{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2020 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# 1. Dérivation"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"*But de l’activité : Ecrire des fonctions Python permettant le calcul de taux de variation, de nombres dérivés, du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine d’une tangente à une courbe.*\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"On considère la fonction __$f$__ définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x)=\\frac{1}{4} x^3+x-3$.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__1. Ecrire une fonction Python f qui :__\n",
"* __reçoit en argument une valeur $x$ ;__\n",
"* __renvoie son image par la fonction $f$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__2. Ecrire une fonction Python coeff_dir qui :__\n",
"* __reçoit en arguments les coordonnées de deux points $A(x_A;y_A )$ et $B(x_B;y_B )$ (avec $x_A≠x_B$) ;__\n",
"* __renvoie le coefficient directeur de la droite $(AB)$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3. A l’aide de la fonction précédente, écrire une fonction Python taux_variation qui :__\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$ et deux valeurs $a$ et $h$ ;__\n",
"* __renvoie le taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__4. A l’aide de cette fonction, calculer le taux de variation de $f$ entre $3$ et $3,000001$. Conjecturer la valeur du nombre dérivé $f'(3)$, puis effectuer un calcul pour vérifier.__\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser la fonction précédente\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__5. L’import « from scipy import misc » permet d’utiliser la fonction misc.derivative qui :__\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$ et une valeur $a$;__\n",
"* __renvoie le nombre dérivé de $f$ en $a$.__\n",
"\n",
"__Tester cette fonction pour calculer $f'(3)$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from scipy import misc\n",
"ec=10**-9\n",
"\n",
"misc.derivative(f,3,ec)\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__6. Ecrire une fonction Python coeff_tang qui :__\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$ et une valeur $a$ ;__\n",
"* __renvoie le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la tangente à $f$ en $a$.__\n",
"__Tester cette fonction pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $2$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Tester cette fonction pour déterminer l’équation de la tangente à la courbe de $f$ en $2$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction précédente\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__7. La fonction tab_val ci-dessous permet d’obtenir une liste de valeurs de la fonction $f$.__\n",
"* __Quelle est la valeur initiale de cette liste ? le pas ? le nombre de valeurs obtenues ?__\n",
"* __Adapter cette fonction pour qu’elle reçoive en argument la valeur initiale $x_0$, le pas $p$ et le nombre de valeurs n.__\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#(Tester puis) modifier la fonction\n",
"def tab_val(f):\n",
" t=[]\n",
" x=0\n",
" for k in range(10):\n",
" t.append(f(x))\n",
" x=x+2\n",
" return t"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction modifiée\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__8. Ecrire une fonction Python cdir_secantes qui :__\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$, une valeur $x_0$, un pas $p$ et un entier $n$.__\n",
"* __renvoie la liste des $n$ coefficients directeurs des sécantes à la courbe de $f$ à partir de $x_0$ avec un pas en abscisse $p$.__\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# 2. Méthode de Newton"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"*Prérequis : Fonctions Python réalisées dans l’activité « Fonctions élémentaires autour de la dérivation »* \n",
"\n",
"*But de l’activité : Approcher la solution d’une équation à l’aide de la méthode de Newton.*\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"On considère la fonction __$f$__ définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x)=\\frac{1}{4} x^3+x-3$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__1. Démontrer que $f$ est croissante sur $\\mathbb{R}$.__ \n",
"__On admettra pour la suite que l’équation $f(x)=0$ a une unique solution sur $\\mathbb{R}$, notée $α$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__2. Justifier que pour toute abscisse $a$, la tangente $T_a$ à la courbe de $f$ en $a$ coupe l’axe des abscisses en un point $P$.__ \n",
"\n",
"__Déterminer l’expression de l’abscisse de $P$ en fonction de $a$, $f'(a)$ et $f(a)$.__\n",
"\n",
"__Ecrire une fonction Python etap_Newton qui :__\n",
"* __reçoit en argument une fonction $f$ et une valeur $a$__ ;\n",
"* __renvoie l’abscisse du point $P$ correspondant.__\n",
"\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3. A partir d’un point de l’axe des abscisses, on peut donc construire une suite de points.\n",
"On admettra ici que la suite des abscisses de ces points a pour limite $α$.__\n",
"\n",
"__La fonction Python appl_Newton donnée ci-dessous :__\n",
"\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$, une valeur $a$ et un entier $n$;__\n",
"* __renvoie une liste de valeurs.__ \n",
"\n",
"__Expliquer ce que représentent les termes de la liste renvoyée.__\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 2,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def appl_Newton(f,a,n):\n",
" t=[a]\n",
" for k in range(n): \n",
" a=etap_Newton(f,a)\n",
" t.append(a) \n",
" return t"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__4. Tester cette fonction appl_Newton pour la fonction $f$ de l’énoncé avec $a=3$ et $n=10$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__5. Proposer et coder en Python des fonctions polynomiales $g$ et $h$ à coefficients entiers s’annulant respectivement en $\\sqrt{5}$ et $\\sqrt[3]{7}$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire les fonctions\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__A l’aide des fonctions Python précédentes, proposer des valeurs approchées de ces deux nombres.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer les saisies nécessaires\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# 3. Algorithme de Dichotomie"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"*Prérequis : Aucun, mais les question 1)a)b) peuvent être supprimées si l’activité « Méthode de Newton » a été traitée.*\n",
"\n",
"*But de l’activité : Approcher la solution d’une équation à l’aide d’un algorithme de dichotomie (méthode plus lente que la méthode de Newton, mais pour laquelle la précision du résultat est connue).*\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"On considère la fonction __$f$__ définie sur $\\mathbb{R}$ par $f(x)=\\frac{1}{4} x^3+x-3$."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__1. Démontrer que $f$ est croissante sur $\\mathbb{R}$.__ \n",
"__On admettra pour la suite que l’équation $f(x)=0$ a une unique solution sur $\\mathbb{R}$, notée $α$.__\n",
"\n",
"__Ecrire une fonction Python $f$ qui:__\n",
"* __reçoit en argument une valeur $x$ ;__\n",
"* __renvoie son image par la fonction $f$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Déterminer les images de $0$ et $3$ par $f$, et en déduire que $α∈[0;3]$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__2. On considère un intervalle $[a;b]$ contenant $α$ et on pose $m=\\frac{a+b}{2}$.__\n",
"\n",
"__Justifier que : (*) si $f(a) \\times f(m)<0$ alors $α∈[a;m]$ , et sinon $α∈[m;b]$ .__\n",
"\n",
"__En utilisant (*), écrire une fonction Python etap_dichoto qui :__\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$ et les bornes $a$ et $b$ d’un intervalle contenant $α$ ;__\n",
"* __renvoie les bornes $a$ et $b$ d’un nouvel intervalle contenant $α$.__\n",
"\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__A partir de l’intervalle $[a;b]=[0;3]$, obtenir successivement 3 nouveaux intervalles contenant $α$.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer les saisies nécessaires\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Que peut-on dire de la longueur de chaque intervalle obtenu par rapport à la précédente ?__"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__3. Ecrire une fonction Python dichoto_iter qui :__\n",
"* __reçoit en arguments une fonction $f$, les bornes $a$ et $b$ d’un intervalle contenant $α$ et un entier $n$ ;__\n",
"* __renvoie les bornes d’un nouvel intervalle contenant $α$ obtenu en répétant $n$ fois la fonction précédente.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Tester avec la fonction $f$ de l’énoncé en partant de l’intervalle $[0;3]$ et en répétant $10$ fois la méthode.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__4. Ecrire une fonction Python dichoto_test qui :__\n",
"* __reçoit en arguments la fonction $f$, les bornes $a$ et $b$ d’un intervalle contenant $α$ et une valeur $h$ ;__\n",
"* __renvoie les bornes du premier intervalle de longueur inférieure à $h$ obtenu avec la méthode décrite précédemment.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__Tester avec la fonction $f$ de l’énoncé pour obtenir un encadrement de α à $10^{-5}$ près.__\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Tester la fonction\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__5. Proposer et coder en Python des fonctions polynomiales $g$ et $h$ à coefficients entiers s’annulant respectivement en $\\sqrt{5}$ et $\\sqrt[3]{7}$.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Ecrire les fonctions\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__A l’aide des fonctions Python précédentes, proposer des encadrements de ces deux nombres à $10^{-7}$ près.__"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer les saisies nécessaires\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2020 http://www.python-lycee.com/*\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
}
],
"metadata": {
"celltoolbar": "Raw Cell Format",
"kernelspec": {
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"language": "python",
"name": "python3"
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"language_info": {
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"version": 3
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"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
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"nbconvert_exporter": "python",
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"version": "3.6.4"
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