Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐδέν.

Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφʼ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.

Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.

Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφʼ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.

Ἐπίπεδος γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπʼ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφʼ ἣν ἐφέστηκεν.

Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.

Σχῆμα δὲ τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.

Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, ἣ καλεῖται περιφέρεια, πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί.

Κέντρον δὲ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.

Διάμετρος δέ ἐστιν τοῦ κύκλου εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφʼ ἑκάτερα .μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.

Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ ὑπὸ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.

Τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας ἢ μείζονος ἢ ἐλάττονος ἡμικυκλίου.

Σχήματα εὐθύγραμμά εἰσι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ δ, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ δ εὐθειῶν περιεχόμενα.

Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας πλευρὰς ἔχον, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνον ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.

Ἔτι τε τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον μίαν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.

Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μὲν οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μὲν 2 ()χῆμα C. 4 ἣ] A, ὃ CD. 5 τοῦ σχήματος κειμένων] A, κειμένων τοῦ σχήματος CD. 6 πρὸς—εἰσί] ἐξ ἴσου φέρονται C. 7 om. C. 8 usque ad κέντρου mg. C2. δέ] om. C2. τοῦ κύκλου] om. C2, ἡ τοῦ κύκλου AD. τις] C2, ἥτις AD. τοῦ κέντρου] μέσου τούτων C2. 9 ἠγμένη] ἥτις ἠγμένη C. 10 ἥτις καὶ] om. C. 12 ὑπʼ] καὶ ὑπʼ C. τῆς (alt.)] AC, om. D. 15 κύκλου περιφερείας] τοῦ κύκλου C. οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδές δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον· τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλοῦνται.

Παράλληλοί εἰσιν, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μηδόλως συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.

Καθὼς ἡμᾶς ὁ παλαιὸς διδάσκει λόγος, οἱ πλεῖστοι τοῖς περὶ τὴν γῆν μέτροις ἀπησχολοῦντο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη. ἡ δὲ τῆς μετρήσεως ἐπίνοια εὕρηται παῤ Αἰγυπτίοις· διὰ γὰρ τὴν τοῦ Νείλου ἀνάβασιν πολλὰ χωρία φανερὰ ὄντα τῇ ἀναβάσει ἀφανῆ ἐγίγνετο, πολλὰ δὲ καὶ μετὰ τὴν ἀπόβασιν, καὶ οὐκέτι ἦν δυνατὸν ἕκαστον διακρίνειν τὰ ἴδια· διὰ τοῦτο ἐπενόησαν οἱ Αἰγύπτιοι τήνδε τὴν μέτρησιν, ποτὲ μὲν τῷ καλουμένῳ σχοινίῳ, ποτὲ δὲ καλάμῳ, ποτὲ δὲ καὶ ἑτέροις μέτροις. ἀναγκαίας τοίνυν τῆς μετρήσεως οὔσης εἰς πάντα ἄνθρωπον φιλομαθῆ περιῆλθεν ἡ χρεία.

Ἐπίπεδος γεωμετρία συνέστηκεν ἔκ τε κλιμάτων καὶ σκοπέλων καὶ γραμμῶν καὶ γωνιῶν, ἐπιδέχεται δὲ γένη, εἴδη καὶ θεωρήματα.

Κλίματα μὲν οὖν εἰσι δ· ἀνατολή, δύσις, ἄρκτος καὶ μεσημβρία.

Σκόπελος δὲ εἷς, ὃ δή ἐστι τὸ λαμβανόμενον σημεῖον.

Γραμμαὶ δέ εἰσι δέκα· εὐθεῖα, παράλληλος, βάσις, κορυφή, σκέλη, διαγώνιος, κάθετος ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη, ὑποτείνουσα, περίμετρος καὶ διάμετρος.

Παράλληλος δὲ εὐθεῖα παρακειμένης καὶ ἑτέρας εὐθείας ἔχουσα ἐν ἄκροις διαστήματα πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀλλήλοις ἴσα.

Βάσις δὲ εὐθεῖα γραμμὴ τεθεῖσα ἐπιδεχομένη ἑτέραν εὐθεῖαν.

Κορυφὴ δέ ἐστιν ἡ ἐπὶ τῇ βάσει ἐπιτιθεμένη εὐθεῖα.

Σκέλη δὲ αἱ ἀπὸ τοῦ ἄκρου τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὰ ἄκρα τῆς βάσεως τεταμέναι εὐθεῖαι.

Διαγώνιος δὲ ἡ ἐν τοῖς τετραγώνοις, τραπεζίοις καὶ τοῖς τοιούτοις ἀπὸ γωνιῶν ἐπὶ γωνίαν ἀγομένη εὐθεῖα.

Κάθετος δὲ ἡ καὶ πρὸς ὀρθὰς καλουμένη ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν κορυφὴν καθιεμένη εὐθεῖα ἔχουσα τὰς β γωνίας ἀλλήλαις ἴσας.

Ὑποτείνουσα δὲ ἡ ὑπὸ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τείνουσαεὐθεῖα.

Διάμετρος δὲ εὐθεῖα ἡ τέμνουσα διὰ τοῦ κέντρου τὴν περίμετρον εἰς β τμήματα ἴσα.

Ὀρθὴ μὲν οὖν ἐστι γωνία, εἴ τις εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιεῖ· τότε αἱ δύο ἴσαι εἰσὶν ὀρθαί.

Ὅταν δὲ ἡ μὲν μείζων, ἡ δὲ ἐλάττων, τότε ἡ μὲν μείζων, ἤγουν ἡ πλατυτέρα, καλεῖται ἀμβλεῖα, ἡ δὲ ἐλάττων, τουτέστιν στενωτέρα, ὀξεῖα.

Γένη δὲ ἐπὶ μετρήσεων γ· εὐθυγραμμικόν, ἐμβαδομετρικὸν καὶ στερεομερικόν.

Ἐμβαδομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος, ἐξ οὗ καὶ τὸ ἐμβαδὸν γινώσκεται, ὃ καὶ δύναμις καλεῖται.

Στερεομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος καὶ πάχος, ἐξ οὗ καὶ στερεὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ καὶ κύβος καλεῖται.

Εἴδη δὲ τῆς μετρήσεως ταῦτα· τρίγωνα, τετράγωνα, ῥόμβοι, τραπέζια, κύκλοι.

Ἔχουσι δὲ καὶ θεωρήματα δεκαοκτὼ οὕτως· τετραγώνων θεωρήματα β, τετράγωνον ἰσόπλευρον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον. τριγώνων θεωρήματα ἕξ, τρίγωνον ἰσόπλευρον, τρίγωνον ἰσοσκελές, τρίγωνον σκαληνόν, τρίγωνον ὀρθογώνιον, τρίγωνον ὀξυγώνιον, τρίγωνον ἀμβλυγώνιον. ῥόμβων θεωρήματα β, ῥόμβος καὶ ῥομβοειδές. τραπεζίων θεωρήματα τέσσαρα, τραπέζιον ὀρθογώνιον, τραπέζιον ἰσοσκελές, τραπέζιον ὀξυγώνιον καὶ τραπέζιον ἀμβλυγώνιον. κύκλων θεωρήματα δ, κύκλος, ἀψὶς. ἤτοι ἡμικύκλιον, τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου καὶ τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου.

Καὶ ταῦτα μὲν οὖν τὰ εἴδη καὶ τὰ θεωρήματα ὅσον ἐπὶ τῶν ἐμβαδομετρικῶν· ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν προστιθεμένου ἑκάστου τῇ μετρήσει καὶ τοῦ πάχους ἐξαίρετα εὑρήσεις θεωρήματα ἐπὶ τῶν στερεῶν· εἰσὶ δέκα οὕτως· σφαῖρα, κῶνος, 1 εὐθυμετρικὸν A. μὲν] om. C. 5 ὃ] ὃ δὴ A. 6 πάχος] βάθο C. 8 εἴδη] εἰσὶ BD. μετρίσεως BD. ▽◻ BD. 10 καὶ] om. A. οὕτω A, om. C. τετραγώνων] τετραγώνων οὖν C. 11 β, τετράγωνον] δύο, πρῶτον τετράγωνον τὸ C, τετράπλευργωνον D. καὶ τετράγωνον] δεύτερον τὸ C. 12 τρι- γώνων— 13 ἕξ] om. BD. 12 θεωρήματα ἕξ] δὲ ταῦτα C. 13 τρίγωνον] om. ter C. 14 τρίγωνον] om. ter C. 15 ῥόμβων—β] A, om. BCD. καὶ] om. C. 16 τραπεζίων—τέσσαρα] A, om. BCD. τραπέζιον (alt.)] ἕτερον C. 17 τραπέζιον (utr.)] ἕτερον C. καὶ] om. C. 18 κύκλων—δ] A, om. BCD. ἤτοι] ἤ C. 19 καὶ] om. C. 20 καὶ (pr.)] om. C. τὰ (utr.)] om. C. ὅσον ἐπὶ] om. C. 22 τῇ] C, om. ABD. 23 ἐπὶ τῶν στερεῶν] ἅτινα C. οὕτως] BD, οὕτω A, om. C. ὀβελίσκος, κύλινδρος, κύβος, σφηνίσκος, μείουρος, κίων, πλινθίς, πυραμίς.

Eἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως τετηρημένοι οἵδε· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζους εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι, καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης ἴσαι εἰσὶν ἐφʼ ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλάσιός ἐστι καὶ ἐφέβδομος, καὶ ἐμβαδὸν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου μετρούμενον ἴσον ἐστὶν ἐμβαδοῖς κύκλων τεσσάρων.

Εἰσὶ δὲ καὶ μέτρα τάδε· δάκτυλος, κόνδυλος, παλαιστή, διχάς, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, οὐργυιά, σωκάριον, πλέθρον, ἰούγερον, δίαυλος, στάδιον, ἄκενα, μίλιον, σχοῖνος καὶ παρασάγγης. τὸ πλέθρον σχοινία σωκάρια α ω΄ ιε΄, τὸ ἰούγερον γ γ΄, ὁ δίαυλος στάδια β, τὸ στάδιον κ U+2220″, ἡ ἄκενα σπιθαμὰς ιϛ, τὸ μίλιον στάδια ζ U+2220΄, ὁ σχοῖνος μίλια δ καὶ ὁ παρασάγγης δ.

Τὰ δὲ μέτρα ἐξεύρηνται ἐξ ἀνθρωπίνων μελῶν, δακτύλου, παλαιστοῦ, σπιθαμῆς, ποδός, πήχεως, βήματος, οὐργυιᾶς καὶ λοιπῶν.

Πάντων δὲ ἐλαχιστότερόν ἐστιν ὁ δάκτυλος, ὅστις καὶ μονὰς καλεῖται· διαιρεῖται δὲ ἔσθʼ ὅτε μὲν γὰρ καὶ εἰς ἥμισυ καὶ εἰς τρίτον καὶ εἰς τέταρτον καὶ εἰς λοιπὰ μόρια.

Ἡ διχὰς παλαιστὰς β ἔχει ἤγουν δακτύλους καὶ καλεῖται δίμοιρον σπιθαμῆς. διχὰς δὲ λέγεται τὸ τῶν β δακτύλων ἄνοιγμα, τοῦ ἀντίχειρος λέγω καὶ τοῦ λιχανοῦ· τοῦτο καὶ κυνόστομον καλοῦσί τινες.

σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ ἤγουν δακτύλους ιβ.

Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν μίαν καὶ γ΄ ἤγουν παλαιστὰς δ ἤτοι δακτύλους ιϛ.

Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας β ἤγουν σπιθαμὰς β δίμοιρον ἢ παλαιστὰς η ἢ δακτύλους λβ.

Τὸ βῆμα τὸ ἁπλοῦν ἔχει σπιθαμὰς γ γ΄ ἤγουν πόδας β U+2220΄ ἢ παλαιστὰς ῑ ἢ δακτύλους μ.

Τὸ βῆμα τὸ διπλοῦν ἔχει πόδας ε ἤγουν σπιθαμὰς ϛ ω΄ ἢ παλαιστὰς κ ἢ δακτύλους π.

Ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει σπιθαμὰς β ἢ πόδα ᾱ πρὸς τῷ U+2220΄ ἢ παλαιστὰς ϛ ἢ δακτύλους κδ· ὡσαύτως καὶ τοῦ πριστικοῦ ξύλου.

Ἡ ὀργυιά, μεθʼ ἧς μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ, ἔχει σπιθαμὰς βασιλικὰς θ δ΄ ἤγουν πόδας ϛ καὶ σπιθαμὴν ᾱ δ΄ ἢ παλαιστὰς ἤτοι γρόνθους κζ καὶ ἀντίχειρα, τουτέστι τοὺς μὲν 1 ὅστις] ὅς C. 2 ἔστιν] om. A. ἡ παλαιστή C. 3 ἡ —4 δ] om. C. 5 διχὰς] ABCD. ἔχει παλαιστὰς β΄ C. καὶ —8 τινες] post lin. 9 C. καὶ—6 δίμοιρον] ἡ διχὰς οὖν δίμοιρόν ἐστι τῆς C. 6 β] om. C. 7 τοῦτο] ὃ C. κυνόστομον] C, κοινόστομον ABD 10 Ὁ] ὁ δὲ C. ἤγουν] AC, ἤτοι BD. 11 ἤτοι] A, ἤγουν BD. 12 β (alt.)] δύο καὶ C. ἢ] ἤγουν C. 13 ἢ] ἤτοι C. 14 γ΄] καὶ γον C. ἤγουν πόδας] παίδας C. 15 ἢ (utr.)] om. C. 16 ἤγουν] om. C. 17 ἢ (utr.)] om. C. 18 ἢ] ἤτοι C. πρὸς τῷ] om. C. 19 ἢ (pr.)] ἤφ C. ἢ (alt.)] ἤφ C, 21 praemittit ἀπὸ τῆς ὑποπτικῆς γεωμετρίας A. οὐργυιά C 22 ἤγουν] ἢ D. ἢ] ἤ C. 23 ἤτοι] ἢ C. τουτέστι—p. LXXVII, 2 χειρός] ὅ ἐστι τρεῖς δάκτυλοι C. κϛ ἐσφιγμένης οὔσης τῆς χειρός, τὸν δὲ τελευταῖον ἢ πρῶτον ἡπλωμένου καὶ αὐτοῦ τοῦ δακτύλου τῆς χειρός, ὃς δὴ καὶ δ΄ λέγεται σπιθαμῆς, ἔχει δὲ δακτύλους γ. μεθʼ ὃ δὲ ποιήσεις ὀργυιὰν ἐν καλάμῃ ἢ ἔν τινι ξύλῳ. μετὰ τοῦτο ὀφείλεις ποιῆσαι σχοινίον ἤγουν σωκάριον ῑ οὐργυιῶν καὶ οὕτω μετρεῖν, ὃν μέλλεις μετρῆσαι τόπον· τὸ γὰρ σωκάριον τῆς σπορίμου γῆς ῑ ὀργυιὰς ὀφείλει ἔχειν, τοῦ δὲ λιβαδίου ιβ.

Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ἔχει ὁ τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ δὲ τοῦ δωδεκαοργυιαίου ἔχει ὀργυιὰς σπ.

πλὴν οἱ βραχύτατοι καὶ πεδινοὶ τόποι μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ὀφείλουσι μετρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ τῶν προαστείων τῶν ὁλογύρως μετρουμένων μετὰ τοῦ δωδεκαοργυιαίου σχοινίου διὰ τὸ εὑρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν περιορισμῶν αὐτῶν πολλάκις ξηροχειμάρρους καὶ ῥύακας καὶ λόχμας καὶ ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου μετρηθῶσιν, ὀφείλουσιν ὑπεξαιρεῖσθαι εἴτε ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν σωκαρίων κατὰ ῑ σωκάρια ᾱ εἴτε ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ ῑ μόδια μόδιον ἓν διὰ τὰς εἰρημένας αἰτίας.

Πλάτος γὰρ καὶ μῆκος ὀργυιῶν ε ποιοῦσι λίτραν ᾱ, καὶ καθεξῆς

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ῑ ποιοῦσι λίτρας δύο.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ρ ποιοῦσι λίτρας ἤτοι μόδιον U+2220΄.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν σ ποιοῦσι λίτρας μ ἤτοι μόδιον ᾱ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν τ ποιοῦσι λίτρας ξ ἤτοι μόδιον ᾱ U+2220'.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ποιοῦσι λίτρας ἤτοι μόδια β.

Τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, μετρεῖται οὕτως. ἔστω τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων γ, τὸ δὲ μῆκος η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· πολλαπλασίασον τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται κδ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ U+2220΄ ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Ἕτερον τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, ὃ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ μὲν πλάτος οὐργυιῶν ιε, τὸ δὲ μῆκος κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίασον τὰς κ ἐπὶ τὰς ιε· γίνονται τ· τοσούτων οὐργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ ε΄· γίνονται ξ· καὶ ἔστι μόδιον ᾱ U+2220.

Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὰ μὲν μήκη οὐργυιῶν π, τὸ δὲ πλάτος ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίασον τὰς τοῦ μήκους ἐπὶ τὰς ξ τοῦ πλάτους· καὶ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ,δω. ὧν μέρος σʹ· γί   νονται κδ· καὶ ἔστι γῆς μόδια κδ.

Ἕτερον τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ μὲν μῆκος σχοινίων η, τὸ δὲ 2 οὐργυιὰ D. 3 A, om. BCD. 7 η] σχοινίων η A. οὕτω C. 8 πολυπλασίασον A. μῆκος] μῆκος ἤγουν τὰ γ ἐπὶ τὰ η A. 9 τοσούτων—ἐμβαδόν] τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων κδ A. U+2220΄] U+2220΄ γ A. 10 τοσούτων] ιβ A. 12 τὸ] τὰ A. πλάτος] πλάτη ἀνὰ A. τὸ] τὰ A. 13 μῆκος] μήκη ἀνὰ ὀρ A. οὕτω C. πολυπλασίασον A. 14 γίνεται C. 15 ἔστι] ἔστι λιτρῶν ξ ἤτοι A. 16 τὸ C. 17 μῆκος C, μήκη ἀνὰ A. τὸ (pr.)] τὰ A. πλάτος] πλάτη ἀνὰ ὀρ A. εὑρεῖν—19 πλάτους] om. C. 18 ποίει οὕτως] A, om. BD. πολυπλασίασον A. 19 αὐτοῦ] τοῦ παραλληλογράμμου ὀρ A. γίνονται] γίνεται A, καὶ γίνονται C. 22 τὸ (pr.)] τὰ A. μῆκος] μήκη ἀνὰ A. ἐμβαδὸν μ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ πλάτος. ποίησον οὕτως· λαβὲ τῶν μ τὸ η΄· γίνεται ε· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων τὸ πλάτος. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίασον τὰ ε τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ η τοῦ μήκους· γίνονται μ· ὧν τὸ U+2220΄ κ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων δ ἤγουν οὐργυιῶν μ, ἡ κάθετος δὲ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων γ ἤγουν οὐργυιῶν λ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ε ἤγουν οὐργυιῶν ν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ μὲν τῶν σχοινίων ποίει οὕτως· λάμβανε τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ β σχοινία καὶ πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου οὕτως· δὶς τὰ γ ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ϛ. ὧν τὸ U+2220ʹ γ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ.

ἐπὶ δὲ τῶν οὐργυιῶν λάμβανε ὁμοίως τῆς βάσεως τὸ U+2220ʹ ἤγουν τὰς κ καὶ πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὰς λ οὕτως· κ΄ λ χ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου οὐργυιῶν χ. ὧν μέρος σ΄ γίνονται γ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ.

ἐν παντὶ γὰρ μέτρῳ, εἰ μὲν μετὰ σχοινίου γίνεται ἡ μέτρησις, τὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ σχοινία ἡμισυαζόμενα ἀποτελοῦσι τὸν μοδισμόν, εἰ δὲ μετὰ οὐργυιῶν, αἱ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ οὐργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ὑπὸ τὰ σ ἀποτελοῦσι τὸν μοδισβόν· μ γὰρ οὐσῶν λιτρῶν τῷ ἑνὶ μοδίῳ οὐργυιῶν τε σ ἐπιβάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ οὐργυιαὶ ε.

ἐπὶ δὲ τῶν οὐργυιῶν οὕτως· λαβὼν τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰς μ οὐργυιὰς ἐπὶ τὰς ξ τῆς καθέτου πολλαπλασίασον· γίνονται βυ· τούτων μέρος σ΄ γίνονται ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Ἰστέον, ὅτι παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου οἱ πολλαπλασιασμοὶ τῶν β πλευρῶν τῆς ὀρθῆς γωνίας ἴσοι εἰσὶ μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ β πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν σχοινίων η, ἡ ἐπὶ τῆς βάσεως δηλαδή, ἡ δὲ σχοινίων ϛ ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθάς· ἀπὸ τούτων εὑρεῖν τὸν ἀριθμὸν τῆς ὑποτεινούσης. ποίησον οὕτω· πολλαπλασίασον τὰ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ξδ· καὶ τὰ ϛ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. σύνθες ταῦτα μετὰ τῶν ξδ τῆς βάσεως· γίνονται ρ. τούτων λαβὲ τετραγωνικὴν πλευράν· καὶ ἔστι ῑ, καὶ αὕτη ἐστὶν ἡ τετραγωνικὴ πλευρὰ ἡ καὶ ὑποτείνουσα.

ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνς· καὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ υ. ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ κ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα.

ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν, ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν υ τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς ιβ, ἅτινα γίνεται ἐφʼ ἑαυτὰ ρμδ· λοιπὰ σνς. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιϛ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ βάσις.

καὶ ἄλλως τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τρὶς τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται ξ· τούτων τὸ ε΄· γίνονται ιβ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς.

ὁμοίως καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολλαπλασίαζε τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ϡ. καὶ τὴν βάσιν ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ,αχ· ὁμοῦ ,βφ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ν· τοσούτων οὐργυιῶν ἔσται ἡ ὑποτείνυσα.

Μέθοδος Πυθαγόρου περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων.

Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ τὴν τοῦ Πυθαγόρου μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· ἀπὸ τούτων ἄφελε μονάδα α· λοιπὰ κδ. ὧν τὸ U+2220ʹ ιβ· ταῦτα ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν, καὶ γίνονται ιγ· τοσούτων ἡ ὑποτείνουσα.

Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν η. τούτων τὸ U+2220ʹ δ· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. ἀφαίρει ἀπὸ τούτων μονάδα α· λοιπὰ ιε· τοσούτων ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται ιζ· ταῦτα ἀπόδος τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίαζε ἀεὶ τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ U+2220ʹ  τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγόμενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου. οἷον ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων κ, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιε καὶ ἡ ὑποτείνουσα κε· εὑρεῖν οὖν 1 πολυπλασίαζε A. 3 ὁμοῦ] ὁμοῦ A. 4 τετραγωνικὴ BD 6 περὶ—ὀρθογωνίων] πῶς δεῖ συστῆσαι τρίγωνον ὀρθο γώνιον A, περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου C. 9 οὕτω C. 10 ὧν] τούτων A. 11 U+2220ʹ] U+2220 γ A. 13 praemittit μέθοδος Πλάτωνος πῶς δεῖ συστῆσαι τρίγωνον ὀρθογὼνιον A, πλάτωνος mg. C. 14 ποίησον A. οὕτω C. διδόσθω A. 15 U+2220΄] U+2220΄ γ A. 16 τοσοῦτον C. 19 οὕτω C, ποίει οὕτως A. πολυπλασίαζε A. ἀεὶ] om. C. 20 τὴν (pr.)] AC, om. BD. ἤτοι BD. 21 συναγόμενον] om. A. 23 ὀρθόγωνον A. 24 κε] σχ κε A. τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ῑ ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου τὰ ιε· γίνονται ρν· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται οε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων οε.

Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις σχοινίων ῑ καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς κοινὴ οὖσα τῶν δύο τριγώνων σχοινίων ιβ· εὑρεῖν δὲ αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ῑ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρκ· ὧν τὸ U+2220ʹ ξ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν.

ὧν τὸ U+2220ʹ λ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λ. εἰ δὲ θέλεις ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν ῑ τῆς βάσεως τὰ U+2220΄· γίνονται ε· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ κε. καὶ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης ἐφʼ ἑαυτὰ ρξθ. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος ιβ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος.

οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ῑ. τὰ ῑ οὖν τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρ· ὧν τὸ γʹ· γίνονται 1 οὕτω C. 2 τῆς] ιε τῆς A. τὰ ιε] πολυπλασίασον καὶ A. 3 γίνονται] D, comp. C, γίνεται AB. μοδίων γῆς C. 6 δὲ] supra scr. D. 7 οὕτω C. τὰ (alt.)] om. C. 8 τὸ (pr.)] AD, τὰ B, τα C. 9 (pr.)] γ λ A. 10 οὕτω C. τῶν ῑ— 12 ἑαυτὰ] τὰ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ε ἐφʼ ἑαυτὰ πολλαπλασίασον καὶ γίνονται κε εἶτα τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης καὶ γίνονται C. 12 ἐφʼ] γ ἐφ᾿ A. τὰ—13 πλευρὰ] ρμδ τούτων C. 13 πλευρὰ] π BD, πλευρ`` A. τετράγωνον C. ιβ] γ ιβ A. 16 οὕτω C. πολυπλασίαζε A, πολλαπλασίασον BD, πολλαπλασιάζον C. τὴν] ἀεὶ τὴν A. ἐπʼ BD. ἀεὶ] om. A. 18 γʹ καὶ ι΄] ιγον C. τοσούτων BC, 20 ἑκάστη] A, ἕκαστον C, ἑκάστου B et e corr. D. 21 γίνονται (alt.)] comp. A, γίνεται C. λγ γ΄· καὶ τὸ ι΄· γίνονται ῑ· ὁμοῦ μγ γ΄· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

Τριγώνου δὲ ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ὕφελε ἀεὶ τὸ ι΄ καὶ τὸ λ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ τὸ λοιπὸν γίνωσκε εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου. εἶτα πολλαπλασίαζε τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ συναγόμενόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.

οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ῑ, μιᾶς δὲ ἑκάστης πλευρᾶς τὸ ι΄ ᾱ καὶ τὸ λ΄ γ΄. ταῦτα ἤγουν τὸ ᾱ καὶ τὸ γ΄ ὑπεξαίρει ἀπὸ τῶν ῑ· λοιπὰ η καὶ ω΄· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος.

τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ε σχοινία πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ η ω΄ τῆς καθέτου· καὶ γίνονται μγ γ΄· ὧν τὸ U+2220ʹ ἐστιν κα ω΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κα καὶ λιτρῶν κϛ ω΄.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιβ τῆς μιᾶς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· τούτων τὸ γ΄ γίνεται μη, καὶ τὸ ι΄ ιδ γ΄ ι΄ καὶ ε΄· ὁμοῦ ξβ γ΄ ι΄ καὶ ε΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοσούτων σχοινίων.

τὴν δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ὁμοίως τὸ ι΄ καὶ τὸ λ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν, καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου. οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν, ὡς εἴπομεν, σχοινίων ιβ, μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ι΄ ᾱ ε΄, καὶ τὸ λ΄ γίνεται γ΄ι΄ καὶ ε΄. ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις ᾱ 1 γίνονται] comp. A, γίνεται BCD. 4 ὕφειλε C. 5 πολυπλασίαζε A. 6 πολυπλασιασμοῦ A. 8 ἴσων] om. C. 9 ἑκάστης] C, ἑκατέρας BD. om. A. τὸ ι΄] ὑπεξαίρει τὸ ῑον C, τὸ ι΄ γ A. ᾱ] om. C. γ΄] γ΄ A, om. C. 10 ταῦτα— 11 κάθετος] καὶ τὸ ἐναπολειφθέν ἐστιν ἡ κάθετος ἐναπελείφθη δὲ η καὶ (ins.) ω C. 10 ᾱ] λ BD. γ΄] τρίτον A. ὑφεξαίρει A. καὶ (alt.)] om. A. 12 οὕτω C. πολυπλασιάσας A. 13 η] η καὶ C. γίνονται] comp. A, γίνεται BCD. 14 ἐστιν] γ A. κα (alt.)—ω΄] τοσούτων C. λιτρῶν] λεπτῶν comp. BD. 16 οὕτω C. 18 ι΄ (sec.)] om. C. ι΄ (tert.)] om. C. 18—19 τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων C. 23 ᾱ ε΄] ABD, om. C. γ΄—ε΄] ᾱ γ″ ε″ ι″ C. καὶ ε΄] ε΄ A. ταῦτα—p. LXXXIX, 1 ιε΄] A, om. BCD. U+2220 ι· ταῦτα ὑπεξαίρει ἐπὶ τῶν ιβ· λοιπὰ ι γ΄ ιε΄· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ κάθετος. εἶτα πολλαπλασίασον τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὰ ϛ ἐπὶ τὰ ῑ γ΄ ι΄ καὶ ε΄· γίνονται καὶ οὕτως ξβ γ΄ ι΄ καὶ ε΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται λα ε΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λα καὶ λιτρῶν η.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων λ· εὑρεῖν δὲ τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ ιγ, καὶ γίνονται α ,αψ· ὧν τὸ λ΄· γίνονται τ𝒢· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. κατὰ δὲ τὴν ἄνω μέθοδον οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται τ𝒢· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν.

ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν λ τὸ γʹ καὶ τὸ ι΄· καὶ γίνονται ιγ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται τ𝒢· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.

ἔστι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τὰ λ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ κς τῆς καθέτου· καὶ γίνονται ψπ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται τ𝒢· τοσούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν, οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων 1 ἐπὶ] scr. ἀπὸ. ιε΄] ι″ ε΄ A. 2 ἐστὶν] om. A. πολυπλασίασον A. 3 ἐπὶ τὴν κάθετον] om. C. ῑ] A, om. BD, καὶ C. ι΄ καὶ ε΄] ι″ ε″ A. γίνονται] καὶ γίνονται C, γίνεται ABD. 4 καὶ (pr.)] om. C. ι΄ καὶ ε΄] BD, ι″ ε″ A, καὶ ε΄ C. 5 γίνονται] om. C. ε΄] ζ″ BD. καὶ—6 η] κ΄ καὶ ξ΄ καὶ τοσούτων μοδίων ἐστίν C. 8 αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν A. οὕτω C. 9 ταῦτα—12 ϡ] om. A. 11 ἄνωθεν D. οὕτω C. 12 γίνονται (alt.)] γίνεται C, comp. A. 13 ἐστὶ σχοινίων A. Post ἐμβαδόν add. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ϡ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ιγ· καὶ γίνονται α αψ. ὧν τὸ λ″· γίνονται τ𝒢· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν A. ἐὰν—16 ἐμβαδόν | om. C. 13 καὶ ἄλλως εὑρεῖν A. 14 τὸ ι΄] τὰ ι΄ D. 17 τῶν πλευρῶν] πλευρᾶς A. πολυπλασίασον A. 18 καὶ] om. C. 19 ἔσται σχοινίων A, σχοινίων ἐστὶ C. 20 οὗ] ἔστι δὲ A. λ, ποίει οὕτως· τὴν ᾱ πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· γίνονται ϡ ὧν τὸ δ΄ σκε· λοιπὰ χοε. ὧν πλευρὰ τετράγωνος σύνεγγυς κϛ· καὶ ἔσται ἡ κάθετος σχοινίων κϛ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὴν βάσιν, τουτέστιν ἐπὶ τὰ λ· γίνονται ψπ· ὧν τὸ U+2220ʹ γίνεται τ𝒢. τούτων δὲ τὸ U+2220ʹ γίνεται ρ𝒢ε· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ δοθέντος, μὴ μέντοι ὀρθογωνίου, εὑρίσκειν τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· δεῖ δὴ πρότερον εὑρίσκειν τὰς ἐπὶ τῆς βάσεως γινομένας διὰ τῆς καθέτου ἀποτομὰς ἀνίσους οὔσας, τὴν μὲν μείζονα, τὴν δὲ ἐλάσσονα, ποιεῖν δὲ οὕτως· πολλαπλασίαζε ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν ἀπογραφόμενος ἰδίᾳ καὶ ἰδίᾳ τάξας πρότερον τὴν μὲν τῶν πλευρῶν βάσιν, τὴν δὲ μείζονα ὑποτείνουσαν, τὴν δὲ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν· τοῦτο δʼ ἔσται σοι δῆλον, εἴπερ ὁ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἀριθμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν β πλευρῶν.

τὴν μείζονα τῶν πλευρῶν τάττε βάσιν, καὶ εἰ μὲν βούλει τὴν μείζονα εὑρίσκειν ἀποτομήν, συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως γινόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων τὰ ἡμίση μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι 1 ποίει οὕτως] A, ποίει οὕτω C, ἔστι καὶ ἄλλως ποιῆσαι BD. τὴν—ἐαυτήν] τὰ λ ἐφ᾿ ἑαυτά C. 2 σκε] σκε A. σύνεγγυς] ὡς σύνεγγυς γ A. καὶ—3 κϛ] om. C, καὶ ἔστι τοσοῦτον ἡ κάθετος mg. 3 πολυπλασίασον A. 4 ἐπὶ] ins. A. τὸ U+2220ʹ μέρος C. γίνεται] ABD, om. C. 5 τ𝒢—γίνεται] A, om. BCD. τοσούτων] ἑκατὸν ἐνενήκοντα πέντε A. 7 σχαλινοῦ C. 8 σκαλινοῦ C. μέντοι] μέντοι γε A. 9 οὕτω C. 11 τὴν μὲν] τουτέστι τὴν μὲν A. 12 ποίει C. οὕτω C. πολυπλασίαζε A. πλευρᾶς] π AB, πλευρῶν D. 13 ἀπογραφόμενον C, ἐφʼ ἑαυτὸν ἀπογραφόμενος A. 14 ἐλάττονα BD. 15 ὑποτείνουσαν] om. C. deinde add πλὴν εἴπερ ἐστὶ τὸ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον A. δὲ C. ἔστω BD. 18 τῶν] οὖν τῶν C. βούλει] comp. D, βούλλει B. 19 πολαπλασιασμοῦ A. 21 ἀπὸ] om. A. 22 ἐλάσσονος A. 23 U+2220″ C. τὴν μείζονα ἀποτομὴν τῆς βάσεως.

εἰ δὲ τὴν ἐλάσσονα θέλεις εὑρίσκειν ἀποτομήν, τὸ ἀνάπαλιν ποίει· συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάσσονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων λάμβανε τὰ ἡμίση καὶ ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι τὴν ἐλάσσονα ἀποτομήν.

εὑρίσκοντι οὖν σοι τὰς τοιαύτας ἀποτομὰς ῥᾴδιον ἔσται σοι καὶ τὴν κάθετον θηρᾶσθαι· ἢ γὰρ ἀφαιρῶν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ἀποτομῆς ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἕξεις τὴν κάθετον ἢ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ἀποτομῆς ἀφαιρῶν ἐκ τοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης.

θέλω δὲ εὑρεῖν τὴν μείζονα ἀποτομήν. συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρο. τούτων ἀφαιρῶ τὸν πολλαπλασιασμὸν τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ λϛ· λοιπὰ 1 τῆς βάσεως τὴν μείζονα ἀποτομήν A, supra add. β—α—γ. ἐλάττονα C. 3 ἀπὸ τοῦ] om. C. 4 ἀπὸ] om. A. 6 U+2220″ C. 13 ἐλάσσονος A. ἐλάσσονος A. 14 ὑποτεινούσης] ὑποτεινούσης πολλαπλασιασμοῦ ἕξεις αὐτήν C. 15 διʼ] ἐπὶ A. 16 σκαλινὸν C. ϛ ζ A. 17 ὁ—19 πλευρῶν] om. C. 18 ἤγουν] A, om BC. πολυπλ/οσ A, πολλαπλάσιος BD. 19 τῶν λοιπῶν] τοῦ Λου BD. δύο] β A. 20 ϛ] δὲ ϛ τάττω C. καὶ τὰ] οὖσαν τὰ δὲ C. 21 γίνονται] A, γίνεται BCD. 21—22 μὲν. βάσεως C. 22 ἐλάττονος] ἐλάττονος δὲ C. 25 γίνονται] C, γίνεται ABD. 26 ἐλάσσονος BD. τὰ] om. C. ρλδ· τούτων τὸ U+2220″ ξζ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια, καὶ γίνονται ϛ ια καὶ ἔστιν ἡ μείζων ἀποτομὴ ϛ ια΄. λοιπὴ ἄρα ἡ ἐλάττων ἀποτομὴ ἔσται δ καὶ ι ια΄.

εἰ δὲ θέλω τὴν ἐλάττονα εὑρεῖν πρότερον ἀποτομήν, συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρνζ. τούτων ἀφαιρῶ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ μθ· λοιπὰ ρη· τούτων τὰ U+2220΄ νδ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια, καὶ γίνονται δ καὶ ῑ ἑνδέκατα· καὶ ἔστιν ἡ ἐλάσσων ἀποτομή. λοιπὴ ἄρα ἡ μείζων ἀποτομὴ ἔσται ϛ καὶ ᾱ ἑνδεκάτου, καὶ ἔστιν ἡ τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις ἀμφοτέρωθεν σύμφωνος.

εἶτα λαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ἀποτομῶν καὶ ἀφαιρῶν τοῦτον ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ὑποτεινουσῶν τῆς τῇ ἀποτομῇ ἀναλογούσης καὶ τοῦ καταλιμπανομένου τετράγωνον λαμβάνων πλευρὰν ἔχω τὴν κάθετον.

Παντὸς τριγώνου δοθέντος εὑρίσκειν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· συντίθει τὸν ἀριθμὸν τῶν τριῶν πλευρῶν ὁμοῦ καὶ τῶν συναγομένων λάμβανε τὸ U+2220ʹ καὶ ἀπὸ τούτων πάλιν ἀφαίρει ad lin. 17 mg. καὶ ἐπὶ ὀρθογωνίου τριγώνου δυνατόν ἐστι ποιήσαντας κατὰ τὴν μέθοδον καὶ ὑποθεμένους τὴν ὑποτείνουσαν ὡς βάσιν συμπεραίνεσθαι τὸ προκείμενον. ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον αὐτόθεν ἔχει τὴν κάθετον, ὡς οὐκ ἀναγκαίου ὄντος ἑτέραν ζητεῖν κάθετον διὰ τοῦτο οὐ παραλαμβάνεται A. 1 ρμδ C. τὸ] τὰ A. 2 γίνονται] A, comp. C; γίνεται BD. ια΄] corr. ex ια D, ια καὶ ἓν (in ras.) C. καὶ (alt.)] in ras. C. 3 post ια΄ supra scr καὶ ἓν C. καὶ] om. C. ῑ ια΄] BD, ῑ ἑνδεκάτων A, ια καὶ ῑ C. πολλαπλασιασμὸν] πολλαπλασιασμοῦ BD. 10 δ—ἑνδέκατα] δ ια καὶ ῑ C. 11 ἡ (pr.)] om. D. καὶ ᾱ ἑνδεκάτου] ια καὶ ἕν C. ᾱ] ἑνὸς A 11—12 ἡ ἀμφοτέρωθεν τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις A. 13 τὸν] τὴν BD, om. C. ἀπὸ τοῦ] om. C. 14 ἀποτεινουσῶν D. 15 τῆς] A, καὶ BCD. ἀναλογούσης τῇ ἀποτομῇ A. καὶ—16 πλευρὰν] εἶτα λαμβα΄ τὸ καταλιμπανόμενον τετράγωνον C. 15 τετραγωνικὴν A. 20 τούτων πάλιν] τούτου αὖθις A. ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν καὶ τῶν ὑπολιμπανομένων τον μὲν τῆς μιᾶς πλευρᾶς πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὸν U+2220ʹ τοῦ ἀπὸ τῆς συνθέσεως τῶν πλευρῶν, τὸν δὲ τῆς ἑτέρας ἐπὶ τὸν γεγονότα ἀπὸ τοῦ προτέρου πολλαπλασιασμοῦ, καὶ αὖθις τὸν τῆς λοιπῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὸν γεγονότα ἀπὸ τοῦ δευτέρου πολλαπλασιασμοῦ· καὶ τοῦ γεγονότος λαβὲ τὴν τετραγωνικὴν πλευράν· καὶ τοῦτο ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τρίγωνον, οὗ αἱ πλευραὶ γ δ ε, ὅπερ καὶ ὀρθογώνιον τρίγωνόν ἐστιν. ὁ ἐκ τῶν τριῶν πλευρῶν συντιθέμενος ἀριθμὸς γίνεται ιβ· γ γὰρ καὶ δ ζ, καὶ ζ καὶ ε ιβ· τούτων τὸ U+2220ʹ ϛ· ὧν ἀφαιρουμένης ἑκάστης πλευρᾶς καταλείπονται μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς τῆς μὲν γ, τῆς δὲ β, τῆς δὲ ᾱ. τούτων ὁ μὲν γ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ϛ ποιεῖ τὸν ιη, ὁ δὲ β ἐπὶ τὸν ιη ποιεῖ τὸν λϛ, ἡ δὲ μονὰς ἐπὶ τὸν λϛ ποιεῖ πάλιν τὸν αὐτὸν λϛ. τούτων πλευρὰ τετράγωνος ὁ ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τριγώνου ϛ. καὶ τοῦτο δῆλον καὶ ἀπὸ τῆς ἑτέρας μεθόδου τῆς περὶ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων· τὰ γὰρ γ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ ἡμίση τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ β, πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι τὸν ϛ. πεπείραται δὲ αὕτη ἡ μέθοδος καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς πᾶσι τριγώνοις καὶ ἔστιν ἀσφαλεστάτη.