ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιϛ′. ΘΕΩΡ.

Οἱ ὁμοίας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι παραλλήλων τινῶν κύκλων περιφερείας ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων, ἢ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφ άπτονται.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΗΓ, ΒΖΘΔ παραλλήλων τινῶν κύκλων τῶν ΑΒΓΔ ΕΖΗΘ ὁμοίας ἀφαιρείσθωσαν περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν, τοῦτ’ ἔστι, τὴν ΑΒ τῇ ΕΖ ὁμοίαν· λέγω, ὅτι οἱ ΑΗΓ, ΒΖΘΔ κύκλοι ἤτοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων, ἢ τοῦ αὐτοῦ ἐφάπτονται τῶν παραλλήλων.

Ἤτοι γὰρ ὁ ΑΗΓ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων, ἤ οὔ.

Ἔστω πρότερον διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων· λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΒΘΔ κύκλος διὰ τῶν πόλων ἐστὶ τῶν παραλλήλων, τοῦτ’ ἔστι, ὅτι τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ.

Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ Λ σημεῖον πόλος τῶν παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν Λ, Ζ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΖΜ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΜ περιφέρεια τῇ ΕΖ. Ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ ΑΜ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΜ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ Λ σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλο, πλὴν τὸ Κ σημεῖον· τὸ Κ ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων. Οἱ ἄρα ΑΗΓ, ΒΘΔ κύκλοι διὰ τῶν πόλων εἰσὶ τῶν παραλλήλων.

Δευτέρα καταγραφή a.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ ἔστω ὁ ΑΗΓ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων. Ἤτοι δὴ ἐφάψεται τοῦ ΕΖΘ κύκλου, ἢ λοξὸς ἔσται πρὸς αὐτόν.

Ἐφαπτέσθω πρότερον κατὰ τὸ Ε, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς· λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΖΒ ἐφάψεται.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, μὴ ἐφαπτέσθω, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Ζ σηποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΖΓ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΕΑ ἡμικυκλίῳ· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ ΓΑ ἄρα τῇ b ΑΒ ἐστιν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ὁ ΒΖ κύκλος τοῦ ΕΖΘ κύκλου οὐκ ἐφάψεται, ἐφάψεται ἄρα.

Τρίτη καταγραφή (ϲ).

Ἀλλὰ δὴ ὁ ΑΗΓ λοξὸς ἔστω τοὺς παραλλήλους, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφὴς ·ἐφάψεται ἄρα δύο κύκλων ἴσων μὲν ἀλλήλοις, παραλλήλων δὲ τοῖς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ· λέγω, ὅτι καὶ ὁ ΒΖΘΔ λοξός ἐστι πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ τοῦ αὐτοῦ ἐφάψεται.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, ὁ μὲν ΑΕΗΓ κύκλος ἐφαπτέσθω ἑνὸς τῶν παραλλήλων τοῦ ΜΞ κατά τὸ Λ σημεῖον, ὁ δὲ ΒΖΘΔ μὴ ἐφαπτέσθω· καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου, ὄντος μεταξὺ τοῦ τε ΛΜ κύκλου καὶ τοῦ ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ, μέγιστος κύκλος γεγράφθω, ἐφαπτόμενος τοῦ ΛΜ κατὰ το Μ σημεῖον ὁ ΝΖΜ, ἀσύμπτωτον ποιῶν τὸ ἀπὸ τοῦ ΛΑ ἡμικύκλιον τῷ ἀπὸ τοῦ ΜΝ d ἡμικυκλίῳ.

Ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒΝ περιφέρεια τῇ ΕΖ περιφερείᾳ· ἀλλ’ ἡ ΕΖ περιφέρεια τῇ ΑΒ ἐστὶν ὁμοία, [καὶ ἡ ΑΒΝ ἄρα τῇ ΑΒ ἐστιν ὁμοία e], καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἡ ΝΑ περιφέρεια τῇ ΑΒ περιφερείᾳ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὔκ ἄρα ὁ ΔΘΒ κύκλος οὐκ ἐφάψεται τοῦ ΛΜ κύκλου, ἐφάψεται ἄρα. Οἱ ΑΕΗΓ, ΒΖΘΔ ἄρα κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτονται.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιζ′. ΘΕΩΡ.

Οἱ ἴσας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας, πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων, ἴσοι εἰσὶν, οἱ δὲ μείζονας a, ἐλάσσονες.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ περιφέρειαν τὴν ΒΖ, ἴσην τῇ ΓΖ περιφερείᾳ, ἀφαιρείσθωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ.

Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΖ, τοῦ δὲ ΓΔ καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ.

Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΕΘΖ, ΓΚΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνεται τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί είσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ παράλληλός ἐστι. Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΖ, ΓΔ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ περιφέρεια τῇ ΓΖ περιφερείᾳ. Ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΓ, ἔσονται αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι· ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΑΕ ἴση ἐστίν· ἀλλ’ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶ, καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση, καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ συναμφοτέραις ταῖς ΕΔ, ΖΓ ἴσαι εἰσίν. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΑΛΒΖ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΖΓΜΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, μέγιστοι γάρ εἰσι κύκλοι οἱ ΕΘΖ, ΑΒΓΔ, ὧν συναμφότεραι αἱ ΕΑ, ΖΒ συναμφοτέραις ταῖς ΕΔ, ΖΓ ἴσαι εἰσίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛΒ λοιπῇ τῇ ΔΜΓ ἐστὶν ἴση, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἅρα ἐστὶν ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ.

Ἤτοι δὴ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ, ΔΚΓ κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἢ οὔ.

Τεμνέτω πρότερον διὰ τῶν πόλων, καὶ δίχα ἄρα αὐτοὺς τεμεῖ· ἡ μὲν ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒ κύκλου, ἡ δὲ ΔΓ τοῦ ΔΚΓ κύκλου, καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἴση· ἴσος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΓΚΔ κύκλῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ τεμνέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ, ΓΚΔ κύκλους διὰ τῶν πόλων· καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων, καὶ ἔστω τὸ Ν σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΘΚΜΞ, καὶ τῇ ΛΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΜΞ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια τῇ ΜΞ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια· ὅλη ἄρα ἡ ΛΗΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶν. Ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΛΚΜ, ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΗΜΞ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον τῷ Ξ σημείῳ· καί ἐστι τὸ Ν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων· καὶ τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΔΚΓ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΘΚΞ· ὁ ΛΘΚΞ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ περιφέρεια τῇ ΜΔ περιφερείᾳ, διπλῇ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜΔ a περιφέρεια τῆς ΜΓ περιφερείας. Ὁμοίως δῆ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΛΒ περιφέρεια τῆς ΑΛ περιφερείας διπλῆ ἐστι· καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΜΓ περιφέρεια τῇ ΑΛΒ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΔ περιφέρεια τῇ ΑΛ περιφερείᾳ. Κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου, τῆς ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ, τμήματα κύκλου ὀρθὰ καὶ ἴσα ἐφέσταται τὸ ΛΘΚΜ, καὶ τὸ ΜΞ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές· καὶ ἀπὸ τούτων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΛΝ, ΜΞ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι b οὖσαι τῶν ὅλων, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΛ, ΜΓ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. Καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΓΚΔ κύκλου· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΗΒ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΔΚΓ κύκλου. Ὡν δὲ κύκλων αἱ ἐκ τῶν πόλων ἴσαι εἰσὶν, ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΔΚΓ κύκλῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω μείζων ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΒΖ περιφερείας· λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΔΚΓ κύκλος τοῦ ΑΗΒ κύκλου.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΖΒ περιφερείας, ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΓΖ τῇ ΖΒ ἴση ἡ ΖΟ, καὶ διὰ τοῦ (ϲ) Ο τῷ ΕΘΖ κύκλῳ παράλληλος γεγράφθω ὁ ΟΡΠ· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΡΟ κύκλος τῷ ΑΗΒ κύκλῳ, ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΟΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ. Ὁ δὲ ΠΡΟ κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΚΓ κύκλου, ἔγγιον γὰρ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΠΡΟ κύκλος, ἤπερ ὁ ΔΚΓ κύκλος· καὶ ὁ ΑΗΒ ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΚΓ κύκλου, ὥστε ὁ ΔΚΓ κύκλος ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιη′. ΘΕΩΡ.

Ἐν σφαίρᾳ οἱ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι μεγίστου τινὸς κύκλου πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων, οἱ δὲ μείζονες ἐλάττονας.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ; ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ περιφερείας τὰς ΒΖ, ΖΔ ἀφῃρήσθωσαν a πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ ΖΔ περιφερείᾳ.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἡ ΒΖ περιφέρεια ἴση τῇ ΖΔ, οὐδὲ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ ἴσος ἐστίν· ἔστι δέ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ.

Ἀλλὰ πάλιν ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος μείζων τοῦ ΓΔ κύκλου· λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΔ περιφερείας.

Εἰ γὰρ μή ἐστιν ἐλάσσων ἡ ΒΖ περιφέρεια τῆς ΖΔ περιφερείας, οὐκ ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΓΔ κύκλου μείζων ἐστίν· ἔστι δέ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῆς ΖΔ περιφερείας.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιθ’. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ, χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων. Τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων, ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου· τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάττονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου. Τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν b.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ παραλλήλους τοὺς ΑΔ, ΕΖ, ΒΓ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω, μέγιστος δὲ τῶν παραλλήλων ἔστω ὁ ΕΖ· λέγω, ὅτι εἰς ἄνισα αὐτοὺς τεμεῖ, χωρὶς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖ· τῶν δὲ ἀπολαμβανομένων τμημάτων ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων, ἡμικυκλίων μὲν ἔσται μείζονα, ὅσα ἐστὶ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ καὶ τοῦ φανεροῦ πόλου, τὰ δὲ λοιπὰ ἐλάσσονα· τῶν δὲ ἴσων τε καὶ παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

Ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Ε, Η μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΕΘ· ὁ ΗΕΘ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Z σημείου, κατὰ διάμετρον γὰρ τὸ Ε τῷ Ζ, διὰ τὸ μέγιστον εἶναι ἑκάτερον τῶν ΕΖ, ΑΒΓΔ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΗΝΖΚ, καὶ προσαναπεπληρώσθω ὁ ΒΓ κύκλος ἕως τῶν Θ, Κ σημείων.

Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΘΕΜΗΝΖΚ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΜΝΔ, ΕΖ, ΘΒΓΚ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶν ἕκαστον τῶν ΜΝ, ΕΖ, ΘΒΓΚ. Ἐπεὶ οὖν τὸ ΜΝ ἡμικύκλιόν ἐστι, τὸ ΑΜΝΔ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ Η πόλου μείζονά ἐστιν ἡμικυκλίων.

Πάλιν ἐπεὶ τὸ ΘΒΓΚ ἡμικύκλιόν ἐστι, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντα τὰ τμήματα τὰ μεταξὺ τοῦ τε ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ἀφανοῦς πόλου, καὶ ὄντα ἐν τῷ αὐτῷ ἡμισφαιρίῳ, ἐλάττονά ἐστιν ἡμικυκλίων.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος τε καὶ παράλληλος· λέγω, ὅτι τῶν ΑΔ, ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

Ἐπεὶ γὰρ ὁ ΑΔ κύκλος τῷ ΒΓ κύκλῳ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ περιφέρεια τῇ ΕΒ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΔΖ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ· [ἀλλ’ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΔΖ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΕΒ τῇ ΖΓ a] συναμφότεραι ἄρα αἱ ΑΕ, ΔΖ συναμφοτέραις ταῖς ΕΒ, ΖΓ ἴσαι εἰσίν· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΕΑΔΖ ὅλη τῇ ΕΒΓΖ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΔ λοιπῇ τῇ ΒΓ ἴση ἐστὶ, διὰ τὸ ἡμικυκλίου εἶναι ἑκατέραν τῶν ΕΑΔΖ, ΕΒΓΖ, μέγιστοι γάρ εἰσιν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖ b. Καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου αἱ ΑΔ, ΒΓ περιφέρειαι, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· καί ἐστιν ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἡ ὑπὸ τὴν ΑΔ περιφέρειαν ὑποτείνουσα, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Γ ἡ ὑπὸ τὴν ΒΓ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα· ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσι, τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι, τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι· ἡ μὲν ἄρα τοῦ ΑΔ κύκλου μείζων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου μείζονι περιφερείᾳ, ἡ δὲ τοῦ ΑΔ κύκλου ἐλάσσων περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ ΒΓ κύκλου ἐλάσσονι περιφερείᾳ. Καί ἐστι τὸ μὲν ΑΔ μεῖζον ἡμικυκλίου, τὸ δὲ ΒΓ ἐλάττον· τῶν ἄρα ΑΔ, ΒΓ κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ διὰ τῶν πόλων τέμνῃ, τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ παραλλήλους τινὰς κύκλους τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ μὴ διὰ τῶν πόλων τεμνέτω· λέγω, ὅτι τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἡμισφαιρίων μείζονες ἢ ὅμοιαι ἔσονται αἱ ἔγγιον τοῦ φανεροῦ πόλου τῶν ἀπώτερον· τοῦτ’ ἔστιν, ὅτι ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΕΖ.

Ἔστω γὰρ ὁ φανερὸς πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Η σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Γ, Δ μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΗΘΓ, ΗΚΔ.

Οἱ ἄρα ΗΘΓ, ΗΚΔ ὁμοίας ἀφαιροῦσι περιφερείας τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἡ ΘΚ ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ὁμοία, ἡ ΑΘΚΒ ἄρα τῆς ΓΔ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΕΖ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία, γραφόντων ἡμῶν διὰ τοῦ Η καὶ ἑκατέρου τῶν Ε, Ζ μεγίστους κύκλους.

Δύναται δὲ δειχθῆναι, καὶ μὴ γραφόντων ἡμῶν, μόνον δὲ προςαναπληρούντων τοὺς ΗΘΓ, ΗΚΔ, ΕΖ, ὡς ἐν τῷ θεωρήματι a.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κα′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν ἴσαις σφαίραις ἐπὶ μεγίστων κύκλων μέγιστοι κύκλοι κεκλιμένοι ὦσιν, ὁποτερουοῦν αὐτῶν ὁ πόλος μετεωρότερος ᾖ, μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος·ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων, ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.

Ἐν γὰρ σφαίραις ἴσαις ἐπὶ μεγίστων κύκλων τῶν ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ κεκλιμένοι ἔστωσαν, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΒΚΔ κύκλου πόλος τὸ Μ σημεῖον, τοῦ δὲ ΖΛΘ κύκλου πόλος τὸ Ν σημεῖον, μετεωρότερον δὲ ἔστω τὸ Μ τοῦ Ν· λέγω, ὅτι ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ.

Γεγράφθω διὰ μὲν τοῦ Μ καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ, διὰ δὲ τοῦ Ν καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος ὁ ΕΛΝΗ· καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΒΚΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ, τοῦ δὲ ΑΒΓΔ κύκλου καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΓ, τοῦ δὲ ΒΚΔ καὶ τοῦ ΑΚΜΓ κοινὴ τομὴ ἡ ΚΞ· καὶ ἔτι τοῦ μὲν ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΖΘ, τοῦ δὲ ΕΖΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ΕΛΝΗ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΗ, τοῦ δὲ ΕΛΝΗ καὶ τοῦ ΖΛΘ κοινὴ τομὴ ἡ ΛΟ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΚΜΓ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΑΒΓΔ, ΒΚΔ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ὁ ΑΚΜΓ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων, ὥστε καὶ ἑκάτερος τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον. Ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα τέμνοντα ἄλληλα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν ΑΒΓΔ, ΒΚΔ κύκλων ἡ ΒΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΚΜΓ κύκλον, ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ τῆς ΒΞΔ ἑκατέρα τῶν ΚΞ, ΞΑ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΚΜΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΒΞ ἄρα πρὸς ἑκατέραν τῶν ΚΞ, ΞΑ ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα τέμνει ἄλληλα τὰ ΑΒΓΔ, ΒΚΔ, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΒΔ πρὸς ὀρθὰς ἠγμέναι εἰσὶν ἡ ΚΞ, ΞΑ, ἡ μὲν ΚΞ ἐν τῷ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἡ δὲ ΞΑ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΑΒΓΔ ἐπίπεδον. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΘ ἐπίπεδον. Λέγω δὴ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ γωνίας.

Ἐπεὶ γὰρ μετεωρότερον ἐστὶ τὸ Μ τοῦ Ν, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον. Ἀλλ’ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πίπτει τοῦ τε ΑΚΜΓ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ, τοῦτ’ ἔστι, τὴν ΑΓ, διὰ τὸ ὀρθὰ εἶναι πρὸς ἄλληλα τὰ ΑΚΜΓ, ΑΒΓΔ ἐπίπεδα, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον ἐπὶ τὴν ΕΗ πίπτει· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ ἀγομένης καθέτου. Ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ, ΕΛΝΗ, καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ, Ν, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΑΓ μείζων τῆς ἀπὸ τοῦ Ν ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὴν ΕΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῆς ΝΗ περιφερείας. Ἴση δὲ ἡ ΜΚ περιφέρεια τῇ ΝΛ περιφερείᾳ, ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ περιφέρεια ὅλης τῆς ΛΝΗ περιφερείας μείζων ἐστίν. Ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση ἐστὶν, ὧν ἡ ΚΜΓ τῆς ΛΝΗ μείζων ἐστὶ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῆς τῆς ΕΛ περιφερείας ἐλάσσων ἐστί. Καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ, ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΛΟΕ. Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ἡ κέκλιται τὸ ΒΚΔ ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ ΖΛΘ ἐπίπεδον πρὸς τὸ ΕΖΗΘ ἐπίπεδον· ἡ ἄρα τοῦ ΒΚΔ κύκλου πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον κλίσις ἐλάσσων ἐστὶ τῆς τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον κλίσεως. Ὁ ΒΚΔ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΖΛΘ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν τῶν ΒΚΔ, ΖΛΘ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπεχέτωσαν τῶν ἐπιπέδων, τοῦτ’ ἔστιν, ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Μ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον· λέγω, ὅτι οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, τοῦτ’ ἔστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾖ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον· λέγω οὖν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟΕ γωνίᾳ.

Ἐπεὶ οὖν δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΚΜΓ, ΕΛΝΗ, καὶ τυχόντα σημεῖα τὰ Μ, Ν, καί ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Μ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἀγομένη ἴση τῇ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΕΗ καθέτῳ ἀγομένῃ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΓ περιφέρεια τῇ ΗΝ περιφερείᾳ. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ΜΚ τῇ ΛΝ ἴση, ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον γραφομένου· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΛΝΗ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΚΜΓ ὅλῃ τῇ ΕΛΝΗ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΚ περιφέρεια λοιπῇ τῇ ΕΛ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση. Καὶ βέβηκεν ἐπὶ μὲν τῆς ΑΚ περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ ΚΞΑ, ἐπὶ δὲ τῆς ΛΕ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΟΕ· ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΞΑ γωνία τῇ ὑπὸ ΛΟE. Καί ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ ΚΞΑ γωνία ἡ κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΒΚΔ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΟΕ γωνία ἡ κλίσις ἐστὶν, ἐν ᾗ κέκλιται τὸ τοῦ ΖΛΘ κύκλου ἐπίπεδον πρὸς τὸ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐπίπεδον· ἡ ἄρα κλίσις, ἐν ᾗ κέκλιται ὁ ΒΚΔ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἴση ἐστὶ τῇ κλίσει τοῦ ΖΛΘ κύκλου πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον.

Οἱ ΒΚΔ, ΖΛΘ ἄρα κύκλοι πρὸς τοὺς ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλους ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι. Ἐμάθομεν γὰρ, ὅτι ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὁμοίως κεκλίσθαι λέγεται, καὶ ἕτερον πρὸς ἕτερον, ὅταν αἱ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἐπιπέδων. πρὸς τοῖς αὐτοῖς σημείοις ἴσας γωνίας περιέχωσιν.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κβ’. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τέμνῃ μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ μέγιστος κύκλος· ἔτι δὲ ὁ a πόλος τοῦ μεγίστου μεταξὺ ᾖ τῶν παραλλήλων, καὶ γραφῶσι μέγιστοι κύκλοι ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων· κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν μέγιστον κύκλον, καὶ ὀρ θότατος μὲν ἔσται ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος, ταπεινότατος δὲ ὁ τὴν συναφὴν ἔχων κα τὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος· τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ὁποτεραςοῦν τῶν διχοτομιῶν ὁμοίως εἰσὶ a κεκλιμένοι· ἀεὶ δὲ ὁ ποῤῥώτερον τὴν συναφὴν ἔχων τῆς διχοτομίας τοῦ μείζονος τμήματος, τοῦ ἔγγιον μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος. Ἔτι δὲ οἱ b πόλοι τῶν μεγίστων ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος, ἡ ἐστιν ἐκεῖνος, οὗ ἐφάψεται ὁ ἐξ ἀρχῆς μέγιστος κύκλος.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α σημεῖον, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τὸν ΕΖΗΘ τεμνέτω μεταξὺ ὄντα τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ κύκλου· ἔτι δὲ ὁ πόλος τοῦ ΑΒΓ κύκλου μεταξὺ ἔστω τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω τὸ Κ σημεῖον, καὶ γεγράφθωσαν μέγιστοι κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΘΥ ἐφαπτόμενοι τοῦ μείζονος τῶν παραλλήλων τοῦ ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω ὁ μὲν ΒΖΓ κύκλος κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ μείζονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὁ δὲ ΥΘ κατὰ τὴν διχοτομίαν τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου κατὰ τὸ Θ σημεῖον, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ἴσον ἀπεχέτωσαν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν, ὁ δὲ ΤΣ ἔστω ὡς ἔτυχε· λέγω, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι κεκλιμένοι ἔσονται πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον καὶ ὀρθότατος μὲν αὐτῶν ἔσται ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΟΠΡ· ἔτι δὲ οἱ πόλοι τῶν ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ ἐπὶ ἑνὸς ἔσονται κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ.

Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Α, Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΛ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΑΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἀφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΛ· ὁ ΑΛ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ c κύκλου πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Καί ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Κ σημεῖον· ὁ ΑΛ ἄρα προςαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Κ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΑΛΚ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΕΖΗΘ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΛΚ· ὁ ΑΛΚ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων. Καί ἐστι a τοῦ μὲν ΕΖΗ τμήματος διχοτομία τὸ Ζ, τοῦ δὲ ΕΘΗ τμήματος διχοτομία τὸ Θ· ὁ ΑΛΚ ἄρα προσαναπληρούμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ζ, Θ σημείων. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΘΑΛΚΖ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, καί ἐστιν ὁ ΑΒΓ μέγιστος· ἡ ΑΚ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΕΖΗΘ ἐλασσων ἐστὶ τοῦ μεγίστου, καί ἐστι μεταξὺ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας καὶ τοῦ ΑΔ, καί ἐστιν αὐτοῦ πόλος τὸ Λ σημεῖον· ἡ ΛΖ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΑΚΖ μείζων ἐστὶ τῆς, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἡ δὲ ΛΖ ἐλάσσων· ἐὰν ἄρα τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἀπὸ τοῦ Ζ σημείου ἴσην ἀπολάβωμεν περιφέρειαν, μεταξὺ τῶν Α, Λ σημείων πεσεῖται. Ἀπειλήφθω αὐτῇ ἴση, καὶ ἔστω ἡ ΖΦ· καὶ πόλῳ μὲν τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΦ κύκλος γεγράφθω ὁ ΦΧΨΩ, παράλληλος ἄρα ἐστὶ τοῖς ΑΔ, ΕΖΗΘ κύκλοις. Καὶ διὰ τοῦ Λ σημείου καὶ ἑκάστου τῶν Π, Ν, Τ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΝΛΩ, ΠΛΧ, ΤΑΨ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μέν ΝΛ τῇ ΛΖ, ἐκ τοῦ πόλου γὰρ τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου, ἡ δὲ ΛΩ τῇ ΛΦ, ἐκ τοῦ πόλου b γὰρ τοῦ ΦΧΨΩ· ὅλη ἄρα ἡ ΝΛΩ ὅλῃ τῇ ΖΛΦ ἐστιν ἴση. Καί ἐστιν ἡ ΖΛΦ ἴση τῇ, ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καὶ ἡ ΝΛΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΧΛΠ, ΨΛΤ, ΛΘ ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΕΖΗΘ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς τοῦ ΕΖΗΘ πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΝΛΩ· ὁ ἄρα ΝΛΩ ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΜΝΞ κύκλος μέγιστός ἐστιν, ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· καί ἐστιν ἡ ΝΛΩ ἴση τῇ, ὑφ’ ἣν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Ω ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου· τὸ Ω ἄρα σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΜΝΞ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ μὲν Φ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΖΓ κύκλου, τὸ δὲ Χ τοῦ ΟΠΡ, τὸ δὲ Ψ τοῦ ΣΤ, καὶ ἔτι τὸ τ τοῦ ΥΘ· οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι ἄρα τοὺς πόλους ἔχουσιν ἐπὶ ἑνὸς κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ.

Λέγω δὴ, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσὶ, καὶ ὅτι ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ πρὸς τὸν ΑΓΒ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΟΠΡ πρὸς τὸν ΑΒΓ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ Ζ ΖΠ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν Ν τῇ Ϛτ′ ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ ΖΠ τῇ τη, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ϛ τ περιφέρεια τῇ ητ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ητ περιφέρεια τῇ ΧΦ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶ, κατὰ κορυφὴν γὰρ, ἡ δὲ Ϛτ τῇ ΦΩ· καὶ ἡ ΦΩ ἄρα περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΧΦ. Κύκλου δέ τινος τοῦ ΦΧΨΩ ἐπὶ διαμέτρου, τῆς ἀπὸ τοῦ Φ ἐπὶ τὸ τ, κύκλου τμῆμα ὀρθὸν ἐφέσταται τὸ ΦΚ τ a, καὶ ἀπειλημμένη ἐστὶν ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ὅλου τμήματος περιφέρεια ἡ τ Κ, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΧΦ, ΦΩ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Κ σημείου ἐπὶ τὸ Χ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ Ω ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΧ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ω. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΧΙΩ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΧΙΩ τῷ ΑΒΓ, περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτῷ, τὸ γὰρ Κ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ὁ ΧΙΩ κύκλος τῷ ΑΒΓ κύκλῳ, ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ω καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον. Καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶν ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τοῦ Χ, Ω καθέτων ἀγομένων, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ι κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω ἄρα κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον. Ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ κάθετος μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Φ καθέτου, ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ι ἀγομένῃ. Μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ Ω τοῦ Φ· καί ἐστι τὸ μὲν Ω πόλος τοῦ ΜΝ κύκλου, τὸ δὲ Φ τοῦ ΒΖΓ· ὁ ἄρα τοῦ ΜΝΞ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΒΖΓ κύκλου πόλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι, ὁ ΜΝΞ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΒΖΓ κύκλος· ὁ ἄρα ΒΖΓ κύκλος ὀρθότερός ἐστι τοῦ ΜΝΞ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλων ἐφαπτομένων ὁ ΒΖΓ ὀρθότερός ἐστιν· ὀρθότατος ἄρα ἐστὶν ὁ ΒΖΓ.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ ὁ ΥΘ κύκλος ταπεινότατός ἐστιν.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ τ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Ψ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τὸ τ τοῦ Ψ. Καί ἐστι τὸ μὲν τ πόλος τοῦ ΥΘ κύκλου, τὸ δὲ Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου· ὁ ἄρα τοῦ ΥΘ πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΣΤ πόλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΥΘ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται, ἤπερ ὁ ΣΤ, ταπεινότερος ἄρα ἐστὶν ὁ ΥΘ τοῦ ΣΤ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πάντων τῶν τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου ἐφαπτομένων ταπεινότερός ἐστιν ὁ ΥΘ· ὁ ΥΘ ἄρα ταπεινότατός a ἐστι.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ω κάθετος ἀγομένη ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Χ καθέτῳ ἀγομένῃ ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· τὰ Ω, Χ ἄρα σημεῖα ἴσον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου. Καί ἐστι τὸ μὲν Ω σημεῖον πόλος τοῦ ΜΝΞ κύκλου, τὸ δὲ Χ σημεῖον πόλος τοῦ ΟΠΡ κύκλου· τῶν ΜΝΞ, ΟΠΡ ἄρα κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ αὐτοῦ ἐπιπέδου, ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι· οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.

Πάλιν, ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ψ κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον μείζων ἐστὶ τῆς ἀπὸ τοῦ Χ καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον· μετεωρότερον ἄρα ἐστὶ τοῦ Χ τὸ Ψ. Καί ἐστι τὸ μὲν Ψ πόλος τοῦ ΣΤ κύκλου, τὸ δὲ Χ πόλος τοῦ ΟΠΡ· ὁ ἄρα τοῦ ΣΤ κύκλου πόλος μετεωρότερός ἐστι τοῦ ΟΠΡ κύκλου πόλου. Ὧν δὲ κύκλων οἱ πόλοι μετεωρότεροί εἰσι, μᾶλλόν εἰσι κεκλιμένοι· ὁ ΣΤ ἄρα κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ.

Οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΒΖΓ, ΟΠΡ, ΣΤ, ΥΘ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον κεκλιμένοι εἰσὶ, καὶ ὀρθότατος μέν ἐστιν αὐτῶν ὁ ΒΖΓ, ταπεινότατος δὲ ὁ ΥΘ, οἱ δὲ ΜΝΞ, ΟΠΡ ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι, ὁ δὲ ΣΤ κύκλος πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον μᾶλλον κέκλιται ἤπερ ὁ ΟΠΡ ἔτι δὲ οἱ πόλοι αὐτῶν ἐπὶ ἑνός εἰσι κύκλου παραλλήλου τε καὶ ἐλάσσονος τοῦ ΑΔ κύκλου.

ΠΡΟΤΑΣΙΣ κγ’. ΘΕΩΡ.

Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἐπὶ τὰς ἐπαφὰς καθήκουσαι περιφέρειαι ἴσαι ὦσιν, ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι οἱ προειρημένοι μέγιστοι κύκλοι.

Ἔστωσαν γὰρ αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων, τοῦτ’ ἔστι, τῶν Μ, Ρ σημείων, ἐπὶ τὰ Π, Ν καθήκουσαι περιφέρειαι αἱ Μ, ΠΡ ἴσαι· λέγω, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.

Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Α, Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΑΛΖΥ· φανερὸν δὴ, ὅτι καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου, πόλου ὄντος τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἐλεύσεται· καὶ διὰ τοῦ Λ, καὶ δι’ ἑκατέρου τῶν Ν, Π μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝΒ, ΛΠΓ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων, οἱ ΕΖΗΘ, ΜΝΞ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΝΒ· ὁ ΛΝΒ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΛΠΓ διὰ τῶν τοῦ ΟΠΡ πόλων ἐστὶ, καὶ ὀρθός ἐστι πρὸς αὐτόν. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις κύκλοις τοῖς ΜΝΞ, ΟΠΡ, ἐπὶ διαμέτρων ἀπὸ τῶν Ν, Π σημείων, ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται, τὰ ΝΛ, ΠΛ, καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΝΛ, ΠΛ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, ἀπὸ δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΜΝ, ΠΡ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ὁ ἄρα πόλῳ μὲν τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΜ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ρ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὁ ΜΞΟΡΡ· καί ἐστι a τοῖς ΑΔ, ΕΖΗΘ κύκλοις παράλληλος, περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτοῖς. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΜΞΟΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΘΑΛΚΖΥ, ὁ ἄρα ΘΑΛΚΖΥ τέμνει δίχα τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΥ περιφέρεια τῇ ΥΡ περιφερείᾳ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΜΞΥΟΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΝΒ, ὁ ἄρα ΛΝΒ δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΜΝ περιφέρεια τῇ ΝΞ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΜΣ τῇ ΣΞ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΟΠ τῇ ΠΡ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΟΤ τῇ ΤΡ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, καί ἐστι τῆς μὲν ΜΝ διπλῇ ἡ ΜΝΞ, τῆς δὲ ΠΡ διπλῆ ἡ ΟΠΡ· καὶ ἡ ΜΝΞ ἄρα τῇ ΟΠΡ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι, ἡ ἄρα τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΜΣΞ, ἡ δὲ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΟΤΡ· καὶ ἡ ἄρα τὴν ΜΣΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΤΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΣΞ περιφέρεια τῇ ΟΤΡ περιφερείᾳ. Καί ἐστι τῆς μὲν ΜΣΞ περιφερείας ἡμίσεια ἡ ΜΣ, τῆς δὲ ΟΤΡ ἡμίσεια ἡ ΡΤ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΣ τῇ ΡΤ· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΜΣΞΥ ὅλῃ τῇ ΥΟΤΡ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΣΞΥ λοιπῇ τῇ ΥΟΤ ἐστιν ἴση· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΞΣ περιφέρεια τῇ ΥΟΤ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΞΥ περιφέρεια τῇ ΝΖ περιφερείᾳ ἐστν ὁμοία, ἡ δὲ ΥΟΤ τῇ ΖΠ, καὶ ἡ ΝΖ ἄρα τῇ ΖΠ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ. Οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν, ὁμοίως ἄρα εἰσὶ κεκλιμένοι. Οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.