######OpenITI#


#META# author: al-Nayrīzī
#META# title: Šarḥ kitāb al-Uṣūl li-Ūqlīdis (al-maqālah al-ṯāliṯah)
#META# ed_info: Ed. Rasmus Olsen Besthorn and Johan Ludvig Heiberg (1905), Codex Leidensis 399, 1. Euclidis Elementa ex interpretatione alHadschdschadschii cum commentariis al-Narizii, Copenhagen: Libraria Gyldendaliana, vol. 3 pp. 2-148.
#META# coll_id: tlg1799.tlg001.alpheios-text-ara1-3

#META#Header#End#

### | [book 3]

### || [chapter 1: III Preface]
~~المقالة الثالثة من كتاب اوقليدس فى الاصول بسم الله الرحمن الرحيم

#
~~قال اوقليدس الدوائر المتساوية هى التى اقطارها متساوية
~~والخطوط التى تخرج من مراكزها الى الخطوط المحيطة بها متساوية
~~قال ايرن هذا القول مبين لانه اذا كانت الاقطار متساوية فان
~~الخطوط الخارجة من المراكز الى المحيطات تكون متساوية لان كل
~~واحد من تلك الخطوط نصف القطر وظاهر لنا انه اذا كانت الخطوط
~~المستقيمة الخارجة من المراكز الى المحيطات متساوية فان الدوائر
~~تكون متساوية لان رسوم الدوائر انما يكون بالبعد الذى بين
~~المراكز والمحيطات الذى هو نصف الاقطار. قال اوقليدس الخط
~~المستقيم المماس للدائرة هو الذى اذا لامس الدائرة واخرج فى
~~الجهتين جميعا لم يقطع الدائرة والدوائر التى يماس بعضها بعضا
~~هى التى اذا ماس بعضها بعضا لم تتقاطع. الخطوط المستقيمة
~~المساوية البعد عن المركز هى التى الاعمدة الخارجة من المركز
~~اليها متساوية واعظمها بعدا عن المركز هو الذى العمود الخارج
~~اليه اعظم.

PageV03P002

#
~~قال ايرن ان الرياضى اراد ان يبين البعد الذى بين
~~المراكز وبين الخطوط المستقيمة المساسة لذلك ذكر الاعمدة وذلك
~~انه قد يمكن ان نخرج من كل نقطة الى كل خط خطوط
~~كثيرة فاما البعد الذى بين النقطة وبين الخط فهو العمود
~~الخارج من تلك النقطة الى ذلك الخط. قال اوقليدس وقطعة
~~الدائرة هى الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقطعة قوس من
~~محيط الدائرة. وزاوية القطعة هى التى اذا علم على قوس القطعة
~~نقطة ما واخرج منها الى نهايتى قاعدة القطعة خطان مستقيمان
~~احاطا بها واذا كان الخطان المحيطان بالزاوية يحيطان بقوس
~~فان تلك الدائرة [الزاوية .scr] تسمى المركبة على تلك القوس.
~~قطاع الدائرة هو الشكل الذى يحيط به الخطان المستقيمان
~~المحيطان بالزاوية والقوس التى الزاوية متركبة عليها قال ايرن
~~يعنى بالقوس التى توتر الزاوية وانواع القطاع اثنان فمنها ما يكون
~~رؤسها على المراكز ومنها ما يكون رؤسها على المحيطات فاما التى
~~رؤسها [لا كان]ت على المراكز ولا على المحيطات فانها ليست
~~بقطاع لكنها ms01 تشابه القطاع قال اوقليدس قطع [الدو]ائر المتشابهة
~~هى التى زوايا[ها] متساوية او التى تكون الزوايا التى تقع فيها
~~متساوية. قال [اي]رن قد ينبغى ان نعلم انه كانت قطع الدوائر
~~متشابهة فان الزوايا المرسومة فيها متساوية وع[ند ?] ذلك اذا
~~كانت الزوايا التى تقع فى قطع الدوائر متساوية فان تلك القطع
~~متشابهة وانواع الاشكال هى هذه الدائرة وقطع الدائرة PageV03P004
~~والمنحدبة والهلالية اما الدائرة فهى الشكل الذى قد خصناه فى
~~الاشكال التى تحيط بها الخطوط المستقيمة واما قطعة الدائرة فهى
~~الشكل الذى يحيط به خط مستقيم وقوس من محيط الدائرة واذا
~~تقاطعت دائرتان فان القطعة المشتركة لهما تسمى المنحدبة
~~والقطعتان الباقيتان تسمى كل واحدة منهما هلالية. فتمت
~~المصادرة

#
~~اذا جاز خط مستقيم على دائرة يماسها من خارجها ولا
~~يقطع منها شياء فانه يقال له المماس للدائرة. واذا كانت الدوائر
~~تماس بعضها بعضا ولا تقطع واحدة منها الاخرى فانه يقال له
~~المتماسة. واذا كانت فى الدوائر خطوط فكانت الاعمدة التى
~~تخرج اليها من المركز متساو[ية فان ا]بعاد الخطوط من المركز
~~سوآء وابعدها هو الذى عموده اطول. والقطعة من الدائرة يحيط
~~بها خط مستقيم يقال له الوتر وطائفة من الخط المحيط يقال لها
~~القوس وزاوية القطعة يحيط بها خط الوتر وخط القوس. واذا
~~تعلمت نقطة على خط القوس واخرج منها خطان الى طرفى الوتر
~~فصار الوتر قاعدة لهما فان الزاوية التى على النقطة والخطان
~~يحيطان بها مركبة على القوس والشكل الذى يقال له القطاع هو
~~الذى يحيط به خطان يخرجان من المركز الى الخط المحيط والقوس
~~الذى بينهما والزاوية التى يحيط بها الخطان مركبة على مركز الدائرة
~~وقطع الدوائر اذا كانت زاويتا كل قطعة مساويتين لزاويتى القطعة
~~الاخرى فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فان زاويتى
~~كل قطعة مساويتان لزاويتى القطعة الاخرى. واذا كانت زوايا PageV03P006
~~القطع متساوية فالقطع متساوية واذا كانت القطع متساوية فالزاويا
~~متساوية. ع

### || [chapter 2: III 1] الشكل الاول من المقالة الثالثة

#
~~نريد ان نبين كيف نجد مركز دائرة مفروضة فننزل انها
~~دائرة اب ms02 ونريد ان نبين كيف نجد مركزها فننحرج فيها
~~وتر جد حيث شئنا من الدائرة ونقسمه بنصفين على نقطة ه
~~كما بينا قسمة تلك ببرهان يب من ا ونقيم على نقطة ه عمودا
~~ونخرجه فى كلتى الجهتين حتى ينتهى طرفاه الى محيط الدائرة
~~كما بينا اخراجه ببرهان يا من ا وليكن خط اب ثم نقسم
~~خط اب بنصفين على نقطة ح واقول ان نقطة ح مركز الدائرة
~~وانه لا يمكن ان يكون غيرها مركزا فان امكن ان يكون غير
~~نقطة ح هى المركز فليكن مركزها نقطة ط ونخرج خطوط طد
~~طه طج فلان خط جه مثل خط هد فانا اذا اخذنا خط هط
~~مشتركا يكون خطا جه هط مثل خطى ده هط ولان نقطة ط
~~رسمت على انها مركز الدائرة يجب ان يكون خط طج مثل خط طد
~~فببرهان ح من ا فان زاوية جهط مساوية لزاوية دهط واذا قام خط
~~مستقيم على خط مستقيم فكانت الزاويتان اللتان عن جنبتيه
~~متساويتين فان الخط القائم عمود عليه وكل واحدة من الزاويتين PageV03P008
~~قائمة فزاوية جهط اذا قائمة لكن زاوية جهح قد تبين انها هى
~~القائمة [فزا]وية جهط الصغرى مثل زاوية جهح العظمى هذا خلف
~~لا يمكن فليست نقطة ط اذا بمركز للدائرة وكذلك سائر النقط
~~التى تفرض فى الدائرة حيث فرضت منها غير ممكن ان تكون مركزا
~~للدائرة سوى نقطة ح معما قد تبين من وجودنا لمركز الدائرة
~~قد تبين ايضا ان كل وترين يقسم احدهما الاخر بنصفين وعلى
~~زوايا قائمة فان عليه يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين.
~~تبين انه لا يكون وتران فى دائرة يقطع احدهما الاخر بنصفين
~~على زاوية قائمة الا وهو يجوز على مركز الدائرة.

### || [chapter 3: III 2] الشكل الثانى من المقالة الثالثة

#
~~اذا فرض على محيط دائرة نقطتان كيف ما وقعتا ووصل بينهما
~~بخط مستقيم فان الخط المستقيم الذى يصل بين النقطتين
~~يقع داخل الدائرة مثاله انا نفرض على دائرة اب نقطتى جد ونخرج
~~خط جد مستقيما ms03 فاقول انه وقع داخل دائرة اب برهانه انه غير
~~ممكن ان يقع خارجا عن الدائرة فان امكن فليقع على مثال خط
~~جهد ونطلب مركز الدائرة بحسب برهان الشكل الاول من
~~هذه المقالة وننزل انها نقطة ز ونصل بين نقطتى جز
~~ونقطتى زد ونخرج من نقطة ز الى محيط دائرة اب خطا مستقيما
~~كيف ما وقع وننزل انه خط زب وننزل انا قد انفذناه الى نقطة ه
~~فان كان كما انزلنا ان خط جهد مستقيم فمن البين ان مثلث PageV03P010
~~جهدز متساوى الساقين لان ساق جز مساو لساق زد لانهما
~~خرجا من المركز الى المحيط فزاوية زجه مثل زاوية زده وبحسب يو
~~من ا فان زاوية زهج الخارجة من مثلث زده اعظم من زاوية زده
~~الداخلة فزاوية زهج اذا اعظم من زاوية زجه لكن بحسب برهان
~~يط من ا يكون ضلع زج الموتر للزاوية العظمى اعظم من ضلع
~~هز الموتر للزاوية الصغرى لكن خط زج مساو لخط زب فخط زب اذا
~~اعظم من خط زه الاصغر اعظم من الاعظم هذا خلف غير ممكن
~~وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 4: III 3] الشكل الثالث من المقالة الثالثة

#
~~اذا اجيز على مركز دائرة خط مستقيم فقطع خطا اخر مستقيما
~~ليس على المركز بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان قطعه
~~على زوايا قائمة فانه يقطعه بنصفين مثاله ان دائرة اب مركزها
~~نقطة ز وقد اجيز على ز خط اب وقد قطع خط جد على نقطة ه
~~فاقول ان كان قطعه بنصفين فانه يقطعه على زوايا قائمة وان
~~قطعه على (على) زوايا قائمة فانه يقطعه بنصفين برهانه انا ننزل
~~اولا انه قطعه بنصفين على نقطة ه ونخرج [من ن]قطة ز المركز خطى
~~زج زد فلان خط جه مثل خط هد وناخذ هز مشتركا فان خطى
~~جه هز مثل خطى ده هز [فق]اعدة جز مثل قاعدة دز لانهما خرجا
~~من المركز الى المحيط فبحسب برهان ح من ا تصير زاوية جهز
~~[مس]اوية لزاوية دهز وبحسب مصادرة ا ms04 اذا قام خط مستقيم على
~~خط مستقيم فكانت الزاويتان الل[تان ع]ن جنبتى الخط القائم PageV03P012
~~متساويتين فان كل واحد من الزاويتين يقال لها قائمة فزاويتا
~~جهز دهز كل واحد[ة من هم]ا قائمة فقد تبين ان خط اب لما قطع
~~خط جد بنصفين قطعه على زوايا قائمة وننزل ايضا ان خط اب
~~قد قطع خط جد على نقطة ه على زوايا قائمة فاقول انه قد قطعه
~~بنصفين برهانه ان مثلث جزد متساوى الساقين ساق زد مثل
~~ساق زج لانهما خرجا من المركز الى المحيط فبحسب برهان ه
~~من ا فان زاوية زجد مساوية لزاوية زدج وقد كنا بينا ان زاوية
~~جهز القائمة مثل زاوية دهز فزاويتا زجه زهج مساويتان لزاويتى زده
~~زهد فبحسب برهان لب من ا تبقى زاوية جزه مساوية لزاوية دزه
~~فاذا اخذنا خط زه مشتركا فانه يكون ضلعا جز زه مساويين
~~لضلعى دز زه وزاوية جزه قد تبين انها مثل زاوية دزه فبحسب
~~برهان د من ا تكون قاعدة جه مثل قاعدة ده فقد تبين ان خط
~~اب قد قطع خط جد بنصفين وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 5: III 4] الشكل الرابع من المقالة الثالثة

#
~~اذا تقاطع خطان فى دائرة على غير المركز فانهما لا يتقاطعان
~~على انصافهما مثاله ان خطى جد هز قد تقاطعا فى دائرة اب على
~~نقطة ح وليس واحد منهما يجوز على المركز فاقول انهما لم يتقاطعا
~~على انصافهما وانه غير ممكن ذلك فان امكن ان يجوز على غير
~~المركز ويقطع احدهما الاخر بنصفين فليتقاطعا على انصافهما
~~ولننزل ان موضع التقاطع نقطة ح ونستخرج مركز دائرة اب كما
~~بين ذلك ببرهان ا من ج وليكن نقطة ط ونصل بين نقطتى طح PageV03P014
~~بخط مستقيم فمن اجل انه قد خرج من نقطة ط التى هى المركز
~~خط طح المستقيم وقسم خط جد بنصفين فبحسب برهان ج من
~~ج فان خط طح عمود على خط جد فزاوية دحط اذا قائمة وايضا
~~فان خط طح عمود على (من المركز ms05 الى) خط زه وقسمه بنصفين
~~على نقطة ح فبحسب برهان ج من ج فان خط طح عمود على
~~خط هز فزاوية زحط اذن قائمة وقد تبين ان زاوية دحط ايضا
~~قائمة فزاوية زحط اذن مساوية لزاوية دحط العظمى مثل الصغرى
~~هذا خلف فقد تبين ان خطى جد هز لا يتقاطعان على انصافهما
~~على غير المركز فقد بقى ان يكون تقاطعهما على المركز لان
~~الخطوط الخارجة من المركز الى محيط الدائرة متساوية وذلك ما
~~اردنا ان نبين

### || [chapter 6: III 5] الشكل الخامس من المقالة الثالثة

#
~~اذا تماست دائرتان فانهما لا تكونان على مركز [واحد] مثاله
~~ان دائرتى اب اج قد تماستا على نقطة ا فاقول انهما لا تكونان على
~~مركز واحد. برهانه ان امكن ان تكونا على مركز واحد فلننزل انهما
~~على مركز د ونخرج خط اد ونخرج من نقطة د خطا الى دائرة اب
~~كيف اتفق وليكن خط دب فمن اجل ان نقطة د مركز لدائرة اج
~~فمن البين ان خط اد مساو لخط [د]ج وايضا فلان نقطة د مركز
~~لدائرة اب وقد خرج منها خطان الى المحيط وهما خطا اد [دب]
~~فخط اد اذن مساو لخط دج والمساوية لشىء واحد فهى متساوية
~~فخط دب اذن مساو لخط دج الاعظم مساو للاصغر هذا خلف PageV03P016
~~غير ممكن وذلك ما اردنا ان نبين قال ايرن انما قدمنا المتماسة
~~على المتقاطعة لان المماسة قبل التقاطع.

### || [chapter 7: III 6] الشكل السادس من المقالة الثالثة

#
~~اذا تقاطعت دائرتان فانهما ليستا على مركز واحد مثاله ان
~~دائرتى ازج ادج تقاطعتا على نقطتى اج فاقول ان دائرتى ازج ادج
~~ليستا على مركز واحد برهانه انه ان امكن فليكن مركزهما واحدا
~~وننزل انه نقطة ه ونخرج من نقطة ه الى نقطة ا خط ها فمن البين
~~انه قد انتهى الى محيط الدائرتين جميعا ونخرج خط هد الى محيط
~~دائرة ادج كيف اتفق اخراجه فمن اجل ان نقطة ه مركز دائرة ازج
~~يكون خط ها مساويا لخط هز وايضا فمن اجل ms06 ان نقطة ه مركز
~~لدائرة ادج يكون خط ها مساويا لخط هد وقد تبين ان خط ها
~~مساو لخط هز والمساوية لشى واحد فهى متساوية خط هد اذن
~~مساو لخط هز الاعظم مثل الاصغر هذا خلف غير ممكن وذلك ما
~~اردنا ان نبين

### || [chapter 8: III 7] الشكل السابع من المقالة الثالثة

#
~~اذا فرض على قطر دائرة علامة ما ليست بمركز الدائرة واخراج
~~من تلك العلامة الى محيط الدائرة خطوط مستقيمة فان اعظم
~~الخطوط الذى عليه مركز الدائرة واصغرها باقى القطر واما الخطوط
~~الاخرى فما قرب منها من المركز كان اعظم مما بعد منها عنه
~~وخطان فقط عن جنبتى القطر متساويان مثاله ان دائرة ابجد PageV03P018
~~قطرها جد ونفرض عليه نقطة لا تكون على المركز ولتكن نقطة ه
~~والمركز نقطة ط ونخرج من نقطة ه الى محيط الدائرة خطوطا كم
~~شئنا وكيف وقعت ولتكن خطوط ها هح هز فاقول ان اطول هذه
~~الخطوط كلها الخط الذى عليه المركز وهو خط هج واقصرها خط
~~هد والباقية فما قرب منها من نقطة ط فهو اعظم مما بعد عنها.
~~اقول ان خط هز اعظم من خط هح وخط هح اعظم من خط ها
~~برهانه انا نخرج من نقطة ط خطوط طز طح طا فمن اجل ان
~~نقطة ط مركز فان خط طز مساو لخط طح وناخذ خط هط مشتركا
~~فخطا هط طز مساويان لخطى هط طح وزاوية هطز اعظم من
~~زاوية هطح فبحسب برهان ڪد من ا فان خط هز اعظم من خط
~~هح لكن خط طز مساو لخط طج فخط هط مع خط طز مساو لخط
~~هج وخط هط مع خط طز اعظم من خط هز وذلك ببرهان ڪ من ا
~~فخط هج اذن اعظم من خط هز وقد تبين ان خط هز اعظم من
~~خط هح وبمثل هذا البرهان والاستشهاد يتبين ان خط هح اعظم
~~من خط ها وايضا فان خطى اه هط اعظم من خط اط لكن خط
~~اط مساو لخط دط فاذا ms07 خطا اه هط اعظم من خط دط فاذا اسقطنا
~~خط هط [الم]شترك بقى خط اه اعظم من خط هد فقد تبين ان اطول
~~هذه الخطوط كلها خط هج الذى على [عليه .scr] المركز [و]اصغرها
~~تمام القطر الذى هو خط هد والباقى فما قرب من المركز اعظم
~~مما بعد عنه اعنى [ان] قد تبين ان خط هز اعظم من خط هح
~~وخط هح اعظم من خط اه. واقول انه يخرج من [نقطة] ه عن
~~جنبتى القطر الذى هو خط دج الى محيط الدائرة خطان متساويان PageV03P020
~~برهانه انا نخرج من نقطة [ه الى] قوس دڪج خطوطا مستقيمة مساوية
~~لخطوط ها هح هز فنعمل على نقطة ط من خط طج زاوية مثل زاوية
~~اطه كما بينا عمله ببرهان ڪج من ا ولتكن زاوية بطه ونعمل عليها
~~ايضا زاوية مثل زاوية حطه وننزل انها زاوية ڪطه وايضا زاوية مثل
~~زاوية زطه ولتكن زاوية لطه ونخرج خطوط هب هڪ هل فمن اجل
~~ان نقطة ط مركز الدائرة فان خطوط طا طڪ طل تكون متساوية
~~ولانا عملنا زاوية بطه مساوية اطه فانا اذا اخذنا خط طه مشتركا
~~يكون خطا هط طب مساويين لخطى اط طه وزاوية اطه مساوية
~~لزاوية هطب فبحسب برهان د من ا يكون خط اه مساويا لخط هب
~~وتبين ايضا ان خط هڪ مساو لخط هح لانا عملنا زاوية هطڪ
~~مساوية لزاوية حطه فضلعا حط طه مساويان لضلعى ڪط طه وزاوية
~~حطه مثل زاوية ڪطه فخط هح مساو لخط هڪ وبمثل هذا البرهان
~~والاستشهاد يتبين ان خط طز مساو لخط طل فقد تبين ان
~~خطين عن جنبتى القطر متساويان وذلك ما اردنا ان نبين
~~فاقول انه غير ممكن ان نخرج من نقطة ه الى قوس دڪج خطوط
~~مساوية ها هح هز غير خطوط هب هڪ هل فان امكن فلنخرج مثل
~~خط هم ونصل مط فخط طم مساو لخط طا لانهما اخرجا من المركز
~~الى المحيط فناخذ خط هط مشتركا فخطا مط طه مساويان ms08 لخطى
~~اط طه وقاعدة هم مساوية لقاعدة ها فبحسب برهان ح من ا تكون
~~زاوية مطه مساوية لزاوية اطه لكنا عملنا زاوية بطه مساوية لزاوية
~~اطه فزاوية مطه اذن مساوية لزاوية بطه العظمى مثل الصغرى هذا PageV03P022
~~خلف غير ممكن وبمثل هذا البرهان يتبين انه لا يمكن [ان
~~نخرج من نقطة ه] الى قوس جڪد خطوط غير هب هڪ هل يساوى
~~خطوط ها هح هز وذلك ما اردنا ان نبين. قال ايرن هذا الشكل
~~قد بين فيه الرياضى ان الخطوط القريبة من المركز اعظم من
~~البعيدة عنه بان صير الخطين فى جهة واحدة من المركز فان فرص
~~لنا خطان من جنبتى المركز احدهما اقرب اليه من الاخر فانا
~~نبين ان اقربهما اليه اعظم من ابعدهما عنه بهذا العمل.
~~نفرض دائرة ابج وقطرها بج ومركزها د نفرض على بج نقطة
~~ه ونخرج منها الى المحيط ها هز ونجعل ها اقرب الى المركز من هز
~~فاقول ان ها اعظم من هز برهانه انا نخرج من د عمودى دح دط
~~وخطى دا دز فلان اه اقرب الى المركز من زه فبحسب مصادرة هذه
~~المقالة يكون عمود دط اعظم من عمود دح فمربع خط دط اعظم
~~من مربع خط دح فمن اجل ان كل وا[حدة] من زاويتى دطه دحه
~~قائمة فببرهان مو من ا فان مربع دط مع مربع طه مساو لمربع ده
~~وكذلك مربع دح مع مربع حه مساو لمربع ده فمربع دط مع مربع
~~طه اذن مساو لمربع دح مع مربع حه ولكن مربع دط قد تبين انه
~~اعظم من مربع دح فيبقى اذن مربع هح اعظم من مربع هط فخط
~~هح اذن اعظم من خط هط. وايضا فلان زاويتى احد زطد كل
~~واحدة منهما قائمة فببرهان مو من ا يكون مربع زط مع مربع طد
~~مساويا لمربع دز ومربع اح مع مربع حد مساويا لمربع اد لكن خط PageV03P024
~~اد مساو لخط دز لانهما خرجا من المركز الى المحيط فمربع اح
~~اذن مع ms09 مربع حد مساو لمربع زط مع مربع طد وقد تبين
~~ان مربع دط اعظم من مربع دح فاذا اسقطناهما بقى مربع اح
~~اعظم من مربع زط فخط اح اذا اعظم من خط زط وقد بينا ان
~~خط هح اعظم من خط هط فخط ها اذن اعظم من خط هز وذلك
~~ما اردنا ان نبين. وقال ايرن ايضا فان كان الخط الذى يخرج
~~من علامة د عمودا على خط هز لا يقع على خط هز لكن على الخط
~~المتصل به على استقامة كعمود دح فمن اجل ان خط دز مساو
~~لخط دا لانهما خرجا من المركز الى المحيط ومربعى دط طا
~~مساويان لمربع اد ومربعى دح حز مساويان لمربع دز فان مربعى
~~دح حز مساويان لمربعى دط طا لكن مربع دح اعظم من مربع
~~دط فاذا اسقطناهما بقى مربع اط اعظم من مربع حز فخط اط
~~اذن اعظم من خط زح فاذا اسقطنا من خط حز خط حه وزدنا
~~على خط اط خط طه فمن البين ان جميع خط ها اعظم من خط
~~هز بكثير وذلك ما اردنا ان نبين

### || [chapter 9: III 8] الشكل الثامن من المقالة الثالثة

#
~~اذا فرضت نقطة خارج دائرة واخرج منها الى الدائرة خطوط
~~مستقيمة احدها يجوز على المركز والاخر كيف ما وقعت من محيط
~~الدائرة فان اعظمها هو الذى يجوز على المركز واصغرها الذى يصل PageV03P026
~~بين النقطة وبين القطر واما الخطوط الاخر فما كان منها يقطع
~~الدائرة ويلقى اخمصها فان ما قرب منها من قطر الدائرة فهو
~~اعظم مما بعد عنها وما كان منها لا يقطع الدائرة ولكن يلقى
~~حدبتها فان ما بعد عن القطر منها يكون اعظم مما قرب منه
~~وقد يخرج من تلك النقطة عن جنبتى القطر الى الدائرة خطان
~~من التى تلقى اخمصها ومن التى تلقى حدبتها متساويان
~~مثاله انا نفرض دائرة اب ونفرض (من) نقطة ج خارجها ونخرج
~~خطوط جد جه جز جا تقطع الدائرة وتلقى اخمصها الذى هو قوس
~~دا وخطوط جط ms10 جڪ جل تلقى حدبته التى هى قوس حل وخط
~~جد يمر بنقطة م التى هى المركز فاقول ان اعظمها من التى تقطع
~~الدائرة خط جد والباقية فما قرب من خط جد هو اعظم مما بعد
~~عنه وما بعد عن خط جد [من] الخطوط التى تلقى حدبة الدائرة
~~اعظم مما قرب منه واقصر الخطوط كلها خط جح وقد تخرج [من]
~~ج عن جنبتى خط جد الذى هو القطر خطوط تقطع الدائرة وتلقى
~~اخمصها يكون خطان منهم عن جنبتى القطر متساويين برهانه
~~انا نخرج خطوط ما مز مه فخطوط ما مز مه مد متساوية لانها
~~خرجت من المركز الى المحيط ومن اجل ان كل مثلث فان
~~كل ضلعين من اضلاعه اذا جمعا [كانا] كخط واحد هو اعظم من
~~الضلع الثالث فبحسب برهان ڪ من ا فان خط جم مع خط مه
~~اعظم من خط جه لكن خط مد مساو لخط مه فخط جد اذا اعظم
~~من خط جه ولان ضلعى جم مه من مثلث جمه مساويان لضلعى
~~جم مز من مثلث جمز وزاوية جمه بين انها اعظم من زاوية جمز PageV03P028
~~فبحسب برهان ڪد من ا تكون قاعدة جه اعظم من قاعدة جز
~~وكذلك يتبين ان خط جز اعظم من خط جا فقد تبين ان اعظم
~~الخطوط جد وان جه الاقرب الى جد اعظم من جز الابعد وان جز
~~اعظم من جا فاقول ايضا ان خط جط الذى هو ابعد من خط جد
~~اعظم من خط جڪ الاقرب وجڪ اعظم من جل واقصرها كلها
~~خط جح برهانه انا نخرج خطوط مط مڪ مل فمن اجل ان كل
~~مثلث فان ضلعين من اضلاعه كخط واحد اعظم من الضلع
~~الثالث فان مل لج اعظم من مج لكن مل مثل مح فاذا اسقطناهما
~~بقى لج اعظم من حج ومن اجل مثلث مڪج قد خرج من
~~طرفى ضلع من اضلاعه وهو ضلع مج خطان فالتقى طرفاهما
~~على نقطة ل داخل المثلث فان بحسب برهان كا من ا ms11 يكون خط
~~مل مع خط لج اصغر من خط مڪ مع خط ڪج لكن خط مڪ
~~مثل خط مل فاذا اسقطناهما بقى خط جڪ اعظم من خط جل
~~وكذلك يتبين ان خط جط اعظم من خط جڪ فقد نبين ان
~~اعظم هذه الخطوط جط واقصرها دح [جح .s] وان جط اعظم من جڪ
~~وجڪ اعظم من جل وجل اعظم من جح واقول ايضا انه قد تخرج
~~من نقطة ج خطوط عن جنيتى خط جد تقطع الدائرة وتلقى
~~اخمصها كل خطين خطين نظيرين منها متساويان برهانه انا
~~نعمل على نقطة م من خط جم زاوية مثل زاوية جمه كما بين
~~عملها ببرهان كج من ا ولتكن زاوية جمب فلان خط مب مساو
~~لخط مه ونخرج خط جم مشتركا يكون خطا جم مب مساويين
~~لخطى جم مه وزاوية جمب عملت مساوية لزاوية جمه فبحسب برهان PageV03P030
~~د من ا تكون قاعدة جه مساوية لقاعدة جب وكذلك لو اردنا ان
~~نخرج خطين اخرين يكون الذى يتلو خط جب مساويا لخط جز
~~والرابع مساويا لخط جا لعملنا على نقطة م من خط جم زاويتين
~~مثل زاويتى جمز جما ثم نصل بين نقطة ج وبين طرف الخط
~~الذى عملت الزاوية عليه من محيط الدائرة فاقول انه غير ممكن
~~ان يخرج من نقطة ج الى قوس دبح خط اخر مساو لخط جه غير
~~خط جب ولا خط اخر مساو للخطوط الاخر سوى الخطوط التى
~~خرجت فان امكن فليكن جس ونخرج خط مس فمن اجل ان
~~خط مب مساو لخط مس لانهما خرجا من المركز فانا اذا اخذنا
~~خط جم مشتركا يكون خط جم مع خط جب مثل جم مع جس
~~وزاوية جمب اعظم من زاوية جمس فبحسب برهان ڪد من ا
~~يكون جب اعظم من جس وكنا فرضناهما متساويين هذا خلف
~~فليس يمكن اذن ان يخرج من نقطة ج الى قوس دبح خط
~~مستقيم مساو لخط جب ولا لسائر الخطوط المساوية لخطوط جه جز
~~جا واقول ايضا ms12 وقد تخرج من نقطة ج خطوط عن جنبتى خط
~~جح تلقى حدبة الدائرة ويكون كل خطين خطين نظيرين عن
~~جنبتى خط دح متساويين برهانه انا نعمل على نقطة م من خط
~~جم زاوية مثل زاوية جمل ولتكن زاوية جمع ونصل جع فخط مع
~~مساو لخط مل لانهما خرجا من المركز وناخذ جم مشتركا فخطا
~~عم مج مثل خطى لم مج وزاوية عمج عملت مساوية لزاوية لمج
~~فقاعدة جل مثل قاعدة جع وبمثل هذا العمل نخرج من نقطة ج
~~الى تقبيب سح خطوطا مساوية لخطوط جڪ جط واقول انه غير PageV03P032
~~ممكن ان يخرج من نقطة ج الى تقبيب سح جط اخر مساو لخط
~~جع فان امكن فليكن مثل خط جف ونصل بين نقطتى مف فمن
~~اجل ان مثلث جمف قد خرج من طرفى ضلع من اضلاعه خطا
~~جع مع والتقى طرفاهما داخل المثلث على نقطة ع فمن البين
~~بحسب برهان كا من ا ان [خط] جف مع خط فم اعظم من خط
~~جع مع خط عم لكن خط مف مساو لخط مع لانهما خرجا من المركز
~~الى المحيط فاذا اسقطناهما بقى خط جف اعظم من خط جع وكنا
~~فرضناهما متساويين وهذا خلف غير ممكن فقد تبين انه غير
~~ممكن ان يخرج من نقطة ج خط يلقى تقبيب حس مساو لخط حع
~~ولا لسائر الخطوط التى هى نظاير لخطوط جل جڪ دط (جط .s)
~~وذلك ما لردنا ان نبين.

#
~~قال ايرن من اجل ان الرياضى برهن على هذا الشكل بان
~~صير الخطوط فى الجهة الواحدة فينبغى ان نبرهن ببرهان اخر كما
~~فعلنا فى الشكل المتقدم فنقول انه اذا فرض خطان مستقيمان
~~عن جنبتى القطر احدهما اقرب الى المركز والاخر ابعد عنه فان
~~اقربهما اليه يكون اعظم من ابعدهما مثال ذلك انا نفرض دائرة
~~ابج ونخرج قطرها وهو خط بج على استقامة الى نقطة د ونخرج
~~من د الى دائرة ابج خطين اخرين مستقيمين عن جنبتى القطر
~~وهما خطا دا ده وخط دا ms13 اقرب الى المركز من خط ده فاقول ان
~~خط اد اعظم من خط ده برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بينا
~~اخراجه ببرهان ا من ا وليكن نقطة ز ونخرج من نقطة ز الى خطى
~~اد ده عمودى زح زط كما تبين اخراجه ببرهان يب من ا فمن اجل PageV03P034
~~ان خط اد اقرب الى نقطة ز من خط ده فان عمود زح اصغر من
~~(مجموع) عمود زط وايضا فمن اجل ان مربع خط دح مع مربع
~~خط زح مساو لمربع خط دز وذلك بحسب برهان مو من ا وكذلك
~~مربع خط دط مع مربع خط طز مساو لمربع خط دز فمجموع مربعى
~~دح حز مس[او] لمجموع مربعى دط طز لكن مربع خط حز اصغر
~~من مربع خط طز فاذا اسقطناهما بقى مربع خ[ط دح] اعظم من
~~مربع خط دط فخط دح اعظم من خط دط وايضا فان خط از مثل
~~خط زه [لانهم]ا خرجا من المركز الى المحيط لكن مجموع مربعى
~~خطى زح اح مساو لمربع خط از ومجموع مربعى خطى زط طه مساو
~~[لمربع] خط زه فمجموع مربعى خطى زط طه اذا مساو لمجموع مربعى
~~خطى زح حا لكن مربع خط زح اصغر من مربع خط زط فاذا
~~اسقطناهما بقى مربع خط اح اعظم من مربع خط طه وكنا بينا
~~ان خط دح اعظم ايضا من خط دط فخط دا اذا اعظم من خط
~~ده وذلك ما ارذنا ان نبين. ونبين ايضا ان الخطوط التى تلقى
~~تقبيب الدائرة ما كان منها اقرب الى الخط الذى بين العلامة
~~وبين القطر يكون اصغر من ما كان منها ابعد عنه ونفعل ذلك
~~ايضا فى خطين مستقيمين يكونان عن جنبتى الخط الذى بين
~~العلامة والقطر فننزل ان الدائرة ابج وقطرها خط بج
~~ونخرج خط بج على استقامة الى نقطة د ونخرج من نقطة د الى
~~تقبيب الدائرة خطى ده دز ونجعل خط ده اقرب الى خط دج من
~~خط دز فاقول ان خط ms14 ده اصغر من خط دز برهانه انا نخرج خطى
~~ده دز الى اخمص الدائرة فليخرجا الى نقطتى اح ونطلب مركز PageV03P036
~~الدائرة وهو نقطة ط ونخرج من نقطة ط عمودى طڪ طل ونصل
~~بين نقطتى طه ونقطتى طز بخطى طه طز فمن اجل ان زاوية دهط
~~خارج مثلث هڪط وزاوية هڪط قائمة فان بحسب برهان يو من ا
~~تكون زاوية دهط اعظم من زاوية هڪط فزاوية دهط اذن منقرجة
~~وكذلك يتبين ان زاوية دزط منفرجة فمثلثا دهط دزط منفرجا
~~الزاوية وكل زاوية منفرجة فان مربع الضلع الذى يوتر الزاوية
~~المنفرجة مساو لمجموع المربعين الكائنين من الضلعين المحيطين
~~بالزاوية المنفرجة مع ضعف السطح الذى يحيط به احد الضلعين
~~المحيطين بالزاوية المنفرجة الذى يقع على استقامة العمود والخط
~~الذى بين العمود وطرف الزاوية المنفرجة وذلك بحسب برهان يب
~~من ب فالمربعان الكائنان من ضلعى ده هط مع ضعف السطح
~~الذى يحيط به خطا ده هڪ مساو لمربع خط دط وكذلك مجموع
~~مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل
~~مساو لمربع خط دط فمجموع مربعى خطى دز زط مع ضعف السطح
~~الذى يحيط به خطا دز زل مساو لمجموع مربعى خطى ده هط مع
~~ضعف السطح الذى يحيط به خطا ده هڪ فمن اجل ان هڪ مساو
~~لخط ڪا وخط زل مساو لخط لح وذلك بحسب برهان ج من ج
~~فانه بحسب برهان ا من ب يكون ضعف السطح الذى يحيط به
~~خطا ده هڪ مساويا للسطح الذى يحيط به خطا ده ها وكذلك
~~ضعف السطح الذى يحيط به خطا دز زل مساو للسطح الذى يحيط
~~به خطا دز زح فالسطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع
~~الكائن من خط ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حز زد مع PageV03P038
~~المربع الكائن من خط دز لكن بحسب برهان ج من ب فان
~~السطح الذى يحيط به خطا اه هد مع المربع الكائن من خط ده
~~مساو ms15 للسطح الذى يحيط به خطا اد ده وكذلك السطح الذى
~~يحيط به خطا حز زد مع المربع الكائن من خط دز مساو للسطح
~~الذى يحيط به خطا حد دز فالسطح اذن الذى يحيط به خطا
~~اد ده مساو للسطح الذى يحيط به خطا حد دز وقد بينا ان خط
~~اد اعظم من خط حد لانه اقرب الى المركز فخط ده اذن اصغر من
~~خط دز وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 10: III 9] الشكل التاسع من المقالة الثالثة

#
~~كل نقطة فى داخل دائرة يخرج منها الى الخط المحيط بالدائرة
~~اكثر من خطين وتكون كلها متساوية فان تلك النقطة
~~مركز لتلك الدائرة. مثاله ان فى داخل دائرة اب نقطة ج وقد
~~خرج منها الى الخط المحيط بالدائرة اكثر من خطين وهى كلها
~~متساوية وهى خطوط جب جد جه فاقول ان [نقطة] ج مركز لدائرة
~~اب برهانه انا نخرج خطى بد ده ونقسم كل واحد منهما
~~بنصفين على نقطتى زح ونخرج خطى جز جح وننفذهما فى
~~الجهتين جميعا الى محيط الدائرة وهما خطا اط ڪم فمن اجل ان
~~خط بز فصلناه مساويا لخط زد فاذا اخذنا زج مشتركا فان
~~خطى جز زب مساويان لخطى جز زد وقاعدة جب مساوية لقاعدة
~~جد فان بحسب برهان ح من ا فان زاوية جزب مساوية لزاوية جزد
~~وكل واحدة منهما اذا قائمة فبحسب ما تبين فى وجود مركز PageV03P040
~~الدائرة انه متى قسم خط بد بنصفين واخرج مثل خط اط عمودا
~~على خط بد فان على خط اط يكون مركز الدائرة فمركز الدائرة
~~اذا على خط اط وبمثل هذا البرهان وهذا الاستشهاد يتبين ان
~~مركز الدائرة على خط ڪم فمن الظاهر ان المركز على النقطة التى
~~عليها تقاطع خطا اط ڪم فمركز الدائرة على نقطة ج فنقطة ج
~~اذن مركز للدائرة وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 11: III 10] الشكل العاشر من المقالة الثالثة

#
~~لا يمكن ان تقاطع دائرة دائرة اخرى على اكثر من موضعين
~~فان امكن فلتقاطع دائرة ms16 اب دائرة جد على اكثر من علامتين
~~وليكن على علامات ه ز ح ونخرج خطى هز زح ونقسم كل واحد
~~منهما بنصفين على نقطتى ڪ ل ونجيز على نقطتى ڪ ل خطى
~~اب جد يقطعان خطى هز زح على زوايا قائمة بحسب ما بين ببرهان
~~يا من ا فمن اجل ان خط زح فى دائرتى اب جد وقد قسم
~~بنصفين على علامة ل واخرج عليه خط الب على زاوية قائمة
~~فبحسب ما بينا فى برهان ط من ج فان مركز دائرتى اب جد
~~على خط اب. وايضا فان خط هز وقع فى دائرتى اب جد وقد
~~قسم بنصفين على نقطة ڪ واخراج خط جڪد على زوايا قائمة
~~على خط هز فمركز دائرتى اب جد على خط جڪد فمركز الدائرتين
~~على خطى اب جد فهما اذن على الفصل المشترك للخطين فهما PageV03P042
~~على نقطة ن فنقطة ن مركز لدائرتى اب جد وقد تبين ببرهان ه
~~من ج ان كل دائرتين تتقاطعان فليس مراكزهما بواحد
~~فليس يمكن ان تقاطع دائرة دائرة الا فى موضعين وذلك ما اردنا
~~ان نبين.

#
~~قال ايرن نبين هذا بالشكل التاسع فنقول ان امكن ان
~~تقاطع دائرة دائرة على اكثر من علامتين فلتقاطع دائرة ابجد
~~دائرة بجهز على اكثر من علامتين اعنى على علامات ب ج ه ز
~~ونستخرج مركز دائرة ابجد كما بين اخراجه ببرهان ا من ج
~~و[نفرضه] على علامة ط ونخرج خطوط طب طج طه فمن اجل ان
~~نقطة ط مركز ابجد فان خطوط ط[ب] طج طه تكون متساوية
~~ولان نقطة ط داخل دائرة بجهز وقد خرج منها الى محيطها
~~خطوط متساوية اكثر [من] خطين فبحسب برهان ط من ج تكون
~~نقطة ط مركزا لدائرة بجهز وهى ايضا مركز لدائرة ابجد فدائرتان
~~[ت]قاطعان مركزاهما نقطة واحدة هذا خلف لانا قد بينا ببرهان
~~ه من ج ان هذا غير ممكن وذلك ما ردنا ان نبين.

### || [chapter 12: III 11] الشكل الحادى عشر من المقالة الثالثة

#
~~كل دائرتين تماسان فالخط ms17 الذى يجوز على مركزيهما يقع
~~حيث تتماسان مثاله ان دائرتى اب اج تتماسان على نقطة ا و مركز
~~دائرة اب نقطة ه ومركز دائرة اج نقطة ن فاقول ان الخط المستقيم
~~الذى يجوز على نقطتى هن يقع على نقطة ا لا يمكن غيره فان PageV03P044
~~امكن ان يجوز على مركزيهما ويقع على غير نقطة التماس فليقع كخط
~~هزحط ونخرج خطى اه از فبحسب برهان ڪ من ا يكون ضلعا
~~از زه مجموعين اعظم من ضلع اه لكن خط از مساو لخط زح
~~لانهما خرجا من المركز الى المحيط ونجعل خط هز مشتركا فخط
~~هح اذن اعظم من خط ها وخط ها مثل خط هط لانهما خرجا من
~~المركز الى المحيط فخط هح اذن اعظم من خط هط الاصغر اعظم
~~من الاعظم هذا محال فقد ظهر ان الخط الذى يجوز على نقطتى
~~هن ليس يقع على موضع اخر غير نقطة ا وذلك ما اردنا نبين.
~~قال ايرن ان الرياضى فرض فى هذا الشكل الدائرتين متماستين
~~من داخل فنبين نحن ذلك وان كانت المماسة من خارج فلنفرض
~~دائرتى اب جد تتماسان على نقطة ج وليكن مركز دائرة اب نقطة
~~ن ومركز دائرة جد نقطة ه فاقول ان الخط المستقيم الذى يجوز على
~~نقطتى هن يمر بنقطة ج برهانه انه لا يمكن غيره فان امكن
~~فليكن الخط الذى يمر بنقطتى هن لا يجوز على نقطة ج ولكن ليمر
~~بموضع اخر كخط زطڪح ونخرج خطى جز جح فيحدث مثلث
~~جزح فبحسب برهان ڪ من ا يكون ضلعا زج جح مجموعين
~~اعظم من ضلع زح لكن خط جح مساو لخط حڪ وخط زط مساو
~~لخط زج فمجموع خطى زج جح مساو لمجوع خطى حڪ زط فاذن
~~مجموع خطى حڪ زط اعظم من خط زح الاصغر اعظم من الاعظم
~~هذا محال فالخط المستقيم اذن الذى يجوز على نقطتى هن اللتين PageV03P046
~~هما المركزان ليس يمكن ان يجوز على موضع من المواصع الا على
~~نقطة ج الموضع الذى عليه ms18 تماس الدائرتان و ذلك ما اردنا
~~ان نبين.

### || [chapter 13: III 12] الشكل الثانى عشر من المقالة الثالثة

#
~~لا تماس دائرة دائرة اخرى على اكثر من علامة واحدة من
~~داخل كانت المماسة او من خارج فان امكن ان تتماس دائرتان
~~على اكثر من علامة واحدة فلتتماس اما من داخل فدائرتا اب جد
~~على نقطتى ج د واما من خارج فدائرتا اب طح على نقطتى ا ب
~~فلنبرهن على اللتين قد تماستا من داخل فننزل ان مركز دائرة
~~اب نقطة ه ومركز دائرة جد نقطة ز فالخط الذى يجوز على نقطتى
~~هز بحسب ما قد تبين ببرهان يا من ج يقع حيث تتماس
~~الدائرتان فلتكن كخط جهزد فمن اجل ان نقطة ه مركز لدائرة
~~[اب] وقد خرج منها الى المحيط خطا هج هد فهما متساويان فخط
~~هج اذن اعظم من زد فخط جز اذن اعظم من زد بكثير وايضا فانا
~~فرضنا نقطة ز مركزا لدائرة جد فخط زج مساو [لخط] زد فخط زج
~~الاعظم اذن مساو لخط زد الاصغر هذا خلف غير ممكن فليس
~~يمكن ان تماس دائرة دائرة الا على نقطة واحدة وهذا اذا كانت
~~المماسة من داخل ونبين ايضا انه ولا اذا كانت المماسة من خارج
~~يمكن ان تتماسا الا على نقطة واحدة برهانه انه ان امكن ان تماس
~~دائرة اب دائرة حط على اكثر من نقطة فلتتماسا على نقطتى ا ب PageV03P048
~~فمن اجل ان على محيط دائرة اب نقطتى اب فمن الظاهر بحسب
~~برهان ب من ج ان الخط المستقيم الذى يصل بين نقطتى ا ب
~~يقع داخل دائرة اب فليقع كخط اب ومن اجل ان على محيط
~~دائرة حط نقطتى ا ب فبحسب برهان ب من ج فان الخط المستقيم
~~الذى يصل بينهما يقع داخل دائرة حط وقد وقع خارجا منها
~~هذا خلف غير ممكن فليس تتماس دائرتان من خارج الا على
~~نقطة وذلك ما اردنا ان نبين.

#
~~قال ايرن نقدم مقدمة يحتاج اليها فى الشكل الثانى عشر
~~خط ms19 مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين فان
~~امكن فليقطع خط اج المستقيم دائرة داج على اكثر من علامتين
~~اعنى على علامات ا ب ج ونستخرج مركز الدائرة كما بين
~~استخراجه ببرهان ا من ج وليكن نقطة ه ونصل خطوط ها هب هج
~~فمن اجل ان خط ابج خط واحد مستقيم وزاوية هبا خارج مثلث
~~ه ب ج فان بحسب برهان يو من ا تكون زاوية هبا اعظم من
~~زاوية هجب لكن زاوية هبا مساوية لزاوية هاب وذلك بين بحسب
~~برهان ه من ا فزاوية هاب اذن اعظم من زاوية هجب لان ضلع هج
~~مساو لضلع ها فانه بحسب [برهان] ه من ا تكون زاوية هاب مساوية
~~لزاوية هجب وقد كانت اعظم منها هذا خلف غير ممكن فاذن خط
~~مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين وذلك ما اردنا
~~ان نبين. فان قال قائل ان مركز الدائرة يمكن ان يكون على PageV03P050
~~خط اب فعند ذلك نقول انه ان امكن فليكن على علامة ز فمن
~~اجل ان علامة ز مركز دائرة اب جد فان خط از مساو لخط زب
~~وايضا فان خط زا مساو لخط زبج فخط زبج اذن مساو لخط زب
~~فاذن خط جبز الاعظم مساو لخط زب الاصغر وذلك غير ممكن
~~فاذن خط مستقيم لا يقطع محيط دائرة على اكثر من علامتين
~~وذلك ما اردنا ان نبين.

#
~~قال ايرن ايضا فى الشكل الثانى عشر ان امكن ان تتماس
~~دائرتان على اكثر من علامة واحدة فلتتماس دائرتا ابجد
~~اهجز من داخل على اكثر من علامة اعنى على علامتى ا ج
~~ولنستخرج مركز دايرة اهجز كما بين اخراجه ببرهان ا من ج
~~وليكن نقطة ح ومركز دائرة ابجد وننزل انه خارج دائرة اهجز على
~~علامة ط فنقول ان المركز لا يقع خارجا فان امكن فانا نصل بين
~~نقطتى حط اللتين هما المركزان بخط حط فمن البين بحسب
~~برهان يا من ج ان خط حط اذا اخرج فى ms20 جهتيه جميعا فانه يجوز
~~على مواضع المماسة فهو اذن يحوز على نقطتى ا ج فلنخرجه
~~فيصير اذن وضع هذا الخط كوضع خط احزطج فخط احزطج
~~يقطع دائرة اهجز على اكثر من علامتين وقد بينا ان ذلك غير
~~ممكن فليس يقع [مر]كز دائرة ابجد خارج دائرة اهجز وبمثل
~~هذا نبين انه لا يقع على قوس ازج فان [امكن] فليكن مثل
~~نقطة ز فخط احزج خط واحد مستقيم يقطع محيط دائرة اهجز على
~~اكثر من علامتين اعنى على علامات ا ز ج وذلك غير ممكن فغير PageV03P052
~~ممكن اذن ان يقع مركز دائرة ابجد على محيط دائرة اهزج وقد
~~كنا بينا انه لا يقع ايضا خارجها فاذن يقع داخلها كما قال
~~الرياضى وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 14: III 13] الشكل الثالث عشر من المقالة الثالثة

#
~~الخطوط المتساوية فى دائرة فان بعدها من المركز متساو
~~والخطوط التى بعدها من المركز متساو هى متساوية مثاله انه وقع
~~فى دائرة اب خطا جد هز وهما متساويان فاقول ان بعدهما من
~~المركز متساو برهانه انا نستخرج مركز الدائرة كما بين اخراجه
~~ببرهان ا من ج وليكن نقطة ح ونخرج خطوط حج حد حه حز
~~ونخرج من نقطة ح الى خطى جد هز عمودى حط حڪ كما بين
~~اخراجها ببرهان يب من ا فمن اجل انه وقع فى دائرة اب خطا
~~جد هز وقد خرج من المركز اليهما عمودا حط حڪ فبين ببرهان
~~ج من ج انهما يقطعان خطى جد هز بنصفين فخط طج مثل خط
~~طد وهڪ مثل ڪز فمن اجل ان ضلع حج مثل ضلع حه وضلع
~~دج مثل ضلع زه وقاعدة حد مساوية لقاعدة حز فانه بحسب برهان
~~ح من ا تكون زاوية دجح مساوية لزاوية زهح ومن اجل ان خط
~~جد مثل خط هز فان ايضا فهما متساوية فخط جط اذن مساو لخط
~~هڪ وحج مثل حه وقد تبين ان زاوية طجح مساوية لزاوية حهڪ
~~فبحسب برهان د من ا تكون قاعدة حط مساوية ms21 لقاعدة حڪ PageV03P054
~~وهما عمودان على خطى جد هز فهما اذن بعدا خطى جد هز من
~~نقطة ح التى هى مركز دائرة اب فبعدا خطى جد هز من المركز
~~متساويان وذلك ما اردنا ان نبين. واقول ايضا اذا كان بعد
~~خطى جد هز من المركز بعدا متساويا فانهما متساويان. برهانه
~~من اجل ان الابعاد التى للخطوط من المركز هى اعمدة على
~~الخطوط وخطا حط حڪ قد خرجا من المركز وهما عمودان على
~~خطى جد هز فهما اذن البعدان وهما متساويان فمن اجل ان
~~خطى حط حڪ خرجا من نقطة ح التى هى المركز الى خطى جد
~~هز وقطعاهما على زوايا قائمة فبحسب برهان ج من ج فان كل
~~واحد منهما يقطع خطى جد هز بنصفين على نقطتى طڪ فخط
~~دج مثلا خط جط وخط زه مثلا خط ڪه فلان زاويتى حطج حڪه
~~كل واحدة منهما قائمة فان بحسب برهان مو من ا يكون مجموع
~~مربعى خطى جط طح مساويا لمربع خط حج وكذلك مجموع مربعى
~~خطى حڪ ڪه مساو لمربع خط حه ولان خطى حج حه متساويان
~~لانهما خرجا من المركز الى المحيط يكون مجموع مربعى خطى
~~حط طج مساويا لمجموع مربعى خطى حڪ ڪه لكن مربع خط
~~حط مساو لمربع خط حڪ فاذا اسقطناهما بقى مربع خط طج
~~مساويا لمربع خط ڪه فخط طج اذن مساو لخط ڪه وكنا بينا
~~ان خط دج ضعف خط طج وخط زه ضعف خط ڪه فالاشياء
~~التى هى اضعاف متساوية لاشياء متساوية فهى متساوية فخط دج
~~اذن مساو لخط زه وذلك ما اردنا ان نبين.

#
~~اما زيادة ايرن فى هذا الشكل فانه بين ان مركز الدائرة PageV03P056
~~يقع بين خطى هز جد ورسم لذلك صورة دائرة ابجد واخرج فيها
~~خطى ابجد وهما متساويان فقال ان مركز هذه الدائرة يقع بين
~~خطى ابجد لا يمكن غيره فان امكن فليقع اولا على خطى اب
~~جد فننزل انه قد وقع على خط جد على نقطة ه ونخرج خطى ms22 ها
~~هب فمن اجل ان نقطة ه مركز فان خط اه مساو لخط هد وخط به
~~مساو لخط هج لكن بحسب برهان ڪ من ا فان مجموع خطى اه هب
~~كخط واحد اعظم من خط اب فخط جد اذن اعظم من خط اب
~~وكنا فرضناهما متساويين هذا خلف وبمثل هذا يتبين انه ولا
~~يمكن ان يقع على خط اب فاذن ليس مركز دائرة اب جد على احد
~~خطى اب جد فاقول ايضا انه ولا خارجا عن احد خطى اب جد
~~فان امكن فليكن خارجا عن خط جد وننز[ل ان]ه نقطة ز ونخرج
~~خطوط زد زج زا (زا) زب فمن اجل ان نقطة ز مركز الدائرة فان
~~الخطوط الخارجة منها الى المحيط متساوية فخطا زا زب مثل خطى
~~زد زج وقاعدة اب مساوية لقاعدة دج فبحسب برهان ح من ا
~~تكون زاوية ازب مساوية لزاوية دزج الاصغر مساوية للاعظم هذا
~~خلف وبمثل هذا البرهان يتبين انه غير ممكن ان يقع ايضا
~~خارج خط اب فقد تبين ان مركز دائرة اب جد ليس يقع الا فيما
~~بين خطى اب جد وذلك ما اردنا ان نبين. وبين ايضا ايرن ان
~~مركز دائرة ابجد يقع بين خطى ابجد المتساويين بغير طريق
~~الخلف فقال ليس يخلو من ان يكون خطا اب جد متوازيين او
~~غير متوازيين فلننزل انهما متوازيان اولا ونصل بين خطى ابدج PageV03P058
~~بخطى اج دب فالزوايا المتبادلة اذن متساوية فزاوية ا مساوية لزاوية
~~ج وزاوية د مساوية لزاوية ب وقاعدة اٮ مساوية لقاعدة دج فبحسب
~~برهان كو من ا يكون ضلع اه مساويا لضلع هج وضلع هج مساويا
~~لضلع هد فخطا اج بد تقاطعا على انصافهما على نقطة ه فبين
~~ببرهان د من ج ان مركز الدائرة على خطى اج بد فالمركز اذن
~~نقطة ه وذلك وذلك ما اردنا ان نبين. وننزل ايضا ان خطى اب جد
~~غير متوازيين ونخرجهما على استقامة حتى يلتقيا فليلتقيا على
~~نقطة ه ونخرج خطى اج بد يتقاطعان ms23 على نقطة ز ونخرج خط
~~هزح فاقول ان مركز الدائرة على خط هح برهانه من اجل ان زاوية
~~باج مساوية لزاوية بدج لانهما فى قطعة واحدة وتوترهما قوس
~~واحدة وهى قوس بدج ومثل هذه الاشكال يستشهد بها وان
~~كانت مرسومة من بعد لانه ليس فيها مقدمات تتلو هذا
~~الشكل ولا هذا الشكل من الاوائل لذلك الشكل لكن اوائل ذلك
~~الشكل ماخوذة من المقالة الاولى ومن الشكل الاول من هذه
~~المقالة فمن احل ذلك لما احتاج ايرن الى حل هذه الشكوڪ جعل
~~الشكل العشرين من هذه المقالة اولا لهذا الشكل الثالث عشر
~~فقال من اجل ان زاوية باج مساوية لزاوية بدج وزاوية ابد
~~مساوية لزاوية اجد لانهما ايضا فى قطعة ابجد وتوترهما قوس
~~واحدة وهى قوس اد وضلع اب مساو لضلع جد فانه بحسب برهان
~~ڪو من ا يكون خط از مساويا لخط زد وايضا من اجل ان زاوية
~~دبج مساوية لزاوية اجب لانهما فى قطعة دجب وتوترهما قوسا PageV03P060
~~دج اب المتساويان وقد تبين ان زاوية دجا مثل زاوية دبا فان
~~زاوية دجب باسرها مساوية لزاوية ابج باسرها فاذن بحسب برهان
~~و من ا يكون مثلث هجب متساوى الساقين ساق هج مثل ساق
~~هب وقد فرضنا دج مثل اب فيكون هد الٮاقى مثل ها وايضا من
~~اجل ان زاوية هاج مساوية لزاوية هدب وذلك بحسب برهان لب من
~~ا وضلعا هد دز مثل ضلعى ها از فبحسب برهان د من ا تكون
~~زاوية دهز مساوية لزاوية اهز فخط هب اذن مساو لخط هج وزاوية
~~بهط قد تبين انها مساوية لزاوية [جهط] وناخذ خط هط مشتركا
~~وضلعا جه هط مساويان لضلعى به هط وزاوية [ج]هط مساوية
~~لزاوية بجط فقاعدة بط مساوية لقاعدة جط وزاوية هطب مساوية
~~لزاوية هطج فهما اذن قائمتان فخط بج قد وقع فى دائرة ابجد
~~وقد جاز عليه خط هط وقسمه بنصفين وعلى زوايا قائمة فبحسب
~~برهان ج من ج فان على خط هز يكون مركز الدائرة وذلك ما ms24 اردنا
~~ان نبين. وقال ايضا فان قال قائل ان الخطين المتساويين
~~يتقاطعان داخل دائرة اب جد على علامة ه كخطى اج بد
~~(المشترڪ) فانا نقول ان المركز لا يخلو من ان يكون على تقاطع
~~خطى اج بد المشترڪ لهما اعنى علامة ه او على غيرها فان وقع
~~على علامة ه فهو اذن بين خطى اج بد وقد انحل المطلب وقد
~~بينا انه لا يقع على احد خطى اب جد فان قال قائل انا نفرض
~~خطى اب جد غير متقاطعين فى داخل دائرة ابجد لكن متلاقيين
~~على محيطها كخطى اب اد فانا نبين ان مركز دائرة ابجد بين PageV03P062
~~خطى اب اد ونخرج خط بد ونقسمه بنصفين على علامة ه ونخرج
~~اه ونخرجه الى محيط الدائرة الى نقطة ح فاقول ان مركز الدائرة على
~~خط اج برهانه ان مثلث ابد متساوى الساقين فبحسب برهان
~~ه من ا تكون زاوية ابد مساوية لزاوية ادب وكنا فرضنا خط اب
~~مثل خط اد وفصلنا به مثل هد فضلعا اد ده مثل ضلعى اب به
~~وزاوية ب مثل زاوية د فمثلث اهد مثل مثلث ابه وزاوية اهب مثل
~~زاوية اهد فقد جاز خط اج على خط بد وقسمه بنصفين على نقطة
~~ه وعلى زوايا قائمة فبحسب برهان ج من ج فانه على خط اج
~~يكون مركز الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 15: III 14] الشكل الرابع عشر من المقالة الثالثة

#
~~الخطوط المستقيمة الواقعة فى دائرة اعظمها قطر الدائرة والباقية
~~فما كان منها اقرب الى المركز فهو اعظم مما بعد عنه مثاله ان
~~دائرة اب وقع فيها خطوط جد هز حط وخط جد قطر الدائرة وخط
~~هز اقرب الى المركز من خط حط فاقول ان اعظمها خط جد وخط
~~هز اعظم من خط حط برهانه انا ننزل ان المركز نقطة ڪ ونخرج
~~منها الى خطى هز حط عمودى ڪل ڪم كما بينا اخراجهما ببرهان
~~يب من ا فمن اجل ان خط هز اقرب الى المركز من خط ms25 حط فان
~~عمود ڪم اعظم من عمود ڪل فنفصل من خط ڪم مثل خط
~~ڪل كما بين ببرهان ب من ا وليكن خط ڪن ونجيز على نقطة
~~ن خط سنع موازيا لخط طح كما بين ببرهان لا من ا فخط ڪن
~~عمود على خط سع واذا كانت ابعاد الخطوط من المركز متساوية PageV03P064
~~فان الاعمدة التى تخرج الى الخطوط من المركز تكون متساوية واذا
~~كانت الاعمدة متساوية فان الخطوط متساوية فخط هز مساو لخط
~~سع ونخرج خطوط ڪس ڪع ڪح ڪط فمن اجل ان كل مثلث
~~فان كل ضلعين من اضلاعه مجموعين كخط واحد اعظم من
~~الضلع الثالث وذلك بين ببرهان ك من ا [ف]ضلعا ڪس ڪع
~~مجموعين كخط واحد اعظم من خط سع لكن خط ڪس مساو
~~لخط ڪج وخط ڪع مساو لخط ڪد فخطا ڪس ڪع كخط واحد
~~مساو لقطر الدائرة الذى هو خط جد فخط جد اذن اعظم من خط
~~سع لكن خط سع مساو لخط هز فخط جد الذى هو القطر اعظم
~~من خط هز وايضا فمن اجل ان خطى ڪس ڪع مساويان لخطى
~~ڪح ڪط لانهما خارجة من المركز الى المحيط وزاوية سڪع
~~اعظم من زاوية حڪط فببرهان ڪد من ا تكون قاعدة سع
~~اعظم من قاعدة حط لكن خط سع مساو لخط هز فخط هز الاقرب
~~الى المركز اعظم من خط طح الابعد عنه وقد بينا ان قطر الدائرة
~~وهو جد اعظم من خط هز فقد ظهر انه اذا وقع فى دائرة خطوط
~~مستقيمة فاعظمها قطر الدائرة والباقية فما قرب منهما من مركز
~~الدائرة اعظم مما بعد عنه وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 16: III 15] الشكل الخامس عشر من المقالة الثالثة

#
~~كل دائرة يخرج من طرف قطرها خط مستقيم على زاوية
~~قائمة فانه يقع خارج الدائرة ولا يقع بينه وبين الخط المحيط PageV03P066
~~بالدائرة خط اخر مستقيم وكل خط هذه حاله فهو مماس
~~للدائرة وتكون الزاوية التى يحيط بها ذلك الخط والخط المحيط
~~اصغر من كل ms26 زاوية حادة والتى تليها من داخل الدائرة التى
~~تحيط بها القطر والخط المحيط اعظم من كل زاوية حادة
~~مثاله ان دائرة اجد قطرها جد وقد خرج من نقطة د التى هى
~~طرف القطر خط على زاوية قائمة وهو خط دز فاقول انه يقع خارج
~~الدائرة لا يمكن غير ذلك فان امكن ان يقع فى داخل الدائرة
~~فليكن مثل خط دا ونخرج خط ها فمثلث اهد متساوى الساقين
~~لان خط ها مثل خط هد لانهما خرجا من المركز الى المحيط
~~فببرهان ه من ا تكون زاوية هاد مساوية لزاوية هدا لكن زاوية هدا
~~فرضناها قائمة فزاوية هاد اذن قائمة فمثلث هاد فيه زاويتان
~~قائمتان وذلك غير ممكن لانه قد تبين ببرهان يز من ا ان كل
~~زاويتين من زوايا كل مثلث اذا جمعتا اصغر من قائمتين فقد
~~تبين ان الخط القائم على نقطة د على زاوية قائمة يقع خارج
~~الدائرة فليقع مثل خط دز واقول ايضا انه لا يقع بينه وبين قوس
~~جاد خط اخر فان امكن فليقع مثل خط دح فمن اجل ان زاوية
~~هدز قائمة فان زاوية هدح اصغر من قائمة فقد يمكن اذن ان يخرج
~~الى خط دح من نقطة ه خط قائم عليه على زوايا قائمة فلنخرج
~~خط هط فمن اجل ان زاوية هطد اعظم من زاوية هدط والزاوية PageV03P068
~~العظمى يوترها الضلع الاعظم وذلك بحسب برهان يط من ا يكون
~~خط هد اعظم من خط هط لكن خط هد مساو لخط هڪ لانهما
~~خرجا من المركز الى المحيط فخط هڪ اذن اعظم من خط هط
~~الاصغر اعظم من الاعظم هذا خلف فقد ظهر انه لا يقع بين خط
~~دز وبين قوس دا خط اخر مستقيم وايضا فاقول ان زاوية ڪدز
~~الخارجة اصغر من كل زاوية حادة وان زاوية هدڪ الداخلة اعظم
~~من كل زاوية حادة برهانه ان لو كانت زاوية [ڪ]دز الخارجة مثل
~~زاوية حادة او اعظم من حادة لكان يقع بين قوس اڪد وبين
~~خط دز ms27 خط اخر مستقيم فمن اجل ما قد تبين انه لا يمكن ان
~~يقع بينهما خط اخر مستقيم صارت اصغر من كل زاوية حادة
~~وصارت زاوية نصف الدائرة التى تحيط بها قوس جاد وقطر جهد
~~اعظم من كل زاوية حادة وعندها يتبين ان كل خط مستقيم
~~يخرج من طرف قطر الدائرة على زاوية قائمة فانه مماس للدائرة
~~وذلك ما اردنا ان نبين. قال النريزى اراد الرياضى ان الزاوية
~~التى تحيط بها قوس جاد وعمود دز اصغر من كل زاوية حادة لانها
~~غير منقسمة فلو كانت منقسمة لوقع بين قوس جاد وبين خط
~~دز خط اخر مستقيم اذ كان قسمة الزوايا انما تكون بالخطوط
~~المستقيمة التى تفصلها فلما لم تنفصل زاوية ڪدز لم تكن بزاوية
~~حادة لان الزوايا الحادة كلها تنقسم فسماها باسم اضطره الامر اليه PageV03P070
~~بسبب الزاوية الاخرى الداخلة وذلك ان زاوية هدز لما كانت قائمة
~~ووقع بين خط جد وعمود دز قوس جا وفصلت زاوية ڪدز لا مقدار
~~لها بقيت الزاوية الداخلة التى يحيط بها قطر جد وقوس جاد اعظم
~~من كل زاوية حادة لان الحادة هى التى تنقص عن الزاوية
~~القائمة بزاوية ما اخرى حادة فمن اجل ان هذه الزاوية الداخلة
~~لم تنقص عن الزاوية القائمة التى هى زاوية حادة بزاوية لها مقدار
~~نسب الرياضى الزاوية الداخلة الى انها اعظم من كل زاوية حادة
~~ومن اجل ان الزاوية الخارجة لا يمكن ان تنقسم بخط مستقيم فان
~~كل خط حاله هذه الحال فهو مماس للدائرة.

### || [chapter 17: III 16] الشكل السادس عشر من المقالة الثالثة

#
~~نريد ان نبين كيف نخرج من نقطة مفروضة خطا مستقيما
~~يماس دائرة مفروضة فننزل ان النقطة المفروضة نقطة ا والدائرة
~~المفروضة دائرة بج فنستخرج مركز الدائرة وليكن نقطة د ونصل
~~بين نقطتى د ا بخط دا يقطع الدائرة على نقطة ز ونجعل نقطة د
~~مركزا ونخط ببعد دا دائرة اه ونقيم على نقطة ز من خط اد
~~خطا يكون عمودا عليه ونخرجه الى ان يلقى دائرة اه ms28 كما بينا PageV03P072
~~اخراجه ببرهان يا من ا وليكن خط زح فمن البين بحسب برهان
~~يه من ج ان خط زح يقع خارج دائرة بج وهو مماس للدائرة
~~ونصل بين نقطتى دح بخط دح يقطع دائرة بج على نقطة ط
~~ونصل نقطتى ا ط بخط اط فلان خط دا مساو لخط دح لانهما
~~خرجا من المركز الى المحيط وخط دز مثل خط دط فان خطى اد
~~دط مساويان لخطى حد دز كل ضلع مساو لنظيره وزاوية ادط
~~مشتركة للمثلثين فان بحسب برهان د من ا تكون قاعدة اط
~~مساوية لقاعدة حز ومثلث ادط مساويا لمثلث حدز وسائر الزوايا
~~مثل سائر الزوايا زاوية اطد مساوية لزاوية حزد لكن زاوية حزد
~~قائمة فزاوية دطا اذن قائمة فقد خرج من نقطة ط التى هى طرف
~~قطر دائرة بج خط طا على زاوية قائمة وقد تبين ببرهان يه من
~~ج ان الخط الخارج من طرف قطر الدائرة على زاوية قائمة يماس
~~الدائرة فخط اط اذن مماس للدائرة فقد خرج من نقطة ا
~~المفروضة الى دائرة بج المفروضة خط اط يماس الدائرة وذلك ما
~~اردنا ان نبين قال ايرن ان كانت النقطة المفروضة داخل الدائرة
~~لم يمكن ان يخرج منها خط يماس الدائرة لان الخط يقطع الدائرة
~~وان كانت على الخط المحيط اخرج قطر الدائرة من النقطة
~~المفروضة ثم يقام على تلك النقطة عمود فيكون ذلك العمود هو
~~الخط المماس للدائرة. وان اردنا ان نخرج خطين من نقطة ا
~~الى محيط دائرة بج يماسانها فانا نخرج خط حز على الاستقامة
~~الى نقطة ڪ ونصل بين نقطتى دڪ بخط دڪ يقطع الدائرة على
~~نقطة ل ونصل خط ال فبين بحسب ما برهن الرياضى ان خط ال PageV03P074
~~ايضا مماس للدائرة وهو مساو لخط اط فقد تبين ايضا ان كل
~~نقطة مفروضة يخرج منها خطان يماسان دائرة مفروضة فان
~~الخطين متساويان وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 18: III 17] الشكل السابع عشر من المقالة الثالثة

#
~~كل دائرة ماسها خط مستقيم ms29 ويخرج من النقطة التى عليها
~~المماسة خط مستقيم الى مركز الدائرة فان الخط المخرج عمود على
~~الخط المماس فلننزل ان خط جد يماس دائرة اب على نقطة ب
~~ومركز الدائرة علامة ه فاقول ان خط به عمود على خط جد
~~لا يمكن غيره فان امكن فلنخرج من نقطة ه التى هى المركز عمودا
~~على خط جد وليكن عمود هز فمن اجل ان زاوية هزب قائمة فان
~~زاوية هبز اصغر من قائمة لان كل زاويتين من زوايا المثلث
~~اصغر من زاويتين قائمتين وذلك بين ببرهان يز من ا ومن اجل
~~ان الزاوية العظمى وترها الضلع الاطول بحسب ما بين ببرهان يط
~~من ا يكون ضلع به اعظم من ضلع هز ونقطة ز خارج الدائرة
~~فخط هز اعظم من خط هب فيكون خط هب الاصغر اعظم من خط
~~هز الاعظم هذا خلف فليس يمكن اذن ان يكون خط هز عمودا
~~على خط جد ولا غيره من الخطوط سوى الخط الذى يصل بين
~~موضع التماس وبين المركز مثل هب وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 19: III 18] الشكل الثامن عشر من المقالة الثالثة

#
~~كل خط يماس دائرة ويخرج من حيث يماسها خط على
~~زاوية [قائمة] يقطع الدائرة فان عليه يكون مركز الدائرة مثاله ان PageV03P076
~~خط جد يماس دائرة اب على نقطة ب وقد خرج من نقطة ب
~~خط با عمودا على خط جد يقطع الدائرة فاقول ان مركز الدائرة
~~على خط اب لا يمكن غيره فان امكن فلننزل ان المركز نقطة ه
~~ونصل هب فمن اجل ان خط جد يماس دائرة اب وقد خرج من
~~النقطة التى عليها المماسة خط مستقيم الى المركز وهو خط به
~~فان خط به عمود على خط جد وذلك ببرهان ١٧ من ٣ فزاوية
~~هبج قائمة وقد كنا فرضنا زاوية ابج قائمة فزاوية ابج مساوية
~~لزاوية هبج الاعظم مساو للاصغر هذا خلف فليس يمكن ان
~~تكون نقطة ه مركزا لدائرة اب ولا غيرها من النقط التى ليست على
~~خط ms30 اب فمركز الدائرة اذن على خط اب وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 20: III 19] الشكل التاسع عشر من المقالة الثالثة

#
~~الزاوية التى على مركز كل دائرة ضعف الزاوية التى على المحيط
~~اذا كانت قاعدتاهما قوسا واحدة مثاله ان دائرة ابج على مركزها
~~زاوية بدج وعلى محيطها زاوية باج وقاعدتهما قوس واحد وهى
~~قوس بج فاقول ان زاوية بدج ضعف زاوية ٮاج برهانه انا نخرج
~~خط اد ونخرجه الى علامة ه فمن اجل ان مركز الدائرة نقطة ط وقد
~~خرج منها خطا دا دب فهما متساويان فبحسب برهان ه من ا
~~تكون زاوية داب مساوية لزاوية دبا ولان زاوية بده خارج مثلث
~~ابد ومجموع زاويتى داب دبا ضعف زاوية داب فانه بحسب برهان
~~لب من ا تكون زاوية بده مثل زاويتى داب دبا فزاوية بده مثل PageV03P078
~~ضعف زاوية باد وبمثل هذا الاستشهاد يتبين ان زاوية جده
~~ضعف زاوية باد وبمثل هذا الاستشهاد يتبين ان زاوية جده
~~مثل ضعف زاوية جاد فجميع زاوية بدج ضعف جميع زاوية باج
~~فقد ظهر ان الزاوية التى على مركز كل دائرة ضعف الزاوية التى
~~على محيطها اذا كانت قاعدتهما قوسا واحدة وذلك ما اردنا ان
~~نبين. قال ايرن فان كان وضع الزاوية التى على المحيط مثل
~~[وضع] زاوية جاب وخط اد يتصل بخط دب على استقامة فظاهر ان
~~زاوية جدب ضعف زاوية جاب. وان كان وضع الزاوية التى على
~~المحيط مثل وضع زاوية جدب على ان تقاطع خط جد خط هب فانا
~~نخرج خط دهز فمن اجل ان خط هد مساو لخط هب فان زاوية هدب
~~مساوية لزاوية هبد فزاوية بهز التى هى خارج مثلث هبد ضعف
~~زاوية هدب وايضا فان خط هد مساو لخط هج فزاوية هدج مساوية
~~لزاوية هجد فزاوية زهج ضعف زاوية هدج فاذا اسقطناهما بقيت
~~زاوية بهج ضعف زاوية بدج وذلك ما اردنا ان نبين.

#
~~وقال ايرن ايضا اما الشكل فقد تبين بكل وضع وبرهن على
~~كل عمل وقد يبقى علينا ان ms31 نضع المقدمة المقولة له ونبرهنه
~~برهانا عاما لانه ان لم يبرهن على ما سنبرهنه لم يمكنا ان نبرهن
~~الشكل الذى بعده على كل وضع لكن على ما وضعه الرياضى فقط
~~وذلك منكر لانه قد يجب اضطرارا ان تصير المقدمة عامة وان
~~يبرهن على كل وضع وان تحل عناد المعاندين ليلا يكون شى
~~فى المساحة غير مبرهن واذا وضعنا هذه المقدمة وبينا الشكل
~~كان جميع ما فى الشكل بينا واضحا ولا يبقى للمعاندين موضع PageV03P080
~~عناد فيه اعنى فى الشكل الذى بعد هذا وهو الشكل العشرون
~~والمقدمة التى يجب تقديمها والشكل الموضوع لها هو هذا الزاوية
~~التى على مركز كل دائرة هى ضعف الزاوية التى على محيطها اذا
~~كانت قاعدقهما جميعا قوسا واحدة والزوايا الباقية التى على المركز
~~وهى تتمة الاربع القوائم ضعف الزاوية التى على المحيط فى القوس
~~التى توتر الزاوية التى على المركز فلتكن الزاوية التى على المركز
~~زاوية جهب والتى على المحيط زاوية جاب ونخرج خطى به جه على
~~استقامتهما الى محيط الدائرة الى نقطتى حز ونخرج خطى جط طب
~~وخط طه فاقول ان كل الزوايا التى تقع فى قوس باج حيث كان
~~وقوعها وقاعدة جميعها قوس بطج فان زاوية جهب ضعف لكل
~~واحدة منها وان مجموع زوايا بهز زهح حهج ضعف زاوية بطج
~~وضعف لكل واحدة من الزوايا التى تقع فى قوس بطج .
~~برهانه ان نقطة ه مركز الدائرة فخط هب مثل خط هط فزاوية هبط
~~مساوية لزاوية هطب فزاوية حهط اذن الخارجة ضعف زاوية هطب
~~وايضا خط هط مثل خط هڃ فزاوية هطج مثل زاوية هجط فزاوية
~~زهط ضعف زاوية هطج فمجموع زاويتى حهط زهط ضعف زاوية بطج
~~لكن زاوية جهب مساوية لزاوية حهز وذلك بين ببرهان يه من ا فاذا
~~اسقطنا زاوية جهب واخذنا بدلها زاوية حهز بقيت زاويتا حهج زهب
~~مع زاوية حهز ضعف زاوية جطب وظاهر ان زاوية بطج حيث
~~فرضناها من قوس بطج فان زوايا جهح حهز زهب الثلث اذا PageV03P082
~~جمعت مساوية لضعف ms32 زاوية بط[ج ف]كل الزوايا التى تقع اذن
~~فى قطعة قوس بطج متساوية وايضا فمن اجل ان زاوية باج
~~عملت كيف وقعت وقد تبين ان الزاوية التى على المركز ضعفها
~~وهى زاوية بهج فان كل الزوايا التى فى القطعة الواحدة اعنى
~~المرسومة فى قوس اج متساوية لانه قد تبين ان زاوية بهج ضعف
~~كل واحدة منها وايضا فمن اجل ان زاوية بطج فى قطعة بطج
~~وقد ظهر ان زوايا بهز زهح حهج اذا جمعت ضعفها فان الزوايا
~~كلها التى ترسم فى قطعة بطج متساوية لا ن كل واحدة منها
~~نصف الزوايا المذكورة اذا جمعت فقد تبين ان كل الزوايا التى
~~تقع فى قطعة واحدة متساوية وهذا الذى كنا اردنا ان نبينه كليا
~~ولذلك جعلنا هذا الشكل ليتبين ما قاله الرياضى بيانا كليا
~~واذا قد تبين هذا فان الشكل الذى بعده يتبرهن معه وذلك
~~بان نقول من اجل ان زوايا بهز زهح حهج اذا جمعت مساوية
~~لضعف زاوية بطج وزاوية بهج ضعف زاوية باج فمجموع الاربع
~~الزوايا اعنى زوايا بهج بهز زهح حهج مساوية لضعف زاويتى بطج
~~باج لكن الاربع الزوايا معادلات لاربع زوايا قائمة وذلك بين
~~ببرهان يه من ا فمجموع زوايتى بطج باج اذن مثل مجموع
~~زاويتين قائمتين فاذن السطوح ذوات الاربعة الاضلاع التى فى كل
~~دائرة فان كل زاويتين تتقابلان مساويتان لزاويتين قائمتين.
~~قال النريزى هذا البرهان والذى قبله ثلثة اشكال الشكل التاسع
~~عشر والعشرون والواحد والعشرون.

PageV03P084

### || [chapter 21: III 20] الشكل العشرون من المقالة الثالثة

#
~~الزوايا التى فى قطعة واحدة من دائرة فهى متساوية اذا
~~كان يوترها قوس واحدة مثاله ان دائرة ابجد فى قطعة منها
~~وهى قطعة جابد زاويتى جاد جبد على قاعدة واحدة وهى
~~قوس جد فاقول انهما متساويتان برهانه انا نستخرج مركز
~~الدائرة وليكن نقطة ه ونخرج خطى هج هد فبحسب برهان يط
~~من ج فان زاوية جهد ضعف لكل واحدة من زاويتى جاد جبد
~~والاشياء التى هى نصف لشى واحد فان الاشياء متساوية فزاوية
~~جاد اذن ms33 مساوية لزاويةجبد وذلك ما اردنا ان نبين.
~~قال ايرن وقد يمكن ان نبرهن هذا الشكل برهانا عاما بالشكل
~~الذى قدمناه

### || [chapter 22: III 21] الشكل الواحد والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~كل دائرة يقع فيها سطح ذو اربعة اضلاع فكل زاويتين
~~تتقابلان منه فهما مساويتان لزاويتين قائمتين مثاله ان فى دائرة
~~ابجد سطح ابجد فاقول ان كل زاويتين تتقابلان منه فهما
~~مساويتان لزاويتين قائمتين برهانه انا نخرج خطى اج دب فمن
~~اجل ان زاويتى باج بدج فى قطعة واحدة وهى قطعة بادج وعلى
~~قوس واحدة وهى قوس بج فببرهان ڪ من ج تكون زاوية باج
~~مساوية لزاوية بدج وايضا فان زاويتى ادب اجب فى قطعة واحدة PageV03P086
~~وعلى قوس واحدة فزاويتا ادب اجب متساويتان فمجموع زاويتى
~~باج اجب مثل زاوية ادج وناخذ زاوية ابج مشتركة فزوايا باج
~~بجا ابج مساوية لزاويتى ابج ادج وبحسب برهان لب من ا
~~تكون زوايا باج اجب ابج مساوية لزاويتين قائمتين فزاويتا ادج
~~ابج المتقابلتان اذن مساويتان لزاويتين قائمتين وعلى هذا
~~المثال يتبين ان مجموع زاويتى باد بجد مساو لزاويتين قائمتين
~~فكل سطح ذو اربعة اضلاع يقع فى دائرة فان كل زاويتين من
~~زوايا متقابلتين تساويان زاويتين قائمتين وذلك ما اردنا ان نبين
~~قال ايرن وهذا الشكل يتبرهن ايضا بالشكل الذى قدمناه.

### || [chapter 23: III 22] الشكل الثانى والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~لا يمكن ان يقوم على خط واحد مستقيم قطعتان متشابهتان
~~من دائرتين احد هما اعظم من الاخرى فان امكن ان تقوم
~~فلننزل انهما قطعتا اجب ادب والعظمى منهما قطعة ادب ونخرج
~~خط اج وننفذه على الاستقامة الى نقطة د ونخرج خطى بج بد
~~فمن اجل ان قطعة اجب تشبه قطعة ادب فان زاوية اجب مساوية
~~لزاوية ادب لان القسى المتشابهة تقبل زوايا متساوية ولان زاوية
~~اجب خارج مثلث جبد فبحسب برهان ١٩ من ا تكون زاوية اجب
~~اعظم من زاوية ادب فزاوية اجب مساوية لزاوية ادب وهى ايضا
~~اعظم منها هذا خلف غير ممكن فليس يقوم اذن على خط ms34 واحد PageV03P088
~~قطعتان متشابهتان من دائرتين احدهما اعظم من الاخرى
~~وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 24: III 23] الشكل الثالث والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~قطع الدوائر المتشابهة اذا كانت على خطوط مستقيمة متساوية
~~فانها متساوية مثاله ان قطعتى ابج دهز متشابهتان وهما على
~~خطى اج دز المتساويين فاقول ان القطعتين متساويتان برهانه
~~انا اذا ركبنا قطعة اٮج على قطعة دهز نركب خط اج على خط
~~دز ولم يفضل احدهما على الاخر لانهما متساويان وتركبت قطعة
~~ابج على قطعة دهز ولم تفضل ايضا احدهما على الاخرى لانهما
~~متشابهتان فان فضلت وقعت قوس ابج خارج قوس دهز او داخلها
~~فلننزل انها وقعت اولا خارجا كقوس دحز فقطعة دحز تشبه قطعة
~~دهز وقد تبين ببرهان ڪب من ج انه لا يمكن ان يقوم على خط
~~واحد مستقيم قطعتان متشابهتان من دائرتين احدهما اعظم
~~من الاخرى فقطعة دحز اعظم من قطعة دهز وهى شبيهة بها هذا PageV03P090
~~خلف غير ممكن فقطعة ابج اذن مساوية لقطعة دهز و كذلك
~~يتبين لو وقعت قوس دحز داخل قوس دهز فالقطوع المتشابهة اذا
~~كانت على خطوط مستقيمة متساوية فان القطوع متساوية وذلك
~~ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 25: III 24] الشكل الرابع والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~اذا كانت قطعة من دائرة معلومة فاردنا ان نبين كيف
~~نتم الدائرة التى القطعة منها نصف دائرة كانت او اعظم او اصغر
~~فانا ننزل اولا ان القطعة المفروضة التى عليها ابج نصف دائرة
~~ونبين كيف نتم دائرتها فلتكن القطعة على ما فى الصورة الاولى
~~فمن اجل ان قطعة باج نصف دائرة فان خط جدب قطر الدائرة
~~التى قطعة باج نصفها فمن الظاهر ان مركز الدائرة على منصف
~~خط بج اذا كانت الخطوط التى تخرج من المركز الى المحيط متساوية
~~فنقسم خط جب بنصفين على نقطة د كما بين ببرهان ي من ا
~~فعلى مركز د وببعد دج ودب نتم دائرة ابج . ثم ننزل ان القطعة
~~التى عليها باج من الصورة الثانية اعظم من نصف دائرة ونبين
~~كيف ms35 نتم دائرتها فنقسم خط بج بنصفين كما بين ببرهان
~~ي من ا على نقطة د ونخرج من نقطة د خط دا عمودا على خط
~~بج كما بين ببرهان يا من ا فمن اجل ان قطعة باج اعظم من
~~نصف دائرة فان مركز الدائرة اذن يقع فيها ومن اجل ان خط
~~بج فى دائرة باج وقد قسم على نقطة د بنصفين واخرج عمود PageV03P092
~~دا فظاهر بحسب برهان ٣ من ٣ ان مركز الدائرة على خط دا
~~فلان خط دا يمر بالمركز فهو اطول الخطوط كلها التى تخرج من
~~نقطة د الى محيط قطعة باج وذلك بين ببرهان ز من ج فخط دا
~~اعظم من خط دب ونخرج خط با فبحسب برهان يح من ا فان
~~زاوية ابد اعظم من زاوية باد فنعمل على نقطة ب من خط اب
~~زاوية مثل زاوية باد كما بين عمله ببرهان كج من ا ولتكن زاوية
~~ابه ونخرج خطى به جه فمن اجل ان زاوية باه مساوية لزاوية
~~ابه فان بحسب برهان و من ا يكون ضلع اه مساويا لضلع به
~~ومن اجل ان زاوية بده مساوية لزاوية جده و خط بد مثل خط
~~دج فاذا اخذنا ده مشتركا يكون خطا بد ده مساويين لخطى
~~جد ده والزاويتان اللتان عند د متساويتان فبحسب برهان د من
~~ا يكون خط به مساويا لخط جه وقد بينا ان نخط اه مثل خط هب
~~فنقطة ه فى قطعة دائرة باج وقد خرج منها اكثر من خطين
~~وصارت متساوية فبحسب برهان ط من ج تكون نقطة ه مركزا
~~لدائرة باج فعلى نقطة ه وببعد ها نتم الدائرة. ثم ننزل ان
~~القطعة على ما فى الصورة الثالثة اصغر من نصف دائرة وهى قطعة
~~باج ونقسم خط بج بنصفين على نقطة د ونقيم على نقطة د
~~عمود دا وننفذه الى قوس باج فمن اجل ان خط بج وتر لقوس
~~باج وقد قسم بنصفين على نقطة د واخرج عمود دا فظاهر
~~ببرهان ج ms36 من ج ان خط اد تمام القطر وبحسب برهان ز من PageV03P094
~~ج فان خط دا اصغر من خط دب فنخرج خط اب فبحسب برهان
~~يح من ا فان زاوية باد اعظم من زاوية ابد فنعمل على نقطة ب
~~من خط اب زاوية مساوية لزاوية باد ولتكن زاوية ابه ونخرج
~~خط اد يلقى خط به على نقطة ه ونخرج خط هج فلان زاوية ا
~~مساوية لزاوية ب فان خط ها مساو لخط هب وبمثل ما بينا نبين
~~ان خط هج مساو لخط هب فالخظوط الثلثة متساوية هج(ه)هب ها فعلى
~~نقطة ه وببعد ها نتم الدائرة وذلك ما اردنا ان نبين. هذا الشكل
~~اخره ايرن وجعله الشكل الواحد والثلثين لانه قصد للبرهان
~~عليه فى صورة واحدة.

### || [chapter 26: III 25] الشكل الخامس والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~الزوايا المتساوية التى فى الدوائر المتساوية فانها على قسى
~~متساوية على المحيطات كانت او على المراكز مثاله ان دائرتى ابج
~~دهز متساويتان ومركزاهما نقطتا حط وعليهما زاويتا ٮحج هطز
~~فاقول ان قوس بج مساوية لقوس هز برهانه انا نفرض على قوسى
~~باج هدز نقطتين كيف ما وقعتا فننرل انهما نقطتا ا د ونحرج
~~خطوط اب اج ده دز بج هز فمن اجل ان خطى بح حج مثل PageV03P096
~~خطى هط طز وزاوية بحج مساوية لزاوية هطز فبحسب برهان م
~~من ا تكون قاعدة بج مثل قاعدة هز ومن اجل ان زاويتى
~~ٮحج هطز على المركزين وزاويتى باج هدز على المحيطين فبحسب
~~برهان يط من ج تكون زاوية بحج ضعف زاوية باج وزاوية هطز
~~ضعف زاوية هدز فزاوية باج اذن مساوية لزاوية هدز فقطعة باج
~~تشبه قطعة هدز وهما من دائرتين متساويتين فمن اجل ان
~~خطى بج هز متساويان وعليهما قطعتا باج هدز المتشابهتان
~~فبحسب برهان كج من ج تكون قطعة باج مساوية لقطعة هدز
~~وفرضنا دائرة باج مساوية لدائرة هدز واذا اسقطنا من المتساوية
~~متساوية فان الباقى يكون متساويا فقوس بج مساوية
~~لقوس هز فقد ظهر ان الزوايا المتساوية ms37 اذا كانت فى الدوائر
~~المتساوية على المراكز كانت او على المحيطات فانها على قسى
~~متساوية وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 27: III 26] الشكل السادس والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~اذا كانت فى دوائر متساوية زوايا على قسى متساوية فالزوايا
~~متساوية على المراكز كانت او على المحيطات مثاله ان دائرتى ابج
~~دهز متساويتان وقوسى بج هز متساويتان والمركزان نقطتا طح
~~وعليهما زاويتا بطج هحز توترهما قوسا بج هز المتساويتان فاقول
~~ان زاوية بطج مساوية لزاوية هحز لا يمكن الا ذلك فان امكن
~~فلتكن زاوية بطج اصغر من زاوية هحز ونعمل على نقطة ح من PageV03P098
~~خط هح زاوية هحڪ مساوية لزاوية بطج كما بين عملها ببرهان
~~كج من ا فمن اجل ان دائرتى ابج دهز متساويتان وعلى مركزيهما
~~زاويتا بطج هحڪ المتساويتان فبحسب برهان ڪه من ج تكون
~~قوس بج مساوية لقوس هڪ لكنا فرضنا قوس بج مساوية لقوس
~~هز فقوس هز اذن مساوية لقوس هڪ العظمى مثل الصغرى
~~هذا خلف غير ممكن فليست اذا زاوية ٮطج باصغر من
~~زاوية هحز ولا هى ايضا اعظم منها فهى اذن مثلها وذلك ما اردنا
~~ان نبين.

### || [chapter 28: III 27] الشكل السابع والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~الاوتار المتساوية فى الدوائر المتساوية تفصل قيسا متساوية
~~والوتر الاعظم يفصل قوسا اعظم مثاله ان دائرتى ابج دهز متساويتان
~~وفيهما وترا بج هز متساويان فاقول ان قوسى بج هز متساويتان
~~برهانه انا نستخرج المركزين وليكونا نقطتى طح ونخرج منهما
~~خطوط طب طج حه حز فمن اجل ان دائرتى باج هدز متساويتان
~~فان خطى بط طج مساويان لخطى هح حز وخط بج فرض مساويا
~~لخط هز فبحسب برهان ح من ا تكون زاوية بطج مساوية لزاوية
~~هحز فمن اجل ان دائرتى ابج دهز متساويتان وعلى مركزيهما
~~زاويتا بطج هحز المتساويتان فانه بحسب برهان كه من ٣ تكون
~~قوس بج مساوية لقوس هز واذا اسقط من الدوائر المتساوية قطع
~~متساوية فان القطع الباقية تكون متساوية فقوس باج ايضا مساوية PageV03P100
~~لقوس هدز فقد تبين ms38 ان الاوتار المتساوية فى الدوائر المتساوية
~~تفصل قسيا متساوية وذلك ما اردنا ان نبين

### || [chapter 29: III 28] الشكل الثامن والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~القسى المتساوية من الدوائر المتساوية تفصلها اوتار متساوية
~~مثاله ان دائرتى ابج دهز متساويتان ونفصل منهما قوسى بج هز
~~متساويتين فاقول ان وتريهما متساويان برهانه انا نستخرج مركزى
~~الدائرتين وليكونا نقطتى طح ونخرج خطوط طب طج حه حز
~~ووترى بج هز فمن اجل ان دائرتى ابج دهز متساويتان وقد فصل
~~منهما قوسا بج هز المتساويتان فبحسب برهان كو من ج تكون
~~زاوية بطج مساوية لزاوية هحز وايضا فمن اجل ان دائرتى ابج
~~دهز متساويتان وقد خرج من المركزين الى المحيط خطوط فهى
~~اذن متساوية فخطا طب طج مساويان لخطى حه هز وزاوية ط
~~مساوية لزاوية ح فبحسب برهان ڪ من ا تكون قاعدة بج
~~مساوية لقاعدة هز فقد تبين ان القسى المتساوية من الدوائر
~~المتساوية تفصلها اوتار متساوية وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 30: III 29] الشكل التاسع والعشرون من المقالة الثالثة

#
~~نريد ان نبين كيف نقسم قوسا مفروضة بنصفين فننزل انها
~~قوس باج فنخرج وترها وهو خط بج ونقسمه بنصفين على نقطة
~~د ونقيم على نقطة د خطا على زاوية قائمة وننفذه الى قوس باج PageV03P102
~~وليكن خط اد ونخرج خطى اب اج فمن اجل ان خط بد فصلناه
~~مثل خط دج وناخذ خط دا مشتركا فخطا بد دا مثل خطى
~~جد دا وزاوية بدا مساوية لزاوية جدا فقاعدة اج مساوية لقاعدة
~~اب ومن اجل ان الاوتار المتساوية من الدوائر المتساوية تفصل
~~قسيا متساوية فبحسب برهان كز من ج تكون قوس اب مساوية
~~لقوس اج فقد قسمنا قوس باج بنصفين على نقطة ا وذلك ما
~~اردنا ان نبين.

### || [chapter 31: III 30] الشكل الثلثون من المقالة الثالثة

#
~~الزوايا المستقيمة الخطين التى تقع فى دائرة ما كان منها فى
~~نصف دائرة فهو قائم وما كان منها فى قطعة اعظم من نصف
~~دائرة فهو حادة وما كان منها فى قطعة اصغر من نصف ms39 دائرة
~~فهو منفرج واما الزاوية التى يحيط بها خط الوتر وخط القوس فان
~~القطعة ان كانت اعظم من نصف دائرة فالزاوية منفرجة وان
~~كانت اصغر من نصف دائرة فالزاوية حادة مثاله ان دائرة اب
~~وقع على خط محيطها زوايا ادب داب ازد وزاوية ادب فى قطعة ادب
~~وهى نصف دائرة وزاوية داب فى قطعة داجب وهى اعظم من نصف
~~دائرة وزاوية ازد فى قطعة ازد وهى اصغر من نصف دائرة فاقول ان
~~زاوية ازد منفرجة وزاوية داب حادة وزاوية ادب قائمة برهانه انا
~~نخرج قطر اب ونستخرج المركز وهو نقطة ط ونصل هد فمن اجل
~~ان نقطة ه مركز للدائرة وقد خرج منها الى المحيط خطوط ها هب
~~هد فهى اذن متساوية فمثلث هاد متساوى الساقين فببرهان ه من PageV03P104
~~ا تكون زاوية هاد مساوية لزاواية هدا فمن اجل ان زاوية دهب خارجة
~~من المثلث فببرهان لب من ا تكون زاوية دهب مساوية لزاويتى
~~هاد هدا فزاوية دهب اذن ضعف زاوية [ه]دا وبمثل هذا البرهان
~~والاستشهاد يتبين ان زاوية اهد ضعف زاوية هدب فمجموع زاويتى
~~دها دهب ضعف جميع زاوية ادب ومن اجل انه اذا قام خط على
~~خط فان الزاويتين اللتين عن جنبتيه اما قائمتان واما مساويتان
~~لقائمتين فببرهان يج من ا فان مجموع زاويتى دها دهب مساو
~~لزاويتين قائمتين وهو ضعف زاوية ادب فزاوية ادب اذن قائمة.
~~وايضا فمن اجل ان مثلث ادب فيه زاوية قائمة وهى زاوية ادب
~~فببرهان يز من ا تكون زاوية داب حادة وهى فى قطعة داجب التى
~~هى اعظم من نصف دائرة. وايضا فان زاوية ابد حادة لانها فى
~~مثلث ابد القائم الزاوية ومن اجل ان سطح اٮدز ذو اربعة اضلاع
~~فى دائرة اب فببرهان ڪا من ج فان كل زاويتين منه تتقابلان
~~مساويتان لزاويتين قائمتين وزاويتا ازد ابد متقابلتان فهما اذا
~~جميعا مساويتان لزاويتين قائمتين وزاوية ابد منهما قد بينا انها
~~حادة فيبقى اذن زاوية ازد اعظم من زاوية قائمة فهى اذن منفرجة ms40
~~وهى فى قطعة ازد التى هى اصغر من نصف دائرة فقد تبين ان
~~كل نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة على محيطها
~~تكون قائمة وكل قطعة هى اعظم من نصف دائرة فان الزاوية
~~المستقيمة الخطين الواقعة فيها تكون حادة وكل قطعة هى اصغر
~~من نصف دائرة فان الزاوية المستقيمة الخطين الواقعة على PageV03P106
~~محيطها تكون منفرجة وذلك ما اردنا ان نبين. وايضا اقول ان
~~الزاوية التى يحيط بها قوس بد ووتر دا منفرجة وهى زاوية قطعة
~~ازد برهانه انا نخرج خط بد على الاستقامة الى نقطة ح فلان زاوية
~~ادب قائمة فانا متى رفعنا وتر بد كانت الزاوية التى يحيط بها قوس
~~بد وخط اد اعظم من قائمة فهى اذن منفرجة ومن اجل ان خط اد
~~قائم على خط بح المستقيم وزاوية ادب قائمة فان زاوية ادح ايضا
~~تكون قائمة وذلك بين ببرهان يج من ا فاذا اسقطنا الزاوية التى
~~يحيط بها تقبيب زد وخط دح بقيت الزاوية التى يحيط بها قوس
~~زد وخط اد حادة وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 32: III 31] الشكل الواحد والثلثون من المقالة الثالثة

#
~~كل دائرة ماسها خط مستقيم واخرج من نقطة المماسة خط اخر
~~مستقيم يقطع الدائرة على غير المركز فان الزاويتين اللتين تقعان
~~عن جنبتيه مساويتان للزاويتين اللتين تقعان فى قطعتى الدائرة
~~المتبادلتين مثاله ان دائرة اب يماسها خط ده على نقطة ب وقد
~~خرج من نقطة ب خط بز يقطع الدائرة على غير المركز فاقول ان
~~زاويتى زبد زبه مساويتان للزاويتين اللتين تقعان فى قطعتى
~~زاجب زطب اما زاوية زبد فهى مساوية للزاوية التى تقع فى قطعة
~~زاجب واما زاوية زبه فمساوية للزاوية التى تقع فى قطعة بطز
~~برهانه انا نعلم على قوس زب علامة اين وقعت منها فننزل انها PageV03P108
~~علامة ط ونخرج خطى طز طب ونستخرج مركز الدائرة فننزل انها
~~نقطة ح ونخرج خط بحا فظاهر ببرهان يز من ج ان خط احب
~~قائم على خط ده على زوايا قائمة على ms41 نقطة ب فزاوية ابه قائمة
~~ومن اجل ان قطعة ازب نصف دائرة فببرهان ل من ج تكون
~~زاوية ازب قائمة فاذا اخذنا زاوية ابز مشتركة كان مجموع
~~زاويتى ازب ابز مساويا لجميع زاوية زبه لكن مجموع زاويتى زبه
~~زبد مساو لزاويتين قائمتين ولكن مجموع زوايا المثلث الثلث
~~اعنى زوايا ابز ازب زاب مساو لزاويتين قائمتين فهى اذن مجموعة
~~مثل زاويتى زبد زبه فاذا اسقطنا زاوية زبه بزاويتى ازب زبا
~~بقيت زاوية زبد مساوية لزاوية زاب وهى فى قطعة زاجب ومن اجل
~~ان سطح ازطب ذو اربعة اضلاع فى دائرة اب فان كل زاويتين
~~منه تتقابلان مساويتان لزاويتين قائمتين فزاويتا زاب زطب اذن
~~مساويتان لزاويتين قائمتين فهما اذن مساويتان لزاويتى زبد زبه
~~وقد بينا ان زاوية زاب مساوية لزاوية زبد فتبقى زاوية زطب
~~مساوية لزاوية زبه وهى فى قطعة بطز فقد تبين ان الزاويتين
~~اللتين عن جنبتى خط زب مساويتان للزاويتين اللتين تقعان
~~فى قطعتى الدائرة المتبادلتين وذلك ما اردنا ان نبين فان كان
~~خط زب قطر الدائرة فمن البين ان كل واحد من الزاويتين
~~اللتين عن جنبتيه قائمة ومساوية لكل واحدة من الزاويتين
~~اللتين تقعان فى نصف الدائرة. شكل لايرن اذا كانت قطعة
~~من دائرة معلومة نريد ان نبين كيف نتم الدائرة التى القطعة
~~منها فلتكن القطعة التى عليها ابجد ونقسم قوس ابج بنصفين PageV03P110
~~على نقطة ب ونخرج من نقطة ب الى وتر اج عمود بد ونخرج وتر
~~بج ونعمل على نقطة ج من خط بج زاوية مساوية لزاوية دبج
~~فان كانت الزاوية المعمولة المساوية لزاوية دبج تقع مثل زاوية
~~بجد وظاهر ان مركز الدائرة على نقطة د وان قطعة ابج نصف
~~دائرة وان كانت الزاوية المعمولة على نقطة ج المساوية لزاوية
~~دبج تقع خارج قطعة ابج كزاوية بجه فان مركز الدائرة يقع
~~خارج قطعة ابج كنقطة ه فتكون القطعة اصغر من نصف دائرة
~~وان كانت الزاوية المعمولة على نقطة ج المساوية لزاوية دبج تقع
~~داخل قطعة ابج كزاوية بجز ms42 فان مركز الدائرة يقع داخل قطعة
~~ابج على نقطة ز فيظهر لنا ان القطعة المفروضة اعظم من نصف
~~دائرة فاذن قد تبين كيف نتم القطعة المفروضة اين وقع المركز
~~على اج او داخله او خارجه وذلك ما اردنا ان نبين. قال المفسر
~~قسم قوس اج بنصفين ليظهر ان وتر قوس اب مساو لوتر قوس بج
~~لانه لو قسم خط اج بنصفين لكان يقتضى الشكل التاسع والعشرين
~~وهو كيف نقسم قوسا معلومة بنصفين وما كان يظهر له ان
~~وتر قوس اب مساو لوتر قوس بج الا بعد قسمته قوس ابج
~~بنصفين فبالواجب جعل هذا الشكل بعد ذلك الشكل وانما اراد
~~ان يبين ان الزاوية التى عند ا مساوية للزاوية التى عند ج اذا PageV03P112
~~كانت الزاوية المعمولة على نقطة ج تقع كزاوية بجد ليتبين
~~ان خطوط دب دج دا متساوية لتكون النقطة مركزا للدائرة
~~وايضا ليتبين له ان خط اد مثل خط دج ليتبين ان مركز الدائرة
~~على خط بد او على الذى على استقامته.

### || [chapter 33: III 32] الشكل الثانى والثلثون من المقالة الثالثة

#
~~نريد ان نبين كيف نقيم على خط مستقيم معلوم قطعة من
~~دائرة تقبل زاوية مثل زاوية معلومة اى زاوية كانت قائمة او منفرجة
~~او حادة مثاله ان خط اب الخط المعلوم والزاوية المعلومة القائمة
~~زاوية جده والمنفرجة زاوية حطڪ والحادة زاوية نسع فنريد ان
~~نبين كيف نقيم [على] خط اب قطعة من دائرة تقبل زاوية مساوية
~~لزاوية جده ثم قطعة تقبل زاوية مساوية لزاوية حطڪ ثم قطعة
~~تقبل زاوية مساوية لزاوية نسع فنرسم خط اب فى ثلثة مواضع
~~ونبتدى برسم الصورة الاولى فنقسم خط اب بنصفين على نقطة ز
~~ونرسم على نقطة ز وببعد زا وزب دائرة اب فمن اجل ان مركز دائرة
~~اب على خط اب فان خط اب قطر لدائرة اب والقطر يقسم الدائرة
~~بنصفين كما بين سنبليقيوس فى مصادرة المقالة الاولى فكل واحدة
~~من القطعتين اللتين على خط اب نصف دائرة وقد تبين ببرهان
~~ل من ms43 ج ان القطعة التى هى نصف دائرة تقبل زاوية قائمة فنصف
~~الدائرة الذى على خط اب يقبل [زاوية] مثل زاوية جده القائمة ونتلو PageV03P114
~~بالصورة الثانية فنعمل على نقطة ا من خط اب الثانى زاوية مساوية
~~لزاوية حطڪ المنفرجة كما بين عمله ببرهان كج من ا ولتكن
~~زاوية بال ونقيم على نقطة ا من خط ال خط ام عمودا عليه فظاهر
~~ان زاوية لام قائمة وزاوية ماب حادة ثم نعمل على نقطة ب من
~~خط اب زاوية ابم مساوية لزاوية بام فمن اجل ان مثلث امب
~~زاويتاه اللتان فوق القاعدة متساويتان فانه بحسب برهان و من ا
~~يكون خط ما مساويا لخط مب فاذن الدائرة المخطوطة على مركز
~~م وببعد ما تجوز على نقطتى اب ولا يقطع من خط ال ولا الخط
~~الذى على استقامته شيا لانها متى قطعت منه شيا كان الخط
~~المستقيم القائم على طرف قطر ما على زوايا قائمة يقع داخل الدائرة
~~وقد بين ببرهان يه من ج انه يقع خارج الدائرة وانه مماس
~~للدائرة فخط ال اذن مماس للدائرة ومن اجل ان خط ال يماس
~~دائرة اب وقد خرج من النقطة التى عليها المماسة خط اب
~~فقطع الدائرة على غير المركز فبحسب برهان لا من ج تكون الزاوية
~~التى تقع فى قطعة اب الصغرى مساوية لزاوية بال المبادلة لها
~~لكن زاوية بال عملت مساوية لزاوية حطڪ المنفرجة فقد اقمنا
~~على خط اب فى الصورة الثانية قطعة اب الصغرى تقبل زاوية مساوية
~~لزاوية حطڪ المنفرجة وذلك ما اردنا ان نبين. وبقى ان نبين
~~كيف نعمل على خط اب الثالث قطعة دائرة تقبل زاوية مساوية
~~لزاوية نسع الحادة فنعمل على خط اب على نقطة ا زاوية باف PageV03P116
~~مساوية لزاوية نسع فمن اجل ان زاوية نسع حادة تكون زاوية
~~باف حادة ايضا فنقيم على نقطة ا من خط اف عمود اق فزاوية
~~باف حادة فنعمل على نقطة ب من خط اب زاوية ابق مساوية
~~لزاوية باق فمن اجل ان زاويتى ms44 اب متساويتان فان ساقى قا
~~قب متساويتان فنقطة ق مركز الدائرة فالدائرة المرسومة على نقطة
~~ق وببعد قا تمر بنقطتى اب ولا تقطع من خط اف ولا الخط
~~الذى على استقامته شيا ولتكن دائرة اب ومن اجل ان خط اف
~~قائم على طرف قطر قا على زوايا قائمة فبحسب برهان يه من ج
~~يكون خط اف مماسا لدائرة اب من خارج ومن اجل ان خط اف
~~يماس دائرة اب وقد خرج من نقطة المماسة خط اب فقطع الدائرة
~~على غير المركز فان ببرهان لا من ج تكون الزاوية التى تقع فى
~~قطعة اب العظمى مساوية لزاوية نسع فقد اقمنا على خط اب
~~المعلوم قطعة اب العظمى تقبل زاوية مثل زاوية نسع الحادة
~~المعلومة وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 34: III 33] الشكل الثالث والثلثون من المقالة الثالثة

#
~~نريد ان نبين كيف نفصل من دائرة معلومة قطعة تقبل
~~زاوية مساوية لزاوية معلومة فننزل ان الدائرة المعلومة دائرة ابج
~~والزاوية المعلومة زاوية دهز ونريد ان نبين كيف نفصل من دائرة
~~ابج قطعة تقبل زاوية مساوية لزاوية دهز فنجيز على اى نقطة PageV03P118
~~اردنا من النقط التى على محيط دائرة ابج خطا يماس الدائرة
~~فننزل ان النقطة نقطة ج ونجيز عليها خط حط يماس دائرة ابج
~~وذلك بحسب ما بينا ببرهان يه من ج وهو انا نجيز على نقطة ج
~~قطر الدائرة ونقيم على طرف القطر الذى عند نقطة ج خطا على
~~زاوية قائمة وهو خط حط فخط حط اذن مماس للدائرة ونعمل على
~~نقطة ج من خط حط زاوية مساوية لزاوية ده ز ولتكن زاوية بجح
~~فمن اجل ان خط حط يماس دائرة ابج وقد خرج من العلامة
~~التى عليها المماسة خط جب فقطع الدائرة على غير المركز فمن
~~البين ببرهان لا من ج ان زاوية بجح مساوية للزاوية التى
~~تقع فى قطعة باج المبادلة لها لكنا عملنا زاوية بجح مساوية
~~لزاوية دهز فالزاوية التى فى قطعة باج مساوية لزاوية دهز فقد
~~فصلنا من ms45 دائرة ابج قطعة باج تقبل زاوية مساوية لزاوية دهز
~~وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 35: III 34] الشكل الرابع والثلثون من المقالة الثالثة

#
~~كل وترين يتقاطعان فى دائرة فان السطح القائم الزوايا الذى
~~يحيط به احد قسمى [احد] الخطين مع قسمة الاخر مساو للسطح
~~القائم الزوايا الذى يحيط به احد القسمين من الخط الاخر مع
~~قسمة الاخر. هذا التقاطع له ست جهات اما ان يكون التقاطع PageV03P120
~~لهما جميعا على المركز واما ان يكون احدهما يمر بالمركز ويقاطع
~~الاخر بنصفين وعلى زوايا قائمة واما ان يمر احدهما على المركز ولا
~~يقاطع الاخر بنصفين واما ان لا يمرا بالمركز ويقاطع احدهما الاخر
~~بنصفين واما ان لا يمرا بالمركز ولا يقاطع احدهما الاخر بنصفين
~~ولا على زوايا قائمة واما ان لا يمرا بالمركز ولا يقاطع احدهما الاخر
~~بنصفين لكنهما يتقاطعان على زوايا قائمة فنجعل اذن لذلك
~~ست صعب متوالية اولى وثانية وثالثة ورابعة وخامسة وسادسة
~~ولتكن ست دوائر على كل دائرة منها اب جد فلتكن الدائرة الاولى
~~عليها ابجد يتقاطع فيها القطران على مركز ه فاقول ان القائم
~~الزوايا الذى يحيط به قسما اه هج مساو للقائم الزوايا الذى يحيط
~~به قسما به هد برهانه من اجل ان نقطة ه مركز لدائرة ابجد
~~فالخطوط الاربعة متساوية ها هب هج هد لانها خرجت من المركز
~~الى المحيط فالقائم الزوايا الذى يحيط به قسما اه هج مساو للقائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا به هد وذلك ما اردنا ان نبين.
~~وايضا فان فى الصورة الثانية قاطع قطر بد وتر اج بنصفين على
~~نقطة ه فظاهر ببرهان ج من ج انهما يتقاطعان على زوايا قائمة
~~ومركز الدائرة ز ونصل از فمن اجل ان خط بد قد قسم بنصفين
~~على نقطة ز وبقسمين مختلفين على نقطة ه فانه بحسب برهان ه
~~من ب يكون القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع
~~الكائن من خط زه مساويا للمربع الكائن من خط زد لكن خط
~~از مساو ms46 لخط زد فاذن القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع
~~المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من خط از لكن PageV03P122
~~بحسب برهان مو من ا فان المربع الكائن من خط از مساو لمجموع
~~المربعين الكائنين من خطى زه ها فالقائم الزوايا الذى يحيط به
~~خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع المربعين
~~الكائنين من خطى زه ها فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط زه
~~بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مساويا للمربع
~~الكائن من خط اه لكن خط اه مساو لخط هج فالقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا (ا) به هد مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا
~~اه هج وذلك ما اردنا ان نبين.

#
~~وايضا فى الصورة الثالثة تقاطع قطر بد ووتر اج على زوايا غير
~~قائمة على نقطة ه فبين ببرهان ج من ج ان نقطة ه ليست على
~~منصف وتر اج فليكن خط جه اعظم من خط اه ونخرج من المركز
~~وهو نقطة ز الى خط اج عمود زح كما بين اخراجه ببرهان يب من
~~ا فظاهر ببرهان ج من ج ان عمود زح يقسم وتر اج بنصفين على
~~نقطة ح فخط اج قد قسم بنصفين على نقطة ح وبقسمين مختلفين
~~على نقطة ه فببرهان ه من ب يكون القائم الزوايا الذى يحيط به
~~خطا جه ها مع المربع الكائن من خط حه مساويا للمربع الكائن
~~من خط اح وناخذ مربع خط زح مشتركا فالقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا جه ها مع المربعين الكائنين من خطى هح زح مساو
~~لمجموع المربعين الكائنين من خطى زح حا لكن بحسب برهان
~~مو من ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حا مساو
~~للمربع الكائن من خط زد المساوى لخط زا فالقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا جه ها مع المربعين الكائنين من خطى هح زح مساو PageV03P124
~~للمربع الكائن من خط زد وايضا فبحسب برهان مو من ms47 ا فان
~~مجموع المربعين الكائنين من خطى حزحه مساو للمربع الكائن من
~~خط زه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن
~~من خط زه مساو للمربع الكائن من خط زد. وايضا فان خط
~~بد قد انقسم بنصفين على نقطة ز وبقسمين مختلفين على نقطة
~~ه فبحسب برهان ه من ب فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا
~~به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو للمربع الكائن من
~~خط زد فالقائم الزوايا الذى يحيط ٮه خطا به هد مع المربع الكائن
~~من خط زه اذن مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع
~~المربع الكائن من خط زه فاذا القينا المربع الكائن من خط زه
~~المشترڪ بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مساويا
~~للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد وذلك ما اردنا ان نبين.
~~وايضا فى الصورة الرابعة تقاطع وترا اج بد على غير المركز لكن
~~قطع احدهما الاخر بنصفين فننزل ان خط بد قاطع اج بنصفين
~~على علامة ه فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هج
~~[مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد] برهانه من اجل
~~ان خط بد قاطع اج بنصفين على نقطة ه فان خط اج غير
~~مقاطع لخط بد بنصفين لانه قد تبين ببرهان د من ج ان كل
~~وترين يتقاطعان فى دائرة ولا يجوزان على المركز فليس يقطع كل
~~واحد منهما الاخر بنصفين فخط اج اذن يقطع خط بد بقسمين
~~مختلفين فلننزل القسم الاعظم خط به ونخرج من المركز الذى
~~هو نقطة ز عمودا الى خط دب وليكن عمود زح ونخرج خطوط زه PageV03P126
~~زد زا فمن اجل ان خط بد قد انقسم بنصفين على علامة ح
~~وبقسمين مختلفين على علامة ه فبحسب برهان ه من ب فان
~~القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من
~~خط حه مساو للمربع الكائن من خط حد وناخذ ms48 مربع خط زح
~~مشتركا فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربعين
~~الكائنين من خطى حه حز مساو لجميع المربعين الكائنين من
~~خطى حز حد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حه
~~مساو للمربع الكائن من خط زه فيكون القائم الزوايا الذى يحيط
~~به خطا به هد مع المربع الكائن من خط هز مساويا لمجموع
~~المربعين الكائنين من خطى زح حد لكن بحسب برهان مو من
~~ا فان مجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد مساو للمربع
~~الكائن من خط از المساوى لخط زد فالقائم الزوايا الذى يحيط به
~~خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه اذن مساو للمربع الكائن
~~من خط از ومن اجل ان نقطة ه منصف خط اج وقد خرج من
~~نقطة ز التى هى المركز اليه خط زه فظاهر بحسب برهان ج من ج
~~ان زاوية اهز قائمة فمجموع المربعين الكائنين من خطى زه ها مساو
~~للمربع الكائن من خط از فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط زه
~~المشترڪ بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مساويا
~~للمربع الكائن من خط اه لكن اه مساو لخط هج فالقائم الزوايا
~~الذى يحيط به خطا به هد اذن مساو للقائم الزوايا الذى يحيط
~~به خطا اه هج وذلك ما اردنا ان نبين. وايضا فى الصورة الخامسة
~~تقاطع وترا اج بد على نقطة ه وليس واحد منهما يمر بالمركز ولا PageV03P128
~~احدهما يقطع الاخر بنصفين فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط
~~به خطا به هد مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هج
~~برهانه انا نستخرج المركز وليكن نقطة ز ونخرج عمودى زح زط
~~الى خطى بد جا ونخرج خطوط زا زد زه فظاهر بحسب ما بينا قبل
~~ان بح مساو لخط حد وخط جط مساو لخط اط فمن اجل ان
~~خط اج قد انقسم بنصفين على نقطة ط وبقسمين مختلفين على
~~نقطة ه فبحسب برهان ه من ب يكون القائم الزوايا ms49 الذى يحيط
~~به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط طه مساويا للمربع
~~الكائن من خط طا فاذا اخذنا المربع الكائن من خط زط
~~مشتركا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع مجموع
~~المربعين الكائنين من خطى طه طز مساويا لمجموع المربعين
~~الكائنين من خطى اط طز لكن مجموع المربعين الكائنين من
~~خطى طه طز مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع
~~المربعين الكائنين من خطى زط طا لكن مجموع المربعين
~~الكائنين من خطى زط طا مساو للمربع الكائن من خط زد
~~المساوى لخط زا لان زاوية اطز قائمة وذلك بين ببرهان مو من ا
~~فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من
~~خط زه مساو للمربع الكائن من خط زد وايضا فان خط بد قد
~~انقسم كما بينا بنصفين على علامة ح وبقسمين مختلفين على
~~علامة ه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع
~~الكائن من خط هح مساو للمربع الكائن من خط حد وناخذ PageV03P130
~~خط حز مشتركا فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع
~~مجموع المربعين الكائنين من خطى حه حز مساو لمجموع المربعين
~~الكائنين من خطى حز حد لكن مجموع المربعين الكائنين من
~~خطى حز حه مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو لمجموع
~~المربعين الكائنين من خطى حز حد لكن مجموع المربعين
~~الكائنين من خطى حز حد مساو للمربع الكائن من خط زد
~~فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من
~~خط هز مساو للمربع الكائن من خط زد وقد كنا بينا ان القائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مع المربع الكائن من خط هز
~~مساو ايضا للمربع الكائن من خط زد فاذا اسقطنا المربع الكائن
~~من خط ms50 زه بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا جه ها مساو
~~للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد وذلك ما اردنا ان نبين
~~وايضا فى الصورة السادسة تقاطع وترا اج بد على نقطة ه وليس
~~واحد منهما على المركز لكنهما يتقاطعان على زوايا قائمة على نقطة
~~ه فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هج مساو للقائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا به هد برهانه انا نستخرج مركز
~~الدائرة وليكن نقطة ز ونخرج منها الى خطى اج بد عمودى زح
~~زط فظاهر انهما يقسمان خطى اج بد كل واحد منهما بنصفين
~~فخط بد قد انقسم بنصفين على نقطة ح وبقسمين مختلفين على
~~نقطة ه فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن PageV03P132
~~من خط حه مساو للمربع الكائن من خط حد فاذا اخذنا خط
~~زح مشتركا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع
~~المربعين الكائنين من خطى حه حز مساويا لمجموع المربعين
~~الكائنين من خطى زح حد لكن مجموع المربعين الكائنين من
~~خطى زح حه مساو للمربع الكائن من خط زه فالقائم الزوايا
~~الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط زه مساو
~~لمجموع المربعين الكائنين من خطى زح حد لكن مجموع المربعين
~~الكائنين من خطى زح حد مساو للمربع الكائن من خط زج
~~المساوى لخط زد لان زاوية زحد قائمة وبمثل هذا البرهان يتبين
~~ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا اه هج مع المربع الكائن من
~~خط زه مساو للمربع الكائن من خط زج فيكون القائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا اه هج مع المربع الكائن من خط هز مساويا للقائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا به هد مع المربع الكائن من خط هز
~~فاذا اسقطنا المربع الكائن من خط هز بقى القائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا به هد مساويا للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا
~~اه هج وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 36: III ms51 35] الشكل الخامس والثلثون من المقالة الثالثة

#
~~كل علامة مفروضة خارج دائرة يخرج منها خطان مستقيمان
~~احدهما يقطع الدائرة والاخر يماسها فان السطح القائم الزوايا
~~الذى يحيط به الخط القاطع للدائرة وقسمه الذى يقع خارج الدائرة
~~مساو للمربع الكائن من الخط المماس للدائرة وهذا ينقسم الى PageV03P134
~~ثلثة اوضاع اما ان يكون وضع الخط القاطع على مركز الدائرة واما
~~ان يكون فى النصف الذى بين المركز وبين الخط المماس للدائرة
~~واما ان يكون فى النصف الاخر مثاله انا ننزل دائرة اب على الوضع
~~الاول وننزل ان خارجا منها علامة د وقد خرج منها الى الدائرة
~~خطان احدهما يقطعها ويجوز على مركزها وينتهى الى محيطها وهو
~~خط دجب والاخر يماسها على نقطة ا وهو خط دا فاقول ان القائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مساو للمربع الكائن من خط
~~اد برهانه انا ننزل ان مركز الدائرة علامة ه ونخرج ها فظاهر بحسب
~~برهان يز من ج ان زاوية داه قائمة وذلك لان خط اد فرض مماسا
~~للدائرة على نقطة ا وقد خرج من نقطة ا الى مركز الدائرة خط اه
~~فهو اذن عمود على خط اد بحسب برهان مو من ا فان مجموع
~~المربعين الكائنين من خطى اد اه مساو للمربع الكائن من خط
~~ده ومن اجل ان خط بج قد قسم بنصفين على نقطة ه وزيد فى
~~طوله خط جد فانه بحسب برهان [و] من [ب] يكون القائم الزوايا
~~الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط جه مساويا
~~للمربع الكائن من خط هد وقد كنا بينا ان المربع الكائن من
~~خط ده مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى دا اه
~~فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من
~~خط جه مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى اه اد لكن
~~المربع الكائن من خط اه مساو للمربع الكائن من خط هج فاذا PageV03P136
~~اسقطنا هما من الجهتين بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا ms52 بد
~~دج مساويا للمربع الكائن من خط اد وذلك ما اردنا ان نبين.
~~وايضا فانا ننزل دائرة اب على الوضع الثانى وان علامة د مفروضة
~~خارجها وقد خرج منها خط دجب يقطع الدائرة وينتهى الى
~~اخمصها وخط اد يماسها على نقطة ا فاقول ان القائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا بد دج مساو للمربع الكائن من خط اد برهانه
~~انا نستخرج مركز الدائرة كما بين ببرهان ا من ج ونخرج
~~خطوط ده ها هج ونخرج من نقطة ه الى خط جب عمود هز كما بين
~~اخراجه ببرهان يب من ا فظاهر بما بين ببرهان ج من ج ان
~~خط هز يقسم خط بج بنصفين فخط بج قد انقسم على نقطة ز
~~بنصفين وقد زيد فى طوله خط جد فبين ببرهان و من ب ان
~~القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من
~~خط جز مساو للمربع الكائن من خط زد فاذا اخذنا المربع الكائن
~~من خط زه مشتركا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج
~~مع المربعين الكائنين من خطى جز زه مساويا للمربعين الكائنين
~~من خطى زه زد لكن مجموع المربعين الكائنين من خطى زه زج
~~مساو للمربع الكائن من خط هج فالقائم الزوايا الذى يحيط به
~~خطا بد دج مع المربع الكائن من خط هج مساو لمجموع المربعين
~~الكائنين من خطى زه زد لكن مجموع المربعين الكائنين من
~~خطى زه زد مساو للمربع الكائن من خط هد وذلك بين ببرهان PageV03P138
~~مو من ا لان زاوية هزد قائمة فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا
~~بد دج مع المربع الكائن من خط هج اذن مساو للمربع الكائن
~~من خط هد ومن اجل ان خط اد يماس دائرة اب على نقطة ا وقد
~~خرج من نقطة ا الى المركز خط اه على زوايا قائمة فبحسب برهان
~~يز من ج فان زاوية داه قائمة وبحسب برهان مو من ا يكون مجموع
~~المربعين الكائنين من خطى دا ms53 اه مساو للمربع الكائن من خط
~~هد وقد كنا بينا ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع
~~المربع الكائن من خط هج مساو للمربع الكائن من خط ده فالقائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط هج
~~اذن مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد ومن اجل
~~ان خط ها مساو لخط هج فان مربعيهما متساويان فاذا اسقطناهما
~~من الجهتين بقى القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مساويا
~~للمربع الكائن من خط اد وذلك ما اردنا ان نبين. وايضا فانا
~~ننزل ان دائرة اب على الوضع الثالث ونقطة د خارجة عنها وقد
~~خرج منها الى الدائرة خط[ا] دجب دا اما خط دجب فانه يقطعها
~~وينتهى الى اخمصها الى نقطة ب واما خط دا فيماسها على نقطة ا
~~فاقول ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مساو للمربع
~~الكائن من خط اد برهانه انا نستخرج المركز وليكن نقطة ه
~~ونخرج خطوط ده هج ها ونخرج من نقطة ه خط هز ونقسم خط بج
~~على زوايا قائمة فبين بحسب برهان ج من ج انه نقسمه بنصفين
~~فخط بج قد انقسم بنصفين على نقطة ز وقد زيد فى طوله خط PageV03P140
~~جد فبحسب برهان ومن ب فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا
~~بد دج مع المربع الكائن من خط جز مساو للمربع الكائن من
~~خط زد فاذا اخذنا خط زه مشتركا كان القائم الزوايا الذى يحيط
~~به خطا بد دج مع مجموع المربعين الكائنين من خطى جز زه
~~مساويا لمجموع المربعين الكائنين من خطى زه زد لكن بحسب
~~برهان مو من ا يكون مجموع المربعين الكائنين من خطى زه زد
~~مساويا للمربع الكائن من خط هد لان زاوية هزد قائمة فالقائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط
~~هج مساو للمربع الكائن من خط هد ومجموع المربعين الكائنين
~~من خطى ها اد ايضا مساو للمربع ms54 الكائن من خط هد والمساوية
~~لشى واحد فهى متساوية فمجموع المربعين الكائنين من خطى ها
~~اد مساو للقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع
~~الكائن من خط هج ومن اجل ان خط هج مساو لخط ها فان
~~مربعيهما متساويان فاذا اسقطناهما من الجهتين بقى القائم الزوايا
~~الذى يحيط به خطا بد دج مساويا للمربع الكائن من خط اد
~~وذلك ما اردنا ان نبين.

### || [chapter 37: III 36] الشكل السادس والثلثون من المقالة الثالثة

#
~~كل علامة مفروضة خارج دائرة يخرج منها الى الدائرة خطان
~~مستقيمان احدهما يقطع الدائرة وينتهى الى اخمصها والاخر يلقى
~~تقبيبها فقط وكان السطح الذى يحيط به الخط القاطع وقسمه
~~الخارج من الدائرة مساويا للمربع الكائن من الخط الملاقى PageV03P142
~~لتقبيب الدائرة فان الخط الملاقى للدائرة ممماس للدائرة ونعيذ
~~الصورة الاولى من الصور الثلث المتقدمة فاقول اذا كانت نقطة د
~~خارجة من دائرة اد وخرج منها خطان احدهما كخط دجب وهو
~~يقطع الدائرة والاخر كخط اد ينتهى الى تقبيبها الى نقطة ا وكان
~~القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مساويا للمربع الكائن
~~من خط اد فان خط اد يماس دائرة اب على نقطة ا برهانه انا
~~نصل خط اه فمن اجل ان خط بج قد انقسم بنصفين على نقطة
~~ة وزيد فى طوله خط جد فان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا
~~بد دج مع المربع الكائن من خط هج مساو للمربع الكائن من
~~خط هد لكن مربع خط هج مساو لمربع خط ها والقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا بد دج مساو للمربع الكائن من خط دا فالقائم الزوايا
~~الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط هج مساو
~~لمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد وقد كنا بينا ان
~~القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من
~~خط هج مساو للمربع الكائن من خط هد فالمربع الكائن من خط
~~هد اذن مساو لمجموع المربعين الكائنين من خطى ms55 اه اد وكل
~~مثلث يكون مجموع المربعين الكائنين من الخطين اللذين يحيطان
~~باحد زواياه مساويا لمربع الخط الذى يوتر تلك الزواية فان تلك
~~الزاوية قائمة وذلك بين ببرهان مز من ا فزاوية هاد اذن قائمة
~~وكل خط يخرج من طرف قطر دائرة على زوايا قائمة فان ذلك
~~الخط مماس للدائرة وذلك بين ببرهن يه من ج فخط اد اذن
~~يماس دائرة اب على نقطة ا وذلك ما اردنا ان نبين فلنعد رسم PageV03P144
~~الصورة الثانية كهئتها فاقول اذا كان القائم الزوايا الذى يحيط به
~~خطا بد دج مساويا للمربع الكائن من خط اد فان زاوية داه
~~قائمة برهانه من اجل ان فى رسم الصورة الثانية قد تبين ان القائم
~~الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط هج
~~مساو للمربع الكائن من خط هد وظاهر ايضا ان المربع الكائن
~~من خط هج مساو للمربع الكائن من خط ها والقائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا بد دج مساو للمربع الكائن من خط اد فمجموع
~~المربعين الكائنين من خطى اد اه مساو للمربع الكائن من خط
~~هد فبين بحسب ما بينا فى الشكل المتقدم ان زاوية هاد قائمة فخط
~~اد مسماس لدائرة اب وذلك ما اردنا ان نبين. ونعيد ايضا رسم
~~الصورة الثالثة فاقول اذا كان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد
~~دج مساويا للمربع الكائن من خط اد فان زاوية داه قائمة برهانه
~~من اجل ان فى رسم الصورة الثالثة قد تبين ان القائم الزوايا الذى
~~يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط هج مساو للمربع
~~الكائن من خط هد ومربع هج مساو لمربع خط ها لانهما متساويان
~~وفرضنا على ان القائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد دج مساو
~~للمربع الكائن من خط اد فالقائم الزوايا الذى يحيط به خطا بد
~~دج مع المربع الكائن من خط هج مساو لمجموع المربعين
~~الكائنين من خطى ها اد لكنا قد بينا ان القائم الزوايا الذى ms56
~~يحيط به خطا بد دج مع المربع الكائن من خط هج مساو للمربع
~~الكائن من خط هد فمجموع المربعين الكائنين من خطى ها اد
~~مساو للمربع الكائن من خط هد فبحسب برهان مز من ا تكون PageV03P146
~~زاوية هاد قائمة وبحسب برهان ه من ج فان خط اد مماس لدائرة
~~اب على نقطة ا وذلك ما اردنا نبين.

#
~~تمت المقالة الثالثة من كتاب اوقليدس والحمد لله وصلى
~~الله على محمد واله وسلم.

PageV03P148 ms57