Commentarius in libros de planorum aequilibriis

EUTOCIUS COMMENTAIRE AU TRAITÉ DE L'ÉQUILIBRE DES FIGURES PLANES, I, II

Εὐτοκίου εἰς τὸ ᾱ τῶν Ἀρχιμήδους ἰσορροπικῶν.

Εἰς τὸ α΄.

Τὴν ῥοπήν, γενναιότατε Πέτρε, κοινὸν εἶναι γένος βαρύτητος καὶ κουφότητος Ἀριστοτέλης τε λέγει καὶ Πτολεμαῖος τούτῳ ἀκολουθῶν· ὁ δέ γε παρὰ Πλάτωνι Τίμαιος πᾶσαν ῥοπὴν ἀπὸ βαρύτητος λέχει γίνεσθαι· τὴν γὰρ κουφότητα στέρησιν νομίζει. Ὧν ἔξεστι τὰς δόξας τοῖς φιλομαθέσιν ἀναλέγεσθαι ἔκ τε τοῦ Περὶ ῥοπῶν βιβλίου τῷ Πτολεμαίῳ συγγεγραμμένου καὶ ἐκ τῶν Ἀριστοτέλους φυσικῶν πραγματειῶν καὶ ἐκ τοῦ Πλάτωνος Τιμαίου καὶ τῶν ταῦτα ὑπομνηματισάντων. Ὁ δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ κέντρον ῥοπῆς ἐπιπέδου σχήματος νομίζει, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι, δύο δὲ ἢ πλειόνων ἐπιπέδων κέντρον ῥοπῆς ἤτοι βάρους, ἀφʼ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς παράλληλός ἐστι τῷ ὁρίζοντι.

Οἷον ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν τῷ μέσῳ αὐτοῦ σημεῖόν τι τὸ △, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενον παράλληλον μένει τῷ ὁρίζοντι· δῆλον οὖν ὅτι ἰσορροπήσει τὰ Α Β, Γ μέρη ἑαυτοῖς, καὶ οὐδέτερον τοῦ ἑτέρου μᾶλλον ῥέψει ἐπὶ τὸν ὁρίζοντα. Ὁμοίως δὲ καὶ ζυγοῦ ὄντος τοῦ ΑΒ καὶ ἀπηρτημένων ἐξ αὐτοῦ τῶν Α, Β μεγεθῶν, ἐὰν ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἀπὸ τοῦ Γ ἰσορροποῦντα ἔχῃ τὰ Α, Β μέρη, παράλληλος μένει τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔσται κέντρον τῆς ἀρτήσεως τῶν Α, Β μεγεθῶν τὸ Γ.

Καλῶς δὲ δοκεῖ ὁ Γεμῖνος εἰπεῖν περὶ τοῦ Ἀρχιμήδους ὅτι τὰ ἀξιώματα αἰτήματα λέγει· τὰ γὰρ ἴσα βάρη ἀπὸ ἴσων μηκῶν ἰσορροπεῖν ἀξίωμά ἐστι καὶ τὰ ἑξῆς, καὶ ἔστιν πάντα σαφῆ τοῖς μετρίως αὐτὰ ἐπισκεπτομένοις.

Τῶν δὲ ἴσων καὶ ὁμοίων, φησίν, ἐπιπέδων σχημάτων ἐφαρμοζομένων ἐπ᾿ ἄλληλα καὶ τὰ κέντρα τῶν βαρέων ἐφαρμόζει ἐπ᾿ ἄλληλα πάντα γὰρ τὰ μέρη αὐτῶν πᾶσιν ἐφαρμόζει.

Τῶν δὲ ἀνίσων, ὁμοίων δέ, τὰ κέντρα τῶν βαρέων ὁμοίως ἔσται κείμενα.

Νοείσθω δέ, ὡς ἐπὶ τῆς ὑποκειμένης καταγραφῆς, τὰ ΑΒΓ, △ΕΖ τρίγωνα ἄνισα καὶ ὅμοια, κέντρον δὲ βάρους τοῦ μὲν ΑΒΓ τὸ Η, τοῦ δὲ △ΕΖ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΗΓ, ΒΗ, △Θ, ΘΕ, ΘΖ. Λέγω ὅτι εἰς ἴσα διαιροῦσιν τὰς γωνίας αἱ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπιζευχθεῖσαι.

Γινέσθω γὰρ ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ καὶ ἡ ΖΘ πρὸς ΘΛ καὶ ἡ △Θ πρὸς ΘΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΚ, ΚΛ, ΛΜ· ἔσται δὴ ὅμοιον τὸ ΚΛΜ τρίγωνον τῷ △ΕΖ τριγώνῳ. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΚ, ἡ ΘΖ πρὸς ΘΛ, παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΚΛ· ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΜΚ τῇ △Ε καὶ ἡ ΛΜ τῇ △Ζ· ὅμοιον ἄρα τὸ △ΕΖ τρίγωνον τῷ ΚΛΜ τριγώνῳ. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΜΚ, ἡ ΕΖ πρὸς ΚΛ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΜΛ. Ὑπόκειται δὲ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ, △ΕΖ τριγώνων ὡς ἡ △Ε πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΖ πρὸς ΒΓ καὶ ἡ △Ζ πρὸς ΑΓ· ἴσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒΓ ταῖς ΜΚΛ· ὥστε ἐφαρμόζει ἑκάστη ἐπὶ ἑκάστην.

Ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΚΜΛ τργώνῳ· ὥστε καὶ ἐφαρμόσει τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ τοῦ ΜΚΛ. Τοῦ δὲ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐφαρμόζοντος καὶ τῶν Α, Β, Γ ἐπὶ τὰ Μ, Κ, Λ ἐφαρμόσουσιν καὶ αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ ἐπὶ τὰς ΜΘ, ΚΘ, ΛΘ καὶ ἴσας ποιήσουσιν γωνίας πρὸς τοῖς Μ, Κ, Λ ταῖς ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ὥστε καὶ ἐν τῷ △ΕΖ· αἱ αὐταὶ γάρ εἰσιν εὐθεῖαι αἱ ἀπο τοῦ Θ ἐπί τε τὰ Μ, Κ, Λ καὶ ἐπὶ τὰ △, Ε, Ζ ἐπιζευγνύμεναι. Παντὸς σχήματος, οὗ κα ἁ περίμετρος ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλα ᾖ, τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐντὸς εἶναι δεῖ τοῦ σχήματος | Τίνας καλεῖ τὰς ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλας γραμμὰς εἴρηται ἡμῖν σαφῶς ἐν τοῖς προοιμίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου. Ἐπειδὴ δὲ τὸ σχῆμα τὸ ἐπὶ τὰ αὐτὰ κοίλην ἔχον τὴν περίμετρον πάντα τὰ μέρη τοῦ ἐπιπέδου ἐντὸς ἔχει καὶ τὰς γωνίας, δῆλον ὅτι καὶ τὸ κέντρον τοῦ βάρους ἐντὸς ἔχει τοῦ σχήματος· ἐπὶ γάρ τινων σχημάτων τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτός ἐστι καὶ ἐπὶ

τῆε περιμέτρου. Ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τοῦ σχήματός ἐστι τὸ Η, ἐπὶ δὲ τῆς △ΕΖ ὑπερβολῆς τὸ κέντρον τοῦ σχήματος ἐκτὸς ἐστιν, καθ᾿ ὃ αἱ διάμετροι συμπίπτουσιν ἀλλήλαις, ὡς ἔχει τὸ Θ· εἴρηται γὰρ ταῦτα ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν. Ὅμως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ ΑΒΓ σχήματος καὶ ἐπὶ τοῦ △ΕΖ τὸ κέντρον τοῦ βάρους, ἀφ᾿ οὗ δηλονότι ἀρτώμενον τὸ σχῆμα παράλληλόν ἐστι τῷ ὁρίζοντι, ἐντός ἐστι τῆς περιμέτρου· εἰ γὰρ ἔσται ἐπὶ τῆς περιμέτρου ἢ ἐκτός, ῥέψει ἐπὶ θάτερα· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.

Εἰς τὸ δ΄.

Ἔστω κέντρον τοῦ βάρους τὸ △, εἰ δυνατόν | Ὅτι γάρ ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΒ δέδεικται· εἴρηται γὰρ ἀνωτέρω ὅτι δύο μεγεθῶν κέντρον ἐστίν, ἀφ᾿ οὗ ἀρτώμενος ὁ ζυγὸς ἰσορροποῦντα ἔχει τὰ μέρη παράλληλος μένων τῷ ὁρίζοντι· ὥστε οὖν ἐπὶ τῆς ΑΒ ἐστὶ τὸ κέντρον τῶν Α, Β μεγεθῶν.

Εἰς τὸ ζ΄.

Ἤτοι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορροπεῖν ἢ οὔ | Τούτου τοῦ ῥητοῦ δεῖ ἀκούειν οὐχ ὡς μείζονος ὑπάρχοντος πάντως τοῦ ΑΒ μεγέθους τοῦ Γ, ἀλλὰ μείζονος ὑποκειμένου ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν· δυνατὸν γάρ ἐστι καὶ τὸ ἔλαττον μέγεθος τοῦ μείζονος μείζονα ἔχειν τὴν ῥοπὴν διὰ τὸ μῆκος τοῦ ζυγοῦ μεῖζον ὂν πάνυ καὶ ἄνισον ποιοῦν τὸν λόχον.

Καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ΑΒ ἔλασσον τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾆ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ Γ ὥστε ἰσορροπεῖν, ὥστε λοιπὸν τὸ Α σύμμετρον εἶναι τῷ Γ | Δεῖ, φησίν, ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ μέγεθός τι τὸ Β, ὃ ποιεῖ λοιπὸν τὸ Α τῷ Γ σύμμετρον καὶ μεῖζον τὸ Α τοῦ Γ ἢ κατὰ τὴν ἰσορροπίαν τοῦτο δὲ δυνατὸν ποιεῖν διὰ τῶν ἐν τῇ ἀρχῇ τοῦ δεκάτου τῆς Στοιχειώσεως Εὐκλείδου εἰρημένων καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν Θεοδοσίου Σφαιρικῶν.

Εἰς τὸ ιγ΄.

Καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ, ΗΚ, ΛΜ· ἐσσοῦνται δὴ αὗται παρὰ τὰν ΒΓ | Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΟ τῷ ΨΓ καὶ ἡ △Β τῇ △Γ, ἔσται ὡς ἡ △Β πρὸς ΟΒ, ἡ △Γ πρὸς ΨΓ, καὶ διελόντι ὡς ἡ △Ο πρὸς ΟΒ, ἡ △Ψ πρὸς ΨΓ. Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ △Ο πρὸς ΟΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ· ἡ γὰρ ΕΟ παρὰ τὴν Α△ ἐστίν· ὡς δὲ ἡ △Ψ πρὸς ΨΓ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΒΓ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσονται καὶ αἱ λοιπαί.

Τὸ δὴ Α△Γ ποτὶ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ἀναγεγραμμένα ὁμοῖα τῷ Α△Γ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ, διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς εὐθείας | Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιά ἐστι τὰ Α△Γ, ΑΣΜ τρίγχωνα, πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς ΑΜ, Ἐπεὶ δὲ νῦν ὑπόκειται ἡ ΑΓ τῆς ΑΜ τετραπλασίων, τὸ Α△Γ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΣΜ λόγον ἔχει, ὃν ιϚ πρὸς ἕν, πρὸς δὲ πάντα τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ λόγον ἔχει, ὃν ιϚ πρὸς τέσσαρα ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α△Γ τρίγωνον πρὸς τὰ τρίγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ ὅμοια τῷ Α△Γ, οὕτως αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς τὸ ΑΣΜ, τουτέστιν ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ· ὅμοια γάρ εἰσιν καὶ ἐπὶ ἴσων βάσεων καὶ διὰ τοῦτο ἴσα, καὶ εἰσὶν πρὸς ἄλληλα ὡς αἱ βάσεις.

Ἀλλὰ ἁ ΓΑ πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ΦΡ πρὸς ΡΘ· ὁ γὰρ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΜ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΦΡ πρὸς ΡΠ | Εἰ γὰρ νοήσειας ἐκβεβλημένας τὰς ΡΦ, Γ△ καὶ συμπιπτούσας, διὰ τὰς παραλλήλους ἔσται ὡς ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ, ἡ Γ△ πρὸς △Ω. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ Γ△ πρὸς △Ω, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΜ, ἡ ΦΡ πρὸς ΡΠ. Ἡ δὲ ΦΡ πρὸς ΡΠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΘ· καὶ ἡ ΓΑ ἄρα πρὸς ΑΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΡ πρὸς ΡΦ.

Ὅπερ ἀδύνατον τᾶς γὰρ διὰ τοῦ Χ εὐθείας παρὰ τὰν △Α ἀγομένας ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἐσσεῖται πάντα τὰ κέντρα | Τουτέστιν ἐπὶ θάτερον μέρος· καὶ ῥέψει δηλονότι ἐπ᾿ ἐκεῖνο πάντα τὰ μεγέθη καὶ οὐκ ἰσορροπήσει ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· ὑπόκειται γὰρ κέντρον τῶν μὲν παραλληλογράμμων τὸ Ρ, τῶν δὲ τριγώνων τὸ Χ.

Εἰς τὸ ἄλλως τοῦ ιγ΄.

Ὁμοίως γάρ ἐντι κείμενα τὰ Θ, Κ, Λ ἐν τοῖς τριγώνοις | Αἵ τε γὰρ ΑΘ, ΕΚ, ΖΛ παράλληλοι οὖσαι ὁμοίως διαιροῦσιν τὰς γωνίας, καὶ αἱ ΘΛΓ, ΘΚΒ αἱ αὐταί εἰσιν ἐν πᾶσι τοῖς τριγώνοις, καὶ λοιπαὶ αἱ Κ△, △Λ.

Εἰς τὸ ιε΄.

Ἐὰν γὰρ ἐκβάλῃς τὰς Γ△Η, ΖΕΗ, ΒΑΗ, δῆλον ὅτι ἐπὶ τὸ αὐτὸ σαμεῖον ἔρχονται | Ἐκβληθεισῶν γὰρ τῶν ΒΑΗ, ΖΕΗ καὶ συμπιπτουσῶν ἀλλήλαις κατὰ τὸ Η καὶ ἡ Γ△ ἐκβαλλομένη ἐν τῷ αὐτῷ πεσεῖται· ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ ἡ ΒΖ πρὸς ΑΕ καὶ ἡ ΖΓ πρὸς Ε△ καὶ δηλαδὴ ἡ ΓΗ πρὸς △Η.

Ἔσται δὴ τοῦ μὲν Β△Γ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρεος ἐπὶ τᾶς ΘΜ, ἐπειδήπερ τρίτον μέρος ἁ ΒΘ τᾶς Β△ | Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν αἱ ΑΕ, ΒΖ, Γ△· κέντρον

ἄρα ἐστὶ τοῦ βάρους τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Η. Καὶ φανερὸν ὅτι πάντα τὰ τρίγωνα ἴσα ἐστὶν ἀλλήλοις, καὶ ὅτι αἱ ἐπὶ τὰς διχοτομίας τῶν πλευρῶν ἐπιζευγνύμεναι διὰ τοῦ Η ἔρχονται, ἵνα μὴ τοῦ αὐτοῦ πλείονα κέντρα ᾗ. Ἐπεὶ γὰρ ἴσαι αἱ Α△, △Β, ΒΕ, ΕΓ, ΓΖ, ΖΑ, ἴσα ἔσται καὶ τὰ τρίγωνα, ὧν κορυφὴ τὸ Η σημεῖον, βάσεις δὲ αἱ εἰρημέναι εὐθεῖαι· ὥστε διπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΗΒ τρίγωνον τοῦ ΗΒΕ τριγώνου· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ τῆς ΗΕ. Ἐὰν οὖν διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ΒΓ ἀγάγωμεν τὴν ΘΚ, διπλασία ἐστὶν ἡ ΑΘ τῆς ΘΒ· ὥστε καθόλου, ἐὰν μία πλευρὰ τριγώνου τμηθῇ, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ μέρος διπλάσιον εἶναι τοῦ πρὸς τῇ βάσει, καὶ διὰ τοῦ ληφθέντος σημείου παράλληλος ἀχθῇ τῇ βάσει, ἐπὶ τῆς ἀχθείσης ἔσται τὸ κέντρον τοῦ βάρους τοῦ τριγώνου.

Εὐτοκίου εἰς τὸ β τῶν ἰσορροπικῶν Ἀρχιμήδους.

Εἰς τὸ β΄.

Ἀκριβῶς ἐπεξελθόντες τῷ πρώτῳ καὶ σαφηνίσαντες τὰ ἐν αὐτῷ δυσθεώρητα ἀναγκαῖον ἡγούμεθα καὶ τὰ ἐν τῷ δευτέρῳ δυσχερῶς εἰρημένα μετρίως ἐκθέσθαι. Φησὶν τοίνυν ἐν τῇ προτάσει τοῦ πρώτου θεωρήματος· ὑποκείσθω τὰ ΑΒ, Γ△ χωρία περιεχόμενα ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομᾶς, δυνάμεθα παρὰ τὰν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν. Τοῦτο δὲ αὐτόθεν μὲν διὰ τῶν ἐνταῦθα δεδειγμένων οὐκ ἔστιν εὑρεῖν· ἐπεὶ δὲ δέδεικται αὐτῷ, ὡς καὶ ἐν τῷ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου εἶπεν, ὅτι τὸ τοιοῦτον σχῆμα ἐπίτριτόν ἐστι τργώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τῷ δὲ ἐπιτρίτῳ τοῦ τριγώνου ἐπιπέδῳ εὐθυγράμμῳ ὄντι δυνάμεθα ἴσον παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν παραβαλεῖν, φανερὸν ὅτι καὶ τοῖς τοιούτοις σχήμασιν. Τὰ δὲ ἐν τῇ κατασκευῇ εἰρημένα πάντα δῆλά ἐστι διὰ τοῦ δεκάτου θεωρήματος τοῦ πρώτου τούτων τῶν βιβλίων.

Εἰς τὸ β΄.

Τοῦ δευτέρου θεωρήματος προλέγει τινὰ δηλοῦντα πῶς δυνατὸν ἐν τῇ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομῇ σχῆμα γνωρίμως ἐγγράφεσθαι, καὶ φησιν ταῦτα δεικτέον ἐν ταῖς τάξεσιν. Ἐπειδὴ οὖν ἀσαφές ἐστιν τὸ λεγόμενον, ἀναγκαῖον εἰπεῖν βραχέα περὶ αὐτοῦ ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου Κωνικῶν εὑρεθέντα.

Ἔστω σχῆμα περιεχόμενον ὑπὸ παραβολῆς τῆς ΑΒΓ καὶ εὐθείας τῆς ΑΓ, οὗ διάμετρος ἔστω ἡ Β△· φανερὸν δὴ ὅτι κορυφή ἐστι τοῦ τμήματος τὸ Β σημεῖον· κορυφὰς γὰρ ἐκάλει τῶν γραμμῶν ὁ Ἀπολλώνιος τὰ πρὸς ταῖς

γραμμαῖς πέρατα τῶν διαμέτρων. Ἐὰν δὴ ἐπιζεύξωμεν τὰς ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τὸ ~~ἀπὸ~~ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον τῷ τμήματι καὶ ὕψος ἴσον τὴν ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον ἀγομένην· οὐ γὰρ πάντως ἄξων ἐστὶν ἡ Β△. Ἑὰν δὴ λαβόντες τὰς κορυφὰς τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων τὰς Ε, Ζ δι᾿ αὐτῶν παραλλήλους ἀγάγωμεν τῇ Β△, ὡς τὰς ΕΗΘ, ΖϚΚ, ἔσονται αὗται διάμετροι τῶν ΑΒ, ΒΓ τμημάτων· δέδεικται γὰρ ἐπὶ τῆς παραβολῆς ὅτι πᾶσαι αἱ παρὰ τὴν διάμετρον ἀγόμεναι διάμετροί εἰσι τῆς τομῆς. Ἔσονται δὴ τὰ Ε, Ζ κορυφαὶ τῶν τμημάτων καὶ αἱ διὰ τῶν Ε, Ζ ἐφαπτόμεναι παράλληλοι ταῖς ΑΒ, ΒΓ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΕΛΖ παρὰ τὴν Α△Γ, ἐπειδὴ αἱ ΕΘ, ΖΚ παράλληλοί εἰσι καὶ ἴσαι διάμετροι οὖσαι τῶν ἴσων τμημάτων καὶ ἐφαρμόζουσαι ἀλλήλαις, ὡς ἐν τῷ Ϛ΄ τῶν Κωνικῶν δέδεικται. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΗΘ παράλληλός ἐστι τῇ Β△, ἔστιν ὡς ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, ἡ △Θ πρὸς ΘΑ. Ἴδη δὲ ἡ ΗΒ τῇ ΑΗ· δίχα γὰρ αὐτὴν τέμνει ἡ ΕΗ διάμετρος παράλληλον οὖσαν τῇ ἐφαπτομένῃ ἴση ἄρα καὶ ἡ △Θ τῇ ΘΑ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ △Κ τῇ ΚΓ ἐστὶν ἴση. Ἴση δὲ ὅλη ἡ Α△ τῇ △Γ· ἴση ἄρα καὶ ἡ △Θ τῇ △Κ καὶ διὰ τοῦτο καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ. Ὥστε ἀληθῶς λέγει ὅτι ἡ τὰς κορυφὰς τῶν τμημάτων ἐπιζευγνύουσα παράλληλος ἔσται τῇ βάσει τοῦ τμήματος καὶ δίχα διαιρεθήσεται ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος διαμέτρου.

Ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ καὶ δίχα τετμήσθωσαν κατὰ τὰ Μ, Ν, Ξ, Ο σημεῖα, καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Μ, Ν, Ξ, Ο παρὰ τὴν Β△ αἱ ΠΜΡΣ, ΤΝΥΦ, ΧΞΨΩ, ϚΟϥϠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΠ, ΠΕ, ΕΤ, ΤΒ, ΒΧ, ΧΖ, ΖϚ, ϚΓ καὶ αἱ Τ ΑΧ καὶ Π Β Γ △ Ε ϚϚ· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν προδεδειγμένων ὅτι ἡ ΤΧ καὶ ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΠϚ παράλληλοί εἰσι τῇ ΑΓ, καὶ ὅτι ἴση ἡ Τ Α τῇ ΑΧ καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ καὶ ἡ Π △ τῇ △Ϛ.

Λέγω οὖν ὅτι τέμνουσι τὴν Β△ εἰς τοὺς ἑξῆς περισσοὺς ἀριθμούς, τουτέστιν οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ Β Α, τοιούτων τριῶν ἡ ΑΛ καὶ ἡ Λ △ πέντε καὶ ἡ △△ ἑπτά.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ Β△, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ Θ△ Η Α△ ἄρα τῆς △Θ διπλῆ ἐστιν ὥστε καὶ τῆς ΕΛ· τὸ ἀπὸ τῆς Α△ ἄρα τετραπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΛ. Ὡς δὲ τὸ ἀπὸ Α△ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΛ, οὕτως δέδεικται ἡ Β△ πρὸς ΒΛ· τετραπλασία ἄρα καὶ ἡ △Β τῆς ΒΛ. Τριπλῆ ἄρα ἡ △Λ τῆς ΛΒ· οἵου ἄρα ἐστὶν ἑνὸς ἡ ΛΒ, τοιούτων τριῶν ἐστιν ἡ Λ△. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἵων ~~ἄρα~~ ἡ ΛΒ τεσσάρων, ἡ Λ△ δώδεκα. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἡ ΕΝ τῇ ΝΒ καὶ ἡ Ε Ζ τῇ ΖΛ καὶ ἡ ΘΦ τῇ Φ△ διπλασία ἐστὶν ἡ ΕΛ τῆς Λ Ζ, τουτέστι τῆς Τ Α· τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ τοῦ ἀπὸ Τ Α. Τετραπλασία ἄρα καὶ ἡ ΛΒ τῆς Β Α· ὥστε τριπλασία ἡ Λ Α τῆς ΑΒ· οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΒ τεσσάρων, τοιούτων ἡ μὲν Β Α ἑνός, ἡ δὲ ΑΛ τριῶν, ἡ δὲ Λ△ δώδεκα. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΜ τῇ ΜΕ καὶ ἡ ΑΡ τῇ ΡΗ καὶ ἡ ΑΣ τῇ ΣΘ, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ΑΣ, ΣΘ, ΘΦ, Φ△· οἵων ἄρα ἐστὶν ἡ Α△ τεσσάρων, τοιούτων ἡ Σ△ τριῶν, τουτέστιν ἡ Π △. Οἵων ἄρα τὸ ἀπὸ Α△ δεκαέξ, τοιούτων τὸ ἀπὸ Π △ ἐννέα· καὶ οἵων ἄρα ἡ △Β δεκαέξ, ἡ Β△ ἐννέα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ △△ ἑπτά. Ἐπεὶ οὖν δέδεικται οἵων ἡ Β△ δεκαέξ, τοιούτων ἡ μὲν Β Α ἑνός, ἡ δὲ Α△ τριῶν, ἡ δὲ △△ ἑπτά, καὶ λοιπὴ ἡ Λ △ ἐστὶ πέντε. Τέμνεται ἄρα ἡ Β△ ὑπὸ τῶν παραλλήλων εἰς τοὺς τῶν ἑξῆς περισσῶν ἀριθμῶν λόχους ἑνὸς λεγομένου τοῦ πρὸς τῇ κορυφῇ τοῦ τμήματος. Δῆλον οὖν ἐστιν ἐκ τῆς καταγραφῆς ὅτι αἱ καταγόμεναι ὑπὸ τῶν διαμέτρων εἰς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀριθμοὺς τέμνονται. Οἵου γάρ ἐστιν ἑνὸς ἡ Τ Α, τοιούτων ἐστὶ δύο ἡ ΕΛ, τριῶν δὲ ἡ Π △ τεσσάρων δὲ ἡ Α△· παράλληλοι γὰρ οὖσαι πᾶσαι εἰς ἴσα τέμνουσιν ἀλλήλας. Ὠνομάσθη δὲ ὑπ᾿ Ἀρχιμήδους τὸ ΑΠΕΤΒΧΖϚΓ σχῆμα γνωρίμως ἐγγραφόμενον.

Εἱς τὸ γ΄.

Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν τοῦ κώνου τομῶν Ἀπολλώνιος ὡρίσατο ἐν τῷ ἕκτῳ βιβλίῳ τῶν Κωνικῶν, ἐν οἷς ἀχθεισῶν ἐν ἑκάστῳ παραλλήλων τῇ βάσει ἴσων τὸ πλῆθος αἱ παράλληλοι καὶ αἱ βάσεις πρὸς τὰς ἀποτεμνομένας ἀπὸ τῶν διαμέτρων πρὸς ταῖς κορυφαῖς ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις εἰσὶ καὶ αἱ ἀποτεμνόμεναι πρὸς τὰς ἀποτεμνομένας· καὶ ὅτι αἱ παραβολαὶ πᾶσαι ὅμοιαί εἰσιν. Τὸ δὲ γνωρίμως ἐγγραφόμενον σχῆμα εἴρηται ἐν τῷ προλαβόντι λήμματι. Τὸ δὲ ὁμοίως διαιρεῖσθαι τὰς διαμέτρους ἐστίν, ἵνα τὰ τμήματα αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον. Τὰ λοιπὰ τοῦ θεωρήματος σαφῆ ἐστιν ἐκ τοῦ προειρημένου σχήματος.

Εἰς τὸ δ΄.

Ἐγγεγράφθω εὐθύγραμμον εἰς τὸ τμᾶμα γνωρίμως, ὥστε τὰ περιλειπόμενα τμήματα ἐλάσσονα εἶναι τοῦ Κ | Τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν ἐκ τῶν εἰρημένων ἐν τῷ δεκάτῳ τῆς Στοιχειώσεως καὶ τῷ πρώτῳ τῶν Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου.

Εἰς τὸ έ.

Καὶ ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΘΖΗΙ | Ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΚΖ, ΛΗ, ἴσων γάρ εἰσι τμημάτων διάμετροι, καὶ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ Β△ ἄξονος καὶ ὁμοίως διῄρηνται ὑπὸ τῶν Θ, Ι κέντρων, ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΖ, ἡ ΛΙ πρὸς ΙΗ καὶ ἐναλλάξ καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ΘΖ τῇ ΙΗ. Ἔστιν δὲ καὶ παράλληλος· παράλληλοι γάρ εἰσιν πᾶσαι αἱ διάμετροι τῆς παραβολῆς παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΖΗΙ.

Εἰς τὸ δεύτερον μέρος τοῦ έ.

Ἔσται δὴ τοῦ μὲν ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚΒ, ΒΓΛ τμημάτων συγκειμένου μεγέθεος κέντρον βάρους τὸ Χ, τοῦ δὲ ἐξ ἀμφοτέρων τῶν ΑΚB, ΒΛΓ τριγώνων τὸ Τ | Δέδεικται μὲν γὰρ ἐν τῷ προλαβόντι ὅτι ἡ ΘΜ ἐπιζευγνύουσα τὰ κέντρα τῶν τμημάτων διχοτομεῖται ὑπὸ τῆς Β△ κατὰ τὸ Χ παράλληλος οὖσα τῇ ΖΗ, καὶ ἡ ΝΙ διχοτομεῖται κατὰ τὸ Τ· ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τὸ X τοῦ συγκειμένου μεγέθους ἐκ τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμημάτων καὶ τὸ Τ τοῦ συγκειμένου μεγέθους ἐκ τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τριγώνων.

Ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὰ ΑΚΒ, ΒΛΓ τρίγωνα ἢ ποτὶ τὰ τμήματα | καὶ τὰ ἑξῆς. Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τοῦ μὲν ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρους τὸ Ε, τῶν δὲ ΑΒΚ, ΒΛΓ τριγώνων κέντρον τὸ Τ, φανερὸν ὅτι τοῦ ΑΚΒΛΓ εὐθυγράμμου κέντρον τοῦ βάρους ἐπὶ τῆς ΤΕ τμηθείσης κατὰ τὸ Ρ κατὰ τὸν ἀντιπεπονθότα λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ΑΒΓ πρὸς τὰ ΑΚΒ, ΒΛΓ τρίγωνα. Ἐπεὶ δὲ τὸ ΑΒ τρίγωνον πρὸς τὰ ΚΑΒ, ΒΛΓ τρίγωνα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὰ τμήματα, μείζονα γάρ ἐστι τὰ τμήματα τῶν τριγώνων, δῆλον ὅτι, ἐὰν τέμωμεν τὴν ΕΤ ἐν τῷ λόγῳ τῷ ὃν ἔχει τὸ τρίγωνον πρὸς τὰ τμήματα, ἀνωτέρω τοῦ πεσεῖται τὸ σημεῖον, ὃ ἔσται κέντρον τοῦ παντὸς τμήματος διὰ τὴν ἀντιπεπόνθησιν.

Εἰς τὸ Ϛ΄.

Τὸ κέντρον τοῦ τμήματος πάντως ἕν ἐστι καὶ ἐγγύτερον τῆς κορυφῆς τοῦ τμήματος ἤπερ τὰ τῶν ἐγγραφομένων εὐθυγράμμων. Τοῦ γὰρ ΑΒΓ τριγώνου κέντρον τοῦ βάρους ἐστίν, εἰ τύχοι, τὸ Ε τῆς Β△ τμηθείσης οὕτως, ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΕΒ τῆς Ε△ φανερὸν ὅτι πάντα τὰ κέντρα τῶν ἐγγραφομένων εὐθυγρὰμμων μεταξὺ πεσοῦνται τῶν Θ, Ε σημείων, καὶ ὅσῳ δ᾿ ἂν πολυπλευρότερον ἦ τὸ γνωρίμως ἐγγραφόμενον, τοσούτῳ μᾶλλον συνεγγίζει τῷ Θ. Φανερὸν οὖν ὅτι τὴν μεταξὺ τῶν κέντρων τοῦ γνωρίμως ἐγγραφομένου εὐθυγράμμου καὶ τοῦ τμήματος μείζονα μὲν εἶναι τῆς ΕΘ ἀδύνατον, ἐλάσσονα δὲ δυνατὸν οὐ μόνον τῆς ΘΕ, ἀλλὰ καὶ πάσης τῆς δοθείσης.

Εἰς τὸ ζ΄.

Ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ ΑΒΓ τμᾶμα τῷ ἐν τῷ ΕΖΗ τμάματι ὁμοῖον εὐθύγραμμον τουτέστιν ὁμοίως γνωρίμως ὁμοίως γὰρ γνωρίμως ἐγγράφεται, ὅταν αἱ τομαὶ τῆς ΑΒΓ παραβολῆς ἴσαι γένωνται ταῖς τῆς ΕΖΗ, ὥστε τὰς πλευρὰς τοῦ ἐν τῷ ΑΒΓ τμήματι ἐγγεγραμμένου γνωρίμως ἰσοπληθεῖς εἶναι ταῖς τοῦ ἐν τῷ ΕΖΗ ἐγγεγραμμένου εὐθυγράμμου. Ἐπεὶ γὰρ δὴ κορυφαί εἰσι τὰ Β, Ζ σημεῖα τῶν ὁμοίων τμημάτων, ὅμοιά ἐστι τὰ οὕτως γνωρίμως ἐγγραφόμενα.

Εἰς τὸ η΄.

Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἁ ΒΘ πρὸς Θ△, οὕτως ἁ ΚΜ πρὸς ΜΖ· ὅμοια γὰρ ὄντα τὰ τμήματα ἕξει κέντρα εἰς τοὺς αὐτοὺς λόφους τέμνοντα τὰς διαμέτρους· καὶ συνθέντι ὡς ἁ Β△ πρὸς △Θ, ἁ ΚΖ πρὸς ΖΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἁ Β△ πρὸς ΚΖ, οὕτως ἁ △Θ πρὸς ΜΖ, τετραπλασία δὲ ἡ Β△ τῆς ΚΖ· τοῦτο γὰρ ἐπὶ τέλει δείκνυται, οὗ σαμεῖον (??) | Ἑξῆς δὲ αὐτὸ ἡμεῖς δείξομεν.

Ἔστω παραβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἧς διάμετρος ἡ Β△, καὶ ἤχθω τεταγμένως ἡ Α△, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑB κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ Β△ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν τοῦ ΑΒ τμήματος. Καὶ ἀπὸ τῶν, Ε, παρατεταγμένως ἤχθωσαν αἱ ΕΗ, ΖΘ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΒΖ, διπλῆ ἐστιν ἡ ΑB τῆς ΖΒ καὶ ἡ △Β τῆς ΒΘ καὶ ἡ Α△ τῆς ΖΘ, τουτέστι τῆς ΕΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ Α△ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἐστὶ τετραπλάσιον, καὶ διὰ τοῦτο ἡ △Β τῆς ΒΗ ἐστὶ τετραπλασία μήκει. Ἐπεὶ οὖν ἡ Β△ τῆς ~~μὲν~~ ΒΘ διπλῆ, ἡ ΒΘ τῆς ΒΗ ἐστὶ διπλῆ. Καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΒ ἴση, τουτέστι τῇ ΕΖ διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶναι τὸ ΕΗΖΘ· τετραπλασία ἄρα ἡ Β△ τῆς ΖΕ.

Καὶ ἐπεὶ τετραπλασίων ἐστὶν ἁ Β△ τᾶς ΒΣ, καὶ γὰρ τοῦτο δείκνυται | Δέδεικται γὰρ ἐν τῷ λήμματι ἡ Β△ ἑκατέρας τῶν BΗ, EΖ τετραπλασία ὥστε ἡ ΒΗ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση, καὶ διὰ τοῦτο ἐνταῦθα ἡ ΒΣ τῇ ΚΖ ἴση καὶ ἡ Β△ ἑκατέρας αὐτῶν τετραπλασία.

Ἡ ΒΞ ἄρα τῆς Β△ τρίτον μέρος Επεὶ γὰρ τετραπλασίων ἡ Β△ τῆς ΒΣ, οἵων ἄρα ἡ Β△ τεσσάρων, ἡ ΒΣ ἑνός· καὶ οἵων ἄρα ἡ Β△ δώδεκα, τοιούτων ἡ ΒΣ τριῶν. Τριπλῆ δὲ ἡ ΒΣ τῆς ΣΞ· οἵων ἄρα ἡ ΒΣ τριῶν, ἡ ΞΣ ἑνός, καὶ ὅλῃ ἡ ΒΞ τεσσάρων. Τούτων δὲ ἦν ἡ Β△ δώδεκα ἡ ΒΞ ἄρα τῆς Β△ τρίτον μέρος ἐστί.

Τριπλοῦν δὲ τὸ ΑΒΓ τρίχωνον τῶν τμαμάτων | Δέδεικται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ ἐν τῷ Περὶ τῆς ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ὅτι πᾶν σχῆμα περιεχὸμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον ὥστε τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίτριτόν ἐστιν, καὶ διελόντι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῶν ΑΚΒ, ΒΛΓ τμημάτων τριπλάσιόν ἐστιν.

Καί ἐντι τᾶς Ε△ τριπλασία ἡ △Β· ἡμιολία ἄρα ἐντὶ ἁ ΒΘ τᾶς Θ△· ὅπερ ἔδει δεῖξαι | Ἐπεὶ γὰρ τριπλῆ ἐστιν ἡ Β△ τῆς △Ε, οἵων ἄρα ἡ Β△ δεκαπέντε, τοιούτων ἡ Ε△ πέντε. θἵων δὲ ἡ △Ε πέντε, τοιούτου ἡ ΘΕ ἑνὸς καὶ ὅλη ἡ ΘΕ△ ἕξ· ἑξαπλασία ἄρα ἡ △Θ τῆς ΘΕ. 0ἵων ἄρα ἡ Β△ δεκαπέντε, τοιούτων ἡ △Θ ἕξ, καὶ λοιπὴ ἡ ΘΒ ἐννέα ὥστε ἡμιολία ἐστὶν ἡ ΒΘ τῆς Θ△.

Εἰς τὸ θ΄.

Τὸ ἔνατον θεώρημα πάνυ ὂν ἀσαφὲς ἐκθησόμεθα παραφράζοντες σαφῶς κατὰ τὸ δυνατόν.

Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, △Β, ΒΕ, καὶ διελόντι καὶ ἐναλλὰξ αἱ ΑΓ, Γ△, △Ε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσίν. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ, ΒΓ, Β△ △Ε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ αἱ ΑΓ, Γ△, △Ε, ἔστιν ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον καὶ μέσον πρὸς ἑπόμενον ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΓ, Γ△, τουτέστιν ἡ Α△, πρὸς △Ε, οὕτως συναμφότερος ἡ ΑΒ, ΓΒ πρὸς △Β. Ὡς δὲ συναμφότερος ἡ ΑΒ, ΓΒ πρὸς △Β, οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς Β△, διότι τὰ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὴν β τῆς △Β. Πάλιν, ἐπειδὴ αἱ ΓΒ, Β△, ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶν καὶ αἱ ΑΓ, Γ△, △Ε, ἔστιν διὰ τὰ πρότερον εἰρημένα ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως συναμφότερος ἡ Γ△, Β△ πρὸς ΒΕ. Ἦν δὲ καὶ ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε, ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὴν β τῆς Β△· καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἄπαντα ὡς ἄρα ἡ Α△ πρὸς △Ε, οὕτως τὰ ἡγούμενα πρὸς τὰ ἑπόμενα. Ἔστιν δὲ ἡγούμενα μὲν ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΓ καὶ συναμφότερος ἡ ΓΒ, Β△, τουτέστι δύο αἱ ΑΒ καὶ τρεῖς αἱ ΓΒ καὶ μία ἡ Β△, ἑπόμενα δὲ ἡ β τῆς Β△ καὶ ἡ ΒΕ μόνη· ἔστιν οὖν ὡς ἡ Α△ πρὸς △Ε, ἡ συγκειμένη εὐθεῖα ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς △Β μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς δ τῆς ΓΒ καὶ τῆς δ τῆς △Β καὶ τῆς β τῆς ΒΕ τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ μόνης, ἔξωθεν δέ ἐστιν ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς β τῆς △Β καὶ μόνης τῆς ΕΒ, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλαττον, μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Β καὶ τῆς ΕΒ μόνης ἤπερ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς △Β πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς διπλῆς τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ, Ἀλλ᾿ ὡς ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ μόνης πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ, οὕτως ἐδείχθη ἡ Α△ πρὸς △Ε καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Α△ πρὸς △Ε, Ἐὰν ἄρα θελήσωμεν ποιῆσαι τὸν αὐτὸν λόγον τῆς Α△ πρὸς ἄλλην τινά, ἐλάσσων ἔσται ἐκείνη τῆς △Ε. Ἔστω ἡ △Ο· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α△ πρὸς △0, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΤΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ. Ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ο△ πρὸς △Α, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς Β△ καὶ μόνης τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ τῆς δ συναμφοτέρου τῆς ΓB, Β△· καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΟΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ Ϛ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ ἥ τε γὰρ Β△ ἑξάκις παρελήφθη, τετράκις μὲν ἐν τοῖς προτέροις, δὶς δὲ ἐν τοῖς δευτέροις, καὶ ἡ ΒΕ τρὶς ἐλήφθη, δὶς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις, ἅπαξ δὲ ἐν τοῖς δευτέροις. Ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ Α△ πρὸς ΗΘ τοῦτον ἔχουσα τὸν λόχον, ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑB, ΒΕ καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ ς΄ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ, καί ἐστι τεταραγμένη ἀναλογία · δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΟΑ πρὸς ΗΘ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ι τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ δ τῆς ΓΒ, Β△. Τὸ γὰρ τῆς γεγραμμένης ἀναλογίας οὕτως ἔσται δῆλον· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΑ πρὸς ἑπόμενον τὴν Α△, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ δ τῆς ΓΒ καὶ Ϛ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ ναὶ δ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόπενον ἡ Α△ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΗΘ, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ καὶ τῆς Β△ καὶ γ τῆς ΒΕ Ἐπεὶ ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ πρὸς τὴν β τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο, ἔχει δὲ καὶ ἡ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν τῆς αὐτῆς λόγον ὃν πέντε πρὸς δύο, ἐπειδὴ καὶ τὰ πέντε πρὸς δύο καὶ τὰ δέκα πρὸς τέσσαρα λόχον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο, καὶ ἡ συγκειμένη ἄρα ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ ῑ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ, Β△ λόγον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο ὥστε καὶ ἡ ΑΟ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχει ὃν πέντε πρὸς δύο. Πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ἐν τοῖς ἀνωτέρω ὅτι ἡ Ο△ πρὸς △Α τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει ἡ ΕΒ μετὰ τῆς β τῆς Β△ πρὸς τὴν ἴσην τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς AΒ, ΒΕ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ, Β△, ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἑπόμενον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡ Α△ πρὸς ἄλλο τι τὴν △Ε, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς △Β πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΕΒ καὶ τῆς β τῆς Β△, ἀνομοίως τῶν λόχων τεταμένων, τουτέστι τεταραγμὲνης οὔσης τῆς ἀναλογίας, διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ἡ Ο△ πρὸς △Ε, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς γ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς Β△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ, Β△ ὥστε καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ Ε△ πρὸς △Ο, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΒ καὶ τῆς ΓΒ καὶ μόνης τῆς Β△, καὶ ἀναστρέψαντι ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΟ, τὸ ἡγούμενόν φημι πρὸς τὴν ὑπεροχήν, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς ΓΒ μόνης καὶ γ τῆς Β△ καὶ τῆς β τῆς EΒ. Εν μὲν γὰρ τῷ ἡγουμένῳ ἡ β τῆς ΑB καὶ τῆς ΒΕ, ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ β τῆς ΑΒ μόνης· ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ β τῆς ΕΒ· πάλιν ἐν μὲν τῷ ἡγουμένῳ ἡ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△, ἐν δὲ τῷ ἑπομένῳ ἡ γ τῆς ΓΒ καὶ ἡ Β△ μόνη ὥστε περιλείπεται ἐν ταῖς ὑπεροχαῖς ἡ ΓΒ μόνη καὶ ἡ γ τῆς Β△. Καλῶς οὖν ἐλέχθη ὅτι ἐστὶν ἀναστρέψαντι ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΟ, ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς △Β καὶ τῆς β τῆς ΕΒ· ὥστε καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ ΟΕ πρὸς Ε△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ μετὰ τῆς γ τῆς Β△ καὶ β τῆς ΕΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△. Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ △Β πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕB, ἡ AΒ πρὸς ΒΓ, καὶ διελόντι ὡς ἡ πρὸς EΒ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστιν ὡς ἡ Γ△ πρὸς △Β, οὕτως ἡ △Ε πρὸς ΕΒ καὶ ὡς ἄρα ἡ τῆς Γ△ πρὸς τὴν γ τῆς △Β, οὕτως ἡ β τῆς △Ε πρὸς τὴν β τῆς ΕΒ τὰ γὰρ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον. Καὶ ὡς ἄρα ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα ἔστιν ἄρα ὡς ἡ △Ε πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ τῆς γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς Β△ καὶ τῆς β τῆς EΒ. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ ΟΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν △Ε, ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἡγούμενον ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΓΒ καὶ τῆς γ τῆς Β△ καὶ β τῆς ΒΕ πρὸς ἑπόμενον τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△, ὡς δὲ ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν ἑπόμενον ἡ △Ε πρὸς ἄλλο τι τὴν ΕΒ, ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν ἄλλο τι ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς ἡγούμενον τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς Γ△ καὶ γ τῆς △Β καὶ β τῆς ΒΕ, διʼ ἴσου ἐν τῇ τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ ΟΕ πρὸς ΕΒ, ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς Ε△ καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△. Ἀλλὰ ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ΑΓ καὶ γ τῆς Γ△ καὶ β τῆς △Ε καὶ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ, ΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ ἴση ἐστὶ τῇ συγκειμένῃ ἔκ τε τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς △Β ἥ τε γὰρ ΑΒ δὶς παρελήφθη αὐτόθεν καὶ προσλαβοῦσα τὴν ΑΓ καὶ ἐκ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ μίαν ποιεῖ τὴν γ τῆς ΑΒ πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ μιᾶς γίνεται γ, προσλαβοῦοα δὲ τὴν γ τῆς Γ△ καὶ γ τῆς △Β ποιεῖ τὴν ς΄ τῆς ΓΒ πάλιν ἀφαιρεθείσης ἀπὸ τῆς τῆς △Β γ μένει μόνη ἡ △Β, προσλαβοῦσα δὲ τήν τε β τῆς καὶ τὴν β τῆς ΕΒ ποιεῖ τὴν γ τῆς Β△. Καλῶς οὖν λέγει ὅτι ἡ ΟΒ πρὸς ΕΒ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ὃν ἔχει ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς γ τῆς ΑΒ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ καὶ γ τῆς △Β πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△. Πάλιν, ἐπεὶ αἱ Ε△, △Γ, ΓΑ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ εἰσὶ καὶ διὰ τὸ ἀνάπαλιν τῆς ὑποθέσεως συναμφότερος ἑκάστη τῶν ΕΒ, Β△, △Β, ΒΓ, ΒΓ, ΒΑ, ἔσται ὡς ἡ Ε△ πρὸς τὴν μέσην καὶ τὴν ἑπομένην τὰς △Γ, ΓΑ, τουτέστι τὴν △Α, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ, Β△ πρὸς συναμφότερον τὴν △Β, ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς Γ△, ΒΑ καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΕΑ πρὸς Α△, οὕτως συναμφότερος ἡ ΕΒ△ μετὰ συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ καὶ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ πρὸς συναμφότερον τὴν △ΒΓ μετὰ συναμφοτέρου τῆς ΓΒΑ. Ἀλλὰ συναμφότερος ἡ ΕΒ△ μετὰ τῆς △ΒΓ καὶ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΑ καὶ δὶς συναμφοτέρῳ τῇ △ΒΓ ἅπαξ γὰρ αἱ ἄκραι παραλαμζάνονται καὶ δὶς αἱ μέσαι συναμφότερος δὲ ἡ △ΒΓ μετὰ τῆς ΓΒΑ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ△ καὶ δὶς τῇ ΒΓ διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν ὥστε ἐστὶν ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς ΕΒΑ καὶ β συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς △ΒΑ καὶ τῆς β τῆς ΓΒ. Ὥστε καὶ ἡ διπλασία πρὸς τὴν διπλασίαν τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἄρα ἡ ΕΑ πρὸς Α△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΕΒΑ μετὰ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ. Ὥστε καὶ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς Α△, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς AΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓB. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς Α△, οὕτως ἐλήφθη ἡ ΒΕ πρὸς ΖΗ · καὶ ὡς ἄρα ἡ EΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ABE καὶ τῆς △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς AB△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ. Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ὡς ἡγούμενον ἡ ΟΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν ΒΕ, οὕτως ἡγούμενον ἡ γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ μετὰ τῆς ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς ἑπόμενον τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ△, ὡς δὲ ἑπόμενον ἡ ΕΒ πρὸς ἄλλο τι τὴν ΖΗ, οὕτως ἑπόμενον ἡ β συναμφοτέρου τῆς ΑΒΕ καὶ ἡ △Ζ συναμφοτέρου τῆς △ΒΓ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τοῦ ἑπομένου, τουτέστι τῆς συηκειμένης ἐκ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ τῆς △Ζ τῆς ΓΒ, τεταγμένης οὖν οὔσης τῆς ἀναλογίας διʼ ἴσου ἐστὶν ὡς ἡ ΟΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἔκ τε τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς συγκειμένης ἔκ τε τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ. Η δὲ συγκειμένη ἐκ τῆς γ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ ς΄ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς συναμφοτέρου τῆς ΑΒ△ καὶ △Ζ τῆς ΓΒ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς δύο, πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο τὰ δὲ ἑξαπλάσια τῶν αὐτῶν τῶν τετραπλασίων ἡμιόλιά ἐστιν πρὸς δὲ τὰ τρία πέμπτα τῆς αὐτῆς λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς δύο, Ἐπειδὴ γὰρ τὰ ἡγούμενα τῶν ἑπομένων ἡμιόλια, καὶ λόγον ἔχει πρὸς αὐτά, ὃν τρία πρὸς δύο ἔχει ἄρα καὶ ὃν τεσσαράκοντα πέντε πρὸς τριάκοντα ἑκάτερον γὰρ ἑκατέρου ἐστὶ πεντεκαιδεκαπλάσιον. Καί ἐστι τὰ τρία πέμπτα τῶν τριάκοντα δεκαοκτώ ἔχει ἄρα τεσσαράκοντα πέντε πρὸς δεκαοκτὼ λόγον, ὃν πέντε πρὸς δύο τὰ γὰρ πέντε καὶ τὰ δύο ἀμφοτέρων εἰσὶν ἔννατα. Ἐπεὶ οὖν δέδεικται ἡ μὲν ΟΑ πρὸς ΗΘ λόγον ἔχουσα, ὃν πέντε πρὸς δύο, ἡ δὲ ΟΒ πρὸς ΖΗ τὸν αὐτὸν λόγον, δύο πεμπτημόριά ἐστιν ὅλη ἡ ΖΘ ὅλης τῆς ΑΒ.

Εἰς τὸ ι΄.

Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ τοῦ Α△ΕΓ τόμου διάμετρός ἐστιν ἡ ΖΗ | Ἐπεὶ γὰρ ὑπόκειται ἡ ΖΒ διάμετρος τοῦ τμήματος καὶ αἱ ΑΓ, △Ε διχοτομούμεναι ὑπʼ αὐτῆς κατὰ τὰ Ζ, Η, παράλληλοί εἰσιν τῇ κατὰ τὸ Β ἐφαπτομένῃ τῆς τομῆς. Καὶ δῆλον ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ὁμοίως αὐταῖς ἀχόμεναι παράλληλοι εἴτε μεταξὺ αὐτῶν εἴτε καὶ μεταξὺ τῆς △Ε καὶ τῆς Β κορυφῆς δίχα τμηθήσονται ὑπὸ τῆς ΒΖ, καὶ διὰ τοῦτό φησι διάμετρον εἶναι τοῦ τόμου τὴν ΖΗ.

Ἀλλ᾿ ὡς μὲν ὁ ἀπὸ ΖΑ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον, οὕτως τὸ ~~ἀπὸ~~ ΑΒΓ τμᾶμα πρὸς τὸ △ΕΒ τμᾶμα | Ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ὑπʼ αὐτοῦ ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐστὶν ἐπίτριτον καὶ τὸ △ΕΒ τμῆμα τοῦ △ΕΒ τριγώνου, ἔστιν ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ △ΕΒ τμῆμα πρὸς τὸ △ΕΒ τρίγωνον καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον ὥστε καὶ τὰ ἡμίση αὐτῶν, ὡς τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ △ΕΒ τμῆμα, οὕτως τὸ ΑΖΒ τρίγωνον πρὸς τὸ △ΗΒ τρίγωνον. ~~Ὥστε~~ καὶ ἐὰν ἀναγράψωμεν τὰ παραλληλόχραμμα τὰ διπλάσια τῶν τριγώνων, ἔσται ἰσογώνια διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς △Η, AΖ ὥστε καὶ λόγον ἕξει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν τῆς ΑΖ πρὸς △Η καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ. Ὁ αὐτὸς δὲ λόγος ἐστὶ τῶν τε τριγώνων καὶ τῶν τμημάτων τὸ ἄρα τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς △Η καὶ τοῦ τῆς ΖB πρὸς BΗ. Ὁ δὲ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ἀπὸ AΖ πρὸς τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον ὁ ἄρα τοῦ τμήματος πρὸς τὸ τμῆμα λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ AΖ πρὸς τὸ ἀπὸ △Η· τετράγωνον καὶ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς △Η. Σύγκειται δὲ καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ AΖ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν, ὡς δέδεικται ἐν τοῖς σχολίοις τοῦ Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ἔστιν ἄρα ὡς τὸ τμῆμα πρὸς τὸ τμῆμα, οὕτως ὁ ἀπὸ AΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον.

Καὶ ἐπεὶ τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ πρὸς τὸν ἀπὸ ΑΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν ἡ β τῆς △Η μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΖA Ἐπὶ γὰρ τῶν αὐτῶν βάσεων ὄντα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ὕψη.

Ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ △Η πρὸς ΑΖ, ἡ ΞΝ πρὸς M, καὶ ὡς ἡ β τῆς △Η πρὸς ΑΖ, ἡ β τῆς ΕΝ πρὸς ΝΜ· καὶ συνθέντι ὡς ἡ β τῆς ΝΞ μετὰ τῆς ΝΜ πρὸς ΝΜ, ἡ β τῆς △Η μετὰ τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΖ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ △Η κύβον, οὕτως ὅ τε ἀπὸ ΜΝ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ ΝΞ κύβον καὶ ἡ ΜΝ πρὸς ΝΤ · αἱ γὰρ ΜΝ, ΝΞ, ΝΟ, ΝΤ τέσσαρές εἰσιν ἀνάλογον, καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

Ὡς δὲ ὁ ἀπὸ △Η κύβος πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην εὐθεῖαν ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η, οὕτως ἡ △Η πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η | Πάλιν γὰρ πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ὕψη.

Ὡς δὲ ἡ △Η πρὸς τὴν β τῆς ΑΖ μετὰ τῆς △Η, οὕτως ἡ ΤΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΤΝ · ἔστιν γὰρ ὡς ἡ ΑΖ πρὸς △Η, ἡ ΜΝ πρὸς ΝΞ καὶ ἡ ΟΝ πρὸς ΝΤ · καὶ ἀνάπαλιν ὡς ἡ △Η πρὸς ΑΖ, ἡ ΤΝ πρὸς ΝΟ, καὶ ὡς ἡ △Η μετὰ τῆς △ τῆς ΑΖ πρὸς ΑΖ, οὕτως ἡ ΤΝ μετὰ τῆς β τῆς ΝΟ πρὸς NO.

Γέγονεν οὖν τέσσαρα μεγέθη ἑξῆς ἀλλήλων κείμενα, πρῶτον μὲν τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ, καὶ δεύτερον ὁ ἀπὸ τῆς ΑΖ κύβος καὶ τρίτον ὁ ἀπὸ τῆς △Η κύβος καὶ τέταρτον τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς △Η τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἔκ τε τῆς β τῆς ΑΖ καὶ τῆς △Η, καὶ ἄλλαι τινὲς εὐθεῖαι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ σύνδυο λαμβανόμεναι, ἥ τε συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΝΞ καὶ μόνης τῆς ΜΝ καὶ δευτέρα ἡ MΝ καὶ τρίτη ἡ ΝT καὶ τετάρτη ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ τῆς ΝΤ δι᾿ ἴσου ἄρα γενήσεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΖ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς △Η καὶ τῆς ΑΖ μόνης, πρὸς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν ἔχον τὸ ἀπὸ △Η τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΑΖ καὶ μόνης τῆς γωνον,Η, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς MΝ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Ν0 καὶ μόνης τῆς ΝT. Ἀλλ᾿ ὡς τὰ εἰρημένα στερεὰ πρὸς ἄλληλα, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΙ πρὸς lΚ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΙ πρὸς ΙΚ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς β τῆς ΞΝ καὶ μόνης τῆς ΝΜ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ συνθέντι ὡς ἡ ΘΚ πρὸς ΚΙ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ε, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΚΙ, οὕτως ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς Ν0 καὶ μόνης τῆς ΝT · καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ οὖσαν αὐτῆς δύο πέμπτα ἑκατέρα γὰρ τῶν ΗΘ, ΖΚ δύο πεμπτημόριά ἐστι τῆς ΗΖ, ἐπειδὴ τὸ μέσον πεμπτημόριον ἡ ΘΚ ὑπόκειται οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ △Ζ συναμφοτέρου τῆς ΞΝΟ· καὶ γὰρ τὰ β τῶν ε καὶ τὰ △Ζ τῶν ι δύο πεμπτημόριά ἐστιν. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΙΚ, οὕτως ἡ ε τῆς ΜΝT καὶ ι τῆς ΞΝΟ πρὸς τὴν β τῆς Ν0 καὶ μόνην τὴν ΝT, πάλιν δὲ ἐδείχθη ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΚ, ἡ ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝΤ καὶ ι τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν β τῆς ΜΝT καὶ △Ζ τῆς ΞΝΟ, ἔσται ὡς ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα, οὕτως ἡγούμενον πρὸς τὰ δύο ἑπόμενα, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΖΙ, οὕτως ἡ συγκειμένη ἐκ τῆς ε συναμφοτέρου τῆς ΜΝT καὶ ι συναμφοτέρου τῆς ΞΝ0 πρὸς τὴν συγκειμένην ἐκ τῆς β τῆς ΟΝ καὶ μόνης τῆς ΝT καὶ τῆς β συναμφοτέρου τῆς ΜΝT ναὶ △Ζ τῆς ΞΝΟ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ συγκειένῃ ἐκ τῆς β τῆς ΜΝ καὶ △Ζ τῆς ΝΞ καὶ τῆς ΝΟ καὶ τῆς ΝT· οὕτως γὰρ εἴληπται καὶ ἀνωτέρω. Ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΝΞ, ΟΝT, καὶ ἐστὶν ὡς μὲν ἡ ΝT πρὸς TM, οὕτως εἰλημμένη τις ἡ ΡΙ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστι πρὸς τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ, τουτέστι τῆς M0, καὶ δεδειγμέναι εἰσὶν αἱ ἐν τῷ ῥητῷ ἀναλογίαι, ἔσται διὰ τὸ προειρημένον ἡ ΡΖ δύο πέμπτα τῆς MΝ, τουτέστι τῆς ΖB τρία ἄρα πέμπτα ἐστὶν ἡ ΒΡ τῆς ΒΖ. Ἡ ΒΡ ἄρα πρὸς ΡΖ λόγον ἔχει, ὃν τρία πρὸς δύο ὥστε κέντρον βάρους ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τμήματος τὸ Ρ σημεῖον. Ἐὰν δὴ λάβωμεν τὸ τοῦ △ΒΕ τμήματος τὸ X, τρία πέμπτα ἔσται ἡ ΒX τῆς ΒΗ. Γέγονεν οὖν ὡς ὅλη ἡ ΖB πρὸς ὅλην τὴν ΒΡ, οὕτως ἀφαιρεθεῖσα ἡ ΒΗ πρὸς ἀφαιρεθεῖσαν τὴν ΒΧ · ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν πρὸς ἑκατέραν λόγον ἔχει, ὃν πέντε πρὸς τρία καὶ ἡ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΗ πρὸς λοιπὴν τὴν ΧΡ λόγον ἕξει, ὃν πέντε πρὸς τρία. Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ὁ Α△ΕΓ τομεὺς πρὸς τὸ △ΒΕ τμῆμα, οὕτως ἡ ΜT πρὸς ΤΝ, ὡς δὲ ἡ MT πρὸς TΝ, οὕτως τὰ τρία πέμπτα τῆς ΗΖ ~~τουτέστιν ἡ Θ~~ ἤτοι ἡ ΧΡ πρὸς PΙ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ τομεὺς πρὸς τὸ τμῆμα, ἡ ΧΡ πρὸς ΡΙ. Καὶ ἀντιπεπόνθασιν ὅπερ τὸ Ρ κέντρον τοῦ ὅλου τμήματος τοῦ ἄρα τόμου κέντρον ἐστὶ τὸ Ι.