Základní návod

Pracovní soubor = zápisník (notebook)

Příkazy se zapisují do buněk (buňky jsou ohraničeny svorkami v pravé části okna)

Buňky mohou mít různý typ (nadpis, podnadpis, text, ...) - lze změnit klepnutím pravým tlačítkem myši na svorku v pravé části okna

Příkazy v buňce typu input se spouštějí SHIFT + Enter (stejně jako v Pythonovském prostředí Jupyter)

Pokud výpočet trvá dlouho, přerušíme ho stiskem ALT + ,

Výpočet probíhá na výpočetních jádrech (kernel) - mohou být lokální i vzdálené

V jedné buňce může být i více příkazů. Musejí být buď každý na nové řádce, nebo odděleny středníkem

Lze exportovat do LaTeXu

Pokud nevíte, jak nějakou funkci použít, stačí na ní najet kurzorem a vyvolat nápovědu stiskem F1

Použití jako kalkulačka

12+4*7

12+4 7

(místo znaku * pro násobení lze použít mezeru)

Faktoriál

15!

Mocnina

21^12

Odmocnina

Sqrt[135]

(Argumenty funkcí se zapisují do hranatých závorek a oddělují čárkou)

Číselná hodnota

Sqrt[135]//N

Číselná hodnota na hodně desetinných míst

N[Pi,1000]

N[Sqrt[2],100]

Speciální symboly a formátování

Mocnina: CTRL + ^

(21^12)

Odmocnina: CTRL + 2

(Sqrt[4])

n - tá odmocnina CTRL + 2, CTRL + 5

(5^(1/3))

Zlomek : CTRL + /

(249/12)

Řecké písmeno: ESC, phi, ESC (nebo ESC, f, ESC)

ϕ

Nekonečno: ESC, inf, ESC

∞

Další speciální symboly : ESC, název symbolu, ESC (například imaginární jednotka ESC, ii, ESC)

(I^2)

(Imaginární jednotka je rovněž označena jako I)

(I^2)

Proměnné

a=10

b=(Sqrt[5])

c=(Sqrt[a b])

Zrušení obsahu proměnných

Clear[a,b,c]

c

Symbolické manipulace

Práce s výrazy

Pokud proměnné nepřiřadíme hodnotu, lze s ní pracovat jako se symbolem:

v=(((x+y+1))^10)

Roznásobení závorky

Expand[v]

Sdružení podle proměnné y

Collect[v,y]

Koeficient u členu (x^3)

Coefficient[v,(x^3)]

Faktorizace

Factor[%]

Znak % značí výsledek předchozího výpočtu. Pro výsledek předposledního výpočtu lze použít %%. Pro výsledek 4. výpočtu použijte %4. Výsledek 4. výpočtu je ten, u kterého se objeví Out[4].

Factor[(x^2)+3x+2]

Trigonometrické funkce

v =Tan[x]Cos[2x]

Různé goniometrické úpravy

TrigExpand[v]

TrigFactor[v]

tr=TrigReduce[v]

Operátor nahrazení -> (nahradí uvedenou proměnnou zadanou hodnotou)

tr/.x->(π/12)

Zjednodušování výrazů

Velmi mocné a užitečné. Pozor! Provádění funkce FullSimplify může trvat extrémně dlouho.

Simplify[tr]

FullSimplify[tr]

Simplify[(Sqrt[(x^2)]),x>0]

FullSimplify[Cosh[x]-Sinh[x]]

Definice vlastních (uživatelských) funkcí

(namísto = je znak :=; argumenty funkce v deklaraci mají za sebou podtržítko)

f[x_]:=Sin[(x^2)]

f[10]

f[2.1]

Jednoduchý graf

Plot[f[x],{x,-2π,2π}]

(Obrázek můžete uložit kliknutím pravým tlačítkem myši a volbou Save Graphic As ...)

Prostorové a konturové grafy

Plot3D[Sin[x+(y^2)],{x,-3,3},{y,-2,2}]

(Grafem lze pomocí myši otáčet)

ContourPlot[Sin[x]Cos[y],{x,-4,4},{y,-4,4},Contours->20]

Řešení rovnic a soustav rovnic

Kvadratická rovnice s parametrem

Solve[(x^2)+ a x-1==0,x]

Rovnice vyššího stupně

Solve[(x^4)-(x^2)-5==0,x]

N[%,100]

Solve[(x^3)+34x+1==0,x]

Diofantovská rovnice

Solve[x^2+2y^3==3681&&x>0 &&y>0,{x,y},Integers]

Soustava rovnic s parametrem

Solve[{(x^2)+(y^2)==1,x+y==a},{x,y}]

Nahrazení parametru v posledním výrazem konkrétní hodnotou

%/.a->1

Redukce systému rovnic

Reduce[{2x+3y-5z==1,3x-4y+7z==3},{x,y,z}]

Limity

Limit[((Sin[x])/x),x->0]

Následující limitu byste počítali velmi dlouho (L  ' Hospitalovo  pravidlo je nutné použít sedmkrát za sebou)

v=((Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]])/(ArcSin[ArcTan[x]]-ArcTan[ArcSin[x]]))

Limit[v,x->0]

Taylorova řada čitatele

Series[Numerator[v],{x,0,10}]

Taylorova řada jmenovatele

Series[Denominator[v],{x,0,10}]

Řady

Součet konečné řady

Sum[(i^2),{i,1,n}]

Součet nekonečné řady

Limit[Sum[(i^2),{i,1,n}]/(2(n^3)+(n^2)-1),n->Infinity]

Sum[(((-1))^(n+1))((((x-1))^n)/n),{n,1,Infinity}]

Derivování a integrování

D[((Cos[3(x^2)+2x+1])^3),x]

Druhá (a vyšší derivace)

D[v,{x,2}]

(Volání FullSimplify[%] zde trvá hodiny)

Integrate[(x^2)Log[x],x]

Určitý integrál

Integrate[Exp[-(x^2)],{x,0,Infinity}]

Diferenciální rovnice

Harmonický oscilátor s konkrétní počáteční podmínkou

DSolve[{y''[x]==-y[x],y[0]==0,y'[0]==1},y[x],x]

Složitější lineární diferenciální rovnice (bez zadané počáteční podmínky)

DSolve[y''[x]+2y'[x]+2y[x]==0,y[x],x]

Ještě složitější rovnice

s=DSolve[{y''[x]+6y'[x]+8y[x]==(2(x^2)-2x)Exp[-x],y[0]==3,y'[0]==-6},y[x],x]

Vykreslení řešení

Plot[y[x]/.s,{x,0,2}]

Matice a vektory

Matice (vektory, seznamy) se zapisují pomocí složených závorek

m={{1,h,1},{-h,1,1},{1,1,1}}

m//MatrixForm

v=Table[i,{i,1,3}]

Indexování pomocí [[]], první prvek má index 1

m[[2,1]]

Maticové násobení

m.v

Exponenciála matice

MatrixExp[m]

FullSimplify[%]

Exponenciála jednotlivých elementů

Exp[m]

Vlastní hodnoty a vektory

Eigenvalues[m]

Eigenvectors[m]

Pozor! Oproti jiným programům Mathematica neřadí vlastní čísla podle velikosti a nenormuje vlastní vektory

Pohybové rovnice

Hamiltonián (kvartický oscilátor)

H[p_,x_]:=((p^2)/2)+(x^4)

Hamiltonovy pohybové rovnice

eq={X'[t]==D[H[p,x],p],P'[t]==-D[H[p,x],x],X[0]==x0,P[0]==p0}/.{x->X[t],p->P[t]}

Počáteční podmínky s energií E=2

ic=FindInstance[H[p0,x0]==2,{p0,x0},Reals,3]

Řešení pohybové rovnice pro všechny počáteční podmínky 2 (indexuje se pomocí [[2]]) pro čas od 0 do 50

w=NDSolve[eq/.ic[[2]],{X[t],P[t]},{t,50}]

Trajektorie ve fázovém prostoru

ParametricPlot[Evaluate[{X[t],P[t]}/.w[[1]]],{t,0,10},AxesLabel->{"x","p"}]

Souřadnice a hybnost v čase

Plot[{Evaluate[X[t]]/.w,Evaluate[P[t]]/.w},{t,0,10},AxesLabel->{"t","x,p"}]