######OpenITI#

#META# URI: 1450ZahraSami.AcdadWaBinaInsan.Hindawi74946286
#META# Tags: linguistics
#META# ID: 74946286
#META# Title: الأعداد وبناء الإنسان: العد ومسار الحضارات الإنسانية
#META# AuthorID: 16251950
#META# Author: كيليب إفريت
#META# EditorID: 46097241
#META# Editor: هبة عبد العزيز غانم
#META# TranslatorID: 83840647
#META# Translator: الزهراء سامي
#META# Related_books: 1450CalebEverett.NumbersMakingUs (TRANSL)

#META#Header#End#

# شكر وتقدير‏

# تمهيد‏

# الجزء الأول: تغلغل الأعداد في الخبرة البشرية‏

# 1 - الأعداد منسوجة في حاضرنا‏

# 2 - الأعداد منقوشة في ماضينا‏

# 3 - رحلة عددية حول العالم اليوم‏

# 4 - ما بعد مفردات الأعداد: أنواع أخرى
~~من اللغة العددية‏

# الجزء الثاني: عوالم بلا أعداد‏

# 5 - شعوب لا عددية معاصرة‏

# 6 - الكميات في عقول الأطفال الصغار‏

# 7 - الكميات في عقول الحيوانات‏

# الجزء الثالث: الأعداد وتشكيل حياتنا‏

# 8 - اختراع الأعداد والحساب‏

# 9 - الأعداد والثقافة: نمط الإعاشة والرمزية‏

# 10 - أدوات تحويلية‏

# ملاحظات‏

# شكر وتقدير‏

# تمهيد‏

# الجزء الأول: تغلغل الأعداد في الخبرة البشرية‏

# 1 - الأعداد منسوجة في حاضرنا‏

# 2 - الأعداد منقوشة في ماضينا‏

# 3 - رحلة عددية حول العالم اليوم‏

# 4 - ما بعد مفردات الأعداد: أنواع أخرى
~~من اللغة العددية‏

# الجزء الثاني: عوالم بلا أعداد‏

# 5 - شعوب لا عددية معاصرة‏

# 6 - الكميات في عقول الأطفال الصغار‏

# 7 - الكميات في عقول الحيوانات‏

# الجزء الثالث: الأعداد وتشكيل حياتنا‏

# 8 - اختراع الأعداد والحساب‏

# 9 - الأعداد والثقافة: نمط الإعاشة والرمزية‏

# 10 - أدوات تحويلية‏

# ملاحظات‏








# | الأعداد وبناء الإنسان








# | الأعداد وبناء الإنسان






# | العد ومسار الحضارات الإنسانية




# تأليف

# كيليب إفريت

# ترجمة

# الزهراء سامي

# مراجعة

# هبة عبد العزيز غانم






# إلى جيمي وجود، اللذين أثريا حياتي بطرق لا تحصى.





# | شكر وتقدير




# لقد ساهمت الجائزة السخية التي منحتها مؤسسة «كارنيجي كوربوريشن
~~أوف نيويورك» في إخراج هذا الكتاب إلى النور. أما البيانات والآراء
~~الواردة فيه، فهي تعبر عني وحدي بالطبع.

# إنني أكن الكثير من مشاعر الامتنان للإرشادات القيمة التي قدمها
~~لي محرري، جف دين، في دار نشر هارفارد يونيفرسيتي برس، وأكن الكثير
~~من مشاعر التقدير أيضا لمايكل فيشر الذي كان أول من رأى أن هذا
~~العمل سيكون واعدا. وقد نال الكتاب فائدة عظيمة من التعليقات الوجيهة
~~التي قدمها أربعة من المراجعين المرموقين؛ وأنا ممتن لكل واحد منهم
~~لما بذلوه من وقتهم في قراءة المخطوطة الأولية. إن ما قدموه من
~~تعليقات ونقد قد جعل الكتاب أفضل. وثمة عدد كبير من الباحثين
~~اللامعين الذين ساهموا سواء بصورة مباشرة أو غير مباشرة ms001 في الأبحاث
~~التي عرضها هذا الكتاب، والذين أتقدم لهم بجزيل الشكر. وإذا كنت
~~أحد الأشخاص الذين يقومون بالأبحاث الرائعة التي يعتمد عليها هذا
~~الكتاب، فشكرا لك على عملك.

# لقد كتبت بعض أجزاء هذا الكتاب على متن سفينة «إم في إكسبلورر» في
~~برنامج «سيمستر أت سي»، خلال الرحلات الطويلة في المحيط، والتي زاد من
~~متعتها الأشخاص الذين التقيت بهم على تلك السفينة. وكتبت بعض
~~الأجزاء أيضا في لاجوا دا كونسيساو، المحتجبة في منحدر تل من
~~الفردوس. أما معظم أجزائه، فقد كتبت في جامعة ميامي، وهي مكان رائع
~~للكتابة وإجراء الأبحاث. إنني أعمل هناك فقط لأنه قبل بضع سنوات،
~~قامرت هيئة التدريس في قسم الأنثروبولوجيا على باحث صغير، كانوا قد
~~قابلوه لأول مرة خلال توقف مؤقت في مطار ميامي الدولي. وأنا لا
~~أزال ممتنا لهم على ذلك. ويجب الشكر أيضا لزملائي الآخرين في جامعة
~~ميامي، والذين قد جعلوا تجربتي هناك تجربة رائعة. وقد شرفت أيضا
~~بأن كان لي الكثير من الطلاب الرائعين في جامعة ميامي، والذين ناقشت
~~معهم بعض الأفكار الواردة في هذا الكتاب.

# لقد كان لوالدي كليهما بعض التأثير في هذا العمل بطريق مباشر
~~وغير مباشر أيضا، وأرجو أن يكون ذلك قد اتضح في صفحات هذا الكتاب.
~~إنني أشكرهما على ذلك وعلى جميع ما منحاني إياه، وهو ما أدرك أنني
~~لا أستطيع أن أتذكر الجزء الأكبر منه. وسأظل ممتنا على الدوام
~~لأختي الرائعتين وأسرتيهما المذهلتين، وإلى آل سكوتي أيضا.
~~وأخيرا، لم يكن هذا الكتاب ليصبح ممكنا لولا زوجتي جيمي وابننا
~~جود.





# | تمهيد






# | عن نجاح نوعنا البشري




# البقاء على قيد الحياة ليس بالأمر السهل. وإذا كنت قد أقدمت من قبل
~~على العيش في بيئة لا تخضع لنموذج المجتمع المعاصر، فالأرجح أنك قد
~~أدركت هذه الحقيقة سريعا. إن الترحال بمفردك في إحدى الغابات
~~الاستوائية مثلا، يطبع في ذهنك هذه الفكرة بعمق؛ فبخلاف الإرهاق
~~الذي يسببه الهواء الخانق، والتعرق المصاحب له (أسلوب تكيفي
~~ضعيف في الأماكن ذات الرطوبة الخانقة) إضافة إلى المتاعب الأخرى من ms002
~~البكتيريا والفيروسات والحشرات، والأنواع الأكبر حجما التي ربما
~~تفترسك، سوف تجد أن مجرد الحصول على الماء والغذاء أمر شاق، أو 
~~محال تماما. وإذا أتيحت لك الفرصة في أن تتبع بعض السكان الأصليين
~~الذين يقطنون الأدغال، وتسير خلفهم على الغطاء النباتي اللين الذي
~~ينتشر في غابات الأمازون، فسوف تصبح واعيا تماما، إذا كنت
~~تشبهني بأي حال من الأحوال، بمدى سرعة شعورك بالإنهاك من البيئة
~~المحيطة، لولا معرفة هؤلاء الذين تتبعهم. إن جوليان كوبكه التي
~~اشتهرت بنجاتها من تحطم طائرتها على بعد آلاف الأمتار فوق غابات
~~بيرو عام 1971، قد أدهشت العالم حين نجت من الحادثة، وظلت وحدها
~~على مدار تسعة أيام في الأدغال. ولأنها ابنة مراهقة لأبوين من
~~علماء الأحياء كانا يعملان في الأمازون؛ فإن معرفتها بالنظام البيئي
~~المحيط قد أنقذت حياتها، غير أنها لم تستطع الحصول على الغذاء خلال
~~تجربتها القاسية، وكان من أنقذها في النهاية بعض الأفراد الذين
~~ينتمون إلى مجتمع محلي، ويقطنون بجوار أحد الأنهار.

# إن معظم الأفراد الذين يكونون في وضعها، بمفردهم في إحدى الغابات،
~~لا يتمكنون من النجاة، وينطبق الأمر نفسه على الذين يضلون طريقهم
~~في غير ذلك من الأنظمة البيئية البدائية غير المألوفة. وتاريخ
~~الملاحة في المحيطات يمتلئ بقصص المستكشفين الذين اضطروا إلى
~~الاعتماد على الخبرة المحلية لمجتمعات السكان الأصليين، حين كانوا
~~يرسون في بيئات طبيعية جديدة. أما «برامج الواقع» التي تعرض على
~~التلفاز، والتي تقوم على أساس تصوير أفراد يعيشون في البرية دون
~~مساعدة خارجية، فعادة ما يكون تنفيذها ممكنا لأن الناجي
~~«المنعزل» الذي يجري تصويره مزود بالأدوات الأساسية، وهو يحصل على
~~الدعم من فريق من المنتجين الذين أعدوه بطرق مختلفة للعيش في
~~البيئات التي «سيترك فيها» مع طاقم الفيلم المزود بقدر كاف من
~~المؤن. وبالرغم من أنه قد يكون أمرا مخزيا، فأنا أو أنت سنموت على
~~الأرجح خلال أيام أو ربما أسابيع إن كنا أكثر حظا، إذا تركنا
~~منعزلين في معظم الأنظمة البيئية الموجودة في العالم.

# 1

# والأكثر غرابة من ذلك أن الأفراد الذين ms003 ينتمون إلى مجتمعات السكان
~~الأصليين، غالبا ما يواجهون صعوبات في بيئات يعرفونها جيدا،
~~إذا تعرضوا مصادفة للعزلة؛ فضلال الطريق تحت مظلة الغابة قد يكون
~~أقل خطرا نسبيا لسكان الغابات الاستوائية الأصليين على سبيل
~~المثال، غير أنه يمكن أن يظل أمرا قاسيا. لقد سمعت عن بعض أفراد
~~إحدى القبائل التي تعيش في الأمازون، وقد تعرضوا لخطر ضلال طريقهم في
~~مكان غير بعيد عن قريتهم، ولم يتمكنوا من النجاة إلا بصعوبة
~~بالغة، أو في بعض الحالات المؤسفة لاقوا حتفهم. ومثل هذه الحالات
~~تؤكد لنا نقطة مهمة غالبا ما نهملها، وهي أن بقاء البشر على قيد
~~الحياة هو أمر مرهون بالمعرفة المخزونة في مستودع الثقافة، والذي نصل
~~إليه من خلال الوسائل اللغوية. إننا نعتمد في حياتنا اليومية على
~~معارف لا نملكها نحن على وجه التحديد، وإنما يمكن لنا أن نستخلصها
~~بسهولة من عقول الآخرين، وهي لم تتأت لهم إلا بصعوبة كبيرة، أو
~~اكتسبوها مصادفة على مدار آلاف الأعوام في العديد من الحالات.
~~فلتتأمل في بعض الأمثلة من ثقافتك الخاصة؛ إنك لم تضطر إلى
~~اختراع السيارة، أو التدفئة الداخلية بالمنازل، أو الطريقة الأكثر
~~كفاءة لتخلية صدور الدجاج من العظام، بل ورثت هذه التقنيات
~~والسلوكيات؛ فلطالما اقتديت بالآخرين في أفعالك، وتعلمت منهم
~~سلوكياتك، سواء بطريقة رسمية أو بطريقة غير رسمية، عن طريق اللغة. إن
~~مجموع أنشطتنا اليومية، بما فيها تلك الأنشطة المتعلقة بالعمليات
~~الأساسية، مثل تناول الطعام  والنوم،
~~تستند كليا إلى أفكار استقيناها من المحيطين بنا، الذين
~~استقوها بدورهم من آخرين. وبالرغم من أن بعض الاحتياجات هي
~~احتياجات حيوية محتومة، فإن ثقافتنا الأصلية هي التي تشكل الأسلوب
~~الذي نتخذه في التعامل مع مثل هذه الاحتياجات. كل الاختراعات
~~المادية والسلوكية التي تسهل حياتك، بداية من فرشاة الأسنان وحتى
~~المصافحة بالأيدي، قد اخترعها إنسان آخر أو مجموعة أخرى من البشر.
~~وأما الأفكار فإننا نرث منها أكثر بكثير مما نبدعه، وينطبق الأمر
~~نفسه على أفراد ثقافات أخرى تختلف تماما عن ثقافتنا؛ فالصيادون في
~~نيو غينيا لا يحتاجون إلى ms004 اختراع الأقواس والسهام حين تقتضي الحاجة، بل
~~ورثوا هذه التقنية من خلال التدريس والمحاكاة. إن كل جيل في أي
~~ثقافة يبني على معارف الأجيال السابقة، التي تكون قد اكتسبت في
~~معظم الأحيان عن طريق الاكتشافات العرضية التي ربما قد تبعت
~~أحداثا مؤلمة أو مهلكة؛ فالأقواس والسهام وغيرها من أدوات الصيد على
~~سبيل المثال، لم تخترع في غمضة عين، بل تطورت على مدار القرون
~~فيما راح الصيادون يدركون تدريجيا بعض المزايا التي تنقذ حياتهم،
~~والتي تمتلكها بعض الأقواس والسهام دون غيرها؛ لأسباب
~~معينة.

# 2

# إن الأساليب التي نستخدمها للنجاة والتكيف، والتي تتحسن
~~باستمرار، هي نتيجة «تأثير السقاطة الثقافي». يشير هذا المصطلح،
~~الذي روجه اختصاصي علم النفس ودراسة الرئيسات من جامعة ديوك؛ مايكل
~~توماسلو، إلى حقيقة أن البشر يتعاونون معا في الاحتفاظ بالمعرفة
~~من جيل إلى الجيل التالي، مثل ترس السقاطة الذي يدور في اتجاه
~~واحد ولا يمكن عكس اتجاه دورانه أبدا. وبعبارة أخرى، فإن نجاح
~~نوعنا يعود بدرجة كبيرة إلى قدرة الأفراد على التعلم من السلوكيات
~~النافعة التي توصل إليها أسلافهم أو معاصروهم في المجتمع،
~~ومحاكاتها. إن ما يتميز به البشر، ليس أننا أذكياء فحسب، بل
~~أننا لا نحتاج باستمرار إلى التوصل إلى حلول جديدة للمشكلات
~~القديمة نفسها. إننا نعرف ما كان ناجحا في الماضي، وإن كنا لا نعرف
~~دائما سبب نجاحه في الماضي؛ فكونك قادرا على إعادة تسخين شطيرة من
~~البوريتو لا يعني أنك تعرف أي شيء عن كيفية تصميم جهاز الميكروويف
~~أو الشبكة الكهربائية التي تمكنك من استخدامه.

# 3

# إن أهمية الاكتساب التدريجي للمعرفة المخزونة في المجتمع والمتجسدة
~~فيه ثقافيا، لكنها غير محصورة في عقل فرد واحد بعينه، تتبلور حين
~~نرى حالات لثقافات قد اندثرت بأكملها تقريبا؛ لأن بعضا من
~~معرفتها المخزونة قد تبدد بسبب موت أفراد
~~قد كانوا عقدا أساسية في شبكة
~~المعرفة الخاصة بالمجتمع؛ ففي حالة مجتمع الإسكيمو القطبي في نورث
~~ويست جرينلاند، تضاءل عدد السكان في منتصف القرن التاسع عشر بعد وباء
~~قتل عددا من كبار ms005 السن في المجتمع. وقد دفن هؤلاء المسنون
~~ودفنت معهم أدواتهم وأسلحتهم؛ وفقا لتقاليد المجتمع، وتأثرت
~~قدرة الإسكيمو على صنع هذه الأدوات والأسلحة، تأثرا سلبيا كبيرا.
~~وقد أدى ضياع مثل هذه المعرفة وغيرها من المعارف، إلى عرقلة جهودهم في
~~صيد الوعول والفقمات، وكذلك صيد أسماك المياه الباردة. ونتيجة
~~لذلك، فإن عدد السكان لم يبدأ في التزايد إلا بعد قرابة أربعين
~~عاما، وذلك عند تواصلهم مع مجموعة أخرى من الإسكيمو، مما سمح لهم
~~باستعادة قاعدة المعرفة الخاصة بمجتمعهم البدائي. وعلى مدار التاريخ
~~البشري، اندثرت ثقافات بأكملها بسبب عمليات تدهور مماثلة لخبرات
~~أفراد هذه الثقافة المتعلقة بالنجاة، أو بسبب ضياع تقنيات مادية
~~أساسية، لم يكن من الممكن نسخها بسهولة.

# 4

# إن مثل هذه الحالات تنفي
~~بصورة مباشرة ذلك المفهوم الرائج أو الأسطوري مثلما قد يسميه
~~بذلك البعض، والذي يقول بأن البشر متفوقون لأنهم يتمتعون بذكاء
~~فطري أكبر من ذكاء الأنواع الأخرى. والواقع أنها فكرة واهية لا يدعمها
~~قدر كاف من الأدلة؛ فبالرغم من أننا أذكى من الأنواع الأخرى
~~بالتأكيد، ولدينا بالفعل زيادة نسبية في حجم الدماغ (حجم الدماغ كبير
~~مقارنة بحجم الجسم)؛ فقدراتنا الإدراكية الفطرية في بعض الجوانب، ليست
~~متطورة بالقدر الذي كنا نظنه من قبل. إن العديد من سماتنا
~~الفكرية المميزة، ليست متأصلة في جيناتنا، وإنما تعلمناها
~~بطرق عديدة تستند إلى الثقافة. وبالرغم من أن الانتخاب الطبيعي
~~قد أثمر بالتأكيد عن أدمغة بشرية مميزة، فالأمر المثير حقا بشأن
~~نوعنا هو ما تمكنا من تحقيقه بهذه الأدمغة منذ بزوغ الثقافة. في هذا
~~الكتاب، سأنضم إلى الكورال التصعيدي الذي يتكون من العلماء في مجال
~~أصل الإنسان، وعلماء اللغة، وعلماء النفس، وغيرهم من العلماء الذين
~~يؤكدون على هذه النقطة. حيث يؤكد هؤلاء العلماء أن الاختراعات
~~القائمة على الثقافة، مثل اللغة، قد دشنت ثورة إدراكية وسلوكية في
~~نوعنا. وأنا أقترح في هذا الكتاب أن مجموعة من الأدوات المفاهيمية
~~تدعى «الأعداد»، وهي الكلمات وغيرها من الرموز التي تستخدم للإشارة
~~إلى كميات محددة، هي مجموعة بارزة من الاختراعات ms006 المستندة إلى
~~اللغة، والتي قد أسهمت في تميز نوعنا بطرق لم تكن تحظى بالتقدير
~~الكافي. وكما سنرى، فالأعداد هي اختراعات بشرية غيرت البيئات التي 
~~نحيا فيها ونتطور، مثلها في ذلك مثل الطهي والأدوات الحجرية
~~والعجلة. وبالرغم من أن العلماء في مجال أصل الإنسان وغيره من
~~المجالات، طالما كانوا مولعين بالتركيز على مثل هذه الاختراعات
~~ودورها في تغيير نص قصة البشرية، فإن دور الأعداد لم يحظ
~~بالانتباه الكافي من قبل. والسبب الذي كان يشجع على عدم الاهتمام هو
~~أمر بسيط للغاية: أننا لم نبدأ في إدراك حجم إسهام الأدوات التي
~~تدعى «الأعداد» في إعادة تشكيل الخبرة البشرية، إلا الآن.



# الجزء
                                                         الأول



# | تغلغل الأعداد في الخبرة البشرية






# الفصل الأول



# | الأعداد منسوجة في حاضرنا




# كم عمرك؟ منذ سن مبكرة، وإجابة هذا السؤال طوع بنانك
~~بالمعنى الحرفي، والأرجح أنه لم يستغرق من تفكيرك سوى قدر ضئيل
~~من الثانية لكي تتوصل إلى الإجابة. أيمكن فعلا أن يوجد سؤال
~~أسهل من هذا؟ إن العديد من أوجه حياتك يتحدد بناء على عدد
~~سنواتك؛ أيمكن لك قيادة سيارة بنفسك؟ حسنا، يتوقف ذلك على عدد
~~السنوات التي عشتها. هل أنت راض عما تراه في المرآة؟ إن ذلك
~~يتأثر على الأرجح بعمرك، بدرجة ما على الأقل، وبما تتوقع أن
~~تراه في المرآة. أيجب عليك أن تعمل في وظيفة أكثر إشباعا لذاتك؟
~~من الصعب الإجابة عن هذا السؤال دون معرفة عمرك. إن الإجابة
~~عن هذه الأسئلة والعديد غيرها، والتي تمس صميم هويتك وخبراتك
~~اليومية، لا يمكن معرفتها إلا بعد معرفة إجابة ذلك السؤال الأول
~~البسيط. وهو سؤال عظيم الأهمية، ولا شك، بالنسبة إلى الأفراد الذين
~~ينتمون إلى مصفوفتنا الثقافية.

# بالرغم من ذلك، فنحن الذين نعزو أهمية كبيرة إلى أعمارنا، نجد
~~أنه من الغريب أن يكون ذلك السؤال نفسه لا يعني أي شيء لأفراد
~~بعض الثقافات الأخرى. وليس ذلك لأن أفراد هذه الثقافات يعجزون عن
~~متابعة دوران الأرض حول الشمس، بل لأنهم لا يملكون الأدوات التي
~~تمكنهم من تحديد كميات هذه الدورات ms007 بدقة. على سبيل المثال،
~~لا تمتلك قبيلة موندوروكو من سكان الأمازون الأصليين أي كلمات
~~محددة للأعداد فيما بعد العدد «اثنين». وفي حالة نظرائهم من 
~~قبيلة بيراها الأمازونية، فليس لديهم أي كلمات على الإطلاق
~~للتعبير عن الأعداد، ولا حتى عن العدد «واحد»، فكيف يمكن إذن
~~لمتحدثي هذه اللغات الإجابة عن سؤال «كم عمرك؟» وماذا أيضا عن
~~غيره من الأسئلة القائمة على الأعداد، والتي تتناول جوانب أساسية
~~للحياة بالنسبة إلى معظم سكان العالم؟ فلنتأمل بعض الأمثلة
~~الأخرى: ما راتبك؟ وكم طولك؟ وكم وزنك؟ في عالم بلا أعداد، تصبح
~~هذه الأسئلة عديمة الجدوى؛ إذ لا يمكن سؤالها ولا الإجابة عنها.
~~لا يمكن صياغة هذه الأسئلة ولا إجاباتها المحتملة في الثقافات
~~اللاعددية، ليس بالدرجة الأدنى من الدقة على الأقل. وعلى مدار
~~الجزء الأكبر من تاريخ نوعنا البشري، كانت جميع الثقافات البشرية
~~ثقافات لا عددية. إن الأعداد: التمثيل اللفظي والرمزي
~~للكميات، قد غيرت أحوال البشر تغييرا جذريا. وفي هذا
~~الكتاب، سوف أستكشف مدى هذا التحول، والذي لم يحدث إلا مؤخرا،
~~وهو أمر لافت للنظر. سوف أركز كذلك على قدرة الأعداد المنطوقة على
~~إحداث التغيير، لكنني سأتناول أيضا دور الأعداد المكتوبة. ومن
~~أجل وضوح المصطلحات، فإنني أشير إلى الأعداد المنطوقة باسم
~~«الأعداد،» وأشير إلى الأعداد المكتوبة باسم «الأرقام». وعند
~~الإشارة إلى الكميات المجردة التي تصفها الأعداد، فإنني أستخدم
~~الرموز مثل 1 و2 و3 و4 وما إلى ذلك.

# خلال العقد الأخير، أجرى علماء الآثار وعلماء اللغة وعلماء النفس
~~وغيرهم من العلماء، قدرا هائلا من الأبحاث عن الأعداد والأرقام،
~~ومن تلك الأبحاث تبدأ كتابة قصة جديدة للأعداد، وهي القصة التي
~~نرويها في هذا الكتاب. وباختصار، تسير القصة على هذا النحو: بالرغم
~~مما كنا نعتقد من قبل، فإن الأعداد ليست مجرد مفاهيم
~~تتولد لدى الأفراد بصورة تلقائية وفطرية. وبالرغم من أن
~~الكميات ومجموعات العناصر يمكن أن توجد مستقلة، بعيدا عن
~~خبرتنا العقلية، فالأعداد ابتكار من العقل البشري، واختراع معرفي
~~قد غير كيفية إدراكنا للكميات وتمييزها إلى الأبد. وربما يكون ms008
~~هذا المفهوم مناقضا للبديهة بالنسبة إلى العديد منا، نحن الذين
~~قد عشنا حيواتنا بأكملها في وجود الأعداد، وقد اقتنعت بها
~~خبرتنا العقلية منذ الطفولة. بالرغم من ذلك، فالأعداد تشبه
~~اختراعا رمزيا آخر مهما لنوعنا البشري ومرتبطا به، وهو
~~اللغة، في أنها ابتكار يختلف باختلاف الثقافة. غير أن الأعداد
~~تختلف عن اللغة في أنها لا توجد لدى بعض الجماعات السكانية في
~~العالم؛ إنها ابتكار يترك أثرا لا يمحى بشأن الطريقة التي
~~يفسر بها معظم الأفراد، وليس جميعهم، خبراتهم اليومية. وهذا
~~التأثير الذي لا يمحى، يكمن في صميم القصة التي يرويها هذا
~~الكتاب؛ فسوف نستكشف فيه كيف كانت الأعداد، وهي أحد الابتكارات
~~الأساسية على مدار تاريخ نوعنا البشري، بمثابة حجر صوان قد أضاء
~~التاريخ البشري.

# تتضمن القصة العديد من الأجزاء، وفي جزء لاحق من هذا الفصل،
~~سأوضح الطريقة التي يحاول بها الكتاب أن يخطو من جزء إلى آخر،
~~على طريق متماسك يؤدي إلى استنتاج لم يتشكل إلا حديثا. وقبل أن
~~نتحدث عن تلك الأجزاء، يجب أن أوضح ما أعنيه حين أقول إن
~~الأعداد قد غيرت الخبرة البشرية. ربما تكون الطريقة الأفضل لفعل
~~ذلك هي التعمق في دراسة كيفية إدراكنا لمرور الوقت. لقد أشرت
~~إلى أنك لا تستطيع بالطبع، بدون الأعداد، أن تسمي عدد رحلات
~~الأرض حول الشمس منذ مولدك، لكنك قد تعارض قائلا: إنه ربما
~~لا يزال بإمكانك أن تكون فكرة عن عدد سنوات عمرك؛ فيمكن أن
~~تعرف مثلا أنك قد ولدت قبل أختك وبعد أخيك؛ ومن ثم تستطيع
~~أن تعرف أنك أكبر من الأولى وأصغر من الأخير، ويمكن أن تدرك
~~تغير الفصول، وتدرك أنك قد عشت في دورات فصول سابقة؛ ومن
~~ثم يمكنك أن تعرف على الأقل أنك تبلغ من العمر العديد من
~~السنوات، وربما تعرف أنك قد عشت عددا أكبر من السنوات أو أصغر،
~~مقارنة بمعاصريك. بالرغم من ذلك، فسوف نرى في تناولنا للشعوب
~~اللاعددية في الفصل الخامس، أن الوعي بالعمر بهذه الطريقة يكون
~~مبهما إذا لم يستعن المرء بالأعداد. ms009 ويتضح دور الأعداد
~~بصورة أكبر في إدراكنا للزمن، لكن ذلك يتضح بصورة أكبر حين
~~نفكر في مرور الوقت عند أكثر مستوى أساسي له، بخلاف طريقتنا في
~~عد السنوات .

# يتطلب هذا التفكير استطرادا موجزا عن كيفية فهمنا العام
~~للوقت. ومفهوم الوقت من المفاهيم التي يصعب فهمها إلى حد ما؛
~~إذ إنه مفهوم مجرد تماما. ما معنى إدراك الوقت أو الشعور به؟
~~حسنا، يتبين أن ذلك يتوقف على الأشخاص الذين تسألهم
~~والثقافة التي ينتمون إليها، أو اللغة التي يتحدثون بها. لقد
~~أظهرت الأبحاث الحديثة أن إدراك الوقت يتباين بطرق عدة
~~لدى بعض الشعوب. وفيما يلي، سأتناول قدرا من هذا التباين الثقافي،
~~وسأقترح بعدها أن الأعداد قد أدت دورا عظيما للغاية في تشكيل
~~خبرتنا عن الوقت، التي تختلف باختلاف الثقافة.

# نتحدث كثيرا عن «مرور الوقت» أو «المرور بالوقت»، لقد
~~تحدثت عن ذلك بالفعل في الفقرات السابقة، وأشك في أنك قد
~~وجدت أن مثل هذه الصياغة غريبة. ونحن نتحدث أيضا عن مرور
~~الوقت «ببطء» أو «بسرعة»، غير أن كل هذه التعبيرات مجازية
~~بالطبع؛ فالوقت لا يتحرك فعلا، ولا نحن نمر به. لقد أثبت
~~علماء الإدراك منذ فترة طويلة، أن البشر يتسمون بنزعتهم
~~الطاغية لاستخدام الأشياء المادية، كالأغراض التي تتحرك في
~~المكان لوصف الجوانب المجردة من حياتنا، مثل الوقت، وصفا
~~مجازيا. ومن ثم يمكننا أن نتحدث عن «حركة» الوقت، أو
~~نتحدث على العكس من ذلك، عن «المرور» بوقت صعب أو «رؤية» وقت
~~صعب «أمامنا» أو عن عدم قدرتنا على الرجوع إلى «الوراء» للماضي،
~~أو عن اختيار «المسار» المهني المناسب، أو عن مواجهة خيار صعب في
~~«طريق» حياتنا وما إلى ذلك. إن متحدثي اللغة الإنجليزية
~~وغيرها من اللغات، يستخدمون عددا هائلا من التعبيرات التي تدل
~~على التأويلات المكانية للزمان، وتجسدها. وأبرز هذه التعبيرات
~~التوجيهية المجازية، هو ذلك الذي يسود الأمثلة التي ذكرناها
~~للتو، والذي يتمثل فيه المستقبل أمامنا، بينما يمر بنا الوقت.
~~بالرغم من ذلك، يتضح لنا أن بعضا من متحدثي اللغات الأخرى
~~لا يرون الوقت ms010 بهذه الطريقة؛ فبالنسبة إلى متحدثي اللغة
~~الأيمرية والعديد غيرها من اللغات الأخرى، لا يكمن المستقبل أمام
~~المتحدث، بل خلفه، أما الماضي فهو يقع مجازيا أمام
~~المتحدث. ويتجلى هذا الاتجاه في العديد من التعبيرات المختلفة
~~عن الوقت، وكذلك في إشارات اليد التي يستخدمها الفصحاء في اللغة
~~الأيمرية، حين يتحدثون عن أحداث الماضي والمستقبل. (ويمكننا
~~القول بأن مثل هذه الاستعارة الاتجاهية، ترتبط بالخبرة البشرية
~~بصورة أكثر مباشرة؛ إذ إننا نستطيع بالفعل أن «نرى» ما حدث في
~~ماضينا.) ولهذا، فإن بعض البشر يرون «حركة» الوقت بطريقة تبدو
~~متناقضة تماما مع الطريقة التي نصفه بها ونراه.

# 1

# يتضح هذا الأساس المكاني المرن للأفكار المتعلقة بالوقت
~~بصورة أكبر حين نفكر في طريقة أخرى يمكننا تصوير الوقت مجازيا
~~من خلالها، وهي تصويره متحركا من اليسار إلى اليمين على خط
~~يمكن قياسه. في ثقافتنا وغيرها من الثقافات، يوجد عدد هائل من
~~الطرق التي يصور بها الوقت على مثل هذا النحو، ومنها
~~التقويمات وشريط التقدم على «نتفليكس» و«يوتيوب»، والخطوط
~~الزمنية في كتب التاريخ، وما إلى ذلك. وتقترح بعض الأدلة
~~التجريبية القوية، أن مثل هذه الممارسات الرمزية الافتراضية،
~~تؤثر على كيفية إدراكنا للوقت؛ فعلى سبيل المثال، حين تقدم إلى
~~بعض الأمريكيين، مجموعة من الصور تصور أحداثا في مراحل
~~مختلفة (صور لثمرة موز تقشر وتؤكل مثلا)، ثم يطلب منهم أن
~~يقوموا بترتيب الصور في الاتجاه المناسب من البداية إلى
~~النهاية، فإنهم يرتبونها عادة من اليسار إلى اليمين، حيث تكون
~~الصور التي تمثل المراحل المبكرة أقرب إلى الجانب الأيسر من
~~أجسادهم. أما حين يطلب من أفراد ينتمون إلى ثقافات أخرى أداء
~~المهمة نفسها، يتغير الترتيب. في وقت قريب، اكتشفت عالمة
~~اللغويات أليس جابي وعالمة النفس ليرا بوروديتسكي في ثقافة
~~الثايور، التي تقع في شبه جزيرة كيب يورك، أن الأفراد لا
~~يرتبون الصور من اليسار إلى اليمين، ولا من اليمين إلى اليسار
~~(وهو نمط يظهر في بعض الثقافات). بدلا من ذلك، يرتبونها وفقا
~~لمسار الشمس، حيث توضع الصور التي تدل على المراحل ms011 المبكرة
~~باتجاه الشرق، والمتأخرة باتجاه الغرب، بصرف النظر عن الاتجاه
~~الذي يقابله الشخص الذي يرتب الصور.

# 2

# إن مثل هذه الاكتشافات تعكس أمرا مهما؛ وهو أن كيفية
~~تفكيرنا في الوقت تعود بصورة كبيرة إلى الممارسة اللغوية
~~والثقافية. وهنا تظهر الأعداد في القصة التي تروي الطريقة التي
~~نفهم بها مثل هذا الجانب الأساسي من حياتنا؛ فمن الواضح أن
~~الأعداد تمس طريقة تفكيرنا بشأن حركة «الوقت»، وسواء أكنا
~~نرى أن الوقت يمر بنا، أم كنا نرى أنه يتحرك على خط زمني
~~أمامنا، فإن هذه «الحركة» يمكن تقسيمها وعدها. فلتفكر مرة
~~أخرى في أشرطة التقدم التي نراها في مقاطع الفيديو المتوفرة
~~على الإنترنت، وكيف أن الأعداد (التي تدل على الدقائق
~~والثواني) تتتبع الأيقونة التي تمثل اللحظة التي تعرض في
~~مقطع الفيديو. والواقع أن الأعداد متغلغلة في التمثيلات
~~المكانية الرمزية للوقت، مثل التقويمات التي تسير من اليسار إلى
~~اليمين والخطوط الزمنية. ويمكننا القول بأن هذا التصور العقلي
~~للوقت، بهذه الطريقة المرتكزة على الأعداد، يحكم
~~حياتنا.

# ما الوقت الآن؟ بالنسبة إلي فالوقت الآن، بينما أكتب هذه
~~الكلمات على الساحل الشرقي للولايات المتحدة، هو 10:46 صباحا.
~~ولأننا في ذلك الوقت من اليوم، فأنا في غرفة مكتبي أجلس عليه،
~~ولست في المنزل أو أي مكان آخر. لكن ما الذي يعنيه ذلك الوقت
~~فعلا؟ حسنا، إنه يعني أنه قد مرت عشر ساعات وست وأربعون
~~دقيقة منذ منتصف الليل، لكن ذلك مجرد إعادة صياغة مطنبة لا
~~حاجة لها؛ ما الساعات؟ وما الدقائق؟ الواقع أنها لا توجد بمعزل
~~عن خبرتنا العقلية والعددية؛ إنها ببساطة وسيلة عشوائية لوصف
~~وجودنا بصورة كمية، ووسيلة لتقسيم هذ المرور المجازي للوقت إلى
~~وحدات منفصلة. إنها تدل على أن البشر قد اختاروا في مرحلة ما
~~أن يحددوا كميات الوقت، وأن يعدوا لحظات التجربة. ربما
~~يكون الوقت واقعا يوجد بمعزل عن خبرتنا، لكن الساعات
~~والدقائق والثواني لا توجد إلا في عقولنا، بصفتها وسيلة
~~للانخراط في العالم. ووسيلة الانخراط هذه قد تولدت هي نفسها
~~عن تقاليد ثقافية ولغوية ms012 محددة؛ إن وحدات الوقت من الساعات
~~والدقائق والثواني هي نفسها بقايا نظام عددي قديم، وما هذه
~~الوحدات حقا إلا آثار لغوية من حضارات منقرضة.

# فلنتأمل في تقسيم كل دورة من دورات الأرض كل يوم إلى 24
~~ساعة. لم يقسم كل يوم بهذه الطريقة؟ ما من سبب فلكي لهذا
~~التقسيم، فعلى أي حال، يمكننا نظريا أن نقسم اليوم إلى أي
~~عدد نشاء من الساعات. غير أن النظام الذي نستخدمه لضبط الوقت،
~~يدين بوجوده بصورة كبيرة إلى تقليد قد بدأه قدماء المصريين،
~~الذين اخترعوا الساعات الشمسية قبل أكثر من 3000 عام. لقد صممت
~~هذه الساعات الشمسية لتقسيم ضوء النهار إلى اثني عشر جزءا
~~متساويا. وقد جاء نظام التقسيم إلى اثني عشر جزءا نتيجة
~~لاختيار اتخذه المصريون بتقسيم ضوء النهار وفقا لطريقة
~~تلائم ثقافتهم، وذلك من خلال قياس الظل على الساعات الشمسية.
~~أتاح هذا الاختيار وجود عشر وحدات يمكن تقسيمها بدءا من شروق
~~الشمس حتى غروبها، وهو اختيار طبيعي إذ كان قدماء المصريين
~~يستخدمون نظاما عشريا للأعداد كالذي نستخدمه الآن. غير أن
~~مبتكري الساعات الشمسية قد أضافوا وحدتين: إحداهما للفجر
~~والأخرى للغسق، وهما الفترتان اللتان لا تكونان مظلمتين،
~~لكن الشمس لا تظهر فيهما في الأفق. وذلك القرار البسيط الذي
~~اتخذه المصريون بتقسيم ضوء النهار بهذه الطريقة، قد أنتج وحدات
~~الوقت التي تستند إلى العدد 12، فأصبح للأيام طابع اثنا عشري.
~~وكما سنرى في الفصل الثالث، توجد العديد من الأساسات المختلفة في
~~الأنظمة العددية المنطوقة في العالم، لكن النظام الاثني عشري
~~غير منتشر على الإطلاق (وهو مربك بعض الشيء للعديد من الأفراد
~~الذين يستخدمون الأنظمة العشرية على سبيل المثال). بالرغم من ذلك،
~~فبسبب الاختيار الذي اتخذه القائمون على ضبط الوقت من قدماء
~~المصريين، فإن لغتنا وتفكيرنا عن الوقت، يستندان بدرجة كبيرة
~~إلى نظام هو أشبه ما يكون بالنظام الاثني عشري. وقد أصبح هذا
~~النظام مترسخا في حياتنا بشدة في الوقت الحالي، وهو يفرض
~~منظورا محددا على أيامنا. ويعود السبب في تقسيم الليلة إلى
~~اثنتي عشرة ms013 ساعة إلى قدماء المصريين أيضا، وكذلك يعود إليهم
~~السبب في تقسيم دورة الليل والنهار التي تتكون من 24 ساعة،
~~والتي نعرفها جميعا الآن، وإن كان ذلك بصورة أقل مباشرة.
~~كان علماء الفلك من الإغريق في العصر الهلنستي، هم الذين قننوا
~~النظام الأخير بصورة أكثر نظامية، بالرغم من ذلك، لم يحظ
~~تقسيم الساعات بدقة إلى وحدات متساوية المدة بالتقدير
~~والاستحسان، إلى أن تم اختراع آلات دقيقة لضبط الوقت. (لم
~~تخترع ساعة البندول، وهي اختراع أساسي لضبط الوقت، حتى منتصف
~~القرن السابع عشر.) ومن ثم، فإن وجود الساعات هو حادثة تاريخية
~~في نهاية المطاف؛ فلو كانت الساعات الشمسية التي ابتكرها قدماء
~~المصريين قد قسمت ضوء النهار إلى عشر وحدات بدلا من اثنتي
~~عشرة وحدة، لأصبح لدينا الآن عشر وحدات في اليوم والليلة على
~~التوالي، بدلا من اثنتي عشرة وحدة، ولأصبحت دورة الأرض مقسمة
~~إلى عشرين «ساعة».

# 3

# وفي حقيقة الأمر، استخدم نظام ضبط الوقت العشري في
~~فرنسا بعد الثورة مباشرة، غير أنه لم يصمد بسبب الترسخ الثقافي
~~للساعات والدقائق. يبدو أن الإطاحة بالملكية وضرب عنق عدد
~~كبير من المواطنين، أسهل على شعب من إعادة توجيه تفكيره وفقا
~~لوحدات جديدة للوقت.

# الدقائق والثواني هي أيضا نتيجة قرارات ثقافية ولغوية عارضة، قد
~~اتخذت قبل وقت طويل. ويعزى وجود هذه الوحدات إلى النظام
~~الستيني (على أساس العدد 60) الذي استخدمه البابليون
~~والسومريون من قبلهم. ويبدو أن هاتين الثقافتين هما أول من
~~استخدم هذا الأساس للحسابات الفلكية؛ وذلك لأسباب لا تزال غامضة.
~~حيث يعتقد البعض أن النظام الستيني قد اكتسب شهرة في بلاد
~~الرافدين؛ لأنه يقبل القسمة على الأعداد من 1 إلى 6، وكذلك على
~~10 و12 و15 و20 و30. ويعتقد آخرون أن مثل ذلك النظام الستيني
~~قد ظهر على الأرجح لأن البشر لديهم خمس أصابع في اليد، ويمكنهم
~~استخدامها في عد المفاصل الاثني عشر الموجودة في أصابع اليد
~~الأخرى، فيما دون الإبهام (و5 × 12 = 60). وبصرف النظر عن هذا،
~~فإن الأنظمة الستينية ليست منتشرة بالقدر الكبير؛ فهي لم ms014
~~تتطور سوى مرات قليلة على مدار تاريخ اللغات في العالم،
~~لكن الطبيعة الستينية لنظام العد البابلي هي السبب في أن
~~الدقائق والثواني تستغرق المدة التي تستغرقها؛ لأن تلك هي
~~وحدات الوقت التي تتوصل إليها حين تقسم الساعات والدقائق من
~~بعدها بهذا الترتيب على ستين. ويمكن للبشر الآن أن يعتمدوا
~~على قياسات مستقلة لتعريف الثواني، مثل المدة التي يستغرقها عدد
~~محدد سلفا من ترددات الطاقة في ذرة سيزيوم، وهذا التعريف هو
~~المقياس في الساعة الذرية. غير أن الاختيار لم يقع على مثل هذا
~~المقياس إلا لأن قيمته تساوي قيمة الثانية التقليدية تقريبا،
~~وهي ليست سوى منتج لنظام عددي قديم، قد جاء بطريقة فعالة
~~للدلالة على الوقت، لكنها قد تكون غير عملية.

# خلاصة القول، أن فهمنا للوقت يتأثر بالربط المجازي بين
~~الوقت والمكان. لكن الأهم أن منظور الوقت المستند إلى
~~المكان، يقاس بطرق تعتمد كليا على وجود الأعداد. وعلى وجه
~~أكثر تحديدا يعتمد هذا القياس الكمي على خصائص أنظمة عددية
~~كانت تستخدم قبل ذلك في أماكن مثل بابل القديمة. إن طريقة
~~تفكيرنا في الوقت: على هيئة وحدات منفصلة يمكن قياسها من الساعات
~~والدقائق والثواني، تعود إلى سمات من اللغات والثقافات
~~المندثرة، وهي سمات لا تزال آثارها حاضرة في حياتنا المعاصرة.
~~وهذه الآثار توجهنا باستمرار بشأن كيفية تنظيم خبرتنا
~~اليومية؛ ومن ثم فإن الأرقام القديمة ذات الخصائص الغريبة لا
~~تزال تشكل الطريقة التي نختبر بها الوقت، ذلك الجانب المجرد
~~والأساسي من الحياة. إن حياتنا، رغم كل شيء، تحكمها الساعات
~~والدقائق والثواني، غير أن الوقت لا يحدث فعلا في هذه الوحدات
~~المنفصلة، أو غيرها؛ فتجزئة الوقت إلى وحدات يمكن قياسها ما هي،
~~في حقيقة الأمر، سوى اختراع من العقل البشري.

# 4

# إن مناقشة الدور الذي تؤديه الأعداد في تشكيل إدراكنا
~~للوقت، توضح لنا ما للأعداد والاختلافات بين الأنظمة العددية من
~~تأثير فعال في الجانب الإدراكي والسلوكي في حيواتنا. بالرغم من
~~ذلك، فسوف نرى على مدار هذا الكتاب أن اختراع الأعداد قد أثر
~~في حياتنا، ms015 وفي قصة البشرية بصفة عامة، بالعديد من الطرق الأخرى
~~التي لا تقل عن ذلك عمقا وأهمية. وقبل أن نتحدث عن هذه
~~الطرق، يجدر بنا أن نعرض خلفية عن نوعنا البشري، وهي أساسية في
~~قصة الأعداد التي يرويها هذا الكتاب، ووثيقة الصلة بها.

# الإنسان العاقل: ذلك النوع الحديث

# تفيدنا قدرتنا على قياس الوقت عند مناقشة الأصول الحديثة
~~لنوع «الإنسان العاقل». فالأعداد تساعدنا في تصوير مدى حداثة
~~نوعنا؛ فعمر الكون 13,7 مليارا من الأعوام، وعمر الأرض 4,5
~~مليارات عام، وعمر حقيقيات النوى 3 مليارات عام تقريبا. أما
~~ظهور الرئيسات فقد حدث قبل 65 مليون عام تقريبا. ويشير
~~سجل الحفريات إلى أن أشباه البشر، ومنهم أسلاف البشر،
~~لم يعيشوا إلا لقرابة عشر ذلك الوقت. ويدور قدر كبير من
~~الجدل بشأن تاريخ ظهورنا نحن - البشر المعاصرين - لكننا
~~قد ظهرنا منذ 100000 عام على الأقل. وإذا قبلنا بهذا الرقم
~~الأخير فهذا يعني أننا لم نوجد إلا لعام واحد مقابل كل
~~130000 عام من عمر الكون. وتلك من السمات التي غالبا ما نغفل
~~عنها بشأن البشر، وهي أننا صغار للغاية. وبالرغم من ذلك
~~فعلى حداثتنا في السن، قد شكلنا بطرق عدة هذا الكوكب الذي
~~لم نعش عليه إلا لفترة صغيرة للغاية من تاريخ وجوده، في
~~بضعة آلاف من الأعوام الماضية فحسب. وسوف نرى أن الأعداد
~~تمثل جزءا كبيرا من كيفية حدوث ذلك، والسبب في
~~حدوثه.

# 5

# توضح البيانات المستفيضة أن نوع «الإنسان العاقل»
~~وسلفه، قد تطور في أفريقيا، وقد بدأت العناصر الأساسية
~~لخصائصنا الجسدية الحالية، تتشكل هناك؛ كالسير على قدمين
~~الذي ظهر بوضوح لأول مرة في الأسترالوبيثسينات، التي ظهرت
~~آثار أقدامها التي تعود إلى 3,7 مليون عام في الرماد
~~البركاني في لايتولي، بتنزانيا. وكذلك ظهرت الأدمغة الأكبر
~~حجما في بعض الأنواع مثل نوع «الإنسان المنتصب» (منذ 18
~~مليون عام تقريبا)، ونوع «إنسان هايدلبيرج» (منذ ما يزيد عن
~~نصف مليون عام)، وهو النوع الذي تمكن من استكشاف قارات
~~بخلاف أفريقيا، غير أن سجلاته المادية لا تدل على ms016 حدوث
~~أي قفزة إدراكية إلى الأمام، مثلما هي الحال في نوع «الإنسان
~~العاقل». وهذه النقطة الأخيرة تشير إلى أمر غاية في
~~الأهمية، وهي أن أسلاف البشر كانوا يتمتعون بدماغ كبير
~~نسبيا، وإن كان لا يزال أصغر من دماغنا، قبل أن نظهر على
~~المشهد بفترة طويلة. وبالرغم من هذه الأدمغة الكبيرة، فإن
~~سلوك أقرب الأسلاف إلينا لم يكن لافتا للنظر عند مقارنته
~~بسلوك غيره من القردة العليا. لم يكن يحمل سوى قدر ضئيل
~~من التشابه مع سلوك البشر المعاصرين، وكذلك سلوك «إنسان
~~النياندرتال»، وهو النوع الشقيق لنوعنا، الذي عاش في أوروبا
~~قبل نصف مليون عام تقريبا، إلى أن انقرض على نحو متسارع
~~نتيجة وصولنا على تلك القارة فيما يبدو.

# 6

# إذن، فيمكننا أن نصف نشوء نوعنا بأنه تغيير جذري حديث،
~~ومن المؤكد أن سلالتنا قد ظلت تتطور على مدار الملايين
~~من الأعوام؛ مما جعلنا على ما نحن عليه اليوم من الناحية
~~الفسيولوجية، غير أن أسلافنا قد عاشوا في معظم هذا الوقت
~~حياة قاسية وقصيرة، وقد كانوا في معظم الأحوال فرائس لغيرهم
~~من الأنواع الأفريقية الأكبر حجما. إننا لم ننجح دائما في
~~التغلب على الأنواع الأخرى في المنافسة بالدرجة التي ننجح
~~بها الآن. وقد تحدثت مؤخرا مع زميل في مجال علم
~~الإنسان، وهو أيضا عالم في الحفريات والآثار، يدرس حفريات
~~العديد من أنواع أشباه البشر في أفريقيا. وقد ذكر أن واحدة
~~من أبرز السمات في هذه الحفريات هي ما تدل عليه من عنف؛
~~فالعديد منها يحتوي على تمزقات وكسور عظمية، وكثيرا ما
~~تحمل آثار أسنان المفترسات أو نابشات الفضلات، وكثيرا ما
~~توجد هذه الحفريات في مخابئ المفترسات كالأسود، ومعظمها
~~لأطفال وشباب. ومن المحزن أن هذه الأدلة تشير إلى أن
~~العديد من أسلافنا قد عاشوا حياة صعبة وقصيرة، وكانوا يواجهون
~~فيها صعوبة في التنافس مع الكائنات المفترسة المحيطة
~~بهم.

# ويمكننا القول بأن قدرا كبيرا من هذه الصعوبة التي
~~كانوا يواجهونها قد جاء نتيجة للجمود الواضح في قدراتهم
~~الإدراكية، ويتضح هذا الجمود في الاختراعات ms017 المادية
~~التدريجية التي تظهر في سجل الحفريات على مدار العديد من
~~ملايين السنين؛ فلننظر إلى الفأس اليدوية الحجرية، التي
~~يشير إليها العلماء في مجال علم الإنسان باسم الفأس
~~الأشولية، والتي ابتكرها نوع «الإنسان الماهر» قبل ما يقرب
~~من 1,75 مليون عام. فهذه الفأس المحمولة التي تتميز بفائدتها
~~العملية البارزة، قد كانت أداة مهمة للغاية لأسلافنا، غير
~~أنها بسيطة للغاية مقارنة بالقوس والسهم. وقد اعتمد أشباه
~~البشر عليها وحدها تقريبا على مدار 15 مليون عام. فمع السير
~~على الأقدام، والأدمغة الكبيرة نسبيا، والأدوات البسيطة،
~~يبدو أن أسلافنا قد كانوا على منصة الانطلاق إلى الحداثة،
~~منذ مئات الآلاف من السنوات، غير أن هذا الانطلاق قد فشل إلى
~~أن جاء ما أشعل جذوته حديثا.

# بعد المعارك التي كان يخوضها أسلافنا من أجل البقاء في
~~العصر الحجري القديم، اتخذت الأمور منحنى حادا إلى
~~الأفضل. (استمر العصر الحجري القديم من نحو 2,5 مليون عام،
~~إلى نحو 10000 عام مضت.) وفي مرحلة ما خلال مائتي ألف عام
~~ماضية، قبل مائة ألف عام على الأرجح وفقا للسجل الأثري،
~~حدث ما يبدو أنه تغير جذري في تفكير أسلافنا. ويتضح هذا
~~التغير الإدراكي في الأدوات العظمية المعقدة المصقولة،
~~والتي اكتشفت في كهف بلومبوس في جنوب أفريقيا على سبيل
~~المثال، إضافة إلى غيرها من الأدوات التي اكتشفت في ذلك
~~الكهف وغيره من الكهوف، وهو ما سنتناوله بقدر أكبر من التفصيل
~~في الفصل العاشر. وبعد اختراع هذه الأدوات بفترة قصيرة، بدأ
~~البشر في مغادرة أفريقيا بهمة. وتوضح التحليلات الجينية
~~للبشر الذين يعيشون في العصر الحالي أن الشعوب الحديثة غير
~~الأفريقية، هي أحفاد مجموعة صغيرة من نوع «الإنسان العاقل»
~~الذين قد أخذتهم هجرتهم من أفريقيا على الأرجح عبر البحر
~~الأحمر عند مضيق باب المندب.

# 7

# ما حدث بعد ذلك كان سابقة من نوعه؛ كما كان غير متوقع
~~على الإطلاق، ذلك أن النوع البشري كان يواجه صعوبة كبيرة،
~~ويواجه تهديدا حقيقيا للغاية بالانقراض. وبالرغم من أن
~~بعض أنواع الرئيسات الأخرى قد غادرت أفريقيا ms018 مصادفة، لينتهوا
~~بعد ذلك بصورة أساسية في إقليم حيوي استوائي آخر، فقد بدأ
~~أسلافنا عملية الاستكشاف الإرادي والتي ما زالت مستمرة حتى
~~اليوم. وعلى مدار فترة التجوال في أنحاء العالم، التي
~~استمرت لعشرات الآلاف من السنوات، إلى أن وصل البشر إلى
~~حافة أمريكا الجنوبية قبل ما يقرب من 14000 عام، تمكنا في
~~النهاية من التأقلم مع جميع البيئات الموجودة في العالم
~~تقريبا. لقد تفوقنا في المنافسة مع بعض الأنواع الأخرى في
~~بيئات قاسية مثل التندرا السيبرية، وأدغال تسمانيا، وصحراء
~~أتاكاما، ومعظم البيئات البيولوجية التي تقع فيما بينها.
~~والسجل الأثري يوضح تقدمنا، وباختصار، فقد تكيف البشر
~~على التكيف. وهذا التكيف المستحدث كان سيصبح محالا
~~بدون اللغة والثقافة، وهما السمتان الأبرز
~~لنوعنا.

# 8

# لا تزال أصول نشأة اللغة والثقافة محل جدال كبير، ووفقا
~~لأعمال العديد من العلماء في مجال علم الإنسان، فإن الثورة
~~اللغوية والثقافية لدى البشر قد نتجت بصورة كبيرة عن
~~اعتمادهم على التعاون بدرجة أكبر. وقد كان لهذا الاعتماد
~~جانبان: الجانب الأول هو أن البشر كانوا مجبرين على
~~التعاون للتفوق في المنافسة مع الأنواع الأخرى، وأما الجانب
~~الثاني فهو أن بعض المجموعات المحددة من البشر قد اعتمدت
~~على شكل أكثر تقدما من التعاون، عند التنافس مع مجموعات
~~أخرى من البشر. ويدعم هذا التفسير حقيقة أن البشر ينزعون
~~إلى تحري التعاون مع غيرهم من أفراد النوع البشري، بينما لا
~~يبدو أن مهارة اللغة متأصلة في شفرتهم الوراثية على وجه
~~التحديد. إن أطفال البشر الذين يفتقرون إلى بعض الوظائف
~~الإدراكية الأعلى التي تتمتع بها بعض الأنواع الأخرى من
~~القردة العليا، يتميزون بملاحظتهم الدقيقة لأنشطة التعاون
~~المحتملة مع أفراد آخرين. يبدو لنا إذن أن تأصل التعاون
~~في البنية الأساسية البشرية قد كان، على الأقل، مؤشرا
~~مهما على التحول من أنظمة التواصل البدائية القائمة على
~~الإشارات، التي كانت تستخدمها القردة، إلى أنظمة التواصل
~~الأقوى القائمة على الحديث، والتي استخدمها البشر. وبعبارة
~~أخرى، فإن ما يجعلنا كائنات لغوية هو ليس أننا مزودون
~~فطريا بمجموعة مهارات ms019 لغوية محددة، بل أننا قادرون على
~~التعاون، وأننا ننظم وفقا لمبادئ جماعية مهاراتنا
~~الإدراكية، التي يتمتع بالعديد منها أنواع أخرى من القردة
~~الأقل ترابطا. يبدو أن هذا التحرك نحو التعاون كان له
~~دور محوري في مسيرة حياتنا الإدراكية؛ إذ نتج عنه ذلك
~~التحول في نظام التواصل، الذي أسهم في أن يجعلنا بشرا على
~~وجه التحديد. لم يكن لوجود اللغة أن يصبح ممكنا دون تركيزنا
~~على التعاون، وما يتصل به من الانتباه الذي بدأنا في
~~توجيهه لفهم أفكار الآخرين ونواياهم. وأيا كانت أصولها، فلا
~~شك بأن اللغة قد أعادت تشكيل خبرتنا البشرية، ومكنتنا
~~من التفوق قبل مغادرة أفريقيا وبعدها.

# 9

# إن اللغة تشكل طريقة تفكيرنا، وهي تسهل أيضا بعض
~~أنواع عمليات التفكير غير اللغوية. والفائدة الأكبر من ذلك، هي
~~أنها تتيح لنا أشكالا جديدة من التعاون، وتتيح للبشر أن
~~ينقلوا ما توصلوا إليه من حلول للتحديات البيئية إلى بقية
~~أفراد جيلهم والأجيال التالية كذلك. فالكلمات التي هي قنوات
~~الأفكار، أدوات إدراكية تتيح للأفراد تسجيل حلولهم لتلك
~~المجموعة الكبيرة والمتنوعة من المشكلات الحديثة التي
~~تواجههم حين يدخلون بيئات جديدة، والإفصاح عنها. لقد أتاح
~~اختراع اللغة للبشر أن يتوصلوا إلى الأفكار التي تدور في
~~عقول غيرهم من البشر، وأن ينقلوها بكل سهولة، دون أن
~~يضطروا إلى إنتاج أفكار جديدة باستمرار. وقد أتيحت
~~الفرصة لوجود تأثير ترس السقاطة الثقافي العابر للأجيال،
~~الذي ذكرته في الافتتاحية. إننا نظل قادرين على التكيف
~~جيدا على بيئاتنا الحالية، حتى في البيئات الحضرية في العالم
~~الحديث، بفضل الأفكار التي نقلت إلينا من عقول الآخرين منذ
~~طفولتنا، عن طريق اللغة؛ فاللغة وغيرها من الممارسات الثقافية
~~الرمزية تتيح لنا تخزين الأفكار والوصول إليها بسهولة، ومنها
~~الأفكار التي تمكننا من النجاة بأنفسنا وبثقافتنا.

# 10

# رغم أن قصة ظهور اللغة قد ضاعت مع مرور الزمن، أو ربما
~~ظلت عالقة في غبش السجل الأثري بعيدة المنال، فما من
~~خلاف على أهميتها، مثلما أوضحنا هنا؛ فمن الجلي أن
~~الكلمات وغيرها من التمثيلات الرمزية، كانت بمثابة ms020 أدوات
~~ناجعة، وربما هي أعظم أدوات قد امتلكناها على الإطلاق.
~~غير أنه لا تزال هناك مجموعة متفرعة من هذه المجموعة من
~~الأدوات اللفظية، وهي الأدوات الإدراكية المتمثلة في
~~الأعداد، والتي أدت دورا مميزا للغاية في تشكيل الإنسانية
~~منذ هجرتها من أفريقيا، بل حتى قبل الهجرة من أفريقيا على
~~الأرجح. وقد مكنتنا هذه المجموعة الفرعية من الأدوات
~~اللفظية، من رؤية الكميات واستخدامها بطرق جديدة. وكما
~~ناقشنا بالفعل، فقد مكنتنا هذه الأدوات المحددة التي
~~نتحدث عنها، من إدراك الوقت بطرق جديدة كذلك. وعلاوة على
~~ذلك يقترح هذا الكتاب أيضا أن هذه الأدوات العددية قد
~~أدت إلى بدء تطور الزراعة والكتابة، ثم أدت بطريقة
~~غير مباشرة إلى تطور جميع التقنيات التي انبثقت عن هاتين
~~الظاهرتين الأخيرتين. إن هذه الأدوات قد غيرت خبرتنا
~~الإدراكية والسلوكية إلى الأبد.

# الكميات في الطبيعة، والأعداد في عقولنا

# في كثير من الأحيان تكون وظيفة الكلمات هي تسمية الأشياء أو
~~الأفكار الموجودة مسبقا؛ فكلمة «باندا» مثلا تسمي نوعا
~~محددا من الثدييات، وهذا النوع موجود بالفعل، بصرف النظر
~~عن وجود الاسم، غير أن الكلمات تشير أحيانا إلى مفاهيم
~~لا توجد إلا بوجود الكلمات المعنية. فلنتأمل ذلك في ضوء
~~الألوان؛ إننا نتفاعل دائما مع الجزء المرئي من طيف الضوء،
~~وهو جزء ضئيل من نطاق الأمواج الكهرومغناطيسية، وهذا الطيف
~~المرئي من الضوء مستمر دون أي فواصل مادية محددة؛ ولذا
~~فما من نقطة محددة على طيف الضوء تفصل بين الأخضر والأزرق
~~بدقة. ولهذا السبب تتخلى العديد من اللغات عن استخدام
~~مصطلحات مثل «أخضر» «وأزرق»، وتستخدم بدلا من ذلك كلمة للفئة
~~اللونية «أخضرق». بالرغم من ذلك، فإن متحدثي بعض اللغات
~~كالإنجليزية يشيرون إلى هذا التباين اللوني على الدوام،
~~ومن ثم يؤسسون فرقا أوضح بين «الأخضر» «والأزرق»؛ فهم
~~يستخدمون الكلمات للتواصل بشأن أجزاء من طيف الضوء يمكن
~~التمييز بينها على وجه التقريب، غير أنها تفتقر إلى وجود
~~حدود واضحة. وبعض متحدثي اللغات الأخرى، يقسمون طيف الضوء
~~بطرق مختلفة؛ فمتحدثو لغة البيرينمو في نيو غينيا على
~~سبيل ms021 المثال يستخدمون المصطلح «وول» والمصطلح «نر»، اللذين
~~يميزان بين جزأين من طيف الضوء، يشار إليهما في
~~الإنجليزية بمصطلح واحد هو «الأخضر». وهذه الاختلافات فيما بين
~~اللغات، تؤثر في كيفية إدراك المتحدثين بها للألوان
~~وتذكرهم لها، تأثيرا طفيفا لكنه أكيد. ومعنى هذا باختصار
~~أن مصطلحات الألوان ليست مجرد أسماء لمفاهيم موجودة مسبقا
~~عن الألوان، ويتشاركها جميع البشر، بل هي تبعث إلى الوجود
~~أيضا مفاهيم أكثر تحديدا للألوان.

# 11

# مثلما أن مصطلحات الألوان تحدد أجزاء معينة من الطيف
~~الضوئي وتجسدها، فإن الكلمات وغيرها من رموز الأعداد
~~تولد في حياتنا الذهنية أنواعا معينة من الكميات؛ إذ
~~يتضح أن البشر لا «يرون» الفروق بين معظم الكميات بدون
~~الأعداد. وفي غياب الأعداد لن نختلف في رؤيتنا لكميات
~~الأشياء التي نراها في البيئات الطبيعية عن غيرنا من الأنواع
~~العديدة. فلولا قدرتنا على ابتكار الأعداد واستخدامها، ما
~~امتلكنا الأدوات اللازمة للإبحار تجاه هدف واتجاه محدد،
~~في بحر الكميات المحيط بنا.

# قد يبدو الطرح القائل بأن الأعداد اختراع بشري، أمرا
~~غريبا؛ فبالرغم من كل شيء قد يقول البعض: إن وجود بعض
~~الأعداد المتوقعة في الطبيعة، مثل ثمانية (أرجل الأخطبوط)
~~وأربعة (الفصول) وتسعة وعشرين (أيام الدورة القمرية) وما إلى
~~ذلك، كان سيظل قائما بصرف النظر عن وجود البشر على الإطلاق
~~من عدمه. بالرغم من ذلك، فحقيقة الأمر على وجه الدقة هو أن
~~هذه «الكميات» تحدث في الطبيعة بانتظام وحسب، ويمكننا
~~القول إن الكميات والتناظر بين الكميات، يوجد منفصلا عن
~~الخبرة الذهنية البشرية، فسوف تظل أرجل الأخطبوط على الهيئة
~~التي توجد بها في مجموعات منتظمة، حتى وإن لم نكن قادرين على
~~إدراك هذا الانتظام. أما «الأعداد» فهي الكلمات والتمثيلات
~~الرمزية الأخرى التي نستخدمها للتمييز بين الكميات.

# 12

# ومثلما أن مصطلحات الألوان تخلق بينها حدودا
~~ذهنية أوضح على الأجزاء المتجاورة على طيف الضوء المرئي،
~~فإن الأعداد تخلق حدودا إدراكية بين الكميات، وقد تعكس
~~هذه الحدود فرقا حقيقيا بين الكميات في العالم المادي، غير
~~أن العقل البشري لا يتمكن عادة من إدراك ms022 هذه الفروق بدون
~~الأعداد.

# غالبا ما كانت كلمات الأعداد التي تمثل الكميات، ترى
~~على أنها تسميات ملائمة لأفكار يزود بها البشر فطريا،
~~أو يتعلمونها تلقائيا خلال مراحل نموهم الحيوي. وعلى العكس
~~من ذلك، تشير الأعمال الحديثة إلى أن الأعداد ليست مجرد
~~تسميات فحسب؛ فكما ذكرت عالمة اللغة واختصاصية الأعداد
~~هايكا فيسا ملحوظتها الثاقبة: «تمدنا اللغة بأمثلة على
~~الأعداد، هي الكلمات التي يمكن أن نستخدمها مثلما نستخدم
~~الأعداد، لا كمحض أسماء نستخدمها للإشارة للأعداد والتفكير
~~بشأنها.»

# 13

# إن معظم الكميات المحددة لا توجد في عقولنا في
~~غياب الأعداد. ربما يكون هذا الزعم مفاجئا للبعض، غير أنه
~~مدعوم بالعديد من الأدلة التجريبية، أما الزعم بأن الأعداد
~~هي محض أسماء لأفكار موجودة مسبقا، فهو زعم لا تؤيده
~~أدلة كافية؛ لقد اتضح أن البشر، كالحيوانات الأخرى، لا
~~يستطيعون دوما أن يميزوا بين الكميات المحددة فيما يتجاوز
~~الثلاثة بدون وجود الأعداد. أما فيما يتجاوز الثلاثة، فلا
~~يمكننا سوى تقدير كمية الأشياء التي يستقبلها إدراكنا، إذا
~~لم نكن نعرف الأعداد. ويؤيد هذا الاستنتاج دراسات تجريبية
~~حديثة أجراها العديد من الباحثين (بمن فيهم أنا) على الأفراد
~~الذين لا يعرفون أي أعداد، وتؤيده أيضا الأبحاث التي
~~أجريت على الأطفال الرضع وغيرهم من الأطفال الذين لم
~~يتعلموا الأعداد بعد. سوف نناقش هذه النتائج بالتفصيل في
~~الجزء الثاني، ومثلما سنرى فإننا لا يمكننا تفكيك المعوقات
~~الفطرية التي تمنعنا من تمييز الكميات إلا من خلال أدوات
~~الأعداد.

# بالرغم من ذلك، علينا أن نقر بأن هذا التفسير يطرح
~~لنا مفارقة، وهي: إذا كان البشر لا يستطيعون أن يفكروا في
~~الكميات بدقة إلا من خلال الأعداد، فكيف توصلوا إلى اختراع
~~الأعداد في المقام الأول؟ والنقطة الأولى التي سنوضحها في
~~الإجابة عن ذلك السؤال هي أن هذه المفارقة تنطبق على جميع
~~الاختراعات البشرية، في بعض الجوانب على الأقل. فلكي يحدث
~~أي اختراع، لا بد للبشر أولا أن يدركوا مفهوما لا
~~يدركونه عادة وبتلقائية. إن الاختراعات ليست متأصلة في
~~شفرتنا الوراثية، بل نصنعها من سلسلة ms023 من الأفكار التي
~~ندركها، وغالبا ما تكون أفكارا بسيطة. إننا لم نفطر على
~~التفكير في أشياء كنقاط الارتكاز أو المسامير اللولبية أو
~~العجلات أو المطارق أو غيرها من الأدوات الميكانيكية
~~الأساسية، غير أننا قد طورنا جميع هذه الأدوات عبر
~~مجموعة كبيرة مختلفة من الأفكار. فلنتأمل العجلة على سبيل
~~المثال، هذه الأداة البسيطة العملية؛ إننا نجد أنه يكاد
~~يكون من المستحيل «ألا» يخترع البشر هذه الأداة ، نظرا إلى
~~وعينا بدحرجة الأشياء الدائرية في بيئاتنا الطبيعية. بالرغم
~~من ذلك، فالعجلة ومحور الدوران من الاختراعات الحديثة
~~نسبيا، والتي لم توجد في العديد من الثقافات السابقة
~~(ومنها بعض المجتمعات الكبيرة مثل الإنكا)؛ ولهذا، بالرغم من
~~بساطتها وسهولة إدراك مفهومها، لا يمتلك البشر مفهوما
~~«فطريا» للعجلة. وبالمثل فإن أداة لفظية كالكلمة «سبعة»،
~~تبدو أمرا مسلما به للغاية حين نعرفها، وبالرغم من ذلك
~~فإن بعض الأفراد لا يعرفون الكمية المحددة التي تشير
~~إليها. ومثلما أنهم قد يكونون لا يعرفون العجلات، لكنهم يفهمون
~~فائدتها بسرعة حين يرون عجلة فعلية، فإنهم لا يتعلمون
~~مفهوم وجود سبعة أشياء بالتحديد إلا حين يتعلمون الكلمة التي
~~تمثل ذلك المفهوم؛ ولهذا السبب البسيط فإن مفردات الأعداد
~~لا تيسر العمليات الحسابية المعقدة فحسب، بل تيسر
~~أيضا مجرد التفريق بين الكميات التي تزيد عن ثلاثة،
~~وتمييزها. (وسنناقش الأدلة التجريبية على هذا الاستنتاج في
~~الجزء الثاني.)

# بالرغم من ذلك، فربما قد لاحظت أنني لم أحل المفارقة
~~تماما، وإذا أعدنا صياغتها بطريقة مختلفة يمكننا أن نطرح
~~السؤال التالي: كيف تمكن أفراد لا يمتلكون أعدادا من إدراك
~~أن مثل هذه الكلمات يمكن أن تعبر عن الكميات، إذا كانت
~~الأعداد ضرورية لإدراك الكميات المحددة؟ يمكنك أن تعتبر ما
~~يلي بمثابة تعهد على ذكر تفسير أكثر تفصيلا في الجزء
~~الثالث من هذا الكتاب: فلتتخيل أن بعض الأفراد من نوعنا
~~قد أدركوا في نقاط زمنية مختلفة، أنه يمكن أن يمتد معنى
~~كلمة موجودة بالفعل، ليمثل كمية محددة أكبر من ثلاثة.
~~(فأدركوا مثلا أن كلمة «يد» يمكن أن تشير إلى العدد ms024 خمسة،
~~وليس الطرف المادي فحسب.) إن هذه الفكرة البسيطة هي صميم
~~اختراع الأعداد، غير أن أفراد نوعنا لا يولدون ومثل هذه
~~الفكرة متأصلة فيهم، مثلما أننا لم نولد وفكرة وجود
~~العجلات متأصلة فينا، أو فكرة أن السفن المصنوعة من الصلب
~~يمكن أن تطفو، أو فكرة أن الطائرات المصنوعة من الألومنيوم
~~يمكن أن تطير. بالرغم من ذلك، فحين اكتشف مخترعو الأعداد أنه
~~يمكن استخدام الكلمات للتمييز بين الكميات، مثل التمييز بين
~~خمسة وستة، مكنهم ذلك من تأسيس طريقة جديدة للتفكير بشأن
~~الكميات، وقد بدأ آخرون في استخدامها. ومن خلال ذلك الاستخدام
~~انتشرت الأعداد.

# مثلما سأوضح بقدر أكبر من التفصيل في الفصل الثامن،
~~فإن حقيقة أن بعض البشر تمكنوا من اختراع الأعداد، يعود
~~بشكل كبير إلى عوامل تتعلق بالتشريح. إن الفكرة البسيطة
~~التي تتمثل في وجود كميات كبيرة محددة، وفي إمكانية
~~تسميتها، قد تولدت بصفة عامة عن حقيقة وجود كميات تتكرر
~~بانتظام أمام أعيننا تماما. إننا نمتلك خمسة أصابع في كل
~~يد، وتقدم لنا الحياة دائما مجموعات متطابقة تتكون من
~~خمسة عناصر لم نزود مسبقا بالقدرات الإدراكية اللازمة
~~لتمييزها، مثلنا في ذلك مثل الحيوانات الأخرى. غير أن
~~البشر قد تمكنوا مصادفة من إدراك هذا التناظر، ويبدو هذا
~~التناظر واضحا للغاية، غير أن مجرد إدراك هذا التناظر
~~البيولوجي، لا يؤدي بالضرورة إلى اختراع الأعداد؛ فمن
~~الممكن ألا يتم تمييز الكميات، وحتى الأصابع الخمسة في كل
~~يد، إلا بطريقة عابرة. بالرغم من ذلك، عند معرفة كلمة مثل
~~«خمسة» ثم استخدامها بشكل مثمر لوصف كمية الأصابع في كل يد،
~~فإن ذلك يؤدي إلى اختراع الأعداد. وهذا المسار التشريحي
~~العام الذي يفسر اختراع الأعداد، يدعمه الكثير من البيانات
~~اللغوية، مثل تكرار التشابه بين كلمة «خمسة» وكلمة «يد» في
~~لغات العالم. (سنوضح هذه النقطة بالتفصيل في الفصل
~~الثالث.)

# إن اختراع الأعداد الذي تم في أوقات مختلفة على مدار
~~التاريخ البشري، لم ييسر تفكيرنا بشأن الكميات فحسب، بل
~~مكنتنا الأعداد من أن نكون قادرين دائما على التمييز بين ms025
~~الكميات التي تزيد عن ثلاثة، بدقة وبصورة منتظمة. وسوف
~~نوضح هذه الفرضية بشكل أفضل على مدار هذا الكتاب، أما في
~~الوقت الحالي فإنني آمل أن أكون قد حددت بوضوح أكبر
~~ما أعنيه حين أقول إن الأعداد أدوات إدراكية ثورية قد
~~اخترعها البشر. ويقترح هذا الكتاب أن اختراع الأعداد
~~وانتشار استخدامها على نطاق واسع، قد أدى إلى إعادة توجيه
~~البشر إدراكيا وسلوكيا. فربما كانت الأعداد هي الأداة
~~الوحيدة الأكثر تأثيرا في مجموعة الأدوات اللغوية التي أتاحت
~~التحول الحديث لنوعنا، والذي ناقشناه في جزء سابق. إضافة
~~إلى ذلك، فقد مكنتنا من جميع أنواع الاختراعات الأحدث
~~منها، والتي سنناقشها لاحقا في هذا الكتاب، أو سهلتها لنا
~~على الأقل. وبدون هذه الأدوات الإدراكية، لم تكن الثورة
~~الزراعية لتحدث على الأرجح، ولم تكن الثورة الصناعية لتحدث
~~بالتأكيد.

# إلى أين سيأخذنا هذا الكتاب؟

# يقدم هذا الكتاب توليفة من الأدلة المستقاة من مجال علم
~~الإنسان، والأدلة اللغوية والنفسية، وهو يأخذ في الاعتبار
~~بيانات من الجماعات البشرية وكذلك الحيوانات. وجميع هذه
~~البيانات تؤدي بإصرار إلى الاستنتاج البسيط الذي تنبأنا به
~~بالفعل، وهو أن الأعداد قد كانت بمثابة دعامات إدراكية
~~وسلوكية أساسية، فأسهمت في تأسيس الصرح الأكبر
~~للحداثة.

# في القدر المتبقي من الجزء الأول، سوف نبحث في مدى تغلغل
~~الأعداد في الخبرة البشرية، وسوف نركز على التمثيلات
~~الرمزية للكميات في السجلات الأثرية والمكتوبة (الفصل
~~الثاني)، وفي الحديث كذلك، وسوف نستطلع كلمات الأعداد (الفصل
~~الثالث) وغيرها من الإشارات اللغوية إلى الكميات، في اللغات
~~حول العالم. وتقترح البيانات التي سترد في هذه الفصول أن
~~الأعداد مكون أساسي في جميع لغات العالم تقريبا، وكذلك
~~جميع الأنظمة الرمزية غير اللفظية القديمة. إضافة إلى ذلك،
~~فإن جميع النتائج التي فحصناها، تؤكد أهمية التشريح البشري
~~وعلم الأعصاب في اختراع الأعداد واستخدامها.

# وفي الفصل الثاني سنتناول الدور الذي قامت به الأعداد في
~~تاريخ البشرية، وذلك من خلال تفصيل ما يرتبط بهذا الموضوع من
~~نتائج جمعت من بالغين لا يعرفون الأعداد (الفصل الخامس).
~~وسوف نفحص أيضا الإدراك ms026 العددي لدى الأطفال الذين لم يكتسبوا
~~مهارة اللغة بعد (الفصل السادس)، وكذلك المهارات العددية لدى
~~الأنواع الأخرى، التي يرتبط العديد منها بنوعنا ارتباطا
~~وثيقا (الفصل السابع). وسيركز هذا الفحص على الدراسات الحديثة
~~التي أجراها علماء الإنسان وعلماء اللغة في أماكن بعيدة في
~~معظم الأحوال، وكذلك الدراسات المستندة إلى المختبرات،
~~التي أجراها الباحثون في فروع أخرى من مجال العلوم
~~الإدراكية.

# وفي الجزء الثالث من هذا الكتاب ، سوف نرى كيف أن الأعداد
~~قد شكلت معظم الثقافات المعاصرة، وسوف نتناول الكيفية
~~التي اخترعت بها الأعداد والعمليات الحسابية الأساسية على
~~الأرجح (الفصل الثامن). وأنا أقترح أيضا أن اللغة العددية
~~قد أسهمت في تغيير أنماط إعاشة البشر (الفصل التاسع). وسوف
~~نرى كيف أن الأعداد قد أتاحت ازدهار بعض التقنيات المادية
~~والسلوكية الأخرى، وهي تقنيات قد أدت إلى أحداث مهمة في
~~التاريخ البشري الحديث. وأخيرا ينتهي الكتاب بتناول بعض
~~الطرق المحورية التي قد غيرت بها الأعداد الثقافات
~~البشرية من الناحية الاجتماعية والروحية، وإن كان ذلك
~~بطريقة غير مباشرة على الأقل (الفصل العاشر).



# الفصل الثاني



# | الأعداد منقوشة في ماضينا




# فوق أرض الغابة، وفي صميم قلب غابات الأمازون البرازيلية،
~~بالقرب من مدينة مونتي أليجري العتيقة، توجد مجموعة من الرسومات
~~على كهف بجانب أحد التلال وبعض الجدران البارزة. وهذه الرسومات
~~التي أبدعها فنان من السكان الأصليين قبل أكثر من 10000
~~عام، ووثقتها بعناية شديدة عالمة الآثار آنا روزفلت، قد
~~أسهمت في تغيير فهمنا لتاريخ ما قبل الاستعمار في الأمريكتين.
~~في إحدى اللوحات، نجد مجموعة من علامات

# x

# المرسومة في ترتيب شبكي.
~~ووظيفة هذه الرسمة، التي هي أشبه بالمخطط منها بالعمل الفني،
~~ليست معروفة على وجه اليقين، لكن الأرجح أن هذه العلامات
~~تشير إلى كميات: للأيام، أو للبدور أو غيرها من أنواع الدورات
~~الثمينة التي ضاعت بمرور الزمن، تدل هذه الرسمة على توجه
~~أكبر. على مدار العقود العديدة الماضية، اكتشف علماء الآثار العديد
~~من قطع الأدلة التي تشير إلى أن القدماء كانوا يولون اهتماما
~~للكميات، وقد كانوا يمثلون هذه الكميات ms027 في بعدين؛ فلم
~~يكونوا يمثلونها على هيئة كتابة رمزية مكتملة الملامح، بل
~~بالعلامات المرسومة على جدران الكهوف، والعلامات المنقوشة على
~~الخشب والعظام. وعلامات العصي تلك هي علامات رمزية من حيث إنها
~~ترمز إلى شيء آخر، لكنها لا تمثل الكميات بطريقة رمزية مجردة
~~تماما كالأرقام الفعلية المكتوبة؛ فالرقم سبعة، على سبيل المثال،
~~يشير إلى مجموعة تتكون من سبعة عناصر، بغض النظر عن نوع هذه
~~العناصر. يمكن تسمية هذه العلامات البدائية «أرقام ما قبل
~~التاريخ»؛ فهي مؤشرات شبه رمزية على الأرقام الحديثة المكتوبة.
~~فلتتأمل الرقم 3 في الأرقام الرومانية

# III

# إنه أكثر شبها بتمثيل
~~ثلاثة عناصر بطريقة العد بالعصا فحسب. حتى الأرقام التي
~~نستخدمها، والتي تعود إلى أصل هندي، تحمل آثارا واضحة على نظام
~~العد بالعصا؛ فالرقم 1 مثلا، يمثل بعلامة عصا
~~واحدة.

# 1

# على بعد 5000 كيلومتر من مونتي أليجري، في ليتل سولت سبرينج
~~بفلوريدا، اكتشف طلاب علم الآثار من جامعة ميامي في وقت قريب
~~جزءا كبيرا من قرن أحد غزلان الرنة، يعود تاريخه هو أيضا
~~إلى ما يقرب من عشرة آلاف عام قبل الآن. تظهر صورة حديثة لهذا
~~القرن في الشكل

# 2-1
~~، وكما توضح الصورة،
~~توجد مجموعة من الخطوط المنقوشة على جانب القرن، وهي خطوط
~~منتظمة للغاية، ويبلغ طول كل منها خمسة ملليمترات تقريبا.
~~إضافة إلى ذلك، فالمسافة بين الخطوط متسقة بدرجة كبيرة، مما
~~يوحي بأن هذه العلامات قد نقشت عن قصد وبشكل منهجي. وبجوار
~~هذه العلامات توجد نقوش صغيرة، يتوازى كل منها مع الخطوط
~~الأكبر. وتوحي هذه الخطوط الثانوية الصغيرة بأن العظمة كانت
~~تستخدم لمتابعة تقدم شيء ما. (في الشكل

# 2-1
~~، تظهر النقوش الثانوية إلى اليسار قليلا من الخطوط الأساسية
~~على القرن.) لقد غفل الكثيرون عن أهمية قطعة قرن الوعل؛ فهي لم
~~توصف إلا مؤخرا في دورية متخصصة في مجال علم الإنسان، دون
~~الإشارة إلى ما يترتب عليها من نتائج أعم. بالرغم من ذلك، فعلى
~~العكس من رسمة مونتي أليجري، يمكن لنا أن نطرح فرضية تتسم
~~بدرجة كبيرة من ms028 المنطقية، بشأن وظيفة العلامات الموجودة على
~~القرن. إن هذه العلامات توحي بالفعل بأن هذه القطعة من
~~القرن هي أقدم أداة معروفة في العالم الجديد، استخدمت لأهداف
~~تتعلق بالتقويم، وتوجد العديد من الأدلة التي تؤيد هذا
~~الاستنتاج.

# 2

# شكل 2-1: قرن غزال الرنة المكتشف في ليتل سولت سبرينج
~~بفلوريدا، مع يد زميل لتوضيح الحجم. الصورة
~~الفوتوغرافية من التقاط المؤلف.

# إن المياه في ليتل ووتر سبرينج فقيرة بالأكسجين (فهي تفتقر
~~إلى الأكسجين المذاب) فيما يزيد عن عمق 5 أمتار تحت السطح.
~~والقطعة المعنية، وهي جزء مستو من قرن، ويبلغ طولها 8
~~سنتيمترات تقريبا وتزن ما يقرب من خمسين جراما، قد اكتشفت على
~~عمق 8 أمتار. لقد كانت محاطة بالماء الفقير بالأكسجين منذ أن
~~قطعت قبل 10000 عام تقريبا، والآثار لا تتلف في الماء الفقير
~~بالأكسجين بالدرجة التي تتلف بها في الماء المعتاد؛ إذن فالقرن
~~محفوظ بعناية شديدة؛ ولهذا يمكننا أن نثق بأن عدد العلامات
~~الموجودة على جانبه هو نفسه العدد الذي نقشه ذلك الفنان قبل كل
~~هذه الأعوام. إضافة إلى ذلك، فقد اكتشف القرن مغروسا في الأرض
~~بجوار حافة جرف تحت الماء، ولم يكن هذا الجرف مغمورا تحت المياه
~~في العصر الجليدي الذي صنعت فيه هذه الأداة، حين كانت مستويات
~~المياه المحيطة بفلوريدا أقل انخفاضا مما هي عليه الآن
~~بدرجة كبيرة. وقد كانت القمة المنحدرة لهذا الجرف تستخدم
~~بمثابة موقع صيد في ذلك العصر؛ فقد اكتشفت هناك العديد من بقايا
~~الحيوانات والأسلحة، وذلك على يد عالمي الآثار البحرية بجامعة
~~ميامي؛ جون جيفورد، وستيف كوسكي، وطلابهما. وقد قام هذا الفريق
~~البحثي بوصف هذه البقايا والأسلحة المعنية وأرخها بدقة،
~~واكتشف أنها تعود إلى العصر ذاته الذي ينتمي إليه القرن المنقوش.
~~ونظرا لأن قرن غزال الرنة قد اكتشف في هذا الموقع، فمن
~~المنطقي أن نفترض أن العظمة كانت تستخدم لغرض متعلق
~~بالصيد. ولدينا دليل آخر مهم يدعم هذا الاستنتاج الأخير، وهو
~~أن قطعة القرن قد نقش بها تسعة وعشرون خطا أساسيا،
~~ولدينا الآن جزء مكشوط، ms029 حيث كان به أحد هذه الخطوط كما يدل على
~~ذلك وجود نقش أصغر بجوار ذلك الجزء المكشوط. وأحد هذه الخطوط
~~الموجودة في المنتصف أقل انتظاما؛ ولهذا فقد يكون ثمانية
~~وعشرون خطا فقط هي التي نقشت عن قصد، غير أن هذا الاحتمال
~~الأخير يبدو غير مؤكد؛ إذ إن المسافة بين العلامات متساوية، كما
~~يتضح في الشكل

# 2-1
~~.

# ولأنه من الواضح أن ليتل سولت سبرينج كانت تستخدم بمثابة
~~موقع صيد في العصر الحجري، فمن المحتمل أن تكون العلامات
~~الموجودة على القرن تمثل الأيام أو الليالي. فأطوار القمر
~~تؤثر في ممارسات الصيد نظرا إلى بعض العوامل مثل تغير سلوك
~~بعض الحيوانات في طور البدر، وتأثير ضوء القمر على حدة رؤية
~~الصيادين؛ ومن ثم فالأرجح أن المصفوفة المنقوشة على القرن،
~~التي تتكون من تسعة وعشرين خطا، تمثل عدد الأيام في الشهر
~~القمري، الذي يمتد على مدار 29 يوما ونصف اليوم في المتوسط.
~~ويدعم هذا التأويل التقويمي دليل موجود على القرن، لكنه أقل
~~وضوحا؛ وهو أنه لا يوجد نقش صغير بجوار أحد السطور الطرفية في
~~سجل العلامات (السطر الطرفي السفلي في الشكل

# 2-1
~~). ويوحي لنا ذلك بأنه لم يكن ثمة حاجة
~~إلى نقش علامة أصغر بجوار العلامة الأكبر، أي إن تسجيل العلامة
~~الأخيرة لم يكن ضروريا على ما يبدو. وذلك هو ما كان سيحدث
~~بالتأكيد إذا كان أحد الصيادين يتابع تقدم دورة القمر؛ فلن يكون
~~هناك حاجة إلى تسجيل حدوث البدر/الهلال، في الليلة الفعلية
~~المعنية، وسيكون الصياد مدركا تماما أن البدر أو الهلال
~~قد حل. وبالنظر إلى هذه العوامل، وكذلك اكتشاف الأداة في موقع
~~مرتبط بالصيد؛ فإن الاستنتاج الأرجح والجدير بالملاحظة بشأن
~~قطعة القرن، هو أن الصيادين كانوا يستخدمونها أداة لعد
~~الأيام/الليالي في الشهر، ثم عدها من جديد. ومعنى هذا أن
~~البشر قبل ما يزيد على 10000 آلاف عام، وفي مكان غير بعيد عن
~~ميامي التي نعرفها في الوقت الحاضر، كانوا يستخدمون العلامات
~~الخطية لمتابعة تقدم الكميات. وقد كانت أرقام ما قبل
~~التاريخ تتمثل في ms030 علامات العصي المنقوشة على جزء من قرن غزال
~~قد قطع إلى حجم مناسب حتى يمكن حمله بسهولة في قبضة اليد.
~~لقد كان ذلك بصفة أساسية تقويم الجيب في العصر الحجري، وقد
~~حفظ مصادفة في مياه فقيرة بالأكسجين. (ومن المفترض أن
~~العديد غيره لم يحفظ.)

# بالرغم من أن «التقويم» المصنوع من قرن الغزال، والمكتشف في
~~ليتل سولت سبرينج، قد يمثل أحد أوضح الأمثلة على الآلات الحجرية
~~التي استخدمت لمتابعة دورة القمر، فمن المؤكد أن البشر الذين
~~استخدموه لم يكونوا هم البشر الوحيدين في العصر الحجري الذين
~~استخدموا نقش علامات العصي على العظام لمتابعة الكميات؛ ففي كهف
~~جروت دي تاي في جنوب فرنسا على سبيل المثال، اكتشفت لوحة عظمية
~~صغيرة منقوشة، ويعود تاريخها أيضا إلى العصر الحجري الحديث.
~~ويظهر على سطح عظمة الضلع مئات الخطوط المنقوشة، وتوضح بعض
~~التحليلات أن هذه الخطوط كانت تستخدم لأغراض تتعلق
~~بالتقويم. ومن الأدوات الأخرى التي اكتشفت في فرنسا، لوحة أبري
~~بلانشارد، وهي عظمة يعود تاريخها إلى 28 ألف عام، وتظهر عليها
~~نقوش دائرية وبيضاوية تمثل على الأرجح أطوار القمر وحركته.
~~إضافة إلى ذلك، يبدو أن البشر في أوروبا في العصر الحجري
~~الحديث، كانوا يستخدمون نظام عصي أقل تعقيدا، لتمثيل
~~الكميات، وذلك يشبه كثيرا استخدام بشر العصر الحجري العلوي
~~القديم الذين كانوا يعيشون فيما نعرفه اليوم بفلوريدا. ويؤيد هذا
~~الاستنتاج نموذج لنظام عصي بسيط، قد اكتشف أيضا في فرنسا،
~~وهو عظمة أبري سيليه أفيان التي تقترب في العمر من أداة أبري
~~بلانشارد. تحتوي عظمة أبري سيليه على علامات خطية، تفصل بينها
~~مسافة منتظمة بدرجة كبيرة، مثل قرن ليتل سولت سبرينج. ولا
~~يوجد بجوار العلامات نقوش أصغر، كالتي تتضح في قطعة ليتل
~~سولت سبرينج، وهي لا تمثل الكمية 29 أو أي كمية أخرى يمكن فهم
~~أسباب تمثيلها بعلامات العصي. بالرغم من ذلك، فإن أحد التحليلات
~~الحديثة يوضح أن عظمة أبري سيليه، لا تختلف عن أداة جروت دي
~~تاي وأداة أبري بلانشارد؛ فهي تقدم دليلا على أن مخترعها، أو ms031
~~مخترعيها، قد عمدوا إلى تمثيل المفاهيم العددية بطريقة
~~مادية.

# 3

# يبدو لنا إذن أن البشر في أوروبا وأمريكا الجنوبية وأمريكا
~~الشمالية، كانوا يمثلون الكميات في بعدين منذ آلاف السنوات.
~~ونحن لا نعلم على وجه اليقين ما إذا كانت أرقام ما قبل التاريخ
~~تستخدم مع مفردات الأعداد أم لا، لكن بالنظر إلى الدور الذي
~~تؤديه مفردات الأعداد في تيسير عملية التفكير الرياضي وتمييز
~~الكميات المتكررة (انظر الفصل الخامس)، فإن هذه الأدوات
~~تدل بالفعل على أن مخترعيها كانوا يستخدمون اللغة العددية.
~~إننا لا نعرف بصورة واضحة طول المدة التي كان البشر يستخدمون
~~فيها أرقام ما قبل التاريخ المنقوشة والمرسومة، لكنهم كانوا
~~يستخدمونها على الأرجح على مدار عشرات الآلاف من الأعوام. في هذا
~~الفصل وفي الفصلين الثالث والرابع، سوف أوضح استنتاجا بسيطا
~~يتضح في البيانات الأثرية العالمية واللغوية كذلك، وهو أن
~~البشر كانوا منشغلين دائما بتمثيل الكميات. إن مصطلحات
~~الكميات تؤدي دورا طاغيا وشاملا تقريبا، في لغات البشر
~~المعاصرة، مما يدل على دورها البارز في تاريخ الكلمة
~~المنطوقة. وبالمثل، فإن تركيز البشر على الأعداد يبرز في
~~السجل الأثري وفي تاريخ أنظمة الكتابة؛ فالأعداد منقوشة بالفعل
~~على سجلنا التاريخي.

# مثلما هي الحال في جميع النقاشات عن تطور الأنظمة الرمزية
~~البشرية، فإن تركيزنا يتحول بالضرورة إلى أفريقيا. وبصورة
~~أكثر تحديدا، يسترعي انتباهنا إقليم صغير في الكونغو، وهو
~~الإقليم الذي كان عالم الجيولوجيا البلجيكي، جون دي هينزيلين، قد
~~اكتشف فيه في العام 1960 قصبة ساق أحد حيوانات البابون يبلغ
~~طولها 15 سنتيمترا، ويوجد عليها بعض النقوش. وبعد تأريخ هذه
~~العظمة، التي سميت بعظمة إيشانجو، على اسم المكان الذي
~~اكتشفت فيه في بحيرة إدوارد، اتضح أنها تبلغ من العمر عشرين
~~ألف عام على الأقل. وعلى جوانب العظمة التي يقترب شكلها من
~~الأسطوانة، يوجد ثلاثة أعمدة من الخطوط التي تظهر فيها علامات
~~مجمعة في مجموعات. ومنذ اكتشاف هذه العظمة يدور جدل حاد
~~بشأن دلالة هذه المجموعات؛ فقد اقترح البعض أن المجموعات تشير
~~إلى استخدام النظام العددي الاثني عشري ms032 (الأساس 12) أو الوعي
~~بالأعداد الأولية، أو النظام العشري. غزيرة هي الفرضيات؛
~~لأننا لا نعرف الغرض الذي استخدمت العظمة لأجله بالتحديد،
~~غير أننا نعرف بالتأكيد أن الخطوط التي تمتد على جوانب
~~العظمة، متوازية تقريبا مع مثيلاتها من الخطوط الموجودة في
~~الأعمدة الأخرى. (وتختلف الخطوط في الاتجاه اختلافا طفيفا، وهي
~~تختلف أيضا بعض الشيء في الطول.) والأهم من ذلك أن الكميات التي
~~تظهر في مجموعات العلامات ليست عشوائية؛ فالعمود الأول يتضمن
~~العدد التالي من الخطوط، بالترتيب من الأعلى إلى الأسفل: 3، 6، 4،
~~8، 10، 5، 5، 7 (المجموع = 48). ويتضمن العمود الثاني مجموعات
~~تتكون بالترتيب من 11 و21 و19 و9 (المجموع = 60). وكالعمود
~~الثاني، يتضمن العمود الثالث أيضا 60 خطا، لكنها ترد في
~~مجموعات تتكون من 11 و13 و17 و19. وجميع الأعداد في هذا العمود
~~الأخير هي أعداد أولية، وتلك مصادفة على الأرجح، لكن ما يبدو
~~مصادفة أقل هو تساوي المجموع الكلي للعلامات في العمودين؛
~~فهو يبلغ ستين في كلا العمودين. إضافة إلى ذلك، لدينا
~~احتمال واضح بأن العمود الأول يشير إلى نمط من أنماط
~~المضاعفة، نظرا إلى وجود مجموعات متجاورة هي عبارة عن 3 / 6،
~~و4 / 8، و5 / 10 على التوالي.

# 4

# ربما تكون الفرضيات المتنوعة الجذابة بشأن العلامات
~~الموجودة على الجوانب، هي السبب في أننا عادة ما نغفل بشأن
~~عظمة إيشانجو حقيقة بسيطة لكنها هامة، وهي أن أحد طرفي
~~العظمة تبرز منه قطعة حادة من معدن المرو، وهي سن مدببة
~~ملحقة بها، من الواضح أنها كانت تستخدم في النقش. يبدو أن
~~عظمة إيشانجو كانت تستخدم بمثابة قلم رصاص في العصر الحجري؛ لقد
~~أمسك شخص ما بهذه العظمة بين أصابعه ذات مرة، واستخدمها للنقش
~~على أشياء أخرى؛ عظام على الأرجح. والاستنتاج البارز هنا هو أن
~~جوانب العظمة ربما كانت تستخدم بمثابة جدول مرجعي عددي للشخص
~~الذي يحملها، بينما يقوم هو بدوره بتسجيل كمية من العناصر أو
~~الأحداث، بشكل تفصيلي، على جانب عظمة أخرى أو قطعة خشب، أي إن
~~هذه العظمة كانت تستخدم لهدف فعلي ونظري في الوقت ذاته. إنها
~~تبدو كمسطرة ms033 للعصر الحجري؛ فالكميات ممثلة على جوانبها
~~لتيسير عملية مضاعفة هذه الكميات وغيرها بدقة. إن هذه العظمة
~~تشير إلى أن بعض سكان أفريقيا كانوا يجرون عمليات المضاعفة
~~على أرقام ما قبل التاريخ، منذ عشرين ألف عام على الأقل.

# وبعض العظام الأفريقية الأخرى التي تظهر على جوانبها خطوط
~~منقوشة، يعود تاريخها إلى أبعد من ذلك، وينطبق الأمر نفسه على
~~بعض العظام المكتشفة في أوروبا، مثل عظمة الذئب التي يبلغ
~~عمرها 33 ألف عام، والتي تحتوي على خمس وخمسين علامة على أحد
~~جوانبها، وقد اكتشفت في جمهورية التشيك، غير أن وظائف معظم
~~هذه المنقوشات القديمة للغاية قد ضاعت للأبد على الأرجح. بالرغم
~~من ذلك، يبدو لنا أن إحدى العظام الأفريقية، وهي أقدم كثيرا من
~~عظمة إيشانجو؛ إذ يقدر عمرها باستخدام وسائل التأريخ بالكربون
~~المشع بحوالي 43000 عام أو 44000، كانت تستخدم لأهداف تتعلق
~~بالرياضيات، اكتشفت هذه العظمة في سلسلة جبال ليبومبو التي
~~تمتد على الحدود بين جنوب أفريقيا وسوازيلاند، وتوجد أيضا على
~~جوانبها خطوط منقوشة. عظمة ليبومبو هي قصبة ساق إحدى حيوانات
~~البابون، وهي شبيهة في الحجم بعظمة إيشانجو، لكنها كانت تستخدم
~~لوظيفة أقل تعقيدا، أو أوضح على الأقل؛ فهي تحتوي على تسعة
~~وعشرين خطا منقوشا على أحد جوانبها، ومن ثم فقد كانت
~~تستخدم على الأرجح لتتبع دورة القمر، مثل قرن الغزال
~~المكتشف في ليتل سولت سبرينج. وبالرغم من أن هذا التفسير ليس
~~مؤكدا؛ إذ إن العظمة مكسورة من كلا الطرفين، وهي ليست
~~مقطوعة بانتظام كقرن ليتل سولت سبرينج، فهو تفسير منطقي في ضوء ما
~~سبق ذكره من أهمية دورة القمر بالنسبة إلى الجماعات البشرية،
~~وكذلك في ضوء حقيقة أن بعض الشعوب الأفريقية المعاصرة تستخدم
~~تقويمات العصي المشابهة لها.

# 5

# ما يتضح لنا من كل هذه العظام التي يتضمنها السجل الأثري،
~~هو أن البشر كانوا يسجلون الكميات بطريقة مادية، باستخدام
~~أرقام ما قبل التاريخ منذ عشرات الآلاف من الأعوام. فلطالما كنا
~~مهتمين بتسجيل الكميات ومتابعتها، سواء أكانت دورة القمر التي
~~تتكون من 29 يوما، ms034 أو غيرها من فئات الكميات التي تحدث في
~~الطبيعة. ويتضح هذا الاهتمام الذي تمسكنا به طويلا، على
~~مستوى العالم؛ إذ ظهر لدى الشعوب التي أتت لتقيم في فلوريدا،
~~والأمازون، وجنوب فرنسا، وفي وسط أفريقيا وجنوبها، ومن المؤكد أن
~~العديد من المواقع الأخرى لا تزال بها أدوات مدفونة.

# القليل فقط من التقنيات التي ابتكرها البشر، كان لها هذا القدر
~~من التأثير الذي حققته أنظمة العصي الأساسية. وقد أدت أنظمة
~~العصي الأكثر تعقيدا دورا أكثر أهمية في أوروبا وغيرها من
~~الأماكن في الألفية الماضية، ولا تزال بعض أنظمة العصي الأساسية
~~تستخدم حتى الآن. ومن الأمثلة المتعددة على هذه الأنظمة، سوف
~~نلقي نظرة على نظام العصي الذي تستخدمه قبيلة جاراوارا، وهم
~~مجموعة من السكان الأصليين يبلغ عددهم مائة فرد، ويعيشون تحت ظل
~~غابات الأمازون الكثيفة في الجنوب الغربي، وهم يعيشون بصفة أساسية
~~على الصيد والتقاط الثمار. لا يزال هؤلاء الأشخاص بارعين في
~~استخدام أساليب البقاء التقليدية، والعديد منهم أيضا على بعض
~~الدراية بالحياة المتمدنة في البرازيل. وقبل خمسة أعوام فقط،
~~كنا نعتقد أن هؤلاء الأفراد يفتقرون إلى وجود أعداد خاصة بهم
~~من أي نوع. بالرغم من ذلك، فكما سنرى في الفصل الثالث، اتضح أن
~~الجاراوارا كانوا يستخدمون نظاما شفهيا للأعداد على مدار قرون
~~عديدة، وكانوا يستخدمون أيضا نظام العد بعلامات العصي، وقد
~~كان هذا النظام منقوشا على الخشب لا على العظام. ويوضح الشكل

# 2-2

# أحد أمثلة هذا النظام، حيث تظهر صورة
~~غصن شجرة صغير عار، قد حفر فيه ببراعة أحد رجال الجاراوارا
~~سلسلة من الشقوق، وهذه الشقوق المثلثة المحفورة في الغصن ترد
~~في مجموعات منتظمة؛ فهي ترد في مجموعات تتكون من 1 و2 و3 و4
~~و5 و10 نقوش منفصلة. وقد شرح لي الفنان الذي حفر هذه الشقوق
~~استخدامها التقليدي: عند الإشارة إلى الكميات، كعدد الأيام التي من
~~المتوقع أن يقضيها أحد رجال الجاراوارا في السفر على سبيل
~~المثال، سيشير الرجل إلى المجموعة المناسبة من الشقوق؛ فإذا كان
~~يتوقع أن يسافر لمدة أسبوع مثلا، ms035 فيمكنه أن يشير إلى
~~مجموعة تتكون من خمسة شقوق، وأخرى تتكون من شقين. وهذا
~~التمثيل للكميات مفيد للغاية، غير أننا سنرى في الفصل الخامس
~~أن بعض الثقافات التي تعيش في منطقة الأمازون لا تستخدم أي
~~تمثيلات مشابهة للكميات، سواء أكانت حسية أو لفظية أو بصرية؛
~~فهي ثقافات لا عددية. أما الجاراوارا، فقد اعتادوا على استخدام
~~نظام عصي محمول، لا يختلف كثيرا عن ذلك الذي استخدمه صيادو
~~فلوريدا في ليتل سولت سبرينج، قبل 10000 عام. ونظرا لأنهم
~~استخدموا الخشب لا العظام لتسجيل نظامهم، وكذلك مع مراعاة استهلاك
~~غابات الأمازون لمعظم الأدوات التي صنعها البشر؛ فإن نظام
~~العصي الذي يستخدمه الجاراوارا لم يكن ليبقى حاضرا في السجل
~~الأثري لفترة طويلة. بالرغم من ذلك، فنظرا لوجود رسومات 
~~قديمة تشبه نظام العصي في مونتي أليجري، فالأرجح أن سكان
~~الأمازون، كانوا هم أيضا يتحرون الدقة في الكميات منذ آلاف
~~الأعوام. ولا شك أن العديد من التقنيات المثيرة للاهتمام،
~~والتي كانت تستخدم لتصوير الكميات بصريا، مثل ذلك النظام الذي
~~يستخدمه الجاراوارا، قد ضاعت بمرور الزمن نتيجة للتحلل المادي،
~~وليس ذلك في الأمازون فقط، بل في جميع أنحاء العالم.

# 6

# شكل 2-2: نظام العصي التقليدي لدى الجاراوارا. الصورة من
~~التقاط المؤلف.

# على بعد مئات الكيلومترات باتجاه الجنوب الغربي للقرى القليلة
~~والصغيرة التي تسكنها قبيلة جاراوارا، حيث حافة إقليم الأمازون،
~~اكتشف مؤخرا نوع مختلف تماما من النقوش، وهي نقوش تتفق مع
~~الاستخدام القديم للأعداد، على يد مجموعة غير معروفة من البشر،
~~غير أن هذه النقوش ليست على الخشب ولا على العظام، بل على الأرض.
~~إنها مجموعة كبيرة من رسوم «الجيوجليف» الضخمة¬¬، وهي عبارة عن
~~خنادق خطية محفورة في الأرض، ويبلغ عمقها من مترين إلى ثلاثة
~~أمتار. عند رؤيتها من الأعلى، فإن هذه الرسوم تمثل أشكالا
~~هندسية منتظمة، كالدوائر والأشكال رباعية الأضلاع. وبعضها
~~مربعات منتظمة تماما بأضلاع متساوية يصل طولها إلى 250 مترا.
~~والأمر الغريب أن بعض هذه الرسوم يعود تاريخه إلى أكثر من 2000
~~عام. لقد ظلت مغطاة ms036 بالغابات الكثيفة على مدار قرون طويلة،
~~إلى أن سمحت إزالة الغابات باكتشافها مصادفة، من طائرة صغيرة.
~~وبالرغم من أن قصة المعماريين الذين صمموا هذه الرسوم لا
~~تزال غامضة نظرا لقدمها، فمن الجلي أن هؤلاء الأشخاص قد
~~اعتمدوا على التطابق الرياضي المعتاد لابتكار هذه
~~الرسوم.

# 7

# لقد أنتجت رسوم «الجيوجليف» هذه في وقت حديث نسبيا،
~~مقارنة ببعض ما ذكرناه من الأرقام الرياضية الأكثر وضوحا،
~~والتي تنتمي إلى مرحلة ما قبل التاريخ. غير أن هذه الرسوم تمثيل
~~واضح لأحد الموضوعات الشائعة في علم الآثار، وهو أن آثار انشغال
~~البشر الدائم بالأعداد، كثيرا ما تتضح في السجلات المادية.
~~وينطبق ذلك على أشهر أنواع بقايا العصر الحجري القديم، وهي رسومات
~~الكهوف، كما يتضح ذلك في الموقع الموجود بالقرب من مونتي
~~أليجري. وبالرغم من صعوبة معرفة وظائف رسومات الكهوف، فإن بعض
~~توجهات فن العصر الحجري القديم تتجلى في الجدران الداخلية
~~في بعض الكهوف. وبالرغم من استحالة معرفة المعنى الذي تنطوي عليه
~~هذه الرسومات على وجه التحديد، فغالبا ما يمكننا معرفة أعمارها
~~بدقة. ففي الأماكن التي استخدم فيها الفنانون الأصليون
~~الطلاء المعدني مثل المغرة‏ لرسم أعمالهم، يمكننا تأريخ هذه
~~اللوحات بشكل غير مباشر، وذلك من خلال استخدام الأدوات ذات الأساس
~~العضوي، التي توجد بالقرب من العمل الفني. أما الرسومات الفحمية،
~~فإنها تسمح بتأريخها بالكربون المشع بشكل مباشر من خلال تأريخ
~~الطلاء المستخدم في الرسم.

# إن الجمع بين التأريخ والتأويل يوضح بعض ما تتضمنه رسومات
~~الكهوف الأوروبية من عناصر أساسية متكررة قديمة للغاية، وغالبا
~~ما نجد في هذه الرسومات ظهورا للحيوانات؛ فللثيران البرية وغيرها
~~من أنواع الأبقار، دور بارز للغاية، إضافة إلى الثور الأمريكي
~~والخيول وغيرها من الثدييات الكبيرة. ويتكرر في هذه الرسومات
~~أيضا ظهور عنصر آخر، وهو اليد البشرية؛ إذ تظهر في أقدم
~~الرسومات الأوروبية، كالرسومات الموجودة في كهف إل كاستيلو في
~~إسبانيا (عمرها 40000 عام تقريبا)، وفي كهف شوفيه (32000 عام
~~تقريبا)، وكهف لاسكو بجنوب فرنسا (17000 عام تقريبا). وربما يكون
~~لشكل اليد في هذه ms037 الكهوف وظيفة عد من نوع ما، غير أن ذلك
~~تخمين فحسب. أما رسومات الأيدي المطبوعة في كهفي كوسكار وجارجاس
~~في فرنسا، التي يعود تاريخها إلى 27000 عام تقريبا، فقد كان لها
~~على الأرجح وظيفة عددية؛ فالرسومات المطبوعة في هذين الكهفين
~~تصور أياد يسرى تمتد أصابعها من 1 إلى 5، وفي جميع
~~الرسومات، يظهر الإبهام مرفوعا وكأنه يعبر عن العدد الأول في
~~تسلسل العد. وقد ذكر عالم الآثار كارينلي أوفرمان، والذي أجرى
~~أبحاثا رائعة عن التمثيلات العددية في السجل البشري المادي،
~~أن رسومات الأيدي المعنية في هذين الكهفين تعبر عن أسلوب
~~العد من الإبهام (1) إلى الإصبع الصغيرة (5). (ومعنى هذا أن
~~الإبهام بمفردها مرفوعة تمثل العدد 1، وحين تكون الأصابع كلها
~~مرفوعة، بما فيها الإصبع الصغيرة؛ فإن ذلك يمثل الكمية 5.)
~~وإذا قبلنا بتلك الافتراضات فإنها تشير إلى أن ما دون ذلك من
~~تمثيلات الأيدي البشرية في العصر الحجري القديم، ربما كانت
~~تستخدم هي الأخرى لتمثيل الكميات.

# 8

# إن ما يلفت النظر تحديدا في سياق ما نطرحه الآن، هو أن
~~اليد البشرية وأصابعها عنصر أساسي يتكرر في جميع رسومات الكهوف
~~على مستوى العالم، لا الكهوف الأوروبية فحسب. وبالفعل، فإن
~~بعضا من أقدم الرسومات المعروفة في العالم، في كهف سولاويسي
~~بإندونيسيا، مزخرفة برسومات ملونة للأيدي، تظهر فيها كل إصبع
~~بوضوح. يبلغ عمر رسومات كهف سولاويسي ما يقرب من 40000 عام،
~~وكغيرها من العديد من الرسومات الموجودة في الكهوف الأخرى، قد
~~صنعت من خلال وضع الصبغة على يد ثم وضع اليد على الجدار. وفي
~~السياق نفسه، فإننا نجد بعض رسومات الطباعة بالأيدي في كهف فيرن
~~في أستراليا، ويعود تاريخ هذه الرسومات إلى ما يقرب من 12000 عام.
~~وحتى في أمريكا الجنوبية، يظهر عنصر اليد بدرجة كبيرة في الأشكال
~~الفنية التي يبلغ عمرها 10000 عام تقريبا، والموجودة في كهف
~~«كويفا دي لاس مانوس» أي «كهف الأيدي» - وهو اسم على مسمى -
~~الذي يوجد في منطقة بتاجونيا بالأرجنتين. ويضم هذا الكهف عشرات
~~الصور الملونة للأيدي، وهي تظهر في الشكل

# 2-3 ms038
~~.

# 9

# شكل 2-3: رسومات الأيدي المطبوعة في كهف كويفا دي لاس
~~مانوس، بالأرجنتين. ويكيميديا كومونز
~~(

# CC BY-SA
~~3.0
~~).

# لقد أدى تصوير الأيدي والأصابع دورا بارزا يتضح في جميع
~~قارات العالم، في تطور الفن والرموز ثنائية الأبعاد. وبناء على
~~هذا التوزيع العالمي لرسومات الأيدي، فمن المحتمل أن يكون البشر
~~قد مارسوا رسم الأيدي قبل مغادرة أفريقيا. ويحمل هذا التفسير
~~لتصوير الأيدي قدرا لا بأس به من التخمين، وربما يكون قد حدث
~~لظروف فحسب. بالرغم من ذلك، ففي بعض الحالات على الأقل، يوضح
~~التحليل التفصيلي وجود وظيفة عددية لرسومات الأيدي المطبوعة.
~~ونظرا لأهمية الأيدي في التمثيل اللغوي للأعداد، الذي سنناقشه
~~بالتفصيل في الفصل الثالث، ونظرا إلى الوظيفة العددية الواضحة
~~لبعض الأدوات القديمة الأخرى، كعظمة إيشانجو، فليس من المستبعد
~~أن تكون لبعض هذه التمثيلات الفنية للأيدي وظائف أساسية تتعلق
~~بالكميات؛ فرسومات الأيدي الموجودة في كهفي كوسكار وجارجاس 
~~تعبر عن العد بصفة خاصة. وحتى إذا نحينا هذه الافتراضات
~~المنطقية جانبا، فسوف ندرك على الأقل أن رسومات الكهوف تمتلئ
~~بالأدلة التي توضح تركيز البشر على أيديهم؛ فنحن قوم مشغولون
~~بأيدينا. ومثلما سنرى في مناقشتنا عن الإدراك لدى الأطفال في
~~الفصل السادس، فإن تطور التفكير العددي لدى الأطفال يرتبط
~~ارتباطا وثيقا بهذا التركيز على اليد؛ فحتى ونحن لا نزال في
~~الرحم، نبدأ بالانتباه إلى أيدينا. وعادة ما تتضمن محاولاتنا
~~الأولى لتمثيل الكميات استخدام الأصابع، وكذلك فإن العد على
~~الأصابع هو ممارسة منتشرة في جميع ثقافات العالم.

# أيا كان ما يشير إليه كثرة ظهور الأيدي في رسومات الكهوف،
~~بشأن تاريخ الأعداد، فالواضح أن العديد من إبداعات مختلف
~~فناني العصر الحجري القديم، التي انتشرت في مناطق جغرافية
~~مختلفة، وعلى مدار عشرات آلاف الأعوام، تصور الكميات. فللنقوش
~~والرسومات القديمة تفسير عددي في معظم الحالات، وقد أدى تمثيل
~~الكميات بالعصي دورا متكررا في عرض أفكار الإنسان على
~~عظام الحيوانات والخشب والأرض وجدران الكهوف.

# لم يؤدي تمثيل الكميات مثل هذا الدور البارز في مثل هذه
~~الأعمال الإبداعية القديمة؟ أعتقد أن الإجابة ms039 عن هذا السؤال ذات
~~شقين على الأقل؛ أولهما هو سهولة تمثيل الكميات في صورة ثنائية
~~البعد، مقارنة بغير ذلك من جوانب الخبرة البشرية كالوقت (الذي
~~يبدو أنه كان يمثل بطريقة غير مباشرة في أعمال العصر الحجري
~~القديم من خلال علامات العصي التي تمثل الدورات السماوية)، أو
~~الانفعالات أو بعض المواقع الفعلية المحددة كذلك، والتي تستلزم
~~درجة أكبر من التعقيد الفني؛ كي يتم التعبير عنها بدقة من
~~خلال الرسم. وعلى العكس من ذلك، فالخطوط البسيطة وغيرها من
~~العلامات يمكنها تمثيل الوحدات أو الكميات بطريقة سهلة
~~ومباشرة، غير أن ذلك يثير التساؤل عن السبب في أن علامات
~~العصي تعبر عن غيرها من الأشياء بسهولة شديدة وبطريقة
~~مجردة، دون أن تصورها فعليا. وربما تكمن إجابة هذا
~~السؤال في أيدينا، وإن كان ذلك بصورة جزئية على الأقل، وهي
~~تتمثل في التشابه بين العلامات الخطية البسيطة وأصابعنا التي
~~تشبه الخطوط. يمكننا أن نقول بطريقة ما: إن الأصابع هي خطوط
~~تشريحية ثلاثية الأبعاد؛ فليس من المفاجئ إذن أن نجد الأفراد في
~~العديد من الثقافات حول العالم، وليس الأفراد في جميع الثقافات
~~بالتأكيد، قد استخدموا الخطوط لتمثيل الكميات، مثلما يستخدمون
~~الأصابع للغرض نفسه. ومعنى هذا أن الانتقال من أنظمة العد
~~على الأصابع إلى أنظمة العد بعلامات العصي، يستلزم قفزة
~~إدراكية أبسط مما يستلزمه اختراع أنواع أخرى محتملة
~~للتمثيلات البصرية للأفكار. فمن الناحية العملية، تستند أنظمة
~~العد بالعصي إلى طريقة مباشرة لتمثيل الأفكار على مساحة
~~ثنائية البعد، وذلك مقارنة بالعناصر والأفكار التي تزيد صعوبة
~~تمثيلها بأسلوب فني، وما من مدخل تشريحي يسهم في تمثيلها
~~تمثيلا بسيطا.

# وأما الشق الثاني، وربما يكون الأهم، فهو أن علامات العصي
~~الرقمية المنقوشة، وكذلك الرسومات التي تعبر عن ممارسات العد
~~على الأصابع، وإن كان ذلك على نحو افتراضي بصورة أكبر، قد
~~انتشرت بصورة أكبر في السجل الأثري بسبب فائدتها لمبتكريها.
~~إن الوسائل التمثيلية لترميز الكميات ذات فائدة عظيمة؛ فمن
~~السهل جدا أن نرى على سبيل المثال بعض المزايا المحتملة لإعداد
~~جدول بالعدد الدقيق ms040 لرجال إحدى القبائل التي ينتظر شن غارة
~~عليها، أو تسجيل العدد الدقيق للحيوانات المفترسة الموجودة
~~بالقرب من المرء. ومن السهل أيضا أن ندرك بعض المزايا
~~المحتملة لتتبع وحدات دورة القمر، وبالرغم من أن البشر
~~يستطيعون العيش والنجاح بالطبع دون تتبع مثل هذه الكميات،
~~فإن مزايا القيام بذلك تساعد في تفسير السبب في أن جميع
~~ثقافات العالم تقريبا تستخدم الأعداد. ويمكن لهذه المزايا أن
~~تحسن من معدلات البقاء على قيد الحياة، سواء في الحرب أو
~~الصيد. إن وظيفة أرقام ما قبل التاريخ، تتجاوز العوامل الروحية
~~والاجتماعية والبلاغية. إنها قد تكون ضرورية، في بعض الحالات على
~~الأقل؛ لمجرد البقاء على قيد الحياة.

# ليس من العجيب إذن أن نجد أن أرقام ما قبل التاريخ قد أدت
~~مثل هذا الدور البارز في هذا التمثيل المجرد الذي ابتكره البشر
~~خلال العصر الحجري القديم. ولم يقتصر دورها البارز في هذه 
~~التمثيلات ثنائية البعد للأفكار، على العصر الحجري، وإنما
~~تجلى أيضا بعد ذلك بآلاف السنين، حين تحول البشر إلى تمثيلات
~~رمزية أكثر تعقيدا للأفكار؛ ففي فجر الكتابة، احتل دور
~~البطولة الذي تقوم به الأعداد مركز الصدارة مرة أخرى.

# الأعداد في مرحلة نشأة الكتابة

# الساحة الكبرى للمتحف البريطاني في وسط لندن، محمية
~~بمظلة من الزجاج والصلب، وتعمل هذه المظلة الشفافة
~~بمثابة مصفاة للضوء؛ فهي ترشح سماء لندن الرمادية،
~~وتلقي بضوء سماوي أبيض على مجموعة المصنوعات البشرية الهائلة
~~التي تقطن تحتها. وهي مجموعة منقطعة النظير من نواح عديدة،
~~نظرا إلى الطريقة التي جمعت بها الإمبراطورية البريطانية
~~هذه الكنوز من جميع أنحاء العالم (أو ربما الوصف الأنسب أنها
~~استولت عليها، في بعض الحالات على الأقل). ومن هذه الكنوز
~~حجر رشيد، الذي يحيط به دوما حشد من السياح هم أشبه
~~بالمصورين المتطفلين، وهو يقع إلى اليسار في اتجاه
~~القاعة الجنوبية الغربية المجاورة للساحة الكبرى. أما في
~~الطابق الأعلى للقاعة، فيقبع غرض آخر أصغر وأبسط،
~~ومهمل بعض الشيء، لكنه قد يمدنا برؤى أعظم عن تطور
~~الكتابة البشرية. على جدار عادي غير مزخرف، ms041 وفي معرض بسيط
~~لتاريخ الكتابة البشرية، يعلق لوح من الجص يبلغ عمره
~~5300 عام (أكبر من حجر رشيد بثلاثة آلاف عام). لا يزيد طول
~~هذا اللوح على بضعة سنتيمترات في كل جانب، ويضم خطوطا
~~ونقطا نقشت في الجص، قبل كل هذه الأعوام. ونحن نعرف الآن
~~أن هذه النقط والخطوط تمثل كميات، كميات حبوب على
~~الأرجح، أو ربما سلعة أخرى كانت تستخدم في المعاملات
~~الاقتصادية، وهي نظامية بدرجة أكبر من العلامات التي تظهر
~~في سجل العصر الحجري القديم؛ فهي ليست مجرد علامات عصي
~~تعبر عن الكميات، بل تمثل طريقة قياسية للتواصل في
~~بعدين. إنها أول رموز كتابية فعلية نعرف عنها؛ فكل خط
~~وكل نقطة يعبر عن كمية محددة مجردة. وبعبارة أخرى،
~~فالعلامات الموجودة على لوح الجص هي أرقام فعلية.

# من بين ضباب الممارسات الرمزية المنتشرة حول العالم، ظهرت
~~الكتابة الفعلية في بلاد الرافدين في الوقت الذي شكل فيه
~~هذا اللوح. وهذا اللوح المعروض في لندن الآن، هو مثال على
~~التحول الذي بدأه الكتاب في بلاد الرافدين، وهو التحول
~~من استخدام الطرق البسيطة في تصوير الكميات إلى الكتابة
~~مكتملة الأركان. إن علماء الكتابات الأثرية وغيرهم من
~~العلماء، عادة ما يفرقون بين الكتابة التي توفر ترميزا
~~كاملا للغة معينة، وبين الكتابة الأولية، وهي صورة أقدم
~~من الممارسة الرمزية (غير أنها أقل قدما من أرقام ما قبل
~~التاريخ المستخدمة في سياقات العصر الحجري القديم)، وهي لا
~~تصور سوى مجموعة محددة من المعاني المحتملة. واتخاذ
~~قرار محدد بشأن ما إذا كان أحد النصوص القديمة ينتمي إلى
~~فئة الكتابة الأولية أم الكتابة الفعلية، ليس بالأمر السهل،
~~والواقع أن هذه المصطلحات تعتم العملية التدريجية التي
~~تطورت الكتابة من خلالها.

# وإذا نحينا الاختيارات الاصطلاحية جانبا، نجد أنه
~~من المتفق عليه عامة أن أول تطور شامل للكتابة، قد حدث
~~في منطقة الهلال الخصيب، وتحديدا في بلاد الرافدين على يد
~~السومريين. غير أنها ليست اختراعا خاصا بمنطقة الشرق
~~الأوسط فحسب؛ فقد تطورت أيضا بصورة مستقلة في الصين
~~وأمريكا الوسطى. ومن ms042 هذه الأقاليم، انتشرت الكتابة وتطورت
~~وفقا للاحتياجات اللغوية والاجتماعية والاقتصادية المحلية.
~~واليوم توجد العشرات من أنظمة الكتابة، مثل ذلك النظام الذي
~~أستخدمه الآن للتعبير عن أفكاري إليك. بالرغم من ذلك، يمكننا
~~أن نتتبع أصل جميع هذه الأنظمة الكتابية العديدة ونردها
~~إلى واحد من ثلاثة أساليب أساسية للكتابة، وذلك بطرق فعلية
~~ومثبتة تاريخيا. وسيكون تركيزنا هنا على نشأة أقدم أنظمة
~~الكتابة الفعلية، الذي تطور في بلاد الرافدين. (وفي الفصل
~~التاسع، سنناقش باختصار، أصول بعض أنظمة الكتابة الأخرى.) لقد
~~ولدت الكتابة البشرية لأول مرة في هذه المنطقة، وتوضح قصة
~~الميلاد هذه الدور الأساسي الذي أدته الأرقام في بداية
~~تطور الكتابة.

# 10

# بطريقة ما، ليس هناك ما يدهش في تلك الجاذبية التي طالما
~~اتسمت بها الرموز العددية؛ إذ إن الطلاقة في مثل هذه
~~الرموز قد أدت، ولا تزال تؤدي، دورا اجتماعيا اقتصاديا
~~في حياة الناس. فالعديد من هذه الرموز الكتابية التي تعبر
~~عن الكميات، والتي حفظت جيدا، هي عملات معدنية أو أدوات
~~تشبهها، ترمز لقيم مالية محددة. ومع مراعاة النسب
~~المحدودة لمعرفة القراءة والكتابة على مدار معظم تاريخ وجود
~~الكتابة البشرية، فالعملات المعدنية وغيرها من أنواع العملات
~~المرتبطة بكميات محددة، قد ظلت على مدار فترة طويلة
~~(ولا تزال في بعض مناطق العالم) هي الرموز الوحيدة التي يستطيع
~~الناس تفسيرها. وحتى بعد تطورها المستقل في أوراسيا
~~والأمريكتين، ظلت الكتابة الفعلية على مدار ألف عام، مهارة
~~متخصصة، يمارسها ويعلمها للآخرين مجموعة محددة من
~~الأفراد في عدد قليل من المجتمعات. فدروس الكتابة في نهاية
~~المطاف، هي ترف اقتصادي قد نتج بصورة غير مباشرة عن
~~الزراعة التي أتاحت وجود مثل هذه المهنة المتخصصة. وقد
~~أدت الوظيفة الاقتصادية للأعداد دورا واضحا في تطور
~~نقوش الكتابة في مجتمع بلاد الرافدين الزراعي، وقد أدى هذا
~~الدور في النهاية إلى تشكيل لوح الجص الذي يوجد فوق
~~الساحة الكبرى في المتحف، فلنتناول سريعا إحدى النظريات
~~التي تفسر كيفية حدوث ذلك.

# من المحتمل أنه قبل فترة تقدر بثمانية آلاف عام، كان
~~البشر في ms043 بلاد الرافدين يتقايضون كميات كبيرة من المحاصيل
~~الزراعية والحيوانات فيما بينهم. وقد سهل المقايضة في
~~المنطقة إدراكهم لإمكانية تمثيل الكميات بصورة رمزية،
~~ونقلها عبر مسافات بعيدة. إن إحدى الوسائل الأساسية التي
~~تطورت في هذه المنطقة، قد تبدو الآن عتيقة، غير أنها كانت
~~ثورية ولا شك في ذلك الوقت، وهي أوعية متينة من الفخار
~~مملوءة بعملات رمزية، كانت بمثابة العقد. فإذا افترضنا
~~مثلا أن أحد ملاك الأراضي قد وافق على أن يدفع لمالك
~~أرض آخر مقدارا محددا من الأغنام؛ فيمكن تسجيل هذا
~~الاتفاق في كرة من الطين، فتوضع العملات الرمزية التي
~~تمثل الكمية المحددة من الأغنام في الطين الذي يوضع بعد
~~ذلك في أفران حتى يصبح صلبا؛ ومن ثم فقد كانت كرة
~~الفخار بمثابة سجل يمكن نقله وكسره بعد ذلك حين الوفاء
~~بالعقد. ولتيسير عملية التسجيل؛ كان من الممكن الإشارة إلى
~~عدد العملات الموجودة داخل الإناء الفخاري ، على الجانب
~~الخارجي منه. ومع الوقت، اخترعت رموز خارجية محددة
~~لتمثيل أنواع البضائع التي تتكرر كثيرا في المعاملات. وكان
~~يمكن بعد ذلك مضاهاة هذه الرموز الخارجية مع عدد العملات
~~الرمزية الموجودة داخل الإناء. ومما لا شك فيه أن نظام
~~المضاهاة هذا قد سرع وتيرة التعاملات الاقتصادية في هذا
~~الزمن السابق على العملات النقدية الفعلية.

# إننا لا نعرف على وجه التحديد طول المدة التي استمر
~~خلالها هذا النظام الكمي الثلاثي الأبعاد لتمثيل السلع،
~~في بلاد الرافدين. وعلى أي حال، فقد بدأ السومريون في نهاية
~~المطاف في التخلي عن العملات الرمزية الداخلية تماما،
~~وتحول النظام تدريجيا من نظام ثلاثي الأبعاد إلى نظام
~~ثنائي الأبعاد (غير أنه من المحتمل أن يكون النظام
~~الثلاثي الأبعاد قد استمر في بعض الأماكن). ومعنى هذا أنه
~~بدلا من ترميز كميات السلع التجارية بعملات حقيقية داخل
~~الأواني الفخارية، كانت الكميات تمثل ببساطة على ألواح
~~طينية صغيرة جاءت لتحل محل تلك الأواني. وبالفعل، كانت
~~تلك الأواني والعملات الموجودة بداخلها زائدة عن الحاجة. فكل
~~ما كان ضروريا لحفظ العقود، هو طريقة منهجية لتسجيل السلع ms044
~~والكميات الموجودة على الفخار. ومن المرجح أن تكون الكتابة
~~المسمارية، وهي أول كتابة اخترعها البشر، قد ولدت تدريجيا
~~من هذه الفكرة. فمع مرور الوقت، امتد استخدام هذا النظام
~~لترميز الكميات والبضائع ليشمل أغراضا أخرى. وتطورت رموز
~~جديدة للسلع وغيرها من الأفكار، مرة تلو الأخرى، من خلال
~~أجيال جديدة من النقوش الكتابية. وأصبحت وسائل تسجيل هذه
~~الرموز المصورة على الطين منظمة، وذلك باستخدام الخوص أو
~~القصب لنقش الرموز بعناية، وبطريقة تتيح فهمها بسهولة، ثم
~~جاء تمثيل قواعد اللغة بعد ذلك، إلى أن أصبح من الممكن في
~~النهاية تمثيل جميع الجمل بالكتابة. وبينما نحن نتحدث بكل
~~يسر عن «اختراع» الكتابة، فقد تطورت بالفعل على مدار
~~آلاف الأعوام. بالرغم من ذلك، فمن الواضح أنه في بداية هذا
~~التطور الطويل في بلاد الرافدين، كان تمثيل الكميات
~~موجودا بالفعل، وقد كان ذلك في الواقع هو صميم الكتابة
~~المبكرة.

# ثمة شيء يدعى «مبدأ استخدام الرموز في تمثيل أصوات
~~اللغة» هو الذي يسرع التطور التدريجي لأنظمة الكتابة، مما
~~يؤدي إلى السرعة في استخدام الرموز المستندة إلى الأصوات،
~~بدلا من الرموز المعبرة عن أفكار ومفاهيم، كالرموز
~~المستخدمة في الأشكال الأولى من الكتابة السومرية. ويشير
~~مبدأ استخدام الرموز في تمثيل أصوات اللغة إلى استخدام الرمز
~~نفسه في تمثيل لفظتين متجانستين صوتيا. فلتتأمل مثلا
~~هذا المثال الخيالي البسيط: تخيل لو أن الكتابة الإنجليزية
~~كانت تمثل بالرموز أو الصور المعبرة عن الأفكار، بحيث
~~يمثل الرمز الواحد فكرة أو مفهوما أساسيا، لا صوتا.
~~وتخيل أيضا أن مفهوم «العين» أو بالإنجليزية

# Eye

# يمثل من خلال هذا
~~الشكل الذي يتمثل في قوسين بينهما علامة النجمة
~~(
~~⋆
~~)،
~~ويمكننا القول إن هذا الرمز يمثل العين الفعلية بطريقة
~~أيقونية ولكن مجردة إلى حد ما. لكن لنقل مثلا: إنه لا
~~يوجد رمز للضمير «أنا» الذي يعبر عنه في الإنجليزية بكلمة

# I

# في هذا النظام لكتابة
~~الإنجليزية، ويمكننا أن نتخيل السبب في ذلك؛ إذ إنه ما من
~~طريقة مادية سهلة لتمثيل ذلك المفهوم، فالمقصود بالضمير
~~«أنا» يتغير وفقا للمتحدث. بالرغم ms045 من ذلك، فإذا كنت
~~كالعديد من الكتاب في التاريخ، فسوف تدرك أنه يمكن
~~استخدام
~~«
~~⋆
~~»
~~للتعبير عن مفهوم «العين» والضمير «أنا» في الوقت ذاته إذا كان
~~لهما الصوت نفسه. ويشار لهذه الفكرة باسم «مبدأ استخدام
~~الرموز في تمثيل أصوات اللغة» وهي تمثل خطوة كبيرة تجاه
~~تطور أنظمة الكتابة الصوتية الأكثر تجريدا، التي تستخدم
~~عددا أقل من الرموز. ونظرا لوضعها القديم في أنظمة
~~الكتابة، فقد تأثرت الأرقام نفسها بهذا المبدأ على الأرجح؛
~~فكانت رموزا تمثل الألفاظ المتجانسة صوتيا معها.
~~والواقع أن بعض أشكال الكتابة الحديثة في الرسائل النصية
~~مثلا تؤيد هذا الاحتمال؛ فقد يستخدم البعض هذا التجانس
~~الصوتي فيكتبون مثلا أنهم:

# 2 good 4
~~you

# وفي هذه الحالة يرمز «2» إلى

# too
~~(وهما متجانسان
~~صوتيا في الإنجليزية ومختلفان في المعنى)، ويرمز «4» إلى

# for
~~، (وهما أيضا متجانسان
~~صوتيا ومختلفان في المعنى)، وتستخدم هذه الطريقة لسهولتها
~~في كتابة الرسائل النصية والتعبير عن المعنى بطريقة أسهل
~~وأسرع. بالرغم من ذلك ، يمكننا بسهولة أن نتخيل واحدا من
~~السيناريوهات تمثل فيه بعض المفاهيم المجردة مثل

# too

# وكذلك

# for

# من خلال الأعداد؛ لا
~~بغرض السهولة، وإنما لأن الصور الكتابية لمثل هذه المفاهيم
~~غير الملموسة لم توجد بعد.

# 11

# لقد كان مبدأ استخدام الرموز في تمثيل أصوات اللغة عاملا
~~محفزا ولا شك في تطور أنظمة الكتابة القائمة على
~~المقاطع وأنظمة الكتابة القائمة على الحروف، لكن علينا أن
~~نتذكر أن مبدأ استخدام الرموز في تمثيل أصوات اللغة يعتمد
~~على وجود رموز سابقة عليه تعبر عن الأشياء الأقل
~~تجريدا، كالسلع والكميات. وأكثر ما يسترعي الملاحظة في
~~سياق مناقشتنا، هو أن نزعة الإنسان للتعبير عن الكميات
~~باستخدام الرموز قد كانت قديمة وتأسيسية؛ فوضعت الأساس
~~لتطورات تالية، مثل مبدأ استخدام الرموز في تمثيل أصوات
~~اللغة، الذي أدى في نهاية المطاف إلى تأسيس أنظمة الكتابة
~~التي تشبه أبجديتنا.

# أحد أشكال الكتابة التي تطورت بعد ذلك في بلاد الرافدين،
~~هي كتابة تكتب بالرموز الرياضية؛ فقد طور السومريون،
~~والبابليون من بعدهم، وهم آخر قاطني منطقة بلاد الرافدين، ms046
~~رموزا رياضية واضحة مكتوبة. فقبل 3600 عام تقريبا، كان
~~البابليون يستخدمون الجبر والهندسة بالفعل، وكانوا قادرين
~~على حل المعادلات التربيعية، وكانوا قد اكتشفوا قيمة ثابت
~~الدائرة

# π

# بالفعل (بدرجة تقريبية على الأقل)؛ ومن ثم يبدو أن تمثيل
~~الكميات قد أشعل شرارة تطور الكتابة السومرية، وهو ما نتج عنه
~~في نهاية الأمر، القدرة على تمثيل الكميات بصورة
~~أوضح.

# 12

# موجز القول أن أقدم أنظمة الكتابة ينبع - ولو جزئيا على
~~الأقل - من الفائدة الجوهرية لتمثيل الكميات، ومن سهولتها
~~النسبية في تمثيل المفاهيم الرقمية بصورة مجردة. وكما رأينا
~~من قبل، فإن هذه السهولة تنعكس أيضا في الممارسات
~~التمثيلية الأقدم والأقل انتظاما، التي كان يستخدمها البشر
~~في العصر الحجري القديم. فمن العصر الحجري إلى العصر
~~الزراعي، لدينا خيط براق من الأعداد يلتف حول السجل
~~الرمزي البشري.

# الأنماط في الأرقام القديمة

# بينما كان السومريون هم أول من استخدم الأرقام بصورتها
~~المكتملة، فقد تطورت الأعداد المكتوبة في أماكن أخرى كذلك.
~~والواقع أن الأرقام قد ظهرت في مراحل مختلفة في التاريخ
~~على مستوى العالم؛ إذ إن لدينا ما لا يقل عن مائة نظام
~~مسجل لتدوين الأعداد، غير أن الغالبية العظمى من هذه
~~الأنظمة قد تطورت عن أنظمة أخرى، أو طورت على الأقل، مع
~~الوعي بأن شعوبا أخرى قد دونت الأرقام بالفعل. إن
~~العديد من هذه الأنظمة العددية المعنية قد أصبحت الآن بائدة،
~~غير أن الأمثلة المتبقية منها تتيح لنا فهم كيفية
~~عملها.

# حين ندرس الأنظمة العددية الحالية والبائدة، تتشكل
~~لدينا فكرة واضحة بشأن وجود أنماط مشتركة في الطريقة التي
~~يستخدمها البشر في كتابة الأعداد. فلنلق نظرة على هذه
~~الأنماط من خلال دراسة بعض الأنظمة العددية التي أدت دورا
~~بارزا في الحضارات الإنسانية. وأفضل نقطة نبدأ منها هي دراسة
~~الأرقام في نظام الترقيم الغربي. والواقع أن هذا النظام
~~معدل من نظام الترقيم العربي، الذي هو معدل بدوره من
~~أحد الأنظمة التي تطورت في الهند.

# 13

# فما كيفية عمل نظام الترقيم الغربي؟ لا يوجد سوى عشرة رموز
~~في نظام ms047 الترقيم الذي نستخدمه: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9.
~~وقد تبدو هذه الملاحظة واضحة للغاية؛ فهي عشرة رموز فقط
~~بالطبع. وقد يكون من الصعب أن نتخيل أنظمة عددية أخرى
~~تتكون من أكثر من عشرة رموز أو أقل من ذلك، غير أنه ليس من
~~الضروري أن تكون أنظمة الترقيم عشرية، بل يمكن أن تتكون من
~~أي عدد من الرموز. فأحد الأنظمة التي استخدمها اليونانيون
~~القدماء، هو نظامهم العددي الأبجدي، الذي كان يتكون من نحو
~~أربعة وعشرين حرفا، تمثل قيما مختلفة. وتذكر أيضا أننا
~~نجمع بين هذه الرموز العشرة، لنكون منها أرقاما أكبر، مثل
~~مائتين واثنين وعشرين 222. فلتتأمل القواعد اللازمة لكي
~~تفهم هذا الرقم. فأنت تعرف مثلا أن أرقام 2 المتتالية لا
~~تعني مجرد الجمع، أي إن 222 لا يعني 6، أو 2 + 2 + 2. هذه
~~الأرقام المتتالية تدل على المضاعفة، لكن هذا الرقم لا
~~يعبر عن حاصل ضرب 2 في ثلاثة، وهو لا يرمز أيضا إلى
~~الكمية 8، أو 2 × 2 × 2، وإنما تشير «الخانات» أو الأماكن في
~~نظامنا العددي إلى مضاعفة ضمنية بأسس العدد عشرة؛ لذا فإن
~~222 تشير إلى 2 × 10

# 2

# زائد 2 ×
~~10

# 1

# زائد 2 ×
~~10

# 0
~~، أي 200 زائد 20 زائد 2.
~~وبعبارة أخرى، فإنك حين تقرأ الأرقام المكتوبة وفقا لنظام
~~الترقيم الغربي، فأنت تضيف على الدوام حاصل ضرب الأعداد التي
~~ضربت في إحدى قيم الأس عشرة؛ ومن ثم فإن 2456346
~~تعني بالنسبة إليك: (2 × 10

# 6
~~) +
~~(4 × 10

# 5
~~) + (5 ×
~~10

# 4
~~) + (6 ×
~~10

# 3
~~) + (3 ×
~~10

# 2
~~) + (4 ×
~~10

# 1
~~) + (6 ×
~~10

# 0
~~). ثمة تعقيد أصيل في هذه
~~الأرقام غالبا ما نغفل عنه بسبب اعتيادنا عليه، ولأن تصنيف
~~الكميات إلى عشرات يبدو أمرا طبيعيا للغاية. وبالرغم من
~~انتشار الأنظمة العشرية في الأنظمة العددية على مستوى العالم،
~~وفي الأعداد المنطوقة على مستوى العالم كذلك، فإننا لم نزود
~~في شفرتنا الوراثية بمهارة تصنيف الأعداد إلى مجموعات عشرية؛
~~فتعلم نظامنا العددي يتطلب مجهودا كبيرا، ويشهد على ذلك
~~مقدار الوقت الذي يستغرقه الأطفال الصغار في تعلم قواعد
~~كتابة ms048 الأعداد الكبيرة وقراءتها. إضافة إلى ذلك، فالقواعد
~~العددية تتغير بتغير الثقافة، وثمة قدر كبير من الاختلاف
~~بين الأنظمة العددية التي تطورت في مناطق مختلفة، والعديد
~~من أنواع هذه الأنظمة العددية لا يقوم على أساس تصنيف الكميات
~~إلى عشرات. ولكي أوضح هذه النقطة؛ سنقوم بجولة مختصرة في
~~حضارة المايا القديمة.

# تحت أوراق الأشجار الكثيفة في الغابات الاستوائية، وتحت
~~الضباب في بعض الأحيان، ظلت مدينة بالينكي الحجرية مدثرة
~~بالطبيعة على مدار قرون، قبل «اكتشافها» على يد الأوروبيين
~~في النصف الأخير من القرن الثامن عشر، وذلك بعد أن دمر غزاة
~~الكونكيستدور قدرا كبيرا من التراث الثقافي لأمريكا الوسطى.
~~وهذه السلسلة من الأطلال المتخفية في خط القمم المنحدر
~~المحيط بالأراضي المرتفعة في تشياباس، قد بهرت المستكشفين
~~منذ ذلك الحين. في مدينة بالينكي، صنع الأوروبيون في أواخر
~~القرن الثامن عشر بعض الرسومات المبكرة للرموز
~~الهيروغليفية لحضارة المايا، وهناك أيضا، قد التقطت بعض
~~الصور الفوتوغرافية المبكرة لهذه الرموز، في أواخر القرن
~~التاسع عشر. وبالرغم من أن أهل المايا قد أنتجوا مخطوطات
~~غير عددية (كتب قابلة للطي تصنع أوراقها من لحاء
~~الشجر، وبها كتابات ملونة)، فإن معظمها كان طعاما
~~للمحارق التي أقامها أفراد الرهبان الإسبان، مثل الراهب
~~السيئ السمعة فراي دييجو دي لاندا؛ كان دي لاندا يسعى إلى
~~إجبار السكان الأصليين لأمريكا الوسطى على التحول عن
~~دينهم؛ ولهذا فقد أباد القدر الكبير من الثقافة المادية
~~الرمزية التي أنتجها هؤلاء السكان الأصليون، وأباد معها
~~معظم أمثلة كتابة المايا الكلاسيكية. لقد أمر بإحراق النصوص
~~التي أنتجها السكان الأصليون بعد أن عرف أن بعض أهل المايا
~~ما زالوا يمارسون نظامهم العقائدي التقليدي. ونتيجة لجهوده،
~~وجهود آخرين من بعده؛ لم يحفظ من هذه النصوص أو المخطوطات
~~سوى عدد قليل، وأخيرا وصل ثلاثة منها إلى بعض الرفوف
~~الأوروبية، في باريس ومدريد ودريسدن. لقد أسهمت النقوش
~~الغامضة الموجودة على الأحجار في أطلال بعض المدن، مثل
~~بالينكي وتيكال وكوبان وغيرها من مواقع المايا، في تعزيز
~~الانبهار بكتابة المايا. ما الذي تعنيه هذه الرموز الغريبة ms049
~~المنقوشة على الحجر، التي تصور حيوانات وبشرا مزخرفي
~~الثياب، والعديد من أنواع الرموز الأخرى؟ أكانت طبيعة هذه
~~الرموز لغوية، أم أنها كانت فنية في الأساس؟ لقد ظل
~~الباحثون يخوضون نقاشات محتدمة بشأن إجابة هذه الأسئلة
~~وغيرها من الأسئلة المرتبطة بالموضوع على مدار عقود؛ وذلك في
~~أثناء فك رموز النص المكتوب بلغة المايا تدريجيا على مدار
~~القرنين الماضيين.

# غير أن أول اكتشاف مهم في عملية فك الرموز، قد جرى على
~~يد شخص قد درس بعض أجزاء مخطوطات المايا التي أعيد إنتاجها
~~في مكتبة دريسدن. ففي عام 1832، وضع قسطنطين صمويل رافينيسك،
~~وهو رجل فرنسي غريب
~~الأطوار يهتم بهوايات متعددة، تحليلا لأنماط هذه المخطوطة.
~~وقد كانت هذه الأنماط التي حللها موجودة أيضا في النقوش
~~الحجرية التي أذهلت مستكشفي مدينة بالينكي وغيرها من مدن
~~المايا. وما لاحظه رافينيسك هو أنه بين جميع هذه النقوش
~~والكتابات، ووسط هذا البحر من الصور التي لا يبدو أنه قد
~~يمكن فك رموزها، توجد سلسلة متكررة من النقاط والخطوط،
~~التي كانت أقل رمزية من الرموز المجاورة لها. فما الذي قد
~~تعنيه هذه النقاط والخطوط؟ لاحظ رافينيسك أنه لم يكن
~~يوجد أبدا في أي صف أكثر من أربع نقاط، فمعظم الصفوف
~~كانت تحتوي على نقطة واحدة أو اثنتين أو ثلاث نقاط أو أربع.
~~إضافة إلى ذلك، فقد لاحظ أن النقاط كانت توضع في معظم
~~الأوقات بجوار خطوط، فخمن أن النقاط تعبر عن وحدات
~~مفردة، وقد كان محقا في ذلك؛ فالنقطة الواحدة تمثل
~~عنصرا واحدا والنقطتان تمثلان عنصرين ... وهكذا. واستنتج
~~أن الخط يمثل خمسة عناصر، وذلك يشبه الطريقة التي
~~تكتب بها خطا مائلا على أربع علامات عند تمثيل خمسة
~~عناصر بنظام العد بالعصي على قطعة من الورق. وقد غيرت
~~هذه الملاحظة فهمنا لرموز المايا، وكانت هي الخطوة الأولى
~~نحو فك رموز كتابة المايا. ثم أتت إحدى الخطوات التالية
~~الأساسية التي تضمنت أرقام المايا، وأوضحت أن النظام
~~العددي لهذه الثقافة معقد إلى حد ما.

# بعد عقود من اكتشاف رافينيسك، قدم باحث ألماني ms050 يدعى
~~إرنست فورستمان، تحليلات للأرقام المصورة في مخطوطة
~~دريسدن. ومن بين الرؤى التي قدمت في العديد من الأعمال
~~التي نشرت في الفترة ما بين 1880 إلى 1900، قد لاحظ أن
~~أرقام المايا الموجودة في المخطوطة كثيرا ما كانت تمثل
~~كميات كبيرة تتوافق مع ظواهر فلكية، مثل دورة كوكب
~~الزهرة. لقد ظل العمل الذي قام به فورستمان صامدا أمام ما
~~تلاه من فحص دقيق ودراسة عميقة للكتابات، ولعب دورا
~~أساسيا في فك رموز المايا في القرن العشرين. لقد قدم
~~فورستمان وصفا مفصلا للعناصر الأساسية للتقويمات الأساسية
~~التي كان يستخدمها شعب المايا، وكذلك وضح الرياضيات
~~المعقدة التي كانوا يمارسونها.

# 14

# بالرغم من أن النظام العددي للمايا، الذي ساعد فورستمان في
~~فك رموزه، ليس نظاما عشريا، فإنه يتشارك بعض التشابهات
~~التركيبية مع الأنظمة العددية كالنظام الغربي. فكيف كتب أهل
~~المايا الأرقام؟ لقد استخدموا رمزا للدلالة على الصفر، وهو
~~على الأرجح أقدم رقم يستخدم للتعبير عن الصفر في العالم.
~~استخدم رمز الصفر لحفظ القيمة المكانية، أي مثلما يستخدم
~~في نظام الترقيم الغربي. وبدلا من التوجه الأفقي لنظامنا،
~~الذي نحرك فيه الأرقام بمقدار خانة إلى اليسار للدلالة على
~~مضاعفة هذا الرقم في أس عشرة الذي يليه، كانت أرقام
~~المايا تمثل رأسيا لتمثيل ما حدث من تغيرات للأسس.
~~(بالرغم من ذلك ، يمكن تدوير أعداد المايا أفقيا في النصوص،
~~وهو أمر محير بعض الشيء.) غير أن فورستمان قد لاحظ أن
~~النظام العددي للمايا يقوم على أساس العشرين لا العشرة، أي
~~إنه نظام عشريني لا عشري. في الشكل

# 2-4
~~،
~~كتبت رقمين من أرقام المايا؛ لكي أقدم نبذة عن كيفية
~~عمل النظام الترقيمي للمايا. على اليسار، نجد تمثيلا للعدد
~~437، وتساعدنا الخطوط المكونة من نقاط على توضيح الطبيعة
~~الرأسية لأرقام المايا، من خلال الفصل بين خانات الأسس
~~الضمنية، غير أن كتابة المايا لم تكن تحتوي على هذه
~~الخطوط، وإنما أضفتها من أجل التوضيح (ومن أجل التوضيح
~~أيضا؛ بالغت في المسافات بين الخانات). في العدد الموضح
~~على اليسار، نرى أن المجموعة السفلى ms051 من الخطوط والنقاط،
~~تتضمن ثلاثة خطوط ونقطتين، وهي تمثل 17. ويمكننا أن
~~نتخيل ذلك على أنه 5 + 5 + 5 + 2. وفي المجموعة الوسطى من
~~الرمز، لا نجد سوى نقطة واحدة، وهي تمثل 1 مضروبا في
~~الأساس الذي يرفع له الأس الأول. ونظرا إلى أن نظام
~~المايا العددي هو نظام عشريني؛ فهذا يعني أن النقطة تمثل
~~20 أو 1 × 20

# 1
~~. أما النقطة
~~العليا، فهي تمثل 1 مضروبا في الأساس، ومرفوعا إلى الأس
~~2 أو 1 × 20

# 2
~~. ومعنى هذا أن
~~النقطة العليا تمثل 400، وتمثل النقطة الوسطى 20، أما
~~المجموعة السفلى من الخطوط والنقاط، فهي تمثل 17. ومعا،
~~فإن هذه الرموز تمثل 400 + 20 + 17 أو 437. لقد كانت
~~أرقام المايا تتضمن الضرب والإضافة كأرقام النظام الغربي،
~~لكن الأساس مختلف.

# شكل 2-4: نموذج لأرقام المايا. لاحظ أنه في الأرقام
~~التقويمية يمكن لبعض النقاط أن تمثل 360 لا
~~400. وقد سهل هذا النظام العشريني تتبع
~~السنوات.

# في الجزء الموضح على اليمين في الشكل

# 2-4
~~، نقدم تمثيلا للرقم 1080. وفي هذه
~~الحالة، فإننا نجد في الجزء السفلي من الرقم تنويعة من
~~الشكل البيضاوي الذي يرمز إلى الصفر في أرقام المايا. أما
~~المجموعة الوسطى من الخطوط والنقاط فهي تمثل 14 (أي 5 + 5 +
~~4)، غير أن الأساس العشريني الذي يستخدمه النظام الترقيمي
~~للمايا، يشير إلى أن هذه الكمية المتمثلة في الرقم 14
~~مضروبة في الرقم 20، مما ينتج لنا 280. وتحتوي المجموعة
~~العليا من العدد على نقطتين، وهما تمثلان الكمية 2 ×
~~20

# 2
~~، نظرا إلى موقعيهما؛
~~ولهذا فإن النقطتين العلييين تمثلان 2 × 400 (800)،
~~وتمثل الخطوط والنقاط السفلى 14 × 20 (280)، أما الرمز
~~السفلي فهو يمثل 0 × 1 (0)، مما ينتج لنا المجموع
~~1080.

# 15

# ربما تبدو أرقام المايا غير عملية؛ لأنها لا تتبع الأساس
~~العشري. بالرغم من ذلك، فكما ذكرت سابقا، ليس البشر
~~مفطورين على التفكير في العناصر على هيئة مجموعات من عشرة، كل
~~ما في الأمر أن معظمنا يمارس المجموعات العشرية جيدا
~~بسبب اللغة (اللغات) التي نتحدث بها، وأنظمة الترقيم التي
~~نعرفها. لقد كان نظام أرقام ms052 المايا عمليا، واستمر على
~~مدار أجيال كثيرة، وعلاوة على ذلك فهو يسبق نظام الترقيم
~~الغربي بالعديد من القرون. فلو أن سكان المايا قد وجدوا
~~أن نظامهم الترقيمي غير عملي، لما كانوا قد استخدموه لهذه
~~المدة الطويلة.

# بالرغم من غرابة طريقة كتابة المايا للأرقام، فعلينا أن
~~نلاحظ أنها تتشارك الكثير مع نظام الأرقام الذي نستخدمه؛ فهي
~~تعتمد بشدة على استخدام مفهوم الخانات، مثلما نستخدم الصفر
~~لحفظ «القيمة المكانية». وبالرغم من أن النظام العددي
~~للمايا يرتب خانات الأعداد ترتيبا رأسيا، بينما
~~يرتبها نظامنا ترتيبا أفقيا، فإن الخانات في كلا
~~النظامين تعبر عن مضاعفة الرقم الموضح في أساس وأس
~~ضمنيين، وهذا الأساس في نظامنا هو العدد عشرة، أما في نظام
~~المايا، فهو العدد عشرون. غير أن استخدام هذين الأساسين،
~~لم يحدث بصفة عشوائية، بل إن الدور الهيكلي للعدد خمسة
~~والعدد عشرين في أرقام المايا، والعدد عشرة في أرقامنا،
~~يوضح كيف أن الجسم البشري كان هو الأساس لكلا نظامي
~~الترقيم. فليس من المصادفة أن البشر يمتلكون خمسة أصابع
~~في كل يد، وعشرة أصابع في كلتا اليدين، وعشرين إصبعا في
~~اليدين والقدمين، وأن هذه الكميات تؤدي مثل هذا الدور
~~المهم في أرقام المايا، ونظام الترقيم الغربي، وهي أيضا تؤدي
~~دورا مهما في أنواع أخرى من أنظمة الترقيم، التي تطورت
~~بشكل مستقل.

# 16

# لنتناول نظام الكويبو الذي كانت تستخدمه إمبراطورية الإنكا.
~~لقد كانت أرقام الكويبو ثلاثية الأبعاد، تتكون من عقد
~~تربط في الحبال بعناية، وتصنع هذه الحبال من خيوط القطن أو
~~غير ذلك من المواد مثل فراء حيوانات الألبكة أو اللاما. وقد
~~كانت هذه الخيوط تجدل مع خيوط أخرى؛ فتكون مصفوفة بها
~~ما يقرب من ألف من الفتائل التي توصل بحبل أساسي أكثر
~~سمكا منها. وكل فتيل من هذه الفتائل يمثل عددا منفصلا،
~~أما العقد الموجودة في هذه الفتائل، فهي تمثل الأرقام، وقد
~~كان يستخدمها محاسبو الإنكا لتسجيل الضرائب والبضائع على
~~سبيل المثال، وكذلك لإجراء الإحصاءات. لقد كان هذا النظام
~~فريدا في تكوينه ومادته، غير أن ms053 التكوين الرمزي لأرقام
~~الإنكا، يشبه النظام العددي الغربي في واقع الأمر. فالنظام
~~العددي للكويبو، يقوم هو أيضا على أساس إضافة مجموعات مضاعفة
~~من العدد عشرة (أي إنه نظام عشري)، وهو يستخدم أيضا وسائل
~~للتعبير عن العناصر الصفرية. يشير عدد العقد الموجودة على
~~فتيل معين، إلى مضاعفات العشرة، وتستخدم فراغات قصيرة
~~بين العقد للفصل بين خانات الرقم، وفراغات طويلة للتعبير عن
~~الصفر. فلتتخيل على سبيل المثال هذه السلسلة من العقد على
~~أحد الحبال: عقدة واحدة في الأسفل (1)، وتتبعها فجوة صغيرة
~~على الحبل لا تحتوي على أي عقد، ثم ثلاث عقد متجاورة
~~(30)، ثم عقدتين متجاورتين (200)، ثم فجوة قصيرة، ثم فجوة
~~واحدة في أعلى الحبل (1000)، وذلك بالقرب من تقاطعه مع الحبل
~~الأساسي؛ حبل الكويبو الأكثر سمكا. يمثل هذا الحبل إذن، 1
~~+ (3 × 10

# 1
~~) + (2 ×
~~10

# 2
~~) + (1
~~× 10

# 3
~~) أو 1231. ولتتخيل
~~أيضا حبلا يبدأ بعقدة واحدة في الأسفل (1) وتتبعها فجوة
~~طويلة من الحبل دون عقد (0)، ثم ثلاث عقد (300)، ثم فجوة
~~صغيرة تتبعها عقدتان في أعلى الحبل (2000). إن هذا
~~التسلسل من العقد يمثل 1 + (0 ×
~~10

# 1
~~) + (3 ×
~~10

# 2
~~) + (2 ×
~~10

# 3
~~) أو 2301. وموجز القول أنه
~~بالرغم من الاختلافات المادية الواضحة بين أرقام الكويبو
~~وأرقام النظام الغربي، فإن أرقام الكويبو ليست مختلفة
~~تماما عن أرقام النظام الغربي؛ إذ إنها كانت تستخدم الأساس
~~العشري، وكذلك استخدمت شكلا من أشكال الصفر. ويتضح هذا
~~التشابه التركيبي فيما يقرب من 600 نموذج لنظام الكويبو، وهي
~~النماذج الموجودة في المتاحف والمجموعات الخاصة.

# 17

# معظم أنواع الأرقام التي تطورت على مدار الألفيات القليلة
~~الماضية، وفي مناطق مختلفة من العالم، تتشارك في بعض
~~التشابهات التركيبية الواضحة. ويعود بعض هذا التشابك إلى
~~حقيقة أن الأرقام لم تظهر مستقلة إلا في عدد قليل من
~~الأماكن. بالرغم من ذلك لا يمكن تفسير جميع هذه التشابهات على
~~أنها ناجمة عن تأثير الثقافات والإمبراطوريات المحيطة، وإلا
~~لكان لنظام ترقيمي، كنظام الأرقام الرومانية، تأثير أكبر على
~~أنظمة الترقيم الحالية. غير أن هذا النظام، الذي كان ms054 يفتقر
~~إلى مفهوم الصفر لحفظ القيمة المكانية، وكثيرا ما كان
~~يتطلب كتابة سلاسل طويلة من الرموز للدلالة على كميات صغيرة
~~(على سبيل المثال،

# XXXVIII

# يساوي 38)، لم يعد يستخدم إلا في سياقات محددة. لقد
~~مهد الطريق لنظام يستخدم رمزا للتعبير عن الصفر، وخانات
~~تعكس مجموعات من العدد عشرة.

# تختلف أنواع الأرقام في بعض النواحي التي لن نتطرق إليها
~~هنا، غير أن الاختلاف في قيمة الأسس محدد بدرجة كبيرة
~~في أنظمة الترقيم التي لا ترتبط ببعضها، الحالية منها
~~والقديمة. وتعود هذه المحدودية إلى حقيقة بسيطة، وهي أن
~~أنواع أنظمة الترقيم الأساسية في العالم، سواء أكانت أنظمة
~~عشرية اخترعت في الصين، وتطورت في شرق آسيا، أو تلك الأنظمة
~~التي بدأ استخدامها في الهند أو وسط أمريكا أو الأنديز،
~~تجمع بينها نزعة مشتركة. إنها تتخذ جميعا العدد عشرة
~~أو أحد مضاعفات العدد خمسة أساسا لها. والحافز التشريحي
~~لهذه النزعة واضح، وهو أن الكميات التي نراها بصورة منتظمة
~~في أجسامنا أساسية للغاية في كيفية بنائنا للأعداد. وتنطبق
~~هذه الحقيقة على الأرقام المكتوبة والأعداد المنطوقة كذلك،
~~ومثلما سنرى في الفصل الثالث، فإن أصابع اليدين، وأصابع
~~القدمين بدرجة أقل منها، كان لها تأثير كبير للغاية في
~~تشكيل الأرقام على مدار آلاف الأعوام.

# خاتمة

# إننا لم نستعرض تاريخ نظم الأعداد التي ابتكرها البشر
~~بصورة شاملة في هذا الفصل، وإن مثل هذا الأمر ليتطلب
~~كتبا بأكملها. فنحن لم نناقش مثلا أنظمة المعداد الصيني،
~~التي كانت ولا تزال تستخدم في مختلف الأماكن، مثل روما
~~القديمة واليابان المعاصرة؛ لتسهيل التفكير في الأعداد، لكنني
~~يجب أن أذكر أن نظام المعداد الصيني المنتشر حول
~~العالم، يتأسس هو أيضا على مجموعات تتكون من العدد خمسة
~~والعدد عشرة.

# 18

# بالرغم من ذلك، فإن الاستعراض الحالي لنظم
~~الأعداد قد أكد على بعض النقاط الأساسية بشأن الممارسات
~~الرمزية القديمة؛ ففي البداية قد وضح أن جدولة الكميات
~~تظهر في العديد من أدوات العصر الحجري القديم حول العالم،
~~وهو ما يدل على أن أرقام ما قبل التاريخ، قد كانت ms055 من أولى
~~الرموز غير اللفظية (أو أشباه الرموز الأقل تجريدا). وفي معظم
~~الأحيان، صورت أشكال الفن في العصر الحجري القديم أصابع
~~الأيدي البشرية، وكانت تصورها أحيانا بطرق تدل على
~~استخدامها في ممارسات العد القديمة. إضافة إلى ذلك يبدو
~~أن سهولة تصوير الكميات وما يعود به ذلك من نفع، قد جعل من
~~علامات العصي وغيرها من أرقام ما قبل التاريخ أمرا محوريا
~~لأول تمثيل ثنائي البعد للأفكار.

# ومع تطور الجدولة المنهجية للكميات الأكبر، عمد البشر إلى
~~تصنيف الكميات إلى مجموعات أصغر يمكن التعامل معها حرفيا
~~بشكل مادي. وفي نهاية المطاف طور البشر أنظمة ترقيم تقوم
~~على أساس مجموعة محددة من العناصر التي نجدها بصورة منتظمة
~~في الطبيعة، وهي أصابع اليد. لقد كان التركيز على الأيدي
~~مهما للغاية لتطور الأرقام، مثلما كان بالقدر نفسه من
~~الأهمية لرسم الأيدي على الكهوف في العصر الحجري. لقد كانت
~~عقولنا في حاجة إلى أجسامنا، أو إلى أيدينا وأصابعنا تحديدا،
~~من أجل معرفة الكميات. ويدعم هذا الاستنتاج أدلة من الأعداد
~~المنطوقة، وهو ما سنذكره بقدر أكبر من التفصيل في الفصل
~~الثالث، أما في هذا الفصل فقد رأينا أن أنواعا مختلفة من
~~الأرقام المكتوبة تعزز هذا الاستنتاج. وقد رأينا أيضا
~~أن الأرقام كانت موجودة في فجر الكتابة، والأرجح أنها كانت
~~مهمة للغاية لتطور الكلمة المكتوبة.



# الفصل الثالث



# | رحلة عددية حول العالم اليوم




# إن المختصين بدراسة علم الإنسان، سواء أكانوا من علماء
~~الآثار أم من علماء اللغة أم من غيرهم من العلماء، يجتازون
~~الثقافات ماديا وزمنيا؛ لكي يتعرفوا على الحياة التي يعيشها
~~البشر، والحياة التي عاشوها. ويعتمد الهدف الأسمى لمشروعنا، وهو
~~أن نتوصل إلى فهم أعمق لما يعنيه كون المرء أحد أفراد نوع
~~«الإنسان العاقل»، على هذه الدراسة العابرة للثقافات. في الوضع
~~المثالي، ما الإنسان سوى إسفنجة تمتص المعرفة من التفاعلات
~~المباشرة مع الثقافات المعاصرة الأخرى، أو التفاعلات غير
~~المباشرة مثل دراسة بقايا الثقافات البائدة. وهذه التفاعلات
~~والتبادلات ليست دائما مستوية بشكل أو بآخر؛ فعادة ما يكون
~~ما نأخذه ms056 أعلى قيمة مما نتركه، بصرف النظر عن نوع المقابل
~~الذي ندفعه.

# مما يدعو إلى الامتنان أننا نحظى بالفرصة أحيانا في أن نشارك
~~مظاهر ثقافاتنا التي تمثل قيمة لمن نتعلم منهم؛ ففي يوم خانق
~~قبل بضعة مواسم مطيرة في إقليم الأمازون سنحت لي هذه الفرصة.
~~كنت ألعب كرة القدم الأمريكية مع مجموعة من البرازيليين الذين
~~يقطنون بالقرب من أحد الأنهار، ولاحظت انضمام لاعبين من
~~السكان الأصليين، وقد كانا قصيري القامة، لكنهما يتمتعان
~~بالسرعة والقوة الشديدتين. وبعد المباراة (التي لم يكن من قبيل
~~المصادفة أنهما قد أحرزا فيها معا القدر الأكبر من الأهداف)
~~بدأت معهما محادثة بذلك القدر المحدود الذي يعرفانه من اللغة
~~البرتغالية. اكتشفت أنهما ينتميان إلى ثقافة الجاراوارا (التي
~~ذكرتها في الفصل الأول)، وهي مجموعة من السكان الأصليين يبلغ
~~عدد أفرادها مائة فرد تقريبا. وقد أصبحت متحمسا على الفور إلى
~~أن أتعلم من هذين الرجلين؛ إذ إنهما يتحدثان واحدة من
~~اللغات القليلة التي كان يزعم أنها لا تتضمن أي كلمات
~~للأعداد. وسرعان ما اكتشفت أنهما أيضا كانا متحمسين إلى أن
~~يكتسبا مني شيئا، وهو معرفة كيفية ركوب الدراجة النارية
~~التي شاهداني وأنا أصل بها. على مدار الأسابيع العديدة التالية،
~~تبادلنا هذه المكونات من ثقافاتنا الأصلية بعضنا مع بعض:
~~تعلمت أنا عن لغتهما، وتعلما هما كيفية ركوب دراجة نارية
~~للطرق الوعرة. خلال هذا الوقت الذي قضيته معهما، ومع بعض
~~أصدقائهما وأفراد عائلتيهما (والذين كانوا مثلهما في رحلة
~~قصيرة بعيدا عن حياة القرية)، أدركت أمرين أساسيين: أولهما
~~أنه على العكس من المزاعم السابقة، يمتلك هؤلاء الأفراد نظاما
~~عدديا أصليا مذهلا، وأما الأمر الثاني فهو أنهما بارعان
~~وجسوران في تعلم كيفية ركوب الدراجة النارية.

# يعيش أفراد الجاراوارا في قريتين أساسيتين تقعان بالقرب
~~من نهر بوروس، وهو أحد الروافد الرئيسة لنهر الأمازون. وهم
~~يتحدثون واحدة من مجموعة من اللغات المترابطة الموجودة في هذا
~~الإقليم، وهي تنحدر عن لغة بائدة تسمى «أراوا الأولية» وقد
~~كانت تستخدم على الأرجح قبل ما يزيد عن 1000 عام. ونحن ms057 نعرف
~~الآن أن جميع هذه اللغات المترابطة تتضمن بضع كلمات أساسية
~~تعبر عن الأعداد، وهي تتشابه مع بعضها. فعلى سبيل المثال
~~الكلمة التي تعبر عن العدد «اثنين» متشابهة في جميع لغات
~~الأراوا، مما يشير إلى أن هذه الكلمات تنتمي إلى الفئة التي
~~يشير إليها علماء اللغة باسم «الكلمات ذات الأصل الاشتقاقي
~~المشترك»، وهي كلمات تشتق من الكلمة نفسها في لغة سالفة،
~~فهي لم تستعر من لغة أخرى في وقت أحدث، وهي تساعد علماء اللغة
~~على إعادة بناء الكلمات البائدة التي تنحدر منها. وفي حالة لغة
~~أراوا الأولية فإننا نثق الآن أن الكلمة التي تشير إلى العدد
~~«اثنين» كانت
~~«
~~⋆

# باما».
~~(في علم اللغة، تشير علامة النجمة إلى كلمة أعيد بناؤها وكانت
~~توجد في لغة سالفة.) وفي معظم عائلات اللغات في العالم، يمكننا
~~إعادة بناء الكلمات القديمة التي تشير إلى الأعداد مثل
~~«
~~⋆

# باما»؛
~~إذ إن الغالبية العظمى من لغات العالم الحالية تتضمن
~~كلمات تعبر عن الكميات المحددة. حتى اللغات الأسترالية، التي
~~تفتقر عادة إلى وجود مخزون كبير من مفردات الأعداد، تتضمن
~~كلمات تعبر عن بعض الكميات. كل ذلك يوضح أن الأعداد المنطوقة
~~هي اختراع بشري قديم للغاية، وتشترك فيه جميع لغات العالم
~~الحالية، إضافة إلى اللغات السالفة التي كانت تستخدم قبل فترة
~~طويلة. في هذا الفصل سوف نستعرض بعض الاكتشافات الأساسية التي
~~تتضح في أعداد العالم المنطوقة، والتي أشير إليها ببساطة باسم
~~الأعداد. (تمييزا لها عن «الأرقام» وهو المصطلح الذي أستخدمه
~~للدلالة على الأعداد المكتوبة.)

# 1

# يتضح أن الكلمة التي تعبر عن العدد «اثنين» في لغة
~~الجاراوارا هي «فاما»، ومن الواضح أنها تشبه كلمة
~~«
~~⋆

# باما»
~~التي استخدمها متحدثو لغة أراوا الأولية. وخلال المقابلات التي
~~أجريتها مع معارفي من الجاراوارا، اتضح لي أن نظامهم العددي
~~الأصلي، يتضمن العديد من الأعداد إلى جانب «فاما». في
~~مقابلاتي الفردية معهم، طلبت منهم أن يخبروني بكلمة من لغتهم
~~تصف عدد مجموعة من الأغراض قد وضعتها أمامهم على طاولة،
~~وتطابقت إجابات البالغين السبعة الذين تطوعوا لمساعدتي.
~~إضافة إلى ms058 ذلك، حين طلبت منهم بعد ذلك ترجمة بعض مفردات الأعداد
~~البرتغالية إلى لغتهم، تطابقت إجاباتهم أيضا. ونتيجة لهذه
~~الجلسات؛ استنتجت أن الجاراوارا لديهم نظام أصلي للأعداد، على
~~عكس المزاعم السابقة. ومثلما هي الحال في العديد من لغات العالم،
~~فالكلمات الأصلية التي تعبر عن الأعداد، قد استبدلت بها في
~~لغة الجاراوارا كلمات الأعداد الأكثر نفعا، التي تنتمي إلى القوة
~~الاقتصادية المهيمنة التي يضطر الأفراد إلى التفاعل معها.
~~(راجع مناقشة الأنظمة العددية المعرضة للخطر في الفصل التاسع.)
~~وبالرغم من استخدامهم للأعداد البرتغالية التي تستخدم في
~~البرازيل، فإن من قابلتهم من أفراد الجاراوارا البالغين،
~~تمكنوا من تذكر أعدادهم الأصلية التقليدية.

# 2

# ونوضح فيما يلي بعض مفردات الأعداد في لغة
~~الجاراوارا (الكلمات المكتوبة بين قوسين هي كلمات
~~اختيارية):

# الكلمة بلغة
~~الجاراوارا

# الكمية

# ohari

# 1

# fama

# 2

# fama
~~oharimake

# 3

# famafama

# 4
~~(yehe)
~~kahari

# 5
~~(yehe) kahari
~~famamake

# 7
~~(yehe)
~~kafama

# 10
~~(yehe) kafama
~~ohari

# 11
~~(yehe) kafama
~~kafama

# 20

# يمثل النظام العددي للجاراوارا مدخلا مفيدا لما سنقوم به
~~من استعراض الأعداد في لغات العالم المنطوقة؛ إذ إن الأنماط
~~الواضحة في الأنظمة تشير إلى وجود قواسم مشتركة بين معظم اللغات
~~في العالم. وعلى وجه التحديد تظهر أسس أعداد الجاراوارا في
~~العديد من الأنظمة العددية في العالم. والأساس هو كلمة تتكرر في
~~الأعداد المنطوقة بلغة معينة، بصورة واضحة في معظم الأحيان،
~~أو بصورة مستترة في بعضها، وهو وحدة بناء لأعداد
~~أخرى.

# 3
~~(ومثلما رأينا في الفصل الثاني، يمكن استخدام هذا
~~المصطلح أيضا للإشارة إلى القيمة التي ترفع إلى قوة أسية
~~محددة في نظام الأعداد المكتوبة). فلنلق نظرة سريعة على أسس
~~أعداد الجاراوارا. في البداية، نلاحظ تكرار الكلمة

# fama

# في الأعداد كلها؛ فالعدد
~~«اثنان» يعني

# fama
~~«وأربعة» هو

# famafama
~~؛ أي إنه صيغة مضاعفة
~~من الكلمة «اثنين». وينطبق الأمر نفسه على الكلمة التي تعبر
~~عن العدد «عشرة»، وهي
~~(

# yehe
~~)

# kafama

# أي «مع (يدين)» ونجد أن الكلمة التي 
~~ترمز إلى يد

# yehe

# فيها مستترة لا
~~ظاهرة؛ ومن ثم يمكننا ms059 أن نستنتج أن الجاراوارا يستخدمون
~~ما يعرف باسم الأساس الثنائي (الأساس 2)، أي إن العدد «اثنين»
~~يستخدم بصفته وحدة بناء لبعض الأعداد الأكبر على الأقل، بالرغم
~~من ذلك فهو ليس الأساس الوحيد الذي يتضح لنا. بداية من العدد
~~«خمسة» نلاحظ أن

# yehe

# مستخدمة
~~في جميع الأعداد المتبقية، ولو بشكل ضمني على الأقل. إن أفضل
~~ترجمة ممكنة للكلمة التي تشير إلى العدد «خمسة» هي «مع يد» ويظهر
~~هذا الأساس الخماسي (الأساس 5) على مدار النظام العددي. وأفضل
~~ترجمة للكلمة التي تعبر عن العدد «سبعة» هي «يد مع زوجين» أما
~~الكلمة التي تعبر عن العدد «عشرة» فترجمتها «مع يدين»
~~وتستخدم هذه الكلمة أساسا لبقية الأعداد مثل «أحد عشر»
~~و«عشرين».

# من الواضح أن نظام أعداد الجاراوارا يستخدم أساسات متكررة
~~لا أسماء أصلية لكل كمية بعينها، وهو يشبه في ذلك معظم أنظمة
~~الأعداد المنطوقة، وهو يشبهها أيضا في أن العدد خمسة له مكانة
~~مميزة بصفته أساسا متكررا. إضافة إلى ذلك، نجد أن العدد
~~عشرة يتكرر، مع أنه هو نفسه يقوم على أساس العدد خمسة. عادة
~~ما تكون أنظمة الأعداد المنطوقة في العالم عشرية - أي أنها تعتمد
~~على الأساس عشرة. غير أن الأنظمة الخماسية كثيرة أيضا، مثلما
~~هي الحال في نظام الجاراوارا. وأحيانا تكون عشرينية أيضا، أي
~~إنها تعتمد على أساس العدد عشرين. وأخيرا فإننا نجد الأساس
~~الثنائي الذي يستخدمه نظام
~~الجاراوارا في بعض اللغات الأخرى في العالم. موجز القول إن هذا
~~النظام العددي المكتشف حديثا يعكس بعض خصائص الأنظمة العددية
~~الأخرى التي تتضمنها لغات العالم؛ إذ تستخدم بعض الكلمات
~~المحددة وحدات للبناء في الأعداد المنطوقة، وعادة ما تشير
~~هذه الأساسات إلى كميات مثل 5 و10 و20، وكذلك 2 في بعض الأحيان.
~~بعبارة أخرى، تعكس الأعداد نزعتنا الكبيرة إلى تفسير الكميات من
~~خلال الوحدات المفردة في طبيعتنا البيولوجية، أو أصابعنا بصفة
~~أساسية.

# ولنتناول مثالا آخر من إقليم الأمازون، وهو من لغة قبيلة
~~كاريتيانا، التي كانت موضوعا لبعض أبحاثي. إن هذه اللغة لا
~~ترتبط على الإطلاق بلغة الجاراوارا. ms060 ومثلما هي الحال في معظم أنظمة
~~الأعداد بالعالم، فإن المصطلحات التي تعبر عن الكميات الصغيرة
~~في هذه اللغة، لا يمكن تحليلها بدون وجود أساسات مميزة، مثل
~~الأساس الثنائي «فاما» في لغة الجاراوارا. وفي القائمة التالية
~~سأوضح حفنة من الأمثلة على مفردات الأعداد في لغة الكاريتيانا
~~(من الصعب تجاهل الأيدي عند الحديث عن الكميات، حتى في
~~الإنجليزية).

# المصطلح بلغة
~~الكاريتيانا

# الكمية

# myhint

# 1

# sypom

# 2

# myjyp

# 3

# otadnamyn

# 4
~~(«يدنا»)

# yj-pyt

# 5
~~(«نأخذ واحدا ويدنا الأخرى»)

# myhint yj-py ota
~~oot

# 6
~~(«نأخذ إصبعا واحدا من أصابع القدم»)

# myhint yj-piopy
~~oot

# 11

# إن الأنماط التي نراها
~~في هذه القائمة توضح مجددا وجود قواسم مشتركة بين كلمات
~~الأعداد في العالم؛ فمن الواضح أن الكلمة التي تعبر عن العدد
~~«خمسة» ترتبط بالكلمة التي تشير إلى «اليد» وهي تستخدم أيضا
~~بصفتها أساسا للأعداد الأكبر مثل «ستة». إضافة إلى أساسها
~~الخماسي فإن أعداد الكاريتيانا تعكس وجود الأساس العشري الأكثر
~~انتشارا في لغات العالم. فلنلق نظرة على أفضل ترجمة ممكنة
~~للكلمة التي تشير إلى العدد «أحد عشر»، وهي «نأخذ إصبعا واحدا
~~من أصابع القدم.» إن هذه الكلمة تستند ضمنيا إلى العدد 10؛
~~إذ إنه لا يلزم سوى إصبع قدم واحدة للإشارة إلى العدد 11. وينطبق
~~الأمر نفسه على غير ذلك من الأعداد الأكبر في لغة الكاريتيانا،
~~التي تستند هي أيضا إلى الأساس العشري.

# والواقع أن الغالبية
~~العظمى من أنظمة الأعداد في العالم، وفي لغاته التي يقترب عددها
~~من 7000 لغة، تعكس وجود النظام العشري، بشكل أو بآخر؛ إذ إن
~~الأعداد الكبيرة عادة ما تبنى على العدد 10، أما الكميات الأقل،
~~فغالبا ما تستند إلى النظام الخماسي (مثلما هي الحال في أعداد
~~الجاراوارا والكاريتيانا)، أو تكون أعدادا لا يمكن تحليلها (مثل
~~أعداد الكاريتيانا الصغيرة). وقد أدركنا لبعض الوقت هذا الدافع
~~الذي ينبع منه تركيز مخترعي الأعداد من البشر على الأساس
~~الخماسي والعشري، هو أن البشر في جميع أنحاء العالم، يميلون إلى
~~الاعتماد على أيديهم عند تشكيل كلمات للأعداد؛ إذ إن أصابعنا ms061
~~تسمح لنا بتمثيل المفاهيم العددية في العالم المادي بصورة بسيطة.
~~وهذا التجسيد الذي يتم من خلال العد على الأصابع والممارسات
~~المرتبطة به، يتجسد مرة أخرى في العالم اللفظي، من خلال استخدام
~~كنايات المصطلحات البيولوجية مثل «يد» «وإصبع» «وإصبع قدم» في
~~تسمية الكميات.

# في العديد من اللغات تمثل الأعداد الكبيرة بمصطلحات أشبه
~~بعبارات تتضمن أصولا مادية واضحة، مثل العدد 11 في لغة
~~الكاريتيانا، «نأخذ إصبعا واحدا من أصابع القدم.» وأحد المبادئ
~~التي تقوم عليها نظرية اللغة الحديثة هو أن المصطلحات التي
~~تستخدم كثيرا، تختزل صوتيا، أي إن الكلمات الشائعة تصبح
~~أقصر بمرور الوقت؛ فالكلمات المركبة والمصطلحات التي كانت
~~تطول إلى عبارات في بداية تشكيلها، تصبح أقصر؛ ولهذا السبب،
~~وغيره من الأسباب، فإن الكلمات التي يكثر استخدامها، تكون
~~مصادرها التاريخية أقل وضوحا في أغلب الأحوال. ومعنى هذا أن
~~المصادر التاريخية الواضحة لبعض الأعداد في لغات مثل الكاريتيانا
~~والجاراوارا، تدل على قلة استخدامها. وعلى العكس من ذلك ففي
~~معظم اللغات التي تؤدي الأعداد فيها دورا أكثر بروزا،
~~وتستخدم بدرجة أكبر، حتى الأعداد الكبيرة فيها، لا تكون أصولها
~~الاشتقاقية واضحة بهذا القدر. (لعلك تتذكر أن أعداد
~~الجاراوارا لا تستخدم إلا فيما ندر، حتى إن البعض قد افترضوا
~~أنها ليست موجودة على الإطلاق.) في الإنجليزية على سبيل المثال،
~~لا تدل الأعداد الكبيرة على أي إشارة واضحة للأصابع أو الأيدي
~~أو أصابع القدم أو الأقدام.

# 4

# إنها لا تتضمن أي إشارة «واضحة»، لكننا قد نجد بعض الإشارات
~~الأقل وضوحا. نظرا إلى أن كلمات الأعداد الإنجليزية، بصرف
~~النظر عن طريقة كتابتها، عشرية تماما، فلنتأمل كلمة

# thirteen

# وكلمة

# fourteen

# وغيرهما من الكلمات
~~التي تنتهي بالمقطع

# teen
~~. إن هذه
~~الكلمات تشير إلى أن الكميات مضافة إلى عشرة

# ten
~~؛ فكلمة

# thir+teen

# هي 13، وكلمة

# four+teen

# هي 14، وهكذا. وحتى
~~الأعداد الأكبر من العشرات هي أعداد عشرية أيضا، لكن مفهوم
~~العدد 10 فيها قد اتخذ الشكل

# ty

# في هذه الكلمات، بدلا من الشكل

# teen
~~. إضافة إلى ذلك فإن
~~هذه الأعداد الكبيرة تقوم على ms062 أساس الضرب لا الجمع. ومع ذلك فإن
~~الأعداد التالية:

# twenty

# و

# thirty

# و

# forty

# و

# fifty

# و

# sixty

# و

# seventy

# و

# eighty

# و

# ninety

# من الواضح أنها تعكس
~~بعض المسائل الحسابية البسيطة التي ترتكز على الكمية 10: 2 × 10
~~و3 × 10 و4 × 10 وهكذا. وهذا التركيز على الأساس العشري ينبع من
~~الجذور البيولوجية نفسها، التي نجدها في لغة الكاريتيانا. إن
~~البشر يعدون على أصابعهم، وعلى أصابع أقدامهم في بعض الأحيان،
~~وحين يسمون الكميات، فإنهم يختارون أسماءها بناء على تمييز
~~تلك الكميات من خلال الأصابع البشرية.

# وينتشر هذا النمط في لغات العالم. لنتناول مثالا آخر من
~~لغة أوروبية أخرى تستخدم الأساس العشري، وهي اللغة البرتغالية؛
~~فبالرغم من انتمائها إلى عائلة اللغات الهندية الأوروبية الكبيرة،
~~فهي لغة من أصل لاتيني؛ ولهذا فهي ليست وثيقة الصلة
~~بالإنجليزية، التي تنتمي إلى فرع اللغات الجرمانية في شجرة اللغات
~~الهندية الأوروبية. في بعض الحالات نجد أن كلمات الأعداد في
~~اللغتين تكون متشابهة، وفي حالات أخرى لا تكون كذلك. وبصرف
~~النظر عن التفاوت في المصطلحات، نجد أن طبيعة اللغة البرتغالية
~~في توجهها العشري واضحة للغاية:

# المصطلح باللغة
~~البرتغالية

# الكمية

# Um

# 1

# Dois

# 2

# Tres

# 3

# Quatro

# 4

# Cinco

# 5

# Seis

# 6

# Sete

# 7

# Oito

# 8

# Nove

# 9

# Dez

# 10

# Onze

# 11

# Doze

# 12

# Treze

# 13

# Quatroze

# 14

# Quinze

# 15

# Dezesseis

# 16

# Dezessete

# 17

# Dezoito

# 18

# Dezenove

# 19

# Vinte, vinte um, vinte dois,
~~...

# 20, 21, 22,
~~...

# مرة أخرى نرى أن صيغ
~~كلمات الأعداد من 1 إلى 10 تبدو اعتباطية، لكن بداية من العدد 11،
~~نبدأ في رؤية درجة من الانتظام؛ فعند العدد «أحد عشر» يبدأ العد
~~من جديد؛ لذا فإن العدد السابق يكون هو الأساس. في الأعداد من
~~11 إلى 15، يمكننا أن نلاحظ وجود تشابه خفي بينها وبين الأعداد
~~من 1 إلى 5، إضافة إلى المقطع

# ze

# الذي يبدو بمفرده بلا معنى، لكن من الواضح أنه يعكس التقليد
~~القديم المتمثل في إضافة العدد 10 إلى الأعداد من 1 إلى 5.
~~وينطبق الأمر نفسه على الأعداد ms063 من 16 إلى 19؛ إذ نرى مرة أخرى
~~أنها تشبه الأعداد من 6 إلى 9، مع دمجها مع العدد 10. وفي هذه
~~الحالة نجد أن الدمج أكثر وضوحا؛ إذ إن

# e

# هي أداة العطف «و» في اللغة
~~البرتغالية الحديثة؛ ومن ثم فإن 16 هي حرفيا «عشرة وستة».
~~وفي الأعداد الأكبر من ذلك، فإن النظام يولد مرة أخرى من
~~مضاعفات العدد عشرة، وبهذا يصبح العدد 21 مثلا

# vinte um

# أو «واحد وعشرون».
~~وينطبق الأمر نفسه على 31 و41 وما إلى ذلك. وباختصار فإن الأعداد
~~البرتغالية عشرية بالطبع.

# 5

# يجدر بنا أن نؤكد على أن السبب في الطبيعة العشرية التي
~~تتسم بها هذه الأنظمة العددية لا يعود إلى الملاءمة الرياضية
~~فحسب، كما يفترض في بعض الأحيان؛ فالأساسات العشرية تظهر في
~~العديد من المجتمعات التي لم تتطور فيها الرياضيات، مثل
~~الكاريتيانا، وأما في اللغات الأوروبية، فإن ظهورها يسبق ظهور
~~الأعداد المكتوبة والممارسات الرياضية الحديثة بألف عام. ويتضح
~~هذا النظام العددي الذي أعيد بناؤه من اللغة الهندية الأوروبية
~~الأولية، وهي اللغة التي تمثل سلفا للإنجليزية والبرتغالية
~~و400 لغة أخرى ذات صلة.

# 6

# كانت اللغة الهندية الأوروبية الأولية مستخدمة قبل
~~ما يقرب من 6000 عام في محيط البحر الأسود. (وما زال المختصون
~~يخوضون نقاشات حامية بشأن المكان الذي كانت تستخدم فيه
~~تحديدا، إما في سهول ما يعرف اليوم بأوكرانيا أو في الأناضول.)
~~ومن خلال مجموعة من الأحداث، تمكن متحدثو اللغة الهندية
~~الأوروبية الأولية واللغات المشتقة منها من التأثير في العالم
~~بشكل منقطع النظير، وقد أصبح نصف عدد السكان في العالم اليوم
~~يتحدثون شكلا من أشكال اللغة الهندية الأوروبية. وسنوضح فيما
~~يلي بعض الأعداد المعاد بناؤها من هذه اللغة الأصلية المؤثرة.
~~ولتتذكر أن علامة النجمة تشير إلى الأعداد المعاد بناؤها.
~~ومعنى هذا أننا لا نملك أي نصوص مكتوبة أو تأكيدات تاريخية لهذه
~~الكلمات، لكن بناء على التشابهات بين اللغات الحديثة التي
~~تنحدر من اللغة الهندية الأوروبية، يمكننا أن نثق بدرجة كبيرة
~~في أن مصطلحات الأعداد المستخدمة في تلك اللغة ms064 قد كانت على هذا
~~الشكل الذي نقدمه.

# 7

# المصطلح بالهندية
~~الأوروبية الأولية

# الكمية

# Hoi(H)nos
~~⋆

# 1

# duoh
~~⋆

# 2

# treies
~~⋆

# 3

# kwetuor
~~⋆

# 4

# penkwe
~~⋆

# 5
~~(s)uéks
~~⋆

# 6

# séptm
~~⋆

# 7

# hekteh
~~⋆

# 8
~~(h)néun
~~⋆

# 9

# dékmt
~~⋆

# 10

# duidkmti
~~⋆

# 20

# trihdkomth
~~⋆

# 30

# kweturdkomth
~~⋆

# 40

# penkwedkomth
~~⋆

# 50

# ueksdkomth
~~⋆

# 60

# septmdkomth
~~⋆

# 70

# hekthdkomth
~~⋆

# 80

# hneundkomth
~~⋆

# 90

# dkmtom
~~⋆

# 100

# وتتجلى الطبيعة العشرية للأعداد الهندية الأوروبية الأولية،
~~بصرف النظر عن التفاوتات الطفيفة، في الأعداد البديلة التي أعيد
~~بناؤها؛ فالأعداد من 11 إلى 19، التي لا تظهر في القائمة الموجودة
~~بالأعلى، تتخذ الصيغة «عشرة» و«س» حيث «س» هو أي عدد من 1 إلى
~~9. أما الأعداد بداية من 20 وما فوقها، فهي أيضا تعكس نمط
~~الأساس العشري بوضوح؛ إذ تتضمن هذه الأعداد شكلا من أشكال
~~المقطع الصوتي

# dkmt

# ويعزى ذلك
~~إلى الكلمة القديمة التي تعبر عن العدد 10، وهي

# dékmt
~~⋆
~~.
~~بالرغم من ذلك فهي تقوم على أساس الضرب لا الجمع، مثلما رأينا في
~~اللغة الإنجليزية والبرتغالية؛ فالعدد 20 على سبيل المثال هو

# duidkmti
~~⋆
~~،
~~أو «عشرتان» (تقريبا)، والعدد 30 هو

# trihdkomth
~~⋆

# أو «ثلاث عشرات» ... وهكذا.

# تتضح المكانة القديمة للأساسات العشرية في الأعداد المنطوقة
~~في بعض عائلات اللغات الأساسية الأخرى في العالم. وسوف نتناول
~~ثلاثا من هذه اللغات، وهي: اللغات الصينية التبتية واللغات
~~النيجيرية الكونغولية واللغات الأسترونيزية. مثلما هي الحال في
~~اللغات الهندية الأوروبية، يوجد ما يزيد على 400 لغة من اللغات
~~الصينية التبتية التي تستخدم اليوم، ويزيد عدد المتحدثين بها
~~على مليار نسمة؛ إذ إن هذه اللغات تتضمن لغة الماندرين
~~واللغة الكنتونية. ونظرا إلى أن الحديث عن الأعداد في اللغات
~~الصينية التبتية البدائية سيستلزم توضيحا متخصصا للخصائص
~~الصوتية لتلك اللغة، فإننا سنتحدث عن الأعداد في اللغة الأكثر
~~استخداما من عائلة هذه اللغات في العصر الحالي، وهي لغة
~~الماندرين. وكالأعداد في اللغات الهندية الأوروبية، فإن الأعداد
~~من 1 إلى 10 في لغة الماندرين، لا يمكن فك رموزها؛ فما من وحدات
~~متكررة تستخدم في بناء الأعداد الصغيرة. إن الكلمة التي
~~تعبر عن العدد 10 في لغة ms065 الماندرين هي

# shí

# وجميع الكلمات التي
~~تعبر عن الأعداد من 11 إلى 19، تتضمن هذه الكلمة، إضافة إلى
~~عدد آخر يستخدم لتمثيل العدد الأصغر من العشرة؛ فالكلمة التي
~~تعبر عن العدد 11 على سبيل المثال هي

# shíyī

# أو «عشرة واحد» والكلمة
~~التي تعبر عن العدد 17 هي

# shíqī

# أو
~~«عشرة سبعة». وحتى الأعداد الأكبر تبنى أيضا على الأساس العشري،
~~وتعكس تجميع الكميات وفقا لعشرة عناصر، غير أنه في الأعداد من
~~20 إلى 99، يأتي الرقم الأصغر قبل الأساس العشري؛ فالعدد 70 على
~~سبيل المثال هو،

# qīshí

# أي «عشر
~~سبعات»، وذلك على العكس من طريقة الترتيب في العدد 17. وينطبق
~~الأمر نفسه على غير ذلك من مضاعفات العشرة. وباختصار فإن
~~أعداد الماندرين تبنى على الأساس العشري، وهو أكثر وضوحا فيها
~~من الأعداد الإنجليزية.

# اللغات النيجيرية الكونغولية، هي أيضا من عائلات اللغات
~~الأساسية في العالم. وفيما يتعلق بعدد اللغات فهي عائلة اللغات
~~الأكبر على مستوى العالم؛ إذ تتضمن 1500 لغة، وفقا لدراسة
~~حديثة. ومن أكثر اللغات استخداما في هذه العائلة اللغة
~~السواحلية، وهي تنتمي إلى فرع البانتو الذي يستخدم على نطاق
~~واسع في شرق أفريقيا. في الأمثلة التالية يتضح الأساس العشري
~~في الأعداد السواحلية، الذي يدل على الاستراتيجيات العشرية التي
~~تنتشر في جميع لغات العائلة النيجيرية الكونغولية. وتوضح
~~الأمثلة أن الكميات من 11 إلى 13 على سبيل المثال، تمثل
~~بإضافة المصطلحات التي تعبر عن الأعداد الأصغر، مثل

# tatu

# أي «ثلاثة» إلى الكلمة
~~التي تعبر عن العدد «عشرة» وهي

# kumi
~~.

# المصطلح باللغة
~~السواحيلية

# الكمية

# moja

# 1

# mbili

# 2

# tatu

# 3

# kumi na moja

# 11

# kumi na
~~mbili

# 12

# kumi na tatu

# 13

# أما عائلة اللغات الأسترونيزية، فهي تتوزع على نطاق جغرافي
~~متسع للغاية؛ فهي تتضمن 1200 لغة تتوزع في أماكن يبتعد أحدها
~~عن الآخر، مثل مدغشقر وجنوب شرق آسيا وهاواي. وهي تنتشر أيضا في
~~بعض جزر المحيط الهادي؛ بسبب التوسع البحري لمتحدثي اللغات
~~الأسترونيزية البدائية، على مدار ما يقرب من 2000 عام. ويبدو أن
~~اللغات الأسترونيزية ms066 الأولية كانت تستخدم النظام العشري، الذي
~~تتسم باستخدامه معظم اللغات الأسترونيزية. وينطبق ذلك على سبيل
~~المثال في الفرع البولينزي من هذه العائلة، الذي اتضح أنه
~~يستخدم نظاما عشريا منذ فترة طويلة.

# 8

# ومما يثير الاهتمام أيضا أن بعض اللغات
~~الأسترونيزية تبدي بعض الدلائل على استخدامها للنظام الخماسي
~~أيضا. وكالأساس العشري، فإن هذا النمط الخماسي يرتبط بدوافع
~~تشريحية لا يمكن إنكارها، ولا سيما أن الكلمة التي تعبر عن
~~العدد 5 في اللغات الأسترونيزية الأولية، هي الكلمة نفسها التي
~~تستخدم للتعبير عن «اليد» وهي:

# lima
~~⋆
~~.

# 9

# لقد وضحت لنا رحلتنا العددية حتى الآن، أن كبرى عائلات
~~اللغات في العالم، ومنها عائلة اللغات الهندية الأوروبية والصينية
~~التبتية والنيجيرية الكونغولية والأسترونيزية، هي كعائلات اللغات
~~الصغيرة في إقليم الأمازون وغيرها من الأماكن، تعكس التأثير
~~المتغلغل للنظام العشري. ومن الجلي أن هذا التأثير يعود إلى
~~آلاف الأعوام في الماضي؛ فمنذ فترة طويلة توصلت الثقافات
~~البشرية، كل على حدة، إلى أن الأعداد تقسم تلقائيا إلى
~~مجموعات تتكون الواحدة منها من عشرة عناصر أو خمسة. ومثلما
~~رأينا في مناقشتنا بشأن الأرقام المكتوبة، فإن هذه العادة
~~الإدراكية تعزى إلى طبيعتنا البيولوجية. غالبا ما تشتق
~~الكلمات التي تعبر عن الأعداد من الكلمات التي تعبر عن الأيدي.
~~وحتى حين لا يكون ذلك صحيحا، فإن الأساسات العشرية في معظم
~~الأنظمة العددية (وكذلك العشرينية والخماسية بدرجة أقل) تعكس
~~الأساس التشريحي لمفردات الأعداد. وفي دراسة حديثة قد أجريت
~~على 196 لغة تنتمي إلى مختلف العائلات اللغوية والمناطق
~~الجغرافية، اكتشف عالم اللغويات المرموق برنارد كومري أن 125 من
~~هذه اللغات تستخدم أساسا عشريا خالصا للكميات التي تزيد عن
~~العشرة. وقد اكتشف أيضا أن الأنظمة العشرية/العشرينية الهجينة،
~~والأنظمة العشرينية الخالصة، تنتشر بدرجة كبيرة؛ فقد وجد 22 لغة
~~تمثل الحالة الأولى، و20 لغة تمثل الحالة الثانية.

# 10

# ينتشر الأساس العشريني على نطاق كبير إلى حد ما في بعض
~~المناطق مثل أمريكا الوسطى والقوقاز وغرب وسط أفريقيا، لكن هذه
~~الأنماط العشرينية تظهر بدرجة أقل في بعض اللغات الأوروبية. ms067
~~فهي تظهر على وجه التحديد في اللغة الفرنسية، ونجد أن تركيب بعض
~~الأعداد الكبيرة يعكس نمط الأساس 20؛ فالكلمة التي تعبر عن العدد
~~99 على سبيل المثال هي «أربع عشرينات وتسعة وعشرة» (4 × 20 + 10 +
~~9)، وقد بنيت باستخدام الأساسين: العشري والعشريني. وحتى اللغة
~~الإنجليزية تحمل في القليل من الأحيان بعض آثار النظام العشريني.
~~لنلق نظرة على مقدمة الخطاب الشهير الذي ألقاه أبراهام
~~لينكولن في جيتيسبيرج (قبل أربعة عشرينات وسبعة من الأعوام) التي
~~يشير فيها إلى استقلال الولايات المتحدة قبل خطابه بسبعة وثمانين
~~عاما. إن وجود كلمة في اللغة الإنجليزية تعني «مجموعة مكونة
~~من عشرين عنصرا» وهي كلمة

# score
~~،
~~بالرغم من ندرة استخدامها، يعكس التصنيف اللغوي للكميات باستخدام
~~الأساس العشريني.

# في بعض الحالات، قد يظهر في اللغة الواحدة الأساس الخماسي
~~وكذلك العشري والعشريني أيضا؛ ففي لغة المامفو، وهي لغة تتبع
~~عائلة لغات وسط السودان المستخدمة في أفريقيا، نجد أن الأصول
~~الاشتقاقية لمفردات الأعداد من 1 إلى 5 مبهمة، أي إن مصادر
~~مفردات الأعداد الصغيرة غامضة كما هي الحال في معظم الأحوال. وعلى
~~العكس من ذلك، فمفردات الأعداد من 6 إلى 9، تستند إلى الأساس
~~الخماسي. فأفضل ترجمة ممكنة للكلمة التي تعبر عن العدد 6

# elí qodè relí

# هي «اليد تأخذ
~~واحدا.» أما عبارة

# qarú qodè relí

# التي ترمز إلى العدد 11، فأفضل ترجمة لها هي «القدم تستحوذ على
~~واحد.» وعلى العكس من ذلك، فالمفردات التي تعبر عن الكميات
~~التي تزيد عن 20، فهي تتشكل بناء على العبارة العددية

# múdo ng-burú relí

# ومعناها
~~«شخص كامل». إن لغات كلغة المامفو تقدم أدلة في غاية
~~الوضوح على أن الأنظمة العددية تؤسس في العادة بناء على
~~وحدات ترمز إلى أصابع اليد الواحدة واليدين والشخص بأكمله،
~~والتي يفهم منها أن الشخص بأكمله يشير إلى جميع أصابع يديه
~~وقدميه.

# 11

# بالرغم من شيوع هذه الأساسات في لغات العالم، فيجب التأكيد على
~~حقيقة أن الأساس العشري على وجه التحديد يؤدي دورا بارزا في
~~الأعداد. ومن الواضح أن السبب في هذا الدور البارز ms068 الذي يؤديه
~~النظام العشري، يعود إلى الطبيعة البيولوجية لجسم الإنسان، وليس
~~إلى ميل فطري لتصنيف الأغراض إلى مجموعات من 10، أو إلى فاعلية
~~ذلك كما يفترض في بعض الأحيان. ومن الواضح أيضا أن السبب في
~~غلبة الأساس العشري مقارنة بالأساس العشريني، يعود إلى طبيعتنا
~~البيولوجية؛ فأصابع يدينا أكثر وضوحا وأسهل في الوصول إليها من
~~أصابع قدمينا. إنها تقع في مجال بصرنا، وهي أسهل في استخدامها
~~والتعامل معها؛ فهي وسيلة أكثر تلقائية لعد الأشياء.
~~واستخدامها في أنماط العد يسهم في التشجيع على تسمية مصطلحات
~~الأعداد. وربما يكون السبب في اعتماد البشر بصورة أكبر على أنظمة
~~الأساس العشري لا أنظمة الأساس الخماسي؛ أقل وضوحا، غير أنه يمكن
~~تفسيرها هي أيضا من خلال بعض الحقائق التشريحية البسيطة، ومنها
~~أن الأصابع متماثلة في اليدين تقريبا، لكن ثمة فرقا
~~واضحا بين أصابع اليدين وأصابع القدمين. وينطبق ذلك على موقعها
~~من الجسم، وكذلك مظهرها المادي. ومثلما يقول عالم اللغويات برند
~~هين: «نظرا لأن الاختلاف الإدراكي الحسي بين اليدين
~~والقدمين أكبر مما هو عليه بين اليد واليد الأخرى، فإن العدد
~~«10» يشكل أساسا أكثر بروزا من العدد «5».»

# 12

# مثلما يتضح في بعض الأمثلة التي تناولناها، نجد أن المصطلحات
~~التي تعبر عن كميات تزيد عن الخمسة، غالبا ما تتمثل في
~~عبارات؛ ففي لغة الكاريتيانا على سبيل المثال، نجد أن الكمية 6
~~تمثل بالعبارة العددية «نأخذ واحدا ويدنا الأخرى.» وغالبا ما
~~تتحول هذه العبارات إلى تعبيرات مفرداتية مع الوقت (أي إنها
~~تصبح كلمات أقصر وتصبح معانيها أقل وضوحا)، وهذا هو ما حدث
~~مع الأعداد الإنجليزية، غير أنه في بعض اللغات تظل هذه العبارات
~~العددية واضحة، وتتكون من تعبيرات الضرب أو الجمع؛ فمثلما رأينا
~~في حالة لغة الماندرين، فإن الكلمات التي ترمز إلى الأعداد من
~~11 إلى 19 تعبيرات تستخدم الجمع، أي إنها تتكون من العدد 10
~~زائد «س»، أما الكلمات التي ترمز إلى الأعداد 20 و30 و40 وما إلى
~~ذلك، فهي تعبيرات تستخدم الضرب؛ إذ تتخذ الصيغة «س» مضروبة في
~~10. ومعظم ms069 الأنظمة العددية تستند ضمنيا إلى الجمع والضرب لبناء
~~أعداد كبيرة من الأعداد الصغيرة، مثلما هي الحال في لغة الماندرين.
~~وفي أحيان أقل كثيرا، يستخدم الطرح حتى في الأنظمة التي
~~تستند إلى المجموعات العشرية. ففي حالة لغة الأينو الأصلية في
~~اليابان، نجد أن الكلمة التي تعبر عن العدد 9 هي

# shine-pesan

# ومعناها «ناقص
~~واحد» ونجد أن الأعداد من 6 إلى 8، تستند إلى الطرح أيضا.
~~بالرغم من ذلك، فلم يكن الطرح أبدا هو القاعدة الأساسية
~~المستخدمة في تكوين الأعداد في لغة ما. وفي التسلسل الهرمي الذي
~~يتضح في الأنظمة العددية في العالم، نجد أن الجمع يؤدي دورا
~~أبرز من الضرب الذي يؤدي دورا أبرز من الطرح. وتستخدم القسمة
~~أيضا، غير أن ذلك في حالات نادرة للغاية.

# 13

# ومع دور الصدارة الذي يحتله الجمع في تكوين مفردات الأعداد،
~~يتضح لنا أمر آخر مرتبط به في العديد من الأعداد التي نعبر
~~عنها بعبارات في لغات العالم، وهو أن مفهوم الجمع يشار إليه من
~~خلال الاستخدام الشائع لكلمات مثل «يأخذ» أو «يستحوذ»؛ فمثلما
~~رأينا في لغة الكاريتيانا، تترجم الكلمة التي تعبر عن العدد 11
~~إلى «نأخذ إصبعا واحدا من أصابع القدم.» وفي لغة المامفو
~~تترجم الكلمة نفسها إلى «تستحوذ القدم على واحد.» وإضافة إلى
~~الكلمات على غرار «يأخذ» «ويستحوذ»، فمن الطرق الأخرى المنتشرة
~~لإضافة الأعداد الصغيرة من أجل تشكيل مفردات الأعداد الأكبر منها،
~~استخدام كلمات أو مقاطع تعني «مع»، وهو ما ينطبق على لغة
~~الجاراوارا، التي نجد فيها أن البادئة

# ka

# تستخدم في تعبير

# yehe kafama

# الذي يترجم
~~حرفيا إلى «مع يدين» أو «عشرة».

# ويتضح تكوين مفردات الأعداد بالاعتماد على أعضاء الجسم، في بعض
~~التوجهات الأضعف في لغات العالم؛ فعلى سبيل المثال، نجد أن
~~الكلمات التي تعبر عن فعل العد غالبا ما تشتق تاريخيا
~~من الكلمات التي تعبر عن الأصابع أو عن ثنيها. (تتضح العلاقة
~~الأخيرة بين الكلمات التي تعبر عن العد والكلمات التي تعبر عن
~~ثني الأصابع، في لغات الفرع الشمالي من عائلة اللغات ms070
~~الأثاباسكانية الأمريكية على سبيل المثال، وفي لغة الزولو.)

# يمكننا أيضا أن نورد بعض التعميمات الأخرى عن الأشكال
~~المعتادة التي ترد فيها الأعداد، بعيدا عن ارتباطها بأعضاء
~~الجسم. فنحن لم نناقش مثلا الأعداد الكبيرة للغاية مثل
~~«الآلاف» «والملايين» التي تعكس هي أيضا في نهاية المطاف أساسا
~~عشريا؛ إذ إنها تتكون من العدد 10 مرفوعا إلى قيمة أسية
~~معينة، حتى وإن كانت مصادرها الاشتقاقية مختلفة، مقارنة
~~بالأعداد الأصغر منها. وتختلف هذه الأعداد الكبيرة عن الأعداد
~~الصغيرة أيضا في أنها تعامل عادة على أنها أسماء بخلاف
~~الأعداد الصغيرة التي تعامل عادة على أنها صفات. فعلى سبيل
~~المثال يمكنني أن أقول بالعربية (والإنجليزية أيضا): «مئات» من
~~الناس، أو «آلاف» من الناس، ولا يمكنني أن أقول إنه كان ثمة
~~«سبعات» من الناس أو «ثمانيات» من الناس. إضافة إلى ذلك، فإن
~~هذه الأعداد الكبيرة نادرة نسبيا في الحديث الفعلي، وهي أقل
~~انتشارا في لغات العالم كذلك. فبينما تتضمن معظم لغات العالم
~~تقريبا نظاما من الأعداد الأساسية،

# 14

# فإنها لا تتضمن عادة كلمات تعبر عن الكميات
~~التي تزيد عن 100 أو 200، أو غير ذلك من مضاعفات 10 و20. والواقع
~~كما سنرى في القسم التالي، أن سقف المصطلحات الدقيقة الأصلية
~~التي تعبر عن الأعداد في العديد من اللغات في أستراليا والأمازون
~~وغيرها من الأماكن أقل من عشرة.

# من هذا الاستعراض المختصر يمكننا أن نتوصل إلى بعض
~~الاستنتاجات العامة عن الأعداد في الحديث؛ أولا: أنها تنتشر في
~~جميع لغات العالم تقريبا؛ فبالرغم من أننا لم نستكشف سوى جزء
~~صغير من الأمثلة الممكنة من تلك اللغات، فإن هذه الأمثلة توضح
~~أن مفردات الأعداد الأساسية هي عامل مشترك بين العديد من اللغات
~~غير المترابطة التي تتوزع على مناطق جغرافية بعيدة عن بعضها
~~البعض. وثانيا: أن هذه المناقشة قد وضحت أن مفردات الأعداد
~~في اللغات غير المترابطة غالبا ما تعكس تشابهات صارخة؛ إذ
~~إن معظم اللغات توظف نموذجا بيولوجيا يستند إلى أعضاء
~~الجسد، يتضح في أساسات أعدادها. ثالثا: أن الأدلة اللغوية
~~توضح ms071 أن النموذج القائم على أعضاء الجسد لم يشجع على
~~ابتكار الأعداد على مستوى العالم فحسب، بل هو يمتد أيضا إلى
~~أبعد ما تأخذنا إليه البيانات اللغوية في التاريخ؛ إنه يتضح
~~في إعادة بناء اللغات السالفة مثل اللغة الصينية التبتية الأولية،
~~واللغة النيجيرية الكونغولية الأولية، واللغة الأسترونوزية
~~الأولية، واللغة الهندية الأوروبية الأولية، وهي اللغات التي
~~أصبحت اللغات المشتقة منها هي الأفضل تمثيلا في العالم
~~اليوم.

# إن أجسامنا تؤدي دورا بارزا في أنماط تفكيرنا، وفي كيفية
~~فهمنا للعالم حولنا. ويتضح هذا التأثير الجسدي على التفكير
~~في الكثير من الأبحاث الحالية في علم الإدراك، بشأن كيفية تشكيل
~~جسدنا لعملياتنا الإدراكية، وهو ما يعرف باسم الإدراك التجسيدي.
~~والتفكير الكمي الأساسي مثال ممتاز على الإدراك التجسيدي؛ إذ
~~إننا نفهم الكميات من خلال أجسادنا. (وسوف نشرح هذه النقطة
~~بقدر أكبر من التفصيل في الفصل الثامن.) ومثلما رأينا في الفصل
~~الأول، يبدو أن البشر قد واجهوا صعوبة في فهم مرور الوقت بدون
~~استخدام أجسادهم وكذلك الحيز المحيط بها، بصفتها أساسا
~~مجازيا راسخا للتفكير بشأن الوقت. وبطريقة مشابهة، فإن
~~استعراضنا لمفردات الأعداد الأساسية في العالم، يدل على أن
~~الطريقة الأولية التي نستخدمها في فهم الكميات المجردة، هي من
~~خلال أصابع يدينا وقدمينا، لكنها أصابع يدينا هي التي
~~نستخدمها بصفة أساسية.

# قد يبدو كل ذلك واضحا للغاية من بعض الجوانب؛ فبالرغم من كل
~~شيء قد استخدمنا جميعا أصابعنا في العد في صغرنا، ولا نزال
~~نفعل ذلك في بعض الأحيان. غير أننا كثيرا ما نقلل من أهمية
~~الأساس المادي للأعداد، لا سيما على ما أعتقد في ضوء وجود نموذج
~~أجزاء الجسم في جميع الأعداد المنطوقة بالعالم. إن هذا الانتشار
~~في كل مكان يدل على أن مفردات الأعداد هي ابتكار قد انبثق
~~نتيجة الارتباط بين أصابعنا وبين الكميات التي يمكن أن تستخدم
~~في تمثيلها (وسوف نناقش هذه النقطة بالمزيد من التفصيل في الفصل
~~الثامن). وبدلا من ذلك يمكننا أن نرى أن الأعداد مفاهيم
~~مستقلة، ربما تكون متأصلة في العقل البشري، وما ms072 نستخدم
~~أصابعنا إلا لتسمية هذه المفاهيم. ومثلما سنرى في الفصل الخامس،
~~فإنه من الصعب لهذا الرأي أن يصمد في وجه الأدلة التجريبية بشأن
~~وجود شعوب لا تعرف الأعداد. غير أنه يجدر بنا أن نشير هنا إلى
~~أن طبيعة مفردات الأعداد، التي نجد أنها تستند إلى الأصابع في
~~لغات العالم، يجب أن تستوقف هؤلاء الذين يعتقدون أن الأعداد
~~مفاهيم متأصلة تنتظر التسمية فحسب. فمن المؤكد أنه إن كانت
~~الحال كذلك لما اعتمدنا في معظم الأحيان على أصابعنا لتسميتها،
~~ولوجدنا في لغات العالم جميع أنواع الأساسات المختلفة التي ما
~~كانت لتدل على الاستخدام التاريخي للأصابع. إن الأدلة
~~المتعلقة بمختلف اللغات وحدها تؤيد الرؤية القائلة بأن
~~الأعداد أدوات مفاهيمية، لا مجرد أسماء اخترعناها بعد أن فهمنا
~~الكميات من خلال أصابعنا.

# 15

# إن اختراع الأعداد ممكن للعقل البشري، لكنه قد أصبح ممكنا من
~~خلال الأصابع؛ إذ تقترح البيانات اللغوية، القديمة منها
~~والحالية، أن الأعداد قد ظهرت في الثقافات المختلفة بصورة
~~مستقلة، وفي مناسبات غير محددة، عن طريق إدراك البشر أن
~~بإمكانهم استخدام الأيدي لتسمية الكميات مثل 5 و10. يمكن استخدام
~~الأصابع للإشارة إلى الكميات، وقد اكتشف العديد من الأشخاص فائدة
~~ذلك، غير أن الأصابع محدودة من الناحية الرمزية، ولا تمثل
~~وسيلة مجردة تماما للتعبير عن الكميات. أما الكلمات فهي أدواتنا
~~الملائمة للترميز المجرد، ولحسن الحظ أنه يمكن استخدامها للإشارة
~~إلى الكميات، غير أنها لا تستخدم عادة إلا بعد أن يؤسس
~~الأفراد بين أصابعهم والكميات تطابقا متجسدا ملموسا
~~بدرجة أكبر. إن اختراعنا للأعداد متأصل في أجسادنا، ثم في
~~أصابعنا التي مكنتنا من اشتقاق رموز مجردة تماما للتعبير عن
~~الكميات، وهي مفردات الأعداد. وهذه الرموز المجردة يمكن أن
~~تنتقل إلى الجماعات البشرية وفيما بينها ويتعلمونها بسهولة، وقد
~~أصبحت تلبي مجموعة كبيرة من الاحتياجات؛ فهي أدوات لفظية
~~ومفاهيمية حقة.

# دوافع أخرى لتصنيف الكميات في مجموعات

# بالرغم من الانتشار الواسع على مستوى العالم للأنظمة العددية
~~التي تعتمد ضمنيا أو صراحة على الأصابع البشرية، يمكن أن
~~تتأسس الأعداد أيضا ms073 على عوامل أخرى. علاوة على الأنظمة
~~الخماسية والعشرية، توجد الأنظمة الثنائية أيضا؛ ففي حالة
~~الجاراوارا على سبيل المثال، رأينا قدرا من تأثير النظام
~~الثنائي في الأعداد الصغيرة، وفي نظام الأعداد التقليدي الذي
~~كان يستخدم ذات يوم في جزيرة مانجريفا، نجد أنه كان
~~يستخدم نظام ثنائي أكثر تعقيدا، كما سنرى في الفصل
~~التاسع. وإضافة إلى النظام الثنائي أو الأعداد التي تستند
~~إلى الأساس 2 والتي توجد في بعض الثقافات، نجد أن أساسات
~~أخرى تتضح في بعض الثقافات، ومنها الأساس الثلاثي (الأساس
~~3) والرباعي (الأساس 4) والسداسي (الأساس 6) والثماني (الأساس
~~8) والتساعي (الأساس 9). وعلاوة على ذلك، فإن بعض الثقافات
~~تستخدم الأساس الاثني عشري (الأساس 12)، أو كانت تستخدمه،
~~وكان غيرها يستخدم الأساس الستيني (الأساس 60). وكما
~~أشرنا في الفصل الأول، فإن استخدام النظام الستيني على يد
~~السومريين أولا، ثم البابليين من بعدهم، هو السبب في أننا لا
~~نزال نقسم الساعات إلى دقائق، والدقائق إلى ثوان.

# ومن المثير للاهتمام أن الأساس الثماني والاثني عشري
~~والستيني، قد يكون منبثقا من الأيدي البشرية كذلك، وإن كان
~~ذلك بطرق أقل وضوحا مما هي عليه في المجموعات الخماسية
~~والعشرية. فبالرغم من أن البشر يمتلكون عشرة أصابع في
~~اليدين، فليست كل الطرق المعروفة للعد على الأصابع تستند
~~إلى المطابقة بين الأصابع والكميات؛ فثمة طرق أخرى لتمثيل
~~الكميات من خلال ترتيبات مختلفة لليدين. وهذه الترتيبات
~~البديلة، وإن كانت أقل وضوحا، هي السبب بصورة جزئية في
~~وجود اختلاف فيما بين الثقافات بشأن الكيفية التي يعد بها
~~الناس على أصابعهم. ومن الأمثلة الغريبة على ذلك أحد الأنظمة
~~الهندية التي يستخدمها التجار في العد على أصابعهم . وفي هذا
~~النظام تمثل أصابع إحدى اليدين الوحدات المفردة، أما
~~أصابع اليد الأخرى فتمثل مضاعفات الخمسة؛ ومن ثم فإن
~~إصبعين على يد زائد ثلاثة أصابع على اليد الأخرى تمثل
~~الكمية 17 (2 × 1 + 3 × 5) وليس 5.

# الفراغات الموجودة بين الأصابع يسهل عدها أيضا، والواقع
~~أن عدد الفراغات في اليدين قد يكون هو السبب في ظهور
~~الأساس الثماني (العدد 8) النادر. أو فلنتأمل الأساس ms074 12، أو
~~النمط الاثني عشري؛ حيث يوجد اثنا عشر خطا متجاورا على
~~أصابع اليد الواحدة فيما عدا الإبهام (خط في كل عقلة)، ويمكن
~~استخدام هذه الخطوط بمثابة علامات بارزة للإشارة إلى الكميات،
~~من خلال عدها بإصبع من اليد الأخرى. (انظر الشكل

# 3-1
~~) إضافة إلى ذلك، بخلاف هذا الأساس
~~الحيوي الذي قد يكون هو السبب في ظهور استراتيجية العد
~~بالأساس 12، يجدر بنا الإشارة إلى أن 12 × 5 = 60. وإذا
~~أخذنا في الاعتبار أن الأيدي البشرية تمثل دافعا واضحا
~~محتملا لظهور استراتيجية الأساس 12، واستراتيجية الأساس 5
~~كليهما، فإن ظهور نظام الأساس الستيني في بلاد الرافدين
~~قديما، يغدو أقل غرابة. وليس ذلك لكي نزعم بشكل
~~مؤكد أن استراتيجية الأساس 60 قائمة على الأيدي، غير أن
~~ذلك أمر محتمل بالتأكيد، ومن غير المرجح أن يكون استخدام
~~أساس يقبل القسمة على 5 و10 و12 مجرد مصادفة.

# 16

# إنني لا أرغب في الاستفاضة في تفاصيل جميع هذه الأساسات
~~العددية الأقل انتشارا، غير أنه من الضروري أن أشير إلى
~~وجودها كيلا أقدم انطباعا بأنه ثمة آلية جوهرية أو
~~غيرها من العوامل، تلزم البشر بفهم الكميات عن طريق
~~أصابعهم بالطريقة نفسها. إضافة إلى ذلك يمكننا أن نستخدم
~~عناصر مختلفة من بيئاتنا لفهم الكميات، وهو ما يحدث
~~بالفعل، وغالبا ما تكون هذه العناصر سمات أخرى من طبيعتنا
~~البيولوجية؛ فربما يعود السبب في نشأة الأنظمة الثنائية بصفة
~~جزئية، إلى حقيقة أن السمات البيولوجية للبشر في معظم
~~الحالات، تتمثل في أزواج. ومن الأمثلة المحددة على ذلك
~~رأسنا الذي يحتوي على عينين وأذنين وفتحتي أنف وخدين.
~~وثمة أدلة ضعيفة من بعض اللغات على أن الكلمة التي تعبر
~~عن العدد «اثنين» تشتق من إحدى هذه الكلمات؛ ففي لغة
~~الكاريتيانا على سبيل المثال، نجد أن الكلمة التي تعبر عن
~~«اثنين» هي

# sypo

# والكلمة التي
~~تعبر عن «العين» هي

# sypom
~~.
~~(وليس من الواضح لنا ما إذا كان ذلك مجرد مصادفة أم
~~لا.)

# شكل 3-1: تستند معظم الأنظمة العددية في العالم إلى
~~كمية الأصابع في اليد البشرية، غير ms075 أن سمات
~~أخرى في أيدينا قد تؤثر في الأنظمة العددية؛
~~فالفراغات الأربعة الموضحة بالخطوط البيضاء،
~~والمفاصل الاثنا عشر المتجاورة، والموضحة
~~بالخطوط السوداء المنقطة، تسهم في تشكيل
~~الأعداد، وإن كان ذلك بدرجة أقل انتشارا.
~~الصورة من التقاط المؤلف.

# وثمة أنواع أخرى من استراتيجيات العد التي تستند إلى
~~أجزاء الجسم، وقد تكون غريبة في بعض الأحيان. ففي مقاطعة
~~سيبيك الغربية في نيو غينيا، توجد لغة تدعى أوكسابمين، التي
~~كانت تستخدم من قبل استراتيجية عد تتضمن 27 عددا يتطابق
~~كل منها مع أعضاء الجسد بالترتيب، بما في ذلك الأصابع
~~والعينان والكتفان. تبدأ النقاط المعدودة في الجسم بيد
~~واحدة، وتستمر إلى ذراع واحدة، صعودا إلى الرأس ثم نزولا
~~إلى الذراع الأخرى. وقد سجلت أنظمة مشابهة في مناطق أخرى
~~في نيو غينيا، ومنها ذلك النظام المستخدم بين شعب اليوبنو.
~~ففي لغتهم ترتبط مفردات الأعداد بأصابع اليدين وأصابع
~~القدمين مع نقاط أخرى من الجسم، ويصل مجموعها إلى 33 كلمة.
~~ونظرا إلى أنها لا تؤدي إلى تشكيل أساسات عددية منتظمة في
~~الحديث، فلن نناقش مثل هذه الأنظمة العددية هنا بأكثر من
~~ذلك. بالرغم من ذلك، يجدر بنا الإشارة إلى وجودها؛ إذ إنها
~~تدل على وجود طريقة أخرى يحفز بها تركيب الجسم البشري على
~~تصميم استراتيجيات العد.

# 17

# لقد شاهدنا بعض الأمثلة على وجود أساسات عددية نادرة، مثل
~~الأنظمة الرباعية (الأساس 4) في لغات قبائل السالينان التي
~~تعيش في كاليفورنيا، أو الأنظمة السداسية (الأساس 6)، التي
~~توجد في جنوب نيو غينيا. وقد حظيت الأنظمة السداسية
~~بقدر جيد من انتباه الباحثين في اللغات، وقد نتج عن هذا
~~الانتباه أنهم قد زعموا أن السبب في استخدام الأساس السداسي
~~للأعداد في بعض لغات نيو غينيا، يعود إلى أحد مظاهر الثقافة
~~الإقليمية ، وهو نبات البطاطا الذي يؤدي دورا أساسيا في
~~اقتصاد هذه الجماعات الأصلية التي تعيش في هذا الجزء من
~~العالم، ونمط حياتها. فمن المذهل أن الترتيبات التي
~~تستخدم في تجميع محصول البطاطا وتخزينه، والتي تكون عادة
~~على هيئة ستة في ستة، قد شجعت ms076 ظهور أنظمة الأعداد السداسية
~~المستخدمة في هذه المنطقة. وهذه الاستراتيجية المستخدمة في
~~عد شيء محدد، قد أصبحت أكثر تجريدا في وقت ما بعد
~~ذلك، وامتد استخدامها إلى مجالات أخرى، حتى أصبح من الممكن
~~عد الأشياء كلها باستخدام نظام الأساس السداسي.

# 18

# وقد تأثرت بعض أنواع الأعداد الأخرى باستراتيجيات العد
~~المرتبطة بأشياء خارج الجسم، أشياء تؤدي دورا مهما في
~~ثقافات متحدثي اللغة. فالعديد من اللغات في ميلانيزيا
~~وبولينزيا تستخدم، أو كانت تستخدم من قبل، أنظمة عددية
~~تختلف وفقا لنوع الشيء المراد عده. ففي لغة الفيجي القديمة
~~الفصحى على سبيل المثال، نجد أن الكلمة التي تشير إلى العدد
~~100 هي «بولا» عند عد الزوارق، لكنها «كورو» عند عد جوز
~~الهند. وبالرغم من أن أساس الأعداد كان لا يزال متأثرا
~~بالنظام العشري، فإن تخصيص العدد بناء على الشيء المعدود
~~كان واضحا. أما الأعداد البولينزية فسوف نتناولها بالمزيد من
~~التفصيل في الفصل التاسع، الذي سنرى فيه أنها توفر بعض
~~المزايا الإدراكية.

# من المثير للاهتمام أن بعض الأنظمة العددية النادرة تعكس
~~تأثير ظواهر ثقافية أكثر تعقيدا؛ فقد اكتشف عالم اللغويات
~~في جامعة تكساس بيشنس إبس أن بعض اللغات في شمال غرب
~~الأمازون، تستخدم علاقات القرابة أساسا لأعدادها. وينطبق
~~ذلك الأمر على لغة «دو» ولغة «هاب» وهما لغتان قريبتان من
~~اللغات المستخدمة في المنطقة. يستخدم متحدثو اللغة
~~الأولى أصابعهم مع الكلمات عند العد من 4 إلى 10، حيث تشير
~~الأصابع إلى كمية الأشياء المراد عدها، أما الكلمات
~~فتستخدم لتوضيح ما إذا كانت الكمية فردية أو زوجية. فإذا
~~كانت الكمية زوجية، استخدم المتحدثون الكلمة: «لها أخ.» وإذا
~~كانت فردية استخدموا: «ليس لها أخ.» وينطبق الأمر نفسه في لغة
~~«الهاب»؛ فأفضل ترجمة ممكنة للكلمة التي تعبر عن 3 هي «دون
~~إخوة »، وأفضل ترجمة للكلمة التي تعبر عن أربعة هي «مع إخوة
~~مرافقة». ويبدو أن هذا النظام العددي «الأخوي» ينبع من
~~طريقة تبادل الإخوة في الزواج، التي يتبعها هذا الجزء من
~~أمريكا الجنوبية. ومثل النظام العددي السداسي المستند إلى
~~البطاطا، ms077 والمستخدم في نيو غينيا، فإن هذه الأعداد القائمة
~~على العلاقات، توضح أن حقيقة استخدام أجزاء الجسم في بناء
~~الأعداد في معظم الحالات، لا تعني أن ذلك هو ما ينبغي أن
~~يكون الأمر عليه. ومثلما هي الحال في بعض المظاهر الأخرى للغة،
~~فكل ما يمكننا القول به هو وجود أنماط شائعة بين الأنظمة
~~العددية في العالم، لكنها ليست أنماطا عالمية.

# 19

# الأنظمة المحدودة للأعداد المنطوقة

# نظرا لأن الأعداد من 4 إلى 10 في لغة «الدو» تستلزم
~~استخدام الأصابع مع الإشارة إلى «الإخوة» فهي ليست أعدادا
~~لفظية بالمعنى الأدق؛ إذ لا تتضمن لغة «الدو» أعدادا
~~مفرداتية فعلية إلا للأعداد من 1 إلى 3. ومثل لغة «الدو»،
~~فإن الأعداد في بعض اللغات الأخرى محدودة النطاق؛ فبعض هذه
~~اللغات يستخدم أنظمة عددية عديمة الأساس. وفي دراسة حديثة
~~عن الأنظمة العددية المحدودة، اكتشف أن أكثر من اثنتي
~~عشرة لغة في العالم لا تستخدم هذه الأساسات على الإطلاق،
~~وأن العديد من اللغات لا يتضمن كلمات تعبر عن الكميات
~~الدقيقة فيما هو أكبر من 2، أو أكبر من 1 في بعض الحالات. ولا
~~شك في أن هذه الحالات تمثل جزءا صغيرا للغاية من
~~اللغات في العالم، فالغالبية العظمى تستخدم أساسات عددية
~~تعكس نموذج أعضاء الجسم. علاوة على ذلك، فإن معظم الحالات
~~المتطرفة المعنية تنحصر جغرافيا في نطاق منطقة
~~الأمازون. وأيضا فإنه يصعب القول بكل ثقة: إن الأساسات لم
~~تستخدم أبدا في بعض هذه اللغات التي من المفترض أنها عديمة
~~الأساسات؛ ففي بعض الحالات قد تهمل الأعداد الأصلية نظرا
~~إلى تبني نظام عددي جديد أكثر فاعلية. (ولعلك تتذكر
~~مناقشتنا عن الجاراوارا.) في بعض الثقافات قد يخفق
~~المتحدثون الأصغر سنا في اكتساب نظام الأعداد الأصلي
~~القديم، وقد يعطي انقراض هذا النظام انطباعا خاطئا بعدم
~~وجود مثل ذلك النظام الأصلي على الإطلاق. بالرغم من ذلك فحتى
~~في ضوء العامل الاجتماعي اللغوي يمكننا الوثوق بأن الأعداد
~~في بعض اللغات هي أعداد محدودة ليس لها أساسات. ففي حالة
~~لغتين من منطقة الأمازون، وهما لغة ms078 «زيليكسانا» ولغة
~~«بيراها»، زعم البعض أنهما لا تستخدمان أي مفردات
~~محددة من أي نوع تعبر عن الأعداد. وسوف نتناول حالة لغة
~~«بيراها»، التي ألم بها بعض الشيء، ببعض التفصيل في الفصل
~~الخامس. أما في حالة لغة «زيليكسانا» الأقل وضوحا، فقد
~~أشارت بعض التقارير إلى أن الأعداد الثلاثة في اللغة ترمز
~~بشكل تقريبي إلى «واحد أو بضع» و«اثنين أو بضع» و«ثلاثة
~~أو أكثر».

# 20

# إن بعض الأنظمة العددية المحدودة في منطقة الأمازون تتيح
~~الإشارة بدقة إلى شيء واحد أو اثنين، لكنها لا تسمح إلا
~~بالإشارة غير الدقيقة إلى الكميات الكبيرة. وينطبق ذلك على لغة
~~«المندوروكو» التي حظيت بقدر كبير من الاهتمام في الأبحاث
~~النفسية اللغوية الحديثة. (راجع الفصل الخامس.) ويشتهر عن معظم
~~اللغات في أستراليا أن أنظمتها العددية محدودة، وقد زعم
~~علماء اللغويات قبل ذلك أن معظم اللغات الأسترالية تفتقر
~~إلى وجود مصطلحات دقيقة للإشارة إلى الكميات الأكبر من 2.
~~بالرغم من ذلك، يبدو أن هذا الزعم مبالغ فيه، والواقع أن
~~العديد من لغات هذه القارة تستخدم أساليب أصلية لوصف
~~مختلف الكميات بدقة، وفي بعض الأحيان يمكن دمج مفردات
~~الأعداد التي ترمز إلى الكميات الصغيرة في هذه اللغات،
~~واستخدامها في التعبير عن الكميات الكبيرة من خلال استخدام
~~خاصية الجمع، أو حتى خاصية الضرب في الأساسات. ومثلما أشارت
~~الدراسة الموسعة التي أجراها عالما اللغويات كلير بويرن
~~وجيسون زينتز، على اللغات الأسترالية، فإن معظم أنظمتها
~~العددية غالبا ما تكون محدودة بالفعل. بالرغم من ذلك، فلا
~~يمكن وصفها بالتأكيد على أنها أنظمة «واحد واثنين والعديد»
~~مثلما كنا نظن قبل ذلك؛ فغالبا ما تكون أكثر فعالية من
~~الأنظمة العددية التي كانت تستخدمها الجماعات الأمازونية التي
~~تعتمد على الصيد والتقاط الثمار. فاللغات الأسترالية التي
~~تضمنتها الدراسة، والتي يقترب عددها من المائتين، تحتوي
~~جميعها على كلمات تعبر عن العددين 1 و2، غير أن العدد
~~الأكبر في ثلاثة أرباع هذه اللغات تقريبا هو 3 أو 4. ومع ذلك
~~فإن العديد من هذه اللغات تستخدم الكلمة التي ترمز إلى
~~العدد «اثنين» ms079 أساسا لأعداد أخرى. والعديد من هذه اللغات
~~يستخدم الكلمة التي تعبر عن العدد «خمسة» أساسا لتكوين
~~أعداد أخرى، وفي ثمان من هذه اللغات نجد أن أكبر عدد
~~تستخدمه هو العدد «عشرة» (بينما لا توجد أي لغة أخرى تشير
~~على سبيل المثال إلى 7 أو 8 أو 9 أو 11، بأكبر عدد فيها).
~~إذن، فحتى في أستراليا توجد بعض الإشارات المتناثرة التي
~~تدل على الدور الأساسي للأصابع في استراتيجيات تكوين
~~الأعداد. ثمة دلالة خاصة لهذا الأمر نظرا إلى العزلة
~~النسبية التي اختبرتها هذه الشعوب على تلك القارة منذ
~~استيطانهم لها قبل 40000 عام. فمثلما هي الحال في مناطق أخرى
~~من العالم، فإن بعض جماعات السكان الأسترالية قد ابتكرت،
~~بصورة مستقلة، نموذج أعداد يعتمد على أعضاء الجسم لتمثيل
~~الكميات لغويا.

# 21

# خاتمة

# بالرغم من أن معظم الباحثين في اللغات كانوا يعتقدون قبل
~~ذلك أن الاختلافات اللغوية سطحية إلى حد ما، وهي تخفي
~~السمات العالمية الأعمق التي تشترك فيها جميع اللغات، فقد
~~أصبح عدد كبير منهم يعتقد الآن أن الاختلاف في اللغات
~~البشرية الموجودة عميق للغاية، حتى إنه لا يمكن تقديم
~~مسوغات تجريبية تدعم القول بوجود سمات عالمية بارزة تشترك
~~فيها جميع اللغات.

# 22

# وفي رحلتنا القصيرة إلى الأعداد المنطوقة في
~~العالم، رأينا أنه لا يمكننا أن نجد أي سمات عامة في
~~هذا الصدد، مما يناقض التوقعات القديمة المتمثلة في
~~وجود مفردات محددة للأعداد في جميع اللغات. علاوة على ذلك،
~~فقد رأينا أن اللغات تختلف في كيفية تأسيس أنظمتها العددية؛
~~فبعض هذه الأنظمة محدود النطاق بعض الشيء، وبعضها كنظامنا
~~الذي قد يكون لا نهائيا. وقد رأينا أيضا أن اللغات
~~الأصلية تتضمن في بعض الأحيان أعدادا أكثر مما توحي به
~~الانطباعات الأولية، مثلما هي الحال في لغات أستراليا أو
~~الجاراوارا على سبيل المثال. إن التوثيق اللغوي المتأني
~~يوفر لنا صورة أدق للأعداد في العالم.

# بالرغم من ذلك، تتراكب فوق هذه الصورة المتبلورة لتنوع
~~الأعداد أنماط واضحة، تتجلى في الأعداد المنطوقة بالعالم.
~~وهي أنماط بسيطة تتمثل ms080 في أن مفردات الأعداد غالبا ما
~~تشتق من المفردات التي تعبر عن الأيدي، وهي توضح عادة
~~تقسيم الكميات إلى خمسات أو عشرات أو عشرينات، أو بعض
~~التوليفات الأخرى منها. وهذه الحقائق البسيطة التي تتجلى في
~~اللغات القديمة والمعاصرة في جميع القارات الآهلة بالسكان،
~~تشير إلى أن أساسات الأعداد هي تمثيلات لفظية لبعض
~~المفاهيم التي تتضح لنا بصورة أفضل من خلال تجسيد الكميات.
~~وقد أصبح هذا التجسيد ممكنا بفضل مجموعات العناصر التي
~~نشهدها في الطبيعة باستمرار، والتي تكمن على أطراف أصابعنا
~~حرفيا في انتظار من يستوعبها. (وسنتناول كيفية حدوث هذا
~~«الاستيعاب» على وجه أكثر تحديدا، في الفصل الثامن.) إن
~~أصابعنا المتمايزة والمتناظرة، قد مكنتنا من تجسيد
~~المفاهيم المجردة التي لا يمكن إدراكها بشكل كامل، مما
~~سهل عملية انتقال تمثيل الكميات إلى أفواهنا، ومن ثم إلى
~~عقول الآخرين.

# 23



# الفصل الرابع



# | ما بعد مفردات الأعداد: أنواع أخرى
~~من اللغة العددية




# إن الأعداد تحكم جملنا، حتى الكلمات التي أكتبها الآن
~~وأعبر بها عن هذه الأفكار، لا يمكن إنتاجها بالإنجليزية وفهمها
~~إلا من خلال الإشارة المستمرة إلى كمية العناصر، أو المفاهيم
~~التي تتحدث الجملة عنها. فلأعد إلى الوراء وأعد عليك تلك
~~الجملة، مع توضيح أجزائها التي تشير إلى كميات: حتى الكلمات التي
~~أكتبها الآن وأعبر بها عن هذه الأفكار، لا يمكن إنتاجها
~~بالإنجليزية وفهمها، إلا من خلال الإشارة المستمرة إلى كمية
~~العناصر أو المفاهيم التي تتحدث الجملة عنها. ثمة ما لا يقل
~~عن أحد عشر موضعا في هذه الجملة وحدها اقتضت فيها قواعد
~~اللغة أن أميز كمية «الأشياء» التي أتحدث عنها. وليست هذه
~~الجملة بمثال غريب في هذا الصدد، وليست اللغة الإنجليزية بغريبة
~~في إشارتها إلى الكميات؛ فالعديد من اللغات تتطلب باستمرار
~~وجود إشارات نحوية إلى الكميات التي تتحدث عنها جملها أو إلى
~~كمية الأشخاص المشتركين في أحد التفاعلات (مثل «أنا» أو «نحن»).
~~وفي هذا الفصل آمل أن أقدم لك نبذة عن مدى أهمية هذه
~~الاختلافات العددية في لغات العالم. سوف نرى أن العدد ms081 النحوي
~~هو أمر شائع للغاية، وأنه يعكس أيضا نقطة مهمة بشأن طبيعتنا
~~البيولوجية، غير أنه يختلف عن كلمات الأعداد في أنه يخبرنا عن
~~طبيعتنا البيولوجية العصبية لا عن أيدينا.

# تبدأ هذه المناقشة بمقدمة عامة عن العدد النحوي، وذلك قبل أن
~~نطرح بعض الاستنتاجات الأساسية بشأن الطبيعة البيولوجية العصبية
~~للبشر، والتي يبدو أنها تحفز استخدام الأنماط التي تظهر في
~~المقدمة، ولو كان ذلك بشكل جزئي على الأقل. وبصفة أساسية،
~~فإن هذا الاستعراض يمثل رحلة نمر فيها بالأعداد التي لا
~~توجد كلمات عددية تعبر عنها (كالتي تناولناها في الفصل
~~الثالث)، ولا هي أعداد مكتوبة.

# العدد في الأسماء

# إن المكان الذي سنبدأ منه هذه الرحلة هو العدد الاسمي.
~~والعدد الاسمي هو ما يشير إلى تصريفات الاسم، التي تدل
~~على كمية العناصر التي يشير إليها الاسم. ولدينا في اللغة
~~الإنجليزية كلمات يتغير شكلها بدرجة كبيرة بناء على
~~عددها النحوي؛ فإذا كنت أشير إلى شخص واحد أقول:

# person

# أي «شخص» وإذا كنت
~~أشير إلى أكثر من شخص أقول:

# persons

# أي «أشخاص»
~~والإشارة العددية هنا تقريبية في الحالة الأخيرة؛ فنحن لا
~~نعرف إلا أن الإشارة إلى أكثر من شخص واحد، لكننا لا
~~نعرف العدد بدقة أكبر من ذلك. ولدينا أيضا بعض الأسماء
~~غير المنتظمة مثل

# tooth

# أي
~~«سن» التي تجمع على

# teeth

# أي «أسنان»، وكذلك

# mouse

# أي
~~«فأر»، وجمعها

# mice

# أي
~~«فئران»، وكذلك

# criterion

# أي
~~«معيار»، وجمعها

# criteria

# أي
~~«معايير»، وغيرها من الأسماء التي تزعج متعلمي اللغة
~~الإنجليزية. وربما ما يسبب لهم قدرا أكبر من الإزعاج هي
~~الصيغ الأخرى التي تعرف باسم الجموع «الصفرية»، وهي كلمات
~~لا يتغير شكلها، سواء أكانت تشير إلى مفرد أو أكثر من ذلك،
~~ومنها

# deer

# التي تعني «غزال
~~أو غزلان»، وكذلك

# sheep

# التي
~~تعني «خروف أو خراف». ولدينا أيضا بعض صيغ الجموع الأخرى
~~غير المنتظمة، التي تبدو أقل غرابة، مثل:

# children

# أي «أطفال»،
~~وأيضا

# men

# أي «رجال»، وكذلك

# oxen

# أي «ثيران»، لكن
~~هذه الكلمات التي تنتهي باللاحقة

# en
~~، ليست هي الصيغة ms082
~~القياسية للجمع، ويختلف مصدرها التاريخي عن الصيغ الأكثر
~~انتشارا من العدد الاسمي في اللغة الإنجليزية. والصيغة
~~الأكثر انتشارا هي مجرد إضافة صوت إلى آخر الكلمة، وهو
~~يشير إلى وجود أكثر من عنصر من هذا الاسم، ويختلف هذا الصوت
~~بدرجة طفيفة، لكنه يمثل عادة بالحرف

# s
~~. لنلق نظرة على هذه
~~الأزواج الثلاثة التالية من الكلمات، التي تدل فيها الكلمة
~~الثانية على وجود أكثر من عنصر من خلال لاحقة الجمع
~~المنتظمة:

# جدول 4-1

# الجمع

# المفرد

# قطط

# cats

# قطة

# cat

# عربات

# cars

# عربة

# car

# منازل

# houses

# منزل

# house

# في كل من هذه الحالات تشير اللاحقة

# s

# إلى أن المقصود هو
~~وجود أكثر من

# house

# أو

# cat

# أو

# car
~~. في اللغة الإنجليزية
~~يفهم من الكلمات التي لا تحتوي على أي لاحقة أنها تعبر
~~عن مفرد، ويفهم من الكلمات التي تحتوي على اللاحقة

# s

# أنها تعبر عن جمع.
~~وأنت تعي هذه الحقيقة منذ أن بدأت في تعلم اللغة، غير أن
~~الأمر ليس بهذه البساطة حتى في الحالات المعتادة التي تضاف
~~فيها اللاحقة

# s

# إلى الكلمة.
~~وإذا لم يكن السبب واضحا، فراجع الجدول

# 4-1

# مرة أخرى مع التركيز على النطق، وسوف تدرك أن اللاحقة
~~المستخدمة للدلالة على صيغة الجمع ليست واحدة في الكلمات
~~الثلاث؛ ففي الكلمة

# cats
~~[تنطق كاتس] نجد أن اللاحقة

# s

# هي ما يدعوه علماء اللغة
~~صوت «مهموس»، أي إن أحبالك الصوتية لا تهتز بينما تنطقه،
~~أما في الكلمة

# cars

# نجد أن
~~الصوت «جهري»، وتعطي اللاحقة

# s

# صوت طنين إذا أمسكت
~~عليه [تنطق كارز]؛ لأن أحبالك الصوتية تهتز. وفي كلمة

# houses

# نجد أن اللاحقة

# s

# جهرية أيضا، لكنها
~~مسبوقة بحرف متحرك؛ لذا فهي تنطق «إز». وعلى أي حال،
~~فبالرغم من هذا الاختلاف في الصوت فإننا نجد وحدة أساسية في
~~صيغة الجمع المنتظم في اللغة الإنجليزية، مثلما تدل على
~~ذلك حقيقة أنه يكتب بالحرف

# s

# في الحالات الثلاث.

# وكما هي الحال في اللغة الإنجليزية، فإن العديد من اللغات
~~الأخرى تستخدم إضافة اللاحقات أو البادئات إلى ms083 الأسماء
~~للدلالة على كمية العناصر المقصودة بالحديث. وفي معظم هذه
~~اللغات، تضاف اللاحقة أو البادئة إلى الاسم للدلالة على صيغة
~~الجمع (أي إن الاسم يعبر عن وجود أكثر من عنصر منه).
~~فلنتأمل هذه المرادفات البرتغالية لأزواج الكلمات الواردة
~~في الجدول

# 4-1
~~:

# جدول 4-2

# الجمع

# المفرد

# gatos

# gato

# carros

# carro

# casas

# casa

# في اللغة البرتغالية أيضا تستخدم اللاحقة

# s

# للدلالة على صيغة الجمع،
~~لكن ذلك لا يعني أن العدد النحوي يصاغ بالطريقة نفسها
~~في اللغتين؛ فأولا: ليس لاختلافات النطق، التي رأيناها في
~~تشكيل صيغة الجمع بالإنجليزية، وجود في اللغة البرتغالية.
~~وثانيا: فإن الكلمات المجاورة للأسماء البرتغالية تتغير
~~هي أيضا وفقا لحالتها من الإفراد أو الجمع؛ فإذا أردت أن
~~أقول

# my house

# على سبيل
~~المثال، فيجب أن أقول

# minhas
~~casas

# أي إن ضمير الملكية يصرف هو
~~أيضا في صيغة الجمع. وبالمثل، فإذا أردت أن أقول

# the house

# أو

# the houses

# فإن أداة
~~التعريف

# the

# لا تتغير في كلتا
~~الحالتين، أما في البرتغالية فنقول

# a
~~casa

# في المفرد، ونقول

# as
~~casas

# في الجمع؛ فتتغير الأداة وفقا
~~للكمية التي يعبر عنها الاسم الذي يليها.

# وعلى أي حال، فإن
~~التشابه مع لغة أوروبية أخرى قد يعطي انطباعا غير صحيح
~~بأن لاحقة الجمع

# s

# تستخدم
~~في العديد من اللغات أو معظمها، لكن مع ازياد معرفة علماء
~~اللغويات باللغات غير الأوروبية في جميع أنحاء العالم على مدار
~~العقود القليلة الماضية، فقد اكتشفوا أن العدد النحوي يمكن
~~أن يختلف بدرجة كبيرة. وقد اتضح بصورة أكبر أنه يوجد
~~العديد من اللغات التي لا تتغير فيها الأسماء وفقا لتغير
~~كمية العناصر التي تشير إليها. فلنلق نظرة على ترجمة
~~الكلمات التالية:

# cat
~~،

# cats
~~،

# house
~~،

# houses

# بلغة
~~الكاريتيانا:

# جدول 4-3

# الجمع

# المفرد

# ombaky

# ombaky

# cats

# cat

# ambi

# ambi

# houses

# house

# نلاحظ أن الكلمة

# ombaky
~~(

# cat

# التي عادة ما تعني
~~«النمر المرقط») والكلمة

# ambi
~~(house)

# لا يتغيران بصرف النظر عن عدد
~~القطط أو المنازل المشار إليها. وينطبق الأمر نفسه على جميع
~~الأسماء في ms084 لغة الكاريتيانا؛ إذ إن هذه اللغة تفتقر إلى
~~وجود العدد الاسمي (فيما عدا الاستثناء التقني المتمثل في
~~الضمير «نحن»).

# في دراسة شاملة للغاية أجريت على 1066 لغة، اكتشف عالم
~~اللغويات ماثيو دراير مؤخرا أن 98 لغة منها تشبه
~~الكاريتيانا في افتقارها إلى وجود وسيلة نحوية لتمييز الأسماء
~~التي تدل على صيغة الجمع؛ ومن ثم فليس من النادر جدا أن
~~نجد لغات لا تستطيع فيها تحديد ما إذا كان الاسم مفردا أم
~~جمعا. وقد يبدو أمرا غريبا بالنسبة إلى متحدثي اللغات
~~الأوروبية كالإنجليزية، والتي يعد تحديد ما إذا كان الاسم
~~مفردا أو جمعا مهارة أساسية للفصاحة، أن يكون عشر لغات
~~العالم تقريبا لا تستلزم ذلك من المتحدثين بها. غير أن
~~الأمر اللافت للنظر بالنسبة إلي هو أن الغالبية العظمى من
~~لغات العالم، حوالي 90 بالمائة منها، تتضمن وسائل نحوية
~~يستخدمها المتحدثون بها للدلالة عما إذا كانوا يتحدثون
~~عن شيء واحد أو أكثر. وهذه النزعة القوية، التي تتجلى في
~~لغات توجد في مختلف أنحاء العالم ولا يرتبط بعضها ببعض على
~~الإطلاق، تشير إلى أن التمييز بين «المفرد/غير المفرد» هو
~~أمر مهم لنا للغاية في التواصل. ونحن نسلم بصحة هذه
~~الحقيقة، بيد أنه ليس من الواضح بداهة السبب في الإشارة
~~المتكررة لهذا التمييز في حديثنا. ولكي نعرف السبب في
~~تكرار هذا التمييز في حديثنا بهذه الدرجة؛ فقد يكون من
~~المفيد أن ندرس فئات أخرى من العدد النحوي، وهي التي توجد
~~في أنحاء مختلفة من العالم.

# 1

# بدلا من مجرد فصل
~~الأسماء التي تمثل عنصرا واحدا عن تلك التي تمثل أكثر
~~من عنصر، فإن بعض أنظمة الأعداد النحوية تتضمن فئة أخرى
~~يشير إليها علماء اللغة باسم «المثنى». وتستخدم هذه الفئة
~~عند الحديث عن عنصرين بالتحديد. في اللغة العربية على سبيل
~~المثال، تستخدم اللاحقة «ان» للدلالة على المثنى، وثمة
~~لاحقة أخرى للدلالة على الجمع. وبينما قد يبدو ذلك غريبا
~~لمتحدثي اللغة الإنجليزية، فمن المثير للاهتمام أن نشير
~~إلى أن اللغة الهندية الأوروبية الأولية، التي انحدرت ms085 منها
~~اللغة الإنجليزية، كانت تستخدم المثنى على ما يبدو.
~~والدليل على هذا أن اليونانية القديمة والسنسكريتية وغيرها
~~من اللغات التي انقرضت الآن، لكنها من نسل اللغة الهندية
~~الأوروبية الأولية، كانت تستخدم فئة المثنى من قبل؛ ففي
~~اليونانية القديمة على سبيل المثال، كانت

# o
~~hippos

# تشير إلى

# the
~~horse

# أي الحصان، أما

# to
~~hippo

# فتشير إلى

# the two
~~horses

# أي الحصانين، وتستخدم

# hoi hip-poi

# للإشارة إلى

# the horses

# أي 
~~الأحصنة.

# 2

# والواقع أن اللغة الإنجليزية القديمة كانت
~~تستخدم هي الأخرى فئة المثنى، وما تزال لهذه الفئة
~~آثار خافتة في الإنجليزية المعاصرة. وبالرغم من أن
~~اللاحقات الإنجليزية لا تغير الصيغة بناء على ما إذا كانت
~~الإشارة إلى عنصرين فقط أو أكثر من ذلك، فإننا نستخدم
~~كلمات أخرى لتوضيح ذلك الفرق. فحين أقول

# either of them
~~[أي منهما]
~~بدلا من

# any of them
~~[أي
~~منهم] فأنت تفهم أنني أتحدث عن شخصين، وكذلك إذا قلت

# both of them
~~[كلاهما]
~~بدلا من

# all of them
~~[كلهم]
~~فأنت تفهم أيضا أنني أتحدث عن شخصين فقط؛ ومن ثم
~~فبخلاف مفردات العد مثل «اثنين» «وثلاثة» يمكن للإنجليزية
~~أن تعبر عن الفرق بين الإشارة إلى عنصر واحد أو عنصرين أو
~~أكثر من ذلك. بالرغم من ذلك، ففي لغات كالعربية، تستخدم صيغة
~~المثنى بتواتر وانتظام أكثر من ذلك بكثير، وهي تتضح في
~~اللاحقات التي تتبع بها الأسماء. ومن اللغات الحديثة الأخرى
~~التي تستخدم اللواحق للإشارة إلى المثنى، اللغة
~~السلوفينية.

# بعض اللغات الأصلية في القارة الأسترالية تستخدم علامة
~~نحوية للمثنى. لنلق نظرة على الأمثلة التالية من لغة
~~ديربال، وهي لغة مستخدمة في شبه جزيرة كيب يورك:

# جدول 4-4

# Bayi Burbula
~~miyandanyu
~~«ضحكت بربلا»

# جدول 4-5

# Bayi Burbula-gara
~~miyandanyu
~~«ضحكت بربلا وشخص آخر»

# جدول 4-6

# Bayi Burbula-mangan
~~miyandanyu
~~«ضحكت بربلا وأشخاص آخرون»
~~*
~~*

# Robert
~~Dixon,

# The
~~Dyirbal Language of North
~~Queensland
~~(New York:
~~Cambridge University Press, 1972),
~~51.

# توضح هذه الأمثلة أن اللاحقة

# gara

# تستخدم عند الإشارة
~~إلى شخصين، أما اللاحقة

# mangan

# فهي تستخدم عند ms086
~~الحديث عن أكثر من شخصين. غير أن اللاحقة

# gara

# هي علامة مثنى
~~ملحقة، فهي تستخدم لكي تعني في هذه الحالة «بربلا وشخص
~~آخر» وليس «اثنين من بربلا» وهي تلحق بالأسماء الشخصية على
~~عكس علامة الجمع في الإنجليزية. وبعض اللغات الأسترالية الأخرى
~~تستخدم علامات للمثنى تشير إلى الحديث عن اثنين
~~بالتحديد من الاسم المعني، على نحو أكثر مباشرة. وفي لغة
~~كايارديلد، تؤدي اللاحقة

# yarrngka

# تلك الوظيفة؛
~~فكلمة «أخت» على سبيل المثال هي

# kularrin

# أما إذا قال
~~أحدهم:

# kularrinjiyarrngka

# يكون المقصود بها «أختان».

# 3

# في اللغات التي تستخدم المثنى، غالبا ما توجد صيغة
~~المثنى في الضمائر، أو حتى تقتصر عليها. (ولعلك تتذكر من
~~دروس النحو أن الضمائر هي بدائل عن أسماء أخرى، وهي
~~تستخدم بصفة أساسية للإشارة إلى الأشخاص الذين يتحدثون أو
~~إلى الأشخاص الذين يجري الحديث عنهم.) فلنلق نظرة على
~~الضمائر التالية من اللغة الصوربية العليا، وهي إحدى اللغات
~~المستخدمة في إقليم صغير في ألمانيا الشرقية:

# جدول 4-7

# ty

# ja
~~«أنت»
~~«أنا»

# جدول 4-8

# wój

# mój
~~«أنتما الاثنان»
~~«نحن الاثنان»

# جدول 4-9

# wy

# my
~~«أنتم جميعا»
~~*
~~«نحن»
~~*

# Greville
~~Corbett,

# Number
~~(Cambridge:
~~Cambridge University Press, 2000),
~~20.

# يستخدم الضميران الواردان في الجدول

# 4-7

# للإشارة إلى المفرد، فيشير الأول منهما إلى المتكلم
~~والثاني إلى المخاطب. ويستخدم الضميران الواردان في الجدول

# 4-9

# للإشارة إلى الجمع، فالأول منهما
~~يشير إلى المتكلم ويشير الثاني إلى المخاطب. أما الضمائر
~~الواردة في الجدول

# 4-8

# فلا يمكن ترجمتها
~~إلى الإنجليزية دون استخدام الكلمة «اثنين»، بالرغم من عدم
~~الحاجة إلى استخدام كلمة عددية في اللغة الصوربية؛ وذلك لأن
~~الضميرين في الجدول

# 4-8

# يعكسان صيغة
~~المثنى. وعلى الرغم من أن صيغة المثنى أقل شيوعا من
~~صيغة الجمع، فمن الواضح أنها توجد بالفعل في اللغات
~~المعاصرة، وقد كانت توجد أيضا في لغات قديمة.

# تستخدم بعض اللغات ما يسميه علماء اللغويات باسم
~~التصريفات «الثلاثية»، وهي تستخدم عند الإشارة إلى ثلاثة
~~عناصر بالتحديد. بالرغم من ذلك، يبدو أن فئة التصريفات
~~الثلاثية تنحصر في مجموعة صغيرة من ms087 لغات العالم، في بعض
~~اللغات الأسترونيزية على وجه التحديد. فلنتأمل الأمثلة
~~التالية من لغة مولوكو:

# جدول 4-10

# na’a

# aridu

# hima

# Duma

# نملك

# نحن الثلاثة

# الذي

# المنزل
~~«المنزل الذي نملكه
~~نحن الثلاثة»
~~*
~~*

# Wyn
~~Laidig and Carol Laidig, “Larike
Pronouns: Duals and Trials in a Central
~~Moluccan Language,”

# Oceanic
~~Linguistics

# 29 (1990):
~~87-109, 92.

# إن كلمة

# aridu

# في هذه
~~الجملة، تشير إلى ثلاثة أشخاص بالتحديد؛ لذا فهي ضمير
~~ثلاثي.

# مع ذلك، تنتهي قائمة فئات الأعداد الاسمية الدقيقة عند
~~هذا الحد؛ فلسنا نعرف على سبيل المثال أمثلة واضحة على وجود
~~العدد النحوي «الرباعي» في أي من لغات العالم.

# 4

# والفئة الأساسية الوحيدة التي لم أذكرها بعد من فئات
~~العدد النحوي، هي فئة «جمع القلة»، وهي فئة غير شائعة أيضا
~~لكنها تستخدم في بعض اللغات الأسترونيزية للإشارة بصورة غير
~~دقيقة إلى عدد قليل من المعنيين بالحديث. يستخدم جمع
~~القلة، على سبيل المثال، متحدثو لغة البوما الفيجية،
~~الذين يعيشون في قرية يقطنها ستون فردا تقريبا. فإذا كان
~~المتحدث يتحدث مع بضعة أشخاص أو حتى ما يزيد على اثني
~~عشر فردا، فإنه يستخدم ضمير جمع القلة للمخاطب، وهو

# dou
~~، أما إذا كان يتحدث
~~مع القرية بأكملها، فسوف يستخدم ضمير الجمع للمخاطب

# omunuu
~~.

# 5

# إضافة إلى التنوع في وظيفتها، فإن فئات العدد النحوي
~~يمكن أن تختلف بدرجة كبيرة في شكلها. فمثلما رأينا في
~~الجدول

# 4-1

# والجدول

# 4-2

# والجدول

# 4-6
~~، فإن شكل لاحقة الجمع
~~مختلف في لغة ديربال عما هو عليه في الإنجليزية أو
~~البرتغالية على سبيل المثال. بالرغم من ذلك، فعلينا أن
~~نلاحظ أن صيغة الجمع تمثل بلاحقة في اللغات الثلاث؛ إذ
~~إن علامة الجمع تأتي في نهاية الاسم. والحق أن ذلك ليس
~~بالأمر العرضي؛ فاستخدام اللواحق هو الصيغة الأكثر انتشارا
~~على الإطلاق من العدد الاسمي في لغات العالم. واستخدام
~~البادئات ليس نادرا أيضا مع ذلك، فهو يرد في أكثر من 10
~~بالمائة من اللغات التي يبلغ عددها 1066، والتي وردت في
~~الدراسة سالفة الذكر التي أجريت على معظم لغات ms088 العالم
~~بشأن العدد النحوي. وفيما يلي سنورد مثالا على العدد
~~الاسمي باستخدام البادئات وهو من اللغة السواحلية:

# جدول 4-11

# me-no

# ji-no
~~«أسنان»
~~*
~~«سن»
~~*

# Thomas
Payne,

# Describing Morphosyntax
~~(Cambridge: Cambridge University Press,
~~1997), 109.

# قد يتخذ العدد الاسمي صيغا أكثر غرابة بخلاف
~~العلامات التي تلحق ببداية الاسم أو نهايته. وفي بعض الحالات
~~الغريبة فإن قواعد النحو تقضي بإلحاق علامة الجمع في منتصف
~~الكلمة، وذلك من خلال عملية تدعى باسم «الدمج الوسطي»
~~فلنلق نظرة على زوجي الكلمات التالي من لغة توالي
~~إيفوجاو، وهي من اللغات الأصلية في الفلبين:

# جدول 4-12

# binabai

# babai
~~«نساء»
~~*
~~«امرأة»
~~*

Payne,

# Describing
~~Morphosyntax
~~,
~~98.

# نلاحظ أن العلامة الوسطية

# in

# تضاف في منتصف كلمة

# babai

# لكي تصبح
~~جمعا.

# ومن الطرق الغريبة التي تستخدم أيضا في جمع الأسماء في
~~بعض اللغات، هي ما يطلق عليه علماء اللغويات مصطلح
~~«المضاعفة». وفي المضاعفة يعمد إلى تكرار مقطع واحد أو
~~أكثر من مقاطع الكلمة؛ للدلالة على أن هذا الاسم المحدد
~~يشير إلى أكثر من عنصر واحد. وتستخدم لغة توالي إيفوجاو
~~المضاعفة أيضا، كما هو الحال في المثال التالي، الذي نجد
~~فيه أن المقطع الأول يكرر للدلالة على الجمع:

# جدول 4-13

# tatagu

# tagu
~~«أشخاص»
~~*
~~«شخص»
~~*

Payne,

# Describing
~~Morphosyntax.

# ولا تتوقف قائمة الحيل التي تستخدمها القواعد اللغوية
~~لتحويل الأسماء المفردة إلى صيغة الجمع عند ذلك الحد؛ ففي
~~حالة «التعويض»، على سبيل المثال، تستخدم كلمة مختلفة
~~تماما للتعبير عن صيغة الجمع من الاسم المفرد؛ ففي اللغة
~~العربية المعاصرة نجد الاسم المفرد «امرأة» وجمعه «نساء».
~~وفي لغة الإندو المستخدمة في كينيا،
~~نجد أن الكلمة التي تشير
~~إلى «ماعز» هي

# aráan

# أما الجمع
~~«معز» فتشير إليه الكلمة

# no
~~.
~~والجموع التي تصاغ باستخدام التعويض هي من الجموع التي يصعب
~~تعلمها؛ إذ لا بد من حفظ صيغة المفرد والجمع. وبعض أنظمة
~~العدد النحوي الأخرى أكثر صعوبة في تعلمها؛ فاللغة
~~اللاتينية والروسية وبعض اللغات الأخرى، تستخدم لاحقات
~~عددية مختلفة تماما، وفقا لحالة الاسم في الجملة، أي ما
~~إذا كان فاعلا أو مفعولا به.

# ويمكننا ms089 أن نستخلص بعض الاستنتاجات من هذا الاستعراض
~~الموجز للعدد النحوي في الأسماء في لغات العالم؛ فمثلما
~~رأينا في الفقرات السابقة، يمكن لشكل العدد الاسمي أن
~~يختلف بدرجة كبيرة، وهو يظهر في معظم اللغات من خلال
~~اللواحق، غير أننا نجد أنه ينعكس في البادئات في بعض اللغات،
~~أو ينعكس من خلال بعض الأشكال الأكثر غرابة، مثل المضاعفة
~~في عدد قليل من اللغات. وقد لاحظنا أيضا أن بعض اللغات
~~مثل الكاريتيانا، لا تستخدم العدد الاسمي على الإطلاق.
~~وبالرغم من وجود أنواع عديدة من العدد الاسمي، فإن لغات
~~العالم تعكس توجهات واضحة فيما يتعلق بوظيفة هذه
~~الظاهرة النحوية؛ فمعظم اللغات تتضمن فئة للمفرد وفئة
~~للجمع، وبعضها يتضمن فئة للمفرد وأخرى للمثنى وأخرى للجمع،
~~وأخيرا، تتضمن قلة من اللغات تصريفات ثلاثية. بالرغم من
~~ذلك، فما من لغة في العالم تستخدم وسيلة نحوية للإشارة إلى
~~وجود 4 عناصر من الاسم أو 5 أو 6 أو غيرها من الكميات الكبيرة،
~~وتلك نقطة أساسية، فلا بد لها من استخدام كلمات الأعداد
~~للإشارة إلى تلك الكميات. من الواضح إذن أن لغات العالم
~~تميل إلى التمييز بين الكميات 1 و2 و3، على وجه التحديد، بينما
~~تميل إلى التمييز بين جميع الكميات الأخرى بشكل تقريبي.
~~ومثلما سنرى فيما يلي، فمن المرجح أن يكون هناك أساس
~~بيولوجي عصبي لمثل هذه النزعة.

# 6

# العدد في أنواع أخرى من الكلمات

# بالرغم من أن العدد النحوي يتضح عادة في الأسماء؛ إذ
~~إنه يشير في العادة إلى عدد الأشخاص أو غيرها من العناصر التي
~~يجري الحديث عنها، يمكن للغات أن تغير أجزاء أخرى من
~~الجملة وفقا للكميات التي تجري مناقشتها؛ ففي العادة،
~~تقتضي اللغات تغييرا في
~~شكل الفعل بناء على عدد العناصر التي تمثل فاعل الجملة،
~~وهذا النمط مألوف لمتحدثي الإنجليزية وغيرها من اللغات
~~الأوروبية. فلنلق نظرة على الزوجين التاليين من
~~الجمل:

# جدول 4-14

# The cars are
~~fast

# The car is
~~fast
~~«السيارات سريعة»
~~«السيارة سريعة»

# جدول 4-15

# They run
~~slowly

# He runs
~~slowly
~~«هم ms090 يجرون ببطء»
~~«هو يجري ببطء»

# في الزوجين الأولين، نرى أن فعل الكينونة في
~~الإنجليزية يتغير من صيغته

# is

# إلى

# are

# بناء على ما إذا كان
~~الفاعل في صيغة المفرد أو الجمع. وفي الزوجين الآخرين من
~~الجمل، نرى أن الفعل تضاف إليه اللاحقة

# s

# حين يكون الفاعل في صيغة
~~المفرد، ولا تضاف إليه أي لاحقة حين يكون الفاعل في صيغة
~~الجمع. وفي هذا المثال أيضا، توضح لنا اللاحقة معلومات عن
~~زمن حدوث الجري. (لا تستخدم الصيغة

# he
~~runs

# إلا في المضارع.) وحقيقة الأمر أن
~~لواحق الأفعال غالبا ما تخلط بين العدد النحوي وفئة أخرى،
~~كالزمن مثلا؛ فأحيانا تكون اللغات فوضوية.

# لنلق نظرة على هذين الزوجين من الجمل أيضا، واللذين
~~يوضحان العدد النحوي من خلال الاتفاق بين الفاعل والفعل،
~~وهما من اللغة البرتغالية:

# جدول 4-16

# Eles foram
~~ontem

# Ele foi
~~ontem
~~«هم ذهبوا بالأمس»
~~«هو ذهب بالأمس»

# جدول 4-17

# As mulheres jogaram
~~futebol

# Marta jogou
~~futebol
~~«النساء لعبن كرة القدم»
~~«مارتا لعبت كرة القدم»

# تتغير صيغة الفعل

# foi
~~(«ذهب») إلى

# foram

# في الجدول

# 4-16

# وفقا لعدد الأشخاص الذين ذهبوا
~~في اليوم السابق. وفي الجدول

# 4-17
~~، تتغير
~~اللاحقة المضافة إلى الفعل

# jogou

# وفقا لعدد الأشخاص
~~الذين يلعبون، وما إذا كان شخص واحد هو الذي يلعب أم أكثر.
~~إن الجمل في الجداول من (

# 4-14

# إلى

# 4-17
~~) تعكس استراتيجية عادة ما
~~تستخدمها لغات العالم، وهي تتمثل في تغيير الفعل حين يكون
~~فاعل الجملة في صيغة الجمع. وفي بعض اللغات نجد تعديلا على
~~هذه الاستراتيجية، ونجد أن الفعل فيها يوافق المفعول لا
~~الفاعل. ونجد ذلك في اللغة الأوروبية المنعزلة «البشكنشية»
~~ونحن ندعوها «منعزلة» لأنها لا ترتبط بغيرها من اللغات
~~المعروفة:

# جدول 4-18

# di-tut

# Irakurri

# luburuak

# Nik

# الزمن الماضي لصيغة الجمع للغائب

# يقرأ

# الكتب

# أنا
~~«أنا قد قرأت الكتب»
~~*
~~*

# Jon Ortiz
~~de Urbina,

Parameters in the Grammar of
~~Basque
~~(Providence, RI:
~~Foris, 1989). Technically the verb
~~agrees in number with the 'absolutive’
~~noun, not the object, but this ms091
~~distinction is not important to our
~~discussion.

# في هذا المثال، نجد أن الفعل المساعد

# tut
~~(والذي يمثل صيغة
~~الماضي)، مسبوق بالبادئة

# di

# التي تشير إلى أكثر من كتاب واحد قد جرت قراءته.

# لقد بدأنا ندرك بالفعل أن العدد النحوي ينتشر في الكثير
~~من لغات العالم، لكنه يتخذ العديد من الأشكال المختلفة.
~~فيمكن الإشارة إليه ببساطة من خلال إضافة لاحقة جمع إلى
~~الاسم، أو من خلال استخدام ضمير المثنى الذي يشير إلى
~~شخصين، أو بإضافة بادئة إلى الفعل تتفق مع عدد الاسم
~~الموجود في مكان ما بالجملة، أو من خلال غير ذلك من
~~التغيرات التي تطرأ على الأسماء والأفعال.

# ولا يتوقف الأمر في
~~اللغات عند هذا الحد؛ فلنتأمل أدوات التنكير في اللغة
~~الإنجليزية [

# a/an
~~]. يمكننا أن
~~نقول:

# a car

# أو

# a computer

# غير أنه لا
~~يمكننا أن نقول:

# a cars

# أو

# a computers
~~. بالرغم من
~~أن أداة التنكير

# a

# ليست
~~كلمة عددية، فهي تمدنا ولا شك بمعلومات عن الكمية.
~~والعديد من اللغات الأخرى تتشارك هذه السمة أيضا، ويستخدم
~~المتحدثون بها أدوات مختلفة وفقا للكميات التي يشار
~~إليها في الجملة. ففي الألمانية على سبيل المثال، يمكننا أن
~~نقول:

# das Auto

# أي «السيارة»،
~~غير أنه يتحتم علينا أن نغير أداة التعريف

# das

# إلى

# die

# عند استخدام الاسم في
~~صيغة الجمع

# Autos
~~. ولنتأمل
~~أيضا استخدام أدوات الإشارة في اللغة الإنجليزية مثل

# this

# أو

# that

# وهما يوضحان
~~الكيان المحدد الذي يجري الحديث عنه، مع الإشارة إلى مدى
~~قرب هذا الكيان من المتحدث. فيمكنني أن أقول مثلا:

# this pen here
~~[أي «هذا
~~القلم هنا»] أو

# that pen over
~~there
~~[أي «ذلك القلم هناك»]. بالرغم من
~~ذلك، فإذا كنت أتحدث عن أكثر من قلم واحد هنا أو هناك،
~~فسوف أحتاج إلى تغيير اسم الإشارة الذي أستخدمه، وأستخدم بدلا
~~منه

# these pens here
~~[أي «هذه
~~الأقلام هنا»] أو

# those pens over
~~there
~~[أي «تلك الأقلام هناك»].

# تستخدم بعض اللغات كلمات تتشابه في معناها ووظيفتها مع
~~أسماء الإشارة، وهي ms092 ما يدعوه علماء اللغويات باسم
~~«المصنفات». والمصنفات هي كلمات أو أجزاء من الكلمات
~~تصنف الأسماء التي تليها، وهي لا تصنف الأسماء وفقا
~~للمسافة مثل أسماء الإشارة، بل وفقا لكونها عاقلا أم غير
~~عاقل، أو وفقا لوظيفة ما يشير إليه الاسم. ومن المثير
~~للاهتمام أن المصنفات غالبا ما تضاف إلى مفردات الأعداد
~~عند عد بعض الأشياء. فلندرس الأمثلة التالية من لغة
~~الياجوا، وهي لغة أصلية مستخدمة في شمال غرب إقليم
~~الأمازون:

# جدول 4-19

# Varturu

# tï-kï ï

# امرأة (متزوجة)

# مصنف للعدد واحد
~~«امرأة واحدة متزوجة»

# جدول 4-20

# Vaada

# tïn-see

# بيضة

# مصنف للعدد واحد
~~«بيضة واحدة»
~~*
~~*

Payne,

# Describing
~~Morphosyntax,

# 108.

# تختلف اللاحقة المصنفة المضافة إلى العدد «واحد» بناء
~~على ما إذا كنا نتحدث عن شخص أو بيضة. وتستخدم العديد
~~من اللغات مصنفات تظهر في أثناء العد، ومنها اثنتان من
~~أكثر اللغات انتشارا في العالم؛ لغة الماندرين، واللغة
~~اليابانية. وفي بعض لغات المايا تصنف الأسماء إلى عشرات
~~الفئات التي تتضح عند العد؛ فتستخدم اللغة الإنجليزية
~~بعض ملامح نظام المصنفات. عند استخدام الأسماء المفردة
~~المعبرة عن الجمع مثل «رمل» و«تراب» و«طين» لا بد لنا من
~~تصنيف أشكالها؛ فلا يمكننا أن نقول مثلا: «ثلاثون طينة» أو
~~«ثلاثون ترابة» أو «ثلاثون رملة». ولكي يمكننا أن نستخدم مثل
~~هذه العبارات بما يتناسب مع قواعد اللغة، فسوف نحتاج إلى أن
~~نضيف كلمات مثل «كتل من الطين» أو «أكوام من التراب» أو
~~«حبات من الرمل» مع الاحتفاظ بالاسم في صيغة المفرد. أما
~~الأسماء «المعدودة»، مثل «سيارات وأقلام رصاص وكتب»، فهي لا
~~تتطلب مثل هذه المساعدة؛ فعبارة «ثلاثون سيارة» مفهومة
~~ومنطقية تماما، أما «ثلاثون من كتل السيارات» فهي ليست
~~كذلك.

# من الجلي أن القواعد اللغوية تستخدم طرقا عديدة
~~للتمييز بين كميات العنصر المشار إليه في الحديث. بالرغم من
~~ذلك، فعلينا أن نلاحظ أن هذه الطرق جميعها، بما فيها
~~الظواهر النحوية على مثال الاتفاق بين العدد والفعل وأدوات
~~التنكير للمفرد، مخصصة لتقسيم كميات صغيرة، لا سيما
~~الكمية 1 ثم 2 و3 بدرجة أقل ms093 من الكميات الأخرى. إن العدد
~~النحوي تقريبي فحسب، خاصة حين يتعلق الأمر بالكميات
~~الأكبر. وتتضح هذه النزعة إلى التقريب أيضا في المفردات
~~الفعلية للأعداد، التي تعبر عن الكميات. لقد ركزنا في
~~الفصل الثالث على الكلمات التي تعبر عن كميات محددة، غير
~~أنه يجدر بنا أن نشير هنا إلى أن اللغات تستخدم كلمات
~~مشابهة للأعداد، لكنها غير دقيقة تماما. ففي اللغة
~~الإنجليزية مثلا نجد كلمات مثل:

# a
~~few

# أي بضعة، ونجد

# a
~~couple

# أي قليل، ونجد

# many

# أي كثير، وكذلك

# several

# أي عدة، وما إلى
~~ذلك من الكلمات. والأرجح أن مثل هذه المصطلحات توجد في جميع
~~اللغات؛ ولهذا فسوف تكون الأمثلة عليها كثيرة للغاية. ففي لغة
~~المايا اليوكاتية على سبيل المثال، نجد كلمات مثل

# yá’ab’

# التي تعني
~~«العديد» أو «الكثير».

# 7

# وربما يكون الأمر الغريب هو أن بعض اللغات
~~تعتمد كليا أو في الغالبية العظمى من الحالات على مثل هذه
~~الكلمات العددية التقريبية عند وصف الكميات، وسوف نلقي نظرة
~~على تلك اللغات في الفصل الخامس حين نناقش الشعوب
~~اللاعددية.

# يمكن استخدام بعض المفردات العددية غير الدقيقة للإشارة إلى
~~الحديث عن أكثر من واحد من نوع محدد من العنصر المعني.
~~فإذا كنت أتحدث مثلا عن مجموعة من الحيوانات ذات الحوافر،
~~يمكنني أن أستخدم كلمة

# herd
~~[أي «قطيع»]، وإذا كنت أتحدث عن مجموعة كبيرة العدد أيضا
~~من الحيوانات السابحة، يمكنني أن أقول مثلا:

# school of fish
~~[أي «سرب»
~~من الأسماك] أو

# pod of
~~dolphins
~~[أي «سرب» من الدلافين]. وتوجد
~~العشرات من مثل هذه الكلمات التي تطلق على مجموعات
~~الحيوانات في اللغة الإنجليزية، ومنها كلمة

# gaggle

# والتي تشير إلى
~~مجموعة من الإوز إن لم تكن تطير، فإذا كانت تطير أصبح
~~المصطلح الأنسب لها هو

# skien

# هذا على الأقل إن كنت من المدققين. أما إن كنت أتحدث عن
~~مجموعة من البط، لا الإوز، فسوف أستخدم مصطلح

# flock
~~. والحق أن
~~العديد من متحدثي الإنجليزية لا يدركون الفرق بين هذه
~~المصطلحات، وهو أمر مفهوم نظرا لفائدتها المحدودة، ms094 غير أن
~~هذه الفروق موجودة على أي حال، وهي تشير إلى وجود طريقة أخرى
~~تستخدمها اللغات لتأكيد الفرق بين ما هو واحد وما هو أكثر من
~~واحد.

# وتظهر هذه الفروق أيضا في الاختلافات الغريبة بين الأفعال؛
~~فإذا كنت أشاهد مثلا فيلا واحدا يتحرك بسرعة، يمكنني أن
~~أستخدم الفعل

# run
~~[أي يجري]،
~~أما إذا كان هناك مجموعة كبيرة من الأفيال تتحرك بالطريقة
~~نفسها، فقد أستخدم الفعل

# stampede

# في وصف حركتها
~~[بمعنى تندفع]. وهذا التغيير في الفعل يعود إلى تغير عدد
~~الأفيال وليس إلى عدد المرات التي جرى فيها فيل معين.
~~والأمر المثير أن بعض اللغات تستخدم مثل هذه الاختلافات
~~بين الأفعال للإشارة إلى عدد المرات التي وقع فيها حدث
~~معين، وليس إلى عدد العناصر التي يتضمنها الحدث. تتضح
~~هذه الظاهرة، التي تعرف باسم «تكرار الفعل»، في لغة الهوسا
~~التشادية المستخدمة في الساحل الأفريقي؛ ففي هذه اللغة على
~~سبيل المثال، نجد أن الفعل

# aikee

# معناه «يرسل» وكذلك
~~الفعل

# a’’aikee

# يؤدي المعنى
~~ذاته، غير أن البادئة

# a’’

# في
~~النسخة الثانية من الفعل تعني أن شيئا ما كان يرسل
~~مرارا وتكرارا؛ ومن ثم فإن الفعل يتغير وفقا لعدد
~~مرات وقوع فعل الإرسال، لا وفقا لعدد الأشخاص الذين
~~يرسلون أو يرسل إليهم، ولا عدد الأغراض التي
~~ترسل.

# وتتضمن لغة الكاريتيانا الأمازونية أفعالا خاصة تشير
~~معانيها إلى اشتراك العديد من العناصر في الحدث، وذلك مفاجئ
~~بعض الشيء؛ فمثلما ذكرت سابقا في هذا الفصل، لا تستخدم
~~لغة الكاريتيانا العدد الاسمي (فيما عدا الاختلافات بين
~~الضمائر). وما تستخدمه هذه اللغة هو بضعة أفعال تنطوي على
~~معنى الجمع. فعلى سبيل المثال الفعل

# ymbykyt

# الذي يعني أن
~~«العديد من الأشخاص يصلون» والفعل

# piit

# الذي يعني «يأخذ
~~مجموعة من الأشياء»، ويستخدم هذا الفعل بصرف النظر عن عدد
~~الأشخاص الذين يقومون بفعل الأخذ. وتستخدم بعض الأفعال
~~«الدالة على الجمع» عند وصف أفعال مثل «الجري» «والذهاب»
~~«والطيران». وفي دراسة موجزة أجريتها على أربعة وعشرين
~~فردا من متحدثي لغة الكاريتيانا، توصلت إلى أدلة تؤكد ms095
~~أن استخدام الأفعال الدالة على الجمع يؤثر في طريقة تفكير
~~المتحدثين في أفعال محددة، مقارنة بمتحدثي لغات
~~أخرى كالإنجليزية، التي لا تستخدم مثل هذه
~~التنويعات.

# 8

# غالبا ما ينظر إلى
~~العدد النحوي بوصفه تمييزا بسيطا بين الأسماء في صيغة المفرد
~~والأسماء في صيغة الجمع. وقد رأينا أن الأمر أكثر من ذلك؛
~~فالعدد النحوي يوجد في كل لغات العالم تقريبا، غير أنه
~~وحش يتمتع بالقدرة على تغيير شكله. فنجده في العديد من
~~اللغات يتخذ شكل اللواحق التي تشير إلى الاختلافات بين
~~الكميات. لكن في بعض الأحيان لا تكون هذه الاختلافات بسيطة
~~كالاختلاف بين «واحد» في مقابل «الكثير»؛ فقد تقسم هذه
~~الاختلافات خط الأعداد بطرق أكثر تحديدا، ربما في صورة
~~«واحد» في مقابل «اثنين» في مقابل «الكثير». علاوة على ذلك،
~~فقد رأينا أن العدد النحوي لا يظهر في الأسماء فقط،
~~فالأفعال أيضا يمكن أن تدل على كمية ما يشار إليه في
~~الحديث، أو تشير إلى كمية الأفعال التي يصفها الحديث.
~~ولدينا أيضا بعض الكلمات الأخرى، كأدوات التنكير
~~والمصنفات، التي تعكس نزعة البشر إلى الإشارة إلى الكميات،
~~حتى وإن كانت هذه الكميات تبدو غير وثيقة الصلة على
~~الإطلاق بمحادثة معينة. واللغات لا تعكس هذه النزعة لدى
~~البشر فحسب، بل إنها تعزز من تركيزنا على الأعداد؛ إذ هي
~~تقتضي الإشارة إلى الكميات على الدوام.

# وبالرغم من الطبيعة المتنوعة التي يتسم بها العدد
~~النحوي، فقد رأينا أيضا نزعات قوية جدا في قواعد اللغات
~~في العالم فيما يتعلق بهذه الظاهرة؛ أولا: تتضمن
~~الغالبية العظمى من لغات العالم ظاهرة العدد النحوي؛ فهو أحد
~~أكثر السمات انتشارا في القواعد اللغوية على مستوى العالم،
~~التي يزداد إدراكنا لتنوعها الكبير. ثانيا، وهو ما لا
~~يقل أهمية عن النقطة الأولى على الإطلاق: فبالرغم من أن
~~استراتيجيات العدد النحوي تتخذ أشكالا متفاوتة في لغات
~~العالم، فإن وظيفتها تظل متشابهة بدرجة كبيرة. فقبل كل
~~شيء، تميل القواعد اللغوية إلى تقسيم الكميات إلى واحدة من
~~فئتين: 1 أو كل شيء فيما عدا 1. وفي الحالات ms096 التي تلجأ فيها
~~القواعد اللغوية إلى فئات أكثر دقة، فإنها تظل محددة
~~بشكل كبير؛ فالقواعد اللغوية تشير إلى ثلاث كميات محددة،
~~وهي 1 و2 و3، وهذا على أكثر تقدير، فما من لغة تستخدم
~~اللواحق على سبيل المثال، لتشير تحديدا إلى 5 أو 10، بالرغم
~~من انتشار النمط الخماسي والنمط العشري في الأعداد على مستوى
~~العالم. ونظرا إلى نطاق المعاني الضمنية التي تشير إليها
~~جميع أنواع البادئات واللواحق في لغات العالم، فإن نطاق
~~الكميات المحدد، الذي يشير إليه العدد النحوي، بارز بدرجة
~~كبيرة. وكل ذلك يطرح أمامنا سؤالا واضحا: ما السبب في أن
~~القواعد اللغوية لدى البشر تركز كل هذا التركيز على
~~الكميات، غير أنه تركيز ضبابي فحسب، ما لم تكن هذه الكميات
~~هي 1 أو 2 أو 3؟ إننا حين نتحرى الدقة عند الإشارة إلى
~~كميات أكبر من 3، نحتاج إلى استخدام مفردات الأعداد بدلا من
~~العدد النحوي. فيبدو الأمر كما لو أن تمييز الكميات الكبيرة
~~بدقة ليس بالأمر الذي نفعله بتلقائية، على العكس من تمييز
~~الكميات 1 و2 و3. ولكي نفهم السبب في أننا نستطيع التمييز
~~بين كميات معينة بدرجة أكبر من التلقائية؛ نحتاج إلى أن
~~نوجه النظر إلى الأداة الدماغية التي نستخدمها لفهم
~~الكميات.

# الأساس البيولوجي العصبي للعدد النحوي

# الثلم داخل الفص
~~الجداري هو أحد الوديان العديدة الموجودة في الدماغ البشري.
~~وهو يمتد أفقيا في الفص الجداري، بداية من الجزء المركزي
~~في القشرة باتجاه المؤخرة. والثلم داخل الفصل الجداري هو
~~أحد منابع التفكير العددي، وهي نقطة سنعرضها بقدر أكبر من
~~التفصيل في الفصل الثامن. ومن الأمور الغريبة بشأن التفكير
~~العددي الذي يحدث فيه، هو أن جزءا منه فطري من ناحية
~~التطور البيولوجي للفرد، وكذلك من ناحية تطور النوع على حد
~~سواء. ومعنى هذا أن جزءا من هذا التفكير يحدث في مرحلة
~~مبكرة من تطورنا (التطور البيولوجي للفرد) وهو يبدو أيضا
~~قديما في نوعنا والأنواع المرتبطة به (تطور النوع). فالبشر
~~وغيرهم من الأنواع القريبة منهم مهيئون للتفكير العددي
~~بدرجة ما.
~~«بدرجة ما»، ms097 وهذه «الدرجة» من النقاط الأساسية التي نركز
~~عليها في هذا الكتاب: إن الأدوات العددية التي تمنحنا
~~إياها أدمغتنا بمعزل عن الثقافة، كليلة للغاية، غير أنها
~~موجودة بالتأكيد. ويبدو أن إحدى السمات المميزة للمعالجة
~~العددية الأصلية التي تحدث في الثلم داخل الفص الجداري، وهو
~~أمر تتحكم فيه طبيعتنا البيولوجية العصبية الفطرية لا
~~الأعراف الثقافية، تحفز أنماط القواعد اللغوية التي
~~وضحناها في الأقسام السابقة. فمن الواضح أن البشر
~~مهيئون فطريا للتمييز بين الكميات الصغيرة، لا سيما 1 و2
~~و3، وبينها وبين الكميات الكبيرة؛ فتمييز الكمية 1 مثلا عن أي
~~كمية أخرى، هو أمر فطري لدينا.

# لقد أوضح عدد كبير من الأبحاث في علم النفس الإدراكي
~~والعلوم العصبية وغيرها من المجالات المتعلقة بالموضوع، أن
~~البشر يستطيعون أن يميزوا الكميات الصغيرة من الأشياء
~~بسرعة، وذلك قبل أن يتلقوا أي تدريب في الرياضيات.
~~(سنشرح هذه النقطة بمزيد من الوضوح في مناقشتنا للإدراك لدى
~~الأطفال في الفصل السادس.) وهذه القدرة على تتبع الأشياء قد
~~أصبحت ممكنة من خلال سمات بيولوجية عصبية أساسية
~~كالثلم داخل الفص الجداري، وهي تمكننا من التمييز بين
~~المجموعات التي تتكون من 1 أو 2 أو 3 من العناصر، بسرعة
~~ودقة. بالرغم من ذلك، فحين يتعلق الأمر بالكميات
~~الكبيرة، فإن آلياتنا العصبية الفطرية لا تمدنا إلا
~~بوسائل ضبابية للتفريق بين الكميات. فلننظر إلى هذا المثال
~~الدرامي بصفته توضيحا لمدى فاعلية قدرتنا الطبيعية على
~~تمييز الكميات الصغيرة. فلنقل مثلا: إنك تسير في أحد أزقة
~~مدينة نيويورك، وقد رأيت مجموعة صغيرة من المجرمين مجهولي
~~الهوية يراقبون شخصا قد هاجموه للتو. فإن كان المهاجمون
~~ثلاثة أو أقل، ولم يكن لديك إلا ثانية أو أقل لكي تعالج
~~المشهد بصريا، فسوف تتمكن من تمييز عدد المجرمين
~~الموجودين. وإذا استجوبك ضباط الشرطة فيما بعد فسوف
~~تتمكن من إخبارهم بثقة بعدد المجرمين الذين رأيتهم، هذا
~~على افتراض أنه كان يمكن تمييزهم بصريا. وفي المقابل،
~~لنقل مثلا: إنك كنت تسير في الزقاق نفسه لكنك قد رأيت
~~ستة مجرمين يهاجمون شخصا ما، ms098 فهل كنت ستتمكن من أن تقول
~~بدقة وثقة كم كان عدد المهاجمين إن لم يكن لديك سوى جزء من
~~الثانية لتعالج الأمر قبل أن يبتعدوا (أو تبتعد أنت)؟ كلا،
~~فحين يطلب من الأشخاص أن يحددوا عددا معينا من
~~العناصر بسرعة، مثل مجموعة من الأفراد الذين يمكن التمييز
~~بينهم بصريا؛ فهم لا يستطيعون إلا قول العدد التقريبي إن كان
~~هذا العدد يتجاوز 3.

# حين يتعلق الأمر بالكميات التي تزيد عن 3، فإننا نكون 
~~أفضل في تمييز المجموعات التي تختلف عن بعضها اختلافا
~~ملحوظا؛ ومن ثم إذا سألك ضابط الشرطة عما إذا كان عدد
~~المهاجمين 6 أو 7، فقد تجيب بإجابة خاطئة؛ لأن الفرق
~~بين 6 و7 ليس فرقا ملحوظا. لكن إذا تصادف أن ضابط الشرطة
~~يعرف أنها إما إن تكون عصابة من 6 أفراد أو عصابة من 12
~~فردا، وأعطاك الاختيار بين 6 و12، فسوف تجيب إجابة صحيحة؛
~~لأن 12 أكبر من 6 بنسبة 100 بالمائة. بالرغم من ذلك، فلكي
~~نكون دقيقين بشأن إدراك الكميات مثل 6، نحتاج إلى عد العناصر
~~المعنية. فتقرير الشرطة المستند إلى شهادتك العيان سيكون
~~دقيقا إلى حد ما في السيناريو الأول الذي طرحناه لما حدث
~~في الزقاق، أما شهادتك الثانية فسوف تكون مبهمة؛ ربما شاهدت
~~ستة مهاجمين بالفعل، لكن عند التفكير في الأمر مرة أخرى،
~~ربما كانوا خمسة أو سبعة، أو ربما - فقط ربما - كانوا ثمانية.
~~إذا لم تتسن لك فرصة عدهم، وتستخدم هذه الرموز اللفظية
~~للكميات، والتي نسميها مفردات الأعداد، فلن تكون روايتك
~~جديرة بالثقة؛ فالآليات الوراثية المتأصلة في الثلم
~~داخل الفص الجداري وغيرها من المناطق الموجودة في القشرة
~~الدماغية، لا تستطيع سوى تمييز الكميات الصغيرة، مثلما تشير
~~إلى ذلك الدراسات التجريبية ودراسات تصوير الدماغ.

# قد تبدو هذه النقطة واضحة بطريقة ما، فتمييز الكميات
~~الصغيرة أسهل بالتأكيد، لكن ما نفترضه هنا بناء على
~~دراسات موسعة قد أجراها العديد من الباحثين، هو ليس ذلك
~~فحسب؛ فالبشر ليسوا أفضل قليلا فحسب في تمييز الكميات
~~الصغيرة، ولا يقتصر الأمر على أن تشوشنا ms099 الرياضي يزداد
~~تدريجيا وفقا لزيادة العناصر التي يستقبلها إدراكنا، بل
~~توجد فجوة واضحة بين كيفية تفكيرنا في الكميات 1 و2 و3،
~~مقارنة بجميع الكميات الأخرى. وبعبارة أخرى، نحن مهيئون
~~فطريا للتفكير في هذه الكميات بدقة، مع التفكير بشأن جميع
~~الكميات الأخرى بشكل تقريبي. ومثلما يشير عالم النفس
~~المرموق ستانيسلاس ديهان، فإننا نمتلك «حاسة عددية» وهو ما
~~يساعدنا على تمييز بعض الكميات بدقة. إن أدمغتنا على
~~وجه التحديد، ولا سيما الثلم داخل الفص الجداري الموجود في
~~أدمغتنا، بها حاستان عدديتان؛ حاسة عددية دقيقة،
~~وحاسة عددية تقريبية. وفي حقيقة الأمر، فإن الحاسة
~~العددية الأولى هي القدرة على متابعة الأشياء، والتي يشار
~~إليها عادة باسم نظام «التفرد المتوازي» ولهذا فهي تسمح
~~لنا بأكثر من مجرد التفكير الكمي. غير أن إحدى خصائصها
~~هي أنها تمكننا من تمييز المجموعات التي تتكون من
~~كميات صغيرة بدقة، مثل مجموعة تتكون من 1 أو 2 أو 3 من
~~المهاجمين. ولذلك السبب فسوف أشير إليها باسم «الحاسة
~~العددية الدقيقة»، وهو مصطلح يسهل تذكره؛ إذ يقابل مصطلح
~~«الحاسة العددية التقريبية». وتمكننا الحاسة الأخيرة من
~~تقدير الكميات الكبيرة، كالمجموعات التي تتكون من 5 إلى 7 من
~~المهاجمين. وهاتان الحاستان، اللتان سنناقشهما بمزيد من
~~التفصيل في الفصول التالية، هما وحدتا البناء للقدرة على
~~التسويغ المنطقي الكمي، التي يتميز بها نوعنا، لكنهما لا
~~تفسران التفكير الرياضي بأكمله بالتأكيد.

# 9

# ومن الواضح أن هذه الخلفية بشأن طبيعتنا البيولوجية
~~العصبية الأساسية، تلقي ضوءا جديدا على ما كنا نتناوله من
~~مناقشة بشأن العدد النحوي؛ أولا: من المحتمل أن تكون
~~الطبيعة البيولوجية العصبية العددية المتأصلة في نوعنا،
~~تعزز إحدى النتائج الأساسية التي توصلنا لها من دراستنا
~~الاستقصائية، وهي أن العدد النحوي منتشر في كل مكان. إنه
~~يوجد في الغالبية العظمى من اللغات، وعادة ما يكون له آثار
~~بارزة في كيفية تكوين الأفراد للجمل والكلمات المفردة، في
~~اللغات التي يوجد فيها، ويمكن أن يظهر في الأسماء والأفعال
~~والأدوات والمصنفات وغيرها من أنواع الكلمات. ثانيا: حين
~~يشير العدد النحوي ms100 إلى كميات محددة، فإنها تكون محددة
~~للغاية؛ فهو يميز بين 1 وبين الكميات الأخرى، ويمكن
~~استخدامه أيضا للإشارة إلى الكمية 2 و3، على وجه التحديد.
~~ثالثا: غالبا ما يشير العدد النحوي إلى الكميات الكبيرة،
~~لكن ذلك دائما ما يكون على نحو تقريبي.

# لقد رأينا في الفصل الثالث أن معظم الأنظمة العددية
~~تحفزها الطبيعة البيولوجية البشرية. وفي الغالبية العظمى
~~من اللغات، تبدي الأعداد ارتباطا تاريخيا واضحا مع
~~الأصابع والأيدي. وتوضح لنا النتائج التي يتناولها هذا
~~الفصل أن العدد النحوي أيضا له سمات مشتركة عبر لغات
~~العالم، غير أننا لا نعزو السبب في وجود هذه السمات
~~المشتركة إلى صفات الأطراف البشرية، بل يبدو أنها تنبع من
~~سمات الدماغ البشري. إن قواعدنا اللغوية تشير إلى المفاهيم
~~العددية التي يصفيها دماغنا أو الثلم داخل الفص الجداري
~~على وجه التحديد، بصورة فطرية وبسهولة، وليس ذلك من قبيل
~~المصادفة.

# إذا كان ما اقترحناه من العوامل التي تحفز وجود مفردات
~~الأعداد والعدد النحوي دقيقا، فقد نتوقع أن مفردات
~~الأعداد التي تعبر عن الكميات الصغيرة للغاية سوف تكون
~~مختلفة بطريقة ما عند مقارنتها بمفردات الأعداد التي
~~تعبر عن الأعداد الكبيرة. وهذا التوقع يلقى دعما من
~~الأدلة اللغوية؛ فمفردات الأعداد التي تعبر عن كميات مثل 1
~~و2 و3، غالبا ما يكون لها مصادر قد ضاعت مع مرور الزمن،
~~وأصول تختلف بوضوح عن أصول الأعداد الكبيرة في اللغة نفسها.
~~فعلى العكس من الأعداد التي تعبر عن كميات مثل 5 و10، فإن
~~البشر عادة لا يسمون الكميات الأصغر على أسماء أعضاء
~~الجسم. (بالرغم من ذلك، فمثلما هي الحال مع الأحكام العامة
~~بشأن اللغات البشرية، توجد بعض الاستثناءات النادرة.) ونحن لا
~~نحتاج إلى ذلك؛ إذ يمكننا أن ندرك مثل هذه الكميات من خلال
~~أدمغتنا، دون الحاجة إلى وسيط مادي ليساعدنا على
~~إدراكها. إننا لا نحتاج إلى الإشارة إلى الكميات المتطابقة
~~الموجودة في العالم الخارجي لأدمغتنا، لاختراع كلمات للكميات
~~1 و2 و3.

# وتختلف الأعداد الصغيرة عن الكبيرة بطريقة أخرى مهمة
~~أيضا، وهي تدعم ms101 الاقتراح القائل بأن الأعداد الصغيرة
~~تتأسس مباشرة على مفاهيمنا الفطرية. ومثلما أشار الباحثون
~~كعالم النفس الذي سبق ذكره، ستانيسلاس ديهان، فإن الأعداد
~~الصغيرة تستخدم أكثر من غيرها بدرجة كبيرة. وبالفعل، فإن
~~الأعداد 1 و2 و3، توجد في اللغات المكتوبة بأكثر من ضعف
~~المقدار الذي توجد به جميع الأعداد الأخرى. ويعود جزء كبير
~~من السبب في مثل هذا التواتر إلى سهولة إدراك هذه الأعداد
~~بدقة وسرعة. فليس الأمر على سبيل المثال أن الطبيعة
~~تقدم لنا الأشياء في مجموعات تتكون من 1 أو 2 أو 3
~~بتواتر أكبر، ليس إلى الحد الذي يتضح في اللغة على
~~الأقل. علاوة على ذلك، فإن تواتر ورود الأعداد المكتوبة
~~والمنطوقة في جميع اللغات، التي درس فيها تواتر ورود
~~الأعداد، لا يتراجع بانتظام مع زيادة العدد، وإنما نجد
~~انخفاضا حادا في معدل ورود العدد 4 مقارنة بالعدد 3. ثم
~~إننا نجد في الإنجليزية وغيرها من اللغات العشرية، أن
~~أعدادا مثل 10 و20، ترد بتواتر كبير للغاية، هو أكبر
~~كثيرا من تواتر الأعداد الكبيرة الأخرى. ويشير ذلك إلى أن
~~التواتر الكبير لبعض الأعداد في الحديث والكتابة لا يعود إلى
~~أن بعض الكميات أكثر انتشارا في العالم من حولنا فحسب،
~~وإنما ترد بعض الأعداد بتواتر أكبر لأن أدمغتنا
~~وأجسادنا قادرة على تصفيتها بسهولة أكبر.

# 10

# إن السهولة التي يعالج بها البشر الكميات الصغيرة، تنعكس
~~في الأنماط التي وصفناها فيما يتعلق بالعدد النحوي. وهي
~~تنعكس أيضا في وتيرة استخدام الأعداد الصغيرة، وفي الأصول غير
~~الواضحة لها، ويجب أن نذكر أيضا الأعداد الترتيبية.
~~والأعداد الترتيبية هي التي توضح موضع عنصر ما أو حدث
~~ما في الترتيب؛ فيمكنني أن أقول مثلا بالإنجليزية:

# Germany is the third country to win the
~~World Cup a fourth time
~~. وهي تعني
~~«ألمانيا هي الدولة الثالثة في الفوز بكأس العالم للمرة
~~الرابعة.» وبكتابة هذه الجملة التي توضح مثالا على الأعداد
~~الترتيبية، أكون قد وضحت طريقة أخرى تستخدمها اللغات في
~~تمييز الكميات 1 و2 و3 عن غيرها. فلنلق نظرة ms102 على قائمة
~~الأعداد الترتيبية في الإنجليزية:

# first,
~~second, third, fourth, fifth, sixth, seventh, eighth,
~~ninth, tenth, eleventh, twelfth

# إلخ ...
~~[الأول، الثاني، الثالث، الرابع، الخامس، السادس، السابع،
~~الثامن، التاسع، العاشر، الحادي عشر، الثاني عشر، ... إلخ]
~~تلاحظ أن أول ثلاث كلمات في هذه المجموعة لها نهايات غير
~~منتظمة، أما بقية الأعداد الترتيبية بأكملها فهي تنتهي
~~بالنهاية نفسها «-

# th
~~»؛ ومن
~~ثم فإننا نرى من جديد أن الأعداد التي ترتبط بكميات
~~أصغر لها وضع لغوي خاص، مما يعكس بطريقة غير مباشرة وضعها
~~المميز في أدمغتنا.

# والآن سنضرب مثالا أخيرا على اختلاف طريقة التعامل مع
~~الأعداد الصغيرة في اللغات البشرية، وهو الأعداد الرومانية.
~~لقد تطورت هذه الأعداد من أحد أنظمة العد بالعصي، وهو
~~يقوم على أساس العلامات الخطية. في الأعداد الرومانية نجد
~~أن الكميات الصغيرة تمثل بالخطوط فحسب، مثل:

# I
~~(1)
~~و

# II
~~(2)
~~و

# III
~~(3)، أما الكميات
~~الكبيرة فقد كانت تعامل بطريقة مختلفة؛ فعلى العكس من
~~مجموعة تتكون من ثلاثة خطوط، ستكون المجموعات الأكبر صعبة
~~التناول من الناحية الإدراكية: يمكننا أن نميز

# VI

# بسهولة أكبر من تمييز

# IIIIII
~~؛ إن المجموعة
~~الأخيرة من الخطوط يصعب عدها على وجه الدقة مقارنة
~~بمجموعة الخطوط المتمثلة في

# I

# أو

# II

# أو

# III
~~، والتي يمكن التعرف
~~عليها بصريا بسرعة دون عدها. وتتضح سهولة تمييز الكميات
~~من 1 إلى 3، بصورة أكبر في تمثيل 4 في الأعداد الرومانية:

# IV
~~. إن الأعداد الصغيرة،
~~لا سيما 1 و2 و3، تعامل بطريقة مختلفة وبشكل أكثر مباشرة،
~~مقارنة بجميع الكميات الأخرى.

# 11

# إن الرموز البسيطة التي تمثل الكميات الصغيرة في
~~الأعداد الرومانية، هي مجرد مثال آخر على الأنماط التي
~~نلاحظها في العالم بأسره في أنظمة العدد النحوي وفي الكلمات
~~التي تمثل الكميات الصغيرة. إن الفسيولوجيا العصبية
~~البشرية تمكننا من التفكير في الكميات الصغيرة والتحدث
~~عنها بصورة فطرية. والتفسيرات البديلة للأنماط المعنية،
~~معضلة بعض الشيء؛ فما من دليل مقنع على أن الكميات
~~الصغيرة مثلا، هي أكثر انتشارا في البيئات الطبيعية للبشر،
~~غير أننا نملك دليلا على أن حاستنا ms103 العددية الفطرية
~~تجعلنا أفضل في تمييز الكميات الصغيرة.

# عند البحث في لغات العالم، يتولد لدى المرء انطباع بأن
~~العدد النحوي غزير التنوع. وهذا الانطباع ليس بخاطئ
~~تماما؛ فالعدد النحوي يأتي في أشكال متنوعة، غير أن
~~التفحص الأدق يوضح بعض السمات المشتركة في الوظائف التي
~~يؤديها العدد النحوي. والأرجح أن السبب في وجود هذه
~~السمات المشتركة هو طبيعتنا البيولوجية العصبية الأساسية،
~~وذلك مثلما أن الأنماط الشائعة في مفردات الأعداد في لغات
~~العالم، توجد بسبب الحقائق الأساسية بشأن طبيعتنا
~~البيولوجية.

# خاتمة

# كان ابني، الذي لم يبلغ من العمر عامين بعد، جالسا في
~~المقعد الخلفي في سيارتنا بينما كنا متوجهين بها إلى جسر
~~«ريكنباكر كوزواي» - جسر يربط جزيرة فيرجينيا كي بمدينة
~~«ميامي» قاسما مياه خليج بيسكاين الفيروزية. وبينما اعتلت
~~سيارتنا الجسر، نظر ابني إلى يمينه من النافذة محدقا في
~~الخليج الذي يمتد إلى المحيط على الأفق، وصاح:

# water
~~! [ماء] ثم أدار رأسه
~~إلى اليسار، مركزا في ذلك الوقت على جزء الخليج الذي يمتد
~~إلى ساحل المدينة. ومأخوذا بوجود ما يبدو على أنه جزء منفصل
~~من المياه، صاح متعجبا:

# Two
~~waters
~~! [اثنان مياه] اثنان مياه، ولم
~~لا؟ بالنسبة إلى طفل لم يفهم بعد الفرق بين الأسماء
~~المعدودة والأسماء المعبرة عن الجمع، فإن ذلك التعبير
~~مفهوم تماما، غير أن ذلك التعبير المفعم بالحيوية الذي
~~أصدره ابني، كاشف بصورة أعمق. فمنذ سن مبكرة للغاية،
~~وغالبا ما يكون ذلك قبل سن العامين، يدرك متحدثو اللغة
~~الإنجليزية وغيرها من اللغات الأخرى أنه يجب عليهم جمع
~~الأسماء إذا كانت هذه الأسماء تشير إلى أكثر من شيء واحد.
~~ومن الواضح أن الأطفال يستطيعون تعلم هذا الفرق منذ سن
~~مبكرة. إن اللغات تعطي قدرا كبيرا من الأهمية للعدد
~~النحوي، وهي أهمية تتعامل معها أدمغتنا ببراعة لأنها مهيأة
~~فطريا لذلك. ومن المرجح أن يكون هذا الاستعداد الفطري هو
~~الذي يشجع الانتشار العالمي للعدد النحوي.

# إن وجود العدد النحوي في الغالبية العظمى من اللغات هو أمر
~~في غاية الأهمية، لا سيما مع وعينا ms104 بتنوع اللغات التي
~~يتحدث بها البشر. في العقود الأخيرة الماضية، حين وصل علماء
~~اللغويات إلى الزوايا البعيدة في العالم وقاموا بتوثيق لغات
~~لا ترتبط ببعضها، عرفنا أن اللغات قد تختلف فيما بينها
~~اختلافا كبيرا. وقد أصبح علماء اللغويات يعتقدون الآن أن
~~تنوع اللغات هو السمة الأبرز في التواصل الإنساني؛ فبعض
~~اللغات لا تستخدم الأزمان، وبعضها لا تميز بين لونين
~~كالأحمر والأصفر، وبعضها لا يستخدم فاعل الجملة بطريقة
~~واضحة، وبعض اللغات لا يستخدم سوى عدد قليل للغاية قد لا
~~يتجاوز العشرة من الأصوات ذات المعنى، بينما قد تستخدم
~~لغات أخرى ما يصل إلى المائة، وغير ذلك الكثير. إن اللغات
~~تتنوع وتختلف بدرجة كبيرة، وقد أصبح بعض الباحثين في اللغات
~~يعتقدون الآن أن هذا التنوع يعكس بدرجة صغيرة، قدرة
~~اللغات على التكيف مع البيئات المختلفة تدريجيا. (ويقترح
~~بحثي الخاص الذي أجريته مع بعض الزملاء أن بعض سمات
~~الأنظمة الصوتية اللغوية تتطور بطرق تتأثر تأثرا طفيفا
~~بالعوامل البيئية كالقحط الشديد.)

# 12

# بالرغم من ذلك التنوع والقدرة على التكيف البارزين،
~~فإننا نجد بعض الميول القوية التي تظهر في لغات العالم فيما
~~يتعلق بكيفية معاملتها للكميات. وقد رأينا في هذا الفصل
~~أن العدد النحوي يوجد في الغالبية العظمى من لغات العالم؛
~~فالقواعد اللغوية مهووسة بالأعداد، وغالبا ما يتركز هوسها
~~هذا على تمييز الكميات الصغيرة الدقيقة عن الكميات الكبيرة
~~التقريبية. ومن هذه الناحية، فإن العدد النحوي يعكس
~~وظيفيا بنيتنا الدماغية، التي تأتي مجهزة مسبقا
~~لتكون قادرة على التمييز الدقيق بين الكميات الصغيرة
~~فقط.

# بالرغم من الطبيعة المشتركة للعدد النحوي، تبقى الحقيقة أن
~~بعض اللغات لا تستخدمه، وذلك مثل ما ذكرته في الفصل الثالث
~~عن أن مفردات الأعداد لا توجد في كل اللغات. في الفصل
~~الخامس، سنقلب النظر في قضية محورية في مسعانا لفهم
~~دور الأعداد في قصة البشرية: ما الذي يحدث حين لا يستخدم
~~البشر العدد النحوي أو مفردات الأعداد أو غيرها من
~~التمثيلات الرمزية للكميات؟ بعد ذلك، سنلقي نظرة على بعض
~~العوالم التي لا توجد ms105 بها أعداد.



# الجزء
                                                         الثاني



# | عوالم بلا أعداد






# الفصل الخامس



# | شعوب لا عددية معاصرة




# في بعض الأحيان وأنا طفل صغير، كنت أستيقظ في الأدغال على
~~الأصوات المتنافرة لأشخاص يروون أحلامهم لبعضهم البعض: أحاديث
~~فردية يعقبها دفقات من تعليقات تتسم بالحماسة. والأشخاص
~~المعنيون هم مجموعة تعرف باسم «بيراها»، وهي جماعة مذهلة
~~(بالنسبة إلي على أي حال)، ويعرف عنهم أنهم يستيقظون
~~ويتحدثون إلى أقرب جيرانهم في أي ساعة من ساعات الليل. وفي
~~بعض الأحيان، تزعج هذه الممارسة بعض الأغراب الذي يحاولون
~~جاهدين أن يناموا. بالرغم من ذلك، فبالنسبة إلى ولد صغير مثلما
~~كنت، فإن هذه الأصوات التي يتردد صداها في كوخ أسرتي الكبير،
~~خففت من مخاوفي الليلية المرتبطة بالأدغال، وهدأت من روعي
~~حتى وإن لم أفهم إلا قليلا مما يقولون. فعلى أي حال، كانت هذه
~~الأصوات تدل على أن أهل القرية كانوا مطمئنين وغير منشغلين
~~بما كان يقلقني. لقد بدت أصواتهم في هذا الليل السحيق خالية من
~~أسباب القلق التي كانت تبقيني مستيقظا في سكون في أرجوحتي
~~الشبكية حين كانت تقلقني بعض ضوضاء الغابة غير المفهومة. وحين
~~كنت أستيقظ على صوت رواة الأحلام، عادة ما كان النوم يتسلل
~~إلي ثانية بعد وقت قصير.

# كان طريق الوصول إلى قرية «بيراها» التي كانت تعيش فيها أسرتي
~~عبارة عن رحلة متعرجة عبر روافد الأمازون، أو رحلة لمدة ساعة
~~بطائرة سيسنا ذات المحرك الواحد، وكانت هذه الرحلة تنتهي
~~بالطيار وهو يستقر بعجلات الطائرة على مدرج هبوط ضيق من
~~العشب، كان قبل اقتراب الطائرة مختفيا في خضم ذلك البحر من
~~الأشجار. وقد ظلت قرية بيراها منعزلة حتى اليوم، فلم تتغير
~~ثقافتها بدرجة كبيرة منذ طفولتي، بل منذ بداية تواصلهم مع أهل
~~البرازيل قبل ما يزيد على القرنين. إنهم ما زالوا يعيشون في
~~تجمعات صغيرة حول النهر، في بيوت متواضعة للغاية كانوا
~~يتخلون عنها في بعض الأحيان فينامون على ألواح من الخشب على
~~شواطئ النهر البيضاء التي تظهر في موسم الجفاف. وهم ما زالوا
~~يستيقظون في منتصف الليل، ويبدو ms106 أنهم يكونون في وسط محادثة إذ
~~يتشاركون الخبرات من أحلامهم.

# لقد قضيت أنا ووالداي وأختاي الأكبر مني سنا، شهورا عديدة
~~من طفولتي مع هذه المجموعة الصغيرة التي تعيش على جمع والتقاط
~~الثمار في قلب إقليم الأمازون. وهذه الجماعة مميزة لأسباب
~~عديدة، وبخلاف مخاوف الليل العابرة، فإن ذكريات طفولتي عنهم
~~لطيفة وتكاد أن تكون شاعرية. لقد أخذنا والداي لنقضي بعض الوقت
~~معهم، وكان ذلك جزءا من عملهما في ذلك الوقت؛ إذ كانا مترجمين
~~إنجيليين للإنجيل. بالرغم من ذلك، فلم يكن الإنجيل هو الشيء
~~الخارجي الوحيد الذي أحضرته أسرتنا إلى ذلك المكان، بل
~~أحضرنا بعض الأغراض الخارجية الأخرى التي قد يقول البعض عنها
~~إنها تلقى اعتراضا أقل من أهل «بيراها» ويفضلونها بدرجة
~~أكبر، ومنها الأدوية الغربية التي أنقذت حياة العديد من الأطفال.
~~لقد كان إحضار أغراض أجنبية أقل نجاحا في العادة؛ فعلى سبيل
~~المثال، كانت معظم منتجات الطعام الخارجية تثير حيرة أهل
~~بيراها، مثلما كانت عادتهم في أكل بعضهم القمل من رءوس بعض
~~تثير حيرتي أنا وأختي. لقد سألنا أحد رجال «بيراها» ذات مرة
~~عن السبب في حاجتنا إلى أن نوزع مادة تشبه الدم، وهي التي
~~نطلق عليها اسم «الكاتشب»، على طعامنا. وكذلك حين كنا نأكل
~~السلاطة ذات مرة، أشار رجل آخر إلى بعض المشاهدين الآخرين من
~~أهل بيراها بأننا نأكل أوراق النباتات بطريقة غريبة. ومن الفئات
~~الأخرى للواردات التي لم تنجح مع أهل بيراها الرموز الغربية
~~بجميع أنواعها، ومنها الحروف الأبجدية؛ فعلى العكس من معظم
~~مجموعات السكان الأصليين، بدا أهل بيراها غير مهتمين بكتابة
~~لغتهم. ومن بين الواردات المرفوضة أيضا الأعداد، والتي رفضتها
~~الجماعة تماما.

# 1

# في الكثير من هذه الليالي التي قضيناها في القرية، وقبل أن نذهب
~~إلى النوم في الأرجوحات الشبكية، كان والداي يعطيان دروس الحساب
~~لأهل بيراها، وقد زادوا من مستويات مشاركة أهل القرية في هذه
~~الدروس من خلال تقديم أحد أنواع الواردات الجيدة المطلوبة في
~~نظرهم: الفشار. وعلى الوهج الجاذب للحشرات، المنبعث من مصابيح
~~الغاز الموزعة في ms107 كوخ أسرتنا، والذي يطل على عناصر الطبيعة
~~الممتدة على طول نهر مايسي الأسود، حاولا تعليم هذه الجماعة
~~الحساب بلغتهم الأصلية. وقد اتضح أن هذه المحاولات لم تنجح
~~لمجموعة متنوعة من الأسباب؛ ولعل السبب الأبرز منها هو أن لغة
~~البيراها تفتقر إلى وجود أي أعداد محددة؛ فحين تتبنى إحدى
~~الثقافات نظاما عدديا لثقافة أخرى، فإن أفراد هذه الثقافة
~~المتبناة يكونون على وعي بالمقصود بمفردات الأعداد على أقل
~~تقدير، أما في حالة البيراها فقد كانت الأعداد غريبة تماما. ولا
~~ينطبق ذلك على مفردات الأعداد البرتغالية التي كان والداي يحاولان
~~تدريسها فحسب، بل على وجود مفردات دقيقة للأعداد، والأهم من
~~ذلك أنه كان ينطبق على تمييز معظم الكميات المحددة التي تشير
~~إليها.

# حين كنت ولدا صغيرا كانت الصعوبة التي يواجهها البالغون من
~~أهل بيراها حين يحاولون تعلم الأعداد، تحيرني كثيرا. وبدرجة
~~كبيرة، كان ذلك الأمر محيرا لي؛ لأنه كان واضحا حتى لوعيي
~~الصغير أن هؤلاء ليسوا أفرادا يعانون من صعوبة ما في التعلم؛
~~فما من خلل وراثي واضح بين هؤلاء الأفراد يفسر الصعوبة التي
~~كانوا يواجهونها حين ذاك، وما زالوا يواجهونها، حين يتعلق الأمر
~~بتعلم الأعداد. علاوة على ذلك، فإن أفراد البيراها الذين
~~نشئوا في ثقافة خارجية لا يواجهون مثل هذه الصعوبة. وبالفعل، فقد
~~كنت أتعجب من البراعة الإدراكية لهؤلاء الأفراد في العديد من
~~الجوانب الأخرى. ولا شك بأن جزءا من هذا التعجب كان يعزى
~~إلى حداثة سني، لكن التجربة التي حفزته لم تكن بالهينة؛
~~فقد كنت (مثل أختي) ألعب مع أطفال البيراها، وأتبعهم في
~~الغابات، وقد كنت أضل طريقي بالفعل دونهم في بعض الأحيان. كنت
~~أشاهدهم وهم يصطادون السمك أفضل مني، ويميزون موارد الفاكهة
~~بطرق لم أستطع أن أفعلها. وبصفة عامة، فقد كنت أشعر أنهم لا
~~يبارون في العديد من المهارات الذهنية التي كانت في غاية
~~الأهمية في بيئتهم. بالرغم من ذلك، ففي درس الحساب العابر الذي
~~يقام على ضوء المصابيح، كنت أنا الأفضل من بينهم، أفضل حتى من
~~الكبار.

# إن هؤلاء ms108 الأشخاص ليسوا هم الوحيدين الذين تقف بعض الحواجز
~~اللغوية والثقافية بينهم وبين اكتسابهم لمبادئ الحساب. وبالفعل
~~توجد جماعة على بعد مئات الكيلومترات باتجاه الشرق، قد واجهت
~~صعوبات مماثلة؛ قبيلة موندوروكو، وقد كانت قبيلة كبيرة محاربة
~~في السابق، تعيش في أعلى نهر تاباجوس، وهو رافد رئيس لنهر
~~الأمازون. بدأت هذه القبيلة في العمل باستخراج المطاط خلال
~~أواخر القرن التاسع عشر، والبعض لا يزالون يقومون بذلك حتى الآن.
~~ومع العمل الجاد تمكنوا من استخراج كمية كبيرة من المطاط،
~~لا سيما في أوج ازدهار المطاط الأمازوني في الجزء الأول من القرن
~~الماضي. بالرغم من ذلك، فقد كانوا مثلما يشير المؤرخ جون
~~هيمينج: «لا يتمتعون بمهارات التجارة إلى درجة محزنة، وقد
~~كان من السهل خداعهم؛ إذ إنهم لم يكونوا يفهمون قواعد الحساب.
~~لقد باع لهم تجار «ريجاتو» (قارب نهري) بعض البضائع بأربعة أضعاف
~~الربح، وقد كان من هذه البضائع رم الكاشاسا وبعض الأدوية عديمة
~~الفائدة، والتي تباع دون وصفة من الطبيب. لقد بخسوهم بالطبع ثمن
~~المطاط.»

# 2

# لقد رأينا في الفصلين الثالث والرابع أن اللغات تختلف
~~اختلافا كبيرا في كيفية ترميزها للمفاهيم العددية؛ فبعض اللغات
~~تستخدم أنظمة عددية تتيح لها توليد عدد لا نهائي من مصطلحات
~~الكميات، غير أن العديد من اللغات تستخدم أنظمة أقل فاعلية.
~~ولا شك بأن لغة الموندوروكو ولغة البيراها تصنفان في هذه
~~الفئة الأخيرة، وربما تمثل لغة البيراها بالتحديد الحالة
~~الأكثر تشددا؛ فهي لغة منطوقة لا تتضمن أي مصطلحات محددة
~~للأعداد، ولا حتى للعدد «واحد»، وليس ذلك بزعم منقول بالرواية
~~فحسب. إن أول من لفت اهتمام المجتمع البحثي إلى الطبيعة
~~اللاعددية للغة، هو والدي دانييل إيفريت، الذي تخلى عن عمله
~~التبشيري، وأصبح باحثا.

# 3

# وقد نتج عن تعليقاته على هذا الأمر العديد من
~~التجارب التي أجراها العديد من علماء النفس وغيرهم ليختبروا ما
~~إذا كانت اللغة لا عددية بالفعل أم لا. فلنتناول على سبيل المثال
~~إحدى التجارب التي قام بها الأخصائيون اللغويون النفسيون قبل
~~عشر سنوات تقريبا. في هذه التجربة ms109 عرض على أفراد البيراها
~~مجموعة من الأشياء؛ كرات من الخيط، ثم طلب منهم أن يذكروا
~~اسم الكمية التي تمثلها المجموعة. واستخدم الأفراد الأربعة
~~عشر المشاركون في هذه التجربة كلمة

# hói

# للإشارة إلى شيء واحد،
~~وأفضل ترجمة ممكنة لهذه الكلمة هي «حجم أو مقدار صغير»، وهو
~~المصطلح الذي يعبر عن أقل كمية في اللغة. والمصطلح التالي
~~الذي يعبر عن أقل كمية هو

# hoí

# الذي لا يختلف عن

# hói

# إلا في نغمة
~~الحرف المتحرك، وهذا الاختلاف في النغمة يغير معنى الكلمة
~~تقريبا إلى «قليل أو بضعة». بالرغم من ذلك، فعلينا أن نشير إلى
~~أن معنى

# hói

# يمتد إلى معنى

# hoí

# وهو ما اتضح من النتائج
~~التجريبية للدراسة المعنية. لقد اكتشف الباحثون أنه بخلاف
~~الحالات التي طلب فيها من المشاركين الأربعة عشر أن يذكروا
~~المصطلح الذي يعبر عن كمية كرة واحدة من الخيط، ظهرت بعض
~~الاختلافات حين طلب منهم تسمية كميات أكبر، وقد استخدمت
~~الكلمة

# hoí

# في معظم الحالات، لكن
~~الأمر الغريب أن بعض المتحدثين قد استخدموا كلمة

# hói
~~(مما يوضح أن الكلمة
~~الأخيرة لا تعبر عن العدد «واحد» فحسب). وبالنسبة إلى العدد
~~ثلاثة، جاءت النتائج مختلطة أيضا. والواقع أنه مع زيادة الكمية
~~قل استخدام

# hoí

# لكن الانتقال
~~من استخدام

# hói

# إلى

# hoí

# ثم من

# hoí

# إلى

# baágiso
~~(وهي الكلمة التي تعني
~~تقريبا «الكثير» وتعني حرفيا «نجمع معا») كان تدريجيا. وعلى
~~العكس من ذلك، فإن متحدثي اللغة الإنجليزية الذين يؤدون هذه
~~المهمة لا يستخدمون سوى كلمة

# one

# للدلالة على شيء واحد،
~~ويستخدمون

# two

# للدلالة على
~~شيئين، ويستخدمون

# three

# للدلالة
~~على ثلاثة أشياء ... وهكذا.

# 4

# إنها نتيجة مهمة؛ إذ تدعمها دراسات تجريبية أخرى، وهي تشير
~~إلى أن الكلمات الثلاث الشبيهة بالأعداد في لغة البيراها ليست في
~~واقع الأمر أعدادا دقيقة؛ فهذه المصطلحات تستخدم بمعنى تقريبي
~~فحسب، مثلما نستخدم

# a few
~~[بضعة] أو

# a couple of
~~[زوجان من]
~~في الإنجليزية. وعلى العكس من متحدثي الإنجليزية، فإن
~~متحدثي البيراها لا يمتلكون بدائل دقيقة مثل

# three

# أو ms110

# two
~~. إن لغة البيراها لغة لا
~~عددية، إنها حتى تفتقر إلى اختلافات العدد النحوي التي ناقشناها
~~في الفصل الرابع؛ إنها سمة مذهلة في لغة البيراها وثقافتها
~~بصورة أعم: لقد اختاروا ألا يستخدموا الأعداد الدقيقة في
~~خبرتهم اليومية، وبالرغم من أن قبيلة الموندوروكو تستخدم
~~الأعداد، فهم يستخدمون معظمها بطرق غير دقيقة كذلك. ففي دراسة
~~مهمة نشرت في مجلة «ساينس» عام 2004، وضح فريق من علماء
~~الإدراك أن معظم مفردات الأعداد التي تستخدمها تلك اللغة، هي
~~أيضا لها معان غير محددة.

# 5

# إن السبب في المعوقات الثقافية لاستخدام الأعداد الدقيقة
~~بين هذه الجماعات، لا يزال محلا للجدل، لكن صلابة هذه
~~المعوقات غير اعتيادية؛ فعادة ما تنتشر الأنظمة العددية بين
~~الثقافات، لا سيما بعد التواصل لفترة طويلة مع أفراد من خارج
~~الثقافة، مثلما حدث مع هذه الجماعات من السكان الأصليين.
~~وبعبارة أخرى، حين تواجه الثقافات مجموعات أخرى تستخدم عددا
~~أكبر من الكلمات التي تعبر عن الكميات، فإنها عادة ما تستعير بعض
~~هذه الكلمات أو كلها، أو حتى المفاهيم التي تعبر عنها هذه
~~الكلمات على الأقل. وهذه الاستعارة أمر مفهوم؛ لأن الأعداد
~~مفيدة جدا. ونظرا إلى هذه النزعة التي نلاحظها كثيرا، فقد
~~يكون من المفاجئ أن بعض الثقافات لم تتبن الأنظمة العددية
~~الشاملة التي تستخدمها الجماعات التي التقت بها، بغض النظر
~~عما قد تواجهه من صعوبة في استخدام هذه الأنظمة في حالاتهم
~~الخاصة. بالرغم من ذلك، فقد ظلت البيراها والموندوروكو وبعض من
~~الثقافات الأخرى ثقافات لا عددية، أو ثقافات لا عددية إلى حد
~~كبير. (غير أن بعض الإشارات تشير الآن إلى تغير ذلك الوضع في
~~كلتا الحالتين.) ومثلما سنرى لاحقا فإن هذا الاختيار له
~~آثار متغلغلة.

# البحث عن إجابات في الغابة

# في دراسة حظيت بذيوع كبير، ونشرت أيضا في مجلة
~~«ساينس» عام 2004، وضح أحد متخصصي علم النفس من جامعة
~~بيتسبرج من خلال التجربة، أن غياب مفردات الأعداد من ثقافة
~~البيراها، له آثار عميقة على قدرات أفرادها على التمييز بين
~~الكميات. وقد أجرى عالم النفس بيتر ms111 جوردون سلسلة من المهام
~~التجريبية على مدار صيفين زار فيهما قرية البيراها، وكان ذلك
~~بمساعدة والدي. وقد أثبتت نتيجة هذه المهام، بطريقة
~~واضحة ومتكررة، أمرا كان مثار الأقاويل لبعض الوقت، وهو
~~أن أفراد البيراها يجدون صعوبة في التمييز بين الكميات التي
~~تزيد على ثلاثة. ومن نواح عديدة، كانت التجارب التي أجراها
~~جوردون تشبه بعض التجارب التي حاول والداي تنفيذها في
~~الدروس سالفة الذكر مع أفراد هذه الجماعة في بداية
~~الثمانينيات من القرن العشرين.

# 6

# وفي موجة الانتباه الذي وجه إلى البيراها عقب نشر
~~دراسة جوردون، غالبا ما كان يتم تصوير هؤلاء الأشخاص
~~بصورة غير دقيقة، أو مشوهة للغاية في بعض الأحيان. فعلى أي
~~حال، أصبحوا يمثلون بالنسبة إلى البعض حياة الرجعية، عودة
~~إلى أيام العصر الحجري، وبقايا من العصر اللاعددي. واقترح
~~البعض أن الصعوبة التي يواجهونها في تعلم المفاهيم
~~الحسابية ربما تعود إلى زواج الأقارب فيما بينهم، فربما يكون
~~السبب هو جينا، أو جينات، متنحية قد ظهرت بسبب المختنق
~~السكاني. وكلا التفسيرين خاطئ تماما بالطبع؛ فالنتيجة
~~المنطقية الوحيدة التي يمكننا أن نستخلصها من دراسة جوردون
~~هي أن أهل البيراها هم جماعة تعيش على الصيد والتقاط
~~الثمار، وقد اختاروا ألا يستخدموا الأعداد، ونتيجة لذلك، فهم
~~لا يستخدمون المزايا الإدراكية التي تقدمها هذه الأداة.
~~ولكي نفهم هذا التفسير بصورة أفضل؛ يجب علينا أن ندرس
~~نتائج دراسة جوردون، وكذلك أعمال الآخرين اللاحقة عليها، بما
~~في ذلك أعمالي.

# شكل 5-1: أسرة من البيراها في زورق تقليدي يسير في
~~أحد روافد نهر مايسي، ثيابهم من الواردات
~~القليلة من العالم الخارجي. الصورة من التقاط
~~المؤلف عام 2015.

# لكننا في البداية، سنعرض مقدمة عن كيفية إدراك البشر
~~للأعداد بصفة عامة. مثلما أوضحنا في الفصل الرابع، فإن
~~البشر مزودون فطريا «بحاستين» حسابيتين. وبالرغم من
~~أن العديد من البالغين لن يروا أن هاتين القدرتين أو
~~هاتين الهبتين الوراثيتين، تتسمان بالطبيعة الحسابية،
~~نظرا لبساطتهما، فإنهما أساسيتان لمشروع التفكير باستخدام
~~الأعداد؛ لدينا أولا: الحاسة العددية التقريبية، وهي
~~قدرتنا الفطرية على تقدير الكميات، ms112 ويبدو أن أطفال البشر
~~يولدون بهذا النظام، وهو يمكنهم من تمييز الفروق الكبيرة
~~بين الكميات؛ فمثلما سنرى في الفصل السادس، يستطيع الأطفال
~~حديثو الولادة أن يميزوا على سبيل المثال بين ثمانية عناصر
~~وستة عشر عنصرا، فهم يستطيعون إجراء العمليات الحسابية
~~بشكل تقريبي، فيما يتعلق بالكميات الكبيرة. وأما ثاني
~~القدرات الحسابية الفطرية لدى البشر: فهي قدرتهم على التمييز
~~الدقيق للكميات المتمثلة في ثلاثة أو أقل، بعبارة أخرى،
~~فإن جميع أفراد البشر من جميع الأعمار يستطيعون أن
~~يميزوا بين شيء واحد وشيئين، وكذلك بين ثلاثة أشياء وشيء
~~واحد. وفي هذا الكتاب، سوف أشير إلى هذه القدرة باسم الحاسة
~~العددية الدقيقة؛ لسهولة مقارنتها بالحاسة العددية
~~التقريبية. (ونظرا إلى أنها تساعد بصفة عامة في تتبع
~~المجموعات الصغيرة من الأشياء بالتوازي، فعادة ما يشار إليها
~~في مجال علم النفس باسم «نظام الملف الهدف» أو «نظام التفرد
~~المتوازي».) ومثلما ذكرت في الفصل الرابع، فإن المنطقة
~~المسئولة بشكل كبير عن هاتين الحاستين في أدمغتنا، هي
~~منطقة الثلم داخل الفص الجداري.

# إن وجود هاتين القدرتين الحسابيتين البدائيتين
~~المختلفتين، قد أصبح مؤكدا في الوقت الحالي، غير أن الوعي
~~بوجودهما لا يزال يطرح أمامنا أسئلة محيرة: لم يستطيع
~~البشر دون الأنواع الأخرى الجمع بين هاتين القدرتين؟ وكيف 
~~نجمع بينهما معا؟ وما الذي يمكننا من نقل هذا الإدراك
~~الدقيق للكميات الصغيرة إلى الكميات الكبيرة، التي تعالجها
~~الحاسة العددية التقريبية تلقائيا؟ وبصفة عامة، توجد
~~إجابتان أساسيتان لهذه الأسئلة المتشابهة؛ الإجابة الأولى
~~هي إجابة التوجه الفطري، ووفقا له فإن هاتين
~~القدرتين مدمجتان في الدماغ البشري؛ لأن تلك ببساطة هي
~~كيفية عمل الدماغ البشري. ووفقا لهذا المنظور، فإننا لم
~~نزود في شفرتنا الوراثية بالحاسة العددية الدقيقة
~~والحاسة العددية التقريبية فحسب، بل زودنا أيضا
~~بالقدرة على استخدامهما معا تدريجيا بطريقة ما. ومعنى هذا
~~بعبارة أخرى: أن إحدى السمات التي يتميز بها نوعنا هي
~~أن الأعداد مثبتة في أدمغتنا، وأننا ندرك تلقائيا
~~على مدار تطورنا أن كميتين مثل 5 و6، تختلفان عن بعضهما
~~البعض. (وحتى إن ms113 كانت التسميات مثل «خمسة» و«ستة» قد تيسر
~~هذا الإدراك، فإن الإدراك نفسه ممكن في غيابها.) أما
~~الإجابة الثانية المحتملة فهي ذات توجه ثقافي، وهي أن
~~البشر لا يتعلمون الجمع بين القدرتين الرياضيتين
~~الفطريتين، إلا إذا تعرضوا للأعداد بعد انتمائهم إلى
~~ثقافة عددية وتحدثهم لغة عددية. ويفترض مثل هذا
~~التفسير أن البشر لا يتعلمون التمييز بدقة بين الكميات
~~الأكبر من 3، إلا حين يتعلمون الرموز الثقافية المشتركة التي
~~ترمز إلى الكميات المحددة، أي حين يتعلمون مفردات
~~الأعداد.

# إن هذين التفسيرين المحتملين بشأن نشأة الإدراك
~~العددي الذي يتميز به البشر؛ يؤديان إلى توقعات متماثلة
~~بدرجة كبيرة. فكلا التفسيرين يتوقع أنه مع نشأة البشر
~~في مجتمعات عددية، سوف يكتسبون مهارة إدراك الفروق الدقيقة
~~بين الكميات الأكبر من 3. ونظرا إلى أن الغالبية العظمى من
~~ثقافات العالم عددية؛ فقد ظل تقديم أدلة واضحة تدعم هذه
~~الفرضية أو تلك أمرا صعبا لبعض الوقت. فقد يقترح أحد
~~المؤيدين لهذا التفسير الثقافي، على سبيل المثال، أن
~~الأطفال لا يتقنون التمييز بين الكميات الأكبر من 3، إلا
~~حين يتعلمون العد. وقد يحتج أحد المؤيدين لفرضية التوجه
~~الفطري بأننا نتعلم العد حين تنمو أدمغتنا بالدرجة الكافية
~~لأداء هذه المهمة. ومن الطرق التي يمكن استخدامها لإلقاء
~~الضوء على المسألة تقديم بيانات من مجموعة من البالغين
~~الأصحاء الذين يعيشون في مجتمع غير عددي. فإذا كانت إحدى
~~الجماعات السكانية لا تستخدم مفردات الأعداد أو غيرها من
~~أشكال الثقافة العددية، فهل سيتعلم أفرادها التمييز بين معظم
~~الكميات بدقة، أم يقتصر استخدامهم على الحاسة التقريبية
~~الأبسط التي يوفرها جهازنا الدماغي؟ إن الإجابة بالإيجاب عن
~~السؤال الأول سوف تقدم دعما كبيرا للتفسير الفطري، أما
~~الإجابة بالإيجاب عن السؤال الثاني فسوف تقدم دعما كبيرا
~~للتفسير الثقافي.

# ومع وضع هذه المسائل في الاعتبار، فإن الدراسات
~~المتعلقة بالموضوع، التي أجريت على سكان البيراها، قد
~~ركزت على إبراز قدرة هؤلاء الأفراد على التمييز بين الكميات
~~الأكبر من 3 بدقة، أو إبراز غيابها. تكونت دراسة جوردون من
~~مجموعة من مهام تمييز الكميات، وقد ms114 أجراها على البالغين في
~~قريتين، وكان الهدف من هذه المهام هو الإجابة عن هذا السؤال
~~الأساسي: هل يتمكن الأفراد البالغون الأصحاء الذين ينتمون
~~إلى ثقافة لا عددية من التمييز بين الكميات الأكبر من 3 بدقة
~~وبصورة منتظمة؟ هل يمكنهم دوما التمييز بين 6 عناصر و7 عناصر،
~~أو بين 8 و9، أو حتى بين 5 و4؟ وإذا لم يكونوا يستطيعون،
~~فإن ذلك سوف يشير إلى أن معرفة العد ومفردات الأعداد
~~أمر أساسي، لا للرياضيات فحسب، بل لمجرد التمييز بين
~~الغالبية العظمى من الكميات.

# كانت مهام جوردون التجريبية تنقسم إلى فئتين واسعتين،
~~وفي إحدى فئتي المهام، يطلب من المشاركين في التجربة أن
~~يقدموا عددا مطابقا للأشياء الموضوعة أمامهم على أحد
~~الأسطح، وذلك من خلال وضع العدد نفسه من الأشياء على ذلك
~~السطح، وقد كانت الأشياء المستخدمة بطاريات جافة صغيرة
~~بالحجم

# AA
~~. وقد استخدمت هذه
~~البطاريات في أنواع مختلفة من المهام، وفي المهمة الأساسية
~~المتمثلة في «مطابقة الخط»، كان يوضع أمام المشاركين خط
~~من البطاريات الجافة التي تبعد عن بعضها مسافات متساوية،
~~وكانت البطاريات توضع قريبا بعضها من البعض لكي يفهم
~~أنها مجموعة، لكنها مجموعة من عناصر منفصلة. وكان يطلب من
~~المشاركين بعد ذلك أن يضعوا الكمية نفسها من البطاريات
~~الجافة في مصفوفة موازية للخط الأصلي، وذلك بعد تمثيل
~~المهمة أمامهم أولا بدقة. (وينطبق ذلك على جميع المهام
~~المتعلقة بالكميات التي أجريت بين هذه المجموعة؛ فدائما
~~ما ينفذ الباحثون التجارب أولا، وذلك للحد من أي لبس.)
~~في مهمة «المطابقة المتعامدة» طلب من المشاركين مرة أخرى
~~أن يصنعوا خطا من البطاريات، وقد كان من المفترض أن يكون
~~العدد مساويا للخط الأصلي المعروض أمامهم، لكنه في هذه
~~الحالة أدير بمقدار تسعين درجة. (وذلك بدلا من أن يكون
~~موازيا للخط الأصلي مثلما هي الحال في مهمة مطابقة الخط
~~الأساسية.) وفي إحدى المهام الأخرى ذات الصلة، وهي مهمة «العرض
~~لفترة موجزة»، عرض أمام المشاركين خط من البطاريات،
~~وطلب منهم أن يصنعوا خطا من الكمية نفسها من البطاريات، ms115
~~لكن ذلك بعد إخفاء الخط الأصلي من أمامهم. وفي الفئة الثانية
~~من المهام التي استخدمها جوردون، كان المطلوب من المشاركين أن
~~يوضحوا إدراكهم لكمية من الأغراض الموضوعة في وعاء؛ ولهذا،
~~فعلى سبيل المثال، كان جوردون يضع بعض الجوز في علبة
~~معتمة، وكان يضعها واحدة تلو الأخرى أمام المشاركين. (كان
~~المشاركون يستطيعون رؤية جانب العلبة من منظورهم، لكنهم لم
~~يكونوا يستطيعون رؤية ما بداخلها.) وقد قام بعد ذلك بإزالة
~~حبات الجوز نفسها واحدة تلو الأخرى على مرأى من
~~المشاركين، وبعد إزالة كل حبة كان يطلب منهم أن يوضحوا
~~ما إذا كان هناك أي جوز بالعلبة أم لا.

# مع إجراء جوردون لتجاربه، ظهر نمط واضح في إجابات أهل
~~البيراها، بصرف النظر عن الطلبات المحددة في المهمة.
~~وموجز القول إن أهل البيراها كانوا يواجهون صعوبة ملحوظة
~~في التمييز بين الكميات، على أن الأمر الأهم هو أنهم لم
~~يجدوا هذه الصعوبة إلا في الكميات الأكبر من ثلاثة؛ فحين كان
~~يطلب من المشاركين على سبيل المثال أن يصنعوا خطا من
~~البطاريات يطابق خطا آخر في الكمية، فإن الخط الذي كانوا
~~يصنعونه كان يطابق الأول دائما، إذا كانت هذه الكمية 1 أو
~~2 أو 3. بالرغم من ذلك، فحين كان الخط الأولي يتضمن 4
~~بطاريات أو أكثر، بدأ ظهور الأخطاء في الإجابات، وكان عددها
~~يزداد طرديا مع زيادة عدد البطاريات التي تعرض عليهم. وقد
~~ظهر نمط مشابه لذلك في مهمة المطابقة المتعامدة، وكذلك
~~مهمة العرض لفترة وجيزة، غير أن الأخطاء قد زادت في المهمة
~~الثانية، وليس ذلك مفاجئا بالطبع نظرا لما تحمله طبيعة هذه
~~المهام من صعوبة أكبر. وفي اختبار وضع الجوز في العلبة، واجه
~~متحدثو هذه اللغة اللاعددية صعوبة فائقة، وقد زادت أخطاؤهم
~~تبعا لزيادة عدد الجوز الذي وضع في العلبة في البداية.
~~وبعبارة أخرى، فقد أشارت نتائج جوردون إلى أن أهل البيراها
~~كانوا قادرين على مطابقة الكميات في عقولهم، وذلك بشكل
~~متكرر ودقيق؛ شرط ألا تزيد كمية هذه العناصر التي
~~يسجلونها في عقولهم عن ثلاثة. ms116 أما في الكميات التي تزيد
~~على الثلاثة، فقد بدأت الأخطاء بالظهور كما هو متوقع.
~~لقد عكست إجاباتهم نمطا من الاعتماد على التقريب أو
~~التقدير التماثلي، لا التمييز الدقيق بين الكميات.

# إن الأخطاء التي قام بها أهل البيراها لم تكن عشوائية، بل
~~إن جوردون قد لاحظ ارتباطا واضحا بين عدد المحفزات
~~المعروضة أمامهم وبين نطاق الأخطاء المعتادة التي يقومون بها؛
~~فبالنسبة إلى الكميات الكبيرة التي أجريت الاختبارات عليها،
~~كان متوسط الانحراف عن الإجابات الصحيحة يزداد بشكل
~~متناسب، أي كلما زاد العدد المستهدف زادت الأخطاء. وقد
~~كانت هذه العلاقة منتظمة للغاية.

# 7

# وقد تتساءل عن السبب الذي يجعل نمط الإجابات
~~الخاطئة لأهل البيراها وثيق الصلة للغاية بمناقشتنا.
~~والواقع أن لذلك سببين؛ أولهما أن العلاقة التي لاحظها
~~جوردون تشير إلى أن أهل البيراها كانوا يحاولون بالفعل أن
~~يطابقوا الكميات التي يشاهدونها، من خلال عقولهم؛ فهم لم
~~يتوقفوا عن المحاولة ببساطة حين كانت الكميات تزيد عن
~~ثلاثة، ولا هم كانوا يخمنون الإجابة عشوائيا لأنهم
~~سئموا على سبيل المثال. والسبب الثاني هو أنه بالرغم من
~~أن العلاقة تشير إلى أنهم كانوا يصورون كميات ما يعرض
~~عليهم من أشياء في عقولهم، فمن الواضح أنهم كانوا يفعلون ذلك
~~بطريقة تقريبية فحسب. وتلك هي الطريقة نفسها التي سنتنبأ
~~بها في ضوء ما نعرفه عن الحاستين العدديتين اللتين قد
~~زود بهما البشر فطريا.

# لقد رسمت لنا هذه النتائج الأولية التي جمعناها من
~~البيراها صورة واضحة؛ وهي أن هؤلاء الأشخاص يجدون صعوبة
~~في مجرد التمييز بين الكميات التي تزيد عن ثلاثة، وهم
~~يستطيعون فعل ذلك، غير أنهم يفعلونه بطريقة تعتمد على
~~التقدير. وبالمثل، فإنهم قادرون تماما على التمييز بين
~~الكميات الصغيرة؛ فما يبدو أن أهل البيراها يفتقرون إليه هو
~~الوسيلة إلى توحيد هاتين القدرتين التي منحتنا إياهما
~~شفرتنا الوراثية، بالرغم من أن هؤلاء الأشخاص طبيعيون
~~جدا من الناحية الوراثية؛ فلقد نجحوا في بيئتهم المحلية،
~~وتمكنوا من التكيف والبقاء على قيد الحياة بجوار نهر
~~مايسي على مدار قرون على الأقل، وما ms117 من تفسير سهل يوضح
~~السبب فيما يواجهونه من صعوبات واضحة في أداء المهام
~~الأساسية التي تستند إلى تمييز الكميات، إضافة إلى حقيقة
~~أنهم يتحدثون لغة لا عددية تماما، ولا تتضمن ثقافتهم
~~أي ممارسات عددية.

# لقد نوقشت نتائج جوردون على نطاق واسع، ونظر إليها
~~الكثيرون على أنها مؤشر واضح، ولعله الأوضح بشأن تلك
~~النقطة المتمثلة في أن بعض المفاهيم الرياضية الأساسية ليست
~~متأصلة فطريا لدى البشر، بل إننا نتعلمها ونكتسبها
~~من خلال الثقافة والانتقال اللغوي. وإذا كنا نتعلمها لا
~~نكتسبها بالوراثة، فهي ليست مكونا من مكونات الجهاز العقلي
~~البشري، لكنها جزء من برنامجنا العقلي، سمة في تطبيق
~~طورناه بأنفسنا.

# ولأن القابلية للتكرار هي مبدأ أساسي في أي مشروع علمي؛
~~فقد تحمس الكثيرون من علماء الإدراك لأن يواصلوا عمل
~~جوردون بين أفراد البيراها. وبعد سنوات قليلة من نشر جوردون
~~لمقالته البارزة قام فريق من علماء الإدراك، ومنهم مايكل
~~فرانك (من جامعة ستانفورد) وتيد جيبسون (من معهد ماساتشوستس
~~للتكنولوجيا) بفعل ذلك. ومثلما ذكرنا سابقا، وضح هذا
~~الفريق أن المصطلحات التي يستخدمها أهل البيراها للتعبير عن
~~الكميات، ليست لها دلالات دقيقة. بالرغم من ذلك، فلم يكن
~~عملهم مقتصرا على التعزيز التجريبي للزعم بأن ثقافة
~~البيراها هي ثقافة لا عددية بالفعل، بل تتضمن أيضا تكرار
~~العديد من المهام التجريبية التي أجراها جوردون، ولا سيما
~~مطابقة الخط ، والمطابقة المتعامدة، والعرض لفترة وجيزة،
~~ووضع حبات الجوز في إناء. أعيد إجراء هذه المهام في قرية
~~تدعى

# Xaagiopai
~~(وتنطق «آه
~~جي أوه باي»)، وهي تبعد عن القرى التي أجرى فيها جوردون
~~أبحاثه، مسيرة أيام (بالزورق) في النهر. وقد استخدم
~~الباحثون نوعا مختلفا من المحفزات في تجارب المطابقة
~~التي أجروها؛ إذ إنهم تخوفوا من أن تكون البطاريات التي
~~استخدمها جوردون قد تدحرجت في بعض الأحيان، مما جعل من مهمة
~~صعبة بالفعل أكثر صعوبة على أهل البيراها. وبدلا منها
~~استخدموا أشياء أخرى منتظمة الشكل غير أصلية، لكن
~~السكان يعرفونها؛ بكرات من الخيط، وبالونات فارغة من المطاط،
~~وكان من الممكن وضع بكرات ms118 الخيط رأسيا على الطاولة دون
~~أن تتدحرج. قدم إلى أربعة عشر من أفراد البيراها البالغين
~~كميات من بكرات الخيط موضوعة على طاولة تقع أمامهم مباشرة،
~~وطلب منهم أن يمثلوا كمية بكرات الخيط بالكمية المناظرة
~~لها من البالونات المطاطية. وبخلاف استخدام محفزات
~~مختلفة، فقد صممت التجربة بعناية على مثال التجارب
~~التي أجراها جوردون. وفي تجارب المطابقة المتعامدة، والعرض
~~لفترة وجيزة، ووضع حبات الجوز في وعاء، كان أداء أفراد
~~البيراها مثلما لاحظه جوردون تماما؛ ومن ثم فقد استنتج
~~الباحثون أن أهل البيراها لا يستطيعون التمييز بين الكميات
~~الأكبر من ثلاثة بصورة دقيقة، حين يكون عليهم تغيير موضع
~~الشيء أو حين يستذكرون عدد الأشياء بعد رؤيتها لفترة وجيزة.
~~من الجدير بالذكر أن مثل هذه المهام تافهة بالنسبة إلى
~~الأشخاص الذين يلمون بمعرفة مفردات الأعداد والعد،
~~كالبالغين من متحدثي اللغة الإنجليزية.

# وفي حالة مهمة مطابقة الخط الأساسية، دون الحاجة إلى
~~الاستعادة من الذاكرة أو التدوير المادي، لم تكن النتائج التي
~~توصل إليها فريق فرانك مطابقة تماما لنتائج جوردون؛ فقد
~~وجدوا، مع بعض الاستثناءات، أن أفراد البيراها تمكنوا من
~~إعادة تكوين الكمية التي رأوها من بكرات الخيط بشكل دقيق،
~~إذا كانت هذه البكرات معروضة في خط، وسمح للمشاركين برؤية
~~هذا الخط على مدار المهمة. وقد كانت هذه النتائج بمثابة عقبة
~~للتفسير السابق بشأن الإدراك العددي لأهل البيراها . واستخلص
~~فريق البحث أنه بالرغم من أهمية مفردات الأعداد التي تعمل
~~بمثابة «تقنية إدراكية» وتيسر عملية معالجة الكميات
~~واستذكارها، فإنها ليست ضرورية في المهام التي تقتصر على
~~تمييز الكميات فحسب. وقد اقترح الباحثون سببا بديلا ربما
~~يفسر الصعوبة التي واجهها أفراد البيراها في أداء أبسط
~~المهام في دراسة جوردون، التي تتمثل في مطابقة خط بخط؛
~~ربما كانت البطاريات تدحرجت بالفعل في بعض الأحيان، وربما
~~عقدت هذه الدحرجة إدراك الأفراد للكميات.

# في صيف عام 2009، وفي ظهيرة أحد الأيام الأمازونية الرطبة،
~~وجدتني أقرأ هذا العمل الحديث عن البيراها، بينما كنت أقوم
~~بإجراء الأبحاث على مجموعة أخرى من السكان الأصليين. وبالرغم ms119
~~من أنني كنت مقتنعا بنتائج فرانك وزملائه، فلم أكن مقتنعا
~~بأن نتائج جوردون كانت بسبب تدحرج البطاريات؛ فقد أجريت
~~تجارب جوردون بمساعدة من والدي (مثل الدراسة الأخيرة)،
~~وقد كانا بمثابة مترجمين وميسرين لبحثه الميداني في
~~بداية التسعينيات من القرن الماضي. ولأنني كنت أتبع
~~والدي أحيانا إلى الغابات خلال السنوات الأولى من مراهقتي
~~(لكننا كنا نعيش آنذاك في الولايات المتحدة)، فقد شاهدت
~~جوردون وهو يجري بعض تجاربه. ومثلما رأيت أفراد البيراها
~~يواجهون صعوبة في التمييز الأساسي للكميات في تلك الدروس
~~التي كانت تقام بجوار ضوء المصباح، فقد رأيتهم يواجهون
~~القدر نفسه من الصعوبة في المهام المشابهة المستخدمة في
~~عمل جوردون، بصرف النظر عن نوع المحفزات المستخدمة. وقد
~~يكون الأهم من ذلك أنني كنت أعرف أن قرية «آه جي أوه
~~باي»، التي أجريت فيها دراسة المتابعة، كانت تختلف عن باقي
~~قرى البيراها الأخرى من ناحية مهمة. في الشهور التي سبقت
~~العمل التجريبي الذي أجري هناك، قدمت أمي كارن مادورا بعض
~~دروس الحساب لأهل القرية. وعلى العكس من المحاولات السابقة
~~الفاشلة في تدريس المفاهيم العددية الأساسية، فقد أحرزت بعض
~~التقدم حين لجأت إلى ابتكار كلمات جديدة من لغة البيراها
~~مثل

# xohoisogio

# التي تعني
~~«جميع أبناء اليد». وبدا أن بعض الأفراد في هذه القرية قد
~~تعلموا بعض المبادئ الأساسية لتمييز الكميات، وإن كان ذلك
~~يعود جزئيا إلى تلك الدروس على الأقل.

# ولكي أتوصل إلى حل أفضل لهذه المشكلة؛ عدت إلى قرية
~~أخرى من قرى البيراها بعد ذلك بعدة أسابيع، ثم عدت مرة أخرى
~~في صيف عام 2010. وقد كانت ثمرة هذا البحث الذي أجريته مع
~~أمي، التي تتحدث لغة البيراها بإتقان شديد كأبي، هو سلسلة
~~من النتائج التي أيدت معظم ما توصلت إليه الدراستان
~~التجريبيتان السابقتان اللتان أجريتا على أفراد
~~البيراها. وقد قدمت هذه النتائج أيضا تأييدا قاطعا
~~لفرضية جوردون الأولية، وهي أن أهل البيراها غير المدربين،
~~والذين لا يستخدمون مفردات الأعداد ولا غيرها من رموز
~~الكميات، لا يستطيعون التمييز بين الكميات الأكبر من ثلاثة ms120
~~على الدوام وبصورة منتظمة. وينطبق ذلك أيضا حتى على
~~الأفراد الذين لم يطلب منهم سوى أن يؤدوا أبسط مهام
~~المطابقة، وهي مطابقة خط بخط.

# 8

# كررت دراستنا مهام المطابقة سابقة الذكر، باستخدام
~~وسائل ومحفزات مماثلة لما استخدمه فرانك وزملاؤه، وهي
~~بكرات من الخيط وبالونات من المطاط، وبعض المحفزات
~~الأخرى، مع الحصول على النتائج نفسها في دراسة المتابعة. غير
~~أننا حين اختبرنا أفراد البيراها في قرية أخرى غير «آه جي أوه
~~باي»، لم يكن المشاركون في الدراسة قد تعرضوا لتدريس
~~مفردات الأعداد في الشهور السابقة على عملنا التجريبي. وشارك
~~في هذا المشروع أربعة عشر فردا من البالغين (ثماني نساء
~~وستة رجال)، لكننا أجرينا بعض المهام مع الأطفال أيضا،
~~الذين كانوا متحمسين للاشتراك. في مهام المطابقة الثلاث
~~كانت إجابات أفراد البيراها تتضمن أخطاء حين يعرض عليهم
~~أربعة محفزات أو أكثر. وانخفضت نسبة الإجابات الصحيحة من
~~100 بالمائة، عند عرض 1 أو 2 أو 3 عناصر، إلى حوالي 50 بالمائة
~~عند عرض 5 عناصر، وانخفضت هذه النسبة تدريجيا مع الكميات
~~الكبيرة. وبالنسبة إلى الكمية 10، وهي أكبر كمية في الاختبار،
~~كانت الإجابات صحيحة في ربع الوقت فقط في مهام مطابقة خط
~~بخط ومهام المطابقة المتعامدة، وفي عشر الوقت فقط في مهام
~~مطابقة الخط المخفي.

# والأمر ببساطة أن أفراد البيراها يواجهون صعوبة في
~~التمييز بين الكميات بدقة وتذكرها في السياقات التجريبية،
~~متى ما كانت الكمية محل الاختبار تتجاوز ثلاثة. والدراسات
~~التجريبية الثلاث كلها تؤيد هذا الاستنتاج، وتتسم نتائجها
~~في معظم المهام بدرجة كبيرة من الاتساق. إضافة إلى ذلك،
~~فإن الاختلاف ذا الصلة في نتائج فرانك وزملائه يمكن
~~تفسيره بسهولة. وحتى إذا تشكك المرء في التفسير المقترح
~~لهذا الاختلاف (وهو التدريب على الأعداد في قرية «آه جي أوه
~~باي»)، فسوف تبقى الحقيقة أن مجموعات النتائج الثلاث
~~جميعها، توضح أن أفراد البيراها يواجهون صعوبة في أداء
~~مهام تمييز الكميات، التي نعرف أن الشعوب العددية يؤدونها
~~بسهولة. والتفسير الأكثر وجاهة لبيانات البيراها هو أنه دون
~~تعلم مفردات الأعداد ms121 واستراتيجيات العد المتعلقة بها،
~~فإن الأفراد يفتقرون إلى القدرة على توحيد الحاستين
~~الفطريتين اللتين نتشارك فيهما جميعا، من أجل التمييز بين
~~الكميات؛ تبقى الحاستان العدديتان منفصلتين، وتصبح
~~مهارات الإدراك الكمي محدودة، مقارنة بالإدراك الكمي لدى
~~الشعوب العددية. ويبدو أن توحيد هاتين الحاستين يستلزم
~~أن يولد المرء في ثقافة عددية، ويستخدم مفردات
~~الأعداد.

# 9

# إضافة إلى تكرار الدراسات السابقة بين أفراد البيراها،
~~قمنا بعد ذلك باختبار مهارات الإدراك الكمي لديهم بطرق
~~أخرى. فعلى سبيل المثال، طلبنا منهم في بعض المهام تكرار
~~سلسلة من الإشارات، أو سلسلة من الأصوات، كالتصفيق. وفي جميع
~~الحالات ظل أداؤهم يشير إلى أنهم يواجهون صعوبة في
~~التمييز بدقة بين الكميات؛ إذ يبدو أنهم يستخدمون الحاسة
~~العددية التقريبية عند التمييز بين الكميات، بصرف النظر عن
~~كيفية استقبالهم للمحفزات المعنية.

# ومن سوء الحظ أن النتائج التي جمعها الباحثون من أفراد
~~البيراها، ما زالت تفسر على نحو غير صحيح في كثير من
~~الأحيان؛ فمن التفسيرات السطحية والخاطئة بشكل واضح، مثلما
~~أشرنا من قبل، هو أن أداء الأفراد يدل بطريقة ما على
~~وجود قصور في مهارات الإدراك على مستوى السكان، وهو تفسير
~~لا يمكن الدفاع عنه من منظور تجريبي. ومن التفسيرات الأخرى
~~التي يمكن دحضها بسهولة أن الأفراد لا يبذلون جهدا في
~~أداء مهام التجربة المعنية، أو يولون اهتمامهم لأشياء أخرى
~~خلال أداء المهام. ولا يتفق هذا التفسير مع الفحص الدقيق
~~للنتائج ؛ إذ إن المشاركين لا يخمنون الإجابة فحسب، بل
~~إننا نجد منهم إجابات تقريبية صحيحة بصورة منتظمة. فمن
~~الواضح أنهم يولون انتباههم إلى الكمية، لكن ذلك يكون
~~بشكل تقريبي. وأما التفسير الثالث، وهو الأكثر وجاهة وتؤيده
~~جميع النتائج التي حصلنا عليها من أفراد البيراها حتى الآن،
~~فهو أنهم جماعة لا عددية، يفتقرون إلى وجود اللغة العددية أو
~~غيرها من مظاهر الثقافة العددية، وهذا الافتقار إلى وجود
~~الأعداد هو الذي ينتج هذا التأثير الواضح في قدرتهم على
~~تمييز الكميات وتذكرها. وليست الدراسات التجريبية وحدها
~~هي التي تدعم هذا التفسير، بل تدعمه ms122 أيضا تقارير كثير من
~~الأجانب الذين تفاعلوا مع هذه الجماعة؛ فما من شيء في الثقافة
~~الأصلية لجماعة البيراها يشير إلى وجود العد الدقيق؛
~~فالمباني التي يسكنون بها، والأدوات التي يصطادون بها،
~~وغيرها من الأدوات الصغيرة، لا تستلزم في إنتاجها تمييزا
~~دقيقا بين الكميات.

# وبالرغم من ذلك، فمن المؤكد أن بعض مظاهر ثقافتهم
~~تتطلب التمييز بين الكميات الكبيرة بصورة منتظمة، أليس
~~كذلك؟ وفي ذلك الصدد يتضح لنا بعض من المفاهيم الخاطئة التي
~~صادفتها مرات عديدة في المحاضرات وغيرها من السياقات، ففي
~~الفقرة التالية التي قدمها أحد المعلقين على الإنترنت
~~على مقالة نشرت في مجلة «سليت» بشأن نتائج هذه الدراسة
~~التجريبية: «إذا كان ثمة سيدة في هذه الجماعة، ولديها
~~سبعة أطفال أو حتى خمسة، فكيف ستربيهم وتهتم بهم إذا كانت
~~غير قادرة على استخدام الحساب لمعرفة أعمارهم النسبية؟ هل
~~يمكن للأم أصلا أن تتذكر أن لديها أكثر من طفلين
~~أو ثلاثة؟ وإذا كانت تستطيع أن تتذكر فلا بد أنها تستطيع
~~العد في سياقات أخرى أيضا.»

# والواقع أن مثل هذه التعليقات تعكس مفهومين أساسيين
~~من المفاهيم الخاطئة بشأن التجربة البشرية في الفراغ العددي؛
~~أولهما هو أن تتبع العمر بشكل تقريبي لا يتطلب استخدام
~~مفاهيم عددية؛ فيمكنني أن أكون واثقا من أن أحد أقاربي
~~أكبر من الآخر؛ لأن القريب الأول كان حيا بالفعل حين
~~ولد القريب الثاني. وإذا كان لدي ثلاثة أقارب آخرون أو
~~أكثر ، فيمكنني أن أعرف أيهم الأكبر باستخدام بعض القياسات
~~المنطقية البسيطة، أو من خلال إجراء مقارنة مباشرة بين أي
~~اثنين من أقاربي؛ ومن ثم فإذا كان لأم أربعة أطفال،
~~فإنها سوف تعرف أيهم كان حيا قبل الآخرين جميعا،
~~وأيهم ولد بعد أن كان الآخرون جميعا أحياء بالفعل؛ ففهم
~~مثل هذه المفاهيم لا يستلزم الإشارة إلى الكميات. إن
~~فهم الأعمار المطلقة، مثل عدد الرحلات التي قد قام بها أحد
~~الأشخاص حول الشمس (راجع الفصل الأول)، يستلزم بالفعل التمييز
~~بين الكميات، لكن ذلك مفهوم مختلف عن مفهوم الأعمار
~~النسبية، غير أنه قد ms123 يبدو من الصعب على العديد من الأفراد أن
~~يفهموا هذا الاختلاف، والأرجح أن ذلك بسبب ترسخ جذورهم في
~~ثقافات يرتبط فيها العمر مع الأعداد بشكل معقد منذ سن
~~مبكرة.

# 10

# وأما النقطة الأخرى التي تتضح في تعليق القارئ، فهي تعكس
~~بعض الحصافة، وإن كان ذلك سطحيا على الأقل؛ كيف يمكن
~~لأم ألا تتذكر عدد أطفالها؟ لا شك بأن جميع الأمهات
~~يتذكرن جميع أطفالهن طوال الوقت، أليس كذلك؟ بالطبع بلى،
~~لكن ذلك لا يتعلق في الواقع بالعد وتمييز الكميات. فلنقل
~~مثلا إنك تنحدر من عائلة كبيرة، وتذهب إلى بيتك في العطلات
~~لتزور إخوتك الأربعة: كوري وأنجلا وجسيكا ومات. بالرغم من
~~ذلك، تلغى رحلة كوري ولا يتمكن من الوصول في الموعد
~~المحدد للعشاء العائلي. فإن لم تخطر بالإلغاء قبل العشاء
~~وجلست لتناوله، فسوف تتساءل على الفور: «أين كوري؟» أعتقد
~~أنك لن تنظر حولك متسائلا بتعجب: «إنني أرى ثلاثة إخوة
~~هنا، لكنني أعرف أن لدي أربعة!» ما أعنيه أنك لا تحتاج
~~إلى أي معرفة بالتمييز الدقيق للكميات لكي تدرك غياب أحد
~~أحبتك. إننا نفكر في أعضاء أسرنا بصفتهم أفرادا، لا
~~أشياء عديمة الوجوه يمكن عدها. «نستطيع» بالطبع أن نعد
~~أعضاء أسرتنا، لكننا لا «نحتاج» إلى ذلك لكي ندرك حضورهم أو
~~غيابهم. والأمر نفسه ينطبق على البيراها؛ فما من دليل يشير
~~إلى أن هؤلاء الأشخاص يحتاجون إلى التمييز بين الكميات لكي
~~يتذكروا الغائبين أو لأداء أي مهمة أخرى في ثقافتهم. فإذا
~~كانت تلك هي الحالة فلا شك في أنهم كانوا سيستخدمون مفردات
~~الأعداد لتيسير ذلك التمييز، لكن البيراها يتذكرون أطفالهم
~~بصفتهم أفرادا، لا أعدادا.

# إن الأسئلة المتعلقة بالأفراد الذين لا يستخدمون الأعداد
~~غالبا ما تنبئنا بشيء عمن يسألونها من الأشخاص الذين
~~ينتمون إلى ثقافات عددية. إننا منخرطون جدا في عالم
~~الأعداد، حتى إنه قد صار من الصعب علينا أن نتخيل الحياة
~~بدونها؛ فحيواتنا الإدراكية والمادية لا يمكن أن تنفصل عن
~~الأعداد التي طورناها، والتي نفرضها على أنفسنا في سن
~~مبكرة للغاية. إن النتائج التي ms124 تجمع من جماعة البيراها، قد
~~تستغل في إظهار غرابة هذه الجماعة من السكان الأصليين، وذلك
~~يحدث في بعض الأحيان، وتؤدي إلى التعامل معهم باعتبارهم
~~نسخة معاصرة من بشر العصر الحجري القديم. ومثل هذا التغريب
~~يضيع الكشف الحقيقي الذي تقدمه مثل هذه الأبحاث. ولا
~~يقتصر هذا الكشف على جماعة البيراها فحسب، بل يمتد
~~ليشملنا جميعا؛ فالبشر يحتاجون إلى اللغة العددية والثقافة
~~كي يتمكنوا من تمييز معظم الكميات المحددة بدقة
~~وتذكرها. إن المهارات الإدراكية المتعلقة بالكميات،
~~التي تبدو من المهارات الأساسية، ليست مجرد منتج ثانوي
~~لبعض الآليات الفطرية أو العمليات التي تحدث بصورة طبيعية
~~تلقائية، بل إن بعضها لا يكتسب إلا من خلال الثقافة
~~واللغة.

# ومن حسن الحظ أن هذا الاستنتاج لا يتوقف كليا ولا
~~حتى مبدئيا على النتائج التي حصلنا عليها من أهل
~~البيراها؛ فالأعمال المعنية بتطور الإدراك العددي لدى
~~الأطفال في المجتمعات الصناعية الكبيرة، قد توصلت إلى
~~الاستنتاج نفسه، وهو ما سنراه في الفصل السادس، إضافة إلى
~~الأبحاث التي أجريت بين مجموعة أخرى مذهلة من سكان
~~الأمازون، وهي جماعة الموندوروكو التي سبق ذكرها. وثقافة
~~الموندروكو من الثقافات الأصلية الكبيرة؛ فبينما يبلغ عدد
~~أفراد البيراها 700 فرد تقريبا، نجد ما يربو على 11 ألف
~~فرد من الموندوروكو. وهم يقيمون على أرضهم الكبيرة على بعد
~~600 كيلو متر من أقصى جزء باتجاه الشرق من أرض البيراها. وهم
~~يشتركون مع البيراها في بعض السمات، بالرغم من اختلاف نمطي 
~~حياتهم؛ فمن الناحية التاريخية تشترك الثقافتان في سمعتهما
~~المخيفة في الدفاع عن أراضيهم الأصلية عند وصول الأوروبيين.
~~وقد استحقت هذه السمعة أيضا جماعة أخرى تعرف باسم
~~المورا، التي كانت البيراها مجموعة صغيرة تنتسب لها. ومثلما
~~ذكرنا سابقا، فإن جماعة الموندوروكو يتشاركون في تلك
~~السمعة، التي سادت لفترة طويلة، بأنهم يواجهون صعوبة مع
~~المفاهيم العددية.

# بالرغم من ذلك، على العكس من البيراها، فثقافة الموندوروكو
~~ليست لا عددية تماما؛ إذ إنهم يستخدمون بعض مفردات الأعداد
~~التي تشير إلى مجموعات تتكون من عنصر واحد أو 2 أو 3 ms125 أو 4
~~من العناصر. غير أن الفحص الدقيق يوضح أن هذه الأعداد
~~ليست دقيقة كمفردات الأعداد في معظم اللغات؛ فهي تقع في
~~المنتصف بين مفردات الأعداد الإنجليزية مثل

# one

# وبين مفردات البيراها
~~مثل

# hói

# وكذلك

# hoí
~~. وقد أكدت التجارب
~~هذا الافتقار إلى الدقة؛ فحين كان يطلب من متحدثي
~~الموندوروكو ذكر مفردة عددية تعبر عن مجموعة النقاط
~~الموزعة عشوائيا على شاشة الكمبيوتر المحمول، أجابوا
~~بالكلمة

# pug

# فيما يقرب من
~~100 بالمائة من الحالات التي عرضت عليهم فيها نقطة واحدة،
~~واستخدموا الكلمة

# xep

# في 100
~~بالمائة من الحالات التي عرض عليهم فيها نقطتان. من الواضح
~~إذن أن لغتهم تستخدم كلمات تشير إلى العدد «واحد»
~~والعدد «اثنين»، وهي عادة ما تستخدم كلمات تعبر عن
~~المجموعات التي تتكون من ثلاثة عناصر أو أربعة على التوالي،
~~لكن هذه المصطلحات لا تشير إلى ثلاثة عناصر أو أربعة في
~~جميع الحالات. ويوضح هذا أنها مصطلحات عددية غير دقيقة
~~تتشابه في نوعها مع مصطلحات البيراها. وبالنسبة إلى
~~الكميات الأكبر من أربعة، فهم يستخدمون كلمات تقريبية
~~أخرى، وأفضل ترجمة لها هي «بعض» «والكثير». إضافة إلى ذلك،
~~فمن الواضح أن مفردات الأعداد التي توجد في اللغة، لا
~~تستخدم في كثير من الأحيان؛ لذا فالإشارات العددية ليست
~~منتشرة. (على العكس من ذلك، فبعض اللغات في أستراليا وغيرها،
~~لا تمتلك إلا مجموعة محدودة من مفردات الأعداد، لكنها
~~تستخدم الإشارات إلى مفاهيم كالمفرد والمثنى والجمع، في
~~كثير من الأحيان.)

# 11

# لقد قام بيير بيكا، وهو عالم لغويات فرنسي يجري بعض
~~الأعمال التجريبية في الأمازون، بدراسة الإدراك العددي الأساسي
~~لدى جماعة الموندوروكو، وذلك مع فريق من علماء النفس
~~المرموقين. وقد وضح هو والفريق أن متحدثي هذه اللغة
~~يعتمدون على حاستهم العددية التقريبية في أداء المهام
~~الرياضية التي تتضمن كميات أكبر من ثلاثة، مثلهم في ذلك
~~مثل أفراد البيراها. في إحدى الدراسات أجرى بيكا ورفقته أربع
~~مهام رياضية أساسية، على خمسة وخمسين من أفراد الموندوروكو
~~البالغين، وعشرة أفراد من متحدثي الفرنسية يمثلون
~~المجموعة الضابطة. وقد ms126 كانت اثنتان من هذه المهام لهما طبيعة
~~تقريبية، وكان يطلب من المشاركين فيهما أن يحددوا بسرعة
~~أي مجموعتي النقاط اللتين تظهران على شاشة الكمبيوتر
~~تتضمن أكثر النقاط. وقد كان أداء الموندوروكو وأداء
~~الفرنسيين متماثلا في مثل هذه المهام؛ إذ إنها لا تستلزم
~~سوى التقريب لا التمييز الدقيق بين الكميات. بالرغم من ذلك،
~~ففي المهمتين الأخريين طلب من المشاركين توضيح التمثيل
~~الدقيق للكميات، وقد تضمنت كلتا المهمتين الطرح من
~~النقاط؛ فقد شاهد المشاركون النقاط وهي «توضع» في علبة
~~تظهر على شاشة الكمبيوتر، وقد تابعوا المشاهدة بينما تتم
~~«إزالة» عدد من النقاط من العلبة. وقد طلب منهم في واحدة
~~من هاتين المهمتين أن يذكروا اسم الكمية المتبقية في
~~العلبة، وفي المهمة الأخرى طلب منهم أن يختاروا من بين
~~مجموعة من الصور العلبة التي تحتوي بداخلها على العدد الصحيح
~~المتبقي من النقاط؛ فعلى سبيل المثال إذا شاهدوا خمس نقاط
~~تدخل العلبة، وأربعة تخرج منها، فقد كانوا يرون بعدها
~~بشكل متزامن ثلاث علب «للاختيار»؛ من بينها: علبة تحتوي
~~على صفر من النقاط، وعلبة تحتوي على نقطة واحدة، وعلبة تحتوي
~~على نقطتين. والإجابة الصحيحة في هذه الحالة بالطبع هي العلبة
~~التي تحتوي على نقطة واحدة.

# في المهام التي تستلزم تمييز الكميات بدقة كانت إجابات
~~الموندوروكو شبيهة للغاية بإجابات البيراها؛ فقد كان الاختلاف
~~واضحا بين النتائج التي حصل عليها الباحثون من الموندوروكو،
~~والنتائج التي حصلوا عليها من المجموعة الضابطة المتمثلة
~~في متحدثي الفرنسية؛ ففي حالة أفراد الموندوروكو، بالغين
~~وأطفالا، كان أداؤهم مثاليا تقريبا حين كان العدد
~~الأولي للنقاط التي توضع في العلبة أقل من أربعة، أما
~~حين أصبح العدد الأولي أربعة أو أكثر، فقد انخفض مستوى الأداء
~~انخفاضا ملحوظا؛ فقد «ظل أفراد الموندوروكو يستخدمون
~~التمثيلات التقريبية، في مهمة حلتها المجموعة الضابطة من
~~الفرنسيين بسهولة من خلال إجراء حسابات دقيقة.»

# 12

# بالرغم من أن بعض الأبحاث الأخرى قد درست الإدراك العددي
~~لدى أفراد من المجموعات الأصلية غير المترابطة، التي
~~تستخدم أنظمة عددية محدودة، فإن النتائج التي حصلنا ms127
~~عليها من البيراها والموندوروكو ترتبط ارتباطا كبيرا
~~بفهمنا للقدرة التحويلية للأعداد بصفتها أدوات مفاهيمية؛
~~إذ إن هذه الجماعات تفتقر في العادة إلى وجود مصطلحات
~~عددية محددة ووجود عدد نحوي. (تقترح الأبحاث الحديثة أن
~~العدد النحوي يفيد أيضا في اكتساب المفاهيم
~~العددية.)

# 13

# وليس من الغريب أن هؤلاء الأفراد يفتقرون
~~إلى وجود عادات العد وطرقه، التي يبدو أنها مهمة للغاية
~~في تطور المفاهيم العددية المحددة في عقول الأطفال في
~~المجتمعات العددية. (انظر الفصل السادس.) إن النتائج التي
~~حصل عليها الباحثون من هاتين المجموعتين اللتين تعيشان في
~~الأمازون متشابهة للغاية، مما يشير إلى نتيجة واضحة؛ وهي
~~أن البشر الذين يعيشون في ثقافات تفتقر إلى وجود أنظمة
~~عددية دقيقة يواجهون صعوبة في التمييز الدقيق بين الكميات
~~الأكبر من ثلاثة. وهذا الاستنتاج يسهم في زيادة فهمنا لما
~~كان للأعداد من تأثيرات على نوعنا؛ ففي نهاية المطاف لا
~~تعكس هذه النتائج شيئا عن هاتين المجموعتين فحسب، لكن
~~الأهم أنها توضح كيفية عمل الإدراك الرياضي الأساسي في غياب
~~الدعم المفاهيمي الذي تقدمه مصطلحات الأعداد وغيرها من
~~الرموز المرتبطة بها؛ فالأصحاء البالغون الذين يفتقرون إلى
~~وجود مثل هذه الأدوات الرمزية يعتمدون على التقدير التقريبي
~~عند التعامل مع الكميات الأكبر من ثلاثة. إن التمثيلات
~~الدقيقة لكميات مثل 5 و6 و7 ليست متأصلة في عقولنا
~~بطريقة ما، بل تكتسب عادة من خلال الثقافة. إنها ظاهرة
~~تعتمد على اللغة؛ فنحن لا نستطيع التمييز بين مثل هذه
~~الكميات بدقة على الدوام إلا أن نندمج في مصفوفة من الرموز
~~المتوارثة ثقافيا، مثل مفردات الأعداد.

# في كتابه «الحاسة العددية» يقدم عالم النفس الشهير
~~ستانيسلاس ديهان (أحد أعضاء فريق بيكا) التفسير التالي
~~لنتائج تمييز الكميات التي جمعت من الموندوروكو: «إن
~~تجاربنا تدافع بقوة عن عالمية الحاسة العددية ووجودها في
~~أي ثقافة بشرية، مهما كانت درجة انعزالها أو حرمانها من
~~التعليم؛ فما توضحه أن الحساب سلم، جميعنا يبدأ من
~~الدرجة نفسها، لكننا لا نرتقي جميعا إلى المستوى
~~نفسه.»

# 14

# إن ديهان على صواب بالطبع في ms128 أن نتائج الموندوروكو
~~والبيراها تؤيد الطبيعة العالمية لحاستنا العددية الفطرية،
~~أو حاستينا العدديتين على وجه التحديد؛ فبالرغم من كل
~~شيء، تستطيع كلتا الجماعتين التمييز بين 1 و2 و3 بصورة
~~متسقة؛ وذلك من خلال الحاسة العددية الدقيقة (نظام
~~التفرد المتوازي الفطري). وكلتا المجموعتين تعمدان إلى
~~حساب الكميات الكبيرة بصورة تقديرية، باستخدام الحاسة
~~العددية التقريبية. بالرغم من ذلك، فربما يكون الأمر الأهم
~~بشأن هذه الدراسات وثيقة الصلة، هي أنها تقترح أن ارتقاء
~~أي من درجات السلم يستلزم وجود الأعداد. إن الارتفاع
~~الذي نبلغه في ارتقاء هذا السلم ليس نتيجة لذكائنا
~~الفطري، بل نتيجة اللغة التي نتحدث بها والثقافة التي
~~ولدنا فيها؛ فإذا كان أحدنا يتحدث لغة لا عددية، فلن
~~تكون لديه سوى فرصة ضئيلة في الارتقاء، ومن المحتمل ألا
~~يكون لديه سوى سبب ضئيل يدفعه إلى الارتقاء أيضا؛ فاللغة
~~العددية وما يرتبط بها من ممارسات عددية، تتيح وجود ما يبدو
~~لنا على أنه أنواع أساسية من التفكير الكمي.

# لا يزال علينا إجراء الكثير من الأبحاث قبل أن نحيط بفهم
~~كامل للدور الذي أدته اللغة العددية وغيرها من مظاهر
~~الثقافة العددية، في تشكيل الإدراك الرياضي لدى الغالبية
~~العظمى من البشر الذين يعيشون اليوم. وهذا الاستكشاف لن
~~يوضح لنا دور الأعداد في توحيد حاستينا العدديتين
~~الأساسيتين فحسب، بل سيفسر لنا أيضا جوانب أخرى من
~~التفكير الكمي؛ فعلى سبيل المثال، بدأ العمل البحثي الذي
~~أجري على ثقافة الموندوروكو في استكشاف كيفية تأثير الأعداد
~~في قدرة البشر على تنصيف الكميات، ويقترح ذلك البحث أن
~~أفراد الموندوروكو يستطيعون تنصيف الكميات بشكل تقريبي ، حتى
~~وإن لم يكونوا قد تعرضوا لتلك الكميات من قبل.

# 15

# ومن المسائل الأخرى التي أجريت الأبحاث عليها حديثا في
~~ثقافة الموندروركو، هي مدى استخدام الأشخاص للمفاهيم المكانية
~~أثناء التفكير الكمي. ومثلما ذكرت في الفصل الأول، فإن
~~البشر كثيرا ما يستخدمون المجال المادي للمكان لفهم بعض
~~النطاقات الإدراكية الأكثر تجريدا. وقد أشرت في هذا الفصل
~~إلى أن الغالبية العظمى من الثقافات تستخدم المكان من أجل ms129
~~فهم الزمن. وبالمثل فإن البشر كثيرا ما يفسرون
~~الكميات بمصطلحات مكانية، ويستخدم نقل الكميات إلى المكان
~~في مدارسنا بالطبع، التي يتعلم فيها طلابنا استخدام خطوط
~~الأعداد والمستوى الديكارتي، غير أننا نجد استخداما أقل
~~منهجية للمكان يظهر في العديد من الثقافات الأخرى. إضافة
~~إلى ذلك، تقترح بعض الأبحاث أن الأطفال الصغار والرضع
~~يعرفون جيدا كيف يتصورون الأعداد في المكان قبل أن يبدءوا
~~التعلم في المدرسة.

# 16

# ولكي نتمكن من تحقيق فهم أفضل للتعيين الإدراكي
~~للكميات في المكان؛ أجرى ديهان وزملاؤه التجربة التالية على
~~أفراد الموندوروكو. عرض على المشاركين دائرتان يفصل بينهما
~~خط أفقي. على الدائرة اليسرى توجد نقطة سوداء، وعلى
~~الدائرة اليمنى توجد عشر نقاط سوداء، ثم عرض على
~~المشاركين مجموعة منفصلة من النقاط، تتكون من ست نقاط
~~على سبيل المثال، وطلب منهم وضع هذه الكمية من النقاط على
~~الخط الأفقي. والآن، إذا كان الموندوروكو لا يفهمون الكميات
~~من خلال المكان، فقد تكون إجاباتهم عشوائية، وعلى النقيض من
~~ذلك، فالأمريكيون يضعون الكميات عادة على مسافات متساوية
~~على خط «الأعداد» الأفقي؛ فهم على سبيل المثال يضعون تسع
~~نقاط بالقرب من الدائرة التي تحتوي على عشر نقاط، ونقطتين
~~بالقرب من الدائرة التي تحتوي على نقطة واحدة. وقد قام
~~الموندوروكو أيضا بوضع النقاط بطريقة منتظمة، لكن طريقتهم
~~في توزيعها على خط الأعداد لم تكن منظمة للغاية؛ فبدلا من
~~هذه الطريقة الخطية، التي يبدو أنها تدرس في المدرسة،
~~استخدم الموندوروكو ما يعرف باسم الاستراتيجية اللوغاريتمية
~~في أداء هذه المهمة؛ لقد كانت الكميات الصغيرة هي الأكثر
~~نزوحا بمحاذاة البعد الأفقي مقارنة بالكميات الكبيرة .
~~وضعت ثلاث نقاط بالقرب نسبيا من منتصف الخط، ووضعت
~~تسع نقاط على ضعف المسافة تقريبا (مقارنة بالنقاط الثلاث)
~~من الدائرة اليسرى. في الشكل الخطي الذي يألفه معظمنا،
~~نتوقع أن النقاط التسع ستوضع على بعد ثلاثة أضعاف
~~المسافة من الدائرة اليسرى، مقارنة بالنقاط الثلاث. أما في
~~الشكل اللوغاريتمي فيجب وضع النقاط التسع على بعد ضعف
~~المسافة من الثلاث نقاط؛ إذ إن
~~3

# 2
~~= 9. ونظرا ms130 لأن
~~الموندروركو ثقافة لا عددية بشكل كبير؛ فإن طريقتهم في
~~تحديد موضع النقاط قد أوحت للبعض بأن جميع البشر، بصرف
~~النظر عن ثقافتهم ولغتهم، يستخدمون المكان لفهم الكميات. فمن
~~الواضح أن الأشخاص البالغين الذين ينتمون إلى ثقافات لا
~~عددية، يستخدمون خط «أعداد» ذهنيا، لكن هذا الخط الذهني
~~مؤسس على الطريقة اللوغاريتمية.

# 17

# لكن يبدو لنا الآن أن الأمر قد لا يكون كذلك في جميع
~~الجماعات السكانية التي لم تتلق التعليم المدرسي؛ إذ تشير
~~نتائج حديثة جمعت من إحدى الجماعات الأصلية في الجانب الآخر
~~من العالم إلى أن خط الأعداد البشري قد لا يكون عالميا
~~على أي حال؛ فقد قام فريق من علماء الإدراك بقيادة رفاييل
~~نونييث من جامعة كاليفورنيا في سان دييجو بإعادة تجارب خطوط
~~الأعداد الذهنية على جماعة اليوبنو التي تعيش في سلسلة جبلية
~~بعيدة في بابوا نيو غينيا. وبالرغم من أن أفراد اليوبنو
~~يستخدمون مفردات الأعداد، فإنهم لا يقيسون المكان ولا
~~الزمان بطرق دقيقة. وقد ثبت أنهم لا يربطون ذهنيا بين
~~الكميات والمكان، بطريقة يمكن التنبؤ بها. وعلى العكس من
~~معظم أفراد الموندوروكو، لم يظهروا أي استعداد لوضع
~~الكميات على خط أعداد ذهني، سواء أكان لوغارتميا أم لا.
~~وبدلا من ذلك، حين طلب منهم وضع كميات محددة من النقاط
~~وغيرها من المحفزات على خط ما، كانوا يختارون النقاط
~~الطرفية من الخط على الدوام. ويشير هذا العجز عن تقسيم
~~الخط، وفقا للكميات، إلى أن التفكير في الكميات من الناحية
~~المكانية لا يحدث لدى جميع البشر، وإنما يدرك بعض الأشخاص
~~الكميات بطرق مختلفة، تستند - ولو جزئيا على الأقل - إلى
~~الأدوات المفاهيمية التي اكتسبوها من ثقافتهم
~~الأصلية.

# 18

# من الواضح إذن أنه لا يزال علينا أن نتعلم القدر الكبير
~~بشأن الكيفية التي تشكل بها اللغة العددية وغيرها من أجزاء
~~الثقافة العددية إدراك البشر للكميات؛ فلا يزال من غير
~~المؤكد لدينا، على سبيل المثال، مدى اختلاف الثقافات في
~~نزعتها إلى استخدام خطوط الأعداد الذهنية. بالرغم من ذلك،
~~فثمة أمر واحد اتضح لنا ms131 من مناقشتنا في هذا الفصل، وهو
~~أن أعضاء الثقافات الأصلية المختلفة، الذين يعيشون في
~~الأدغال البعيدة ويتحدثون لغات لا يرتبط بعضها ببعض،
~~يسهمون في إعادة تشكيل فهمنا عن التفكير الرياضي؛ فقد
~~أوضحت الدراسات التي أجريت على هذه الجماعات السكانية
~~أن الأعداد والعد أمران أساسيان في مهارات الإدراك
~~الكمي، حتى ما يبدو متواضعا منها. وقد أوضحت الدراسات
~~أنه بالرغم من أن جميع البشر يولدون بقدرات رياضية
~~مؤكدة وأساسية للغاية، فوحدهم الأفراد الذين ينتمون إلى
~~ثقافات عددية هم الذين يستطيعون ارتقاء السلم
~~الحسابي.

# بلا أصوات ولا أعداد

# ليست جماعة الموندوروكو وجماعة البيراها هما الجماعتين
~~الوحيدتين اللتين تستخدمان أساليب التواصل اللاعددي
~~بصورة مطلقة، أو تستخدمانها بصفة أساسية؛ فثمة جماعة أخرى
~~من البشر تفتقر إلى وجود اللغة العددية، وهي أيضا تلقي بعض
~~الضوء على مدى تأثير الأعداد في التفكير الرياضي الأساسي.
~~وهؤلاء الأفراد الذين نتحدث عنهم هم مجموعة من الصم
~~الذين يعيشون في نيكاراجاوا، ولمجموعة من الأسباب، لم تسنح
~~لهم الفرصة من قبل في تعلم لغة الإشارة. بالرغم من ذلك
~~فهم، كغيرهم من الصم الذين لا يعرفون لغة الإشارة في
~~أجزاء أخرى من العالم، يستخدمون إشارات الأيدي المبتكرة
~~للتحدث مع من حولهم؛ لا سيما أفراد الأسرة الذين يشاركون في
~~تعلم هذه الإشارات المبتكرة واختراعها. إن هؤلاء الصم
~~هم شاهد حي على قوة احتياج البشر إلى التواصل؛ ففي الحالات
~~التي يفتقر فيها الأطفال إلى حاسة السمع، والتعرض للغة
~~مكتملة التكوين؛ لا تزال تظهر لدينا وسيلة واضحة من
~~وسائل التواصل؛ غير أن هذه الوسيلة للتواصل، على الأقل في
~~حالة صم نيكاراجاوا، تفتقر إلى مفردات الأعداد.

# في دراسة مذهلة، أجرى علماء النفس مجموعة من التجارب
~~المتعلقة بقدرات الإدراك العددي لدى أربعة من الصم
~~البالغين الذين لا يعرفون لغة الإشارة في نيكاراجاوا. لا
~~يمتلك هؤلاء البالغون أي معرفة بالأعداد، لكنهم على العكس
~~من الموندوروكو والبيراها ينتمون إلى ثقافة عددية؛ فهم
~~يدركون أهمية الاختلافات بين الكميات. فعلى سبيل المثال
~~يمكن لهؤلاء الصم أن يدركوا القيمة التقريبية للأوراق
~~النقدية، ويستطيعون ms132 التمييز بين الأوراق ذات الفئة الصغيرة
~~والأوراق ذات الفئة الكبيرة. وبالرغم من هذا الوعي، وبالرغم من
~~وعيهم بوجود كميات محددة أكبر من ثلاثة؛ فهم لا يمتلكون
~~وسيلتهم الخاصة للإشارة إلى مثل هذه الكميات بطرق محددة.
~~إنهم لا يمتلكون الأعداد.

# وقد اختبر الباحثون
~~مدى تأثير عدم وجود الأعداد على هذه الجماعة النيكاراجاوية،
~~التي تشبه البيراها والموندوروكو في أنه لا يظهر لديها
~~أي عيوب إدراكية خلقية. وتلقي الدراسة مزيدا من الضوء
~~على القدرات الرياضية لدى الأصحاء البالغين الذين لا
~~يعرفون الأعداد، لكنها تختبر ذلك على مجموعة من الأفراد
~~الذين أدركوا على مدار حياتهم وجود الأعداد. إن هذه الأعداد
~~ببساطة لم تتغلغل في حيواتهم الإدراكية من خلال اكتساب مفردات
~~الأعداد وطرق العد؛ فبالرغم من أن هؤلاء الصم يستخدمون
~~الإيماءات للتواصل بشأن الكميات، فهم يفعلون ذلك بطريقة غير
~~محددة حين يتعلق الأمر بالكميات الكبيرة.

# بعد إجراء مجموعة من التجارب، ومنها أحد مهام المطابقة
~~الأساسية، والمتمثلة في مطابقة خط بخط، التي كانت قد
~~أجريت لمرات عديدة بين أفراد البيراها؛ توصل الباحثون
~~إلى نتيجة شبيهة للغاية، وهي أن الصم الذين لا يعرفون لغة
~~الإشارة «لا يستطيعون مطابقة عدد العناصر في مجموعة ثانية
~~بعدد العناصر في المجموعة الهدف، إذا كانت المجموعتان تضمان
~~أكثر من ثلاثة عناصر.»

# 19

# وكأفراد الموندوروكو والبيراها، يجد هؤلاء
~~الأفراد البالغون صعوبة في تمييز كمية عناصر المجموعة بدقة
~~وإعادة إنتاجها، حين تتجاوز الكمية ثلاثة. فعلى سبيل المثال
~~شاهد الصم الذين لا يعرفون لغة الإشارة بطاقات عليها صور
~~لعدد محدد من العناصر، ثم طلب منهم أن يمثلوا عدد
~~العناصر الموجودة على البطاقة باستخدام أصابعهم. وحين كان عدد 
~~العناصر المصورة على البطاقات واحدا أو اثنين أو ثلاثة،
~~كانوا يمثلون العدد الصحيح بأصابعهم في جميع المحاولات. أما
~~في الكميات الكبيرة فقد انخفضت نسبة إجاباتهم الصحيحة، وازداد
~~مقدار أخطائهم وفقا لزيادة كمية العناصر. وعلى العكس من
~~ذلك، فالذين يتحدثون لغة الإشارة الرسمية من الصم
~~النيكاراجاويين، الذين يعرفون مفردات الأعداد، لم يخطئوا،
~~وكذلك أهل نيكاراجاوا من غير الصم، الذين ms133 يعرفون مفردات
~~الأعداد بالإسبانية. وموجز القول أن النتائج التي حصل عليها
~~الباحثون من النيكاراجاويين تقترب من استنتاج قد أصبح الآن
~~مألوفا، وهو أن البشر يحتاجون إلى استخدام مفردات الأعداد
~~لكي يتمكنوا من أن يميزوا بين الكميات الأكبر من ثلاثة
~~بدقة واتساق.

# خاتمة

# إذا كانت للأعداد هذه الفائدة الكبيرة من الناحية
~~الإدراكية، فلماذا اختارت بعض الجماعات أن تتخلى عنها أو
~~فشلت في استخدامها؟ يمكننا أن نعمد إلى تقديم إجابات
~~مسكنة عن هذا السؤال، فيمكننا أن نقول مثلا: إن «هؤلاء
~~البشر أفضل حالا دون استخدام الأعداد.» لكن ثمة احتمالا
~~كبيرا بأن هذه الإجابات تتسم بالنزعة الأبوية أو تضع
~~النسبية الثقافية في غير محلها. والأرجح أن الإجابة
~~الحقيقية عن هذا السؤال قد ضاعت فيما لم يكتب من تواريخ
~~الثقافات المعنية، وذلك في حالة الموندوروكو والبيراها على
~~الأقل. من المؤكد أن هذه الجماعات كانت ستستفيد من المزايا
~~التي يوفرها استخدام هذه الأدوات المعرفية العجيبة، غير أنه
~~من المؤكد أيضا أن هذه الجماعات قد تمكنت من البقاء على
~~مدار فترة طويلة، ونجحت في البيئات التي تعيش بها دون
~~مساعدة الأعداد.

# 20

# على ضوء فائدة الأعداد وانتشارها في معظم لغات العالم؛ فإن
~~وجود الجماعات اللاعددية هو أمر صادم بطريقة ما، غير أن
~~المخزون العالمي من اللغات يقدم لنا، على نحو لا بد منه،
~~استثناءات لتوقعاتنا بأن بعض السمات اللغوية يجب أن
~~تكون عالمية. إن الثقافات واللغات يختلف بعضها عن بعض
~~اختلافا جذريا. وإذا سلمنا بهذه الحقيقة، فلن نندهش
~~بالقدر نفسه عندما نعرف أن بعض البشر يعيشون في عوالم
~~بلا مفردات للأعداد، أو أرقام أو إشارات عددية متفق
~~عليها، أو غيرها من الإشارات التي تعبر عن كميات محددة.
~~وقد أشرت ضمنيا في هذا الفصل إلى أن ذلك أمر مفيد في
~~سياق مسعانا الحالي لفهم الكيفية التي غيرت بها
~~الأعداد خبرتنا البشرية؛ فهذه الجماعات من البالغين
~~الأصحاء الذين ينتمون إلى ثقافات لا عددية، توفر لنا
~~نافذة ثمينة على طبيعة التفكير الكمي لدى البشر. وهي
~~تقدم لنا دليلا واضحا ms134 على أنه بدون الأعداد لا نستطيع أن
~~ننمي قدراتنا الفطرية لكي نفهم جميع الكميات بشكل
~~كامل.



# الفصل السادس



# | الكميات في عقول الأطفال الصغار




# بالرغم من أننا نتتبع عمرنا ووجودنا إلى اللحظة التي طردنا
~~فيها من أرحام أمهاتنا، فذلك لأن هذه الطريقة ملائمة لنا بدرجة
~~كبيرة، أما الواقع فهو أننا ننفصل عن مرحلة اللاوعي، وتدب
~~فينا الحياة تدريجيا ونحن في الرحم. وهذا الانفصال مقيد
~~بطبيعة الحدود المحيطة بنا التي تمنع معظم المحفزات من
~~التأثير على حيواتنا العقلية. لكن الرحم لا يستطيع أن يمنع
~~جميع المحفزات من الوصول إلينا، وفيه نبدأ التواصل مع
~~المحفزات المادية الخارجية التي يكون لها تأثير عميق على
~~حيواتنا المعرفية والسلوكية بداية من ذلك الوقت فصاعدا، وهي
~~أصابعنا. إنها محفزات أساسية من الناحية التجريبية؛ فهي تتلمس
~~طريقها إلى خبرتنا الحسية، وحتى أفواهنا، قبل أن نعي
~~بالروائح والمناظر والأصوات (مع القليل من الاستثناءات). في المرة
~~الأولى التي رأيت فيها وجه ابني، كان ذلك على جهاز التصوير
~~بالأشعة فوق الصوتية ثلاثي الأبعاد، قبل ولادته بشهرين، وكانت
~~أصابعه تطفو في المساحة الموجودة بجوار خديه، وقد بدا ذلك
~~تأكيدا راسخا لوجوده الجديد. قبل أن يرى الضوء الحقيقي، كان
~~«يرى» الأصابع حوله وهي تلمس هذه الأجزاء المتفردة من جسمه،
~~ويبدو أنه يشعر بها واحدة بعد الأخرى، وينطبق الأمر نفسه على
~~بقية الأجنة في الأرحام. وهذه المرحلة من الحياة فيما قبل
~~الولادة هي البداية فقط لرحلة معرفية طويلة نخوضها مع أصابعنا
~~جنبا إلى جنب. إن كمية الأصابع الموجودة في أيدينا تؤدي
~~دورا أساسيا في تفكيرنا العددي الذي يميزنا بصفتنا بشرا،
~~ويتضح هذا الدور في كثرة تسمية البشر على مستوى العالم للأعداد
~~باسم المصطلحات التي يستخدمونها للإشارة إلى الأيدي. بالرغم من
~~ذلك، فقبل أن نلقي الضوء على ذلك الدور الأساسي، فإننا نحتاج
~~إلى فهم تلك المفاهيم العددية التي قد تسبق وعينا بأصابعنا
~~التي يمكن عدها، بصورة أوضح؛ ذلك أننا حتى وإن كنا نلتقي
~~بأصابعنا في وقت مبكر للغاية، يبدو أننا نكون واعين ببعض هذه
~~الفروق ms135 العددية حتى قبل مثل هذا اللقاء. فعلى أي حال، يزود
~~البشر منذ البداية بالأنظمة العصبية المعرفية المذكورة في الفصلين
~~الرابع والخامس: الحاسة العددية التقريبية، وما أسميته
~~بالحاسة العددية الدقيقة. وهاتان الحاستان معا يسمحان لنا
~~بإدراك الفروق الكمية في مرحلة مبكرة من الحياة.

# 1

# بالرغم من ذلك، فحتى مع هاتين الحاستين اللتين
~~يمكن استخدامهما، فمن الصعب على الأطفال أن يتعلموا كيفية
~~التفكير في جميع الكميات بدقة؛ فتعلم كيفية التمييز بين الأعداد
~~ليس سهلا، وهو يتوقف بدرجة كبيرة على تعلم مفردات الأعداد.
~~وبالنسبة إلى جميع البشر على أي حال فإن هذه المفردات، التي
~~تستند تسميتها إلى الأصابع في معظم الأحوال، تكون هي بداية
~~إدراكهم للأعداد الصحيحة.

# كيف يفكر الرضع في الكميات؟

# مثلما رأينا من قبل، فإن الحاسة العددية الدقيقة تتضح
~~لدى الجماعات اللاعددية، دون وجود أي وسيلة لغوية لنقل
~~المفاهيم العددية من جيل إلى الجيل التالي، أو بين أفراد
~~الجيل الواحد. وينطبق الأمر نفسه على جميع البالغين من
~~البشر؛ فحتى من ينتمون منهم إلى ثقافات لا عددية يمتلكون
~~القدرة على التمييز بين المجموعات التي تحتوي على عدد كبير
~~من العناصر، إذا كان الفرق بين المجموعات كبيرا بالدرجة
~~الكافية. فجميع البالغين الذين يتمتعون بحالة عصبية
~~إدراكية طبيعية يستطيعون التمييز بين 6 عناصر وبين 12 عنصرا،
~~وكذلك بين 8 عناصر و16 عنصرا، وهذه القدرة هي دليل على وجود
~~الحاسة العددية التقريبية. وتتيح لنا مفردات الأعداد
~~واستراتيجيات العد أن نتمكن من التمييز بين الكميات
~~بدقة، بما فيها الكميات الكبيرة، ويحدث ذلك بصفة أساسية من
~~خلال الدمج بين حاستينا العدديتين الفطريتين
~~معا.

# وبالرغم من ذلك، قد يطرح أحدهم سؤالا وجيها: كيف يمكننا
~~أن نجزم أن الحاستين المعنيتين هما قدرتان فطريتان
~~فعلا؟ فبعض السمات الأخرى للأدوات الإدراكية للبشر، التي
~~كنا نعتقد أنها فطرية قبل ذلك، لا تبدو الآن كذلك؛ على سبيل
~~المثال استنتج العديد من علماء اللغة في الماضي أن نشأة
~~اللغة نفسها كانت بسبب حدوث طفرة وراثية أو مجموعة من
~~الطفرات في الجينوم البشري، وأن البشر ms136 جميعا يشتركون في
~~وجود «غريزة اللغة» لديهم. ومعنى هذا أن الطبيعة قد انتقت
~~البشر الذين حدثت لهم هذه الطفرة أو المجموعة من الطفرات؛ إذ
~~كانت تلك السمة الوراثية مفيدة للغاية للتكاثر. واليوم
~~قل عدد علماء اللغة الذين يعتقدون بهذا، وأصبح أفضل تعريف
~~للغة هو أنها مجموعة من استراتيجيات التواصل وإدارة المعلومات
~~المتنوعة، ولكنها في الغالب متشابهة. ومن هذا المنظور الذي
~~تتزايد شعبيته، فمن المرجح أن يكون الانتقاء الطبيعي
~~قد أنتج لنا مجموعة من القدرات الإدراكية والاجتماعية التي
~~أسهمت في تعزيز اللغة، لكنها لم تؤد بصورة مباشرة إلى
~~إنتاج غريزة لغوية محددة. فكيف يمكننا إذن أن نكون
~~متأكدين للغاية من أن «حاستينا» العدديتين غريزيتان
~~وليستا أيضا نتيجة مجموعة من الاستراتيجيات المتقاربة
~~للتفكير في الكميات؟ كيف يمكننا أن نثق بأننا نمتلك بالفعل
~~قدرة فطرية على التفكير العددي؟

# 2

# إنه لأمر صعب أن نقدم إجابة محددة عن هذا السؤال، غير
~~أن لدينا مكونين أساسيين في هذه الإجابة؛ وهما نوعان
~~عامان من الأدلة قد تركا لدينا يقينا قويا إلى حد
~~ما بأن البشر يتمتعون بغريزة عددية، أو هما على وجه
~~الدقة قدرتان فطريتان يمكننا استخدامهما للتمييز بين
~~الكميات. وقد استخلص الباحثون أحد نوعي هذه الأدلة من سلوك
~~الحيوانات الأخرى؛ فمثلما سنرى في الفصل السابع تشترك العديد
~~من الأنواع الأخرى في أن لديها قدرات مشابهة للتمييز
~~الدقيق بين الكميات الصغيرة، وكذلك التمييز التقريبي بين
~~الكميات الكبيرة؛ ومن ثم يمكننا أن نقول بثقة: إن
~~النظامين العدديين الموجودين في أدمغتنا بدائيان من
~~ناحية تطور النوع. ومعنى هذا أنهما كانا موجودين منذ ملايين
~~السنين في أدمغة البشر، وأدمغة بعض الأنواع السابقة علينا.
~~ويمكننا أن نتعقب أثرهما في الماضي في الأنواع المنقرضة
~~التي كانت سلفا للبشر وغيرها من الفقاريات ذات الصلة. وأما
~~المصدر الثاني للأدلة فهو سلوك الأطفال الصغار الذين لم
~~يكتسبوا مهارة اللغة بعد، ويقترح هذا النوع الأخير من الأدلة
~~أن بعض القدرات الرياضية تتطور في فترة مبكرة من
~~التطور الحيوي للفرد، أي إنها قدرات نمتلكها قبل أن ms137 نبدأ في
~~معرفة المفاهيم بصورة عملية في مرحلة الطفولة؛ فهي هبة
~~وراثية. وليس معنى أن الحاستين العدديتين المعنيتين
~~من الهبات الوراثية التي نتمتع بها أننا نلمح إلى غياب
~~الاختلافات بين الثقافات في مدى نمو هاتين القدرتين في
~~عقولنا بينما نكبر في العمر، أو في مدى تمكننا من
~~استخدام هذين النظامين لتحقيق تفكير رياضي أكثر اكتمالا.
~~لا يزال أمامنا إنجاز قدر كبير من العمل، لكي نتمكن من
~~التوصل إلى فهم كامل لطبيعة التفكير الكمي لدى الأطفال
~~في جميع ثقافات العالم. بالرغم من ذلك، فقد أنجزنا من العمل
~~قدرا كبيرا أيضا، وفيما يلي سأولي بالاهتمام قليلا من
~~النتائج البارزة بشأن هذا الموضوع.

# لكن أولا ربما يكون لديك سؤال بسيط: كيف يمكننا أن نعرف
~~ما يدور في عقل الأطفال الصغار ولما يكتسبوا مهارة اللغة
~~بعد، ولا يمكن إخبارهم بما يجب عليهم أن يفعلوه في السياقات
~~التجريبية؟ والحق أنها مشكلة صعبة من الناحية المنهجية، وقد
~~استلزمت قدرا من الابتكار كي يتم التغلب عليها. وقد
~~أنتج التغلب على هذه العقبة ما يشبه الثورة في فهمنا
~~للإدراك العددي لدى الأطفال الصغار في الثلاثين عاما
~~الأخيرة، وفي الوقت نفسه شكك في النتائج السابقة التي ربما
~~تكون قد تأثرت بالتوقعات غير العادلة عن حدس الأطفال
~~بخصوص الأهداف المرتبطة بتجارب معينة. وقد تغلب
~~الباحثون على هذه العقبة حينما بدءوا يعتمدون على المهام التي
~~تتطلب القدر الضئيل من مشاركة الأطفال مع القائمين بالتجربة
~~والتفاعل المادي معهم، مع التركيز بالتحديد على ما يسترعي
~~انتباه الأطفال في السياقات التجريبية. وهذا التركيز على
~~الانتباه أمر منطقي؛ نظرا إلى أن البشر، كالأنواع الأخرى،
~~يركزون على المحفزات الجديدة.

# تخيل مثالا على بيئة يومية تألفها على الأرجح؛ مطعم
~~مزدحم، حين تدخل المطعم قد تلاحظ طنين المحادثات، وصليل
~~آنية المائدة الفضية وهي تلامس الأطباق، والكئوس وهي
~~توضع على الموائد، وما إلى ذلك. وهذا ما تتوقعه من مثل هذه
~~البيئة، وبينما تجلس وتأكل فإن مثل هذه المحفزات غير
~~الجديدة لن تسترعي انتباهك؛ فسوف تبدأ أنت وبقية زبائن
~~المطعم ms138 في تناول الطعام والشراب، مع التركيز على وجباتكم
~~ومحادثاتكم (ولعلها تتضمن محفزات جديدة، وإلا فسوف
~~يخمد اهتمامك بها أيضا على الأرجح). والآن تخيل ما سيحدث
~~إذا دخل محفز جديد إلى حيزك الإدراكي؛ فعلى سبيل المثال
~~يتدحرج كأس من صينية النادل ويهوي على الأرض متهشما.
~~سينجذب انتباهك على الفور إلى صوت التهشم، بينما تحاول
~~تمييز مصدر الضوضاء التي سمعتها للتو. وحين يتغير انتباهك
~~بتلك الطريقة تحدث العديد من الأشياء على المستوى المادي؛
~~ينجذب بصرك إلى مصدر الضوضاء، ومن المرجح أن جميع رءوس
~~من في المطعم سوف تستدير للتركيز على المحفز الجديد. ومن
~~الأمور التي ستكون أقل وضوحا أنهم سوف يتوقفون عن الأكل
~~للحظة على الأرجح، معلقين أنشطة كالبلع. أما الأمر الأهم
~~فهو أن هذه النزعات إلى تثبيت النظر وإيقاف البلع، هي
~~أمور أساسية من ناحية النمو، وهي تعود إلى طفولتنا المبكرة.
~~ونتيجة لذلك، قد أدرك الباحثون في مجال نمو الطفل منذ فترة
~~من الوقت أنهم يستطيعون معرفة المحفزات التي يعدها
~~الأطفال محفزات جديدة أو غير ذلك؛ ولهذا فعند دراسة انتباه
~~الأطفال، يمكن للباحثين أن يلاحظوا ما إذا كان الأطفال
~~يميزون محفزا جديدا أو لا، سواء أكان هذا المحفز
~~لونا جديدا أو شكلا جديدا أو كمية جديدة. ولكي يتمكن
~~الباحثون من ملاحظة ذلك؛ عليهم أن يتابعوا ما إذا كان هناك
~~أي تغيرات مصاحبة في نظرات الأطفال أو أنماط بلعهم في أثناء
~~تقديم المحفزات لهم. وعند التطبيق يدرس القائمون
~~بالتجربة أنماط الأطفال في النظر والرضاعة خلال مهمات
~~محددة. والتحديق والرضاعة من السلوكيات التي لا يسهل قياسها
~~بشكل دقيق، وقد تطلبت المنهجيات التي تقوم على قياس هذين
~~السلوكين ظهور أدوات جديدة أصبحت موجودة في العقود
~~الماضية الأخيرة. ومن هذه الأدوات سكاتات الأطفال التي
~~يمكن مراقبتها إلكترونيا، وكاميرات الفيديو القادرة على
~~تتبع نظرات الأطفال وحركات عيونهم.

# والآن لنتناول بعض التجارب المهمة التي أجريت على
~~الإدراك العددي لدى الأطفال، وجميعها يقوم على افتراض أن
~~الأطفال يحدقون إلى أنواع معينة من المحفزات لمدة أطول.
~~ويجب أن نبدأ ms139 بدراسة مشهورة حاليا أجرتها عالمة النفس
~~كارين وين، نشرت نتائج هذه الدراسة في مجلة «نيتشر» قبل ما
~~يزيد على 20 عاما، وقد نقحت تجاربها وأعيد إجراؤها
~~بطرق مختلفة في السنوات اللاحقة. إن دراسة وين المؤثرة هي
~~نقطة منطقية للبدء بالنسبة إلينا؛ إذ إنها تقترح بقوة أن
~~الأطفال يستطيعون تمييز الاختلافات بين 1 و2 و3، حتى في تلك
~~المرحلة التي تسبق تعلمهم الحديث. وقد كان متوسط عمر
~~هؤلاء الأطفال الذين شملتهم الدراسة 5 شهور تقريبا. وقد
~~تناولت بعض الدراسات الأحدث منها الإدراك العددي لدى
~~الأطفال الأصغر سنا، ومنهم حديثو الولادة. (وسوف نتناول مثل
~~هذه الدراسة بعد قليل.) استعانت وين باثنين وثلاثين طفلا
~~للمشاركة في هذه الدراسة، وقد كانت المهمة التي عين لها
~~نصف الأطفال تختبر قدرتهم على جمع 1 + 1، أما النصف الآخر
~~فقد شاركوا في مهمة تختبر قدرتهم على طرح 2 − 1.

# 3

# إذن، كيف اختبرت وين هؤلاء الذين يبلغ عمرهم 5 شهور في
~~هاتين المهمتين؟ لقد استخدمت الطرق البسيطة المبتكرة
~~التالية؛ وضع كل طفل بمفرده أمام صندوق للعرض كان يحتوي
~~على شكل يشبه الدمية كان يجذب انتباههم تلقائيا.
~~إضافة إلى ذلك، كان صندوق العرض يحتوي على ستار غير شفاف
~~يمكن رفعه ليحجب رؤية الطفل للشكل الذي يشبه الدمية؛
~~وبعد رفع هذا الستار، لا يعود هذا الشكل مرئيا. أما الأمر
~~الأهم فهو أنه كانت توجد فجوة بجوار كل جانب من جوانب
~~الستار في صندوق العرض. وبعد أن كان انتباه الأطفال يتجه
~~إلى الشكل في البداية، يرفع الستار ليحجب عن الطفل رؤيته،
~~ثم يقوم الباحث القائم بالتجربة بوضع يده في باب جانبي في
~~صندوق العرض مع الإمساك بشكل آخر يطابق الشكل الذي حجبه
~~الستار. كان الأطفال يستطيعون رؤية اليد والشيء الذي تمسك
~~به من خلال الفتحة الموجودة بين الستار وجانب صندوق العرض.
~~ومن منظور الأطفال، فقد أضيف شيء آخر مطابق للشكل الذي
~~يشبه الدمية، والموجود خلف الستار. وفي هذه المرحلة تظهر
~~خدعة منهجية أساسية؛ كان صندوق العرض مزودا بباب سري يمكن
~~للباحث من ms140 خلاله أن يزيل الشكل الأصلي من أمام الأطفال؛ ومن
~~ثم فبالرغم من أن الأطفال قد رأوا شيئا يضاف إلى شيء
~~آخر، كان يمكن إزالة الشيء الأصلي في الوقت نفسه من وراء
~~الستار، دون علم الأطفال. وأخيرا أنزل الستار بعد إضافة
~~الشيء الثاني. فوفقا لحالة «الناتج المحتمل»؛ كشف لنا
~~إنزال الستار عن شكلين متطابقين يشبهان الدمية، وهو ما
~~يتفق مع ما رآه الأطفال. ووفقا لحالة «الناتج غير المحتمل»
~~كشف إنزال الستار عن شكل واحد فقط؛ لأن الشكل الأصلي قد
~~أزيل بخدعة من خلال الباب السري لصندوق العرض.

# ولأن البشر، بمن فيهم الأطفال، يحدقون لفترة أطول في
~~الأحداث الجديدة غير المتوقعة، فقد افترضت وين أن الأطفال
~~في دراستها قد يحدقون لفترة أطول في حالة الناتج غير
~~المحتمل. ومعنى هذا أنهم إذا رأوا شيئا يضاف إلى شيء آخر
~~مطابق، ثم اكتشفوا أن نتيجة هذه الإضافة هي شيء واحد
~~متبق فحسب، فسوف تنتابهم الحيرة بعض الشيء. أما إذا
~~رأوا شيئين بعد إضافة الشيء الثاني، فلن يكترثوا للنتيجة
~~المتوقعة. بعبارة أخرى: إذا أدرك الأطفال ذوو الأشهر
~~الخمسة أن 1 + 1 يساوي 2، وليس 1؛ فإن مثل هذه التجربة
~~سوف توضح ذلك الإدراك. لقد كان التوقع المباشر أن
~~الأطفال سوف يحدقون إلى صندوق العرض لفترة أطول في حالة
~~الناتج غير المحتمل، حين بدا أن 1 + 1 يساوي 1 وليس 2، وقد
~~حدقوا بالفعل لفترة أطول. لقد حدق الأطفال إلى صندوق العرض
~~لفترة أطول بدرجة ملحوظة من الناحية الإحصائية، حينما كشف
~~الستار بعد إنزاله عن شيء واحد فقط.

# وفي مهمة الطرح، استخدم صندوق العرض نفسه والعناصر
~~نفسها، لكن ترتيب الأحداث الذي شهده الأطفال كان معكوسا
~~بالكامل؛ ففي البداية جذب انتباه الأطفال إلى الشكلين
~~الشبيهين بالدمية في منتصف صندوق العرض، ثم رفع الستار
~~فحجب عن الأطفال رؤية الشكلين كليهما. بعد ذلك ظهرت يد
~~القائم على التجربة من خلال الفجوة الموجودة بين الستار وجانب
~~الصندوق، ثم أزالت اليد أحد الشكلين من خلف الستار، بطريقة
~~تظهر للأطفال بوضوح. في حالة الناتج غير المحتمل، ms141 استخدم
~~الباب السري لإضافة شكل آخر مطابق، بينما تتم عملية
~~الإزالة المرئية. ونتيجة لذلك، ظل هناك شكلان بعد إنزال
~~الستار، بالرغم من الحقيقة الواضحة بإزالة أحد الشكلين. ففي
~~حالة الناتج المحتمل، لم يضف شكل إضافي من خلال الباب
~~المسحور، وعند إنزال الستار بعد إزالة أحد الشكلين بصورة
~~مرئية، لم يتبق سوى شكل واحد. وقد جاءت نتائج مهمة الطرح
~~متشابهة إلى حد ما مع نتائج مهمة الجمع؛ حدق الأطفال
~~لفترة أطول إلى ما يبدو على أنه الناتج غير المحتمل، فإذا
~~رأوا أحد الشكلين الأصليين وهو يزال، توقعوا بقاء شكل
~~واحد فقط. فقد بدا أن الأطفال يدركون أن 2 − 1 = 1. وموجز
~~القول أن نتائج هاتين المهمتين في دراسة وين، تشير إلى
~~أن الأطفال الذين لم يكتسبوا مهارة اللغة بعد يستطيعون
~~التمييز بين شيء واحد وشيئين. ومنذ دراستها التي كانت تستكشف
~~الطريق، ظهرت أساليب جديدة قد استخدمت لاستكشاف هذه
~~المسألة بعناية أكبر. ونتيجة لذلك، فقد أصبح من المتفق
~~عليه بصفة عامة، أن الأطفال يستطيعون بالفعل التمييز بين
~~الكمية من واحد إلى ثلاثة، بانتظام واتساق.

# أما الدراسة الثانية التي سنناقشها من دراسات الإدراك لدى
~~الأطفال، فقد ظهرت بعد ثماني سنوات تقريبا من نشر دراسة
~~وين، وقد شارك إجراءها عالمتا النفس؛ فيشو، وإليزابيث
~~سبيلك. (سبيلك هي باحثة وأستاذة جامعية في جامعة هارفارد،
~~وواحدة من أكثر علماء نفس النمو تأثيرا على مستوى العالم.)
~~وسوف نتناول نتائج الدراسة هنا؛ لأنها تؤيد وجود حاسة
~~عددية تقريبية، وهي تبين بطريقة واضحة أن الأطفال الذين
~~لم يكتسبوا مهارة اللغة بعد يستطيعون بطرق تقريبية، أن
~~يميزوا الفروق الكمية بين المجموعات الكبيرة.

# 4

# وسوف نتناول فيما يلي كيف سارت التجربة الأولى في دراسة شو
~~وسبيلك. استخدم في التجربة ستة عشر طفلا يبلغ متوسط
~~أعمارهم ستة أشهر، وقد جعلهم القائمون على التجربة يعتادون
~~رؤية 8 نقاط سوداء أو 16 نقطة على شاشة بيضاء، بمعنى أن هذه
~~المحفزات كانت تعرض على الأطفال حتى يملوا منها أو لا
~~يعودوا يجدونها جديدة بعد ذلك. وكان القائمون ms142 على التجربة
~~يرون أنهم قد وصلوا إلى مرحلة الاعتياد حين يتوقف الأطفال
~~عن التحديق في المحفزات، أو حين يكونون قد رأوا أربعة
~~عشر مصفوفة متتالية من النقاط. وفقا لحالة النقاط الثماني،
~~كان يعرض على الأطفال عروض مختلفة لثماني نقاط تختلف في
~~الحجم والتكوين والسطوع، حتى يعتاد الأطفال على رؤيتها.
~~ووفقا لحالة الست عشرة نقطة، كان يعرض على الأطفال أيضا
~~عروض مختلفة لست عشرة نقطة تختلف أيضا وفقا لمعايير مثل
~~الحجم والتكوين، إلى أن يعتاد الأطفال على رؤيتها. وفي كلتا
~~الحالتين، كان يعرض على الأطفال بعد ذلك 8 نقاط أو 16 نقطة،
~~بعد أن يكونوا قد اعتادوا على الكمية الأولية من النقاط.
~~فوفقا للحالة الأولى كانت المصفوفات التي تتكون من 16
~~نقطة، والتي عرضت بعد مرحلة الاعتياد، تمثل محفزا
~~جديدا؛ لأن الأطفال لم يكونوا يرون سابقا سوى مصفوفات
~~تتكون من 8 نقاط. وفقا للحالة الثانية، كان العكس هو
~~الصحيح، وقد كانت المجموعات التي تتكون من 8 نقاط، والتي
~~عرضت على الأطفال بعد مرحلة الاعتياد، هي المحفز الجديد؛
~~إذ إن الأطفال كانوا يرون قبل ذلك مصفوفات تتكون من 16
~~نقطة. على الأقل فنحن البالغين الذين نعرف الأعداد، سوف ندرك
~~أن هذه المصفوفات جديدة؛ لأننا نعرف أن 16 لا تساوي 8.
~~لكن ماذا عن الأطفال الذين لم يتعلموا العد بعد، ولا حتى
~~تعلموا الحديث؟ إن نتائج شو وسبيلك قد قدمت بعض الأدلة
~~القوية على أن الأطفال أيضا يمكنهم إدراك الفرق بين 8
~~عناصر و16 عنصرا.

# جاءت نتائج التجربة الأولى مباشرة؛ كان الأطفال غالبا ما
~~ينظرون إلى شاشات العرض التي تتضمن كمية مختلفة عن الكمية
~~التي أصبحوا معتادين عليها، مدة ثانيتين أطول؛ ومن ثم
~~فإذا اعتادوا على رؤية مجموعات تتكون من 8 نقاط، حدقوا
~~إلى المجموعة التي تتكون من 16 نقطة لفترة أطول. وعلى العكس
~~من ذلك، إذا اعتادوا على رؤية مجموعات تتكون من 16 نقطة،
~~حدقوا إلى المجموعة التي تتكون من 8 نقاط لفترة أطول.
~~وهذا الانتباه البصري لدى الأطفال قد بين بوضوح أنهم ms143 قد
~~أدركوا الفرق بين 8 نقاط و16 نقطة، بصرف النظر عن العوامل
~~الأخرى مثل حجم النقاط وتشكيلها. وبعبارة أخرى: يبدو أن معظم
~~الأطفال قادرون على تمييز الاختلافات العددية، حتى في الكميات
~~الكبيرة، على الأقل حين يكون الفرق بين المجموعتين التي تجري
~~المقارنة بينهما واضحا،

# 5

# غير أن هذا الادعاء الأخير مهم للغاية مثلما
~~يتضح في نتائج تجربة شو وسبيلك الثانية. في تلك التجربة،
~~كررت الباحثتان تجربتهما الأولى مع اختلاف مهم للغاية؛
~~فقد اختبرتا قدرة الأطفال على تمييز الفرق بين مجموعات
~~تتكون من 8 نقاط و12 نقطة، بدلا من 8 نقاط و16 نقطة. في هذه
~~الحالة، ومع انخفاض النسبة بين الكميتين إلى 2 : 3 (8 : 12)
~~من 1 : 2 (8 : 16)، تغيرت النتائج تغيرا كبيرا؛ فلم يعكس
~~نمط التحديق لدى الأطفال أي إدراك للفرق بين 8 نقاط و12
~~نقطة.

# وهذه النتائج، إضافة إلى غيرها من نتائج الدراسات ذات
~~الصلة التي أجراها علماء نفس النمو، تقدم دليلا واضحا
~~على أن الأطفال يستطيعون تمييز الفروق بين كميات تحتوي على
~~عدد كبير من العناصر، إذا كانت هذه الفروق تمثل نسبة 1 : 2
~~على الأقل. وهذه النتائج دليل على وجود النظام العددي
~~التقريبي الفطري، مثلما أن دراسة وين دليل على وجود نظام
~~عددي دقيق نسبيا. وكلا النظامين يمثلان مؤشرات
~~إدراكية حاسمة على الإدراك العددي الأكثر دقة لدى البالغين.
~~بالرغم من ذلك، فمثلما رأينا في الفصل الخامس، فإن هذا
~~التفكير الكمي الدقيق لدى البالغين يعتمد على التدخل
~~اللغوي. وقد لاحظت كل من شو وسبيلك عند مناقشة القدرتين
~~العدديتين الفطريتين لدينا أنه: «بينما يتعلم الأطفال
~~معاني مفردات الأعداد والغرض من العد، فقد يجمعون بين
~~هذين النوعين من التمثيل، لتشكيل مفهوم موحد، بشري
~~للغاية ويعتمد على اللغة، للعدد المنفصل.»

# 6

# وليس معنى هذا أن عملية التوحيد هذه سهلة أو
~~مباشرة؛ فالواقع أن قدرا كبيرا من الجدل يثار بين
~~المختصين بشأن كيفية حدوث هذا «الدمج» على وجه
~~التحديد.

# توضح مثل هذه الأبحاث التجريبية أن أطفال البشر يمكنهم
~~تمييز بعض الفروق العددية ms144 في سن صغيرة. إن الحاستين
~~العدديتين التقريبية والدقيقة، لا يمكنانا من حل معظم
~~المسائل الحسابية بسرعة ودقة، لكنهما يتيحان لنا الفرصة
~~في معرفة كيفية التعامل مع مثل هذه المسائل. بالرغم من ذلك،
~~فالدراسات المعنية لا توضح أن أطفال البشر مزودون
~~بمفاهيم عددية مجردة بحق؛ فإدراك الفرق بين شكل واحد
~~يشبه الدمية وشكلين، أو بين ثماني نقاط وست عشرة نقطة
~~على الشاشة، لا يعني سوى أن الأطفال ينتبهون إلى الاختلافات
~~العددية البصرية. غير أن البعض ربما يقولون: إن ذلك
~~الإدراك لا يعني أن الأطفال يفكرون في الكميات بطرق
~~مجردة، أي طرق لا تعتمد على الإدراك البصري. بعبارة أخرى:
~~ربما لا يكون تمييز الكميات لدى الأطفال عابرا للحواس؛ فقد
~~يميز الأطفال على سبيل المثال أن دميتين على شكل أسد
~~تختلفان عن دمية واحدة في نطاق حاسة البصر. وقد يميزون
~~أيضا أن صوت صفرتين متتاليتين يختلف عن صفرة واحدة في
~~نطاق حاسة السمع، لكن ذلك الإدراك المادي للاختلافات في
~~نطاق حاستين منفصلتين لا يعني بالضرورة أنهم يدركون
~~الرابط بين صفرتين ودميتين على سبيل المثال؛ فهذا الإدراك
~~العابر للحواس للتشابه بين الكميات، سوف يقدم دليلا
~~أقوى على أن ما يحدث في عقول الأطفال هو تفكير عددي في شكل
~~أكثر جوهرية وتجريدا. وربما لا يكون من الغريب إذن أن بعض
~~التجارب الحديثة قد سعت إلى اختبار إدراك الكميات العابر
~~للحواس لدى الأطفال.

# وبعض هذه التجارب الأحدث قد تناولت أيضا مشكلة أخرى
~~محتملة في الأعمال السابقة التي أجريت على الإدراك العددي
~~لدى الأطفال، وهو السن المتقدمة للخاضعين للتجربة. وقد
~~تبدو تلك مشكلة غريبة للطرح؛ إذ إن عمر الخاضعين للتجربة
~~في دراسة وين لم يكن يزيد على خمسة أشهر فقط، غير أن إثبات
~~وجود مهارة إدراكية معينة في مثل ذلك العمر لا يعني
~~بالضرورة أنها مهارة غريزية؛ فهذا الدليل بوجودها في مثل هذه
~~السن الصغيرة يدعم ولا شك الادعاء بوجود غرائز رياضية،
~~لكن ذلك لا يوضح لنا أي المهارات الكمية يبدأ الأطفال
~~في صقلها ثقافيا، حتى وإن ms145 كان ذلك في مثل هذه السن
~~المبكرة. ويجدر بنا أن نضع في الاعتبار أن الأبحاث التي
~~يجريها معظم علماء نفس النمو مخصصة لاستكشاف الإدراك
~~العددي لدى أطفال ينتمون للثقافات الغربية والصناعية؛ ومن
~~ثم فإن النتائج لا تقدم لنا إلا قدرا ضئيلا من
~~المعلومات فيما يتعلق بأي تأثيرات محتملة عابرة للثقافات
~~بشأن التفكير الرياضي في الشهور الأولى من الطفولة.

# 7

# أما الدراسة البارزة الثالثة التي سنناقشها، التي أجرتها
~~عالمة النفس فيرونيك إزارد وزملاؤها (ومنهم إليزابيث سبيلك)،
~~فهي تتناول نقطتي الجدل السابقتين؛ فالنتائج المثيرة
~~التي توصلت إليها الدراسة تفيد بأن الأطفال يستطيعون
~~تمييز بعض الفروق بين الكميات على أساس مجرد وعابر للحواس،
~~وأنهم يتمكنون من فعل ذلك بعد الميلاد بفترة قصيرة. وجدت
~~إزارد وزملاؤها عددا من أولياء الأمور الذين وافقوا على
~~مشاركة أطفالهم حديثي الولادة في الدراسة، والواقع أنه كان
~~عليهم أن يجدوا العديد من أولياء الأمور الذين يوافقون على
~~هذا؛ إذ إن جزءا صغيرا فقط من الأطفال المختارين
~~للمشاركة، هم الذين أسهموا في نهاية المطاف في نتائج الدراسة.
~~لقد اختير للدراسة ستة وستون طفلا، لكن خمسين من هؤلاء
~~الأطفال قد استبعدوا من العينة الفعلية بسبب انزعاجهم أو
~~بعض المشاكل الأخرى كالنوم، وهو ما يشير إلى مدى صعوبة إجراء
~~مثل هذه الأبحاث! إن من يقومون منا بالأبحاث العابرة
~~للثقافات في بعض الأماكن النائية كالأمازون أو مرتفعات نيو
~~غينيا، قد يشتكون من التحديات الخاصة التي نواجهها عند
~~القيام بالأبحاث الميدانية، لكنه من غير المرجح أن نجد
~~المشاركين في التجربة يغلبهم النعاس في منتصفها. وكان
~~متوسط عمر الأطفال الذين شاركوا في النهاية في تجربة إزارد
~~وزملائها 49 ساعة. وهذه السن الصغيرة تسمح لنا أن ننحي
~~تأثير خبرتهم الحياتية المبكرة بدرجة كبيرة من الثقة.
~~ومثلما أشرنا من قبل فإن الأطفال يرون كميات منتظمة،
~~مثل أصابع أيديهم، وهم في الرحم. إضافة إلى ذلك، فإن
~~الطفل يستطيع أن يسمع نبضات قلب الأم وصوتها قبل الولادة،
~~مما يجعلهم معتادين بعض الشيء على المحفزات السمعية على
~~فترات بينية منتظمة، ms146 غير أن الاحتمال ضئيل للغاية بأن
~~يكون للعوامل التجريبية والثقافية تأثير على كيفية تطور
~~الإدراك العددي في الرحم. إضافة إلى ذلك فقد وضحت
~~دراسة إزارد وزملائها أن البشر قادرون على تمييز الكميات
~~بصريا بعد فترة قصيرة من مولدهم، ومن الجلي أنهم لم
~~يتعرضوا لرؤية أي كمية من العناصر وهم في الرحم.

# 8

# لقد قدمت إزارد وزملاؤها دليلا واضحا على أن الأطفال
~~حديثي الولادة قادرون على استخدام نظامهم العددي التقريبي في
~~المقارنة المجردة للكميات عبر حواس متعددة. استمع
~~الأطفال إلى مجموعة من المقاطع، مثل «تو، تو، تو، تو» أو «را،
~~را، را، را». وقد كانت هذه المجموعة تحتوي على عدد ثابت من
~~المقاطع، ويتبع كلا منها فاصل قصير. فعلى سبيل المثال،
~~يستمع الطفل إلى أربعة مقاطع يتبعها فاصل قصير، ثم يستمع
~~إلى أربعة مقاطع أخرى، وهكذا. كان الأطفال يستمعون إلى
~~المحفزات السمعية لمدة دقيقتين، وخلال هذا الوقت، ألف
~~الأطفال كمية المقاطع. وبعد هاتين الدقيقتين، عرض على
~~الأطفال بعض الصور على شاشة كمبيوتر. وكانت هذه الصور تتضمن
~~مصفوفات لعدد محدد من الأشكال زاهية الألوان، تحتوي على
~~أفواه وعيون (لجذب انتباه الأطفال)، التي كانت تتطابق في
~~العدد مع سلسلة المقاطع التي تكررت على مسامع الأطفال. وقد
~~افترضت إزارد وزملاؤها أنه إذا كان الأطفال يتمتعون
~~بالإدراك المجرد للكميات العابر للحواس، فسوف تصدر عنهم
~~استجابات مختلفة تجاه المصفوفات البصرية التي عرضت عليهم
~~بعد المقاطع. فسوف يحدقون لفترة أطول إلى مصفوفات محددة،
~~وفقا لما إذا كانت المصفوفات تتطابق في العدد مع مجموعة
~~المقاطع التي سمعوها للتو. وهذا بالضبط هو ما لاحظه
~~الباحثون؛ فعلى سبيل المثال، عند الاستماع إلى مجموعة تتضمن
~~أربعة مقاطع، كان الأطفال بعدها يحدقون إلى الشاشة حين
~~تحتوي على أربع صور لفترة أطول من تلك التي حدقوا فيها
~~إلى الشاشة حين عرضت اثنتا عشرة صورة. وهم أيضا يحدقون
~~إلى الشاشة حين تتضمن أربع صور لفترة أطول من تلك التي
~~يحدقون فيها إليها حين تتضمن ثماني صور. (وقد كان
~~الاختلاف في فترة التحديق أكبر في ms147 الحالة الأولى ؛ إذ إن
~~الفرق بين 4 و12 أكثر وضوحا من الفرق بين 4 و8.) وحين
~~استمع الأطفال إلى مجموعة تتكون من ستة مقاطع، كانوا
~~يحدقون بعدها إلى الشاشة التي تحتوي على ست صور لفترة
~~أطول من تلك التي يحدقون فيها إلى الشاشة التي تحتوي على
~~ثماني عشرة صورة. وقد كان الاختلاف في فترة التحديق في حالات
~~التطابق وعدم التطابق يزيد عن 10 ثوان في معظم الأحيان،
~~وليست تلك بالنتيجة الهينة. وباختصار، فإن فترات التحديق
~~لدى الأطفال كانت تتوافق بدرجة كبيرة مع اهتمامهم الزائد
~~نسبيا بالكميات المتساوية، كما لو أنهم كانوا يدركون وجود
~~تطابق جديد بين الحواس. لقد زادت نتائج إزارد والمجموعة في
~~تأكيد الادعاء القائل بأن البشر يولدون بقدرة فطرية
~~تمكنهم من تقدير عدد المجموعات الكبيرة من العناصر بصورة
~~تقريبية، وهي تشير أيضا إلى أن هذه القدرة تتميز بالتجريد،
~~ولا تقتصر على حاسة واحدة كالبصر.

# لقد بينت الدراسات الثلاث التي تناولناها بعض الطرق
~~المبتكرة التي يستخدمها علماء نفس النمو لاستكشاف التفكير
~~العددي لدى الأطفال، وتتطابق هذه الدراسات مع الاستنتاج
~~الأساسي الذي ذكرناه قبل هذه المناقشة، وهو أن البشر
~~يتمتعون بفهم غريزي مجرد للأعداد، وهو يتجلى حتى بعد
~~الميلاد بفترة قصيرة. وهم يمتلكون حاسة عددية فطرية
~~تقديرية ودقيقة.

# 9

# الأطفال والعد

# يبدو لنا إذن أن الأطفال يزودون مسبقا بالحاستين
~~العدديتين اللتين يتمتعون بهما منذ مولدهم. غير أن
~~وجود هاتين الحاستين لا يسهم إلا بمقدار في إكمال
~~الصورة التي لدينا عن القدرة التي يتمتع بها البشر على وجه
~~الخصوص على التفكير الرياضي. فبطريقة ما، لا يزال الجزء
~~الأكبر من اللغز قائما؛ إذ إننا لا نعرف الكيفية التي
~~يجري بها دمج حاستينا الفطريتين بعد ذلك، للقيام
~~بالتفكير الرياضي. فمع الطبيعة البدائية لهاتين الحاستين
~~العدديتين، كيف نتمكن على سبيل المثال، من تمييز أن
~~الأخطبوط يمتلك عددا معينا من المجسات، وليس كمية
~~مبهمة فحسب؟ إن مثل ذلك التمييز الكمي الأساسي لا
~~يتوفر لدينا من خلال حاستينا الفطريتين. فكيف ننتقل
~~إذن من النقطة «أ» وهي ms148 التمييز الفطري البسيط بين الكميات، إلى
~~النقطة «ب » وهي التفريق الدقيق بين جميع الكميات؟ كيف ننتقل
~~بالفعل إلى عالم الأعداد الطبيعية؟ إحدى الطرق التي يمكننا
~~استخدامها لإيجاد الإجابة (أو الإجابات) المحتملة عن هذا
~~السؤال، هي استكشاف كيفية تقدم الأطفال في التفكير الكمي
~~بينما يتقدمون في السن. لقد أجرى علماء النفس، وما زالوا
~~يجرون، مثل هذه الدراسات. وفيما يلي سوف أستعرض بعض
~~النتائج التوضيحية التي توصل إليها الباحثون خلال مثل هذه
~~الدراسات. وأعتقد أن الدراسات التي ألخصها هنا، تمثل
~~أنواع الطرق التي تستخدم لتحسين فهمنا للكيفية التي
~~يتعلم بها الأطفال المفاهيم العددية. بالرغم من ذلك، فعلينا
~~أن نضع في الاعتبار أنه توجد بالفعل آلاف الدراسات
~~المنشورة عن هذا الموضوع الواسع. وتسهم الدراسات التي
~~سنناقشها في هذا الكتاب في توضيح أن التقدم تجاه الوعي
~~بالأعداد الطبيعية، هو تقدم مضن وتدريجي، وهو يتطلب
~~الممارسة المتكررة مع المحفزات اللغوية.

# حتى الجزء الأخير من القرن العشرين، لم تكن المهارات
~~العددية لدى الأطفال في سن ما قبل المدرسة تحظى بالتقدير
~~الكافي بشكل عام، بل كان يعتقد في وقت ما أن الأطفال لا
~~يتعلمون المفاهيم العددية الأساسية حتى سن الخامسة
~~تقريبا. ومن الأدلة التي كان يستند إليها هذا الادعاء
~~هو سلوك الأطفال في سن الرابعة، فيما يعرف باسم «اختبارات
~~الحفاظ». في مثل هذه الاختبارات، يعرض على الأطفال صفان من
~~الأشياء؛ صف به ست كئوس وصف به ست زجاجات على سبيل
~~المثال، ويكون كل عنصر في أحد الصفين أمامه عنصر في الصف
~~الآخر، حتى يكون من الواضح على الأرجح أن المجموعتين
~~متساويتان في العدد. عندما كان الأطفال يسألون أي
~~الصفين أكبر عددا، كانوا يجيبون بأنهما متساويان. أما إذا
~~باعد القائم بالتجربة بين العناصر الموجودة في أحد الصفين،
~~فأصبح صف الكئوس على سبيل المثال أطول من صف الزجاجات،
~~فقد تتغير إجابات الأطفال. في كثير من الأحيان، كانت
~~إجاباتهم في التجارب الأولى على الحفاظ على الكمية، تشير
~~إلى أنهم كانوا يعتقدون أن عدد العناصر في الصفين يختلف
~~بمجرد إطالة أحد ms149 الصفين. فقد كانوا يقولون، على سبيل
~~المثال، إن عدد الكئوس أكبر من عدد الزجاجات، بالرغم من
~~عدم إضافة أي كئوس أو إزالة أي زجاجات. ومعنى هذا أنه وفقا
~~لمهام الحفاظ البسيطة هذه، فإن الأطفال فيما دون سن
~~الخامسة، لم يدركوا أبدا أن الكمية تبقى كما هي بصرف
~~النظر عن طول صفي المحفزات اللذين تجري المقارنة
~~بينهما. إن تغيير الحجم الكلي لمجموعة من المحفزات، كان
~~يربك إدراك الأطفال لعدد المحفزات.

# بالرغم من ذلك، فحقيقة الأمر أن الأطفال الصغار
~~يستطيعون الحفاظ على الكميات في بعض الأحيان على الأقل،
~~فهم يستطيعون تمييز أي المصفوفتين تحتوي على عدد أكبر من
~~العناصر، بصرف النظر عن طولهما. وقد وضحت بعض التجارب في
~~الوقت الحالي أن النتائج التي حصل عليها الباحثون من
~~مهام الحفاظ الأولى، قد كانت بسبب تشوش الأطفال بعض الشيء،
~~وهو تشوش بشأن أهداف الباحثين. حاول لثانية أن تتصور أنك
~~طفل في مثل هذه التجربة، وقد عرض عليك أحد البالغين، الذي
~~تفترض أنه يعرف عن كيفية عمل الأشياء أكثر منك بكثير،
~~مصفوفتين يمكن التمييز بينهما بصريا، ثم سألك أيهما
~~يحتوي على كمية «أكبر» بالرغم من أنه من الواضح أنهما
~~متساويتان في العدد (نظرا إلى أن كل عنصر في المصفوفة
~~الأولى له ما يقابله في المصفوفة الثانية)، فبماذا يمكنك أن
~~تجيب؟ من الصعب أن نعرف ذلك بالطبع، لكنك قد تؤول سؤاله
~~بأفضل صورة ممكنة لكي تفهم دوافعه التي يفترض أنها
~~خالصة، وربما تفسر الأمر على أن الخط الذي يتضمن كمية
~~«أكبر» هو الذي يغطي مساحة أكبر من الفراغ، لا الخط الذي
~~يحتوي على عدد أكبر من العناصر. وقد تفترض أن الخط
~~الأطول لا بد أنه يحتوي على شيء ما بكمية أكبر من الخط
~~الآخر (المسافة مثلا) وإلا فإن هذا الشخص يسأل سؤالا
~~مضللا؛ لماذا قد يفعل شخص بالغ مثل هذا الشيء؟ ومعنى
~~هذا أن مهام الحفاظ البسيطة تلك ربما لا تخبرنا إلا
~~الشيء القليل عن الإدراك العددي لدى الأطفال، وتخبرنا بدلا
~~من ذلك بقدر أكبر عن ms150 مدى الجهد الذي يبذله الأطفال في
~~التوصل إلى الدلالات الاجتماعية خلال المحادثات مع
~~البالغين.

# ويدعم هذه الاحتمالية الأخيرة بحث أحدث بشأن هذا
~~الموضوع، الذي قد أثبت الآن أن بعض الأطفال الصغار
~~يستطيعون التمييز حين يكون أحد الخطين يحتوي على عناصر
~~أكثر من الآخر في مهام الحفاظ. والواقع أن إحدى الدراسات قد
~~أثبتت هذا الأمر قبل عدة عقود، وقد قدمت ابتكارا منهجيا
~~مثيرا للاهتمام. فقد عرض الباحثون على الأطفال صفوفا من
~~أشياء يرغبون في أكلها، لا سيما حلوى إم آند إمز. فعلى سبيل
~~المثال شاهد الأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة صفين يقابل
~~كل عنصر في أحدهما عنصرا في الصف الآخر، ويحتوي كل
~~منهما على أربع حبات من الحلوى. بعد ذلك تغير أحد
~~الصفين، فأصبح أحدهما أقصر من الآخر مع أنه يحتوي على
~~ست حبات من الحلوى بدلا من أربعة. وبناء على النتائج
~~القديمة فسوف يكون من المتوقع أن يرى الأطفال أن الصف
~~الأطول هو الذي يحتوي على عدد أكبر من الحلوى إذا سئلوا
~~ببساطة أن يختاروا الصف الذي يحتوي على كمية أكبر من
~~العناصر. بالرغم من ذلك، فعندما طلب من الأطفال أن يختاروا
~~صفا من الحلوى ليأكلوه، أي لكي يتناولوا جرعة من إم آند
~~إمز (بالمعنى الأدق)، فقد اختارت الغالبية العظمى من
~~الأطفال الصف الذي يحتوي على عدد أكبر من الحلوى، بالرغم
~~من أنه كان أقصر. وقد اكتشف علماء نفس الطفل الآن أن
~~الأطفال يستطيعون أداء هذه المهمة بمهارة أكبر مما كان
~~يعتقد قبل ذلك، غير أن الجدل ما زال مستمرا بشأن العمر
~~الذي يتمكن فيه الأطفال من الحفاظ على الكميات بهذا
~~الشكل.

# 10

# ولكي نصل إلى فهم أفضل لكيفية انخراط الأطفال مع
~~الأعداد، سنتناول نتائج دراسة بارزة أحدث عن تطور
~~الإدراك لدى الأطفال. (أجريت الدراسة على يد عالمة النفس
~~بجامعة هارفارد، كيرستن كوندري، والعالمة سابقة الذكر
~~إليزابيث سبيلك.) ومن خلال مجموعة من التجارب، وضحت
~~الدراسة أنه حين يتعلم الأطفال الذين يبلغون من العمر 3
~~سنوات مفردات الأعداد، فإنهم لا ms151 يفهمون معناها في البداية إلا
~~بالقدر الضئيل. وبالفعل فإن هذه النتيجة قد دعمتها
~~العديد من الدراسات الحديثة: الأطفال لا يفهمون معاني
~~الأعداد تماما حين يبدءون في تعلمها. وفي الدراسة
~~المعنية، درست الباحثتان ما تمثله الأعداد فعلا
~~للأطفال الذين يبلغ عمرهم 3 سنوات، وقد ركزتا على هذه
~~السن بصفة جزئية؛ لأن هؤلاء الأطفال قد تعرضوا
~~لمفردات الأعداد، لكنهم لم يدرسوا الحساب بصورة مكثفة،
~~وهم يستطيعون في العادة استظهار الأعداد من «واحد» إلى
~~«عشرة». وقد بينت نتائج الدراسة أن الأطفال في سن
~~الثالثة لا يستوعبون المفاهيم المرتبطة بمفردات الأعداد،
~~إلا على مستوى أساسي للغاية. فعلى سبيل المثال، يفهم
~~الأطفال أن الاسم «ثمانية» يستخدم لوصف مجموعة عناصر لها
~~كمية محددة، وهم يدركون أيضا أن «ثمانية» تشير إلى
~~مجموعة لها حجم مختلف عما تشير إليه كلمة مثل
~~«اثنين».

# بالرغم من ذلك، فقد وضحت الدراسة أيضا أن الأطفال في
~~عمر الثلاث سنوات لا يدركون الكمية التي تشير إليها كلمة
~~«ثمانية»، ولا ما إذا كانت دائما أكبر من «أربعة» (وذلك من
~~بين إخفاقات أخرى). وبعبارة أخرى: فبالرغم من أن الأطفال
~~في عمر ثلاث سنوات يستطيعون استظهار مفردات الأعداد من
~~«واحد» إلى «عشرة»، فإنهم لا يستوعبون المفاهيم المرتبطة
~~بها مثلما يفهمها البالغون؛ فهم لم يدركوا بعد أن هذه
~~الكلمات تشير إلى كميات محددة. وفي نهاية المطاف، فإن
~~الاستعداد الفطري للأطفال لتمييز الكميات من 1 إلى 3
~~يساعدهم في فهم مفردات الأعداد التي يسمعونها في كل
~~مكان حولهم. ويبدءون في إدراك المعاني الفعلية لكلمات مثل
~~«واحد» «واثنين» «وثلاثة»، وإن كان ذلك جزئيا على الأقل،
~~بسبب حاستهم العددية الفطرية. ثم يبدأ هذا الإدراك في
~~تنبيههم إلى أن بعض كلمات العد الأخرى تتطابق أيضا مع
~~كميات متتابعة محددة، لكن هذا الإدراك الأخير لا يتم
~~إلا تدريجيا. وليست الحال بالتأكيد أن الأطفال حين
~~يتعلمون مفردات الأعداد التي تشير إلى معظم الكميات،
~~يتعلمون مجرد أسماء للمفاهيم التي يألفونها بالفعل.

# 11

# إن مثل هذا البحث يسهم في توضيح كيفية تشكيل الأعداد
~~الدقيقة في ms152 عقول الأطفال على مدار الوقت، بينما يتعرضون
~~لمفردات الأعداد وممارسات العد في بيئتهم الخاصة . وإجماع
~~الرأي الذي يظهر في علم نفس النمو واضح: مهارات التمييز بين
~~الكميات فطرية، في الجوانب التقريبية فحسب، وهي تستلزم
~~دعامات لغوية وثقافية لكي تتطور. ومثلما رأينا في الفصل
~~الخامس، فإن هذه الدعامات لا توجد في جميع ثقافات العالم،
~~لكنها توجد في معظمها. وبينما تختلف الجماعات السكانية
~~في الأساسات العددية التي تستخدمها، أو في مدى اعتمادهم على
~~الرياضيات النظامية، فإن الغالبية العظمى من الثقافات
~~تستخدم أنظمة عددية وما يرتبط بها من أشكال العد. وهذه
~~الاستراتيجيات اللفظية للعد، التي تدعم في كثير من
~~الأحيان بالعد على الأصابع أو أحد أنظمة العد بالعصي، هي
~~أساسية للغاية في تطور المفاهيم العددية في عقول
~~الأطفال.

# 12

# وبالرغم من أن العديد من التفاصيل بخصوص اكتساب الأعداد
~~عند الأطفال لا يزال غامضا، توجد بعض المبادئ الراسخة التي
~~يكتسبها الأطفال بعد تعرضهم بشكل مستمر إلى مصطلحات
~~الأعداد وغيرها من التقنيات المرتبطة بالعد. ومن المبادئ
~~المحورية التي يتعلمها الأطفال الصغار هو «مبدأ الخلف»
~~ويكتسبه الأطفال عادة في سن الرابعة تقريبا، مما يشير
~~إلى الوعي بأن كل عدد في تسلسل العد يدل على كمية
~~تزيد بمقدار واحد تحديدا عن العدد الذي يسبقه. وفهم
~~مبدأ الخلف يشير إلى أن الأطفال قد فهموا أن الأعداد
~~لا تعبر عن الكميات بصورة عشوائية فحسب، بل إن تسلسل
~~الأعداد يؤسس بطريقة تسمح بأن يشير كل عدد إلى كمية
~~تختلف عن العدد السابق عليه بمقدار واحد فحسب.

# 13

# ومن النقاط الأساسية أيضا في طريقنا للتفكير الحسابي، ما
~~نشير إليه باسم «المبدأ الكاردينالي». حين يتعلم الأطفال
~~هذا المبدأ، يدركون أن آخر عدد ينطق به عند عد
~~مجموعة من الأشياء، يصف عدد العناصر في المجموعة التي يجري
~~عدها أو كمية العناصر في المجموعة بأكملها. حين يصل الأطفال
~~إلى مرحلة المعرفة بالمبدأ الكاردينالي، يدركون أن كل
~~عدد يصف حجم مجموعة محدد بدقة، وهو إدراك يتشكل
~~تدريجيا وهم لا يتوصلون إليه بسهولة، ويختلف الوقت
~~المستغرق ms153 في التوصل إليه من طفل إلى طفل. بالرغم من ذلك
~~يمر الأطفال بمراحل متوقعة في طريقهم إلى الوصول لهذه
~~المرحلة: في البداية يمرون بمرحلة «معرفة العدد واحد» التي
~~يدركون فيها أن الكلمة «واحد» تمثل مجموعة تتكون من
~~عنصر واحد فقط، ثم يمرون بمرحلة «معرفة العدد اثنين»، ثم
~~«معرفة العدد ثلاثة»، ولا يصلون إلى مرحلة المعرفة بالمبدأ
~~الكاردينالي إلا بعد ذلك. وهم يصلون إلى مرحلة المعرفة
~~بالأعداد واحد واثنين وثلاثة بسهولة نسبية، حتى وإن كان ذلك
~~بصورة جزئية على الأقل؛ وذلك بسبب قدرتهم الفطرية على عد
~~أشياء تتراوح كميتها من 1 إلى 3 بدقة.

# إن المبدأ الكاردينالي يساعد الأطفال على إدراك مفهوم
~~التكافؤ العددي (بمعنى أن أي مجموعتين تتساويان في عدد
~~العناصر التي تحتوي عليها كل منهما، يمكن مقابلة كل عنصر
~~من إحداهما بعنصر في الأخرى). وهذا الإنجاز الرائع يستلزم
~~شهورا أو حتى سنوات، وفي خلال هذا الوقت يتعرض الأطفال
~~لعدد هائل من المحفزات اللغوية التي تساعد في جعل الإدراك
~~الأساسي ممكنا. بالرغم من ذلك، فمثلما رأينا في الفصل
~~الخامس، لا يتعرض جميع الأطفال في العالم لهذا القدر الكبير
~~من المحفزات. ونظرا إلى أن الأطفال في بعض الثقافات لا
~~يتعرضون بالقدر الكافي إلى المحفزات الضرورية، فمن غير
~~المحتمل أن يعرفوا المبدأ الكاردينالي، وإدراك التطابق
~~بين كل عنصر والذي يقابله في المجموعات الكبيرة المتساوية
~~عدديا. وبعبارة أخرى: فإن النتائج التي لاحظناها في
~~الجماعات السكانية اللاعددية، تتنبأ بها دراسات علماء نفس
~~النمو، الذين قد وضحوا لنا الكيفية التي يكتسب بها
~~الأطفال المعرفة بالأعداد في الثقافات العددية.

# 14

# لا تزال معرفتنا بشأن الآليات التي تنتج من خلالها
~~مفردات الأعداد والعد المفاهيم المجردة كالمبدأ
~~الكاردينالي تتشكل من خلال الدراسة التجريبية. ومن المثير
~~للاهتمام أن إحدى الدراسات الحديثة التي أجراها فريق من
~~علماء النفس قد بينت أن إيماءات اليد تساعد في تمهيد
~~الطريق للربط بين المفاهيم العددية والكلمات. وقد تضمن
~~الفريق سوزان جولدن مدو، وهي عالمة نفس بجامعة شيكاجو، وقد
~~كانت دائما في طليعة من يدرسون ms154 الإيماءات البشرية وما
~~يرتبط بها من عمليات إدراكية. وفي مجموعة من المهام
~~التجريبية التي أجريت على 155 طفلا، درس الباحثون 
~~الإيماءات العددية التي يقوم بها الأطفال في المرحلة
~~العمرية ما بين 3 إلى 5 سنوات. وقد وجدوا أن الأطفال الذين
~~لم يفهموا المبدأ الكاردينالي، كان استخدامهم للكلمات
~~للإشارة إلى الكميات أكثر محدودية من استخدامهم للإيماءات
~~للإشارة إلى الكميات نفسها. وقد كان الأطفال يشيرون إلى
~~الكميات الصغيرة من خلال إيماءات اليد بدقة أكبر من الإشارة
~~إليها من خلال الكلمات. ومثلما يذكر الباحثون، فإن النتائج
~~توضح أنه «قبل أن يتعلم الأطفال المعاني الكاردينالية
~~لمفردات الأعداد مثل «اثنين» «وثلاثة» يكونون قادرين على
~~فهم التمثيلات غير اللفظية لأحجام هذه المجموعات والتواصل
~~بشأنها باستخدام الإيماءات».

# 15

# إضافة إلى ذلك، اكتشف علماء النفس أن الأطفال الذين لم
~~يعرفوا المبدأ الكاردينالي بعد، يستطيعون تسمية المجموعات
~~الكبيرة بصورة تقريبية باستخدام أصابعهم، أفضل مما
~~يستطيعون تسميتها باستخدام الكلمات. فيبدو أن التمثيل
~~الإيمائي لبعض المفاهيم العددية يسبق التمثيل اللفظي. وربما
~~لا يكون ذلك مفاجئا؛ نظرا لما للأصابع من مزايا متأصلة
~~في تمثيل بعض الكميات، مقارنة بالكلمات. فيمكن للأصابع
~~تمثيل كمية العناصر في مجموعة صغيرة من خلال مطابقة كل
~~إصبع بعنصر في المجموعة، وذلك من خلال الأصابع المنفصلة
~~التي تستخدم معا في الوقت ذاته لتمثيل كل عنصر. ويكون
~~الأطفال أكثر استعدادا لتقدير الكميات الأكبر بصورة تقريبية
~~من خلال التمثيل البسيط باستخدام اليد الواحدة واليدين على
~~التوالي. أما الكلمات فهي على العكس من ذلك عشوائية في معظم
~~الأحوال، ولا بد من حفظها، ولا يمكن للأطفال استخدامها
~~بسهولة في وصف مجموعة معينة من العناصر، سواء أكان ذلك
~~بصورة دقيقة أم تقريبية.

# وتتضح هذه الميزة المتعلقة بالتطور الحيوي للفرد،
~~التي تتسم بها الأصابع واليدان أيضا في الأنماط العابرة
~~للغات في مصطلحات الأعداد التي تناولناها في الفصل الثالث.
~~فعلى أي حال، نجد أن مفردات الأعداد تسمى عادة بأسماء
~~الأصابع واليدين التي كانت تستخدم منذ البداية في تمثيل
~~الكميات، ومنذ البداية مقصود بها من الناحية التاريخية ms155 ومن
~~ناحية التطور الحيوي الفردي على حد سواء. بالرغم من ذلك
~~فإن تعلم المفردات التي تعبر عن المفاهيم العددية في
~~نهاية المطاف، ييسر المعالجة الذهنية للكميات بدرجة
~~كبيرة؛ إذ يتعلم الأطفال التعبير عن عدد العناصر بدقة من
~~خلال الإشارات المعجمية. (تكون هذه الإشارة المعجمية الأدق
~~إلى الكميات لفظية لدى معظم الأطفال، ولكن يستطيع الأطفال
~~الصم بالطبع استخدام الإشارات اللغوية من أجل الإشارة إلى
~~الكميات بسرعة ودقة.)

# من خلال اكتساب مفردات الأعداد والعد، يتعلم الأطفال
~~مبدأ الخلف، والمبدأ الكاردينالي، ويبدءون أيضا في إدراك
~~أن الكميات الكبيرة تكون متساوية إذا كان كل عنصر في
~~إحدى المجموعات يقابله عنصر في الأخرى، وهم يدركون معنى
~~التساوي الدقيق. وعلينا أن نلاحظ أنه بالرغم من وجود
~~الحاستين العدديتين لدى البشر، فإنهم لم يتمتعوا بأي
~~من هذه المبادئ الأساسية من خلال الغريزة، بل إننا نعمل
~~بجهد على مدار سنوات طفولتنا لكي نكتسبها. ونحن لا نبذل
~~مثل هذا المجهود في تعلمها إلا إذا لقمنا من هم حولنا
~~هبات الأعداد والعد (والواقع أن ذلك يكون في بعض الأحيان
~~في أثناء تلقيننا بالفعل). والذين ينتمون إلى ثقافات لا
~~تستخدم «الكثير» من الأعداد أو ممارسات العد، لا يمتلكون
~~الأدوات نفسها لتيسير هذا المجهود.

# 16

# خاتمة

# كيف نقوم إذن بالبناء على حاستينا الفطريتين للتفكير
~~العددي؟ كيف نؤسس صرح التفكير العددي الذي يتميز به البشر؟
~~من التفسيرات المهمة والمنطقية، ذلك التفسير الذي تقدمه
~~عالمة النفس بجامعة هارفارد سوزان كاري: يتعلم الأطفال
~~مفردات الأعداد، لكنها تكون مجرد مفردات يحفظونها
~~بالترتيب، دون أن يدركوا العلاقة الدقيقة بين الكلمة «اثنين»
~~وبين الكمية 2، على سبيل المثال. وبصفة أساسية تكون الكلمات
~~بمثابة أوعية للمفاهيم التي ستملؤها فيما بعد. ومع مرور
~~الوقت، والتعرض الكافي لمفردات الأعداد تلك، يدرك
~~الأطفال أن بعض مفردات الأعداد لها معان محددة ترتبط
~~بمفاهيم يسهل تمييزها. ولأنهم يتمتعون بقدرة فطرية على
~~التمييز بين المجموعات التي تتكون من عنصر واحد أو عنصرين أو
~~ثلاثة عناصر؛ فإن لديهم نزعة تلقائية لإدراك ما تمثله
~~الكلمات «واحد» «واثنان» «وثلاثة» ms156 مثلما أن لديهم نزعة
~~تلقائية لإدراك بعض الاختلافات اللغوية الأخرى مثل صيغة الجمع
~~مقابل صيغة المفرد. فهم يبدءون في إدراك أن هذه الكلمات
~~تصف كميات محددة، ومع القدر الكافي من التعرض يربطون
~~بين الكميات الصحيحة وبين تلك الكلمات. ومثلما أشرنا سابقا،
~~فإنهم يمرون بمرحلة معرفة الواحد أولا، ثم الاثنين، ثم
~~الثلاثة، ثم يبدءون في استنتاج أن الكلمات التي تعلموها
~~بالترتيب، لا بد أنها أيضا تكافئ كميات محددة. وهم
~~يدركون أن ترتيب الكلمات يتوافق مع ترتيب الكميات الذي
~~يختلف بمقدار واحد؛ ومن ثم فإن «ثلاثة» «وأربعة» تجمع
~~بينهما نفس علاقة الإضافة التي تجمع بين «اثنين» «وثلاثة».
~~إن الحاسة العددية التقريبية تزودهم بوعي تأسيسي
~~لحقيقة أن الكميات الكبيرة يمكن تمييزها؛ ولهذا، فمن
~~المرجح أنها تؤدي دورا أساسيا في عملية اكتساب الأعداد
~~الأخرى. وفي نهاية المطاف، يبدأ الأطفال في إدراك أن «خمسة»
~~أكبر من «أربعة» بواحد، «وستة» أكبر من «خمسة» بواحد. ومع
~~القدر الكافي من التعود والممارسة، «يفهمون» مبدأ الخلف
~~تماما، وكذلك المبدأ الكاردينالي، ووجود التساوي الدقيق
~~للكميات الكبيرة، وما إلى ذلك.

# 17

# بصفة أساسية، يمكن للأطفال أن يستخدموا المفاهيم التي
~~توصلوا إليها، مثل فكرة أن «ثلاثة» أكبر من «اثنين»
~~بواحد، ويشكلون مفاهيم أخرى على المنوال نفسه، على سبيل
~~المثال «ستة» أكبر من «خمسة» بواحد. فتكون الكلمات بمثابة
~~علامات إرشادية في هذه العملية، وتخبر الأطفال بأنه لا تزال
~~هناك مفاهيم عددية محددة يجب توليدها. إن تعلم
~~الأعداد ليست عملية لتسمية المفاهيم بقدر ما هي عملية
~~«إضفاء معنى المفاهيم على تسميات محددة.»

# 18

# والتسميات في هذه الحالة هي مفردات الأعداد
~~المتسلسلة، التي لا يفهم الأطفال معانيها في البداية،
~~وتكون بمثابة أوعية للمفاهيم التي تملؤها بعد ذلك بطريقة
~~أنسب. وهذه العملية التي تتمثل في ابتكار مفاهيم جديدة من
~~المفاهيم القديمة؛ من أجل فهم كلمات لم يكتمل تشكيل
~~معانيها بعد، تعرف أحيانا باسم «التدعيم المفاهيمي» إذ
~~يطور الأطفال أنفسهم من الناحية المفاهيمية، وذلك من خلال
~~أدواتهم التمهيدية العددية البسيطة.

# والآن يوجد عدد كبير من الأبحاث يدعم ms157 هذا التفسير في
~~صورته الأساسية، غير أن القدر الأكبر منها أجري على
~~أطفال في المجتمعات الصناعية الكبيرة؛ ومن ثم فالاتفاق
~~الواضح في الآراء هو أن مفردات الأعداد أساسية لتوسع
~~التطور في التفكير الكمي لدى البشر بما يتجاوز التفكير
~~الفطري المحدود؛ فمفردات الأعداد هي المفتاح الذي يحرر
~~إمكانية استخدام حاستينا العدديتين، أو يزيد من سهولة
~~تحريرها بصورة بارزة على الأقل؛ إذ تساعدنا الممارسة على
~~مفردات الأعداد والعد في نقل التمييز الدقيق للكميات إلى
~~الكميات الكبيرة التي كنا سنميزها على نحو تقريبي وخاطئ
~~لولا ذلك. وهذه القصة مقنعة، ويمكن الوثوق بها، وهي مدعمة
~~بالتجارب. وعلينا أن نلاحظ الدور الأساسي الذي تؤديه
~~اللغة في هذه القصة؛ فبالرغم من أن فهم الأطفال للفروقات
~~العددية إنجاز رائع، فهو يعتمد بصفة أساسية على مفردات
~~الأعداد وممارسات العد.

# 19

# إن هذه المناقشة مقتضبة بكل تأكيد؛ فنحن لم نتناول
~~مختلف النتائج المثيرة، المرتبطة بالطرق التي يتعلم بها
~~الأطفال الأعداد والمهارات الكمية المرتبطة بها. بالرغم من
~~ذلك، فقد ركزت هذه المناقشة على بعض النتائج المهمة
~~المتعلقة بغايتنا الأشمل؛ وهي توضيح الدور الذي تؤديه
~~الأعداد في حياتنا، والدور الذي أدته على مدار تاريخ
~~البشرية. إن الأعداد وطرق العد تغير الطريقة التي
~~يفكر بها الأطفال في الكميات. وهي توفر مستوى جديدا من
~~الدقة في التفكير العددي لدى البشر، وهو لم ينتج ببساطة عن
~~التطور الطبيعي للدماغ، بل هو نتيجة النشأة في ثقافات
~~محددة طورت طرقا للعد وغيره من المهارات ذات الصلة.
~~وهذه الطرق والمهارات تعتمد في النهاية على مفردات
~~الأعداد.



# الفصل السابع



# | الكميات في عقول الحيوانات




# بدأ علماء الحيوان مؤخرا في سبر أغوار ذكاء الأنواع الأخرى
~~بطرق جديدة؛ ففي المختبرات والمواقع الميدانية حول العالم،
~~يوضح الباحثون أن الرئيسات وغيرها العديد من أنواع الحيوانات
~~أكثر ذكاء مما قد نتوقع، أو أكثر ذكاء مما كنا نعتقد على
~~الأقل. وسنقدم مثالا على إحدى المهام الإدراكية المعقدة التي
~~كانت تستخدم لاختبار ذكاء الرئيسات، وهي مهمة نفذها العلماء
~~في معهد ماكس بلانك لعلم الإنسان التطوري، في ms158 مدينة لايبزيج في
~~ألمانيا. في هذه المهمة، يوضع أحد قردة الشمبانزي في غرفة
~~بها أسطوانة شفافة مصنوعة من مادة البلكسيجلاس، مثبتة في أحد
~~الجدران. وهذه الأسطوانة ضيقة وعميقة إلى حد ما (عرضها 5
~~سنتيمترات، وطولها 26 سنتيمترا)؛ مما يجعل من المستحيل أن تصل
~~أصابع الشمبانزي إلى قاعها. وفي قاع هذه الأسطوانة، يضع أحد
~~الباحثين حبة من الفول السوداني، وقردة الشمبانزي تحب
~~الفول السوداني؛ ومن ثم فإن الشمبانزي يرغب في أكل حبة
~~الفول السوداني، لكنه مع الأسف الشديد لا يستطيع أن يفعل ذلك.
~~بالرغم من ذلك، فمن حسن الحظ أنه يوجد حل لهذا السيناريو، وإن
~~لم يكن واضحا في البداية. على بعد متر من الأسطوانة، يوجد إناء
~~مياه يمكن للشمبانزي أن يشرب منه. هذا الإناء لا يمكن تحريكه،
~~وكذلك هي الأسطوانة. فما الذي سيفعله شمبانزي جائع؟ إنه يرغب في
~~حبة الفول السوداني لكنه لا يستطيع استخدام يديه، وليس لديه
~~أداة طويلة صلبة لكي يحاول أن يغرسها في حبة الفول. (يشتهر
~~الشمبانزي في البرية بمقدرته على استخدام أدوات الطعن؛ فهم
~~يستخدمونها في قتل صغار الجلاجو على سبيل المثال من أجل الحصول
~~على مقدار ضئيل من البروتين.) وبالرغم من ذلك، فإن ما يمتلكه
~~الشمبانزي هو أداة سائلة؛ إنها المياه التي يستطيع أن يشربها.
~~حين يوضع أطفال البشر في مثل هذا الموقف، فإن العديد منهم
~~يواجهون صعوبة في التوصل إلى حل. والواقع أن الأطفال الذين
~~تقدم إليهم هذه المهمة وهم في سن الرابعة يفشلون في معظم
~~الأحوال تقريبا، ولا ينجح الأطفال في أداء هذه المهمة بانتظام
~~نسبي إلا في سن الثامنة. والحل بالطبع هو نقل المياه من
~~الإناء إلى الأسطوانة حتى تطفو حبة الفول السوداني، وترتفع
~~إلى مكان يمكن الوصول إليه بالأسطوانة. وتستطيع نسبة جيدة من
~~قردة الشمبانزي (الخمس تقريبا) أن تدرك أن عليها استخدام
~~أفواهها لكي تطفو حبة الفول السوداني إلى السطح؛ ولهذا فهم
~~يبصقون المياه على حبة الفول السوداني، بمقدار شربة في كل
~~مرة. وبعضها يتمتع بالقدر الكافي من المثابرة الذي يجعل ms159 حبة
~~الفول تطفو في مكان عال بالأسطوانة، فيستطيعون الوصول إليها
~~بأيديهم. لقد نجحوا في المهمة!

# 1

# إن هذه المهمة هي واحدة فقط من المهام التي تشير إلى مدى
~~البراعة الإدراكية التي تتضح لدى أقرب إخوة لنا من الناحية
~~الوراثية، ويوجد الكثير غيرها؛ فالأبحاث التي تجرى على الحيوانات
~~قريبة الصلة منا، والعديد من الحيوانات غير قريبة الصلة،
~~تزيد باستمرار من فهمنا للقدرة الإدراكية لتلك الحيوانات؛
~~فمن قردة الشمبانزي إلى غربان كاليدونيا الجديدة إلى الحيتان،
~~قد أطاحت سلسلة من الاكتشافات في العقود الماضية الأخيرة
~~بالعديد من الجدران الإدراكية التي كنا نظن أنها تقف بين نوع
~~«الإنسان العاقل» وغيره من الأنواع. وغالبا ما يكشف هذا البحث
~~النقاب عن بعض القدرات الذهنية الأساسية التي تتضح في
~~التجربة التي وصفناها للتو: الحيوانات الأخرى قادرة على التخطيط.
~~وهي قادرة على استخدام الأدوات، والتفكير في حل العديد من
~~المشكلات الحديثة بطرق كنا نظن من قبل أنها
~~مستحيلة.

# وقد اتضح أن بعض هذه المشكلات ذات طبيعة حسابية. وفي هذا
~~الفصل سوف ننظر في بعض القدرات الكمية التي تمتلكها بعض
~~الحيوانات الأخرى، مع تناول بعض الأعمال التجريبية التي اكتشفت
~~هذه القدرات. إننا نخصص القدر الأكبر من انتباهنا للأبحاث التي
~~تجرى على قردة الشمبانزي وغيرها من الرئيسات؛ إذ إن هذه
~~الأنواع هي الأكثر ارتباطا إذا كنا نرغب في أن نحظى بفهم
~~أفضل للكيفية التي تطورت بها أشكال التفكير الكمي الفريدة
~~التي يتميز بها البشر. بالرغم من ذلك، فثمة تنبيهان يجدر بنا
~~أن نذكرهما منذ البداية؛ أولهما هو أن تلك الأبحاث التي تجرى
~~على الإدراك لدى الحيوانات، بما في ذلك الإدراك العددي، تتوسع
~~باستمرار. إن تاريخ هذه الدراسة حافل بالمراجعات؛ إذ يكتشف
~~الباحثون قطعا مهارات إدراكية جديدة في عقول الحيوانات،
~~والأرجح أن هذا الوضع سوف يستمر أيضا في السنوات القادمة.
~~وأما التنبيه الثاني، فهو أنه عند النظر في هذه الأبحاث، يجب
~~علينا أن نراعي ألا نكون شديدي التركيز على النوع البشري، أو
~~شديدي التشبيه بالصفات البشرية، عند تأويل النتائج. إن هذه ms160
~~النقطة التي نتناولها تتطلب التوسع؛ إذ إنها أساسية في مجال
~~علم الإنسان وعلم الرئيسات، وغيرها من المجالات المرتبطة.
~~والنقطة الأساسية هنا أنه يجب علينا أن ندع البيانات تتحدث،
~~ونحاول أن نمنع تحيزاتنا الطبيعية من تحديد تأويلاتنا
~~للبيانات وما قد تخبرنا به عن طريقة تفكير الحيوانات وسلوكها.
~~إننا نميل إلى افتراض أن إدراك الحيوانات ليس له علاقة بالأبحاث
~~التي تجرى بشأن البشر؛ ذلك أن البشر بالطبع حيوانات من نوع
~~مميز لهم عقول تختلف تماما عن عقول الحيوانات، أو ربما تجري
~~فيهم روح أثيرية. ويمكن أن نطلق على هذا المنظور أنه بشري
~~التمركز. ووفقا لميول المرء الدينية أو الفكرية النظرية، يمكن
~~أن تكون هذه المكانة التي يحتلها الإنسان في هذا المنظور أمرا
~~جذابا للغاية. بالرغم من ذلك، فمن منظور يستند إلى
~~التجريبية، فإن الأدلة وحدها هي التي يجب أن توجه آراءنا
~~بشأن التفكير لدى الحيوانات. بدلا من افتراض أن الحيوانات
~~تفتقر إلى مهارات إدراكية محددة، مهارات قد يكون من الصعب
~~اكتشافها نظرا لصعوبة التواصل بين الأنواع المختلفة بعضها عن
~~بعض، يجب علينا أن نستبعد وجود مثل هذه المهارات بعناية
~~شديدة.

# وعلى العكس من ذلك، فالعديد من الأشخاص يبدون ميلا
~~تلقائيا إلى تبني وجهة النظر المتمثلة في التشبيه بالإنسان،
~~وهي رؤية تفترض مسبقا أن الحيوانات الأخرى تتمتع بأفكار
~~وعواطف تشبه الأفكار والعواطف البشرية، ذلك أن البشر هم
~~«مجرد نوع آخر من الحيوانات.» بالرغم من ذلك، فثمة أسباب
~~وجيهة تدعو إلى الارتياب في أن الحالة الثانية ليست هي
~~الصحيحة، ويجب علينا أن نحرص على ألا نسقط السمات البشرية
~~على أفكار الحيوانات وسلوكياتهم، حين تكون البيانات ملتبسة. في
~~تفاعلاتي المتكررة مع طلبة الجامعة، أجد أن الموقف الأخير هو
~~السائد في معظم الحالات، ويعود ذلك جزئيا إلى التجارب التي
~~تجرى على الحيوانات الأليفة وغيرها من الحيوانات، التي غالبا ما
~~يشعر الأفراد برابطة حميمية معها. إن تصفح موقع فيسبوك أو
~~ريديت أو غيرها من مواقع التواصل الاجتماعي، يظهر لنا دائما
~~مقاطع فيديو أو حكايات عن حيوانات أليفة ms161 تعبر ظاهريا عن
~~«حبها» لأصحابها أو «صداقتها» معهم. وبالرغم من أن تكوين
~~الحيوانات لعلاقات مع البشر هو أمر لا جدال فيه (يقترح بعض
~~العلماء في مجال علم الإنسان أن العلاقات بين البشر والحيوانات
~~كانت أساسية في تطور الثقافة)، فإنه يظل من الصعب أن
~~نقرر ما يدور فعليا في عقول الأنواع الأخرى. فعلى سبيل
~~المثال، ما مقدار ما يصدر عنها من سلوكيات بسبب «مشاعرها»
~~نحونا، أو نحو بعضها بعضا، ومقدار ما يصدر عنها بسبب العلاقات
~~المتوقعة بين المحفز والاستجابة؟ وحين تفكر الحيوانات وتعبر
~~عن مشاعرها، هل تفعل ذلك بطريقة تسمح لنا نحن - أفراد النوع الذي
~~استفاد من الأدمغة الأكبر حجما، وكذلك الثقافة واللغة - بإدراك
~~هذه الأفكار والمشاعر، على أنها تشبه أفكارنا ومشاعرنا بأي
~~شكل من الأشكال؟ إن الإجابات المناسبة عن مثل هذه الأسئلة
~~يصعب التوصل إليها، بالرغم من أي تخمينات حدسية قد
~~نطرحها. وبالرغم من أنه قد يكون لدينا ميل شخصي قوي تجاه وجهة
~~النظر البشرية التمركز، أو وجهة النظر المتمثلة في تشبيه
~~الحيوانات بالصفات البشرية، فإن هذا الميل قد تأسس على
~~الأرجح بناء على خبراتنا السردية. وفي نهاية المطاف، يكون
~~تأويل الخبرات الشخصية أساسا غير مرض للاستنتاجات ذات الطبيعة
~~العلمية، والدليل على ذلك أن التخمينات الحدسية الشخصية بشأن
~~مثل هذه الموضوعات يمكن أن تختلف بدرجة كبيرة. بعبارة أخرى:
~~التخمينات الحدسية بشأن الإدراك لدى الأنواع الأخرى، تخبر عنا
~~أكثر مما تخبر عنها.

# 2

# في سياق التفكير العددي لدى الحيوانات، نجد قصة يستشهد بها
~~كثيرا، غير أنها لا تزال قصة تحذيرية مهمة، وهي قصة هانز
~~الذكي. وقد كان هانز الذكي حصانا جميلا من سلالة أورلوف تروتر.
~~وكان صاحب هذا الحصان رجلا ألمانيا يدعى فيلهلم فون أوستن،
~~ويبدو أنه كانت له مجموعة من الاهتمامات الاصطفائية، وكان منها
~~تدريس الرياضيات لهانز، وممارسة الفراسة، التي قد أصبحت الآن
~~مجالا بائدا من الدراسة، كان مختصا بدراسة الجماجم البشرية في
~~محاولة لاستكشاف القوالب الأساسية للدماغ، التي يفترض أنها
~~مخصصة لمهارات عقلية محددة. وكان من اهتماماته في العقد ms162
~~الأول من القرن العشرين أن يوضح للجمهور أن هانز قادر على
~~أداء مجموعة متنوعة من المهام الإدراكية المعقدة، كان من
~~بينها قراءة بعض الكلمات الألمانية وتهجيها، وكذلك فهم
~~التقويم وإيجاد الحلول لجميع المسائل الرياضية. وفي مثل هذه
~~المهام، كان هانز يوضح كفاءته في المهارات العقلية ذات الصلة
~~من خلال النقر بحافره على الأرض لعدد معين من المرات. فعلى
~~سبيل المثال، إذا طلب فون أوستن من هانز أن يطرح 8 من 12، كان
~~هانز سيضرب بحافره على الأرض لأربع مرات. والواقع أن العديد
~~من المسائل الرياضية التي كان يبدو أن هانز يحلها، كانت
~~أعقد من ذلك بكثير، وقد أبهر الحشود في ألمانيا بقدرته على
~~الإجابة عن معظم الأسئلة بشكل صحيح. لقد أصبح شخصية مشهورة
~~بشكل ما، وذاع نبؤه في بعض المنشورات التي تصدر بعيدا مثل
~~صحيفة «نيويورك تايمز».

# 3

# والآن، فمثلما قد خمنت على الأرجح، لم يكن هانز قادرا
~~بالفعل على أداء العمليات الحسابية، ولا هو كان قادرا على فهم
~~اللغة الألمانية؛ ولهذا فقد يتساءل المرء: كيف تسنى لفون أوستن
~~أن يخدع الجمهور من خلال التلميح لهانز بطرق لا يكتشفها
~~الجمهور؟ حسنا، هنا تأخذ القصة منحنى غير متوقع؛ فون
~~أوستن لم يكن يخدع جمهوره (ولا حتى كان يتقاضى منهم أي مال).
~~والحق أنه حين كان يسمح لأشخاص آخرين بأن يطرحوا على هانز
~~الأسئلة، لم يكن أداء الحصان يتراجع تراجعا كبيرا. وحتى حين
~~كان هؤلاء الأشخاص لا يعرفون هانز ولا فون أوستن، كان يبدو أن
~~هانز يفهم أسئلتهم ويستطيع أن يجيب عنها إجابات صحيحة في معظم
~~الأحوال. يظهر في المشهد أوسكار بفونجست، وهو عالم نفس ألماني كان
~~أقل إعجابا بكثير من هذه الحشود المنبهرة بالعرض الفرسي،
~~كان بفونجست واثقا من وجود شيء محير في هذا الأمر، ثمة
~~عامل متغير آخر كان يمكن هانز من التعبير عن الإجابة الصحيحة
~~عن طريق النقر بحافره على الأرض. ومن خلال مجموعة من التجارب،
~~أثبت بفونجست أن هانز ليس بارعا في حقيقة الأمر في
~~الرياضيات؛ فحين كان هانز ms163 لا يستطيع رؤية الشخص الذي يطرح عليه
~~السؤال، كان نقره على الأرض يتراجع إلى إجابات عشوائية. علاوة
~~على ذلك، وهذه نقطة مهمة، حين كان هانز يستطيع رؤية الشخص الذي
~~يسأله، لكن هذا الشخص نفسه لا يعرف إجابة السؤال، كان أداء هانز
~~يتراجع كذلك.

# يمكننا أن نستخلص نتيجتين على الأقل من هذه القصة التحذيرية؛
~~أولا: بالرغم من أن الحيوانات مثل هانز قد لا يكونون بارعين
~~في الرياضيات أو القراءة، فهم أفضل مما قد نعتقد بكثير في
~~تمييز المعلومات البصرية التي يقدمها لهم البشر. بالرغم من
~~أن السائلين لم يكونوا يتعمدون الكشف عن الإجابة لهانز، فقد
~~كانوا يقدمون له بعض التلميحات البصرية الخفية، التي أفادت
~~أداءه. وقد أوضح الفحص الدقيق أن رءوسهم كانت تتحرك قليلا
~~حين كانت سلسلة النقرات التي يصدرها هانز تقترب من الإجابة
~~الصحيحة. وبطريقة ما، كان هانز يلاحظ هذا التلميح غير
~~المتعمد في التواصل. ثانيا: يجب علينا أن نكون واعين
~~بالنزعة لتشبيه الحيوانات الخاضعة للتجارب، ببعض الصفات البشرية؛
~~ففي حالة فون أوستن على سبيل المثال، قد واصل اصطحابه في جولات
~~بعد دراسة بفونجست للحيوان، وظل غير مقتنع بالنتائج التي
~~توصل إليها عالم النفس. لقد فقد فون أوستن حسه الموضوعي،
~~ويبدو أن ذلك لأنه أسقط بعض السمات البشرية على هانز، وربما
~~يعود ذلك جزئيا إلى الرابطة التي نمت بينهما.

# لا تزال قصة تأثير هانز الذكي تتداول اليوم بسبب دروسها
~~الأساسية، والتي لا تزال تنطبق على الوضع في الوقت الحالي، بقدر
~~ما كانت تنطبق قبل أكثر من قرن. ولتتأمل قصة الغوريلا كوكو،
~~التي كان يزعم أنها تستطيع أن تتحدث «لغة إشارة الغوريلا»؛
~~ومن ثم التواصل مع البشر. وهذا أيضا قد جعل من كوكو شخصية
~~شهيرة بعض الشيء، وقد تفاعلت مع ويليام شانتر، وروبن ويليامز،
~~والسيد روجرز، والعديد غيرهم من الشخصيات المشهورة. بالرغم من
~~ذلك، فقد ظهرت على مدار السنوات العديد من الانتقادات التي
~~وجهت للبحث الذي قامت به فرانسين باترسون، نظرا إلى الرابطة
~~القوية التي تجمع بين فرانسين وكوكو. وقد أوضحت ms164 هذه الانتقادات
~~بشكل مقنع أنه من الصعب أن نستنتج من تفاعلات باترسون مع
~~كوكو، نطاق المهارات الإدراكية والتواصلية لدى قردة الغوريلا؛
~~فحين تنشأ بين الحيوانات ومدربيهم علاقات اجتماعية قوية، فإن
~~المدربين لا يحتفظون بالموضوعية التامة في معظم الأحوال، وقد
~~يميلون إلى إنتاج تأويلات تتسم بإضفاء سمات بشرية على
~~الحيوانات.

# وتفسير تأثير هانز الذكي أيضا ليس أمرا مباشرا مثلما قد يبدو
~~ذلك؛ فقد يقترح أحدهم على سبيل المثال ألا يحضر المدربون عند
~~إجراء التجارب، أو استخدام التجارب مزدوجة التعمية فقط. إن
~~تنفيذ هذه الاقتراحات ليس بالأمر السهل، بل ربما يكون مستحيلا في
~~معظم الحالات؛ ففي معظم الأحيان، تستلزم التجارب أن تطيع
~~الحيوانات تعليمات المدربين الذين يثقون بهم، وتجمعهم معا
~~رابطة اجتماعية خارج سياقات المختبر. وإبعاد المدربين عن مثل
~~هذه السياقات يمكن أن يؤدي بسرعة إلى فشل المشروع
~~بأكمله.

# إضافة إلى مثل هذه المخاوف، فالأنواع غير البشرية لا تمتلك
~~مهارات التواصل اللغوية بالطبع؛ ومن ثم فإن ما ناقشناه في
~~الفصل السادس من تحديات منهجية تتعلق بالدراسات على الأطفال
~~الذين لم يكتسبوا مهارة اللغة بعد، تنطبق أيضا على الحيوانات.
~~فبطريقة ما، من المدهش أننا نعرف أي شيء على الإطلاق عن
~~الإدراك الرياضي لدى الحيوانات. وليس من المفاجئ أن بعض
~~الخلافات بشأن نطاق الإدراك العددي لديهم لا تزال قائمة حتى
~~اليوم. على أي حال، فبالرغم من هذه الخلافات المستمرة،
~~ومجموعة التحديات المنهجية المرتبطة بمثل هذا العمل، فقد بدأنا
~~في فهم القدرات العددية لدى العديد من الأنواع، إضافة إلى البشر.
~~وبالرغم من أن الحيوانات قد تكون غير قادرة على حل المسائل
~~الرياضية مثل تلك التي كانت تطرح على هانز الذكي، فقد اتضح
~~أن إدراكها العددي لا يختلف كثيرا عن الإدراك العددي لدى
~~أطفال البشر.

# الإدراك العددي لدى غير الرئيسات

# تظهر مطابقة الكميات في سلوك الحيوانات بطرق غير
~~متوقعة وبشكل دائم. فلتتأمل ما يلي: في عام 1831، نقل
~~تجار الفراء في أونتاريو أن جماعة أوجيبواي من السكان
~~الأصليين، كانت تواجه نقصا حادا في الغذاء والفراء؛
~~لأن أحد ms165 فرائسهم الأساسية، وهو أرنب حذاء الثلوج البري، قد
~~بدا أنه يختفي. وليس مصادفة أن تجار الفراء في شركة
~~هدسون باي، قد أذاعوا وجود نقص مماثل في حيوانات الوشق
~~الثمينة للغاية بسبب فرائها الناعم . ولأن حيوانات الوشق هي
~~أيضا تتغذى على الأرانب البرية؛ يبدو أن نقص النوع
~~الأخير قد ساهم في نقص عدد النوع الأول. وتوضح سجلات شركة
~~هدسون باي، التي يعود تاريخها إلى سبعينيات القرن السابع
~~عشر، أن هذا النقص في أعداد حيوانات الوشق والنقص في
~~الأرانب البرية قد تزامن حدوثهما معا على فترات منتظمة
~~تبلغ عشر سنوات. والآن، تقترح دراسات واسعة النطاق أن
~~هذا النقص المنتظم في عدد أفراد النوعين، يعود إلى أنماط
~~يمكن التنبؤ بها تتعلق بالزيادة الفائضة في عدد الأفراد.
~~فحين تصل بيئة محلية إلى درجة التشبع ولا يمكنها الاحتفاظ
~~بعدد أكبر من الأرانب البرية بسبب تناسلها الخارج عن
~~السيطرة، فإن ذلك يمكن أن يشكل ضغطا على الموارد
~~الغذائية؛ ومن ثم حدوث انخفاض بارز في معدلات تناسل
~~الأرانب البرية. وهذا الانخفاض يكون له تأثير غير مباشر على
~~أنواع أخرى كالوشق، على فترات زمنية منتظمة إلى حد ما
~~تبلغ عشر سنوات.

# 4

# أو يمكننا أن نتأمل مثال حشرات الزيزيات، وهي عائلة من
~~الحشرات لها ما يزيد على 2000 نوع، ومنها جنس الزيزيات
~~الدورية، الذي يقضي الجزء الأكبر من دورة حياته تحت الأرض
~~يتغذى فيه على جذور الأشجار، ولا تخرج هذه الحشرات من تحت
~~الأرض إلا لكي تتكاثر بأعداد كبيرة للغاية. وبعد شهرين
~~تقريبا، وهي الفترة التي تتزاوج فيها هذه الحشرات وتضع
~~البيض للجيل التالي، تختفي الزيزيات البالغة مرة أخرى.
~~ووفقا لما يقوله السكان، فإن الزيزيات البالغة لا تظهر
~~مرة أخرى إلا بعد 13 أو 17 عاما. وهذه الدورة طويلة للغاية
~~ومنتظمة للغاية، فكأن هذه الحشرات تعد السنوات إلى أن
~~يحين موعد ظهورها من جديد، غير أن الأمر ليس كذلك بالطبع.
~~وما يبدو أنه قد حدث هو أن الطبيعة قد انتقت لصالح
~~الزيزيات دورة الظهور تلك؛ فمعظم الحيوانات التي ms166 تتغذى على
~~الزيزيات، تكون دورة التكاثر لديها من سنتين إلى 10 سنوات.
~~تخيل لو أن الزيزيات تظهر كل 12 عاما على سبيل المثال،
~~عندها كانت ستصبح فريسة أسهل لجميع الأنواع المفترسة التي
~~تأتي دورة تكاثرها كل عامين أو ثلاثة أعوام أو أربعة
~~أعوام أو ستة أعوام؛ إذ إن العدد 12 يقبل القسمة على 2 و3
~~و4 و6؛ ومن ثم يمكننا أن نتوقع أن الزيزيات إذا تبعت
~~دورة تكاثر كل 12 عاما، سوف تواجه تحديات أعظم في التكاثر.
~~على العكس من ذلك، فإن الزيزيات عندما تتبع دورات تكاثر
~~أطول، وتتكرر على فترات زمنية منتظمة مثل 13 عاما أو 17
~~عاما، ستواجه تحديات أقل من الأنواع الأخرى؛ فهذان
~~العددان من الأعداد الأولية ولا تسهل قسمتهما مثل العدد 12
~~على سبيل المثال. إن الضغوطات البيئية قد انتقت لصالح
~~الزيزيات دورات تكاثر من الأعداد الأولية، ولغير صالح
~~الحشرات التي تتبع دورات تكاثر من أعداد تقبل قسمتها بشكل
~~متساو.

# 5

# إن مثالي أرانب حذاء الثلوج البرية والزيزيات،
~~يوضحان أن الكميات المنتظمة تظهر في سلوك الأنواع غير
~~البشرية، ومنها الحشرات. غير أنهما يوضحان أيضا أن ظهور
~~هذه الكميات المنتظمة، لا يستلزم أن تتمتع الحيوانات
~~الأخرى بقدرات الإدراك العددي. وفي العديد من الحالات يمكننا
~~أن نفترض أنها لا تتمتع بها، وذلك على سبيل المثال، بسبب
~~المحدودية المتأصلة في الأنظمة العصبية للحشرات. على سبيل
~~المثال، نحن نعرف أن بعض أنواع النمل لديها القدرة على
~~التمييز الميكانيكي لعدد الخطوات التي قطعتها لكي تصل إلى
~~مكان محدد، لكن ذلك الإدراك لا يشير بشكل مؤكد إلى
~~أن النمل يستطيع استيعاب الكميات.

# 6

# بالرغم من ذلك، فحين يمتد نقاشنا لكي يشمل كائنات أكثر
~~تعقيدا مثل السمادل وأنواع متعددة من الأسماك، فإننا نجد
~~أن العديد من الأنواع التي تقع على أغصان بعيدة من شجرة
~~الحياة تتمتع بقدرات إدراكية لتمييز الفرق بين الكميات
~~الكبيرة والصغيرة. غير أنه لا يتضح لنا في مثل هذه الحالات
~~ما إذا كانت هذه القدرات الظاهرية في تقدير الكميات، تعود ms167 إلى
~~بعض العوامل غير المحددة مثل الحجم الكبير أو الكثافة أو
~~الحركة المرتبطة بالكميات الكبيرة. فلننظر في حالة
~~السمادل؛ في إحدى الدراسات، خير الباحثون السمادل بين
~~أنبوبين مملوءين بوجبة شهية، وهي ذباب الفاكهة، وبين ثلاثة
~~أنابيب مملوءة أيضا بها، وتلقائيا، اختارت السمادل الاختيار
~~الذي يحتوي على عدد أكبر من ذباب الفاكهة. بالرغم من ذلك،
~~في دراسة أخرى، اكتشف الباحثون أن اختيار السمادل لوجبة
~~شهية أخرى، وهي الصراصير الحية، كان يتوقف على كمية الحركة
~~التي تقوم بها الحشرات التي يرونها. وعند الحد من هذه
~~الحركة، بدا أن اختيار السمادل لكمية الصراصير التي يرونها،
~~كان عشوائيا، أي إن السمادل تميز الكمية المتواصلة
~~لشيء ما (الحركة الكلية) حين تقوم بمثل هذه الاختيارات، لكنها
~~لا تميز الكميات الفردية، مثل 2 و3 وما إلى ذلك. لقد أوضحت
~~الكثير من الدراسات التي أجريت في البرية أن أنواعا
~~كثيرة يمكن أن تكون انطباعات عن الكمية الأكبر من شيء ما،
~~غير أن الدراسات التي تجرى خارج المختبرات لا تستطيع
~~التحكم في متغيرات هي ضرورية لفهم مقدار ما يعود من قدرة
~~الحيوانات على إدراك كميات الحيوانات الأخرى، إلى القدرة على
~~التمييز بين الأكثر أو الأقل من «الأشياء»، أو الحركة
~~المستمرة، مقارنة بقدرة الحيوانات على التمييز بين الكميات
~~على نحو منفصل.

# 7

# إن الفئران، التي لا ننظر إليها عادة على أنها أحد
~~أنواع الثدييات القريبة لنوعنا، تشترك في جزء كبير مع
~~السلالة البشرية، وهي قادرة على تمييز الكميات. لقد ثبت هذا
~~الأمر منذ أكثر من أربعة عقود الآن؛ ففي دراسة أجريت عام
~~1971، اكتشف الباحثون أنه يمكن تدريب الفئران على الأعداد
~~التقريبية؛ فالفئران التي كانت تتلقى مكافأة على الضغط على
~~ذراع رفع لعدد محدد من المرات، كانت تقترب من بلوغ هذا
~~العدد بعد التمرين. فعلى سبيل المثال، عند مكافأة أحد الفئران
~~بعد الضغط على ذراع الرفع لخمس مرات، وكانت تتوفر أمامه
~~الفرصة لدفع الذراع بعد ذلك، فإنه كان يدفعه لخمس مرات
~~تقريبا. وكلمة «تقريبا» هنا أساسية للغاية؛ فالفئران لا
~~تتذكر أنه ms168 يجب عليها دفع الذراع لخمس مرات على وجه
~~التحديد، لكنها تستطيع أن تتذكر أنه يجب عليها دفع الذراع
~~حوالي خمس مرات. وفي مثل هذه الحالات، فسوف يكونون أقرب إلى
~~دفع الذراع خمس مرات من دفعه ثماني مرات، على سبيل المثال.
~~بالرغم من ذلك، فإن نطاق الأخطاء في عدد المرات التي يرفع
~~فيها الفئران الذراع، يزداد مع زيادة الكمية المستهدفة.
~~وبالرغم من أن استجابات الفئران في دراسة عام 1971، كانت
~~فوضوية، فقد كانت تتوزع بصورة طبيعية حول الكمية التي
~~دربوا عليها. وهذه الاستجابات ذات الصوت المزعج، والصحيحة
~~في معظم الأحيان، تشير إلى أن الفئران كغيرها من العديد من
~~الأنواع الأخرى، وكالبشر الذين لا يعرفون الأعداد؛ غير قادرة
~~على التمييز بدقة بين الكميات؛ غير أنها قادرة على تحديد
~~الكميات بصورة تقريبية، وحقيقة أن هذا النوع من الثدييات
~~بعيدة الصلة بالبشر، يستطيع تمييز الكميات بصورة تقريبية،
~~تقترح أن الحاسة العددية التقريبية لدى البشر كانت موجودة
~~في سلفنا المشترك مع الفئران. وقد كان ذلك النوع موجودا قبل
~~ستين مليون عام على الأقل.

# 8

# بعض الأنواع الأبعد صلة بالبشر تتشارك معهم أيضا في
~~القدرة على تحديد الكميات بصورة تقريبية، غير أنه ليس من
~~الواضح في مثل هذه الحالات أن ذلك يعود إلى وراثتنا المشتركة
~~للقدرات العددية الفطرية. ومعنى هذا أن الحيوانات الأخرى
~~تتمتع بمهارات إدراكية «مماثلة» لا مهارات إدراكية
~~«متناددة». والسمات المماثلة هي سمات مشابهة توجد
~~على مستوى النوع؛ إذ تطورت بشكل مستقل للتغلب على
~~تحديات بيئية متشابهة. وعلى العكس من ذلك، فالسمات
~~المتناددة تشير للخصائص التي توجد في العديد من الأنواع
~~لوجود أسلاف مشتركة بينها؛ على سبيل المثال، الأرجل الأربعة
~~لدى الأسود والدببة سمة متناددة، أما أجنحة الفراشات،
~~والوطاويط، والطيور، فهي سمات مماثلة.

# بعض أنواع الطيور التي لا تجمعها بالبشر إلا صلة بعيدة،
~~تتمتع بالقدرة على تقدير الكميات، غير أنه ليس من المؤكد
~~مقدار ما يعود من هذه القدرة إلى العناصر الإدراكية
~~المتناددة أو المماثلة، مقارنة بالبشر. ثمة قصص
~~وأساطير عن طيور تستطيع العد بصورة ms169 دقيقة، لكن من الصعب
~~أن نلغي تأثير العناصر الملفقة في مثل هذه الحكايات.
~~علاوة على ذلك، فالعديد من البشر الذين يمتلكون طيورا
~~أليفة، مقتنعون بأن هذه الطيور (أو غيرها من الحيوانات
~~الأليفة على أي حال) تتمتع بقدرات رياضية. غير أن هذه
~~الحكايات القصصية لا تدخل في نطاق نقاشنا هنا؛ وذلك بسبب
~~عوامل كتأثير هانز الذكي، ونزعتنا إلى إسقاط السمات البشرية
~~على الحالة العاطفية والحالة الإدراكية لحيواناتنا الأليفة،
~~دون سبب مقنع. بالرغم من ذلك، ومع تنحية مثل هذه الحكايات
~~جانبا، فإن لدينا أدلة تجريبية قوية توضح أن العديد
~~من غير الرئيسات، ومنها الطيور والفئران، تستطيع تحديد الكميات
~~على نحو تقريبي. غير أنه حتى في التجارب التي تجرى على
~~حيوانات ذكية نسبيا (مقارنة بالسمادل على سبيل المثال)،
~~فمن الصعب أن نضبط جميع العوامل المتغيرة لكي نضمن أن
~~مهارة التقريب التي نكشف عنها لها طبيعة كمية بالفعل.

# فلننظر في هذا المثال؛ حين قدم الباحثون إلى إناث الأسد
~~في متنزه سيرينجيتي تسجيلا صوتيا لأنثى أسد أخرى تزأر،
~~اقتربت الإناث في الغالب من مصدر الصوت لكي تدرأ الدخيلة
~~المزيفة. وعلى العكس من ذلك، حين سمعت إناث الأسد تسجيلا
~~لثلاث من إناث الأسد، لم تكن تقترب من مصدر الصوت في معظم
~~الأحوال؛ فهل تستطيع إناث الأسد عد مصادر الزئير الذي
~~تسمعه؟ ربما، ولكن من الصعب التأكد من مثل هذه المهمة؛ ربما
~~كانت تحدد فقط السعة العامة للزئير، ربما لديها علاقة
~~غامضة بين مقدار الزئير ومقدار الخطر، بدون التمييز بين كمية
~~أي من المتغيرين بمصطلحات عددية مجردة. وبصرف النظر عن
~~التفاصيل، فإن القدرات الإدراكية الحسية لدى إناث
~~الأسد، تفيدهم في زيادة فرص البقاء؛ إذ تجنبهم المخاطر
~~غير الضرورية، وهي تشير إلى أن إناث الأسود تستطيع تمييز
~~عدد الأسود الأخرى التي تصدر ما تسمعه من زئير. وفي سياق
~~مماثل، فمن المعروف أن الحمام يستطيع دائما أن يختار
~~الكمية الأكبر من الغذاء دون تدريب. وهذا الانحياز في الاختيار
~~أيضا، يضفي مزايا واضحة على فرص بقاء الحيوان وتكاثره؛
~~فتجنب الخطر ms170 أو اختيار غذاء يحتوي على عدد أكبر من
~~السعرات الحرارية، أو تقدير الكميات، كل ذلك يساعد الحيوانات
~~على التفوق في بيئاتها المختلفة.

# 9

# ما يبدو واضحا من هذه النتائج وغيرها، هو أن العديد من
~~الأنواع تستطيع التمييز بين الكميات بشكل تقريبي. غير أن
~~هذه النتائج تشير أيضا إلى أن تمييز الكميات يعتمد في بعض
~~الأحيان على الإدراك التقريبي لبعض العوامل المستمرة (أي
~~إن بعض الاختيارات في المواقف التجريبية وغير التجريبية،
~~يعكس تفضيلا «للكمية» الأكبر من عنصر ما). ومثلما أشار
~~عالم الإدراك كريستيان أجريلو مؤخرا إلى أن «العددية
~~تتغير تغيرا مصاحبا لبعض السمات المادية الأخرى (وهي
~~المساحة التراكمية للسطح أو السطوع أو الكثافة أو المساحة
~~الإجمالية التي تشغلها المجموعات)، ويمكن للكائنات استخدام
~~الحجم النسبي للمتغيرات المستمرة، لتقدير أي المجموعات
~~أكبر أو أصغر.»

# 10

# وتمييز مقدار مثل هذه السمات ذات الصلة،
~~يقدم مزايا واضحة لبقاء الأنواع ونجاحها في التكاثر.
~~بالرغم من ذلك، فهذه القدرات تختلف في طبيعتها عن القدرتين
~~العدديتين لدى البشر؛ القدرة على تمييز المجموعات الصغيرة،
~~والتعرف على عددها بصريا بسرعة وتلقائية، والقدرة على
~~التوصل إلى عدد المجموعات الكبيرة بشكل تقريبي.

# غير أن بعض الأبحاث التجريبية تقترح بقدر أكبر من
~~الوضوح أن بعض أنواع غير الرئيسات، تتشارك معنا في واحدة
~~على الأقل من هاتين القدرتين العدديتين، وهي الحاسة
~~العددية التقريبية الفطرية. إضافة إلى ذلك، ففي حالة عدد
~~قليل من الحيوانات التي أجريت عليها الاختبارات، مثل الكلاب
~~أو طيور أبي الحناء النيوزلندي، يبدو أنها تستطيع تمييز عدد
~~العناصر في المجموعات الصغيرة بدقة، كالإنسان تقريبا.
~~وبالفعل، فقد أوضحت الأبحاث أن طيور أبي الحناء النيوزلندي
~~قادرة على التمييز بين عنصر واحد مقابل عنصرين، وكذلك بين
~~عنصرين مقابل ثلاثة عناصر، وثلاثة عناصر مقابل أربعة عناصر.
~~بالرغم من ذلك، فعند المقارنة بين مجموعات يزيد عددها على
~~أربعة عناصر، لا تنجح في التمييز إلا أن يكون معدل الفرق
~~بين المجموعتين 1 : 2 على الأقل، أي إذا كان عليهم الاختيار
~~مثلا بين أربعة عناصر وثمانية. وهذا الاستعداد لتمييز ms171 الكميات
~~الصغيرة بدقة، وتمييز الكميات الكبيرة بشكل تقريبي،
~~يذكرنا للغاية بما لاحظناه فيما يتعلق بالبشر الذين لم
~~يكتسبوا مهارة اللغة بعد، والبشر الذين ينتمون إلى ثقافات لا
~~عددية.

# 11

# ومن المثير للدهشة أن بعضا من أفضل الأدلة المستقاة من
~~أنواع مختلفة، بشأن الأنظمة المحددة لتمييز الأعداد، يأتي
~~من نوع أبعد صلة بالبشر من ناحية تطور النوع. لقد أثبتت
~~الأعمال البحثية الحديثة أن أسماك الجوبي (وهي نوع من
~~الأسماك الصغيرة) تستطيع تمييز الكميات الصغيرة وتقدير الكميات
~~الكبيرة كذلك. لقد قام الباحثون في مجال الإدراك لدى الحيوانات
~~بوضع أسماك الجوبي؛ كل بمفردها في بيئة تستطيع فيها
~~الاختيار بين الانضمام إلى واحدة من مجموعتين ظاهرتين. وحين
~~كان عدد كلتا المجموعتين يزيد على أربع سمكات، كانت
~~الأسماك تختار الانضمام إلى المجموعة الأكبر، التي ستكون
~~أكثر أمنا في أغلب الأحوال، غير أنها كانت تستفيد في هذا
~~الاختيار من وجود فرق كبير في النسبة بين المجموعتين. ومعنى
~~هذا أنها كانت تختار المجموعة الأكبر في معظم الأحوال، إذا
~~كان الاختلاف بين عددها وبين عدد المجموعة الأصغر بنسبة 2 : 1
~~أو 3 : 1 أو 4 : 1، وتزداد احتمالية اختيارها، بزيادة حجم
~~النسبة بين الخيارين. وأيضا كانت أسماك الجوبي تختار
~~المجموعة الأكبر عادة من مجموعتين، حين كانت كل مجموعة
~~تحتوي على أربع سمكات أو أقل. ومن المثير للاهتمام أن هذا
~~الاتساق في الاختيار لم يتأثر وفقا للنسبة في الكميات
~~الأصغر. فإذا كانت إحدى المجموعتين تحتوي على سمكتين،
~~والأخرى تحتوي على أربع سمكات، كانت الأسماك تختار المجموعة
~~الأخيرة في ثلثي المرات تقريبا. وحتى حين كانت إحدى
~~المجموعتين تحتوي على ثلاث سمكات، وتحتوي الأخرى على أربع،
~~كان السمك لا يزال يختار المجموعة الأخيرة في ثلثي المرات
~~تقريبا. وبالرغم من أن البشر يؤدون مثل هذه المهام
~~بدقة أكبر من ذلك بكثير، فثمة تشابه مثير للاهتمام في
~~استجابات الأسماك. إنها مثلنا، يبدو أنها تميز الكميات
~~الصغيرة بدقة، مقارنة بتمييزها للكميات الكبيرة.

# 12

# لقد تعلم الباحثون القدر الكبير عن الإدراك العددي لدى
~~أنواع الرئيسات فيما ms172 دون البشر، لكن ما لم يتعلموه بعد لا
~~يزال أكبر. إن الصورة التي ترسمها الأعمال المعنية بهذا
~~الموضوع، التي لم أشرح منها إلا القدر القليل، لا تزال غير
~~واضحة؛ ففي حالة العديد من الأنواع، يبدو أن تمييز الكميات
~~يستند بصفة أساسية على الإدراك الحسي للمتغيرات
~~المستمرة، مثل مقدار ما يدركونه من حركة. إضافة إلى ذلك،
~~فإن استراتيجيات التمييز التي تستخدمها بعض أنواع من غير
~~الرئيسات ، يمكن أن تختلف وفقا للمهمة أو للمحفز الذي
~~تتضمنه المهمة، وسوف تستمر الأعمال المستقبلية في اختبار
~~مثل هذه المتغيرات. وستكون هذه الأبحاث محورية في فهمنا
~~لتطور الأنظمة العددية البيولوجية العصبية، مثل تلك الموجودة
~~لدى الإنسان. فنحن لا نعرف حتى الآن، على سبيل المثال، مدى
~~تميز الإدراك العددي لدى الفقاريات، أو مدى تميز المهارات
~~العددية الفطرية لدى الرئيسات، مقارنة بغيرها من الفقاريات
~~الذكية مثل الطيور. علاوة على ذلك، فلا تزال هناك فجوات
~~واضحة في سجل التجارب على الحيوانات الأخرى؛ فعلى سبيل
~~المثال، لا توجد أعمال قد أجريت بشكل منهجي على مهارات
~~إدراك الكميات لدى الزواحف. وسوف يساعدنا سد هذه الفجوة
~~الموجودة في سجل التجارب، على تحقيق فهم أفضل عن مدى
~~قدم القدرات العددية الفطرية لدى الإنسان، وكذلك مقدار ما
~~يعود من القدرات العددية لدى العديد من الأنواع إلى السمات
~~المتناددة التي تتشارك فيها مع البشر. إذا لاحظ الباحثون
~~وجود قدرات مشابهة لدى الزواحف، فربما يكون لدينا دليل
~~أوضح على أن بعض القدرات العددية المتناددة تعود إلى
~~النوع السالف من الثدييات، كالزواحف والطيور والأسماك وغيرها
~~الكثير من الفقاريات، وهو نوع يعيش منذ ما يزيد على 400 مليون
~~سنة.

# الإدراك العددي لدى الرئيسات

# إن الإدراك العددي لدى الرئيسات فيما عدا البشر، يرتبط
~~بقصة الأعداد بصورة خاصة. فالرئيسات الأخرى، ومنها القردة
~~العليا مثل الشمبانزي، هي الأقرب إلينا من الناحية الوراثية،
~~مما يعني أن الجينوم الخاص بها شبيه للغاية بالجينوم
~~البشري؛ ففي حالة الشمبانزي، يشير أحد الأبحاث إلى أن
~~التطابق بين المجموع الجيني لنوعينا يبلغ 99 بالمائة
~~تقريبا (وينطبق الأمر ms173 نفسه على نوعنا والبونوبو). ونحن
~~نتشابه في طبيعتنا البيولوجية نظرا إلى هذا التطابق الجيني؛
~~ومن ثم، فإذا كنا نحرص على الوصول إلى فهم أفضل بشأن
~~حاستنا العددية الفطرية، فمن الضروري لنا أن نستكشف عقول
~~هذه الحيوانات وغيرها من الرئيسات ذات الصلة. لكن بالرغم من
~~أننا نتشارك الكثير من جينات شفرتنا الوراثية مع بعض
~~الرئيسات الأخرى، فعلينا أن ننتبه لئلا نفسر سلوكها من
~~خلال إسقاط سمات بشرية عليها . والواقع أن التشابه بين
~~شفراتنا الوراثية، لا يخبرنا إلا بالقدر الضئيل عن الإدراك
~~العددي لدى أولاد عمومتنا هؤلاء.

# 13

# يعود التركيب الحلزوني المزدوج المميز لجزيئات الحمض
~~النووي «دي إن إيه» إلى ارتباط أربع قواعد فقط من
~~النيوكليوتيدات على شكل يشبه السلم، وهذه القواعد هي:
~~(الأدينين والسيتوسين والجوانين والثايمين)، ونشير إليها
~~بالرموز المألوفة:

# A

# و

# C

# و

# G

# و

# T
~~. إذن، توجد أربعة
~~مكونات في الحمض النووي «دي إن إيه» هي التي تؤلف
~~الجينات في نهاية المطاف، حتى جينات الأنواع المختلفة عن
~~نوعنا. إضافة إلى ذلك، فالعديد من هذه الأنواع تتسم
~~بتشابهات بارزة في مادتها الوراثية المصنوعة من الحمض
~~النووي «دي إن إيه»، وهي الجينومات الخاصة بها؛ فعلى سبيل
~~المثال يوجد تشابه بنسبة 25 بالمائة بين الجينوم البشري
~~وجينوم العنب. (ونحن نمتلك عدد جينات أقل مما يمتلكه
~~العنب!)

# 14

# ويجب علينا أن نأخذ بعض الحذر قبل التوسع في
~~القراءة بشأن نسب التشابه الجيني بين الأنواع؛ فأنا أشك
~~أن ينتهي بك الأمر لأن تعتبر نفسك عنبة بنسبة الربع! وعلى
~~أي حال، فإن الجينوم البشري يتشابه بدرجة كبيرة مع غيرنا
~~من أنواع الثدييات بسبب وجود سلف مشترك يجمعنا بها. فعلى
~~سبيل المثال، نجد أن نسبة التشابه الجيني بين البشر وبين
~~نوعي الكلبيات والبقريات، تبلغ 85 بالمائة. ونظرا إلى
~~هذه العوامل، وكذلك إلى الاختلاف السلوكي الواضح بين الكلاب
~~والأبقار والبشر؛ فيجب أن نتأنى حين نستقي أي استنتاجات
~~تقوم على التشابه الجيني بين الشمبانزي والبشر. وبالطبع،
~~فعلينا ألا نتوقع أن حيوانات الشمبانزي قادرة على
~~التفكير العددي بلا شك، ms174 لأنها وثيقة الصلة بنا فحسب؛
~~فالتغييرات الصغيرة في التكوين الجيني يمكن أن ينتج عنها،
~~ضمن عوامل أخرى، تغييرات كبيرة في حجم الدماغ. ولكي نفهم
~~العلاقة بين التفكير العددي لدى البشر، وما يرتبط بهم من
~~الأنواع الأخرى؛ فعلينا أن ندع البيانات التجريبية هي التي
~~تتحدث.

# وها هي البيانات تتحدث؛ فعلى مدار العقود العديدة الماضية،
~~كان العديد من الباحثين الجسورين يستكشفون العوالم الإدراكية
~~لحيوانات الشمبانزي وغيرها من الرئيسات غير البشرية، ويضعون
~~تصورا للإدراك العددي لدى هذه الحيوانات . ونتيجة لهذا
~~التصور، فقد أصبح من الواضح لنا الآن أن أقاربنا من
~~الرئيسات تتشارك معنا بالفعل في قدر من مهارتنا الفطرية في
~~التعامل مع الأعداد، وهي تتشارك معنا أيضا في قدر من القيود
~~التي نواجهها في غياب الأعداد. فهي تمتلك قدرات عددية
~~متناددة، تتسم بتشابه صارخ مع حاستينا العدديتين
~~للتمييز الدقيق للكميات الصغيرة، والتمييز التقريبي للكميات
~~الكبيرة.

# وفي تجربة شبيهة ببعض التجارب التي أجريت على أطفال
~~البشر، اكتشف علماء النفس أن قرود الريسوس تستطيع التمييز
~~بين الكميات الصغيرة. قدمت إلى القرود في هذه التجربة
~~كميات مختلفة من طعام لذيذ (شرائح التفاح)، ثم أخفيت عن
~~أبصارها. بعد ذلك، كان يسمح للقرود باختيار الكمية التي
~~تريدها من هذا الطعام المختفي. وحين كان اختيارهم يقع بين 1
~~و2 من شرائح التفاح أو بين 2 و3، أو بين 1 و3، أو حتى بين 3
~~و4، فقد كانت تختار الكمية الأكبر دوما. بالرغم من ذلك، فقد
~~اتضح أنها غير قادرة على اختيار الكمية الأكبر من شرائح
~~التفاح بصورة مستمرة ومنتظمة، حين كانت تختار بين 4 و6
~~على سبيل المثال. في مثل هذه الحالات، كانت اختياراتها تتراجع
~~إلى اختيارات عشوائية، مما يشير إلى أن أدمغتها مزودة
~~بالقدرة على التمييز بين الكميات الصغيرة فقط.

# 15

# وفي المهام التي تتسم بقدر أكبر من التجريد، اتضح أن
~~قرود الريسوس أيضا تستطيع تمييز الفروق الكبيرة بين الكميات،
~~لكن هذه القدرة على التمييز تتوقف على مدى التباين بين
~~هذه الكميات. فعلى سبيل المثال، وضحت إحدى الدراسات ms175 أنه
~~يمكن تدريب القرود على تمييز مجموعة من العناصر في ترتيب
~~تصاعدي. وبعد تدريبها بهذه الطريقة، فقد تعلمت أن تختار
~~مجموعات تتكون من عنصر واحد وعنصرين و3 عناصر و4 عناصر،
~~بالترتيب. بعد ذلك، قدم الباحثون لها مجموعتين تحتويان على
~~عدد أكبر من العناصر، وقد تمكنت القرود من لمس المجموعة
~~الأصغر أولا بصورة منتظمة؛ فقد استطاعت ترتيب الكميات
~~الكبيرة مثلما تعلمت ترتيب الكميات الصغيرة. بالرغم من ذلك،
~~فقد كان الوقت الذي استغرقته القرود في أداء هذه المهام،
~~يختلف وفقا لمدى التفاوت بين الكميات الكبيرة؛ فكلما زاد
~~حجم التفاوت، زادت سرعة القرود في الاستجابة. وفي دراسة
~~متابعة، كانت استجابة اثنين من القرود تشبه استجابة 11 من
~~البالغين الذين أجريت التجربة عليهم حين منع الخاضعون
~~للتجربة من البشر، من العد اللفظي. وهذا التشابه يدل على
~~وجود حاسة عددية تقريبية قديمة، ورثها كل من قرود
~~الريسوس والبشر.

# 16

# إن النوع الأقرب للإنسان على شجرة الحياة، وهو يوجد على
~~الغصن المجاور في حقيقة الأمر، يستطيع تمييز الكميات بطرق
~~محكمة نسبيا. إن قدرات الشمبانزي على تمييز الكميات
~~تذكرنا بما لاحظناه في أطفال البشر؛ فعلى سبيل المثال،
~~مثلما يميل الأطفال إلى اختيار الكمية الأكبر من الحلوى حين
~~يتاح لهم الاختيار، تميل حيوانات الشمبانزي إلى اختيار
~~الكمية الأكبر من أصناف الطعام اللذيذة، حين تقدم إليها
~~صينيتان تحتويان على كميات مختلفة من الأطعمة الشهية.
~~وقبل 30 عاما تقريبا، لاحظ
~~الباحثون في مجال الحيوان
~~أنه عند تقديم طبقين يحتويان على كمية صغيرة من رقائق
~~الشكولاتة إلى قردة الشمبانزي، كانت تختار الطبق الذي يحتوي
~~على الكمية الأكبر في معظم الأحيان. غير أن أداء هذه
~~الحيوانات قد أصبح يعتمد على الصدفة بصورة أكبر عند تقديم
~~كمية أكبر من الشوكولاتة، مع عدم وجود فرق بارز بين الكمية
~~الموجودة في كل طبق. بعبارة أخرى: كانت اختيارات القرود تتسم
~~بتأثير نسبة الفرق ذاته، الذي لاحظناه في العديد من التجارب
~~الأخرى التي أجريت على غير ذلك من الحيوانات والبشر الذين
~~ينتمون إلى ثقافات لا عددية. والأمر ms176 الأجدر بالملاحظة، أن
~~نتائج الدراسة المعنية التي تشير إلى أن قردة الشمبانزي
~~لا تستطيع تمييز الكميات الكبيرة من رقائق الشوكولاتة عند
~~وجود اختلاف كاف بين كمية الطبقين فحسب، بل تستطيع أيضا
~~جمع الكميات معا قبل المقارنة بين إجمالي كمية رقائق
~~الشوكولاتة في كل من الطبقين. ففي بعض الحالات على سبيل
~~المثال، كانت القردة تواجه اختيارا بين طبقين. يحتوي أحد
~~الطبقين على كومتين من رقائق الشوكولاتة، تحتوي إحداهما على
~~ثلاث رقائق، بينما تحتوي الأخرى على رقاقتين. أما الطبق
~~الآخر، فقد كان يحتوي على كومتين أيضا، لكن إحداهما تحتوي
~~على أربع من رقائق الشوكولاتة، وتحتوي الأخرى على ثلاث منها.
~~في مثل هذه الحالات، كانت القرود تدرك في معظم الأحوال أن
~~الكمية الموجودة في الطبق الأول، وهي 5 (3 + 2)، أقل من
~~الكمية الموجودة في الطبق الثاني، وهي 7 (4 + 3)، وهو ما يدل
~~على أن قردة الشمبانزي قادرة على جمع الكميات الصغيرة،
~~والمقارنة بين نتائج هذه العمليات الحسابية. بالرغم من ذلك،
~~فعلينا أن نؤكد على أن اختيارات القرود كانت صحيحة في
~~معظم الحالات فقط، وكانت تمتلئ بالأخطاء. علاوة على ذلك، فحين
~~كان الفرق بين نتائج عمليات الجمع التي تقارن بينها صغيرا،
~~مثل 7 في مقابل 8، تراجع مستوى الدقة. وبالرغم من أنه من
~~المنطقي أن نستنتج من هذه التجارب أن قردة الشمبانزي
~~تستطيع إجراء عملية الجمع على الكميات والمقارنة بينها بصورة
~~تلقائية، فينبغي التأكيد على أن قدراتها على الجمع
~~معرضة للأخطاء، لا سيما حين يكون الفرق بين الكميات التي
~~تقارن بينها صغيرا، وهو ما أصبح نمطا مألوفا لنا بوصولنا
~~إلى هذه المرحلة. وبناء على أبحاث مثل هذا البحث وغير ذلك
~~من الأعمال التجريبية التي لم نعرضها هنا، يمكننا أن نثق
~~بأن قردة الشمبانزي تتمتع بقدرة طبيعية على تقدير الكميات
~~بصورة تلقائية، والتمييز بين الكميات الصغيرة على نحو دقيق.
~~وبالطبع، فإنها ليست نوع الرئيسات الوحيد القريب منا، الذي
~~يشترك معنا بدرجة ما في فهمنا البدائي للتمييز بين
~~الكميات.

# 17

# لقد أوضحت الأبحاث التي أجريت على الرئيسات ms177 أيضا أنها
~~قادرة على تعلم الأرقام وربطها بالمعلومات الكاردينالية
~~والمعلومات الترتيبية. أي إنها تستطيع أن تتعلم ترتيب الرموز
~~مثل 2 و3 و4 و5، مع إدراك أن مثل هذا الترتيب يمثل زيادة
~~في حجم المجموعة التي تتضمن عددا محددا من العناصر، وهي
~~تلك العناصر كالحلوى التي قد تفوز بها عند توضيح فهمها
~~للرموز. والواقع أن إحدى التجارب قد وضحت أن قرود
~~الريسوس تستطيع أن تتعلم أن تلمس رموز الأعداد من 1 إلى 9
~~على شاشة الكمبيوتر في ترتيب تصاعدي، وأنها تستطيع أن
~~تتعلم الكميات التي تمثلها هذه الرموز. ثم أوضحت
~~التجارب بعد ذلك أن القرود السنجابية وقرود البابون،
~~تتمتع هي أيضا بهذه القدرة. ففور تلقي التدريب المناسب
~~على هذه الرموز، تبدي القرود السنجابية مقدرتها على جمع
~~رموز الأعداد معا، مثلما يتضح ذلك من تفضيلها لاختيار
~~كمية مضافة مثل (3 + 3) على اختيار (5 + 0)، حين يكون عليها
~~الاختيار من بين خيارين يصفان كمية المكافآت التي ستحصل
~~عليها بعد ذلك. إن هذه الاختيارات ليست منتظمة تماما،
~~ومما لا شك فيه أن «حساب القرود» يتضمن بعض الأخطاء،
~~مثلما قد نتوقع بالطبع. بالرغم من ذلك، فمن الواضح أيضا
~~أن اختيارات القرود ليست عشوائية، والاختيارات التي تختارها
~~في معظم الأحيان، تعكس فاعلية الرموز في تعزيز مهارة تمييز
~~الكميات. إذن، يمكن للقرود أن تتعلم الأعداد، غير أن لهذا
~~التعلم حدودا لا نجدها لدى البشر.

# 18

# إن القدرات الرياضية لدى الرئيسات غير البشرية،
~~كالقدرات الرياضية لدى بعض الأنواع الأخرى، تتميز بشكل
~~واضح بتأثير المسافة وتأثير المقدار. يشير التأثير الأول
~~إلى حقيقة أن هذه الحيوانات، كالبشر الذين ينتمون إلى
~~ثقافات لا عددية، أفضل كثيرا في تمييز الاختلافات بين
~~الكميات، حين يكون الفرق بينها كبيرا. أما التأثير الثاني
~~فهو يشير إلى حقيقة أن هذه الحيوانات تستطيع تمييز الكميات
~~الصغيرة بكفاءة أفضل من الكميات الكبيرة. إن انتشار
~~تأثيري المسافة والمقدار في الأنواع المختلفة، هو أحد
~~النتائج الأساسية التي حصلنا عليها من العمل على هذا
~~الموضوع. وهذا الانتشار يمثل دليلا على وجود حاسة ms178 عددية
~~تقريبية متناددة قديمة، وربما يكون دليلا على وجود حاسة
~~عددية دقيقة متناددة أيضا، غير أنه لا يزال أمامنا مقدار
~~كبير من العمل حتى نستطيع تقديم تفسير كامل للقدرات العددية
~~الفطرية لدى الأنواع غير البشرية.

# 19

# خاتمة

# إن قدراتنا العددية الفطرية قديمة، وتتشارك معنا فيها
~~العديد من الأنواع، بدرجة أو بأخرى. ومن المنطقي أن تكون
~~العديد من الأنواع قادرة على التمييز بين الكميات، بطريقة
~~تقريبية على الأقل. فبعض القرارات المتعلقة بالكميات ضرورية
~~للبقاء في البرية؛ ومن ثم لنجاح التكاثر الذي يؤدي إلى
~~حفظ السمات الوراثية، وانتشارها على المدى الطويل. وسواء
~~أكنا نتحدث عن فوائد تمييز الفئران أو الحمام للمجموعات
~~التي تحتوي على عدد أكبر من عناصر الطعام ، عن تلك التي
~~تحتوي على عدد أقل، أو عن الفوائد التي تعود على إناث الأسود
~~من قدرتها على تمييز وجود مجموعات أكبر من غيرها من إناث
~~الأسود، فإن مزايا البقاء التي توفرها القدرة على تمييز
~~الكميات واضحة. وبالرغم من هذه التأويلات البديهية للأسباب
~~التي أدت إلى توارث مهارات تمييز الكميات عبر العديد من
~~الأنواع، فإننا لا نعرف السبب في أن هذه القدرات لم
~~تصقل لدى معظم الأنواع فيما بعد.

# بطريقة ما، نجد أن توضيح القدرات الإدراكية لدى حيوانات
~~أخرى، لا سيما أولاد عمومتنا من القرود كبيرة الأدمغة، يجلب
~~إلى دائرة الضوء المزيد من الألغاز؛ فحين نفكر في أنه
~~يمكن تدريب بعض قردة الشمبانزي على تمييز الكميات بقدر أكبر
~~من الدقة، تصبح هذه النقطة بارزة على نحو خاص. إذا كانت بعض
~~الأنواع الأخرى تمتلك القدرة على تعلم أنواع أكثر تعقيدا
~~من التفكير العددي، فلماذا لم تصقل هذه الأنواع قدراتها
~~على مدار ملايين السنين التي ظلت تتطور خلالها على فرع
~~آخر من شجرة الحياة؟ إن قردة الشمبانزي تمتلك الأسس
~~للتفكير الرياضي، لكنها لا تبني شيئا على الإطلاق على مثل
~~هذه الأسس؛ فهذه الأسس التي تتضح في تفكيرها، وفي
~~تفكيرنا نحن أيضا قبل أن نتعلم الأعداد خلال نمونا، تبدو
~~بدائية إلى حد كبير. ومثلما أشار مؤخرا ms179 كل من جونكو بارك
~~وإليزابيث برانون، وهما عالمان مختصان في الإدراك لدى
~~الحيوانات: «إنه من الصعب أن نفهم كيف أمكن لنظام بدائي،
~~غير قادر على تمثيل الكميات الكبيرة بدقة، أن ينتج
~~الرياضيات الشكلية، التي هي إنتاج بشري خالص.»

# 20

# إن التفكير الكمي الذي زودنا به فطريا
~~نحن وغيرنا من الأنواع، يتمثل في القيم الأسية التي تغيب
~~من أنواع التفكير الكمي التي يمتلكها البشر في نهاية المطاف.
~~وهذا يوضح أن التفسيرات البيولوجية لمثل هذا التفكير
~~ذات طبيعة محدودة. إن القدر الأكبر من إدراكنا العددي لا
~~يعزى إلى تركيبنا البيولوجي العصبي إلا قليلا، بينما
~~يعزى بأكثر من ذلك بكثير إلى طريقة استخدامنا لهذا التركيب.
~~وهذا الاستخدام لا يكون ممكنا إلا بوجود أدوات خارجية
~~تتفاعل مع آلياتنا الفطرية للتمييز بين الكميات. والأداة
~~الخارجية الرئيسة التي نعنيها هنا هي الأعداد، تلك التمثيلات
~~الرمزية للكميات، التي تتجسد عن طريق اللغة وتستخدم بطرق
~~تختلف باختلاف الثقافة. إن وجود الأعداد يفسر الفجوة
~~الموجودة بين التفكير العددي الفعلي لدى البشر، والتفكير
~~العددي الذي نزود به فطريا.

# بعض الأدلة التي تؤيد قوة الأعداد تأتي أيضا من حيوانات
~~أخرى قد تلقت تدريبا مكثفا على الرموز دون أن تكون
~~طليقة في بيئتها. وربما يكون المثال الأفضل على هذه
~~الحيوانات، هو أليكس، وهو ببغاء أفريقي رمادي، تلقى
~~التدريب على مدار عقود طويلة على يد عالمة النفس أيرين
~~بيبربيرج. وبالرغم من أن أليكس قد مات عام 2007، فإن نتائج
~~المهام الرياضية التي أجريت مع الببغاء لم تنشر إلا
~~عام 2012. وتقدم هذه النتائج أدلة قاطعة على أن أليكس
~~كان قادرا على القيام بمهام حسابية لا يقدر عليها عادة
~~سوى نوع «الإنسان العاقل». ففي سلسلة من التجارب، ثبت أن
~~أليكس يستطيع تسمية رموز الأعداد وترتيبها من خلال التعبير
~~اللفظي، وذلك بصفة منتظمة ومستمرة. والأهم من ذلك أنه كان
~~يستطيع تسمية الكمية التي تمثلها مجموعة من العناصر، حتى
~~إذا كانت المجموعة تحتوي على ثمانية عناصر. وربما يكون الأكثر
~~إثارة للدهشة هو أن أليكس كان قادرا على إجراء ms180 عملية الجمع
~~على مجموعتين يتراوح عدد العناصر فيهما بين الصفر والستة،
~~وكان يتوصل إلى الإجابة الصحيحة في معظم الحالات. ومن
~~الحيوانات الأخرى التي أوضحت الأبحاث الخاضعة لمراجعة الأقران
~~أنها تستطيع التوصل إلى ناتج جمع مجموعتين بصفة مستمرة،
~~هي قردة شمبانزي تدعى شيبا. يبدو أن «عباقرة» الحيوانات
~~المدربة مثل أليكس وشيبا، تتمتع بمهارات رياضية
~~محددة، تمكنها من التمييز بين الكميات الأكبر من 3 بدقة.
~~وذلك اكتشاف مذهل؛ إذ إن الحيوانات غير المدربة، بصرف
~~النظر عن نوعها وحجم دماغها، لا تبدي هذه المهارة. بالرغم من
~~ذلك، فعلينا أن نلاحظ ما يتطلبه الأمر قبل أن تبدي هذه
~~الحيوانات هذا النبوغ: سنوات من التعلم، بل عقود يقضيها
~~المدربون في تعريف المتدربين على رموز الكميات؛
~~فالمدربون يدرسون لهم الأعداد. في بعض الحالات، ومنها
~~حالة أليكس بالتأكيد، يتمكن الحيوانات من تعلم هذه
~~الأعداد. ومثلما يتعلم الأطفال في نهاية المطاف تمثيل
~~الكميات التي تزيد عن ثلاثة بالرموز، فإن بعض الحيوانات
~~المدربة يمكن أن تفعل ذلك بالفعل.

# 21

# وقد أتاحت لنا مثل هذه الأبحاث التوصل إلى مثل هذه
~~الملاحظة الهامة، وهي أنه يمكن تطبيق اختراع الأعداد البشري
~~على أنواع مختلفة، وإن كان ذلك في بعض الحالات على الأقل.
~~ومثلما تشير بيبربيرج عند مناقشة حيوانات مثل أليكس وشيبا،
~~إلى أن تلك الحيوانات فقط أي التي «دربت على تمثيل
~~الكميات من خلال الأرقام العربية أو الأعداد اللفظية ... هي التي
~~يبدو أنها قادرة على ربط تلك الأرقام بالقيمة الكاردينالية
~~للمجموعات.»

# 22

# لذا، فبالرغم من أن الببغاوات والشمبانزي
~~تستطيع تكوين مفاهيم مجردة عن كميات كبيرة محددة،
~~فإن اختراع الأعداد البشري هو الذي يجعل من هذه القدرة
~~على التصور التجريدي أمرا ممكنا.

# في آخر ثلاثة فصول، لاحظنا أن البالغين من البشر الذين
~~ينتمون إلى ثقافات لا عددية، وأطفال البشر الذين لم يكتسبوا
~~مهارة اللغة بعد، وبعض الأنواع المختلفة من الحيوانات،
~~يستطيعون التفكير في الكميات بصور تقريبية، ويمكنهم أيضا
~~التفكير فيها بصورة محددة حين يتعلق الأمر بالكميات
~~الصغيرة. وهذه القدرات التقريبية والدقيقة، هي بمثابة ms181 أساس
~~ضروري من أجل بناء نظام أكثر تعقيدا للتفكير بشأن الكميات،
~~غير أنه أساس تقريبي. فالبناء على مثل هذا الأساس يتطلب
~~استخدام أدوات رمزية. فهو يتطلب استخدام الأعداد، وهي
~~الرموز اللفظية والكتابية للكميات. وفي الجزء الثالث، سوف
~~نستكشف الكيفية التي اخترعت بها الأعداد على الأرجح، وندرس
~~الطرق العميقة التي أثرت بها في الخبرة البشرية.



# الجزء
                                                         الثالث



# | الأعداد وتشكيل حياتنا






# الفصل الثامن



# | اختراع الأعداد والحساب




# إن أنماط اللغة تنتج أنماطا في التفكير. فقد وضحت
~~الأبحاث الموسعة في العصر الحالي أن الاختلافات بين اللغات
~~يمكن أن تؤدي إلى وجود اختلافات، هي اختلافات طفيفة في معظم
~~الأحيان، في العادات الإدراكية للمتحدثين بها. وهذا الاستنتاج،
~~الذي يشار إليه عادة بمصطلح «النسبية اللغوية»، قد أصبح له 
~~الآن ما يؤيده من عشرات الدراسات التي تجرى في موضوعات مثل
~~الإدراك المكاني، وإدراك الزمن، وتصنيف الألوان. فعلى سبيل المثال،
~~قد رأينا في الفصل الأول كيف أن «المكان» الذي «يقع» فيه كل
~~من المستقبل والماضي، يتوقف على اللغة التي تتحدث بها.
~~وبالمثل فإن الطريقة التي تستخدمها في تذكر الألوان والتمييز
~~بينها، تتأثر بشكل مستتر، بمخزون المصطلحات الذي يعبر عن
~~الألوان الأساسية في لغتك الأصلية. لقد أدت بنا جولتنا في
~~العوالم اللاعددية في نهاية الأمر، إلى التوصل إلى نتيجة مفادها
~~أن اللغات العددية ينشأ عنها اختلافات في طريقة تفكير
~~الأفراد. فمفردات الأعداد، التي توجد في الغالبية العظمى من
~~لغات العالم (وليس كلها بالتأكيد)، تؤثر ولا شك على الإدراك
~~الكمي. ووحدهم الأفراد الذين يستخدمون مفردات الأعداد
~~والعد، هم الذين يستطيعون التمييز بين معظم الكميات بدقة. إذن
~~فوجود مفردات الأعداد في لغة من اللغات لا يؤثر في طريقة
~~تفكيرنا في الكميات بشكل مستتر فحسب، بل يفتح لنا أيضا بابا
~~للحساب والرياضيات. وأول خطوة نخطوها عبر ذلك الباب، هي إدراك
~~أنه يمكننا التمييز بدقة بين الكميات، بصرف النظر عن
~~حجمها.

# 1

# لكن ما الطريقة المحددة التي تفتح لنا بها الأعداد هذا
~~الباب في بادئ الأمر؟ وما الذي يحدث بعد أن نمر منه؟ في ms182
~~الجزء الثالث من هذا الكتاب، سوف نتناول مثل هذه الأسئلة. في هذا
~~الفصل، نبحث في «الكيفية»؛ كيف ظهرت مفردات العد ومبادئ الحساب
~~الأساسية في الوجود؟ إنني أقدم رواية للكيفية التي اخترع بها
~~البشر الأعداد على الأرجح (وما زالوا يخترعون) المفردات الأساسية
~~للأعداد، وكذلك الكيفية التي نأخذ بها مفردات الأعداد تلك،
~~ونستخدمها كوحدات بناء في العمليات الحسابية الأساسية.

# الأعداد غير الطبيعية

# إن النتائج التي حصلنا عليها من العوالم اللاعددية تشير
~~بوضوح إلى أننا نحتاج إلى وجود الأعداد، لكي «نفهم» الكميات
~~بالفعل، على النحو الذي يتميز به البشر في فهمها. بالرغم من
~~ذلك، فإن ذلك يطرح مفارقة، مثلما ذكرت في الفصل الأول؛
~~إذا كنا نحتاج إلى الأعداد لكي ندرك معظم الكميات بدقة،
~~فكيف توصلنا إلى الأعداد في المقام الأول؟ وكيف تمكنا
~~بداية من تسمية الكميات الموجودة في مجموعة محددة من
~~العناصر، إذا كنا لا نستطيع تمييز هذه الكميات؟ إذا كنا لا
~~نستطيع على سبيل المثال، أن نميز أن «سبع تفاحات» لا
~~تمثل «ست تفاحات» ولا «ثماني تفاحات» فكيف تمكنا
~~من استخدام كلمات مثل «ستة» و«سبعة» و«ثمانية» للمرة
~~الأولى؟

# ونظرا لما يبدو من صعوبة هذه المفارقة؛ فقد استنتج البعض
~~أن البشر مهيئون فطريا لاكتساب مفاهيم الأعداد. ووفقا
~~لهذا المنظور، فلا بد أن نكون مهيئين بطريقة ما من شأنها
~~أن نستطيع التمييز بين 5 و6 و7، وغير ذلك من الكميات، على
~~مدار تطورنا الإدراكي الطبيعي. إلا أن هذا النهج يطرح
~~أمامنا معضلة للوهلة الأولى؛ إذا كنا مهيئين فطريا
~~للتمييز بين الأحجام المختلفة للمجموعات بصفتها كيانات
~~مجردة مستقلة، فما حد هذا الاستعداد الفطري المسبق؟
~~فهل نحن مهيئون فطريا لأن ندرك في النهاية، على سبيل
~~المثال، أن 1023 ليست هي 1024؟ إن هذا يبدو غير منطقي
~~بدرجة كبيرة؛ فوجهات النظر التي تستند إلى النهج الفطري
~~في الموضوعات التي تتعلق بالأعداد، لا تقدم شيئا سوى
~~أنها تؤخر النقطة التي سنصل عندها للمفارقة.

# في كتابه المميز عن اللغة والأعداد، يذكر عالم اللغويات
~~جيمس هيرفورد، أن مفردات الأعداد هي أسماء ms183 «الكيانات غير
~~اللغوية التي تشير إليها الأعداد.»

# 2

# أي إن مفردات الأعداد هي تسمية لكيانات
~~مفاهيمية. وفي سياق متصل، اقترحت عالمة الآثار كارينلي
~~أوفرمان مؤخرا أن «مفاهيم الكميات لا بد أنها تسبق
~~تسمياتها المعجمية، وإلا فلن يكون ثمة ما يمكن تسميته ...
~~فلا يمكن لأي طريقة اختراع أن تسبق ما تخترعه.»

# 3

# وهذا الرأي الأخير منطقي بعض الشيء، لكن يمكننا
~~القول إنه يقلل من أهمية الأدلة الكثيرة التي عرضناها
~~في الفصول من الخامس إلى السابع. ووفقا لهذه الأدلة، فإن
~~المفردات التي تعبر عن الكميات الأكبر من ثلاثة، ليست
~~مجرد تسمية لمفاهيم موجودة مسبقا؛ لأن هذه المفاهيم
~~لا توجد لدى معظم الناس إلى أن يتعلموا الأعداد
~~بالفعل.

# وفي رأيي أن مفتاح حل هذه المفارقة هو أن المفردات
~~التي تعبر عن الكميات الأكبر من ثلاثة، تجسد الأفكار
~~العددية المجردة المحددة التي تطرأ على ذهن بعض الأفراد
~~في بعض الأحيان وبصورة غير منتظمة. وبعض هؤلاء الأفراد قد
~~يخترعون الأعداد في نهاية المطاف، ولكن إن لم يفعلوا، فلن
~~تنقل أفكارهم العابرة إلى غيرهم. إن تسمية مثل هذه
~~الأفكار سريعة الزوال، هو ما يمكن الأفراد في نهاية
~~المطاف من إدراك الفروق بين الكميات على نحو منتظم ومستمر.
~~إنني أعتقد أن مفهوم الانتظام والاستمرارية هذا ضروري
~~للغاية لحل هذه المعضلة. يبدو أن البشر، كجماعة، يبدون
~~القدرة، على نحو غير منتظم فقط، على التوصل إلى فكرة بسيطة
~~لكنها مؤثرة، وهي فكرة أنه يمكن تعريف المجموعات التي
~~تتضمن كمية أكبر من ثلاثة تعريفا دقيقا. وهذه الفكرة
~~البسيطة قد أدت على الأرجح إلى اختراع رموز لهذه الكميات
~~الكبيرة، وذلك على مدار مرات عديدة لم يكن من الممكن
~~تسجيلها كلها. وقد كانت هذه الرموز لفظية في البداية؛ إذ
~~إن الغالبية العظمى من ثقافات العالم تستخدم مفردات لمثل
~~هذه الكميات، لكن معظمها يفتقر في العادة إلى وجود الأرقام
~~المكتوبة أو حتى أنظمة العصي المعقدة. إن بعض الأفراد
~~قد اخترعوا مفردات الأعداد من أجل تجسيد إدراكهم لوجود كميات
~~كبيرة محددة، وقد كان من ms184 الممكن لهذا الإدراك أن يظل
~~عابرا.

# هل يعني هذا أن مفردات الأعداد ليست إلا تسميات
~~لمفاهيم؟ الأمر ليس كذلك تماما؛ إذ تبدو الحقيقة أكثر
~~تعقيدا وتنوعا من الخيار الثنائي القسري الذي تفترضه
~~هذه المفارقة؛ فمفردات الأعداد ليست تسميات فحسب، على
~~الرغم من أنها تصف الاكتشافات المفاهيمية التي يتوصل
~~إليها «بعض» الأفراد في «بعض» الأحيان. إن مصطلح «تسمية»
~~يشير إلى أن الكلمات تعبر عن مفاهيم يفكر جميع البشر
~~فيها، أي إن جميع البشر يولدون وهم على استعداد لإدراك
~~هذه المفاهيم (على الأقل في نهاية المطاف)، بصرف النظر عن
~~بيئتهم الثقافية. بالرغم من ذلك، فمن الواضح أن ليس جميع
~~البشر يتمتعون بالقدرة على إدراك مثل هذه المفاهيم حتى وهم
~~كبار، والأرجح أن معظم الأفراد لن يتوصلوا أبدا إلى هذه
~~الاكتشافات المفاهيمية المعنية، التي يمكن وصفها من خلال
~~الأعداد. وفي الوقت نفسه، من الواضح أيضا أن بعض الأفراد
~~قد توصلوا إلى تلك الاكتشافات، حتى وإن كان ذلك بشكل غير
~~منتظم. وفي تلك الحالات التاريخية الفعلية التي تمكن
~~البشر فيها من وصف تلك المفاهيم بكلمات، اخترعوا الأعداد.
~~وبعد ذلك، تمكن غيرهم من الأفراد الذين ينتمون إلى ثقافتهم
~~نفسها، من تمييز المفهوم الذي اخترعوا له اسما، وذلك من
~~خلال استخدام (أو الكلمات) الوثيقة الصلة. إن مفردات
~~الأعداد هي أدوات مفاهيمية تنتشر بسهولة؛ فهي أدوات يرغب
~~معظم البشر في استعارتها.

# إن التفسير العام الذي أقترحه ليس جوهريا بدرجة
~~كبيرة، بل يمكن تطبيقه بالطريقة نفسها على الكثير جدا من
~~الاكتشافات البشرية التي توصف باستخدام كلمات جديدة.
~~فغالبا ما تتطور الكلمات أو تخترع، من أجل التعبير عن
~~المفاهيم والأفكار التي يكتشفها البشر حديثا، لا عن الأفكار
~~والمفاهيم الفطرية. فلنتناول مثالا «كالمصباح الكهربائي».
~~لقد أدرك العديد من المخترعين في أواخر القرن التاسع عشر
~~أن تمرير الكهرباء عبر فتيل معدني ينتج إنارة، وقدمت
~~العديد من براءات الاختراع لمصابيح كهربائية قصيرة الأجل. أما
~~توماس إديسون وموظفوه، فقد طوروا فن إنارة فتيل في
~~مصباح زجاجي مفرغ يسمح للفتيل بالاحتراق لفترة أطول
~~كثيرا. ms185 بطريقة ما، كان اختراع مثل هذا النوع من مصادر
~~الإنارة قائما على اكتشاف بسيط، وهو: اعزل السلك عن الهواء
~~المحيط، وسوف يظل مضيئا لفترة أطول كثيرا. لم يكن هذا
~~الاكتشاف البسيط عسيرا على فهم الآخرين، وقد كان الجهاز
~~الناتج عنه سهل التسمية بكل تأكيد؛ فمما لا شك فيه أن
~~مصطلح «المصباح الكهربائي» ليس صعبا في الفهم، وبالرغم من
~~هذه البساطة الجوهرية الأنيقة، وبالرغم من سهولة فهم معظم
~~الأفراد لمفهوم «المصباح الكهربائي» والمصطلح المرتبط به؛
~~فإن أحدا لن يزعم أبدا أن البشر مهيئون فطريا
~~لفهم المصابيح الكهربائية. إن «المصباح الكهربائي» يمكن أن
~~يصف مفهوما محددا لا يصعب فهمه، لكنه ليس بمفهوم
~~طبيعي. ومفردات الأعداد تعد هي أيضا إشارات لمفاهيم
~~بسيطة، وربما لا نكون مهيئين فطريا بشكل مسبق للتوصل
~~إلى تلك المفاهيم، لكن بعض البشر يتوصلون إليها، ويمكن
~~للآخرين اكتسابها من خلال الوسائل اللغوية. ومثلما أوضحنا في
~~المقدمة، فإن ما يتميز به نوعنا لا يتمثل في أننا
~~نتمتع بقدرة عظيمة على الاختراع، بل أننا استثنائيون في
~~توارث هذه الاختراعات ومشاركتها بسبب طبيعتنا اللغوية. (لقد
~~كتب إديسون نفسه ذات مرة أنه كان «إسفنجة أكثر مما هو
~~مخترع.») إذن، فنحن لسنا مهيئين فطريا لأن تطرأ على
~~أذهاننا مفاهيم مثل «المصباح الكهربائي»، وتنتظر أن تجري
~~تسميتها، ولا نحن نمتلك مفاهيم مثل 6 و7 و8 تجول في عقولنا
~~وتنتظر أن تجري تسميتها. إن اختراع الأعداد يستلزم أولا أن
~~ندرك بطريقة تجريبية عشوائية تعتمد على الاكتشافات
~~الشاردة التي تتوصل إليها بعض العقول فقط، أن الكميات
~~المحددة التي يمكن تسميتها (والتي تزيد عن ثلاثة) موجودة
~~بالفعل.

# وثمة دليل على أن العدد النحوي، أي التمييز بين المفرد
~~والجمع على سبيل المثال، له مصدر مختلف، مقارنة بالأعداد
~~المعجمية مثل «ستة» «وسبعة». ومثلما أشرنا في الفصل الرابع،
~~فإن اختلافات العدد النحوي في لغات العالم (قليلا) لا
~~تميز بين 1 و2 (ونادرا) ما تميز بين 1 و2 و3، وكذلك بين
~~هذه الكميات وجميع الكميات الأكبر. ويبدو أن هذه الاختلافات
~~تشير بالفعل إلى ms186 مفاهيم موجودة مسبقا، باعتبار أن
~~أدمغتنا تتسم باستعداد فطري للتمييز بين مثل هذه الكميات.
~~ويمكننا قول الشيء نفسه عن مفردات الأعداد الصغيرة مثل
~~«واحد» «واثنين» «وثلاثة»، وهي تسميات لمفاهيم فطرية. إن
~~هذه المفاهيم لها أساس بيولوجي عصبي واضح؛ ومن ثم فإن
~~الكلمات التي تصفها توجد في الغالبية العظمى من لغات
~~العالم. وليس من قبيل المصادفة أن مصادرها التاريخية
~~غالبا ما تكون مختلفة عن مصادر الكلمات التي تصف الأعداد
~~الكبيرة في لغة معينة. ومثلما يذكر عالم النفس ستانيسلاس
~~ديهان، أن «التوحيد والتثنية والتثليث، هي ملكات إدراكية
~~يحسبها دماغنا بعفوية بدون العد.»

# 4

# لكن غير ذلك من مفردات الأعداد لا يستند إلى هذا
~~الأساس العصبي، ولا تحسبه أدمغتنا بهذه الدرجة من العفوية.
~~إن اللغة وغيرها من الجوانب الرمزية في حضارتنا، تمنح الفرصة
~~لنوع «الإنسان العاقل» لاختراع الأعداد . بالرغم من ذلك، فإن
~~الاستفادة من مثل هذه الفرصة ليست بالأمر السهل، مثلما يشهد
~~على ذلك الاختلاف الواسع في تعقيد مفردات الأعداد الكبيرة
~~وأساساتها بين الثقافات. ومع ذلك، فمثلما ناقشنا في الفصل
~~الثالث، فإن هذا التنوع اللغوي بين الثقافات ليس
~~عشوائيا ويشير إلى وجود بعض التوجهات الأساسية الواضحة.
~~وهذه التوجهات تشير بوضوح إلى أنه بالرغم من أن البشر
~~يمكن أن يتخذوا أكثر من مسار مختلف يأخذهم إلى اختراع
~~رموز تطابق الكميات التي يميزونها في بعض الأحيان، فإن
~~هذه الرموز تخترع عادة عن طريق الأيدي. وهذا الطريق اليدوي
~~أساسي للأعداد الأكبر من 4.

# في دراسة حديثة لتاريخ مفردات الأعداد في أستراليا، لاحظ
~~عالما النفس كيفين زو وكلير بويرن، نمطا مثيرا للاهتمام،
~~وهو يتوافق مع التفسير العام الذي نطرحه هنا. ووفقا لهذا
~~النمط، فإن الأعداد من 1 إلى 3 تتسم بمكانة أكثر أساسية
~~من الأعداد الكبيرة؛ فقد وجدا أن الكلمة التي تعبر عن
~~العدد 4 في هذه اللغات عادة ما تكون تركيبية، أي إنها تتكون
~~من مفردات أعداد أصغر. في الفصل الثالث، كنت قد أشرت إلى
~~أننا نلاحظ وجود هذا النمط أيضا في لغة الجاراوارا بإقليم
~~الأمازون؛ فالكلمة ms187 التي تعبر عن العدد 4 في هذه اللغة هي

# famafama

# وتعني «اثنين
~~اثنين». وتوجد أيضا أنماط مماثلة في العديد من اللغات
~~الأخرى في الأمازون وأستراليا وغيرها من الأماكن. وهذه السمة
~~التركيبية للعدد «أربعة» تشير إلى أن تسمية هذا المفهوم
~~أقل سهولة؛ فهو مفهوم يتجه البشر إلى تسميته في معظم
~~الأحيان من خلال الاستعانة بأفكار أبسط، أفكار قد تشكلت
~~مسبقا. وبالرغم من أننا نستطيع تسمية العدد «أربعة» من خلال
~~الجمع بين عددين أصغر منه، ونحن نفعل ذلك بالفعل، فهو عدد
~~مخالف للقاعدة. فالأعداد الأكبر من «أربعة» لا تبتكر عادة
~~من خلال التركيب البسيط لكميات أبسط مثل 2، وإنما بتسمية
~~الكميات على الأيدي بطريقة ما. وبالرغم من أن اللغات
~~الأسترالية، يمكن أن تفقد بعض مفردات الأعداد أو تكتسب
~~بعضها على مدار الوقت، فقد استنتج زو وبويرن أن تلك اللغات
~~غالبا ما تكتسب الأعداد الأكبر من خمسة، بسرعة أكبر إلى
~~حد ما، بعد اكتساب كلمة تعبر عن العدد «خمسة»، التي
~~ترتبط من الناحية الاشتقاقية في أكثر عائلات اللغات الأسترالية
~~انتشارا، بالكلمة التي تعبر عن «اليد». إن مثل هذا
~~الاكتشاف، مع الأساسين الخماسي والعشري الشهيرين في
~~الغالبية العظمى من الأنظمة العددية في العالم، يشير إلى أن
~~العدد «خمسة» المستند إلى اليد، هو بمثابة الأساس للأنواع
~~الأكثر فاعلية من الأنظمة العددية؛ فعادة ما يكون بمثابة
~~المدخل لأشكال جديدة من التفكير العددي.

# 5

# إن الجسم هو الأساس لمعظم مفردات الأعداد الأكبر من
~~«أربعة»؛ إذ يتعلم البشر أنهم يستطيعون المطابقة بين أصابعهم
~~وبين المجموعات الصغيرة التي يعدونها. إن العد على
~~الأصابع يسهم في تعزيز حقيقة أن الكلمات التي تعبر عن
~~«اليد» أو «الأيدي» كثيرا ما تمثل المصدر التاريخي للأعداد
~~وأساساتها. وبالرغم من مزايا هذا التفسير بشأن مفردات الأعداد
~~الكبيرة، فإنه يغفل بعض الأسئلة المهمة، منها: كيف
~~تأسست علاقة التطابق بين الأصابع وأحجام المجموعات منذ
~~البداية، ولماذا؟ وإذا كان البشر اللاعدديون، من الأطفال
~~الذين لم يكتسبوا مهارة اللغة بعد، والصم الذين لا يعرفون
~~لغة الإشارة في نيكاراجاوا، وشعب الموندوروكو، ms188 يواجهون
~~صعوبة في التمييز بين الكميات الكبيرة بدقة، فكيف تمكن
~~أي إنسان بالغ «أي مخترعو الأعداد» من تمييز التطابق بين
~~الأصابع بدقة، لا سيما تطابقها مع غيرها من العناصر التي يمكن
~~عدها والتي تمثل مجموعات كبيرة من خمسة أو عشرة؟ وما
~~السبب في أن الأصابع مهمة للغاية في إحراز تقدم نحو
~~التفكير العددي المعقد؟

# 6

# إنني أعتقد بوجود سببين على الأقل لذلك؛ أولهما أن
~~الأصابع مميزة لأنها أول الوحدات المنفصلة التي نصادفها في
~~حياتنا بشكل فعلي، فمثلما ذكرنا في الفصل السادس، نحن
~~نتعرف على أصابعنا، ونحن ما نزال في الرحم، والأطفال
~~مهووسون بأيديهم، يمصون أصابعهم في بداية حياتهم،
~~ويركزون بصريا على أيديهم حين يدركون أن هذه الأشياء
~~يمكن اللعب بها ومدها أمام بصرهم أو سحبها منه، حسب
~~إرادتهم. إذن، فالأصابع عنصر بارز للغاية في حياتنا كلها. ومن
~~الأمور المهمة للغاية أنها ليست على هذه الدرجة نفسها من
~~البروز في تلك الأنواع القريبة منا، والتي تشترك معنا في
~~بعض القدرات الفطرية للإدراك العددي. فالغوريلا وقرود الجيبون
~~والشمبانزي، وغيرها من أنواع القرود القريبة من نوعنا، لا
~~تسير على قدمين مثلنا؛ ولهذا فهي تستخدم قائمتيها
~~الأماميتين في معظم الأحوال لأغراض الحركة. أما نحن،
~~فنستخدم أيدينا عادة في صنع الأدوات واستخدامها، ونستخدم
~~أصابعنا لنطاق أوسع من الأغراض، ومنها بعض الأغراض الأكثر
~~تخصصا والتي تتطلب المزيد من البراعة والتركيز على
~~اليدين. إننا نركز على أصابعنا أكثر مما يفعل أي نوع
~~آخر، وربما تمثل هذه النقطة الجزء الأول من الإجابة عن
~~سؤالنا عن الكيفية التي تمكنا بها من التوصل إلى الأعداد
~~من خلال أيدينا.

# بالرغم من بروز الأصابع في حياتنا اليومية، فمن غير
~~المرجح أن يكون مجرد انتشارها الفعلي، هو السبب الوحيد
~~للمفاهيم التي توصل إليها بعض مخترعي الأعداد حين أدركوا
~~أنه يمكن مطابقة مجموعات الأصابع مع مجموعات تتكون من
~~عناصر أخرى. وأما السبب الثاني في أن الأصابع تؤدي مثل
~~ذلك الدور البارز، وهو سبب لم يناقش حتى الآن (حسب معرفتي)
~~في المؤلفات، هو أنها توجد ms189 في الطبيعة متطابقة على نحو
~~متناظر. فليس الأمر أننا نتفاعل مع أصابعنا باستمرار ونركز
~~عليها فحسب، بل لأن كل إصبع من أصابعنا له رفيق يشبهه
~~في اليد المقابلة، فإن احتمالية أن يتطابق كل إصبع من
~~أصابعنا مع عنصر واحد في مجموعة أخرى من العناصر، تتأكد
~~بثبات في خبرتنا البصرية والحسية. إن التناظر الموجود
~~في أيدينا وأصابعنا، وتعرضنا المستمر لذلك التناظر في
~~حياتنا التي تعتمد على اليدين بشكل غريب، قد دفع العديد من
~~الأشخاص على الأرجح إلى إدراك إمكانية الربط بين مجموعتين
~~تتكون كل منهما من خمسة عناصر.

# وربما يدرك بعض الأفراد أيضا التطابق بين خمسة عناصر
~~خارجية على الجسم، مع مجموعة من خمسة أصابع (مع تسمية التكافؤ
~~العددي للأصابع الموجودة في كل يد في البداية، أو بدونه).
~~إن هذا التوافق بين الأصابع وهذه العناصر، يستفيد على
~~الأرجح من التوافق المادي الطبيعي للعناصر الصغيرة التي يمكن
~~حملها باليد والأصابع، فربما حدث ذلك بسبب وضع هذه العناصر
~~على راحة اليد. بالرغم من ذلك، أيا كان الطريق الذي يتخذه
~~مخترعو الأعداد، فإن اختراع أنظمة عددية معقدة يعتمد
~~عادة على المساواة الكمية بين الأصابع وعناصر محددة،
~~ومنها الأصابع الأخرى. على مدار التاريخ البشري، اكتشف البشر
~~هذا التطابق المنتظم بين الكميات، ثم وثقوا هذا التطابق
~~الكمي، وقد كان ذلك في معظم الأحيان من خلال تسمية تطابق
~~محدد باسم الكلمة التي تستخدم في لغتهم للتعبير عن
~~«اليد». وحين استخدموا هذه التسمية بالفعل، اخترعوا أداة
~~رمزية سهلت الإشارة إلى الكمية المعنية المحددة، وتمييزها
~~بعد ذلك، كما سمحت أيضا بتوصيلها إلى عقول الآخرين.

# بعد ذلك، يمكن لمستخدمي مفردات الأعداد أن يكونوا
~~كلمات للأعداد الأكبر؛ فربما في أثناء عد بعض العناصر على
~~أصابعهم، يبتكرون كلمة جديدة من خلال الجمع بين الكلمة التي
~~تعبر عن «اثنين» والكلمة التي تعبر عن «يد» فتصبح
~~«اثنين ويد» (أي «سبعة»). وبمرور الوقت، فإن استخدام مثل
~~هذه الكلمة، سيؤدي إلى الاستفادة منها بأكبر درجة ممكنة،
~~وقد يمكن استخدامها في الكثير من السياقات لتسمية مجموعات
~~تتكون ms190 من عناصر مختلفة. وقد ينشر بعض المتحدثين
~~الابتكار في اتجاهات جديدة، فيبتكرون كلمات تعبر عن
~~العدد «عشرة» والعدد «عشرين»، ومن المرجح أيضا أنهم
~~سيستخدمون من عدد الأصابع الموجودة في جسم الإنسان أساسات
~~لمثل هذه الكلمات. ثمة الكثير من الطرق التي يمكن سلوكها؛
~~إذ إن مفردات الأعداد تتراكم وتقترض وتعدل وتنتشر.
~~ونظرا إلى فائدة الأعداد ونوع العمليات التي تجعله ممكنا؛
~~فإنها سوف تنتشر في معظم السياقات بين أفراد الجماعة السكانية
~~الواحدة وكذلك بين الجماعات السكانية التي تتواصل فيما بينها.
~~ويمكن أن تدخل مفردات الأعداد إلى لغات جديدة على هيئة
~~كلمات دخيلة أو ترجمات اقتراضية، إذ تستخدم المفاهيم على
~~مستوى الثقافات، مع تأليف كلمات جديدة للمفاهيم
~~المقترضة.

# إن إدراكنا لفكرة أن الأصابع يمكن أن تتطابق بعضها مع
~~بعض بشكل متناظر، ومع العناصر الأخرى إذ يطابق كل إصبع
~~عنصرا واحدا، يأخذنا إلى ما هو أبعد من قدرات الحاسة
~~العددية الفطرية. غير أنه إدراك قد تشكل على نحو غير
~~متوقع؛ إذ إن بعض اللغات لا تمتلك أنظمة عددية متينة،
~~وبعضها يستخدم أعدادا لا تتأسس على عدد الأيدي أو
~~الأصابع. على أي حال، فإن هذه الفكرة هي العامل الأكثر
~~فعالية في التجسيد اللفظي للكميات الأكبر من 4. (بطريقة
~~ما، نجد أنه أمر غريب أن بعض الجماعات البشرية لا تسمي
~~الكميات الكبيرة على أيديها، نظرا لما لدينا من انحياز
~~تشريحي تجاه مساواة الأصابع الخمسة في إحدى اليدين، بالأصابع
~~الخمسة الموجودة في الأخرى.) في نهاية المطاف، يعد اكتشاف
~~وجود كميات كبيرة محددة؛ ومن ثم اختراع معظم الأعداد،
~~ناتجا عرضيا لسيرنا على قدمين، مثله في ذلك مثل العديد
~~من الأمور الأخرى التي نتميز بها كبشر. إن السير على
~~قدمين قد أدى في النهاية إلى التركيز على اليدين بدرجة
~~أكبر، والانتباه إلى تناظر أصابعنا، وقد سهل أيضا إدراك
~~تطابق كل إصبع من أصابعنا مع غيره من الأشياء التي يمكن
~~عدها. ونتيجة لمثل هذه العوامل، مهدت لنا أيدينا الطريق
~~الأسهل في رحلتنا الشاقة نحو الأعداد.

# 7

# إن الظاهرة التي نتناولها هنا، ms191 وهي فهم البشر للكميات
~~بسبب أعضاء من أجسامهم توجد خارج الدماغ، هي مثال على
~~ظاهرة أعم تعرف باسم «الإدراك المتجسد». على مدار
~~العقود القليلة الماضية، أشار العديد من الفلاسفة وعلماء النفس
~~وعلماء اللغة وغيرهم إلى أن مجموعة من عمليات الإدراك
~~البشرية تتأسس على سمات التجربة الجسدية البشرية، أو
~~تتيسر من خلالها على الأقل. وقد وضح هذا المجال النامي من
~~دراسة الإدراك المتجسد أن الطبيعة التشريحية لأجسادنا
~~وطريقة عملها، تقيد بعض عمليات التفكير أو تعززها. وعلى
~~الرغم من أن هذا ليس المكان المناسب للمناقشة المطولة
~~لمثل هذه العمليات، فلنعد النظر مرة أخرى في مثال الإدراك
~~الزمني الذي ناقشناه في الفصل الأول. نحن - متحدثي اللغة
~~الإنجليزية - نفكر في المستقبل على أنه أمامنا؛ لأننا
~~بطريقة ما نسير إلى المستقبل. ولأننا نسير، فاللحظات التي
~~وقعت في ماضينا قد وقعت ونحن في أماكن مادية قد أصبحت
~~الآن خلفنا . وعلى العكس من ذلك، فمن المتوقع أن تقع لحظات
~~المستقبل بينما تكون أجسادنا في أماكن هي الآن أمامنا. إن
~~استعارة «المستقبل أمامنا» هي نتيجة التفكير في الزمن في سياق
~~هذه التجربة المادية الجسدية. وهذا المنظور الشائع بشأن الزمن
~~مثال على التفكير المتجسد؛ إذ يتأثر تفسيرنا لتقدم
~~الزمن بكيفية عمل أجسادنا. وفي سياق متصل، حين يفكر
~~البشر أن «خمسة أشياء تشبه اليد» أو غير ذلك من الأفكار
~~وثيقة الصلة؛ ومن ثم يخترعون الأعداد، فإن هذا يعني أن
~~بعض سمات أجسادهم تمكنهم من العملية الإدراكية المعنية.
~~إن إدراكهم يتجسد حين يستخدمون اليد على سبيل الكناية؛
~~للدلالة على خاصية كمية لتلك السمة الجسدية. وبالرغم من
~~أن علماء اللغة قد لاحظوا أن أنظمة الأعداد غالبا ما
~~تكون عشرية أو خماسية أو عشرينية (أو توليفة من كل ذلك)،
~~فإن مدى تأثير التفكير الكمي المتجسد في ابتكار معظم
~~الأعداد، لم يحظ بالتقدير الكافي في العديد من
~~الدوائر.

# 8

# ما بعد العد البسيط

# إن العديد من المفاهيم المستندة إلى الأعداد لم تستلهم
~~من خلال اليد. ولم تتطور الممارسات الرياضية المعقدة
~~بصورة مستقلة إلا في ms192 عدد قليل بعض الشيء من الثقافات،
~~بالرغم من عالمية الأصابع، وبالرغم من انتشار مفردات الأعداد
~~على مستوى العالم، فالأعداد المستندة إلى الأيدي، لا تؤدي
~~بالضرورة إلى إنتاج أعداد كبيرة للغاية؛ فوجود كلمة مثل
~~«خمسة» أو «عشرة» في لغة ما، لا يعني أن هذه اللغة تحتوي
~~على كلمة مثل «ألف» أو «مليون» إن وجود مفردات الأعداد
~~البسيطة هو شرط ضروري لتفصيل أعداد أكثر تعقيدا، لكنه غير
~~كاف لذلك.

# كذلك فإن العديد من الأنواع الأخرى من الأعداد، لا تتبع
~~بالضرورة تقديم مفردات أعداد أساسية في ثقافة معينة.
~~فالمسار التشريحي ينتج أعدادا صحيحة بسيطة يطلق عليها اسم
~~«الأعداد النموذجية المستخدمة في العد»

# 9

# مثل «خمسة» و«ستة» و«عشرة» و«عشرين»، لكنه لا
~~ينتج بالضرورة عددا «كالصفر». (راجع مناقشة العدد صفر في
~~الفصل التاسع.) وهو أيضا لا ينتج بالضرورة الأعداد السالبة،
~~ولا الأعداد غير النسبية، ولا يؤدي إلى اكتشاف متتالية
~~فيبوناتشي، وما إلى ذلك. إذن، فالسؤال المتوقع في سياق هذه
~~المناقشة، هو: كيف نبدأ في تشكيل الأعداد النموذجية
~~المستخدمة في العد لكي نصل إلى عالم يحفل بجميع الأنواع
~~الأخرى من الأعداد والمفاهيم الرياضية؟ إن ذكر التفاصيل
~~الكاملة لتطور علم الحساب، يقع خارج نطاق هذا الكتاب، غير
~~أن الأمر حري بأن نتناول بعض العوامل الأساسية التي
~~تتعلق باستخدام البشر للأعداد النموذجية المستخدمة في
~~العد في ابتكار مفاهيم رياضية أساسية، مثل الجمع والطرح
~~والضرب. ففي نهاية المطاف، تعد هذه المفاهيم الأخيرة
~~محورية في العديد من التقنيات البشرية المادية
~~والسلوكية.

# إن هذا النقاش الذي نتناوله بشأن اتساع المفاهيم العددية
~~يعيدنا مرة أخرى إلى إحدى الأفكار المتكررة، وهي أن
~~البشر يفهمون الأفكار المجردة من خلال الأشياء المجسدة
~~الموجودة في حيواتنا التي ترتكز على الطبيعة المادية. ومثلما
~~أن المجاز، والمسار اليدوي الذي اتخذناه نحو الأعداد،
~~يستند إلى كيفية تركيب أجسادنا وعملها؛ فثمة حجة مقنعة
~~على أن الإدراك الحسابي الأساسي يرتكز على خبرتنا المادية.
~~ومعنى هذا أن تطور المفاهيم الرياضية من أعدادنا
~~النموذجية المستخدمة في العد، ينتج بدرجة كبيرة عن إعجاب
~~البشر ms193 بالتفكير المجازي المرتكز على أشياء مادية.

# 10

# إن ما يعنينا في هذه المناقشة، هو نوعان من أنواع التفكير
~~المجازي المرتكز على الطبيعة المادية، وأولهما هو الاستعارة
~~المفاهيمية، التي يوجد منها العديد من الأمثلة في أي لغة،
~~وسنذكر عليها مثالين من اللغة الإنجليزية: تصوير مفهوم
~~المزاج العاطفي في صورة درجات الحرارة، ووصف الأمور السلبية
~~بأنها «منخفضة». على سبيل المثال، تظهر الاستعارة الأولى
~~المرتكزة على الطبيعة الجسدية حين نتحدث عن أشخاص
~~يتمتعون إما بشخصية «دافئة» أو «باردة»، مع افتراضنا
~~الضمني أن الشخصيات «الدافئة» أكثر ودا وترحيبا.
~~وتظهر الاستعارة الثانية المرتكزة على الطبيعة الجسدية حين
~~نتحدث مثلا عن شعورنا «بانخفاض الروح المعنوية» أو عن
~~شخص يشعر بأنه «سقط في هوة الاكتئاب.» إن ما ذكرناه
~~هنا هو مثالان فقط على هذا النوع من الاستعارات، غير أن هناك
~~الكثير من الأمثلة عليها. (وينبع الربط المجازي بين الأشياء
~~«المنخفضة » والحزن من العلاقات التجريبية، مثل العلاقة بين
~~الموت والدفن، والوجود في مستوى «منخفض» في الأرض.)

# وأما النوع الثاني من التفكير المجازي الذي يعنينا في هذه
~~المناقشة، فهو ما يشير إليه علماء اللغة باسم «الحركة
~~الخيالية»، والتي تتمثل في تفكيرنا في الأشياء على أنها
~~تتحرك بينما نستعرضها في عقولنا. فعلى سبيل المثال، إذا
~~قلت: «إن منظر ناطحات السحاب في أفق ميامي، يجري على
~~امتداد خليج بيسكاين.» فذلك من الأمثلة على الحركة الخيالية؛
~~فمن الواضح أن ناطحات السحاب لا تجري فعليا، لكنني
~~أتحدث عنها وكأنها تفعل. وبالمثل، حين أزعم أن «الحد
~~الفاصل بين بيرو والبرازيل يمر بالأمازون.» فلن يفسر أحد
~~ذلك على أن الحد يتحرك بالفعل؛ فإن الاستعارات
~~المستندة إلى الطبيعة الجسدية والحركة الخيالية، كلاهما
~~أساسي في تشكيل التفكير الرياضي.

# إن علماء الإدراك، ومن أبرزهم رافاييل نونييث من جامعة
~~كاليفورنيا في سان دييجو، قد قدموا بعض الأدلة على أن
~~الاستعارات الأساسية والحركة الخيالية، تسهمان في بنية
~~علم الحساب؛ فهم يذكرون على سبيل المثال أن إحدى الركائز
~~الأساسية في تكوين عمليات الإضافة والطرح هو استعارة أن
~~«الحساب هو جمع الأشياء.» ms194

# 11

# وبعبارة أخرى: فإن البشر يفكرون في الأعداد
~~من خلال الأشياء، فها هم مرة أخرى يحولون الأفكار
~~المجردة إلى شيء مادي وملموس بدرجة أكبر. ومن الأدلة على
~~هذا التوجه المجازي ذلك التداخل بين المصطلحات والعبارات
~~المستخدمة في الجمع والطرح، والتعامل مع الأشياء المادية؛
~~فيمكنني أن أتحدث مثلا عن «إضافة اثنين وخمسة»، ويمكنني
~~أيضا أن أتحدث عن «إضافة الجبن إلى الهامبرجر»، أو «إضافة
~~الملح إلى السلاطة»، أو «إضافة قطعة أخرى من الأثاث إلى
~~الغرفة». يمكنني أن أقول: «إضافة ثلاثة وثلاثة تساوي ستة.» أو
~~يمكنني أن أقول: «سيارة فيراري الجديدة إضافة رائعة إلى
~~مجموعته.» وبقدر ما يمكنني أن أتحدث عن «الجمع بين ثلاثة
~~وخمسة»، يمكنني أن أتحدث عن «الجمع بين السكر والبيض
~~والزبد»؛ إننا نجمع الأعداد معا في عقولنا، مثلما نجمع بين
~~الأشياء الموجودة في العالم الخارجي عنها. وعلى العكس من ذلك،
~~فإننا نفصل بين الأعداد ، مثلما نفصل بين الأشياء؛ فيمكنني أن
~~أقول مثلا: «إذا أخذت هذا العمود، فسوف ينهار البناء.» أو
~~يمكنني أن أقول: «شكرا على أخذ القمامة.» ومع ذلك، يمكنني
~~أن أتحدث عن «أخذ خمسة من سبعة»، أو أقول: «اثنا عشر نأخذ
~~منها ستة، يساوي ستة.» إضافة إلى ذلك، فمثلما يمكنني أن
~~أقول: «خمسة عشر ناقص اثنين، يساوي ثلاثة عشر.» يمكنني أن
~~أقول: «إذا أنقصنا هذا الحزام من الزي، فإنه سيصبح غير
~~ملائم.» يمكنني أن أستمر في طرح المزيد من الأمثلة، لكنني
~~أعتقد أن ما أعنيه قد أصبح واضحا، وهو أن الكثير من كلمات
~~اللغة التي نستخدمها لجمع الأشياء وإزالتها، يستخدم أيضا
~~لجمع الأعداد وإزالتها.

# إن التوازي بين الأشياء والأعداد، لا ينتهي هنا على أي
~~حال؛ فمثلما يمكننا الحديث عن حجم الأشياء، يمكننا الحديث
~~أيضا عن «حجم» الأعداد. فيمكنني أن أقول مثلا: إن
~~التريليون عدد «كبير للغاية» أو: إن «سبعة أصغر من خمسة
~~عشر». ويمكنني أن أقول: «أنا لا أعرف بالضبط الراتب الذي
~~تحصل عليه، ولكني أعرف أنه رقم ضخم.» ويمكنني أيضا أن أقول:
~~«إن راتبها ضئيل للغاية مقارنة بما ms195 تستحقه.» إننا نتحدث
~~عن الأعداد في معظم الأحوال، وكأنها أشياء طيعة مختلفة
~~الأحجام، أشياء يمكن المقارنة بينها وضمها معا وتجميعها
~~كذلك. إن هذا النوع من التفكير المجازي طبيعي للغاية حتى
~~إننا قد لا ندرك أننا نستخدمه. وربما يعود السبب في هذا
~~الأساس المادي للغة الحسابية إلى أن اختراع الأعداد يعتمد
~~بصورة كبيرة على أجسامنا المادية، لكننا، إضافة إلى هذا،
~~نفكر في الأفكار المجردة، ونتحدث عنها في العديد من
~~المجالات الإدراكية على أنها عناصر موجودة في العالم المادي.
~~إن التفكير في الأعداد على أنها أشياء مادية ييسر
~~تخزينها وتمثيلها ومعالجتها في الدماغ؛ إذ إننا نستطيع
~~تصور الأشياء وتذكرها بسهولة أكبر من المفاهيم
~~المجردة.

# تؤدي الحركة الخيالية أيضا دورا في تطور الاستراتيجيات
~~الحسابية، غير أن هذا الدور أكثر ثانوية. وهي ظاهرة مختلفة
~~تماما، لكنها مجازية أيضا، ويمكننا أن نطلق عليها اسم
~~«الحساب هو حركة على مسار ».

# 12

# والفكرة الأساسية هي أن العديد من البشر (لا
~~سيما متحدثي اللغة الإنجليزية) يصفون الأعداد على أنها
~~توجد على خط، ويصفون الحركة على امتداد هذا الخط. والأمثلة
~~اللغوية التي تتجسد فيها هذه الاستعارة كثيرة للغاية؛
~~فيمكنني أن أقول مثلا إن «101 و102 قريبان للغاية.» وإذا
~~سألتك عما يكون ناتج عشرة زائد عشرة، وأجبت بأنه ثلاثون،
~~يمكنني أن أقول إن إجابتك «بعيدة للغاية.» وإذا رأيت
~~مجموعة من الأشخاص في فصل دراسي، فقد تقول إنه يوجد «ما
~~يقرب من عشرين طالبا». وإذا كنت لا تعتقد أنهم بهذا العدد
~~الكبير، فقد تقول إن عددهم «يقترب من العشرين». ويمكننا أن
~~نطلب من الأطفال أن يعدوا من واحد إلى مائة، دون
~~«تخطي أي أعداد». ويمكنهم أن يعدوا «من الخلف»، وكأن
~~العد ينطوي على حركة إلى الأمام أو إلى الخلف على خط
~~الأعداد. إن ما تتميز به هذه اللغة من تلقائية يمكن أن
~~يحجب ما يحدث حين نستخدمها، وهو أننا نتحدث عن الأعداد
~~المجردة والكميات التي تصفها وكأنها توجد على خط يمكن
~~تحريكها عليه أو عرضها. إن الإشارة إلى الأعداد في سياق ms196
~~الخطوط والأشياء الطيعة منتشرة للغاية، وهي تسهل من
~~اكتسابنا للكثير من المفاهيم الحسابية خلال الطفولة. إن هذه
~~الاستعارات تستخدم عن عمد في السياقات التربوية كذلك؛ إذ
~~يربط الأطفال بين الأعداد وبين الأشياء المادية وبين خطوط
~~الأعداد في كتب التدريبات الخاصة بالرياضيات.

# 13

# إضافة إلى أنماط الحديث، فإن الإيماءات المصاحبة
~~للحديث، توضح الطرق التي نفهم بها الأعداد مجازيا. إن
~~دراسة الإيماءات التي يقوم بها البشر في أثناء حديثهم، هي
~~مجال خصب للدراسة في مجال علوم الإدراك. وتشير الكثير من
~~الأبحاث إلى أن الإيماءات بمثابة نافذة تطل على
~~العمليات الإدراكية لدى البشر. فعلى سبيل المثال، تنعكس نزعة
~~متحدثي الإنجليزية إلى الحديث عن المستقبل باعتباره شيئا
~~يقع أمام أجسامهم، في إشارتهم إلى الأمام في أثناء الحديث عن
~~الأحداث المستقبلية. وعلى العكس من ذلك، فهم يشيرون إلى
~~خلفهم في معظم الأحيان عند التحدث عن الماضي. وبالمثل، تظهر
~~الإيماءات حين يتحدث الأشخاص عن الأعداد، مثلما يتضح ذلك
~~في دراسة حديثة لمقاطع فيديو مسجلة لطلبة الكليات. حين
~~تحدث الطلبة عن إضافة أعداد معا، كانوا يستخدمون في
~~الوقت نفسه إيماءات «الجمع» أو «المسار». وقد تمثلت
~~الإيماءات الأخيرة في تحريك أصابعهم أو أيديهم من أحد جانبي
~~أجسادهم إلى الجانب الآخر، وكأن الأعداد تتقدم على خط
~~ما. أما إيماءات الجمع، فقد كانت تنطوي على حركة الأيدي إلى
~~الداخل، مع ضم اليد في قبضة، كما لو أن الطلاب يمسكون
~~شيئا في أيديهم، أو يقبضون عليه. وحين كان الطلاب يتحدثون
~~عن جمع الأعداد، كانوا يقومون في الوقت نفسه، وبشكل غير
~~واع، بجمع أشياء متخيلة بأيديهم، أو يحركون أيديهم
~~على خط خيالي. فمن الواضح أن المجاز يؤدي دورا في إنشاء
~~الرياضيات باستخدام الأعداد، غير أن حجم هذا الدور يستلزم
~~المزيد من البحث.

# 14

# وثمة أنواع أخرى من الأدلة التي تدعم الاستنتاج المتمثل
~~في أن البشر غالبا ما يفكرون في الأعداد في ضوء المكان
~~المادي؛ فعلى سبيل المثال، يتخذ الأفراد القرارات الرياضية
~~بصورة أسرع حين تتوافق المعلومات المكانية والعددية بدقة.
~~فلتفكر على سبيل ms197 المثال في أي العددين التاليين له قيمة أكبر:

# 7 أم 9؟

# أو أي العددين التاليين أكبر قيمة:

# 6 أم 8؟

# هل استغرقت وقتا أطول في تقييم الزوجين
~~الأولين من الأعداد؟ إذا كنت قد فعلت، فهذا يعني أن
~~أوقات استجابتك لا تختلف عما أبداه معظم الأشخاص الذين
~~تعرضوا لاتخاذ هذا القرار؛ فالفصل الكامل بين المعلومات
~~المكانية والمعلومات العددية صعب بعض الشيء. وهذا التشابك
~~الموجود بين هذين النوعين من المعلومات، يظهر بالفعل في
~~الأبحاث المعنية بتصوير للدماغ. فحين يطلب من الأفراد
~~التركيز على عدد أو أداء مهمة تتضمن التفكير العددي، تنشط
~~في أدمغتهم أجزاء محددة. ويحدث الشيء نفسه حين يؤدون
~~مهام تستلزم منهم اتخاذ قرارات بشأن الحجم المادي
~~والموقع أو أي منهما؛ إذ تنشط هذه الأجزاء نفسها.

# 15

# إضافة إلى هذا، فإن التشابك المكاني العددي يتضح
~~أيضا في الارتباط المكاني العددي لرموز الاستجابة، الذي يشار
~~إليه عادة باسم تأثير سنارك

# SNARC
~~. (يعود اكتشاف هذا التأثير، مثل
~~العديد غيره من سمات الإدراك العددي، إلى عالم النفس الفرنسي
~~ستانيسلاس ىديهان.) ويتضح هذا التأثير في السياقات
~~التجريبية، حين يطلب من الخاضعين للتجربة على سبيل المثال أن
~~يضغطوا على زر فور أن يروا عددا محددا على شاشة
~~أمامهم. في حالة الأعداد الكبيرة، كان الخاضعون للتجربة
~~يستجيبون بصورة أسرع حين يضغطون الزر باليد اليمنى، وفي
~~حالة الأعداد الصغيرة، كانوا يستجيبون بصورة أسرع حين يضغطون
~~على الزر باليد اليسرى. ويشير هذا النمط في الاستجابة إلى
~~أننا نفكر في الأعداد وكأنها توجد في تمثيل مكاني على
~~طول خط ما، بحيث تكون الأعداد الأصغر على اليسار والأكبر
~~على اليمين. بالرغم من ذلك، ففي بعض الثقافات التي يسير
~~اتجاه كتابتها من اليمين إلى اليسار، نجد أن هذا الخط
~~معكوس، ونجد أن الاستجابة إلى الأعداد الكبيرة تتحقق
~~بصورة أسرع باليد اليسرى. إن انتشار تأثير سنارك، مثل
~~القرارات العددية المتأثرة بالمكان التي ذكرناها في
~~الفقرة السابقة، كلاهما يدل على التشابك الإدراكي بين
~~المكان والأعداد.

# 16

# بالرغم من أن الأدلة على وجود أساس مجازي ومكاني
~~للتفكير ms198 الحسابي تتسم بالإقناع، فإن هذا لا يعني أن
~~التفكير المجازي هو الأساس الوحيد لمثل هذا النوع من
~~التفكير؛ فمن غير المنطقي ألا يكون لدينا سوى عامل واحد فقط
~~هو الذي يفسر تطور الأعداد أو استخدام هذه الأعداد في
~~مبادئ الحساب. في حالة المجاز، على سبيل المثال، نجد أن
~~الثقافات تختلف في طريقة وضعها للأعداد في سياق المكان.
~~إضافة إلى ذلك، ففي بعض الثقافات نجد أن الأدلة التي
~~نمتلكها على أن الأفراد يضعون الأعداد على خط لها، قليلة
~~للغاية أو حتى منعدمة. (راجع النقاش عن جماعة اليوبنو في
~~الفصل الخامس). وعلى مستوى أكثر بدائية، فقد لاحظنا بالفعل
~~وجود عدد قليل من الثقافات التي لا تستخدم أي أعداد
~~محددة على الإطلاق، أو تستخدم منها مجموعة محددة
~~للغاية. وبالرغم من أن الطريق اليدوي إلى الأعداد منتشر
~~للغاية، فهو ليس بالطريق المحتمل الوحيد، ولا تظهر آثاره على
~~الدوام في أساسات الأنظمة العددية. فعلى سبيل المثال،
~~تستخدم بعض اللغات أنظمة سداسية (الأساس 6) لا يمكن
~~تفسيرها باستخدام الأيدي أو الأصابع في التسمية الأولية
~~للكميات. (راجع الفصل الثالث) إن أحد الموضوعات المتكررة
~~في مجال اللغويات هو أنه لا ينبغي لنا الإفراط في تعميم
~~الأنماط التي تتضح في العديد من اللغات، ونفترض أنها
~~توجد في اللغات جميعها. بالرغم من ذلك، ولأن جميع البشر
~~يمتلكون الأدمغة نفسها والأجساد نفسها بصفة أساسية، فليس
~~من المفاجئ أنهم عادة ما يتخذون مسارات متشابهة
~~توصلهم إلى المفاهيم الحسابية، وهذه المسارات غالبا ما
~~تتضمن طرقا مجازية.

# ومن الأساسات الأخرى التي أسهمت في انتشار الأعداد الأساس
~~اللغوي على وجه التحديد؛ إذ تشير بعض الأعمال التي قامت بها
~~عالمة اللغويات هايكا فيسا إلى أن علم بناء الجملة ييسر
~~ابتكار المفاهيم العددية؛ فقد يساعدنا البناء اللغوي على
~~تحويل مصطلحات الأعداد مثل «خمسة» و«ستة» إلى أنظمة عددية
~~ذات فائدة أكبر. وفي نهاية المطاف، عندما ندرك نحن -
~~مستخدمي الأعداد - أن 6 أكبر من 5 بمقدار واحد، وأقل من 7
~~بمقدار واحد، نصبح على وعي بمبدأ الخلف. لكن الأرجح
~~أننا ms199 نتوصل إلى هذه الفكرة، بشكل جزئي على الأقل، لأن
~~اللغة توفر لنا التدريب على استخدام رموز يختلف معناها
~~وفقا للترتيب الذي ترد فيه. فلنتناول هذه الجملة الإنجليزية
~~المتعدية على سبيل المثال:

# The crocodile
~~ate the snake
~~. (التي تعني بالعربية أن
~~التمساح أكل الثعبان.) يتوقف معنى هذه الجملة على كلماتها
~~المفردة، لكن الكلمات وحدها لا تكفي للفهم في غياب
~~الاتفاق البنائي؛ فبالرغم من كل شيء، توجد بعض أنواع
~~الثعابين (الأناكوندا) تأكل التماسيح؛ فكيف سنعرف ما الذي
~~يأكل ماذا؟ إن السهولة التي نفهم بها مثل هذه الجمل التي
~~يمكن أن تكون مبهمة، يعود السبب فيها إلى قواعد بناء الجملة
~~في اللغة الإنجليزية. فلأننا نعرف أن الفاعل يسبق الفعل
~~عادة، الذي يسبق المفعول بدوره؛ فنحن نعرف أن الثعبان هو
~~الذي أكل. وإذا طبقنا على عالم الأعداد هذا النوع من
~~المعنى الذي يتوقف على الترتيب، يمكننا أن نرى كيف أن
~~علم بناء الجملة يساعدنا في فهم العلاقة بين كل عدد
~~والآخر. ربما تكون لدينا نزعة فطرية لتشكيل التسلسلات
~~العددية وفك رموزها، وفهم أن مفردات العد لها معان
~~محددة متوقعة؛ لأن البناء اللغوي يساعدنا في وضع
~~الأساس لفهم تسلسلات الأعداد. ومن هذا المنظور فإن البناء
~~اللغوي يمدنا بالأساس لإدراك أن معاني الكلمات يمكن أن
~~تختلف وفقا للترتيب الذي ترد فيه.

# 17

# إن هذه العوامل مثل المجاز والبناء اللغوي، تفيدنا في أن
~~نفهم كيف تمكن نوعنا من الانتقال من «مواجهة» الصعوبة في
~~التعامل مع الأعداد الأساسية (وأنا أعني هذه التورية)، إلى
~~استخدامها بطرق جديدة. وهي تساعدنا في تفسير كيفية تطور
~~العمليات الحسابية من الأعداد النموذجية. وبغرض الوضوح، فإنني
~~لا أزعم أن هذه العوامل توجد قطعا في جميع الثقافات، أو
~~أنها تنبع منطقيا في جميع الحالات من اختراع مفردات
~~الأعداد؛ فسوف يكون من غير الدقيق بالطبع أن نزعم أن «البشر
~~يخترعون الأعداد بسبب أصابعهم، فهم يستخدمون اللغة والمجاز،
~~وغير ذلك من العوامل؛ فيتوصلون في النهاية إلى النظرية
~~الأساسية في التفاضل والتكامل.» إن مدى استخدام الثقافات
~~لمبادئ الحساب ms200 الأساسية، والرياضيات الأكثر تعقيدا، تختلف
~~بدرجة كبيرة من ثقافة إلى أخرى، مما يدل على أن العديد
~~من العوامل المرتبطة بالمجتمع تدخل في الأمر. بالرغم من
~~ذلك، يبدو لنا أن العوامل التي ناقشناها هنا شائعة، وهي
~~من المكونات الأساسية في تعزيز التفكير الرياضي.

# الأعداد في الدماغ

# إن الدماغ البشري أكبر مما ينبغي أن يكون عليه بعدة
~~مرات، وذلك مقارنة بالنسبة المعتادة بين حجم الدماغ وحجم
~~الجسم، والتي تظهر لدى أنواع الرئيسات الأخرى. ويتركز 80
~~بالمائة من كتلة الدماغ في القشرة الدماغية؛ تلك الطبقة
~~الفوضوية الالتفاف، التي تتكون من المادة الرمادية، ويبلغ
~~سمكها من ميلليمترين إلى أربعة ميلليمترات، وتنقسم إلى
~~نصفين وأربعة فصوص أساسية. ووفقا لبعض التقديرات، فإنها
~~تحتوي على 21 إلى 26 مليارا من الخلايا العصبية التي تسمح
~~بجميع أنواع عمليات التفكير المميزة للبشر. وفي العقود
~~القليلة الماضية، استكشفت الأبحاث الموسعة من بين العديد
~~من الموضوعات الأخرى، كيفية حدوث الإدراك العددي من الناحية
~~الفيسيولوجية العصبية. وقد اكتشفت دراسات تصوير الدماغ
~~المكان الذي يحدث فيه الجزء الأكبر من عمليات التفكير
~~العددي. وهذا الموضع العددي لا يقع في قشرتنا الأمامية التي
~~تتميز بتطورها الفائق، بل إن القدر الأكبر من تفكيرنا
~~العددي يحدث في منطقة تدعى الثلم داخل الفص الجداري
~~(

# IPS
~~)، التي ذكرناها لأول
~~مرة في الفصل الرابع، وقد أشرنا حينها إلى أن حاستنا
~~العددية الفطرية توجد، بصفة أساسية على ما يبدو، في الثلم
~~داخل الفص الجداري.

# 18

# وبالنظر إلى أن الحاسة العددية الفطرية لدى البشر لا
~~تختلف عن مثيلتها لدى الرئيسات الأخرى، فربما لا يبدو من
~~المفاجئ أن يحدث القدر الأكبر من تفكيرنا العددي في منطقة
~~من الدماغ توجد أيضا في أدمغة الأنواع قريبة الصلة
~~بنوعنا. والواقع أن دراسات تصوير الدماغ تشير إلى أن
~~الثلم داخل الفص الجداري في القرود، ينشط هو أيضا استجابة
~~للمهام العددية، مثل تحديد ما إذا كانت مجموعتان من النقاط
~~تمثلان كميتين مختلفتين أم لا. إضافة إلى ذلك، تنشط
~~مجموعات محددة من الخلايا العصبية الموجودة في الثلم داخل
~~الفص ms201 الجداري، وفقا للكميات المحددة التي تركز عليها
~~مهام معينة. فحين ترى القرود شيئا ما تنشط مجموعة
~~متوقعة من الخلايا العصبية، وحين ترى شيئين تنشط مجموعة
~~أخرى متوقعة أيضا من الخلايا العصبية.

# 19

# إن الدراسات التي أجريت على أدمغتنا قد أوضحت مرارا
~~أن الثلم داخل الفص الجداري في نصفي الدماغ، ينشط في أثناء
~~العديد من مهام المعالجة العددية. في معظم الأحيان، تستخدم
~~دراسات تصوير الدماغ التصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي. وفي
~~هذه الدراسات، يجري الخاضعون للتجربة عددا من مهام
~~التفكير العددي، بينما تتم مراقبة نشاط أدمغتهم من خلال
~~التصوير بالرنين المغناطيسي الوظيفي. ومثلما قد أشار بعض
~~علماء الأعصاب، فإن هذا النشاط يقع بصورة كبيرة في منطقة
~~محددة من الثلم داخل الفص الجداري، وهي شريط أفقي من الثلم
~~الدماغي يشار إليه باسم المنطقة الأفقية في الثلم داخل الفص
~~الجداري (

# hIPS
~~). فقد أوضحت
~~مجموعة متنوعة من تجارب التصوير أن الثلم الأفقي داخل
~~الفص الجداري ينشط حين يفكر البشر في الكميات
~~ويميزونها. فعلى سبيل المثال، إذا عرضت عليك مجموعة من
~~النقاط، أو طلب منك أن تقارن بين كمية مجموعتين، فسوف
~~تنشط المنطقة الأفقية في الثلم داخل الفص الجداري لديك. ومن
~~المثير أنه ينشط عند إدراك كميات من النقاط أو رؤية رموز
~~الأعداد، أو عند سماع الأعداد المنطوقة. وبعبارة أخرى، فإن
~~المعالجة العددية في الحواس المختلفة تحدث هناك. إن
~~المنطقة الأفقية في الثلم داخل الفص الجداري ترتبط بالتفكير
~~العددي المجرد، لا الإدراك الحسي البصري لمجموعات من
~~الأجسام فحسب. إضافة إلى ذلك، فإن درجة هذا النشاط تتناسب
~~مع شدة التفكير العددي المطلوب لأداء المهمة المحددة.
~~فعلى سبيل المثال، إذا طلب منك أن تحدد ما إذا كانت عشرون
~~نقطة أكبر عددا من خمس نقاط أم لا، فإن المنطقة الأفقية
~~في الثلم داخل الفص الجداري لا تنشط إلا بدرجة ضعيفة. وعلى
~~العكس من ذلك، إذا طلب منك أن تميز عشرين نقطة من سبعين،
~~فإن درجة نشاطها ستكون أعلى بدرجة كبيرة.

# 20

# ترسم بيانات التصوير العصبي صورة مشابهة لتلك التي ms202
~~يرسمها ما فحصناه من بيانات أخرى، وهي أن البشر يمتلكون
~~مكونا حيويا عصبيا بدائيا أساسيا، وهو يوجد أيضا
~~لدى العديد من الأنواع الأخرى. لكننا نمتلك أيضا القدرة
~~على توسيع وظائف هذا المكون إلى ما هو أبعد من عالم التمييز
~~بين الكميات الصغيرة وتقدير الكميات الكبيرة. ويستلزم هذا
~~التوسع الوظيفي استخدام أجزاء أخرى من القشرة الدماغية
~~البشرية، وبصورة أكثر تحديدا، فنحن نحتاج إلى استخدام أجزاء
~~من النصف الأيسر من الدماغ، التي يكون لها دور في المعالجة
~~اللغوية لتوسيع التفكير العددي إلى عالم التمييز الدقيق
~~والجمع الدقيق والطرح الدقيق، وغير ذلك. ولكي يحدث هذا
~~التوسع، نحتاج إلى تحويل الفروق المادية إلى ألفاظ. وهذا
~~التوسع القائم على الألفاظ، والذي ييسره على ما يبدو،
~~علم بناء الجملة والمجاز، يتضح في بيانات التصوير التي
~~تبين نشاط المناطق المرتبطة باللغة في القشرة الدماغية خلال
~~بعض المهام الكمية؛ ومن ثم فإن بيانات تصوير الدماغ
~~تعيدنا مرة أخرى إلى الاستنتاج الذي أصبح مألوفا لنا: لكي
~~نبني تفكيرنا الرياضي الفطري؛ نحتاج إلى رموز لفظية
~~للكميات، أي إننا نحتاج إلى الأعداد.

# 21

# خاتمة

# هذه هي الطريقة التي اخترعت بها الأعداد في معظم الأحوال؛
~~كان البشر يكتشفون أحيانا أنه توجد كميات محددة مثل
~~«خمسة». وقد أدى اكتشافهم هذا، في بعض الحالات على الأقل،
~~إلى ابتكار كلمات لتلك الكميات، وقد كانت هذه الكلمات
~~تشتق عادة من أسماء أجزاء الجسم الموجودة بالفعل، وهي
~~أجزاء الجسم التي مكنتهم من إدراك وجود الكميات
~~المحددة، أو يسرت ذلك. وأصبحت مفردات الأعداد الناتجة
~~تمثل الكميات بدقة، وهذا التمثيل الدقيق ينبع جزئيا من
~~قدرتنا الفطرية على تقدير الكميات الأساسية. بالرغم من ذلك،
~~فلا يمكننا أن نغالي في ذكر الدور المحوري للأصابع والأيدي
~~في تقدير الكميات الأقل أساسية. ويعود هذا الدور بدرجة ما
~~إلى الحضور القوي للأصابع في الخبرة الإدراكية والحسية
~~للبشر، وإلى التناظر الجوهري بين يدي البشر. وهو يعود
~~بطريقة غير مباشرة إلى سير البشر على قدمين، وهو إحدى
~~الطرق الأساسية العديدة التي يفسر بها البشر خبرتهم
~~الإدراكية ms203 من خلال التفكير المتجسد.

# إن اختراع الأعداد الأساسية، أو الأعداد النموذجية، ليست
~~سوى بداية الحكاية فقط؛ فاستخدام مثل هذه المفردات يؤدي في
~~النهاية إلى التوسع الوظيفي للأنشطة الفيسيولوجية العصبية
~~المرتبطة بالتفكير الكمي. وبالرغم من أننا لا نفهم هذا
~~التوسع تماما، فنحن نعرف أنه يعتمد بدرجة كبيرة على وجود
~~الأعداد اللفظية. صحيح أن بعض الظواهر اللغوية الأخرى مثل
~~المجاز والترتيب البنائي المعتاد، تساعد في تشييد بنيان
~~علم الحساب، لكن هذا البنيان يقوم بصورة أساسية على الأعداد
~~اللفظية.

# إن الأعداد هي ابتكار من العقل البشري كانت له آثار
~~عميقة على قصة البشرية؛ فقد غيرت الأعداد فهمنا للكميات.
~~لكن هذه الآثار لم تكن إدراكية فحسب؛ إذ إنها قد شكلت
~~أيضا خبرتنا البشرية من نواح أخرى. في الفصل التالي، سنناقش
~~المدى الذي شكلت به الأعداد، وما زالت تشكل، الجوانب
~~المختلفة في حياتنا اليومية.



# الفصل التاسع



# | الأعداد والثقافة: نمط الإعاشة والرمزية




# على قمة هرم خوفو، أكبر أهرامات الجيزة، نجد السحر
~~الرياضي لقدماء المصريين يقبع هناك عاريا؛ ملايين الأطنان من
~~الحجر الجيري المجوى تتقارب عند القمة المربعة ، وهي مساحة
~~تتسع بالكاد لأن يستريح فيها فرد واحد فقط بعد وصوله إلى
~~القمة، وتحيط به منحدرات شديدة الانحدار على الجوانب الأربعة (غير
~~أن أعقاب السجائر المبعثرة على القمة توضح أن العديد من
~~الأشخاص قد تمكنوا من الصعود والاسترخاء هناك بالأعلى). حين ينظر
~~المرء إلى جوانب الهرم من الأعلى، وهو يبتلع أي نزعة لرهاب
~~المرتفعات، فإنه يدهش من الانتظام الهندسي لمربعات الحجارة
~~متحدة المركز، التي تأخذنا نحو القاعدة؛ فعلى طول 139 مترا
~~رأسيا، يزداد حجم المربعات المرصوصة تدريجيا كلما اقتربت من
~~الأرض. وعلى العكس من القمة المربعة الصغيرة للغاية، يبلغ طول كل
~~جانب من جوانب القاعدة المربعة ما يقرب من 230 مترا. ومن
~~المثير أن محيط قاعدة الهرم، يساوي تقريبا ضعف الارتفاع
~~الأصلي للهرم عند ضرب هذا الارتفاع في ثابت الدائرة

# π
~~.

# 1

# لا يزال بعض الخلاف قائما بشأن ما إذا كان هذا
~~التناظر مقصودا أم أنه أمر عرضي ms204 فحسب قد جاء نتيجة للتناظر
~~الكلي للهرم ودقة البناء. أما ما لا يوجد خلاف بشأنه، فهو أن
~~هذا الهرم إنجاز استثنائي وخالد للمعماريين والعمال القدامى.
~~لقد صمد كأعلى بناء صنعه البشر على مدار ما يقرب من أربعة آلاف
~~عام، وذلك إلى أن اكتملت كاتدرائية لنكولن في إنجلترا عام 1311.
~~لقد كان الهرم مقبرة للفرعون المصري خوفو منذ أن اكتمل إنشاؤه
~~قرابة العام 2540 قبل الميلاد؛ فهذا البناء المذهل قديم للغاية
~~حتى إنه قد ظل من أماكن الجذب السياحي على مدار آلاف السنين
~~حتى الآن. إن إنشاءه قد استلزم تخصيص نسبة كبيرة من السكان
~~للعمل فيه، وهم الذين أنشئوه، مثله في ذلك كغيره من الآثار
~~العظيمة والمقابر والمباني. لقد احتل مركزا محوريا في
~~ثقافتهم، مجسدا لأساطيرهم ومعززا العديد من القيم
~~الروحية. إن تشييد هرم خوفو وغيره من الأهرامات، قد أسهم في
~~تشكيل حياة المصريين القدماء، بل إنه لا يزال يؤدي دورا بارزا
~~في حياة الكثير من المصريين المعاصرين الذين ينتفعون من السياحة
~~بعد بنائه بأربعة آلاف وخمسمائة عام.

# إن الأمر لا يتطلب الكثير من التأمل حتى ندرك أن 
~~البناء، كغيره الكثير من إنجازات البشرية في آلاف الأعوام القليلة
~~الماضية، لم يكن ليصبح ممكنا بدون الأعداد والرياضيات؛
~~فالمشروعات الكبيرة التي يتعاون فيها عدد من الثقافات، التي
~~تسهم بدورها في تشكيل تلك الثقافات من خلال حلقة استجابة مادية
~~اجتماعية، عادة ما تتوقف على الرياضيات. ولن يختلف أحد على
~~أن الرياضيات قد سمحت بازدهار بعض المظاهر الواضحة من الثقافة
~~المادية، مثل هرم خوفو وغيره من المباني الضخمة. في هذا الفصل، سوف
~~نستكشف عددا قليلا من هذه الطرق التي غيرت بها الأعداد خبرات
~~البشر اليومية في معظم الثقافات. إضافة إلى هرم خوفو، توجد
~~العديد من الأمثلة الأقل وضوحا والأكثر انتشارا، في مظاهر
~~الثقافة المادية والرمزية التي ابتكرت من خلال الأعداد أو أصبحت
~~ممكنة بسبب وجودها؛ فمنذ فترة طويلة ونحن نعترف بأن الرياضيات
~~مؤشر مهم للعمارة والتصنيع، وتقدم العمليات الطبية والعلمية
~~وما إلى ذلك. وبالرغم مما يحمله ms205 هذا الاعتراف العام من مزايا،
~~فيمكننا أن نقول إنه يعكس قصر نظرنا التاريخي؛ إذ إننا عادة
~~ما نركز على التطورات الحديثة نسبيا في الرياضيات الغربية،
~~التي نتج عنها العديد من الإنجازات في مجالات الهندسة والعلوم.
~~أما هنا، فنحن نولي تركيزا أكبر على عمق تاريخي أبعد، وعلى
~~الدور التأسيسي الذي لعبته الأعداد في بناء الممارسات الثقافية
~~التي أعادت تشكيل الخبرة البشرية، بعيدا عن دورها في الرياضيات
~~المتقدمة. ربما يكون الأمر الأكثر أهمية، هو أن الأعداد قد
~~جعلت من الثورات الزراعية أمرا ممكنا، وما يرتبط بها من اختراع
~~أنظمة الكتابة في أجزاء مختلفة من العالم، وفي مراحل مختلفة من
~~التاريخ. فلم تتطور الممارسات الرياضية المعقدة في بلاد
~~الرافدين والصين وأمريكا الوسطى، إلا بعد أن وفرت الثورات
~~الزراعية الفوائض الغذائية، التي أتاحت وجود طبقات من الأشخاص
~~المدربين على استخدام الرياضيات في هذه المناطق. بالرغم من ذلك،
~~فقبل هذه التطورات، لم يكن ظهور الأنظمة العددية سابقا على
~~الزراعة والكتابة بشكل عرضي؛ ففي واقع الأمر كانت هذه الأنظمة
~~العددية هي الأساس الذي بنيت عليه هذه الحضارات الكبيرة، ومنها
~~الحضارة التي شيدت هرم خوفو. ولسنا نزعم هنا أن الأنظمة
~~العددية المعقدة تتمخض دوما عن اتساع الرقعة الزراعية أو
~~أنظمة الكتابة، بل نزعم أن استخدام مثل هذه الأنظمة كان معيارا
~~ضروريا لانبثاق مثل هذه الظواهر. وفيما يلي سأقدم بعض الأدلة
~~التي تدعم هذا الرأي.

# الأعداد ونمط الإعاشة

# إننا نرشح خبرتنا من خلال ما تعلمناه وشاركناه من
~~معتقدات وقيم وأدوات ورثناها من المحيطين بنا، وذلك
~~بطرق لا شعورية في معظم الأحوال. أي إننا نرشح خبرتنا من
~~خلال ثقافتنا الأصلية. إن جميع عناصر حياتنا تقريبا تتأثر
~~بهذا الترشيح؛ ماذا يعني لك الزواج؟ حسنا، يتوقف هذا على
~~ثقافتك الأصلية؛ ففي بعض الثقافات يعني الزواج أن يكون لك
~~أكثر من شريكة، وفي ثقافات أخرى يعني الزواج الارتباط
~~بشريكة واحدة فقط. أحيانا يكون الزواج بعقد مدى الحياة،
~~وأحيانا لا يحدث هذا. في تجاربي الشخصية في ثقافات
~~مختلفة، شهدت زواج مراهقين عمرهما اثنا ms206 عشر عاما، وزواج
~~أنثى عمرها أحد عشر عاما من ذكر عمره أربعون عاما، وزواج
~~رجل واحد بعدة نساء، وزواج امرأتين في الخمسين من عمرهما،
~~إضافة إلى غير ذلك الكثير من ترتيبات الزواج. وفي كل من هذه
~~الثقافات التي التقيت فيها بأفراد في هذه الزيجات، كانت
~~ترتيباتهم تبدو طبيعية للغاية بالنسبة إليهم، بالرغم من أنها
~~تبدو شاذة جدا في بعض المجتمعات في العالم. إن هذه
~~الترتيبات تعكس بعض الاختلافات الأساسية في مفهوم الطفولة بين
~~ثقافات العالم أيضا. وليس هذا مجالا لذكر الطرق التي
~~تؤسس بها الثقافات حياتنا الاجتماعية، لكن إذا كانت
~~الثقافات تحدد مفهومنا عن الطفولة والزواج، فلن يقع خارج
~~نطاقها من جوانب الحياة إلا عدد قليل. ومثلما ذكرت سابقا،
~~فإن المكون اللغوي للثقافة يمكن أن يؤثر في كل شيء،
~~بداية من كيفية تفكيرنا في الزمان والمكان، إلى التمييز بين
~~فئات الألوان، وأحيانا يكون ذلك بشكل مستمر (وإن كان
~~خفيا). موجز القول أن خبرتنا الإدراكية والسلوكية تعد
~~نتيجة لعوامل تتعلق بالثقافة بطريقة أو بأخرى. وهذه العوامل
~~تتضمن الأعداد التي تستخدمها مجموعات محددة من
~~الأشخاص.

# مثلما رأينا، فإن مصطلحات الأعداد يكون لها تأثير على
~~التفكير العددي الأساسي؛ إذ تمكننا من اكتساب المهارات
~~الأساسية لتمييز الكميات، ويمكن استخدام هذه المهارات بعد ذلك
~~في تأسيس علم الحساب. إضافة إلى هذا، يبدو أن المهارات
~~الأساسية لتمييز الكميات وعلم الحساب، تسمح بوجود ما يرتبط بها
~~من تغييرات ثقافية، أو تسهل من وجودها على الأقل، مثل تلك
~~التغيرات المرتبطة بنمط الإعاشة. وبهذا، فقد تشكل تلك
~~التغييرات مصدر ضغط على أفراد ثقافات محددة في أن يزيدوا
~~من تطوير مخزونهم من مفردات الأعداد، وأن يصقلوا
~~استراتيجياتهم الحسابية. وبعبارة أخرى: يبدو أن هناك علاقة
~~تكافلية بين الأعداد والجوانب غير اللغوية من الثقافة؛ إذ
~~إن كليهما يتوقف على الآخر، على مدار الأجيال. ويتضح
~~جزء من هذه الأدلة التي تدعم وجود هذه العلاقة التكافلية، من
~~خلال دراسة العلاقات العالمية بين العناصر السلوكية في
~~الثقافة، وبين اللغة العددية.

# إن أحد الأمور المذهلة بشأن ms207 الأعداد (من منظور متعدد
~~الثقافات) هو النطاق الواسع لتنوعها، ويتضح هذا التنوع
~~في المعلومات التي عرضناها في هذا الكتاب. ويجدر بنا أن
~~نشير إلى أن معظم جوانب المعنى لا تتنوع بهذه الدرجة
~~الكبيرة فيما يتعلق بنطاق التعبير عنها في لغات العالم. فعلى
~~سبيل المثال، في حالة مصطلحات الألوان، نجد تنوعا بالفعل
~~فيما يتعلق بكيفية ترميز لغات العالم لدرجات الألوان، لكن
~~هذا التنوع ينحصر في نطاق عدد مصطلحات الألوان الأساسية،
~~وعادة ما تمتلك اللغات ما يتراوح بين ثلاثة مصطلحات وأحد
~~عشر مصطلحا للألوان الأساسية. وينطبق الأمر نفسه على مصطلحات
~~العواطف، وحتى الروائح قد ثبت أنها تتنوع بطرق مشابهة،
~~إضافة إلى مجموعة متنوعة من فئات المفاهيم. أما حين يتعلق
~~الأمر بمفاهيم الكميات، فإن اللغات تختلف بدرجة أكبر في عدد
~~الكلمات التي تستخدمها، في ترتيب الحجم، على المقياس الأسي.
~~وهذا لا يعني أنه لا توجد قواعد في كيفية بناء تعبيرات
~~الأعداد، وهو لا يعني أيضا أن معاني مصطلحات الأعداد ليس
~~لها حدود. فبالرغم من أن مقدار مفردات الأعداد يختلف
~~اختلافا كبيرا بين اللغات، نظرا إلى أن نطاق الكميات التي 
~~يمكن تسميتها غير محدود، فإن ترجمة هذه المفردات عادة ما
~~تكون مباشرة للغاية؛ فالكلمة التي تعبر عن العدد 6 في أي
~~لغة من اللغات، يشير تعريفها إلى التعبير عن ستة أشياء على
~~وجه التحديد. وهو أمر منطقي؛ فالأجسام المادية كمياتها
~~منفصلة، أي إنها ترد في مجموعات منفصلة. وعلى العكس من ذلك،
~~نجد أن ألوان الطيف الضوئي المرئي تمتزج مع بعضها. ونتيجة
~~لهذا، ولعوامل أخرى، فإن الدلالات المادية التي تعبر
~~عنها مصطلحات الألوان غالبا ما تختلف بعض الشيء من لغة إلى
~~أخرى (راجع الفصل الأول)؛ إذ إن هذه المصطلحات تقسم الضوء
~~المرئي بأشكال محددة، لكنها متباينة. وعلى العكس من ذلك،
~~فإن معنى كلمة مثل «خمسة» يظل ثابتا بين اللغات بشكل
~~عام.

# مع ذلك، فنظرا إلى أن «النطاق» الذي يمكن أن تتنوع فيه
~~الأعداد المنطوقة بين الثقافات منقطع النظير، فثمة أهمية
~~خاصة لأن نستكشف العلاقة بين ms208 أنظمة الأعداد وغيرها من
~~العوامل الثقافية. لقد انشغل العديد من الباحثين باستكشاف
~~العلاقة بين الأعداد والثقافة على مدار سنوات، وسوف نناقش هنا
~~أحد أهم النتائج التي توصلت إليها هذه الأعمال البحثية،
~~وهي إظهار العلاقة بين أنواع أنظمة الأعداد وبين أساليب
~~الإعاشة. وقد قدمت الأعمال الحديثة بعض الأدلة على وجود
~~ارتباط يمكن تمييزه بوضوح بين الأنظمة العددية البسيطة (التي
~~توشك أحيانا ألا تكون موجودة على الإطلاق)، وبين أسلوب
~~الإعاشة القائم على الصيد وجمع الثمار. وعلى العكس من ذلك،
~~توضح هذه الأعمال وجود علاقة بين أنظمة العيش الزراعية
~~وبين أنظمة الأعداد الأكثر تعقيدا.

# 2

# بقيادة بيشنس إبس من جامعة تكساس، قام فريق من علماء
~~اللغويات مؤخرا بتوثيق تعقيد أنظمة الأعداد في العديد من
~~لغات العالم. وقد اهتم الباحثون تحديدا بالحد العددي
~~الأعلى في اللغات، أي أكبر كمية لها اسم محدد. وليس من
~~السهل تأسيس هذا الحد في حالة بعض اللغات، مثل لغة الباردي؛
~~فهذه اللغة الأسترالية تستخدم كلمات للتعبير عن الكميات 1
~~و2 و3، لكن وضع الكلمة التي ترمز إلى الكمية 4 أقل
~~وضوحا؛ إذ إنها تنطوي على تكرار الكلمة المستخدمة للعدد 2.
~~(مثلما أشرنا في الفصل الثامن، فإن الكلمة التي تعبر عن
~~العدد «أربعة» في اللغات الأسترالية، غالبا ما تتكون من
~~أعداد أصغر.) إضافة إلى ذلك، فإن كلمة «ني-مارلا» أو «يد»
~~يمكن أن تشير إلى العدد 5، لكن ذلك بين بعض متحدثي
~~الباردي فحسب. ومثل هذا العدد المميز يجسد مثالا على
~~التحديات العرضية في تأسيس الحدود العليا في أنظمة عددية
~~معينة. بالرغم من ذلك، ففي معظم الحالات يكون تحديد العدد
~~الأكبر في لغة ما مهمة مباشرة بدرجة كبيرة. وقد توصل
~~الفريق المعني من علماء اللغويات إلى الحد العددي
~~الأكبر في 193 لغة في الثقافات التي تقوم على الصيد وجمع
~~الثمار في أستراليا والأمازون وأفريقيا وأمريكا الشمالية.
~~إضافة إلى ذلك، فقد فحصوا الحد العددي الأكبر في 204 من
~~اللغات في الثقافات الزراعية والرعوية في هذه الأماكن أيضا،
~~واكتشفوا أن الحد العددي في لغات الجماعات ms209 التي تعتمد على
~~الصيد وجمع الثمار، عادة ما يكون أصغر. وينطبق ذلك تحديدا في
~~أستراليا والأمازون، وهي المناطق التي تعتمد في أسلوب العيش
~~على الصيد وجمع الثمار بشكل كامل. وقد ذكرنا الأعداد
~~المحدودة التي تستخدمها هذه اللغات في الفصل الثالث، أما الآن
~~فسوف نربط هذه القيود بالعوامل الثقافية.

# 3

# في حالة اللغات الأسترالية لاحظت الدراسة المعنية أن
~~80 بالمائة من اللغات، محدودة من ناحية الأعداد، وأكبر كمية
~~تمثل فيها لا تزيد عن 3 أو 4.

# 4

# وقد أشارت الدراسة إلى أن لغة أسترالية واحدة،
~~وهي لغة الجاميلاراي، هي التي يزيد حدها العددي الأكبر على
~~العشرة، وأعلى عدد تمثله هو العدد 20. ونظرا إلى أن كل
~~جماعات السكان الأصليين في أستراليا تعتمد عادة على الصيد
~~وجمع الثمار، فإن العلاقة بين وجود عدد محدود من مصطلحات
~~الأعداد ونمط العيش، يؤثر بشدة على الاتجاه المتوقع في
~~تلك القارة. وتتضح هذه العلاقة بقوة أيضا في أمريكا
~~الجنوبية، أو الأمازون على وجه التحديد؛ فعادة ما يكون الحد
~~الأعلى في اللغات التي تستخدمها ثقافات الصيد وجمع الثمار في
~~هذا الإقليم، أقل من عشرة، فلا توجد سوى لغة واحدة من هذه
~~اللغات هي التي تمتلك أعدادا للكميات الأكبر من 20، وهي لغة
~~هاوراني. إن ثلثي اللغات التي تستخدمها جماعات هذا
~~الإقليم يكون الحد الأكبر فيها 5 أو أقل، وأما الثلث الآخر
~~فلا يزيد الحد الأكبر فيه عن عشرة. وهذه النسب من
~~الأنظمة العددية المحدودة أكبر كثيرا مما قد نتوقعه من
~~عينة عشوائية من الثقافات. واختصارا، فإن العلاقة بين
~~أساليب العيش الأساسية والتعقيد العددي متغلغلة في هذه
~~الأقاليم.

# وبالرغم مما تجلبه مثل هذه النتائج من فائدة، فإنها تنطوي
~~على إحدى المشكلات، وهي أنها مبنية على أساس التصنيف
~~المبسط للثقافات إلى نوعين: ثقافات تتبع نمط الصيد وجمع
~~الثمار مقابل ثقافات لا تتبع نمط الصيد وجمع الثمار. وهذا
~~التصنيف ضروري لإجراء هذا العمل الاستبياني، غير أنه من
~~المهم أيضا أن نراعي أن أنماط إعاشة البشر تتنوع
~~تنوعا أكبر مما ينطوي عليه هذان المسميان. ms210 فعلى سبيل
~~المثال، نجد أن المجموعات التي تعيش على الصيد وجمع الثمار
~~تختلف بدرجة كبيرة في مقدار ما تحصل عليه من سعرات حرارية
~~من خلال الصيد، وفي أنواع الصيد الذي تمارسه. وبالرغم من كل
~~شيء، فإن مجموعات الصيد وجمع الثمار في أستراليا والأمازون
~~وغيرها من الأماكن، تصطاد أنواعا مختلفة من الحيوانات، وتعيش
~~في أنظمة بيئية مختلفة. وهذا الاختلاف في الأنظمة البيئية،
~~يتضمن الاختلاف في إمكانية الوصول إلى مصادر الماء العذب،
~~ومن ثم اختلاف معدلات الاعتماد على الأسماك وغيرها من
~~الحيوانات المائية كمصدر للحصول على السعرات الحرارية.
~~إضافة إلى ذلك، فالعديد من الجماعات التي تعتمد على الصيد
~~وجمع الثمار، تعتمد على أساليب القطع والحرق في الزراعة،
~~بدرجة ما على الأقل، حتى وإن لم يمارسوا الزراعة المستقرة
~~على الإطلاق. وأخيرا، فإن أنواع الشبكات الاجتماعية الأكبر
~~التي تتضمن مجموعات الصيد وجمع الثمار، تختلف اختلافا
~~كبيرا؛ فبعض مجموعات الصيد وجمع الثمار في الأمازون تعيش في
~~انعزال بدرجة كبيرة. وفي الواقع، وفقا لتقنيات التصوير
~~بالقمر الصناعي الجديدة، توجد العديد من جماعات السكان
~~الأصليين المنعزلة التي تعيش في الإقليم. وعلى العكس من ذلك،
~~فإن معظم جماعات الصيد وجمع الثمار التي تعيش في منطقة
~~الحوض العظيم بجنوب غرب أمريكا (وهي المنطقة التي ركز عليها
~~إبس وزملاؤه)، طالما كانت متصلة مع بعضها البعض، ومتصلة
~~بالمجتمعات الأكبر منها أيضا. ومع هذا التواصل يأتي انتشار
~~التجارة وتقييم السلع، مما يزيد من فائدة مفردات الأعداد،
~~بينما يؤدي هذا الترابط المجتمعي الكبير إلى استعارة مفردات
~~الأعداد. وموجز القول أن ثقافات الصيد وجمع الثمار المختلفة،
~~تواجه ضغوطات اجتماعية ثقافية كبيرة التنوع، فيما
~~يتعلق بزيادة استخدام الأعداد. ومن ثم، فبالرغم من أن
~~الاستخدام المتجانس لمصطلحات مثل «مجموعات الصيد وجمع الثمار»
~~أمر منطقي، فهو يعتم على بعض الاختلافات المهمة بين أنواع
~~الثقافات؛ ولهذا فليس من الغريب أن مجموعات الصيد وجمع
~~الثمار في أمريكا الشمالية، تمتلك أنظمة عددية أكثر تعقيدا،
~~من تلك التي تمتلكها مجموعات الصيد وجمع الثمار التي تعيش في
~~الأمازون على سبيل المثال.

# 5 ms211

# وبالرغم من محدودية المصطلحات المستخدمة لتصنيف الجماعات
~~السكانية البشرية، فلا يزال لدينا ارتباط واضح بين أنواع
~~أسلوب العيش، وتعقيد أنظمة الأعداد: الجماعات التي تعتمد على
~~الصيد وجمع الثمار، ولا تستخدم الزراعة أو غيرها من الأساليب
~~الزراعية المعقدة إلا قليلا، تستخدم تقنيات عددية
~~متواضعة في معظم الأحيان. وينبغي أن أؤكد على «في معظم
~~الأحيان» هنا؛ إذ يوجد بعض الاستثناءات من المجتمعات التي لا
~~تعتمد على الزراعة، لكنها تمتلك حدودا عددية كبيرة نسبيا.
~~ويوجد عدد قليل من المجتمعات الاستثنائية التي تطبق بعض
~~الممارسات الأساسية في الزراعة، لكن حدودها العددية منخفضة
~~(مثل جماعة الموندوروكو التي تناولناها في المناقشة في الفصل
~~الخامس.) بالرغم من ذلك، فما من جماعات زراعية كبيرة، سواء
~~في الوقت الحالي أو في التاريخ المسجل لدينا، دون أنظمة
~~عددية معقدة. ومع ذلك، يجب أن أوضح أن التفسير الذي أطرحه
~~ليس تفسيرا حتميا يقضي بأن الأنظمة العددية التي تتسم
~~بوجود حدود عددية مرتفعة، تؤدي حتما إلى ظهور الزراعة.
~~وإنما أقترح أن الأنظمة العددية القوية (كانت) ولا تزال
~~عاملا مهما يساعد في ابتكار الممارسات الزراعية. غير
~~أننا في نهاية المطاف نفترض وجود تطور مشترك بين الأنظمة
~~العددية وأنماط الإعاشة، أي إن أنواعا محددة من أنماط
~~الإعاشة (مثل الزراعة المستقرة) تشكل بعض الضغوطات لتطوير
~~أنواع أكثر تعقيدا من الأعداد.

# إن تداعيات هذا الاستنتاج لا تقتصر على وعينا بالبشر في
~~الوقت الحالي فحسب، ولكنها تؤثر أيضا على فهمنا للبشر على
~~مدار التاريخ. فقد عاش نوعنا في الغالبية العظمى من فترة
~~وجوده على الصيد وجمع الثمار في أفريقيا، دون ممارسات زراعية
~~ولا شبكات تجارة معقدة؛ إذن فمن التفسيرات المنطقية
~~للتوزيع المعاصر لأنواع الأنظمة الثقافية والعددية، هو أن
~~البشر لم يستخدموا الأنظمة العددية المعقدة على مدار الجزء
~~الأكبر من تاريخهم. ومن التفسيرات المنطقية الأخرى أن
~~التحول إلى ثقافات أكثر استقرارا وتعتمد على التجارة
~~بدرجة أكبر، قد أسهم في دفع العديد من المجموعات إلى تطوير
~~تقنيات عددية أكثر تعقيدا. وقد كان هذا التحول واضحا
~~بالفعل في نقاشنا لنشأة ms212 الكتابة في الفصل الثاني؛ فقد تطورت
~~الأعداد المكتوبة، والكتابة بوجه عام، في منطقة الهلال الخصيب
~~بعد أن بدأت الثورة الزراعية هناك؛ فحين بدأ البشر الذين
~~كانوا يعيشون في هذه المنطقة في تطوير مزارع كبيرة، وأصبحت
~~الحياة في تلك المنطقة تعتمد بصورة أكبر على الزراعة، ظهرت
~~ضغوطات جديدة دفعت البشر الذين يعيشون في هذا الجزء من
~~العالم إلى تسجيل كميات السلع بدقة. فقد كان عليهم مثلا أن
~~يعدوا مخزون القمح والشعير والدخن، وأن يسجلوا أعداد
~~هذه المحاصيل وغيرها من السلع الناتجة عن الزراعة أو التصنيع
~~أو كليهما، وذلك في المراكز الحضرية التي تعتمد على
~~الزراعة. وفي النهاية نتج عن هذه الضغوطات اختراع الأرقام
~~وغيرها من الرموز، وذلك مثل الأرقام القائمة على العملات
~~الفخارية، التي ناقشناها في الفصل الثاني. وقد أتاحت هذه
~~الأرقام وجود أشكال جديدة من الزراعة والتجارة، التي كانت
~~تستلزم تمثيل الكميات والتمييز بينها بدقة. ومن ثم، فإن
~~المثال القديم لبلاد الرافدين، يوضح السبب وراء الربط
~~الحالي بين نمط الإعاشة وأنواع الأعداد؛ فالأنظمة
~~الاقتصادية الكبيرة التي تقوم على الزراعة والتجارة، تستلزم
~~وجود التعقيد العددي كي تنجح. ومثل الأرقام المكتوبة فإن
~~الحدود العددية الكبيرة تؤدي إلى نجاح الزراعة والتجارة؛ إذ 
~~إنها تمكننا من التمييز الدقيق بين جميع الكميات
~~المعنية.

# حتى بعض الممارسات الزراعية التي يفترض بأنها بسيطة، لن
~~تكون ممكنة إن لم يسبقها وجود أنظمة عددية معقدة. فمن
~~جميع الأدلة التي استعرضناها، يمكننا القول بأن الثورة
~~الزراعية لم تكن لتحدث إن لم يطور البشر مجموعات واسعة
~~من الأعداد. فمثلما رأينا يحتاج البشر إلى الأعداد كي
~~يتمكنوا من التمييز بين معظم الكميات بدقة؛ ومن ثم فمن
~~الواضح أن مفردات الأعداد وغيرها من الأدوات العددية ضرورية
~~لنا لكي نتمكن من متابعة دورة القمر، وغيرها من السمات
~~البيئية الضرورية لتطوير العديد من الممارسات الزراعية. وبسبب
~~هذه الضرورة؛ فإن العديد من السجلات العددية المبكرة في
~~مناطق مختلفة مثل أمريكا الوسطى وبلاد الرافدين، تتبع
~~الدورات الفلكية والفصول. وبدون التقويمات المفصلة
~~المستندة إلى الأعداد، لم يكن للبشر ms213 أن يتتبعوا الأنماط
~~السماوية غير الواضحة، مثل تكرار مواقع الشمس في أوقات
~~مختلفة من العام. لقد اخترعنا أدوات عددية، وقد أصبح من
~~الممكن أن نستخدم هذه الأدوات بعد ذلك بطرق غير
~~متوقعة، ويمكن تحسينها لتلبية احتياجات غير متوقعة
~~أيضا. إن استخدام الأعداد قد مكن البشر من تتبع حدوث
~~الاعتدال الربيعي والانقلاب الشتوي على سبيل المثال، وقد ثبت
~~أن ذلك أمر محوري للزراعة. إضافة إلى ذلك، فالأنظمة
~~العددية التي تتضمن حدودا عددية كبيرة، قد مكنت
~~السومريين وغيرهم من تحديد عدد صفوف الشعير بدقة، أو قياس
~~مخزون الحبوب للشتاء على وجه التحديد. وبدون الأعداد لن تكون
~~مثل هذه المهام صعبة فحسب، بل مستحيلة. ويمكننا أن نقول هذا
~~الآن بثقة؛ نظرا إلى الأبحاث التجريبية الحديثة التي ناقشناها
~~في هذا الكتاب؛ إذن فالأعداد تمكننا من الزراعة، وفي نهاية
~~المطاف تؤدي الزراعة إلى وجود مجتمعات أكبر وأكثر استقرارا،
~~وهذه المجتمعات تنتج شبكات أكبر من العقول التي تتشارك
~~اللغة نفسها؛ ومن ثم تنتشر الأدوات العددية خلالها
~~بسرعة.

# إن انتشار الأدوات العددية لم يكن سمة مميزة للماضي
~~فحسب، أي خلال الثورة الزراعية في الهلال الخصيب على سبيل
~~المثال. فالواقع أن انتشار أنظمة الأعداد لا يزال يغير 
~~أنماط العيش، والأرجح أنه يحدث اليوم بالغزارة نفسها التي
~~كان يحدث بها في أي فترة من التاريخ؛ فثمة أنواع مختلفة
~~من الضغوطات الاجتماعية الثقافية التي تواجه الأفراد في
~~عصرنا، وتدفعهم إلى استخدام أنظمة عددية وتعديلها. فلنتأمل
~~مثالا هذه الحالة، وهو صديق لي ينتمي إلى إحدى الجماعات
~~الأصلية، هي الكاريتيانا. ومن أجل الحفاظ على سرية هوية
~~صديقي هذا؛ سوف أشير إليه باسم باولو. إن جماعة الكاريتيانا
~~تتكون من 350 فردا من السكان الأصليين، يعيشون في جنوب غرب
~~الأمازون. ويعيش معظمهم في محمية تبعد حوالي 90 كيلومترا
~~عن المدينة البرازيلية النامية، بورتو فاليو، غير أن نسبة
~~متزايدة من أفراد الكاريتيانا يعيشون في بورتو فاليو
~~نفسها. قضى باولو الجزء الأكبر من طفولته في ثمانينيات
~~القرن الماضي وتسعينياته في أكبر قرية في المحمية التي تعيش ms214
~~فيها الجماعة. فيمكننا القول إنه قد نشأ في جزيرة بالأدغال
~~تحيط بها الطرق والمزارع البرازيلية. خلال ذلك الوقت، تعلم
~~أعداد الكاريتيانا (راجع الفصل الثالث) لكنه تعرض أيضا
~~للأعداد البرتغالية والأرقام البرتغالية. وينطبق الأمر نفسه
~~على بقية أفراد جيله من الكاريتيانا. فبينما كان العديد من
~~أفراد الكاريتيانا يسعون وراء رزقهم في مدينة بورتو فاليو
~~المجاورة، جاهد العديد منهم للحفاظ على طريقتهم التقليدية في
~~العيش في محميتهم. وقد كان ذلك متاحا في ذلك الوقت؛ إذ
~~كان لا يزال من الممكن ممارسة طرقهم التقليدية في العيش من
~~الصيد وجمع الثمار والبستنة. أما حديثا فقد صار الحفاظ على
~~طريقتهم التقليدية في العيش أمرا يصعب التمسك به؛ إذ بني
~~بالقرب منهم سد كهرومائي مما أثر على مصائد الأسماك
~~المحلية. وفي الوقت نفسه صارت أراضي الكاريتيانا تواجه
~~تعديا أكثر مباشرة على يد عدد متزايد من السكان
~~البرازيليين المحليين، وقد نتج عن هذا التعدي وجود
~~كميات أقل من الصيد والأسماك في محمية الكاريتيانا.
~~وباختصار، فبالرغم من جمال جزيرتهم الموجودة في الأدغال
~~وفائدتها، شعر العديد من أفراد الكاريتيانا بأنه لا خيار
~~أمامهم سوى أن يحاولوا الحصول على عمل في الاقتصاد البرازيلي
~~المحلي إن هم أرادوا البقاء والنجاة. وينطبق هذ الأمر
~~تماما على باولو، فقد التحق بالمدارس البرازيلية لبعض
~~الوقت، وحصل قدرا من التعليم العالي، وهو يعمل الآن في
~~منظمة حكومية. ولكي يتمكن من القيام بكل هذا؛ كان على باولو
~~بالطبع أن يتعلم قواعد اللغة البرتغالية وكتابتها، وكان عليه
~~أيضا أن يتعلم الأعداد والحساب. وباختصار فقد واجه ضغوطات
~~اجتماعية واقتصادية عظيمة، دفعته لتعلم أعداد ثقافة
~~أخرى.

# لنعد مرة أخرى إلى موضوعنا؛ إن باولو ليس سوى فرد
~~واحد من مئات ملايين الأفراد الذين يتحدثون لغات قد أصبحت
~~اليوم معرضة للاندثار، ويواجهون ضغوطات مماثلة لتعلم
~~أعداد لغات أخرى. ووفقا لبعض التقديرات، فإن 90 بالمائة من
~~7000 لغة توجد اليوم معرض للاندثار بدرجة أو بأخرى.
~~والسبب الأساسي في تعرضها للانقراض، هو أن أفرادا مثل
~~باولو يجبرون على الانضمام لدول أكبر، ويتعلمون لغات ms215
~~أصلح للاقتصاد. وهذه اللغات التي تكون ذات أصول أوروبية في
~~العادة، تستخدم أنظمة عددية ورياضية معقدة، وتحديدا عند
~~مقارنتها بلغات المجتمعات الصغيرة التي تعتمد على الصيد وجمع
~~الثمار والبستنة. فالناس في نيو غينيا وأستراليا والأمازون
~~وغيرها من المناطق يضطرون إلى تعلم الرياضيات. ولكي
~~يتمكن السكان الأصليون من النجاة أو الكفاح أو كليهما،
~~يجبرون باستمرار على التواصل بشكل أكبر مع شعوب الدول
~~المهيمنة. وهذا التفاعل الطويل مع ثقافات شعوب هذه الدول،
~~عادة ما يستلزم تعلم أنظمة عددية معقدة. إن هذه النقطة
~~توضح لنا نمط ما كان يحدث من قبل على مستوى كل منطقة
~~بعينها، على مدار آلاف الأعوام تشكل الثقافات ضغوطات
~~قوية على بعضها البعض لتبني الأعداد وغيرها من التقنيات
~~العددية. ومثلما أن الأعداد قد أتاحت حدوث بعض التغيرات
~~الثقافية، مثل الاعتماد على الزراعة بدرجة أكبر، فإن
~~التغيرات الثقافية أيضا تمكن من تعلم أعداد جديدة.
~~إن الثقافة السلوكية وأنظمة الأعداد، كل منهما يعمل جنبا
~~إلى جنب، وتجمع بينهما حلقة استجابة؛ فالتغيرات في
~~الممارسات الثقافية غالبا ما تستلزم اكتساب أدوات عددية
~~جديدة، مما يسهل بدوره اكتساب هذه الممارسات الثقافية،
~~التي قد تتطلب بدورها وجود أدوات عددية أكثر تعقيدا،
~~وهكذا.

# المزايا المهملة لبعض أنظمة الأعداد

# عند الحديث عن المزايا المحتملة التي أصبحت ممكنة بسبب
~~وجود أنظمة عددية معقدة (مثل الزراعة) يجب أن أوضح أنني
~~لا أساوي بين استخدام مثل هذه الأنظمة وبين «تطور» الثقافة
~~أو اللغة. فقد دأب العديد من علماء اللغة والعلماء في مجال
~~علم الإنسان في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر على تلك
~~العادة المؤسفة، وهي مساواة سمات اللغات والثقافات
~~الأوروبية بما يفترض أنه المرحلة اللاحقة في تطور
~~المجتمعات البشرية. ويمكن قول الشيء نفسه عن المستعمرين
~~الأوروبيين، الذين كانوا يعتبرون أن الثقافة الغربية هي
~~أوج التكيف الاجتماعي البشري. ولم تعد مثل هذه الآراء
~~تحظى بالتقدير، وإن كان ذلك جزئيا على الأقل؛ إذ إن
~~الأعمال البحثية الميدانية الموسعة قد أثبتت أنها محض
~~هراء؛ فعلى سبيل المثال، كان بعض المستوطنين يرون من قبل ms216
~~أن لغات السكان الأصليين الأمريكيين بدائية، وتفتقر إلى
~~التهذيب النحوي الذي تحظى به اللغات الأوروبية الحديثة أو
~~الكلاسيكية. وبالرغم من أن البعض من غير المختصين في علم
~~اللغويات ربما لا يزالون يعتقدون بصحة مثل هذه الآراء
~~القديمة، فإن العالمين في اللغويات ومجال علم الإنسان:
~~فرانز بواس، وإدوارد سابير، قد أطاحا بمثل هذه الآراء في
~~الدوائر الأكاديمية، وذلك منذ فترة طويلة في أوائل القرن
~~الثامن عشر. فقد وضحا كيف أن هذه اللغات التي يزعم بأنها
~~لغات أصلية بدائية، تمتلئ بجميع أشكال التعقيدات النحوية التي
~~لا نجدها في اللغات الهندية الأوروبية. وذلك لا يعني أيضا
~~أن اللغات الأصلية أكثر تعقيدا؛ فمنذ فترة من الوقت
~~والإجماع في مجال اللغويات على أنه لا توجد طريقة موضوعية
~~لترتيب اللغات من حيث تعقيدها الجوهري. إضافة إلى ذلك، فبما
~~أننا نتفق بصفة عامة على أن جميع اللغات تعود إلى أصل
~~أفريقي؛ فما من أساس نستنتج منه أن بعض اللغات أكثر
~~تطورا من غيرها.

# وبناء على هذا، فمن المهم ألا نقع في الفخ نفسه
~~مجددا. من الواضح أن اللغات تختلف في درجة تعقيدها
~~العددي؛ إذ إن بعضها يمتلك مخزونا من الأعداد أكبر كثيرا
~~مما تمتلكه غيرها. غير أن ذلك لا يعني أن هذه اللغات
~~المعنية هي أكثر تعقيدا بشكل عام، أو أن المتحدثين
~~بها هم أكثر تقدما من الناحية الاجتماعية الثقافية، وإنما
~~يعني أن متحدثي هذه اللغات يمتلكون أدوات يمكنهم
~~استخدامها لتسهيل أنواع محددة من السلوك. وكل ذلك لا جدال
~~فيه، لكن هذا لا يعني أنه يمكن وضع جميع الثقافات على طريق
~~بسيط يؤدي إلى الحداثة، ولا يعني أنه يجب على جميع الناس أن
~~يهتموا بمثل هذا الطريق. إن حالة الكاريتيانا توضح كيف
~~أن استخدام الأنظمة العددية ليس أمرا اختياريا بالنسبة
~~إلى العديد من الأشخاص. والأمر المثير للاهتمام أنه حتى مع
~~هذه الضغوطات لاستخدام الأنظمة العددية، فإن بعض المجموعات
~~تظل غير راغبة في استخدام مجموعة كبيرة من الأعداد. وتلك
~~هي الحالة التي تنطبق على أفراد البيراها، الذين نجد ms217 أنهم
~~عادة ما يناهضون معظم مظاهر الثقافة البرازيلية. فهل يجعل
~~هذا من ثقافة البيراها أقل تقدما؟ إذا كان المرء يتبنى
~~منظور المركزية الأوروبية، فسوف تكون الإجابة أجل بالتأكيد.
~~بالرغم من ذلك، فإن أفراد البيراها يبدون راضين بشكل عام
~~عن الخيارات التي اتخذوها للحفاظ على ثقافتهم، كما أن
~~تمركزهم الإثني يكذب الاستنتاج الساذج بأنهم هم أنفسهم
~~يشعرون بدونيتهم أو بدائيتهم عند مقارنتهم مع غرباء.
~~إن سلالتهم الثقافية الفخورة، طالما تكيفت جيدا مع
~~البيئة التي تعيش فيها؛ إذ نجحوا في الحياة في الأمازون منذ
~~آلاف الأعوام.

# 6

# إن منظور المركزية الأوروبية التقليدي تجاه التعقيد
~~اللغوي، والذي يفترض تلقائيا أن لغات الجماعات الأصلية
~~بدائية، لم يتسبب في التبسيط المبالغ فيه للقواعد اللغوية
~~للغات الأخرى فحسب، بل تسبب أيضا في التمويه على التعقيد
~~العددي في بعض اللغات. فعلى سبيل المثال، كان ثمة افتراض
~~شائع بأن الأنظمة العددية تصبح أقل تعقيدا إذا لم تكن
~~تتبع الأساس العشري، أو إذا كانت الثقافات التي تستخدمها لا
~~تمتلك أنظمة كتابة. أما الآن، فقد بدأ الباحثون يدركون أن
~~بعض الأنظمة العددية للجماعات الأصلية تقدم مزايا محددة
~~لبعض المهام الرياضية، وهي مزايا لا توفرها أنواع الأعداد
~~الأوروبية. إن التقدير الذي أصبحت تحظى به الأنظمة العددية
~~غير المعروفة، قد جاء نتيجة العمل الذي قدمه اثنان من علماء
~~الإدراك؛ هما أندريا بندر وسيجهارد بيلر، اللذان نشرا في
~~العقد الماضي دراسات مذهلة عما سبق ذكره من المزايا
~~الإدراكية لبعض الأنظمة العددية الأصلية في بعض جزر المحيط
~~الهادي. وتوضح الدراسات التي قاما بها أن ما تتسم به
~~بعض الأنظمة العددية للغات الأصلية من تعقيد وسمات جمالية
~~يتم إهماله في بعض الأحيان.

# 7

# في الفصل الثالث، ذكرنا أنه بالرغم من أن معظم أنظمة
~~الأعداد المنطوقة تقوم على أساس الجسم البشري، فإنه توجد بعض
~~الاستثناءات؛ فبعض أنظمة الأعداد السداسية في نيو غينيا على
~~سبيل المثال، يبدو أنها قد ظهرت من الأنماط الشائعة في
~~الترتيبات المستخدمة لتخزين الخيوط. وغالبا ما ينظر
~~الغرباء على هذه الثقافة إلى هذه ms218 الأعداد على أنها أعداد
~~بسيطة؛ لأنها تقدم أكثر فائدة لها في سياقات معينة،
~~ولا يمكن تطبيقها بسهولة على جميع الأشياء التي يمكن جمعها.
~~ففي بعض اللغات، يمكن أن تقتصر مفردات الأعداد أو ما يشبهها
~~على سياقات محددة فقط؛ فعلى سبيل المثال، نجد أن اللغة
~~البالية وغيرها من اللغات التي يوجد بعضها في جنوب
~~أستراليا، تستخدم أسماء ترتيب الميلاد. وهذه ليست أعدادا، بل
~~أسماء للأفراد بناء على ترتيب ميلادهم بين إخوتهم. فحين نجد
~~شخصا يدعى «كيتوت» باللغة البالية، على سبيل المثال، نعرف
~~أنه رابع طفل ولد في أسرته. وفي لغة الكورنا الأسترالية،
~~نجد أنه يمكن تمييز ترتيب الأطفال وفقا لميلادهم من الأول
~~إلى الثامن، من خلال نهايات الأسماء.

# 8

# إن هذه الكلمات الشبيهة بالأعداد، لا تستخدم
~~إلا في الأسماء؛ ومن ثم فهي ليست مجردة بالدرجة الكافية لأن
~~تكون أعدادا مناسبة. بالرغم من ذلك، فالقول بأن أنظمة
~~الأعداد التي تستخدم مصطلحات عددية محدودة بأشياء
~~معينة، أقل تجريدا ونفعا، هو استنتاج يفتقر إلى وجود
~~أساس قوي يدعمه في بعض الحالات. وفي حقيقة الأمر، أوضحت أبحاث
~~بيندر وبيلر على اللغات البولينزية أن بعض الأنظمة العددية
~~التي تستخدم مصطلحات عددية مخصصة لأشياء معينة، يمكن
~~أن توفر مزايا إدراكية واضحة للمتحدثين بها .

# فلنتأمل في مثال اللغة التي كانت تستخدم من قبل في جزيرة
~~مانجريفا في بولينيزيا الفرنسية. كانت هذه اللغة تستخدم
~~تسلسلات عد مختلفة، وفقا لما إذا كان المتحدث يعد
~~على سبيل المثال ثمار فاكهة الخبز أو البندان (شجرة تشبه
~~النخيل) أو أخطبوطات. وهذا التنوع البارز قد يعده
~~الغرباء على الثقافة بدائيا أو غير متطور؛ إذ إنه لا يوجد
~~مجموعة واحدة من مصطلحات الأعداد المجردة يمكن استخدامها
~~لعد جميع العناصر. غير أن الأمر المثير للاهتمام هو أن
~~اللغة المانجريفية تنحدر من اللغة المحيطية الأولية، وهي لغة
~~كانت تمتلك على ما يبدو نظاما عشريا موحدا يمكن
~~استخدامه لعد أي شيء. إذن، فنظام العد في اللغة
~~المانجريفية وغيره من أنظمة العد في بولينيزيا، قد تطورت
~~من نظام عشري ms219 قد يراه البعض أكثر تطورا من نظام العد
~~المانجريفي، لكن مثل هذا التطور يعارض الافتراض القائل
~~بأن الأعداد المانجريفية تمثل مرحلة مبكرة في تطوير
~~أعداد تتسم بالتعقيد العددي الحقيقي. وربما يعود السبب في
~~هذا المسار التاريخي غير المتوقع الذي اتخذه هذا النظام
~~العددي، إلى حقيقة أن أنظمة الأعداد المرتبطة بأنواع
~~الأشياء، يمكن أن تزيد من سرعة الحساب الذهني في بعض
~~السياقات، مع تقليل الجهد الإدراكي المبذول في أداء بعض المهام
~~الرياضية في غياب الكتابة.

# لقد كانت اللغة المانجريفية تمتلك نظاما عدديا أساسيا
~~يتضمن مصطلحات الأعداد الأكثر وضوحا والمستخدمة في عد
~~أنواع محددة من الأشياء، وقد كان هذا النظام الأساسي
~~عشريا في واقع الأمر. وبداخل هذا الإطار العشري كانت اللغة
~~تمتلك أيضا تسلسلات عددية أخرى، لعد أنواع محددة من
~~الأشياء بشكل أكثر فعالية. وقد كانت هذه التسلسلات العددية
~~تتداخل بصورة بارزة. فالكلمة «تاوجا» على سبيل المثال، تشير
~~إلى 1 أو 2 أو 4 أو 8 من الأشياء، وفقا لنوع هذا الشيء الذي
~~تعده. وثمة قفزة ثنائية بين كل نوع «تاوجا» والذي
~~يليه؛ ذلك أن 2 × 2 = 4، و2 × 4 = 8. بالرغم من ذلك، فقد
~~ظلت سمة العشرية التي كانت موجودة في اللغة المحيطية
~~الأصلية، في العد المانجريفي؛ إذ يمكن تجميع «تاجوا»
~~بالعشرات، أي إن اللغة المانجريفية كانت تعد كميات
~~«تاجوا» وبأسلوب عشري؛ لذا فإن الكلمة «باوا» على سبيل
~~المثال تعبر عن الكمية 20 أو 40 أو 80، وفقا لنوع العنصر
~~الذي يجري عده. بعبارة أخرى، فإن الكلمة «باوا» تشير إلى
~~الكمية 10، لكن ذلك من أجل التعبير عن قيمة عشرة «تاجوا»،
~~والتي يمكن أن تختلف على نحو ثنائي؛ ومن ثم فإن «باوا»
~~تعني في الأساس: 10 ×2 أو 10 × 4 أو 10 × 8، وفقا لما يجري
~~عده.

# بصفة أساسية، فقد كان سكان جزيرة المانجريف يعدون
~~الأشياء المهمة في ثقافتهم وشبكاتهم التجارية بالأزواج أو
~~الأرباع أو الثماني. ومثلما يقترح بيندر وبيلر، إذا كان
~~أحدهم يعد اثني عشر «تواجا» من الأسماك، فإنه يشير بذلك
~~إلى 24 سمكة. وإذا ms220 كانوا يعدون اثني عشر «تواجا» من جوز
~~الهند، فإنهم يشيرون بذلك إلى 48 من ثمار جوز الهند.

# 9

# لم يكن سكان جزيرة مانجريف يعدون الأشياء
~~بصفتها عناصر منفصلة، بل بصفتها مجموعات يسهل التمييز
~~بينها. وهذه الاستراتيجية التي تتمثل في عد الأشياء
~~بالمجموعات، ستوفر بعض المزايا فيما يتعلق بالأشياء التي
~~توجد في كميات متوقعة من 2 و4 و8، ونحن نقوم اليوم
~~بعمليات مماثلة حين نعد الأشياء التي توجد بطبيعتها في
~~مجموعات؛ فعلى سبيل المثال إذا طلبت من شخص ما أن يبتاع لك
~~البيرة من المتجر، فيمكنك أن تطلب منه أن يشتري لك «أربعا
~~من عبوات الستة» بدلا من أن تطلب منه «أربعا وعشرين من
~~زجاجات البيرة». لقد كان نظام العد المانجريفي مخصصا
~~للكميات التي توجد عادة في النظام البيئي المحلي.

# إضافة إلى ذلك، فإن النظام المانجريفي يوضح المزايا
~~المحتملة لاستخدام الاستراتيجية الثنائية في تجميع الكميات
~~بسرعة؛ فحجم الكمية التي يشار إليها بالكلمة «تاجوا» تقوم على
~~الأس 2. لقد وضح لايبنيز في أعماله الشهيرة، مزايا الحسابات
~~القائمة على الأساس الثنائي في الجزء الأول من القرن الثامن
~~عشر. وتقترح أبحاث بيندر وبيلر أن سكان جزيرة المانجريف قد
~~استغلوا بعضا من هذه المزايا قبل عمله بقرون، مما يوضح لنا
~~أن أساليب العد المستخدمة في بعض جزر المحيط الهادي،
~~التي تبدو بدائية وغير مجردة، ليست بهذا القدر من البدائية
~~بالرغم من كل شيء . ويبرز لنا مثل هذا الاستنتاج بمثابة
~~حكاية تحذيرية؛ فبعض الأنظمة العددية «غير المتطورة» تعمل
~~بكفاءة، وبطرق معقدة خادعة، لكي تلبي احتياجات من
~~استخدموها أو ما زالوا يستخدمونها.

# وتقترح الأبحاث الحديثة أيضا، أن درجة التعقيد في بعض
~~الأنظمة العددية غير اللغوية لم تحظ بالتقدير الكافي. فالعديد
~~من ألواح العد والمعدادات التي كانت تستخدم في الماضي، لا
~~تزال مستخدمة في بعض الثقافات في مختلف أنحاء العالم، وهي
~~توفر مزايا واضحة لمن يستخدمونها. ولن يشك الكثيرون
~~في هذا الاستنتاج إذا رأوا بعض الأشخاص يستخدمون معداد
~~السوروبان الياباني على سبيل المثال (الذي اخترع منذ قرون
~~عدة على ms221 غرار معداد سوان بان الصيني). إن الأطفال في
~~المجتمعات الغربية الصناعية لم يعتادوا على استخدام
~~المعدادات، التي قد تبدو بدائية مقارنة بالآلات الحاسبة
~~التي تنتشر في قاعات الصفوف الدراسية في معظم أنحاء العالم،
~~غير أن هذه المعدادات تقدم بعض المزايا الإدراكية على
~~عكس الآلات الحاسبة. وتقترح الأبحاث أن السبب في هذا يعود
~~إلى أن الأطفال الذين يشبون على استخدام المعداد،
~~يطورون «معدادا ذهنيا» بمرور الوقت. أي إنهم يستوعبون
~~تركيب المعداد داخليا، ويستخدمون الصور الذهنية للمعداد
~~في إجراء الحسابات من خلال استعمال الخرز بصورة خيالية.
~~ووفقا لبعض الاستنتاجات الحديثة من ثقافات متعددة؛ اتضح
~~أن الأشخاص الذين يستخدمون الاستراتيجيات الرياضية القائمة
~~على المعداد، يتفوقون على الأشخاص الذين لا يعرفون مثل هذه
~~الاستراتيجيات، في بعض المهام الرياضية على الأقل. وليس
~~مصادفة أن نجد أن العديد من المدارس في قارة آسيا، قد
~~أصبحت تستخدم معداد السوروبان. إن فعالية المعداد الذهني،
~~توضح لنا مرة أخرى أن الرموز العددية غير الغربية،
~~توفر بعض المزايا الواضحة، مقارنة بتلك الرموز التي اعتاد
~~عليها معظمنا. وتؤكد هذه الفعالية أيضا على نقطة أساسية
~~أخرى، وهي أن التقنيات العددية تمدنا بطرق جديدة
~~للتعامل مع الكميات ذهنيا، وهي طرق قد تبدو غير متوقعة
~~قبل اختراع هذه التقنيات المعنية أو استخدامها. وينطبق هذا
~~الأمر على هذه التقنيات، سواء أكانت كلمات عد جديدة، أو
~~معدادات جديدة، أو أي تمثيل عددي آخر للكميات.

# 10

# رحلة الصفر المؤثرة والبطيئة

# في أعماق الأدغال الكمبودية، ثمة مجموعة من الوجوه الضخمة
~~المتخفية، المصنوعة من الحجر الرملي، تبرز محدقة في
~~القادم إليها من وسط بناء شاسع مترامي الأطراف، وذلك هو
~~معبد بايون. ويقع هذا المعبد في عاصمة مملكة خمير القديمة،
~~التي تعرف باسم أنجكور ثوم. وتلك الوجوه التي يصل ارتفاعها
~~إلى عشرات الأمتار التي تقع في أنحاء المعبد، تمثل خليطا
~~من وجهي بوداسف أفالوكيتاسفارا، الذي يقال إنه يجسد
~~الشفقة لجميع البوذيين، وجيافارمان السابع، ملك خمير (انظر
~~الشكل

# 9-1
~~). وقد بني هذا المعبد تلبية
~~لأمر الملك جيافارمان السابع، والذي يقال عنه: ms222 إنه كان شخصا
~~صالحا قد حكم هذه الأدغال قبل ما يقرب من 900 عام. إن
~~التاريخ يذكر جيافارمان بالخير، ويعود السبب في ذلك جزئيا
~~إلى أنه قد أسس ما يزيد على 100 مستشفى لعلاج مواطني
~~إمبراطوريته. وعلى بعد عدة كيلومترات من أنجكور ثوم، يوجد
~~أنجكور وات أكبر مبنى ديني في العالم، وقد بني خلال فترة
~~حكم والد جيافارمان السابع. ومثل الأهرامات العظيمة في
~~الجيزة، أو أهرامات أمريكا الوسطى، فإن معابد إمبراطورية
~~خمير تحتل مكانة مميزة في خيالنا الجمعي. ففي أنجكور،
~~وبعيدا عن الحضارة الغربية من ناحيتي المكان والزمان، أسس
~~مواطنو هذه الإمبراطورية بعضا من أكثر المباني المذهلة في
~~العالم. وقد ابتكروا أيضا شبكات للمستشفيات والطرق وأنظمة
~~للري منقطعة النظير. وقد فعلوا كل ذلك بدقة مذهلة، حتى
~~إن التناظر والمهارة الفنية التي تظهر في أطلال أنجكور،
~~تملؤنا بالرهبة.

# شكل 9-1: أحد الأوجه الموجودة في معبد بايون،
~~كمبوديا. الصورة من التقاط المؤلف.

# وسط جميع مباني خمير العظيمة المحيطة بنا، قد نغفل بسهولة
~~عن بعض التقنيات الأساسية التي كانت هي صميم هذا الإنجاز
~~البشري الرائع. وهذه التقنيات لا تتجلى للمرء فور أن يسير
~~حول واجهات معبد بايون الحجرية وفي ساحاته، لكن هذه
~~الواجهات والساحات شاهدة على تلك التقنيات المعنية. ولعلك
~~تستطيع أن تخمن التقنيات التي أشير إليها: الأعداد
~~المنطوقة والأرقام المكتوبة. إضافة إلى ذلك، فأنا أشير
~~تحديدا إلى رقم مهم ومبتكر، ويبدو أنه قد سهل تأسيس
~~إمبراطورية خمير، بعد أن وصل من شبه القارة الهندية قبل
~~قرون من ظهور وجوه بايون في الحياة. هذا الرقم الذي أتحدث
~~عنه هو «الصفر». ولا يزال هذا الرمز الدائري الذي يرمز إلى
~~اللاشيء يظهر في الثقافة الكمبودية المعاصرة؛ إذ نجده على
~~العملة الكمبودية على سبيل المثال. وبالرغم من الإغراء الذي
~~يتمثل في أن نرى في كمبوديا المعاصرة هذا الرمز الدائري الذي
~~يعبر عن الصفر فنفترض أنه مأخوذ من الصفر الغربي 0، فإن
~~الطريق العكسي للتأثير هو الصحيح. والواقع أنه في العام 2015،
~~أعيد اكتشاف أقدم نقش واضح للصفر الدائري ms223 على مستوى
~~العالم، في كمبوديا. وهذا الصفر المعني هو نقطة كبيرة
~~للغاية، ووظيفته حفظ الخانة المكانية في العدد الخميري القديم
~~الذي يعبر عن الكمية 605. لقد نقش هذا الصفر على لوح
~~حجري يعود تاريخه إلى العام 683 ميلاديا، وقد وجد على
~~بعد كيلومترات فحسب من وجوه بايون وغيرها من أطلال أنجكور
~~وات وأنجكور ثوم. ومثلما أوضحنا في الفصل الثاني، فإن
~~حضارة المايا قد طورت هي أيضا صيغة كتابية للصفر، ورمزت
~~حضارة الإنكا إلى المفهوم في نظام الكويبو الذي كانت تستخدمه،
~~وتوجد أيضا بعض الأدلة على وجود المفهوم في النقوش
~~البابلية. بالرغم من ذلك، فهذا الصفر الذي نعرفه جميعا
~~ونحبه، هذا الرمز الدائري الذي يعبر عن اللاشيء لتيسير
~~الكثير جدا من العمليات الحسابية، لم يستخدمه اليونانيون
~~ولا الرومان ولا معظم الحضارات القديمة الأخرى. وهو لم
~~يستخدم بالفعل على الإطلاق في أي من حضارات العالم القديم،
~~إلا بعد أن تطور في الهند على ما يبدو في القرن الخامس
~~تقريبا. ومن هناك اتخذ طريقه إلى الشرق بسرعة إلى حد ما،
~~فوصل إلى كمبوديا (والصين بعد ذلك) وساعد في تأسيس الرياضيات
~~في إمبراطورية خمير التي كانت شديدة التأثر بالثقافة الهندية،
~~ومنها الهندوسية في ذلك الوقت، كما أنه ساعد أيضا في تأسيس
~~الرياضيات في ثقافات أخرى بطرق جديدة.

# 11

# أما رحلة الصفر إلى الغرب، فقد كانت أكثر بطئا، فرمز الصفر
~~الذي نستخدمه لحفظ الخانة المكانية (أي كعلامة ملائمة تدل
~~على اللاشيء في العمليات الحسابية) لم يوجد في أوروبا إلا
~~في القرن الثالث عشر. ففي القرن التاسع دعا عالم رياضيات فارسي
~~يدعى الخوارزمي (الذي اشتقت كلمة «خوارزمية» من اسمه) في
~~أعماله المؤثرة إلى استخدام نظام الأرقام الهندية، بما في
~~ذلك الصفر. وبعد ذلك بقرون عدة، ترجمت هذه الأعمال إلى
~~اللغات الأوروبية. وفي عام 1202، قام عالم الرياضيات
~~الإيطالي ليوناردو بيسانو الذي يشتهر باسم ليوناردو فيبوناتشي،
~~بكتابة كتابه الشهير «كتاب الحساب». وقد ذكرت هذه المخطوطة
~~أيضا المزايا العظيمة لاستخدام الصفر (ونظام الأرقام الهندية
~~بوجه عام) وأشار إلى أنه يسهل ms224 مختلف العمليات الرياضية.
~~وبالرغم من تردد العديد من الأوروبيين في تقبل هذا النظام
~~الشرقي؛ ففي نهاية المطاف اتخذ الصفر والأرقام المستندة
~~إلى النظام العشري طريقها إلى الثقافة الغربية، وأصبحت هي
~~الرموز السائدة في ممارسة الرياضيات. ومن المنطقي جدا أن
~~يكون استخدام الصفر قد أسهم فيما حدث بعد ذلك من تطور
~~العلم والتقنية في أوروبا. ويمكننا بالطبع أن نقول إن هذه
~~الأداة الإدراكية البسيطة، التي هي مجرد رقم مبتكر، كان
~~لها العديد من النتائج المؤثرة على حياة سكان خمير
~~والصينيين والأوروبيين ومعظم البشر في الوقت الحالي. ففي
~~النهاية نجد أن تسهيل حل المسائل الحسابية يعني تسهيل
~~العمارة، وتسهيل العلوم. وبصفة عامة، يمكننا أن نقول إنها
~~هبة واضحة للتطور التقني. وبالرغم من أن الأرقام العشرية
~~التي تتضمن الصفر، التي استخدمتها أوروبا ربما لا تكون أكثر
~~«تطورا» من جانب ثقافي محايد، فيبدو أنها قد سرعت
~~إيجاد الحلول لأنواع محددة من المهام الرياضية التي
~~اضطلعت بها الثقافات الأوروبية في الجزء الأخير من العصور
~~الوسطى، وخلال عصر النهضة. لقد طور الأوروبيون بمن فيهم
~~الرومان واليونانيون القدماء نظاما رياضيا دقيقا بدون
~~وجود الصفر، ولا يبدو الرمز مكونا ضروريا لوجود الحضارات
~~الكبيرة. بالرغم من ذلك، فمن الصعب أن نتخيل حدوث الثورة
~~الصناعية أو التقنية بدون استخدام هذا الرقم.

# إن التحسينات التي تجرى على اللغة العددية، ومنها
~~التحسينات الكتابية كالصفر، تسمح بحدوث التغيرات الثقافية
~~الخارجة على اللغة، أو تعجل بها على أقل تقدير. وانظر كيف
~~حسن اختراع الصفر الرياضيات الغربية؛ فبدونه ما كان
~~تمثيل الأعداد السالبة بالرموز، والنظام الإحداثي الديكارتي،
~~والتمثيل البياني للدوال، والحدود في حساب التفاضل وغيرها
~~أمرا يسيرا. وفي المقابل، فإن هذه الأدوات الرمزية كانت
~~بمثابة منصات لغيرها من الاستراتيجيات الرياضية، والأرجح
~~أن حدوث ثورة رياضية متواضعة في أوروبا بعد معرفتها برقم
~~الصفر، ليس مصادفة على الإطلاق. ومن غير المرجح أن تكون
~~مصادفة أن تسبق المعرفة بالصفر والكتابة الرياضية التي تستند
~~إلى الأساس العشري، الابتكارات التقنية المبكرة في
~~إمبراطورية خمير. ومن ثم، فإن وجوه بايون هي ms225 تمثيل مصغر
~~للظاهرة الأكبر التي نشير إليها، وهي أن الثقافة، لا سيما
~~الثقافة المادية المعقدة، تتأثر على نطاق واسع بالأدوات
~~العددية المبتكرة، والتي تكون هي بدورها، منتجا لتقاليد
~~ثقافية محددة.

# 12

# الأعداد في صميم الابتكار الرمزي: عودة إلى الكتابة

# لم تتطور الكتابة بصورة مستقلة، إلا على مدار مرات
~~قليلة في التاريخ البشري، في بلاد الرافدين، وفي أمريكا
~~الوسطى، وفي الصين، وفي مصر (وهو أمر خاضع للجدل).

# 13

# وفي كل من هذه الثقافات الأربعة، نجد أن أقدم
~~نماذج من الكتابة كان محورها الأعداد بدرجة كبيرة. وقد
~~أكدنا على هذه النقطة في الفصل الثاني في مناقشتنا لأقدم
~~أنظمة الكتابة، التي ظهرت في بلاد الرافدين؛ فالعديد من
~~الألواح المسمارية التي اكتشفت هناك، هي في الواقع سجلات
~~لبيانات كمية. ويبدو أن الكتابة المسمارية بصورتها
~~المكتملة لم تظهر إلا بعد تطوير أنظمة تسجيل الحسابات
~~العددية، أو بالتوازي معها على الأقل.

# ومن المثير للاهتمام أيضا أن ذلك يمكن أن ينطبق أيضا
~~على الكتابة الصينية، التي يعود تاريخ النماذج الأولى منها
~~إلى عهد سلالة تشانج الحاكمة، وهو ما يزيد عن 3000 عام. وكان
~~أقدم هذه النماذج مسجلا على عظام العرافة، وهي عظام قد
~~نقشت عليها رموز عددية تحدد كميات بعض العناصر، مثل عدد
~~السجناء من الأعداء، وعدد الطيور والحيوانات التي تم
~~صيدها. وفي أمريكا الوسطى، إضافة إلى ذلك، نجد أن إحدى
~~السمات الأساسية المشتركة في أقدم نصوص هذه المنطقة هي تمثيل
~~الأعداد بالخطوط والنقاط . (انظر الشكل

# 2-4
~~)
~~وعادة ما تكون هذه الأشكال المبكرة من الكتابة في هذه
~~المنطقة أشكالا تقويمية وعددية بدرجة أو بأخرى. وأخيرا في
~~مصر، نجد أن أقدم الأشكال المعروفة من الكتابة الهيروغليفية
~~عادة ما تعبر عن معلومات بشأن كميات السلع. من الواضح
~~إذن، أن الأرقام هي سمة مشتركة في جميع الأشكال الأولى من
~~الكتابة، وليست الكتابة في بلاد الرافدين فحسب. إن أشكال
~~الكتابة القديمة التي ظهرت في مختلف أنحاء العالم تركز
~~على الأعداد، مثلما أن نقوشات العصر الحجري القديم
~~ورسوماته الشبيهة بالرموز تركز على ms226 الكميات في أغلب
~~الأحيان. وقد رأينا هذا في الفصل الثاني في مناقشتنا لبعض
~~الأدوات التي سجل عليها البشر الرسوم مثل قرن غزال
~~الرنة المكتشف في ليتل سولت سبرينج، الذي يعود تاريخه إلى
~~1000 عام. إن مثل هذه الأشكال المصورة ليست مجردة أو
~~اصطلاحية بالدرجة الكافية كالكتابة، لكن من الواضح أنها كانت
~~تؤدي وظيفة مماثلة للتعبير عن الأفكار في صورة ثنائية
~~البعد.

# إذن، فالأعداد موجودة منذ بدايات جميع أنظمة الكتابة. ومن
~~التفسيرات المنطقية لهذه الحقيقة أن رموز الأعداد المكتوبة،
~~تعمل بمثابة مؤشرات ضرورية على وجود أنظمة كتابية أكثر
~~اكتمالا. لكن إن كان الأمر كذلك؛ فلماذا تؤدي مثل هذا الدور
~~المحوري في ظهور الكتابة؟ سوف أعرض عليكم تفسيرا محتملا قد
~~أشرت إليه سابقا في الفصل الثاني، في مناقشتي لأنظمة العصي
~~القديمة. فإذا تناولنا عددا رومانيا مثل العدد

# III
~~، الذي يمثل بشكل
~~مصور؛ إذ يمثل كل خط عنصرا واحدا. وعلى العكس من ذلك،
~~فالكلمة اللاتينية

# et
~~(«و»)
~~تمثل مفهوما بسيطا، لكنه ليس مصورا؛ إذ إن الرمزين
~~اللذين تتكون منهما الكلمة، لا توجد بينهما وبين المفهوم
~~الذي تعبر عنه الكلمة، أي علاقة مادية فعلية؛ فهما لا
~~يشبهان ما يعبران عنه، مثلما يشبه الرمز

# III

# ما يعبر عنه. (فحين
~~أقول سوبر باول

# III
~~، على سبيل
~~المثال، فإن كل علامة رأسية تمثل مباراة واحدة.) وفي
~~النهاية قد تصبح الأرقام أقل تصويرا؛ ولهذا فإن الأصول
~~التصويرية للرقم 7 على سبيل المثال، لم تعد واضحة. ويبدو
~~أن تطوير الرموز العددية المكتوبة يكون أسهل في البداية،
~~مقارنة برموز المفاهيم والأصوات الأخرى؛ بسبب مفهوم المطابقة
~~واحدا إلى واحد. فيمكن على سبيل المثال تمثيل الكميات
~~المفردة بخطوط مفردة، ثم تمثيل الكميات الكبيرة من خلال
~~جمع هذه الخطوط. وفي الأنظمة التي تعتمد على المطابقة
~~التصويرية، كلما زادت الكميات استلزم ذلك خطوطا أكثر (أو
~~نقاطا أو زوايا، إلخ ...)؛ ومن ثم فإن السمة التصويرية
~~الكامنة في العديد من الأرقام، تعتمد على قدرتنا على تمييز
~~مفهوم مطابقة كل عنصر بعنصر واحد. ومثلما أكدنا في
~~الفصول ms227 السابقة، فإن هذه القدرة تكون فطرية حين يتعلق
~~الأمر بالكميات الصغيرة، ومكتسبة من خلال اللغة حين يتعلق
~~الأمر بالكميات الكبيرة. وقد ركزت أيضا على دور الأصابع في
~~تطوير التفكير العددي، مع ملاحظة أن الأصابع هي أول تمثيل
~~خطي للكميات في حياة الفرد. إننا نستطيع فهم العلامات
~~الخطية على الحجارة أو الورق أو الخشب، بصفتها تمثيلات
~~للكميات بسهولة أكبر؛ لأننا نرى هذه التمثيلات الخطية في
~~أيدينا. ونتيجة لمثل هذه العوامل؛ يمكن تمثيل الكميات
~~مباشرة أو من خلال الصور عن طريق توليفات من أشكال ثنائية
~~البعد، وذلك بسهولة نسبية من الناحية الإدراكية، لا تنطبق
~~على ما يبدو بالنسبة إلى المفاهيم الأخرى.

# 14

# إذن، من الواضح أنه
~~يمكن كتابة رموز الكميات بسهولة نسبيا لثلاثة أسباب
~~مترابطة على الأقل. أولها أن البشر مهيئون فطريا
~~لاستيعاب تطابق بعض الكميات بصورة مجردة؛ فنحن ندرك
~~تلقائيا أن الأشياء يمكن أن تتطابق بعضها مع بعض بأنماط
~~بسيطة من التطابق لكنها مجردة. وثاني هذه الأسباب أن هذا
~~التطابق المجرد يمكن الإشارة إليه بسهولة نسبية باستخدام
~~رموز غير لفظية. فبالرغم من كل شيء، لا تتطلب الرموز التي
~~تستخدم للإشارة إلى الكميات أي رسم أو نقش معقد
~~بدرجة كبيرة، فعلى العكس من ذلك كانت التمثيلات المبكرة
~~للمفاهيم الأخرى تكتب من خلال الصور التوضيحية في جميع
~~أساليب الكتابة؛ ومن ثم فقد كان رسم معظم الرموز يستلزم
~~درجة تعقيد أكبر مما يستلزمه رسم الأعداد المكتوبة. على
~~سبيل المثال، كان تمثيل كلمة «ماموث» أو «صيد» أصعب من تمثيل

# I

# أو 

# II

# أو

# III
~~. وثالث هذه الأسباب
~~أن أصابعنا بمثابة رموز خطية طبيعية، وهي التي نبدأ في
~~استخدامها لمطابقة الكميات. إن استخدام أصابعنا بمثابة رموز
~~عددية، قد سهل على الأرجح استخدام رموز خطية أخرى لتمثيل
~~الأعداد بعد ذلك. وبمرور الوقت، يمكن تسمية هذه الرموز الأخرى
~~بعد ذلك بمصطلحات ثابتة وأكثر تجريدا، ثم تطورت الأرقام
~~الحقيقية تدريجيا من هذه العلامات المستخدمة في أنظمة
~~العصي.

# إذن، فموجز القول إن السهولة الكامنة في تمثيل الكميات
~~بالخطوط وغيرها من ms228 العلامات، يمكن أن تكون هي الأساس
~~الطبيعي للتمثيلات ثنائية الأبعاد للكميات، بصورتها الأكثر
~~اكتمالا وتجريدا. وهذا النوع الأخير من التمثيل يمكن أن
~~يعجل بإدراك أن المفاهيم الأخرى يمكن أن تمثل هي أيضا
~~في صورة مجردة ثنائية البعد. وعلى الأقل، من المهم أن
~~ندرك أنه في ذلك العدد القليل من الأماكن على مستوى العالم،
~~التي اخترعت فيها الكتابة بصورتها المكتملة (حتى وإن كان
~~ذلك تدريجيا) كانت الأرقام المكتوبة موجودة في بداية نشأة
~~أنظمة الكتابة المعنية. ومثلما كانت الأعداد ضرورية في
~~تطوير الزراعة وانتشارها، يبدو أنها كانت ضرورية أيضا في
~~اختراع الكتابة وانتشارها.

# 15

# وأخيرا، فإن الدور المهم الذي أدته الأعداد في نشأة
~~الكتابة يعود على الأرجح إلى حقيقة أخرى بسيطة أيضا؛ وهي
~~أن الأرقام عملية للغاية؛ فهي تؤدي وظائف أساسية في بعض
~~أنواع التفاعلات البشرية، ومنها التعاملات الاقتصادية على
~~سبيل المثال. فالعديد من أوائل السجلات المكتوبة، هي أعمال
~~كاتبي الحسابات المعنيين بالتجارة بين طرفين أو أكثر.
~~إن تسجيل الحسابات قد يسر الإبقاء على شبكات التجارة،
~~وتخزين السلع بعناية. ومما يتصل بذلك أيضا أن الأرقام
~~قد مكنتنا من متابعة التقويم وتسجيله، مما أتاح لنا
~~التوصل إلى توقعات دقيقة بشأن الفصول وجني المحاصيل. إن
~~الأرقام ضرورية للقيام بالعديد من أنشطة المجتمعات العامرة
~~بالسكان. (وهي مجتمعات يمكن تتبع أصولها إلى الممارسات
~~الزراعية التي يسرتها الأعداد.)

# لمثل هذه الأسباب، تعد الأعداد عنصرا تأسيسيا في
~~ظهور الكتابة حول العالم. ومن المعترف به عموما أن الثورة
~~العلمية والتصنيع والطب الحديث، قد اعتمدت على بعض الممارسات
~~الرياضية المحددة. وحتى قبل وجود هذه الممارسات بآلاف
~~الأعوام، قد ساعدت الأعداد اللفظية على إحداث تغييرات عميقة
~~في الكيفية التي يحيا بها البشر، وفي كيفية استخدامهم للرموز
~~للتعبير عن الأفكار.

# خاتمة

# من الأهرامات التي بناها قدماء المصريين، إلى المدن الحجرية
~~في أنجكور، إلى أطلال بلاد الرافدين وأمريكا الوسطى القديمة،
~~تظهر لنا سمة مشتركة. وهي أن المجتمعات الزراعية التي
~~ابتكرت هذه الآثار العظيمة، قد اعتمدت بدرجة كبيرة على
~~الأعداد، أو الأرقام على وجه ms229 التحديد. وقد كانت الأشكال الأولى
~~من الأنظمة الكتابية التي طوروها تركز بدرجة مذهلة على
~~تمثيل الأعداد. ونتيجة لذلك، فإن هذه الأرقام قد أتاحت
~~أشكالا جديدة من الهندسة والعمارة، التي غيرت البيئات التي
~~كانت تطورت فيها هذه الثقافات؛ فالأرقام على غرار الصفر قد
~~سهلت التعامل مع الكميات. وبعد ذلك تطورت أنواع جديدة
~~من الممارسات الثقافية، التي قد شكلت بدورها ضغوطات جديدة
~~على أنظمة الأعداد. وقبل ذلك كله يبدو أن الأعداد اللفظية
~~الدقيقة، كانت محورية للغاية في ظهور أنواع محددة من
~~الزراعة، بدليل مثلا أن معظم الجماعات السكانية المعاصرة
~~التي تعتمد على الصيد وجمع الثمار، لا يستخدمون سوى أنظمة
~~عددية محدودة الوظائف وذات حد عددي صغير. وباختصار، فإن
~~الأعداد المنطوقة والأرقام المكتوبة، كان لهما دور محوري في
~~إحداث تغييرات جذرية في ثقافات عدة منذ آلاف الأعوام. وفي
~~العديد من الثقافات المعاصرة المعرضة للانقراض، تحدث
~~اليوم تغييرات مشابهة.



# الفصل العاشر



# | أدوات تحويلية




# ما لبث جبل تيبل أن ظهر في مرآة الرؤية الخلفية في سيارتي، ثم
~~اختفى بعد ذلك. كنت أسير على الأطراف الجنوبية من اليابسة
~~الأفريقية عبر الوديان المتعرجة، وبينما كنت أقترب من وجهتي،
~~وهي قرية هادئة تسمى ستيلباي، وتحتضن خليجا من المياه
~~اللازوردية، يقع شرقا من الجزء الفاصل بين المحيطين الهادي
~~والهندي، كانت إشارات الطريق وإعلانات الراديو مزيجا من اللغة
~~الأفريقية والإنجليزية. إننا لا نعرف أين ظهرت الأعداد للمرة
~~الأولى، لكن من المحتمل أنني أقترب من ذلك المكان. فمن
~~المحتمل أن تكون قصة الأعداد قد بدأت هنا، على امتداد ساحل
~~وعر يرى من ستيلباي، وهو ساحل تزداد أهميته باعتباره موقعا
~~مهما في قصة البشرية.

# على مدار العقدين الأخيرين، كان علماء الآثار متعددو
~~التخصصات يفتشون سطح الأرض في بعض الكهوف القريبة من هذا
~~الساحل، وكذلك الأسطح السابقة التي صارت الآن تحت الأرض. ومن هذه
~~الكهوف، كهف بلومبوس الذي يقع غرب ستيلباي، وكهف بيناكل بوينت الذي
~~يقع على بعد عشرات الكيلومترات إلى الشرق. وقد أسفر هذا البحث
~~الذي أجري في هذه المناطق المحلية عن ms230 نتائج لافتة للنظر. إن
~~هذا البحث، مع غيره من الدراسات المبكرة التي أجريت على «نوع
~~الإنسان العاقل»، يلقي ضوءا جديدا على الكيفية التي تمكن
~~بها أسلافنا من البقاء بل التفوق، على مدار آلاف الأعوام التي
~~سبقت هجرة نوع «الإنسان العاقل» من أفريقيا. إن ما وجده العلماء
~~في هذه الكهوف، ليس من نوع المكتشفات الذي نربطه في العادة بعلم
~~آثار العصر القديم في أفريقيا؛ فليس هناك أي من عظام
~~الأسترالوبيثسينات، أو أي بقايا من الهيكل العظمي لأي أنواع أخرى
~~من الأسلاف المحتملين لنوع «الإنسان العاقل». (وقد اكتشفت مثل
~~هذه الآثار في أماكن أخرى في جنوب أفريقيا، وغير ذلك من الأماكن
~~البعيدة في أفريقيا مثل مضيق أولدوفاي والأخدود الأفريقي العظيم.)
~~لم يعثر العلماء في كهفي بلومبوس وبيناكل بوينت على آثار
~~هامة لأشباه البشر، فقط بعض بقايا قديمة لأسنان بشرية، وأجزاء
~~من العظام. غير أن ما وجدوه يخبرنا عن حياة أسلافنا الأقربين،
~~وهم أفراد نوعنا الذين كانوا يشبهوننا ويتصرفون مثلنا، أكثر
~~مما قد يخبرنا به أي هيكل عظمي. وبناء على هذه المكتشفات
~~التي وجدناها في هذه الكهوف، فإن الكثير مما نعده الآن من
~~السلوكيات البشرية الحديثة، ربما يكون قد نشأ على هذا الساحل. ومن
~~هذه السلوكيات ما يتعلق باستخدام التقنيات العددية.

# فمنذ ما يتراوح بين 190000 إلى 135000 عام، حدث تغير في
~~المناخ العالمي. ومثل غيره من التغيرات المناخية الأقدم، يبدو
~~أن هذا التغير قد أمال مسرح البشرية؛ فربما كانت التغيرات
~~المناخية السابقة، مثل ذلك الذي حدث قبل ما يقرب من 19 مليون
~~عام، محورية في نشأة نوعنا؛ إذ اضطر أسلافنا من الأنواع إلى
~~الانتقال إلى العيش في سهول السافانا بدلا من الغابات. أما
~~التغير الأحدث الذي نتحدث عنه، فقد أثر على نوع «الإنسان
~~العاقل» نفسه؛ إذ تسبب في وجود نقص حاد في المناطق الصالحة
~~للعيش في أفريقيا؛ فقد أصبحت القارة أكثر جفافا، وندرت مصادر
~~الغذاء. إضافة إلى ذلك، فقبل 75000 عام تقريبا، حدث انفجار
~~بركاني عظيم في بركان توبا في سومطرة، مما ms231 أدى إلى تكون
~~سحابة ضخمة من الرماد البركاني، وشتاء بركاني ربما يكون قد أدى
~~إلى تناقص عدد البشر بدرجة كبيرة. وتقترح أدلة علم آثار العصر
~~القديم أن البشر قد اتخذوا من المناطق الساحلية مأوى لهم خلال
~~هذه الفترات الصعبة، ولا سيما السواحل الموجودة على الأطراف
~~الجنوبية لأفريقيا. وتوضح النتائج الحديثة أن السبب في اختيار
~~هذا المأوى يعود على الأرجح إلى أن هذا الساحل كان غنيا بمصادر
~~الغذاء إلى حد ما. وينطبق ذلك بالتحديد على الحافة الجنوبية
~~لأفريقيا، التي كانت تتوفر بها الأغذية البحرية بسهولة، مثل
~~القواقع البحرية والنباتات الأرضية، وهي نباتات لحمية كالأبصال
~~والدرنات التي يمكنها العيش تحت الأرض. وبالرغم من أن مصادر
~~الغذاء كانت نادرة نسبيا في العديد من المواطن التي كان يسكنها
~~البشر في ذلك الوقت، فقد كانت الأرض هنا غنية بمصادر
~~الكربوهيدرات والبروتين. إن التجديدات المناخية والبيئية التي
~~حدثت في تلك الحقبة المعنية، اتضحت في تلك البقعة بدرجة
~~كبيرة؛ فقد كان هذا الساحل مكانا جيدا لحياة البشر، في مرحلة لم
~~يكن فيها سوى القليل من الأماكن الصالحة للعيش في
~~أفريقيا.

# 1

# وبناء على ما اكتشفه العلماء في كهف بيناكل بوينت، فإن البشر
~~لم يبقوا على قيد الحياة هنا فحسب، بل ازدهروا في هذه
~~المنطقة خلال تلك الفترة التي نتحدث عنها. لقد شهدت البشرية
~~نوعا من الازدهار التقني خلال الفترة التي عاش فيها البشر على
~~هذا الساحل، والتي تبدأ قبل 170000 عام تقريبا. وقد أوضح علماء
~~الآثار الآن أنه خلال عشرات آلاف الأعوام التي استخدمت فيها كهوف
~~بيناكل، حسن البشر من التقنيات التي كانوا يستخدمونها مثل
~~أدواتهم الحجرية. وهذه الكهوف تتضمن أدلة على أن الأدوات
~~كانت تصنع بعد تسخين الحجارة في النار ثم صقلها، وتلك عملية
~~معقدة لصنع الأدوات. وعلى العكس مما تميزت به تقنيات صنع
~~الأدوات الحجرية في الفترات السابقة من جمود، فإن مكتشفات كهف
~~بيناكل تدل على وجود معدل جذري من الابتكار في استخدام أنواع
~~جديدة من الأدوات الحجرية. إضافة إلى ذلك، توجد بعض الآثار التي ms232
~~تشير إلى وجود تطورات تقنية أخرى مثل صبغة حمراء كانت تستخدم
~~على الأرجح في طلاء الجسم، مثلما تستخدم لدى بعض الجماعات
~~السكانية اليوم. إن الآثار المتبقية من هذه المادة تدل على
~~أن التقنية كانت تتقدم خلال هذه الفترة، لكنها توضح أيضا
~~أن البشر كانوا يفكرون بطرق رمزية، وينقلون هذه التقنيات
~~المادية عبر الأجيال؛ ومن ثم فإن الآثار المتبقية من هذه
~~المادة تشير إلى أن السكان القدماء لهذه المنطقة كانوا يمتلكون
~~اللغة.

# 2

# بقيادة كريستوفر هنشيلوود، عالم الآثار بجامعة ببيرجن في
~~النرويج، أوضحت مجموعة من الدراسات أن البشر كانوا يستخدمون كهف
~~بلومبوس أيضا على مدار آلاف الأعوام لفترة تبلغ 30000 عام على
~~الأرجح. وينتمي الفتات الموجود في الكهف إلى فترة أحدث، وهو
~~يحتوي على أدلة تعبر عن تقدم الإدراك البشري بصورة أكبر.
~~وتتضمن هذه الأدلة أدوات حجرية دقيقة وأدوات عظمية تشبه
~~الإبر. وربما يكون الدليل الأبرز هو وجود أصداف أذن البحر التي
~~تشبه الوعاء، وأحجار الشحذ وغيرها من العناصر التي كانت تستخدم
~~قبل ذلك في معالجة المغرة لاستخراج الصبغة من المعدن الممتلئة
~~بعنصر الحديد. وفي حقيقة الأمر، يبدو أن كهف بلومبوس كان
~~يستخدم بمثابة ورشة لتصنيع مختلف الأدوات ومعالجتها. وتتضمن
~~هذه الأدوات قطعا منقوشة من العظام والمغرة، يعود تاريخها إلى
~~فترة تتراوح بين 100000 عام و70000 عام في الماضي. وعلى أشهر
~~قطعة من القطع المكتشفة في الكهف، وهي قطعة من المغرة يبلغ طولها
~~6 سنتيمترات، لاحظ علماء الآثار وجود مجموعة من العلامات
~~المنتظمة التي تشبه  الخطوط
~~على هذه القطعة، والتي يتضح أنها قد نقشت عمدا بيد فنان
~~من البشر. ولسنا نعرف على وجه التحديد ما الغرض الذي كانت تؤديه
~~هذه العلامات، لكن من المحتمل أنها كانت تؤدي وظيفة رمزية أو
~~شبه رمزية. وربما تكون هذه القطعة أقدم قطعة ذات طبيعة رمزية في
~~تاريخ البشرية. ونظرا إلى وجود الكثير من الأدلة على وجود أعداد
~~ما قبل التاريخ في مختلف أنحاء العالم، فمن المحتمل أن هذه
~~العلامات كانت تؤدي وظيفة عددية. فهل من ms233 الممكن أن يكون الفنان
~~الذي نقش هذه القطعة من المغرة، كان يسجل كمية ما، مثل هؤلاء
~~الذين نقشوا عظمة إيشانجو بعد ذلك بعشرات الآلاف من الأعوام؟ (راجع
~~الفصل الثاني) من المؤسف أن الوظيفة الحقيقية لهذه القطعة قد
~~ضاعت على الأرجح في عتمة السجل الأثري.

# 3

# وثمة أدلة أخرى في كهف بلومبوس، تشير إلى أن البشر الذين
~~استخدموه بمثابة ورشة ربما كانوا يستخدمون طرقا لتسجيل
~~الكميات، فربما يكونون قد اخترعوا الأعداد أو ورثوها على الأقل.
~~ومن المكتشفات المميزة في هذا الموقع وجود العديد من الأصداف
~~البحرية المثقوبة (وتسمى أيضا بأصداف القراد وهي أصداف من
~~نوع «ناساريوس كروسيانوس») في مجموعات صغيرة تتكون من خمس
~~أصداف واثنتي عشرة صدفة. ويبدو أن هذه الأصداف التي يبلغ طول
~~الواحدة منها سنتيمترا واحدا، كانت تستخدم في الزينة الشخصية.
~~فالثقوب المنتظمة التي صنعها البشر، قد مكنت الأفراد من ربط
~~هذه الأصداف معا على هيئة عقد أو أي نوع آخر من أنواع الزينة،
~~مثلما يحدث تماما في العديد من الثقافات في العصر الحالي. ومن
~~المهم أن نلاحظ أن بعض هذه الأصداف لم يكن أصليا في المنطقة
~~التي يقع بها الكهف، حتى قبل هذه الآلاف من الأعوام. واليوم لا
~~توجد هذه الأصداف إلا في مصبات الأنهار على بعد 20
~~كيلومترا من بلومبوس.

# 4

# ومن ثم يبدو أن البشر الذين كانوا يعيشون في هذه
~~المنطقة كانوا يكنون تقديرا عظيما لهذه الأصداف؛ مما دفعهم
~~إلى السفر لهذه المسافة الطويلة سيرا على الأقدام للعثور عليها،
~~أو ربما كانوا يقايضونها مع الشعوب الأخرى. إن ما نراه في كهف
~~بلومبوس إذن، هو دليل على الاستخدام القديم لأدوات صغيرة متشابهة
~~نسبيا لها قيمة عظيمة.

# من المحتمل أن يكون البشر الذين عاشوا بالقرب من الكهف قد
~~واجهوا ضغوطا قوية لأن يخترعوا طرقا لتسجيل الكميات بشكل
~~رمزي، أي إنها بصفة أساسية ضغوط لاختراع الأعداد، وربما كان ذلك
~~لتسجيل هذه الأصداف الثمينة، أو
~~لمقايضة سلع أخرى في مقابل الحصول عليها، أو ربما لكلا الأمرين.
~~وقد تمادى بعض الباحثين ms234 إلى درجة أنهم قد اقترحوا أن هذه
~~الأصداف الصغيرة هي بالفعل تمثيلات رمزية للكميات (أي إنها كانت هي
~~نفسها أعدادا). بالرغم من ذلك، فمثلما نرجو أن تكون الاستنتاجات
~~التي تناولناها في هذا الكتاب قد وضحت، فالأرجح أن الأصابع لا
~~هذه الأصداف، كانت هي الأداة الأولى في التمثيل الدقيق للكميات؛
~~أي إنها هي التي كانت تمثل أول شكل من الأعداد. ومثلما تشير
~~عالمة النفس المرموقة سوزان كاري (التي ناقشنا أعمالها المؤثرة
~~في الفصل السادس) في مناقشتها لأهمية هذه الأدوات: «ربما يعود
~~تاريخ الخرز إلى 100000 عام، لكن تاريخ الأصابع يعود إلى ملايين
~~الأعوام.»

# 5

# ففي معظم الأحيان، تكون الأصابع هي المدخل إلى
~~التمييز الدقيق للكميات، وكثيرا ما تستخدم بصفتها أعدادا،
~~تمثل حينها تمثيلا لفظيا. بالرغم من ذلك، يظل من المحتمل
~~أن تكون مثل هذه القطع الصغيرة المنفصلة ذات القيمة الثمينة، قد
~~دفعت البشر في مرحلة ما من تاريخهم إلى أن «يرغبوا» في تحديد
~~كميات الأشياء، بطرق غير تقريبية، حتى وإن احتاجوا إلى أصابعهم
~~لكي يتمكنوا من القيام بذلك. ربما تكون الضغوطات التي واجهها
~~البشر الذين عاشوا في كهف بلومبوس لتحديد كمية هذه الحبات
~~اللامعة من الخرز، قد خلقت حاجة جديدة إلى وجود الأعداد، رغبة
~~جديدة للتمييز بين الكميات بدقة وبصورة منتظمة.

# وبالرغم من أننا لا نستطيع أن نحدد على وجه الدقة، أول مكان
~~قد استخدمت فيه الأعداد، فإن الصورة التي نرسمها الآن تبدو
~~منطقية؛ فالبشر الذين عاشوا في هذه المناطق الساحلية، كانوا
~~يمتلكون حضارة مادية ولغة، وربما كانوا يمارسون التمثيل
~~الرمزي ثنائي البعد أيضا. إضافة إلى ذلك، كانوا يمتلكون
~~سلعا صغيرة ثمينة، ومن المرجح أنهم كانوا يرغبون في عدها؛
~~نظرا إلى طول المسافة التي كان عليهم قطعها من أجل الحصول على
~~هذه القطع. وفي ضوء هذه الحقائق، فإن استخدامهم للأعداد ليس
~~بالأمر المستبعد. لكن لنفترض للحظة أن ذلك كان هو الحال
~~بالفعل، فهل اخترعت الأعداد هنا، أم وصلت إلى هنا؟ وفقا
~~للوتيرة التي بدأت بها التقنية في التطور على امتداد هذا ms235
~~الساحل، وذلك بناء على المكتشفات التي وجدها العلماء في كهف
~~بيناكل، فإن السيناريو الأول ممكن على أقل تقدير. ربما يكون
~~البشر قد صقلوا مهاراتهم اللغوية والعددية هنا، على امتداد هذا
~~الساحل وفي أماكن أخرى من جنوب أفريقيا. وربما يكون هذا الصقل قد
~~أدى بدوره دورا محوريا في قدرة البشر على التكيف على
~~غير ذلك من البيئات المتنوعة الأخرى. ولا شك في أن استخدام
~~اللغة، الذي يتضح على نحو غامض في الأدوات المدفونة في كهفي
~~بلومبوس وبيناكل بوينت، قد مكننا بعد ذلك من غزو أفريقيا، ثم
~~الهجرة من القارة في جماعات.

# شكل 10-1: الساحل الموجود بجوار كهف بلومبوس، جنوب
~~أفريقيا. الصورة من التقاط المؤلف.

# عندما وصلت إلى الساحل الذي يبدو أنه قد لعب دورا مهما في
~~التاريخ البشري، وجدته مليئا بعدد لا حصر له من الصخور. (انظر
~~الشكل

# 10-1
~~) إن هذه الصخور لم تكن ساحلية
~~طوال الوقت؛ إذ إن الساحل نفسه يتحرك بدرجة ما من أثر حلول
~~العصور الجليدية وذهابها، غير أنها منذ 100000 عام، استقرت في
~~مكانها الذي نراه الآن بالقرب من كهف بلومبوس. معظم هذه الصخور
~~مكعب الشكل تقريبا، وكأنما هي من صنع البشر، لكن إن كان الأمر
~~كذلك؛ فهذا يعني أن معماريا منتشيا قد رتبها بهذا
~~الشكل المائل بجوار بعضها. وإذ أخطو فوقها، أتذكر سكان
~~المنطقة الذين كانوا يتسلقون هذه الصخور وفيما حولها قبل كل هذه
~~العشرات من آلاف الأعوام. هنا على هذا الشاطئ، أنقذ البشر أنفسهم
~~من الموت إذ اكتشفوا تذوقهم للمأكولات البحرية، وبصورة أعم،
~~فإن القرارات التي اتخذها البشر على هذه الصخور، وفي الكهوف
~~القريبة، وغيرها من الأماكن الموجودة في هذه المنطقة، من المحتمل 
~~أنها قد تكون قد أنقذت نوعنا
~~من الانقراض. ولا شك في أن هذه القرارات قد سهلت على ما
~~يبدو استمرارنا في البقاء خلال الأوقات العسيرة؛ ومن ثم
~~توسعنا خارج القارة بعد ذلك.

# وفيما بين هذه الصخور، نجد بعض الأدلة الظرفية المتناثرة،
~~التي تدل على الضغوطات التي كان أسلافنا قد واجهوها لتطوير
~~الأعداد. ms236 وعلينا أن نقر بأنها أدلة ضعيفة، لكن إشارة غير
~~مباشرة تقبع بين هذه الصخور قد ابتلعتها تلك الأمواج العنيدة مع
~~مرور الزمن، وهي وجود نبات الخزامى المحزز والأصداف البيضاء
~~موزعة بدرجة من الانتظام. ونحن نعرف الآن أن مثل هذه
~~الأصداف والرخويات التي كانت تحتوي عليها، التي لا يزال الحصول
~~عليها ممكنا بالقدر الذي كان عليه ذلك قبل كل هذه الآلاف من
~~الأعوام، قد كانت ضرورية لبقاء البشر خلال أوقات القحط. وقد
~~كانت أيضا خيطا مهما في نسيج الحضارة المادية المحلية. فمن
~~المحتمل أن تكون القيمة الأصلية لمثل هذه الأصداف هي التي قد
~~دفعت إحدى نساء البشر إلى عدها؛ فربما أدركت أنه يمكن وضع
~~هذه الأصداف مصطفة بمحاذاة بعضها، مثلما ترى أصابع يديها
~~مصطفة ومتناظرة، أو ربما أدركت مباشرة أنه يمكن مطابقة خمس
~~أصداف مع أصابع اليد الواحدة، كل صدفة مقابل إصبع من الأصابع.
~~وربما تمثل هذا الإدراك في الواقع لفظيا حين بدأت تتحدث عن
~~«يد» من الأصداف. وربما أصبح التوصل إلى هذا الإدراك أسهل
~~كثيرا بعد ذلك، عليها وعلى غيرها من أفراد الجماعة السكانية الذين
~~تدربوا على مفهوم «يد» من الأصداف، أو «يد» من عناصر أخرى. ونحن
~~لا نعلم بالطبع، لكن في هذه المرحلة، فإن الاحتمال الأرجح هو
~~أن هذا المكان هو أول مكان قد بدأ فيه البشر في استخدام
~~الأعداد.

# إن ما نعرفه هو أن شخصا ما في مكان ما، في لحظة معينة من
~~التاريخ، كان هو أول شخص يدرك بصورة مجردة وجود خمسة أشياء
~~على وجه التحديد. بالرغم من ذلك، فإن هذا الإدراك الضروري
~~لاختراع أنظمة الأعداد، قد حدث بلا شك، على مدار العديد من
~~المرات بصور مستقلة، وفي العديد من السلالات الثقافية. وقد ضاع
~~مع الزمن على الأرجح في معظم الحالات، غير أن هذا الإدراك
~~المتقلب قد تجسد رمزيا في بعض الحالات الأخرى، وأصبح
~~حقيقيا من خلال تجسده في كلمة. وقد انتقلت هذه الكلمة بعد ذلك
~~إلى عقول أخرى قد اعتمدت على هذا المفهوم بطرق جديدة. وبالرغم ms237
~~من أن أول مخترعي مفردات الأعداد مثل «خمسة» لم يدركوا هذه
~~الحقيقة، فإن أدواتهم الإدراكية حديثة التشكل كانت ستغير
~~مسيرة الثقافات البشرية في يوم ما.

# الأعداد والألوهية

# إن انشغالنا الدائم بأعداد أيامنا وسنواتنا، الذي يتضح
~~في المجتمعات الكبيرة من مجتمع المايا القديم إلى المجتمع
~~الأمريكي الحديث، ينبع جزئيا من الممارسات الزراعية، التي
~~يعود السبب في وجودها إلى ابتكار الأنظمة العددية. إن
~~التحول إلى نمط إعاشة يعتمد على الزراعة، كان أيضا هو
~~البداية لأنواع أخرى من التغيرات الأكثر حميمية في
~~الخبرة البشرية: إنها تغيرات لا تخبرنا بكيفية عد
~~أعمارنا فحسب، بل تخبرنا أيضا بمكاننا في الكون. وأنا لا
~~أشير هنا إلى حقيقة أن الأعداد والزراعة قد نتج عنهما
~~حاجة أكبر إلى الاعتماد على تتبع النجوم وفصول السنة وغير
~~ذلك، مما أدى في نهاية المطاف إلى تشكل وعي بالفضاء،
~~وتقدير الكون الذي نعيش فيه، والذي لا يتمركز حول البشر.
~~وبالرغم من أن الجزء الأخير حقيقي بلا شك، فأنا أشير هنا
~~إلى النوع الجديد من الدوائر الدينية، الذي ظهر بعد وجود
~~أنظمة عددية معقدة.

# ربما يبدو من
~~المبالغة بعض الشيء أن نعزو أي دلالة روحية إلى ظهور
~~الأعداد. من المؤكد أن جميع الشعوب تؤمن بشكل ما من أشكال
~~المعتقدات الدينية والروحانية، بصرف النظر عن نوع الأنظمة
~~العددية التي تستخدمها؛ غير أن المغزى الذي نقصده هنا
~~أكثر دقة، وله الكثير مما يؤيده من الأدلة في السجل الأثري
~~والأنثروبولوجي: بالرغم من أن أساطير الخلق، والممارسات
~~الروحية، وغيرها من أشكال الروحانية هي أمور عالمية أو تكاد
~~تكون كذلك، فالديانات الهرمية واسعة النطاق، تقتصر على
~~عدد قليل نسبيا من السلالات الثقافية. إضافة إلى ذلك،
~~فإن هذه الديانات بما فيها الديانات التوحيدية، كالإسلام
~~والمسيحية واليهودية، وغيرها العديد أيضا من الديانات الرئيسة
~~في العالم مثل الهندوسية والشنتوية والبوذية، قد ظهرت بعد
~~ظهور الزراعة بفترة طويلة. والأهم من ذلك أنها لم تظهر إلا
~~بعد أن بدأ البشر يعيشون في مجموعات ومستوطنات أكبر، بسبب
~~نمط حياتهم الزراعي. فعلى مدار الجزء الأكبر ms238 من مدة وجودنا
~~التي تزيد على 100000 عام، عاش نوعنا في مجموعات صغيرة أو
~~قبائل في أماكن مثل كهف بلومبوس. ومنذ 10000 عام تقريبا،
~~لا سيما في الألفيات القليلة الماضية، بدأنا في الاحتشاد
~~وتكوين زعامات أو إمبراطوريات أكبر، مع تأسيس مناطق حضرية في
~~مراكزها في أغلب الأحيان. ومؤخرا قد اقترحت مجموعة من
~~الباحثين أن تطور الديانات الرئيسة الهرمية، كتطور
~~الحكومات الهرمية، قد نبع من تكتل البشر في مثل هذه
~~الأماكن. وإذا افترضنا إلى الآن أن هذه الفرضية الوجيهة
~~صحيحة، فإن هذا سيشير إلى أن اختراع الأنظمة العددية
~~المعقدة، قد أدى في نهاية المطاف من خلال تيسير الزراعة،
~~إلى تكوين وجهات نظر جديدة بشأن دور البشر في العالم،
~~وظهور آراء جديدة بشأن نشأة الأرض وما عليها. ويمكننا أن
~~نذهب إلى أبعد من ذلك فنقول إن ظهور الأنظمة العددية كان
~~أمرا محوريا في اختراع إله أو آلهة. أو مثلما يرى البعض،
~~فإن تطور الأعداد قد أدى إلى توصل البشر إلى الإدراك
~~الدقيق بوجود إله أو آلهة.

# إن هذا الافتراض يقوم على الزعم القائل بأن المجتمعات
~~السكانية الأكبر كانت تنتج تقاليد جديدة؛ لأسباب معينة،
~~وعادة ما تكون هذه التقاليد إيمانية دينية. ما السبب إذن في
~~أن الجماعات السكانية الأكبر قد اتجهت إلى الإيمان بوجود
~~إله؟ في خطوط عريضة، تقترح الفرضية المعنية أن الأسباب قد
~~جرت على المنوال التالي: المعتقدات الدينية المنظمة التي
~~تتضمن آلهة وفئات رجال دين تلزم باتباع الأخلاق، نتجت عن
~~حاجة المجموعات الكبيرة من البشر إلى التعاون من خلال الأخلاق
~~المشتركة والإيثار. وبعد أن زاد عدد المنتمين للحضارات بعد
~~ظهور المراكز الزراعية وما يرتبط بها من تحضر، كان على
~~الأفراد أن يعتمدوا على الثقة المشتركة في عدد كبير من
~~البشر الآخرين، ومنهم الكثيرون الذين لا يمتون لهم بصلة
~~قرابة، على عكس ما كان عليه الحال في المجموعات الصغيرة
~~كالقبائل والعشائر. وقد كانت هذه الثقة المشتركة داخل
~~الحضارات أمرا ضروريا إذا أرادت هذه المجموعات أن تتفوق
~~على مجموعات الأفراد التي تقاربها في ms239 الحجم. وعلى العكس من
~~ذلك، فإن مجموعات القبائل والعشائر كانت (ولا تزال) صغيرة،
~~وفي معظم الأحوال في العشائر التي تعتمد على الصيد وجمع
~~الثمار، توجد صلة قرابة بين معظم أفرادها وبين جميع الأفراد
~~الآخرين الذين ينتمون إلى نفس الثقافة، أو معظمهم. إذن،
~~فالدوافع الطبيعية للثقة والتعاون بين الأفراد، أكثر وضوحا في
~~حالة الجماعات السكانية الصغيرة؛ فنظرا إلى أن الانتقاء
~~الطبيعي يقوم على أساس حماية الفرد لجيناته، فمن الأسهل أن
~~نفهم دوافع الإيثار والتضحية داخل المجموعة، في المجموعات
~~الصغيرة كالعشائر والقبائل. لكن ما الذي قد يدفع البشر الذين
~~يعيشون في المجموعات السكانية الأكبر كثيرا، والذين لا
~~تربطهم بمعظم الأفراد الذين يتواصلون معهم يوميا صلة
~~وراثية يمكن تمييزها، إلى التعاون مع هؤلاء الأفراد الآخرين
~~الذين ينتمون إلى ثقافتهم؟ لماذا قد يهتمون بما فيه خير
~~لأفراد غرباء عنهم تماما، من خلال أداء أفعال تعاونية
~~باستمرار؟ وفقا للفرضية التي نتحدث عنها، والتي يؤيدها عدد
~~من الباحثين مثل عالمي النفس أرا نورنزيان وعظيم شريف، فإنه
~~كان لا بد من تطور آلية اجتماعية حتى لا تتفكك الثقافات
~~الكبيرة بسبب المنافسة بين أفرادها، وحتى لا يستنزف العديد
~~من الأفراد ثمرة عمل الآخرين. ومن الآليات الاجتماعية التي
~~تعزز السلوك التعاوني الإيجابي نحو المجتمع، الدين المنظم
~~الذي يستند إلى أخلاق مشتركة وآلهة كلية العلم تستطيع
~~معرفة ما يقترف من مخالفة لمثل هذه الأخلاق. وربما كان
~~التطور التدريجي لمثل هذه الديانات المرتكزة على وجود إله
~~قد أدى تلقائيا إلى حفظ النظام والسلوكيات التعاونية التي
~~كانت مفيدة في نجاح الحضارات وبقائها من خلال الاهتمام
~~الاجتماعي بالآخرين. وبعبارة أخرى، يمكننا أن نقول إن
~~الجماعات السكانية الكبيرة التي تبنت ديانات أخلاقية
~~تتمركز حول إله أو آلهة، كان احتمال بقائها سيقل عند
~~المواجهة مع مجموعات أخرى كبيرة لا تتسم بالتعاون مع
~~الغرباء (وتتسم بدرجة من التعطش للدماء تجاه الغرباء)
~~لكنها تتسم بالتعاون فيما بين أفرادها بسبب وجود دين يفرض
~~عليهم التعاون مع غير أقربائهم من أفراد الجماعة
~~السكانية.

# يستند بعض الدعم الذي تلقته هذه ms240 الرؤية إلى دراسة
~~مسحية حديثة للعديد من ثقافات العالم. ووفقا لهذه الدراسة
~~التي أجريت على 186 من المجتمعات المعاصرة، فثمة ارتباط
~~قوي بين حجم السكان في ثقافة معينة، واحتمالية أن تكون هذه
~~الثقافة تتبع ديانة تتمركز حول إله (أو آلهة) يعنى بأخلاق
~~الأفراد. وهذه العلاقة الطردية ليست حاسمة بالطبع، لكنها
~~تشير إلى أن هذا التفسير يسير في الاتجاه الصحيح. أما
~~الأمر الواضح فهو أن ظهور الديانات الهرمية الكبيرة التي
~~تتمركز حول إله (أو آلهة) هو توجه حديث بدرجة كبيرة.
~~إضافة إلى ذلك، فقد ظهر هذا التوجه بعد الثورة الزراعية
~~المتأثرة بالأعداد، التي أتاحت زيادة عدد السكان في المناطق
~~التي تطورت بها الأديان المعنية بعد ذلك. وهذه الديانات
~~«الجديدة» قد غيرت بدورها رؤية الكثيرين من البشر بشأن
~~موقعهم في الكون، وغيرت رؤيتهم بشأن العالم، وأشبعتهم
~~بحس مميز بوجود الغاية. وبسبب هذا المنحى الذي اتخذته
~~الأحداث، أصبح الكثيرون من البشر يرون أنفسهم على أنهم
~~مخلوقات الإله (أو الآلهة) المميزة. ومن ثم، فإن تطور
~~الأنظمة العددية المعقدة، قد أدى دورا في تغيير فهم
~~البشر لأرواحهم، وإن كان ذلك بصورة غير مباشرة على أقل
~~تقدير.

# 6

# أعداد ذات دلالة اجتماعية

# حين هبط موسى من جبل سيناء بألواحه الحجرية، كان منقوشا
~~عليها عشر وصايا إلهية؛ هي الوصايا العشر. وحتى إذا لم تكن
~~من أتباع إحدى الديانات التي تقر بهذه الوصايا، فأنت
~~تدري بوجودها. وبالرغم من أنك قد لا تكون قادرا على ذكرها
~~جميعا، فأنت تعرف أنها عشر وصايا. فلماذا هي عشرة؟ لا شك
~~بأن هناك أكثر من عشر وصايا دينية كان من الممكن أن تلقى
~~على البشرية، أو على مجموعة من رحالة الشرق الأوسط تحديدا،
~~قبل ما يزيد على ألفي عام. ها هي وصية حادية عشرة كان
~~يمكن أن يتبناها العديد من البشر دون جدال: «لا تعذب.»
~~يمكننا أن نتخيل أنه إذا نزل موسى بمثل هذه الوصية، لم تكن
~~لتحدث أي بلبلة. وعلاوة على ذلك، فإن كثيرا من البشر
~~في الوقت الحالي كانوا سيؤيدون هذه ms241 الوصية المفقودة. غير
~~أن القائمة كانت ستفقد بعضا من ثقلها البلاغي. «الوصايا
~~الإحدى عشرة» وكأنها تشي بإله ساخر. لو كان موسى قد نزل
~~بإحدى عشرة وصية، ربما لم يكن قومه ليعترضوا على هذه الوصية
~~الحادية عشرة في حد ذاتها، لكن وجود إحدى عشرة وصية على
~~وجه التحديد، كانت ستبدو للبعض أمرا غريبا. وربما كان
~~تعلم الأطفال للوصايا الإحدى عشرة في السياقات الدينية،
~~سيصبح أكثر التباسا، مما لو أنهم كانوا يتعلمون العدد
~~المقدس عشرة. إن العدد عشرة هو أكثر الأعداد اكتمالا،
~~ومن المنطقي جدا للعديد من الأشخاص أن ترد معظم القواعد
~~التي تحكم حياتنا، في مجموعات من عشرة. ومن المثير للاهتمام
~~أيضا أن العدد عشرة له دلالة روحية في العديد من التقاليد
~~الدينية المختلفة: تجسدات فيشنو العشر، والجورو العشرة في
~~السيخية، والصفات العشر في القبالة، وغيرها. وهذا التأثير
~~المتكرر للعدد عشرة، ليس عرضيا على ما يبدو. وربما ليس
~~علينا أن نندهش حين نجد أن للعدد عشرة دلالة روحية
~~واجتماعية خاصة، نظرا إلى تأثيره واسع الانتشار في الأنظمة
~~العددية. إن الدافع النهائي لهذه الدلالة قد أصبح واضحا
~~الآن: ليس الأمر أن المفاهيم الإلهية ترد في مجموعات من
~~عشرة، وإنما ينطبق ذلك على أصابعنا. (ومما لا شك فيه أن
~~البعض يرون أن هذا الشكل الذي توجد عليه أصابعنا، هو
~~إلهي في حد ذاته.)

# 7

# إن الأعداد الأخرى التي تتميز بدلالة معينة في النصوص
~~الدينية، غالبا ما تكون هي أيضا بسيطة وتامة، ويسهل
~~قسمتها على عشرة. فعلى سبيل المثال، للعدد «أربعين» دور مهم
~~للغاية في التقليد اليهودي المسيحي؛ فقد استمر طوفان نوح 40
~~يوما، وتجول يسوع في الصحراء 40 يوما، وقضى موسى 40 يوما
~~على جبل سيناء، وصام إلياس 40 يوما ، ونزل يسوع بعد 40 يوما
~~من صلبه، وغير ذلك.

# 8

# وإضافة إلى الانحياز الواضح للأصابع في الأعداد المقدسة،
~~التي يكون لها دلالة مميزة في بعض التقاليد الدينية، فإننا
~~نشهد هنا ظاهرة أخرى ترتبط بهذا الأمر، وهي تداخل الأعداد
~~مع الروحانية. ينطبق ذلك على ms242 الأعداد المقدسة في الديانات
~~الرئيسة في العالم، وغيرها من التقاليد الروحية المنتشرة إلى
~~جانب ما ذكرناه سابقا؛ فبعض التقاليد الصينية ترى أعدادا
~~معينة على أنها ميمونة أو مشئومة، ويرى أنصار علم التنجيم
~~أن أعدادا محددة تدل على سمات روحية أو شخصية محددة،
~~أو كليهما.

# إن هذه الأعراف تدور في حلقة منتظمة؛ فمثلما أشرنا سابقا،
~~أدى ظهور نمط العيش الذي يعتمد على الزراعة والاستقرار إلى
~~زيادة عدد السكان، الأمر الذي أدى بدوره إلى نشأة العديد من
~~الأنظمة العقائدية الإيمانية والأخلاقية. ونظرا إلى أن
~~أنظمة الأعداد قد أسهمت في تشكيل الممارسة الزراعية، فهي
~~مسئولة جزئيا على أقل تقدير، عن نشأة الممارسات الدينية
~~والروحية، التي أضفت بدورها دلالة روحية ودينية على أعداد
~~محددة. ويعد هذا النمط من الاستجابة الثقافية، من
~~السمات الأساسية للقصة العامة للتطور المشترك، التي يشير
~~إليها هذا الكتاب في نقاط متعددة؛ فقد أثرت الأعداد
~~وممارسة العد في التجربة البشرية تأثيرا جوهريا، وقد نتج
~~عن هذا التأثير ضغوطات جديدة بشأن كيفية اعتماد البشر على
~~الأعداد، وإلى أي درجة يعتمدون عليها. وقد تضمنت هذه
~~الضغوطات إضفاء دلالة روحية على الأعداد.

# قد يرى البعض أن
~~إضفاء دلالات روحية واجتماعية على الأعداد، ما هو إلا أحد
~~الآثار الطريفة لعصور ما قبل العلم. بالرغم من ذلك، يمكننا
~~أن نجادل في أن الأعداد تكتسب الآن دلالة أكثر من أي
~~وقت مضى؛ إذ أصبحت مرتبطة دون تفكير في بعض الحالات
~~بالاكتشافات العلمية؛ ففي نهاية المطاف أدت الرياضيات
~~دورا كبيرا في تشكيل التقدم العلمي الكبير الذي حدث على
~~مدار القرون القليلة الماضية. ومعظم الأشخاص يدركون أن
~~العلم الحديث يقوم على أساس النتائج التي تطرح عادة في
~~صورة كمية. والمنهجية العلمية المرتبطة بمختلف أنواع
~~الرياضيات، ترى على أنها نقطة الانطلاق لأي طريق مؤد إلى
~~حقيقة أعلى. ومن ذلك الجانب، فإن أنصار العلم من
~~الملحدين أو اللاأدريين، يمكنهم أن يضفوا على الأعداد
~~أهمية روحانية؛ إذ يتعاملون معها على أنها حقائق خارجية عن
~~العقل والجسد ترشدنا نحو اكتشافات لحقائق جديدة. بالرغم ms243 من
~~أن الكميات التي تمثلها الأعداد يمكن أن توجد خارج
~~عقولنا، فإن التمثيلات الرمزية لهذه الكميات هي اختراعنا
~~الخاص؛ فهي ليست منفصلة تماما عن عقولنا. وتعتمد الممارسات
~~العلمية على نوع من روحنة هذه الاختراعات التي تستند إلى
~~طبيعتنا التشريحية؛ ففي العديد من المجتمعات الحديثة تعد
~~الأعداد ضرورية للغاية في نظرية المعرفة؛ فهي تساعدنا على
~~تحديد ما إذا كان أحد الأمور اعتقادا مبررا، أم لا.
~~والوصف العددي للمعتقدات الجديدة يمدها بأنواع خاصة من
~~المعنى. فعلى سبيل المثال، إذا أخبرنا علماء الكونيات أن
~~الكون قديم للغاية، فإن هذا قد يعني شيئا لنا، لكن إذا
~~أخبرونا أن عمر الكون يزيد على 13 مليار عام، فإن هذا قد
~~يعني أكثر بكثير بالنسبة لنا، بصرف النظر عن قدرتنا على
~~تصور مثل ذلك المقياس الزمني؛ ففور أن توصف الملاحظات
~~بالأعداد، يزيد تقبلنا لها بصفتها حقائق فعلية.

# إلا أن الأعداد لا تكتسب قيمة اجتماعية من ذلك الجانب
~~العام المتعلق بنظرية المعرفة فحسب؛ فلا تزال بعض
~~الأعداد تتحلى بدلالة اجتماعية شبه روحانية في بعض
~~السياقات غير الدينية، وهي دلالة أكثر عشوائية مما يلاحظه
~~الكثيرون. ولعل ذلك يتضح جليا فيما يعرف باسم القيم
~~الدلالية. وهذه القيم مدهشة للغاية؛ لأنها توضح أن بعض
~~الأعداد المحددة التي ترد في سياقات لا دينية ولا
~~روحانية، تتخذ قيمة يصدق عليها المجتمع، مما يمنحها
~~في معظم الأحوال مكانة مميزة في عقولنا. ونكرر أن هذه
~~المكانة المميزة، تعود في نهاية المطاف إلى العلاقة بين
~~الأعداد وطبيعتنا التشريحية.

# وسأوضح ما أعنيه هنا؛ إذا تناولت أي مجلة علمية،
~~فسوف تجد على الأرجح أن العديد من مقالاتها أو معظمها،
~~يذكر ما يسمى بقيم «الاحتمالية أو

P
~~» يتعرف الباحثون على
~~هذه القيم في مرحلة مبكرة من تدريبهم؛ (لذا، فلتعذر
~~الاستفاضة هنا، إذا كنت باحثا في أحد المجالات.) تشتق
~~هذه القيم من أنواع مختلفة من التحليلات الإحصائية بناء
~~على نتائج التجارب أو غيرها من أشكال جمع البيانات. وهذه القيم
~~الاحتمالية تعكس احتمالات أن تكون نتيجة محددة، تعود
~~إلى الفرضية الصفرية، ms244 لا الفرضية التي يجري اختبارها؛ فعلى
~~سبيل المثال، إذا كانت لدينا دراسة تبحث الارتباط بين
~~معدلات التدخين في جماعة سكانية معينة، وانتشار سرطان
~~الرئة فيها، فبعد اختبار قوة الارتباط، قد يخلص الباحثون
~~إلى أن قيمة «الاحتمالية» تساوي 0,004 على سبيل المثال. وسوف
~~يشير هذا إلى أن الفرضية الصفرية (وهي في هذه الحالة عدم
~~وجود ارتباط بين التدخين وسرطان الرئة) غير مرجحة على
~~الإطلاق، أي إن احتمالية وقوع الفرضية الصفرية أقل من 4
~~لكل 1000 في هذه الحالة المختلقة؛ فقيم «الاحتمالية»
~~المنخفضة تشير إلى أن النتائج التي توصلت إليها دراسة
~~معينة، لا يعود السبب فيها إلى الصدفة على الأرجح، وأنها
~~تدعم الفرضية التي يجري اختبارها. في العقود التي تلت العام
~~1920، حين قدم عالم الإحصاء رونالد فيشر مفهوم قيم
~~«الاحتمالية»، أدت هذه القيم دورا واسع الانتشار في
~~العلوم. إن بعض قراء المؤلفات الأكاديمية يلقون نظرة
~~سريعة أولا على المقالات؛ بحثا عن قيم «الاحتمالية»
~~محاولين تكوين رأي سريع عن قوة النتائج التي تتناولها
~~المقالة؛ فالأشخاص يرغبون مباشرة في أن يعرفوا ما إذا كانت
~~النتائج «ذات دلالة إحصائية» أم لا. في معظم الأحيان يأمل
~~الباحثون في الحصول على قيم «احتمالية» ذات دلالة منخفضة،
~~عندما يقومون بإجراء التحليلات؛ فقيم «الاحتمالية» المنخفضة
~~تزيد من فرصة نشر أعمالهم، ومن فرصة حصولهم على تمويل في
~~المستقبل، وغير ذلك. وبصرف النظر عن الإفراط في استخدام قيم
~~«الاحتمالية» أو إساءته في أحيان أخرى منذ أن ظهر عمل فيشر
~~بشأن هذا الموضوع، وبصرف النظر أيضا عن خلافات علماء الإحصاء
~~بشأن فائدتها، فمن المؤكد أن قيم «الاحتمالية» لها أهمية
~~عظيمة في المجتمع العلمي المعاصر؛ فهي تضفي المعنى على
~~العديد من الدراسات، أو هي على أقل تقدير تمكن الأشخاص
~~من استخلاص المعنى من هذه النتائج بسرعة أكبر .

# 9

# بالرغم من ذلك، فقد يكون هذا المعنى وهميا من بعض الجوانب،
~~أو قد لا يكون عميقا بالقدر الذي يراه عليه بعض قراء
~~الأعمال العلمية، على أقل تقدير. ولكي نعرف بعض الأسباب التي
~~تؤدي إلى هذا؛ ms245 فلنلق نظرة على النتائج التي تعد «ذات
~~دلالة إحصائية» فيما يتعلق بقيم «الاحتمالية»؛ إذا كانت قيمة
~~«الاحتمالية» أقل من 0,01، فإن نتائج الدراسة تعد ذات
~~دلالة إحصائية في معظم الأحوال. في فترة ما خلال العقود
~~القليلة الماضية، كانت قيم «الاحتمالية» التي تقل عن 0,05
~~تعد هي أيضا ذات دلالة إحصائية في بعض المجالات، غير
~~أنها كانت تعد ذات دلالة إحصائية أقل من قيم الاحتمالية
~~التي تقل عن 0,01. إن قيم الاحتمالية التي تقل عن 0,05
~~تشير إلى أن هناك 5 فرص من 100 تكون فيها الفرضية
~~الصفرية للدراسة صحيحة. لكن لماذا 5 من مائة؟ أو 1 من 100؟ هل
~~أقر الكون بحياد أن مثل هذه النسب هي الطريق إلى
~~المعرفة؟ بالطبع لا، لكن ما نراه في مثل هذه القيم
~~«للاحتمالية» قد أصبح نمطا مألوفا لنا الآن؛ فالعددان خمسة
~~وعشرة ومضاعفاتهما، من الأعداد المميزة لدينا؛ فنحن نميل إلى
~~إضفاء دلالة اجتماعية على هذه الأعداد؛ لا لأنها ترتبط
~~بالحقيقة العلمية من الناحية الموضوعية، بل لأنها ترتبط
~~بأيدينا. حتى إذا لم نكن نفكر في هذا الأساس الخماسي،
~~والأساس العشري، فهو موجود دائما من الناحية التاريخية.
~~والواقع أن قدرا كبيرا من العلم، أو من الطريقة التي
~~يفسر بها الكثيرون الدراسات العلمية على وجه التحديد،
~~يتأسس على هذا الأساس المتعلق بالأيدي، دون تفكير. فمن
~~الممكن أن تصبح قيم «الاحتمالية» مقبولة اجتماعيا حين
~~تكون بنسب أخرى؛ فربما يجب أن تصبح قيم «الاحتمالية» أقل
~~من 0,03 لكي تعد ذات دلالة إحصائية، أو ربما يجب أن
~~تصبح 0,007 أو 0,023. إنهما قيمتان عشوائيتان ومنخفضتان،
~~لكنهما من منظور غير متحيز للأصابع مسوغتان تماما
~~بقدر تسويغ القيمتين 0,05 أو 0,01.

# كل ما يمكننا إثباته فعلا هو أنه حين تكون قيم
~~«الاحتمالية» منخفضة في دراسة محددة، فإن احتمالات أن
~~تكون الفرضية الصفرية صحيحة ليست بالجيدة، غير أن ذلك لا
~~يمنحنا سوى تأكيد أقل؛ فنحن نرغب في أن تخبرنا الأعداد
~~ببساطة معنى الدراسة. إن ذلك لا يعني أن الاختبارات
~~الإحصائية ليست موضحة، وإنما ms246 لكي نشير إلى أن طريقة
~~تفسيرنا لها ليست حاذقة كما ينبغي لها أن تكون. وبدلا من
~~ذلك، فإن تفسيرنا للدراسات العلمية غالبا ما يعتمد على
~~طريقة «الكل أو لا شيء»، ولهذا الاختيار القائم على الثنائية
~~فوائده في تبسيط قراءتنا للبيانات. لكن الأهم بالرغم من
~~ذلك، هو أن طريقة قيامنا بالاختيار المعني، ليست سوى ناتج
~~ثانوي بالأساس لسمات أيدينا التي نمارس بها العلم. فمن
~~ناحية ما، تعد قيم «الاحتمالية» هي آخر مثال على
~~استخدامنا لأصابعنا، دون أن ندرك في معظم الأحوال، في
~~الإشارة إلى حقائق عليا، لا تختلف كثيرا عن الوصايا
~~العشر.

# خاتمة

# من المحتمل أن تكون الأعداد قد بدأت في تشكيل الخبرة
~~البشرية منذ الماضي البعيد حين كان أسلافنا يسكنون بجوار
~~البحر بالقرب مما يعرف اليوم بمدينة ستيلباي، وهي لا تزال
~~تفعل ذلك؛ فمن المعابد والكنائس، إلى الجامعات والمختبرات، لا
~~تزال الأعداد تغير حياة الجماعات السكانية الزراعية
~~الكبيرة، إضافة إلى الجماعات الصغيرة التي تعيش على الصيد
~~وجمع الثمار، والجماعات التي تعتمد على البستنة، والتي تجبر
~~الآن على الدخول في عالم تزداد عولمته.

# إن التمثيلات
~~اللفظية وغير اللفظية للكميات المحددة، قد غيرت جميع
~~الأوجه الممكنة في حياتنا؛ فبينما تقرأ هذه الكلمات، لا
~~يوجد سوى القليل من عالمك، بداية من أفكارك الداخلية إلى
~~بيئتك الخارجية، هو الذي لم يتأثر بصورة مباشرة أو غير
~~مباشرة بهذه التمثيلات، أي بالأعداد؛ فهذه السطور الأنيقة
~~والحروف الموجودة على هذه الصفحة ما كانت لتصبح ممكنة
~~بدون الأعداد؛ فالأعداد قبل كل شيء، هي التي تمكننا من
~~أخذ القياسات، وقد كانت رموز الأعداد هي باكورة الكتابة.
~~إن ذكر الجوانب التي لم تتأثر في حياتنا باختراع الأعداد،
~~لهو أمر أقل صعوبة من ذكر الجوانب التي تغيرت في حياتنا
~~باختراعها. فكل شيء بداية من الطب الحديث، والدين،
~~والتصنيع، والعمارة، والألعاب الرياضية، قد تأثر باختراع
~~الأنظمة العددية، وتفاصيلها بطرق لا يمكن تمييزها في معظم
~~الأحيان.

# في هذا الكتاب، قدمت طرحا يفيد بأن الأعداد، أي
~~التمثيل الرمزي للكميات، هي اختراع في واقع الأمر؛ ms247 فالكميات
~~ترد في الطبيعة، حتى إن منها ما يرد بصورة منتظمة،
~~سواء أكان ذلك في السنوات التي تفصل بين دورات تكاثر حشرات
~~الزيزيات أو مجموع أرجل العنكبوت، أو أيام الدورة القمرية
~~وغيرها. غير أن الأعداد نفسها، أي التجسيد الرمزي لمثل هذه
~~الكميات المنتظمة، لا توجد بصورة مستقلة عن الابتكار
~~البشري، ونحن لا نخترعها ببساطة، بفضل بعض الآليات الفطرية.
~~وإنني أطرح هذا الزعم بناء على الأدلة الحديثة من التجارب
~~التي أجريت على الأطفال، وعلى الشعوب اللاعددية، وعلى بعض
~~الأنواع قريبة الصلة بنوعنا. ومثلما رأينا فإن هذه
~~الأدلة تئول إلى نتيجة واضحة، وهي أننا لا نولد ونحن
~~نمتلك القدرة على التمييز بين معظم الكميات بدقة، بالرغم
~~من أننا نمتلك بعض القدرات الفطرية التي تمكننا من
~~التمييز بين الكميات بصورة تقريبية، مع التمييز الدقيق بين
~~المجموعات التي تحتوي على كمية صغيرة من الأشياء. إن هذه
~~القدرات لا تسمح لنا بالتمييز بين أعداد معظم مجموعات
~~الأشياء أو الأحداث، حتى وإن كانت هذه المجموعات توجد في
~~الطبيعة. إن اختراع الأعداد، وهي تمثيلات كميات محددة،
~~هو الذي مكن البشر من إدراك الأنماط الكمية على نحو
~~محدد، وذلك بصورة منتظمة على الدوام؛ فقبل اختراع الأنظمة
~~العددية كانت معظم الأنماط الكمية المنتظمة في الطبيعة
~~خفية عن أعين أفراد نوع «الإنسان العاقل»، أو أي نوع غيره
~~كذلك. وقد أدى اختراعها إلى حدوث تغيير إدراكي مزلزل، ولا
~~يزال تأثيره مستمرا.

# وقد اقترحت أيضا أن اختراع معظم أنواع الأعداد لم يكن
~~ناتجا فرعيا تلقائيا عن اللغة والثقافة فحسب، وإنما كانت
~~نتيجة التناظر الحيوي في يدي الإنسان. إنها الأيدي التي
~~يمكن أن نركز عليها بسهولة؛ إذ إنها غير ضرورية للحركة.
~~إن تمكننا من السير على قدمين، قد أتاح لنا التركيز
~~على أيدينا بدرجة أكبر، وتحسين استخدامنا لها. وقد أدى هذا
~~التركيز في نهاية المطاف إلى إدراكنا مصادفة للتطابق
~~العددي بين الأصابع في كل يد والأخرى، إضافة إلى تطابق
~~عدد الأصابع مع غير ذلك من المجموعات. إن هذا الإدراك البسيط
~~شيء بسيط للغاية، ms248 ولكنه غير متأصل في طبيعتنا الفطرية، قد
~~تجسد في النهاية من خلال اللغة. لقد أتت الأعداد إلى
~~الوجود؛ فأصبحت الكميات المحددة حاضرة في أفكارنا على
~~الدوام، فلم نعد نصادفها بشكل متقطع فحسب. وبناء
~~على السجل الأثري والسجل اللغوي، فإن البشر يعبرون عن
~~الكميات المحددة بصورة منتظمة من خلال الأعداد، منذ
~~الكثير من آلاف السنين. ومن هذه الناحية فإن الثورة العددية
~~ثورة قديمة.

# بالرغم من ذلك، فمن ناحية واقعية أخرى لم تكتسب الثورة
~~العددية زخما إلا منذ بضعة آلاف من السنوات. وخلال تلك
~~الفترة، تطورت الأنظمة العددية والزراعة جنبا إلى جنب. وقد
~~تضمنت نتائج هذا التطور المشترك تشكيل مجتمعات أكبر،
~~وظهور أنواع محددة من العقائد الدينية، وظهور الرياضيات
~~وأنظمة الكتابة، التي كانت أنظمة مرتكزة على الأعداد في
~~بداية الأمر. ومما لا جدال فيه أن الأعداد وممارسة العد،
~~قد غيرت قصة البشرية. فبالرغم من أن البشر قد أدركوا
~~أهمية تطور الرياضيات في قصة البشرية منذ فترة طويلة، فقد
~~أكدت أنا على أن اختراع مفردات الأعداد والأعداد
~~المنطوقة، قد أدى دورا أهم وأسبق. وتماشيا مع الأبحاث
~~متعددة التخصصات التي أجريت على هذا الموضوع؛ اقترحت
~~أن الأعداد كانت ولا تزال أدوات إدراكية، أدوات قد غيرت
~~حياتنا قبل استخدام الرياضيات المتطورة بفترة
~~طويلة.

# إننا - نحن البشر - نطفو على الدوام في بحر من الكميات،
~~مثلما أننا نطفو دوما في بحر من المحفزات الأخرى.
~~إننا نطفو في بحر من الضوء المرئي على سبيل المثال، ومثلما
~~أن أعيننا تمكننا من تمييز ذلك الضوء، والتنقل في
~~العالم المادي من حولنا، فإن الأعداد تساعدنا على تمييز
~~الكميات الموجودة حولنا، واجتياز بحور فكرية جديدة. ومثلما
~~أكدت في هذا الكتاب، فإن هذه الأدوات التي نستخدمها في
~~الإبحار الفكري، لا توجد بصورة منفصلة عن اختراعنا لها.
~~إننا لم نكتشف هذه الأدوات قابعة في مكان ما على ساحل
~~جنوب أفريقيا، بل أدركنا التطابق بين الكميات، على مراحل
~~مختلفة من التاريخ وفي أماكن مختلفة قد تكون مدينة ستيلباي
~~منها، ثم جسدنا هذا الإدراك من خلال ms249 ابتكار أنواع جديدة
~~من الكلمات. وفي معظم الأحيان، كان هذا التطابق بين كميات
~~توجد في البرية، والكميات التي تمثلها أصابعنا.

# إذن، فبصفة أساسية قد أخذنا أيدينا ومددناها في بحر
~~الكميات التي لا نستطيع التمييز بينها، وشكلناها في صورة
~~أعداد. لقد أمسكنا بأيدينا كميات من الأشياء الموجودة حولنا،
~~وذلك بصورة مجازية وحرفية أيضا. وقد شكلنا هذه
~~التطابقات المجردة للكميات، وصغنا منها أعدادا حقيقية
~~للغاية، لكنها غير طبيعية على الإطلاق. لقد بنينا الأعداد،
~~ونظرا إلى تأثيرها التحويلي، فمن الإنصاف أن نقول إن
~~الأعداد قد بنتنا أيضا.





# | ملاحظات




# تمهيد

# الجزء
الأول: تغلغل الأعداد في الخبرة البشرية

# الفصل
                                                 الأول: الأعداد منسوجة في حاضرنا

# الفصل
                                                 الثاني: الأعداد منقوشة في ماضينا

# الفصل
                                                 الثالث: رحلة عددية حول العالم اليوم

# الفصل
                                                 الرابع: ما بعد مفردات الأعداد: أنواع أخرى
~~من اللغة العددية

# الجزء
الثاني: عوالم بلا أعداد

# الفصل
                                                 الخامس: شعوب لا عددية معاصرة

# الفصل
                                                 السادس: الكميات في عقول الأطفال الصغار

# الفصل
                                                 السابع: الكميات في عقول الحيوانات

# الجزء
الثالث: الأعداد وتشكيل حياتنا

# الفصل
                                                 الثامن: اختراع الأعداد والحساب

# الفصل
                                                 التاسع: الأعداد والثقافة: نمط الإعاشة والرمزية

# الفصل
                                                 العاشر: أدوات تحويلية ms250