{"cells":[{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"![En tête general](https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/En_tete_general.png)\n\n\n© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 https://www.python-lycee.com.
\nLes activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n\n\n Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n\n

COURS DE TERMINALE - MATHEMATIQUES EXPERTES

\n\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Programme officiel : Programme Tale Math Expertes\n\nLiens vers les exercices et démonstrations du manuel : Collection Barbazo - Option Mathématiques Expertes - Programme 2020.\n\nPour consulter le manuel, cliquer ici."},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n

Calcul matriciel

\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"### Sommaire\n\n
    \n
  1. Activité d'introduction

    2. \n
  2. Opérations sur les matrices\n \n
    3. \n
  3. Résolution matricielle de systèmes d'équations\n \n
    4. \n
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n

1. Activité d'introduction

\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Une entreprise de fabrication de pièces de quincaillerie possède deux chaînes de production qui usinent des vis, des clous et des écrous.
\nPour le 1er semestre 2020, le bilan de la production est consigné dans ce tableau :

\n\n|1er semestre 2020 |Nombre de vis|Nombre de clous|Nombre d'écrous|\n|:------------------------|:------------|:--------------|:--------------|\n|Chaîne 1 | 5000 | 8000 | 7000 |\n|Chaîne 2 | 4000 | 10000 | 6000 |\n\n
\nOn peut représenter ces données dans une matrice à 2 lignes et 3 colonnes :

\n$$A_1=\\begin{pmatrix} 5000 & 8000 & 7000 \\\\ 4000 & 10000 & 6000 \\end{pmatrix}$$\n

\nPour le 2ème semestre 2020, le bilan était :

\n\n|2ème semestre 2020 |Nombre de vis|Nombre de clous|Nombre d'écrous|\n|:------------------------|:------------|:--------------|:--------------|\n|Chaîne 1 | 3000 | 7500 | 9000 |\n|Chaîne 2 | 5500 | 6500 | 5000 |\n\n
\n\n__1. Écrire la matrice $A_2$ résumant les données de production du 2ème semestre 2020.__
\n
\n__2. Somme de matrices de mêmes dimensions.__
\n$\\;\\;\\;\\;$__a. Calculer la matrice résumant la production annuelle pour 2020.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$La matrice ainsi obtenue, appelée somme des matrices $A_1$ et $A_2$ , est notée $A_1+A_2$.
\n$\\;\\;\\;\\;$__b. Décrire la méthode de calcul de la matrice $A_1+A_2$ à partir des matrices $A_1$ et $A_2$.__

\n__3. Produit d'une matrice par un réel.__
\n$\\;\\;\\;\\;$__L'entreprise estime que la production au 1er semestre 2021 sera 15% supérieure à celle du 1er semestre 2020,__
\n$\\;\\;\\;\\;$__et qu'il en sera de même pour le 2ème semestre 2021 par rapport au 2ème semestre 2020.__
\n$\\;\\;\\;\\;$__a. Calculer les matrices résumant ces productions pour chaque semestre de 2021.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$__Proposer une notation pour désigner ces matrices.__
\n$\\;\\;\\;\\;$__b.Calculer de deux façons différentes la matrice donnant la production annuelle prévue en 2021.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$__Quelle propriété met-on ainsi en évidence ?__

\n__4. Produit d'une matrice par une matrice colonne.__
\n$\\;\\;\\;\\;$Les coûts de production de chaque pièce sont consignés dans le tableau ci-dessous :

\n\n| | Coût (en €) |\n|:----------|:------------|\n| Vis | 0,03 |\n| Clous | 0,01 |\n| Écrous | 0,04 |\n
\n\n$\\;\\;\\;\\;$__a. Écrire la matrice $C$ correspondant à ce tableau.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$__Déterminer alors une matrice donnant les coûts de production de chaque chaîne au 1er semestre 2020.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$__Décrire la méthode de calcul de cette matrice à partir de $A_1$ et $C$.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$La matrice ainsi obtenue est appelée produit des matrices $A_1$ et $C$ , et on la note $A_1 \\times C$ ou $A_1C$.

\n\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$On donne la matrice $R=\\begin{pmatrix} 0,05 \\\\ 0,02 \\\\ 0,06 \\end{pmatrix}$ donnant les recettes (en €) réalisées pour chaque pièce.
\n$\\;\\;\\;\\;$__b. Calculer, de deux façons différentes, la matrice donnant les bénéfices réalisés par chaque chaîne au 1er semestre 2020.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$__Quelle propriété met-on ainsi en évidence ?__

\n__5. Produit de deux matrices.__
\nChaque pièce nécessite l’utilisation de fer, cuivre et zinc. Le tableau ci-dessous consigne ces compositions :

\n\n|Composition |Masse de fer (en dg)|Masse de cuivre (en dg)|Masse de zinc (en dg)|\n|:------------------------|:-------------------|:----------------------|:--------------------|\n| Vis | 2 | 1 | 3 |\n| Clou | 4 | 1 | 1 |\n| Écrou | 3 | 2 | 2 |\n
\n\n$\\;\\;\\;\\;$__a. Écrire ces besoins sous forme d'une matrice $M$.__
\n$\\;\\;\\;\\;$__b. À l'aide des matrices $A_1$ et $M$, calculer une matrice résumant les besoins en fer, cuivre et zinc pour les deux chaînes au 1er semestre 2020.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$__Décrire la méthode de calcul de cette matrice à partir de $A_1$ et $M$.__
\n$\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;$La matrice ainsi obtenue est appelée produit des matrices $A_1$ et $M$ , et on la note $A_1 \\times M$ ou $A_1M$.

\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n

2. Opérations sur les matrices

\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n

2.1. Notion de matrice

\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\nDéfinition : Matrice à coefficients réels.

\n On appelle matrice à coefficients réels un tableau dont les élements sont des nombres réels.
\nSi la matrice comporte $n$ lignes et $m$ colonnes, on dit qu'elle est de dimension $n \\times m$.
\n ($n \\in \\mathbb{N}^*$ et $m \\in \\mathbb{N}^*$)\n
\n\n
\nRemarques :
\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n

2.2. Produit d'une matrice par un réel, et somme de matrices

\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\nDéfinition : Produit d'une matrice par un réel.

\nSi $A$ est une matrice et $k \\in \\mathbb{R}$, alors on note $k \\times A=kA$ la matrice obtenue en multipliant les coefficients de $A$ par $k$.\n

\n
\n
\n\n$$k \\; A = k \\; \\begin{pmatrix}\n a_{1,1} & ... & a_{1,j}& ...& a_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{i,1} & ... & \\color{green}{a_{i,j}}& ...& a_{i,m} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{n,1} & ... & a_{n,j}& ...& a_{n,m} \\end{pmatrix}\n \\;=\\;\n \\begin{pmatrix}\n k\\;a_{1,1} & ... & k\\;a_{1,j}& ...& k\\;a_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n k\\;a_{i,1} & ... & \\color{green}{k\\;a_{i,j}}& ...& k\\;a_{i,m} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n k\\;a_{n,1} & ... & k\\;a_{n,j}& ...& k\\;a_{n,m} \\end{pmatrix}\n $$
\n\n\n\n\n\n
\n
\nRemarques :
\n \n \n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\nDéfinition :Somme de matrices.

\n Si $A$ et $B$ sont des matrices de même dimension, alors on appelle somme de $A$ et $B$ et on note $A+B$ la matrice dont les coefficients sont les sommes des coefficients des matrices $A$ et $B$ qui se correspondent deux à deux.\n
\n
\n\n$$\\color{blue}{A}+\\color{green}{B}= \n \\begin{pmatrix} \n a_{1,1} & ... & a_{1,j}& ...& a_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{i,1} & ... & \\color{blue}{a_{i,j}}& ...& a_{i,m} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{n,1} & ... & a_{n,j}& ...& a_{n,m} \\end{pmatrix}\n \\;+\\;\n \\begin{pmatrix}\n b_{1,1} & ... & b_{1,j}& ...& b_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n b_{i,1} & ... & \\color{green}{b_{i,j}}& ...& b_{i,m} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n b_{n,1} & ... & b_{n,j}& ...& b_{n,m} \\end{pmatrix}\n \\;=\\;\n \\begin{pmatrix}\n a_{1,1}+b_{1,1} & ... & a_{1,1}+b_{1,j}& ...& a_{1,1}+b_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{i,1}+b_{i,1} & ... & \\color{blue}{a_{i,j}}+\\color{green}{b_{i,j}}& ...& a_{i,m}+b_{i,m} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{n,1}+b_{n,1} & ... & a_{n,j}+a_{n,j}& ...& a_{n,m}+b_{n,m} \\end{pmatrix}\n $$
\n\n
\n
\nRemarques :
\n \n \n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercices :
\nDans le manuel : n°3,5,1,6 p194\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\n

2.3. Produit de deux matrices

\n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\nDéfinition : Produit d'une matrice ligne par une matrice colonne.

\n Si $L$ est une matrice ligne $1 \\times n$ et $C$ est une matrice colonne $n \\times 1$, alors on appelle produit de $L$ par $C$ et on note $L\\times C=LC$ la matrice $1 \\times 1$ dont l'unique coefficient est obtenu en sommant les produits des coefficients de $L$ par $C$ pris deux à deux, dans l'ordre.\n
\n
\n\n$$\\color{blue}{L}\\color{green}{C}=\\color{blue}{\\begin{pmatrix}l_1 & l_2 & ... & l_k & ... & l_n \\end{pmatrix}}\\color{green}{\\begin{pmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\\\ ... \\\\ c_k \\\\ ... \\\\ c_n \\end{pmatrix} }=\\begin{pmatrix}\\color{blue}{l_1}\\color{green}{c_1}+\\color{blue}{l_2}\\color{green}{c_2}+...+\\color{blue}{l_k}\\color{green}{c_k}+...\\color{blue}{l_n}\\color{green}{c_n} \\end{pmatrix}\n$$\n\n
Opération posée :\n\n$$\\begin{array}{c|c|c}\n \\begin{matrix}\\curvearrowright \\\\ \\times \\end{matrix} \n & \\begin{matrix} \n \\color{green}{\\begin{pmatrix} c_1 \\\\ c_2 \\\\ ... \\\\ c_k \\\\ ... \\\\ c_n \\end{pmatrix} }\n &\n \\color{red}{\\downarrow} \n \\end{matrix} \\\\\n \\hline\n \\begin{matrix}\n \\color{blue}{\\begin{pmatrix}l_1 & l_2 & ... & l_k & ... & l_n \\end{pmatrix}} \\\\\n \\color{red}{\\longrightarrow}\n \\end{matrix} \n & \n \\begin{matrix}\n \\begin{pmatrix}\\color{blue}{l_1}\\color{green}{c_1}+\\color{blue}{l_2}\\color{green}{c_2}+...+\\color{blue}{l_k}\\color{green}{c_k}+...\\color{blue}{l_n}\\color{green}{c_n} \\end{pmatrix} \\\\\n \\;\n \\end{matrix} \n\\end{array}$$\n
\n\n
\nRemarques :
\nIl est essentiel que la matrice $L$ ait autant d'éléments que $C$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\nDéfinition : Produit de deux matrices.

\n Si $A$ est une matrice $n \\times m$ et $B$ est une matrice $m \\times p$, alors on appelle produit de $A$ par $B$ et on note $A\\times B=AB$ la matrice $n \\times p$ dont le coefficient de la i ème ligne et de la j ème colonne est obtenu en multipliant la i ème ligne de $A$ par la j ème colonne de $B$.\n
\n\n\n
\n\n$$\\color{blue}{A}\\color{green}{B}=\\begin{pmatrix}\n a_{1,1} & ... & a_{1,k}& ...& a_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n \\color{blue}{a_{i,1}} & \\color{blue}{...} & \\color{blue}{a_{i,k}}& \\color{blue}{...} & \\color{blue}{a_{i,m}} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{n,1} & ... & a_{n,k}& ...& a_{n,m}\n \\end{pmatrix}\n \\begin{pmatrix} \n b_{1,1} & ... & \\color{green}{b_{1,j}}& ...& b_{1,p} \\\\ \n ... & ... & \\color{green}{...} & ...& ... \\\\\n b_{k,1} & ... & \\color{green}{b_{k,j}}& ...& b_{k,p} \\\\\n ... & ... & \\color{green}{...} & ...& ... \\\\\n b_{m,1} & ... & \\color{green}{b_{m,j}}& ...& b_{m,p} \n \\end{pmatrix}\n =\n \\begin{pmatrix}\n ... & ... & ... \\\\ \n ... & ... & ... \\\\\n ... & \\color{blue}{a_{i,1}}\\color{green}{b_{1,j}}+\\color{blue}{a_{i,2}}\\color{green}{b_{2,j}}+...+\\color{blue}{a_{i,k}}\\color{green}{b_{k,j}}+...\\color{blue}{a_{i,m}}\\color{green}{b_{m,j}}& ... \\\\\n ... & ... & ... \\\\\n ... & ... & ... \\\\\n \\end{pmatrix}\n$$\n\n
Opération posée :\n\n\n$$\\begin{array}{c|c|c}\n \\begin{matrix}\\curvearrowright \\\\ \\times \\end{matrix} \n & \n \\begin{matrix} \n \\begin{pmatrix} \n b_{1,1} & ... & \\color{green}{b_{1,j}}& ...& b_{1,p} \\\\ \n ... & ... & \\color{green}{...} & ...& ... \\\\\n b_{k,1} & ... & \\color{green}{b_{k,j}}& ...& b_{k,p} \\\\\n ... & ... & \\color{green}{...} & ...& ... \\\\\n b_{m,1} & ... & \\color{green}{b_{m,j}}& ...& b_{m,p} \n \\end{pmatrix}\n &\n \\color{red}{\\downarrow} \n \\end{matrix} \\\\\n \\hline\n \\begin{matrix}\n \\begin{pmatrix}\n a_{1,1} & ... & a_{1,k}& ...& a_{1,m} \\\\ \n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n \\color{blue}{a_{i,1}} & \\color{blue}{...} & \\color{blue}{a_{i,k}}& \\color{blue}{...} & \\color{blue}{a_{i,m}} \\\\\n ... & ... & ... & ...& ... \\\\\n a_{n,1} & ... & a_{n,k}& ...& a_{n,m}\n \\end{pmatrix} \\\\\n \\color{red}{\\longrightarrow}\n \\end{matrix}\n & \n \\begin{matrix}\n \\begin{pmatrix}\n ... & ... & ... \\\\ \n ... & ... & ... \\\\\n ... & \\color{blue}{a_{i,1}}\\color{green}{b_{1,j}}+\\color{blue}{a_{i,2}}\\color{green}{b_{2,j}}+...+\\color{blue}{a_{i,k}}\\color{green}{b_{k,j}}+...\\color{blue}{a_{i,m}}\\color{green}{b_{m,j}}& ... \\\\\n ... & ... & ... \\\\\n ... & ... & ... \\\\\n \\end{pmatrix} \\\\\n \\;\n \\end{matrix} \n\\end{array}$$\n\n
\n\n\nRemarques :
\n
\n\n
\n\n
\n
\n \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercices :
\n
    \n
  1. Dans le manuel : n°7,8,9,11,14,21 p195,196
    2. \n
  2. On considère les matrices $A=\\begin{pmatrix} -3 & -1 \\\\ 2 & 4 \\end{pmatrix}$ , $B=\\begin{pmatrix} 7 & 5 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}$ et $C=\\begin{pmatrix} 4 & 3 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix}$.
    Calculer $A(BC)$, $(AB)C$, $A(B+C)$ et $AB+AC$. Qu'observe-t-on?
    On admettra que ces propriétés sont vraies dans le cas général, ce qui est énoncé dans l'encadré suivant.\n
\n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
\nPropriété : Associativité et distributivité du produit de matrices.

\nPour toutes matrices $A$ , $B$ et $C$ dont les dimensions permettent d'effectuer les calculs ci-dessous, on a:\n\n
\nRemarques :
\n\n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercices :
\n
    \n
  1. Dans le manuel : n°15 p195
    2. \n
  2. L'identité remarquable $(a+b)(a-b)=a²-b²$ est-elle vérifiée pour des matrices ?
    3. \n
"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercice : Syntaxes Python :
\nOn considère les matrices $A=\\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 3 & 5 \\end{pmatrix}$ et $B=\\begin{pmatrix} 4 & 7 \\\\ 2 & 2 \\end{pmatrix}$.\n
    \n
  1. Effectuer à la main les opérations $3A$ ; $A+2B$ et $AB$.
    2. \n
  2. Les appels aux modules Python, dans la cellule suivante, permettent de définir et d'effectuer des opérations sur des matrices.
    Exécuter cette cellule et les suivantes. Quelle syntaxe permet de calculer $A \\times B$ ?\n
  3. Écrire et exécuter les saisies nécessaires pour calculer $BA$ ; $AC$ et $LA$ avec $C=\\begin{pmatrix} -1 \\\\ 6 \\end{pmatrix}$ et $L=\\begin{pmatrix} -3 & -5 \\end{pmatrix}$.
    4. \n
    \nNB : On a utilisé ici le type array du module numpy. Ce module permet aussi d'utiliser un autre type, appelé mat, avec des syntaxes différentes."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 2\nfrom numpy import*\nfrom numpy.linalg import*\n\nA = array([[2,1],\n [3,5]])\nB = array([[4,7],\n [2,2]])\n3*A","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 2\nA+2*B","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 2\nA*B","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 2\ndot(A,B)","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 3 \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 3 \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Cellule pour la question 3 \n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \n

    2.4. Matrice identité et puissance d'une matrice.

    \n
    "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \nDéfinition : Matrice identité d'ordre n.

    \nSoit $n \\in \\mathbb{N}^*$.
    \n On appelle matrice identité d'ordre $n$ , et on note $I_n \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$ la matrice composée :\n
      \n
    • de coefficients $1$ sur la diagonale principale ;
      \n (les coefficients de la diagonale principale sont ceux dont l'indice de ligne est égal à l'indice de colonne)\n
      • \n
    • de coefficients nuls ailleurs.
      • \n
    \n \n \n$$I_n = \\begin{pmatrix} \n \\color{coral}{1} & 0 & 0 & ... & ... & ... & 0 \\\\ \n 0 & \\color{coral}{1} & 0 & ... & ... & ... & ...\\\\\n 0 & 0 & \\color{coral}{1} & 0 & ... & ... & ...\\\\\n... & ... & 0 & \\color{coral}{1} & ... & ... & ...\\\\\n... & ... & ... & ... & ... & ... & ...\\\\\n... & ... & ... & ... & ... & \\color{coral}{1} & 0 \\\\\n 0 & ... & ... & ... & ... & 0 & \\color{coral}{1} \\end{pmatrix}$$\n
    \n\nRemarque :
    \nDans les exercices, s'il n'y a pas de confusion possible sur sa dimension, la matrice $I_n$ sera parfois notée $I$.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercice :
    \nOn pose $A=\\begin{pmatrix} -3 & 2 \\\\ 7 & -4 \\end{pmatrix}$ ; $L=\\begin{pmatrix} 1 & -2 \\end{pmatrix}$ et $C=\\begin{pmatrix} 5 \\\\ -3 \\end{pmatrix}$.\n
      \n
    1. Calculer $I_2A$ et $AI_2$. Qu'observe-t-on ?\n
    2. Calculer $LI_2$ et $I_2C$. Qu'observe-t-on ?\n
    \n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \nPropriété : Élément neutre pour la multiplication dans $M_n(\\mathbb{R}).$

    \n$\\forall A \\in M_n(\\mathbb{R})$ , on a :\n
      \n
    • $AI_n=A$
      • \n
    • $I_nA=A$
      • \n
    \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercice :
    \nDémontrer la propriété ci-dessus dans le cas où $n=2$, en détaillant les calculs.\n "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \nDéfinition : Puissance d'une matrice carrée.

    \nSoit $n \\in \\mathbb{N}^*$.
    \nSoit $A \\in M_n(\\mathbb{R})$ et $k \\in \\mathbb{N}$.
    \nOn appelle puissance $k^{\\text{ème}}$ de $A$ la matrice définie par :\n
      \n
    • $A^0=I_n$ si $k=0$;
      • \n
    • $A^k=\\underbrace{A \\times A \\times A \\times ... \\times A}_{k \\text{ facteurs}}$ si $k>0$.
      • \n
    "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercices :\n
      \n
    • Dans le manuel : n°14,17,16 p195
      • \n
    • Dans le manuel : n°53,48 p199,200
      • \n
    • Syntaxe Python :
      \n On considère la matrice $A=\\begin{pmatrix} 1 & -2 \\\\ 3 & -1 \\end{pmatrix}$.\n
        \n
      1. Calculer, à la main, les matrices $A^2$ et $A^3$.
        2. \n
      2. Saisir et stocker dans A la matrice $A$ dans Python, puis tester les syntaxes A**2 et A**3.
        \n Ces syntaxes permettent-elles de calculer les puissances de la matrice $A$ ?\n
        3. \n
      3. Écrire une fonction Python puissance qui reçoit en argument une matrice A et un entier k et renvoie la matrice qui est la puissance $k^{\\text{ème}}$ de A.
        \n (on pourra utiliser une boucle)\n
        4. \n
      4. Tester cette fonction pour la matrice $A$ de l'énoncé
        5. \n
      \n
    \nNB: La fonction Python matrix_power incluse dans le module numpy.linalg permet également de calculer la puissance d'une matrice."},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Question 2 : Saisir et stocker A dans cette cellule\nfrom numpy import*\nfrom numpy.linalg import*\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Question 2 : Tester les syntaxes\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Question 3 : Écrire la fonction puissance\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Question 4 : Tester la fonction puissance\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \n

    3. Résolution matricielle de systèmes d'équations

    \n
    "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \n

    3.1. Inverse d'une matrice carrée.

    \n
    "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
    \nDéfinition : Inversibilité d'une matrice carrée.

    \nSoit $n \\in \\mathbb{N}^*$.
    \nSoit $A \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$\nOn dit que $A$ est inversible s'il existe une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ et $BA=I_n$.\n
    \n
    \nPropriété : Conditions suffisantes pour l'inversibilité d'une matrice carrée.

    \nSoit $n \\in \\mathbb{N}^*$.
    \nSoit $A \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$ et $B \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$.
    \nOn a :\n$AB=I_n \\Longleftrightarrow BA=I_n$\n
    \nRemarque :
    \nCette propriété (admise car difficile à démontrer) permet de ne pas avoir à effectuer deux calculs pour prouver qu'une matrice est inversible : Une seule des deux conditions suffit.\n
    \nPropriété : Unicité de la matrice pour l'inversibilité d'une matrice carrée.

    \nSoit $n \\in \\mathbb{N}^*$.
    \nSi $A \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$ est inversible, alors il existe une unique matrice $B \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$ telle que $AB=BA=I_n$.
    \n
    \n\nExercice :
    \nDémontrons la propriété ci-dessus. Supposons que $B_1$ et $B_2$ vérifient toutes deux la propriété énoncée.
    \nDémontrer que $B_1AB_2=B_2$ puis que $B_1AB_2=B_1$. Conclure.\n\nCette propriété justifie la définition suivante :\n
    \nDéfinition : Inverse d'une matrice carrée.

    \nSoit $n \\in \\mathbb{N}^*$.
    \nSoit $A \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$ inversible.
    \nLa matrice $B$ qui vérifie $AB=BA=I_n$ est appelée matrice inverse de $A$ , et on la note $A^{-1}$.\n
    "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercices :
    \n
      \n
    1. Dans le manuel : n°26,27,32 p195
      2. \n
    2. Dans le manuel : n°39,40 p198
      3. \n
    3. Dans le manuel : n°68 p203
      4. \n
    4. Syntaxe Python :
      \n La fonction Python inv incluse dans le module numpy.linalg permet de calculer l'inverse d'une matrice.
      Tester cette fonction pour les matrices $A=\\begin{pmatrix} 4 & -2 \\\\ 2 & 3 \\end{pmatrix}$ et $\\begin{pmatrix} 5 & 2 \\\\ 10 & 4 \\end{pmatrix}$.
      Que peut-on conclure ?\n
      5. "},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Saisir les matrices A et B\nfrom numpy import*\nfrom numpy.linalg import*\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Tester ici l'appel à la fonction inv pour A\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Tester ici l'appel à la fonction inv pour B\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Pour déterminer si une matrice carrée d'ordre 2 est inversible et déterminer dans ce cas son inverse, il existe une méthode générale...\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercice :
      \nDans le manuel : n°66 p203\n
      \nCet exercice permet d'énoncer :"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
      \nPropriété : Inversion d'une matrice carrée d'ordre 2

      \nSoit $A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\in \\mathcal M_2(\\mathbb{R})$.
      \nAlors : \n
        \n
      • $A$ est inversible $\\Longleftrightarrow ad-bc \\ne 0$ ;
        • \n
      • Dans le cas où $ad-bc \\ne 0$ , l'inverse de $A$ est :
        \n $A^{-1} = \\frac{1}{ad-bc} \\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$\n
        • \n
      \n\n\nExercices :
      \n
        \n
      • Dans le manuel : n°30,31(sans calculatrice) p196,197
        • \n
      • Dans le manuel : n°38 p198
        • \n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
        \n

        3.2. Écriture matricielle d'un système linéaire d'équations

        \n
        "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
        \nDéfinition : Système linéaire d'équations.

        \n\n$(S) : \\begin{Bmatrix}\n \\color{blue}{a_{1,1}}\\color{red}{x_1}+\\color{blue}{a_{1,2}}\\color{red}{x_2}+...+\\color{blue}{a_{1,j}}\\color{red}{x_j}+...+\\color{blue}{a_{1,n}}\\color{red}{x_n}=\\color{green}{b_1} \\\\\n \\color{blue}{a_{2,1}}\\color{red}{x_1}+\\color{blue}{a_{2,2}}\\color{red}{x_2}+...+\\color{blue}{a_{2,j}}\\color{red}{x_j}+...+\\color{blue}{a_{2,n}}\\color{red}{x_n}=\\color{green}{b_2} \\\\\n ...\\\\\n \\color{blue}{a_{i,1}}\\color{red}{x_1}+\\color{blue}{a_{i,2}}\\color{red}{x_2}+...+\\color{blue}{a_{i,j}}\\color{red}{x_j}+...+\\color{blue}{a_{i,n}}\\color{red}{x_n}=\\color{green}{b_i} \\\\\n ...\\\\\n \\color{blue}{a_{n,n}}\\color{red}{x_1}+\\color{blue}{a_{n,2}}\\color{red}{x_2}+...+\\color{blue}{a_{n,j}}\\color{red}{x_j}+...+\\color{blue}{a_{n,n}}\\color{red}{x_n}=\\color{green}{b_n} \n \\end{Bmatrix}$\n
        \noù :\n
          \n
        • $n \\in \\mathbb{N}, n \\geq 2,$
          • \n
        • $(a_{i,j})_{ \\begin{matrix} 1 \\leq i \\leq n \\\\ 1 \\leq j \\ n \\end{matrix} }$ des coefficients fixés ;
          • \n
        • $(b_i)_{1 \\leq i \\leq n}$ des coefficients réels fixés ;
          • \n
        • $(x_j)_{1 \\leq j \\leq n}$ sont des inconnues réelles à déterminer ;
          • \n
        \nest appelé système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues.\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
        \nPropriété : Écriture matricielle d'un système linéaire.

        \nLe système $(S)$ est équivalent à $AX=B$ où :

        \n\n$\\color{blue}{A=\\begin{pmatrix}\n a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,j} & ... & a_{1,n} \\\\\n a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,j} & ... & a_{2,n} \\\\\n ... & ... & ... & ... & ... & ... \\\\\n a_{i,1} & a_{i,2} & ... & a_{i,j} & ... & a_{i,n} \\\\\n ... & ... & ... & ... & ... & ... \\\\\n a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,j} & ... & a_{n,n} \\\\\n \\end{pmatrix}}\n \\;\\;\\text{ ; }\\;\\;\n \\color{red}{X=\\begin{pmatrix}\n x_1 \\\\\n x_2 \\\\\n ... \\\\\n x_j \\\\\n ... \\\\\n x_n \\\\\n \\end{pmatrix}}\n \\;\\;\\text{ et }\\;\\;\n \\color{green}{B=\\begin{pmatrix}\n b_1 \\\\\n b_2 \\\\\n ... \\\\\n b_i \\\\\n ... \\\\\n b_n \\\\\n \\end{pmatrix}}\n $\n

        \nRésoudre le système $(S)$ revient donc à déterminer les matrices $X$ vérifiant l'égalité matricielle $AX=B$.\n
        "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercice :
        \nDans le manuel : n°33 p197"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
        \n

        3.3. Méthode de résolution d'un système matriciel

        \n
        "},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"
        \nMéthode : Méthode générale de résolution d'un système linéaire à $n$ équations et $n$ inconnues

        \n\n
          \n
        1. Écrire le système d'équations sous la forme $AX=B$ où $A \\in \\mathcal M_n(\\mathbb{R})$ et $X,B$ sont des matrices colonnes $n \\times 1$;
          2. \n
        2. Déterminer si la matrice $A$ est inversible. Arrêter si ce n'est pas le cas (voir remarque).
          3. \n
        3. Déterminer $A^{-1}$.
          4. \n
        4. $AX=B$ devient :
          \n $A^{-1}AX=A^{-1}B$ (en multipliant à gauche par $A^{-1}$)
          \n $X=A^{-1}B$ (car $A^{-1}A=I$)
          \n Il s'agit même d'une équivalence puisqu'on peut remonter les étapes en multipliant à gauche par $A$.\n
          5. \n
        5. Calculer $X=A^{-1}B$ et conclure :
          Il existe une unique matrice $X=\\begin{pmatrix}\n x_1 \\\\\n x_2 \\\\\n ... \\\\\n x_j \\\\\n ... \\\\\n x_n \\\\\n \\end{pmatrix}$ solution, et le système admet donc une unique solution $(x_1;x_2;...;x_j;..;x_n)$.
          6. \n
        \n
        \n\nRemarque :
        \nDans le cas où la matrice $A$ n'est pas inversible, on admet que le système a :
        \n
          \n
        • soit une infinité de solutions ;
          • \n
        • soit aucune solution.
          • \n
        \n\n"},{"metadata":{},"cell_type":"markdown","source":"Exercice :
        \n
          \n
        • Dans le manuel : n°34 (sans calculatrice, en justifiant), 35,36 p197
          • \n
        • Dans le manuel : n°37 p197(effectuer la résolution du système)
          • \n
        • Résoudre les systèmes de l'exercice du manuel n°44 p198 puis effectuer des saisies Python pour vérifier les résultats.
          • \n
        \n"},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Zone de saisie pour l'exercice n°37 p197\nfrom numpy import*\nfrom numpy.linalg import*\n\nA=array([[3,-2,1],\n [-1,1,-2],\n [2,-2,3]])\nB=array([[17],[-12],[20]])\n\nX=dot(inv(A),B)\nX","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"#Zones de saisies pour vérification des résolutions du n°44 p198\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"\n","execution_count":null,"outputs":[]},{"metadata":{"trusted":false},"cell_type":"code","source":"\n","execution_count":null,"outputs":[]}],"metadata":{"kernelspec":{"display_name":"Python 3","language":"python","name":"python3"},"language_info":{"codemirror_mode":{"name":"ipython","version":3},"file_extension":".py","mimetype":"text/x-python","name":"python","nbconvert_exporter":"python","pygments_lexer":"ipython3","version":"3.7.10"}},"nbformat":4,"nbformat_minor":2}