Data

Ὅροι.

α΄. Δεδομένα τῷ μεγέθει λέγεται χωρία τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι, οἷς δυνάμεθα ἴσα πορίσασθαι.

β΄. Λόγος δεδόσθαι λέγεται, ᾧ δυνάμεθα τὸν αὐτὸν πορίσασθαι.

γʹ. Εὐθύγραμμα σχήματα τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ὧν αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ κατὰ μίαν καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας δεδομένοι.

δʹ. Τῇ θέσει δεδόσθαι λέγονται σημεῖά τε καὶ γραμμαὶ καὶ γωνίαι, ἃ τὸν αὐτὸν ἀεὶ τόπον ἐπέχει. εʹ. Κύκλος τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοται ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

ϛʹ. Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδό- σθαι λέγεται, οὗ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

ζ΄. Τμήματα κύκλων τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέ- γεται, ἐν οἷς αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῷ μεγέθει.

η΄. Τῇ θέσει δὲ καὶ τῷ μεγέθει τμήματα δε- δόσθαι λέγεται, ἐν οἷς αἵ τε γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ τῷ ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΔΕΔΟΜΕΝΑ Ρ et atr. rubro Vat.; εὐκλεί- δου δεδομένα v et acc. om. β; εὐκλείδου δεδομένα τῆς θέωνος ἐκδόσεως b. 1. ὅροι] atr. rubro m. rec. Vat., om. Pvβ. numeros om. codd. 4. λόγος δέ β. 7. εἰσίν Pv, comp. Vat. 8. ἀλλήλας] Gregomrius, -ους codd. δεδομένοι εἰσί β. μεγέθει καὶ αἱ βάσεις τῶν τμημάτων τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

θʹ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζόν ἐστιν, ὅταν, ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ λοιπὸν τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ.

ιʹ. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν, ὅταν, προστεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ ὅλον τῷ αὐτῷ ἴσον ᾖ.

ια΄. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεἵζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ὅταν, ἀφαιρεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον.

ιβ΄. Μέγεθος μεγέθους δοθέντι ἔλασσόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ὅταν, προστεθέντος τοῦ δοθέντος, τὸ ὅλον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχῃ δεδομένον.

[ιγʹ. Κατηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει εὐθεῖαν ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ.

ιδʹ. Ἀνηγμένη ἐστὶν ἡ ἀπὸ δεδομένου σημείου πρὸς θέσει εὐθείᾳ ἀγομένη εὐθεῖα ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ.

ιεʹ. Παρὰ θέσει ἐστὶν ἡ διὰ δεδομένου σημείου θέσει εὐθείᾳ παράλληλος ἀγομένη.]

α΄.

Τῶν δεδομένων μεγεθῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἄλληλα δέδοται.

ἔστω δεδομένα μεγέθη τὰ Α, Β· λέγω, ὅτι τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς.

2. μεγέθει] seq. in β: τμήματα κύκλων τῷ εἴδει δεδόσθαι λέγεται, ἐν οἷς αἰ γωνίαι δεδομέναι εἰσί. 6. ἔλαττον Vat v. 11. ἔχῃ] corr. ex ἔχει m. 2 v. 12. ἔλαττον Vat. v. 13. τοῦ] om. β (non a) 16. εὐθεῖαν ἀγομένη] εὐθείᾳ ἡ κατ- αγομένη β. 18 πρὸς θέσει] προσθείσῃ β (non a). εὐθείᾳ]

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ. πάλιν, ἐπεὶ δεδομένον ἐστὶ τὸ Β, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορί- σασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Δ. ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν Α τῷ Γ, τὸ δὲ Β τῷ Δ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ· ἐναλλὰξ ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ πρὸς τὸ Δ. τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς· ὁ αὐτὸς γὰρ αὐτῷ πε- πόρισται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ.

β΄.

Ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρὸς ἄλλο τι μέγεθος λό- γον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται κᾀκεῖνο τῷ μεγέθει. δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ Α πρὸς ἄλλο τι μέγεθος τὸ Β λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται καὶ τὸ Β τῷ μεγέθει.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ Α, δυναπτόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ Γ. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τοῦ Α πρὸς τὸ Β λόγος· οὕτως γὰρ ὑπό- κειται· δυνατόν ἐστιν αὐτῷ τὸν αὐτὸν πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Δ λόγος. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Γ πρὸς τὸ Δ, ἐναλλὰξ ἄρᾳ ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Β πρὸς τὸ Δ. ἴσον δὲ τὸ Α τῷ Γ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ Β τῷ Δ· δέδοται ἄρα τὸ Β μέγεθος· ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ Δ.

1. ἴσον αὐτῷ a. 3. ἐστιν] om. a. 5. τῷ (pr.)] τό a. 7. τοῦ] τὸ a. 8. πρὸς τὸ Β ἄρα a. 10. τὸ β΄ in textu, β΄ in marg. β, et sic deinceps. 14. καί] om. P, add. m. 2 v. 15. τό] τῷ a. τῷ — 16. Α] supra m. 3 v. 16. αὐτῷ ἐστιν a. 18. οὕτω P. οὕτως γὰρ ὑπόκειται] om. a. 20. τό] τοῦ a. 21. ὡς] add. m. 2 Vat. (item lin. 22), in ras. m. 2 v.

γ΄.

Ἐὰν δεδομένα μεγέθη ὁποσαοῦν συντεθῇ, καὶ τὸ ἐξ αὐτῶν συγκείμενον δεδομένον ἔσται.

συγκείσθω γὰρ ὁποσαοῦν δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ ἐκ τῶν ΑΒ, ΒΓ συγκείμενον τὸ ΑΓ δεδομένον ἐστίν.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ. πάλιν, ἐπεὶ δέδοται τὸ ΒΓ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΕ, τὸ δὲ ΒΓ τῷ ΕΖ, ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ ὅλῳ τῷ ΔΖ ἐστιν ἴσον· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓ· ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΔΖ.

δ΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου μεγέθους δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου μεγέθους τοῦ ΑΒ δεδομένον μέγεθος ἀφῃρήσθω τὸ ΑΓ· λέγω, ὅτι τὸ λοιπὸν τὸ ΓΒ δεδομένον ἐστίν.

ἐπεὶ γὰρ δέδοται τὸ ΑΒ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσαςθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΖ. πάλιν, ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΓ, δυνατόν ἐστιν αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι. πεπορίσθω καὶ ἔστω τὸ ΔΕ. ἐπεὶ οὗν ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΔΖ, τὸ δὲ ΑΓ τῷ ΔΕ, λοιπὸν ἄρα τὸ 3. ἔσται] add. m. 2 Vat. 4 δεδομένα ὁποσαοῦν a. τά] τό a. 5. καί — ΒΓ] om. a. τῶν] τοῦ Vat. 10. ἐστιν P. 12. ἴσον ἐστίν a. 13 τό] τῷ a 17. τοῦ] τῶν a. 20. δέδοται] τοτε a. 24. ΔΖ] corr. ex ΑΖ m. 2 Vat. ΔΕ] ΑΕ a. ΒΓ λοιπῷ τῷ ΕΖ ἐστιν ἴσον· δέδοται ἄρα το ΒΓ. ἴσον γὰρ αὐτῷ πεπόρισται τὸ ΕΖ.

ε΄.

Ἐὰν μέγεθος πρὸς ἑαυτοῦ τι μέρος λόγον ἔχῃ δεδο- μένον, καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον.

μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ πρὸς ἑαυτοῦ τι μέρος τὸ Α λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον.

κείσθω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ ΔΖ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς ὁ τοῦ ΒΑ πρὸς τὸ ΑΓ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεπορίσθω ὁ τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΕ. λόγος ἄρα ἐστὶν ὁ τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΕ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΖΔ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΔΕ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΖ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΔΖ δοθέν· λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ, οὕτως καὶ τὸ ΑΒ πρὸς ΑΓ, ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ. λόγος δὲ τοῦ ΔΖ πρὸς ΖΕ δοθείς, ὡς δέ- δεικται· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς.

Ϛ΄.

Ἐὰν δύο μεγέθη συντεθῇ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, καὶ τὸ ὅλον πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν λόγον ἕξει δεδομένον.

συγκείσθω γὰρ δύο μεγέθη τὰ ΑΓ, ΓΒ, πρὸς ἄλ- 1. ἴσον Pv. 2. αὐτῷ] corr ex αὐτό m. 2 v. 7. πρός –8. δεδομένον] ὁ τοῦ Α Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς a. 9. ἐπεί — 11. ΔΕ] τετμήσθω ὁμοῖως τῇ ΑΕ κατὰ τὸ Ε a. 10. ἐστίν Pv. 11. Post πεπορίσθω in Vat. spat. vae. 9 litt. ἄρα ἐστίν] om. a. 12. τὸ ΔΕ a. 14. ἐστι a. ΔΖ (pr.)] ληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ λόγον ἔχει δεδομένον.

ἐκκείσθω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ ΔΕ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ. ὁ ἄρα τοῦ ΔΕ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΔΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΕΖ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ δοθέν· λόγος ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ΔΕ πρὸς ΕΖ, συνθέντι ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ΔΖ πρὸς ΔΕ. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΔΖ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΕ, ΕΖ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ δοθείς.

ζ΄.

Ἐὰν δεδομένον μέγεθος εἰς δεδομένον λόγον διαι- ρεθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων δεδομένον ἐστίν.

δεδομένον γὰρ μέγεθος τὸ ΑΒ εἰς δεδομένον λόγον διῃρήσθω τὸν τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ· λέγω, ὅτι ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ δοθέν ἐστιν.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓ πρὸς ΓΒ δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΕ 4. λόγος] λοίπος (sic) a. τὸ ΓΕ va. αὐτοῖς a. 5. τὸ Ε a. ὁ ἄρα — 6. ἐστί] λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΔΕ πρὸς τὸ ΕΖ a. 6. ἐστίν Pv. 8. ἔστιν Pv. δὲ καί a. λόγος ― 16 δοθείς] ἄρα λόγον ἔχει δεδομένον· ὡς δὲ πρὸς ΕΖ, οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς ἐκατερον τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ τὸ ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς a. 8. λόγος — 9. δοθείς] supra add. m. 3 v. 10. ὡς] add. m 2 Vat. 11. οὕτω Vat. item lin. 12. 13. τὸ ΔΕ Vat 19. ἐστίν] ἔσται β. 21. τὸ ΓΒ a. 23. ΓΒ] τὸ ΒΓ a. 24. καί] om. Vat. δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ.

η΄.

Τὰ πρὸς τὸ αὐΤὸ λόγον ἔχοντα δεδομένον καὶ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν Α, Γ πρὸς τὸ Β λόγον δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ Α πρὸς τὸ Γ λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστω γὰρ δεδομένον μέγεθος τὸ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ Δ πρὸς τὸ Ε. δοθὲν δὲ τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ πεποιήσθω ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ. δοθὲν δὲ τὸ Ε· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· λόγος ἄρα τοῦ Δ πρὸς τὸ Ζ ἐστι δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς μὲν τὸ Α πρὸς τὸ Β, οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ε, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ Γ, οὕτως τὸ Ε πρὸς τὸ Ζ, διΐσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ. λόγος δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸ Ζ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Γ δοθείς.

θ΄.

Ἐὰν δύο ἢ πλείονα μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔχῃ δὲ τὰ αὐτὰ μεγέθη πρὸς ἄλλα τινὰ μεγέθη λόγους δεδομένους, εἰ καὶ μὴ τοὺς αὐτούς, κᾀκεῖνα τὰ μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγους ἕξει δεδομένους. δύο γὰρ ἢ πλείονα μεγέθη τὰ Α, Β, Γ πρὸς ἄλληλα 1. καί] om. a. 5. ἔχει β. 9. ἔστω] κείσθω a. 12. ἐστίν a. Γ] ΓΔ a. 13. Post Ζ add. δοθείς Pv, λόγος ἄρα καὶ ὁ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς a. 14. ἔστιν Ρv. 15 ὁ τοῦ a. ἐστίν Pv, 16. τὸ Α πρὸς τὸ B] add. m. 2 Vat. λόγον ἐχέτω δεδομένον, ἐχέτω δὲ τὰ αὐτὰ μεγέθη τὰ Α, Β, Γ πρὸς ἄλλα τινὰ μεγέθη τὰ Δ, Ε, Ζ λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ· λέγω, ὅτι καὶ τὰ Δ, Ε, Ζ, μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, τοῦ δὲ Α πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ Β λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ Β πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Δ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ δοθείς, τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ Γ πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς· τὰ Δ, Ε, Ζ ἄρα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον.

ι΄.

Ἐὰν μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ συναμφότερον τοῦ αὐτοῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται, ἢ ἐν λόγῳ· καὶ ἐὰν τὸ συναμφότερον τοῦ αὐτοῦ δο- θέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ λοιπὸν τοῦ αὐτοῦ ἤτοι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἢ τὸ λοιπὸν μετὰ τοῦ ἑξῆς, πρὸς ὃ τὸ ἕτερον λόγον ἔχει δεδομένον, δοθέν ἐστιν.

μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ μεγέθους τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ συναμφότερον 5. ἐστίν Pv, et sic P per totam prop. ἐστὶν ὁ τοῦ a. τοῦ (alt.)] corr. ex τό m. 1 a. 7. ἀλλά — 9. δοθείς] supra add. m. 3 v. 7. ἀλλὰ καί a. τοῦ] ὁ τοῦ a, item lin. 8. 8. λόγος ἐστί (alt.)] ἐστι λόγος v. 9. ἐστί (alt.)] ἐστίν v. 11. ἄρα] om. a. Γ] Ζ a. 12. ἐστίν v; item p. 18, 5. 16. ἦ] om. β. 17. ἔσται – 19. μεῖζον] bis β (non a). 19. ῃ] om. β, ἔσται a. τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συν- θέντι τοῦ ΔΓ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΔ· τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖ- ζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

πάλιν δὴ τὸ ΑΓ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι τὸ λοιπὸν τὸ ΑΒ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΒΓ ἤτοι δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ, ἢ τὸ ΑΒ μετὰ τοῦ ἑξῆς, πρὸς ὅ τὸν ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα, δοθέν ἐστιν.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΓ τοῦ ΓΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος. τὸ δὴ δοθὲν ἤτοι ἔλασσόν ἐστι τοῦ ΑΒ ἢ μεῖζον. ἔστω πρότερον ἔλασσον, καὶ ἔστω τὸ ΑΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΓ πρὸς ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· διελόντι ἄρα τοῦ ΔΒ πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΔ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἀλλὰ δὴ τὸ δοθὲν μεῖζον ἔστω τοῦ ΑΒ, καὶ κείσθω αὐτῷ ἴσον τὸ ΑΕ· λόγος ἄρα λοιποῦ τοῦ ΕΓ πρὸς. τὸ ΓΒ ἐστι δοθείς· ὥστε καὶ ἀνάπαλιν τοῦ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι ὁ τοῦ ΒΓ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τὸ ΕΒ μετὰ 5. ἄρα] om. a. συντεθέντι a. 6. ΓΔ a. 7. ἐστι] ἔστω a. τὸ δοθὲν τό PVat.v. τό (alt.)] corr. ex τῷ m. 2 v. ΓΒ] ΓΔ Vat. 11. ἔσται] ἐστιν a. Α B] Β add. m. 2 Vat. 12. μετὰ τοῦ ἐξῆς] μεθʼ οὗ a. 13. ἐστιν] add. m. 2 Vat. 14. ΓΒ] B a. 16. ἔλαττόν (corr. ex ἴσον m. 3) v. 18. τὸ ΓΒ a. διελόντι — 19. δοθείς ] add m. 3 v. 18. διελόντι — ΒΓ] καὶ τοῦ ΔΒ ἄρα πρὸς τὸ ΒΓ a. 19. ἐστιν v; item lin. 23, 24, 25. 21. ΑΒ] ΔΓ v. 22. αὐτῷ] om. a τοῦ ΒΑ δοθέν· ὅλον γὰρ τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν· τὸ ΒΑ ἄρα μετὰ τοῦ ἑξῆς, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα, δοθέν ἐστιν.

ια.

Ἐὰν μέγεθος μεγέθους δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, τὸ αὐτὸ καὶ συναμφοτέρου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἐὰν τὸ αὐτὸ συναμφοτέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, τὸ αὐτὸ καὶ τοῦ λοιποῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.

μέγεθος γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΒ δοθείς· ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΑΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΔΕ· ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΑ δοθέν ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ πρὸς ὄλον τὸ ΕΒ λόγος δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΕ· τὸ ΒΑ ἄρα τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἀλλὰ δὴ τὸ ΒΑ συναμφοτέρου τοῦ ΑΓ δοθέντι 1. ὅλον – ἐστιν] om. a. γάρ] ἄρα P 2. μετὰ τοῦ ἐξῆς] μεθʼ οὗ a. 5. δοθέντος β. 6. ἔσται] comp. Vat.; item lin 9. 7. συναμφοτέρῳ (bis) β. 10. μεγέθους τοῦ a. 11. καί] om. v. Post καί add. τὸ αὐτὸ τὸ AB a 15. ἐστίν v, et sic per tot. propos. praeter l. 16 et p. 22, 12. 18. καί] om. Vat. τό (pr.)] om. a. 21. τὸ ΑΓ Vat. v. 22. Α E] ΕΑ a. καὶ τό a. μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ καὶ τοῦ λοιποῦ τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΒ τοῦ ΑΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μεγεθος τὸ ΑΕ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΑΓ πρὸς τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΔ πρὸς ΕΔ· καὶ τοῦ ΔΑ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι τοῦ ΔΑ πρὸς ΑΕ λόγος δοθείς· καὶ ἀνάπαλιν τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΑΕ· δοθὲν ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ὅλου τοῦ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ὧν τοῦ ΑΔ πρὸς τὸ ΔΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΓΔ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΒ λόγος δοθείς· καὶ διελόντι τοῦ ΓΒ πρὸς τὸ ΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΔΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΔΑ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΒΓ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ιβ΄.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη καὶ τὸ μὲν πρῶτον μετὰ τοῦ δευτέρου ᾖ δοθέν, ᾖ δὲ καὶ τὸ δεύτερον μετὰ τοῦ τρίτου δοθέν, τὸ πρῶτον τῷ τρίτῳ ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.

ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, καὶ τὸ μὲν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΓ δοθὲν ἔστω τὸ ΑΓ, τὸ δὲ ΒΓ μετὰ τοῦ ΓΔ δοθὲν ἔστω τὸ ΒΔ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ τῷ ΓΔ 1. τὸ αὐτό] καί a. καί] om. a. 2. ἔσται] comp. Vat., ἐστιν v. 7. ΔΑ] ΑΔ a. ἄρα] om. a. 8. ΕΔ] ΔΕ a. ὁ τοῦ a. 9. ἐστὶ δοθεὶς a. ἀνάπαλιν — 13 ἔσται] ἐπεί ἐστι λόγος τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ δοθείς, δοθὲν τὸ ΑΕ· δοθὲν ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΔ a. 12. τό (alt.)] om. v. 14. ΔΒ] ΔΒ τὰ ΔΒ v. 15. τό] om. a. 16. καὶ γάρ. at. 17. ΑΒ] supra ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖ- ζόν ἐστιν.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΒΔ, τὰ δὴ δοθέντα ἤτοι ἴσα ἐστὶν ἢ ἄνισα.

ἔστω πρότερον ἴσα· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΓ τῷ ΒΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ λοιπῷ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν.

μὴ ἔστω δὴ ἴσα, ἀλλʼ ἔστω μεῖζον τὸ ΑΓ τοῦ ΒΔ, καὶ κείσθω τῷ ΒΔ ἴσον τὸ ΓΕ· δοθὲν δὲ τὸ ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΕ· ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΓ δοθέν· καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΓ τῷ ΒΔ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΒΓ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΕ λοιπῷ τῷ ΓΔ ἴσον ἐστίν. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΕ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.

ιγ΄.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, καὶ τὸ μὲν πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον λόγον ἔχῃ δεδομένον, τὸ δὲ δεύτερον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, καὶ τὸ μὲν ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδομένον, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΖ· λοιποῦ. 3. Post ἐπεί ras. 3 litt. v. 4. ἄνισα] οὔ a. 7. ἐστί codd. 8. ἀλλά a. τοῦ ΒΔ] om. a. 11. ΑΕ] ΕΑ a. 14. τό (alt. )] τῷ Vat. 16. μέν] om. β. 20. μεγέθη] corr. ex μεγέθει m. 2 v. τά] corr. ex τό m. 2 Vat. 22. ἔσται v. ἄρα τοῦ ΔΖ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΖ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ AH πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ δοῦὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ· καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΔΖ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΗΒ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστὶ δοθὲν τὸ ΑΗ· τὸ ΑΒ ἄρα τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ιδ΄.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ προστεθῇ ἑκατέρῳ αὐτῶν δεδομένον μέγεθος, τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτε- ρον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, καὶ προσκείσθω ἑκατέρῳ αὐτῶν δεδο- μένον μέγεθος, τό τε ΑΕ καὶ τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει· δεδο- μένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΑ, ΖΓ, λόγος ἄρα τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ δοθείς. καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἔσται καὶ ὄλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.

1. ΖΔ a, item lin. 6. ἐστίν v, item lin. 2, 6. 2. δοθείς] om. a. ΓΔ δοθείς a. 3. γεγονέτω] ἔστω a. ΓΖ λόγος a. λόγος — 4. ΓΖ(pr.)] om. Vat. 13. ἔχει β. 17. τε] om. a. 21. ΑΕ P. 22. τό] om. a. 23. τῷ] αὐτῷ ὁ a. τὸ ΓΔ a. ἔσται] comp. Vat., omnibus litteris m. 2, et sic saepissime in sequentibus.

μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτὸς καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς ΓΖ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΖΓ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΕΑ δοθέν· καὶ λοι- πὸν ἄρα τὸ ΕΗ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΖΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΒ πρὸς ΖΔ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΕΗ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστι ἢ ἐν λόγῳ.

ιε΄.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν δεδομένον μέγεθος, τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, καὶ ἀφῃρήσθω ἀφʼ ἑκατέρου αὐτῶν δεδομένον μέγεθος, ἀπὸ μὲν τοῦ ΑΒ τὸ ΕΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ ΓΔ τὸ ΓΖ· λέγω, ὅτι τὰ λοιπὰ τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΕ, ΓΖ δοθέν ἐστι, λόγος ἄρα τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς. καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.

μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΒ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ. λόγος δὲ τοῦ 2. τὸ ΓΔ a. τὸ ΖΓ a. λόγος — 3. ΖΓ(alt.)] om. a. 3. ΖΓ (utrumque)] ΓΖ v. 5. ἐστι codd. ἐπεί — 7. δο- θείς] ὅλου τοῦ ΗΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς a. 6. ΗΑ] ΗΔ v. ΖΓ|ΓΖ v. 7. ἐστιν v. τὸ δοθὲν τό P. 12. ἔχει β. 17. ΓΖ] ΖΓ a. 18. ἔχει a. 20. τῶν] τὸ Vat. 21. καὶ τοῦ a. 22 τῷ] om. a. ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΕ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΕΗ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΖ, λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΕΗ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ις΄.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ ἑνὸς αὐτῶν δεδομένον μέγεθος ἀφαι- ρεθῇ, τῷ δὲ ἑτέρῳ αὐτῶν δεδομένον μέγεθος προστεθῇ, τὸ ὅλον τοῦ λοιποῦ δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.

δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδο- μένον, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ ΓΔ δεδομένον μέγεθος ἀφῃ- ρήσθω τὸ ΓΕ, τῷ δὲ ΑΒ δεδομένον μέγεθος προσ- κείσθω τὸ ΖΑ. λέγω, ὅτι ὅλον τὸ ΖΒ τοῦ λοιποῦ τοῦ ΕΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΕ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΕ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΓΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΖ δοθέν· ὅλον ἄρα τὸ ΖΗ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΕ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. 1. λόγος ἄρα] om. a. 2. ΓΖ (pr.)] ΓΖ λόγος ἐστί a. 3. ἔστιν v. 4. ἐπεί — 5. ΓΖ] om. a. 5. ἄρα] om. a. 6. ἐστίν v. 7. ΖΔ] Vat. δοθέντι] δοθέν a. ἐστι a. 10. μέν] om. β. 13. Post ΓΔ add. πρὸς ἄλληλα a. 14. καὶ ἀπὸ μέν] ἀπὸ δέ a. δεδομένον] om. a. 16. τό (pr.)] supra add. m. 2 P. ὅλον] om. a. τοῦ ] om. Vat. v. καί ἐστι δοθὲν τὸ ΗΖ· τὸ ΖΒ ἄρα τοῦ ΕΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ιζ΄.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, καὶ τὸ πρῶτον τοῦ δευτέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, ᾖ δὲ καὶ τὸ τρίτον τοῦ αὐτοῦ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τρίτον ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ, ΔΕ, καὶ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΔΕ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι τὰ ΑΒ, ΔΕ ἤτοι πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΔΕ τοῦ Γ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΔΗ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΕ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΖΒ ἄρα πρὸς τὸ ΗΕ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ πρόσκειται αὐτοῖς δεδομένα μεγέθη τὰ ΑΖ, ΔΗ· τὰ ὅλα ἄρα τὰ ΑΒ, ΔΕ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ιη΄.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, ἓν δὲ αὐτῶν ἑκατέρου τῶν λοιπῶν δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, τὰ λοιπὰ δύο 4. ᾖ] om. β (non a). 5. δοθέντι] supra scr. m. 1 β. 7. ἔχει β. 11. ἔχει] corr. ex ἔχῃ m. 2 v. 12. δοθέντι] om. v. 14. ἐπεὶ γὰρ τὸ ΔΕ] ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΖ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν ἐπεὶ τὸ ΕΔ a. 16. διά — 17. καί] om. a. 16. τὰ αὐτά] ταῦτα Vat. 17. ΖΒ] Γ α. Γ] ΖΒ a. 18. ἄρα] om. a. δο- θείς] om. a. 20. τά] om. a. 25. ᾖ] om. β. πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ἓν δὲ αὐτῶν τὸ ΓΔ ἑκατέρου τῶν λοιπῶν τῶν ΑΒ, ΕΖ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΖ ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΗ. λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΔ πρὸς τὸ ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΓΗ πρὸς τὸ ΑΘ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΗ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΗ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΘ. καὶ ὅλου τοῦ ΓΔ πρὸς ὅλον τὸ ΘΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν, ἐπεὶ τὸ ΓΔ τοῦ ΕΖ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΚ. λοιποῦ τοῦ ΚΔ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΓΚ πρὸς ΛΕ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΚ πρὸς ΛΕ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΚ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΛΕ. καὶ ὅλου τοῦ ΓΔ πρὸς ὅλον τὸ ΛΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΓΔ πρὸς ΘΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ τοῦ ΘΒ ἄρα πρὸς ΛΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἀφῄρηται ἀπʼ αὐτῶν δε- δομένα μεγέθη τὰ ΘΑ, ΛΕ. τὰ ΑΒ, ΕΖ ἄρα ἤτοι πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

1. ἔχει β. 2. ἐστιν] supra comp. add. m. 2 v. 8. ἐπεί — 9. λόγῳ] om. a. 8. ἐστιν] om. v. 10. ἄρα] om. a. 12. δοθείς ἐστι a. 15. ἐστιν] om. a. 16. ἐστίν v. 18. ΛΕ] ΕΛ a; item lin. 19. 20. τοῦ δὲ ΓΔ — 22. ΛΖ] τοῦ ΘΑ καὶ τοῦ ΛΖ a. 21. καί] om. v. 22. ἀφήρηται] ἀφρρήσθω v. 24. ἔχει a.

ιθ΄.

Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη, καὶ τὸ μὲν πρῶτον τοῦ δευ- τέρου δοθέντι μεῖζον ᾖ ἢ ἐν λόγῳ, ᾖ δὲ καὶ τὸ δεύ- τερον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, καὶ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου δοθέντι μεῖζον ἔσται ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω τρία μεγέθη τὰ ΑΒ, ΓΔ, Ε, καὶ τὸ μὲν ΑΒ τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, τὸ δὲ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. λέγω, ὅτι καὶ τὸ ΑΒ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓΔ τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΓΖ· λοιποῦ ἄρα τὸῦ ΖΔ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν; ἐπεὶ τὸ ΑΒ τοῦ ΓΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν μέγεθος τὸ ΑΗ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ΗΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΗΑ δοθέν· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΑ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ ΗΒ πρὸς τὸ ΓΔ, οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ ΓΖ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΘΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΘΒ ἄρα πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΘΑ· τὸ ΒΑ ἄρα τοῦ Ε δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

2. καί] supra comp. add. m. 2 v. 3. ᾖ δέ om. β. 4. δοθέντι] bis β (non a). μεῖζον ᾖ ἤ a. ἢ ἐν λόγῳ] om β (non a). 7. τοῦ] τῷ a. 12. ΖΔ] Ζ supra add. m. 1 v. λόγος ἐστὶ δοθεὶς πρὸς τὸ Ε a. 14. τό (alt.)] τοῦ a. 16. τοῦ(pr.)] ὁ τοῦ va. 17. δοθέν(pr.) — 18. ΗΘ] δβοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘ· δαοθὲν δὲ τὸ ΓΖ v. 18. ἔστιν v. 19. ἐστι codd. καὶ ἐπεί — 20. ΓΖ] om. a 24. Seq. demonstr. altera, υ. app.

κ΄.

Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα, καὶ ἀφαιρεθῇ ἀπʼ αὐτῶν μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, τὰ λοιπὰ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀφῃρήσθω μεγέθη τὰ ΑΕ, ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον· λέγω, ὅτι τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἔχει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς.

καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ, ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.

μὴ ἔστω δὴ ὁ αὐτός, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς ΓΔ. λόγος δὲ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς ΓΔ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΗ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ. δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ, καὶ λοιποῦ τοῦ ΗΕ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΗΒ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

4. ἔχει β 6. τά] corr. ex τό m. 2 Vat. 11. δοθέν ἐστιν] post ΓΔ v. 12. τὸ ΓΔ a. δοθείς ἐστι a. 13. ἐστι τῷ τοῦ] αὐτῷ τό a. τὸ ΓΖ a. 15. ἐστὶ δοθείς a. 16. ΑΕ πρὸς τὸ ΓΖ a. 17 τὸ ΓΔ a. 18. τὸ ΓΖ a. τὸ ΓΔ a. 20. ἔστιν v 21. καί — 22. ΓΔ] om. a.

κα΄.

Ἐὰν ᾖ δύο μεγέθη δεδομένα, καὶ προστεθῇ αὐτοῖς μεγέθη πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, τὰ ὅλα πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἔστω δύο μεγέθη δεδομένα τὰ ΑΒ, ΓΔ, καὶ προσ- κείσθω αὐτοῖς μεγέθη τὰ ΑΕ, ΓΖ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δεδομένον· λέγω, ὅτι τὰ ὅλα τὰ ΕΒ, ΖΔ πρὸς ἄλληλα ἤτοι λόγον ἕξει δεδομένον, ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς.

καὶ εἰ μὲν ὁ αὐτός ἐστι τῷ τοῦ ΕΑ πρὸς τὸ ΓΖ, ἔσται καὶ ὅλου τοῦ ΕΒ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος δοθείς.

εἰ δὲ οὔ, πεποιήσθω ὡς τὸ ΑΕ πρὸς ΓΖ, οὕτως τὸ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ· λόγος ἄρα τοῦ ΗΑ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΓΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΑ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΒ δοθέν ἐστιν. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΕΑ πρὸς ΖΓ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΓΔ, καὶ ὅλου τοῦ ΕΗ πρὸς ὅλον τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθὲν τὸ ΗΒ· τὸ ΕΒ ἄρα τοῦ ΖΔ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.

κβ΄.

Ἐὰν δύο μεγέθη πρός τι μέγεθος λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ τὸ συναμφότερον πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἕξει δεδομένον,

3. λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα β. 4. ἔχει β. 7. ΑΕ] ΑΒ Vat., corr. m. 2. 9. ἔχει a. 10. δοθέντι] δοθέν a. 13. ΑΕ a. ΖΓ a. 14. ΖΔ] ΖΑ P Vat, corr. m.2 Vat. λόγος] om. a. 15. ΕΑ πρὸς τὸ ΖΓ a. 16. καὶ τοῦ ΑΗ a. 17. ΑΗ va. ἔστιν v. 19. ἐστι(priore loco) codd. καί —20 ΓΔ] om. a. 19. τὸ ΖΓ Vat. 20. τό (pr.)] om. v. 21. ἐστίν v. 24. ἔχει v, sed alt.ε eras. 25.τό (pr.)] om β. τό (alt )] om Vat.

δύο γὰρ μεγέθη τὰ ΑΒ, ΒΓ πρός τι μέγεθος τὸ Δ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ τὸ συναμφότερον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ Δ λόγον ἔχει δεδομένον, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ δοθείς· καὶ συνθέντι τοῦ ΑΓ πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΒΓ πρὸς Δ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ποῦ ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ Δ λόγος ἐστὶ δοθείς.

κγ΄.

Ἐὰν ὅλον πρὸς ὅλον λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔχῃ δὲ καὶ τὰ μέρη πρὸς τὰ μέρη λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ, καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο- μένους.

ἐχέτω γὰρ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ λόγον δεδομένον, ἐχέτω δὲ καὶ τὰ ΑΕ, ΕΒ μέρη πρὸς τὰ ΓΖ, ΖΔ μέρη λόγους δεδομένους, μὴ τοὺς αὐτοὺς δέ· λέγω, ὅτι καὶ πάντα πρὸς πάντα λόγους ἕξει δεδο- μένους.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕ πρὸς ΓΖ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓH· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς ΓΗ δοθείς. ἔσται καὶ λοιποῦ τοῦ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ΖΗ λόγος δοθείς. τοῦ δὲ ΕΒ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΖΔ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἀναστρέψαντι τοῦ ΖΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ 2. ἐχέτω] ἔχει a. τό] om. a. συμφότερον P. 3. τό(tert.)] om PVat.v. 4. ἐπεί — 5. δεδομένον] om. a. 6. τοῦ] τό Vat. 7. τοῦ δέ — δοθείς] om a. τὸ Δ v. 10. λόγον] supra add. m. 2 v. 11. καί] supra add. m. 2 v; item lin. 15. 14. τό(alt)] om. a 16. ΓΖ] corr. ex ΓΔ m. 1 v. δέ] om. a. 19. τὸ ΓΖ a. 20. τὸ ΓΗ a; item lin. 21. ΑΒ πρὸς ἑκάτερον τῶν ΔΓ, ΓΗ, καὶ τοῦ ΔΓ ἄρα πρὸς τὸ ΓH λόγος ἐστὶ δοθείς· ἀναστρέψαντι καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς ΔΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ ΗΔ πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΓΔ ἄρα πρὸς ΔΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΓΖ πρὸς τὸ ΖΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ μὲν ΓΖ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς ΒΕ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε πάντων πρὸς πάντα λόγος ἐστὶ δοθείς.

κδ΄.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευ- τέραν λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν Γ, ἡ δὲ Α πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς τὴν Β λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐκκείσθω γὰρ δοθεῖσα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Α πρὸς τὴν Γ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ· λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ Δ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. εἰλήφθω τῶν Δ, Ζ μέση ἀνάλογον ἡ Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Ε. δοθὲν δὲ τὸ ῦπὸ τῶν Δ, Ζ· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα αὐτῶν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Ε· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε. ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ δοθεῖσα· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς Δ πρὸς τὴν E δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Α 1. BA Vat. v. Post ΓΗ add. δοθείς a. 2. καί] om a. 4. ΔΖ] τὸ ΖΔ a. 5. ΔΖ] ΖΔ a. τό] om. a. 6. τὸ ΑΕ Vat. v. 7 τὸ ΒE Vat. Post δοθείς (alt.) add. καὶ τοῦ ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, ὡς δὲ ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β· αἱ γὰρ Α, Β, Γ ἀνάλογσν εἰσιν· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Δ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε· καὶ ὡς ἄρα ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε. λόγος δὲ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς Α πρὸς τὴν Β δοθείς.

κς΄.

Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τὰ πέρατα ᾖ δεδομένα τῇ θέσει, δέδοται ἡ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

εὐθείας γὰρ γραμμῆς τὰ πέρατα τὰ Α, Β δεδομένα 2. τῶν] add. m. 2 Vat. 4. τῷ] τό Vat. 6. τῷ] τό a. τό] τῷ a. 11. Seq. demonstr. altera, u. app. 14. ὅ] corr. ex ἅ m. 2 Vat. 15 τῇ θέσει] om. β. 16. γάρ] om. a. 18. Ε] om. a. 19. μή] δύνατον a. 20. ἄρα] om. a 23. ᾖ] ἔστω τῇ θέσει. λέγω, ὅτι δέδοται ἡ ΑΒ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α μεταπεσεῖται τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος, μεταπεσεῖται καὶ τὸ Β σημεῖον. οὐ μεταπίπτει δέ. δέδοται ἄρα ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

κη΄.

Ἐὰν διὰ δεδομένου σημείου παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσςι.

διὰ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α παρὰ θέσει δεδο- μένην εὐθείαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΔΑΕ. λέγω, ὅτι δέδοται ἡ ΔΑΕ τῇ θέσει.

εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται 1. ἔστω τῇ θέσει] om. a. ἔστω] ἔστωσαν v. 4 ῃ] om. a. 5. ἡ] supra scr.m. 1 v. εὐθεῖα] om. a. 9. δοθὲν ᾖ δοθῇ β. δοθήσεται] δοθὲν ἔται β. 11. γραμμῆς] om. v. 12. ἔστω ] ἔστωσαν v, del. σαν m. 2. 14. εἰ γὰρ μή a. 16. μεταπίπτει] μεταπεσεῖται a. 17. Seq. demonstr. altera, u app. τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις. διαμενούσης τῆς ΒΓ παραλλήλου μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΖΑΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῃ ΖΑΗ. ἀλλά ἡ ΒΓ

τῇ ΔΑΕ ἐστι παράλληλος. καὶ ἡ ΔΑΕ ἄρα τῇ ΗΑΖ παράλληλός ἐστιν. ἀλλὰ καὶ συμπίπτει· ὅπερ ἐστὶν ἄτο- πον. οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑΕ.

κθ΄.

Ἐὰν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποι- οῦσα γωνίαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

πρὸς θέσει γὰρ δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Γ εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΓΔ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΓΔ.

εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Γ σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΓΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γω- νίας τὸ μέγεθος. μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΓΕ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα μετα- πεσεῖται τῆς ΔΓ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ.

1. ή] om. a. 2. ἐστίν] om. a. 3. ΓΒ] ΒΓ a. 5. καί] omn. a. 6. ἐστι παράλληλος a. 11. δεδομένῃ] δεδομένον v, supra scr. η m. 2. αὐτῇ] ἑαυτῇ Pv. 15. εὐθεῖα γραμμή a. 16. δεδομένην - BΓΔ] om. v, supra add. m. 2. 17. θέσει] θέσις a. 19. τῆς (pr.)] τοῦ Vat., corr. m. 2. 20. καὶ ἔστω] ὡς a. 21. ΔΓΒ] EΓΒ a. ΕΓΒ] τῶν ΔΓΒ a. 23. θέσει — ΓΔ] om. a ΓΔ] ΔΓ Vat. v.

λ΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποιοῦσα γω- νίαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΑΔ.

εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ ΑΔΓ γωνίας τὸ μέγεθος. μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΑΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ. ἡ μείζων τῇ ἐλάττονι· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΑΔ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ.

λα΄.

Ἐἀν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ προσβληθῇ δεδομένη τῷ με- γέθει, δέδοται καὶ τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω δεδο- μένη τῷ μεγέθει. λέγω, ὅτι καὶ τῇ θέσει δέδοται.

κέντρῳ γὰρ τῷ Α, διαστήματι δὲ τῷ ΑΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΔΖ. θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΔΖ κύκλος· δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ Α κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΑΔ τῷ μεγέθει. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ 6. εὐθεῖαν] om a. 10 τῆς (pr.)] ἡ a 13. ἐλάσσονι va 14. θέσει] θέσις a Sequuntur tres demonstr. aliae, u. app. 20. Post ἤχθω add. ἡ ΔE Vat. v, ἡ ΔA a. 21. δέ- δοται καὶ τῇ θέσει a. 22. κύκλος] comp a. 23. θέσει — κύκλος] ὁ δὲ EΔΖ κύκλος (comp.) δέδοται a. EΔΖ] ΔΕΖ PVat. v. εὐθεῖα. ἐὰν δὲ δύο γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι τέμνω- σιν ἀλλήλας, δέδοται τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλας· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Δ. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ.

λβ΄.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας, δέ- δοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ δεδομένας ποιοῦσα γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΕΖ, ΕΖΔ. λέγω, ὅτι δέ. δοται ἡ ΕΖ τῷ μεγέθει.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΓΔ δοθὲν σημεῖον τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΘ τῇ ΕΖ καὶ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἐμπέπτωκεν ἡ ΓΔ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ EΖΔ τῇ ὑπὸ ΘHΔ. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΔ. ἐπεὶ οὖν πρός θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΓΔ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Η εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΗΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΘΗΖ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῷ μεγέθει· καί ἐστιν ἱση τῇ ΕΖ. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ Ε τῷ μεγέθει.

15. τέμνωσιν] τέμνουσιν P. 6. εἰς] πρός β. 10. τάς] τῇ a. 14. ἐπεί — 15. HΘ] ἐπεὶ οὖν ἡ παράλληλος a. 15. εὐθεῖα] om. a. 16. ἐμπέπτωκεν] -τ- supra scr. v. τῶν ΕΖΔ a. ΕΖΔ] ΕΔΖ v. τῇ — 17. ΕΖΔ] om. a. 18. ΘHΔ] τῶν ΘΗΖ a. δεδομένην εὐθεῖαν τήν a. Γ 20. δεδο-

λγ΄.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει, δεδομένας ποιήσει γωνίας.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὑθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ, δεδομένη τῷ μεγέθει. λέγω, ὅτι δεδομένας ποιήσει γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΒΕΖ, ΕΖΔ.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Η καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ. ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ τῇ ΗΘ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΖ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ. καί ἐστι τὸ Η δοθέν. ὁ ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ Η, διαστήματι δὲ τῷ ΗΘ κύκλος γραφόμενος ἔσται τῇ θέσει. γεγράφθω καὶ ἔστω ὁ ΚΘΛ. θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΚΘΛ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Η δοθέν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΘΔ γωνία. καί ἐστι τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴση. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν EΖΔ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖEΒ δοθεῖσά ἐστιν.

λδ΄.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας ἀπὸ δεδομένου σημείου εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, εἰς δεδο- μένον λόγον τμηθήσεται.

5. γάρ] supra add. m. 2 v. 8. τῶν] del. m. 2 Vat., om. a. 11. Post ΕΖ add. μεγέθει P Vat.v. 12. τό] τῇ a. 13. κύκλος] comp. a. 14 Post θέσει(pr.) add. δεδομένος a. γεγράφθω — p. 58, 10. δοθὲν ἄρα] om. hic a; eorum loco propter transmutationem foliorum (u. praef) reperiumntur p.76, 16 τριγώνου — p. 80, 7 ἐπὶ τὴν ΑΓ. 18. ΗΘΔΔ] ΘΔ Vat.,

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Ε εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖH. λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ δοθείς.

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθε— τος ἡ ΕΚΘ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ E ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΕΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΕΘH, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ EΘ· θέσει δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ· δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Κ, Θ. ἔστι δὲ καὶ τὸ E δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΕΚ, ΚΘ. λόγος ἄρα τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖH. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς.

λε΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον, διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὴν θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΔΕ πρὸς ΕΑ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῃ ΒΓ παράλληλος ἡ ΖΕΗ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖEΗ.

1. δεδομένας] bis b (non a). 5. εὐθεῖα κάθετος b. 6. ἐπεί] ἐπεὶ οὖν b. ἐπί — 8. ΕΘ] om. b. 8. ποιοῦσαν b. EΘH] EΘΔ b. 10. τῶν] τό Vat. Κ, Θ σημείων a. 11. E] ΔΕ a 12. EΚ, ΚΘ] ΘΚ, ΚΕ a. Post λόγος add. ἐστίν a. τήν] a; τό PVat v, sed corr. m. 2 Vat. 13. καί ἐστιν ὡς] ὡς δέ a. 14. Seq. demonstr. altera, u. app.

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΘΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ, λόγος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ δοθείς. συν- θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τῆς ΘΑ πρὸς ΑΚ δοθείς. δο- θεῖσα δὲ ἡ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΚ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Α δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Κ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ.

λς΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ πέρατος τῆς προστεθείσης παρὰ τὴν τῇ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ, καὶ προσκείσθω τῇ ΑΔ ἡ ΑΕ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν 2. ἐπεί] ἐπί a. ἀπό] om. a. 4. ΑΘΔ] Δ add. m. 2 Vat. 6. δοθέν] δο- supra m. 1 v. 7. καί] om. Vat, add. m. 2. τήν] om. a. δοθείς — 8. ΕΑ] P in mg. m. 1, sed alio atramento 8. Post ΚΑ add. Pv: δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ λόγος, et dein supra scr. δοθείς m. 1 P. 10. Ante τῆς supra add. καί (comp) m. 2 v. 11. ἄρα] δέ a. ΑΔ δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ E τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖΚ.

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΘΓ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΑΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Α· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ H. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ H παρὰ θέσει δεδομένην εὐ- θεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗΚ.

λζ΄.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον, διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗE, καὶ διήχθω διὰ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ.

1. ΑΔ] AE a. 7. ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΑΗ] ἡ ΑΗ a. 8. ἔστι — 9. ΑΘ] om. a. 9. ΑΘ] ΑΔ Vat 15. Post Η add. παρὰ δεδομένου σημείου τοῦ Η a. 17. ΖΗΚ] ΖΗ a. 18 λζʹ] λη´ β. 25. καί] om. Vat, ins. m. 2. 26. Η] Η ἡ Vat. παράλληλος] comp Vat., παράλληλ- in ras. m. 2 v.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Λ, καὶ κατήχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΛΝ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Λ ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΛΝ. δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΝΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ· δοθὲν ἄρα τὸ Ν σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Λ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΝΛ πρὸς τὴν ΜΛ ἐστι δοθεὶς λόγος. δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΛ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Λ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Μ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ.

λη΄.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ πέρα- τος παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ προσ- 2. κατήχθω] διήχθω a. Λ] Α a. 5. τῶν] τήν Vat., del. m. 2. 7. δοθεῖσα] θέσει a. 8. τήν] τῇ a. 9. Η Ε(pr.)] Η supra scr. m. 1 v. ΝΜ] ΜΝ a. 10. ΝΜ] ΜΝ va. 11. ΜΛ] ΛΜ a. λόγος ἐστὶ δοθείς a. 13. ἀλλά] om. a. 17 ληʼ] λθ´ β. 18. εὐθείας τῇ θέσει δεδομένας β (non a). 20. Post πέρατος cum editoribus desidero τῆς προστεθείσης. 21. παρ- άλληλος] εὐθείας β. 22. ἄχθει v, corr. m. 2. ἀχθεῖσα] in hoc uocabulo incipit b; titulus est: εὐκλείδου δεδομένα τῆς θέω- νος ἐκδόσεως, mg. λείπει ἡ ἀρχή. κείσθω τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΕΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν ΕΖ δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ H ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθειῶν παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Ν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδο- μένου σημείου τοῦ Ν ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΝΜ δεδομένην ποι- οῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΝΜΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝΜ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΜ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΝΛ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΜΛ πρὸς τὴν ΝΛ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Λ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Λ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΑΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ.

λθ΄.

Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ῇ τῷ μεγέθει, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ἔστω τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον δέδοται τῷ εἴδει.

2. τήν] αὐτὴν τήν b. 3 εὐθειῶν] om. b. παράλληλος] b, om. rell 5. Ν] Μ b, item lin. 8, 17. 7. ΝΜ] ΜΝ b, item lin. 9, 12, 16. 10. ΝΜΔ] ΜΔ v, ΜΝB b et dein add. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ ἡ ΜN. ΛΝΜ] ΛΜΝ Pv, ΛΜ Vat., ΜΝ b. 12. δοθεῖσα] Hardy; θέσει Pvb, ἐπεί Vat.; Parisin 2472 θέσει del. et in mg. scr. m. rec.; ῾δοθένʼ ut puto.

ἐκκείσθω γὰρ εὐθεῖα τῇ θέσει δεδομένη ἡ ΔΜ, πεπερατωμένη μὲν κατὰ τὸ Δ, ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ λοιπόν, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΕ·

ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ EΖ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ· δο- θεῖσα ἄρα καὶ ἡ EΖ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ E· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ· τῃ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΖΗ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Η. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΘ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΔΚΘ. πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΚΛ· θέσει δὲ καὶ ὁ ΔΘΚ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ Κ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκά- τερον τῶν Ε, Ζ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΚΕ, EΖ, ΖΚ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΚΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει. καί ἐστιν ἴσον τε καὶ ὅμοιον τῷ ΑΒΓ· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

In figg. codd. PVat. est ΑΒ ═ ΑΓ, EΔ = ZΗ; litt. Μ om. PVat. v; pro Δ hab. Α b. 1. δεδομένη τῇ θέσει εὐθεῖα b. δεδομένη] om. Pv. ΔΜ] ΔΗ et supra H scr. M m. 1 b. 5. Post δοθέν add δέ (comp) b. 10. τῃ] ἡ b. ἡ(pr.)] τῃ b. 13. EΔ] ΔE b. 14. θέσει —ΔΚΘ] om: b. πάλιν] καὶ πάλιν b. 15 ZH] EΔ v, supra scr. m. 1 ZH. 17. καί (pr.)] om. b ἔστι] καί ἐστι v. 18. ἑκάστη] ἐκατέρα b. 20. τό] καὶ τό v. 21. τῷ (pr.0] αὐτῷ τὸ b.

μ΄.

Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδομένη ᾗ τῷ μεγέθει, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδο- μένη ἔστω τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ, Ε τῇ μὲν ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ ἴση γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΕΔΖ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἱση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λοιπῇ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ ἐστιν. δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Α, Β, Γ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Δ, Ε, Ζ. ἐπεὶ οὕν πρὸς θέσει δεδο- μένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΕ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδο- μένῳ τῷ Δ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΔΖ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Δ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ θέσει ἐστίν· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ, ΔΕ, EΖ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τρί- γωνον τῷ εἴδει. καί ἐστιν ὄμοιον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

1. μʹ] μαʹ b. 5. λέγω — 6. εἴδει] om v 8. τῇ) τήν b. 9. αὐτῇ] αὐτοῖς v, corr. m. 1. 11. ΑΓΒ] ΒΓΑ Vat. v. ἴση] om. b. 12. ΒΑΓ] ΒΓΑ Pb. λοιπῇ — ἐστιν) λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν BΓA ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ ἐστιν b. τῶν] om. Vat. 13. Post Γ add. Δ b. καί] om. b. 15 δεδο- μένῳ σημείῳ b. 16. τῷ] τήν b. 17. τήν] την b. θέσει — ΔΖ] δοθει∵σα αρα ἐστιν η ¨πΔΖ

b; puncta, π, ο et mg

ἤ

μα΄.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ τὴν δεδομένην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἐχέτω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΖ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ζ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΖ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δεδο- μένῳ σημείῳ τῷ Ζ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΕ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΔΖΕ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΖ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Ζ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ζ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ, ΖΕ, ΔΕ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχει, τὴν 1. μαʹ] μβʼ b. 2. ἔχῃ] ἔχει v, corr. m. 1. γωνίαν] comp. Vat; 6. τῶν (pr)] om b. ΒΑΓ (alt.)] ΒΑΓ γωνίαν b. 12. BAΓ] Β supra scr. m. 1 b. 13. ἡ (pr.)] γωνία ἡ b. 15. σημείῳ δεδομένῳ b. 24. Ζ] E b. 27. ἕξει b. ὑπὸ τῶν ΒΑΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ, περὶ δὲ τὰς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, ΔΖΕ γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔEΖ τριγώνῳ. δέ- δόται δὲ τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

μβ΄.

Ἐὰν τριγώνου αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον δέδοται τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ δεδομένη τῷ μεγέθει εὐθεῖα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε. δοθεῖσα δὲ ἡ Δ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ε. πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ. δοθεῖσα δὲ ἡ E· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθεί- σαις ταῖς Δ, Ε, Ζ, ὧν αἰ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΗΘΚ· ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν Δ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Ε τῇ ΘΚ, τὴν δὲ Ζ τῇ ΗΚ. δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν Δ, Ε, Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν ΗΘ, ΘΚ, ΚΗ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΗΘΚ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἴση δὲ ἡ μὲν Δ τῃ ΗΘ, ἡ δὲ Ε 1. ΒΑΓ] ΑΒΓ b, item lin. 2 2 ΔΖΕ] ΔEΖ b 6. μβʹ] μγ΄ b 8 τῷ] ἐν τῷ b. 9 ΑΒΓ] ΑΓ b. 10 ἐχέτω- σαν] ἔχουσι b. 12. τῷ μεγέθει] om b. 16. ΑΓ] ΑΒ Vat., BΑ v. 17. τήν] om. b. καί] om. b. 18. Post τριῶν add δή b. τρισί] om b. 19 ταῖς] τῇ b. μείζονες] τῇ ΘΚ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΚ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΓʼ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἴση δὲ ἡ μὲν Ε τῇ ΘΚ, ἡ δὲ Ζ τῃ ΗΚ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΗ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΘΚ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον τῷ ΗΘΚ τριγώνῳ. δέδοται δὲ τὸ ΗΘΚ τρί- γωνον τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωον τῷ εἴδει.

μγ΄.

Ἐὰν τριγώνου ὀρθογωνίου περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν γωνιῶν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο– μένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον- τος τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν, περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν αὐτοῦ γωνιῶν τὴν ὑπὸ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΑ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΔΕ ἡμικύκλιον τὸ ΔΗE· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΗΕ ἡμικύκλιον. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ· λόγος ἄρα καὶ 2. ΗΘ] ΔΘ b. τήν] om. b. ἐστιν] om. v. 4. ΘΚ] Κ Vat, add. Θ m 2. 5. ΘΚ] ΚΘ b. 7 ΑΒ] ΒΑ Vat v. ΑΓ] ΒΓ b. 8. ΗΚ] ΚΘ b. 12 μγʹ] μδ· b. 15 τῷ εἴδει] τῇ θέσει b. 16 τριγώνου — p. 80, 7. ἐπὶ τὴν ΑΓ] eorum loco in ba hic propter transmutationem foliorum (u. praef.) repetuntur, quae legumntur p. 56, 14. γεγράφθω — 20 ἐστιν, τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΕ· δο– θεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. καί ἐστι μείζων ἡ ΓΒ τῆς ΒΑ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΔ τῆς Ζ. ἐνηρμόσθω τῇ Ζ ἱση ἡ ΔΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗE, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΗΚ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΘΗΚ κύκλος· δέδοται γὰρ αὐτοῦ τὸ κέντρον τῇ θέσει καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει. θέσει δὲ καὶ τὸ ΔΗE ἡμικύκλιον. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Η σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΗΔ, ΔΕ, ΕΗ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΗΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ, ΔEΗ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΗΕ, περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν ΓΒΑ, ΕΔΗ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τῶν δὲ λοιπῶν τῶν ὑπὸ ΒΓΑ, ΔΕΗ ἑκατέραν ἄμα ἐλάσσονα ὀρθῆς, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΗ τριγώνῳ. δέδοται δὲ τὸ ΔΕΗ τρίγωνον τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

μδ΄.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

2. μείζων] μεῖζον P, comp. 4. ΗΕ] EΗ a. 6 ΘΗΚ] ΗΘΚ a. 7. τῷ μεγέθει] in ras. a. 10. δοθεῖσα] θέσει a. 13. γωνίαν] γωνία v τῶν] τήν Vat, del. m. 2. 14. τὰς ἄλλας PVat.v 15. ΓΒΑ, ΕΔΗ] ΘΓΑ, ΔΕΗ v. τάς - 16. ΔΕΗ] om v. 16. BΓΑ] τῶν ΑΓΒ a. 17. ΑΒΓ] ΒΓΑ v. 18. δέδοται — εἴδει] om. v, add. mg. m. 2. 20. μδ´| λέ β. 21 ἔχῃ] ἔχον β.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ λόγον ἐχέτωσαν πρὸς ἀλλήλας δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

μὴ ἔστω δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία ὀρθή, ἀλλʼ ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΔ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΒΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ· δέδοται ἄρα τὸ ΒΔΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία ἀμβλεῖα, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΑΕ κάθετος ἡ ΒΕ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΑ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΕΒΑ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος 1. ἔχον] ἔχων P. 2. δέ] om. a. 6 Ante μή add εἰ μὲν οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία, δέδεικται τὸ ὄνομα δεδομένον τῷ εἴδει a. 8. ἐπεί] om. b. 13 καί — 14 δο- θείς] om. b. 14. BΔΓ γωνία b. 15. ΒΔΓ] ΔΒΓ b. 16. καί — 17. δοθεῖσα] om. v, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δο- θεῖσά ἐστι mg. m 2. 18. καὶ τὸ Vat., del. καί m. 2. 19. ἀλλὰ δὴ ἔστω] ἀλλʼ ἔστω b. τῶν] om. v. 22. ἡ (alt.)] supra ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς. τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕB ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒEΓ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ EΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

με΄.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, αἱ δὲ περὶ τὴν δεδομένην γωνίαν πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδομένην ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω- νίαν αἰ πλευραί, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ ὡς μία πρὸς τὴν ΓΒ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. λόγος δὲ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστι δο- 1. ΕB] ΒΕ v. 2. καὶ τῆς ΕΒ ἄρα] τῆς δὲ EΒ v. καί — 3 δοθεὶς] om. b. 5. BΓΕ] τῶν ΑΒΓ γωνία b. 6. τῶν BAΓ b. τῶν ΑBΓ b. 13. τό] corr. ex τῷ m. 2 v. 14. μίαν ἔχον γωνίαν δεδομένην b. 15 τῶν] om. b. ὑπὸ τῶν θεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΗ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

μς΄.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραί, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. λόγος δὲ τοῦ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία. καί ἐστιν αὐτῆς διπλασίων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

3. ΒΑΓ] ΑΒ, ΑΓ b. 4. ΑΓΒ] ΑΓΔ b. 5 Seq. de- monstr. altera, u. app 6. μςʹ] om. b (non β) 8. συν- αμφότεραι] om b. 11. ἔχων b. 13. τουτέστιν codd. 14. ΒΑΓ] BΑΓ ὡς μία b. ΒΓ] ΓΒ b. 18. ἡ] οὕτως ἡ b.

μζ΄.

Τὰ δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

ἔστω δεδομένον εὐθύγραμμον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓΔΕ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον εἰς δεδομένα τρί- γωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΕΓ. ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον τῷ εἴδει, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία. καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς, δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ δοθείς, τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΒΕ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΒΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει δέδοται· τὰ ἄρα δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

μη΄.

Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τρίγωνα ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τρίγωνα 2. εἰς δεδομένα τῷ εἴδει τρίγωνα διαιρεῖται b, item lin. 5. 7. ΒE] ΑΒE b. 10. EΑ ] ΑΕ b, item lin. 11. ἐπεί — 12. δοθείς] nescio an interpolata sint. 13. ἔστιν v. 15. τῶν] om. b. ἐστιν] ἐστι v. 17. ΕΒ] ΓΒ b. τήν] om b. δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΒΓ, ΑΔΒ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΓΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ δοθείς.

ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς αἱ AΕ, ΗΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ,Θ. καὶ διὰ τῶν Γ Δ σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλοι ῆχθωσαν αἱ ΕΓΗ, ΖΔΘ. ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον τῷ εἴδει, λόγος ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΒΑ δο- θείς. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΒ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. τῆς δὲ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΘΑ· ὥστε καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΑΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΗ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ, τοῦ δὲ ΑΘ ἥμισυ τὸ ΑΔΒ· καὶ τοῦ ΑΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς.

μθ΄.

Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο εὐθύγραμμα, ἃ ἔτυχεν, ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

1. ΑΔΒ] ΑΒΔ Vat. b. 2. ΑΓΒ] ΑΒΓ vb. ΑΔΒ] ΑBΔ vb. 6. εὐθεῖαι αἱ b. 7. Post εἴδει hab. δοθεῖσά ἐστι ἡ ὁπὸ Β γωνία b. 9. καί( alt.)] om. Vat. 10 ΕΑΓ] ΑΓΕ γωνία b. ἐστι δοθεῖσα] δοθεῖσά ἐστι b. ἔστι] ἔστιν v. 11. τῶν (pr.)] om. b. γωνία] om. b. 12. ἐστι codd. 13. ΕΑ] ΑE v. ΑΓ] ΓΑ b. 15. EΑ] ΑE b. ἄρα] om. b.

ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύ- γραμμα, ἅ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΕΓΖΒ, ΑΔΒ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΓΖΒ πρὸς ΑΔΒ δοθείς.

ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΖ, ΖE· δέδοται ἄρα ἕκα- στον τῶν ΕΓΖ, ΕΖΑ, ΖΑΒ τριγώνων τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΕΖ δύο τρίγωνα δεδο- μένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται τὰ ΕΖΓ, EΖΑ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΕΖ πρὸς τὸ ΖΕΑ δοθείς· καὶ συν- θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΕΑΖ πρὸς τὸ ΖEΑ δο- θείς. τοῦ δὲ ΖΕΑ πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἐπειδήπερ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΖ ἀναγέγραπται· καὶ τοῦ ΓEΑΖ ἄρα πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συνθέντι τοῦ ΓΕΒΖΑ πρὸς τὸ ΖΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΑΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δο- θείς· καὶ τοῦ ΓEΑΒΖ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ν΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ AΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ Ε, Ζ· 2. ἔτυχε b. τῷ εἴδει] om. b. 5 ΑΖ] ΑΒ v. ἕκαστον] ἑκάτερον b. 6. τρῖγωνον b. 8. ΕΖΓ, EΖΑ] ΑΕΖ, ΕΓΖ b. 9. ἐστί] om b. 10. πρὸς τὸ ΖEΑ] om. Vat., supra add. πρὸς τὸ ΕΖΑ m. 2. 11. πρός] καί v, add. πρός m. 2. τό] om. b. 12. ΑΖ] ΑΒ ΑΖ b. 13. ΓΕΑΖ] ΑΓΕ, ΔΖ b. πρός] καί (comp.) Vat., mut. in πρός m. 2. 14. ΓΕΒΖΑ] ΓΕΑΒΖ ἄρα b. ΖΒΑ] ΒΖΑ Vat., ΖΒΔ v, ΖΑΒ b. 20. τὰ ὅμοια b. τε καί Vat. v. 24. τε καί v. λέγω, ὅτι καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα αὐτῶν λόγος ἔσται δοθείς.

εἰλήφθω γὰρ τῶν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Η· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η· λόγος δὲ ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν Η δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Η λόγος ἐστὶ δοθείς. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η. οὕτως τὸ Ε πἐρὸς τὸ Ζ· λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς.

να΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον καὶ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα, ἂ ἔτυχεν, ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθύγραμμα, ἅ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ Ζ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΑΗΒ. δέδοται δὲ τὸ Ζ τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΗΒ τῷ εἴδει. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Ε δέδοται τῷ εἴδει καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ· λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ ΑΗΒ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ 1. καί — 2. δοθείς] λόγος ἐστὶ τοῦ BΕ πρὸς τὸν ΖΔ δο- θείς b. 1. ἔσται] comp. Vat. 3. τῶν] corr. ex τό m. 2 Vat τρίτη] bis b. 4. οὕτως ἡ ΓΔ b. τήν (alt.)] om. b. 5. ὁ] om. b. τὴν ΓΔ v. 6. ὁ τῆς ΓΔ P. 8. λόγος — Ζ] om. b. καὶ τοῦ v. 12. τὰ ἀπʼ β (non b). ἄ] ὡς Vat, item lin. 16. 15. ἀπό] ὑπό b. 16. ἔτυχε b. τά] corr. ex τώ m. 2 Vat. 17. ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς b. 18. τῷ] corr. ex τό m. 2 v. 19. εὐθύγραμμον τὸ ΑΗB Vat. v. AΗΒ] ΑΗ b, item lin. 20, 22. 20. καί(pr)] supra m. 2 v. δοθείς, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΗΒ, Ζ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ζ δοθείς· τοῦ δὲ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ λόγος ἐστὶ δοθείς.

νβ΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγραφῇ, δέδοται τὸ ἀναγραφὲν τῷ μεγέθει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγεγράφθω τὸ ΑΓΔΕΒ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔΕΒ δέδοται τῷ μεγέθει.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΖ· δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύγραμμα ἀνα- γέγραπται δεδομένα τῷ εἴδει τὰ ΑΓΔΕΒ, ΑΖ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΓΔΕΒ πρὸς τὸ ΑΖ δοθείς· δέδοται δὲ τὸ ΑΖ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔΕΒ τῷ μεγέθει.

νγ΄.

Ἐἁν δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα ᾖ καὶ μία πλευρὰ τοῦ ἑνὸς πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον.

2. εὐθύγραμμα] om Vat. v. τά] τώ Vat. ΑΗΒ] corr. ex ΑBΒ m 2 Vat., ΑΒΕ b. 3. ΑΗB (utrumque)] ΑΗ b. 4. Ε (alt.)] om. b. 8. εἶδος ἀναγραφῇ τῷ εἴδει b. 11. τῷ] τό P Vat. v. εἶδος τῷ εἴδει b. 12. Post Α add. K v, sed ras. del. ΑΓΔΕΒ] B om. b. 13. γάρ] om. b. 14. τό] corr. ex τῶ m. 1 v. 15. δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται b. 16. τῶ εἴδει] om. Vat. 17. δέδοται — 18. μεγέθει] om. P Vat. v Hardy. 17. δέδοται] δοθέν Gregorius et Peyrardus. δέ]

ἔστω δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα τὰ ΑΔ, ΕΘ, καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῶν λοιπῶν πελευρῶν πρὸς

τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς, τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΖΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΖΘ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

νδ΄.

Ἐὰν δύο εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

δύο γὰρ εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ αἱ πλευράὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

τὸ γὰρ Α τῷ Β ἤτοι ὅμοιόν ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ὅμοιον, καὶ εἰλήφθω τῶν ΓΔ, ΕΖ τρίτη ἀνά- λογον ἡ Η. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η, οὕτως τὸ Α πρὸς τὸ Β. λόγος δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν δοθείς. καί εἰσιν 1. εἴδη] corr. ex εἴδει m. 2 Vat. δεδομένα τῷ εἴδει b. καί) om Vat , add. m 2. 2. ΖΘ] ΖΔ v. 7. ΖΘ] BΑ b. 8. τῆς δέ — 9. δοθείς] om. b. 10. καί — 11. δοθείς] om. v. 11. ΖΘ (pr.)] ΕΖ b. τῆς δὲ ΖΘ – 12. ἐστὶ δοθείς] om. b 14. πρός] in ras. m. 2 v. λοιπὰς πλευράς b. αἱ ΓΔ, ΕΖ, Η ἀνάλογον· καὶ τῆς ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β· καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον.

μὴ ἔστω δὴ ὅμοιον τὸ Α τῷ Β, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ Α ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΘ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΘ τῷ εἴδει· δέδοται δὲ καὶ τὸ Β· λόγος ἄρα τοῦ Β πρὸς τὸ ΕΘ δοθείς· τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Α λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ὅμοιον τὸ Α τῷ ΕΘ· λόγος ἄρα τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

νε΄.

Ἐὰν χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ᾖ, καὶ αἰ πλευραὶ αὐτοῦ τῷ μεγέθει δεδομέναι ἔσονται.

ἔστω χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον τὸ Α· λέγω, ὅτι καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἠ ΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τῷ Α ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ Δ. δέδοται δὴ τὸ Δ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΒΓ τῷ μεγέθει δεδομένον εἶδος ἀναγέγραπται τὸ Δ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ μεγέθει· δέδοται δὲ καὶ τὸ Α· 3. καί – 5. B] bis Vat., corr. m. 2. 3. αἱ] om. b. 6. ΕΘ] BΘ b. 8. τοῦ (pr.)] καὶ τοῦ b. B( alt.)] ΕΒ b. 9. ἄρα] om. b. 10. ἐστιν ὅμοιον b. τῷ] τοῦ b. 13. Seq. demonstr. altera, u. app. 17. καὶ τῷ μεγέθει] om. b. 18. αὐτοῦ] -οῦ corr. ex -ῶν m. 2 Vat. εἰσίν P. 21. τῷ] τό P. λόγος ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸ Δ δοθείς. καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Δ· λόγος ἄρα τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. καί ἐστι λόγος τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν λοι- πῶν δέδοται τῷ μεγέθει.

νς΄.

Ἐὰν δύο ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν, οὕτως ἡ λοιπὴ τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἢν ἡ ἑτέρα τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδομένον, ὃν τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον.

δύο γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΓΘ λόγον ἔχει δεδομένον, ὄν τὸ Α παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον.

ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΓΘ εὐθεῖα ἡ ΓΚ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΛ παραλληλό- γραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΚΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν 1. ἐστιν] om. Vat. 3. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ] om. P. 5. ἐκάστη] ἐκατέρα b. 6. δέδοται] om. b. Seq. demonstr. altera, u. app 8. παραλληλόγραμμα] comp. Vat., omnibus litteris m. 2. λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον b. 9. ἔχῃ] -η corr. ex ει m. 2 v. 12. ἔχῃ Vat. ὅν] om. b. ΓΚΛ, ΗΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΔ τῷ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, ἴσον δὲ τὸ Β τῷ ΓΛ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ δοθείς. ὡς δὲ τὸ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ, οὕτως ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΓΚ· καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ δὲ ΓΘ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δοθέντα, ὄν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΘΓ λόγον ἔχει, ὅν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β χωρίον.

νζ΄.

Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, δέδοται τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς.

δοθὲν γὰρ τὸ ΑΗ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΒΑ παρα- βεβλήσθω ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΑ.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΕΒ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒ. καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΑ, ΖΒ, ΓΗ ἐπὶ τὰ Δ, Θ. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΑΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΗ δοθείς. ἴσον δὲ τὸ ΗΑ τῷ ΑΘ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἴση δὲ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ 1. αἱ] om. Vat, add. m. 2. 2. ΚΔ] ΓΔ b. 3. ΘΔ] Α b. 4. ΓΛ(pr.)] ΓΔ b. 6. καί] om. Vat., add. m.2. 7. ΓΘ ΓΚ b. 8. ΓΚ] ΓΘ b. A]Β b. 9. B]Α b. 10. ΕΗ] ΗΕ b. ἣν ἡ] τήν b. Α] Β b. 11. B] A b. 13. δοθέν] add. τῷ μεγέθει b. 15. τήν] im ras. v. 19. ἐστίν P. διήχθωσαν] ἐκβεβλήσθωσαν b. ΖB] ΒΖΒ b 20. Δ, Θ] B, Δ b. 21. EB( alt.)] B supra scr. m.2(?) v. πρός] comp. v. τῶν ΓΑΒ, ὧν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ δοθεῖσά ἐστιν, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΔ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΑ δοθεῖσα· ὀρθὴ γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς. τῆς δὲ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΓΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ. καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος.

νη΄.

Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ εἴδει, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλεί- ματος.

δοθὲν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΔ παρα- βεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΔ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΓ ΒΔ.

τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ. καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΔ τῷ ΓΔ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΕΖ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΕΔ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγέγραπται τὸ ΕΖ, δέδοται ἄρα τὸ ΕΖ τῷ μεγέθει. καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ· δέδοται ἄρα καὶ τὰ ΑΓ, ΚΘ τῷ μεγέθει. 1. ΔΑΒ] ΒΑΘ b. 2. ΓΑΔ] corr. ex ΑΓΔ m. 2 Vat., ΓΑΘ b. ἔστι — 4. ΑΓΔ] om. Vat. 3. ΓΔΑ] ΓΘΑ b. 4. ΑΓΔ (utrumque)] ΑΓΘ b. 5. ΑΔ] ΑΘ b. 6. ΔΑ] ΑΘ b. AB] BΑ b. 8. ἄρα] ἄρα ἔστι b. καί (alt.) πρός b. ἐστι] om. Vat. 12. πλάτη] corr. ex ἀπλᾶ τῇ m. 2 Vat. ἐλλείματος] ἐλλείποντος b. 15. ΓΔ] ΔΓ vb. 16. ΒΓ] ΓΒ b. 17. δίχα) bis Vat., alt. del. m. 2. 18. καί] om. Vat. 20. σχῆμα] ΕΖ P Vat.v, mut. in σχῆμα m. 2 Vat. καί ἐστι τὸ ΑΓ δοθὲν τῷ μεγέθει· ὑπόκειται γάρ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΘ δοθέν ἐστι τῷ μεγέθει. ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει δοθέν· ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΓΔ τοῦ ΘΚ ἄρα δεδομέναι εἰσὶν αἱ πλευραί· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ καί ἐστιν ἴση τῇ ΕΒ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΔ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ δοθεῖσά ἐστιν. καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ.

νθ΄.

Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ὑπερβάλλον εἴδει δεδομένῳ, δέδοται τὰ πλάτη τῆς ὑπερβολῆς.

δοθὲν γὰρ τὸ ΑΒ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΓ παρα- βεβλήσθω ὑπερβάλλον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΒ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΓ ΓΕ.

τετμήσθω γὰρ δίχα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ΓΒ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΖΗ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΖΗ τῷ ΓΒ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΘΕΜ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΓΒ τῷ ΖΗ, δέδοται δὲ τὸ ΓΒ τῷ εἴδει, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΖΗ τῷ εἴδει· καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΖΕ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗ τῷ μεγέθει. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΖΗ. καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛ 1. τῷ — γάρ] om. b. 2. ἔστι δέ] om. b. 3. δοθέν] om. b. τῷ (alt.)] τὸ b. 7 ἐστίν v. ΒΓ] ΖΗΒΓ P. 11. Post δεδομένῳ add. τῷ εἴδει Vat. v. 13. ΓΒ] ΓΔ b. 17. τό] τῷ P. 18. αὐτῶν] αὐτοῦ v. 22. τῷ μεγέθει] om. b. τῷ μεγέθει. ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει· ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΓΒ· τοῦ ΚΛ ἄρα αἱ πλευραὶ δεδομέναι εἰσίν· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, ὧν ἡ ΚΓ δοθεῖσά ἐστιν· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ ἐστι δοθεῖσα· καὶ λόγον ἔχει πρὸς τὴν ΘΒ δοθέντα· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΒ.

ξ΄.

Ἐὰν παραλληλόγραμμον δεδομενον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένῳ γνώμονι αὐξηθῇ ἢ μειωθῇ, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ γνώμονος.

παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει ηὐξήσθω πρότερον δεδομένῳ γνώμονι τῷ ΕΓΒΔΖΗ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΓΕ, ΔΖ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστι τὸ ΑΒ, ἔστι δὲ καὶ ὁ ΕΒΔΗΖ γνώμων δοθείς, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΗ δοθέν ἐστιν· ἀλλὰ καὶ τῷ εἴδει· ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ· τοῦ ΑΗ ἄρα δεδομέναι εἰσὶν αἱ πλευραί· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΑ, ΑΔ δοθεῖσα· λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΔΖ ἐστι δοθεῖσα.

πάλιν δὴ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει μεμειώσθω δεδομένῳ γνώμονι τῷ ΕΓΒΔΖΗ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΓΕ, ΔΖ.

2. ἄρα ΚΛ b. 4. ἐστι (prius)] ἐστιν v. 5. ἄρα ἐστί b. 11. παραλληλόγραμμον] τρίγ τρίγωνον v; corr. supra m. 2. 12. ἠοξήσθω v. τῷ δεδομένῳ b. 15. ΕΒΔΗΖ] Post E add. Γ Vat. m. 2, b; ΕΒΔΖΗ v. 16. γνώμων] -ων corr. ex ον m. 2 v. τό] τω b. 17. τῷ (alt.)] τό b. 19. ἔστι δέ] ὥστε b. ἔστιν v. A – 20. τῶν] om. b. 20. ἐστι] ἐστιν v, om. b. 22. παραλληλόγραμμον] corr. ex τρίγωνον m. 2 v. τὸ Α δεδομένον] om. b.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστι τὸ ΑΗ, οὗ ὁ ΕΓΒΔΖΗ γνώμων δοθείς ἐστιν, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ δοθέν ἐστιν· ἀλλὰ καὶ τῷ εἴδει· τοῦ ΑΒ ἄρα αἱ πλευραὶ δεδομέναι εἰσίν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΓΑ, ΑΔ. ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΑΖ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΔΖ δοθεῖσά ἐστιν.

ξα΄.

Ἐὰν δεδομένου τῷ εἴδει εἴδους παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν παραλληλόγραμμον χωρίον παραβληθῇ ἐν δεδο- μένῃ γωνίᾳ, ἔχῃ δὲ τὸ εἶδος πρὸς τὸ παραλληλόγραμ- μον λόγον δεδομένον, δέδοται τὸ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

δεδομένου γὰρ τῷ εἴδει εἴδους τοῦ ΑΖΓΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΓΒ παραλληλόγραμμον χωορίον παραβεβλήσθω τὸ ΓΔ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΛΓΒ, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ΑΓ εἴδους πρὸς τὸ ΓΔ παραλληλόγραμμον δοθείς· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΓΔ τῷ εἴδει.

ἤχθω γὰρ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΖΓ παράλληλος ἡ ΒΗ. διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΓΒ παράλληλος ἡ ΖΗ, καὶ διήχθω- σαν αἱ ΖΓ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Θ, Κ σημεῖα.

ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΓΒ γωνία καὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς, δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει. δέδοται δὲ τῷ 1. οὗ] ὡν b. 4. ἐστίν] om. Vat. ἔστιν v. 5. καί (alt.) — 6. ἐστιν] om. b. 8. τῷ εἴδει] om b . 9. παραλληλό- γραμμον] τρίγωνον v, corr. m. 2, et sic deinde per totam hanc et seq. propos. 10. ἔχῃ] ἔχει Vat. v. πρὸς τό] om. b. 13. τῷ εἴδει] om. b. 16. ΛΓΒ] ΒΓΛ b. ἔστω] ἔστι b. ΑΓ] ΑΓΒ v, ΑΒ b. 21. ΗΒ] ΗΒ, ΛΔ v, ΚΗ, ΒΘ b. Θ, Κ] εἴδει τὸ ΑΖΒ εἶδος. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΓΒ· λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΒ εἴδους πρὸς τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον δοθείς. τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἐπειδὴ καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ ὑπόκειται· ἴσον δὲ τὸ ΓΔ τῷ ΚΒ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΚΒ πρὸς τὸ ΓΗ ἐστι δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΓΒ γωνία, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΚ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΛ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΛΓΚ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΓ γωνία δοθεῖσα· ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΛΚ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΛΓΚ τρί- γωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΛΓ πρὸς τὴν ΓΚ δοθείς. τῆς δὲ ΚΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΛΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

ξβ΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον καὶ ἀναγραφῇ ἀπὸ μὲν τῆς μιᾶς δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος, ἀπὸ δὲ τῆς ἑτέρας χωρίον παραλληλό- γραμμον ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, ἔχῃ δὲ τὸ εἶδος πρὸς 1. ΑΖΒ] ΑΖΓΒ Vat., Γ add. m. 2 v. εἶδος] om. b. 3. ΖB ἄρα b. 4. ἐπειδή – 5. ὑπόκειται] om. b. 5. τῷ] τοῦ b. 11. ἐστιν v. ἔστιν v. 13. ΛΓΚ] Γ add. m. 2 Vat.; ΑΓΚ b. ἐστιν δοθεῖσα b. ἔστιν Pv. ὑπὸ τῶν b. 14. δο- θεῖσα γωνία b. γάρ ἐστι b. ὑπό τῶν BΓΚ b. λοιπὴ τὸ παραλληλόγραμμον λόγον δεδομένον, δέδοται παρ- αλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ μὲν τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος τὸ ΑΕΒ, ἀπὸ δὲ τῆς ΓΔ παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΓΔ, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ΕΒ εἴδους πρὸς τὸ ΖΔ παραλληλόγραμμον δοθείς· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ΔΖ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ AH. ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύ- γραμμα τὰ ΑΗ, ΖΔ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΖΔ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ τοῦ ΕΒ ἄρα πρὸς τὸ ΑΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΘ γωνία· ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΖΓΔ. ἐπεὶ οὖν δεδομένου τῷ εἴδει εἴδους τοῦ ΕΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ παραβέβληται τὸ ΑΗ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΒ καὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΕΒ εἴδους πρὸς τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον δοθείς, δέδοται ἄρα τὸ ΑΗ τῷ εἴδει. καί ἐστιν ὅμοιον τῷ ΖΔ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΖΔ τῷ εἴδει.

5. τῷ εἴει] om. b. ΑΕΒ] ΕΒ b. 7. τῶν] τήν b. 8. δοθείς — 9. παραλληλόγραμμον] om. b. 10. ΖΔ b. ὅμοιόν τε Vat. καὶ ὁμοίως κείμενον] om. b. 11. ἐπεὶ οὖν Vat b. 14. ἐστί] om. b. 15. ΕΒ] ΒΑ b. 16. καί — 17. δοθείς om. b. 17. τῶν] τῆς b. 18. τὴν ΖΓΔ b. τῷ εἴδθει om. b. 19. EΒ] ΕΑΒ b. ΑΒ] ΑΒ χωρίον b. 20. τῶν τῆς b. 22. δοθείς] δοθεῖσα b.

ξγ΄.

Ἐὰν τρίγωνον τῷ εἴδει δεδομένον ᾖ, τὸ ἀπὸ ἑκάστης τῶν πλευρῶν αὐτοῦ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδο- μένον.

ἔστω τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τετρά- γωνα τὰ EΒ, ΓΔ, ΓΖ· λέγω, ὅτι ἕκαστον τῶν ΕΒ, ΓΔ, ΓΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ εὐθύ- γραμμα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται, ἃ ἔτυχεν, τὰ ΑΒΓ ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρου τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

ξδ΄.

Ἐὰν τρίγωνον ἀμβλεῖαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, ᾦ μεῖζον δύναται ἡ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευ- ρῶν, ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν γωνίαν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δεδομένην, καὶ διήχθω ἐπʼ εὐθείας τῆς ΒΓ εὐθεῖα ἡ ΒΔ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι, ᾦ μεῖζόν ἐστι 3. τῶν πλευρῶν] τῆς πλευρᾶς b. Post αὐτοῦ add. τετρά- γωνον Vat. v. 5. δεδομένον τῷ εἴδει] om. b 6. τετράγωνα] comp. Vat. 8. ΓΔ] ΔΓb. ΑΒΓ] Γ add. m. 2 Vat. ἕξει] ἔχει b. 9. ἀπό ] om. b. 10. εἴδει ἔτυχεν ἀνα- γέγραπται τά (ἅ om.) b. ἔτυχε Vat. 11. ΑΒΓ (alt.)] ΓΔ b. τό] om. P. ΓΔ] ΓΑB τρίγωνον (comp.) b. 16. ὑπο- τείνουσα] -αν v, del. ν m. 2. 21. γωνίαν ἔχον] P, -ον corr. τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΒ δο- θεῖσά ἐστιν. δέδοται ἄρα τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΒΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἐκεῖνο ἄρα τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.

ξε΄.

Ἐὰν τρίγωνον ὀξεῖαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, ᾧ ἔλασσον δύναται ἡ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα 2. τῶν] τῆς b. Δb, ΒΓ] ΓΒΑ b. ΑΒΓ] ΑΓ b. 3. ἕξει] ἔχει b. 4. ἡ ὑπὸ τῶν ABΓ γωνία b. καί] καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα b. 5. τῶν (utrumque)] τῆς b. ἔστιν v. 6. ΑΔ, ΔΒ P (ΑΔ in fine, ΔΒ init. lin) Vat.; ΑΔΒ Vat. m. 2. καί] om. Vat. 8. ΑΔ] ΒΔ b. ΔΒ] Δ b. Post δο- θείς add. ἐστιν P. ἐστιν] om. b. 10. τοῦ] τό b. τῶν(alt.)] om. Vat., add. m. 2. 11. ΔΒ, ΒΓ] ΑΒΓ b. 12. καί) ὥστε καί b. τοῦ] τό b. ΔΒ] ΔΑ b. ἄρα] om. b. τό] τὸ δίς b. 13. ΑΔ] ΔΑ b ΒΓ| Γ om. b. λόγος — 14. ΒΓ] om. b 13. ΔΑ] ΑΔ v. 15. ΔΒΓ] ΔΑ, ΒΓ b. πλευρὰ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν, ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀξεῖαν ἔχον γωνίαν δεδομένην τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι, ᾧ ἔλασ- σόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τουτ- έστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΔ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ἄρα. ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΔ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ᾧ ἄρα ἔλασσόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἐκεῖνο τὸ χωορίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.

ξς΄.

Ἐὰν τρίγωνον δεδομένην ἔχῃ γωνίαν, τὸ ὑπὸ τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν ὀρθο- γώνιον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.

1. τῶν] τῶν ὑπὸ τῶν b. 5. ἔλαττον Vat. 6. ἐστι] δύναται v. τουτέστι] om. b. 9. ΑΒΔ] ΑΔ B v. 10. καί (alt.)] om. Vat. 11. BΕΔ] ΑΒΓ v. 13. Post δοθείς add. καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΒΔ πρὁς τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΑΔ v; u. schol nr. 125. τοῦ] τό b. ΓΒΔ) ΒΓΔ b. 14. τοῦ] τὸ b. 15. ΒΔ] ΑΔ b. ἄρα] λόγος ἐστὶ δοθείς b. 16. ABΓ τρίγωνον b. τοῦ] τό b. 17. τρίγωνον] om. Vat, add. m. 2. 18. ὑπό] ὁ ὑπό P. ᾡ]

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α· λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΔ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ γωνία δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία δέδοται· δέδοται ἄρα τὸ ΑΕΔ τρίγωνον τῷ εἴδει. λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΓ· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

ξζ΄.

Ἐὰν τρίγωνον δεδομένην ἔχῃ γωνίαν, ᾧ μεῖζον δύνανται αἱ τὴν δεδομένην γωνίαν περιέχουσαι πλευραὶ ὡς μία τοῦ ἀπὸ τῆς λοιπῆς, ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· λέγω, ὅτι, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.

διήχθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΑΒ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΓ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ ΑΓ παρ- 1. ἔχον] ον corr. ex -ων m. 2 v. 2 πρὸς τῷ Α] ὑπὸ τῶν ΒΑΓ b. τῷ ] τό P. 3. ΑΒΓ τρίγωνον] ὑπὸ τῶν ΑΒΓ b. ἔχει] om. b. 7. γωνία δέδοται] ἐστι δοθεῖσα b. άλληλος ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΑΓ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῆ ΒΕ. καὶ διῆκταί τις ἡ ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΔΓΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ· ὥστε τὸ ἀπὸ συναμφο- τέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ μεῖζόν ἐστι τῷ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ.

λέγω δή, ὅτι τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ, ΔΓΑ δοθεῖσα· ἡμίσειαι γάρ εἰσι τῆς ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· [δέδοται γὰρ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ·] δέδοται ἄρα τὸ ΔΑΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΔΑ πρὸς τὴν ΔΓ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΕΓ πρὸς τὴν ΓΔ, ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, ὡς δὲ ἧ ΕΓ πρὸς ΓΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ δο- θείς· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν EΓΔ δοθείς. ἴση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ· λόγος ἄρα 1. ἡ ΒΕ] mg. m. 1 P. 2. καί (pr.)] supra add. m. 2 v. 5. ἴσον – 6. ΔΓΕ ] bis P. 12. ἐστιν v. ἔστιν v. 14. δέδοται γὰρ ἡ ὑπὸ BAΓ] deleo. 27. λόγος — 28. δοθείς] om. v. τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΔ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς, διὰ τὸ δοθεῖσαν εἶναι τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΕ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τὸ ὑπὸ ΔΓΕ ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ· ᾧ ἄρα μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ξη΄.

Ἐὰν δύο ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευ- ρὰν λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἡ λοιπὴ πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν πλευρὰν λόγον ἕξει δεδομένον.

δύο γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, ἐχέτω δὲ καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευρὰν λόγον δεδομένον, καὶ ἕστω τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΖΔ λόγος δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΖΓ λόγος ἐστὶ δοθείς.

παραβεβλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΕΒ τῷ ΓΔ ἴσοι παραλληλόγραμμον τὸ ΕΗ, καὶ κείσθω, ὥστε ἐπʼ εὐ- θείας εἶναι τὴν ΑΕ τῇ ΕΘ· ἔπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΚΒ τῇ ΒΗ.

ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς 5. ὑπὸ τῶν v. Post μεῖζον hab. ἄρα punctis del. P. 9. Sequuntur tres demonstr. aliae, u app. 10. ξηʼ] ξζʼ b, e sic deinceps. 11. παραλληλόγραμμα] τρίγωνα v, corr. m. 2. et sic lin. 15 et per propp. LXIX— LXXIV. πρὸς ἄλληλα om. Vat. 12. ἔχει v. 13. καί ] om. b 16. ἐχέτω (pr.) ἐχέτωσαν b. ἐχέτω (alt.) – 17. δεδομένον] om. b. 18 ΒΕ] ΕΒ b. Ante δοθείς hab. ἐστί v, del. m. 2(?). 19 ΖΓ] ΓΖ b. 21. παραλληλόγραμμον] πρός Vat. 22. ἐπ ἴσον δὲ τὸ ΓΔ τῷ ΕΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΒ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΗ τῷ ΓΔ, ἐστι δὲ καὶ ἰσογώνιον, τῶν ΕΗ, ΓΔ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΕΘ. λόγος δὲ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΖΔ δοθείς· καὶ τῆς ΓΖ ἄρα πρὸς τὴν ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΕΘ πρὸς τὴν ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΕ ἄρα πρὸς τὴν ΓΖ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ξθ΄.

Ἐὰν δύο παραλληλόγραμμα δεδομένας ἔχῃ γωνίας καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχῃ δεδομένον, καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευρὰν λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἡ λοιπὴ πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν πλευρὰν λόγον ἕξει δεδομένον.

δύο γὰρ παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΗΕ δεδομένας ἔχοντα γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Δ, Ζ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον, λόγος δὲ ἔστω τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος δέδοται.

εἰ μὲν οὖν ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒ παραλληλόγραμ— μον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ, φανερόν.

εἰ δὲ οὔ, συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶ 1. ΕΗ] Ε b. τὸ (alt.)] om. v. 3. ἔστιν v. 6. ΓΖ ΖΓ v, ΓΔ b. 7. καί — 8. ἐστί] λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΘ πρὸ τὴν ΓΖ b. 10. ΖΓ v. Seq. demonstr. altera, u. app. 13 καί (alt.) — 14. δεδομένον] bis Vat., alt. del. m. 1. 13. μία μίαν b. πλευρά] om. b. 14. ἔχει v. 14. ἔχῃ — 15. ἕξει om. β (non b). 16. παραλληλόγραμμα] corr. ex παράλληλ. ΒΔΚ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΔΛ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΑΓ, ΑΚΔ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΚ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΑΔΚ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΚ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΔΓ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς· ὑπόκειται γάρ· καί ἐστιν ἴσον τὸ ΔΓ τῷ ΔΛ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΔΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς. καί ἐστιν ἰσογώνιον τὸ ΔΛ τῷ ΖΘ, καὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΔΛ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς, καί ἐστι τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖH· ὑπόκειται γάρ· λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ΔΚ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς. τῆς δὲ ΔΚ πρὸς τὴν ΔΑ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΔ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ο΄.

Ἐὰν δύο παραλληλογράμμων περὶ ἴσας γωνίας ἤ περὶ ἀνίσους μέν, δεδομένας δέ, αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλή- λας λόγον ἔχωσι δεδομένον, καὶ αὐτὰ τὰ παραλληλό- γραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

δύο γὰρ παραλληλογράμμων τῶν ΑΒ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ ἢ περὶ ἀνίσους μέν, δεδομένας δέ, αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτω- σαν δεδομένον, τουτέστι λόγος ἔστω τῆς μὲν ΑΓ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς, τῆς δὲ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ· λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΘ λόγος ἐστὶ δοθείς.

1. ΒΑΚ b. συμπληρώσθω P. 2. καὶ ἐπεί Pv. ὑπὸ τὴν Α ΒΔ, ΚΔB b. 3. τῶν] τήν b. ἐστιν v. 4. τό] corr. ex τῷ m. 2 v. 5. ΔΓ] ΑΓ P, 4. ὑπόκειται – 8. δοθείς] om. b. 7. καί] om. Vat. 8. ἐστιν] om. b. 9. ΔΛ] Β b. τό] τήν b. ΕΗ] ΖΗ b. καί — 10 γάρ] om. b. 9. ΔΒ] ΒΔ v. 11. ΔΑ] ΑΔ v. 19. παραλληλο- γράμμων] corr. ex παραλλήλων m. 2 Vat. ΕΗ] ΕΘΗ b.

ἔστω γὰρ ἰσογώνιον τὸ ΓΔ τῷ ΖΘ, καὶ παρα- βεβλήσθω παρὰ τὴν ΓΒ εὐθεῖαν τῴ ΖΘ παραλληλο- γράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΜ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΝ· καὶ ἡ ΔΒ ἄρα τῇ ΒΜ ἐστιν ἐπʼ εὐθείας. καὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΝ τῷ ΖΘ· ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον· τῶν ΒΝ, ΘΖ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΓΝ. λόγος δὲ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΓΝ δοθείς. τῆς δὲ ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΓΜ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἔστι δὲ τὸ ΓΜ τῷ ΖΘ ἔσον· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.

μὴ ἔστω δὴ ἰσογώνιον τὸ ΑΒ τῷ ΖΘ, καὶ συν- εστάτω πρὸς τῇ ΒΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ γωνίᾳ ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΚ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΚ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΚΓ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα 2. παραλληλογράμμῳ] corr. ex παραλλήλῳ m. 2 Vat. 3. παραλληλόγραμμον] εὐθύγραμμον v. 5. ΒΜ] ΕΜ b. ἐστιν ἴσον v b. 6. ἔστιν v. τῶν] τὸ b. ΘΖ] ΗΖ b. 8. ΖΕ] EΖE b. 9. λόγος — 10. ΓΝ] om. b. 13. ΓΔ]ΓA b. ΓΜ] ΜΝ b. ἔστι] ἴσον b. δέ] δὲ καί P (καί punctis del.) v. τό (alt.)] corr. ex τῷ m. 2 v. 14. ἴσον] om. b. λόγος ― 16. ΖΘ] bis b. 14. τὸ ΕΗ] τὴν ΕΜ b. 15. δοθείς] comp. Vat. 16. μή] καὶ μή b. συνεστάτω τῇ b. 18. Γ] ΚΓ b. ἴση γωνία] om. b. τῶν ΒΓΚ Vat. v, del. τῶν m. 2 Vat.; ΒΓ b. 19. καί (alt.)] om. b. 20. ἡ (pr.) — τὸ ΑΓΚ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ δοθείς· τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΓΚ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἔστι δὲ καὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ λόγος δοθείς, καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ· λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς. ἴσον δὲ τὸ ΓΛ τῷ ΓΔ· λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ φῶ δοθείς.

οα΄.

Ἐὰν δύο τριγώνων περὶ ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνί- σους μέν, δεδομένας δέ, αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λό- γον ἔχωσι δεδομένον, καὶ αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον.

δύο γὰρ τριγώνων τῶν ΑΒΓ, ΔΕΘ πέρὶ ἴσας. γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Α, Δ ἢ περὶ ἀνίσους μέν, δεδο- μένος δέ, αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν ΒΑ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς, τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΘ· λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου λόγος ἐστὶ δοθεὶς πρὸς τὸ ΕΔΘ τρίγωνον.

συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΗ, ΔΖ παραλληλόγραμμα.

ἐπεὶ οὖν δύο παραλληλογράμμων τῶν ΑΗ, ΔΖ περὶ τὰς ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνίσους μέν, δεδομένας 1. ΑΓΚ] ΑΒΓ b. Post τρίγωνον hab. διὰ (comp.) μʼ punctis del. Vat. 3. καί — 4. δοθείς] om. b. 4. Post λόγος hab. ἐστί v, del. m. 2(?). 5. καί ] om. b. 6. ἐστί] om. v. τό] om. b. 7. ἴσον —8. δοθείς] bis b; alt. loco del m. 2. 7. τό] om. b. ἐστὶ καί v. 8. ΖΘ] ΖΗ b. 10. τὰς ἴσας b, item lin. 14. 12. αὐτά] ταὐτά β (non b). 13. ἕξει b. 14. τῶν] τά b. 15. τάς – Δ] om. b. 16. ἀλλή- λους b. 18. τῆς] τοῦ b. 19. πρὸς τὸ ΔΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς b. 20. τρίγωνον] om. v b. δὲ τὰς πρὸς τοῖς Α, Δ αἰ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχουσι δεδομένον, καὶ τὰ παραλληλόγραμμα λόγον ἕξει δεδομένον πρὸς ἄλληλα· λόγος ἄρα τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΖ δοθείς. καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΗ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τοῦ δὲ ΔΖ τὸ ΔΚΘ· λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΘ τρίγωνον δοθείς.

οβ΄.

Ἐὰν δύο τριγώνων αἵ τε βάσεις ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσι καὶ αἰ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἤτοι ἴσας γωνίας ποιοῦσαι ἢ ἀνίσους μέν, δεδομένας δέ, τὰς πρὸς ταῖς βάσεσιν, καὶ αὐτὰ τὰ τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ἤχθωσαν αἱ ΑΗ, ΔΘ ἤτοι ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ ΔΘΖ ἢ ἀνίσους μέν, δεδομένας δέ, καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθείς, τῆς δὲ ΑΗ πρὸς τὴν ΔΘ δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΚΓ ΛΖ παραλληλόγραμμα.

καὶ ἐπεὶ αἰ ὑπὸ τῶν ΑΗΓ ΔΘΖ γωνίαι ἤτοι ἴσαι εἰσίν, ἢ ἄνισοι μέν, δεδομέναι δέ, ἴση δὲ ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΗΓ τῇ ὑπὸ ΚΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΘΖ τῇ ὑπὸ τῶν ΛΕΖ, καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Ε ἄρα γωνίαι ἤτοι ἴσαι εἰσὶν ἢ ἄνισοι μέν, δεδομέναι δέ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΗ πρὸς τὴν ΔΘ δοθείς, ἴση δὲ ἡ μὲν ΑΗ τῇ ΚΒ, ἡ δὲ ΔΘ τῇ ΛΕ, λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς 1. τάς] om. b. 2. παραλληλόγραμμα] τρίγωνα v. πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον b. 4. ΑBΓ – 5. τό] om. b. ΑΒΓ τριγώνου b. 6. τό] om. b. 8. βάσεις αὐτῶν b. 9. ὦσιν v. αἱ] supra add. m. 2 v, om b. Post αὐτάς hab. διὰ τὸ ἐκ κοινοῦ λόγον ἔχουσι δεδομένον b. ἀπό] ἐκ b. ΚΒ πρὸς τὴν ΛΕ δοθείς. ἔστι δὲ καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος δοθείς, καὶ αἱ πρὸς τοῖς Β, Ε σημείοις γωνίαι ἤτοι ἴσαι εἰσίν, ἢ ἄνισοι μέν, δεδομέναι δέ· καὶ τοῦ ΓΚ ἄρα παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΛΖ παραλληλόγραμμον λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

ογ΄.

Ἐὰν δύο παραλληλογράμμων περὶ ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνίσους μέν, δεδομένας δέ, αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχωσιν, ὥστε εἶναι ὡς τὴν τοῦ πρώτου πλευρὰν πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν, οὕτως τὴν λοιπὴν τοῦ δευ- τέρου πλευρὰν πρὸς ἄλλην τινά, ἔχῃ δὲ ἡ λοιπὴ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς αὐτὴν λόγον δεδομένον, καὶ αὐτὰ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδο- μένον.

δύο γὰρ παραλληλογράμμων τῶν ΑΒ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας ἢ περὶ ἀνίσους μέν, δεδομένας δέ, τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἐχέτωσαν πρὸς ἀλλή- λας, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἔστω δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τοῦ ΓΔ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΕΗ παραλληλόγραμμον λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἔστω γὰρ πρότερον τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ ἐσογώνιον, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΒΓ εὐθεῖαν τῷ ΕΗ παρ- 2. Β] Δ b. 4. ΚΓ b. 12. οὕτως] ὥστε b. 13. ἄλλην ― 14. δεδομένον] τὴν λοιπὴν τοῦ πρώτου λόγον ἔχειν (sic β, ἔχει b) δεδομένον b. 13. ἔχει v. 14. αὐτά] om. b. 15. πρὸς ἄλληλα] om. b (non β). 18. τὰς ἴσας b. 19. αἱ πλευραί] Ε πλευράς b. 21. ΓΚ] ΑΓ b. τῆς — 22. δο- θείς] λόγον ἔχειν δεδομένον. b. 21. τήν (alt.)] om. v. 23. παραλληλόγραμμον] om. b. 24. πρότερον] om. b. 25. ΒΓ] ΓΒ vb. ΕΗ] ΗΕ b. αλληλογράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον το ΓΘ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΚΓ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ ΕΗ, ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον, τῶν ΓΘ, ΕΗ ἄρα ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἰ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ· ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ καὶ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον· λόγος ἄρα τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΘ, τουτέστι πρὸς τὸ ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς.

μὴ ἔστω δὴ ἰσογώνιον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ τῇ ὑπὸ τῶν EΖΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΛ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΜ παραλληλόγραμμον.

ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΓΒ, ΛΓΒ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΛ ἐστι δοθεῖσα. δέδοται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΛ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΛΑ δέδοται· ὥστε δέδοται τὸ ΑΓΛ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΛ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἥν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τῆς δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΓΛ. καί ἐστιν ἴση 3. ΔΒ] ΔΕ b. ΘΒ] ΒΘ vb. 4. ἔστι] ἔστιν v, ἔστω b. τῶν ] τό b. 8. καί ]om. vb. ἢν ἡ ] τήν b, item lin. 21. Post δεδομένον add. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει δεδομέύον b. 9. τοῦ] τὸ b. 11. τῇ] τήν Vat. 15. τῶν (alt.)] om. Vat. v. 16. τῶν] om. Vat. ΑΓΛΕ b. ἐστιν v. 17. δέ — 18. δέδοται (alt.)] ἄρα b. 17. ΓΑΛ δοθεῖωα P. 18. τῶν ΓΛΑ v. τό] καὶ τὸ v. 20 ΓΒ] ΒΓ Vat. 23. ΖΕ] ΗΕP, ΕΗ v, EΖ b. ἡ ὑπὸ ΒΓΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ· λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΕΗ παραλληλόγραμι- μον δοθείς. ἴσον δέ ἐστι τὸ ΓΜ τῷ ΓΔ· λόγος ἄρα τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.

οδ΄.

Ἐὰν δύο παραλληλόγραμμα λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἀνίσοις μέν, δεδομέναις δέ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευ- τέρου πλευράν, οὕτως ἡ ἑτέρα τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἢν ἡ λοιπὴ τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδομένον.

δύο γὰρ παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ, ΕΗ πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἐν ἀνίσοις μέν, δεδομέναις δέ, ταῖς πρὸς τοῖς Γ, Ζ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον.

τὸ γὰρ ΑΒ τῷ ΕΗ ἤτοι ἰσογώνιόν ἐστιν ἢ οὔ.

ἔστω πρότερον ἰσογώνιον, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΓΒ εὐθεῖαν τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ ἴσον παρ- αλληλόγραμμον τὸ ΓΘ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΚ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΔΒ τῇ ΒΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς, ἴσον δὲ τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΘ τῷ 1. ὑπὄ(pr.)] om. P, corr. ex ἀπό m. 2 Vat.; ὑπὸ τοῦ (comp.) Vat. (τοῦ del. m. 2), ὑπὸ τῆς b. ΒΓΛ] Gregorius; ΓΛΒ PVat.v (Β supra m. 22) b. τοῦ] καὶ τοῦ v. 4. ΕΗ] ΗΘ Ρ. ΘΗ Vat. v. 6. Anate λόγον add. πρὸς ἄλληλα b. 8. ἔσται ἔστω b. ὡς — 10. δεδομένον] mg. m. 1 β. 10. ἢν ἡ λοιπή τὴν λοιπήν b. 13. ταῖς] om. b. 14. ΕΖ] ΕΗ v. 20. ΓΚ] ΚΓ v. 21. ἐστὶν καί v. τό] τῆ P. 22. τό] τῷ v. 23. δοθείς] om. Vat., add. m. 2. ὥστε — 24. δοθείς] om. b. ΕΗ, ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον, τῶν ΓΘ, ΕΗ ἄρα ἀντι- πεπόνθασιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ. τῆς δὲ ΓΚ πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον.

μὴ ἔστω δὴ ἰσογώνιον, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Γ τῇ ὑπὸ ΕΖΗ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΓΒ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΜ παραλληλόγραμμον.

ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΔ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς, ἴσον δὲ τὸ ΓΔ τῷ ΓΜ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ EΗ δοθείς. καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἢν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δεδομένον. τῆς δὲ ΓΑ πρὸς τὴν ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθείς· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἢν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον.

οε΄.

Ἐὰν δύο τρίγωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδο- μένον, ἤτοι ἐν ἴσαις γωνίαις ἢ ἐν ἀνίσοις μέν, δεδο- μέναις δέ, ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν, οὕτως ἡ ἑτέρα τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἣν ἡ λοιπὴ τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδο- μένον.

1. ἔστι — EΗ] om.b. ἔστιν v. 3. ΕΖ] corr. ex EΗ m. 2 v, item lin. 5. 4. ΑΓ] ΑΒ v. 5. καί ἐστιν v. 6. ἣν ἡ] τήν b, item lin. 17. ΗΑΓ b. 7. πρός] om v, add. m. 2. 8. αὐτῇ] αὐτήν b. τῶν ΕΖΗ b. 9. καί] om. vat, add. m. 2. 12. δὲ τό] δέδοται b. 13. καί] om. b. 14. τῶν] om. Vat. 15. ΕΖ] EΗ b. πρὸς ῆν] τήν b. ΓΑ] ΓΑ b, item lin. 16. 17. ἡ (pr.)] supra scr. m. 2 v. ΓΒ] ΓΑ b.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΧ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχοντα δεδομένον, καὶ ἔστωσαν αί πρὸς τοῖς Α, Δ γωνίαι ἤτοι ἴσαι ἢ ἄνισοι μέν, δεδομέναι δέ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ῆν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον.

συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΑΗ, ΔΘ παραλληλόγραμμα.

καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΑΗ παρ- αλληλογράμμου πρὸς τὸ ΔΘ παραλληλόγραμμον δο- θείς. ἐπεὶ οὖν δύο παραλληλόγραμμα τὰ ΑΗ, ΔΘ πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι ἐν ἴσαις γω- νίαις ἢ ἀνίσοις μέν, δεδομέναις δέ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΔΖ πρὸς ἢν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δοθέντα.

οϚ΄.

Ἐὰν τριγώνου δεδομένου τῷ εἴδει ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ, ἡ ἀχθεῖσα πρὸς τὴν βάσιν λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστω τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς.

ἐπεὶ γάρ δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει, δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία. ἔστι δὲ καὶ 2. ἔχοντα] ἐχέτωσαν b. αἱ] om. b. 4. ΑΒ] ΑΓ P. ΔΕ] ΒΕ b. 5. ῆν ἡ] τήν b. 6. ΔΘ] ΔΕ b. 8. Post τρίγωνον add. ἔστω· εἰ δὲ ὁ b. 12. ἤ] ἤτοι Vat., -τοι del. m. 2. ἐν ἀνίσοις b. 13. ἢν ἡ] τήν b. 18. δεδομένον τῷ εἴδει b. 19. ἔστω — 20. εἴει] om. b. 22. Ante ἡ ΑΔ add. ἦκται b. λόγος] ἡμίλογός b. 25. ἐστὶ καί] om. b. ΑΒΔ] τῶν ΑΔ ΑΔΒ b. ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΑ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ δο- θείς. τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς.

οζ΄.

Ἐὰν δύο εἴδη δεδομένα τῴ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ μία πλευρὰ ὁποιαοῦν ἑνὸς τῶν εἰδῶν πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τοῦ ἑτέρου λόγον ἕξει δεδομένον.

δύο γὰρ εἴδη τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ μία πλευρὰ ὁποιαοῦν τοῦ ΑΒΓ πρὸς μίαν πλευρὰν ὁποιανοῦν τοῦ ΔΕΖ λόγον ἔχει δεδομένον.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΕΖ τετράγωνα τὰ ΒΗ, EΘ. ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ δύο εἴδη ἀναγέγραπται, ἃ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει τὰ ΑΒΓ, ΒΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ δο- θείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ πάλιν καὶ τοῦ ΔΕΖ πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΔΕΖ δοθείς, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΔΕΖ πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς.

1. τῶν (utrumque)] τῆς b. ΒΔΑ] ΒΑΔ b. 2. ἐστιν v. τρίγωνον] comp. supra scr. m. 1 v. 4. πρὸς τὴν BΓ] om. Vat. Post δοθείς add. δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει b. 5. τῆς] τοῦ b. 7. τῷ εἰώθει] om. P. 8. ἔχῃ] corr. ex ἔχει v. 9. τῶν] om. Vat. 12. ΑΒΓ — 13. τοῦ om. b. 14. τῶν] τῆς b. 16. ἔτυχε Vat. v b. 18. πάλιν om b. 20. τό (alt.)] om. b.

οη΄.

Ἐὰν δοθὲν εἶδος πρός τι ὀρθογώνιον λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ μία πλευρὰ πρὸς μίαν πλευρὰν λόγον ἔχῃ δοθέντα, δέδοται τὸ ὀρθογώνιον τῷ εἴδει.

δοθὲν γὰρ εἶδος τὸ ΑΖΒ πρός τι ὀρθογώνιον τὸ ΓΔ λόγον ἐχέτω δεδομένον, καὶ ἔστω λόγος τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΓΔ τῷ εἴδει.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΖΒ τετράγωνον τὸ ΖΗ, καὶ παραβεβλήσθω παρὰ τὴν ΕΔ τῷ ΖΗ ἴσον παρ- αλληλόγραμμον τὸ ΕΚ, καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΕ τῇ ΕΘ· ἐπ’ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΔ τῇ ΔΚ. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΖΒ δύο εὐθύγραμμα, ἃ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει ἀνα- γέγραπται τὰ ΑΖΒ, ΖΗ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΖΒ πρὸς τὸ ΖΗ δοθείς. τοῦ δὲ ΑΖΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ΖΗ ἄρα πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τὸ ΖΗ τῷ ΕΚ ἐστι ἱσον· καὶ τοῦ ΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ΕΚ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΕ πρὸς τὴν ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον τὸ ΖΗ τῷ ΕΚ, [ἔστι δὲ καὶ ὀρθο- γώνιον·] ἀντιπεπόνθασιν ἄρα αὐτῶν αἱ πλευραί, καί ἐστιν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΕΔ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΖΛ. λόγος δὲ ὑπόκειται τῆς ΖΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς· 2. ἔχῃ] corr. ex ἔχει v. 3. πρός] om. Vat., add. m. 2. 4. ἔχῃ] ἔχει v. τῷ εἴδει] om. b. 5. δοθέν — ὀρθο- γώνιον] τὸ ΑΖΒ πρός b. 11. ἐκκείσθω b. 13. ΔΚ] ΕΔ b. 14. εὐθύγραμμα] εἴδει v. ἔτυχε b. 15. ΑΖΒ (pr.) ΑΒ v, ΑΒ b. ΖΗ] ΒΖΗ v. 16. λόγος ἐστί ] om. b. 18. ἀλλά — 19. δοθείς] om. b. 18. τό] τῷ v. τῷ] mut. in τό m. 2 v. 21. καί (pr.) — 23. ἐστιν] ἄρα b. 21. ἔστιν v. δέ ] γάρ edd. ἔστι δὲ καὶ ὀρθογώνιον] deleo. 23. ΕΔ] τὴν ΔΕ b. τὴν ΖΛ b. 24. ὑπόκειται] om. b. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΖΛ δοθείς. τῆς δὲ ΕΘ πρὸς τὴν ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς τὴν ΖΛ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἴση δὲ ἡ ΛΖ τῇ ΖΒ· [τετράγωνον γάρ· τῆς ΛΖ ἄρα πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς· σύγκειται γάρ·] καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς τὴν ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΓΔ τῷ εἴδει.

οθ΄.

Ἐὰν δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ, καὶ ἀπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ἐπὶ τὰς βάσεις κάθετοι εὐθεῖαι γραμμαὶ ἀχθῶσιν, ᾖ δέ, ὡς ἡ τοῦ πρώτου τρι- γώνου βάσις πρὸς τὴν κάθετον, οὕτως ἡ τοῦ ἑτέρου τριγώνου βάσις πρὸς τὴν κάθετον, ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα.

ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΘΖΗ ἴσας ἔχοντα γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Ζ, Β, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ, Β κάθετοι αἱ ΒΔ, ΖΚ· ἔστω δέ, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΚΖ· λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΖΗ τριγώνῳ.

περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΘΖΗ τρίγωνον κύκλος, οὗ τμῆμα ἔστω τὸ ΘΖΗ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΘΗ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Θ τῇ ὑπὸ τῶν 2. ΕΘ] ΕΔ b. ΓΕ(pr.)] ΓΘ b. 3. ΖΛ] ΕΔΘ b. ἴση — 6. δοθείς] om. b. 3. ΛΖ] ΖΛ Vat. v. 4. τετράγωνον — 5. γάρ] deleo. 5. ἐστὶ δοθείς Vat. v. σύγκειται γάρ] ὑπόκειται γάρ Hardy; del. Gregorius et Peyrardus. 9. ἴσην] corr. ex ἴσον m. 2 v. 10. ἔχῃ] corr. ex ἔχει m. 2 v, om. b. 11. εὐθεῖαι] om. b. ἡ] add. m. 2 v. 12. οὕτως — 13. κάθετον] mg. om. accent. m. 1 P. 12. οὕτως — 13. βάσις] οὐ (sic) τῇ βάσει τοῦ δευτέρου b. 15. ΘΖΗ] ΖΘ b. 17. ὡς] om. b. 20. ΘΖΗ τρίγωνον] ΘΖ b. 21. οὗ τὸ Pv. 22. τῶν] τῆς b, et sic per totam hanc prop. ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΗΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΛ, ΛΗ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΛΜ.

ἐπεὶ ἱση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ τῇ ὑπὸ τῶν ΛΘΗ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΛΗ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΗΛ ἐστιν ἴση· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΑΓ τρίγωνον τῷ ΘΗΛ τριγώνῳ. καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΛΜ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΛΜ· ἧν δέ, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΖΚ· ὑπόκειται γάρ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΛΜ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΖΚ· ἱση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ· ἔστι δὲ καὶ παράλληλος· καὶ ἡ ΖΛ ἄρα τῇ ΘΗ παράλληλός ἐστιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΛΘ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΛΘΗ. ἀλλʼ ἡ μὲν ὑπὸ τῶν ΛΘΗ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἐστιν ἴση· ἡ δὲ ὑπὸ ΖΛΘ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΗΘ ἐστιν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ἄρα τῇ ὑπὸ τῶν ΖΗΘ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΗ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΗ ἐστιν· ἴση· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΖΘΗ τριγώνῳ.

π΄.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς πλευρᾶς τετράγωνον λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωονίαν 1. γωνίᾳ] om. b. ἡ] om. b. ΗΘΛ] ΘΛ b. 3. ἐπεί] καὶ ἐπεί Vat. v. ΒΑΔ] ΔΑΒ b. ΛΘΗ] ΛΘ b. 4. ἔστι — ἴση] om. b. 5. ΒΓΑ] ΒΓΔ b. ΘΗΛ] ΘΕΛ b. 6. ΒΑΓ] ΒΓΑ Vat, ΑΒΓ v. ΘΗΛ] ΛΕ b. 7. ΒΔ] τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Α, Β ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΓΑ κάθετοι αἱ ΒΔ, ΑΕ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα, δέδοται ἄρα τὸ ΑΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ΑΕ· ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ δοθείς· τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐκκείσθω τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ τμῆμα τὸ ΖΘΗ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐν τῷ ΖΘΗ τμήματι γωνία· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘΒ τμῆμα. 1. πρὸς τῷ] om. b. τῷ] τὸ P. τό (pr.)] corr. ex τῷ m. 2 v. ΒΑΓ] ΑΒΓ PVat. 2. λέγω] δῆλον b. Supra δέδοται add. ἄρα (comp.) Vat., del. m. 2. 4. γάρ] om. b. τάς] τήν b. 6. τὴν ΒΑΔ b. ἔστιν v. τῶν] τήν b. 7. ἄρα (pr.)] om. b. 8. τοῦ] τό b. 9. τῶν (pr).] τῆς b; item lin. 10, 11, 13 (alt.). 9. ΒΑΓ — τῶν] om. Vat. τῶν (alt.)] τοῦ b. 10. δέ ]om. b. ΒΔ] ΔΒ v. 11. διπλάσιον] supra add. m. 2 Vat. ἐστιν v. 12. ΑΒΓ] ΑΓΒ v. 13. ΒΓ] supra scr. m. 1 b. 15. ὑπὸ τῶν] om. b. ἄρα] om. b. 16. καί — 17. δοθείς] om. b. 20. δεχόμενον] δεδομένην ἔχον PVat.v. ἴσην] supra scr. m. 2 v. τῶν] τῆς b, item lin. 21. 21. τῷ — 22. ΖΘΗ (alt.)] ΖΙΗ b. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΚ. καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΖΗ· πρὸς τὴν ΗΚ δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ ΖΗ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΚ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ Η· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παρ- άλληλος ἡ ΚΘ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ· θέσει δὲ καὶ τὸ ΖΘΗ τμῆμα· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἐπε- ζεύχθωσαν αἱ ΖΘ,ΘΗ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΘΛ· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ. ἔστι δὲ καὶ τὸ Θ σημεῖον δοθέν, καὶ ἑκάτερον τῶν Ζ, H· δέδοται ἄρα ἑκάστη τῶν ΘΖ, ΖΗ, ΘΗ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΖΘΗ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ, ἴση δὲ ἡ ΗΚ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΘΛ. καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΗ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΖΗ τριγώνῳ. δέδοται δὲ τὸ ΘΖΗ τρίγωνον τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

πα΄.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον οὖσαι τρισὶν εὐθείαις ἀνάλογον οὔσαις τὰς ἄκρας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἔχωσιν, καὶ τὰς μέσας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἕξουσιν· καὶ ἐὰν ἡ ἄκρα πρὸς τὴν ἄκραν λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἡ μέση 1. ΗΚ] ΗΘ b, et sic deinde per totam prop. pro Κ hab. Θ, pro Θ autem Ι. 5 δοθείς — 6. ΗΚ] om. b 7. ΖΗ] ΘΗ b. 8. δέ] ἄρα b. 12. δοθέν] om. b. 16. ΘΛ] ΙΚ b, item lin. 17. 18. ἄρα] om. b. 19. ΘΖΗ ΙΖΒ b. δέδοται — 20. εἴδει] om. b. 21. ΑΒΓ] ΑΓ P. Seq. πρὸς τὴν μέσην καὶ ἡ λοιπὴ ἄκρα πρὸς τὴν λοιπὴν ἄκραν λόγον ἕξει δεδομένον.

τρεῖς γὰρ εὐθεῖαι ἀνάλογον οὖσαι αἱ Α, Β, Γ τρι- σὶν εὐθείαις ἀνάλογον οὔσαις ταῖς Δ, Ε, Ζ τὰς ἄκρας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἐχέτωσαν, καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ δοθείς, τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Ζ λόγος δο- θείς· λέγω, ὅτι καὶ τῆς Β πρὸς τὴν Ε λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ δοθείς, τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Ζ δοθείς, λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ δοθείς. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε. λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε δοθείς· ὥστε καὶ τῆς Β πρὸς τὴν Ε λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἔστω δὴ πάλιν τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ λόγος δοθείς, τῆς δὲ Β πρὸς τὴν Ε λόγος δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ, τῆς δὲ Β πρὸς τὴν Ε δοθείς, λόγος ἐστὶ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε δοθείς. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Ε ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ· λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ δοθείς. καὶ μιᾶς πλευρᾶς τῆς Α πρὸς μίαν πλευρὰν τὴν Δ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς Γ πρὸς λοιπὴν τὴν Ζ λό ος ἐστὶ δοθείς.

1. τήν (pr.)] om. b (nom β). ἄκρα] om. Vat., ἄρα b. 7. τῆς] del. m.1 Vat. 10. τοῦ] καὶ τοῦ v. 11. τό] corr. ex τῷ m. 2 v 14. Ε] Δ b. 17. B] supra scr. m. 2 v λόγος ἐστί b. 19. ἐπεὶ γάρ Vat. v. μὲν Α πρὸς τὴν Δ, τῆς δέ ] om. b.

πβ΄.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται, ὡς ἡ πρώτη πρὸς ἣν ἡ δευτέρα λόγον ἔχει δεδομένον, οὕτως ἡ τρίτη πρὸς ἣν ἡ τετάρτη λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ Δ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· λέγω, ὅτι ἐστίν, ὥς ἡ Α πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον, οὕτως ἡ Γ πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστω γὰρ πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον ἡ Ε, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ. λόγος δὲ τῆς Β πρὸς τὴν Ε δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ ἐστι δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ. καί ἐστιν ἡ μὲν Ε πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον, ἡ δὲ Ζ πρὸς ἣν ἡ Δ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον, οὕτως ἡ Γ πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.

πγ΄.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι οὕτως ἔχωσι πρὸς ἀλλήλας, ὥστε τριῶν ληφθεισῶν ἐξ αὐτῶν ὁποιωνοῦν καὶ τε- τάρτης αὐταῖς προσληφθείσης ἀνάλογον, πρὸς ἣν ἡ 2. ὡς] om. b (non β). 3. πρώτη] corr. ex τοῦ πρώτου m 2 v. πρὸς τὴν δευτέραν b. 4. πρὸς τὴν τετάρτην b. 5. ἔστω v. ἀνάλογον οὖσαι b. 7. ἐστίν] καί v. ἥν] η b. 8. ἣν ἡ Δ] τὴν ηδ b. 9. ἡ Β πρὸς ἥν b. ἡ (alt.)] τῇ b. 12. ἐστι] om. Vat., ἐστιν v. καί (alt.)] om v. 14. ἔστιν v. 16. Γ] Δ b. E — 17. Δ] ΕΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν Β· ἡ δὲ ΖΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν Δ b. 17. ἣν ἡ] τήν b, item lin. 18. 21. ἔχωσιν Vat, ἔχουσι β. 22. λοιπὴ τῶν ἐξ ἀρχῆς τεσσάρων εὐθειῶν λόγον ἔχει δεδο- μένον, ἀνάλογον γίγνεσθαι τὰς τέσσαρας εὐθείας, ἔσται, ὡς ἡ τετάρτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως ἡ δευτέρα πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, Δ οὕτως ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας, ὥστε τριῶν ληφθεισῶν ἐξ αὐτῶν ὁποιωνοῦν τῶν Α, Β, Γ καὶ τετάρτης αὐταῖς προσ- ληφθείσης τῆς Ε, πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον, ἀνάλογον εἶναι τὰς Α, Β, Γ, Ε εὐθείας· λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς ἣν ἡ Α λόγον ἔχει δεδομένον.

ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Ε πρὸς τὴν Δ. δοθείς, λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε δοθείς· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Α, Κ ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Δ, Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐστι δοθείς. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς ἣν ἡ Α λόγον ἔχει δεδομένον.

πδ΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο- μένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ἑτέρα τῆς ἑτέρας δοθείσῃ μείζων ᾗ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν χωρίον περι- εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, 1. τεσσάρων] om. b. 2. ἀνάλογον — 4. δεδομένον] mg. om. acc. m. 1 P. 2. γίνεσθαι v b. ἔσται — 4. δεδομένον] αἱ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖαι οὕτως ἕξουσι πρὸς ἀλλήλας b et deinde rep. p. 162, 22. ὥστε — p. 164, 2. εὐθείας. 3. τετάρτη] δ P. τρίτην] γ P; -ι- in ras. m. 1 v. δευτέρα] β P. 7. αὐταῖς] ἡ δὲ ΓΒ τῆς ΒΑ δοθείσῃ μείζων ἔστω· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΑ, ΒΓ.

ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ δοθείσῃ μείζων ἐστιν, ἔστω ἡ δοθεῖσα ἡ ΔΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ ἴση ἐστίν. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΒ, λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς· δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΔ τῷ εἴδει. ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΔΓ παραβέβληται ὑπερ- βάλλον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΑΔ, δέδοται ἄρα τὸ πλάτος τῆς ὑπερβολῆς· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ δοθεῖσα· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ δο- θεῖσά ἐστιν.

πε΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο- μένῃ γωνίᾳ, ῇ δὲ συναμφότερος δοθεῖσα, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν χωρίον περι- εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἔστω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δοθεῖσα· λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι δοθεῖσα.

διήχθω γὰρ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΒΑ παράλληλος ἤχθω 2. ἐστιν] om. b. 3. ἐπεί — 5. ΑΔ] mg. m. 1 P; κείσθω γὰρ τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω, ἡ ΔΕ ἐπτι δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ ἡ ΔΓ b. 4. ἔστω ἡ] om. ν. ΒΑ] ΑΒ Vat. v. 5. καί (pr.)] om. Vat. 7. δοθεῖα δὲ καί] καὶ δοθεῖσα b. 8. δοθὲν τὸ ΑΓ b. 10. ΑΔ] Α b. 11. τῆς ὑπερβολῆς] τοῦ ὑπερβλήματος b. ΒΔ] ΔΒ b. 12 ἔστι] ἔστιν v. 13. ἐκατέρα — 14. ἐστιν] om. b. 16. εὐθεῖαι] ἡ ΔΕ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ, καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία, ἐπεὶ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ δοθεῖσά ἐστιν, δέδοται ἄρα τὸ ΕΒ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστι συν- αμφότερος ἡ ΑΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ ΑΓ παρὰ δο- θεῖσαν τὴν ΔΓ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΕΒ, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλείμματος· δοθεῖσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ. ἀλλὰ καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δοθεῖσά ἐστιν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκαέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ.

πς΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο. μένῃ γωνίᾳ, δύνηται δὲ ἡ ἑτέρα τῆς ἑτέρας δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα. δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν χωρίον περι- εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι δοθεῖσα.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ πρὸς τὸ 2. ἐστι] ἐστιν v. 3. αὐτῆς P. 4. καί ] om. b. ἐστιν v. 8. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ b. 10. ἐστίν] om. b. καί — 11. ἐστιν] om. Vat. 11. Ante δοθεῖσα ἄρα add. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ δοθεῖσα b. Seq. apud Peyrardum ea propositio cum lemmate, quae in P legitur ad finem libri; u. app. 12. πςʹ] πζ΄ Peyrardus. 13. Post δοθέν add. ἄρα v; del. m 2. 15. μεῖζον εἶναι b. ἔσται] ἐστι b. 16. γάρ] om. b. αἱ] om. P. 17. ἐν] ἔστι δὲ καί b. τῶν] τήν b. 19. ἔστω] ἐστιν (comnp.) b. 21. ΒΑ] AB b. 23. τῶν (utrumque)] τήν b; ἀπὸ τῆς ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ δοθέν, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ δοθείς. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ· ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· τοῦ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶ τῆς ΒΓ, ΓΔ. λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ, ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ δοθείς· ὥστε καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συν- θέντι ἄρα δύο τῶν ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δο- θείς· ὥστε καὶ μιᾶς τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ· ὥστε καὶ ἡ ΒΓ δο- 2. ἔτι — 3. ΑΒ, ΒΓ] supra add. m. 2 v. 2. ΓΒ, ΒΔ] ΓΒΔ b. 3. ΑΒ, ΒΓ] ΑΒΓ b. 4 ὡς δέ — 5. ΒΔ (alt.)] mg. m. 1 P, om. b. 4 ὑπό (alt.) — 5. τό] om. Vat., supra add. m. 2. 5. ΓΒ, ΒΔ] ΓΔΒ Pv. 7. ὥστε] om. b. ΑΒ] ΑΒ ἄρα b. 8 πρός] bis v, prius del. m. 2. 9. BΓΔ (pr.)] ΓΔΒ b. καί — 10. δοθείς] om. b. 10. ΔΒ] ΑΒ PVat.v. καί — 12. δοθείς] om. b. 15. Post ΒΔ θεῖσά ἐστιν· τῆς γὰρ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ δέδοται ἡ ΒΔ· καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΓ, καὶ δοθεῖσα ἡ Β γωνία· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν.

πζ΄.

Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ- σαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει.

εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ διήχθω ἡ ΑΓ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα τὸ ΑΕΓ δεχό- μενον γωνίαν δοθεῖσαν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ δέδοται τῷ μεγέθει.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ· ὀρθὴ γάρ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΑ τῷ μεγέθει, ἐπεὶ καὶ. ὁ κύκλος δέδοται τῷ μεγέθει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῷ μεγέθει.

1. τῆς — 2. ΒΔ ] mihi admodum suspecta. 1. γάρ] om. v. 2. Post ΒΔ add. δέδοται ἄρα καὶ ἡ BΓ PVat. v. 3. ἡ Β] ἡ ΑΒΓ Vat. (supra scr. ὑπό m. 2), ἡ ὑπὸ ΑΒΓ v. 4. τῶν] τῆς b. Seq. apud Hardium et Gregorium proposito illa, de qua dixi ad p. 168, 11. 5. πζʹ] πη΄ Vat., edd.; πϛ´ b. 9. γάρ] om. b. δεδομένον] δεχόμενον b. τόν] corr. ex τῶν m. 2 v, τό b. 10. ἀπολαμβανʼ b. ΑEΓ] ΑΒΓ b. 11. δέδοται] δοθεῖσά ἐστι b. 13. γάρ] om. b. 15. δοθεῖσα ἄρα ἐστίν] ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστι b. τῶν] τήν b, item lin. 17. 16. γάρ ἐστιν Vat.vb. τὴν ΑEΓ b. 17. ΑΓE] ΓΑΕ b. 18. τῆς] τοῦ b. ΑΕ] ΕΑ Vat. v. 19. ΕΑ] ΑΕ b. ἐπεὶ καί ] ἐπειδή b. 20. μεγέθει] in hoc vocab. desinit b.

πη΄.

Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει, ἀπολήψεται τμῆμα δεχόμε- νον γωνίαν δοθεῖσαν.

εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΓ δεδομένη τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι ἀπολήψεται τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΑΓ, λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία.

πθ΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον ληφθῇ, ἀπὸ δὲ τούτου πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν κλασθῇ τις εὐθεῖα δεδομένην γω- νίαν ποιοῦσα, δέδοται τὸ ἕτερον πέρας τῆς κλασθείσης.

κύκλου γὰρ τῇ θέσει δεδομένου τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον τὸ Β, ἀπὸ δὲ τοῦ Β κεκλάσθω εὐθεῖα ἡ ΒΑΓ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ Γ σημεῖον.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν 1. πηʹ] πθ· Vat, edd.; πζʹ β(a). 7. ἀπολήψεται] λήψεται PVat v; ἀπο supra scr. m.2 Vat. δοθεῖσαν] δοθείς a. 10. καὶ ἐπεί Vat. 12. τῶν] τῆς a. 13. ἐστίν a. καί] om a. 15. πθʹ] ϙ Vat., edd.: πη΄ β(a). 17. σημεῖον] comp. Vat. ἀπό — 18. περιφέρειαν] καὶ ἀπὸ τοῦ σημείου β. 18. περι- φέρειαν] comp. Vat. 20. εἰλήφθω γάρ a. 21. δοθέν] αἱ ΒΔ, ΔΓ. ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β, Δ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΔΓ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ θέσει· θέσει δὲ δοθεὶς καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Γ σημεῖον.

ϙ΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου θέσει δεδομένου κύ- κλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Γ θέσει δεδομένου κύκλου τοῦ ΑΒ ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΑ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΑ εὐθεῖα δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΓ. ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Δ, Γ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ γωνία· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΔΓ γραφό- μενον ἡμικύκλιον ἤξει διὰ τοῦ Α. ἡκέτω καὶ ἔστω 1. καὶ ἐπεί v. ἑκάτερον τῶν] ἕκαστον τῆς a. 2. Post ΒΔ in P καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΒΔ et uncis et punctis del. m. 1. καί ]om. a. 3. Post γωνία hab. καί ἐστιν αὐτῆς διπλῆ ἡ ὑπὸ τῆς ΒΔΓ a. ἡ (alt.)] καὶ ἡ Vat. v. 4. τῶν ΒΔΓ Vat., τῆς ΒΔΓ γωνία a. 5. εὐθεῖα γραμμή a. 6. τῶν] τῆς a; item lin. 19. ΒΔΓ] ΒΑΓ a. δοθεῖσα — 7. ΑΒΓ] om. a. 7. Post κύκλος add. δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ· θέσει δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ κύκλος (comp.) a. 8. Post σημεῖον del. ὅπερ ἔδει δεῖξαι m.1.Vat. 9. ϙ] ϙα΄ Vat, edd.; πθ· β(a〉. 10. δεδο- μένου] om. β. 11. ἐφαπτομένη] -ης περιφερείας β. 13. σημείου — δεδομένου ] om. a. 14. εὐθεῖα γραμμή a. 15. εὐθεῖα] om. a. 16. τοῦ κύκλου] om. a. 18. τῶν] τῆς a. 20. ἡμικύκλιον] corr. ex κύκλον m. 2 Vat. ἡκέτω] ἐρ- χέσθω a. τὸ ΔΑΓ· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑΓ· θέσει δὲ καὶ ὁ ΑΒ κύκλος· δοθέν ἐστιν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Γ δοθέν ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

ϙα΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτὸς δοθέν, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα, τὸ ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας περιεχόμενον ὀρθο- γώνιον δοθέν ἐστιν.

κύκλου γὰρ δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ σημείου διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΒ τέμνουσά τὸν κύκλον· λέγω, ὅτι δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ.

ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφ- απτομένη εὐθεῖα ἡ ΑΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΔ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ.

ϙβ΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ληφθῇ τι σημεῖον ἐντὸς δοθέν διὰ δὲ τοῦ σημείου διαχθῇ τις εὐθεῖα εἰς τὸν κύκλον, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς ἀχθείσης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθέν ἐστιν.

1. ΔΑΓ(pr.)] ΔΓΑ a. θέσει — ΔΑΓ] om. a. 2. ἄρα ἐστίν a. καί] om. a. 3. δοθέν] δοθέν δοθὲν ἄρα a. ἄρα] om. P. 5. ϙαʹ) ϙβ Vat, edd. ϙ β(a). 7. δέ] om. β. 8. τοῦ τε β. 10. ἔσται β. 11. τῇ θέσει δεδο- μένου a. ΑΒΓ] ΑΓ a. 13. ΔΒ] ΒΔ va. 14. ὑπὸ τῆς ΒΔΓ a. 15. Δ] Γ a. 16. εὐθεῖα γραμμή a. δοθεῖσα — ΑΔ] δέδοται ἄρα a. 18. ΑΔ] ΔΑ Vat. 19. τῶν (utrum- que)] τῆς a. 20. Seq. demonstr. alt.; u. app. 21. ??βʹ]

κύκλου γὰρ δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐντὸς τὸ Α δοθέν, διὰ δὲ τοῦ Α διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΒ· λέγω, ὅτι δεδομένον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὰ Ζ, Ε. ἐπεὶ οὖν δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Δ, Α, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑ. θέσει δὲ καὶ ὁ ΓΒΖ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Ζ, Ε. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν Ζ Α, ΑΕ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Ζ Α, ΑΕ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΑΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ.

ϙγ΄.

Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ- σαν, καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία δίχα τμηθῇ, συν- αμφότεροι αἱ τὴν δεδομένην γωνίαν περιέχουσαι πρὸς τὴν δίχα τέμνουσαν τὴν γωίαν λόγον ἕξουσι δεδο- μένον, καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς κάτω ἀπολαμβανο- μένης ἀπὸ τῆς δίχα τεμνούσης τὴν γωνίαν πρὸς τῇ περιφερείᾳ δοθὲν ἔσται.

εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ 1. τῇ θέσει δεδομένου a. 2. δοθὲν τὸ Α a. 3. δεδο- μένον ἐστί] δοθέν a. 4. τῶν] τῆς a, item lin. 7, 9, 11. 5. τό (alt.)] τοῦ a. 6. ΑΔ] ΔΑ a. Ε, Ζ va. 8. ΓΒΖ] ΓΒ α. 9. ἑκάτερος a. ἔστιν v. 10. ἐστίν — ἄρα] om. a. ἐστί] ἐστίν v. 11. ὑπὸ τῆς ΓΑΒ a, item lin. 12. 13. ϙγ΄] ϙδ΄ Vat, edd. ϙβʹ β(a). 16. καί] ἡ δʼ β. Post γωνία add. δοθεῖσα β. συναμφότερος β. 19. ὑπό] ἀπό β. συν- αμφοτέρων Vat. τῶν ] τοῦ β. δεδομένην ] δοθεῖσαν β. εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΓ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς, καὶ ὅτι δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ.

ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΔΑΓ διῆκται εὐθεῖα ἡ ΒΓ ἀπο- λαμβάνουσα τμῆμα τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ- σαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῷ μεγέθει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΔ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται τῇ ΑΔ εὐθείᾳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓE· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔE ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ· λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ 1. εὐθεῖα γραμμή a. 2. τῆς ΒΑΓ a, item lin. 3. 5. ὑπό] ἀπὸ a. ΒΑΓ] a. 6. ΕΒ a. 7. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ] om. a καὶ ἐπεί ]ἐπεὶ γάρ a. 8. τόν] corr. ex τῶν m. 2 v. δοθείς· λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς.

λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ δοθέν ἐστιν.

ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΒ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἐστὶ συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ.

ϙδ΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς δὲαμέτρου δοθὲν σημεῖον ληφθῇ, ἀπὸ δὲ τὸῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσβληθῇ τις εὐθεῖα καὶ ἀπὸ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ τῇ διαχθείσῃ, διὰ δὲ τοῦ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ πρὸς ὀρθὰς τῇ περιφερείᾳ, παράλληλος ἀχθῇ τῇ διαχθείσῃ, δοθέν ἐστι τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ παράλληλος τῇ διαμέτρῳ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν παραλλήλων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθὲν ἔσται.

κύκλου γὰρ τῇ θέσει δεδομένου τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ δια- μέτρου τῆς ΒΓ εἰλήφθω δοθὲν σημεῖον τὸ Δ, διὰ δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸν κύκλον προσβεβλήσθω τις τυχοῦσα ἡ ΔΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΑΕ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος 4. τῆς] τοῦ a. ἐστιν] -v add. m. 2 v. 5. ΑΕΓ] ΒΕΔ a. 6. ΔΕΒ] ΑΕΓ a. 7. ὡς — 8. ΓΕ] om. a. 10. ΒΔ] supra scr. m. 2 v. ΔΕ] ΔΘ P. 11. τῶν ΓΒ, ΒΔ] ἤχθω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι δοθέν ἐστι τὸ Ζ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΕΖ χωρίον δοθέν ἐστιν.

διήχθω ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ.

ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΕΑ γωνία, ἡ ΘΑ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ· τὸ Η ἄρα κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Η. ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ τῷ μεγέθει. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΘ, καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΗ τῇ ΗΑ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΔΗ τῇ ΗΖ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΖΘ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΗ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΗΖ, ΗΔ δοθεῖσά ἐστιν. καί ἐστι δοθὲν τὸ Η· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ κύκλου δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΑΒΓ εἴληπται ση- μεῖον τὸ Ζ δοθέν, καὶ διῆκται ἡ ΕΖΘ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ· ἴση δὲ ἡ ΘΖ τῇ ΔΑ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2. τῶν] τῆς a. 3. ΕΖ] ΕΘ a. τὸ Θ] τὴν Ζ a. 4. τῶν] τῆς a. 5. Post ΒΓ add. διάμετρος a. 6. ἄρα] om. v, add. m. 2. 7. τό (alt.)] om. P. δοθεῖσα] θέσει a. 9. ΗΑ] ΑΗ a. 10. ἐστίν v. καί] om. v, add. m. 2. ΖΘ] ΘΖ a. δοθεῖσα δέ — 11. θέσει] om. a. 12. ἄρα] om. PVat.v, add. m. 2 Vat. καί ἐστι] om. a. 13. ἐστιν] om. a. ἐπεί]. ἐστιν ἐπί a. 15. δοθὲν τὸ Ζ a. δοθέν (alt.)] καὶ δοθέν a. ἂρα ἐστί] om. a. 17. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. a. Post δεῖξαι add. τέλος atr. rubro m. 2 Vat. ln fine: ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΔΚΔΟΜΕΝΑ P; item Vat., in quo m. 2 atr. rubro ante ΕΥ add. τῶν (euan.), Α mut. in ων, add. τέλος; tertium denique τέλος m. 2 infra extremam figuran in imo folio; τέλος εὐκλειδου δεδομένα v; τελος. ευκλειδου δεδομενα της θεωνος εκδοσεως a.