τὸ ὕψος τοῦ ΦΥ πρὸς τὴν ΡΣ. Ἔσται ἄρα ὁ κύλινδρος

ὁ ἀπὸ τῆς ΞΟ βάσεως ὕψος ἔχων τὴν ΡΣ ἴσος τῷ ΦΥ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπίταγμα. Εἰ δὲ μὴ ἡ βάσις ᾗ διδομένη, ἀλλὰ ὁ ἄξων, τῷ αὐτῷ λόχῳ πορισθέντος τοῦ ΦΥ γενήσεται τὰ τῆς προτάσεως.

Εἰς τὴν σύσθεσιν τοῦ α΄.

Τούτου ληφθέντος ἐπεὶ διʼ ἀναλύσεως αὐτῷ προέβη τὰ τοῦ προβλήματος, ληξάσης τῆς ἀναλύσεως εἰς τὸ δεῖν δύο δοθεισῶν δύο μέσας ἀνάλογον προσευρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ φησὶν ἐν τῇ συνθέσει· εὑρήσθωσαν. Τὴν δὲ εὕρεσιν τούτων ὑπʼ αὐτοῦ μὲν γεγραμμένην οὐδὲ ὅλως εὑρίσκομεν, πολλῶν δὲ κλεινῶν ἀνδρῶν γραφαῖς ἐντετυχήκαμεν τὸ πρόβλημα τοῦτο ἐπαγγελλομέναις, ὧν τὴν Εὐδόξου τοῦ Κνιδίου παρῃτησάμεθα γραφήν, ἐπειδή φησιν μὲν ἐν προοιμίοις διὰ καμπύλων γραμμῶν αὐτὴν ηὑρηκέναι, ἐν δὲ τῇ ἀποδείξει πρὸς τῷ μὴ κεχρῆσθαι καμπύλαις γραμμαῖς ἀλλὰ καὶ διῃρημένην ἀναλογίαν εὑρὼν ὡς συνεχεῖ χρῆται· ὅπερ ἦν ἄτοπον ὑπονοῆσαι, τί λέγω περὶ Εὐδόξου, ἀλλὰ περὶ τῶν καὶ μετρίως περὶ γεωμετρίαν ἀνεστραμμένων. Ἵνα δὴ ἡ τῶν εἰς ἡμᾶς ἐληλυθότων ἀνδρῶν ἔννοια ἐμφανὴς γένηται, ὁ ἑκάστου τῆς εὑρέσεως τρόπος καὶ ἐνταῦθα γραφήσεται.

Ὡς Πλάτων.

Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Ἐκβεβλήσθωσαν ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ △, Ε, καὶ κατεσκευάσθω ὀρθὴ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΗΘ, καὶ ἐν ἑνὶ σκέλει, οἷον τῷ ΖΗ, κινείσθω κανὼν ὁ ΚΛ ἐν σωλῆνί τινι ὄντι ἐν τῷ ΖΗ οὕτως, ὥστε παράλληλον αὐτὸν διαμένειν τῷ ΗΘ. Ἔσται δὲ τοῦτο,

ἐὰν καὶ ἕτερον κανόνιον νοηθῇ συμφυὲς τῷ ΘΗ, παράλληλον δὲ τῷ ΖΗ, ὡς τὸ ΘΜ· σωληνισθεισῶν γὰρ τῶν ἄνωθεν ἐπιφανειῶν τῶν ΖΗ, ΘΜ σωλῆσιν πελεκινοειδέσιν καὶ τύλων συμφυῶν γενομένων τῷ ΚΛ εἰς τοὺς εἰρημένους σωλῆνας ἔσται ἡ κίνησις τοῦ ΚΛ παράλληλος ἀεὶ τῷ ΗΘ. Τούτων οὖν κατεσκευασμένων κείσθω τὸ ἓν σκέλος τῆς γωνίας τυχὸν τὸ ΗΘ ψαῦον τοῦ Γ, καὶ μεταφερέσθω ἥ

τε γωνία καὶ ὁ ΚΛ κανὼν ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν τὸ μὲν Η σημεῖον ἐπὶ τῆς Β∠ εὐθείας ᾗ τοῦ ΗΘ σκέλους ψαύοντος τοῦ Γ, ὁ δὲ ΚΛ κανὼν κατὰ μὲν τὸ Κ ψαύῃ τῆς ΒΕ εὐθείας, κατὰ δὲ τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ Α, ὥστε εἶναι, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς καταγραφῆς, τὴν μὲν ὀρθὴν γωνίαν θέσιν ἔχουσαν ὡς τὴν ὑπὸ Γ△Ε, τὸν δὲ ΚΛ κανόνα θέσιν ἔχειν, οἵαν ἔχει ἡ ΕΑ· τούτων γὰρ γεναμένων ἔσται τὸ προκείμενον. Ὀρθῶν γὰρ οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς △, Ε ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ ∠Β πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ.

Ὡς Ἥρων ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς καὶ ἐν τοῖς Βελοποιικοῖς.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β△ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ,

Β△ φανερὸν δὴ ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ παραλληλόγραμμον. Ἐκβεβλήσθωσαν αἱ △Γ, △Α ~~ἐπὶ τὰ Ζ, Η~~, καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β καὶ κινείσθω, ἕως ἀποτέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. Καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων, ὡς εἴρηται, γινομένων τῶν ΕΗ, ΕΖ ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν Γ△ κάθετος ἡ ΕΘ· δίχα δὴ τέμνει δηλονότι τὴν Γ△. Ἐπεὶ οὖν δίχα τέτμηται ἡ Γ△ κατὰ τὸ Θ, καὶ πρόσκειται ἡ ΓΖ, τὸ ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ. Καί ἐστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ, ΘE ἴσον τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ △ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ △ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ. Καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ· καὶ τὸ ὑπὸ △ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ △ΗΑ ~~ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ᾖ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν~~· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Ζ△ πρὸς △Η, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Ζ△ πρὸς △Η, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΒ καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ ~~τριγώνου γὰρ τοῦ Ζ△Η παρὰ μίαν μὲν τὴν △Η ἦκται ἡ ΓΒ, παρὰ δὲ τὴν △Ζ ἡ ΑΒ~~· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ. Τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ, ΓΖ ~~ὅπερ ἔδει εὑρεῖν~~.

Ὡς Φίλων ὁ Βυζάντιος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. Κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΑΓ γεγράφθω περὶ αὐτὴν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΕΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν τῇ μὲν ΒΑ ἡ Α△, τῇ δε ΒΓ ἡ ΓΖ, καὶ παρακείσθω κανὼν κινούμενος πρὸς τῷ Β τέμνων τὰς Α△, ΓΖ καὶ κεκινήσθω περὶ τὸ Β, ἄχρις ἂν ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ △ ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Ζ, τουτέστι τῇ μεταξὺ τῆς τε περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ΓΖ. Νενοήσθω οὖν ἔχον τὸ κανόνιον θέσιν, οἵαν ἔχει ἡ △ΒΕΖ, ἴσης οὔσης, ὡς εἴρηται, τῆς △Β τῇ ΕΖ. Λέγω ὅτι αἱ Α△, ΓΖ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ, ΒΓ.

Νενοήσθωσαν γὰρ ἐκβεβλημέναι αἱ △Α, ΖΓ καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Θ· φανερὸν δὴ ὅτι παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΒΑ, ΖΘ ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία ὀρθή ἐστιν, καὶ ὁ ΑΕΓ κύκλος ἀναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Θ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ △Β τῇ ΕΖ, καὶ τὸ ὑπὸ Ε△Β ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ. Ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ Ε△Β ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Θ△Α· ἑκάτερον γὰρ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ △· τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖΕ ἴσον τῷ ὑπὸ ΘΖΓ· ἑκάτερον γὰρ ὁμοίως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ Ζ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ Θ△Α ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖΓ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς △Α. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Θ△ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἥ τε ΒΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ· τριγώνου γὰρ τοῦ △ΘΖ παρὰ μὲν τὴν △Θ ἦκται ἡ ΒΓ, παρὰ δὲ τὴν ΘΖ ἡ ΒΑ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΖ πρὸς △Α καὶ ἡ △Α πρὸς ΑΒ· ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.

Ἰστέον δὲ ὅτι ἡ τοιαύτη κατασκευὴ σχεδὸν ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Ἥρωνος· τὸ γὰρ ΒΘ παραλληλόγραμμον τὸ αὐτό ἐστι τῷ ληφθέντι ἐπὶ τῆς Ἥρωνος κατασκευῆς καὶ αἱ προσεκβαλλόμεναι πλευραὶ αἱ ΘΑ, ΘΓ καὶ ὁ πρὸς τῷ Β κινούμενος κανών. Ταύτῃ δὲ μόνον διαφέρει, ὅτι ἐκεῖ μὲν μέχρι τοσούτου ἐκινοῦμεν περὶ τὸ Β τὸν κανόνα, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς ΑΓ, τουτέστι τοῦ Κ, ἴσαι ὑπʼ αὐτοῦ ἀπετέμνοντο πρὸς τὰς Θ△, ΘΖ προσπίπτουσαι, ὡς αἱ Κ△, ΚΖ, ἐνταῦθα δέ, ἄχρις ἂν ἡ △Β ἴση γένηται τῇ ΕΖ. Ἐφ᾿ ἑκατέρας δὲ κατασκευῆς τὸ αὐτὸ ἀκολουθεῖ, τὸ δὲ νῦν εἰρημένον πρὸς χρῆσιν εὐθετώτερον τὰς γὰρ △Β, ΕΖ ἴσας τηρεῖν ἐνδέχεται διῃρημένου τοῦ κανόνος εἰς ἴσα καὶ συνεχῆ πολύ γε εὐκολώτερον τοῦ καρκίνῳ διαπειράζειν τὰς ἀπὸ τοῦ Κ ἴσας πρὸς τὰ △, Ζ.

Ὡς Ἀπολλώνιος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ ΒΑΓ ὀρθὴν περιέχουσαι γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΑΓ, κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΚΘΛ, καὶ πάλιν κέντρῳ τῷ καὶ διαστήματι τῷ ΑΒ κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΜΘΝ καὶ τεμνέτω τὴν ΚΘΛ κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΑ. Τετμήσθω

δίχα ἡ ΘΑ τῷ Ξ, καὶ κέντρῳ τῷ Ξ γεγράφθω κύκλος τέμνων τὰς ΑΒ, ΑΓ ἐκβληθείσας κατὰ τὰ △, Ε, ὥστε μέντοι τὰ △, Ε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τῷ Θ ὅπερ ἂν γένοιτο κανονίου κινουμένου περὶ τὸ Θ τέμνοντος τὰς Α△, ΑΕ καὶ παραγομένου ἐπὶ τοσοῦτον, ἄχρις ἂν αἱ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὰ △, Ε ἴσαι γένωνται.

Τούτου γὰρ γενομένου ἔσται τὸ ζητούμενον· ἡ γὰρ αὐτὴ κατασκευή ἐστι τῇ τε ὑπὸ Ἥρωνος καὶ φίλωνος γεγραμμένῃ, καὶ δῆλον ὅτι ἡ ἀπόδειξις ἡ αὐτὴ ἁρμόσει.

Ὡς Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων.

Ἐν κύκλῳ διήχθωσαν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς αἱ ΑΒ, Γ△, καὶ δύο περιφέρειαι ἴσαι ἀπειλήφθωσαν ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Β αἱ ΕΒ, ΒΖ, καὶ διὰ τοῦ Ζ παράλληλος τῇ ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ △Ε. Λέγω ὅτι τῶν ΓΗ, ΗΘ δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΖΗ, Η△.

Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΕΚ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△. Ἔσται γὰρ τοῦτο δῆλον ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰ Ε, Ζ ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν· ἴσαι γὰρ γίνονται αἱ ὑπὸ ΓΛΕ, ΖΛ△, καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Κ, Η· καὶ πάντα ἄρα πᾶσιν διὰ τὸ τὴν ΛΕ τῇ ΛΖ

ἴσην εἶναι· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΚ τῇ Η△ ἴση ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ △Κ πρὸς ΚΕ, ἡ △Η πρὸς ΗΘ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Κ πρὸς ΚΕ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ· μέση γὰρ ἀνάλογον ἡ ΕΚ τῶν △Κ, ΚΓ· ὡς ἄρα ἡ △Κ πρὸς ΚΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ △Η πρὸς ΗΘ. Καί ἐστιν ἴση ἡ μὲν △Κ τῇ ΓΗ, ἡ δὲ ΚΕ τῇ ΖΗ, ἡ δὲ ΚΓ τῇ Η△· ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΖΗ πρὸς Η△ καὶ ἡ △Η πρὸς ΗΘ. Ἐὰν δὴ παῤ ἑκάτερα τοῦ Β ληφθῶσιν περιφέρειαι ἴσαι αἱ ΜΒ, ΒΝ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ν παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΑΒ ἡ ΝΞ, ἐπιζευχθῇ δὲ ἡ △Μ, ἔσονται πάλιν τῶν ΓΞ, Ξ0 μέσαι ἀνάλογον αἱ ΝΞ, Ξ△. Πλειόνων οὖν οὕτως καὶ συνεχῶν παραλλήλων ἐκβληθεισῶν μεταξὺ τῶν Β, △ καὶ ταῖς ἀπολαμβανομέναις ὑπʼ αὐτῶν περιφερείαις πρὸς τῷ Β ἴσων τεθεισῶν ἀπὸ τοῦ Β ὡς ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἐπὶ τὰ γενόμενα σημεῖα ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν ἀπὸ τοῦ △, ὡς τῶν ὁμοίων ταῖς △Ε, △Μ, τμηθήσονται αἱ παράλληλοι αἱ μεταξὺ τῶν Β, △ κατά τινα σημεῖα, ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς τὰ Ο, Θ, ἐφ᾿ ἃ κανόνος παραθέσει ἐπιζεύξαντες εὐθείας ἕξομεν καταγεγραμμένην ἐν τῷ κύκλῳ τινὰ γραμμήν, ἐφ᾿ ἧς ἐὰν ληφθῇ τυχὸν σημεῖον καὶ διʼ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ΛΒ, ἔσται ἡ ἀχθεῖσα καὶ ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπ᾿ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ △ μέσαι ἀνάλογον τῆς τε ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῷ Γ σημείῳ καὶ τοῦ μέρους αὐτῆς τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐν τῇ γραμμῇ σημείου ἐπὶ τὴν Γ△ διάμετρον.

Τούτων προκατεσκευασμένων ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν, αἱ Α, Β, καὶ ἔστω κύκλος, ἐν ᾧ δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ Γ△, ΕΖ, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ἡ διὰ τῶν συνεχῶν σημείων γραμμή, ὡς προείρηται, ἡ △ΘΖ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΚ καὶ ἐκβληθεῖσα τεμνέτω τὴν γραμμὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ· διὰ ἄρα τὰ προγεγραμμένα τῶν ΓΛ, ΛΘ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΛ, Λ△. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΘ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ταῖς ΓΛ, ΛΜ, Λ△, ΛΘ παρεμβάλωμεν μέσας τῶν Α, Β, ὡς τὰς Ν, Ξ, ἔσονται εἰλημμέναι τῶν Α, Β μέσαι ἀνάλογον αἱ Ν, Ξ· ὅπερ ἕδει εὑρεῖν.

Ὡς Πάππος ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς.

Προέθετο μὲν ὁ Πάππος κύβον εὑρεῖν πρὸς τὸν δοθέντα κύβον λόχον ἔχοντα δεδομένον, καὶ ὡς πρὸς τὴν τοιαύτην πρόθεσιν καὶ τὰ τῆς ἀποδείξεως αὐτῷ προέρχεται, δῆλον δὲ ὅτι τούτου εὑρισκομένου καὶ τὸ προκείμενον εὑρίσκεται· δύο γὰρ δοθεισῶν εὐθειῶν ἐὰν τῶν ὀφειλουσῶν μέσων εὑρεθῆναι ἡ δευτέρα εὑρεθῇ, καὶ ἡ τρίτη αὐτόθεν δοθήσεται.

Γεγράφθω γάρ, ὥς φησιν αὐτὸς κατὰ λέξιν, ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ △ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ △Β, καὶ κινείσθω κανόνιον περὶ τὸ △ σημεῖον, ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ △ σημεῖον ἑστῶτι, τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β, Γ. Τούτων δὲ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους τὸν ἐπιταχθέντα.

Καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β△ πρὸς △Ε, καὶ ἐπζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. Παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β, Γ, ἕως οὖ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ, ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. Γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ, ΘΚ. Λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β△ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς △Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστι τὸν τῆς Β△ πρὸς △Ε.

Νενοήσθω γὰρ ὁ κύκλος ἀναπεπληρωμένος, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ△ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β△ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Κ△ τῇ △Λ. Ἐπεζεύχθω δὴ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. Ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΓ, ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ, καὶ κάθετος ἡ ΛΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτὲστιν ἡ ΤΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ. Κοινὸς προσκείσθω ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ λόγος· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ λόγος, ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόγῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ· καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ λόχῳ, ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Γ△ πρὸς △Ε, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Α△ πρὸς △Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ Β△ πρὸς △Ε, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β△ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς △Θ κύβον. Τῶν ἄρα ὀφειλουσῶν εὑρεθῆναι δύο μέσων ἀνάλογον τῶν Β△, δὲ δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ καὶ ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν Β△ πρὸς △Θ, τὴν Θ△ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται καὶ ἡ τρίτη ηὑρημένη.

Προσέχειν δὲ χρὴ ὡς καὶ ἡ τοιαύτη κατασκευὴ ἡ αὐτή ἐστι τῇ ὑπὸ Διοκλέους εἰρημένῃ τούτῳ μόνον διαφέρουσα φέρουσα τῷ ἐκεῖνον μὲν γραμμήν τινα καταγράφειν διὰ συνεχῶν σημείων μεταξὺ τῶν Α, Β, ἐφ᾿ ἧς ἐλαμβάνετο τὸ Η ἐκβαλλομένης τῆς ΓΕ καὶ τεμνούσης τὴν εἰρημένην γραμμήν, ἐνταῦθα δὲ τὸ Η πορίζεται διὰ τοῦ ΑΚ κανόνος κινουμένου περὶ τὸ Α. Ὅτι γὰρ τὸ Η τὸ αὐτό ἐστι, εἴτε ὡς ἐνταῦθα διὰ τοῦ κανόνος ληφθῇ, εἴτε ὡς ἔφη Διοκλῆς, μάθοιμεν ἂν οὕτως. Ἐκβληθείσης τῆς ΜΗ κατὰ τὸ Ν ἐπεζεύχθω ἡ ΚΝ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, καὶ παράλληλος ἡ ΗΝ τῇ ΘΒ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΝ. Καὶ κοινὴ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΞΒ· ἡ γὰρ ΚΝ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνεται ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ κέντρου καὶ βάσις ἄρα βάσει ἴση, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΚΒ περιφέρεια τῇ ΒΝ. Tὸ ἄρα Η ἐστὶν τὸ ἐπὶ τῆς γραμμῆς τοῦ Διοκλέους. Καὶ ἡ ἀπόδειξις δὴ ἡ αὐτή ἐστιν. Ἐφασκεν γὰρ ὁ Διοκλῆς ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΝΜ τῇ ΜΛ· ἡ γὰρ διάμετρος πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνει· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ. Τῶν ἄρα ΓΜ, ΜΗ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΛΜ, ΜΑ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, ἡ Γ△ πρὸς △Ε, ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΛ, ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ἡ Γ△ πρὸς △Θ καὶ τῶν δύο μέσων ἄρα τῶν Γ△, △Ε δευτέρα ἐστὶν ἡ △Θ, ἥντινα ἐπορίσατο καὶ ὁ Πάππος.

Ὡς Σπόρος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, ΒΓ· δεῖ δὴ τῶν ΑΒ, ΒΓ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ △ΒΕ, καὶ κέντρῳ τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ, ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ △ΑΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Γ εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ △ διήχθω τις εὐθεῖα οὕτως ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΗΘ τῇ ΘΚ· τοῦτο γὰρ δυνατόν καὶ ἢχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, ἐπὶ τὴν δὲ κἀθετοι αἱ ΗΛ, ΚΝΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΜΒ πρὸς ΒΛ, ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΛ ὥστε καὶ λοιπὴ ἡ ΜΕ τῇ Λ△. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ △Μ τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Λ, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Λ, ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΜ, ἡ ΗΛ πρὸς ΝΜ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ △Μ πρὸς ΜΚ, ἡ ΚΜ πρὸς ΜΕ, ὡς ἄρα ἡ △Μ πρὸς △Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ △Μ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΚ, τουτέστι τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ △Β τῇ ΒΑ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Β, ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Μ△ πρὸς △Β ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΜ πρὸς ΘΒ, ἡ ΗΛ πρὸς ΓΒ · καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΜ πρὸς ΗΛ, ἡ Μ△ πρὸς △Λ τουτέστιν ἡ △Μ πρὸς ΜΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ · καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, ἡ ΒΘ πρὸς ΒΓ. Εἰλήφθω τῶν ΘΒ, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἡ Ξ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ δὲ ΘΒ πρὸς ΒΓ διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΘ πρὸς Ξ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς Ξ, ἡ Ξ πρὸς ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΘΒ πρὸς Ξ καὶ ἡ Ξ πρὸς ΒΓ.

Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ αὕτη ἡ αὐτή ἐστιν τῇ τε ὑπὸ Πάππου καὶ Διοκλέους γεγραμμένῃ.

Ὡς Μέναιχμος.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α, Ε · δεῖ δὴ τῶν Α, Ε δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Γεγονέτω, καὶ ἔστωσαν αἱ Β, Γ, καὶ ἐκκείσθω θέσει εὐθεῖα ἡ △Η πεπερασμένη κατὰ τὸ △, καὶ πρὸς τῷ △ τῇ Γ ἴση κείσθω ἡ △Ζ καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΘ, καὶ τῇ Β ἴση κείσθω ἡ ΖΘ. Ἐπεὶ οὖν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β · τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης τῆς Α καὶ τῆς Γ, τουτέστι τῆς △Ζ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. Ἐπὶ παραβολῆς ἄρα τὸ Θ διὰ τοῦ γεγραμμένης. Ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΘΚ, △Κ. Καὶ ἐπεὶ δοθὲν τὸ ὑπὸ Β, Γ, ἴσον γάρ ἐστι τῷ ὑπὸ Α, Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΚΘΖ. Ἐπὶ ὑπερβολῆς ἄρα τὸ Θ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ. Δοθὲν ἄρα τὸ Θ · ὥστε καὶ τὸ Ζ.

Συντεθήσεται δὴ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ μὲν δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ Α, Ε, ἡ δὲ τῇ θέσει ἡ △Η πεπαρασμένη κατὰ τὸ △, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ παραβολή, ἧς ἄξων μὲν ἡ △Η, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ Α, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν △Η ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ δυνάσθωσαν τὰ παρὰ τὴν Α παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπʼ αὐτῶν πρὸς τῷ σημείῳ. Γεγράφθω καὶ ἔστω ἡ △Θ, καὶ ὀρθὴ ἡ △Κ, καὶ ἐν ἀσυμπτώτοις ταῖς Κ△, △Ζ γεγράφθω ὑπερβολή, ἀφ᾿ ἧς αἱ παρὰ τὰς Κ△, △Ζ ἀχθεῖσαι ποιήσουσιν τὸ χωρίον ἴσον τῷ ὑπὸ Α, Ε · τεμεῖ δὴ τὴν παραβολήν. Γεμνέτω κατὰ τὸ Θ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΘΚ, ΘΖ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ Α, △Ζ, ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΘΖ πρὸς Ζ△. Πάλιν, ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Α, Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΖ△, ἔστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ Ζ△ πρὸς τὴν E. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν ΖΘ, ἡ ΖΘ πρὸς Ζ△ καὶ ἡ Ζ△ πρὸς Ε. Κείσθω τῇ μὲν ΘΖ ἴση ἡ Β, τῇ δὲ △Ζ ἴση ἡ Γ · ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, ἡ Β πρὸς τὴν Γ καὶ ἡ πρὸς Ε. Αἱ Α, Β, Γ, Ε ἄρα ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν · ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.

Ἄλλως.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ γεγονέτωσαν αὐτῶν μέσαι αἱ △Β, ΒΕ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς Β△, οὕτως τὴν Β△ πρὸς ΒΕ καὶ τὴν ΒΕ πρὸς ΒΑ, καὶ ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς αἱ △Ζ, ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ △Β πρὸς ΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β△, τουτέστι τῆς ΕΖ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ, τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς Β△, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ△, τουτέστι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Β△, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι τῆς △Ζ· τὸ Ζ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τῆς περὶ ἄξονα τὴν Β△. Ἧπται δὲ καὶ ἑτέρας δοθείσης τῆς περὶ τὴν ΒΕ · δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. Καὶ κάθετοι αἱ Ζ△, ΖΕ · δοθέντα ἄρα τὰ △, Ε.

Συντεθήσεται δὲ οὕτως. Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθας ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπ᾿ ἄπειρον ἀπὸ τοῦ Β, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν ΒΕ παραβολή, ὥστε τας καταγομένας ἐπὶ τὴν ΒΕ δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΒΓ. Πάλιν γεγράφθω περὶ ἄξονα τὴν △Β παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν ΑΒ · τεμοῦσιν δὴ ἀλλήλας αἱ παραβολαί. Τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ Ζ△, ΖΕ. Ἐπεὶ οὖν ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ ΖΕ, τουτέστιν ἡ △Β, τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Β△ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ △Β πρὸς ΒΕ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν παραβολῇ κατῆκται ἡ Ζ△, τουτέστιν ἡ ΕΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ △ΒΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ, ἡ ΒΕ πρὸς ΒΑ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Β πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς Β△· καὶ ὡς ὄρα ἡ ΓΒ πρὸς Β△, ἡ Β△ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ· ὅπερ ἔδει εὑρεῖν.

Γράφεται δὲ ἡ παραβολὴ διὰ τοῦ εὑρεθέντος διαβήτου τῷ Μιλησὶῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ τῷ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ, γραφέντος δὲ ὑπ᾿ αὐτοῦ εἰς τὸ γενόμενον αὐτῷ ὑπόμνημα τῶν Ἥρωνος Καμαρικῶν.

Ἡ Ἀρχύτου εὕρησις, ὡς Εὔδημος ἱστορεῖ.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ Α△, Γ· δεῖ δὴ τῶν Α△, Γ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν Α△ κύκλος ὁ ΑΒ△Ζ, καὶ τῇ Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ἀπὸ του ἐφαπτομένῃ τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π, παρὰ δὲ τὴν Π△Ο ἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ νενοήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒ△ ἡμικυκλίου, ἐπὶ δὲ τῆς Α△ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῷ τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμῳ κείμενον · τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῇ περιαγωγῇ καὶ γράψει ἐν αὐτῇ γραμμήν τινα. Πάλιν δὲ, ἐὰν τῆς Α△ μενούσης τὸ Α△ τρίγωνον περιενεχθῇ τὴν ἐναντίαν τῷ ἡμικυκλίῳ κίνησιν, κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῇ ΑΠ εὐθείᾳ, ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῇ κυλινδρικῇ γραμμῇ κατά τι σημεῖον ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ. Εχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώσεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ △ΚΑ, τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ △ΛΑ, τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ, ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον τὸ ΒΜΖ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ Β△ΖΑ κύκλου ἔστω ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ Β△Α ἡμικυκλίυ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον. Πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευχθεῖσα συμβαλέτω τῇ ΒΖ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΛ τῷ ΒΜΖ ἡμικυκλίῳ κατὰ τὸ M, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ

αἱ Α△, ΜΙ, ΜΘ. Ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν △ΚΑ, ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ. Τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΘΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΘΙ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΜΘ ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρῳ τῶν ΜΙΘ, ΜΑΘ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ, Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ △ΚΑ ὀρθή · παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ Κ△, ΜΙ, καὶ ἔσται ἀνάλογον ὡς ἡ △Α πρὸς ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ, οὕτως ἡ Α πρὸς ΑΜ, διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων. Τέσσαρες ἄρα αἱ △Α, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν. Καί ἐστιν ἡ ΑΜ ἴση τῇ Γ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΑΒ · δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν Α△, Γ δύο μέσαι ἀνάλογον ηὕρηνται αἱ ΑΚ, ΑΙ.

Ὡς Ἐρατοσθένης.

Βασιλεῖ Πτολεμαίῳ Ἐρατοσθένης χαίρειν.

Τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν φασιν εἰσαγαγεῖν τὸν Μίνω τῷ Γλαύκῳ κατασκευάζοντα τάφον, πυθόμενον δὲ ὅτι πανταχοῦ ἑκατόμπεδος εἴη εἰπεῖν· μικρόν γ᾿ ἔλεξας βασιλικοῦ σηκὸν τάφου· διπλάσιος ἔστω, τοῦ καλοῦ δὲ μὴ σφαλεὶς δίπλαζ᾿ ἕκαστον κῶλον ἐν τάχει τάφου. Ἐδόκει δὲ διημαρτηκέναι · τῶν γὰρ πλευρῶν διπλασιασθεισῶν τὸ μὲν ἐπίπεδον γίνεται τετραπλάσιον, τὸ δὲ στερεὸν ὀκταπλάσιον. Ἐζητεῖτο δὲ καὶ παρὰ τοῖς γεωμέτραις τίνα ἄν τις τρόπον τὸ δοθὲν στερεὸν διαμένον ἐν τῷ αὐτῷ σχήματι διπλασιάσειεν, καὶ ἐκαλεῖτο τὸ τοιοῦτον πρόβλημα κύβου διπλασιασμός · ὑποθέμενοι γὰρ κύβον ἐζήτουν τοῦτον διπλασιάσαι. Πάντων δὲ διαπορούντων ἐπὶ πολὺν χρόνον πρῶτος Ἱπποκράτης ὁ Χῖος ἐπενόησεν ὅτι, ἐὰν εὑρεθῇ δύο εὐθειῶν γραμμῶν, ὧν ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονός ἐστι διπλασία, δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, διπλασιασθήσεται ὁ κύβος, ὥστε τὸ ἀπόρημα αὐτῷ εἰς ἕτερον οὐκ ἔλασσον ἀπόρημα κατέστρεφεν. Μετὰ χρόνον δέ τινάς φασιν Δηλίους ἐπιβαλλομένους κατὰ χρησμὸν διπλασιάσαι τινὰ τῶν βωμῶν ἐμπεσεῖν εἰς τὸ αὐτὸ ἀπόρημα, διαπεμψαμένους δὲ τοὺς παρὰ τῷ Πλάτωνι ἐν Ἀκαδημίᾳ γεωμέτρας ἀξιοῦν αὑτοῖς εὑρεῖν τὸ ζητούμενον. Τῶν δὲ φιλοπόνως ἐπιδιδόντων ἑαυτοὺς καὶ ζητούντων δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσας λαβεῖν Ἀρχύτας μὲν ὁ Ταραντῖνος λέγεται διὰ τῶν ἡμικυλίνδρων εὑρηκέναι, Εὔδοξος δὲ διὰ τῶν καλουμένων καμπύλων γραμμῶν συμβέβηκε δὲ πᾶσιν αὐτοῖς ἀποδεικτικῶς γεγραφέναι, χειρουργῆσαι δὲ καὶ εἰς χρείαν πεσεῖν μὴ δύνασθαι πλὴν ἐπὶ βραχύ τι τὸν Μέναιχμον καὶ ταῦτα δυσχερῶς. Ἐπινενόηται δὲ τις ὑφ᾿ ἡμῶν ὀργανικὴ λῆψις ῥᾳδία, δι᾿ ἧς εὑρήσομεν δύο τῶν δοθεισῶν οὐ μόνον δύο μέσας, ἀλλ᾿ ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ. Τούτου δὲ εὑρισκομένου δυνησόμεθα καθόλου τὸ δοθὲν στερεὸν παραλληλογράμμοις περιεχόμενον εἰς κύβον καθιστάναι ἢ ἐξ ἑτέρου εἰς ἕτερον μετασχηματίζειν καὶ ὅμοιον ποιεῖν καὶ ἐπαύξειν διατηροῦντας τὴν ὁμοιότητα, ὥστε καὶ βωμοὺς καὶ ναούς δυνησόμεθα δὲ καὶ τὰ τῶν ὑγρῶν μέτρα καὶ ξηρῶν, λέγω δὲ οἷον μετρητὴν ἢ μέδιμνον, εἰς κύβον καθίστασθαι καὶ διὰ τῆς τούτου πλευρᾶς ἀναμετρεῖν τὰ τούτων δεκτικὰ ἀγγεῖα, πόσον χωρεῖ. Χρήσιμον δὲ ἔσται τὸ ἐπινόημα καὶ τοῖς βουλομένοις ἐπαύξειν καταπαλτικὰ καὶ λιθοβόλα ὄργανα δεῖ γὰρ ἀνάλογον ἅπαντα αὐξηθῆναι καὶ τὰ πάχη καὶ τὰ μεγέθη καὶ τὰς κατατρήσεις καὶ τὰς χοινικίδας καὶ τὰ ἐμβαλλόμενα νεῦρα, εἰ μέλλει καὶ ἡ βολὴ ἀνάλογον ἐπαυξηθῆναι, ταῦτα δὲ οὐ δυνατὰ γενέσθαι ἄνευ τῆς τῶν μέσων εὑρέσεως. Τὴν δὲ ἀπόδειξιν καὶ τὴν κατασκευὴν τοῦ λεχθέντος ὀργάνου ὑπογέγραφά σοι.

Δεδόσθωσαν δύο ἄνισοι εὐθεῖαι, ὧν δεῖ δύα μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, αἱ ΑΕ, △Θ, καὶ κείσθω ἐπί τινος εὐθείας τῆς ΕΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, καὶ ἐπὶ τῆς ΕΘ τρία συνεστάτω παραλληλόγραμμα ἐφεξῆς τὰ ΑΖ, ΖΙ, Θ, καὶ ἤχθωσαν διάμετροι ἐν αὐτοῖς αἱ ΑΖ, ΛΗ, ΙΘ · ἔσονται δὴ αὗται παράλληλοι. Μένοντος δὴ τοῦ μέσου παραλληλογράμμου τοῦ ΖΙ συνωσθήτω τὸ μὲν ΑΖ ἐπάνω τοῦ μέσου, τὸ δὲ ΙΘ ὑποκάτω, καθάπερ ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος, ἕως οὗ γένηται τὰ A, Β, Γ, △ κατ᾿ εὐθεῖαν, καὶ διήχθω διὰ τῶν Α, Β, Γ, △ σημείων εὐθεῖα καὶ συμπιπτέτω τῇ ΕΘ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ ἔσται δὴ ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΖΒ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. Ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ καὶ ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἐν μὲν ταῖς ΒΖ, ΓΗ παραλλήλοις ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἐν δὲ ταῖς ΒΗ, ΓΘ παραλλήλοις ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΚΓ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ καὶ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ἡ ΓΗ πρὸς △Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ καὶ ἡ ΓΗ πρὸς △Θ. Ηὕρηνται ἄρα τῶν ΑΕ, △Θ δύο μέσαι ἥ τε ΒΖ καὶ ἡ ΓΗ.

Ταῦτα οὖν ἐπὶ τῶν γεωμετρουμένων ἐπιφανειῶν ἀποδέδεκται· ἵνα δὲ καὶ ὀργανικῶς δυνώμεθα τὰς δύο μέσας λαμβάνειν, διαπήγνυται πλινθίον ξύλινον ἢ ἐλεφάντινον ἢ χαλκοῦν ἔχον τρεῖς πινακίσκους ἴσους ὡς λεπτοτάτους, ὧν ὁ μὲν μέσος ἐνήρμοσται, οἱ δὲ δύο ἐπωστοί εἰσιν ἐν χολέδραις, τοῖς δὲ μεγέθεσιν καὶ ταῖς συμμετρίαις ὡς ἕκαστοι ἑαυτοὺς πείθουσιν· τὰ μὲν χὰρ τῆς ἀποδείξεως ὡσαύτως συντελεῖται· πρὸς δὲ τὸ ἀκριβέστερον λαμβάνεσθαι τὰς γραμμὰς φιλοτεχνητέον, ἵνα ἐν τῷ συνάγεσθαι τοὺς πινακίσκους παράλληλα διαμένῃ πάντα καὶ ἄσχαστα καὶ ὁμαλῶς συναπτόμενα ἀλλήλοις.

Ἐν δὲ τῷ ἀναθήματι τὸ μὲν ὀργανικὸν χαλκοῦν ἐστιν καὶ καθήρμοσται ὑπ᾿ αὐτὴν τὴν στεφάνην τῆς στήλης προσμεμολυβδοχοημένον, ὑπ᾿ αὐτοῦ δὲ ἡ ἀπόδειξις συντομώτερον φραζομένη καὶ τὸ σχῆμα, μετ᾿ αὐτὸ δὲ ἐπίγραμμα. Ὑπογεγράφθω οὖν σοι καὶ ταῦτα, ἵνα ἔχῃς καὶ ὡς ἐν τῷ ἀναθήματι. Τῶν δὲ δύο σχημάτων τὸ δεύτερον γέγραπται ἐν τῇ στήλῃ.

Δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. Δεδόσθωσαν αἱ ΑΕ, △Θ. Συνάγω δὴ τοὺς ἐν τῷ ὀργάνῳ πίνακας, ἕως ἂν κατ᾿ εὐθεῖαν

γένηται τὰ Α, Β, Γ, σημεῖα. Νοείσθω δὴ ὡς ἔχει ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ἐν μὲν ταῖς ΑΕ, ΒΖ παραλλήλοις ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἐν δὲ ταῖς ΑΖ, ΒΗ ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ · ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΚΖ πρὸς ΚΗ. Ὡς δὲ αὗται πρὸς ἀλλήλας, ἥ τε ΑΕ πρὸς ΒΖ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΓΗ. Ὡσαύτως δὲ δείξομεν ὅτι καὶ ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΓΗ, ἡ ΓΗ πρὸς △Θ ἀνάλογον ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ, ΓΗ, △Θ. Ηὕργνται ἄρα δύο τῶν δοθεισῶν δύο μέσαι.

Ἐὰν δὲ αἱ δοθεῖσαι μὴ ἴσαι ὦσιν ταῖς ΑΕ, △θ, ποιήσαντες αὐταῖς ἀνάλογον τὰς ΑΕ, △Θ τούτων ληψόμεθα τὰς μέσας καὶ ἐπανοίσομεν ἐπ᾿ ἐκείνας, καὶ ἐσόμεθα πεποιηκότες τὸ ἐπιταχθέν, Ἐὰν δὲ πλείους μέσας ἐπιταχθῇ εὑρεῖν, ἀεὶ ἑνὶ πλείους πινακίσκους καταστησόμεθα ἐν τῷ ὀργανίῳ τῶν ληφθησομένων μέσων ἡ δὲ ἀπόδειξις ἡ αὐτή

Εἰ κύβον ἐξ ὀλίγου διπλήσιον, ὦγαθέ, τεύχειν φράζεαι ἢ στερεὴν πᾶσαν ἐς ἄλλο φύσιν εὖ μεταμορφῶσαι, τόδε τοι πάρα, κἂν σύ γε μάνδρην ἢ σιρὸν ἢ κοίλου φρείατος εὐρὺ κύτος τῇδ᾿ ἀναμετρήσαιο, μέσας ὅτε τέρμασιν ἄκροις συνδρομάδας δισσῶν ἐντὸς ἕλῃς κανόνων.

Μηδὲ σύ γ᾿ Ἀρχύτεω δυσμήχανα ἔργα κυλίνδρων μηδὲ Μεναιχμείους κωνοτομεῖν τριάδας διζήσῃ. μηδ᾿ εἴ τι θεουδέος Εὐδόξοιο καμπύλον ἐν γραμμαῖς εἶδος ἀναγράφεται.

Τοῖσδε γὰρ ἐν πινάκεσσι μεσόγραφα μυρία τεύχοις ῥεῖά κεν ἐκ παύρου πυθμένος ἀρχόμενος.

Εὐαίων, Πτολεμαῖε, πατὴρ ὅτι παιδὶ συνηβῶν πάνθ᾿ ὅσα καὶ Μούσαις καὶ βασιλεῦσι φίλα αὐτὸς ἐδωρήσω τὸ δ᾿ ἐς ὕστερον, οὐράνιε Ζεῦ, καὶ σκήπτρων ἐκ σῆς ἀντιάσειε χερὸς.

Καὶ τὰ μὲν ὣς τελέοιτο, λέγοι δὲ τις ἄνθεμα λεύσσων τοῦ Κυρηναίου τοῦτ᾿ Ἐρατοσθενέος.

Ὡς Νικομήδης ἐν τῷ Περὶ κογχοειδῶν γραμμῶν.

Γράφει δὲ καὶ Νικομήδης ἐν τῷ ἐπιγεγραμμένῳ πρὸς αὐτοῦ Περὶ κογχοειδῶν συγγράμματι ὀργάνου κατασκευὴν τὴν αὐτὴν ἀποπληροῦντος χρείαν, ἐφ᾿ ᾧ καὶ μεγάλα μὲν σεμνυνόμενος φαίνεται ὁ ἀνήρ, πολλὰ δὲ τοῖς Ἐρατοσθένους ἐπεγγελῶν εὑρήμασιν ὡς ἀμηχάνοις τε ἅμα καὶ γεωμετρικῆς ἕξεως ἐστερημένοις. Τοῦ τε ἀνελλειποῦς τοίνυν τῶν περὶ τὸ πρόβλημα πεπονηκότων τῆς τε πρὸς Ἐρατοσθένη συγκρίσεως ἕνεκα καὶ αὐτὸν τοῖς ἤδη γεγραμμένοις συνάπτομεν δυνάμει γράφοντα οὕτως

Νοεῖν χρὴ κανόνας δύο πρὸς ὀρθὰς ἄλλήλοις συμβεβλημένους οὕτως, ὥστε μίαν ἀποσῴζειν αὐτοὺς ἐπιφάνειαν, καθάπερ εἰσὶν οἱ ΑΒ, Γ△, ἐν δὲ τῷ ΑΒ σωλῆνα

πελεκινοειδῆ, εἰς ὃν χελώνιον διατρέχειν δυνήσεται, ἐν δὲ τῷ Γ△ κατὰ τὸ μέρος τὸ πρὸς τῷ καὶ τὴν μέσον διαιροῦσαν εὐθεῖαν τὸ πλάτος αὐτοῦ κυλίνδριον συμφυὲς τῷ κανόνι καὶ βραχὺ ὑπερέχον τῆς ἄνωθεν ἐπιφανείας αὐτοῦ τοῦ κανόνος, ἄλλον δὲ κανόνα ὡς τὸν ΕΖ μετὰ βραχύ τι διάστημα τοῦ πρὸς τῷ Ζ πέρατος ἀνατομὴν ἔχοντα ὡς τὴν ΗΘ δυναμένην περιβαίνειν τῷ πρὸς τῷ κυλινδρίῳ, πρὸς δὲ τῷ Ε ὀπὴν στρογγύλην, ἥτις ἐγκείσεται εἴς τι ἀξόνιον συμφυὲς τῷ διατρέχοντι χελωναρίῳ ἐν τῷ πελεκινοειδεῖ σωλῆνι τῷ ὄντι ἐν τῷ ΑΒ κανόνι. Ἐναρμοσθέντος τοίνυν τοῦ ΕΖ κανόνος κατὰ μὲν τὴν ΗΘ ἀνατομὴν ἐν τῷ πρὸς τῷ △ κυλινδρίῳ, κατὰ δὲ τὴν Ε ὀπὴν ἐν τῷ ἀξονίῳ τῷ συμφυεῖ τῷ χελωναρίῳ, ἐὰν τις ἐπιλαβόμενος τοῦ Κ ἄκρου τοῦ κανόνος κινῇ αὐτὸν ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Α μέρη, ἔπειτα ἐπὶ τὰ πρὸς τῷ Β, τὸ μὲν Ε σημεῖον ἀεὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος ἐνεχθήσεται, ἡ δὲ ΗΘ ἀνατομὴ ἐπὶ τῷ πρὸς τῷ △ κυλινδρίῳ κινηθήσεται ἀεὶ τῆς μέσης τοῦ ΕΖ κανόνος εὐθείας ἐν τῇ κινήσει διὰ τοῦ ἄξονος τοῦ πρὸς τῷ △ κυλινδρίου νοουμένης, τὴς δὲ ΕΚ ὑπεροχῆς τοῦ κανόνος ἀεὶ τῆς αὐτῆς μενούσης. Ἐὰν τοίνυν πρὸς τῷ Κ ἐπινοήσωμέν τι γραφεῖον ἐφαπτόμενον τοῦ ἐδάφους, γραφήσεταί τις γραμμή, οἷα ἐστὶν ἡ ΛΜΝ, ἥντινα καλεῖ Νικομήδης κογχοειδῆ πρώτην γραμμήν, καὶ διάστημα μὲν τῆς γραμμῆς τὸ ΕΚ μέγεθος τοῦ κανόνος, πόλον δὲ τὸ △.

Ταύτῃ δὴ τῇ γραμμῇ συμβαῖνον δείκνυσιν τὸ ἀεὶ ἐπ᾿ ἔλαττον μὲν συμπορεύεσθαι τῷ ΑΒ κανόνι, καὶ ἐὰν τις εὐθεῖα διαχθῇ μεταξὺ τῆς τε γραμμῆς καὶ τοῦ ΑΒ κανόνος, ὅτι πάντως τέμνει τὴν γραμμήν. Καὶ τὸ μὲν πρότερον τῶν συμβαινόντων ἐστὶν εὐκατανόητον ἐφ᾿ ἑτέρας καταγραφῆς. Κανόνος γὰρ νοουμένου τοῦ ΑΒ, πόλου δὲ τοῦ Γ, διαστήματος δὲ τοῦ △Ε, γραμμῆς δὲ κογχοειδοῦς τῆς ΖΕΗ, προσπιπτέτωσαν ἀπὸ τοῦ Γ δύο αἱ ΓΘ, ΓΖ, ἴσων δηλονότι γινομένων τῶν ΚΘ, ΛΖ. Λέγω ὅτι ἡ ΖΝ κάθετος ἐλάττων τῆς ΘΝ καθέτου.

Μεἱζονος γὰρ οὔσης τῆς ὑπὸ ΜΛΓ γωνίας τῆς ὑπὸ ΝΚΓ λοιπὴ ἡ λείπουσα εἰς τὰς δύο ὀρθὰς ἡ ὑπὸ ΜΛΖ λοιπῆς τῆς ὑπὸ ΝΚΘ ἐστὶν ἐλάσσων, καὶ διὰ τοῦτο ὀρθῶν οὐσῶν τῶν πρὸς τοῖς Μ, Ν μείζων ἔσται καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ τῆς πρὸς τῷ Θ. Καὶ ἐὰν τῇ πρὸς τῷ Θ ἴσην συστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΜΖΞ, ἡ ΚΘ, τουτέστιν ἡ ΛΖ, πρὸς ΘΝ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν ἡ ΞΖ πρὸς ΖΜ· ὥστε ἡ ΖΛ πρὸς τὴν ΘΝ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΜ, καὶ διὰ τοῦτο μείζων ἡ ΘΝ τῆς ΖΜ.

Τὸ δὲ δεύτερον ἦν τὸ τὴν διαγομένην εὐθεῖαν μεταξὺ τῆς τε ΑΒ καὶ τῆς γραμμῆς τέμνειν τὴν γραμμήν· καὶ τοῦτο δὲ οὕτω γίνεται γνώριμον·

Ἡ γὰρ διαγομένη ἤτοι παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ ἢ οὔ. Ἔστω πρότερον παράλληλος, ὡς ἡ ΖΗΘ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ △Ε πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν Κ, καὶ κέντρῳ τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῇ Κ, περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΓ· ἀλλ᾿ ὡς ἡ △Η πρὸς ΗΓ, οὕτως ἧν ἡ △Ε πρὸς τὴν Κ, τουτέστι τὴν ΓΖ ἴση ἄρα ἡ △Ε τῇ ΛΖ ὅπερ ἀδύνατον δεῖ γὰρ εἶναι τὸ Ζ πρὸς τῇ γραμμῇ.

Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ἡ διαγομένη παράλληλος, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΗΝ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Η παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ ΖΗ. Ἡ ἄρα ΖΗ συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ ὥστε πολλῷ μᾶλλον ἡ ΜΝ.

Τούτων δὲ ὄντων τῶν παρακολουθημάτων διὰ τοῦ ὀργάνου τὸ χρήσιμον εἰς τὸ προκείμενον δείκνυται οὕτως.

Πάλιν γωνίας δοθείσης τῆς Α καὶ σημείου ἐκτὸς τοῦ Γ διαγαγεῖν τὴν ΓΗ καὶ ποιεῖν τὴν ΚΗ ἴσην τῇ δοθείσῃ.

Ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΓΘ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ δοθείσῃ ἴση ἔστω ἡ △Θ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ δοθέντι τῷ △Θ, κανόνι δὲ τῷ ΑΒ, γεγράφθω κογχοειδὴς γραμμὴ πρώτη ἡ Ε△Ζ· συμβάλλει ἄρα τῇ ΑΗ διὰ τὸ προδειχθὲν. Συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ· ἴση ἄρα ἡ τῇ δοθείσῃ.

Τούτων δειχθέντων δεδόσθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΛ, ΛΑ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον κατὰ τὸ συνεχὲς εὑρεῖν, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓΛ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ τοῖς △, Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα μὲν ἡ △Λ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, τῇ δὲ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ προσβεβλήσθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ Α△, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ Α△ ἢ τῇ ΓΖ · τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κογχοειδοῦς · καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ. Λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΚΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ.

Ἐπεὶ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε, καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΚΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΚ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ · τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΚΖ. Καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, ὡς δὲ ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ. Καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεα ἡ Α△, τῆς δὲ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ (ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΓ τῆς △Β)· ἔσται ἄρα

καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΚΓ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς ΗΖ, ΓΘ· καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ Μ△ πρὸς △Α, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. Ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ Α△ τῇ ΘΚ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ Α△ ἴση ἄρα καὶ ἡ Μ△ τῇ ΖΚ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Μ△ τῷ ἀπὸ ΖΚ. Καί ἐστιν τῷ μὲν ἀπὸ Μ△ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ △Α, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ὧν τὸ ἀπὸ Α△ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ· ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ Α△ τῇ ΓΖ · ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΑ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ. Ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΜ πρὸς ΒΚ, ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΛ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς ΑΛ ·

Εἰς τὸ β΄ θεώρημα.

Καὶ συνθέντι ὡς ἡ △Θ πρὸς ΘΓ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ | Ὡς γὰρ ἐπὶ αὐτῆς τῆς ἐν τῷ ῥητῷ καταγραφῆς, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΓΒΑ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἧκται ἡ ΒΕ, τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΒΑ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας. Ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.

Διὰ δὲ τῶν αὐτῶν δείκνυται ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. Διὰ γὰρ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων ἐστὶ πάλιν ὡς ἡ μὲν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.

Εἶτα ἐφεξῆς δεικνύναι πειρώμενος τῷ ΒΑΖ τμήματι τῆς σφαίρας ἴσον τὸν ΒΚΖ κῶνον ἐκθέμενος κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ΒΑΖ τμήματος, ὕφος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, φησὶν ὅτι ὁ Ν κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ ΖΑΒΘ στερεῷ τομεῖ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ. Ἰστέον δὲ ὅτι ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ οὐ τὸν τοιοῦτον τομέα ἀπεδείκνυεν ἴσον ὄντα τῷ οὕτως λαμβανομένῳ κώνῳ, ἀλλὰ τὸν περιεχόμενον ὑπὸ τε τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας ἐλάττονος ἡμισφαιρίου, ὅντινα καὶ κυρίως ἐν τοῖς ὅροις τομέα στερεὸν καλεῖν ἐφαίνετο. Ἔφασκεν γάρ · τομέα δὲ στερεὸν καλέω, ἐπειδὰν σφαῖραν κῶνος τέμνῃ τὰν κορυφὰν ἔχων ποτὶ τῷ κέντρῳ τᾶς σφαίρας, τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ τᾶς ἐντὸς τοῦ κώνου | Τὸ δὲ νῦν προκείμενον σχῆμα περιέχεται μὲν ὑπὸ κωνικῆς ἐπιφανείας τὴν κορυφὴν ἐχούσης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς σφαίρας καὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας, ἀλλ᾿ οὐ τῆς ἐντὸς ἀπολαμβανομένης τοῦ κώνου. Ὅτι δὲ καὶ τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἴσον γίνεται τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῇ σφαιρικῇ τῇ περιεχούσῃ τὸ τμῆμα, ὕψος δὲ ἴσον τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, δειχθήσεται οὕτως διὰ τῶν ἐν τῷ πρώτῳ βιβλίῳ δεδεγμένων.

Νενοήσθω χωρὶς σφαῖρα καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ μὴ διὰ τοῦ κέντρου τῷ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλῳ,

κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ Α, καὶ νοείσθω κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Α σημεῖον, ἐκκείσθω δὲ κῶνος ὁ Ε, οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἔστω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ἄρα Ε κῶνος ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ τετραπλάσιος γάρ ἐστι τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὸν μέγιστον κύκλον, ὕψος δὲ τὸ αὐτό, οὗπερ καὶ ἡ σφαῖρα ἐδείχθη τετραπλασία. Ἐκκείσθωσαν δὲ καὶ ἄλλοι δύο κῶνοι οἱ Ζ, Η, ὧν ὁ μὲν Ζ βάσιν ἐχέτω ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΓ△ τμήματος, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ Η βάσιν μὲν ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κατὰ τὴν ΒΘ△ τμήματος, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ ὁ ἄρα Ζ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ τομεῖ, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α, ἐπιφάνεια δὲ σφαιρικὴ ἡ κατὰ τὴν ΑΓ△. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ Ε κώνου βάσις ταῖς τῶν Ζ, Η κώνων βάσεσιν, καί εἰσιν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ Ε κῶνος, τουτέστιν ἡ σφαῖρα, τοῖς Ζ, Η κώνοις. Ἀλλ᾿ ὁ Ζ ἴσος ἐδείχθη τῷ κατὰ τὴν ΒΓ△ στερεῷ τομεῖ κορυφὴν ἔχοντι τὸ A λοιπὸς ἄρα ὁ ἡ κῶνος ἴσος ἐστὶ τῷ λοιπῷ τμήματι βάσιν ἔχων τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ κατὰ τὴν ΒΘ△ τμήματος, ὕψος δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου.

Εἶτα πάλιν φησίν ἴσος ἄρα ὁ Ν κῶνος, τουτέστιν ὁ ΒΘΖΑ τομεύς, τῷ ΒΘΖΚ σχήματι | Ἐπεὶ γὰρ συνήχθη ὁ Ν κῶνος ἴσος ὢν κώνῳ, οὗ βάσις μὲν ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΘΚ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΕΚ, ἴσος τῷ τε εἰρημένῳ κώνῳ καὶ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος · δὲ τὴν ΕΘ · πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη · κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΕΘ, λοιπὸν τὸ ΒΘΖΚ σχῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΒΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΘΚ, τουτέστι τῷ Ν κώνῳ, τουτέστι τῷ ΒΑΘΖ τομεῖ.

Ἐπαγαγὼν δὴ τὸ ἐκ τῶν συναχθέντων πόρισμα ἐπὶ τέλει τοῦ θεωρήματος ἑξῆς δι᾿ ἑτέρας ἀποδείξεως συνάγει τὸ τελευταῖον μέρος τοῦ θεωρήματος, τουτέστιν ὅτι τὸ ΑΒΖ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ ΒΚΖ κώνῳ, καὶ προιών φησιν · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, καὶ ὅλη ἡ Κ△ πρὸς △Θ ἐστὶν ὡς ἡ △Θ πρὸς △Γ | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, ἡ ΘΓ πρὸς Γ△, καὶ συνθέντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, τουτέστιν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ · ἦν γὰρ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΓ, ἡ Θ△ πρὸς △Γ, ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΘΑ.

Καὶ μετ᾿ ὀλίγον · ὡς ἄρα ἡ ΚΘ πρὸς △Θ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ | Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ Κ△, ΑΓ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ. Λέγω ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΘ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΓ.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Θ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ · ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ Κ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Θ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. Πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΚΘΚ πρὸς Θ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△ κοινοῦ ὕφους τῆς Θ△ λαμβανομένης, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ κοινοῦ πάλιν ὕψους λαμβανομένης τῆς ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Θ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ἀπὸ Θ△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Κ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ· καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΚΘ△ πρὸς τὸ ἀπὸ Κ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ. Καὶ ἀνάπαλιν ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Εἰς τὸ γ΄.

Ὡς δὲ οἱ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ △Β, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ | Ὡς γὰρ ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ, ἐπεὶ ἐν ὀρθογωίῳ τριγώνῳ τῷ Α△Β κάθετος ἦκται καὶ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἡ △Γ, μέση ἀνάλογόν ἐστι τῶν τῆς βάσεως τμημάτων, καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὥστ᾿ ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς △Γ, ἡ Β△ πρὸς △Α· καὶ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν ἄρα. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ△, οὕτως ἡ πρώτη ἡ ΒΓ πρὸς τρίτην τὴν ΓΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α. Δοθεὶς δὴ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ· ὥστε δοθὲν ἐστι τὸ Γ σημεῖον | Ἐπεὶ γὰρ ἡ σφαῖρα ὑπόκειται δεδομένη, δέδοται ἄρα καὶ ἡ διάμετρος αὐτῆς ἡ ΑΒ. Καὶ δέδοται ὁ λόγος τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ· ἐὰν δὲ δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαιρεθῇ, δέδοται ἑκάτερον τῶν τμημάτων· ὥσθε δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ. Καὶ δοθὲν τὸ Α· ἐπὶ γὰρ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι θέσει δεδομένων γραμμῶν δέδοται ἄρα καὶ τὸ Γ.

Εἰς τὸ δ΄.

Καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον διὰ τῆς κατασκευῆς ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ καὶ ἡ △Χ πρὸς ΧΒ | Ἐν γὰρ τῷ πρὸ τούτου συνήγετο οὕτως ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△, △Χ πρὸς △Χ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ, ἡ ΡΒ πρὸς ΒΧ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△, τουτέστιν ἡ ΚΒ, πρὸς ΒΡ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΛΧ πρὸς Χ△, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΒ, ΒΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ. Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ △Χ πρὸς ΧΒ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ ὡς ἄρα ἡ Λ△ πρὸς △Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ.

Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς ὅλην τὴν ΚΛ ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς Λ△ | Ὡς γὰρ ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

Ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△| Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΚ, ἡ ΚΛ πρὸς Λ△, καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΡΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△· ἀνάλογον γάρ εἰσιν ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△.

Κείσθω τῇ ΚΒ ἴση ἡ ΒΖ· ὅτι γὰρ ἐκτὸς τοῦ Ρ πεσεῖται δῆλον | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ Χ△ πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΧΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ, μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ. Ἐκτὸς ἄρα τοῦ Ρ πίπτει τὸ Ζ.

Ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶ τῆς △Λ πρὸς ΛΧ δοθεὶς καὶ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς | Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΒΧ πρὸς ΒΧ, τουτέστιν ἡ ΖX πρὸς ΧΒ, οὕτως ἡ ΛΧ πρὸς Χ△ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ ΧΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ ΧΛ πρὸς Λ△, καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΧ, ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ. Δέδοται δὲ ὁ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς δεδομένης σφαίρας, ἡ δὲ ΒΧ τῶν Β, Χ περάτων αὐτῆς δεδομένων καθ᾿ ὑπόθεσιν τετμημένης τῆς σφαίρας ὑπὸ τοῦ διὰ τῆς ΑΓ ἐπιπέδου καὶ τῆς △Β πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῇ ΑΓ δἔδοται, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὅλη ἡ ΧΖ καὶ ὁ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΒ· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΧΛ πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶν δοθείς. Πάλιν ἐπειδὴ δέδοται ὁ λόγος τῶν τμημάτων, καὶ ὁ τοῦ ΛΑΓ κώνου πρὸς τὸν κῶνον λόγος ἔσται δοθείς· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΛΧ πρὸς ΧΡ πρὸς ἀλλήλους γάρ εἰσιν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΡΛ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρας τῶν ΡΛ, Λ△ πρὸς τὴν ΛΧ λόγος ἐσστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΡΛ ἄρα πρὸς Λ△ λόγος ἐστὶ δοθείς· τὰ γὰρ πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον.

Ἐπεὶ οὖν ὁ τῆς ΡΛ πρὸς ΛΧ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, καὶ ἡ Λ△ πρὸς ΛΧ | Ὅτι μὲν ἡ σύνθεσις τῶν λόγων λαμβάνεται τῆς Λ△ μέσης λαμβανομένης, ὡς κὰν τῇ Στοιχειώσει ἐλαμβάνετο, φανερὸν ἐπεὶ δὲ τὸ λεγόμενον ἀδιαρθρώτως πως καὶ οὐχ οὕτως, ὥστε τὴν ἔννοιαν ἀποπληρῶσαι, λέλεκται, ὡς ἔστιν εὑρεῖν ἐντυγχάνοντας Πάππῳ τε καὶ Θέωνι καὶ Ἀρκαδίῳ ἐν πολλοῖς συντάγμασιν οὐκ ἀποδεικτικῶς, ἀλλ᾿ ἐπαγωγῇ τὸ λεγόμενον παριστῶσιν, οὐδὲν ἄτοπον πρὸς βραχὺ ἐνδιατρίψαντας τῷ λόχῳ τὸ σαφέστερον παραστῆσαι.

Φημὶ τοίνυν ὅτι, ἐὰν δύο ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν μέσος τις ὅρος ληφθῇ, ὁ τῶν ἐξ ἀρχῆς ληφθέντων ἀριθμῶν λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ λόγου, ὃν ἔχει ὁ πρῶτος πρὸς τὸν μέσον, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ μέσος πρὸς τὸν τρίτον.

Ὑπομνηστέον δὴ πρότερον πῶς ἐλέγετο λόφος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι. Ὡς γὰρ ἐν τῇ Στοιχειώσει· ὅταν αἱ τῶν λόγων πηλικότητες ἐφ᾿ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖσαι ποιῶσίν τινα, πηλικότητος δηλονότι λεγομένης τοῦ ἀριθμοῦ, οὗ παρώνυμός ἐστιν ὁ διδόμενος λόχος, ὥς φασιν ἄλλοι τε καὶ Νικόμαχος ἐν τῷ πρώτῳ Περὶ μουσικῆς καὶ Ἡρώνας ἐν τῷ ὑπομνήματι τῷ εἰς τὴν Ἀριθμητικὴν εἰσαγωγήν, ταὐτὸν δὲ εἰπεῖν καὶ τοῦ ἀριθμοῦ τοῦ πολλαπλασιαζομένου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον τοῦ λόχου καὶ ποιοῦντος τὸν ἡγούμενον. Καὶ κυριώτερον μὲν ἐπὶ τῶν πολλαπλασίων ἡ πηλικότης ἂν λαμβάνοιτο, ἐπὶ δὲ τῶν ἐπιμορίων ἢ ἐπιμερῶν οὐκέτι τὴν πηλικότητα δυνατὸν λαμβάνεσθαι ἀδιαιρέτου μενούσης τῆς μονάδος ὥστ᾿ ἐπ᾿ ἐκείνων διαιρετέον τὴν μονάδα, ὃ εἰ καὶ μὴ κατὰ τὸ προσῆκον τῇ ἀριθμητικῇ ἀλλὰ τῇ λογιστικῇ τυγχάνει. Διαιρεῖται δὲ ἡ μονὰς κατὰ τὸ μέρος ἢ τὰ μέρη, ἀφ᾿ ὧν ὠνόμασται ὁ λόγος, ὥστε εἶναι ὡς ἐν σαφεστέρῳ τῷ λέχειν τοῦ μὲν ἡμιολίου λόγου πηλικότητα πρὸς τῇ μονάδι καὶ τὸ ἥμισυ τῆς μονάδος, τοῦ δὲ ἐπιτρίτου πρὸς τῇ μονάδι τὸ τρίτον, ὥστε, καθὰ καὶ ἀνωτέρω εἴρηται, τὴν πηλικότητα τοῦ λόγου ἐπὶ τὸν ἑπόμενον ὅρον πολλαπλασιαζομένην ποιεῖν τὸν ἡγούμενον. Τοῦ γὰρ ἐννέα πρὸς τὰ ἓξ ἡμιολίου πηλικότης οὖσα ἡ μονὰς καὶ τὸ ἥμσυ πολλαπλασιασθεῖσα ἐπὶ τὸν ς΄ ποιεῖ τὸν θ, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ τὸ αὐτὸ ἔξεστι κατανοεῖν.

Τούτων δὴ προσαφηνισθέντων ἐπανακτέον ἐπὶ τὸ προτεθέν, Ἔστωσαν γὰρ οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, μέσος δὲ αὐτῶν εἰλήφθω τις ὁ Γ· δεικτέον δὴ ὅτι ὁ τοῦ A πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ὁ A πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν Β.

Eἰλήφθω γὰρ τοῦ μὲν Α, Γ λόγου πηλικότης ὁ △, τοῦ δὲ Γ, Β ὁ E· ὁ ἄρα Γ τὸν △ πολλαπλασιάσας τὸν A ποιεῖ, ὁ δὲ Β τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ. Ὁ δὴ △ τὸν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ ποιείτω. Λέγω ὅτι ὁ Ζ πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγου, τουτέστιν ὅτι ὁ Ζ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ. Ὁ γὰρ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η ποιείτω, Ἐπεὶ οὖν ὁ Β τὸν μὲν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν, τὸν δὲ Ε πολλαπλασιάσας τὸν Γ, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, ὁ πρὸς τὸν Γ. Πάλιν, ἐπεὶ ὁ △ τὸν μὲν Ε πολλαπλασιάσας τὸν Ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ Γ πολλαπλασιάσας τὸν Α πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Γ, ὁ Ζ πρὸς τὸν Α. Ἐναλλὰξ ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ὁ Γ πρὸς τὸν Α, καὶ ἀνάπαλιν ὡς ὁ Ζ πρὸς τὸν Ε, οὕτως ὁ Α πρὸς τὸν Γ. Ἀλλ᾿ ὡς ὁ πρὸς τὸν Ε, ἐδείχθη ὁ Η πρὸς τὸν Γ· καὶ ὡς ἄρα ὁ Η πρὸς τὸν Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Γ· ἴσος ἄρα ὁ Α τῷ Η. Ἀλλ᾿ ὁ Β τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Η πεποίηκεν καὶ ὁ Β ἄρα τὸν Ζ πολλαπλασιάσας τὸν Α ποιεῖ ὁ Ζ ἄρα πηλικότης ἐστὶ τοῦ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόχου. Καὶ ἔστιν ὁ Ζ τοῦ △ ἐπὶ τὸν Ε πολλαπλασιασθέντος, τουτέστι τῆς πηλικότητος τοῦ Α, Γ λόγου ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ Γ, Β λόγου ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ πρὸς τὸν Β· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ἵνα δὲ καὶ ἐπὶ ὑποδείγματος φανερὸν γένηται τὸ εἰρημένον. παρεμπιπτέτω τοῦ ιβ καὶ τοῦ β μέσος τις ἀριθμὸς ὁ δ. Λέγω ὅτι ὁ τοῦ β πρὸς τὸν β λόγος, τουτέστν ὁ ἑξαπλάσιος, σύγκειται ἔκ τε τοῦ τριπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὰ △Ζ καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ △Ζ πρὸς τὰ β.

Ἐὰν γὰρ τὰς πηλικότητας τῶν λόγων πολλαπλασιάσωμεν ἐπ᾿ ἀλλήλας, τουτέστι τὸν γ ἐπὶ τὸν β, γίνεται ὁ ς΄ πηλικότης ὢν τοῦ ιβ πρὸς τὰ β λόγου, καί ἐστιν ἑξαπλάσιος, ὅνπερ καὶ προέκειτο ὑποδεῖξαι.

Εἰ δὲ καὶ ὁ μέσος παρεμπίπτων μὴ ὑπάρχῃ τοῦ μὲν μείζονος ἐλάττων, τοῦ δὲ ἐλάττονος μείζων, ἀλλ᾿ ἢ τὸ ἀνάπαλιν ἢ ἀμφοτέρων μείζων ἢ ἀμφοτέρων ἐλάττων, καὶ οὕτως ἡ σύνθεσις ἡ προειρημένη ἀκολουθήσει. Τοῦ θ καὶ τοῦ ς΄ μέσος τις παρεμπιπτέτω ἀμφοτέρων μείζων ὁ ιβ. Λέγω ὅτι ἔκ τε τοῦ ὑπεπτρίτου τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου καὶ τοῦ διπλασίου τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ σύγκειται ὁ ἡμιόλιος τοῦ θ πρὸς τὰ ς΄.

Ἡ γὰρ πηλικότης τοῦ τοῦ θ πρὸς τὸν ιβ λόγου ἐστὶ τρία τέταρτο, τουτέστν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ἡ δὲ πηλικότης τοῦ ιβ πρὸς τὸν ς΄ ἐστὶν ὁ β, Ἐὰν οὖν πολλαπλασιάσωμεν τὸν β ἐπὶ τὸ ἥμισυ καὶ τὲταρτον, γίνεται μονὰς α καὶ ἥμισυ, ἥτις πηλικότης ἐστὶ τοῦ ἡμιολίου λόγου, ὃν ἔχει καὶ ὁ θ πρὸς τὸν ς΄. Ὁμοίως δέ, κἂν τοῦ θ καὶ μέσος ἐμπέσῃ ὁ δ, ἐκ τοῦ θ πρὸς △Ζ διπλασιεπιτετάρτου καὶ τοῦ △Ζ πρὸτ ς΄. ὑφημιολίου σύγκειται ὁ ἡμιόλιος λόφος. Πάλιν γὰρ τὴν πηλικότητα τοῦ διπλασιεπιτετάρτου τὰ β δ΄ ἐπὶ τὴν πηλικότητα τοῦ ὑφημιολίου, τουτέστι τὰ δύα τρίτα, πολλαπλασιάσαντες ἕξομεν τὸ ἓν ἥμισυ πηλικότητα τοῦ ἡμιολίου, ὡς εἴρηται, λόγου. Καὶ ἐπὶ πάντων δὲ ὁμοίως ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.

Συμφανὲς δὲ ἐκ τῶν εἰρημένων ὡς, ἐὰν δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἤτοι μεγεθῶν κἂν μὴ εἷς μέσος, πλείους δὲ, παρεμπίπτωσιν ὅροι, ὁ τῶν ἄκρων λόγος σύγκεται ἐκ πάντων τῶν λόχων, ὧν ἔχουσιν οἱ κατὰ τὸ ἑξῆς κείμενοι ὅροι ἀρχὸμενοι ἀπὸ πρώτου καὶ λήοντες εἰς τὸν ἔσχατον τῇ κατὰ τοὺς ἐχομένους τάξει.

Δύο γὰρ ὄντων ὅρων τῶν Α, Β παρεμπιπτέτωσαν πλείους ἑνὸς οἱ Γ, △. Λέγω ὅτι ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόφος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △, καὶ ὁ △ πρὸς τὸν Β.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ τοῦ Α πρὸς τὸν Β σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν △, καὶ ὁ △ πρὸς τὸν Β, ὡς ἀνωτέρω εἴρηται, ὁ δὲ τοῦ Α πρὸς τὸν λόχος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △, ὁ ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸν Β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ὁ Α πρὸς τὸν Γ, καὶ ὁ Γ πρὸς τὸν △, καὶ ὁ πρὸς τὸν Β. Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δειχθήσεται.

Ἔτι ἐν τῷ ῥητῷ φησιν

Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, ἐδείχθη τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ | Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ ΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ △Λ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ Λ△, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΧ ἐδείχθη γὰρ ὡε ἡ ΚΛ πρὸς Λ△, ἡ Β△ πρὸς △Χ διὰ τοῦ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΡΛ πρὸς Λ△, τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ.

Πεποιήσθω δὲ ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ Τὸ Θ σημεῖον ὅπως ποτὲ μὲν ἂν τεθῇ, ὅσον πρὸς τὴν ἀκολουθίαν τῆς ἀποδείξεως κατʼ οὐδὲν ἐμποδὼν γίνεται τῷ λόγῳ· ὅτι δέ, καθὰ ἐν τῇ καταγραφῇ κεῖται, ἀεὶ μεταξὺ τῶν Β, Ρ πίπτει οὕτως ἔσται δῆλον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΛΚ πρὸς △Κ, τουτέστι πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ, καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα, ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ, ἡ ΚΡ πρὸς ΡΒ, Μείζονα δὲ λόγον ἔχει ἡ ΛΡ πρὸς ΡΧ ἤπερ ἡ ΛΡ πρὸς ΡΚ καὶ ἡ ΛΡ ἄρα πρὸς ΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΡ πρὸς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ πρὸς ΒΡ. Ἀναστρέψαντι ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ ἐλάσσονα ἔχει λόγον ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς ΖΡ. Ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΡ.

Φανερὸν δὲ αὐτόθεν ὅτι ἡ ΖΘ τῆς ΘΒ μείζων ἐστίν. Ἐπεὶ γὰρ δὲδεικται ὡς ἡ Λ△ πρὸς ∠Κ, ἡ △Χ πρὸς ΧΒ καὶ ἡ ΚΒ πρὸς ΒΡ, μείζων δὲ ἡ △Χ τῆς ΧΒ, μείζων ἄρα καὶ ἡ Λ△ τῆς △Κ καὶ ἡ ΚB τῆς ΒΡ ὥστε καὶ ἡ Λ△ τῆς ΒΡ. Καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΛΧ τῆς ΧΡ μείζων ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ΘΖ τῆς ΘΒ.

Λοιπὸν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ Β△, τουτέστι τὸ δοθέν, πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, οὕτως ἡ ΖΧ πρὸς ΖΘ Ἐπεὶ γὰρ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΘΖ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ, τῷ δὲ αὐτῷ τῷ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΘ ὁ αὐτός ἐστι καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ, καὶ ὁ συγκείμενος ἄρα ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ καὶ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΧ καὶ τοῦ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ. Ἐὰν οὖν τὸν ἐν ἀμφοτέροις τοῖς λόφοις κοινὸν ἀφέλωμεν τὸν τῆς ΒΖ πρὸς ΧΖ, λοιπὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΧΖ πρὸς ΖΘ.

Καὶ δὴ δοθεῖσαν τὴν τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν· τουτέστι τὴν ΖΘ· οὕτως τὸ δοθέν τουτέστι τὸ ἀπὸ Β△· πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Χ. Τοῦτο δὲ οὕτως ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορισμόν, προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ τοῦ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, ὡς κατὰ τὴν ἀνάλυσιν· οὐκ ἔχει διορισμόν καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὸ ἀπὸ △Β πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, τὴν ΧΖ πρὸς ΖΘ· ἑκάτερα δὲ ταῦτα ἐπὶ τέλει ἀναλυθήσεται καὶ συντεθήσεται | Ἐπὶ τέλει μὲν τὸ προρηθὲν ἐπηγγείλατο δεῖξαι, ἐν οὐδενὶ δὲ τῶν ἀντιγράφων εὑρεῖν ἔνεστι τὸ ἐπάχγελμα. Ὅθεν καὶ Διονυσόδωρον μὲν εὑρίσκομεν μὴ τῶν αὐτῶν ἐπιτυχόντα, ἀδυνατήσαντα δὲ ἐπιβαλεῖν τῷ καταλειφθέντι λήμματι, ἐφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν τοῦ ὅλου προβλήματος ἐλθεῖν, ἥντινα ἑξῆς γράψομεν Διοκλῆς μέντοι καὶ αὐτὸς ἐν τῷ Περὶ πυρίων αὐτῷ συγγεγραμμένῳ βιβλίῳ ἐπηγγέλθαι νομίζων τὸν Ἀρχιμήδη, μὴ πεποιηκέναι δὲ τὸ ἐπάγγελμα, αὐτὸς ἀναπληροῦν ἐπεχείρησεν, καὶ τὸ ἐπιχείρημα ἑξῆς γράψομεν ἔστιν γὰρ καὶ αὐτὸ οὐδένα μὲν ἔχον πρὸς τὰ παραλελειμμένα λόγον, ὁμοίως δὲ τῷ Διονυσοδώρῳ διʼ ἑτέρας ἀποδείξεως κατασκευάζον τὸ πρόβλημα. Ἔν τινι μέντοι παλαιῷ βιβλίῳ οὐδὲ γὰρ τῆς εἰς πολλὰ ζητήσεως ἀπὲστημεν ἐντετύχαμεν θεωρήμασι γεγραμμένοις οὐκ ὀλίγην μὲν τὴν ἐκ τῶν πταισμάτων ἔχουσιν ἀσὰφειαν περί τε τὰς καταγραφὰς πολυτρόπως ἡμαρτημένοις, τῶν μέντοι ζητουμένων εἶχον τὴν ὑπόστασιν, ἐν μέρει δὲ τὴν Ἀρχιμήδει φίλην Δωρίδα γλῶσσαν ἀπέσωζον καὶ τοῖς συνήθεσι τῷ ἀρχαίῳ τῶν πραγμάτων ὀνόμασιν ἐγέγραπτο τῆς μὲν παραβολῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ὀνομαζομένης, τῆς δὲ ὑπερβολῆς ἀμβλυγωνίου κώνου τομῆς, ὡς ἐξ αὐτῶν διανοεῖσθαι, μὴ ἄρα καὶ αὐτὰ εἴη τὰ ἐν τῷ τέλει ἐπηγγελμένα γράφεσθαι. Ὅθεν σπουδαιότερον ἐντυγχάνοντες αὐτὸ μὲν τὸ ῥητόν, ὡς γέγραπται, διὰ πλῆθος, ὡς εἴρηται, τῶν πταισμάτων δυσχερὲς εὑρόντες τὰς ἐννοίας κατὰ μικρὸν ἀποσυλήσαντες κοινοτέρᾳ καὶ σαφεστέρᾳ κατὰ τὸ δυνατὸν λέξει γράφομεν. Καθόλου δὲ πρῶτον τὸ θεώρημα γραφήσεται, ἵνα τὸ λεγόμενον ὑπʼ αὐτοῦ σαφηνισθῇ περὶ τῶν διορισμῶν εἶτα καὶ τοῖς ἀναλελυμένοις ἐν τῷ προβλήματι προσαρμοσθήσεται.

Εὐθείας δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΓ καὶ χωρίου τοῦ △ προκείσθω λαβεῖν ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον ὡς τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς ΑΓ, οὕτω τὸ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ.

Γεγονέτω, καὶ κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΓΗ, διὰ δὲ τοῦ Β τῷ ΑΓ παράλληλος ἡ ΖΒΗ συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν ΓE, ΓΗ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΗΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε ὁποτέρᾳ τῶν ΓΘ, ΗΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ τῷ △ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΗΜ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπο ΕΒ, ὡς δὲ ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ∠, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΜ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΜ, τῆς ΗΖ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἄρα τὸ

ὑπὸ ΜΗΖ τῷ ἀπὸ ΖΚ. Ἐὰν ἄρα περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γραφῇ διὰ τοῦ Η παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ, ἥξει διὰ τοῦ Κ, καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ δεδομένην εἶναι τὴν ΗΜ τῷ μεγέθει περιέχουσαν μετὰ τῆς ΗΓ δεδομένης δοθὲν τὸ △· τὸ ἄρα Κ ἅπτεται θέσει δεδομένης παραβολῆς. Γεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΚ. Πίλιν, ἐπειδὴ τὸ ΘΛ χωρίον ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΗ, ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ, ΓΗ γραφῇ ὑπερβολή, ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ η΄ θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ ἑκατέραν τῶν ΘΓ, ΓΗ, ἔτι μὴν καὶ τὸ Β τῇ θέσει δεδόσθαι. Γεγράφθω, ὡς εἴρηται, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΚΒ· τὸ ἄρα ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερβολῆς. Ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης παραβολῆς δέδοται ἄρα τὸ Κ. Καί ἐστιν ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΚΕ ἐπὶ θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ· δέδοται ἄρα τὸ Ε, Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ, οὕτως δοθὲν τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, δύο στερεῶν, ὧν βάσεις τὸ ἀπὸ ΕΒ καὶ τὸ △, ὕψη δὲ αἰ ΕΑ, ΑΓ, ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕφεσιν ὥστε ἴσα ἐστὶ τὰ στερεά τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΒ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ δοθέντι τῷ △ ἐπὶ δοθεῖσαν τὴν ΓΑ, Ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ, ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ, ὡς δειχθήσεται· δεῖ ἄρα τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μὴ μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ.

Συντεθήσεται δὲ οὕτως ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ἄλλη δὲ τις δοθεῖσα ἡ ΑΓ, τὸ δὲ δοθὲν χωρίον τὸ △, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν ΑΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὸ ἓν τμῆμα πρὸς τὴν δοθεῖσαν τὴν ΑΓ, οὕτως τὸ δοθὲν τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος.

Εἰλήφθω τῆς ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΑΕ· τὸ ἄρα △ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤτοι μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον. Εἰ μὲν οὖν μεῖζόν ἐστιν, οὐ συντεθήσεται, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται· εἰ δὲ ἴσον ἐστί, τὸ Ε σημεῖον ποιήσει τὸ πρόβλημα. Ἴσων γὰρ ὄντων τῶν στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ.

Εἰ δὲ ἔλασσόν ἐστι τὸ ∠ ἐπὶ τὴν ΑΓ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, συντεθήσεται οὕτως κείσθω ἡ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΖ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΕ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΖΘ παραλληλόγραμμον, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΖΗ παράλληλος

ἤχθω ἡ ΚΕΛ. Ἐπεὶ οὖν τὸ △ ἐπὶ τὴν ΑΓ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ἔστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ. Ἔστω οὖν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, καὶ τῷ △ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΓΖΝ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΖΝ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΝ, τῆς ΖΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΜ ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΗΜ τῷ ὑπὸ ΗΖΝ. Ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ γράψωμεν παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΖΝ, ἥξει διὰ τοῦ Μ. Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΜΞΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΛ τῷ ΑΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΚΛ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ, ἐὰν διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΓ, ΓΖ γράψωμεν ὑπερβολήν, ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ η΄ θεωρήματος τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Γεγράφθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΚ τέμνουσα τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΟΠ, καὶ διὰ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΡΞΣ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞΚ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΓ, ΓΖ, καὶ παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΡΞΓ ταῖς ΑΒΖ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΡΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΖ ὥστε καὶ τὸ ΡΟ τῷ ΟΖ. Ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Σ ἐπιζευχθῇ εὐθεῖα, ἥξει διὰ τοῦ 0. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΟΣ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΟΒ πρὸς ΒΣ, τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΣ, τῆς ΖΝ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΖΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΖΝ, Καί ἐστι τῷ μὲν ὑπὸ ΓΖΝ ἴσον τὸ △ χωρίον, τῷ δὲ ὑπὸ ΣΖΝ ἴσον τὸ ἀπὸ ΣΞ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΟ διὰ τὴν παραβολήν· ὡς ἄρα ἡ ΟΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ △ χωρίον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΟ. Εἴληπται ἄρα τὸ Ο σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα.

Ὅτι δὲ διπλασίας οὔσης τῆς ΒΕ τῆς ΕΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως λαμβανομένων ἐπὶ τῆς ΒΑ δειχθήσεται οὕτως. Ἔστω γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, πάλιν δοθεῖσα εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ΑΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ διὰ τοῦ Β παραλλήλῳ ἠχμένῃ τῇ ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τῶν Γ, Ζ παράλληλοι τῇ ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΘΖ, ΓΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ταύτῃ παράλληλος διὰ τοῦ Ε ἤχθω ἡ ΚΕΛ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΓ,

οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ διὰ τὸ δύο στερεῶν ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν. Λέγω οὖν ὅτι τὸ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΑΓ μέγιστόν ἐστι πάντων τῶν ὁμοίως ἐπὶ τῆς ΒΑ λαμβανομένων.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η περὶ ἄξονα τὴν ΖΗ παραβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΜ· ἥξει δὴ διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει δέδεικται, καὶ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ ΘΓ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς διὰ τὸ ἕβδομον καὶ εἰκοστὸν θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΝΓΗ γεγράφθω ὑπερβολή ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Κ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει εἴρηται. Ἐρχέσθω οὖν ὡς ἡ ΒΚ, καὶ ἐκβληθείσῃ τῇ ΖΗ ἴση κείσθω ἡ ΗΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ο· φανερὸν ἄρα ὅτι ἐφάπτεται τῆς παραβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τετάρτου καὶ τριακοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ, οὕτως γὰρ ὑπόκειται, τουτέστιν ἡ ΖΚ τῆς ΚΘ, καί ἐστιν ὅμοιον τὸ ΟΘΚ τρίγωνον τῷ ΞΖΚ τργώνῳ, διπλασία ἐστὶ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΟ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΞΚ τῆς ΚΠ διπλῆ διὰ τὸ καὶ τὴν ΞΖ τῆς ΞΗ καὶ παράλληλον εἶναι τὴν ΠΗ τῇ ΚΖ ἴση ἄρα ἡ ΟΚ τῇ ΚΠ. Ἡ ἄρα ΟΚΠ ψαύουσα τῆς ὑπερβολῆς καὶ μεταξὺ οὖσα τῶν ἀσυμπτώτων δίχα τέμνεται· ἐφάπτεται ἄρα τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ τρίτου θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἐφήπτετο δὲ καὶ τῆς παραβολῆς κατὰ τὸ αὐτὸ Κ· ἡ ἄρα παραβολὴ τῆς ὑπερβολῆς ἐφάπτεται κατὰ τὸ Κ. Νενοήσθω οὖν καὶ ἡ ὑπερβολὴ προσεκβαλλομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ρ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Σ, καὶ διὰ τοῦ τῇ ΚΛ παράλληλος ἤχθω ἡ ΤΣΥ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Τ, καὶ διὰ τοῦ Τ τῇ ΓΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΦΤΧ Ἐπεὶ οὖν διὰ τὴν ὑπερβολὴν καὶ τὰς ἀσυμπτώτους ἴσον ἐστὶ τὸ ΦΥ τῷ ΓΒ, κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΣ ἴσον γίνεται τὸ ΦΣ τῷ ΣΗ, καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Σ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΓΣΧ. Καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΨΧ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΧΗΜ διὰ τὴν παραβολήν, τὸ ἀπὸ ΤΧ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΧΗΜ. Γεγονέτω οὖν τῷ ἀπὸ ΤΧ ἴσον τὸ ὑπὸ ΧΗΩ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΣΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ, ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΧ, τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΗΩ καὶ πρὸς τὸ ἴσον αὐτῷ τὸ ἀπὸ ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΣ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ. Τὸ δὲ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΓΗΜ ἐπὶ τὴν ΓΑ τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν σημείων τῶν μεταξὺ λαμβανομένων τῶν Ε, Β.

Ἀλλὰ δὴ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν Ε, Α σημεῖον τὸ Ϛ. Λέγω ὅτι καὶ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατεσκευασμένων ἤχθω διὰ τοῦ Ϛ τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ϥϚΡ καὶ συμβαλλέτω τῇ ὑπερβολῇ κατὰ τὸ Ρ συμβαλεῖ γὰρ αὐτῇ διὰ τὸ παράλληλος

εἶναι τῇ ἀσυμπτώτῳ· καὶ διὰ τοῦ Ρ παράλληλος ἀχθεῖσα τῇ ΑΒ ἡ Α΄ΡΒ΄ συμβαλλέτω τῇ ΗΖ ἐκβαλλομένῃ κατὰ τὸ Β΄. Καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν ὑπερβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ Γ΄ϥ τῷ ΑΗ, ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸ Β΄ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἥξει διὰ τοῦ Ϛ. Ἐρχέσθω καὶ ἔστω ὡς ἡ Τς΄Β΄, Καὶ ἐπεὶ πάλιν διὰ τὴν παραβολὴν ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ Α΄Β΄ τῷ ὑπὸ Β΄ΗΜ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΡΒ΄ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ Β΄ΗΜ, Γεγονέτω τὸ ἀπὸ ΡΒ΄ ἴσον τῷ ὑπὸ Β΄ΗΩ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ϚΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ΄, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ΄, τῆς ΗΩ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΗΩ πρὸς τὸ ὑπὸ Β΄ΗΩ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΒ΄, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΒϚ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΩ ἐπὶ τὴν ΓΑ. Καὶ μεῖζον τὸ ὑπὸ ΓΗΜ τοῦ ὑπὸ ΓΗΩ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ τοῦ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἐπὶ πάντων τῶν σημείων τῶν μεταξὺ τῶν Ε, Α λαμβανομένων. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν Ε, Β· πάντων ἄρα τῶν ἐπὶ τῆς ΑΒ ὁμοίως λαμβανομένων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, ὅταν ᾖ διπλασία ἡ ΒΕ τῆς ΕΑ.

Ἐπιστῆσαι δὲ χρὴ καὶ τοῖς ἀκολουθοῦσιν κατὰ τὴν εἰρημένην καταγραφήν. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ καὶ τὸ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ ἔλασσον τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ, δυνατόν ἐστι καὶ τοῦ δοθέντος χωρίου ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἐλάσσονος ὄντος τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ ἐπὶ τὴν ΕΑ κατὰ δύο σημεῖα τὴν ΑΒ τεμνομένην ποιεῖν τὸ ἐξ ἀρχῆς πρόβλημα. Τοῦτο δὲ γίνεται, εἰ νοήσαιμεν περὶ διάμετρον τὴν ΧΗ γραφομένην παραβολήν, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΗΩ· ἡ γὰρ τοιαύτη παραβολὴ πάντως ἔρχεται διὰ τοῦ Τ. Καὶ ἐπειδὴ ἀνάγκη αὐτὴν συμπίπτειν τῇ παραλλήλῳ οὔσῃ τῇ διαμέτρῳ, δῆλον ὅτι τέμνει τὴν ὑπερβολὴν καὶ κατʼ ἄλλο σημεῖον ἀνωτέρω τοῦ Κ, ὡς ἐνταῦθα κατὰ τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἀγομένη, ὡς ἐνταῦθα ἡ ΡϚ, τέμνει τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ϛ, ὥστε τὸ Ϛ σημεῖον ποιεῖν τὸ πρόβλημα, καὶ ἴσον γίνεσθαι τὸ ἀπὸ ΒΣ ἐπὶ τὴν ΣΑ τῷ ἀπὸ ΒϚ ἐπὶ τὴν ϚΑ, ὥς ἐστι διὰ τῶν προειρημένων ἀποδείξεων ἐμφανές. Ὥστε, δυνατοῦ ὄντος ἐπὶ τῆς ΒΑ δύο σημεῖα λαμβάνειν ποιοῦντα τὸ ζητούμενον, ἔξεστιν ὁπότερόν τις βούλοιτο λαμβάνειν ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β ἢ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Α. Εἰ μὲν γὰρ τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β, ὡς εἴρηται, τῆς διὰ τῶν Η, Τ σημείων γραφομένης παραβολῆς κατὰ δύο σημεῖα τεμνούσης τὴν ὑπερβολὴν τὸ μὲν ἐγγύτερον τοῦ Η, τουτέστι τοῦ ἄξονος τῆς παραβολῆς, εὑρήσει τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Β, ὡς ἐνταῦθα τὸ Τ εὑρίσκει τὸ Σ, τὸ δὲ ἀπωτέρω τὸ μεταξὺ τῶν Ε, Α, ὡς ἐνταῦθα τὸ Ρ εὑρίσκει τὸ Ϛ.

Καθόλου μὲν οὖν οὕτως ἀναλέλυται καὶ συντέθειται τὸ πρόβλημα ἵνα δὲ καὶ τοῖς Ἀρχιμηδείοις ῥήμασν ἐφαρμοσθῇ, νενοήσθω ὡς ἐν αὐτῇ τῇ τοῦ ῥητοῦ καταγραφῇ διάμετρος μὲν τῆς σφαίρας ἡ △Β, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΒΖ, καὶ ἡ δεδομένη ἡ ΖΘ. Κατηντήσαμεν ἄρα, φησίν, εἰς τὸ τὴν △Ζ τεμεῖν κατὰ τὸ Χ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς τὴν δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ.

Τοῦτο δὲ ἁπλῶς μὲν λεγόμενον ἔχει διορμσμόν Εἰ γὰρ τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν μεῖζον ἐτύγχανεν τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ, ἀδύνατον ἦν τὸ πρόβλημα, ὡς δέδεικται, εἰ δὲ ἴσον, τὸ Β σημεῖον ἐποίει τὸ πρόβλημα, καὶ οὕτως δὲ οὐδὲν ἦν πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς Ἀρχιμήδους πρόθεσιν ἡ γὰρ σφαῖρα οὐκ ἐτέμνετο εἰς τὸν δοθέντα λόχον. Ἁπλῶς ἄρα λεγόμενον εἶχεν προσδιορισμόν προστιθεμένων δὲ τῶν προβλημάτων τῶν ἐνθάδε ὑπαρχόντων, τουτέστι τοῦ τε διπλασίαν εἶναι τὴν △Β τῆς ΖΒ καὶ τοῦ μείζονα εἶναι τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, οὐκ ἔχει διορισμόν. Τὸ γὰρ ἀπὸ △Β τὸ δοθὲν ἐπὶ τὴν ΖΘ τὴν δοθεῖσαν ἔλαττόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς △Β ἐπὶ τὴν ΒΖ διὰ τὸ τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ μείζονα εἶναι, οὗπερ ὑπάρχοντος ἐδείξαμεν δυνατόν, καὶ ὅπως προβαίνει τὸ πρόβλημα.

Κατανοεῖν δὲ χρὴ καὶ τοῖς ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους λεγομένοις συμφώνως ἔχουσιν τοῖς ὑφʼ ἡμῶν ἀναλελυμένοις. Πρότερον μὲν γὰρ μετὰ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ καθόλου τὸ εἰς ὃ κατήντησεν λέγων φησίν δοθεῖσαν τὴν △Ζ τεμεῖν δεῖ κατὰ τὸ Χ καὶ ποιεῖν ὡς τὴν ΧΖ πρὸς δοθεῖσαν, οὕτως τὸ δοθὲν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς △Χ εἶτα εἰπὼν ὡς καθόλου μὲν τὸ λεγόμενον ἔχει διορισμὸν, προστεθέντων δὲ τῶν ὑπ᾿ αὐτοῦ εὑρεθέντων προβλημάτων, τοῦ τε εἶναι διπλασίαν τὴν △Β τῆς ΒΖ καὶ μείζονα τὴν ΒΖ τῆς ΖΘ, μὴ ἔχειν διορισμόν μερικώτερον ἐπαναλαμβάνει τὸ πρόβλημα καί φησιν ὅτι καὶ ἔσται τὸ πρόβλημα τοιοῦτον· δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν △Β, ΒΖ καὶ διπλασίας οὔσης τῆς △Β τῆς ΒΖ καὶ σημείου ἐπὶ τῆς ΒΖ τοῦ Θ τεμεῖν τὴν △Β κατὰ τὸ Χ, οὐκέτι, ὡς πρότερον, τὴν △Ζ εἰπὼν ἀλλὰ τὴν △Β δεῖν τεμεῖν διὰ τό, ὡς ἀνωτέρω ἡμεῖς ἀπεδείξαμεν, εἰδέναι αὐτὸν ὡς δύο σημεῖά ἐστι τὰ λαμβανόμενα ἐπὶ τῆς △Ζ καὶ ποιοῦντα τὸ πρόβλημα, ἓν μὲν τὸ μεταξὺ τῶν △, Β, ἕτερον δὲ τὸ μεταξὺ τῶν Β, Ζ, ὧν τὸ μεταξὺ τῶν △, Β ἦν τὸ πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρόθεσιν χρήσιμον.

Ταῦτα μὲν οὖν ἀκὸλουθα τοῖς Ἀρχιμήδους ῥήμασιν κατὰ τὸ δυνατὸν σαφῶς ἀπεγραψάμεθα ἐπεὶ δὲ, ὡς προείρηται, καὶ Διονυσόδωρος οὐδαμοῦ τοῖς ἐπὶ τέλει γραφομένοις παρ᾿ Ἀρχιμήδους ἐπηγγελμένοις ἐντυχών, ἀτονήσας δὲ ὥσπερ προσευρεῖν τὰ μὴ ἐκτεθέντα ἑφ᾿ ἑτέραν ὁδὸν βαδίζων τοῦ ὅλου προβλήματος οὐκ ἄχαριν εὑρέσεως συνεχράψατο τρόπον, ἀναγκαῖον ᾠήθημεν δεῖν καὶ αὐτὸν τούτοις ἐπισυνάψαι διορθωσάμενοι κατὰ δύναμιν καὶ γὰρ αὐτὸς ἐκ πολλῆς ἀμελετησίας τῶν ἀνθρώπων τὰ πολλὰ τῶν ἀποδείξεων τῷ πλήθει τῶν πταισμάτων ἠφανισμένα ἔχων ἐν πᾶσιν, οἷς ἡμεῖς ἐντετύχαμεν, ἀντιγράφοις ἐφέρετο.

Ὡς Διονυσόδωρος.

Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα αὐτῆς πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα σφαῖρα, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε. Δδεῖ δὴ τεμεῖν τὴν σφαῖραν ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὴν ΑΒ, ὥστε τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, λόχον ἔχειν, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΖ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΕ πρὸς Ε△, ἐχέτω ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, καὶ ἔστω ἡ ΑΗ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ, καὶ τῶν ΖΑ, ΑΗ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ ΑΘ μείζων ἄρα ἡ ΑΘ τῆς ΑΗ. Καὶ περὶ ἄξονα τὴν ΖΒ διὰ τοῦ Ζ γεγράφθω παραβολή, ὥστε τὰς καταχομένας δύνασθαι παρὰ τὴν ΑΗ ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Θ, ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΘ γεγράφθω οὖν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΖΘΚ, καὶ διὰ τοῦ Β ἀνήχθω παρὰ τὴν ΑΘ ἡ ΒΚ καὶ τεμνέτω τὴν παραβολὴν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Η περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΖΒΚ γεγράφθω ὑπερβολή τεμεῖ δὴ τὴν παραβολὴν μεταξὺ τῶν Θ, Κ. Τεμνέτω κατὰ τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ διὰ Η, Λ τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΝ, ΛΞ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΗΛ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΑΒΚ, καὶ παράλληλοι ταῖς ΑΗΝ αἱ ΜΛΞ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΗΝ τῷ ὑπὸ ΜΛΞ διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Ἀλλ᾿ ἡ μὲν ΗΝ τῇ ΑΒ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ΛΞ τῇ ΜΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΛΜΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΗΑΒ καὶ διὰ τὸ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν μέσων αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΗΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, οὕτως τὸ ἀτὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν παραβολὴν τὸ ἀπὸ ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΜ, ΑΗ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ, οὕτως ἡ ΜΛ πρὸς ΑΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΜ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ· καὶ ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῷ ΒΜ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς ΑΗ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ· ὧν γὰρ κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, σοι εἰσὶν ἐκεῖνοι. Ἀλλ᾿ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΑΗ, ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΓΕ πρὸς Ε△· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη· καὶ ὁ κῶνος ἄρα ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, πρὸς τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἐστὶν ὡς ἡ ΤΕ πρὸς Ε△. Ἀλλ᾿ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ, ἴσος ἐστὶ τῇ σφαίρᾳ, ὁ δὲ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται· καὶ ἡ σφαῖρα ἄρα πρὸς τὸ εἰρημένον τμῆμα λόγον ἔχει, ὃν ἡ ΓΕ πρὸς Ε△ καὶ διελόντι τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Α, ὕψος δὲ ἡ ΑΜ, πρὸς τὸ τμῆμα, οὗ κορυφὴ τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἡ Γ△ πρὸς △Ε. Τὸ ἄρα διὰ τῆς ΛΜ ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τέμνει τὴν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόγον ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Ὅτι δὲ ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΒΜ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Β, ὕψος δὲ ἡ ΒΜ, δειχθήσεται οὕτως.

Γεγονέτω γὰρ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ τὴν ΟΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΖΜ πρὸς ΜΟ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΠΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, οὕτως ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὡς ἄρα ὁ κύκλος, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, πρὸς τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ΜΟ. Ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΜΒ, ὕψος δὲ τὴν ΖΜ, ἴσος ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν κύκλον, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ΠΜ, ὕψος δὲ τὴν ΜΟ· ἀντιπεπόνθασιν γὰρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν ὥστε καὶ τῷ τμήματι ἴσος ἐστίν.

Ὡς Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων.

Γράφει δὲ καὶ ὁ Διοκλῆς ἐν τῷ Περὶ πυρίων προλέγων τάδε.

Ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας ἴσον ἐστὶ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτὴν τῷ τμήματι, ὕψος δὲ εὐθεῖάν τινα λόγον ἔχουσαν πρὸς τὴν ἀπὸ τῆς τοῦ τμήματος κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ ἡ τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος κάθετος πρὸς τὴν τοῦ ἐναλλὰξ τμήματος

κάθετον. Οἷον ἐὰν ᾖ σφαῖρα ἡ ΑΒΓ καὶ τμηθῇ ἐπιπέδῳ τινὶ τῷ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλῳ, καὶ διαμέτρου οὔσης τῆς ΑΒ, κέντρου δὲ τοῦ Ε, ποιήσωμεν ὡς συναμφότερον τὴν ΕΑ, ΖΑ πρὸς ΖΑ, οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς ΖΒ, ἔτι τε ὡς συναμφότερον τὴν ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΖΒ, οὕτως τὴν ΘΖ πρὸς ΖΑ, ἀποδέδεικται ὅτι τὸ μὲν ΓΒ△ τμῆμα τῆς σφαίρας ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ, τὸ δὲ ΓΑ△ τμῆμα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΘΖ. Προταθέντος οὖν αὐτῷ τοῦ τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν δοθέντα, κατασκευάσας τὰ εἰρημένα φησί· λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τοῦ κώνου, οὗ βάσις ἐστὶν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Γ△ κύκλος, ὕψος δὲ ἡ ΖΘ, πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ ΖΗ καὶ γὰρ καὶ τοῦτο ἀπεδείχθη. Οἱ δὲ κῶνοι οἱ ἐπ᾿ ἴσων βάσεων ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη λόγος ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθείς. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒΖ πρὸς τὴν ΖΒ, διελόντι ὡς ἡ ΘΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΖΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΗΒ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ αὐτὴ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΖΑ. Γέγονεν οὖν πρόβλημα τοιοῦτον θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ δοθείσης τῆς ΕΒ τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ζ καὶ προσθεῖναι τὰς ΘΑ, ΒΗ, ὥστε λόγον εἶναι τῆς ΘΖ πρὸς ΖΗ δοθέντα, ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΘΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΖΒ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς ΖΑ. Τοῦτο δὲ ἑξῆς δέδεικται· ὁ γὰρ Ἀρχιμήδης μακρότερον αὐτὸ δείξας καὶ οὕτως εἰς πρόβλημα ἕτερον ἀπάγει, ὃ οὐκ ἀποδείκνυσιν ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου.

θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ΑΒ καὶ δύο δοθέντων σημείων τῶν Α, Β καὶ λόχου τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △, τεμεῖν τὴν ΑΒ κατὰ τὸ Ε καὶ προσθεῖναι τὰς ΖΑ, ΗΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν △, οὕτως τὴν ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ, ἔτι τε εἶναι ὡς τὴν ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως δοθεῖσάν τινα εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΒΕ, ὡς δὲ τὴν ΗΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΕΑ.

Γεγονέτω, καὶ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΘΑΚ, ΛΒΜ, καὶ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴση κείσθω ἑκατέρα τῶν ΑΚ, ΒΜ. Ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΚΕ, ΜΕ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Λ, Θ, ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΚΜ, καὶ διὰ τοῦ Λ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΒ ἡ ΛΝ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΝΚ ἡ ΞΕΟΠ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, ὑπόκειται γάρ, ὡς δὲ ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων, ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ· ἴση ἄρα ἡ ΖΑ τῇ ΘΑ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΒΛ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΒΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτός ἐστὶ τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου

τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ. Κείσθω τῇ ΚΑ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΡ, ΒΣ. Ἐτεὶ οὖν συναμφότερος μὲν ἡ ΘΑΕ ἴση ἐστὶ τῇ ΖΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΛΒΕ ἴση τῇ ΕΗ, συναμφότερος δὲ ἡ ΚΑΕ ἴση τῇ ΡΕ, συναμφότερος δὲ ἡ ΜΒΕ ἴση τῇ ΣΕ, καὶ ἐδείχθη τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ. Διὰ δὴ τοῦτο, ὅταν τὸ P μεταξὺ τῶν Α, Ζ πίπτῃ, τότε τὸ Σ ἐξωτέρω τοῦ Η πεσεῖται, καὶ τὸ ἀνάπαλιν, Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν △, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. Τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΡΕΣ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. Κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΟ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΟ ἐκβεβλήσθω ἐφʼ ἑκάτερα, καὶ ἀπὸ τῶν Σ, Ρ πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ ΣΤ, ΡΥ συμβαλλέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Τ, Υ. Ἐτεὶ οὖν διὰ δεδομένου τοῦ Β πρὸς θέσει δεδομένην τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΤΥ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΒΟ ἡμίσειαν ὀρθῆς, δέδοται ἡ ΤΥ τῇ θέσει. Καὶ ἀπὸ δεδομένων τῶν Σ, Ρ θέσει ἠγμέναι αἱ ΣΤ, ΡΥ τέμνουσιν αὐτὴν κατὰ τὰ Τ, Υ· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ Τ, Υ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΤΥ τῷ θέσει καὶ τῇ μεγέθει. Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν τῶν ΕΟΒ, ΣΤΒ τριγώνων ὁμοιότητά ἐστιν ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ· καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, ὡς δὲ ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑηὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ. Τὸ δὲ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον, ἐπειδὴ καὶ τὸ ἀπὸ ΟΒ τοῦ ἀπὸ ΒΕ· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ ἐστὶ διπλάσιον. Τὸ δὲ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἐδείχθη λόγον ἔχεν, ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ λόγον ἔχει, ὃν ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △. Τὸ δὲ ἀπὸ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΞΟ· ἑκατέρα γὰρ τῶν ΕΗ, ΞΟ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγον ἔχει, ὃν ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν △. Καὶ δέδοται ὁ τῆς διπλασίας τῆς πρὸς τὴν △ λόγος δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ λόγος. Ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν ὡς τὴν △ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως τὴν ΤΥ πρὸς ἄλλην τινὰ ὡς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γράψωμεν ἔλλειψιν, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν τῇ ὑπὸ ΞΟΒ γωνίᾳ, τουτέστιν ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς, δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, ἥξει διὰ τοῦ διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ εἰκοστοῦ θεωρήματος τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων. Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΥΞΤ τὸ ἄρα Ξ σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης ἐλλείψεως. Καὶ ἐπεὶ διαγώνιός ἐστιν ἡ ΛΚ τοῦ ΝΜ παραλληλογράμμου, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΠ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ. Ἐὰν ἄρα διὰ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΘΚΜ γράψωμεν ὑπερβολήν, ἥξει διὰ τοῦ Ξ καὶ ἔσται θέσει δεδομένη διὰ τὸ καὶ τὸ Β σημεῖον τῇ θέσει δεδόσθαι καὶ ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΒΜ καὶ διὰ τοῦτο τὰς ΘΚΜ ἀσυμπτώτους. Γεγράφθω καὶ ἔστω ὡς ἡ ΞΒ· τὸ ἄρα σημεῖον ἅπτεται θέσει δεδομένης ὑπερβολῆς. Ἥπτετο δὲ καὶ θέσει δεδομένης ἐλλείψεως· δέδοται ἄρα τὸ Ξ. Καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΞΕ· δέδοται ἄρα τὸ Ε. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, καὶ δὲδοται ἡ ΑΕ, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δέδοται καὶ ἡ ΗΒ.

Συντεθήσεται δὲ οὕτως· ὡς γὰρ ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα, ἣν δεῖ τεμεῖν, ἡ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα ἑτέρα ἡ ΑΚ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν △. Ἤχθω τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΜ ἴση οὖσα τῇ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΜ, καὶ τῇ μὲν ΚΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΡ καὶ ἡ ΒΣ, ἀπὸ δὲ τῶν Ρ, Σ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΡΥ, ΣΤ, καὶ πρὸς τῷ Β σημείῳ συνεστάτω ἡμίσεια ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΑΒΟ, καὶ ἐκβληθεῖσα ἡ ΒΟ ἐφ᾿ ἑκάτερα τεμνέτω τὰς ΣΤ, ΡΥ κατὰ τὰ Τ, Υ, καὶ γεγονέτω ὡς ἡ △ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς Γ, οὕτως ἡ ΤΥ πρὸς τὴν Φ, καὶ περὶ τὴν ΤΥ γεγράφθω ἔλλειψις, ὥστε τὰς καταγομένας ἐν ἡμισείᾳ ὀρθῆς δύνασθαι τὰ παρακείμενα παρὰ τὴν Φ ἐλλείποντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΤΥ, Φ, διὰ δὲ τοῦ Β περὶ ἀσυμπτώτους τὰς ΑΚ, ΚΜ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ ΒΞ τέμνουσα τὴν ἔλλειψιν κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Π, διὰ δὲ τοῦ Ξ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΞΝ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΚΑ, ΜΒ ἐπὶ τὰ △, Θ, καὶ ἡ ΜΕ ἐπιζευχθεῖσα ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΚΝ κατὰ τὸ Θ. Ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΞ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΚ, ΚΜ, ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΝΞΓ τῷ ὑπὸ ΑΒΜ διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, καὶ διὰ τοῦτο εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΚΕΛ. Κείσθω οὖν τῇ μὲν ΘΑ ἴση ἡ ΑΖ, τῇ δὲ ΛΒ ἴση ἡ ΒΗ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △, οὕτως ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, ὡς δὲ ἡ Φ πρὸς τὴν ΤΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ διὰ τὸ κ΄ θεώρημα τοῦ πρώτου βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων, ὡς ἄρα ἡ διπλασία τῆς πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΤΒ πρὸς ΒΟ, οὕτως ἡ ΣΒ πρὸς ΒΕ, καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΒ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΒ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΡ καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΟ πρὸς ΟΥ, οὕτως ἡ ΣΕ πρὸς ΕΡ. Καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΥ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΣΕΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΕΡ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΡ, Ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΟΥ τοῦ ἀπὸ ΕΡ διπλάσιον διὰ τὸ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΟ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΒΕ τῇ ΕΟ ἡμισείας ὀρθῆς οὔσης ἑκατέρας τῶν πρὸς τοῖς Β, Ο· καὶ τὸ ὑπὸ ΤΟΥ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΣΕΡ. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἡ διπλασία τῆς Γ πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΟΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ ἴση γὰρ ἡ ΞΟ τῷ ΕΗ διὰ τὸ ἑκατέραν αὐτῶν ἴσην εἶναι συναμφοτέρῳ τῇ ΛΒΕ. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΒΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΚΑΕ πρὸς συναμφότερον τὴν ΛΒΕ ἑκάτερος γὰρ τῶν λόγων ὁ αὐτὸς ἐστι τῷ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΛΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΚΑΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΒΕ. Ἀλλὰ συναμφοτέρῳ μὲν τῇ ΘΑΕ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΕ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΛΒΕ ἴση ἡ ΕΗ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΚΑΕ ἴση ἡ ΡΕ, συναμφοτέρῳ δὲ τῇ ΜΒΕ ἴση ἡ ΕΣ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΡΕΣ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΡΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ πρὸς τὴν △, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ πρὸς τὴν △, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς ΑΕ, ἴση δὲ ἡ ΘΑ τῇ ΖΑ, ὡς ὄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ. Διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡς ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ. Εὐθείας ἄρα δοθείσης τῆς ΑΒ καὶ ἑτέρας τῆς ΑΚ καὶ λόγου τοῦ τῆς πρὸς τὴν εἴληπται ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ προσετέθησαν εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΗΒ, καὶ γέγονεν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ἔτι τὲ ἐστιν ὡς ἡ δοθεῖσα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ, ὡς δὲ αὐτὴ ἡ δοθεῖσα ἡ ΚΑ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς ΒΕ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Τούτων δεδειγμένων δυνατόν ἐστι τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰς τὸν δοθέντα λόχον τεμεῖν οὕτως· ἔστω γὰρ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόχος. ὃν δεῖ ἔχεν τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα, ὁ τῆς πρὸς τὴν κέντρον δὲ τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ προσκείσθωσαν αἱ ΗΑ, ΘΒ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν πρὸς τὴν △, οὕτως τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΖΘ, ἔτι τε εἶναι ὡς μὲν τὴν ΗΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως δοθεῖσαν τὴν ΕΒ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ τὴν ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως τὴν αὐτὴν δοθεῖσαν τὴν ΕΑ πρὸς ΑΖ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ποιεῖν προδέδεικται καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΚΖΛ, καὶ διὰ τῆς ΚΛ ἐπίπεδον ἐκβληθὲν ὀρθὸν πρὸς τὴν ΑΒ τεμνέτω τὴν σφαῖραν. Λέγω ὅτι τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν τῆς Γ πρὸς τὴν △.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΗΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς ΒΖ, καὶ συνθέντι· ὡς ἄρα ἡ ΗΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ, ΒΖ πρὸς ΒΖ· ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ, ὕψος δὲ τὴν ΖΗ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν ΖΑ. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΖ, καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΒΖ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΑ, ΑΖ πρὸς ΑΖ ὁ ἄρα κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΚΛ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΖΘ, ἴσος ἐστὶ τῷ τμήματι τῆς σφαίρας τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕφος δὲ τὴν ΒΖ. Ἐπεὶ οὖν οἱ εἰρημένοι κῶνοι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη, τουτέστιν ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ, τουτέστιν ἡ Γ πρὸς τὴν △, καὶ τὰ τμήματα ἄρα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει τὸν δοθέντα ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.

Ὡς δὲ δεῖ διὰ τοῦ δοθέντος σημείου περὶ τὰς δοθείσας ἀσυμπτώτους γράψαι ὑπερβολὴν δείξομεν οὕτως, ἐπειδὴ οὐκ αὐτόθεν κεῖται ἐν τοῖς κωνικοῖς στοιχείοις.

Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ δεδόσθω σημεῖόν τι τὸ △, καὶ προκείσθω διὰ τοῦ △ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς

ΓΑ, ΑΒ γράψαι ὑπερβολήν. Ἐπεζεύχθω ἡ Α△ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ κείσθω τῇ △Α ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ △ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ △Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ △Ε, Η, καὶ ἐκβληθείσης τῆς Α△ γεγράφθω περὶ αὐτὴν διὰ τοῦ ὑπερβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Η ὑπερβάλλοντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ △Ε, Η. Λέγω ὅτι τῆς γεγραμμένης ὑπερβολῆς ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΓΑ, ΑΒ.

Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ △Ζ τῇ ΒΑ, καὶ ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΖΑ, ἴση ἄρα καὶ ἡ Γ△ τῇ △Β· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Γ△. Καί ἐστι τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ △Ε, Η· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ Γ△, △Β τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ △Ε, Η εἴδους. Αἱ ἄρα ΓΑ, ΑΒ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς ὑπερβολῆς διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ β΄ βιβλίου τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν στοιχείων.

Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ δ΄.

Ἐν δὲ τῇ συνθέσει προσεκβάλλων τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας τὴν △Β καὶ ἀποθέμενος τῇ ἡμισείᾳ αὐτῆς ἴσην τὴν ΖΒ καὶ τεμὼν αὐτὴν εἰς τὸν δοθέντα λόχον κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπὶ τῆς △Β λαβὼν τὸ Χ οὕτως, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΧΖ πρὸς ΘΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Χ, τὰ αὐτὰ κατασκευάζων τοῖς πρότερόν φησι ὅτι γεγονέτω ὡς συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ, οὕτως ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, καὶ τίθησιν τὸ Ρ μεταξὺ τῶν Θ, Ζ.

Ὅτι δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει δεικτέον. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ Κ△Χ πρὸς △Χ, ἡ ΡΧ πρὸς ΧΒ, διελόντι ὡς ἡ Κ△ πρὸς △Χ, ἡ ΡΒ πρὸς ΧΒ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ Κ△ πρὸς ΡΒ, ἡ △Χ πρὸς ΒΧ. Μείζων δὲ ἡ ΔΧ τῆς ΧΒ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΒ τῆς ΒΡ, τουτέστιν ἡ ΖΒ τῆς ΒΡ· ὥστε τὸ Ρ ἐντὸς τοῦ Ζ πεσεῖται. Ὅτι δὲ καὶ ἐκτὸς τοῦ Θ δειχθήσεται ὁμοίως τοῖς ἐν τῇ ἀναλύσει προελθούσης πάσης τῆς συνθέσεως τοῦ θεωρήματος. Συνάγεται γὰρ ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΡΧ πρὸς ΧΛ, ἡ ΒΘ πρὸς ΘΖ· ὥστε καὶ συνθέντι, Καὶ διὰ τοῦτο γίνεται ἀκόλουθος τοῖς ἄνω εἰρημένοις καὶ ἐνταῦθα ἡ δεῖξις.

Καὶ διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραχμένῃ ἀναλογίᾳ | Τεταραγμένην ἀναλογίαν ἐν τοῖς Στοιχείοις ἐμάθομεν τριῶν ὄντων μεγεθῶν καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ᾖ ὡς μὲν ἡγούμενον πρὸς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡφούμενον πρὸς ἑπόμενον, ὡς δὲ ἑπόμενον πρὸς ἄλλο τι ἐν τοῖς πρώτοις, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις ἄλλο τι πρὸς ἡγούμενον. Κἀνταῦθα οὖν δέδεικται ὡς μὲν ἡγούμενον ἡ ΡΛ πρὸς ἑπόμενον τὴν Λ△, οὕτως ἡγούμενον ἡ ΧΖ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΖΘ, ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ △Λ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΛΧ, οὕτως ἄλλο τι ἡ ΒΖ πρὸς ἡγούμενον τὴν ΧΖ. Ἕπεται ἄρα καὶ διʼ ἴσου, ὡς δέδεικται ἐν τῷ πέμπτῳ τῶν Στοιχείων, ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΛΧ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΖΘ.

Εἰς τὸ ε΄.

Καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΖΗ τμῆμα τῷ ΘΚΛ τμήματι, ὅμοιος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΕΖΩ κῶνος τῷ ΨΘΚ κώνῳ Νενοήσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι αἱ καταγραφαὶ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΕΗ, ΗΖ, ΕΟ, ΟΖ, ΘΛ, ΛΚ, ΘΞ, ΞΚ.

Ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΕΖΗ, ΘΚΛ τμήματα, ἴσαι εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ ΕΗΖ, ΘΛΚ γωνίαι· ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν. Καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Φ, Υ· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ ἐστιν ἴση. Ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΗΦΖ τρίγωνον τῷ ΛΥΚ, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσογωνίων ὄντων τῶν ΦΖΟ, ΥΚΞ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΚΥ πρὸς ΥΞ· δι᾿ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΟ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΞ. Καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΗΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΛΞ πρὸς ΞΥ· καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση ὡς ἡ ΣΟ πρὸς ΟΦ, ἡ ΡΞ πρὸς ΞΥ· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΣΟΦ πρὸς ΦΟ, τουτέστιν ἡ ΩΦ πρὸς ΦΗ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΡΞΥ πρὸς ΞΥ, τουτέστιν ἡ ΨΥ πρὸς ΥΛ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΗΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΛΥ πρὸς ΥΚ· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς ΦΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΥΚ· καὶ τῶν ἑπομένων τὰ διπλάσια ὡς ἄρα ἡ ΩΦ πρὸς ΕΖ, ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ. Τῶν ἄρα ΩΕΖ, ΨΘΚ κώνων ἀνάλογόν εἰσιν οἱ ἄξονες καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων· ὅμοιοι ἄρα εἰσὶν οἱ κῶνοι· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Λόγος δὲ τῆς ΩΦ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς | Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε δὲδοται ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΗΦ. Καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ΕΖ ἡ ΕΦ δοθήσεται ὥστε καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς. Καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΦΟ. Ἐὰν δὲ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληρῇ, πλάτος ποιεῖ δοθεῖσαν δοθεῖσα ἄρα ἡ ΦΟ. Ἀλλὰ καὶ ἡ ΦΗ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας δοθεῖσά ἐστι, καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς δέδοται ἡ ΣΟ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΦ δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΣΟ πρὸς ΟΦ λόγος. Καὶ συνθέντι ὁ συναμφοτέρου τῆς ΣΟΦ πρὸς τὴν ΟΦ λόγος δοθείς ἐστιν, τουτέστι τῆς ΩΦ πρὸς ΦΗ. Καὶ δέδοται ἡ ΦΗ· δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΩΦ. Ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΕΖ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΩΦ πρὸς ΕΖ λόγος.

Τὰ αὐτὰ δὲ ἂν ῥηθείη καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος, καὶ συναχθήσεται ὁ τῆς ΧΤ πρὸς ΑΒ λόγος δοθείς· καὶ διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ΑΒ δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ XT.

Ὅτι δέ, ἂν τὰ τμήματα δεδομένα ᾗ, καὶ τὰ ὕψη αὐτῶν δοθήσονται πρόδηλον μέν, ἵνα δὲ καὶ τοῦτο ἀκολούθως τῇ στοιχειώσει τῶν Δεδομένων δοκῇ συνάγεσθαι, λεχθήσεται.

Ἐπειδὴ δέδοται τὰ τμήματα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει, δέδοται καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία· ὥστε καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς. Καὶ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευγνυμένην τὴν ΕΗ, δεδομένης τῆς πρὸς τῷ Φ ὀρθῆς δεδομένη ἔσται καὶ ἡ λοιπὴ καὶ τὸ ΕΗΦ τρίχωνον τῷ εἴδει· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΕΦ πρὸς ΦΗ λόγος δοθεὶς ἔσται. Καὶ δέδοται ἡ ΕΦ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΕΖ δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἔνεοτι δὲ καὶ ἄλλως λέγειν. Ἐπειδὴ δέδοται ἡ ΕΖ τῇ θέσει, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Φ, διχοτομία γάρ ἐστι τῆς ΕΖ, πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΦΗ τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ ἡ περιφέρεια τοῦ τμήματος τῇ θέσει, δέδοται ἄρα τὸ Η. Ἦν δὲ καὶ τὸ Φ δεδομένον δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΦΗ.

Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς △ Ἐπεὶ γὰρ γέγονεν ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΘΚ, ἡ ΧΤ πρὸς △, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, ἡ ΚΘ πρὸς △. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΨΥ πρὸς ΧΤ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ· ἴσων γὰρ ὄντων τῶν κώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ὡς δὲ αἱ βάσεις πρὸς ἀλλήλας, οὕτως τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς τὴν △.

Καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ΄ πρὸς △ | Ἐπειδὴ τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ὁ αὐτὸς ἐδείχθη ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Ϛ΄ καὶ ὁ τῆς ΚΘ πρὸς △, καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς Ϛ΄ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΚΘ πρὸς △· ὥστε ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΘΚ, ἡ Ϛ΄ πρὸς △.

Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ ε΄.

Ἐπειδὴ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΘΚ, Ϛ΄, △, ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ, ἡ ΘΚ πρὸς △ | Καθόλου γάρ, ἐὰν ὦσιν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον, ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν δευτέραν, ἡ τρίτη πρὸς τὴν τετάρτην, ἐναλλὰξ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δευτέρα πρὸς τὴν τετάρτην.

Εἰς τὸ Ϛ΄.

Ἐπεὶ δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΛΜ τῷ ΑΒΓ τμήματι, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ, ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΜΝ, ΓΘ, ἐπεὶ ὅμοιά εἰσιν τὰ τμήματα, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Λ γωνίαι. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Μ, Γ ὀρθαί· καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα τῇ λοιπῇ, καὶ ἰσογώνια τὰ τρίγωνα, καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΘΓ, οὕτως ἡ ΛΝ πρὸς ΝΜ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΘΓ πρὸς ΘΠ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΡ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΓΘΠ, ΜΝΡ τριγώνων· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΠ, ἡ ΛΝ πρὸς ΝΡ· ὥστε καὶ διελόντι ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ.

Λόγος δὲ τῆς ΕΖ πρὸς ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα | Ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὰ τμήματα τῶν σφαιρῶν, δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ διάμετροι τῶν βάσεων καὶ τὰ ὕψη τῶν τμημάτων· ὥστε, ἐπεὶ δέδοται ἡ ΑΓ, δέδοται καὶ ἡ ἡμίσεια αὐτῆς ἡ ΓΠ. Δέδοται δὲ καὶ ἡ ΒΠ, καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσιν δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΒΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν· ὥστε καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ λόγος δοθείς ἐστιν.

Εἰς τὴν σύνθεσιν τοῦ Ϛ΄.

Ὅμοια ἄρα ἐστὶ τὰ ἐπὶ τῶν ΚΜ, ΑΓ τμήματα κύκλων | Ἐὰν γάρ, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει, ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΓΘ, ΜΝ, ἐπεὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Γ, Μ, καὶ κάθετοι αἱ ΓΠ, ΜΡ, μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν τῆς βάσεως τμημάτων ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ πρώτη ἡ ΒΠ πρὸς τὴν τρίτην τὴν ΠΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς ΠΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΠΓ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΛΡ πρὸς ΡΝ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ. Καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΠΘ, ἡ ΡΛ πρὸς ΡΝ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΠΒ πρὸς ΠΓ, ἡ ΛΡ πρὸς ΡΜ. Καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν ἰσογώνια ἄρα τὰ τρίγωνα. Ἴσαι ἄρα αἱ πρὸς τοῖς Β, Λ γωνίαι καὶ αἱ διπλασίους αὐτῶν αἱ ἐν τοῖς τμήμασιν ὅμοια ἄρα εἰσὶν τὰ τμήματα.

Εἰς τὸ ζ΄.

Λόγος ἄρα δεδομένος συναμφοτέρου τῆς Ε△Ζ πρὸς △Ζ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ Ε△, πρὸς ΔΖ λόγον ἔχει δεδομένον, ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρός τι μόριον ἑαυτοῦ λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον ὥστε συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς Ε△ λόγον ἔχει δεδομένον. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Ε△, △Ζ πρὸς συναμφότερον τὴν Ε△Ζ λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ πρὸς ἀλλήλας λόχον ἔχουσι δεδομένον δέδοται ἄρα ὁ τῆς Ε△ πρὸς △Ζ λόγος. Καὶ δέδοται ἡ Ε△· δέδοται γὰρ ἡ διάμετρος· δέδοται ἄρα καὶ ἡ △Ζ. Λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ δοθήσεται· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ △ΖΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΖ, τουτέστιν ἡ ΑΖ, δοθεῖσα ἔσται· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ.

Καὶ ἄλλως δὲ λέγοις ἂν ὅτι ἡ ΑΓ δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ διάμετρος ἡ △Β τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ τὸ Ζ, ὡς ᾔτηται, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Ζ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΓ, δέδοται ἡ ΑΓ θέσει. Ἀλλὰ καὶ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια δοθέντα ἄρα τὰ A, Γ, καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖΓ δοθεῖσά ἐστιν.

Καὶ ἐπεὶ συναμφότερος μὲν ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς △Β | Ἐπεὶ γὰρ ἡ Ε△ μείζων ἢ ἡμίσειά ἐστι τῆς △Ζ, συναμφότερος ἄρα ἡ Ε△Ζ τῆς △Ζ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιολία. Συναμφότερος δὲ ἡ Ε△, △Β τῆς △Β ἡμιολία μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ Ε△Ζ πρὸς ΔΖ ἤπερ ἡ Ε△Β πρὸς △Β.

Ἢ καὶ ἄλλως. Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ △Β τῆς △Ζ, ἄλλη δὲ τις ἡ Ε△, ἡ Ε△ ἄρα πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς △Β· συνθέντι συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς ΔΒ.

Ἡ σύνθεσις τοῦ θεωρήματος σαφὴς διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων.

Εἰς τὸ η΄.

Ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ διπλασίονα τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ Α△, τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△ | Ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετος ἦκται ἡ ΑΖ, τῶν πρὸς τῇ καθέτῳ τριγώνων ὁμοίων ὄντων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΑ, ἡ ΑΒ πρὸς Β△. Καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης, ὡς ἀνωτέρω δέδεικται· ὡς ἄρα ἡ ΖΒ πρὸς Β△, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β△. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς △Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△.

Συναχθείη δ᾿ ἂν τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως οὕτως· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΒ△ πρὸς τὸ ὑπὸ Β△Ζ τῆς Β△ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs, καὶ ἔστι τῷ μὲν ὑπὸ △ΒΖ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΑ, τῷ δὲ ὑπὸ Β△Ζ ἴσον τὸ ἀπὸ △Α, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ καθόλου γάρ, ἐὰν ὦσιν δύο μεγέθη ἄνισα, καὶ προστεθῇ αὐτοῖς ἴσα, τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συντεθὲν πρὸς τὸ συντεθέν.

Ἐστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ△, καὶ προσκείσθωσαν αὐταῖς ἴσαι αἱ ΒΕ, △Ζ. Λέγω ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς Γ△ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς Γ△, ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ△ πρὸς τὴν ΒΕ, τουτέστι πρὸς △Ζ ὥστε καὶ συνθέντι ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΖ πρὸς △Ζ διὰ τὰ προδεδειγμένα.

Ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ | Ἐὰν γὰρ ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι συνεχεῖς ὡς αἱ A, Β, Γ, ὥστε τὴν Α πρὸς τὴν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν Β πρὸς τὴν Γ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν A, Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης τῆς Β. Ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, τὴν Β πρὸς ἄλλγν τινα, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς Γ, εἴπερ δεῖ ἐλαττῶσαι τὸν τῆς Β πρὸς Γ λόγον. Καὶ ἔσται τὸ ὑπὸ τῆς Α καὶ τῆς μείζονος τῆς Γ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν A, Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Β.

Τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ | Ὡς γὰρ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ ἔλασσον τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλασσον.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ Ε△, ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΖ△ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΕ△ | Τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΒΕ△ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Ε△, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖ△ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ αὐτῷ, Καὶ δῆλον ὅτι, ὅσῳ τῆς διχοτομίας ἀφέστηκεν τὸ Z μείζονι, ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἴσων μετὰ γὰρ μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ τῶν ἴσων, Ὥστε ἡ εὐθεῖα κἂν εἰς ἄνισα τέμνηται κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν ἕγγιον τῆς διχοτομίας μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἀπωτέρω τμημάτων.

Ἡ ΖΒ ἄρα πρὸς ΒΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε△ πρὸς △Ζ | Καθόλου γάρ, ἐὰν τέσσαρες ὅροι ὦσιν, ὡς οἱ Α, Β, Γ, △Ε, καὶ ᾖ τὸ ὑπὸ τῶν Α, △Ε ἔλασσον τοῦ ὑπὸ Β, Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς △Ε.

Ἔστω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΖΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν ΖΕ. Ὁ δὲ Γ πρὸς τὸν ΖΕ ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Ε△· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς △Ε.

Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ Ἐπεὶ γὰρ τῷ ὑπὸ ΘΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΝ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, ὡς δέδεικται ἀνωτέρω. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ, συνθέντι ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΒ, ἡ ΚΝ πρὸς ΚΒ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ, ἡ Νβ πρὸς ΒΚ καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ.

Τὸ δὲ ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ Πάλιν γὰρ δύο ἀνίσοις ταῖς ΘΖ, ΖΚ πρόσκειται ἡ ΝΖ, καὶ διὰ τὸ ἀνωτέρω εἰρημένον ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ ὥστε καὶ τὰ διπλάσια. Τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΕ, τουτέστιν ἡ ΚΖ πρὸς ΖΗ.

Ἡ ἄρα ΘΖ πρὸς ΖΗ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ τῆς ΚΖ πρὸς ΖΗ Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι εὐθεῖαι, ὡς αἱ ΑΒ, Γ, △, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν πρὸς τὴν △. Λέγω ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν Γ, △ μέση ἀνάλογον ἡ Ε. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν △, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς Γ, ὁ δὲ τῆς πρὸς τὴν △ διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς πρὸς Ε, καὶ ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ε. Γεγονέτω οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς ΒΖ. Καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΒΖ, Γ, Ε, △, ἡ ΒΖ ἄρα πρὸς △ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς Γ, τουτέστιν ἡ πρὸς Ε. Ἔχει δὲ καὶ ἡ Γ πρὸς △ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς Γ πρὸς Ε· ἡ ἄρα ΒΖ πρὸς △ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς △· ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ τῆς Γ πρὸς △.

Λῆμμα εἰς τὸ ἑξῆς.

Ἔστωσαν τέσσαρες ὅροι οἱ Α, Γ, △, Β. Λέγω ὅτι ὁ συγκείμενος λόχος ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μετὰ τοῦ τῆς Β πρὸς λόγου ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὴν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὴν △.

Ἔστω γὰρ τῷ μὲν ὑπὸ Α, Β ἴσος ὁ Κ, τῷ δὲ ἀπὸ Γ ἴσος ὁ Λ, καὶ γεχονέτω ὡς ὁ Β πρὸς △, οὕτως ὁ Λ πρὸς Μ· ὁ ἄρα τοῦ Κ πρὸς Μ λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ πρὸς Λ, τουτέστι τοῦ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ, καὶ τοῦ Λ πρὸς Μ, τουτέστι τοῦ Β πρὸς △. Ὁ δὴ Κ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ν ποιείτω, ὁ δὲ Λ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ξ ποιείτω, τὸν δὲ △ πολλαπλασιάσας τὸν Ο. Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν A, Β ὁ Κ ἐστίν, ὁ δὲ Κ τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν Ν πεποίηκεν, ὁ ἄρα Ν ἐστὶν τὸ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β, Πάλιν, ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Γ ὁ Λ ἐστίν, ὁ δὲ Λ τὸν △ πολλαπλασιάσας τὸν O πεποίηκεν, ὁ O ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὸν △ ὥστε ὁ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν △ λόφος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ Ν πρὸς Ο. Δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι ὁ τοῦ πρὸς Μ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ Ν πρὸς Ο.

Ἐπεὶ οὖν ἑκάτερος τῶν Κ, Λ τὸν Β πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ν, Ξ πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Κ πρὸς τὸν Λ, οὕτως ὁ Ν πρὸς Ξ. Πάλιν, ἐπεὶ ὁ Λ ἑκάτερον τῶν Β, △ πολλαπλασιάσας ἑκάτερον τῶν Ξ, Ο πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Β πρὸς △, ὁ Ξ πρὸς Ο. Ἀλλ᾿ ὡς ὁ Β πρὸς △, ὁ Λ πρὸς τὸν Μ· καὶ ὡς ἄρα ὁ πρὸς Μ, ὁ Ξ πρὸς Ο. Οἱ ἄρα Κ, Λ, Μ τοῖς Ν, Ξ, Ο ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν σύνδυο λαμβανόμενοι· καὶ διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ὁ Κ πρὸς Μ, οὕτως ὁ Ν πρὸς Ο. Καὶ ἔστιν ὁ τοῦ Κ πρὸς Μ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ A, Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ Β πρὸς △, ὁ δὲ τοῦ Ν πρὸς Ο λόγος ὁ αὐτὸς ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν ὁ ἄρα σγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ὁ Β πρὸς △ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β πρὸς τὸ ἀπὸ Γ ἐπὶ τὸν △.

Φανερὸν δὲ καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸν Α. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως τὸ ὑπὸ Α, Β πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ Β τοῦ Β κοινοῦ ὕψους λαμβανομένου, ἐὰν δὲ τέσσαρες ὅροι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, τὸ ἄρα ὑπὸ Α, Β ἐπὶ τὸν Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸν Α.

Εἰς τὸ ἄλλως τοῦ η΄.

Εἴρηται ἐν τοῖς προλαβοῦσιν ὡς, ἐὰν δύο μεγεθῶν ληφθῇ τι μέσον, ὁ τῶν ἄκρων λόχος σύγκειται ἐκ τοῦ ὃν ἔχει τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, καὶ τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον. Ὁμοίως δὴ κἂν πλείονα μέσα ληφθῇ, ὁ τῶν ἄκρων λόχος σύγκειται ἐκ τῶν λόχων, ὧν ἔχουσι πάντα κατὰ τὸ ἑξῆς πρὸς ἄλληλα τὰ μεγέθη. Καὶ ἐνταῦθα οὖν φησιν ὅτι· ὁ τοῦ ΒΑ△ τμήματος πρὸς τὸ ΒΓ△ τμῆμα λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ ΒΑ△ τμῆμα πρὸς τὸν κῶνον, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ περὶ διάμετρον τὴν Β△ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ ὁ αὐτὸς κῶνος πρὸς κῶνον τὸν βάσιν μὲν ἔχοντα τὴν αὐτήν, κορυφὴν δὲ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ὁ εἰρημένος κῶνος πρὸς τὸ ΒΓ△ τμῆμα, δηλαδὴ τοῦ △ΑΒ τμήματος καὶ τοῦ ΒΓ△ μέσων λαμβανομένων τῶν εἰρημένων κώνων.

Ἀλλ᾿ ὁ μὲν τοῦ ΒΑ△ τμήματος πρὸς τὸν ΒΑ△ κῶνον ὁ τῆς ΗΘ ἐστὶ πρὸς ΘΓ Διὰ τὸ πόρισμα τοῦ δευτέρου θεωρήματος τοῦ δευτέρου βιβλίου ἐλέγετο γὰρ τὸ τμῆμα πρὸς τὸν ἐν ἑαυτῷ κῶνον τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερος ἥ τε ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ τῆς σφαίρας καὶ τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος πρὸς τὸ ὕψος τοῦ λοιποῦ τμήματος.

Ὁ δὲ τοῦ ΒΑ△ κώνου πρὸς τὸν ΒΓ△ κῶνον ὁ τῆς ΑΘ ἐστὶ πρὸς ΘΓ Ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντες πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ὕψη.

Ὁ δὲ τοῦ ΒΓ△ κώνου πρὸς τὸ ΒΓ△ τμῆμα ὁ τῆς ΑΘ ἐστὶ πρὸς ΘΖ Διὰ τὸ ἀνάπαλιν τοῦ εἰρημένου πορίσματος.

Ὥστε ὁ τοῦ ΒΑ△ τμήματος πρὸς τὸ ΒΓ△ τμῆμα λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΗΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ καὶ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΖ. Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τῆς ΗΘ πρὸς ΘΓ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ ὁ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ ἐστὶ πρὸς τὸ ἀπὸ θΓ· τὰ γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν. Ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΖ ὁ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΘΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ προληφθέντι λήμματι. Ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΗΘΑ ἐπὶ τὴν ΘΑ ὁ αὐτός ἐστι τῷ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ· καὶ τοῦτο γὰρ συναποδέδεικται ἐν τῷ προληφθέντι· ὁ ἄρα τοῦ τμήματος πρὸς τὸ τμῆμα λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ. Ἐπεὶ οὖν δεῖ δεῖξαι ὅτι τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἢ διπλασίονα τοῦ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν λόγου, δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ΒΑ△ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ΒΓ△, τουτέστι τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ· δέδεικται· γὰρ τοῦτο ἐν τοῖς προλαβοῦσιν θεωρήμασιν δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ. Ἀλλὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ λόγου διπλάσιός ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ· ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάοσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ, τῆς ΘΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ· χρὴ ἄρα δειχθῆναι ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ. Πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστι· δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΖΘ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ, τουτέστιν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΖΘ τῆς ΘΗ. Ἔστι δὲ τοῦτο φανερόν· ἀνίσοις γὰρ ταῖς ΑΘ, ΘΓ ἴσαι πρόσκεινται αἱ ΖΑ, ΓΗ.

Ταῦτα εἰπὼν αὐτὸς μὲν οὐκ ἐπήγαγεν τὴν σύνθεσιν, ἡμεῖς δὲ αὐτὴν προσθήσομεν.

Ἐπεὶ ἡ ΖΘ τῆς ΘΗ μείζων ἐστίν, τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ, τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ. Ἀλλ᾿ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΓ λόγος διπλάσιός ἐστι τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόγον ἔχει τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΓ. Ἀλλ᾿ ὁ μὲν τῶν τμημάτων λόχος ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ, ὁ δὲ τῶν ἐπιφανειῶν τῷ ὃν ἔχει ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ· τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα ἐλάσσονα ἢ διπλασίονα λόχον ἔχει τοῦ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν λόχου.

Ἑξῆς δὲ ἀναλύων τὸ ἕτερον μέρος τοῦ θεωρήματος ἐπάγει· φημὶ δὴ ὅτι τὸ μεῖζον τμῆμα πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τῆν ἐπιφάνειαν λόγου. Ἀλλ᾿ ὀ μὲν τῶν τμημάτων ἐδείχθη ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ, τοῦ δὲ τῆς ἐπιφανείας πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν λόγου ἡμιόλιός ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον Τοῦ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ διπλάσιος μέν ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, τριπλάσιος δὲ ὁ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον. Ἀλλ᾿ ὡς ὁ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΒΓ κύβον, οὕτως ὁ ἀπὸ ΑΘ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΒ κύβον ὡς γὰρ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς ΘΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ, ΑΒΘ τριγώνων, ἐὰν δε ὦσιν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν στερεὰ τὰ ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα ἀνάλογόν εἰσιν ὥστε ὁ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΒ κύβον ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ. Φημὶ οὖν ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΘΒ κύβον, τουτέστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ καὶ ὁ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ· ὁ γὰρ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ διπλασίων τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ προσλαβὼν τὸν τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτὸς γίνεται τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΘΒ κύβον· ἑκάτερος γὰρ τοῦ αὐτοῦ ἐστι τριπλάσιος.

Ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ προσλαβὼν τὸν τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐστὶ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ | Ἐπεὶ γὰρ ὁ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΘΒ πρὸς ΘΓ, τῆς ΒΘ μέσης ἀνάλογον ὑπαρχούσης, ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ. Ἀλλ᾿ ὁ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ τῆς ΒΘ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ λόγος μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ. Ἀλλ᾿ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ λόχος ὁ συχκείμενός ἐστιν ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ τοῦ ἀπὸ ΒΘ μέσου λαμβανομένου ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΘ λόγος μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ. Ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ ἐπὶ τὴν ΘΗ τῆς ΘΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης. Φημὶ δὴ ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόχον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ. Πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει, ἐκεῖνο ἔλασσόν ἐστι· δεικτέον ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΒΘΓ ἐπὶ τὴν ΘΗ, ταὐτόν ἐστι τῷ δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΗ πρὸς ΘΖ | Ἐὰν γὰρ ὦσιν τέσσαρες ὅροι, ὡς ἐνταῦθα τὸ ἀπὸ ΓΘ καὶ τὸ ὑπὸ ΓΘΒ καὶ ἡ ΘΗ καὶ ΘΖ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἔλασσον ᾖ τοῦ ὑπὸ τῶν μέσων, ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ ὁ τρίτος πρὸς τὸν τέταρτον, ὡς δέδεικται ἀνωτέρω. Εὐλόχως ἄρα ἐχρῆν δεῖξαι τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἔλασσον τοῦ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ, ὃ ταὐτόν ἐστι τῷ δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΗ πρὸς ΘΖ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ, ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΗ πρὸς ΘΖ, τουτέστιν ὅτι ἡ ΑΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. Ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΕΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ καὶ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπ᾿ αὐτὴν ἡ ΒΛ ἐπίλοιπον ἡμῖν δεῖξαι δεῖ ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. Ἴση δέ ἐστιν ἡ ΘΖ συναμφοτέρῳ τῇ ΘΑ, ΚΕ· ἡ γὰρ ΑΖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστίν δεῖ ἄρα δεῖξαι ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ καὶ ἀφαιρεθείσης ἄρα ἀπὸ τῆς ΗΘ τῆς ΓΘ, ἀπὸ δὲ τῆς ΚΕ τῆς ΕΛ ἴσης τῇ ΒΘ, δεήσει δειχθῆναι ὅτι λοιπὴ ἡ ΓΗ πρὸς λοιπὴν συναμφότερον τὴν ΑΘ, ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ | Ἐπεὶ γὰρ δεῖ δειχθῆναι ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὅτι ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΚΕ πρὸς ΘΒ, τουτέστι πρὸς ΛΕ, καὶ διελόντι ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΚΛ πρὸς ΛΕ, τουτέστι πρὸς ΒΘ, ἐναλλὰξ ὅτι ἡ ΗΓ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν ἡ ΛΕ πρὸς ΑΘ ὅτι ἄρα ἡ ΗΓ πρὸς συναμφότερον τὴν ΘΑ, ΚΛ μείζονα λόχον ἔχει ἤπερ ἡ ΛΕ πρὸς ΑΘ, καὶ ἐναλλὰξ ὅτι ἡ ΓΗ, τουτέστιν ἡ ΚΕ, πρὸς ΕΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΘΑ πρὸς ΘΑ διελόντι ὅτι ἡ ΚΛ πρὸς ΛΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ αὐτὴ ἡ ΚΛ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν ὅτι ἐλάσσων ἡ ΛΕ τῆς ΘΑ ἐστίν.

Ἑξῆς δὲ ἡμεῖς τὴν σύνθεσιν προσθήσομεν. Ἐπεὶ ἡ ΛΕ τῆς ΑΘ ἐλάσσων, ἡ ἄρα ΚΛ πρὸς ΛΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΚΛ πρὸς ΑΘ συνθέντι ἡ ΚΕ πρὸς ΕΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ πρὸς ΑΘ. Ἡ δὲ ΛΕ τῷ ΒΘ ἐστὶν ἴση· ἡ ἄρα πρὸς ΒΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ πρὸς ΑΘ. Ἐναλλὰξ ἡ ἄρα ΗΓ πρὸς συναμφότερον τὴν ΚΛ, ΑΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΘ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ· ἐναλλὰξ ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ πρὸς ΘΒ· συνθέντι ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ ΚΛ, ΑΘ μετὰ τῆς ΘΒ, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΑΘ, ΚΕ, πρὸς ΒΘ. Ἴση δὲ ἡ ΚΕ τῇ ΑΖ· ἡ ἄρα ΗΘ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΒ· ἐναλλὰξ ἡ ΗΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ. Ὡς δὲ ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ· ἡ ἄρα ΗΘ πρὸς ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ. Καὶ διὰ τὰ πρότερον εἰρημένα τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ. Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὴν ΘΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ. Ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ τοῦ ἀπὸ ΒΘ μέσου λαμβανομένου σύγκειται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ καὶ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΒΘ πρὸς ΘΓ, τουτέστι τῷ τῆς ΑΘ πρὸς ΒΘ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ μετὰ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ. Ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ καὶ τοῦ τῆς ΑΘ πρὸς ΘΒ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΘ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΘΒ κύβον, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ κύβον τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ μείζονα λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ ΑΒ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ κύβον. Ἀλλ᾿ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ ΑΘ ἐπὶ τὴν ΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὴν ΘΖ λόγος ὁ αὐτὸς ἐδείχθη τῷ τῶν τμημάτων λόγῳ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς κύβον λόγος ἡμιόλιος ἐδείχθη τοῦ τῶν ἐπιφανειῶν λόγου· τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐπιφάνεια πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν.

Εἰς τὸ θ΄.

Δῆλον δὲ ὅτι ἡ ΒΑ τῆς μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία δυνάμει, τῆς δὲ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων ἢ διπλασία Ἐπιζευχθείσης γὰρ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς πρὸς τῷ κέντρῳ ἀμβλείας γινομένης ὑπὸ τῆς ΒΑ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν περιεχουσῶν ἴσων ὄντων ὥστε τοῦ ἑνὸς αὐτῶν, τουτέστι τοῦ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον. Πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΒ ἴσου ὄντος τοῖς ἀπὸ ΑΚ, ΚΒ, καὶ μείζονος ὄντος τοῦ ἀπὸ ΑΚ τοῦ ἀπὸ ΚΒ, τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΑΚ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοῦ σχήματος, ἐφ᾿ οὗ σημεῖον (??), ἐν δὲ τῷ ἑτέρῳ σχήματι τἀναντία τούτοις εἰκότως λεχθήσεται.

Ἔστω καὶ τῇ ΕΛ ἴση ἡ ΕΝ, καὶ ἀπὸ τοῦ κύκλου τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κῶνος ἔστω κορυφὴν ἔχων τὸ Ν σημεῖον. Ἴσος δὴ καὶ οὗτός ἐστι τῷ κατὰ τὴν ΘΕΖ περιφέρειαν ἡμισφαιρίῳ | Ἐπεὶ γὰρ ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ, ὕψος δὲ τὴν ΛΕ, τοῦ μὲν κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, τοῦ δὲ ἡμισφαιρίου ἡμιόλιος, τὸ ἡμισφαίριον διπλάσιόν ἐστι τοῦ αὐτοῦ κώνου. Ἔστιν δὲ καὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΛΝ, διπλάσιος τοῦ αὐτοῦ κώνου καὶ τὸ ἡμισφαίριον ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν ΛΝ.

Τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΑΡΓ μεῖζόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τῶν ΑΚΓ, διότι τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν τῆς ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρου μείζονα ἔχει | Εἴρηται γὰρ ἀνωτέρω ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα τμηθῇ εἰς ἄνισα κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν κατὰ τὴν ἐγγυτέραν τῆς διχοτομίας τομὴν μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν κατὰ τὴν ἀπωτέρω. Ταὐτὸν δέ ἐστιν εἰπεῖν, διότι τὴν ἐλάσσονα πλευρὰν τῆς ἐλάσσονος τοῦ ἑτέρου μείζονα ἔχει· ὅσῳ γὰρ ἐλάσσων ἐστί, τοσούτῳ πλέον ἀφέστηκεν ἡ τομὴ τῆς διχοτομίας.

Τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΡ ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ΑΚ, ΓΞ· ἥμισυ γάρ ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ | Ἐὰν γὰρ ἐπιζευχθῇ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετον ἦχθαι τὴν ΒΚ καὶ τὰ πρὸς τῇ καθέτῳ τρίγωνα ὅμοια εἶναι τῷ ὅλῳ γίνεται τὸ ὑπὸ ΓΑΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τῆς ἡμισείας τῆς ΓΑ καὶ ΑΚ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΞ, ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ ΑΒ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΑΡ.

Μεῖζον οὖν ἐστι καὶ τὸ συναμφότερον τοῦ συναμφοτέρου | Ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ τῷ ἀπὸ ΑΡ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ ΑΡΓ τοῦ ὑπὸ ΑΚΓ, ἐὰν δὲ ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα, καὶ ἐκεῖνο μεῖζον, ὃ καὶ ἐξ ἀρχῆς μεῖζον, τῷ μὲν ὑπὸ ΑΡΓ προστεθέντος τοῦ ἀπὸ ΑΡ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΚΓ τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ, μεῖζον γίνεται τὸ ὑπὸ ΑΡΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΡ τοῦ ὑπὸ ΑΚΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ.

Ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΑΡΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΡ ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ ΓΑΡ διὰ τὸ δεύτερον θεώρημα τοῦ δευτέρου βιβλίου τῆς Στοιχειώσεως, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΚΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΚ, ΓΞ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΚ, ΚΞ διὰ τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ αὐτοῦ βιβλίου· ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΑΡ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΚΞ.

Τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΜΚΓ | Ὑπόκειται γὰρ ὡς ἡ ΞΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΚ· ὥστε καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΞΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΑ. Καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΞΚΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΚΓ. Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΞΚΑ μεῖζον ἦν τὸ ὑπὸ ΓΑΡ· καὶ τὸ ὑπὸ ΓΑΡ ἄρα μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΜΚΓ.

Ὥστε μείζονα λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ Ἐπεὶ γὰρ τέσσαρες εὐθεῖαί εἰσιν αἱ ΓΚ, ΚΜ, ΓΑ, ΑΡ, καὶ τὸ ὑπὸ πρώτης τῆς ΓΑ καὶ τετάρτης τῆς μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ δευτέρας τῆς ΜΚ καὶ τρίτης τῆς ΚΓ, ἡ πρώτη ἡ ΓΑ πρὸς δευτέραν τὴν ΜΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τρίτη ἡ ΚΓ πρὸς τετάρτην τὴν ΑΡ· καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΓΑ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ.

Ὃν δὲ λόγον ἔχει ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ, τοῦτον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ | Ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΒΓ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετον εἶναι τὴν ΒΚ γίνεται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ. Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ ὅμοιον γὰρ τὸ ΑΒΚ τῷ ΑΒΓ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ πρὸς ΓΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ.

Ἡ δὲ ΑΓ πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ· καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΑΡ· καὶ τῶν ἡχουμένων τὰ ἡμίση, τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ ΑΒ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΡ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἡμίσεα τῆς ΜΚ πρὸς τὴν ΑΡ, τουτέστιν ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ. Ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΑΡ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΖΛ, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΕΖ ὑπόκειται ἴση, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΛ δυνάμει διπλῆ· ἴση γὰρ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ· τῆς δὲ ΑΡ διπλασία ἡ ΝΛ, ἐπεὶ καὶ τῆς ΛΖ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΖΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΡ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ ΛΝ.

Μείζονα ἄρα λόγον ἔχει καὶ ὁ κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΘΖ πρὸς τὸν κύκλον τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β∠ ἤπερ ἡ ΜΚ πρὸς ΝΛ. Ὥστε μείζων ἐστὶν ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Ν σημεῖον, τοῦ κώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β∠ κύκλον, κορυφὴν δὲ τὸ Μ σημεῖον | Ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ὡς τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Β∠ κύκλον, οὕτως τὴν ΚΜ πρὸς ἄλλην τινά, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΛΝ, καὶ ἔσται ὁ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων τὸν περὶ διάμετρον τὴν ΖΘ κύκλον, ὕψος δὲ τὴν εὑρεθεῖσαν ἐλάσσονα εὐθεῖαν, ἴσος μὲν τῷ ΜΒ∠ διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι τὰς βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἐλάττων δὲ τοῦ ΝΘΖ διὰ τὸ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντας πρὸς ἀλλήλους εἶναι ὡς τὰ ὕψη. Δῆλον οὖν ὅτι καὶ τὸ ἡμισφαίριον τὸ κατὰ τὴν ΕΖΘ περιφέρειαν μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος τοῦ κατὰ τὴν ΒΑ∠ περιφέρειαν.

Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὸ δεύτερον τῶν Ἀρχιμήδους περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.