Commentarius in dimensionem circuli

EUTOCIUS COMMENTAIRE AU TRAITÉ DE LA MESURE DU CERCLE ΕΥΤΟΚΙΟΥ ἈΣΚΑΛΩΝΙΤΟΥ ὙΠΟΜΝΗΜΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ἈΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕΤΡΗΣΙΝ.

Ἐχόμενον ἂν εἴη τὸν ἐμὸν πληροῦντι σκοπὸν τοῖς σαφεστέροις καὶ βραχυτέρας ἐπιστάσεως δεομένοις τῶν ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους γεγραμμένων ἐντυγχάνοντι καὶ τὰ ὁπωσοῦν ἐν αὐτοῖς ἐπεξεργασίας δεόμενα τὸν δυνατὸν τρόπον συνεχῇ ποιεῖν τοῖς πρότερον ὑφ᾿ ἡμῶν ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις εὐχῆς ὡς ἀληθῶς ἀξίου τυγχάνοντος τοῦ καὶ τοῖς μείζοσι καὶ πλείονος φροντίδος δεομένοις ἐπιστῆναι. Εἴη δ᾿ ἂν ὡς πρὸς τὸ προκείμενον ἐφεξῆς τὸ γεγραμμένον Ἀρχιμήδει βιβλίδιον Κύκλου μέτρησιν τὴν ἐπιγραφὴν ἔχον, ἐν ᾧ τὴν πρόθεσιν τἀνδρὸς ἐξ αὐτῆς τῆς ἐπιγραφῆς γνωρίζομεν βούλεται γὰρ ἐπιδεῖξαι τίνι χωρίῳ εὐθυγράμμῳ ἴσος ἂν εἴη κύκλος, πρᾶγμα πάλαι πρὸς τῶν πρὸ αὐτοῦ κλεινῶν φιλοσόφων ἐζητημένον. Δῆλον γὰρ ὅτι τουτὶ ἂν εἴη τὸ ζητούμενον, ὅπερ Ἱπποκράτης τε ὁ Χῖος καὶ Ἀντιφῶν ζητήσαντες ἐπιμελῶς ἐκείνους ἡμῖν τοὺς παραλογισμοὺς εὑρήκασιν, οὓς ἀκριβῶς εἰδέναι νομίζω τούς τε τὴν Εὐδήμου Γεωμετρικὴν ἱστορίαν ἐπεσκεμμένους καὶ τῶν Ἀριστοτελικῶν μετασχόντας κηρίων. Ἀλλ᾿ ἔστι μὲν τοῦτο τὸ βιβλίον, ὥς φησιν Ἡρακλείδης ἐν τῷ Ἀρχιμήδους βίῳ, πρὸς τὰς τοῦ βίου χρείας ἀναγκαῖον· δείκνυσιν γὰρ ὅτι ἡ περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάττονι μὲν ἢ ἐβδόμῳ μέρει, μείζονι δὲ ἢ δέκα ἑβδομηκοστομόνοις. Τοῦτο οὖν φησιν σύνεγγυς δεδεῖχθαι, εὑρῆσθαι μέντοι αὐτῷ διά τινων ἑλίκων εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ κύκλου περιφερείᾳ.

Εἰς τὸ α΄ θεώρημα.

Τὸ πρῶτον θεώρημα καὶ τοῖς ἐπὶ ποσὸν μαθημάτων γυμνασαμένοις οὐδεμίαν ἔχον ζήτησιν φαίνεται αὐτῶν τῶν Ἀρχιμήδους ῥημάτων σαφῶς ἐκτεθειμένων καὶ τὸ συμπέρασμα πρὸς τὴν πρότασιν ἀνελλειπῶς ἀποσωζόντων.

Δοκεῖ δέ τινι κατακεχρῆσθαι πρὸς τὴν ἀπόδειξιν πράγματι μηδέπω δεδειγμένῳ. Ἐκθέμενος γὰρ τρίγωνον ὀρθογώνιόν φησιν. Ἐχέτω τὴν μίαν τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, τὴν δὲ λοιπὴν τῇ περιφερείᾳ· ἀλλὰ περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν λαβεῖν οὐδὲ πρὸς αὐτοῦ ἤδη δεδειγμένον εἶναι, ἀλλ᾿ οὐδὲ ὑπ᾿ ἄλλου παραδεδομένον. Συνορᾶν δὲ ὅμως χρὴ ὡς οὐδὲν ἔξω τῶν προσηκόντων ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους γράφεται. Εἶναι γάρ τι μέγεθος τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου παντί που δῆλον, οἶμαι, καὶ τοῦτο τῶν ἐφ᾿ ἓν διαστατῶν, ἔστιν δὲ καὶ εὐθεῖα τοῦ αὐτοῦ εἴδους κἂν εἰ μηδέπω οὖν ἐφάνη δυνατὸν περιφερείᾳ κύκλου ἴσην εὐθεῖαν πορίσασθαι, ἀλλ᾿ ὅμως εἶναί τινα τῇ φύσει εὐθεῖαν ἴσην αὐτὸ πρὸς οὐδενός ἐστι ζητούμενον. Τὸ τοίνυν καὶ πρὸς Ἀρχιμήδους προτεθὲν τοιοῦτόν ἐστιν, ὅτι τὸ τρίγωνον τὸ ὀρθογώνιον τὸ ἔχον ὡς προείρηται τὰς πλευρὰς ἴσον ἐστὶ τῷ κύκλῳ· ὥστε τὸ προτεθὲν ἐκθέμενος οὐδεμιᾶς ἂν καταχρήσεως κρίνοιτο, θαυμαστὸς δ᾿ ἂν μᾶλλον κἀν τούτοις δόξειεν τοῖς οὕτως ὑπερμεγέθεσιν τῶν ζητημάτων σαφῆ καὶ ῥᾳδίαν τὴν εὕρησιν ἐπιτιθείς.

Ὡς δὲ εἴρηται, οὐδεμιᾶς δεῖ ζητήσεως τῷ πρώτῳ θεωρήματι. Τὸ γὰρ ΠΟΡ τρίγωνον ὅτι μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΖΟΜ σχήματος, καὶ ὅτι ἀπλῶς περὶ τὸν δοθέντα κύκλον δυνατὸν εὐθύγραμμον περιγράψαι, ὥστε τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τῶν τοῦ κύκλου περιφερειῶν καὶ τῶν πλευρῶν τοῦ περιγραφομένου εὐθυγράμμου ἐλάττονα εἶναι τοῦ δοθέντος χωρίου, σαφῶς εἴρηται ἐν τοῖς εἰς τὸ πρῶτον τῶν Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου γεγραμμένοις ἡμῖν.

Εἰς τὸ γ΄ θεώρημα.

Ἐν τούτῳ τῷ θεωρήματι συνεχῶς ἐπιταττόμεθα τοῦ δοθέντος ἀριθμοῦ τὴν τετραγωνικὴν πλευρὰν εὑρεῖν. Τοῦτο δὲ ἀκριβῶς μὲν εὑρεῖν ἐπὶ ἀριθμοῦ μὴ ὄντος τετραγώνου ἀδύνατον· ἀριθμὸς μὲν γὰρ ἐφ᾿ ἑαυτὸν πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ τινα τετράγωνον ἀριθμὸν, ὁ ἀριθμὸς δὲ καὶ μόριον ἐφ᾿ ἑαυτὰ γενόμενα οὐκέτι ἀριθμὸν ποιεῖ πλήρη, ἀλλὰ καὶ μόριον. Ὁπως δὲ δεῖ σύνεγγυς τὴν δυναμένην πλευρὰν τὸν δοθέντα ἀριθμὸν εὑρεῖν εἴρηται μὲν Ἥρωνι ἐν τοῖς Μετρικοῖς, εἴρηται δὲ Πάππῳ καὶ Θέωνι καὶ ἑτέροις πλείοσιν ἐξηγουμένοις τὴν Μεγάλην σύνταξιν τοῦ Κλαυδίου Πτολεμαίου ὥστε οὐδὲν ἡμᾶς χρὴ περὶ τούτου ζητεῖν ἐξὸν τοῖς φιλομαθέσιν ἐξ ἐκείνων ἀναλέγεσθαι.

Καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτου ὀρθῆς | Ἐὰν γὰρ τὴν τοῦ ἑξαγώνου περιφέρειαν διχοτομήσαντες καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς πρὸς τῷ Γ ἀπολαβόντες ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΖ, ἔσται ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τρίτου ὀρθῆς. Ἡ γὰρ πρὸς τῷ Γ ἀποληφθεῖσα περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τῆς τοῦ ἑξαγώνου δωδέκατόν ἐστι τοῦ κύκλου. Ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία πρὸς τῷ κέντρῳ οὖσα δωδέκατόν ἐστι τῶν τεσσάρων ὀρθῶν· τρίτου ἄρα ὀρθῆς.

Ἡ ΕΖ ἄρα πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν τϚ πρὸς ρνγ | Ὅτι διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ, δῆλον ἐντεῦθεν· ἐὰν γὰρ προσεκβαλόντες τὴν ΖΓ ἐπὶ τὸ Γ καὶ ἴσην αὐτῇ ἀποθέμενοι ἐπιζεύξωμεν ἀπὸ τοῦ Ε, συσταθήσεται ~~ἡ πρὸς Γ τῷ γωνία διμοίρου ὀρθῆς. Ἔστιν δὲ καὶ~~ ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία διμοίρου ὀρθῆς. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ζ διμοίρου· ἰσοπλεύρου ἄρα τριγώνου ἥμισύ ἐστι τὸ ΓΕΖ, καὶ διὰ τὸ τὴν βάσιν τοῦ ἰσοπλεύρου ἴσην οὖσαν τῇ ΕΖ δίχα τέμνεσθαι κατὰ τὸ Γ διπλῆ ἐστιν ἡ ΕΖ τῆς ΖΓ.

Ἡ δὲ πρὸς ΓΖ λόγον ἔχει ὃν σξε πρὸς ρνγ | Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ὑπόκειται τϚ, ἐὰν αὐτὰ ἐφ᾿ ἑαυτὰ πολυπλασιάσωμεν, γενήσεται Μ γχλϚ. Ἡ δὲ ΓΖ ἐστὶ ρνγ· ὥστε τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἔσται Μ γυθ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΖ, ἐὰν ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ὄντος Μ γχλϚ ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΖ ὑπάρχον Μ γυθ, καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΕΓ Μσκζ, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ σξε καὶ ἔτι μόριον ἐλάχιστον καὶ ἀνεπαίσθητον· λείπεται γὰρ ἡ τῶν σξε δύναμις τῆς ἀκριβοῦς μονάσιν β. Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΕΖ τϚ ἡ ΖΓ ρνγ τὰ δὲ σξε

ἐπὶ τϚ ἐπὶ ρνγ ἐπὶ σξε

Μ αω Μ ετ Μ Μ β ᾱ

αωλϚ ε βφ ρν Μ β γχ τ

ὁμοῦ Μ γχλϚ τ ρνθ ατκε

ὁμοῦ Μ γυθ

λοιπὸν τὸ ἀπὸ ΕΓ ὁμοῦ Μσκε

Μσκζ λείπει ἄρα μ

β εἰς τὸ ἀκριβές.

Τετμήσθω οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ δίχα τῇ ΕΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ, διὰ τὸ τρίτον θεώρημα τοῦ ἕκτου βιβλίου τῆς Εὐκλείδου Στοιχειώσεως. Καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΗ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ. Συναμφότερος δὲ ἡ ΕΖ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἤπερ φοα· ἡ μὲν γὰρ ΖΕ ὑπόκειται τϚ, ἡ δὲ ΕΓ σξε καὶ ἔτι μορίου τινός· ὥστε μείζονές εἰσι τῶν φοᾱ, Ἡ δὲ ΖΓ ἐστὶν ρνγ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΖΕ, ΕΓ πρὸς ΖΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοᾱ πρὸς ρνγ· ὥστε καὶ ἡ EΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ φοᾱ πρὸς ρνγ.

Ἡ ΗΕ ἄρα πρὸς ΗΓ δυνάμει λόγον ἔχει, ὃν Μ θυν πρὸς Μ γυθ | Συναχθήσεται δὲ τοῦτο οὕτως· ἐπεὶ γὰρ δέδεκται ἡ ΕΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ φοᾱ πρὸς ρνγ, εἴ τις ὑποθοῖτο τὴν μὲν ΕΓ φοᾱ τὴν δὲ ΓΗ ρνγ, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μ Ϛμᾱ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ Μ γυθ, συναμφότερα δὲ ἴσα ὄντα τῷ ἀπὸ ΕΗ ἔσται Μ θυν. Τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ φϥᾱ η΄ ἔγγιστα· ἐλλείπει γὰρ ὁ ἀπὸ τοῦ φϥᾱ η΄ τετράγωνος εἰς τὸ ἀκριβὲς μ κα Ϛ ιε΄ ἔγγιστα· ἡ ἄρα ΕΗ πρὸς ΗΓ δυνάμει μὲν λόγον ἔχει ὃν Μ θυν πρὸς Μ γυθ, μήκει δὲ ὃν φϥᾱ η΄ ἔγγιστα πρὸς ρνγ. Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΕΓ φοα ἡ ΗΓ ρνγ φϥᾱ η΄

ἐπὶ φοᾱ ἐπὶ ρνγ ἐπὶ φϥᾱ η΄

Μ Μ εφ Μ ετ Μ Μ εφξβ L΄

Μ ε δϠο ε βφ ρν Μ ε ηρϥ ῑᾱ δ΄

φοᾱ τ ρνθ φϥᾱ η΄

ὁμοῦ Μ Ϛ μᾱ ὁμοῦ Μ γυθ ξβ L΄ ῑᾱ δ΄ η΄ ξδ΄

ἐκ τούτων συνάγεται τὸ ἀπὸ ὁμοῦ Μ θυκη L΄ δ΄ ξδ΄

ΕΗ Μ θυν. ἐλλείπει ἄρα τοῦ

ἀκριβοῦς μ κα Ϛ ιε΄

ἔγγιστα.

Πάλιν δίχα ἡ ὑπὸ ΗΕΓ τῇ ΘΕ· διὸ τὸ αὐτὰ ἄρα ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν αρξβ η΄ πρὸς ρνγ | Γίνεται γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΘ πρὸς ΘΓ. Καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΘ. Καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΕΓ φοᾱ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΗ φϥᾱ η΄ καὶ ἔτι μορίου τινός· μείζονες ἄρα εἰσὶν ἢ ᾱρξβ η΄. Καὶ ἔστιν ἡ ΗΓ ρνγ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΕ, ΕΓ πρὸς ΗΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ᾱρξβ η΄ πρὸς ρνγ.

Ἡ ΘΕ ἄρα πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν ᾱροβ η΄ πρὸς ρνγ | Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ ᾱρξβ η΄ πρὸς ρνγ, εἴ τις ὑποθοῖτο αὐτὰς οὕτως ἔχειν, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μ φλδ L΄ ξδ΄, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΘ Μ γυθ. Τὸ ἄρα ἀπὸ ΕΘ ἴσον ὂν τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἔσται Μ γϠμγ L΄ ξδ΄, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ᾱροβ η΄ ἔγγιστα· λείπεται γὰρ τῆς ἀκριβοῦς δυνάμεως τὸ ἀπʼ αὐτῆς μ ξϚ L΄. Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΕΓ ᾱρξβ η΄ ἡ ΘΓ ρνγ ᾱροβ η΄

ἐπὶ ᾱρξβ η΄ ἐπὶ ρνγ ἐπὶ ᾱροβ η΄

ΜΜΜ βρκε Μ ετ ΜΜΜ βρκε

ΜΜ Ϛ σιβ L΄ ε βφ ρν ΜΜ ζσιβ L΄

Μ Ϛ γχρκζ L΄ τ ρνθ Μ ζ δϠρμη L΄ δ΄

βσρκδ δ΄ ὁμοῦ Μ γυθ βσ ρμδ δ΄

ρκειβ L΄ ζ΄ L΄ δ΄ ξδ΄ ρκε ῑβ L΄ η L΄ δ΄ δ΄ ξδ΄

ὁμοῦ Μ φλδ L΄ ξδ΄ ὁμοῦ Μ γωοζ ξδ΄

τὸ ἀπὸ ΕΘ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΓ, ΓΘ ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριἐστὶ

Μ γϠμγ L΄ ξδ΄

βοῦς μ ξς΄ L΄.

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΕΓ τῇ ΕΚ· ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἢ βτλδ δ΄ πρὸς ρνγ | Πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς ὑπὸ ΘΕΓ γωνίας ἐστὶν ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΚ πρὸς ΓΚ. Καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΘΓ πρὸς ΓΚ· ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΚ. Καὶ ἐπεὶ δέδεικται ἡ ΘΕ ᾱροβ η΄ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ ᾱρξβ η΄ καὶ ἔτι μορίου τινός, συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ βτλδ δ΄. Καὶ ὑπόκειται ἡ ΘΓ ρνγ. Συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΕ, ΕΓ πρὸς ΘΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ βτλδ δ΄ πρὸς ρνγ.

Ἡ ΕΚ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν βτλθ δ΄ πρὸς ρνγ | Πάλιν γάρ, ἐπεὶ ὑπόκειται ἡ μὲν ΕΓ βτλδ δ΄, ἡ δὲ ΓΚ ρνγ, ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΕΓ Μ ηψκγ ιϚ΄, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΚ Μ γυθ. Τούτοις δὲ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΚΕ· ἔσται ἄρα Μ βρλβ ιϚ΄, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ἔγγιστα βτλθ δ΄· λείπει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μ μᾱ L΄. Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΕΓ βτλδ δ΄ ἡ ΓΚ ρνγ βτλθ δ΄

ἐπὶ βτλδ δ΄ ἐπὶ ρνγ ἐπὶ βτλθ δ΄

ΜΜΜ ηφ Μ ετ ΜΜΜΜ ηφ

ΜΜ θ ᾱ σοε ε βφ ρν ΜΜ θ βψοε

Μ θϠ ρκζ L΄ τ ρνθ Μ θϠ σοζ L΄

η ᾱσ ρκ ιϚ ᾱ ὁμοῦ Μ γυθ Μ η βψ σο πᾱ βδ΄

φοε ζ L΄ ᾱ ιϚ΄ φοε ζ L΄ βδ΄ ιϚ΄

ὁμοῦ Μ ηψκγ ιϚ΄ ὁμοῦ Μ βϥ L΄ ιϚ΄

ἐκ τούτων συνάγεται τὸ ἀπὸ

ἐλλείπει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς

ΕΚ Μ βρλβ ιϚ΄ μ μᾱ L΄

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΕΓ τῇ ΕΛ· ἡ ΕΓ ἄρα τρὸς ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ δχογ L΄ πρὸς ρνγ | Πάλιν γὰρ διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας ἐστὶν ὡς ἡ ΚΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΓ· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΕΓ, ἡ ΚΓ πρὸς ΓΛ· ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ. Καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΚΕ βτλθ δ΄ καὶ ἔτι μορίου τινός, ἡ δὲ ΕΓ βτλδ δ΄ καὶ ἔτι μορίου τινός· συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΕ, ΕΓ μείζων ἐστὶν ἢ δχογ L΄. Καί ἐστιν ἡ ΚΓ ρνγ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΚ, ΕΓ πρὸς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δχογ L΄ πρὸς ρνγ. Ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΚΕ, ΕΓ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς ΓΛ· καὶ ἡ ΕΓ ἄρα πρὸς ΓΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δχογ L΄ πρὸς ρνγ.

Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΖΕΓ τρίτον οὖσα ὀρθῆς δωδέκατον μέρος ἐστὶ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν, ταύτης δὲ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΗΕΓ, ἡ ὑπὸ ΗΕΓ εἰκοστοτέταρτον ἂν εἴη. Ταύτης δὲ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΘΕΓ· ὥστε μη΄ ἐστιν. Ταύτης δὲ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΕΓ· ϥϚ΄ ἄρα ἐστίν ἧς ἡμίσεια οὖσα ἡ ὑπὸ ΛΕΓ ρϥβ΄ ἐστίν.

Κείσθω οὖν, φησίν, ἴση αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΓΕΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Μ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΛΕΜ διπλασία τῆς ὑπὸ ΛΕΓ ϥϚ΄ ἐστὶ τῶν τεσσάρων ὀρθῶν· ὥστε καὶ ἡ ΛΜ πλευρά ἐστι τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφομένου πολυγώνου πλευρὰς ἔχοντος ϥϚ.

Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΓ πρὸς ΛΓ δὲδεικται μείζονα λόγον ἔχουσα ἤπερ δχογ L΄ πρὸς ρνγ, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΕΓ διπλῆ ἡ ΑΓ, τῆς δὲ ΛΓ ἡ ΛΜ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΛΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δχογ L΄ πρὸς ρνγ· ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜ πρὸς ΑΓ ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ ρνγ πρὸς δχογ L΄. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΜ πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ πλευρὰς ἔχοντος ϥϚ, ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου ἐστὶ Μ δχπη· ὁ γὰρ ϥϚ ἐνὶ τὸν ρνγ πολλαπλασιαζόμενος τοῦτον ποιεῖ· ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυφώνου πρὸς τὴν ΑΓ διάμετρον ἐλάττονα λόγον ἔχεῖ ἤπερ Μ δχπη πρὸς δχογ L΄. Ἡ περίμετρος ἄρα τοῦ πολυγώνου τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει μ χξζ L΄. Ταῦτα δὲ ἐλάττονά ἐστι τοῦ ἑβδόμου τῆς διαμέτρου μιᾶς μονάδος ἑβδόμῳ μέρει· τὰ γὰρ ἑπταπλάσια τῶν χξζ L΄, ἅπερ ἐστὶ δχοβ L΄, ἐλὰττονά ἐστι τῆς διαμέτρου μ ᾱ. Ἐπεὶ οὖν τὸ πολύγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον καὶ ἔτι ἑβδόμῳ ὑπερέχον, ἡ δὲ περίμετρος τοῦ κύκλου ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ πολυγώνου, πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τῆς διαμέτρου ἐστὶ τριπλασία καὶ ἔτι ὑπερέχει ἐλάσσονι ἢ ἑβδόμῳ μέρει.

Ἑξῆς δὲ κατασκευάζων τὸ λοιπὸν μέρος τοῦ θεωρήματός φησιν· ἔστω κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, καὶ τρίτου ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. Τοῦτο δὲ ἔσται, ἐὰν ἀπὸ τοῦ Γ τῇ τοῦ ἑξαγώνου ἴσην ἀπολαβόντες τὴν ΓΒ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΒ· ἡ γὰρ ἐπὶ τῆς τοῦ ἑξαγώνου περιφερείας βεβηκυῖα γωνία πρὸς μὲν τῷ κέντρῳ διμοίρου ἐστὶν ὀρθῆς, πρὸς δὲ τῇ περιφερείᾳ τρίτου.

Ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, τρίτου δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, διμοίρου ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ. Ἐὰν ἄρα προσεκβάλλοντες τὴν ΓΒ ἐπὶ τὸ Β καὶ ἴσην αὐτῇ ἀπολαβόντες ἀπὸ τοῦ Α ἐπιζεύξωμεν, ἰσόπλευρον ἔσται τὸ τρίγωνον, καὶ διὰ τὸ τὴν ΑΒ κάθετον διχοτομεῖν τὴν βάσιν διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ. Ἐὰν οὖν πάλιν λάβωμεν τὴν ΑΓ ᾱφξ, ἔσται ἡ ΓΒ ψπ, καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΓ ἔσται Μ γχ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΒ Μ ηῡ. Καὶ ἐὰν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΓΒ ἀπὸ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, λοιπὸν καταλειφθήσεται τὸ ἀπὸ ΑΒ Μ εσ, ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ᾱτνᾱ ἔγγιστα· περιττεύει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μ ᾱ. Διό φησιν· ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ ἤπερ ᾱτνᾱ πρὸς ψπ. Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΑΓ ᾱφξ ἡ ΓΒ ψπ ᾱντᾱ

ἐπὶ ᾱφξ ἐπὶ ψπ ἐπὶ ᾱντᾱ

ΜΜΜ ΜΜ Ϛ ΜΜΜ ᾱ

ΜΜΜ Μ Ϛ Ϛυ ΜΜΜ ετ

ΜΜ γχ ὁμοῦ Μ ηυ ΜΜ ε βφν

ᾱτνᾱ

ὁμοῦ Μ γχ

ὁμοῦ Μ εσᾱ

ἂν ἀφέλωμεν τὸ ἀπὸ ΒΓ ἀπὸ τοῦ

περιττεύει τοῦ ἀκριβοῦς

ἀπὸ ΓΑ, καταλείπονται Μ εσ. μ ᾱ.

Τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ΑΖΗ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ, ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆε περιφερείας βεβήκασιν, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΓΒ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΑΓ ἐστὶν ἴση. Καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΖΓ λοιπῆ τῇ ὑπὸ ΑΓΗ ἐστὶν ἴση. Ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΗΖ τρινώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ καὶ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. Τῶν γὰρ ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί, καὶ ὁμόλογοι αἱ τὰς ἴσας γωνίας ὑποτείνουσαι.

Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, συναμφότερος ἡ ΓΑΒ πρὸς ΓΒ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ | Ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ. Καὶ συνθέντι ὡς ἀμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ΒΓ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ. Καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἢ ᾱτνᾱ, ἡ δὲ ΑΓ ᾱφξ, ἡ δὲ ΒΓ ψπ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ΒΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βϠῑᾱ πρὸς ψπ· καὶ ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βϠῑᾱ πρὸς ψπ. Ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ· καὶ ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βϠῑᾱ πρὸς ψπ. Διὰ οὖν ταῦτα ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ ΑΗ Μ γϠκα, τὸ δὲ ἀπὸ ΗΓ Μ ηυ. Καί ἐστιν αὐτοῖς ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ· καὶ αὐτὸ ἄρα ἔσται Μ βτκᾱ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γῑγ L΄ δ΄ ἔγγιστα ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπ᾿ αὐτῶν τῆς ἀ0κριβοῦς δυνάμεως μ τξη ιϚ΄. Διὰ ταῦτα οὖν φησιν ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γῑγ L΄ δ΄ πρὸς ψπ. Οἱ δε πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΑΗ βϠῑᾱ ἡ ΗΓ ψπ γῑγ L΄ δ΄

ἐπὶ βϠῑᾱ ἐπὶ ψπ ἐπὶ γῑγ L΄ δ΄

Μ Μ Μ β ΜΜ Ϛ ΜΜ θ ᾱφ ψν

Μ Μ θϠ Μ Ϛ Ϛυ Μ ρλε β L΄

θλθ ᾱ L΄ L΄ δ΄

Μ θρῑ ὁμοῦ Μ ηῡ

αφ ε ᾱ L΄ δ΄ η΄

βϠῑᾱ

ψν β L΄ L΄ δ΄ η΄ ιϚ΄

ὁμοῦ Μ γϠκᾱ

ὁμοῦ Μ βχπθ ιϚ΄

τὰ ἀπὸ τῶν ΑΗ, ΗΓ Μ βτκᾱ

ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς

μ τξη ιϚ΄.

Δίχα ἡ ὑπὸ ΓΑΗ τῇ ΑΘ | Διὰ οὖν τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ. Καὶ ὑπέκειτο ἡ μὲν ΑΗ ἐλάσσων ἢ βϠῑᾱ, ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἤπερ γῑγ L΄ δ΄· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ ἐστὶν ἐλάσσων ἢ εϠκδ L΄ δ΄. Η δὲ ΗΓ ἐστὶ ψπ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΗΑ, ΑΓ πρὸς ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εϠκδ L΄ δ΄ πρὸς ψπ· ὥστε καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εϠκδ L΄ δ΄ πρὸς ψπ. Ὥστε ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ υνε L΄ δ΄ πρὸς ξ· ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας ἐστὶ μέρος ιγ΄· καὶ τὰ τούτων τετραπλάσια, ἡ ΑΘ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ᾱωκγ πρὸς σμ· διὰ τοῦτο γάρ φησιν ὅτι ἑκατέρα ἑκατέρας ἐστὶ δ ιγ΄. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΘ ἐστὶν ᾱωκγ, τὸ ἄρα ἀπʼ αὐτῆς ἐστι Μ γτκθ. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς Μ ζχ· καὶ ἔστι τοῖς ἀπὸ ΑΘ, ΘΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ· ἔστιν ἄρα ΜϠκθ· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ ᾱωλη θ ια΄· τὸ γὰρ ἀπ᾿ αὐτῆς ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς μ τκᾱ ἐγγύς. Ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ᾱωλη θ ια΄ πρὸς σμ, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΑΘ αωκγ ἡ ΘΓ σμ αωλη θ΄ια΄

ἐπὶ αωκγ ἐπὶ σμ ἐπὶ αωλη θ΄ ια΄

ΜΜΜ γ Μ η ΜΜΜ η ρια θ΄ϥ ι

ΜΜΜ Ϛ βυ ΜΜΜ △Ζ Ϛυ πη η οβ η

ὁμοῦ Μ ζχ

ΜΜ Ϛ υξ ΜΜ δϡ σμ γ γ β η

γ βυξθ θια

τλβ η Ϛυ σμ ξδ η η

ὁμοῦ Μ γτκθ θ θ θ

τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ρια θ΄ η γ γ η πα΄ ϥθ΄

Μϡκθ ἐστίν. ϥ ι οβ η β η η ϥθ΄ ρκα΄

ὁμοῦ Μ ασν ~~αγοερ~~ ἐγγύς

ὑπερέχει ἄρα τοῦ ἀκριβοῦς μ τκᾱ ἐγγύς.

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΘΑΓ γωνία τῇ ΚΑ | Πάλιν οὖν διὰ τὴν διχοτομίαν τῆς γωνίας καὶ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων καὶ τὴν ἀναλογίαν τῶν πλευρῶν καὶ τὸ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ. Ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΘΑ, ΑΓ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ γχξα θ ια΄, ἐπειδὴ ἡ μὲν ΘΑ ὑπόκειται αωκυ, ἡ δὲ ΑΓ αωλη θ ια΄. Ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΘΓ σμ· συναμφότερος ἄρα ἡ ΘΑ, ΑΓ πρὸς ΘΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γχξα θ ια΄ πρὸς σμ· ὥστε καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ γχξα θ ια΄ πρὸς σμ. Καὶ ἐπεὶ τῶν μὲν γχξα θ ια΄ τὸ ια ~~καὶ~~ μ΄ ἐστὶ αζ, τῶν δὲ σμ ξϚ, ἡ ΑΚ ἄρα πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ αζ πρὸς ξϚ. Καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ ΑΚ Μ δμθ, τὸ δὲ ἀπὸ ΚΓ δτνϚ, οἷς ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐσνὶ Μ ηυε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴν αθ Ϛ΄ ἔγγιστα ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριβοῦς μιβ γ΄ λϚ΄. Ἡ ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ αθ Ϛ΄ πρὸς ξϚ΄, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΑΚ αζ ἡ ΚΓ ξϚ αθ Ϛ΄

ἐπὶ αζ ἐπὶ ξϚ ἐπὶ αθ Ϛ΄

Μ ζ΄ γχ τξ Μ θρξϚ΄ L΄ Ϛ΄

τξ λϚ

ζμθ θπα α L΄

ὁμοῦ, δτνϚ

ὁμοῦ Μ δμθ ρξϚ L΄ Ϛ΄ α L΄ λϚ΄

ὁμοῦ Μ ηυιζ γ΄ λϚ΄

τούτοις ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΓ ἐστὶ

ὑπερέχει τοῦ ἀκριβοῦς

Μ ηυε.

μ ιβ γ΄ λϚ΄.

Ἔτι δίχα ἡ ὑπὸ ΚΑΓ γωνία τῇ ΑΛ | Διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν ὡς συναμφότερος ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ, ἡ ΑΛ πρὸς ΛΓ. Καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΚ ἐλάσσων ἢ αζ, ἡ δὲ ΑΓ ἐλάσσων ἢ αθ Ϛ΄, ἡ δὲ ΚΓ ξϚ. Συναμφότερος ἄρα ἡ ΚΑ, ΑΓ πρὸς ΚΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βιϚ Ϛ΄ πρὸς ξϚ. Καὶ ἡ ΑΛ ἄρα πρὸς ΛΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βιϚ Ϛ΄ πρὸς ξϚ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΛ ὑπόκειται βιϚ Ϛ΄ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς δϡκη λϚ, ἡ δὲ ΛΓ ξϚ καὶ τὸ ἀπ᾿ αὐτῆς δτνϚ, ἴσον δὲ αὐτοῖς ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΓ, ἔσται ἄρα Μ θσπδ λϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνική ἐστι βιζ δ΄ ἔγγιστα· ὑπερέχει γὰρ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τοῦ ἀκριζοῦς μιγ L΄ κ΄. Ὥστε ἡ ΑΓ πρὸς ΓΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ βιζ δ΄ πρὸς ξϚ, Οἱ δὲ πολλαπλασιασμοὶ ὑπόκεινται·

ἡ ΑΛ βιϚ Ϛ΄ ἡ ΛΓ ξϚ βιζ δ΄

ἐπὶ βιϚ Ϛ΄ ἐπὶ ξϚ ἐπὶ βιζ δ΄

ΜΜΜ βτλγ γ΄ γχ τξ ΜΜΜ δφ

τξ λϚ

Μ ρξα L΄ Ϛ΄ ὁμοῦ δτνϚ Μ ροβ L΄

Μ βξ λϚ α Μ δο μθ α L΄ δ΄

τλγ γ΄ α L΄ Ϛ α λϚ΄ φβ L΄ α L΄ δ΄ ιϚ΄

ὁμοῦ Μ δϡκη λϚ΄ ὁμοῦ Μ θσϥζ L΄ ιϚ΄

τούτοις ἴσον ὂν τὸ ἀπὸ ΑΙ περιττεύει τοῦ ἀκριβοῦς

ἐστὶ Μ θσπδ λϚ΄ μιγ L΄ κ΄.

Ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβζ δ΄ πρὸς ξϚ, ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΓ πρὸς ΓΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ξϚ πρὸς βιζ δ΄. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΒ περιφέρεια ἕκτον ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἡ ΗΓ ἄρα ιβ΄ μέρος ἐστίν, ἡ δὲ ΘΓ κδ΄, ἡ δὲ ΚΓ μη΄, ἡ δὲ ΛΓϥϚ΄· ὥστε ἡ ΛΓ εὐθεῖα πολυγώνου ἐστὶ πλευρὰ ϥϚ πλευρὰς ἔχοντος. Καὶ ἔστιν ἡ ΛΓ ξϚ· ἡ ἄρα τοῦ πολυγώνου περίμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ϚτλϚ πρὸς βιζ δ΄. Ταῦτα δέ ἐστι τριπλάσια καὶ ἔτι ὑπερέχει σπδ δ΄, ἅπερ μείζονά ἐστι δέκα ἑβδομηκοστομόνων· ὅ ἐστι μκζ L΄ Ϛ΄ ἔγγιστα, τὰ δὲ δεκαπλάσια τούτων σοζ· πολλῷ ἄρα ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια μείζων ἐστὶν ἢ τριπλασία καὶ δέκα ἑβδομηκοστόμονα.

Ὡς μὲν οὖν ἐνεχώρει, οἱ παῤ αὐτοῦ εἰρημένοι ἀριθμοὶ μετρίως ἐσαφηνίσθησαν ἰστέον δὲ ὅτι καὶ Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος ἐν τῷ Ὠκυτοκίῳ ἀπέδειξεν αὐτὸ διʼ ἀριθμῶν ἑτέρων ἐπὶ τὸ σύνεγγυς μᾶλλον ἀγαγών. Τοῦτο δὲ ἀκριβέστερον μὲν εἶναι δοκεῖ, οὐ χρήσιμον δὲ πρὸς τὸν Ἀρχιμήδους σκοπόν ἔφαμεν γὰρ αὐτὸν σκοπὸν ἔχειν ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τὸ σύνεγγυς εὑρεῖν διὰ τὰς ἐν τῷ βίῳ χρείας. Ὥστε οὐδὲ Σπόρος ὁ Νικαεὺς εὔκαιρον εὑρεθήσεται μέμψιν ἐπάγων Ἀρχιμήδει ὡς μὴ ἀκριβῶς εὑρόντι ποίᾳ εὐθείᾳ ἴση ἐστὶν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια, ἐξ ὧν αὐτὸς ἐν τοῖς Κηρίοις φησὶν τὸν ἑαυτοῦ διδάσκαλον, Φίλωνα λέγων τὸν ἀπὸ Γαδάρων, εἰς ἀκριβεστέρους ἀριθμοὺς ἀγαγεῖν τῶν ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους εἰρημένων, τοῦ τε ζ΄ φημὶ καὶ τῶν ῑ οα΄· ἅπαντες γὰρ ἐφεξῆς φαίνονται τὸν σκοπὸν αὐτοῦ ἠγνοηκότες. Κέχρηνται δὲ καὶ τοῖς τῶν μυριάδων πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς, οἷς οὐκ εὔκολον παρακολουθεῖν τὸν μὴ διὰ τῶν Μάγνου Λογιστικῶν ἠγμένον. Εἰ δέ τις ὅλως ἐβούλετο εἰς ἔλαττον αὐτὸ καταγαγεῖν, ἐχρῆν τοῖς ἐν τῇ Μαθηματικῇ συντάξει Κλαυδίου Πτολεμαίου εἰρημένοις ἀκολουθοῦντα διὰ τῶν μοιρῶν καὶ λεπτῶν καὶ τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν τοῦτο ποιεῖν, καὶ πεποιήκειν ἂν ἐγὼ τοῦτο, εἰ μή, ὅπερ πολλάκις εἶπον, ἐνενόουν ὡς οὔτε ἀκριβῶς δυνατὸν διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων εὑρεῖν τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν, καὶ εἴ τις τὸ σύνεγγυς καὶ παρὰ μικρὸν προσέχοι, ἀρκεῖ τὰ ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους ἐνταῦθα εἰρημένα.

Εὐτοκίου Ἀσκαλωνίτου ὑπόμνημα εἰς τὴν Ἀρχιμήδους τοῦ κύκλου μέτρησιν ἐκδόσεως παραναγνωσθείσης τῷ Μιλησίῳ μηχανικῷ Ἰσιδώρῳ ἡμετέρῳ διδασκάλῳ.