{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\n\n© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n\n Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"# Approximation de $\\pi$ par la méthode d'Archimède \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Sommaire\n\n1. Description de la méthode et implémentation en langage Python
\n2. Complément : Démonstrations des formules
\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"## 1. Description de la méthode et implémentation en langage Python"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\nLe but de cette activité est d'obtenir un encadrement de $\\pi$ par la méthode d'Archimède.
\n On considère un cercle $\\mathcal{C}$ de rayon $\\displaystyle \\frac{1}{2}$.
\n$n$ étant un entier supérieur ou égal à $3$, on construit :\n\n - un polygone régulier à $n$ côtés tel que le cercle $\\mathcal{C}$ soit circonscrit à ce polygone ;
\n - un polygone régulier à $n$ côtés tel que le cercle $\\mathcal{C}$ soit inscrit dans ce polygone.
\n
\nOn note respectivement $u_n$ et $v_n$ les longueurs des côtés de ces polygones, et $p_n$ et $q_n$ leurs périmètres.\n
\n
\nActiver la cellule Python ci-dessous pour obtenir une figure dynamique illustrant la situation.\n"},{"metadata":{"scrolled":false,"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\nfrom IPython.display import HTML ; HTML(\"\"\"\"\"\")","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.1. Déterminer la valeur exacte de la circonférence du cercle $\\mathcal{C}$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.2. Démontrer que pour tout $n \\geq 3$ ; $\\displaystyle u_n= \\sin{\\left( \\frac{\\pi}{n} \\right)}$ et $\\displaystyle v_n= \\tan{\\left( \\frac{\\pi}{n} \\right)}$.
\n$\\quad\\;\\;$En déduire que pour tout $n \\geq 3$ ; $\\displaystyle p_n= n \\sin{\\left( \\frac{\\pi}{n} \\right)}$ et $\\displaystyle q_n= n \\tan{\\left( \\frac{\\pi}{n} \\right)}$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.3. Calculer les valeurs exactes de $p_3$ et $q_3$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n\nOn admet maintenant que :
\n\n - $\\forall n \\geq 3$ ; $p_n \\leq \\pi \\leq q_n$
\n - $\\displaystyle \\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{p_n}=\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{q_n}=\\pi$\n
\n\n
\nAinsi, les formules de $p_n$ et $q_n$ obtenues en 1.2. permettraient d'encadrer $\\pi$, mais utiliser ces formules pour obtenir cet encadrement manquerait de cohérence puisqu'elles nécessitent elles-mêmes l'utilisation de cette valeur $\\pi$.
\nIl faut donc disposer d'une méthode de calculs de termes de ces suites qui ne nécessite pas la connaissance et l'utilisation de la valeur $\\pi$. En particulier, les formules qui suivent établissent un lien entre les périmètres des polygones à $2n$ côtés et les périmètres des polygones à $n$ côtés construits à l'aide de la méthode d'Archimède.
\nOn admet dans cette partie(*) que les suites $(p_n)_{n \\geq 3}$ et $(q_n)_{n \\geq 3}$ vérifient les formules :\n\n - $\\forall n \\geq 3$ ; $\\displaystyle q_{2n}=\\frac{2 p_n q_n}{p_n+q_n}$\n
- $\\forall n \\geq 3$ ; $p_{2n} = \\sqrt{ p_n q_{2n} }$\n
\n \n
\n$\\quad\\quad$(*) Les démonstrations de ces résultats sont proposées dans la partie 2."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.4. À l'aide de ces formules, calculer les valeurs exactes de $p_6$ et $q_6$, puis en donner des valeurs approchées.
\n$\\quad\\;\\;$Comparer avec les valeurs fournies par la figure dynamique.\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.5.a. Écrire une fonction Python etape_Archimede:\n\n - qui reçoit en argument deux valeurs p,q correspondant à des termes $p_n$ et $q_n$ des suites ;
\n - qui renvoie deux valeurs p,q correspondant aux termes $p_{2n}$ et $q_{2n}$.
\n
\n$\\quad\\;\\;$Aide : L'import from math import sqrt permet d'utiliser la fonction Python sqrt pour calculer une racine carrée."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"from math import sqrt # import de la fonction sqrt\n\n#Écrire ici la fonction etape_Archimede\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad$b. Effectuer des saisies Python pour stocker les valeurs $p_3$ et $q_3$, puis calculer les valeurs $p_6$ et $q_6$ à l'aide de la fonction etape_Archimede.
\n$\\quad\\;\\;\\;$Comparer avec les résultats de la question 1.4.
\n$\\quad\\;\\;\\;$Aide : On peut utiliser la syntaxe p,q = etape_Archimede(p,q)."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Effectuer ici les saisies\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"1.6.a. Écrire une fonction Python Archimede :\n\n - qui reçoit en argument une valeur h strictement positive ;
\n - qui renvoie deux valeurs p,q (correspondant à des termes des suites $(p_n)_{n \\geq 3}$ et $(q_n)_{n \\geq 3}$) telles que q$-$p$<$h.
\n
\n\n$\\quad\\;\\;$Aide : On utilisera une boucle pour répéter l'appel à la fonction etape_Archimede."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"# Écrire ici la fonction Archimede\n\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"$\\quad$b. À l'aide d'un appel à la fonction Archimede, donner un encadrement de $\\pi$ à $10^{-12}$ près."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Effectuer ici un appel à la fonction Archimede\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n\n## 2. Complément : Démonstrations des formules\n\n
\n\nLe but de cette partie est de démontrer que les suites $(p_n)_{n \\geq 3}$ et $(q_n)_{n \\geq 3}$ telles que $\\displaystyle p_n= n \\sin{\\left( \\frac{\\pi}{n} \\right)}$ et $\\displaystyle q_n= n \\tan{\\left( \\frac{\\pi}{n} \\right)}$ vérifient les formules utilisées dans la partie 1, c'est à dire :\n\n - $\\forall n \\geq 3$ ; $\\displaystyle q_{2n}=\\frac{2 p_n q_n}{p_n+q_n}$\n
- $\\forall n \\geq 3$ ; $p_{2n} = \\sqrt{ p_n q_{2n} }$\n
\n \n
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"\n On admettra et on utilisera les formules de duplication suivante :\n \n - $\\displaystyle \\forall x \\in \\mathbb{R} - \\Big\\{ \\frac{\\pi}{4}+k\\frac{\\pi}{2} \\; ; \\; k\\in \\mathbb{Z} \\Big\\}$ ; $ \\displaystyle \\;\\; \\tan(2x)=\\frac{2\\tan(x)}{1-\\tan^2(x)}$
\n - $\\forall x \\in \\mathbb{R}$ ; $\\displaystyle \\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\quad\\; \\sin(2x)=2\\cos(x)\\sin(x)$
\n
\n On rappelle également que :\n \n - $\\displaystyle \\forall x \\in \\mathbb{R} - \\Big\\{ \\frac{\\pi}{2}+k\\pi \\; ; \\; k\\in \\mathbb{Z} \\Big\\} $ ; $ \\displaystyle \\quad \\tan(x)=\\frac{\\sin(x)}{\\cos(x)}$.
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\n \n \n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.1. Démontrer que $\\displaystyle \\forall x\\in \\mathbb{R} - \\Big\\{ \\frac{\\pi}{2}+k\\pi \\; ; \\; k\\in \\mathbb{Z} \\Big\\}$ ; $\\quad 2\\sin^2 (x) - \\sin (2x) \\tan (x) = 0 $.
\n$\\quad\\;$ En déduire que $p_{2n} = \\sqrt{ p_n q_{2n} }$.\n \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"2.2. Démontrer successivement que pour tout $\\displaystyle x\\in \\mathbb{R} - \\Big\\{ \\frac{\\pi}{4} +k\\frac{\\pi}{2} \\; ; \\; k\\in \\mathbb{Z} \\Big\\}$:\n\n - $\\displaystyle \\quad \\sin(2x) \\tan(2x) \\Big( 1-\\tan^2(x) \\Big) = 4\\sin^2(x)$ ;
\n - $\\displaystyle \\quad \\Big( \\sin(2x) + \\tan(2x) \\Big) \\Big( 1-\\tan^2(x) \\Big) = 4\\cos^2(x) \\tan(x)$ ;
\n - $\\displaystyle \\quad \\frac{\\sin(2x)\\tan(2x)}{\\sin(2x)+\\tan(2x)}=\\tan(x)$
\n
\n$\\;\\;$ En déduire que $\\displaystyle q_{2n}=\\frac{2p_n q_n}{p_n+q_n}$\n\n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":" \n\n Archimède (env. 287 av. JC - 212 av. JC)"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n
\nDernière modification de l'activité : Juillet 2022"}],"metadata":{"celltoolbar":"Raw Cell Format","kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}