{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "![En tête general](img/En_tete_general.png)\n", "\n", "\n", "*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2020 http://www.python-lycee.com/*\n", "\n", " Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée." ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "# Approximation par balayage" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\\infty[$ par $f(x)=x^2$.\n", "\n", "![Fonction carré](img/Approximation_par_balayage_carre.png)\n", "\n", "On admet que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\\infty[$ et que l’équation $f(x)=2$ \n", "a une unique solution sur $[0;+\\infty[$, notée $\\sqrt{2}$. \n", "Le but de l’exercice est d’obtenir des valeurs approchées de $\\sqrt{2}$.\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__1. Ecrire une fonction Python $f$ qui reçoit une valeur $x$ en argument et renvoie l’image de $x$ par la fonction $f$.__\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Ecrire la fonction\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__2. La fonction ci-dessous permet d’obtenir des images successives par la fonction $f$ sur l’intervalle $[1;2]$, avec un pas de $10^{-1}=0,1$.__\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "def balayage(f):\n", " \n", " x=1\n", " while x<2:\n", " print(\"f(\",x,\")=\",f(x))\n", " x = x+0.1\n", " \n", " return None" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__Utiliser cette fonction pour compléter le tableau :__\n", "\n", "| $x$ | $1 $ | $1.1$ |$1.2$ |$1.3$ |$1.4$ |$1.5$ |$1.6$ |$1.7$ |$1.8$ |$1.9$ |$2 $ |\n", "| :-------: |:--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |\n", "| $f$$($$x$$)$ | | | | | | | | | | | |\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Effectuer les saisies nécessaires\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__Pour quelle valeur $x_1$ du tableau a-t-on $x_1 \\leqslant \\sqrt{2} \\leqslant x_1+0,1$ ? Justifier.__\n", "\n", "__Modifier la fonction précédente pour qu’elle renvoie cette valeur $x_1$.__\n", "\n", "\n", "\n", "\n", "Aides : On pourra, entre autres, modifier la condition de la boucle while.\n", "On pourra supprimer les affichages réalisés avec l’instruction print. \n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Modifier la fonction puis effectuer les tests ici\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__3. Compléter la fonction pour qu’elle effectue, à partir de cette valeur $x_1$, un nouveau balayage de pas $10^{-2}=0,01$.__\n", "\n", "__La fonction renverra une valeur $x_2$ telle que $x_2 \\leqslant \\sqrt{2} \\leqslant x_2+0,01$.__" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Modifier la fonction puis effectuer les tests ici\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__4. Compléter la fonction pour qu’elle renvoie une valeur $x_3$ telle que $x_3 \\leqslant \\sqrt{2} \\leqslant x_3+0,001$.__" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Modifier la fonction puis effectuer les tests ici\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__5. \tEn ajoutant une boucle, modifier la fonction précédente pour qu’elle renvoie une valeur $x_n$ telle que $x_n \\leqslant \\sqrt{2} \\leqslant x_n+10^{-n}$, où $n$ est une valeur donnée en argument de la fonction.__" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Modifier la fonction puis effectuer les tests ici\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__Donner une valeur approchée de $\\sqrt{2}$ à $10^{-7}$ près.__" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Effectuer les saisies nécessaires ici\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "__6. Prolongement :__\n", "\n", "__On admet que l’équation $x^3=5$ admet une unique solution sur $[0;+\\infty[$, notée $\\sqrt[3]{5}$.__\n", "\n", "__Déterminer une valeur approchée de $\\sqrt[3]{5}$ à $10^{-8}$ près.__\n" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "# Effectuer les saisies nécessaires ici\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "![Cardan](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Cardan.jpg)\n", "\n", "