1. Τουτέστι κατὰ συνέχειαν p. 148, 18—19 οὐ τοῦτο ἔοικε λέγειν τὸ κατὰ συνέχειαν ἤγουν συνεχῶς καὶ ἐχομένως ἀεί· εἴη γὰρ ἂν ἐναντίον τῷ ἐν διαστήματι φέρεσθαι καὶ ἐκ διαστημάτων ταύτας ὑπάρχειν· λέγει δὲ κατὰ συνέχειαν τὸ ἐφεξῆς μεταπίπτειν καὶ μὴ πεπλανημένως, ἀλλὰ κατὰ μετάβασιν προϊούσας καὶ μεθισταμένας.

2. Ἔφερεν αἰτίας p. 148, 22 ἤγουν αἰτιάματα ὡς μὴ κατὰ λόγον λεγόμενον αἰτιώμενος αὐτό.

3. Οἷον γωνίαι p. 154, 2 κἀντεῦθεν ὅρα τὸ ἐν διαστήμασι τὰς ὄψεις φέρεσθαι, νόει δὲ ταῦτα τὰ διαστήματα βραχύτατα ὅσον οἷόν τέ ἐστι μάλιστα, ὅσον ταῖς πρὸς τῷ ὄμματι γωνίαις ἐγγίζει πορρώτερον τοῦ ὄμματος ἀεὶ μείζω γίνεται κέντρου γὰρ τοῦ ὄμματος νοουμένου ἀνάγκη τὰς ὄψεις κωνοειδῶς φέρεσθαι καὶ προϊούσας μᾶλλον ἀλλήλων σχίζεσθαι, ὃ καὶ δῆλον αἴτιον γίνεσθαι τοῦ πᾶν μέγεθος ἔχειν τι διάστημα, ἀφʼ οὗ οὐχ ὁρᾶται. μέχρι μὲν γὰρ ἔγγιον ὂν μεῖζον ᾖ τοῦ τῶν ὄψεων διαστήματος, ὁρᾶται, ἐπειδὰν 1. v1. 2. v1. 3. v1. 14. Ante πορρώτερον septem litterae, quas extricare nequeo. 15. ὄματος v1. Ante κέντρου comp incertum (ἐξ ἀνάγκης?). 16. ἀνάγκη] comp v1. δὲ πορρώτερον γενόμενον μείζονι ἑαυτοῦ διαστήματι τῶν ὄψεων ἐντύχῃ, ἤδη μηδαμῶς αὐτοῦ τῶν ὄψεων ἐφαπτομένων διὰ τὸ παρεμπεπτωκέναι τῷ διαστήματι αὐτῶν οὐχ ὁρᾶται.

Ad definitiones.

4. Τὰ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται οὐχ ἑαυτῶν, ἀλλὰ μείζονα δηλονότι, ἢ εἰ ἑωρᾶτο ὑπὸ ὀξείας γωνίας· οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν δύο τρίγωνα ἴσα τὰ ΒΓ∠, Β Κ Λ, μείζων δὲ ἔστω ἡ τοῦ ΒΓ∠ τριγώνου πρὸς τῷ Β γωνία, παῤ ὃ ἡ τοὺ ΒΚ Λ πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ. λέγω, ὅτι τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενον, παῤ ὃ τὸ ΚΒΛ, μεῖζον φαίνεται τοῦ ΚΒΛ διὰ τὸ τὴν ὑπὸ ΓΒ∠ γωνίαν εἶναι μείζονα τῆς ὑπὸ ΚΒΛ. ἢ τὸ μείζονα ἐνταῦθα τὸ συγκριτικὸν ἀντὶ ἁπλοῦ κεῖται ὡς εἶναι τὸ μείζονα φαίνεσθαι ἀντὶ τοῦ μεγάλα φαίνεσθαι, ὥσπερ τὸ ἐναντίον τὰ ὑπὸ ἐλάσσονος γωνίας θεωρούμενα μικρὰ φαίνεται καὶ τὰ ὑπὸ ἴσης ἴσα.

5. Μετεώρους μὲν ἀπλῶς ἀκτῖνας τὰς μακρὰς ὀνομάζει καὶ ὑψηλάς, μετεωροτέρας δὲ τούτων αὐτῶν πάλιν τὰς μακροτέρας τε καὶ ὑψηλοτέρας· οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τρία μεγέθη ἀλλήλων ἀπέχοντα ἱκανὸν διάστημα τὰ ΒΓ, ∠Ζ, Κ Λ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἐπʼ 4. V2 (ad def. 4). 5. V2 (ad def. 5). 1. Post γενόμενον del. . . . τῶν διαστήματος γενόμενον v1. 6. σχόλιον V2 7. δηλονότι] supra scr. m. 1 V2. 15. συγγριτικόν V2. αὐτὰ ὄψεις αἱ ΒΝ, ∠Ν, ΚΝ. λέγω, ὅτι ἴσων μεγεθῶν τούτων ὑποκειμένων καὶ ἀπὸ τοῦ Ν σημείου, καθʼ ὅ ἐστι τὸ ὄμμα, τῶν ἀκτίνων προσπιπτουσῶν μετεωροτέρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΝ ἀκτὶς τῆς ∠Ν, ἡ δὲ ∠Ν τῆς ΚΝ, καὶ ὁμοίως ἂν τοῦτο ὑπῆρχεν, εἰ καὶ ἕτεραι πλείους αὐτῶν ἦσαν.

6. Τουτέστιν ὅταν τὸ αὐτὸ διὰ πλειόνων γωνιῶν ὁρᾶται· τότε γὰρ ἐκ τῶν ὄψεων ἀκτῖνες αὐταῖς ἐρειδόμεναι διὰ πλειόνων ἂν λέγοιντο ὁρᾶν τὸ ὁρώμενον.

Ad prop. I.

7. Δεῖ γὰρ τὸ ὁρώμενον ἀπόστασίν τινα ἔχειν πρὸς τὸ ὄμμα· οὕτω γὰρ καὶ ὁραθήσεται, ὡς, εἴ γε μηδεμίαν ἀπόστασιν ἔχει, οὐχ ὁραθήσεται.

Ad propp. II.

8. Οὐ γὰρ ἂν εἴποιμεν p. 156, 17 εἰ γὰρ ἐλεύσονται διὰ τῶν Γ, ∠, γίνεται τρίγωνον ἔχον δύο ὑποτεινούσας, ὧν ἡ ἐκτὸς ὑποτείνουσα μείζων γίνεται τῆς ἐντός, ὑπετέθη δὲ ἴση.

9. Μὴ θορυβείτω γὰρ ἡμᾶς τοῦτο, ὅπως τὸ μὲν ΒΓ∠ τρίγωνον ἐπὶ πλέον ἠνέῳκται κατὰ πλάτος, τὸ δὲ ΒΚ Λ στενώτερόν ἐστι. πρῶτον μὲν γὰρ τοῦ στοιχειωτοῦ ζητοῦντος ἴσα καὶ παράλληλα νοεῖν τὰ φαινόμενα, εἴπερ τὸ ΒΚ Λ τρίγωνον κατὰ πάντα ἐφήρμοζε τῷ ΒΓ∠ τριγώνῳ, οὐκ ἂν ἦσαν δύο, ἀλλʼ ὡς ἓν ἐφαίνοντο ἀλλʼ οὐδὲ παράλληλα· νῦν δʼ οὕτως, ὡς 6. V2 (ad def 7). 7. M1 Rq ru (F t). 8. V2 q. 9. V2. 12. γὰρ καί]  καὶ γάρ Ru, γάρ r. 17. ἐκτὸς] e corr. V2. ἔχει, τεθέντων συμβαίνει τὴν ἔκθεσιν ἐφαρμόζειν αὐτοῖς· καὶ γὰρ παράλληλά τέ εἰσι τὰ τρίγωνα, καὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον πλεονεκτεῖ τῷ μήκει τῶν ΒΚ, ΒΛ γραμμῶν, καί ἐστι διὰ ταῦτα ἴσον τὸ ἕτερ

10. Ἐπτειδή, ὅσαι ἂν ἀκτῖνες ἐπὶ τὸ Γ∠ προσπέσωσιν, ἐξώτεραι ἔσονται τοῦ ΚΛ μὴ προσπίπτουσαι αὐτῷ· ὥστε ὑπὸ πλειόνων ὁρᾶται τὸ Γ∠.

11. Ἀλλὰ δηλονότι μέχρι τῶν Κ, Λ περάτων ἐλθοῦσαι στήσονται καὶ ἐφʼ ἑαυτὰς ἀνακλασθήσονται στηρίζουσιν, ἀλλʼ ὡς θ τι ἐπεὶ ἐγγύτερόν ἐστι τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον, καὶ πλείονες ὄψεις τούτῳ προσπεσοῦνται, καὶ ἀκολούθως ἀκριβέστερον ὁραθήσεται, τουτέστι μᾶλλον ἢ τὸ ἕτερον ὁραθήσεται.

12. Πλειόνων ὄψεων p. 156, 23 εἰ δὲ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων, καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν.

Ad prop. III.

13. Ἴσως εἴποι τις ἄν, ὡς, ἐπειδὴ οὐ μόναι αἱ ΒΓ, Β∠ προσπίπτουσιν ἀκτῖνες πρὸς τὸ Γ∠ μέγεθος, ἀλλὰ καὶ ἄλλαι πλεῖσται μεταξὺ τῶν Γ, ∠, ὅτε ἀφισταμένου τοῦ Γ∠ μεγέθους οὐ πίπτουσιν αἱ ΒΓ, Β∠ ἀκτῖνες, προσπεσοῦνται αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦσαι ἀκτῖνες. λέγομεν οὖν πρὸς τὸν οὕτω ἀπορήσαντα, ὅτι, εἰ καὶ πρὸς μικρὸν ἀφεστηκότος τοῦ Γ∠ μεγέθους οὐ προσβαλοῦσιν αἱ ΒΓ, Β∠ ἀκτῖνες, ἀλλʼ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου, καὶ ἐπὶ πλεῖστον ἀφεστηκότος τοῦ τοιούτου μεγέθους οὐδʼ αἱ μεταξὺ τοῦ μέσου προσπεσοῦνται διὰ τὸ πλατύνεσθαι τὸ μεταξὺ τῶν τοιούτων ὄψεων διάστημα 10. VM1 FR qst (ad p. 156, 23). 11. V2. 12. R1. 13. R (MAF qrstu, Vat. m. 2). 8—10 non intellego. 17. εἴποι] M qr, εἴπῃ RF rt. ἀφισταμένου τοῦ μεγέθους ὄντος ὡρισμένου παντὸς μεγέθους.

14. Τῶν γὰρ διαστημάτων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα, οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπʼ ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψονται.

Ad prop. IV.

15. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΚΒΖ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, ἴσαι δὲ ἔστωσαν αἱ ΒΓ, Γ∠, ∠Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΚ, ∠Κ. φημὶ δή, ὅτι ἡ Μ τῆς Ν μείζων ἐστίν, ἡ δὲ Ν τῆς Ξ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ∠Κ παράλληλος ἡ ΓΛ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ Κ Λ πρὸς τὴν ΛΒ. ἴση δὲ ἡ ∠Γ τῇ ΓΒ, ἴση ἄρα καὶ ἡ Κ Λ τῇ ΛΒ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β, μείζων ἡ ΓΛ τῆς ΛΒ, τουτέστι τῆς ΛΚ ὥστε καὶ γωνία ἡ Μ μείζων ἐστὶ τῆς Ο. ἀλλὰ ἡ Ο ἴση ἐστὶ τῇ Ν ἐναλλὰξ γάρ εἰσιν· καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Μ ἐλάσσων ἐστίν. πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΖΚ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Π φανερὸν δή, ὅτι ἡ Ρ μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. ὥστε πάλιν ὁμοίως δείξομεν, ὅτι ἡ Π ∠ μείζων ἐστὶ τῆς ΠΚ ὥστε καὶ γωνία ἡ Ν 14. R1. 15. V (Vat. qr); ad p. 158, 20. 1. ὁρισμένου R. 7. ὀρθογώνιον] ⊥ V. ὀρθήν] ⊥. V. 19. τῆς (pr.)] τῇ V? 21. Ante τῆς ras. 4 litt. V. ἐναλάξ V. 22. Μ] e corr. m. rec. V. ἐλάσσων] comp. corr. ex μείζων m. rec. V. 23. Ante Ρ eras. η v. τῆς Σ. ἀλλʼ ἡ Σ τῇ Ξ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ Ν ἄρα τῆς Ξ μείζων ἐστίν.

16. Ἔστω ἴσα διαστήματα ἐπὶ μιᾶς εὐθείας τὰ ΑΒ, ΒΓ, Γ∠, καὶ ἀνήχθω τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΕ, ἐφʼ ἧς κείσθω ὄμμα τὸ Ε. λέγω, ὅτι μεῖζον φανήσεται τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΒΓ, τὸ δὲ ΒΓ τοῦ Γ∠. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, Ε∠, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β σημείου τῇ ΓΕ εὐθείᾳ παράλληλος ἡ ΒΖ διὰ, τὸ δεύτερον τοῦ ἕκτου. λοιπὸν ἔσται ἴση ἡ ΑΖ τῇ ΖΕ. μείζων δὲ ἡ ΒΖ τῆς ΖΑ διὰ τὸ μείζονα γωνίαν ὑποτείνειν· μείζων ἄρα καὶ τῆς ΖΕ. μείζωον ἄρα καὶ ἡ Θ γωνία τῆς Κ. ἀλλὰ τῇ Κ ἴση ἡ Λ διὰ τὸ εἶναι ἐναλλάξ· μείζων ἄρα ἡ καὶ τῆς Λ. μεῖζον ἄρα ὀφθήσεται τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ. ὁμοίως διὰ τοῦ Γ ἀχθείσης παραλλήλου τῇ ∠Ε τῆς ΓΗ δειχθήσεται τὸ ΒΓ, ὅτι μεῖζον φανήσεται τοῦ Γ∠.

17. Διὰ τὸ τὴν ΛΓ ὑποτείνειν καὶ τὴν Μ μείζονα οὖσαν καὶ τῆς ΛΚ τῆς ὑποτεινούσης τὴν Ο, ἡ δὲ μείζων πλευρὰ τὴν μείζονα γωνίαν ὑποτείνει.

ἡ δὲ εἰς τὰς παραλλήλους εὐθείας ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ.

Ad prop. VI.

18. Κάθετος ἄρα ἐστίν p. 162, 3—4 πῶς ἡ ΚΜ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΜΛ, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἀπὸ 16. v 1 in mg. sup. (ad ipsam prop. 4 add ἑτέρα τούτου ἄνω ἀπόδειξις); est opt. uel. prop. lV. 17. q (ad schol. nr. 15 p. 255, 20 21). 18. R, q fol. 109 (add. ζήτει ἐν τῷ ζʹ θεω- ρήματι) (M 1 Arsu, Vat. m. 2). 24. Post ἐπεί add. ο (οὖν) R. τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἦκται ἡ Κ Α, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ἡ Κ Α ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἐπεὶ οὖν ἐπὶ τὴν ΖΛ κάθετος ἦκται ἡ ΑΜ, καὶ πρὸς τὴν ΑΜ ἡ ΚΑ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α καὶ ἐπὶ τὸ Λ ἡ ΑΛ· καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΑΛ ἡ ΑΚ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ἐπεὶ οὖν τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΛ γωνίαν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΛ. πάλιν ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΑΜΛ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΜΛ γωνίαν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΜ, ΜΑ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΜ, ΜΛ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΑ, ΑΜ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΜ· τρίγωνον γάρ ἐστιν ὀρθογώνιον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ, καὶ διὰ τὸ μηʹ τοῦ πρώτου τῶν Στοιχείων ἡ ὑπὸ ΚΜΛ γωνία ὀρθή ἐστιν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

19. Μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΜΚΛ κτλ. p. 162, 9 ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ μείζων ἐστίν, δείξομεν τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ὀρθογώνιόν ἐστι τρίγωνον τὸ ΚΑΜ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΚΑΜ γωνίαν, ὀξεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΚΜΑ· ὥστε ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΚΜΞ. ἀμβλυγωνίου οὖν τριγώνου τοῦ ΚΞΜ ἡ ΚΞ 19. Rq (M 1 AFrsu, Vat. m. 2). 9. ὑπό] corr. ex ἀπό R. τῆς] τοῦ R. ΚΛ] Κ e corr. R. 12. ΑΜΛ (alt.)] q, ΜΑΛ RM. 14. τῆς) q, τοῦ R. 17. τῇς] τοῦ R. 18. ΚΜ] ΚΑ R. 23. τοῦτον τὸν τρόπον] Rr; οὕτως q. 24. τρίγωνόν ἐστι q. 26. ΚΞΜ] ΚΜΞ q. ὑποτείνει τὴν πρὸς τῷ Μ ἀμβλεῖαν γωνίαν· μείζων ἄρα ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ. ἐπεὶ οὖν τρίγωνά εἰσιν ὀρθογώνια τὰ ΚΞΝ, ΚΜΛ ὀρθὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Ξ, Μ γωνίας, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ, ὁμοίως καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ. καί ἐστι τὰ ἀπὸ τῶν ΚΞ, ΞΝ μείζονα τῶν ἀπὸ τῶν ΚΜ, ΜΛ· ἡ γὰρ ΞΝ τῃ ΜΛ ἴση ἐστὶν ὡς παραλληλογράμμου τοῦ ΜΝ οὖσα ἀπεναντίον, ἡ δὲ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων. καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΝ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ μεῖζον· ὥστε καὶ ἡ ΚΝ τῆς ΚΛ μείζων. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΚΞ τῆς ΚΜ μείζων· ἴση δὲ ἡ ΞΝ τῇ ΜΛ· ἐὰν ἄρα τὴν ΜΛ ἐπὶ τὴν ΞΝ ἐφαρμόσωμεν, ἐντὸς πεσεῖται τὸ ΚΜΛ τρίγωνον τοῦ ΚΞΝ τριγώνου, καὶ διὰ τὸ καʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΜΚΛ τῆς ὑπὸ ΞΚΝ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

Ad prop. VII.

20. Γεγράφθω γὰρ περὶ τὸ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Κ∠, ΚΓ ἐπʼ εὐθείας ἐπὶ τὰ Ν, Ξ. καὶ ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ ὑπὸ Ζ∠Ν ὡς ἐκτὸς οὖσα, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ Ζ∠ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ∠Α. πάλιν ἐπεὶ ἀμβλεῖα δείκνυται ἡ Γ ὡς ἐκτὸς 20. V (Vat. q, p in textu post prop. VII); alia demonstratio est prop. VII; cfr. opt. uel. 5. ἴσον ἐστὶ τοῖς q. 6. καί — 7. ΚΜ, ΜΛ] om. q. 7. ΞΝ] ΞΜ q. 10. μείζων q. 13. ἐντὸς πεσεῖται] ἐμ- πεσεῖται q 18. γάρ] om. p. κύκλος] κύκλο V, corr. m. rec. 23. ὀρθάς] comp. m. rec. V, ut p. 259, 1. οὖσα, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη ἔσται ὡς ἡ ΓΜ. τούτων δὲ οὕτως ἐχόντων δειχθήσεται ἡ ΖΛΝ περιφέρεια μείζων τῆς ΞΒ περιφερείας ἐκ τοῦ παρακειμένου λήμματος τοῦ ἐν τῷ δʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν· ἴσας γὰρ περιφερείας ἀφαιροῦσιν αἱ κάθετοι. ὥστε καὶ γωνία ἡ Σ μείζων ἐστὶ τῆς Φ. ὥστε καὶ ἡ Ζ∠ μείζων φανήσεται τῆς ΓΒ.

21. Τὸ αὐτὸ θεώρημα ἔν τισι τῶν ἀντιγράφων εὕρηται οὕτως· τὰ ἴσα μεγέθη ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας ὄντα καὶ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις κείμενα ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται.

ἔστωσαν δύο μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς Α∠ μὴ ἐφεξῆς ἀλλήλοις ὄντα καὶ ἄνισον διεστηκότα ἀπὸ τοῦ ὄμματος τοῦ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ, Ε∠, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΕΑ τῆς Ε∠, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ∠Α. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ τῆς ΑΒ μείζων φανήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΕ∠ κύκλος ὁ ΑΕ∠, καὶ προσεκβεβλήσθωσαν αἱ ΕΒ, ΕΓ εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων ταῖς ΑΒ, ΓΔ πρὸς ὀρθὰς γωνίας αἱ ΒΘ, ΓΚ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒ, Γ∠ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ΒΘ, ΓΚ, ὡς δείξομεν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ∠ΓΚ ἐστιν ἴση, 21. q, similiter M1RFu: (τὸ η΄ ἄλλως M 1); est opt. uet. prop. VII. 4. λήματος V, corr. m. rec. Pro 8—11 M 1 Ru: ἔν τισι τῶν ἀντιγράφων (μετὰ τὴν πρότασιν add. Ru) ἔχει ἡ τοῦ θεω- ρήματος ἔκθεσις καὶ δεῖξις οὕτως (οὕτω Ru); iid. codd. ad πορρωτέρω . . . τεθέντα add. γρ. καὶ (om. Ru) μὴ ἐφεξῆς ἀλλή- λοις τεθέντα καὶ ἄνισον διεστηκότα τοῦ ὄμματος ἄνισα φαίνεται. 12. ἔστω δύο ἴσα MRFu. 19. αἱ — Η] ταῖς ΕΒ, ΕΓ εὐθιίαις εὐθεῖαι αἱ ΒΖ, ΓΗ MRFu. 22. εἰσί q. 23. ἡ] τῇ MRFu. ∠ΓK] ΑΓΗ  Fu. ἐστιν) om. MRFu. καὶ βάσις ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Θ τῇ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Κ ἴση ἐστίν· ὥστε καὶ περιφέρεια ἡ ΑΖΘ περιφερείᾳ τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση. ἡ Κ∠ ἄρα περιφέρεια τῆς ΑΖ μείζων ἐστίν. πολλῷ ἄρα μείζων τῆς ΑΖ ἡ ΗΚ∠. ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῆς ΑΖ βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΑΕΖ γωνία, ἐπὶ δὲ τῆς ΗΚ∠ περιφερείας βέβηκεν ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ γωνία· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕ∠ τῆς ὑπὸ ΑΚΖ μείζων ἐστίν. ἀλλʼ ὑπὸ μὲν τῆς ὑπὸ ΑΕΖ ἡ ΑΒ εὐθεῖα ὁρᾶται, ὑπὸ δὲ τῆς ὑπὸ ΗΕ∠ ἡ Γ∠· μειζων ἄρα ὁρᾶται ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ.

ὅτι δὲ ἡ ΒΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΓΚ, δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ἴση ἐστί, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν Α∠ αἱ ΘΒ, ΓΚ, παράλληλοί εἰσιν αἱ ΒΘ, ΓΚ εὐθεῖαι· προσεκβληθεῖσαι παράλληλοι ἔσονται. προσεκβεβλήσθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΘΟ, ΚΠ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Ρ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ μὲν τὰς ΘΟ, ΚΠ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΡΝ, ΡΞ, ἐπὶ δὲ τὴν Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΡΣ ἡ ΡΣ ἄρα δίχα τὴν Α∠ κατὰ τὸ Σ τεμεῖ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ὑπόκειται ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΣ τῇ ΣΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΣ τῇ ΝΡ ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ΣΓ τῇ ΡΞ ἴση 1. ἀπό (pr.)] corr. ex ὑπὸ R. 3. ἴση ἐστίν MRFu. ἡ] τῇ Fu. 4. τῆς (pr.)] hinc fol. eodem uerso F, add τοῦ Θ. ἐστί Fu. 7. ΗΕ∠ (alt.)] ΗΒ∠ Fu. 8. ὑπό (alt.)] om. MFu. 9. ὑπό (pr.)] ἐπί Ru. ὑπό (alt.)] om. M. Γ∠ Γ∠ εὐθεῖα MRFu. 10. ὁρᾶται] om. MRFu. AΒ] AB ὁρᾶται MRFu. 11. ἐστί ] om. MRFu. 12. ἐστί ] om. MRFu. 13. ΓΚ (pr.)] ΚΓΜ. corr. ex Γ∠ u. εἰσι q. ΓΚ (alt.) ΚΓ MRFu. 14. προσεκβληθεῖσαι — 18. δίχα] διήχθω πάλι διὰ τοῦ κέντρου τοῦ Ρ πρὸς ὀρθὰς τῇ Α∠ ἡ ΡΣ καὶ δίχα ἄρα MRFu. 19. ἀπόκειται u. 21. καί (pr.)] om. u. ἐστίν om. MRFu. ἴση ἐστίν (alt.)] παραλληλόγραμμα γὰρ τὰ ΒΡ, RG καὶ ἡ ΝR ἄρα τῇ ΝΞ ἴαη MRFu. ἐστίν. καί εἰσι πρὸς ὀρθὰς ταῖς ΘΟ, ΚΠ· αἱ ΘΟ, ΚΠ ἄρα ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ Ρ, καὶ διὰ τοῦτο καί εἰσιν ἴσαι. ὥστε καὶ αἱ ἡμίσειαι αὐτῶν αἱ ΘΝ, ΚΞ ἴσαι εἰσίν, ὧν αἱ ΒΝ, ΓΞ ἴσαι· καὶ λοιπαὶ ἄρα αἱ ΘΒ, ΚΓ ἴσαι εἰσίν.

Ad prop. VIII.

22. Ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι τοῦ γʹ βιβλίου τῶν Σφαιρικῶν εὑρήσεις ἔξωθεν σχόλιον, ὃ συμβαλεῖταί σοι εἰς τὴν παροῦσαν δεῖξιν.

23. Ἴαη δὲ ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ· ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΘΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΚΓ γωνίαν. ὡς δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ, οὕτως ἡ ΚΓ πρὸς ΚΖ διὰ τὸ τριγώνου τοῦ ΚΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν ἦχθαι τὴν ΘΖ καὶ ἰσογώνια εἶναι τὰ τρίγωνα.

24. Ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ p. 164, 12 ὡς ἀπὸ μείζονος διαστήματος γραφόμενος, ὅπερ ἐστὶν ἡ ΘΚ· μείζων γὰρ αὕτη τῆς ΚΖ· ὥστε ὑπερπεσεῖται τὴν ΚΖ ὡς ἐλάσσονα τῆς ΚΘ.

25. Οὕτως ἡ ΓΚ p. 164, 25] διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ ΒΓΚ τῷ ΘΖΚ καὶ ἔχειν ἀνάλογον τὰς πλευράς, ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, τὴν ΘΖ πρὸς τὴν ΖΚ. 22. V1q (ad Sphaericorum Theodosii III. 11 in iisdem codd. in mg. exteriore legitur lemma hoc: ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἤχθω τις ἡ Α∠. δεῖξαι, ὅτι ἡ Β πρὸς τὴν Β∠ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ Α ∠Β γωνία πρὸς τὴν ΑΓΒ). 23. V Vat F (pqu R). 24. q. 25. v 1. 1. αἱ — 2. ἴσον] ὡς δέδεικται· ἴσον ἄρα MRFu. 2. διά] περί MRFu. 3. ἴσαι εἰσίν MRFu. 4. ΒΝ] e corr. Ru. 11. ΘΖ] τὴν ΘΖ] p. ∠ΚΖ] e corr. q, Κ∠Ζ V p; Κ∠, Ζ∠ R Fu eras. pr. ∠ Vat. 12. γωνίαν] om. p. 13. ΚΖ] τὴν ΚΖ p. 14. εἶναι] ἐστι p. ὥστε καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ, τὴν ΓΚ πρὸς τὴν ΖΚ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΘΖ, καὶ ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΘΖ· ἴση γὰρ ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ. ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΘΖ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΖ.

26. Ὡς γὰρ αἱ γωνίαι, διʼ ὧν ὁρῶνται τὰ ὁρώμενα, ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως καὶ τὰ ὁρώμενα διὰ τῶν γωνιῶν πρὸς ἄλληλα ἔχειν φαίνονται. ὡς ἄρα λοιπὸν ἡ ΣΡ γωνία ἔχει πρὸς τὴν Ρ γωνίαν, οὕτως ἔχει φαίνεται καὶ τὸ ∠Ζ πρὸς τὸ ΒΓ. ἡ δὲ γωνία ἡ ΣΡ πρὸς τὴν Ρ γωνίαν ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπόστημα τὸ ΚΓ πρὸς τὸ ΚΖ. καὶ τὸ ∠Ζ ἄρα πρὸς τὸ ΒΓ μικρότερον φαίνεται παρὰ τὸ ΚΓ πρὸς τὸ ΚΖ.

Ad prop. Χ.

27. Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Η σημείου τῇ ΒΚ παράλληλος ἡ ΗΕ. ἐπεὶ οὖν αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν κατὰ τὰ Η, Λ, M σημεῖα ἤπερ πρὸς τὴν ΚΓ, καί ἐστι μετεωρότερον τὸ Η τοῦ Λ, τὸ δὲ Λ τοῦ Μ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η σημείου ἡ ΒΗΓ φέρεται ἀκτίς, διὰ δὲ τοῦ Λ ἡ ΒΛΖ, διὰ δὲ τοῦ Μ ἡ ΒΜ∠, μετεωροτέρα ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς Β∠.

28. Τὸ ι΄  ἐν ἄλλῳ οὕτως· ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Β ἄνω τοῦ ΓΚ ἐπιπέδου κείμενον, ἀφʼ οὗ ὄμματος προσ πιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΓ, Β∠, ΒΖ, ΒΚ, ὧν ἡ ΒΚ κάθετος ἔστω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. λέγω, ὅτι τὸ Γ∠ τοῦ ∠Ζ μετεωρότερον φαίνεται, τὸ δὲ ∠Ζ 26. M Vat. 1 Ru(F). 27. V Vat. (q). 28. q. 7. λοιπόν] λόγον Vat. 1. 9. ἡ (pr.)] εἰ Vat. 1. 10. Ρ] O u. ἤπερ) εἴπερ Vat. 1. 12. ΚΖ] ∠Ζ u. 15 τήν] ·/· V. τοῦ ΖΚ. εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΖΚ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΚ ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ αἱ ὄψεις πρότερον πρὸς τὴν ΗΕ προσπίπτουσιν ἤπερ πρὸς τὴν ΕΓ, προσπιπτέτω τῇ ΗΕ ἡ μὲν ΒΓ κατὰ τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ Β∠ κατὰ τὸ Λ, ἡ δὲ ΒΖ κατὰ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν τὸ Η τοῦ Λ μετεωρότερόν ἐστι, τὸ δὲ Λ τοῦ Μ, ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ Η, ἐν τούτῳ τὸ Γ, ἐν ᾧ δὲ τὸ Λ, ἐν τούτῳ τὸ ∠, ἐν ᾧ δὲ τὸ Μ, ἐν τούτῳ τὸ Ζ, διὰ δὲ τῶν ΒΓ, Β∠ ἡ ∠Γ φαίνεται, διὰ δὲ τῶν Β∠, ΒΖ ἡ Ζ ∠, διὰ δὲ τῶν ΒΖ, ΒΚ ἡ ΚΖ, οὐκοῦν ἡ μὲν Γ∠ τῆς ∠Ζ μετεωροτέρα φαίνεται, ἡ δὲ ΔΖ τῆς ΖΚ· τὰ γὰρ ὑπὸ μετεωροτέρων ἀκτίνων ὁρώμενα μετεωρότερα φαίνεται. τῶν ἄρα κάτω τοῦ ὄμματος κειμένων καὶ τὰ ἑξῆς.

Ad prop. XI.

29. Πάλιν ἐὰν ἀγάγῃς παράλληλον εὐθεῖαν διὰ τοῦ Γ, φανερὸν ἔσται ἀπὸ τῶν σημείων.

Ad prop. XII.

30. Τοῦτο ὡς ἀπὸ τοῦ Ϛʹ φανερώτερον γίνεται.

Ad prop. XIV.

31. Ἀντίστροφον· ἐκεῖ μὲν γὰρ ὑπὸ τοῦ ὄμματος ἐτέθη τὰ μεγέθη, νῦν δὲ ἄνω τοῦ ὄμματος.

Ad prop. XVI.

32. Ἀντίστροφον, ὡς εἰ νοηθείη τὸ σχῆμα μετατιθέμενον ἄνω κάτω.

29. V Vat. q. 30. V Vat. q. 31. V1. 32. V1. 4. ΒΓ] Β e corr. q. 21. ὑπό] ὑπότερον? V1.

Ad prop. XIX.

33. Ἐπὶ τὸ Β πέρας p. 176, 16 μετακινουμένου δηλονότι ἢ τοῦ ἐνόπτρου ἢ τοῦ ὁρῶντος· οὐ γὰρ κατὰ πρώτην τυχὸν ἐπιβολὴν τῆς ὄψεως κατʼ ἔμφασιν ὁραθήσεται παρὰ τῆς ὄψεως ἐν τῷ κατόπτρῳ τὸ ἄκρον τοῦ ὕψους.

34.Οὕτως γὰρ ἐνορῶμεν τῷ ἐσόπτρῳ, ἕως οὗ τὸ ἄκρον ἐν αὐτῷ τοῦ δοθέντος μεγέθους ἴδωμεν.

35. Ἐν τοῖς Κατοπτρικοῖς p. 176, 18 φησὶ γὰρ ἐκεῖσε ὁ Εὐκλείδης οὕτως· ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων αἱ ὄψεις ἐν ἴσαις γωνίαις ἀνακλῶνται. ἁρμόζει δὲ αὐτῷ καὶ τὸ ἐν τοῖς ὅροις τῶν Κατοπτρικῶν εἰρημένον· ἐνόπτρου τεθέντος ἐν ἐπιπέδῳ καὶ τὰ ἑξῆς.

Ad prop. XXI.

36. Ἐναρμόζω γὰρ ἐν τῷ μέσῳ διαστήματι τῶν ἀκτίνων μέγεθος ἀεὶ ἐναρμόζων, ἕως οὗ διὰ τῶν ἄκρων αὐτοῦ ἴδω τὰ ἄκρα τοῦ δοθέντος μεγέθους.

Ad prop. XXII.

37. Οὐδὲ γὰρ ἅμα βλέπει ὅλον, ἵνα συναίσθηται ὡς περιφεροῦς τοῦ ὁρωμένου.

33. Vat m. 2, rs. 34. V Vat. RFp (qrstu). 35. V2. 36. V Vat. pr(q). 37. RF, Vat. m. 2, u(t). 5. παρά] περί r. τὸ ἄκρον] r, om. Vat. s. 6. ὕψους] ὄψεως r. 7. σχόλιον add. p. οὕτως] οὕτω ptR. ἐσόπτρῳ] κατόπτρῳ p. 8. ἐν] corr. ex ἐ m. 2 V. εἴδωμεν V. 18. ἀεί] om. Vat r. ἐναρμόζων] om. r, lac relicta 19. εἴδῶ V. 21. ὅλον] ὡς F, om. Vat. 22. περιφεροῦς] περιφερείας Vat.

38. Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα γραμμὴ φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΓΒ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη, ἐν ᾧ καὶ τὸ ὄμμα τὸ Α, ἀφʼ οὐ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΒ, Α∠, ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΘ, ΑΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα φαίνεται. κείσθω τῆς περιφερείας τὸ κέντρον καὶ ἔστω τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΒ, Κ∠, ΚΕ, ΚΖ, ΚΗ, ΚΘ, ΚΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΚΒ εὐθεῖα ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΒ γωνίας ὁρᾶται, ἡ δὲ Κ∠ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑ∠, ἡ δὲ ΚΕ ὑπὸ τῆς ὑπὸ ΚΑΕ, μείζων ἄρα φανήσεται ἡ μὲν ΚΒ τῆς Κνήσεται, ∠ἡ δὲ Κ∠ τῆς ΚΕ. ὁμοίως καὶ ἐκ τοῦ ἑτέρου μέρους ἡ μὲν ΚΓ μείζων φανήσεται τῆς ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΚΗ. ἐπεὶ οὖν τὸ αὐτὸ συμβαίνει, ὅπερ ἂν καί, εἰ εὐθεῖα ὑπέκειτο ἡ περιφέρεια ἡ ΒΓ, συνέβαινε, τὸ τὰς ἴσας δηλαδὴ ἀνίσους φαί 38. MR(F, Vat. m. 2, Aqu). 1. ἄλλως τοῦ κγʹ ἡ δεῖξις M, ἄλλως τὸ κβʹ q. ἐάν] ἐὰν γάρ Vat. 1—3. om. Aq. 2. ἡ — 4. κύκλου] m. rec. Μ. 8. κείσθω] εἰλήφθω q. 16. εἰ] q, om. MR. ἡ ΒΓ περι- φέρεια q. περιφέρεια] γωνία MFR. νεσθαι καὶ μείζονα τὴν πορρωτέρω εὐθεῖαν παρὰ τὴν ἐφεξῆς, εὐθεῖα διὰ τοῦτο ἡ ΒΖΓ φαντάζεται περι φέρεια.

δυνατὸν δὲ τοῦτο δείκνυσθαι καὶ ἐπὶ τῆς κοίλης περιφερείας. εἰ γὰρ τὸ Κ ὑποτεθείη τὸ ὄμμα καὶ σημεῖον τυχὸν τὸ Α ἐκτὸς τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, εἶτα ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Α∠, ΑΕ, ΑΖ, ΑΗ, ΑΘ, ΑΓ καὶ ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Κ ὄμματος ἐπὶ τὰ Β, ∠, Ε, Ζ, Η, Θ, Γ σημεῖα, τῶν πρὸς τὴν κυρτὴν οὖν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη καὶ κατὴ φαντασίαν ὡς καὶ κατὰ ἀλήθειαν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου ὁραθήσεται, τῶν δὲ ἄλλων ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερον ἐλάττων ὁρᾶται, ὃ δὴ συμβαῖνον ὁρᾶται, καὶ εἴπερ ἡ ΒΖΓ περιφέρεια εὐθεῖα ὑποτεθείη καὶ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ ΑΖ· ὅθεν διὰ τοῦτο καὶ φαντασίαν εὐθείας ἀποστελεῖ ἡ περιφέρεια, καὶ μάλιστα εἰ ἀπὸ πλείονος φαίνοιτο διαστήματος, ὥστε μὴ συναισθάνεσθαι ἡμᾶς τῆς κυρτότητος.

διὰ τοῦτο καὶ οἱ μὴ πάντως ἀποτεταμένοι κάλοι ἐκ πλαγίου μὲν ὁρώμενοι ἀσχάλασμα ἔχειν δοκοῦσιν, ὑποκάτωθεν δὲ εὐθεῖς εἶναι, καὶ αἱ σκιαὶ δὲ τῶν κρίκων ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένων, ἐν ᾧ καὶ τὸ ὄμμα, εὐθεῖαι φαίνονται.

1. καί — πορρωτέρω] om. lac. rel. Vat. τήν (alt.) — 2. διά] q, τῆς ἐφʼ ἧς τὸ (dein. ras. M, spat. 2 litt. R) ἐστι MFRu. 6. τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου MR. 9. τά] supra scr R. Β] corr. ex K R. 10. τῶν] hinc etiam r. οὖν] q, om. MR. 11 καί ] om. r. 15. ὅ — ὁρᾶται] postea ins. q. 16. περιφέρεια ] γωνία R, om. M, γωνία τοῦ κύκλου r. 2125. om. A. 22. Scr. ἐγχάλασμα.

Ad prop. XXIII.

39. Ποιήσει δή p. 180, 22 διὰ τὸ πρῶτον τῶν Σφαιρικῶν.

40. Ἐφάψονται αἱ ΒΛ, ΒΖ p. 182, 2 ἔσχαται οὖσαι αἱ ἀκτῖνες τῶν ὁρώντων τὴν σφαῖραν.

41. Καὶ ἐπεὶ ἑκάστη κτλ. p. 182, 5 ἑκάστην τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθὴν συνάξουσιν εἶναι ἄλλοι μὲν ἴσως ἄλλως, ἐγὼ δὲ τοῦτον τὸν τρόπον. ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΚΖΒ, ΚΛΒ ἡμικύκλιόν ἐστιν, ἡ ΚΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΛΒ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΚΖ ἴση τῇ ΚΛ· ἴσαι γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ ΖΓ∠ κύκλου ὑποτείνουσιν αὐτάς· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια τῇ ΛΒ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ ΒΛ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΚΖΒ, ΚΛΒ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΒ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΒ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΒ τῇ βάσει τῇ ΛΒ ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΖΚΒ τῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΚΒ ἴσην ἕξει. πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΖΚΘ, ΛΚΘ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΘ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΘ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ, καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΘ βάσει τῇ ΘΛ ἴσην ἕξει. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΚΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν Ζ Λ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ.

39. V Vat. u. 40. V Vat. RF. 41. MR(Vat. m. 2, Frs). 5. αἱ ἀκτῖνες] om. R. 8. τόν] RF. om. M Vat. 9. ΚΛΒ] ΚΖΛ MR. 10 ἴση — περιφερείᾳ] R, om. V. 17. καί ( pr.)] μίν M. 23 κέντρου] K RF. 24. κέντρου] κ S ΖΛ] ΛΖ s. 25. τέμνῃ r.

42. Διὰ τὸ παράλληλον p. 182, 6 παράλληλος διὰ τοῦ κηʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων.

43. Ἅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς ἐπὶ τῶν ὁρωμένων γίνεται, ταῦτα καὶ διʼ ἀποδείξεων πιστώσασθαι βουλόμενος ὁ γεωμέτρης τῶν θεωρημάτων παραμυθίας ἀπὸ τῶν γραμμῶν κομίζει κύκλους ἀναγράφων ἐν ταῖς ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἀποπεμπομέναις ἀκτῖσιν καὶ ἐπίπεδα διὰ τῶν ὄψεων ἐκβάλλων καὶ ἕτερα τοιαῦτα ποιῶν, οὐχ ὅτι, ταῦτα μὲν ἐὰν γένηται, ἔσται ἀληθὴς ἡ τοιάδε αὐτοῦ πρότασις, καὶ καθʼ ὄν αὐτός φησι τρόπον θεωρήσουσι τὸ τοιόνδε σχῆμα αἱ ὄψεις, ἐὰν δὲ μὴ γένηται, ψευδής· ἡ γὰρ ἄν, εἰ τοῦτο οὕτως εἶχεν, ἐν τῇ πιθανότητι τῶν ἀποδείξεων ἔκειτο ἂν ἡ τούτων εὕρεσις μόνον, ἀλλʼ οὐκ ἐν τῇ φύσει τῶν ὁρωμένων, καὶ γραφομένων μὲν τῶν κύκλων ἢ τῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων ἑωρᾶτο ἂν τὸ ὁρώμενον, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, μὴ γινομένων δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐθεωρεῖτο τοιοῦτον, ὡς εἶναι μᾶλλον αὐτὸ διὰ τὴν ἀπόδειξιν οὕτως ἔχον ἢ διὰ τὴν φύσιν. τὸ δὲ οὐχ οὕτως ἔχει, ἀλλὰ ὅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς συμβαίνει πάσχειν ταῖς ὄψεσι προσβαλλούσαις τῷ τοιῷδε σχήματι οἷον κυλινδροειδεῖ ἢ κωνοειδεῖ ἢ σφαιροειδεῖ ἐπὶ πλέον ἀφισταμέναις ἢ προσεγγιζούσαις αὐτῷ, τοῦτο δὴ βουλόμενος ἀποδεικνύειν ὁ γεωμέτρης παραμυθεῖται τὴν ἀπόδειξιν διὰ 42. F Vat. 43. V2 ad prop. 24, p in textu inter propp 23 et 24. 1. παράλληλος ] om. F. 2. κηʹ — Στοιχείων] καʹ τῶν Εὐκλείδου F. 4. γίνωνται p. βουλόμενος] βούλεται p 5. τῶν θεωρημάτων] supra scr. V. 6. κομίζων p 7. ἀκτῖσι p. 13. τούτων] τῶν τοιούτων p. 20. προσβαλούσαις p. ἐπιπέδων τε καὶ κύκλων καὶ τοιούτων τινῶν, ἵνα κατὰ πάντα σύμφωνον αὐτὴν ποιήσῃ τοῖς ἐν τῇ γεωμετρίᾳ στοιχείοις καὶ παρασκευάσῃ τὸν ἀκροατὴν μετὰ πολλῆς ὅτι μάλιστα ἡδονῆς ἐγκύπτειν τοῖς θεωρήμασιν, ὥσπερ ἀμέλει καὶ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ἔστιν ἰδεῖν αὐτὸν ποιοῦντα καὶ γεωμετρίας καὶ τῶν ἄλλων μαθημάτων. ὅτι μὲν γὰρ δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσον ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ἀλλʼ οὐ δεῖ τοῦτο μόνον ἀπʼ αὐτῆς εἰδέναι τῆς αἰσθήσεως, ἵνʼ οὕτως εἴπω, ἀλλὰ καὶ διʼ ἀποδείξεως ἀσφαλεστέραν ἔχειν τὴν περὶ αὐτοῦ γνῶσιν. ὁμοίως δὲ καὶ τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιήσουσιν, καὶ φανερὸν ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως, ἀλλʼ οὐκ ἀπόχρη πρὸς ἐπιστήμην τὸ οὕτως εἰδέναι μόνον, ἀλλʼ ἔχειν τοῦτο ὁμολογούμενον ἔκ τινων προτέρων καὶ γνωριμωτέρων· τοῦτο δέ ἐστιν ἡ ἀπόδειξις. ὁ αὐτὸς τοίνυν λόγος ἐστὶ καὶ ἐπὶ τούτων, ὅτι φυσικῶς ἔχει ἡ ὅρασις οὕτως ὁρᾶν τὰ ὁρώμενα, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, ἵνα δὲ καὶ ἐπιστήμην αὐτῶν ἔχωμεν, πρὸς κατάληψιν ἀκριβεστέραν παραλαμβάνονται ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν αὐτῶν κύκλοι καὶ ἐπίπεδα καὶ ἄλλα τοιαῦτα.

χρὴ δὲ εἰδέναι, ὡς τοὺς κύκλους καὶ τὰ ἐπίπεδα, ὅταν μὲν ὁρῶμεν αὐτὰ τὰ σώματα οἷον σφαῖραν ἢ κύλινδρον, νοητῶς δεῖ ἀναγράφειν ἢ ἐκβάλλειν, ὅταν δὲ ἐν ἐπιπέδῳ, αἰσθητῶς ὡς ἐνταῦθα.

4. ἐγγύπτειν V. 6. μαθηματικῶν p. 7. μέσον] sic Vp. 10 διʼ] διά p. 13. ποιήσουσι p. 15. ἀλλʼ] ἀλλά p. 24. οἷον — 25 κύλινδρον] ins. ead. man. V.

Ad prop. XXIV.

44. Αἱ ΡΖ, ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται p. 184, 5 ἐφάπτονται ἄρα διὰ τὸ ἐν τῷ ιϚʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων πόρισμα.

Ad prop. XXVI.

45. Ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ p. 186, 7 χρὴ δὲ νοεῖν, ὅτι ἡ διάστασις τῶν ὀμμάτων παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου.

46. Τουτέστιν ἐπιζευχθεισῶν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα εὐθειῶν.

47. Ἔλασσον ἂν εἴη p. 186, 16 εἰ γὰρ τεθείη τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ, διὰ τὸ κγʹ τῶν Ὀπτικῶν ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος.

48. Τὸ ΖΝ∠ p. 186, 16 τουτέστιν τὸ ὑπὸ τοῦ κύκλου διοριζόμενον τοῦ περὶ τὴν ∠ΝΖ.

Ad prop. XXVIII.

49. Ὃν τρόπον ἐπὶ τοῦ κγʹ καὶ κδ΄ ἔδειξεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν δύο τούτων τοῦ κηʹ καὶ κθʹ, πλὴν ἐκεῖ μὲν ἐπὶ σφαίρας, ὧδε δὲ ἐπὶ κυλίνδρου.

Ad prop. XXX.

50. Κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν p. 192, 2 οὐχί, διότι ἔστι τις κῶνος μὴ ἔχων κύκλον τὴν βάσιν, τοῦτό φησιν, ἀλλὰ τὴν φύσιν τοῦ κώνου παραστῆσαι βουλόμενος.

44. Vat. RFu. 45. Vq. 46. V Vat.q; quid sibi uelit, nescio. 47. Vat. RF. 48. V Vat.q. 49. V1q. 50. R (Vat. A F q). 3. ἐν τῷ] supra scr. R. 14. τό] supra scr. m. rec. V. 15. περί ] comp. V, παρά q. ∠ΝΖ] ΑΝΖ V Vat. q. 17. οὕτω q.

51. Καὶ ἐπὶ τούτου καὶ τοῦ μετὰ τοῦτο ὁμοία ἡ δεῖξις πλὴν ἐπὶ κώνου.

Ad prop. XXXII.

52. Τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ p. 194, 19 τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου.

53. Οὐκοῦν συμπεσεῖται p. 196, 2 ἐπειδὴ κατὰ τὸ αὐτὸ ἄκρον ἄνω μὲν κατὰ τὸ Β, κάτω δὲ κατὰ τὸ Κ συνάπτονται.

Ad prop. XXXIII.

54. Ἔλασσον φαίνεται p. 196, 22 γρ. μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ἔλαττον δὲ φαίνεται, ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται, δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι.

55. Τουτέστιν ἵνα ἐπί τινος εὐθείας τὸ ὄμμα ᾖ, ἥτις παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν περιφέρειαν αὐτοῦ ἀγομένῃ εὐθείᾳ.

56. Ἴσὸν δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν κτλ. p. 198, 9 ἐὰν γάρ, καθὼς εἴρηται ἐν τῷ λαʹ θεωρήματι, ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπέσωσιν ἀκτῖνες πρὸς τὴν τοῦ κώνου περιφέρειαν ὡς αἱ ΝΤ, ΝΦ, καὶ ἀπὸ τῶν Τ, Φ ἐπὶ τὴν κορυφὴν τὴν ∠ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ὡς αἱ Τ∠, Φ∠, τὸ διὰ τῶν ΝΤ, Τ∠ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν ΝΦ, Φ∠ κοινὴν τομὴν ἕξει τὴν ∠Ν, ἐφʼ ἧς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα ὡς κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Θ, ἴσον ἀεὶ τοῦ 51. V1. 52. VR Vat. u. 53. VRVat. M1qtu. 54. Vat. RM1st. 55. VR(Vat.qrstu). 56. Vat.MAqrstu). ειερον Vat. s. δέ (pr.)] om. Vat. 14. ᾖ ] om. V. 15. παράλληλός] = R, ὀρθή s. 16. εὐθείᾳ] om. Rt. 18. γάρ] om. Mt. λαʹ] V, λγ΄ m. rec. 20. τῶν] τοῦ R. κώνου τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται διὰ τὸ λαʹ θεώρημα· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῆς ΛΣ.

Ad prop. XXXV.

57. Ὀρθὴ ἄν εἴη p. 20Ο, 23 ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Κ∠Β γωνία τῇ ΚΒ∠, ἡ δὲ ΚΖΒ τῇ ΖΒΚ, δύο ἄρα αἱ Β∠Κ, ∠ΖΒ δύο ταῖς ΖΒΚ, ΚΒ∠ ἴσαι εἰσίν. ὥστε αἱ τέσσαρες αἱ ΒΖΚ, Ζ∠Β, ∠ΒΚ, ΚΒΖ δύο τῶν ∠ΒΚ, ΚΒΖ, τουτέστι τῆς ∠ΒΖ, διπλασίονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ τέσσαρες δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ἐν τῷ τριγώνῳ γάρ εἰσι τῷ ∠ΖΒ. ὥστε ἡ ∠ΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.

58. Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς ἴσαι εἰσὶν αἱ ∠Κ, ΚΖ, ΚΒ, ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ Κ∠ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Β, Ζ. ὥστε ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ.

59. . δ γάρ εἰσιν ὡς τῆς ὑπὸ ∠ΒΖ διαιρουμένης ἐπεὶ ὡς ἐν τριγώνῳ τρεῖς εἰσιν. διὰ τοῦτο καὶ δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὥστε ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ ὀρθή ἐστι, διότι δ ἐφάνησαν ἐν τῷ τριγώνῳ, καὶ αὕτη ὡς δὶς λαμβανομένη ὀρθή ἐστιν.

60. Αἱ διάμετροι ἴσαι p. 202, 5 δῆλον δέ, ὅτι οὐ πᾶσαι πάσαις αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται, ἀλλὰ 57. VR(Vat. MFAqrstu). 58. VR(Vat. MFqrtu). eodem pertinet, quo nr. 57. 59, V 1 (ad τέσσαρες lin. 7) 60. V ( Vat. pqr). 1. διά — θεώρημα] om. A. λαʹ] mut. in λβʹ m. rec. V. 2. ὁμοίως — ΛΣ] om. s 5. ΚΒ∠] ΚΒΓ V, Κ∠Β R. 6. ∠ΖΒ] ∠ supra scr. V. ΚΒ∠ — 11. ἐστιν] om. A. 12 γάρ ] om. t. Post ἴσαι ras. 2 litt V. 14. τῶν] τοῦ R. 15. ∠ΒΖ ] ∠Μ dirempt. spat. 1 litt. R. 22. πάσαις αἱ] in ras. V. μία μιᾷ, οἷον τῇ ΕΓ ἡ ∠Β· αὕτη γὰρ μόνη δύναται ἴσας γωνίας περιέχειν μετὰ τῆς ΑΖ ταῖς περιεχομέναις ὑπὸ τῆς ΑΖ καὶ ΕΓ· τοῦτο δὲ διὰ τὸ μὴ εἶναι πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τὴν ΖΑ.

Ad prop. XXXVI.

61. Διήχθω γάρ p. 204, 17 μὴ πρὸς ὀρθὰς οὖσα δηλονότι τῇ ΓΑ.

62. Ἡ ΓΖ p. 204, 19 οὖσα δηλονότι τοῦ κύκλου.

63. Αῆμμα.

πῶς δὲ χρὴ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν τῇ κεκλιμένῃ εὐθείᾳ πρὸς τὸ ἐπίπεδον μίαν εὐθεῖαν ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ; οὐ γὰρ καὶ ἑτέραν δυνατόν· ὑποκείσθω γὰρ τὸ σχῆμα, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ. φανερόν, ὅτι ἡ ΑΛ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστίν. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΛ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΜ· ἥξει δὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ ΑΛ, τουτέστιν ἐν τῷ κύκλῳ. ἐπεὶ οὖν ἡ Β Λ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΛ ἐπίπεδα ὀρθά 61. RFM1. 62. Rt. 63. VR(Vat.MFqrstu): ad p. 204, 1: ἤχθω γὰρ ἡ μὲν κτλ. 2. τῆς] p, corr. m. rec. ex τήν V. 9. λῆμμα] V q, om. cett. 10. δέ ] om. Mt. κεκλημένῃ V, sed corr. 20. δή] e corr. V. 22. ΒΛ] Β e corr. V. ὀρθή] ἴση R. 23. ὀρθαὶ ἐστι] comp. V, ἴσα εἰσί R. ἐστι πρὸς τὸν κύκλον. ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΒΛ ἐπιπέδων ἐστὶ τὸ ΒΑΛ τρίγωνον· καὶ τὸ ΒΛΑ ἄρα τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον. καὶ τῇ κοινῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΜ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΑΜ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΛ ἐπίπεδον ὀρθή ἐστιν. καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς, οὔσας δὲ ἐν τῷ ΒΑΛ ἐπιπέδῳ, ὀρθή ἐστιὐ ἡ ΜΑ ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΑΒ ὀρθή ἐστιν.

64. Καὶ αὕτη μὲν ἡ ἀπόδειξις, εἰ μήτε πρὸς ὁρθὰζ ἡ Ε∠ τῇ ΓΑ διαχθῇ· τότε γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν δυνάμεθα κάθετον ἀγαγεῖν τὴν Γ Ζ, καὶ οὕτως ἡ ἀπόδειξις προχωρεῖ. εἰ δὲ ἡ Ε∠ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΑ διαχθῇ, δειχθήσεται πάλιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΕ ἐλάττων τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ἡ Βγ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ὥστε καὶ τὸ ΒΓΑ τρίγωνον τῷ Ε∠ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθάς ἐστι καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ ἡ Ε Α ἐν ἐνὶ τῶν ἐπιπέδων, ἡ ΕΑ ἄρα καὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τῷ ΑΒΓ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς καὶ ἡ ΒΑ· καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΒΑ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀξεῖα 64. R(Mtu); ad p. 204, 11: ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α κτλ. 1. τῶν ] corr. ex τῷ m. rec. V. ἐπιπέδῳ , corr. m. rec. 3. ὀρθόν] ἴσον R. 4 ὀρθάς] ἴσας R. 7. δέ] om. R. ὀρθή] ἴση R. 8. ἐστι R. 12 εἰ] ἡ Ru. ἡ (alt.)] om u. 13. διδαχθῇ u. 19. τῷ] τῷ Ε∠ u. 23. τῷ ΑΒΓ ] supra scr. R. δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. ἐλάττων ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΕ.

65. Ἀνάπαλιν ἄρα p. 206, 26 ἐπειδὴ εἶπεν· ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Ζ Α πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἰστέον τοῦτο, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς ταυτότητος τῶν λόγων πάντα σώζεται καὶ τὸ ἐναλλὰξ καὶ τὸ συνθέντι καὶ τὸ διελόντι καὶ τὸ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν, οἷον ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· ἐναλλὰξ ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· πάλιν ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· συνθέντι ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐπὶ δὲ τῆς ἑτερότητος τῶν λόγων πάντα μὲν τὰ ἄλλα σώζεται, τὸ δὲ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν οὐκέτι, οἷον ἐπεὶ. τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε, ἐναλλὰξ τόδε ἄρα πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ συνθέντι καὶ διελόντι. ἐπὶ δὲ τοῦ ἀντιστρέψαντι καὶ τοῦ ἀνάπαλιν οὐκέτι, ἀλλὰ τὸ ἐναντίον γίνεται οὕτως· τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε· ἀνάπαλιν τόδε ἄρα πρὸς τόδε ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε, ὡς ὧδε εἶπεν· ταῦτα δὲ ὁ Ἤρων διαρθροῖ.

66. Τὸ γὰρ αὐτὸ ἡ ΖΑ πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον τὸ ΑΒ.

65. VR(Vat. MAqu). 66. VR (Fqu Vat. 1). 6. πάντων R. 7. τό (pr.)] mut. in τῷ R, τῷ V. τό (sec.)] τῷ R, V, sed corr. τό (tert.)] τῷ V corr. ex τό R. 9. ἐναλλάξ — 11. τόδε (sec.)] om. R. 13. τῆς ] τῆς τῶν V. 14. τό (pr.)] corr. ex τῷ V. οὐκέτι] ἔτι in ras. V. 22. ὡς — διαρθροῖ ] om. A. ὡς] V, om. R Mu lac. rel. Vat. Ἥρων] V Vat., om. Mu lac. rel. R. 23. Supra scr. διὰ τὸ (τοῦ m. rec.) ζʹ τοῦ Ϛ΄ Εὐκλείδου V.

67. Πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν p. 208, 14 καὶ πρὸς αὐτὴν γὰρ ὀρθὰς ποιεῖν οὐ δύναται, ἐπειδή, ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ὑπόκειται δὲ αὐτῷ μὴ οὖσα πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ λϚ΄.

68. Καὶ πάντα ἄρα κτλ. p. 208, 17 διὰ τὸ δ΄ καὶ τὸ ιηʹ τῶν Στερεῶν τοῦ αʹ βιβλίου.

69. Ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα p. 208, 21 ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς Στερεοῖς θεώρημα· ἐὰν ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθὸν ᾖ, καὶ ἀπό τινος σημείου αὐτῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς πεσεῖται τῶν ἐπιπέδων.

70. Ἡ ΝΞ μείζων p. 210, 4 διότι ἴση ὑπετέθη τῇ ΕΖ τῇ ὑποτεθείσῃ μείζονι τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐὰν ἡ ΕΖ μείζων, καὶ αὕτη ὡς ἴση ταύτῃ.

71. Ἡ ΝΟ p. 21Ο, 11 ἡ ΝΟ γὰρ ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΛΣΜ τμήματος· ἡ γὰρ ΝΞ τῆς ΝΡ μείζων ἐστίν· ἐπὶ γὰρ τῆς ΝΞ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ ΛΣ· μείζων γάρ ἐστι τῆς ΛΝ. ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ τῷ ΛΞΜ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΛΜ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΛΞΜ κύκλου. ὑπόκειται δὲ ἡ ΝΞ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΕΖ, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων.

67. VR(MFVat.Aqru). 68. VR Vat. q. 69. VR (Vat. MAFqu). 70. V1. 71. VR(MF Vat. qru). 6. ἐν] ὡς ἐν A. 8. ιηʹ] η΄ R. 10. Στερεοῖς] om. lac. rel. Vat. θεωρήμασιν Fu. 11. αὐτῶν — τῶν] in ras. V. 13. τῶν ἐπιπέδων πεσεῖται A. 19 ἐπί ] ἐπεί r, V, sed corr. ΝΞ] Ξ in ras. V. 24. ΕΖ] Ζ in ras. V.

72. Ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ p. 210, 14 ἡ γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἐδείχθη ἐλάττων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ζ διαγομένων καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ γωνίας.

73. Μείζων δὲ ἡ Ο p. 212, τριγώνου γὰρ τοῦ ΛΡΠ ἐκτός ἐστι, καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Π. καί ἐστι ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο ἴση τῇ ὑπὸ ΗΕΘ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Π ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.

Ad prop. XXXVIII.

74. Τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου κειμένου.

75. Ὁμοίως δέ, κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὄν τῇ εὐθείᾳ, ἐφʼ ἧς τὸ ὄμμα, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

Ad prop. XL.

|76. Λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κτλ. p. 220, 2 τουτέστιν· ὅταν ἡ ∠Ζ τὴν θέσιν ἐν τῷ κύκλῳ ταύτην σχοίη, ἐλάττων ὀφθήσεται ἤπερ, ὅτε ἦν ἀναστᾶσα μὴ πρὸς ὀρθάς.

72. V Vat. 73. x m. 2, O m. 1 in textu inter ἐπιζευγνυμένη p. 212, 5 (del. m. 2 in mg. coll.). 74. RVat.; cfr. p. 216, 4 not. crit. 75. Rur(M1Ft. 76. V (R Vat. M1 AFqut). 3. διαγομένων] corr. ex διαγωνίων V. 5. ἡ πρός] Ο, ἐπεί x. 6. ἐστι] δέ? x. 7. ΗΕΘ] τῶν ΕΘΗ x. 9. τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου] τοῦ ⊙ κέντρου R. 11. Γ] R, om. ru. 12. τεθῇ] μετατεθῇ u. 13. μετακινεῖται Ru. τοῦ] om. u. 19. ὡφθήσεται V, sed corr.

77. Δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι p. 220, 12 εἰ γὰρ τοῦτο δειχθῇ, ὅτι ἐλάσσων ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ γωνίας, γνώριμον τὸ ζητούμενον ὡς διὰ τῶν ὅρων.

78. Ἀλλὰ δὴ ἔστω p.222, 21 ἐπεὶ εἶπεν, ὅτι· ἤτοι δὲ ἡ ∠Ζ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων, ὑπέθετο δὲ αὐτὴν μείζονα καὶ ἔδειξε τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ ἔλασσον, νῦν ὑποτίθεται τὴν ∠Ζ ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου καὶ δείκνυσι πάλιν τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ∠Ζ μεγέθους, ἐν δὲ τῷ ἐφεξῆς ὑποτίθεται τῆν ∠Ζ ἐλάσσονα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ πάλιν δείκνυσί τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ∠Ζ μεγέθους.

79. Ἀπὸ τῆς ΘΝ p. 224, 20 ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ὑπετέθη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ ΘΝ ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων θέλει εἶναι τῆς Ζ∠ τῆς ἐλάσσονος.

Ad prop. XLI.

80. Ὡς ἐπὶ τῶν ἄστρων.

81. Τὸ αὐτὸ δὲ συμβήσεται, καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένει, τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς περιφερείας μεταβαίνει.

82. Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τῶν δὲ ὁρωμένων ἴσων μενόντων καὶ πρὸς ὀρθὰς τῷ 77. V1. 78. V1. 79. V1q. 80. VRVat. FM1ptu. 81. R Vat. M1u. 82. V mg., signo * post prop. 41 (in cod. μζ΄; prop 42 in cod. μθ΄ est) insertum; in fine est: ζήτει τὸ θεώρημα εἰς τὸ κατεναντίον; est enim in pag. pr. folii sequentis. idem theor. habet q in textu post prop. 43, quae in q est νʹ (μθ΄ m. 2), numero μηʹ signatum (νʹ m. 2); ad prop. 41 (μζʹ q) add. ζήτει μη΄; prop. 42 est μθʹ, μηʹ m. 2. — De re cfr. opt. uel prop. 46, ubi u. fig. ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, τὰ ΑΒ, Γ∠ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται. ἐπεζεύχθω ἡ Β∠ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεθῇ, τὰ ΑΒ, Γ∠ ἴσα φαίνεται. κείσθω γὰρ ἐπὶ τοῦ Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΑ, ΖΓ, ΖΔ. ἴση ἄρα ἡ ΒΖ τῇ Ζ∠. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠ ὑπόκειται ἴση· δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΒΖ δυσὶ ταῖς Γ∠, ∠Ζ ἴσαι εἰσίν· καὶ γωνίας ὀρθὰς περιέχουσιν· βάσις ἄρα ἡ ΑΖ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΖ ∠ τῇ ὑπὸ ∠ΖΓ ἴση. ὥστε τὰ ΑΒ, ΓΔ ἴσα ὀφθήσεται. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η. λέγω, ὅτι ἄνισα ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, Η∠. μείζων ἄρα ἡ ΒΗ τῆς Η∠. ἀφῃρήσθω οὖν ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ Η∠ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗ∠. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΑΗΘ μείζων· ἐκτὸς γάρ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων. ὥστε καὶ ἡ Γ∠ μείζων τῆς ΑΒ φανήσεται.

Ad prop. XLIII.

83. Ἐφάψεται δή p. 228, 24 ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης, καὶ διὰ τοῦτο διὰ τὸ λδ΄ τοῦ γʹ τῆς Ἐπιπέδου ἐφάπτεται.

83. V.

84. Ἄλλως τὸ ν΄.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ Κ∠, εὐθεῖα δὲ πλαγία ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ∠Κ ἡ ΚΓ καὶ συμβαλλέτω τῇ ΒΓ κατὰ τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω τῶν ∠Γ ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἔστω τὸ ὄμμα τὸ Ζ, καὶ μετακεκινήσθω τὸ ὄμμα τὸ Ζ καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας τὸ Β. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ζ, Β ὁρώμενον ἄνισον φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, Ζ∠, ΚΒ, Β∠, καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΚΖ∠ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΚΖ∠, καὶ κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΓΚΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Η∠. ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΚΗΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ ὑπὸ ΚΖ∠ τῆς ὑπὸ ΚΗ∠· ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΟΚ φανερὸν τοῦτο· ἴση δὲ ἡ ὑπὸ ΚΗ∠ τῇ ὑπὸ ΚΒ∠, ἐπειδήπερ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί ἐστιν, καὶ ἡ ὑπὸ ΚΖ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΚΒ∠ μείζων ἐστίν.

ἔχομεν γάρ· τῶν ἐν τοῖς κύκλοις τετραπλεύρων αἱ ἀπεναντίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ τὸ ἀντίστροφον· ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, ὡς δείξομεν. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΓΚΗ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΒ∠, 84. V mg., q (prop. 43 in V est νʹ): cfr. opt. uet. prop. 42 ἄλλως. Lin. 21 sq. petinet ad ∠ΚΗΒ lin. 16, quo signo v refertur in Vq. 11. αἱ] q, m rec. V. 15. ΓΒ∠] e corr. m. rec V, Γ∠Β q. 16. τό] q corr. ex τῷ m. rec. V. 20. τῆς] q corr. ex τῆι V. κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΗΚ∠· αἱ ὑπὸ ΓΚΗ ἄρα ΗΚ∠ ταῖς ὑπὸ ΗΚ∠, ΗΒ∠ ἴσαι. ἀλλʼ αἱ ῦπὸ ΓΚΗ, ΒΚ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καὶ αἰ ὑπὸ ΗΚ∠, HΒ∠ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὥστε καὶ αἱ λοιπαί. ὅτι δέ, ἐὰν τετραπλεύρου αἱ ἀπεναντίον δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ὦσιν, ἐν κύκλῳ ἐστὶ τὸ τετράπλευρον, δέδεικται ἐν τῷ ὑπομνήματι.

Ad prop. XLV.

S5. Τὸ αὐτὸ τῷ νβ΄.

ἔστι τις τόπος κοινός, ἐν ᾧ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἴσα μεγέθη ἄνισα φαίνεται. ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ Β∠ καὶ ἐκβεβλήσθω. λέγω, ὅτι καθʼ ὁποιονοῦν τῆς Β∠ μέρος τεθῇ τὸ ὄμμα, τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσα φαίνεται. καί ἐστι αὐτόθεν δῆλον. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται. προσπιπτέτωσαν γὰρ ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ. καὶ γεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον κύκλος, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ, μείζων δὲ ἡ ΓΕ τῆς ΑΕ, μείζων ἄρα καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΒ τῆς ὑπὸ τῶν ΒΕ, ΕΓ. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡσαύτως δέ, κἂν μὲν ἐπὶ τῆς ΒΖ τεθῇ, ἴσα φαίνεται, ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ΒΗ, ἄνισα. ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τοῦ κύκλου μερῶν χωρὶς τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα, ἄνισα φαίνεται.

85. V q (post 45, νβ΄· V) (V in mg. inf.). 2. αἱ] comp. V, seq. ras. 3. αἱ] in ras. V. 9. τό] e corr. m. rec V. 17. αἱ] q, om. V ΑΕ ] q corr. ex ΑΒ m. rec V. 26. ζήτει τὸ θεώρημα ὄπιθεν V.

86. Ὅτι δὲ δυνατὸν τέμνεσθαι τὸ ἡμικύκλιον ὑπὸ τοῦ μείζονος τμήματος καὶ ποῦ, οὕτως ἔσται δῆλον· ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ περιγεγράφθω ἡμικύκλιον περὶ τὸ ΑΒ τὸ ΑΘΒ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΒΓ καὶ τῷ Β σημείῳ γωνία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒ∠, πρὸς δὲ τῷ Γ ἴση τῇ Β ἡ Γ. καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὸ ∠, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ ΑΘΒ, ὅ ἐστι τὸ Ε, ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ε, καὶ κείσθω τῇ ΒΖ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ, ΘΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΕ τῇ ΕΒ ἴση, κοινὴ δὲ ἡ Ε∠, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἐπεὶ καὶ ἡ ΘΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ ἐστιν ἴση, ἴση ἄρα ἡ Θ∠ τῇ ∠Β. ἡ δὲ ∠Β τῇ ∠Γ· ὥστε ὁ κέντρῳ τῷ ∠, διαστήματι δὲ τῷ ∠Θ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὸ ἡμικύκλιον καὶ διὰ τοῦ Β ἐλεύσεται.

Ad prop. XLIX.

87, Ἐκ τοῦ θεωρήματος φανερώτερον γίνεται τῷ συμπίπτειν αὐτά.

86. VR (Vat. Aqru, in textu t). 87. VR(FVat. qt). 1. δυνατόν] V Vat, δύναται R. 3. αἱ] om. VR. καί] om. R. 4. τό (pr.)] τά R Vat, V, sed corr. τό (alt.)] om. VR. 5. ἡ] eras V. 12. ὥστε] στε post lac. Vat. 13. ∠] supra scr. Vat. τῷ ∠Θ] R, τ ωδθ Vat, τῷ γδθ e corr. m. rec. V.

88. Φερομένων ὡς ἵππων τυχὸν ἀπὸ τῶν ἀριστερῶν ἐπὶ τὰ δεξιά.

Ad prop. L.

89. Οἷον πλοίων.

Ad prop. LI.

90. Ὡς ἐπὶ τοίχων.

Ad prop. LIII.

91. Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι.

φερέσθω γὰρ δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν τῶν Α∠, Β ὁμαλῶς· τὰς ἴσας ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ διελεύσεται. ἔστωσαν οὖν ἴσαι αἱ Α∠, ΒΕ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Z ὄμματος αἱ ΖΑ, Ζ∠, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἐλάττων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖ ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΖΕ, ἔλαττον ἄρα τὸ Α ∠ διάστημα τοῦ ΒΕ φανήσεται. ὥστε δόξει τὸ Α βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ Β.

88. V Vat (q). 82. VRFp. 90. V RF. 91. V R (Vat. Mqru, in textu post prop. 53 F add. numero νζʹ t). 1. ἵππων] ἴπῶ Vat. 6. τοίχων] τυχων V, corr. m. rec. 8. κρείττων αὕτη ἡ ἀπόδειξις FR. ἴσῳ] ἴσο V, sed corr τάχι V. 12. ὁμαλῶς) om. R. 17. ΑΖ∠] V, ΖΑ M postea add ∠ R. 19. ἄρα — 20. Β] om. M.

Ad prop. LIV.

92. Ἔστω ὁρώμενα τὰ Α, Γ ἐπὶ παραλλήλων ὄντα τῶν ΑΒ, Γ∠ εὐθειῶν. λέγω, ὅτι τὸ πόρρω τὸ Α καταλείπεσθαι δόξει. ἔστω γὰρ ὄμμα τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΓ, ΕΑ, Εσαν, ΕΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕ∠ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ τὸ Γ∠ φανήσεται. ὑπολείπεται ἄρα τὸ Α· δοκεῖ γὰρ βραδύτερον φέρεσθαι.

92. VR(Vat. qrtu). 2. ἐπὶ παραλλήλων] ἐπʼ εὐθείας V. 3. εὐθειῶν] ἴσων εὐθειῶν Vat. 9. τοῦ] ἡ τό, ἡ eras., V. τό] τοῦ V. 10. Post Α eras. ∠ V.