1 Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφʼ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι, θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπίμενον αὐτοῖς καί πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρείται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα, τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων. ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς προτείνοι, ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων ἂν μὲν ἀμθὴς ᾖ καὶ παντάπασιν ἰδιώτης, κἂν· ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος. τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν καὶ τὸ δύνατον, κἂν ᾖ δυνατόν, πότε καὶ πώς καὶ ποσαχῶς δυνατόν. ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμάς εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς· τὸ γάρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι διʼ ἐπιπέδου 1. 2. πάππου ἀλεξανδρέως. συναγωγῶν Γ· περιέχει — στερεά om. A1, add. Α2 (Β, nisi quod huc συναγωγὼν τρίτον), Πάππου ἀλεξανδρέως μαθηματικῶν συναγωγῶν βιβ. Γ S, ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ corr. Ηυ 4. κρατίστη πανδρόσιον ABS, Cratiste Co, corr. Hu (conf. indicem) 10. τὸν ἀκόλουθον τοῦτον ABS, consequens eous Co, corr. Hu ὑγειῶς AB, corr. S 11. ἂν μὲν — 12 ἰδιώτης interpolatori tribuit Hu 16. 17, προσποιούμενος ἠσκηκέναι τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλῃ coni. Hu προβάλλων S, πρόβά| λὼν A, προβαλών B 18. τὰς add. Hu 20. ἀποδειξις (sine acc.) A, corr. BS 21. ὠφελίαν A, corr. BS φιλομαθεωρίας, ἠξίου δὲ καὶ ἡμᾶς ὁ ἀνὴρ ἐπισκεψαμένους ἀποκρίνασθαι περὶ τῆς ὑπʼ αὐτοῦ γενηθείσης κατασκευῆς, ἥτις ἔχει τὸν τρόπον τοῦτον.

2 α΄. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ Β∠, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ· ἴδη ἡ Β∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ, καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ∠Η, καὶ κείσθωσαν τῇ Β∠ ἴσαι αἱ ∠Ν ΝΛ ΛΞ ΞΚ καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚP κατὰ τὸ Σ, καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, ὡς δέ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΧΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΚΦ καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ XΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ὑπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ, οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ. ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ καὶ ἡ ΓΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Ω∠, ἀπὸ δέ τοῦ ∠ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ ΛΕ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ∠Η πρὸς ΗΕ, οὕτως ΗΕ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ, καὶ ἤχθωσαν τῇ ΘΓ παράλληλοι αἱ ΖΚ ΕΛ, καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ ταῖς ΑΓ B∠ παράλληλοι αἱ ΚΜ ΛΝ δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ Β∠ υέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΚ ΝΛ.

4 ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ, ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ λύγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λύγου. καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν ἐστιν. ὅτι γὰρ καὶ τὸ Τ μεταξὺ πίπτει τῶν Ρ Σ δείξομεν, 3. post πολλοὶ add. μὲν A1, sed id expunctum 7, δε*όντως A2 ex δεν ὄντως 9. οὕτω AsBS 11. πάση δὲ ἀνάγκη AB, πέσῃ δὲ ἀνάγκῃ Ss, corr. Hu 14. τοῦτο accipiendum est pro τόδε; minime igitur τούτω scribendum 16. ὑπερεκτεθέντος B 17. ΘΡ A1, Κ superscr, A2, unde κρ S, θ*ρ B τοῦ om. BS 18. ἡ Η πρὸς τὴν ΒΑ AB1S, corr. B4 Co 20. τουτέστιν add. B4 V2, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει mavult Hu 21. δίδοται AS, corr. Β 23. ὅτι add. V2 24, ΘΡ — ΡΤ AS, distinx. B 24. 25. δῆλον ἔσται ABS, corr. Hu ayclore Co 25. ὅτι γὰρ — p. 36, 3. πρὸς τὴν ΘΡ interpolatori tribuit Hu 25 τῶν ΡΣ A, disinx, BS καὶ πρότερον ὅτι τὸ Φ σημεῖον ποτὲ μὲν μεταξὺ τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Γ παρά τὴν ὑπόθεσιν τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ δοθεῖσα πρὸς τὴν ΘΡ.

5 Ὑποκείσθω γάρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος τῆς ΚΘ πρὸς τὸν ΘΡ, τουτέστιν τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἢ τῆς Β∠ πρὸς ΑΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τουτέστιν ὃν δ΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δ΄ πρὸς γ΄, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γ΄ πρὸς β΄ καὶ δ΄΄. ὡς δὲ καὶ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄ καὶ δ΄΄, οὔτως αὐτὰ τὰ β΄ δ΄΄ πρὸς ἄλλην ἐάν γένηται, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου καὶ πασῶν ἐλαχίστην ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ.

Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετραπλασίου 6 λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν Ρ Θ, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα.

Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, 7 ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ, τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπʼ αὐτοῦ θεωρηθέντος διʼ ἣν εἴπομεν. αἰτίαν αὐτὸς δὲ λέγει δεικνύναι τὸ προκείμενον, ἐάν τε μεταξὺ τῶν Θ Ρ ᾖ τὸ Φ σημεῖον ἐάν τε μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ τὸ Φ, ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ. ἐὸν οὖν λέγῃ γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ,” αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών. ἐκβληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς ΣΜβ, οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓ πρὸς τὴν ΡΜδ. 1. αὐτὰ τὰ Hu pro τὰ ἀυτὰ Γ ⌞ ι΄ A (B ut supra) 2. αὐτῶν τῶν Hu pro τῶν αὐτῶν 5, 6. τῶν ΡΘ et 7, τῶν ΡΤ A 10. τῶν ΘΡ — τῶν ΡΤ A itemque posthac, distinx. BS 12. αὐτὸς — 14. τῶν Ρ Τ interpolatori tribuit Hu 15. ἢ] ἣ As Bs S 19. ὡς ante ὁμολ. add. Co 20. τῆς ΞΚ τῆς Κ| Μ AB1, corr. B3 21. τῆς ΜαΘ] minuta littera α atque item posthac β γ δ in ABS ubique super Μ positae sunt 21. 22. τῆς Κ Μ διὰ τὴν Ϲ καὶ Τ καὶ Ρ σημεῖον AB1, corr. B3 (minus feliciter διὰ τὰ — σημεῖα V2) 23. δῆλον πως Λ; vix tamen probabile videtur δῆλον πῶς ἡ ΚΜ AB1S, corr. B3 24. ἡ ΣΜβ Hu, ΕΜ, omisso ἡ, AB1 S, σ pro Ε corr. B3 πρὸς τὴν ΡΜ AB1S, corr. B3V2 καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΚΜα τῇ Β∠, ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ, ὥστε καὶ τὴν ΑΓ ἴσην εἶναι τῇ ΡΜδ καὶ ηὑρῆσθαι δύο τῶν ΑΓ Β∠, τουτέστιν δύο τῶν ΚΜα ΡΜδ, δύο μέσας ἀνάλογον τὰς ΣΜβ ΤΜΓ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. εὐθείας γὰρ οὔσης τῆς ΘΚ καὶ σημείου ἐπ αὐτῆς τοῦ Ρ, ἀδύνατόν ἐστι διʼ ἐπιπέδου θεωρίας λαβεῖν μεταξὺ τῶν Ρ Κ δύο σημεῖα ὡς τὰ Γ Σ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ τὴν ΓΘ πρὸς τὴν ΘΡ, ὥστε, κἂν τὸ Ζ λάβῃ ἀντὶ τοῦ Σ, καὶ οὕτως ἀδύνατον ἔσται τὸ πρόβλημα στερεὸν γάρ ἐστιν τῇ φύσει.

8 διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ,” ἀνωτέρω δέ, τουτέστι μεταξύ τῶν Ρ Θ, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ, ἀποπληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος. οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐντυγχανόντων, ἀλλʼ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρότερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον καὶ ὕστερον ἐλέγχων αὐτοῦ τὴν ὑπόθεσιν μὴ ὑγιῶς εἰλημμένην.

9 Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ (τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ), δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ· ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα· καὶ ὅλη 1. 2, exsprectaveris ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ Βε; sed in * progressu demonstrationis scriptor ordinem inverlit, ut ex proximis apparet ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ Hu auctore Co, ἡ δὲ ΑΕ τῆι ΚΘ AB1 S, ἡ δὲ αε τῇ ρθ B3V2 2. ΡΜ AB1S, corr. B3V2 item vs. 3 ἡρυσθαι (sine acc.) A (B1), ἡυρήσθαι B4, corr. S 4. τὰς σμ B3V V2, τοὺς | Μ AB1, τὰς μ S 6. 7. τῶν — τὰ ΤΣ Α 8. καὶ τὴν ΤΘ AB3, καὶ τὴν θτ B1S 11. δὲ οἶμαι V2 pro δέομαι 12. ὡς ante ὁμολ. add. Hu 13. ἔστω esse Co; voluit igitur εἰναι 14. τῶν ΡΘ Α i6. ἧττον V2 pro πλέον 17, ἑκὼν ψευδογραφεῖ Hu pro ἐκ τῶν ψευδογραφεῖν 20. καὶ ὕστερον — εἰλημμένην, manifestum interpretamentum, del. Hu μη A 22. επιτοινυν δοθείσης ἐστιν AB, corr. S ἄρα ἡ ΘΣ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς ΘΣ δοθείς ἐστιν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΘΣ, δοθεῖσα ἄγα ἔσται καὶ ἡ ΤΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΦ δοθεῖσα ἔσται, ὥστε καὶ ἡ διαφορά τῶν ΘΡ ΘΦ εὐθειῶν δοθεῖσά ἐστιν. εὑρήσθω οὖν τὸ Φ μεταξὺ τῶν Θ Ρ, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ ΦΡ διαφορὰ καὶ ἡ τὰ Ρ Χ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ΞΚ, δοθέν ἄρα τὸ ΦΧΡ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΦΧ γωνία, καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐκτὸς γωνίᾳ· ἐκβληθείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ, δοθὲν ἔσται τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει οὕτως: ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΡΚ ΡΧ, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ ΚΚ καὶ λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ΧΚ πρὸς τὴν ΚΨ (ἱ αὐτὸς γάρ ἐστιν τῷ τῆς ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ λόγῳ δοθέντι)· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΚ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΨΣ δοθεῖσά ἐστιν, ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΨΣ· καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΦΧ· δοθεῖσα οὖν ἐστιν καὶ ἡ ΨΣ. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΨΣΚ γωνία δοθεῖσα, ὥστε καὶ τὸ ΨΣΖ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ἔσται. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ, παράλληλος οὖσα τῇ ΞΚ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΨΩ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΩΛ ἴση οὖσα τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἐλάσσων δέ ἡ ΩΛ τῆς ΣΚ ἴση γὰρ ἢ ΩΛ τῇ ΚΖ), καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΩ, 1. 2. πρὸς ΘΣ δοθεῖσα AB1, corr. B3S 4. ἄρα add. Hu auctore Co 6. τῶν ΘΡ Α, distinx. BS 7. καὶ ἐπιδέδοται A, corr. BS ἥ τε ΦΡ coni. Hu 8. τὰ Ρ Χ Hu pro ΤΑ ΡΧ errorem lam indicaverat B4 lineola ducta sub τα 10, ΡΦ γωνία AB1, corr. B4S ΚϹΦ ἐκτὸς AB1, corr. B4 Co, φ et ψ per dittographiam habet S 12, ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει add. Hu (καὶ μεγέθει pro οὕτως coni. Co) 18. οὕτως — 21, δεδομένον ἔσται interpolatori tribuit Hu: vide adnot. ad Latina 15. αὐτὸς γάρ ἐστιν add. A in rasura (BS) 21. post μεγέθει add. η (sic) A, B1 S, del. B3V V2 22. ξκ B4, ΗΚ B1S S, βκ V2 ἡ ΜΩ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς τὴν ΜΒ, ἔσται ἄρα μείζων ἡ MΒ τῆς ΘΦ (καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται)· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΛ τῆς ΦΚ ἐλάσσων. ἐπεὶ οὐν πάλιν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΩΛ ἐδείχθη ἴση γὰρ τῇ ΖΚ δοθείσῃ, δοθεῖσα δέ καὶ ἡ ΛΜ (ὅτι καὶ ἡ ΚΘ), καὶ λύγος ἄρα τῆς ΛΜ πρὸς ΜΩ δοθείς. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΩ, καὶ ἡ ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ, καὶ δοθεῖσα ἡ ΩΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΜΑ.

10 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον δοθέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποκείμενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξύ τῶν Ϛ Μ, ὡς νῦν ἐστιν, ἢ μεταξὺ τῶν Ϛ Α,. τῆς ϚΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ . εἰ γὰρ λέγει τὸ Β πίπτειν κατὰ τὸ Ϛ, τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαίνεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς MΛ, καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ Ϛ, λαβών μεταξύ δύο σημεῖα τὰ Ω Α καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς MΩ, τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ τὴν ΜΑ πρὸς τὴν ΜϚ, ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπύρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω παραθέμενος τάς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ εἰ τὸ Ϛ ἐξ 1. ἡ Μω πρὸς τὴν ωΛ AB1S, corr. B3V2 ἡ ΑΜ πρὸς τὴν Μ Β ABS, lineola sub Α addita erat in B, sed nunc crasa est 2. ἡ Μ Β ABS 3. ἡ ΒΛ ABS, lineolam add. Hu 4. ἐδείχθη — δοθείσῃ del. Hu ἐδίχθη ἴση γὰρ AB1S, ἐδείχθη γὰρ ἴση B3 ἴση γὰρ, deleto ἐδείχθη, V2 5. post καὶ ἡ ΚΘ add. δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ μω V2 8. ἡ Μ Β ABS 9, Β σημεῖον ABS ὅπερ ἔστω cet. non vacant corruptelae suspicione; certe ὅπου ἂν βούληται legenda esse videntur 10. τῶν ϚΜ AS, distinx. B 11. ἢ Hu auctore Co pro ἡ τῶν Ϛἀ A, τῶν Ϛᾳ BS, corr. V2 ἑκατέρας AS, corr. B secundum Waitzii collationem 11. 12. τῶν ΚΡ ΑΒ *** Hu. τῶν ΚΡ ΑΒ ΚΞ ΤΝ AB1, τῶν κραβ χξτν S, τῶν κρ αβ χξ γν B3 V2 Co, τῶν κρ αβ καὶ χξ γν B4, in lacuna excidisse verba ἀδύνατόν ἐστιν τὸ πρόβλημα coniicias collata pat. 40, 10 vel εἰς ἄπορον δηλονότι ἐμπίπτει coll. p. 40, 16 12. τὁ B ABS 16. τὰ Α° Α 17. τὴν ΜΑ° καὶ τὴν ΜΑ Α 19. αὐτοδείξω A, αὐτὸ δείξω B, corr. S 21. τὸ Ϛ] fallitur Co pro Ϛ coniiciens Β ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου, δεῖξον ὅτι οὔτε μεταξὺ τῶν Ϛ Α δύναται πίπτειν οὔτε μεταξὺ τῶν Μ Ϛ.” ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ καὶ κάτω τὸ σημεῖον πίπτει γὰρ παρὰ τὴν ὑπόθεσιν τοῦ λόγου.

11 ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὸ ϚΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει, κἂν τύ Β τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ἦ τῶν Ϛ Α, δεδομένου δὲ καὶ τοῦ ∠ΩΛ τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ∠Ε δεδομένης, ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὁ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗϠ ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ, τουτέστιν τῇ ΑΒ, τῆς ∠Ϡ, κἂν τὸ Θ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ Ϡ. οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἀκούων παῤ ἡμῶν δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ πίπτει.”

εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἀπλῶς τὸ τῆς τοιαύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ Ϡ βούλεται, τὸ ζητούμενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δʼ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ Ϡ σημεῖον (ἐπεὶ μηδὲ κατὰ τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν), εἰ καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ, αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ ἔλαβεν. ὡς βούλεται 1. δεῖξαν B3 (voluit δεῖξαι 2. τῶν Ϛ Αʼ A 3. τῶν ΜϚ ABsS, distinx. Hu 4. πίπτει — 5. λόγου del. Hu 6. δεδόσθαι Hu pro δίδοσθαι τὸ Ϛ βγ B3 V2, τὸ Ϛ Ρ΄ ι΄ A, τὸ Ϛ βι B1S 6. 7. κὰν τὸ Β A, κἂν τὸ β BS 7. η (sic) τῶν Ϛᾳ A (BS) 8. δὲ add. Hu 9. ∠E Hu pro ΛΕ 10. τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ om. S, unde λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ηε πρὸς ζῃ καὶ τῆς ζη πρὸς τὴν ηθ coni. V2 11. καὶ ante οὐδαμῶς] ἀλλʼ coni. Hu 11. 12. πρὸς τὴν ΗϠ Hu pro ὁ πρὸς τὴν ΗΕ 12. 13. τῆς ΚΡ — τῆς ΑΒ τῆι ∠Ϡ ABS, corr. Hu 13. τῆς ΛϠ] pro Ϡ nota numerali A et hic et infra formam Ϡ habet, quae in codicibus recentioribus aut in ipsum τ ait in formam simillimam abiit (etiam Co τ legit, Waitzius autem recte Ϡ descripsit) τῶν ΖϠ. AB, τῶν ζ τ Ss 15. δεῖξον A1 ex δεῖξων, ut videtur, δεῖξαν B τῶν ϠΗ AB, τῶν τη S 15. 16. τῶν ϠΖ Α, distinx. BS 16. εἰ δὲ S, ηδε (sine spir, et acc.) A, ἥδε B 18. καὶ ante νῦν add. B δέ, κείσθω χωρὶς τοῦ εἶναι κατὰ τὸ Ϡ καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΘΓ, καὶ παραλλήλους ἀγαγών τῇ μὲν ΓΘ τὰς ΖΚ ΕΛ, διὰ δὲ τῶν Κ Λ παραλλήλου; τῇ ΑΓ τὰς ΚΜ ΛΝ δῆλον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα. παραλλήλου γὰρ μὴ γενομένης τῇ ΕΗ τῆς ΘΓ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνία ἀμβλεῖα μέν ἐστι τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Η Ϡ πίπτοντος, ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ ὄντος· ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ϡ γωνία ὀρθή ἐστι, καθʼ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα, ἐάν τις συγχωρήσῃ, καθὰ πολλάκις εἴπομεν, ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ∠H, καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Ϡ, λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε Ζ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως τὴν ΗΕ πρὸς ΗΖ, καὶ τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΗϠ.

13 μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπʼ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεθῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι, χρωμένοις τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦτον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν.

14 β΄. Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ τὰ B Γ ∠ Ε Ζ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ BΓ πρὸςτ τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ∠Β. οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Γ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ 8Η πρὸς τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ.

Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὁ μονάδι ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μόριον ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

17 ε΄. Η Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς ∠· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν ∠

Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς ∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς Ε. ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρύς ∠· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς ∠.

18 Ϛ΄ Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ· ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἐχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ. ἐπεὶ οὖν Α πρὸς ∠ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχι. ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ, ὅπερ ~ .

19 ζ΄. Α μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα, παρεὶς 5. ἡ ΓΑ ἄρα AS, ἡ γ * ἄρα B, corr. etiam Sca 6. ἡ aute H om. AB3S (plura om. B1), add. Sca 10. ἴση ἡ α B3 (α in rasura) Sca, ἡ ∠ AS 11. ὅπερ nulla sequente nota compendii A, ὅπερ: ~ B, ὅπερ ἔδει ~ S 12. Ε A1 in marg (S), om. B 17. ἄρα add Hu, item vs. 19 21. Ϛ A1 in marg. om. BS 28. ἐπεὶ οὐν — 29. ἡ Γ δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπʼ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ᾿ ἡμῶν ἐπενεχθέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετριᾳ προβλημάτων, ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν.

20 Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα· καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέκληται· πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς. τρίτον δʼ ἔτι καταλείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρἂ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα.

21 τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημέτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες, ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν ὡς δεῖ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δʼ ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ 1. τὰ] τά τε coni, Hu 18. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευὴν Co, corr. Hu 19, βεβιασμένην AS, sed litterae βεβι vix perspicuae in A, μεταπλασμένην B, κατασκευασμένην cod. Paris, 2369, transmutabilom Co 20. τυγχά ////////////// καὶ Α τυγ. .......... καὶ B1, τυγχάνουσιν αἱ ...... καὶ B3, τυγχάνουσι ....... καὶ S, ἕλικες add. Co κοχλοεισυμφώνως καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς ἢ καταπαλτικοῖς. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρόβλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται συμφόνως Ἀπολλωνίῳ τῷ Περγαίῳ ὃς καὶ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ πεποίηται διὰ τῶν τοῦ κώνου τομῶν, καὶ ἄλλοι διὰ τῶν Ἀρισταίου τόπων στερεῶν, οὐδεὶς δὲ διὰ τῶν ἰδίως ἐπιπέδων καλουμένων, Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοειδοῦς γραμμῆς, διʼ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν.

22 ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευάς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην. στερεοῦ γάρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ δοθέντι, κατασκευάζεται πρὸς τὸν δοθέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές ἀνάλογον ληφθῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικοῖς.

23 Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ ὀρθὰς ἔχοντα τάς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπεπηρὸς μενέτω, τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα διʼ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ 4. — 7. καλουμένων interpolatori tribuit Hu 7. λέλυκε Hu pro καὶ λόγων κοχλοειδοῦς A1 ante rasuram, κογχλοειδοῦς B1, κογχοειδοῦς A2B3S 8. γραμμῆς B et S correctus [incertum an a Scaligero), γραμμικῆς AS1} 10. τὴν ante Ἐρατ. om. AΒ, add. S 11. τὴν περὶ τὸν νικομήδη S 14. στερεοῦ — 17. καταπαλτικοῖς] nec falsum est hoc theorema nec suspecta Heronis, qui citatur, auctoritas, tamen haec interpretamenti loco ab aliena man addita esse apparet 14. στερεοῦ παντὸς interpolator ex ἕτερον suspensa esse voluit (στερεοῦ γὰρ δοθέντος coniecerat Hu, στερεοῦ γὰρ παντὸς δεδομένου Co) 15. τῶν del. Hu 18. τὸ AB Γ∠ A, coniunx. BS 19. ἴσα A2 ex ῖ*α μζκ νηλ B3V2, ΜΖ ΚΜΗΛ Α, μζκ μηδ S. μζκ μηλ B1 20. τὰ πρὸς AB1, corr. B3S 21. ἐπὶ om. AB1S, add. B4V2 V2 Co 23. σωλῆνα Sca, σωληνίσκον Hu, octo fere litterae eyanidae in A, laune in BS διὰ τοῦ Γ∠ κανόνος καὶ αὐτοῦ διʼ ὅλου τοῦ μήκους σεσωληνισμένου, παραπλησίως δὲ καὶ τὸ ΝΗΛ τρίγωνον ἐχέτω τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων κατὰ τοὺς προειρημένους ὀχετούς. τούτων δὴ οὕτως ὑποκειμένων, ὅτε βούλοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι, διπλασίαν ἀπολαμβάνων τὴν ΑΓ τῆς ΛΞ καὶ διιστὰς τὰ ΜΖΚ ΝΗΛ τρίγωνα; μέχρις ἂν κατʼ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α Ξ σημεῖα ταῖς τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς Π Ο, ἐπιζεύξει τὴν ΑΠΟΞ συμπίπτουσαν τῇ Γ∠ κατὰ τὸ Ρ (τοῦτο γάρ κατʼ ἀνάγκην ὀφείλει ἐπακολουθεῖν), καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ συμβαίνει.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ, καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ, καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ, καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ, καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ, καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ τῶν ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου. εἰ δʼ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ καὶ τὰ λοιπά ὁμοίως κατασκευάζειν. καὶ ἐκ τούτου φανεφὸν ὅτε ἀδύνατόν ἐστι τὸ προκείμενον διὰ τῶν ἐπιπέδων λύεσθαι.

24 η΄. Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Γ∠ ∠Α δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε.

25 θ΄. Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἐστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. ἐκθησόμεθα δέ” φησιν “τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.”

26 Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

27 ι΄. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθʼ ἡμάς, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα.

28 ια΄. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβών τὸ ∠, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγών τῇ ΕΓ τὴν ∠Β, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὸν ἀπὸ τοῦ ∠ τὴν ∠Ζ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἀπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ∠Β μέσην γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν.

29 Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων καὶ μετὰ ταῦτα περὶ τῶν ἐν ἡμικυκλίῳ, εἶτα περὶ τῶν ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τούς παλαιούς, καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτων, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν, ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα.

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.

30 ιβ΄ Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μέν ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική.

Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ πρὸς τὸν θ΄ καὶ τὸν γ΄ ἀριθμόν), ἢ ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. πρῶτα δὲ ἀκούειν δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ἦ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβ΄ καὶ τὸν γ΄), καὶ ἄλλως: ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν.

32 ιγ΄. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν.

33 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν.

Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διά τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ. τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γάρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων.

34 ιδ΄. Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠ΑΕ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Α∠ τῇ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ Β∠ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐτι τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ∠Α πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ Α∠), καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσογώνια 1. ἡ βγ B3 Sca Co, ἡ Βγώνια AB1S 2. κατὰ τὰ αὐτὼ del. Hu 4— 9. haec alienum a Pappo stilum produnt 4. initio notam ιγ΄ add. S 6. ἴσηι A, corr. BS τῇ om. AB1S, add. B4 Sca πρὸς διχοτομίᾳ B4 7. ἢ ante διπλ.] ἦι A1, ἢι A2 12. ἡ γδ B3 14. αὐτῆς A, corr. BS 15. κατὰ τὸ δ καὶ τῆ βδ B3 16. ἡ αδ B3 20. Ι∠ A1 in marg.. om. BS 22. εγζ B3 pro ΓΖ (idem tacite corr. Co) 23. λέγω ante ὅτι add. B4 27. 28. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ A2 in marg. BS, om. A1 εἶναι τὰ τρίγωνα ΑΓΕ ΓΖΗ· ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΑΓ. ὑπεροχὴ τῶν ΑΒ ΒΓ, ἡ δὲ ΓΗ ὑπεροχὴ τῶν ΓΒ ΒΗ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν. τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα χρήσιμόν ἐστιν εἰς τὴν ἁρμονικὴν μεσότητα· πρώτη γάρ ἐστιν ἡ ΑΒ, δευτέρα ἡ ΒΓ, τρίτη ἡ ΒΗ.

35 Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν Β∠, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

36 ιε΄. Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ∠ΕΖ καὶ ἴσας θέντες τὰς ∠Ε ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ ∠Γ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκβαλόντες ἐπι τὸ Η. ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν BΓ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητουμένῃ τὴν ΘΒ. συμπεσοῦνται γὰρ αἱ Γ∠ ΒΖ ὡς ἐπὶ τὸ Η ἠγμέναι· δεῖ γὰρ ὑποτίθεσθαι τὴν ΒΕ μείζονα τῆς ΕΓ.

37 ιϚ΄. Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΒ, μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ∠Β, καὶ ἡ ∠Α δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ ζητουμένη εὐθεῖα.

39 Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην.

40 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἔν ἴσῃ ὑπεροχῇ· καὶ ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν. γεγενήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς Η· καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν Γ Η, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησόμεθα, ὥστʼ εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ, καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἔσονται οὖν πέντε τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσότητας δυνάμεναι καὶ ἀσύμμετροι εἶναι πρὸς ἀλλήλας.

41 Ἅμα καὶ διʼ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λύγους καὶ ἐπιμορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ ἐν διπλασίῳ λόγῳ δοθείσης ὑποδείγματος 1. αἱ ΖΓ A, distinx. BS 3. αἱ add. Hu ΑΒΖ A, α β ζ BS, corr. Co 5. τῶν ΑΒΓ A, τῶν α β γ BS, corr. Co 6. τῶν ΑΒ ΖΓ ABS, distinx. Co 8. τῶν ΖΓΗ A, distinx. BS 9. 10. τῶν ΓΗ ὧν μείζων ΗΓ A, distinx. BS 10. ποιησώμεθα Hu pro πορισώμεθα ὥστ᾿ A, ὥστε B, ὡς S 11. τὴν τῶν γ η B3, τὴν ΓΗ AS, τὴν γ η B1 12. ante τῶν ΗΘ add. Θ οὕτως ὁ (ὁ del. A2, ἡ add. S) τὴν ΓΗ ὑπεροχὴν πρὸς τὴν AS, θ οὕτω τὴν add. B1, dcl. B4 (erratum igitur partim correxit B1, partim B4) 12. τῶν ΗΘ A, distinx. BS ἄρα Hu pro μὲν τῶν ΓΗΘ A, distinx. BS 17. δυνάμεναι — ἀλλήλας] vera haec sunt; nec tamen ab ipso Pappo scripta, sed ab interprete addita esse videntur 18. Ἅμα καὶ etc.] haec usque ad cap. 42 extremum Pappi collectioni ab alio scriptore interserta esse videntur Ἅμα] Ἔστω δὲ coni. Hu πέντε S, Ε AB 20. γοῦν Hu, nimirum Co, οὖν ABS 22. ἐν — δοθείσης del. Hu auctore Co (alia est ratio loci qui sequitur p. 80, 12) ἕνεκεν ἔσονται τὸ προκείμενον ποιοῦντες ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι ὅ τε ιβ΄ καὶ ὁ θ΄ καὶ ὁ Ϛ΄ καὶ ὁ δ΄ καὶ ὁ γ΄, ἐπὶ δὲ τῆς τριπλασίονος ἀναλογίας ἀριθμοὶ ἐλάχιστοι γίνονται ὅ τε ιη΄ καὶ ὁ ιβ΄ καὶ ὁ Ϛ΄ καὶ ὁ γ΄ καὶ ὁ β΄. καὶ δῆλον ὡς δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγων τοὺς ἐλαχίστους ἀριθμοὺς ἀνευρίσκειν τῶν τριῶν μεσοτήτων.

42 κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον, τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς γ΄ β΄ α΄, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δ΄ β΄ α΄, καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τάξομεν ἀντὶ μὲν τῶν β΄ τὰ δ΄, ἀντὶ δὲ τοῦ α΄ τὰ β΄ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τῷ β΄. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν μέσον. καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος, ὡς γ΄ πρὸς β΄. ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου μενούσης. πάντα ἄρα τρίς καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δ΄ ὁ ιβ΄, ἀντὶ δέ τοῦ γ΄ ὁ θ΄ ἀριθμός, καὶ ἀντὶ τοῦ β΄ ὁ Ϛ΄. καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δ΄ καὶ ἡ Θ δηλονότι μονάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβ΄ θ΄ Ϛ΄ δ΄ γ΄.

43 ιζ΄. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ τοὺς παλαιούς, ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν 2. ιβ S, δώδεκα AB καὶ ὁ ἐννέα καὶ ὁ ἓξ B (sed deinde cum AS καὶ ὁ δ καὶ ὁ γ) 3. τριπλασίονος A2 ex τριπλασί** (erasis litteris ου. ut videtur) 4. καὶ ὁ ΙΒ AB3, om. B1, καὶ ὁ ιδ S καὶ ἡ ς καὶ ἡ Γ καὶ ἡ Β A, καὶ οἱ ἓξ καὶ οἱ γ καὶ οἱ δύο B1, corr. B3S (nisi quod B3 intacta reliquit ἓξ et δύο) 7. προγεγραμμένων B, προ////// μένων A (sed vestigia litterarum γ.γρ... etiam nunc agenoscuntur), προλελεγμένων S 8. ἀριθμητικῆς μεσότητος BS, ἀρ//////////|μεσό//τος A ὄντων Hu, ////ν A, ....ν B, ...ων S 9. α (aute ἐπὶ) B3S, Δ A, om. B1 ἐπὶ δὲ B1 et τῆς B4, tot fere litterae evanuerunt in A, unde lacuna in S δ β α B4 Co pro Ϛ Γ Β 10. καὶ τῶν — 12. λοπούς] nonnulla desiderari videntur Commandino; ante καὶ τῶν add. ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς Ϛ΄ γ΄ β΄ Hu 13. λόγον ἐχούσης Hu pro οὔσης 44. μὲν τῶν Hu αὐτὰς συστήσασθαι ἐν ἐλαχίσταις Ϛ΄ εὐθείαις τὸν ἀριθμόν, δῆλον ἐντεῦθεν.

Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν Β∠ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου, καὶ τὴν ∠Ζ κάθετον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠ΚΘ· λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΗ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΒΗ. τρίγωνον τῷ ΕΖ∠ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΒΘΚ τρίγωνον τῷ ΖΚ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ᾑ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΗΒ πρὸς Ζ∠. ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ∠Ζ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ∠Ζ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ, καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν, ἡ δὲ ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν· ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν· ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι. μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν Α∠ EΓ Γ∠ τὴν ἀριθμητικήν, αἱ δὲ Α∠ Β∠ ∠Γ τὴν γεωμετρικήν· αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ.

45 Ὅταν μὲν γὰρ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν.

Ὅταν δʼ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, ἡ μεσότης καλεῖται πέμπτη καὶ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ (τινὲς γὰρ αὐτὴν οὕτως ὀνομάζουσιν).

Ὅταν δὲ ὡς ὁ δεύτερος ὅρος ᾖ πρὸς τὸν πρῶτον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, καλεῖται ἡ μεσότης ἕκτη, λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ διά τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουθίαν· ὡς εἶναι κατʼ αὐτοὺς μεσότητας ἕξ.

46 Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων, ὡς εἴπομεν, ἄλλαι τέσσαρες τὸν ἀριθμὸν εὑρέθησαν πῆ μὲν συμφερόμεναι, κέχρηνται δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρόντες νεώτεροι· καλοῦσι γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτοῦ ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν πρώτην, τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν δευτέραν, τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν 4. ΙΗ A1 in marg. (S), om. B 5. ταῖς ἐξαυταῖς A, ταῖς ἓξ αὐταῖς BS, corr. Hu 5. 6. ἄλλας — προσευρῆσθαι τέσσαρας AB, corr, Hu nam προσευρῆσθαι συμβαίνει τέσσαρας alienum videtur a Pappi usu) 9—11. lacunam statuit et verba ἀπὸ — πρώτων interpolatori tribuit Hu (conf. p. 87 adnot. 1) 14, τὴν om. S 17. πέμπτη Hu auctore Co pro πέμπτον 21. αὐτὴ S, αυτῆι (sine spir.) A, αὐτῇ B1, αὔτη voluit αὕτη) B3 24. τέσσαρες BS, ∠ A 25. πῆ S, πῆι A, τρίτην, νοουμένου καὶ λεγομένου δηλονότι, καθὰ καὶ ἐν ἀρχῇ διεστειλάμεθα, τοῦ μὲν μεγίστου ὅρου πρώτου, τοῦ δὲ μέσου δευτέρου, τοῦ δὲ ἐλαχίστου τρίτου.

Καὶ ὅταν ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἑβδόμην ἐκάλεσαν.

Μένοντος δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν, ὅταν γίνηται οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, τὴν μεσότητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν.

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἐνάτην,

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνόμασαν.

47 Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποκειμένων τὰς γενέσεις τῶν δέκα μεσοτήτων ἐκθησόμεθα καὶ διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας, ὡς εἴπομεν. ἀναλογία δὲ συνέστηκεν ἐκ λόγων. λόγου δὲ παντὸς ἰσότης ἀρχή.

Ἡ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώτην λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει μεσότητας, ἐνδεικνυμένη, καθά φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι καὶ τῆς εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως· λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι 3. τοῦ ante τρίτου repetit A, corr. BS 5. ἕβδομον AB1S, corr. B4 7. 8. ὅταν γίνηται οὕτως Hu, in A octo fere litterae, chartae fragmento superducto, legi non possunt, quam lacunam sequuntur κατ᾿ αὐτοὺς ὁ πρῶτος etc., unde lacuna et tum eadem scriptura repetita est in BS 8. ὅρος add. Hu 8. 9. τὴν μεσότητα ὀγδόην] τὴν μ, tum undecim fere litterae eo quo statim diximus modo deletae in A, τὴν αὐτὴν μεσότητα ὀγδόην B, τὴν μεσότητα ὄγδοον S 11. ενατον (sine spir. et acc.] A, corr. B (in quo ab alia manu ἔννατον scriptum erat. sed id rursus deletum), ἔννατο S 47. ἀναλογία — 18 ἀρχή, manifestum interpretamentum, quod ex Procli commentario in Platonis Timaeum p. 342 ed. Schneider. repetitum esse videtur, del. Hu 20. αυτη τε αυτὴν A, corr, B (αὕτη τε αὐεὴν S) συνίσταται coni. Hu (constituit Co) 23. λέγει γὰρ — p, 88, 2 φύσις priorum verborum paraphrasim conlinent fortasse ab interpolatore scriptam τῶν μαθημάτων ἁπάντων, αἰτία δὲ γενέσεως καὶ δεσμὸς πᾶσι τοῖς γενομένοις ἡ τῆς ἀναλογίας θεία φύσις. δειχθήσεται δὲ ἡ σύστασις τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας προθεωρηθέντος τοῦδε.

48 Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ Α Β Γ καὶ συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Γ μετὰ β΄ τῶν Β ἴσος ἐκκείσθω ὁ ∠, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἰσιν.

Ἐπεὶ γάρ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Γ· καὶ πάντες ἄρα οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὁ ∠, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ἴσος ὁ Ε, καὶ τῷ Γ ὁ Ζ· καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ συναμφοτέρου τοῦ Α Β πρὸς τὸν Β λόγῳ.

49 Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ οἱ ∠ Ε Ζ ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντʼ ἂν ἀναλογίᾳ· συναμφότερος γὰρ ὁ Α Γ μετὰ δύο τῶν Β διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ τοῦ Γ διπλάσιος· τῶν δὲ Α Β Γ ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων, μεγίστου μὲν ὄντος ἐν αὐτοῖς τοῦ Α οἱ ∠ Ε Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ, ἐλαχίστου 1. μαθημάτων] immo γεννημάτων Hu 4. πρὸσ|θεωρήθεντος A1 ex πρὸσ|θεωρήματος, πρὸς θεωρηθέντος B1, corr. B3S 5. συναμφοτέρων AB1, corr. B3S 6. τῶι ΑΓ AS, distinx. B 7. δὲ τῷ β γ, B, δὲ τῶι Β AS 9. ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, omissis reliquis, AB1S, corr. B4 Co 10. ὡ συναμφότερος A, corr. BS 11. ὁ βγ B3 in rasura S, τὸ ΒΓ A 12. 13. εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ forsitan interpolator addiderit; conf. tamen infra cap. 53 13. ὁ ante συναμφότερος additum in ABS, del. Hu ὁ ΑΒ — τοῦ ΒΓ ABS, distinx. Hu (item posthac) 14. τὸν βγ (ante οὕτως) BS, τεῦ ΒΓ A 15. τῶι ΑΒ ABS (sed statim posthac recte A τοῦ Β Γ), 16. δὲ τῷι ΒΓ AS, distinx. B 18. ἐν τῷ — λόγῳ del. Hu τοῦ ΑΒ AB, distinx. B λόγῳ om. S 19. Διόπερ ἴσον etc.] De hoc cap. 49 idem iudicandum esse videtur quod supra δὲ ἐν τῇ ἡμιολίᾳ· καὶ γὰρ συναμφότερος ὁ Α Β τοῦ Β τριπλάσιος μέν ἐστιν, εἰ διπλάσιος εἴη ὁ Α τοῦ Β, ἡμιόλιος δέ, εἰ ὁ Α τοῦ Β ἥμισυς εἴη. καὶ οὕτως ἀπὸ τῶν ἑξῆς λόγων οἱ ἀκόλουθοι πολλαπλάσιοί τε καὶ ἐπιμόριοι εὑρίσκονται. καὶ πάλιν, εἰ μονάδες εἶεν οἱ Α Β Γ, ἡ κατὰ τοὺς ∠ Ε Ζ γεωμετρικὴ μεσότης ἐν ἐλαχίστοις λέγοιτʼ ἂν ἀριθμοῖς τοῖς δ΄ β΄ α΄.

50 ιθ΄. Η ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται καὶ τῆς ἰσότητος ἐν τῇ τάξει τῆς ἀναλογίας διαφόρως κἀνταῦθα κἀν τοῖς ἑξῆς παραλαμβανομένης. ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἐνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ, ἔσονται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ 1. συναμφότερος BS, συναμ| A reliquis obductis ὁ ΑΒ AS, ὁ β γ B 2. Α τοῦ Β Co pro ὁ τοῦ Α 3. δὲ η ΘΑ τοῦ Β A (et B1, ut videtur), δὲ ὁ τοῦ Β B4, δὲ θα τοῦ β S, corr. Hu auctore Co καὶ ὁμοίως ἀπὸ coni Hu 5. εἶεν οἱ B4S, εἶναι A ∠ (ante Β Γ, ἡ κατὰ) A, corr. BS 7. τοῖς δ β α B3 in rasura, τοῖς ∠Ν ΑΓ AS 8. ΙΘ A1 in marg. (S), om. B διʼ S 9. οὕτω hoc loco etiam A, sicut BS fere constanter ante consonas 9. καὶ τῆς — 44. παραλαμβανομένης interpolatori tribuit Co 10. κἀν Hu pro καὶ 11. παρα λαμβανομένης AB3, παραλαμβανομένοις B1S 12. οἱ ΑΒΓ A, distinx. BS 13. τρισὶ τοῖς δύο AB1 cod. Co, corr. B3S Co Γ (aute ἴσος) A2 in rasura quattuor litterarum 14. δυσὶ δὲ τοῖς B 17. οἱ ΑΒ Γ A, distinx. BS 20. δύο οἱ α B Co, δύο ὁ ΙΑ A (δύο ὁ εα cod. Co, δύο οἱ εα S) 23. μετὰ τοῦ — p. 92, 1 οἱ Α om. AB1S, add. B4 in marg. (eadem in suo codice legisse videtur Co) Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή, εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. ὅταν δὲ ᾖ ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ἡ μεσότης ἐστίν ἁρμονική. καὶ δῆλον ὅτι λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς, μονάδων ὑποτεθεισῶν ὁμοίως τῶν Α Β Γ, τοῖς Ϛ΄ γ΄ β΄.

51 κ΄. Ἡ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ὅρων ἀνάλογον ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, δύο δὲ τοῖς Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα.

Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπιρέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν ∠, οὕτως ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὕπερ ἐστὶ κατὰ τὴν μεσότητα τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν. δῆλον δʼ ὅτι καί, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ, εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἡ μεσότης τοῖς Ϛ΄ ε΄ β΄. ἡ αὐτὴ καταγραφή.

52 Ἡ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α Β Γ, καὶ ἑνὶ μὲν 2. τῶν ∠Ε A, distinx. BS 3. ὑπεροχῆε ἐστιν AB1S, corr. B3 4. τοῦ ΒΓ AS, distinx. B τῶν ΕΖ A, ditinx. BS, item paulo post vs. 6 7. λέγοιτα μὲν ἐλαχίστοις A, corr. BS 9. Κ A1 in marg. (S), om. B 40. οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) ὅρων Hu auctore Co pro τῶν 11. δύο μὲν B1S, λυομεν (sine acc.) A, δυσὶ μὲν B3 11. 12. τῶι Γ ὁ Ε ἴσος A, sed Ε del. prima m. 15—17. ὡς ὁ ///////////| οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α /////////// τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς, B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν πέμπτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β. καὶ ἔστι συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν E, οὕτως ἡ τῶν ∠ E ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς ε΄ δ΄ β΄, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ. ἡ αὐτὴ δὲ καταγραφή.

53 Ἡ ἕκτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθω ἡ αὐτὴ τῶν Α Β Γ ὅρων ἀναλογία, καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ὁ δὲ Ζ ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες οἱ ἡγού- 2. καὶ δυσὶ (δύο Hu) τοῖς — τῷ β add. B4 (Co) 3. πέμπτην S, Ε AB 5. ὁ α B2S, ἡ Α B1S 6. ὁ Β (ante μετὰ τοῦ Γ) A1 ex ὁ Α 7—9. ὁ ΑΒ — τοῦ ΒΓ — τὸν ΒΓ etc. AS, distinx. B 7. 8. συναμφοτέρου τοῦ Hu, τοῦ συναμφοτέρου AB1S, τοῦ συναμφοτέρου τοῦ B3 10. πρὸς τὸν β add. B4 12. τῶν Ε Ζ Co, τῶν ∠Ε A, τῶν δ ε BS 12. ὁ δὲ Β — 14 τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή om. B1 (add. B3) 12. ᾗ B3, ὡς AS 13. τρεῖς Β AS, δύο οἱ β B3 14. τῶν ∠Ε (post τπθτέστομ ἡ) A, distinx. S, τῶν ε ζ B3 cod. Co 15. ὡς ἄρα — ὑπεροχὴ add. Co, ὡς ἄρα ὁ ε πρὰς τὸν ζ. οὕτως ἡ τῶν δ ε ὑπεροχὴ add. B3 cod. Co 16. τῶν ΕΖ et 17. τοῖς Ε∠Β A, distinx. BS 18. ἡ αὐτὴ Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν A B, οὕτως δύο οἱ B μετὰ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ πρὸς ἕνα τὸν Α καὶ δύο τοὺς Β καὶ ἕνα τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ε οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, συναμφότερος δὲ ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή, καὶ ὡς ἄρα ὁ ∠ πρὸς τὸν Ε, ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠ Ε ὑπεροχήν, ὅπερ τὴν ὀγδόην συνίστησι μεσότητα. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς Ϛ΄ δ΄ γ΄, μονάδων νοουμένων τῶν Α Β Γ.

55 κβ΄. Ἡ ἐνάτη μεσότης δι᾿ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἐνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα.

56 κγ΄. Ἡ δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν Α Β Γ τοῖς μὲν Α Β Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, τοῖς δὲ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, καὶ ἔστιν συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Α Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β, ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ζ ὑπεροχή, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὃ τῇ δεκάτη συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ γ΄ β΄ α΄, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ.

57 Ἔκκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἑξῆς, καθʼ οὓς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην, καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περιέχοντες αὐτάς. οἷον ἐπὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινθίου ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὁ α΄ γ΄ β΄ σημαίνει τοῦθʼ ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς καὶ ὁ τρίτος δὶς συντεθέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον ὁ δὲ δεύτερος τοῦ πλινθίου στίχος ὁ α΄ β΄ α΄ σημαίνει ὅτι ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος δὶς καὶ ὁ τρίτος ἅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσι τῆς μεσότητος. ὁ δὲ τρίτος τοῦ πλινθίου στίχος ἐπὶ μὲν 3. ενάτης (sine spir.) A, ἐνάτης B, ἐννάτης S 5. ἡ αὐτὴ καταγραφή del. Hu 6. κγ΄ add. S οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) 8. τοῖς δὲ ΒΓ A, distinx. BS (paulo ante τῶν Α Β Γ et μὲν Α Β Γ recte etiam A) 9. οἱ ∠ΕΖ A, distinx. BS 10. ὁ ΒΓ AS, distinx. B, ac similiter posthac 13. οἱ ΑΒΓ — τῶν ∠Ζ A, distinx. BS, ac similiter posthac 24. μεσότητας A(S), corr. B 22. σἷον Hu, ut Co pro ὁ τὸν 23. ὁ α γ β B3, ὁ ΑΒΓ AB1S 24. τρὶς S. τρεῖς AB τῶν ἄλλων μεσοτήτων ἁπλῶς, ὡς γέγραπται, συντίθεται, ἰδίως δʼ ἐπὶ ταύτης ὁ α΄ α΄ α΄, καθὸ προείρηται, σημαίνει γίνεσθαι τὸν τρίτον τῆς μεσότητος ὅρον ἐκ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ Μεσότητες) Α Β Γ Οἱ περιέχοντες τὰς μεσότητας τρεῖς ἑλάχιστοι ἀριθμοί ἀριθμητική β΄ γ΄ α΄ ) α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ β΄ γεωμετρική  ά  β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ δ΄ β΄ α΄ ἁρμονική β΄ γ΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ γ΄ β΄ ὑπεναντία β΄ γ΄ α΄ β΄ β΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ ε΄ β΄ ε΄ α΄ γ΄ α΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ ε΄ δ΄ β΄ Ϛ΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ Ϛ΄ δ΄ α΄ ζ΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ η΄ β΄ γ΄ α΄ α΄ β΄ α΄ β΄ α΄ Ϛ΄ δ΄)  γ΄ θ΄ ά β΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ δ΄ γ΄ β΄ ι΄ ) α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ α΄ γ΄ β΄ α΄ 1. συντίθεται Hu pro συντιθέμενος 2. ὁ Α Α Α AB, ὁ ααα S *) ad hanc tabulam varietas scripturae tantummodo ex S enotata est; sed cum Commandinus in sua descriptione eosdem errores ac S exhibeat, ceteros codices fere consentire efficitur **) sequitur in S ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος ἅπαξ συντεθέντες ὑπερέχουσιν ἅπαξ ληφθέντος τοῦ τρίτου. οἱ δʼ ἐκ τῆς τρίτης τοῦ πλινθίου ἀριθμοὶ οἱ Ϛ΄ δ΄ α΄ τὴν μεσότητα περιέχουσιν αὐτήν. ὡς γὰρ ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, τουτέστιν ὡς αἱ τέσσαρες μονάδες πρὸς τὰς ἕξ, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν δεύτερον, τουτέστιν ἡ τῶν ἓξ μονάδων παρὰ τὰς τέσσαρας ὑπεροχή, αἵπερ εἰσὶ μονάδες δύο, πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ δευτέρου ὁρου παρὰ τὸν τρίτον, τουτέστι τῶν τεσσάρων μονάδων παρὰ τὴν μίαν, αἵπερ εἰσὶ μονάδες τρεῖς. ἑκάτερος γὰρ λόγος (ἑκατέρου) ὑφημιόλιος αἳ τε γὰρ τέσσαρες μονάδες τῶν ἓξ καὶ δύο τῶν τριῶν τὸν αὐτὸν ὑφημιόλιον περιέχουσι λόγον. τὰ δʼ ὅμοια καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πλινθίων νοείσθω.

58 κδ΄. Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν γωνίαν, καὶ διήχθω τις ἡ Α∠, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ε, καὶ δίχα τμηθείσης τῆς ΕΑ κατὰ τὸ Ζ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΖΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς ∠ΖΓ δύο πλευρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων τῶν ΒΑΓ πλευρῶν.

59 Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως. ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ τριγώνου, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ δύο εὐθείας ἀγαγεῖν, μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν ΒΓ, τὴν δὲ λοιπὴν ἐπὶ τὸ Γ ἐρχομένην, ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐκτός, 2. καὶ ante ληφθέντος add. S 3. ἐκ τῆς τρίτης (scil. μερίδος) Hu, εκτης (sic) A(B1), ἐκτὸς B3, ἐκ S οἱ Η ∠ Α AB1S, corr. B3 4. ὡς γὰρ — 42. λόγον interpolatori tribuit Hu 5. τέσσαρες S, ∠ AB 7. ἓξ BS, Ϛ A ὑπεροχὴν A, ν erasum in B, et abest a S 10. post ἑκάτερος add. τὴν μίαν A1, expunx, A2 ἑκατέρου alius quidam interpolatis iam verbis imperite inseruit 14, κδ΄ add. S 15. 16 τὴν Β γ//////// δι|ήχθω τίς A 17. δίχα τμηθείσης B4 Sca, διχὰ τμ/////// A, tot fere litterarum lacuna in B1S 18. δεῖξαι συνπμ- ἵνα δηλονότι ὁ προταθεὶς διάξας τυχοῦσαν τὴν Α∠ καὶ θεὶς τῇ ΑΒ ἴσην τὴν ∠Ε καὶ τεμὼν δίχα τὴν ΕΑ κατὰ τὸ Ζ ἀποδείξῃ τὸ Ζ σημεῖον ποιοῦν τὸ πρόβλημα. ἐπιζευχθείσης γὰρ τῆς ΓΖ δύο αἱ ΓΖ∠ δύο τῶν ἐκτὸς ΓΑΒ μείζονές εἰσιν. ἀλλʼ ὅτι τοῦτο μέν, ὅπως ἄν τις ἐθέλοι προτείνειν, ἀπειραχῶς δείκνυται δῆλον, οὐκ ἄκαιρον δὲ καθολικώτερον περὶ τῶν τοιούτων προβλημάτων διαλαβεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων παραδόξων Ἐρυκίνου προτείνοντας οὕτως.

60 κε΄. Ἐν παντί τριγώνῳ, πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσοσκελοῦς τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος, δυνατόν ἐστι συσταθῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο εὐθείας ἴσας ταῖς ἐκτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις. Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ τετμήσθω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δίχα κατὰ τὸ ∠, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν ∠ Β τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Η, καὶ τῇ ΕΑ παράλληλος ἡ ΗΘ καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω. ἐπεὶ μείζονες αἱ μὲν ΕΒΖ τῆς ΕΖ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ, συναμφότερος ἔρα ἡ ΕΒΓ μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν ΕΖ ΗΓ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓ, καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ. ἔστω συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ Λ γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΛΚΟ· τέμνει δὴ ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ, ἐπεὶ ἡ ΑΕ, τουτέστιν ἡ ΘΗ, 1. ὁ προταθείς (is cui problema propositum est?) iure suspectum videatur et ab interpolatore additum, qui verbi ἀποδείξῃ subiectum cogitatione suppleri non intellegeret τυχοῦσαν τῆι Α∠ AB1S, corr. B4 2. θεὶς] ὁ εισ A, ὁ εἷς B1S, θεῖς B3 2. 3. κατὰ Ζ A, τὸ add. BS 5. ἀλλ᾿ ὅτι Hu pro ἀλλὰ 8. ἐρυκειν ουπροτείνοντας A, ἐρυκείνου προτείνοντας B1S, ἐρυκείνου προτείνοντος B3, corr. Hu 10. κε A1 in marg. (S), om. B 16. τῶν ∠Β AS, distinx. B 18. τῆν Ε Α A, coniunx. BS 49. ἐπιζευχθεῖσα* ἡ Η Γ A2 ex ἐπιζευχθεῖσα** Η Γ μὲν add. Hu 24. τῶν ΕΖΗΓ A, distinx. BS 24. κέντρον τὸ Ν AV1, corr. BSV2 26. ἑκατέραν τῶν γθ θη B4 (Co), ἑκα|τερ//////// A, ἑκατέ . . . . . . . . . η B1, ἐκατέρων τῶν . . . . S, ἑκατέραν τῶν ΑΓ ΗΘ Sca μείζων ἐστι συναμφοτέρου τῆς ΕΒΓ, τουτέστιν τῆς ΗΑ. ἐπεζεύχθω ἡ ΚΗ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΘΗΚ, ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἡ μὲν γὰρ ΗΘ τῇ ΑΕ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΗΛ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.

61 κϚ΄. Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν ΑΒ ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτων, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΕ∠, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΕΖ τέμνουσα τὴν ΒΓ ἐκτὸς τῆς περιφερείας, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Κ, καὶ τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ τῇ ΕΗ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΝ· ἔσται οὖν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΛ, ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΓ ἐλάσσων τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΓΘΚ τῆς ΓΚ, συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς ΘΚ μείζονές εἰσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΚ· λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΖΗ μείζων τῶν ΓΚΗ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΗ· συναμφότεροι ἄρα αἱ ΑΖΓ συναμφοτέρων τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονές εἰσιν. τῶν δὲ ΑΖΓ μείζονές εἰσιν αἱ ΑΒΓ· καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ ἄρα τῶν ΑΗ ΗΚ ΚΓ μείζονες. ὧν συναμφότερος ἡ ΑΒΝ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΓ μείζων τῶν ΗΚΓ συναμφοτέρων καὶ μᾶλλον τῆς ΚΓ. κείσθω οὖν τῇ ΝΓ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Κ διὰ τοῦ Μ γραφεῖσα κύκλου περιφέρεια τεμνέτω τὴν ΓΛ κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΞ· λέγω δὴ ὅτι συναμφότερος ἡ ΛΚΞ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΓ.

Ἔστι δὲ φανερόν. ἡ μὲν γὰρ ΚΛ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, ἡ δὲ ΚΞ τῇ ΚΜ, τουτέστιν τῇ ΝΓ, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.

62 κζ΄. Λέγω δʼ ὅτι, ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλʼ αἱ ἐντὸς ἐλάσσονες ἔσονται.

Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάοσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ∠Ε ΕΗ· λέγω ὅτι ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

63 κη΄ Ἐφ᾿ ὧν μέντοι τριγώνων αἱ ἐντὸς ἴσαι συνίστανται ταῖς ἐκτός, ἐπʼ ἐκείνων καὶ μείζους τῶν ἐκτὸς ἐντός τινες εἶναι δύνανται συναμφότεραι λαμβανόμεναι.

Ἔστωσαν γὰρ β ἐν τῷ ΑΒΓ τριγόνῳ αἱ ∠ΕΖ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω μία τῶν ἐντὸς ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Ε Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ∠ΚΖ μείζονες τῶν ∠ΕΖ, ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ. δῆλον δʼ ὅτι, κἂν ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Κ σημεῖον οὕτως ληφθῇ ὥστε τὰς ∠ΕΖ περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ ∠ Ζ ἐπιζευγνυμένων, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ οὕτως ἔσται τὸ αὐτό, καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκείμενον.

64 κθ΄. Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεω μετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συναμφότερον συναμφοτέρῳ, ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνισταμένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι καὶ μείζονα κατὰ μίαν. δείκνυται δʼ οὕτως.

65 λ΄. Ἂν δὲ θέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι, δεήσει τὴν μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ μείζονα ὑποθέσθαι, τὴν δὲ ΒΓ τῆς ΒΑ ἐλάσσονα.

66 λα΄. Μᾶλλον δʼ ἂν ἐπιταθείη τὸ παράδοξον, εἰ μὴ μόνον ἴσαι ἢ μείζους ἁπλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν, ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχθέντα.

Κατεσκευάσθωσαν γὰρ αἱ ΕΖΚ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσθαι διὰ τῶν πρώτων εἴρηται ἐν ἀρχῇ), καὶ τὸ μὲν Π δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν ΑΒΓ, ἠ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΓ καὶ ἡ ΖΕ δὲ παράλληλος ἔστω τῇ ΒΑ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΑΛ, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ, καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ, ὥστε τὰς διʼ αὐτοῦ ταῖς ΒΑ ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς ΜΟ Μ∠ περιλαμβάνειν τὸ Ζ. ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΕΖΚ, πρὸς συναμφότερον τὴν ΑΛ ΝΓ, τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν ΟΜ∠, δοθεὶς λόγος· ἐν ἄρα τῷ ΟΜ∠ τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἱ ΕΖΚ πρὸς τὰς ΟΜ∠ περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπιταχθέντα.

67 λβ΄. Οὐ μόνον δʼ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ τρεῖς τῶν τριῶν, καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐκτὸς μείζους εἶναι δύνανται.

Ἂν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται αἱ ∠ΕΖ 1. τὴν ΛΜΝ Co pro τὴν ΛΜ 2. 3. ἐπεὶ — διπλασία om. Co 3. τῆς ΑΠ Hu pro τῆς ΑΘ 8. φανερόν Hu pro μᾶλλον εἰ coni. Co, ἔτι AS, ἐπὶ B cod. Co 9. συγκρινόμενα ABS, συγκρινόμεναι vel συγκρίνομεν coni. Co, corr. Hu 12. λβ΄ add. BS 45. ἔτι A2 ex ἐπι 16. ὅσαι δὴ ABS ὅσων οὖν AB, coniunx. S μείζονες τῶν ΑΒΓ καὶ διαχθῇ ἡ ΠΘ τυχοῦσα ὑπὲρ τὸ Ε, μείζονες ἔσονται αἱ ∠ΕΖ τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ ἐν τῷ ΑΠΘΓ τετραπλεύρῳ. κἂν τυχοῦσα κλασθῇ ἡ ∠ΚΕ, αἱ τρεῖς ὁμοῦ αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΖ τῶν τριῶν τῶν ΑΠ ΠΘ ΘΓ μείζους ἔσονται. κἂν πάλιν κλασθῇ ἡ ΠΗΘ, μείζους ἔσονται αἱ ∠ΕΖ καὶ ἔτι αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ ἐν πενταπλεύρῳ. κἂν ἔτι κλασθῇ ἡ ΕΛΖ, μείζους ἔσονται τέτταρες αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ τῶν τεττάρων τῶν ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ. κἂν ἡ ΠΗΨΘ κλασθῇ, κἂν ἔτι πρὸς πλείω σημεῖα τῶν Η Ψ καὶ τῶν Κ Λ ἡ κλάσις γίνηται, τὸ αὐτὸ συμβήσεται. καὶ ἐπὶ τὸ ἄπειρον, ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ τὰς ἐντὸς ὁσωνδὴ τῶν ἐκτὸς εἶναι μείζους, τῷ αὐτῷ τρόπῳ κατασκευασθήσεται.

68 λγ΄. Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι.

69 λδ΄ Ῥᾴδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν.

70 λε΄. Δυνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν, οὗ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περιεχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχθέντος τοῦδε.

71 λϚ΄ Ἐκκείσθω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ὥστε τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ διπλασίαν, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Ε ποιοῦσα τὴν Α∠ διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ, καὶ 1. δοδεῖσαι ABS1, δοθείσης cod. Paris. 2368 S2, corr. Hu auctore Co 2. ΛΓ τὴν add. Hu ποιεῖ ABS, corr. Hu auctore Co 3. τὴν Κ∠ πρὸς συναμφότερον τὴν ∠Ε AS, τὴν δκ πρὸς συναμφότερον τὴν δε εγ B, corr. Co 4. γέγονεν τω A1, corr. A2 δοθείση AB, δοθείσης S 7. τὰς ∠ΕΒΓ A, distinx. BS 7. 8. τῶν Ζ∠Ε ABS, distinx. Co 8. ὁ αὐτός ἐστιν add. Hu auctore Co ἡ Ζ AB, ἡ ζη S post ἡ Ζ nullum lacunae Signum posuimus, quanquam in Latinis nonnulla supplevimus; haec enim Graecus scriptor cogitatione addenda esse putavit neque diserte expressit 9. ***θέσει ἄρα ***] de lacunis, quarum nullum est vestigium in Graecis codicibus, vide Latina 13. ΛϚ A1 in marg. (BS) 16. τῆς ∠ΕΒΓ ABS, distinx Co τῆς ∠Ε διπλασία κείσθω ἐπʼ εὐθείας ἡ ΑΖ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΗ παραλληλόγραμμον

Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ διπλασία ἐστὶν τῆς ∠Ε, ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ, ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΗΒ, διπλασία συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ Α∠. ἐπειδὴ ἡ Α∠ τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία, κατήχθω ἡ ∠Θ διπλασία τῆς ΒΓ ἴση ἄρα ἡ ∠Θ ταῖς ΗΖ ΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Α∠ τῇ ΗΒ ἴοη· αἱ Α∠Θ ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ ΒΓ, καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ΖΗΒΓ.

Δῆλον δʼ ὅτι καὶ μείζους αἱ Α∠Θ τῶν ΖΗ ΗΒ ΒΓ δύνανται εἶναι.

Καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς τοῦ Κ μᾶλλον αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ μείζους τῶν ἐκτός.

Καὶ εἰ, ὅσῳ μείζους εἰσίν, κλασθείη ἡ ΗΛ∠ τῷ αὐτῷ μείζων τῆς ΗΒ, ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ. καὶ ἐπὶ τῶν πολυπλευροτέρων ὁ αὐτὸς τρόπος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυχόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται.

72 λϚ΄. Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα. δοθέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἕτερον παραλληλόγραμμον, ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχθὲν μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος, ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

73 λη΄ Πάλιν τριγώνου δοθέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρίγωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ βάσις ἐφʼ ἑκάτερα μέρη, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ Β∠, τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ περὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ∠Η, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Β∠, ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Θ τῆς ΒΑ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΑΓ μείζων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ. ἐπεὶ δὲ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον 2. τῶν ΑΒΒΓ A, distinx. BS 4. τὸ ὑπὸ ∠ΕΘΚ ABS, corr. Co 5. τοῦ ΑΓ brevius pro τοῦ ΑΒΓ scriptor posuit et hic et pauio post 8. ἐπιζευχθεῖσαι AB cod. Co, ἐπιζευχθεῖσα Paris 2368 (επιζευχεῖσα S), διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, ἀλλὰ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὸ τὰς ἐλάσσονας ἔχον πλευρὰς τοῦ ΖΗΘ.

74 λθ΄. Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται, γένοιτο δʼ ἂν παραδοξότερον, εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρεθείη μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ὡς ἐπὶ τοῦ παραλληλογράμμου προείρηται ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία. Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ἢ καὶ μείζονας ἢ πολλαπλασίας, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΘΚ, διὰ δὲ τοῦ Ζ περιφέρεια ἡ ΖΛΜ, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΗΜ, καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΗΝ, καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ τοῦτο γὰρ προδέδεικται, καὶ τῇ ΚΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΠΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΛ. φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗΛ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφθέντος μέρους τοῦ ΑΒΓ (ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΚΜ), ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἣ πολλαπλασία ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς (μείζων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΕΖ).

76 μα΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κόκλοι οἱ ΑΚ∠ ΒΕΖΓ, ἡ δὲ διὰ τῶν B Γ ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔστω τοῦ κύκλου, καὶ προκείσθω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ B Γ διαμέτρῳ.

77 Ἔστω δέ ἡ ἐπὶ τὰ Ε Ζ μὴ διάμετρος καὶ προκείσθω διάμετρον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ.

78 μβ΄. Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ ΓΖ, καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχθωσαν αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑΕ ΓΖ ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΒΑΕ ∠ΓΖ· ὅτι καὶ αἱ ΑΒ Γ∠ παράλληλοί εἰσι, τουτἐστιν ὅτι ἐκβληθὲν τὸ διὰ τῶν Β Α Γ σημείων ἐπίπεδον ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν △ Γ Ζ ἐπιπέδῳ τὴν Γ∠. Εἰ γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ, περιέξει μετὰ τῆς ΓΖ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἴση γὰρ ὑπύκειται ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ.

79 μγ΄ Ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις κύκλοι ὦσιν ὡς ὑπογεγραμμένοι, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Ε Ζ κέντρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι, παράλληλος ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ∠Ζ.

80 μδ΄ Ἄν δὲ αἱ τά ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπολαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ὦσιν, αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ἐπὶ τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται.

Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς.

81 με΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἵσαι καὶ παράλληλοι αἱ AB Γ∠· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Γ, Β ∠ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα.

Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων· ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΕ ΓΖ παράλληλοι ἔσονται. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις: ὥστε καὶ αἱ ΑΓ ΕΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ὁμοίως καὶ αἱ ΕΖ Β∠. καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρθὴ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα (περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν, καὶ ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς) καὶ αἱ ΑΓ Β∠ ἄρα ἴσαι τε καὶ περάλληλοι καὶ ὀρθαί εἰσι πρὸς τοὺς κύκλους.

82 μϚ΄. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων 1. 2. αἵ τε Hu pro ἔσται 2. ΑΓ ABS, distinx. Co καὶ αἱ Β∠ AB1S, distinx. Β 3 ἴσαι ἀλλήλαις del. Hu 3. αἱ ΑΒΓ∠ A, distinx. BS 4. Μ∠ A 1 in marg. (BS) δὲ αἱ Hu auctore Co pro δʼ ἐπὶ 10. ΜΕ A 1 in marg. (BS) ἴσοι καὶ add. Co 12. αἱ ΑΒ Γ∠ add. idem 13. τὰ ΓΙΙ αἱ ΑΓ Β∠ ABS, ΓΙΙ αἱ del. Co 25. ἑκπτέραν ABS, corr Hu auctore Co 27. παράλληλοι καὶ add. Co 28. τοῖς κύκλοις ABS, corr. Hu (nam τοὺς κύκλους recte dici vi- αἱ ἴσαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ A △, Β Γ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις τε καὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας.

Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ∠Ζ ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ Α∠ ΒΓ, αἱ δ΄ ἄρα αἱ ΑΗ Η△ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τοῦτο γάρ φανερόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ Α△ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ∠Ζ ἐστὶν ἴση ἐκ κέντρου τῶν ἴσων κύκλων. ἔστι δὲ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ Η∠Ζ ἐναλλάξ. ἡ δέ ΑΗ βάσις τῇ Η∠· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ∠ΗΖ. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗ∠ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΜ∠, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ ἴσαι ὥστε καὶ ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ Α∠ ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις.

83 Ἄν δʼ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΑΓ Β∠, ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ Γ∠ περιέξουσιν γωνίας.

Τῇ γὰρ Γ∠ ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσθείσης τῆς ΘΗ, ἔσται ἡ ΘΗ ὀρθὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ ΑΘ, καὶ πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ἡ Γ∠· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

85 Ἔστωσαν ἐν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΓ εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς ∠ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ κειμένης ἐπιπέδῳ, καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεθʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας· ὅτι ὀρθή ἐστιν τῇ ∠Ε.

88 μθ΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι. Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας 1. 2. γὰρ ἐπὶ τῆς τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλέσιον τοῦ ἐπὸ τῆς ΑΜΓ ἐπιζευχθείσης ἔσται ABS, corr. Hu auctore Co 3. ἀπὸ ΓΜ Co pro ἀπὸ ΓΒ 5. 5. διπλά| //// // /πὸ ΛΜ Α, διπλέσιον . . . . . λμ S, corr. B 8. 9. ΒΛ τοῦ ////// ὀρθὴ ἐστιν δοθεῖσα A(B), βλ τοῦ . . . . . . . . ἐστὶ δοθεῖσα S, corr. Co 10. 11. δοθεῖ|//////////// ΛΜ A (S), δοθεῖσα . . . . . . . ἡ λμ B, corr. Co 13. τὰ ΑΒ Γ∠ Α, τὰ αβ γ δ B, etiam α β dislinx. S 19. διαμέτρου Hu auctore Co pro διάμετρος 21. ἔχειν] ex- spectamus ἕξομεν, at eadem infinitivi structura infra cap. 89 et 91 re- dit 22. τὰ ΑΒ Γ∠ A, distinx. BS 24. ἐστὶ AaS, ἐστὶν B 25. μθ΄ add. BS τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιήσει δὴ τομὰς κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα τοῦ κύβου ἴσα τε καὶ παράλληλά ἐστιν. καὶ ἔσται ἐπεζευγμένη ἡ ΓΕ διάμετρος τῆς σφαίρσς. ἐπεζεύχθω καὶ ἡ ΕΗ. ἐπεὶ διπλάσιον τὸ ἀπὸ ΕΗ τοῦ ἀπὸ ΕΘ τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΓ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΕ γωνία, ἔσται τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῦ ἀπὸ ΕΗ ἡμιόλιον. δοθὲν δὲ τὸ ἀπὸ ΓΕ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἐστιν διάμετρος τοῦ ΕΖΗΘ κύκλου· δοθεὶς ἄρα ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ∠ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς τετράγωνα καὶ τὰ τῶν γωνιῶν σημεῖα τοῦ κύβου.

89 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεῖ γὰρ κύκλους ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο παραλλήλους καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων ἡμιολία ἔστω δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ τῇ ΒΓ ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ΖΗ ἴσην τῇ ΒΓ, ὡς προεδείξαμεν καθόλου ἴσην τῇ δοθείσῃ. καὶ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἔχειν τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον. δειχθήσεται γὰρ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά, καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευράς, καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ κύβου περιέχουσι γωνίας· καὶ 1. τὰ Γ∠ ΕΖ ΗΘ A, distinx. BS 4. τοῦ κύβου B1S, τουτου κυβου A, τὰ τοῦ κύβου B 3, del. Hu 5. ἐπεζευγνυμένη B, ἐπιζευγνυ- μένη S 15. τοῦ ΕΖ Α, coniunx. BS 16. ὁ ante κύκλος add. Hu καὶ ἡ Γ∠ A(S), corr. B 20. ἔστω Hu auctore Co pro ἐστιν 21. τὸ ΑΒ Γ∠ Α, coniunx. BS 23. καθόλου — δοθείσῃ interpolatori tribuit Hu 25. κύβον Co pro κύκλον 26. τὸ ΒΖ ΗΓ A, coniunx. BS 27. τριπλασίων Hu pro τριπλάσιον (conf. p. 150, 7) γὰρ ἔτ’ ἐκείνης ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἦν δυνάμει τῆς διαμέτρου τῶν κύκλων ἑκατέρου.

90 ν΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ, καὶ ἐκβληθέντα τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τούς ΑΒΓ θένταΕΖ. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ∠Α ∠Β ∠Ε ∠Ζ, ἔσται τὰ Α Ζ Β ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΒ ΒΖ ΖΕ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΕΖΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ. ὁμοίως καὶ ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ∠Ζ τῇ ΑΓ· παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύκλοι· καὶ ἴσοι ἀλλήλοις, ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα τρίγωνα ἴσα ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι εἰσίν, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΖ καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἐπιζευγνυμένη ἡ ΑΖ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ αἱ ΑΕ ΖΒ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ ΕΖ περιέξουσι γωνίας, ὡς προδέδεικται. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΑΕ ΕΖ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ δʼ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου δοθεῖσα ἄρα ἡ διάμετρος, καὶ ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπʼ αὐτῶν σημεῖα.

91 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως· δεῖ γάρ ὁμοίως ἐγγρά 3. Ν A 1 in marg. (BS) 4. σημείων A, σημεῖον B, corr. S 5. τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ A, distinx. BS ἐκβληθέντα A2 ex ἐκ**βλήθε 8. τὰ ΖΒ AS Co, distinx. B 9. 10, καὶ γὰρ — εἰσίν inter- polatori tribuit Hu 11. post αἱ ΑΒ repetit ΑΒ A, om. BS 13. δὲ om. A, add. BS 15, ἴσα add. A2 super vs. 16. καὶ ante ἐν αὐ- τοῖς add. Hu auctore Co 17, αἱ add. Hu, item vs. 19 19, καὶ αἱ ΑΕ — 20. προδεδείκται tribuit Hu interpolatori, qui quidem verbis ὡς προδέδεικται significat propos 51; at vero αε εζ ad rectos inter se angulos esse in hac ipsa propositione statim demonstratum est 22. ἐπὶ τρίτον ABS, corr. Co 25. ἐπʼ Hu pro ἀπʼ ψαι τῇ σφαίρᾳ δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλοις, ὧν ἑκατέρου τῆς διαμέτρου ἡμιολία δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν ἰσόπλευρον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΕΖ ἴσην τῇ ΑΒ, καὶ ἀπʼ αὐτῆς ἐγγράψαι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον, καὶ ἔχειν συνεσταμένον τὸ ὀκτάεδρον. καὶ συναποδέδεικται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας διπλασίων δυνάμει τῆς πλευράς τοῦ ὀκταέδρου. συνεύραται δʼ ὅτι εἴς γε τὴν τῆς πυραμίδος ἐγγραφὴν καὶ εἰς τὴν τοῦ κύβου καὶ τοῦ ὀκταέδρου οἱ αὐτοὶ παραλαμβάνονται κύκλοι ὧν εἰς τὴν αὐτὴν σφαίραν ἐναρμόζεται τὰ πολύεδρα, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τετράγωνον τοῦ κύβου καὶ τὸ τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου.

92 να΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ, ∠ Ε Ζ, Η Θ Κ, Λ Μ Ν. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου πρὸς τήν ἐπιψάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις, ἐν ἑνὶ ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ Α ΓΖ Η Ε σημεῖα καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν. καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ, καὶ εἰσὶν ἐν 5. ἴσην τῆς ΑΒ A, corr BS 8. συνεωρατο (sine acc.) A(BS), corr. Hu 10. 11. ὧν — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 14. NA A1 in marg. (BS) 17. 18. ΑΒΓ ∠ΕΖ ΗΘΚ ΛΜΝ A, distinx. BS 26. ΑΓΖ ΗΕ A, distinx. BS 27. καὶ — 30. εἰσίν interpolatori trubuit Hu 27. γὰρ add. Co, αἱ Hu κύκλῳ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΕΗΖΓ πεντάγωνον· ὁμοίως καὶ ἑκάτερον τῶν ΚΕΒΓ∠ ∠ΘΖΒΑ καὶ τὰ ΑΚΛΗΒ ΑΚΝΘΓ ΓΘΜΗΒ ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ, καὶ ἔσται παράλληλος ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΕΖ ἐπιζευχθείσῃ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΚΘ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΛΜ· καὶ γὰρ τὸ ΛΚ∠ΘΜ πεντάγωνόν ἐστιν. ὁμοίως δειχθήσονται καὶ αἱ μὲν ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Γ, Ε ∠, Η Θ, Λ Ν παράλληλοι, αἱ δὲ ἐπιζευγνύουσαι τὰ Β Α, Ζ ∠, Η Κ, Μ Ν παράλληλοι. καὶ ὁμοίως ὁ περὶ τὰ Α Β Γ κύκλος ἴσος καὶ παράλληλος τῷ περὶ τὰ Λ Μ Ν· ἴσα γὰρ καὶ ὅμοια τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΛΜΝ. οἱ δὲ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ, Η Θ σημεῖα κύκλοι ἴσοι καὶ παράλληλοι· καὶ γὰρ τὰ ἐν αὐτοῖς τρίγωνα ἴσα καὶ ἰσόπλευρα· ἑκάστη γὰρ πλευρὰ πενταγώνου γωνίαν ὑποτείνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ οἱ περὶ τὰ ∠ Ε Ζ, Κ Η Θ κύκλοι ἴσοι εἰσὶν καὶ ἐν αὐτοῖς ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευραὶ παράλληλοι αἱ ΕΖ ΚΘ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων , ἔσται ἡ ἐπιζευγνύουσα τὰ Ζ Κ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΖΕΚ γωνία· προδέδεικται γάρ. καὶ ἐπεὶ πεντάγωνόν ἐστι τὸ ΗΕΑΓΖ, τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης, μεῖζον ἔσται τμῆμα ἡ ΑΓ· ἡ ἄρα ΕΖ πρὸς τὴν ΑΓ λόγον ἔχει ὃν ἡ τοῦ ἑξαγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δύναται ἀμφο 1. τὸ ΑΕΖ ΖΓ ABS, corr. Co 2. τῶν ΚΕΒΓ∠ΛΘΖΒΑ A, distinx. BS, ∠ pro Λ corr. Co τὰ ΚΑΛΗΒ BS , corr. Co 3. καὶ — ἐπιπέδῳ interpolatori tribuit Hu ἐν add. Hu auctore Co 4. παράλληλος add. hoc loco Hu, idem post ἐπιζευχθείσῃ Co 5. τὸ ΛΚ∠ ΘΜ A, coniunx. BS, τὸ ΛΗΖΘΜ Co 7. τὰ ΒΓ Ε∠ ΗΘ ΛΗ A (item S, nisi quod τὰς), distinx. B, N pro Η corr. Co παραλ- λήλου ΑΒ, παραλλήλους S, corr. Hu auctore Co 8. τὰ ΒΑ Ζ∠ ΗΚ ΜΝ A (τὰς etc. S), distinx. 8 παραλλήλους ABS (conf. vs. 7) 9. τὰ ΑΒΓ et 10. τὰ ΛΜΝ A, distinx. BS 11. οἱ δὲ] ὁμοίως δὲ καὶ coni. Hu τὰ ∠ΕΖ ΚΗΘ AS, distinx. B 12. κύκλοις AB, corr. S 14. 15. τὰ ∠ΕΖ ΚΗΘ ABS, distinx. Hu 16. ἡ εζκθ B, ἡ εζ κθ S (recte A) 17. τὰ ΖΚ A, distinx. BS 19. ἐπεὶ BS, επι (sine spir. et acc.) A τὸ ΗΕ ΑΓΖ A, coniunx. BS 20. τεμναμένης AB, corr, S τέρας ἡ ΖΚ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΑΓ· ἕξει ἄρα ἡ ΖΚ διάμετρος τῆς σφαίρας πρὸς μὲν τὴν ΕΖ λόγον, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου, πρὸς δὲ ΑΓ, ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου. καὶ δοθεῖσα ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΖ ΑΓ, ὥστε καί αἱ ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν ΕΖ ΑΓ· καὶ αὐτοὶ ἄρα οἱ κύκλοι δοθέντες, καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι, καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν.

93 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐκθέσθαι δύο εὐθείας, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐκτεθεισῶν εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας, ὡς τοὺς ∠ΕΖ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΛΜΝ, καὶ ἐναρμόσαι ἐν ἑκάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας, καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυέδρου γωνίας. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής. συνορᾶται δʼ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευράς τοῦ εἰς τὸν ∠ΕΖ κύκλον ἐγγραφομένου ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ 4. τὴν // | τῆι A, τὴν . . τῇ αγ BS cod. Co, corr. Co 6. καὶ ἡ τοῦ πενταγώνου πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου δοθεῖσα ἄρα ἐν ἑκατέρῳ κύκλῳ τοῦ τριγώνου πλευρά, ὥστε καὶ αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος οὖσαι δυνάμει τῶν πλευρῶν· δοθέντες ἄρα καὶ οἱ κύκλοι καὶ οἱ ἴσοι αὐτοῖς καὶ παράλληλοι καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς σημεῖα τῶν τοῦ πολυέδρου γωνιῶν, ὅπερ : ~

95 Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνθέσει δύο ἐκθέσθαι, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός τε τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, ἃς καὶ ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεθέμεθα, καὶ γράψαι δύο παραλλήλους κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ κέντρου κειμένους, ὡς τοὺς ΖΗΘΚΛ ΑΒΓ∠Ε, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἐκκειμένων εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ τούτοις ἴσους ἄλλους δύο κύκλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὡς τοὺς ΜΝΞΟΠ ΡΣΤΥΦ καὶ ἐναρμόσαι τὰς Ε∠ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παραλλήλους, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα, διʼ ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι. καὶ φανερὸν ἐκ τῆς κατασκευῆς, ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκαέδρου γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰκοσαέδρου γωνίας, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγμωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τύ πεντάγωνον τοῦ δω δεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαίραν ἐγγραφομένων. 2. αἱ add. Hu 9. ἃς AB cod. Co, ὡς S 14. τούτοις B3S, τούτους A, τουτ B1 16. ὡς τοὺς Hu auctore Co pro ὡς τοῦ 17. πλευρὰν AB, corr. S 20. 21. δωδεκαέδρου — τὰς τοῦ om. Paris. 2368 S 24. post ἐγγραφομένων add. πάππου σιναγωγης τρίτον ες τιν δε των επιπεδων και κτερεων και ///// A3, τῆς τοῦ πάππου ἀλε- ξανδρέως συναγωγῆς τρίτου τέλος B, τέλος τοῦ τρίτου S Ἄλλως τὸ δέκατον θεώρημα ἐν τῷ τρίτῳ τῆς τοῦ Πάππου συναγωγῆς καὶ τὴν ἀπόδειξιν περιέχον καὶ τὴν ὀργανικὴν κατακσκευὴν τοῦ τε διπλασιασμοῦ τοῦ κύβου καὶ τῶν δύο μέσων ἀνάλογον.

96 Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, διάμετροι δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἱ Α∠Γ Β∠Ε, καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΜΝ ΒΘΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κέβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ κύβον.

Ἐπεξεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΛΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ κάθετος ἦκται ἐπὶ τὴν Β∠Ε, ἡ ΚΛ ἄρα μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ, τουτ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ∠Μ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ∠Μ. κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ ἔσται ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

99 Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν η μὲν ΘΖ τῆ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ἡ δὲ Λ∠ τῇ ∠Η διὰ τὸ ἑκατέραν αὐεῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου εἶναι, ἔστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Λ∠ πρὸς τὴν ∠Η, ἐὰν τριγώνοδ ἀνέλογον μηθῶσιν αἱ πλευραί, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπήν ἐστι τοῦ τριυγώνου πλευράν· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Ζ∠. καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ Β∠Η δυσὶ ταῖς Λ∠Ε ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Β∠Η τῇ ὑπὸ Λ∠Ε ἐστὶν ἴση, καὶ βάσις ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἐκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΛΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΛ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ παράλληλος ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

100 Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Γ, αἱ ὑπὸ ΛΚ∠ Κ∠Γ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὧν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ 1. Μαθηματικώτερον Nickel 1. 2. post πρόβλημα add. ἦι A (B Guelf.), ἡ S, del. Nickel 3. ὁ ΑΒΓ∠ ABS, ὁ ΑΒΓ Bredow, corr. Hu 5. προσπίπτουσα ἡ Hu προσπίπτουσαν ABS, προσπίπτουσα Nickel, προσπιπτέτω V2 10. τῆς ἡμισείας add, V2 Nickel καὶ πολλῷ ἄρα add. Hu (nisi forte rectius Sca deletis τῆς BH, breviore demonstra tione scribit πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ καὶ τῆς ΖΗ, in quibus de- nique ἐστὶ καὶ emendandum esse videtur in ἐστὶν) καὶ τῆς ΖΗ AB3S, καὶ τῆς ηζ B1 Guelf. 14. γὰρ ἡ Η∠ V2 Sca Nickel pro γὰρ η ∠ 19. 20. ἐὰν δὲ τριγώνου ἀνάλογον τμηθῶσιν δύο πλευραί coni. Bredow 20. τμηθῶσιν η πλευραι η επὶ A, τμηθῶσι η πλευρα ἡ ἐπὶ Κ∠Γ· καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚ∠ ἄρα ὀρθή ἐτιν· πρὸς ὀρθὰς ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΛΚ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΛΚ τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ. καὶ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ μὲν ΒΖ τῇ ΛΕ, ἡ δὲ ΘΛ τῇ ΖΞ, ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΒΚΘ τῷ Β∠Ζ, καὶ ἔτι τὸ μὲν ΘΚΕ ὅμοιόν ἐστι τῷ Μ∠Ε, τὸ δὲ ΛΚΕ τῷ Ξ∠Ε· ἰσογώνιον ἄρα ἕκαστον ἔκάστῳ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· ὡς ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ. ἀλλʼ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ. πάλιν ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ μὲν ΛΚΕ τρίγωνον τῷ ΒΚΘ, τὸ δὲ ΘΚΕ τῷ Μ∠Ε, καὶ τὸ ΛΚΕ τῷ Ξ∠Ε τριγόνῳ διὰ τὸ τὰς παραλλήλους ἰσογονία αὐτὰ ποιεῖν, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ξ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ Ε πρὸς Ε∠, οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς ∠Ξ. ὁμοίως καί, ἐπεὶ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΚΕ πρὸς Ε∠, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ∠Μ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ∠Ξ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν Μ∠, καὶ ἐναλλὰξ 1. ἡ ὑπὸ ΛΚ∠ Bredow ἡ om. ABS ἄρα add. V2 Nickel 8. 9. ἰσογώνιον οὖν ἕκαστον Bredow 16. τὸ om. AB Guelf., edd. S Nickel 17, ἐπεὶ — 20. ποιεῖν] haec verba, ut prorsus otiosa, se- cludit Nickel, neque tamen aliena sunt ab huius interpolatoris mediocri doctrina rudique verborum turba 18. τῷ ΒΚΘ Sca Bredow, τῶ ΒΚ A, τῷ βκ BS 21. τὴν (ante ΚΒ οὕτως) om. A 1, add. A super vs. (BS) 23. 24 τὴν ante Ε∠ οὕτως et ante ∠Ξ add. B Guelf. 27. πρὸς τὴν Μ∠ AS, πρὸς τὴν μα B, πρὸς τὴν ∠Μ Bredow ὡς ἡ ΛΚ πρὸς τὴν ΚΘ, οὕτως ἡ Ξ∠ πρὸς ∠Μ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΛΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ Ξ∠ πρὸς τὴν ∠Μ. ἴση δὲ ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ.

101 Ὅτι δὲ ἴση ἐστιν ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ δῆλον. ἐπεὶ γὰρ παρέλληλός ἐστιε ἡ ΛΞ τῇ ΖΗ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΛΞ∠ τρίγωνον τῷ Ζ∠Η. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΛΞ∠ Ζ∠Η τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ Ξ∠Λ ∠ΛΞ ταῖς ὑπὸ Ζ∠Η ∠ΗΖ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν Λ∠ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ∠Η ἴσην, καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνίας. ἴση ἄρα ἡ ∠Ξ τῇ ∠Ζ.

102 Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, ἔσται ὡς ἡ B∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς B∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν ὡς Ε∠ πρὸς Μ∠, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

103 Καὶ τούτοις ἀκολούθως δύο τῶν Ε∠ ∠Μ δοθεισῶν ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς Ε∠ ∠Ζ ∠Μ ἴσαι αἱ Ε∠ ∠Ζ ∠Μ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ, δῆλον ὡς ἡ ∠Μ οὐκ ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ. ἐπεὶ οὖν ἡ ∠Μ τρίτη ἀναλογόν ἐστι τῶν Ε∠ ∠Ζ, ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ∠Μ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· ἑκατέρα ἄρα τῶν Ε∠ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστιν ἡ Ε∠ τῇ ∠Ζ, ὅπερ 1. 2. ἄλλως ἡ ΛΚ A1, corr. man. rec. (BS) 2. 3. ἄρα ΕΚ AS, ἡ add. B Guelf. 6. τῆς (ante ∠Ζ) om AB1S, Add. B3 et, ut vi- detur, Guelf. 10. γωνίας τὰς ὑπὸ ΞΛ∠ ΛΑΞ ABS, γωνίας τὰς ὑπὸ ξλδ λδξ V2, corr. Bredow 11. ταῖς ὑπὸ ζδη V2 Sca Bredow pro ταῖς ὑπὸ Ξ∠Η 12. λοιπαῖς ἴσαις AB1S, corr. B3 14. ἡ ∠Ξ τῆι ΛΞ ABS, ἡ δζ τῇ λξ V2 Sca (voluerunt ἡ ∠Z τῇ ∠Ξ. corr. Bredow 15. 16. τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ] τῆς Ζ∠ πρὸς τὴν τρίτην ἀνάλογον τῶν ἀδύνατον (μείζων γὰρ ἡ Ε∠ τῆς ΔΖ)· οὐκ ἄρα ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν Ε∠ ∠Ζ.

Εἰλήφθω τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΟΠ. ἐπεὶ οὖν τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν ΟΠ, ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ. ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλʼ ἦν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Z, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα ἔ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ∠Μ· αἱ Ε∠ ∠Ζ ΟΠ ∠Μ ἄρα τέσσαρες οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί· τῶν Ε∠ ∠Μ ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ∠Ζ ΟΠ.

104 Τῆς δὲ ἀποδείξεως ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς ἀκολούθως τῇ ὀργανικῇ κατασκευῇ γενομένης δῆλον ὡς ἡ μὲν ὀργανικὴ κατασκευή, δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων καὶ λόγου πρὸς ἀλλήλας τῶν εὐθειῶν δεδομένου, εὑρίσκει τὰς δύο μέσας ἀνάλογον, ἐφʼ ὧν ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, ἡ δὲ ἀπόδειξις, ὑποστησαμένη τινὰ εὐθεῖαν καὶ ἄλλας δύο λαβοῦσα διὰ τῆς τῶν γραμμῶν καταγραφῆς ἐλάττονας μὲν τῆς πρώτης ἐφεξῆς δὲ αὐτῇ κειμένας καὶ ἀλλήλαις ἀνίσους, εὑρίσκει ὡς τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας, οὕτως τὴν δευτέραν πρὸς τὴν ἐλαχίστην. τούτων δὲ τῆς τε πρώτης καὶ τῆς δευτέρας προσλαβοῦσα τρίτην ἀνάλογον ἀποδείκνυσιν τὰς δύο μέσας ἀνάλογον οὕτως θεωρουμένας ὡς ἐπὶ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς. τούτων γὰρ τὸ μὲν συμπέρασμα τὸ αὐτό, διʼ ὧν δὲ τοῦτο 3. ΟΠ] ἡ ∠Π Bredowius et similiter posthac, quod sine dubio alienum est a mente scriptoris 6. 7. οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Π ABS, corr. V 7. ἄλλην et 11. αλλην (sine spir. et acc.) A1, corr. man. rec. (BS) 9. πρὸς τὴν ΑΜ ABS, corr. Sca Bredow 11. 12. οὕ- τως ἡ ∠Ξ AB, corr. S 13. ἡ om. A, add. BS 26. post οὕτως A habet τὸ ἀπὸ, sed delevil ea prima manus 29. ἐπὶ ABS, ἦν Bredow εὑρίσκεται τῶν πρώτων, οὐ τὸ αὐτό. ἐπὶ μὲν γὰρ τῆς ὀργανικῆς κατασκευῆς, λόγου δοθέντος δύο εὐθειῶν ἀνίσων, τὸ συμπέρασμα δείκνυται, ἐπὶ δὲ τῆς ἀποδείξεως, μὴ δοθέντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν, διὸ ἔτι τοῦτο μένει ζητούμενον, πῶς ἐν λόγῳ δοθέντι αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι. δεῖ γάρ, λόγου δοθέντος τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρώτη εὐθεῖα πρὸς τὴν τετάρτην, ἐν τῷ αὐτῷ λόγω γενέσθαι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας.

1 Σοφίας καὶ μαθημάτων ἔννοιαν ἀρίστην μὲν καὶ τελειοτάτην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκεν, ὦ κράτιστε Μεγεθίον, ἐκ μέρους δέ που καὶ τῶν ἀλόγων ζῴων μοῖραν ἀπένειμέν τισιν. ἀνθρώποις μὲν οὖν ἅτε λογικοῖς οὖσι τὸ μετὰ λόγου καὶ ἀποδείξεως παρέσχεν ἕκαστα ποιεῖν, τοῖς δὲ λοιποῖς ζῴοις ἄνευ λόγου τὸ χρήσιμον καὶ βιωφελὲς αὐτὸ μόνον κατά τινα φυσικὴν πρόνοιαν ἑκάστοις ἔχειν ἐδωρήσατο. τοῦτο δὲ μάθοι τις ἂν ὑπάρχον καὶ ἐν ἑτέροις μὲν πλείστοις γένεσιν τῶν ζῴων, οὐχ ἥκιστα δὲ κἀν ταῖς μελίσσαις· ἥ τε γὰρ εὐταξία καὶ πρὸς τὰς ἡγουμένας τῆς ἐν αὑταῖς πολιτείας εὐπείθεια θαυμαστή τις, ἥ τε φιλοτιμία καὶ καθαριότης ἡ περὶ τὴν τοῦ μέλιτος συναγωγὴν καὶ ἡ περὶ τὴν φυλακὴν αὐτοῦ πρόνοια καὶ οἰκονομία πολὺ μᾶλλον θαυμασιωτέρα. πεπιστευμέναι γὰρ, ὡς εἰκός, παρὰ θεῶν κομίζειν τοῖς τῶν ἀνθρώπων μουσικοῖς τῆς ἀμβροσίας ἀπόμοιράν τινα ταύτην οὐ μάτην ἐκχεῖν εἰς γῆν καὶ ξύλον ἤ τινα ἑτέραν ἀσχήμονα καὶ ἄτακτον ὕλην ἠξίωσαν, ἀλλ᾿ ἐκ τῶν ἡδίστων ἐπὶ γῆς φυομένων ἀνθέων συνάγουσαι τὰ κάλλιστα κατασκευάζουσιν ἐκ τούτων εἰς τὴν τοῦ μέλιτος ὑποδοχὴν ἀγγεῖα τὰ καλούμενα κηρία πάντα μὲν ἀλλήλοις ἴσα καὶ ὅμοια καὶ παρακείμενα, τῷ δὲ σχήματι ἑξάγωνα.

2 τοῦτο δ᾿ ὅτι κατά τινα γεωμετρικὴν μηχανῶνται πρόνοιαν οὕτως ἂν μάθοιμεν. πάντως μὲν γὰρ ᾤοντο δεῖν τὰ σχήματα παρακεῖσθαί τε ἀλλήλοις καὶ κοινωνεῖν κατὰ τὰς πλευράς, ἵνα μὴ τοῖς μεταξὺ παραπληρώμασιν ἐμπίπτοντά τινα ἕτερα 1—4. παππου ἀλεξανδρέως συναγωγης ε περιεχει δε συγκρισεις των ϊσην περίμετρον ἐχοντων ἐπιπέδων σχημάτων προσαλλήλατε και τ κύκλων (superscr. ο) και συγρίσεις τ ϊσην επιφανειαν εχόντ στερε σχημα πρ αλληλα τε και τ σφα A3(BS) 3. τὸν κύκλον B, τοὺς κύκλους Paris. 2368 SV (de A3 vide supra) 4. στερεῶν om. B 6. μεγε- λυμήνηται αὐτῶν τὰ ἔργα. τρία δὲ σχήματα εὐθύγραμμα ?? τὸ προκείμενον ἐπιτελεῖν ἐδύνατο, λέγω δὲ τεταγμένα τὰ ?? ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, τὰ δ᾿ ἀνόμοια ταῖς μελίσσαι?? ?? οὐκ ἤρεσεν. τὰ μὲν οὖν ἰσόπλευρα τρίγωνα καὶ τετράγων?? καὶ τὰ ἑξάγωνα χωρὶς ἀνομοίων παραπληρωμάτων ἀλλήλοιρ ?? δύναται παρακείμενα τὰς πλευρὰς κοινὰς ἔχειν ταῦτα γὰ ?? δύναται συμπληροῦν ἐξ αὑτῶν τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖο?? τόπον, ἑτέρῳ δὲ τεταγμένῳ σχήματι τοῦτο ποιεῖν ἀδύνατον ?? ὁ γὰρ περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπος ὑπὸ Ϛ΄ μὲν τριγώνα ?? ἰσοπλεύρων καὶ διὰ Ϛ΄ γωνιῶν, ὧν ἑκάστη διμοίρου ἐστ?? ὀρθῆς, συμπληροῦται, τεσσάρων δὲ τετραγώνων καὶ δ΄ ὀ ὁ ἡρ θῶν γωνιῶν αὐτοῦ, τριῶν δὲ ἑξαγώνων καὶ ἐξαγώνου γ?? νιῶν τριῶν, ὧν ἑκάστη α΄ γ΄΄ ἐστὶν ὀρθῆς. πεντάγωνα δὲ τὰ τρία μὲν οὐ φθάνει συμπληρώσαι τὸν περὶ τὸ α??ὐτὸ σημεῖον τόπον, ὑπερβάλλει δὲ τὰ τέσσαρα τρεῖς μὲν γὰρ τοῦ πενταγώνου γωνίαι δ΄ ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν (ἑκάστη γὰρ γωνία μιᾶς καὶ ε″ ἐστὶν ὀρθῆς), τέσσαρες δὲ γωνίαι μείζους τῶν τεσσάρων ὀρθῶν. ἑπτάγωνα δὲ οὐδὲ τρία περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον δύναται τίθεσθαι κατὰ τὰς πλευρὰς ἀλλήλοις παρακείμενα τρεῖς γὰρ ἑπταγώνου γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν μείζονες (ἑκάστη γάρ ἐστιν μιᾶς ὀρθῆς καὶ τριῶν ἑβδόμων). ἔτι δὲ μᾶλλον ἐπὶ τῶν πολυγωνοτέρων ὁ αὐτὸς ἐφαρμόσαι δυνήσεται λόγος. ὄντων δὴ οὖν τριῶν σχημάτων τῶν ἐξ αὑτῶν δυναμένων συμπληρῶσαι τὸν περὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τόπον, τριγώνου τε καὶ τετραγώνου καὶ ἑξαγώνου, τὸ πολυγωνότερον εἵλαντο διὰ τὴν σοφίαν αἱ μέλισσαι πρὸς τὴν παρασκευήν, ἅτε καὶ πλεῖον ἑκατέρου τῶν λοιπῶν αὐτὸ χωρεῖν ὑπολαμβάνουσαι μέλι.

3 Καὶ αἱ μέλισσαι μὲν τὸ χρήσιμον αὑταῖς ἐπίστανται μόνον τοῦθ᾿ ὅτι τὸ ἑξάγωνον τοῦ τετραγώνου καὶ τοῦ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν καὶ χωρῆσαι δύναται πλεῖον μέλι τῆς ἴσης εἰς τὴν ἑκάστου κατασκευὴν ἀναλισκομένης ὕλης, 2. post ἐδύνατο add. σχῆμα τὰ τεταγμένα ABS, del. Sca (fuerat olim in margine glossa σχήματα τεταγμένα) 3. ἰσογώνια τὰ δ᾿ add. Sca 6. ταῦτα γὰρ — 8. ἀδύνατον interpolatori tribuit Hu 12. αὐ — ἡμεῖς δὲ πλέον τῶν μελισσῶν σοφίας μέρος ἔχειν ὑπισχνούμενοι ζητήσομέν τι καὶ περισσότερον. τῶν γὰρ ἴσην ἐχόντων περίμετρον ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων ἐπιπέδων σχημάτων μεῖζόν ἐστιν ἀεὶ τὸ πολυγωνότερον, μέγιστος δ᾿ ἐν πᾶσιν ὁ κύκλος, ὅταν ἴσην αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δείξπμεν δὲ πρότερον ὅτι τῶν ἀνισοπληθεῖς μὲν ἐχόντων τὰς γωνίας τεταγμένων πολυγώνων, τὴν δὲ περίμετρον ἴσην, τὸ πολυγωνότερον ἀεὶ καὶ μεῖζόν ἐστιν.

4 α΄. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι, πολυγωνότερον δὲ τὸ ∠ΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ∠ΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ.

Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ Θ∠ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ Ε∠Ζ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ∠Ζ τὴν τοῦ ∠ΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ∠Ζ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι), ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ∠Λ (ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας). κείσθω τῇ ∠Λ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον), ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῆς τοῦ ∠ΕΖ περιμέτρου; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δ΄ ὀρθάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ, πρὸς τὴν ∠Ζ, αἱ δ΄ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ γωνίαν· 9. α΄ add. Hu 14. κύκλον (sine acc.) A, corr. BS καὶ κάθετοι coni. Hu αἱ ΗΚΘΛ A, distinx. BS 25. ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ AB, corr. S 27. καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς] quamquam eiusmodi res per se consentaneas veteres mathematici interdum adnotant, tamen haec verba maiorem interpretamenti quam genuinae scripturae Speciem prae se ferunt δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς τὴν Λ∠, τουτέστιν πρὸς ΚΜ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ. ἡ δὲ ΑΚ πρὸς τὴν ΚΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ (τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρικὰ λήμμασιν δέδεὶκται)· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ ἄρα γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΑΗΚ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΜΗΚ· μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΗΚ τῆς ὑπὸ ∠ΘΛ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Κ ὀρθὴ ἴση τῇ πρὸς τῷ Λ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΜΚ τῆς ὑπὸ Θ∠Λ ἐλάσσων. ἔστω τῇ ὑπὸ Θ∠Λ ἴση ἡ ὑπὸ ΚΜΝ· καὶ ἔστιν ἴση ἡ ∠Λ τῇ ΚΜ· καὶ ἡ ΛΘ ἄρα τῇ ΚΝ ἴση ἐστίν· μείζων ἄρα ἡ ΘΛ τῆς ΚΗ. ἴσαι δὲ αἱ περίμετροι· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΘ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ∠ΕΖ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τοῦ ὑπὸ τῆς ΚΗ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν τῶν εἰρημένων χμρίων ἡμίση τὰ πολύγωνα· μεῖζον ἄρα τὸ ∠ΕΖ πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ. τὸ γὰρ ὕψος ἴσον ἐστὶ τῆς περιμέτρου τῆς αὐτῆς οὔσης τῶν δύο εὐθυγράμμων, καὶ αἱ βάσεις ἄνισοι αἱ ΘΛ ΗΚ, καὶ ὡς ἡ ΘΛ βάσις πρὸς τὴν ΗΚ βάσιν, οὕτως τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΘΛ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ∠ΕΖ πολυγόνου πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ. καὶ τὰ ἡμίση πολύγωνα ἄνισα, ὥστε μεῖζον τὸ ∠ΕΖ τοῦ ΑΒΓ.

5 β΄. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ∠ΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου.

6 Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκ. καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρ μήδης ἀπέδειξεν, οὐδὲν δὲ ἧττον καὶ ἑξῆς δειχθήσεται τοῦτο πρὸς τὸ μὴ δεῖσθαι τοῦ Ἀρχιμηδείου συντάγματος ἕνεκεν μόνου τοῦ θεωρήματος τούτου.

Ἔστω. γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ χωρίον· λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓ∠ κύκλῳ.

7 Ἔστω γὰρ. πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν. πλευρὰν τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε ὁποσαγώνου, ἡ δ᾿ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση· μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου.

8 Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων· δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων 4. ὁ ΑΒΓ et 10. τὸν ΑΒΓ ABS, corr. Co 15. ὁ ΑΒ Γ∠, A, coniunx. BS 18. ΗΘΕ ἐπεὶ ABS, corr. Co 25. ὁ ABS, corr. Co 27. ἔστω A1 corr. ex ἔσται περιφερειῶν ἄγοιντο ἐφαπτόμεναι, μέχρις ἂν ἀπολειφθῇ τινα τμήματα τῶν ἐκτὸς σχημάτων, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἀνάγκῃ γενέσθαι δέδεικται. περιγεγράφθω οὖν, ὡς εἴρηται, τὸ πολύγωνον καὶ ἔστω τὸ ΚΛΜΝΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἐπὶ μίαν τῶν συναφῶν τὴν Ο ἡ ΗΟ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου μείζων ἐστὶν τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΚΛΜΝΞ πολυγώνου καὶ τῆς ΗΟ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ΗΟ. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ἄρα ΚΛΜΝΞ πολύγωνον μεῖζον τοῦ Ζ χωρίου, ὅπερ ἀδύνατον· ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα τὸ Ζ χωρίον μεῖζον τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου.

Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι τοῦ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.

9 δ΄. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, ὁ κύκλος γίνεται μείζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων, ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἶσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ λαμβανόμενα θεωρήματα προγράψομεν.

10 Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ εὐθεῖα ἡ Ε, ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς ΑΒ, μείζων δὲ τῆς ΒΓ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐθείας συσταθῆναι, ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ, μίαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ Ε.

11 ε΄. Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχόντων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέστερον μεῖζον.

Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΒΓ, ἰσοσκελέστερον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ (δυνατὸν γὰρ κατασκευάσαι διὰ τὸ προδειχθὲν ἔναγχος)· λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ, μεῖζον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ.

12 Ϛ΄ Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅμοια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς.

13 ζ΄. Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἰσοσκελῶν τριγώνων ἀνομοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις, ἰσοπεριμέτρων δὲ αὐτοῖς, μείζονά ἐστιν.

Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΖΒ ΒΑΓ, καὶ ἐπὶ τῶν αὐτῶν βάσεων ἄλλα ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΕΒ ΒΛΓ ἰσοπερίμετρα μὲν τοῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ, ἀνόμοια δὲ ἐξ ἀνάγκης ὅτι αἱ γωνίαι ἄνισοί εἰσιν· τοῦτο δὲ ὡς δυνατὸν κατασκευάσαι δειχθήσεται· λέγω ὅτι τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ συναμφότερα τῶν ∠ΕΒ ΒΛΓ συναμφοτέρων μείζονά ἐστιν.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΑΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰς βάσεις· τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθάς· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ∠ΕΖ ταῖς ΒΕΖ, καὶ βάσεις ἴσαι αἱ ∠Ζ ΖΒ διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ γωνίαι ἴσαι καὶ ὅμοια τὰ ∠ΕΖ ΖΕΒ τρίγωνα, ὥστε καὶ τὰς ἐκτὸς γωνίας Ζ Ζ ἴσας εἶναι ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐντός, ἴσαι δέ εἰσιν καὶ αἱ ∠ Β, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ Η Η ἴσαι· ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν· καὶ ἴσαι αἱ ∠Η ΗΒ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΒΜ ΜΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ ὀρθαὶ αἱ Μ Μ. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ Η Μ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΗ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῇ ὑπὸ ΘΒΗ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ (ὅτι καὶ τῆς ὑπὸ ΖΒΗ ἴσης· ὅμοια γὰρ τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ τρίγωνα)· καὶ ἡ ὑπὸ ΘΒΗ ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ· ἡ ἄρα τὰ Θ Λ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν ΒΜ, ὑποκειμένης τῆς ∠ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΘΒΝ ἐκβεβλημένης ἔξωθεν τῆς ΑΒ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ, τουτέστιν τῆς κατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΝΒΓ, καὶ πολλῷ ἡ ὑπὸ ΛΒΓ ἐλάσσων, ὥστε τὴν ΒΜ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΛ κατὰ τὸ Κ καὶ φανερὸν ὅτι οὐ τὴν ΜΓ τέμνει, ἵνα μὴ τὴν ΛΜ ἐκβαλλομένην τέμῃ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον τοῦ Λ.

14 ἐπεὶ οὖν αἱ ∠ΕΒ Β∠Γ ταῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν (ὑπόκεινται γὰρ 3. ὅτι — εἰσιν interpolatori tribuit Hu 8. ἴσκα — 15. αἱ Μ Μ] conf. p. 323 adnot. * 10—12. manifesta glossemata duo del. Hu 13. αἱ ∠Β A, distinx. BS 15. κατὰ τὰ ΗΜ A, distinx. BS 16. ἡ ΕΗ Co Sca pro ἡ ΘΗ 20. ἄρα τὰ ΘΛ A, distinx. BS 23. τῆς ὑπὸ ΘΗΒ ABS, corr. Co Sca 26. 27. καὶ φανερὸν — τοῦ Λ interpolatori tribuit Hu ἰσοπερίμετροι), καὶ αἱ ἡμίσειαι αἱ ΕΒΛ, τουτέστιν αἱ ΘΒΛ, ταῖς ΖΒΑ ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ ΘΒΛ τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν, καὶ αἱ ΖΒΑ ἄρα τῆς ΘΛ μείζονές εἰσιν. καὶ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΘΛ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΒΑ ὡς μιᾶς ἴσα εἰσὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΒΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὴν τῶν ΗΖΒ ΒΑΜ τριγώνων ὀρθογωνίων ὁμοιότητα (τοῦτο γὰρ προεδείχθη), τῷ δὲ ἀπὸ ΘΛ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΘΚ ΚΛ ὡς μιᾶς, ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΛΜ ΗΘ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΛΜ ΗΕ ὡς μιᾶς, μετὰ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ΚΜ ὡς μιᾶς, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΗΜ, διὰ τὸ αὐτὸ προδειχθέν· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΜ ΖΗ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΜ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΗΜ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΗ ΑΜ ὡς μιᾶς μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΕ ΛΜ ὡς μιᾶς· καὶ μήκει ἄρα μείζων ἡ ΖΗ ΑΜ ὡς μία τῆς ΕΗ ΛΜ ὡς μιᾶς. τὰ δ᾿ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα τρίγωνα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις: ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΗΕ πρὸς ΗΖ, τά τε ἡμίση τῶν τριγώνων τὸ ΕΗΒ πρὸς ΖΗΒ καὶ τὰ ὅλα τρίγωνα διπλάσια τὸ ∠ΕΒ πρὸς ∠ΖΒ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΑ, τὸ ΜΛΓ πρὸς τὸ ΜΑΓ, καὶ τὸ διπλάσιον ΒΛΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ· καὶ συνθέντι ἄρα πρὸς συγκείμενον τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ὡς ἡ ΕΗ ΛΜ πρὸς τὴν ΖΗ ΑΜ, τὰ ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα πρὸς τὰ ∠ΖΒ ΑΒΓ τρίγωνα· καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς. ἐλάσσων δὲ συναμφότερος ἡ ΕΗ ΛΜ τῆς ΖΗ ΑΜ συναμφοτέρου· ἐλάσσονα ἄρα καὶ τὰ συναμφότερα ∠ΕΒ ΒΛΓ τρίγωνα τῶν ∠ΖΒ ΒΑΓ συναμφοτέρων τριγώνων.

15 η΄. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ Γ∠ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ Γ∠Ζ, καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, ἡ δὲ ΑΒ τῆς ∠Γ μείζων (ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα)· δεῖ δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι, ὥστε τὰς δ΄ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠ ἅμα.

Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν Γ∠, τετμήσθω δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ Γ∠ μείζων ἐστίν (ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖ∠), καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς Γ∠. καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα· τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως καὶ τῶν Γ∠ ΚΜ ΜΘ. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον (φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ, ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς ΓΖ∠, καὶ αἱ δ΄ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ ἡμίσεια τῆς ΗΘ), ἐκ δὲ τῶν Γ∠ ΚΜΘ τὸ ΓΝ∠ (ὑμοίως 1. 2. πρὸς τὴν Hu pro πρὸς τὸ 2. πρὸς τὰ ΑΖΒ ABS, corr. Co 4. ελασσον ἄρα A, ἐλάσσον ἄρα B, corr. S 7. Η A1 in marg. (B), om. S ante Ἔστω legi voluit Co: Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν δειχθήσεται οὕτως (quod autem positum est ita ostendetur) 8. τὰ ∠ΕΒ ABS, corr. Co Sca 10. τῶν ΑΒΓ∠ AS, distinx. Bs Co 11. ὡς τὸ τῆς ∠ πλευρᾶς AB1S, ὥς τε τᾶς corr. B3, accentus quoque corr. Co 16. κατὰ τὰ ΛΜ A, distinx. BS 17. τῶν ΑΒΓ∠ A, distinx. BS 21. πάντηι A, corr. B Paris. 2368 24. τὰς Η ΛΚ A, coniunx. BS γὰρ ἔνδον συνίστανται). καὶ φανερὸν ὅτι όμοια ἔσται τὰ τρίγωνα, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, οὕτως ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, καὶ αἱ ἡμίσειαι ἥ τε ΗΛ πρὸς ΚΜ καὶ ἡ ΛΚ πρὸς ΜΘ, καὶ αἱ ἴσαι συνιστάμενσι ἡ ΑΞ πρὸς ΓΝ καὶ ἡ ΒΞ πρὸς ∠Ν.

16 Τὸ δὲ ΑΕΒ τρίγωνον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου ποτὲ μὲν μεῖζον γίνεται, ποτὲ δὲ ἔλασσον, ποτὲ δὲ ἴσον αὐτῷ. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΠΡΣ ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΠΡ τῇ ΖΓ, τὴν δὲ ΡΣ τῇ ∠Ζ, τὴν δὲ ΠΣ τῇ Γ∠· ἴσα ἄρα καὶ ὅμοιά ἐστι τὰ ΓΖ∠ ΠΡΣ τρίγωνα ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶν τῆς Γ∠, τουτέστιν τῆς ΠΣ, καὶ αἱ ΑΕ ΕΒ ἴσαι ταῖς ΠΡ ΡΣ (ἐπεὶ καὶ ταῖς ΓΖ Ζ∠ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ), γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΠΡΣ μείζων ἐστίν ἐπεὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΖ∠ μείζων ἐστίν). κείσθω ἡ ὑπὸ ΠΡΤ γωνία τῇ Ε ἴση, καὶ ἡ ΡΤ τῇ ΡΣ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΤ· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ τριγώνῳ. ἐκβεβλήσθω δὲ ἡ ΠΣΥ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΠΥ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΥ· μείζων ἄρα ἡ ΡΥ τῆς ΡΣ καὶ τῆς ΡΤ (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΠΡ ΡΤ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΣ). τὸ οὖν ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν καὶ ὅμοιον, τῷ δὲ ΠΡΣ τὸ ΠΡΤ ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἐὰν ἡ ΓΣ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ὦσιν αἱ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΣ (ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς 4. συνεσταμέναι coni. Hu, constitutae sunt Co 6 — p. 332, 10. totum caput 16 interpolatum esse videtur 15. ἡ PC τῆι ΡΤ ABS, ἐστιν τῆς ΡΠ τὰ τρίγωνα καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ΡΠ ΤΣ), ἢ μείζων ἐστὶν αὐτοῦ, ἐὰν ἡ ΤΥ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ ἡ ὑπὸ ΠΤΥ γωνία τῇ ἐναλλὰξ ὑπὸ ΡΠΤ ἴση (γίνεται γὰρ πάλιν τὸ ΠΡΤ ἴσον τῷ ΡΥΠ· μεῖζον δὲ τὸ ΠΡΥ τοῦ ΠΡΣ· καὶ τὸ ΠΡΤ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τοῦ ΠΡΣ). ἐὰν δὲ ἡ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, διὰ τὰς ἴσας ἐναλλὰξ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΦ γωνίας καὶ τὸ ΠΡΤ ἴσον τῷ ΡΠΦ, ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΠΡΣ τοῦ ΠΡΘ, τουτέστιν τοῦ ΠΡΤ, ὥστε καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον ἴσον ὂν τῳ ΠΡΤ τριγώνῳ ἤτοι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἴσον ἢ ἔλασσον τοῦ ΠΡΣ, τουτέστιν τοῦ ΓΖ∠.

17 Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερθέσει

18 θ΄. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν, τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλενρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓ∠Ε μέγιστον τῶν ἰσοπερι ?? μέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων· λέγω ὅτι ἰσό όπλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνισοι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, ἐφ ἧ συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελς τὸ ΑΖΓ, ὥστε συναμφοτέρας τὰς ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δ΄. ἐπεν οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπε ριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓ∠Ε τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓ∠ΕΑ τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον, μεῖζον, ὅπερ ἀδύνατον· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ∠Ε. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ 2. ἐὰν ἡ S, εανη ἡ A, ἐὰν ᾐ ἡ B 9. 10. μεῖζον ἐστι (sic) Α 12. Θ A1 in marg. (BS) 24. τὰ ΑΖΓ A, corr. BS 26. πρὸ τρῶν, non πρὸ τεττάρων scriptor et hoc loco et paulo post numerat, quis μεῖζον· καὶ γὰρ τὸ ἰσοσκελέστερον ἀεὶ μεῖζον, ὡς ἐδείχθη πρὸ τριῶν.

19 ι΄. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ Β γωνία τῆς ∠ μείζων. καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒΓ Γ∠Ε). συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη, τὰ. ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ Γ∠Ε. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ Γ∠Ε· καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον τῶν ἄρα ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου σχήματος, ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχθη μείζων.

20 ια΄. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προγράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα.

21 Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ Γ∠· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια 3. ῖ A1 in marg. (BS) πολύπλευρον Hu pro πεντάπλευρον, item vs. 14 4. γὰρ S, om. AB 12. τὸ γὰρ ΑΖΓ ΗΕ A, coniunx. BS 17. ὀρθογώνιον ABS, corr. Hu auctore Co 18. τῶν B1 S, om. A, del. B3 22. ῑᾱ A1 in marg. (BS) 25. αὐτὰ ABS, corr. Hu auctore Co πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ εὐθεῖα πρ ὸς τὴν Γ∠

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν Γ∠ ΓΑ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχύμενον όρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, τοῦ δὲ Γ∠ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὐπὸ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ Γ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιρέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠.

22 ιβ΄. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τά γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφύμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

23 Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ∠Β, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ διήχθω τις ἡ ∠Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα.

24 εἰ δὲ μὴ ἔστιν σύμμετρος τῇ ΒΖΕ περιφρείρ, ὐμοίως ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν. ἔστω, εἶ δυνατόν, ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περφιετρος ἀετοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν πρότερον ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας, καὶ εἰλήφθω τις ἑτέρα περιφέρεια ΒΗ τῆς μὲν ΒΖ μείζων τῆς δὲ ΒΖΕ ἐλάσσων, σύμμετρος δὲ οὖσα τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ ὡς ἔστιν λῆμμα σφαιρικῶν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Η. ἔστιν οὖν διὰ τὰ προειρημένα καὶ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΗ περι ειαν. ἀλλὰ ἡ ΑΒΓ περίμεπρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν Η περιψέρειαν ἐλάσσονμ λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τήν ΒΖ περιφέρειαν, τουτέσειν ἥπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα· καὶ ὁ ΑΒΓ οὖν κύκλος πρὸς τὸν Β∠Η τομέα ἐλάσσονα λόγον ἓξει ἤπερ πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, ὅπερ ἄτοπον· οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Α∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὑτοῦ πρὸς τὴν ΒΖ περιφέρειαν ἐλάσσονα οὖσαν τῆς ΒΖΕ περιφερείας.

25 λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ πρὸς μείζονα τῆς ΒΖΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω πρὸς τὴν ΒΕΤ περιφέρειαν, καὶ εἰλήφθω τις ὁμοίως ἡ ΒΕΘ περιφέρεια τῆς μὲν ΒΖΕ περιφερείας μείζων τῆς δὲ ΒΕΓ περιφερείας ἐλάσσων, σύμετρος δὲ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον τοῦ κύκλου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν πάλιν ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύἰέ 4. 5 τοῦ ἐ στοιχειωεν A(Β) , διὰ τὸ ιε τοῦ ε τῶν στοχείων S, interpolatori tribuit Hu 6. ὁμοίως ἐστὸν Co pro μηδὲ ἐστιν 15. πρὸς τὸν κΛΗ AΒ, corr. S 17. πρὸς τὴν ΕΖΗ ABS, corr. Co 19. οὖν] ἄρα coni. Hu 23. BZ om. Co ante οὖσαν super vs. add. λόγον ἔχει A4, eadem codex Co habet pro οὖσαν τῆς ΒΕΖ et 24. τῆς ΒΕ ABS, corr. Co κλου πρὸς εὴν ΒΕΘ περιρέρειαν , ἡ δὲ ΑΒΓ περίμετρος πρὸς τὴν ΒΕΘ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΒΕΓ περιφέρειαν, τουτέστιν ἤπερ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, ἔξει δηλονότι καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Θ τομέα μείζονα λόγον ἤπερ πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, ἥπερ ἐστὶν ἄτοπον οὐκ ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Γ τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς μείξονα τῆς ΒΖΕ περιφέρειαν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδέ πρὸς ἐλάσσονα· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα, οὕτως ἡ ΑΒΓ περίμετρος αὐτοῦ πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν.

26 ιγ΄. Τὰ ὅμοια τμήματα τῶν κύκλων πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν βάσεων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ περιφέρειαι δὲ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.

Ἐστω ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ λέγω ὅτι ὡς μὲν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ , οὕτως τὸ ἀκὸ τῆς ΑΓ τετράγμωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ὡς δὲ ἡ ΑΒΓ πιριφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ζ.

Προσαναπεπληρώσθωσαν οἱ κύκλοι, καὶ εἰλήφθω αὐτῶν κέντρα τὰ Η Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗΓ ΔΘΖ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐσειν τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τμήματα, ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Η γωνία τῇ πρὸς τῷ Θ, καὶ ὅμοιον τὸ ΑΗΓ τρίγπωνον τῷ ∠ΘΖ , καὶ ἡ ΑΒΓ περιφέρεια ὁμοία τῇ ∠ΕΖ. ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτπως ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ κύκλου πρὸς τὴν ΑΒΓ περιφέρειαν, τουτέστιν δ΄ ῥρθαὶ πρὸς τὴν Η γωνίαν. ὡς δὲ ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα, οὕτως ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου πρὸς τὴν ∠ΕΖ περιφέρειαν, τουτέσετν δʼ ῤρθαὶ πρὸς τὴν Θ γμωνίαν. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ 5. τὸν (ante Β∠Θ) om. A, add. BS 8. τῆς ΒΖΕ περιᾳερείας ABS, corr. Hu auctore Co 11. IF A1 in marg. (BS) 16. ἀπὸ τῆς ∠ΕΖ ABS, corr. Co Sca 17. περᾳέρεια add. Hu auctore Co 19. πὰ ΗΘ A, distinx. 38 αἱ ΑΗΓ ∠ΕΖ ABS, corr. Sca (Co) 21. τὸ ΑΒΓ η τρίγωνον A (in archetypo gitur pro Β correctum erat Η), τὸ βγη τρῦγωνον BS, corr. Co Sca 23 τὸν ΑΗ ΓΒ A, coniuax. BS 26, ∠ΘΖΕ τομέα ρὕτ?? Α2 ex sθνί ∠Θ 27 πρὸς τὴν ∠ΒΖ ABS, corr. Co Sca τουτέστιν Ηυ pro καὶ Η γωνίᾳ ἔστιν ἄρα ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ΑΗΓΒ τομέα, οὕτως ὁ ∠ΕΖ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα, καἰ ἐναλλὰξ ὡς ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν ∠ΕΖ, οὕτως ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα. ὡς δὲ ὁ κύκλος πρὸς τὸν κόκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Θ, τουτέστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΗΓΒ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΖΕ τομέα οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον. καὶ λοιπὸν τὸ ΑΒΓ τμῆμα πρὸς τὸ ∠ΕΖ τμῆμά ἐστιν ὡς τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΘΖ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

27 Λέγω δὴ ὅτι ἐστὶν καὶ ὡς ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΖ.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒΓ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ. ὡς δὲ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ∠Θ, τουτέστιν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠Ζ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ∠ΕΖ, οὕτως ἡ ΑΓ· πρὸς τὴν ∠Ζ.

28 ιδ΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι καὶ πρὸς τοῖς κέντροις οὐτῶν ἴσαι γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ περιεχύιιεναι, καὶ ἐφαπτύμεναι μὲν αἰ ΑΗ ∠Θ, κάθετοι δὲ αἰ ΑΚ ∠Λ δεῖξαι ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΑΗΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον, οὕτως καὶ τὸ ∠ΘΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΖΛ τρίγρεμμον.

Ἔστι δέ φανερὸν ἐκ τοῦ προγεγραμμένου. ὅμοιον γὰρ γίνεται τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ∠ΘΛ, καὶ τὸ ΑΓΚ τρίγραμμον τῷ ∠ΖΛ τριγράιιμῳ , καὶ λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα ἑκάτερον πρὸς ἑκάτερον, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Λ.

29 ιέ. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ διὰ τοῦ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ Α∠, ὀρθὴ δέ ἔστω ἡ πρὸς τῷ Β γωνία δεῖξαι ὅτι ὁ Α∠Γ τομεὺς πρὸς τὸ μεὺςΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΒΓΑ περιεχομένην.

Ηχθὼ τῇ ΓΑ ὀρθὴ ἡ ΖΑ (ἐφάπτεται ἄρα τῆς Α∠ περιφερείας), καὶ διὰ τοῦ Β περὶ κέντρον τὸ Α περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΒΗ, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΖ ἤχθα ἡ ΒΘ. ἐπεὶ οὖν μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΕΒΖ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον ἤπερ πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα , καὶ συνθέντι μείζονα λόγον ἔχει τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΘΒ τρίγραμμον ἤπερ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, ὡς δὲ τὸ ΖΘΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΒΘ τρίγραμμον, οὕτως τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Β τρίγραμμον διά τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ ΕΑΒ ΑΓ∠ γωνίας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ τὸ ΖΑΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ αὐτὸ τρίγωνον πρὸς τὸν ΕΑΒ τομέα, κείζων ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς τοῦ ∠ΑΒ τριγραμμου μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΕΑΒ τομεὺς ρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα ἤπερ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα. τὸ δὲ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸν ΑΗΒ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· πολλῷ ἄρα ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν ΒΑΗ τομέα μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. ὡς δὲ ὁ ΕΑΒ τομεὺς πρὸς τὸν BAH τομέα, οὕτως ἡ ὑπὸ ΖΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ. καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΓ μείζονα λόγον ἔχει ἢ τὸ ∠ΑΕ τρίγραμμον πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον. καὶ ἀνάπαλιν τὸ ΒΑΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ 3. ιε Α1 in marg. (BS) 5. δείξη AB, corr. S 12. πρὸς τὸν ΘΕΑΒ ABS, corr. Co 23. πρὸς τὸν ΑΒΗ BS, corr. Hu (πρὸς τὸν ΒΑΗ voluit Co) 24. ἢ πρὸς Hu auctore Co pro ἥπερ 25. πρὸς τὸν BAH] in A littera punctis notata est πρὸς τὴν ὑπὸ ΒΑΖ, καὶ συνθέντι ὁ ∠ΓΑ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΑΒ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ὑπὸ ΖΑΓ πρὸς τὴν ὑπὸ ΖΑΒ, τουτέστιν ἤπερ ἡ ὀρθὴ γενία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓΒ (ἴση γὰρ ἡ ὑπὸ ΖΑΒ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ διὰ τὸ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ΖΑΓ κάθετον εἶναι τὴν ΑΒ, καὶ ὅμοιον τὸ ΖΑΒ τρίγωνον τῷ ΑΓΖ).

30 ιϚ΄. Ἔστω πάλιν ὀρθογώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ περὶ κέντρον τὸ Γ δμὼ τοῦ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ Α∠· λέγω ὅτι ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ὀρθὴ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠.

Ἤχθω τῇ ΑΓ ὀρθὴ ἡ ΑΕ, καὶ ἐκθεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου περὶ κέντρον τὸ Α γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΓΖ. ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτὴν ἐκ τοῦ κέντρου τὴν ΓΑ γεγρσμμέναι εἰσὶν αἱ περιφέρειαι, φανερὸν ὅτι ἴσων εἰσὶ κύκλων. καὶ μείζαων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠ γωνία τῆς ὑπὸ ΓΑΕ· μείζων ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΓ∠ τομεὺς τοῦ ΑΓΕ τομέως· μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸ αὐτὸ τρίγωνον, καὶ πολὺ μᾶλλον ἤπερ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΓΖ τομέα. ὡς δὲ ὁ ΑΓΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΓΑΖ, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς νὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ὁ ΑΓ∠ ἄρα τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΓΑΖ. καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἀναστρέψαντι μείζονα λόγον ἔχει ὁ ΑΓ∠ τομεὺς πρὸς τὸ ΑΒ∠ τρίγραμμον ἤπερ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΑΖ , τουτέστιν ἤπερ ὀρθὴ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΓ∠ (ἔστιν γὰρ ἡ ὑπὸ ΕΑΖ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓ∠, ὅτι καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓ∠ ἴση ἐστὶν ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΑ καὶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ).

32 ιή. Ἔστω δὴ πάλιν τὸ ∠ΕΖ τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου λέγω ὅτι καὶ οὕτως μεῖζόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον.

Κατεσκευάσθω γὰρ τὰ αὐτά. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν κλίουΘΕ, οὕτως ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΗΒ (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒ ∠Ε περιφέρειαι). καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ πρὸ δύο λῆμμα μείζονα λόγον ἔχει ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸ ∠ΚΕ τρίγραμμον ἤπερ ὀρθὴ γωνία, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΛΘΕ, πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΕ, τουτέστιν ἥπερ ὁ ΛΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ∠ΘΕ, τουτέστιν ἤπερ ὁ ∠ΘΕ τομεὺς πρὸς τὸν ΑΒΗ, ἔσται μείζων ὁ ΑΗΒ τομεὺς τοῦ ∠ΕΚ τριγράμμου. καὶ τὰ διπλάσια· μεῖζον ἔρα τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον τοῦ ∠ΕΖ τμήματος· πάντων ἄρα τῶν ἴσας ἐχόντων τάς περιφερείας κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστιν τὸ ἡμικύκλιον.

Περὶ τῶν στερεῶν.

33 τθ΄. Τὸν πρῶτον καὶ δημιουργὸν τῶν πάντων θεὸν οἱ φιλόσοφοί φασιν εἰκότως τῷ κόσμῳ σχῆμα περιθεῖναι σφαιρικὸν ἐκλεξάμενον τῶν ὄντων τό κάλλιστον , τά τε προσόντα τῇ σφαίρᾳ φυσικὰ συμπτώματα λέγοντες ἔτι καὶ τοῦτο προστιθέασιν ὅτι πάντων τῶν στερεῶν σχημάτων τῶν ἴσην ἐχόντων τὴν ἐπιφάνειαν μεγίστη ἐστὶν ἡ σφαῖρα. τἄλλα μὲν οὖν ὅσα προσεῖναι λέγουσιν αὐτῇ πρόδηλά τέ ἐστιν καὶ παραμυθίας ἐλάσσονος δεῖται, τὸ δʼ ὅτι μείζων ἐστὶ τῶν ἄλλων σχημάτων οὔδʼ οἱ φιλόσοφοι δεικνύουσιν, ἀλλʼ ἀποφαίνονται μόνον, οὕτε παραμυθήσασθαι ῥᾴδιον ἄνευ θεωρίας πλείονος. φέρʼ οὖν, ὥρπερ ἐν τοῖς πρόσθεν 5. ΙΗ A1 in marg. (BS) 10. πρὸ δύο Hu, β A, δεότερον BS 15. μείζονα ἄρα A, corr. BS 16. τοῦ ∠Ε ΑΒ, corr. S 19, πεῖ στερεων add. Α3 in marg (BS) 20. ΙΘ A1 in marg. (BS) 22. 23, τὰ δὲ προσόνεα coni Hu 24, σχημέτωων om, Ei 26 τἄλλα Hu: pro τὰ ἄλλα εὕρομεν τὸν κύκλον μέγιστον ὄντα τῶν ἴσην ἐχόντων αὐτῷ τὴν περίμετρον τεταγμένων πολυγμώνων σχημάτων, καὶ νῦν τὴν σφαῖραν κατὰ τὸ ἀεόλουθον ἀποδεῖξαι πειραθῶμεν μεγίστην οὖσαν τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων αὐτῇ τεταγμένων στερεῶν σχημάτων.

34 πρότερον δὲ περὶ τῶν στερεῶν κὐτῶν, πρὸς ἃ δεῖ συγκρίνειν τὴν σφαῖραν, ὀλίγα προδιαληψόμεθα· πολλὰ γὰρ ἐπινοῆσαι δυνατὸν στερεὰ σχήματα παντοίας ἐπιφανείας ἔχοντα, μᾶλλον δʼ ἄν τις ἀξιώσειε λόγου τὰ τετάχθαι δοκοῦντα καὶ τούτων πολὺ πλέον τούς τε κώνους καὶ κυλίνδρους καὶ τὰ καλούμενα πολύεδρα. ταῦτα δʼ ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρά τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἔξάεδρον, ὀκτάεδρύν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δʼ εἶκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων οὐχ ὁμοίων δέ πολυγώνων περιεχόμενα.

τὸ μέν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγύνων δ΄ καὶ ἑξαγώνων δ΄ .

τρία δέ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγμνοις η΄ καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η΄ , τὸ δέ τρίτον τριγώνοις η΄ καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄.

μετὰ δέ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο , ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η΄ καὶ τετραγμώνοις ιη΄ , τὸ δέ δεύτερον τετραγώνοις β΄, ἑξαγώνοις η΄ καὶ όκταγώνοις Ϛ΄.

35 Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεάς τῶν ιγ΄ τούτων σχημάτμων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρέπου θεωρεῖται· ὅσων μὲν γάρ ἀπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίεις, ἐξ αριθμηθεισῶν εῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἁριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθκοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ἡ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου. ὁμοίως δὲ εαὶ ὅσσων πολοέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ έ γωνιῶν ἐπιπέδων , τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὦ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.

36 Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος ἃς ἕεαστον ἔχει τῶν πολυέδρων τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. ἐξαριθκηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν ἅς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχαντα τὸ 2. τρίτον BS, Γ΄ A δεκαγώνοις Hu, πεγταγώνοις Εὶ pro τετραγμώνοις 4. μεταταῦτα A(S) , δὲ add, B1, sed αlia manus id rursus delevit 5. δύο καὶ ἐξηκονέαεδρπ A, δύο καὶ ἐξηκοντάεδρά 8, coniunx. S 9, δύο καὶ ενενηκονάεδρον A(B), δυοκαιεννεηκοντάεδρον S Εὶ 11 ΙΓ A, δεκατριῶν BS, item p. 856, 5 14. γωνἵαις pro γωνιῶν scripsit et 15. ἃς add Εὶ anctore Co 17. τρίτον BS, Γ A 19. ἃς add. Εὶ auctore Co 23. τὸ πέμπτον Εὶ auctore Co, ε AS, πέντε Β 27 τὸν add B1 πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς οὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν. ἀλλʼ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἕκάστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῖ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ΄ πολυέδρων ἐπεὶ περιέχεται τριγόνοις δ΄ καὶ ἑξαγώνοις δ΄ , γωνίας μὲν ἔχει στερεάς ιβ΄, πλευρὰς δὲ ιη΄ τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἳ τε γωνίαι ιβ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ΄, τῶν δέ δʼ ἑξαγόνων αἳ τε γωνίαι κδ΄ εἰσιν καὶ αἱ πλευραὶ κδ΄ γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ΄ , τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϚ΄ , ὥστε εἶναι πλευράς ιη΄ .

39 κ΄ . Ἔχει δέ τινα σύγκρισιν καὶ ταῦτα τὰ ε΄ σχήματα πρὸς ἄλληλα, περὶ ἧς ὕστερον ἐπισκεψόμεθα· δείκνυται γάρ ὑποκειμένων ἴσων τῶν ἐπιφανειῶν τὸ πολυεδρόεερον ἀεὶ καὶ μεῖζον. οἷον τὸ μὲν εἰκοσάεδρον τοῦ δωδεκαέδρου, τὸ δὲ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου , καὶ ὁμοίως τὸ μέν ὀκτάεδρον τοῦ κύβου, ὁ δέ κύβος τῆς πυραμίδος· ὅμοιον γάρ τι πέπονθεν τὰ στερεά ταῦτα τοῖς ἐπιπέδοις πολυώνοις· καὶ γὰρ ἐπʼ ἐκείνων, ὁπότε τὰς περιμέτρους ἴσας 1. τῇ τῆς Α σφαίρας Hu auctore Co, τῇ om. AB, unde τῇ α σφαίρᾳ Paris, 2368 (S) Εὶ 5. ἐπιφάνεια τῆι ἐπιφανείαι AΒ, corr. S 7. Α om Β1 Εὶ 12. Α om. Εὶ 13. ὁ τὴν βάσιν A, sed τὴν del. prima m. κύκλον A8 Εὶ, κύκλου BS τὸ ante ἴσον add ABS, del. Εὶ 14. 15, ὕψος — σφαίρας add. Εὶ 15. τῆς (ante ευραμίδος) om. Εὶ εἶχεν, ἀεὶ μεῖζον ἀπεδείκνυτο τὸ πολυγωνότερον, καὶ πάντων ὁ κύκλος μείζων, ὥσπερ ἐδείχθη νῦν τῶν πολυέδρων ἡ σφαίρα.

40 πρόδηλον δʼ ὅτι καὶ ὁ κῶνος καὶ ὁ κύλινδρος ἑκάτερος ὁ ἴσην ἔχων ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρμς ἐλάσσων ἐστὶν αὐτῆς. ὁ μὲν γὰρ κῶνος ὁ βάσιν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὅλην δὲ τὴν ἐπιφάνειαν μείζονα τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, ἴσος αὐτῇ καταλαμβάνεται, ὅταν τὸ ὕψος αὐτοῦ ἴσον ᾗ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὁ δὲ κύλινδρος ὁ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχων τῷ κώνῳ , ἥ ἐστιν ἴση τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ τὸ γ΄ τοῦ ἄξπνος τοῦ κώνου, καὶ ἴσος ὢν τῷ κύνῳ, ἴσος εὑρίσκετει καὶ τῇ σφσίρᾳ μείζονα τὴν ἐπιφάνειαν ἔχων αὐτῆς· αἱ γὰρ δύο βάσεις αὐτοῦ τῆς βάσεως τοῦ κώνου , τουεέστιν τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας, διπλασίους εἰσίν, ὥστε ὅταν ἑκάτερον τῶν σχημάτων ἴσην ἔχῃ τὴν ἐπιφάνειαν τῇ τῆς σφαίρας, τότʼ ἐξ ἀνάγκης ἡ σφαῖρα ἑκατέρου σχήματος μείζων ἐστίν.

41 Τοσαῦτα μὲν οὖν περὶ τῆς συγκρίσεως τῆς εφαίρας πρὸς τὰ ε΄ σχήματα καὶ τὸν κῶνον καὶ κύλινδρον, τὰ δʼ ὑπὸ τοῦ Ἀρχιμήδους, ὡς εἴρηται, δειχθέντα καὶ ἄλλως ἀπδείξομεν, πρνγράψαντες ὅσα εἰς τὰς ἀποδείξεις αύτῶν συντείνει λημμάτια.

42 (ά ), Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ διαμέτρου καὶ τυχοῦσαι ἐπὶ τὴν διάμετρον κάθετοι αἱ Γ∠ ΕΖ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΕ. ὅτι τὸ δὶς ὑπὸ ΖΕΓ· ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΒ ∠Ζ.

45 κγ΄ (δ΄), Καὶ ἐκ τούτου φανερὸν ὕτι, ἐὰν ἡμικνκλίου τινὸς ὡς τοῦ ΑΒΓ περιφέρειά τις ὡς ἡ ΑΓ∠ διαιρεθῇ εἰς ὁποσαοῦν ἴσα καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, αἱ ὑπὸ τῶν ἐτιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ ΕΖ ΖΓ ΓΗ Η∠ κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΑΒ στροφὴν γινόμεναι ἐπιφάνειαι ἴσαι είσίν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται, ἐπιζεοχθείσης τῆς ΕΒ, τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.

Ἡ μὲν γὰρ ὑπὸ τῆς Η∠ ινομένη ἐτιτάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὐπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠ ὧν μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρυυ τοῦ εἰρημένου κύκλου. λέγει γάρ Ἀρχιμήδης ὅτι ἐὰν κῶνος ἰσοσκελὴς ἐπιπέδῳ τμηθῇ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῇ μεταξὺ τῶν παλλήλων ἐπιπέδων ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κύνου τῆς μεταξύ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδων καὶ τῆς ἴσης ἀμφοτέραις ταῖς ἐκ τῶν κέντρων τῶν κύκλων τῶν ἐν τοῖς περαλλήλοις ἐπιπέδοιςʼ᾿  ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς Η∠ γινυμένη ἐπιμφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ 2. ἡ Η∠ A1 ex ἡ Ν∠ 3. ἡ δὲ — ΗΕ interpolatori tribuit Hu τῇ ηε BS, τῆι HC A 4. τοῦ Εὶ pro τὸ 9. τῶν Εὶ pro τῆς 10 τῆς Γ∠ΕΖ AS, distinx. B 11 ΚΓ Α1 in narg. BS), δ΄ add. Hu 15. επιφανειας καὶ εἰσὶν A(Β), ἐπιφανείας καὶ εἰσὶν ἐν S, corr. Εὶ auctore Co 20, 21. ὧν μέση — κύκλου interpolatori tribuit Hu 21 ὁ ante Αρχιμ. add. Β1, del. B3, item p, 368, 21 24, ὁ ante κύκλος add, S Εὶ (invitis AB atque ipso Archimede) 25. τῆς τε πλευρᾶς Archim. ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΚ ∠Θ καὶ τῆς Η∠, ὅπερ ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΕΒ ΚΘ ἵσον. ἡ δέ ὑπὸ τῆς ΓΗ ὁμοίως ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΛΚ καὶ γὰρ τοῦ κύκλου προσαναπληρουμένου καὶ τῆς ἴσης τῇ ΕΒ εἰς τὸν κύκλον ἐναρμοζομένης διὰ τοῦ Η. γίνεται τὸ ὑπʼ αὐτῆς καὶ τῆς ΛΚ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΛ ΗΚ καὶ τῆς δ ΓΗ. ἡ δέ ὑπὸ τῆς ΕΖ ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τώ ὑπὸ ΕΒ MΝ τοῦτο γάρ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΕΝ ΖΜ καὶ τῆς ΕΖ, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς τὰ αὐτά. καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ἐσχάτης τῆς ΑΕ κωνικὴ ἐπιφάνεια γινομένη ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΝ, ὅπερ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΝ (καὶ γὰρ ἰσογώνία ἐστιν τὰ ΑΕΒ ΑΕΝ τρίγωνα, καὶ ἡ ὑπὸ τῆς ΑΕ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΕΝ. καὶ τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν). καὶ ἡ ὑπὸ πασῶν ἄρα τῶν ∠Η ΗΓ ΓΖ ΖΕ ΕΑ γινομένη σύνθετος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΘ.

∠ῆλον δὲ ὅτι καὶ ἐὰν ἡ ὅλη τοῦ ἡμικυκλίου περιφέρεια εἰς ἴσα διαιρεθῇ, ὧν μία ἐστὶν ἡ ΑΕ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὐμοίαν στροφὴν ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΕΒΑ.

47 κϚ΄ (Ϛ΄). Ημικύκλιον οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἤχθω 2. Γ∠ ∠Ε Co pro Γ∠ ΛΒ γινομένη AΒ, corr. S ἐπιφπνεα (sine acc.) A , ἐπιφάνεια B, corr. S 3, KE A1 in marg. (BS) ἐγγεγράψθω ΑΒ , γεγράψθω S Εὶ τὸ ΑΒΓ ∠ΕΖ ΗΘΒ ΑΒ, τὸ βδεξηθβ S, corr. Co 4. περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον Co, περί τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ ΑΘΒ ΑΒ, καὶ ἔστω αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ αβ S, om. Εὶ 5. διέμετρος αὐτιῦ Εἰ 6. 7. τῆς ΓΑ ἡ δὲ) ΗΘ τῆς ΘΒ ABS, corr. Hu 7. 8. ἡ Γ∠ μετὰ τῆς ∠Θ ABS, ἡ Γ∠Θ μετὰ τῆς ∠Ε Εὶ, corr. Hu 8. τῇ ΡΘΣ Εὶ pro τῆι ∠ΘϹ ἡ om. AB Paris. 2368, add. S Εὶ 9. τὰ ΓΘ A, distinx. BS post τῇ AB add. τουτέστιν τῆι ∠E ABS, del. Εὶ γ΄ Hu ∠ A, δ΄ Β, τέτκρτον S Εὶ, κα΄ voluit Co (qui omnino in corruptissimo hoc theoremate restituendo aliam , nec tamen rectam viam ingressus est , circumferentiam enim γδ bifariam divisit in ξ et rectam ξσ iunxit, quibus ambagibus abstinuit vetus scrip- τυχοῦσα ἡ ΑΗ, καὶ ἡ ΑΗ περιφέρεια διῃρήσθω εἰς ἴσας ὑποσασοῦν περιφερείας τοῖς Μ Ν Ξ σημείοις καὶ ἀπὸ τῶν Α Η καὶ τῶν διαιρέσεων ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ Γ∠ ΑΕ ΕΖ ΖΗ, καὶ τῇ ΖΗ ἴση ἡ ΗΘ καθέτου οὕσης τῆς ΗΡ ὅτι, εἰ περὶ ἄξονα τὸν ΑΒ στραφέν τὸ ἡμικύκλιον ἀποκατασταίη, ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὖ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μείζων ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ.

Ἤχθωσαν κάθετοι ἀπὸ τοῦ Ζ, ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ ᾗ ΖΛ, ἐπὶ δέ τὴν ΗΡ ἡ ΖΚ, τῆς ΖΚ καθέτου, ὀξείας μέν οὔσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , μεταξὺ τῶν Η Θ πιπτοόσης, ἀμβλείας δέ οὕσης τῆς ὑπὸ ΖΗΘ , ἐκτὸς τοῦ Η, ὡς ἔχουσιν αἰ καταγραφαί. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ ἢ ΡΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπό ΑB ΛΡ (τοῦτο γάρ ἐν τῷ α’ θεμωρήματι δέδεικται), κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΑ ΛΡ καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΒΑΛ μετὰ τοῦ πώ ΒΑ ΛΡ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΒΑΡ, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ καὶ τοῦ ὑπὸ ΒΑΛ.

48 ἀλλὰ τῷ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ (τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται). καὶ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΗ 2. ὁποιεσοῦν Εὶ τοῖς ΜΝΞ et 3. ΑΗ καὶ A, distinx. BS 3. αἱ om. S Εὶ 4. κάθετος AΒ, corr. S 7, κύκλου η ἐκκέντρου A, κύκλου ᾗ ἐκ τοῦ κέντρου B, κύκλου ᾗ ἐκ κέντρου S, corr. Εὶ auctore Co κύκλῳ Εὶ auctore Co pro κύκλου 8. ἡ om. A, add. BS τὸ ἥμησυ BS, τὸ U+2220΄ A ἐπί τὸ ABS, corr. Co (conf. adnot. ad p 876, 16. 17) 11. τῶν ΗΘ Α, distinx. BS 18. ἢ S , ἡ A (cum proximis sic confundit 8 ηρ ηζ) 14. ὑπὸ ΑΒ ΑΡ A1, corr. A2 (BS) α’ Hu, β A(Β). δευτέρῳ S Εὶ, κ΄ voluit Co 21. τῶ δις ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΗΘΚ Α2 in marg. (fuerat primum τῶ τε , sed τε deletum), τῷ δὶς etc. BV (nisi quod V habet μετά τοῦ ὑπὸ θηκ), om. A1 Paris. 2368 S τῷ τε δὶς ὑπὸ ΡΗΘ καὶ τῷ ὑπὸ ΗΘΚ Εὶ καὶ τοῦ AΒS, μετὰ τοῦ Εὶ 22. τῷ (ante ὑπὸ ΗΘΚ ) add. Εὶ 23, τὸ ἀπὸ AS, τῷ ἀπὸ B, ὑπὸ corr. Εὶ auctore Co ὑπὸ ΖΗΘ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, πάλιν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον γίνεται τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ οὕτως· ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΖΘ μεῖζόν ἐστιν τῶν ἀπὸ ΖΗ ΗΘ τῷ δὶς ὑπὸ ΘΗΚ , καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Θ τοῦ ἀπὸ ΗΘ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΘΗΚ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἄσον ἐστὶν τῷ ἡμίσει τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὼ Ζ Θ. τῷ δέ ἀπὸ ΘΗ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΚΘΗ διὰ τὸ γʼ τοῦ β΄ στοιχείων· καὶ τὸ ἥμισυ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὼ Ζ Θ ἄσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΚΘΗ.

Καὶ ἐπεὶ τὸ ἥμισυ εοῦ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Ζ Θ ἔλασσόν ἐστιν ἀεὶ τοῦ δὶς ἀπὸ Ζ H, δῆλον ὡς ἡ ὑπὸ τῶν AΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ ΖΗ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κύκλου οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΗ μετὰ δύο κύκλων, ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΖΗ, ἐλάσσων ἐστίν.

49 κζ΄ (ή ). Οτι τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφντέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.

Κείσθω τῇ μὲν ΗΡ ίση ἡ ΡΣ, τῇ δὲ ΘΡ ἡ ΡΛ. λοιπὴ ἄρα ἡ ΛΣ τῇ ΘΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΡΘΗ. μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΡΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΗΡ τῇ ΡΣ, ἡ δὲ ΘΡ τῇ ΡΛ, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΣΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΚΘΗ τὸ ἔρα ὑπὸ ΣΗΘ 1. δευτέρας BS, β A 2. τὸ ὑπὸ ΚΗΘ ΑΒ, corr. Co (τὸ ὑπὸ θηκ S , quem errorem retinuit Εὶ, sed paulo post vs. 9 recte secutus est Commandinum) ἡμίσει S, U+2220΄ ΑΒ, item vs. 6 2, 3, ἐπὶ τὰ ΖΘ Α, distinx ΒS, item vs. 5. 7. 9 10 3. οὕτως ἐπὶ τὸ ABS, τὸ γὰρ Εὶ, corr. Hu 4. ἥμισυ S , U+2220΄ ΑB 8. στεχείου ABS, corr. Hu 9. ἥμισυ S, U+2220΄ A, S΄΄ Β τῷ ὑπὸ ΚΘΗ Co pro τῶι υπὸ ΚΗΘ 10. ἐπεὶ τὸ ἥμισυ S, ἐπὶ τὸ U+2220΄ AΒ 10. 11. ἐλάσσονω ἐστιν A(Β), corr. S 12. ἡ om. AΒ, add. S 13. ἡ (ante ἐκ) om. AΒS , add. Εὶ 15. κζ Α1 in marg. (ΒS); ή add. μετὰ τὸ AΒ, corr. S 20. post ἐστὶν τῷ add. τε ABS, om. Εὶ, item vs. 21 21. δὶς ὑπερ ΘΗ A(Β1), ὑπὸ corr. Β2S, ΡΘΗ 22. 23. ἴση — ἀπὸ ΗΘ om, Εὶ 24. τὸ ἄρα — p. 880, 7. ὑπὸ ΚΘΗ] pro his sic seribere ausus est Εὶ: τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ ΡΗΘ μετεὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ ἴσαν τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΗΣΛ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΜΘΗ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΗΘ καὶ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΛΗΘ, τὸ δέ ἀπὸ ΗΘ τῷ ὑπὸ ΗΘ ΜΣ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΣΗΘ, ὅπερ ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ ΡΗΘ, μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΘΗ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΗΡΚ καὶ τῆς ΗΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΗΘ.

50 κή (θ΄ ) Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Γ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒ ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠.

Τῇ Α∠ ἴση ἡ ΑΕ, τῇ δέ ΑΓ ἡ ΑΖ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων, τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ. τῷ δέ δὶς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΒ (διπλῆ γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΑ) καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΒ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΓ Γ∠ τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓ ΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ἀλλὰ τῷ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ (τὸ γὰρ ὑπὸ ΕΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΒΓ διὰ τὸ αὐτὸ στοιχείων)· καὶ τὸ ὑπὸ ΕΒΓ ἔρα, ὅπερ ἐστὶν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ Α∠ καὶ τῆς ΒΓ, μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠ ὥστε τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ∠ καὶ τῆς ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΓ∠.

52 λ΄ (τά ). Παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ κυρτὴ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ε ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ τμήματος.

Ἔστω γὰρ τμῆμα σφαίρας, οὗ πόλος μέν ἐστιν τὸ Κ σημεῖον , ἐκ πόλου δέ ἡ ΚΒ, καὶ ὁ διὰ τῶν Κ Β μέγιστος, οὗ διάμετρος ἡ ΚΓ, ἐφʼ ἣν κάθετος ἡ ΒΑ λέγαω 1. ΚΘ Α1 in marg. BS, ί add. Hu ἡ ΑΚΒΓ ΑΒ, ἠ ΚΒΓ Co. corr S 5 Ἔστω Co pro ὡς 6. ἴση τῇ idem pro ἐλάσσων νῆς 7. ἡ ΘΒΗ ΑΒS, corr. Co 8 ἡμίσειαν S U+2220΄ ΑΒ 11. τὴν ΚΑ Co pro τὴν Κ∠ 15. τῶν ΘΑ Α, distinx. B, τῶν θ ε S Εὶ 17. τῆς ὑπὸ ΘΖ ABS, corr. Co πολ??υ A2 ex πολλυ 19, λ A1 in marg (BS), τά add. Hu 26. τὸ ΚϹ σημεῖον AΒ, corr. S 26. 27, εκπολου ὅτι σφαιρικὴ ἐπιράνεια τοῦ τμήματος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ.

Ἔστω γάρ, εἶ δυνατόν , ἄνισα ταῦτα, καὶ πρότερον μείζων ἡ τοῦ τμήματος ἐπιφάνεια, καὶ τῆς ὐπεροχῆς αὑτῶν νοείσθω ἐλάσσων κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ Θ, ὥστε τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ τμήματος μείζθνa εἶναι τῶν δύο κύκλων, οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρος ἡ Θ, καὶ διῃρήσθω ἠ ΚΒ περιφέρεια εἰς ἴσας ὁποσοσοῦν, καὶ ἐφαπτύμεναι ἤχθωσαν, ὡς καταγέγραπται, ὥστε ἑκάστην αὐτῶν ἐλάσσονα εἶναι τῆς δυναμένης τὸ η΄΄ τοῦ ἀπὸ Θ· τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν προγέγραπται. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστιν τὸ ἀπὸ Θ τοῦ ὀκτάκις ἀπὸ ΗΒ, καὶ ὁ περὶ διάμετρον ἄρα τὴν Θ κύκλος μείζων ἐστὶν δύο κύκλων ὧν ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΗΒ. οὗτοι δὲ οἱ δύο κύκλοι καὶ ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὡς προδέδεικται τῷ Ϛ΄ θεωρήματι, μείζονές εἰσιν τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων ἐπιφανείας, ἥτις περιγέγραπται περὶ τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας ἔσται ἄρα αὕτη ἡ ἐπιφάνεια, καὶ πολὺ μᾶλλον ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας, ἐλάσσων κύκλων οὗ τε ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ καὶ οὗ διάμετρυς ἐστὶν ἡ Θ. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται, ὅπερ ἄτοπον.

53 (ιβ΄). Ἔστω δὲ μείζων ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς σφαιρικῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος· καὶ ὁ κύκλος ἄρα οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΓΚΑ μείζων ἐστίν τῆς κυρτῆς ἐπιφανείας τοῦ τμήματος. νοείσθω δὲ μεταξὺ αὐτῶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ τῆς Θ· ἔστω τῇ Θ 1. ἡ ante σφπιρκὴ add. Ei 5. τῆ ὑπεροχῆι A, τῇ περοχῇ B, corr. S 8. τοῦ ante κέντρου add. B Ei 11. τὸ Η A, τὸ η BS 45. ἡ ἐκ] ἐκ ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei, item proximo vs. 17. Ϛ΄ Hu, Η A, η΄ B, ὀγδόῳ S Ei (in 25. huius Co) εἰσιν Ei auctore Co pro εἶναι 17. 18. τῆς γινομένης ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων om. Ei 20. οὔτε AB, corr. Paris. 2368 V (οὗ τὲ S) ἡ (aute ἐκ) add. Hu 20. 21. ἐκ τοῦ κέντρου Ei 23. λα A1 in marg. (BS), ιβ΄ add. Hu ἡ ἐκ] ἐκ ABS, ἡ ἐκ τοῦ Ei 25. τὸ ὑπὸ ΚΓΑ AB, corr. S 27, post μνταξὺ repe- ἴση ἡ ΓΟ , καὶ διῃρήσθω ἡ Κ0Β περιφέρεια εἶς περιφερείας ἴσας ὁσασδήποτε, ὧν ἑκάστη ἐλάσσων ἔστω τῆς ΚΛΟ, ὡς ἔστιν πρὸ ἑνός, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΒ. ἡ δὴ ὑπὸ τούτων γινομένη ἐπιφάνεια κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ΚΑ στροφῆς ἀποκατάστασιν περιέχεαι ὑπὸ τῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας καὶ τήν αὐτὴν αὑτῷ βάσιν ἔξει καὶ ἔστιν ἴση μὲν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρον δύναται, ἐτιζευχθείσης τῆς ΓΛ, τὸ ὑπὸ ΛΓ ΚΑ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα, ἐλάσσων δέ τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιρανείας· πολλῷ ἄρα ὁ κύκλος οὗ ᾗ ἐκ κέντρου δύναταμι τὸ ὑπὸ ΟΓ ΚΑ ἢ τὸ ὑπὸ Θ ΚΑ ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαιρικῆς τοῦ τμήματος ἐπιφανείας. ἀλλὰ καὶ μείζων ὑπόκειται μεταξύ ὢν τοῦ τμήματος καὶ τοῦ κύκλου θὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΚΒ, ὅπερ ἀδύνατον ἴσα ἅρα ἐστὶν τὰ ζητούμενα.

54 λβ΄ (ιγ΄ ). Ἐὰν ὦσιν γ΄ εὐθεῖαι ὡς αἰ Α Β Γ, ὁ κῶνος 1. ἡ ΓΟ Co pro ἡ ΓΘ 2. 3. τῆς ΚΛΟ idem pro τῆς ΚΛΘ 4. δὴ AΒ, δὲ S Εὶ 4. 5, κατὰ — ἀποκατάσεασιν interpolatori tribuit Hu 5. στροφὴν, deleto ἀποκμτάσεασιν, Εὶ 6, 7, καὶ τὴν — ἕξει interpolatori tribuit Hu 6. αὐτῷ om. Co Εὶ 7. μὲν om. Εὶ 8. τὸ ὑπὸ ΛΚ ΚΑ ΑΒS, corr. Co 9. δ΄ Hu, ἔ A, ε Β, πέμπτον S Εὶ (ex 23. huius Co) 10. πολλῷ — 12. ἐπιφμνείας om. Paris. 2368 S Εὶ 10 ἡ ἐκ] ἐκ AΒ1), ἔκ τοῦ Β3, ἡ ἐκ τοῦ V 11. ἢ V, ή AΒ, τουτέστιν voluit Co τὸ ὑπὸ ΘΚΑ ΑΒV, distinx. Co 12. 18. ἐπιφπνείας — τμήματος bis scripta in A 13. ὢν om. S, unde Εὶ ὑπόκειται γὰρ μεταξὺ τοῦ cet. ἡ ἐκ] ἐκ ΑΒS, ἡ ἐκ τεῦ Εὶ 16. ὡς ἐὰν Εὶ, ὡσο??ν Α2 ex ὡσων, ut videtur, ὡς οὔ Β, ὡς ὂν S, ὡς ἂν Co ᾐ Co, η A, ἠ Β, ἢ S 19. οὗ ἡ ἐκ τοῦ Co, οὔση ἐκτου A, ρὔση ἐκ τοῦ B cod. Co, οὗ ἴση ἐκ νοῦ S κέντρου add. S Co, om. AB cod. Co ἢ om. Εὶ 22. λβ A1 in marg (BS), ιγ΄ add. Ηκ Γ Α, τρεῖς ΒS αἱ ΑΒΓ A, distinx. BS οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Α Β, ὕψος δὲ ἡ Γ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ ἡ Α.

Ἐκκείσθωσαν γὰρ δύο κύκλοι οἱ Ε Ζ, καὶ τοῦ μὲν Ε ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Α Β, τοῦ δὲ Ζ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δυνάσθω τὸ ὑπὸ Β Γ, ὕψος δὲ τοῦ μὲν Ε κώνου ἔστω τὸ ΕΗ ἴσον τῇ Γ, τοῦ δὲ Ζ ὕψος τὸ ΖΘ ἴσον ἔστω τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Γ, τουτέστιν ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν ΕΗ, τὸ ὑπὸ Α Β πρὸς τὸ ὑπὸ B Γ τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ζ, τουτέστιν ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, ἴσος ἄρα ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ὁ Ε κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΕΗ, τῷ κύνῳ οὗ βόσις μὲν ὁ Ζ κύκλος, ὕψος δὲ τὸ ΖΘ· ἀντιπεπόνθασιν γάρ αὐτῶν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.

55 λγ΄ (ιδ΄). Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ μενούσης τῆς ΒΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω· ὅτι τὸ γινόμενον ὑπ᾿ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένῃ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.

Ἤχθωσαν γὰρ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α Γ αἱ ΓΕ Α∠. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ∠ ὁρθῇ τῇ Ε ἴση, κοινὴ 2. ὑπὸ ΑΒ et 3. ὑπὸ ΒΓ A Paris. 2368 S, distinx. BV 6. οἱ ΕΖ A, distinx. BS 9, 10, τὸ ὑπὸ Α Β — δυνάσθω add. Co 11, ὑπὸ ΒΓ AS, distinx. 3 12. κώνου Hu pro κύκλου (proprie dicenda erant τοῦ κώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ Ε κύκλου) 13. τῇ Γ Ei, τῶι Γ ABV, om, Paris. 2368 S 15. τῇ Α Ei pro τῶι A 16. ὑπὸ AB — ὑπὸ ΒΓ ABS, distinx. Hu 17. 18. τουτέστιν — τοῦ Ζ interpolatori tribuit Hu, δυνάμει post Ε et post Z. add. Ei, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Z coni. Co 18. πρὸς τὴν Ζ δὲ ἡ B, ἰσογώνιον γίνεται τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓΕ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς Α∠ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς Α∠, τὸ ὑπὸ ΒΑ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠· ἔσται ἄρα καὶ ὡς τὸ ὑπὸ B Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠, οὕτως ἡ BΓ πρὸς ΓΕ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΒΑ∠, ὕψος δέ ἡ ΓΕ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ Α∠, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ· (διὰ τὸ ἀντιπεπονθέναι πάλιν τάς βάσεις αὐτῶν τοῖς ὕψεσιν). καὶ ἔστι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ στερεὸν ἴσον τῷ κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἡ Α∠, ὕψος δὲ ἡ BΓ· τὸ αὐτὸ ἔρα στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ κύνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ BΑ∠, ὕψος δὲ τὴν ΓΕ κάθετον. ἀλλʼ ὁ μὲν κύκλος οὗτος ἴσος ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ διὰ τὸ ιε΄ πάλιν Ἀρχιμήδους θεύρημα παντὸς γάρ κώνου ἰσοσκελοῦς ἡ ἐπιφάνεια, χωρὶς τῆς βάσεως, ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον ἀνάλογον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κώνου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ὅς ἐστιν βάσις τοῦ κώνου. ἐὰν ἄρα μενούσης τῆς BΓ περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἴση τῇ ὑπὸ τῆς ΑΒ ἐν τῇ στροφῇ γινομένη κωνικῇ ἐπιφανείᾳ, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος.

56 λδ΄ (ιε΄). Ἔστω πάλιν τρίγωνον τὸ ΑΓΖ καὶ τυχοῦσα διήχθω ἡ ΓΒ, ἧς μενούσης περιενεχθὲν τὸ τρίγωνον εἰς τὸ 1. 2. ΒΓΕ τριγώνω A1 ex ΒΓΕ τρίγανον 7. ἡ ΓΕ Co pro ἡ Γ 11. ἡ ante δόσις add. ABS, del. Ei 13. τῷ ante κώνῳ om. Ei μὲν om, S Ei 16. γινομένη κωνικη επιφανεια A, γιν. κωνικὴ ἐπιφάνεια B, corr. S ιε΄ Mu, Ι∠ ΑΒ Co, ἑνδέκανον S Εi (ergo hic Archimedem evolvere non duxit operae pretium] 17, παντὸς — 21. κώνου interpolatori tribuit Hu 19. aut μέσον λόγον ἔχει (sic Ei), aut μέση ἀνάλογόν ἐστιν scribere debuit interpolator 21, ἐὰν ἄρι Ss Co, εν παρε A, ἓν ἄρα B, ἐὰν γὰρ Paris. 2368 23. κώνου AΒ, corr. S 24, 25. γινομένη κωνικὴ ἐπιφανεια A, γινομένη κωνικῇ ἐπι- αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεὸν ἴσον ἐστίν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος ἴσος τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κατὰ τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ κάθετος.

Ἐκβεβλήοθω ἡ ΖΑ ἐπὶ τὸ Β· διὰ τὸ προδειχθὲ  ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἧ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΑ, τὸ δὲ ὑπὸ τοῦ ΒΖΓ γινόμενον ὁμοίως ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶ τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κύνου ἣν ποιεῖ ἡ ΒΖ, ὕψος δέ τὸ αὐτό· καὶ λοιπὸν ἅρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΓΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κολούρου κώνου ἣν ποιεῖ ἡ ΑΖ, ὕψος δὲ τὸ αὐτό ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ.

57 λε΄ (ιϚ΄). Ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ΒΓ καὶ ἤχθωσαν αἱ ΖΓ Α∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐν τῇ στροφῇ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ κέντρου ἐστὶν ἡ ΓΖ, ὕψος δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΖ, τουτέστιν τῆς ∠Γ.

Ἐπεὶ γάρ ὁ ἀπὸ τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου κύλινδρος ἴσος ἐστὶν κώνῳ βάσιν μὲν ἔχοντι κύκλον οὗ ἠ ἐκ τοῦ κάντρου ἐστὶν ἡ Α∠ ὕψος δὲ τὴν τριπλασίαν τῆς Δ∠Γ, ὁ δέ ὑπὸ τοῦ ΑB∠ τριγώνου γινόμενος κῶνος βάσιν μὲν ἔχει τὴν αὐτήν, ὕψος δέ τὴν Β∠ τὸ ἄρα ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου μετὰ τοῦ ὑπὲ 1. ὅτι om. S Ei 3. γινομενη ἐπιφανεια A, corr. BS κατὰ τὴν στροφὴν γινομένῃ ἐπιφανείᾳ Ei 7, τοῦ om. Ei 12. ην πειω A, corr BS 13. τοῦ ΒΖΓ Co pro τοῦ ΑΖΓ 16. τοῦ ΑΓΖ idem pro τοῦ ΛΓΖ 17. κολούρου] vide adnot. ad Lat. 18. τὸ αὐτό om. Ei, restituit et proxima ἡ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΑΖ interpolatori tribuit Hu τοῦ Γ Co pro τοῦ ΓΕ 20. λε A1 in marg. (BS), ιϚ΄ add. Hu τοῦ A∠ΓZ παραλληλογράμμου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κύνῳ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕψος ἔχοντι τὴν Β∠ μετὰ τριῶν τῶν ∠Γ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ ὑπὸ τοῦ ΒΓΖ τριγώνου γινόμενος ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κῶνος, ὥψος ἔχων τήν τε Β∠ καὶ ἅπαξ τὴν ∠Γ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν αὐτήν, ὕψος δὲ τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ ἢ τῆς ΑΖ.

58 Ἔτι δὲ καὶ τοῦτο φανερὸν ὅτι τῇ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφανείᾳ κυλινδρικῇ ρὔσῃ, ἴσος ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέσον λόγον ἔχει τῆς πλευρᾶς τοῦ κυλίνδρου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς βάσεως (τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδησ ἔδειξεν ιδ΄ θεωρήματι περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) ὥστε ἡ ὑπὸ τῆς ΑΖ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν κύκλψ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΓ∠.

59 λϚ΄ (ιζ΄). Ἐὰν μέντοι τὸ Β μεταξὺ ᾗ τῶν ∠ Γ, δείκνυται. ὁ γὰρ ὑπὸ τοῦ Α∠ΓΖ παραλληλογράμμου γινόμενος κύλινδρος, τοῖς ὑπὸ τῶν ΑΒ∠ ΖΒΓ τριγώνων γινομένοις κώνοις τὴν αὐτὴν ἔχων αὐτοῖς βάσιν καὶ ὕψος τὴν ∠Γ, ὑπερέχει οὐτῶν τῷ ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως κώνῳ ὕψος ἔχοντι τὴν διπλασίαν τῆς ∠Γ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον ἐστὶν τῷ αὐτῷ κώνῳ, ὅπερ: ~

60 λζ΄ (ιη΄). Ἔστω τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὰς Α∠ ∠Γ κάθετοι ἴσαι, καὶ διήχθω τις ἡ ΒΕ, καὶ μενούσης αὐτῆς περιενεχθὲν τὸ τετράπλευρον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκαθεστάτω ὅτι τὸ γινόμενον ὑπὸ τοῦ τετραπλεύρου στερεὸν ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ στροφῇ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ μίαν τῶν Α∠ ∠Γ, κάθετος.

61 λη΄ (ιθ΄). Κἂν ἀντὶ τοῦ τετραπλεύρου δὲ πεντάπλευρον ἦ τὸ ∠ ΑΒΖΓ ἢ καὶ ὁποσασοῦν πλευρὰς ἔχον, ὥστε τὰς ἀπὸ τοῦ Β ἐφ’ ἑκάστην τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ καθέτους ἴσας εἶναι, δειχθήσεται ὁμοίως τὸ ὑπὸ τοῦ πολυγώνου γινόμενον στερεὸν ἴσον κύνῳ πὗ ἡ μὲν βάσις ἴση ἐστὶν ταῖς ὑπὸ τῶν Α∠ ∠Γ ΓΖ γινομέναις ἐπιφανείαις, ὕψος δέ μία τῶν εἰρημένων ἴσων καθέτων. καὶ οὐδὲν διαφέρει, ἂν ἡ ἐσχάτη ἐφαρμόζῃ τῇ ΕΒ. ἑξῆς τὸ σχῆμα.

62 λθ΄ (κ΄). Τὸ δʼ αὐτό ἐστιν τῷ εἰρημένῳ λέγειν ὅτι, ἐὰν περὶ ἡμικύκλιον οὗ κέντρον τὸ Σ, γραφή τι πολύγωνον ὑποσασοῦν ἔχον πλευράς, ὡς τὸ ΒΕΖΘΛΓ, μενούσης δὲ τῆς ΒΓ περιενεχθέν τὸ πολύγωνον εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκα- 2. τρίγωνον ABS, corr. Ei auctore Co 3. πρὸ δυοῖν Hu, πρὸς δὲ ABS, proxime Co, πρὸ ἑνὸς Ei 5. γινομένης AB, corr. S ἐπιφάνεια A, corr. BS 6. τοῦ ∠ΒΓ Co pro τοῦ ΑΒΓ τριγώνων AB, corr. S 7. 8 γινομένης ἐπιφανείας AB, corr. S 13. ΛΗ 1 n marg (BS), ιθ᾿  add. Hu δὲ om Ei 14. τὸ ∠ΑΒ ΖΓΗ | καὶ A, τὸ δαβζγη καὶ BS, corr. Co post ᾗ καὶ add. ἄλλο τι πολύγωνον Ei ὁποσαου A1, ὁποσαουν A2, ὁποσουν B1, corr, B3S 15. κμθέτους A} ex καθέτου 19. ἴσων add. A1 super vs. 20. τῇ EB Hu pro τῆι AB εξης (sine spir. et acc.) A, ἐξ ἦς BS, corr. Hu εξῆς τὸ σχῆμα del. Co Εi 21. ΛΘ A1 in marg. (BS) κ΄ add. Hu 22. τὸ Σ Co pro τὸ Ε γραφῆτι A (ι in rasura), distinx. BS 23. τὸ ΒΕΖ ΘΛ A, coniunx. BS, Γ add. Co τασταθῇ, τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ καὶ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαῖραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνειά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν γινομένη κατά τὴν στροφήν, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας· πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Σ ἀγόμεναι ἐπὶ τὰς πλευρὰς κάθετοι. ὡς αἱ ΣΜ, ΣΚ ΣΗ ΣΑ Σ∠, ἴσαι εἰσίν. καὶ οὐ διαφέρει, ἐὰν τὸ ∠ τῷ O, ἢ τὸ Μ τῷ Ξ ταὐτὸν ἦ.

Δῆλον δʼ ὅτι, κἂν περὶ τομέα κύκλου, οἷον τὸν ΞΣΑ ἢ ΜΣΑ περιγραφῇ τι πολύγωνον, τὰ αὐτὰ δειχθήσεται.

63 μ΄ (κα΄). Πᾶσα σφαῖρα ἴση ἐστὶν κώνῳ οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, ὕψος δὲ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου.

Ἔστω γὰρ σφαῖρα ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καί, εἰ δυνατόν, πρότερον ἔστω μείζων ὁ κῶνος οὗ βάσις μὲν ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας, τουτέστιν ὁ κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, καὶ μεταξὺ αὐτῶν, τουτέστιν ἐλάσσων μὲν τοῦ κώνου, μείζων δὲ τῆς σφαίρας, νοείσθω κῶνος ἄλλος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἡ αὐτή, ὕψος δὲ ἡ Β∠, ἐλάσσων οὖσα τῆς ΓΒ, καὶ ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΑΕΒ ἤχθω ἡ ΑΚ δυναμένη τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ Γ∠· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Κ Β. καὶ τὰ ἡμίση· τὸ ὑπὸ ΑΒ∠ ἴσον ἐστὶν ἡμίσει τῷ ἀπὸ 3. βάσις μὲν ἡ Ei auctore Co pro ἡ μὲν 9. δʼ ὅτι Hu pro ἤδη τὸν Ξ ΣΑ A, coniunx. BS 11. μ A1 in marg. (B Paris. 3368 V, om. S), κα΄ add. Hu ἡ ante βάσις add. Ei 14, δὲ τὸ BS, το δε τὸ A 20 —p. 402, 2] totus hic locus misere turbatus eat in codicibus, quem nos, quantum probabili conieclura assecuti sumus, restituimus (longe alia ratione Ei, de quo vide append.) 20. 21. ἡ Β∠Ε ἐλάσσων ABS, corr. Co 21, τῆς ΓΒ Ei pro τῆς ΓΔ τοῦ ΑΕΒ Cο pro τοῦ ΑΒΕ 22. ἤχθω Co, ἐδείχθη ABS, εἰλήφθω Ei ὑπὸ ΑΒΓ∠ AB, distinx. s 23. 24. ἐπὶ τὰ ΚΒ A, distinx. B, ἐπὶ τὰ β κ S 24. καὶ τὰ ἡμίση — p. 400, 1. τὰ Β Κ om. S Ei 24. καὶ AB3, om. B1 ἡμίση Co pro ἤμισυ ἡμίσει add. Hu (ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ καὶ τῆς ἡμισείας Co) τῆς ἐπὶ τὰ Β Κ τὸ γὰρ δὶς ὑπὸ ΑΒ∠ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΒ Γ∠, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ, τὸ ἀπὸ ΑΒ ἐστὶν ἴσον ὸν τοῖς ἀπὸ ΑΚΒ, ὀρθῆς οὔσης τῆς πρὸς τῷ Κ ἐν ἡμικυκλίῳ.

64 ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸ ἡμικύκλιον πολύγωνον ἰσόπλευρον ἀρτιόπλευρον τὸ ΑΕΖΗΘΛΒ, ὥστε ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΒΛ περιφέρειαν τῆς BΛΚ (δυνατὸν δὲ τοῦτο· τέμνοντες γάρ τὸ ἡμικύκλιον δίχα καὶ τὴν ἡμίσειαν περιφέρειαν δίχα καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες λείψομέν τινα περιφέρειαν ἐλάσσονα τῆς ΒΛΚ, ὡς τὴν ΒΛ).

65 καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΟ. ἐπεὶ οὖν ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΛΒ τρίγωνον τῷ ΓΟΒ τριγώνῳ καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΛ τῆς ΓΟ, ἡ, δὲ ΛΒ τῆς ΒΟ, καὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΛΒ τῆς ΑΛ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΛ ΓΟ μεῖξόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΛΒ. διὰ ταὐτὰ δὴ κἂν μὲν τὴν ΚΒ ἐπιζεύξωμεν, παράλληλον δὲ διὰ τοῦ Γ μέχρι τῆς ΚΒ. τῇ ΑΚ ἀγάγωμεν, τὸ ὑπὸ τῆς ἀγομένης παραλλήλου καὶ τῆς ΑΚ μεῖζόν ἐστιν ἡμίσους τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΒ εὐθείας· καὶ 1. ἐπὶ τὰ ΒΚ Α, distinx. Β τὸ γὰρ δὶς — 4. ἠμικυκλίῳ interpolatori tribuit Hu (om. Ei) ὑπὸ ΑΒ∠ Co pro ὑπὸ ΑΒΓ 4. 2. τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΒΓ∠ Α, distinx. BS 2. ἀπὸ add. Co ἐσεὶν om. S 4. γεγράφθω S Ei 5. ἀρτιόλευρον interpolatori tribuit Hu τὸ ΑΕΖ ΗΘΛΒ A, coniunx. BS 6. δυνατὸν — 9. τὴν ΒΛ forsitan interpolatori tribuenda sint, quoniam eadem iam supra cap. 54 scriptor exposuit 7. τὸ om. AS, add. B Ei ἡμίσειαν S, L  AB 13. ὑπὸ ΑΛΓΟ Α, distinx. BS, item p. 402, 1. 3 sq. 7 13. 14. ἡμίσους πολλῷ τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ ἡμίσους τοῦ ἀπʼ αὐτῆς, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΑΒ∠. καὶ ὁ κῶνος ἄρα, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δέ ἡ ΑΒ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δόναται τὸ ὑπὸ ΑΒ∠, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ. ἀλλʼ ὁ κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΓΟ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κώνῳ οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΛ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΟ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗτος, τουτέστιν οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΟ, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου, οὖ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒ∠, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, τουτέστιν τοῦ ἴσου κώνου οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ Β∠ ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ∠, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.

66 καὶ δέδεικται τῷ δ΄ θεωρήματι ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δέ 1. ἡμίσους τοῦ ἀκʼ αὐτῆς] τοῦ ἐπʼ αὐτῆς ABS, eo quod iisdem continetur Co, corr. Hu 2 τοῦ ὑπὸ ΑΒ∠ Co pro τὸ ὑπὸ ΑΔΒ 4. μεῖζον AΒ Paris, 2368 S, corr. V 7 τοῦ om A add. BS ἡ ΓΟ, ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν στερεῷ σχήματι, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρον τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ Β∠, ὥστε καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ Β∠. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν, ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν.

67 μα΄. (κβ΄). Ἔστω δέ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ, τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ ὡς γὰρ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου νοείσθω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δέ ἡ Κ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ἡμικύκλιεν πολύγωνον ἰσόπλευρον, ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν ∠Ε τῆς ὐπεροχῆς τῶν Κ ΑΒ ἔλάσσονα εἶναι. καὶ ἔστιν μείζων ἡ ∠Ε τῶν ∠Α ΒΜ, ἐπεὶ καὶ ἡ Ν∠ τῆς ∠Α καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῆς Κ ἐλάσσων ἐστίν.

68 ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατά τὴν περὶ ἄξονα τὴν 3. ὥστε Co pro ὡς δὲ 7. μείζων AB, corr. S στερεὸν AB, εἰρημένον S Ei 8. ἀδύνατόν A1 ex δυνατόν 9. μα A1 in marg. (BS), κβ΄ add. Mu 13. 14. ὡς—ΑΒΓ interpolatori tribuit Hu 13. τὸ S, AB 15. 16 δὲ η μείζων A(BS), K add Co 18. τῶν ΚΑΒ ABS, ΔΜ στροφὴν διὰ τὸ δ΄ θεώρημα ἴση ἐστὶ΄ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, δῆλον ὡς καὶ τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαίραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐστιν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας διὰ τὸ κʼ θεύρημα, τῷ δὲ κώνῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ BΓ, τουτέστι τῷ. κώνῳ, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κῶνος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ εἶναι πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ ἀντιπεπονθέναι τάς βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ τὸ γινόμενον ἄρα ὑπὸ τοῦ πολυγώνου στερεὸν κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ∠Μ στροφὴν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ. καὶ ἔστιν μείζων ἡ Κ τῆς ∠Μ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Κ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ BΓ, ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα μᾶλλον τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν ἔλασσόν ἐστιν τῆς σφαίρας, ὅπερ ἀδύνατον. ἴσος ἄρα ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ.

69 μβ΄ (κγ΄). Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου, τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί, ὥστε τὰς ἐπιφανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.

Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ Α∠ΒΕ, καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η, καὶ 1. διὰ τὸ ε θεώρημα AΒ, διὰ τὸ πέμπτον θεώρημα S Εi, om. Co, corr. Hu 2. δυναμένη τὸ ὐπὸ ∠M add. Hu auctore Co, item vs. 5 sq. (δύναται τὸ ὑπὸ AB ∠M Ei) 6. 7. ἐκ τοῦ κέντρου — τὸ κ΄ θεώρημα om. Ei 7. κ A(B), εἰκοστὸν S, 35. Huius Co τῷ δὲ κώνῳ — 18> ἡ ΒΓ del. Ei 9. ἴση add. Hu 10. κώνωι ABS, corr. Co 12. ὑπὸ ∠Μ ΑB Co pro ὐπὸ ∠ΖΑΒ (distinx. BS), item vs. 13 et 17 sq. pro ὑπὸ AB 15. 16. κατὰ — στροφὴν om. Co 16. τὴν ∠Μ Hu pro τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Β, καὶ ἐκκείσθιοσαν δύο κύκλοι οἱ Θ Κ, ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ Α∠, ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ ∠Β· ἔσται ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ∠ΑΕ τμήματος, ὁ δὲ Κ τοῦ ∠ΒΕ τμήματος· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Α∠Β καὶ κάθετος ἡ ∠Γ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η, τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ∠ΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ∠ΒΕ τμήματος τῆς σφαίρως.

70 μγ΄. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μέν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.

71 Ἐδείχθη δὲ ἀνώτερον, κἂν μὴ εἰς δύο ἴσα ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου τμηθῇ, ἀλλʼ εἰς ὁποσαοῦν, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἐφαπτόμεναι ἀχθῶσιν, ὡς ἐκεῖ καταγέγραπται, ἡ ὑπὸ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων γινομένη κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν ὁμοίως δ΄ μεγίστοις κύκλοις.

72 Καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν ὑπὸ Ἀρχιμήδους δειχθέντων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου τοσαῦτʼ ἐστίν, ἑξῆς δὲ τούτοις γράψομεν, ὡς ὑπεσχόμεθα, τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων, πυραμίδος τε καὶ κύβου καὶ ὀκταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου ταὶ τὴν ἔφπδον τῶν ἀποδείξεων ἐχούσας, οὐ διὰ τῆς ἀναλυτικῆς λεγομένης θεωρίας, διʼ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν 3. ∠ A, τέσσαρσι BS ἴσην ἄρα AB, ἡ ἄρα S, corr. Ei 7. τὸ Ϛ AB, τὰ ἓξ S 8. τέσσαρα S 13. lacunam indicavit Co (temere neglexit Εi) 16. Ἐδείχθη — 21. κύκλοις om. Co, interpolatori tribuit Hu 16. ἀνώτερον] propos. 24 19. ηινομένη* A 22. τοῦ ante Ἀρχιμ. add. Ei 27. καὶ τὴν — ἐχούσας et p. 412, 1. τῶν προειρ. σχημάτων et p. 412, 3. ἐπ εὶ καὶ — 6. χρεία interpolatori tribuit Hu ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις τῶν προειρημένων σχημάτων, ἀλλά διὰ τῆς κατὰ σύνθεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον καὶ συντομώτερον ὐπʼ ἐμοῦ διεσκευασμένας ἐπεὶ καὶ τὰ λήμματα πάντα μικρά τε καὶ μεγάλα διὰ τοὺς πολλοὺς τῶν φιλομαθούντων κατέταξα τὸν ἀριθμὸν ἑκκαίδεκα ὧν ἐστιν ἐνταῦθα χρεία. προγράφεται δὲ τῶν συγκρίσεων τάδε.

73 μδ΄ (α΄). Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον.

74 με΄ (β΄). Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

75 μϚ΄ (γ΄). Ἐκκείσθω τετράγωνον, ἐφʼ οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ ὀκταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἳ τε ΑΓ Β∠ διάμετροι τοῦ τετραγώνου καὶ ἡ ΕΖ· ΕΖ ἄρα ἐκ κέντρου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις· ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΗ (ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ), καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ ἡ ΕΗ ἥξει διὰ 1, 2. Ἔστω τρίγωνον ὀκταέδρου τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγεγρεμμένου τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ αὐτὸ cet. coni, Hu 1. τοῦ ὀκταέδρου] τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ABS, quae om. Ei 3, τὰ add. Hu ἐπίπεδον om, S, unde ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος Ei 6. τής anle ∠Ε add. Ei 8. διπλάσιός ἐστιν Ei invitis ABS 9, 10. δυνάμει τετραπλάσιον ἄρα ABS, corr. Co 11. ἐπεὲ BS, ἐπὶ A μὲν add. Hu 11, 12. διὰ τὸ Θ AB cod. Co, διὰ τὸ ἔννατον S Ei, corr. Co 12. στοιχείου ABS, corr, Hu ἐστὶν del. Co 14. τὰ ἄρα S Cο, τὸ ἔρα AB cod. Co 18. μϚ A1 in marg. (BS) γ΄ add. Hu 19, τὸ AB Γ∠Ε A, coniunx. BS 22. τοῦ * Ζ A 23. ἴση — τῇ HB forsitan interpolator addiderit 23 24. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ καὶ ΕΒ coni. Co (oportebat καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ EB; at rectam εβ, τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλου ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ΑΒΕ κύκλου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΗ πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΗ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΗΑ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΗ ἡμίσος; ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΖΗ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΕΖ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΖΗ τοῦ ἀνὸ ΖΗ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον· καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΖΗ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν ἐστιν.

76 μζ΄ (δ΄). Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγεγραμμένον εἰς σφαῖραν, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ ∠, καὶ ἤχθω ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε (τὸ Ε ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου κύκλου, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς), καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω· ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ διπλῆ ἐστιν.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ ΕΓ· ἴσαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ τρίτου μὲν ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΕΒΖ, διμοίρου δὲ ὁρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΕΖ ΑΒΓ, ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΕ, τουτέστιν ἡ 1. τρίγωνον et ἡ ἄρα — 2. τοῦ ΑΒΕ add. Α2 in marg. (BS) 1. κύκλομ add. Hu auctore Co 2. κύκλου add. Hu, τριγώνου Εi auctore Co 9, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ AB cod. Co, corr. S Co 9 10. τῶι ἀπὸ ΘΗ ABS, corr. Co 12. ὡς ἡ ΕΒ ABS, corr. Co 13. τὰ ΕΖ ἡ ΕΖΘ A, corr. BS 13. 14. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ ΑΒ cod. Co, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ζθ S, corr. Co 17. μζ A1 in marg. (BS). δ΄ add. Hu 19. τοῦ add. S 20 τὸ δὲ Ε ἄρα AB, δὲ del. S 25. ἐπεὶ Paris. 2368, ἐπὶ ABSa ΑΕ, πρὸς ΕΖ. δοπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΖ διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ.

77 μη΄ (ε΄.) Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ ∠ΗΒ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἴση ἡ ΖΗ· ὅτι ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ Ε∠ Ζ∠ Γ∠. ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ δ περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν (πενταγώνου γὰρ ἡ ∠ΓΒ), εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ∠ΕΓ γωνία δύο πέμπτων ὀρθῆς· ὤστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓ∠ Ε∠Γ τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλʼ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΓ ἴση ἐστίν, κοινὴ δὲ ἡ ∠Η καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΓ, ἔστιν ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ εὐθεῖα τῇ ΛΓ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ τεσσάρων πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕ∠· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε∠Ζ δύο πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ τῇ ὑπὸ Ε∠Ζ ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΖ τῇ Ζ∠ ἴση ἐστίν, τουτέστιν τῇ ∠Γ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε∠Γ τῇ ὑπὸ ΕΓ∠, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΓ, καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ∠ΓΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ. ὑπὸ ∠ΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ Ζ∠Γ ἐστὶν ἴση ἰσογώνιον ἄρα τὸ ∠ΕΓ τρίγωνον τῷ ∠ΖΓ τριγώνῳ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς Γ∠, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Γ∠. ἴση δὲ ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ EΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΖ ἡ ΕΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ EΖ.

78 μθ΄ (Ϛ΄). Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

79 κείσθω δὴ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ∠Ε· φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ∠Α τῆς Γ∠, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ. καθόλου γάρ, ἐὰν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἡ ΑΒ, καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ, καὶ τῇ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ Γ∠, καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὑτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ, διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Γ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, 3. τῆς ante ΓΒ add. Ei 5. ἄρα add. Hu auctore Co 3, δʼ Co, Γ Α (S, sed id in Paris. 2368 punctis notatum), Γ΄ Β θεωρήματος ABS, corr. Hu (στοιχείοις τὸ δ΄ θεώρημα τοῦ τρισκαιδεκάτου Ei) 10. 11. ἅπαξ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστιν τῶ ὑπὸ A(BS), corr. Co (ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ etc. imperite Ei) 12. τὸ τρίτον θεώρημα S Ei. τῷ γ΄ θεωρήματι Hu 13, τῶ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ bis scripta in A 18. ἴσον τὸ ὑπὸ A, corr. BS 19. τρίτον τοῦ δευτέρου στειχείου S καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ∠Ε καὶ γάρ, τῇ ∠Γ ἴσης τεθείσης τῆς ΓΒ, ἡ ὅλη ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΓ ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Ε, ἐπειδήπερ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Α, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Ε. καὶ διελόντι ὡς ἡ Α∠ πρὸς Γ∠, ἡ ΕΓ πρὸς ∠Ε. ἐλάσσων δὲ ἡ Α∠ τῆς ∠Γ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΓ· τῆς ΔΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ∠ΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ7 καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ, τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε, μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ζονΓΕ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠Γ· καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε τὸ ἄρα ἐννάκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε καὶ τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ, τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ. λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ, ὃν α’ πρὸς γ΄ τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ α’ πρὸς γ΄ συνθέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ, πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ ἐδείχθη δὲ τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

80 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς BΓ μεῖζόν ἐστιν.

81 ν΄ (ζ΄). Γῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφʼ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκοσαέδρου. Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ Ε κέντρον, ἡ δὲ ∠ΚΒ πενταγώνου ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμετρον αὕτη δέ ἐστιν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις, καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου, καί τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϚ΄ θεώργμα τοῦ ιγ΄. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Λ∠ ΛΒ ΛΚ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρθή ἐστιν ὑπὸ ΒΓΛ, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ι΄ θεώρημα τοῦ ιγ΄· ὁμοίως καὶ ἡ Λ∠. ἔτι δὲ καὶ ἡ Β∠ τὸ ἄρα ΒΛ∠ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεσρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ Β∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων, ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν B∠ καὶ ἡ E∠ ἄρα ὀρθή ἐστιν πρὸς αὐτό ταῦτα γὰρ ἐν τοῖς στερεοῖς τῶν στοιχείων ἐδείχθη· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ∠ ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον, ὁρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ. ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον ὥστε καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ 0Ν· δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ R∠Λ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτων τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν 2. 3. αὔτη — στοιχείθις interpolatori tribuit Hu 3, τῶν ΕΓ ΑΒ, distinx. S 4. αἱ ZEH ΓΛ Hu, αἱ ΖΕ ΗΓΑ ABS, αἱ ΖΕΘΗ ΓΛ Co, αἱ ΕΗ ΓΛ Ei ἑκατέρας ABS, corr. Ei auctore Co 4. 5. τῶν ΕΦΓΛ A, dstinx. BS 7. θεωρήματι Mu 10. ὑκὸ ΒΓΑ Co pro ὑπὸ ΒΑΓ διὰ τὸ θεώρημα ABS ΕI, numerum add. Co 11. ἔτι Ba, ἐστιν A, ἐστὶ B1S Ei 13. 14. πρὸς ὀρθάς ἐστι add. Ei auctore Co, tum post καὶ τὸ add. α AS cod. Co, α’ B, quod punctis nostatum in S del. Co 14. τὸ (post ἐστὶν) Co, ηο A cod. Co, ἡ o Β, ηο S 15. καὶ ἡ Β∠ — 17. ἐδείχθη interpolatori tribuit Hu 18. τὸ Β∠Λ Hu, τὸ ΒΑ∠ Co pro τὸ ΒΑΛ 20. τὸ Β∠Λ Hu pro τὸ ΒΛ∠ 22. 23. τό τε ΓΚ∠ καὶ τὸ ΒΑΛ ABS, corr. Co (τό τε ΑΓΛ καὶ τὸ ΒΛ∠ Ei) ἐπὶ τὸ Β∠Α τρίγωνον. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δ΄. τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ· ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ (ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν), καὶ ἡ ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση (τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ). καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ· οἳων ἄρα ἡ ΚΛ Ϛ΄, ἡ ΛΝ δ΄ καὶ ἡ ΚΝ β΄, καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός· τριπλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μεῖζονά ἐστιν ε΄ τῶν ἀπὸ B∠.

82 Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ ΚΞ· διὰ μὲν οὖν τὸ ε΄ θεώρημα τῶν προγραφομένων ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΞ, διὰ δὲ τὸ Ϛ΄ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΞΓ μεῖζον τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ΞΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΓ, τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΙ (ἰσογώνια γὰρ τὰ ΟΝΙ ΛΙΜ ΛΚΓ τρίγωνα)· τὸ ἄρα ἀπὸ ΟΝ εἴκοσι τῶν ἀπὸ ΝΙ μεῖζόν ἐστιν. καὶ λϚ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ ψκ΄ τῶν ἀπὸ ΝΙ μείζονά ἐστιν. ψκ΄ δὲ τὰ ἀπὸ ΝΙ ὀγδοήκοντά ἐστιν τὼ ἀπὸ ΛΙ ἐδείχθη γὰρ τριπλῆ ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ). ὀγδοήκοντα δέ τὰ ἀπὸ ΙΛ εἴκοσί ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΚ (διπλῆ γάρ ἡ ΛΚ τῆς ΛΙ). εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΛ ιε΄ ἑστὶν τὰ ἀπὸ Β∠ 1. καὶ διπλῆ — τῆς ΒΚ om Ei τῆς ΒΚ Co pro τῆς ΟΚ 3. καὶ add. A1 super vs. 4. τῇ ΓΜ Co, τῆς Μ AB, τῇ μγ S Ei 8. οιον (sine spir. et acc.) A, oἷον B, corr. S ἡ ΛΝ καὶ ἡ KNB A, distinguenda esse significavit B, ἡ λν τεσσάρων καὶ ἡ κν δύο S Ei 11. ἐστιν ε΄] ἐστιν τε A, ἐπτι Β, ἐστι τριῶν S, ἐστι πέντε Ei auctore Co 12. ἡ ΚΞ Cο, ἡ ΗΚΞ Η |Γ Α, ἡ ηκξ νεγ Β (ac similiter cod. Co), ἡ νκξ s 14. 15. ἡ ΕΞ] τὸ ς ΑΒ, τὸ σ s. τὸ ΕΞ Co. ἡ corr. Ei 20. 21. γὰρ γὰ ON Ι Λ ΙΜΑv ΚΓ Α. γὰρ τὰ ονι λιμ ακγ BS, ΛΙΜ om. Ei, ΛΚΓ corr. Co 23. ∠Ε τὰ ΑΒ, corr. S 25, 26 γὰρ ἡ ∠Κ τῆς ∠Ι ABS, corr. Co 26. ἀπὸ ΚΛΙΕ τῶν ἀπὸ Β∠ μείζονα A (BS, nisi quod κλ ιε), τα corr. et μείζονα del. Co, ἐστιν add. Hu (ἰσόπλευρον γάρ ἐστιν τὸ ∠ΒΛ τρίγωνον, καὶ κάθετος ἡ ΛΚ, καὶ ἐπίτριτος δυνάμει ἡ Β∠ τῆς ΚΛ)· ὥστε λς΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ δεκαπέντε τῶν ἀπὸ Β∠, καὶ δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ OΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

83 να΄ (η΄). Εὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω ἡ ΑΓ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ∠Ε κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ∠Ζ, λέγω ἔτι ὡς ὅλη ἡ ΑΒ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΑΓ, οὕτως ὅλη ἡ ∠Ε πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ∠Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τεπράκις ὐπὸ ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ, καὶ συνθέντι ὡς τὸ τετράκις ὐπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ. ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ7 διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων, τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ∠ΕΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ· καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότερος ἡ ∠ΕΖ πρὸς ∠Ζ. καὶ συνθέντι ὡς συναμφότεραι αἱ ΑΒ ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ, τουτέστιν δύο αἱ ΑΒ, πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότεραι αἱ ∠Ε ΕΖ μετὰ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν δύο αἱ ∠Ε, πρὸς ∠Ζ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς ∠Ζ.

85 νβ΄ (θ΄). Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τριπλῆ ἡ ΑΓ τῆς Γ∠, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· ἡ ΑΓ ἄρα τῆς ΒΓ δυνάμει τριπλασίων ἐστίν (ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΓ Β∠Γ τριγώνων). τετμήσθω δʼ ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τῷ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ΒΘ, καὶ γεγενήσθω ἡ ΓΕ τῆς ΕΖ δυνάμει πενταπλῆ (δυνατὸν δὲ τοῦτο ἡ γὰρ ΕΓ τῆς Ε∠ μήκει, τριπλῆ δυνάμει ἐνναπλῆ)· λέγω ὅτι λόγος ἐστὶν τῆς ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄.

Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ ἡ ΖΗ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Κ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΓΕ ἑαυτῆς τμήματος τῆς ΕΖ πενταπλάσιον δύναται, καὶ ἡ διπλῆ τῆς ΕΖ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Κ, ἡ ΚΖ ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ΖΓ διὰ τὸ θεώρημα τοῦ ιγ΄ στοιχείων ὥστε καὶ ἡ ΓΗ. ἄκρον καὶ 2, ὡς μἱ ΑΒ Β∠ ABS, corr. EI 3. κατὰ ΓΖ A, dastinx. BS 7. A1 in marg. (BS), θ’ add. Hu 8. καὶ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΒ, corr. S 11. 12. τῶν AB ΓΒ ∠Γ Α, recte distinx. BS 13. δη ΒΓ Α, δὲ ἡ βγ 31, δὴ ἡ βγ B3S, corr. Hu 20. μήκει et 21. δυνέμει ἐνναπλῆ del. Ηυ (vide adnot 1 ad Latina) 21. ὁ ante λόγος add: S Ei. 22. πρὸς τὴν ΓΖ AB Co. πρὸς τὴν βγ S, quod in πρὸς τὴν ζγ corr. Sca 27, τῶν KH KZ ἄρα AB, distinx. S 28. στοχείου ABS, corr: Hu auctore Co μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΖΗ. ἀλλὰ διὰ τὸ προδεχθέν ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΘ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΖΓ καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΖΗ, ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΓΖ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς μὲν BΓ· δυνάμει τριπλῆ ἐστιν, τῆς δὲ ΗΖ πενταπλῆ, οἵων ἄρα δυνάμει ἡ ΑΓ ιε΄, τοιούτων ἡ μὲν ΒΓ ε΄, ἡ δὲ ΖΗ γ΄· ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γʼ ὥστε καὶ ἡ ΒΘ πρὸς ΖΓ λόγον ἔχει δυνάμει ὃν ε΄ πρὸς γ΄.

86 νγ΄ (ι΄). Πάλιν ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ οὗ κέντρον τύ Ζ, καὶ πενταπλάσιον τὸ ἀπὸ ΓΖ τοῦ ἀπὸ ΕΖ, καὶ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Δ, καὶ ἔστω μείζων ἡ B∠· ὅτι τὰ ἀπὸ ΓB Β∠ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΓΕ.

Κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΖΓ· ἡ ΗΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΗΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΕΓ τῇ ΑΗ (ὅτι καὶ ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ), ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠ (ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΗΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως ΕΑ πρὸς ΕΓ τοῦτο γάρ δείκνυται διὰ τοῦ α’ τοῦ Ϛ΄ στοιχείων, τετραγώνου ἀναγραφέντος ἀπὸ τῆς ΕΓ καὶ συμπληρωθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΕ παραλληλογράμμου καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠. 6. τῆς ∠Ε ΗΖ A1, corr. A rec. BS 7. ἡ δὲ ΖΗΓ A, distinx. B (ἡ δὲ ζη τριῶν S Ei) 8 et 9. δυνάμει ὃν Hu pro ὃν δυνάμει Ε πρὸς τὰ Γ A, πέντε πρὸς τὰ τρία Β, πέντε πρὸς τρία S Ei 40, ΝΓ A1 in marg. (BS), ι΄ add. Hu οὗ Hu auctore Co pro καὶ 14. τὸ ἀπὸ ΓΒ Β∠ A, τὸ ἀπὸ γδβ βδ Β (sed γδβ ut spurium notatum), corr. S (τὰ ἀπὸ ΓΒ∠ Ei) post πενταπλάσια add. ἐστι Ei, item vs. 18 post ἄρα 15. ἡ ΖΗ ΗΓ ΑΒ, ἡ add. S 17. τῶ ἀπὸ ΘΗ A(BS), corr. Co 21. ὡς ἡ Ε  πρὸς ABS, corr. Co (ὡς ἡ ΕΗ Ei) 23, τοῦτο — 25. παραλληλογράμμου interpolatori tribuit Hu 24. στοιχείων AB, στποχείου S Ei 26. πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ ABS, corr. Co πλάσια τοῦ ἀπὸ ΒΘ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚ ΚΜ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ ΖΗ.

89 ἐκκείσθω οὖν κύκλος ὁ περιλαμβάνων τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τυχοῦσα διηγμένη ἡ ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω τῷ Ο, καὶ μεῖζον ἔστω τμῆμα τὸ ΟΝ· δεκαγώνου ἄρα ἡ Ν0 διὰ τὸ προδειχθέν. καὶ ἐπεὶ ἡ τοῦ τριγώνου τοῦ ἰσοπλεύρου τοῦ εἰς τὸν κύκλον οὗ κέντρον τὸ Ν γραφομένου τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς ΝΞ ἐκ κέντρου, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ βιβλίῳ στοιχείων, ἦν δὲ ἡ τοῦ τριγώνου ἡ ΚΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ΝΞ. καὶ εἰσὶν ἀμφότεραι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημέναι· διὰ τὸ ἐν ἀρχῆ τοίνυν ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ, ΚΜ πρὸς ΝΟ. καὶ τὰ τετράγωνα. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΚΜ τῶν ἀπὸ ΞΝΟ ἐστὶν τριπλάσια. ἐδείχθη δὲ καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΗ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚΜ τριπλάσια ἴσα ἄρα τὰ ἀπὸ ΞΝΟ τῷ ἀπὸ ΖΗ. καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΝΞ ἑξαγώνου, ἡ δὲ ΝΟ δεκαγώνου ἡ ΖΗ ἄρα πενταγώνου ἐστὶν πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν κύκλον, οὗ κέντρον τὸ Ν, γραφομένου (δέδεικται γὰρ ἐν τῷ ιγ΄ στοιχείων καὶ τοῦτο). ἡ δὲ ΖΗ πενταγώνου οὖσα πλευρὰ καὶ δωδεκαέδρου πλευρά ἐστιν ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου.

90 νϚ΄ (ιγ΄). Ἄλλως ὅτι αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον καί τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον. Ἐκκείσθω τις σφαῖρα καὶ ἐγγεγράφθω εἰς αὐτὴν δωδεκάεδρον καὶ εἰκοσάεδρον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν δωδεκαέδρου 1. ἄρο ἀπὸ ΒΖ ΖΘ ABS, corr. Co 4. τῷ Ο Co pro τῶ Θ 8. τοῦ ante κέντρου add. Ei ἐν τῶι Γ A, ἐν τῷ τρίτῳ S, corr. Β 10. τοῦ ἀπὸ ΜΞ AB, corr. S 12. ὡς ᾑ ΒΖ τῆς ΝΞ ἡ ΖΗ πρὸς ΝΟ ABS, corr. Co 13. ἓν τρὸς ἕν idem pro ἔμπροσθεν 14. ἀπὸ ΒΚΜ idem pro ἀπὸ ΒΚ 15. ἀπὸ τῶν ΒΖ ΖΒ AS, ἀπὸ τῶν βζ ζν Β cod. Co, ἀπὸ τῶν ΒΚ ΚΜ Co (quod in ΒΚΜ coniunx. Ei) 16. τὰ ἀπὸ ΞΝΙ A, τὰ ἀπὸ ξνρ Β. corr S τῶι ἀπὸ ΞΝ ΑΒΣ, corr. Co 20. 21. ἡ δὲ ΖΗ δωδεκαέδρου οὐσα πλευρὰ καὶ πενταγώνου πλευρά ἐστιν Ei 21. τὸ ABS, τό τε Ei 23. Νς A1 in marg. (BS), πεντάγωνον τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλῳ περιεχόμενον τῷ Γ∠Ε, εἰκοσαέδρου δὲ τρίγωνον ἐν κύκλῳ τῷ ΠΡΣ· λέγω ὅτι οἱ κύκλοι ἴσοι εἰσίν, τουτέστιν ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ πεντάγωνον καὶ τὸ τρίγωνον.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· κύβου ἄρα τοῦ ὑπὸ τὴν αὐτὴν σφαῖραν τῷ δωδεκαέδρῳ πλευρά ἐστιν ἡ ΓΕ· τοῦτο γὰρ ἐδείχθη ιγ΄ στοιχείων. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Κ, καὶ κάθετος ἀπʼ αὐτοῦ ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Γ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· δεκαγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕΘ τετραπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ, τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΚ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΚ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ (ἡ γάρ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ δύναται τήν τε τοῦ ἑξαγώνου καὶ τὴν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων) τὰ ἄρα ἀπὸ ΓΕ ΕΖ πενταπλάσια τοῦ ἀπὸ ΘΚ.

91 ἐκκείσθω δὴ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ εὐθεῖά τις ἡ ΜΝ, ὥστε πενταπλάσιον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ, ὡς ἔστιν λήμμα ιγ΄ στοιχείων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας 2. τῷ add. Hu 4. τό τε Γ∠ΕΖΗ πεντάγωνον καὶ τὸ ΗΡΣ τρἰγωνον Ei ex Hypsicle 7. στοχείκω A, στσιχείῳ S Ei, corr. B διάμετρος δυνάμει πενταπλασία τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων· ἐκ τοῦ κέντρου ἄρα ἐστὶν τοῦ κύκλου ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἡ ΜΝ. τετμήσθω ἡ ΜΝ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ξ, καὶ ἔστω μείζων ἡ ΜΞ· δεκαγώνου ἄρα ἡ ΜΞ διὰ τὸ ια΄ λῆμμα. καὶ ἐπεί ἐστιν τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΜΝ πενταπλάσιον, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ ΓΕ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου τριπλάσιον, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων, τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ ἴσα ἐστὶν ε’ τοῖς ἀπὸ MΝ. ὡς δὲ τρία τὰ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τρία τὰ ἀπὸ Γ∠, οὕτως πέντε τὰ ἀπὸ ΜΝ πρὸς πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ (τῆς γὰρ ΓΕ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά, ὡς ἔστιν ιγ΄ στοιχείων)· τρία ἄρα τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τοῖς ἀπὸ ΜΞ. πέντε 2. ἀφʼ οὗ Ei ex Eucl. elem. 18, 16 pro ἐφʼ οὗ, item proximo vs. 3. τοῦ κύκλου add. Ei auctore Co 6. ια΄ Ei auctore Co, ∠ A, δ΄ Β, δ S (τέταρτον descripsit Waitzius) 7. 8. τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς Ei 8. στοιχείω A, στοιχείῳ S Ei, corr. B, item vs. 13 9, τοῖς ἀπὸ MH AB, corr. S 13. δωδεκαέδρου] πενταγώνου temere Ei δὲ τὰ ἀπὸ ΜΝ καὶ πέντε τὰ ἀπὸ ΜΞ ἴσα ἐστὶν πέντε τοῖς ἀπὸ ΡΣ, ὡς ἐν τῷ εἰκοσαέδρῳ ιγ΄ στοιχείων δείκνυται· πέντε ἄρα τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΓΕ καὶ τρισὶ τοῖς ἀπὸ ΖΕ. ἀλλὰ πέντε μὲν τὰ ἀπὸ ΡΣ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ γραφομένου διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων. τρία δὲ τὰ ἀπὸ ΓΕ καὶ τρία τὰ ἀπὸ ΖΕ ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀκὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου τοῦ περιγραφομένου περὶ τὸ Γ∠ΕΖΗ πεντάπλευρον (ἐδείχθη γὰρ τὰ ἀπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ ΘΚ πενταπλάσια) δεκαπέντε ἄρα τὰ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΠΡΣ τρίγωνον κύκλου ἴσα ἐστὶν δεκαπέντε τοῖς ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ Γ∠ΕΖΗ κύκλου ὥστε καὶ τὸ ἓν τῷ ἑνὶ ἴσον· ἡ ἄρα διάμετρος ἴση τῇ διαμέτρῳ, καὶ ὁ κύκλος τῷ κύκλῳ· ὁ αὐτὸς ἄρα κύκλος περιλαμβάνει τό τε τοῦ δωδεκαέδρου πεντάγωνον καὶ τὸ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνον τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαῖραν ἐγγραφομένων.

92 νζ΄ (ιδ΄). Τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων τὰ δώδεκα πεντάγωνα μείζονά ἐστιν εἴκοσι τριγώνων.

Ἔστω κύκλος ὁ περιλαμβάνων τό τε τρίγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τὸ πεντάγωνον τοῦ δωδεκαέδρου ὁ ΒΓ∠Ε, καὶ ἐγγεγράφθω εῖς αὐτὸν τριγώνου μὲν πλευρὰ ᾑ ΒΕ, πενταγώνου δὲ ἡ Γ∠, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ κάθετος ἐπὶ τὰς παραλλήλους ἡ ΑΖΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ Α∠ ΑΕ ΒΘ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ΒΕ τριγώνου πλευρά ἐστιν, ἡ ΒΘ ἄρα ἑξαγώνου ἐστίν. πάλιν ἐπεὶ ἡ Γ∠ πενταγώνου 2. ιγ΄ στοιχείων uncis seclusit Ei 4. ἀπὸ ΖΕ Hu pro ἀπὸ ∠Ε, item vs. 7 5. δεκαπέντε Hu, δὲ καὶ πέντε ABS, δέκα καὶ πέντε Co Ei, item vs. 8 τῆς ἐκ add. Ei τοῦ κύκλου bis scripta in A 6. διὰ τὸ Ζ AB, διὰ τὸ ἕβδομον S, corr. Ei auctore Co στοιχείου ABS, corr. Hu auctore Co 8. ἀπὸ τῆς add. Ei 10. δεκαπέντε Ei, δὲ καὶ πέντε AB, καὶ πέντε S 11. ἀπὸ τῆς Ei pro ἀπὸ τῶν 12. δεκαπέντε Ei pro δὲ καὶ πέντε 13. τὸ ἓν Ei auctore Co pro τὸ ἐν 18. Νζ ον add B, νζ΄ S, ιδ΄ add. Hu 20. τό τε τρίγωνον S, τὸ τετράγωνον AB 21. ὁ ΑΒΓ∠Ε AB, corr. S 26. ΒΘ ΓΘ add. Hu ἐστίν, ἡ ΓΘ ἄρα δεκαγώνου ἐστίν. καὶ κάθετοί εἰσιν αἱ ΒΖ ΓΗ· μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΗΑ τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ διὰ τὸ ἑξῆς· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔ∠ τρίγωνον τοῦ ΑΒΕ τριγώνου καὶ ξ΄ ἄρα τρίγωνα τὰ Γ∠Α ξ΄ τριγώνων τῶν ΒΑΕ μείζονά ἐστιν. ἀλλὰ ξ΄ μὲν τὰ ΓΑ∠ τρίγωνα τὸ δωδεκάεδρόν ἐστιν (ἔκαστον γὰρ πεντάγωνον πέντε ἔχει τρίγωνα ὅμοια τῷ ΓΑ∠), ξ΄ δὲ τὰ ΒΑΕ τὸ εἰκοσάεδρόν ἐστιν (ἕκαστον γὰρ τρίγωνον τρία ἔχει ὅμοια τῷ ΒΑΕ)· μείζονα ἄρα τὰ δώδεκα πεντάγωνα εἴκοσι τριγώνων τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.

93 νή (ιε'). Τὸ ὑπερτεθέν. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ οὗ κέντρον τὸ Κ, καὶ διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΓ Β∠, καὶ ἑξαγώνου μὲν περιφέρεια ἡ ∠Ε, δεκαγώνου δὲ ἡ ∠Ζ, καὶ αἱ ΕΘ ΖΗ. κάθετοι ἐπὶ τὴν Β∠ διάμετρον ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΗΚ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΕΘΚ.

94 νθ΄ (ιϚ΄). Ἐὰν τρίγωνον ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν πρὸς τῇ κορυφῇ γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον αὐτῷ ἴσον ἦ, δείκνυται τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τοῦ ἰσοπλεύρου πρὸς τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς, τῶν ἴσων πλευρῶν τοῦ ἰσοσκελοῦς ἐλάσσονα λόγον ἔχον ὔπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος.

95 Ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄, ἴση δὲ ἡ ΘΕ τῇ ΕΓ, λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ EΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ ὃν δ΄ πρὸς γ΄. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΜ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, τουτέστιν τὸ ΚΕΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΗΘ τρίγωνον. καὶ τὰ ἑξαπλᾶ· τὸ περιγεγραμμένον ἑξάγωνον πρὸς τὸ ἐγγεγραμμένον λόγον ἔχει ὃν δ΄ πρὸς γ΄, τουτέστιν ὃν ιβ΄ πρὸς θ΄. τοῦ δὲ περιγεγραμμένου ἑξαγώνου πρὸς ε΄ τρίγωνα τὰ ΚΕΛ λόγος ἐστὶν ὃν ιβ΄ πρὸς ι΄ καὶ πέντε ἄρα τρίγωνα τὰ ΚΕΛ μείζονά ἐστιν τοῦ ἐγγεγραμμένου ἑξαγώνου πολλῷ ἄρα τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου μείζονά ἐστιν (ἐν γὰρ κύκλῳ τὸ ἐγγεγραμμένον πεντάγωνον ἰσόπλευρον τοῦ ἐγγραφομένου ξαγώνου ἔλασσόν ἐστιν)· ἔλασσον ἄρα τὸ ∠ΕΒ τοῦ ΚΕΛ.

97 ξ΄. Τὰ μὲν οὖν λαμβανόμενα εἰς τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημήτων ἐδείχθη καθʼ αὑτά, δεικτέον δʼ ἐφεξῆς ὅτι τὸ μὲν εἰκοσάεδρον μέγιστόν ἐστιν, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ δωδεκάεδρον, εἶτα τὸ ὀκτάεδρον, μετὰ δὲ τὸ ὀκτάεδρον ὁ κύβος, ἐλάχιστον δὲ τὸ τῆς πυραμίδος.

98 Ἔστω δὲ πρῶτον ἐπὶ τοῦ κύβου καὶ τῆς πυραμίδος ὁ λόγος, καὶ ἔστω κύβου μὲν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ, πυραμίδος δὲ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἴσαι ὑπόκεινται τῶν σχημάτων αἱ ἐπιφάνειαι, ἓξ ἄρα τετράγωνα τὰ ΑΒ ἴσα ἐστὶν τέσσαρσι τριγώνοις τοῖς μάτωνΕΖ· λόγος ἄρα τοῦ μάτωνΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ὃν γ΄ πρὸς β΄. ἤχθω δὴ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· φανερὸν δὴ ὅτι τὸ Θ κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον γραφομένου κύκλου· 1. τῷ add. Ei auctore Co 2. ἢ B1 S S, ἡ A, ἢ Β3 3. τῶν ΚΘ A, distinx. BS 5. μείζονος AB, corr. S 6. ἔχει δὲ — 6. δ΄ πρὸς γ΄ om. Εi 11. πρὸς τὴν ΕΘ τουτἔστιν τὴν Ε∠ A(BS), corr. Co 13. ξ A1 in marg. (BS) 14. πέντε σχημάτων add. Hu auctore Co ex cap. 72, πολυέδρων Ei ἐλήφθη AB, corr. S 16. εἶτα BS, εια A 17. πυραμίδος] scil. σχῆμα 20. κύβος μὲν AB, corr. 8 τὸ ABS, τὸ ΑB Ei 21. τὸ ∠ΕΖ Co pro τὸ ∠ΖΕ 24. ὃν add. Εi (quam habent Co) 25. ἐπὶ τὸ add. Co, εἰς S 26. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΘ ΕΗ coni. Hu τριπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΕΗ, τοῦ ἀπὸ ΕΘ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΘΗ· λόγος ἄρα τοῦ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ ὃν γ΄ πρὸς β΄, τουτέστιν ὃν νδ΄ πρὸς λϚ΄. τοῦ δὲ ἀπὸ ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ γ΄ τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν λϚ΄ πρὸς δ΄ καὶ τοῦ ἀπὸ ΗΕ ἄρα, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ, πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄ καὶ ἐπεὶ παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον ἔλασσον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, τέσσαρα ἄρα τρίγωνα τὰ γωναΕΖ,E ἅπερ ἐστὶν ἓξ τετράγωνα τὰ ἀπὸ ΑΓ, μείζονά ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ὃν α΄ πρὸς Ϛ΄, τουτέστιν ἢ ὃν θ΄ πρὸς νδ΄ τοῦ δὲ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ λόγος ἐστὶν ὃν νδ΄ πρὸς δ΄, ὡς ἐδείχθη, καὶ διʼ ἴσου τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τοῦ τρίτου τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ θ΄ πρὸς τὰ δ΄ καὶ μήκει ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄. ἐδείχθη δὲ λόγος τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον, ὃν γ΄ πρὸς β'· τὸ ∠ΕΖ ἄρα τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὸ γ΄ τῆς ΗΘ. καὶ ἀνάπαλιν ἡ ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒ τετράγωνον. ἐὰν ἄρα ποιῶμεν ὡς τὴν ΑΓ πρὸς τὸ τρίτον τῆς ΗΘ, οὕτως τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλασσον χωρίον τοῦ ΑΒ τετραγώνου καὶ ἔστιν ὁ μὲν κύβος τὸ ΑΒ τετράγωνον ἐφʼ ὕψος τὴν ΑΓ, ἡ δὲ πυραμὶς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἐφʼ ὕψος τὸ τρίτον τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς πυραμίδος ἀγομένης καθέτου ἐπὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μείζων ἄρα ὁ κύβος τῆς πυραμίδος.

100 ξβ΄. Ἔστω δεῖξαι ὅτι τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖξόν ἐστιν.

Καὶ ἔστω ὀκταέδρου μὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, εἰκοσαέδρου δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν κέντρων τῶν σφαιρῶν τῶν περιλαμβανουσῶν τὰ στερεὰ ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα τῶν στερεῶν κάθετοι αἱ ΗΘ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ἐν τῷ ζ΄ θεωρήματι τῶν προγραφομένων ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν πέντε τῶν ἀπὸ ΕΖ, πέωτε δὲ τὰ ἀπὸ ΕΖ δύο ἐστὶν τὰ ἀπὸ ΒΓ (ἐπείπερ καὶ πέντε τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ἐστὶν δυσὶ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ· καὶ γὰρ τετραπλάσια κʼ τρίγωνα τοῖς η΄ ἴσα ἐστίν, καὶ ὡς τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρίγωνον, οὕτως τὸ τετράγωνον πρὸς τὸ τετράγωνον τῶν ὁμοίων σχημάτων πρὸς ἄλληλα διπλασίονα λόγον ἐχόντων ἤπερ τῆς ὁμολόγου πλευρᾶς πρὸς τὴν ὁμόηολον πλευράν), δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΒΓ δώδεκά ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΛ (προδέδεικται γὰρ λόγος τοῦ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ ὃν Ϛ΄ πρὸς α’), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ ΗΘ μείζονά ἐστιν δώδεκα τῶν ἀπὸ ΚΛ· μείζων ἅρα ἡ ΘΗ τῆς ΚΛ. καὶ τὸ Ϛ΄  τῆς ΘΗ τοῦ γ΄ τῆς ΚΛ μεῖζον. καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν εἰκοσάεδρόν ἐστιν εἴκοσι τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΗΘ, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ὀκτὼ τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ἐφʼ ὕψος τὸ γ΄ τῆς ΚΛ, καὶ ἔστιν κ΄ τρίγωνα τὰ ∠ΕΖ ἴσα ὀκτὼ τριγόνοις τοῖς ΑΒΓ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, μεῖζον ἄρα τὸ εἰκοσάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.

102 ξδ΄. Τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου μεῖζόν ἐστιν.

Ἔστω δωδεκαέδρου μὲν πεντάγωνον τὸ Φ??Τ καὶ κάθετος ἡ ΥΩ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ δωδεκάεδρον ἐπὶ τὸ Φ??Τ πεντάγωνον ἠγμένη, 1, δώδεκα BS, ιβ A 3. 4, τὸ πεντάγωνον A8, corr. S 4, τρίγωνον add. Ei κύκλον AB, corr, S 5, post πεντάγωνον repetunt φανερον A (B2 in marg.), sed id in A expunctum 6. ἡ ∠Θ Co pro ἡ ∠Ε post μείζων ἐστιν add. ἡ AB cod. Co, del. S Co 10. τῆς ΑΛ καὶ τὸ τρίγωνον ἄρα ABS, corr, Co 12. ἐπίτριτον τῆς καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΩΦ Ω𝒢 ΩΤ ΥΦ, ὀκταέδρου δὲ τρίγωνον τὸ ΣΡΠ ἔστω, καὶ ὁμοίως ἡ ΧΨ κάθετος, ἣν δεῖ ἐλάσσονα δεῖξαι τῆς ΥΩ καθέτου.

103 Ἐκκείσθω δὲ καὶ τὸ ληφθὲν θεώρημα εἰς τὴν σύγκρισιν τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ὀκταέδρου οὗ σημεῖον ἀστήρ, διʼ οὗ ἐδείχθη δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠. ἔστω δὲ καὶ τὸ Α,Β,Γ τρίγωνον εἰκοσαέδρου, καὶ κάθετος ἀπὸ τοῦ ∠ ἡ ∠,Ε, ὡς ἐν τῷ προκειμένῳ θεωρήματι· ὅμοιον ἄρα τὸ ΥΦΩ τῷ τε ∠,Α,Ε τριγώνῳ καὶ τῷ ΟΝΛ καὶ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠,Ε μείζονα ε’ τῶν ἀπὸ ,Β,Γ, τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΥΩ μείζονα ε΄ τῶν ἀπὸ 𝒢Τ, ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ ιϚ΄ λημματίου ἐδείχθη ὅτι, ἐὰν ᾗ τρίγωνον ἰσοσκελές ὡς τὸ 𝒢ΩΤ ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ω γωνίαν τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς καὶ ἰσόπλευρον ἴσον αὐτῷ ὡς τὸ Μ Μ Μ, τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος, καὶ ἡ ΕΓ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ 1. αἱ ωφωυ ω τ ΥΦ A, distinx. BS, Ω𝒢 corr. Hu (Ως Ei 3. κάθετος AB, corr. S 5. οὐ σημεῖον ἀστήρ interpolatori tribuit Co 6. δώδεκα S, IB A, δώδεκα expunctum et ιβ prima manu B 7. ἔστω — 11. ἀπὸ 𝒢Τ om. Ei 7. τὸ Α,Β,Γ Hu, τὸ λ β𝒢 ABS (nisi quod τὸ om. S) 8. τοῦ ∠Ϲ ὠς ἐν A(S), τοῦ δς ὡς ἐν B, corr. Hu auctore Co 9. τοῦ φω τῶι τε ∠ζ 𝒢 τριγώνω A, τοῦ φω τῷ τε ∠ . . τριγώνῳ B, τὸ υψω τῷ τε δζε τριγώνῳ S, τῷ τε ∠, Α,Ε corr. Hu (τῷ τε Α, Ε,∠ voluit Co) 10. 11. καὶ ιβ΄ — ἀπὸ B, Γ] “vera haec quidem sunt, sed quid ad demonstrationem conferant, non video” Co 10. ΙΒ τὸ ἀπὸ ∠𝒢ς μείζονα A(B), δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ δεσ μείζονα e Paris. 2368 descripsit Waitzius. ιβ τὰ ἀπὸ δες μείζονα SV, corr. Hu auctore Co 10. 11. τῶν ἀπὸ Β𝒢 ABS, corr, Mu auctore Co 11. τουτέστίν —ʼ ἀπὸ 𝒢Τ] corrupta haec sunt, ut opi nor, neque enim vera; quare si quis ea una cum antedictis de medio tollat, fortasse non errabit” Co ε A, πεντάκις B, πέντε S ἀπὸ 𝒢Τ Hu, ἀπὸ ωφ ABS Co 18. ὡς τοῦ ωτ AB, ως τὸ νωτ S, corr. Hu (ὡς τὸ ζ ΩΤ Ei) τῷ ω S, τὸ ω A1B, τῶ ω A2 15. ἀπὸ 𝒢Ω Hu, ἀπὸ γω ABS (ἀπὸ ζΩ Ei) 18. ἡ ΕΓ Co pro ἡ ΘΓ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ ἀπὸ 𝒢Ω2, τουτέστιν τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ Μ Μ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ 𝒢Ω. καὶ ἐπεὶ ἔχομεν η΄ τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἴσα ιβ΄ πενταγώνοις τοῖς Φ𝒢Τ, τουτέστιν ξ΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ, ὥστε καὶ δύο τρίγωνα τὰ ΣΡΠ ἔσα ἐστὶν ιε΄ τριγώνοις τοῖς 𝒢ΩΤ, τουτέστιν ιε΄ τοῖς Μ Μ Μ, ὥστε καὶ τὸ δὶς ἀπὸ ΣΠ ἴσον ἐστὶν τῷ πεντεκαιδεκάκις ἀνὸ Μ Μ τὸ ἔρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ δύο τὰ ἀπὸ ΣΠ πρὸς τὸ πεντεκαιδεκάκις ἀπὸ ΩΦ ἴση γάρ ἐστιν ἡ Ω𝒢 τῇ ΩΦ). δύο δὲ τὰ ἀπὸ ΣΠ ιβ΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΚΨ, ὡς ἐδείχθη ἐν τῇ συγκρίσει τοῦ κύβου καὶ ὀκταέδρου· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΞΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ κρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΞΚ τῇ ΚΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ πρὸς τὸ εἰκοσάκις ἀπὸ τῆς ΚΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ· ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΓΛ, πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΓΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ. ἀλλʼ ὡς κὲν ἡ ΓΛ πρὸς ΓΚ, ἡ ΑΜ πρὸς ΙΜ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΙ, ἡ 0Ν πρὸς ΝΙ ὥστε καὶ λϚ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ψκ΄ τὰ ἀπὸ ΝΙ, τουτέστιν π΄ τὰ ἀπὸ ΙΛ (τριπλασία γὰρ ἐν τῷ ζ΄ λήμματι ἐδείχθη ἡ ΙΛ τῆς ΙΝ), τουτέστιν κ΄ τὰ ἀπὸ Κ∠, τουτέστιν ιε΄ τὰ ἀπὸ Β∠ (ἐπίτριτος γὰρ ἡ Β∠ τῆς ΚΛ δυνάμει), μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΚΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ ὥστε καὶ οβ΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ πρὸς ε’ τὰ ἀπὸ ΒΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ 1. 2. ἀπὀ 𝒢ω recte hoc loco ac similiter posthac ABS (ἀπὸ ςΩ Ei) 2. 3. πεντεκαιδεκάκις atroque loco S, ε καὶ δεκάκις AB priore, πεντάκις καὶ δεκάκις altero loco 3. καὶ επιεχομενη πρίγωνα A(B), corr. 8 3. 4. τὰ ΣΡΠ Co pro τὲ ορπ 4. ἴσαι AB, corr. S 5. 6. τὰ ΣΡΠ — τοῖς 𝒢ΩΤ om. S 5. τὰ ρπ ἴσα A(B), corr. ?? auctore Co ἐστὶν et 6. τριγώνοις om. Ei 8. τὸ ἄρα Ei auctore Co pro τοῦ ἄρα 12. τὸ ἄρα — 15. τῇ ΚΓ om S Ei 17. καὶ λς τὰ ἀπὸ ΕΙ AB, καὶ δ𝒢 τὸ ἀπὸ εη Paris. 2368, καὶ δι τὸ ἀπὸ εη S, καὶ δ𝒢 τό ΩΘ. πέντε δὲ τὰ ἀπὸ Β∠ ιε΄ ἐστιν τὰ ἀπὸ ΝΛ, ὡς ἔστιν ἐν τῷ ιγ΄ τῶν στοιχείων (τὸ γὰρ κέντρον τοῦ περὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον κύκλου τὸ Ν σημεῖόν ἐστιν)· καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ON πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΛΝ, τουτέστιν ιβ΄ τὰ ἀπὸ ∠κ Ε πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΕΑ, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΘ. καὶ ἔστιν ὅμοιον τὸ ∠ Α,Ε τρίγωνον τῷ ΥΦΩ τριγώνῳ καὶ ιβ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΥΩ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ιβ΄ τὰ ἀπὸ ΧΨ πρὸς ιε΄ τὰ ἀπὸ ΩΦ· μείζων ἄρα ἡ ΓΩ κάθετος τῆς ΧΨ καθέτου. καὶ ὑπόκεινται αἱ ἐπιφάνειαι ἴσαι τῶν στερεῶν σχημάτων μεῖζον ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τοῦ ὀκταέδρου.

104 ξε΄. Ὅτι μὲν οὖν τῶν ε΄ σχημάτων τούτων ἃ δὴ καὶ πολύεδρα καλεῖται τὸ πολυεδρότερον αἰεὶ μεῖζόν ἐστιν φανερὸν ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων, ὅτι δὲ πλείω τῶν πέντε τούτων ἀδύνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἄλλα σχήματα ἴσοις καὶ ὁμοίοις ἰσοπλεύροις πολυγώνοις περιεχόμενα μάθοι τις ἂν καὶ οὕτως.

105 Πᾶσαν στερεὰν γωνίαν ἐκ τριῶν ἐλαχίστων συνεστάναι 3. Β∠Λ add. Ei 4. 5. τουτέστιν — ἀπὸ Ε,Α om. Ei ἀπὸ Δρε πρὸς ιε τὰ ἀπὸ ρελ AB(S), corr. Hu auctore Co 6. 7. τὸ ∠, Α,Ε] τὸ Λ Λ η ε AB. τὸ λ δ ?? ε S, τὸ ΟΛΝ Ei. corr. Co 7. s. τὰ ἀπὸ υω S, τὸ ἀπὸ τω A, τὸ ἀπὸ υφ B 8. 9. μείζονα — ἀπὸ ΩΦ add. Co 12. ξε B, ξ∠ Α1 in marg. S) 13. αἰεὶ Hu pro πολὺ 13, ἐλαχόστων recte se habere neque vero ἐλάχιστον scribendum esse docet Euclides elem. 11, 21 γωνιῶν ἐπιπέδων ἀναγκαῖον, καὶ αἱ περιέχουσαι αὐτάς, ἐάν τε τρεῖς ὦσιν δάν τε πλείους, τῶν τεσσάρων ὀρθῶν ἐλάττονές εἰσιν πάντως. ὑπὸ μὲν οὖν ἑξαγώνου γωνιῶν ἤ τινος εὐθυγράμμου πολυγωνοτέρου περισχεθῆναι στερεὰν γωνίαν ἀδύνατον (αἱ γὰρ ἐλάχισται δυνάμεναι περιλαβεῖν αὐτὴν τρεῖς τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους), ὑπὸ δὲ πενταγώνου τριῶν μόνων δυνατόν, ὡς καὶ συνέστηκεν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου. πάλιν δέ τέσσαρες μέν ἢ πλείους τετραγώνου γωνίαι περιέχειν στερεάν γωνίαν οὐ δύνανται (τεσσάρων γὰρ ὀρθῶν οὖκ εἰσὶν ἐλάττους), τρεῖς δὲ περιέχουσιν τὴν τοῦ κύβου. κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ ἰσοπλεύρου τριγώνου ἓξ μὲν ἢ πλείους γωνίαι τεσσάρων ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττους, καὶ διὰ τοῦτο στερεὰν γωνίαν οὐ περιέχουσι, πέντε δὲ καὶ τέσσαρες καὶ τρεῖς δύνανται, καὶ περιέχεται ὑπὸ μέν πέντε ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου, ὑπὸ δὲ τεσσάρων ἡ τοῦ ὀκταέδρου, ὑπὸ δὲ τριῶν ἡ τῆς πυραμίδος. δῆλον οὖν ἐκ τῶν εἰρημένων ὅτι παρὰ ταύτας οὐκ ἔστιν ἄλλη στερεὰ γωνία ἐξ ἴσων καὶ τοῦ αὐτοῦ πολυγόνου συνεστηκυῖα γωνιῶν, ὥστε οὐδὲ πολύεδρον εὑρεῖν ἄλλο παρὰ τὰ προειρημένα πέντε δυνατόν ἐστιν ὑπὸ ἴσων καὶ ὁμοἰων πολυγώνων περιεχόμενον.