{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\n",
"Les activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Construction de l'exponentielle par la méthode d'Euler (corrigé)\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Sommaire\n",
"\n",
"0. Introduction et présentation de la méthode
\n",
"1. Construction des abscisses
\n",
"2. Construction des ordonnées
\n",
"3. Représentation graphique
\n",
"4. Nombre d'Euler
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 0. Introduction et présentation de la méthode"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"Dans cette activité, on admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ vérifiant :\n",
"\n",
" - $f'=f$
\n",
" - $f(0)=1$
\n",
"
\n",
"
\n",
"$\\quad\\quad$NB : Cette fonction est la fonction exponentielle et se note $\\exp$.\n",
"
\n",
"\n",
"Le but de cette activité est d'obtenir une représentation graphique approchée de $C_f$, courbe représentative de cette fonction $f$.
\n",
"Visionner la vidéo ci-dessous, qui explique le principe de la méthode d'Euler pour obtenir la courbe représentative de cette fonction.\n",
"
\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
"\n",
"## 1. Construction des abscisses"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"$h>0$ étant fixé, les abscisses $(x_n)_{n \\geq 0}$ des points $(M_n)_{n \\geq 0}$ vérifient :\n",
"\n",
" - $x_0=0$
\n",
" - $x_{n+1}=x_n+h$ pour tout $n \\in \\mathbb{N}$
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"1.1. Donner la nature de la suite $(x_n)_{n \\geq 0}$, et en déduire une expression de $x_n$ en fonction de $h$ et $n$.\n",
"
\n",
"La suite $(x_n)_{n \\geq 0}$ est arithmétique :\n",
"\n",
" - de premier terme $x_0=0$ ;
\n",
" - de raison $h$.
\n",
"
\n",
"On en déduit que $\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $x_n=nh$.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"1.2. Écrire une fonction Python x d'arguments h et n (dans cet ordre) qui renvoie la valeur $x_n$."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 1,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction x d'arguments h et n\n",
"\n",
"def x(h,n):\n",
" \"\"\"\n",
" fonction qui renvoie la valeur de l'abscisse x_n du point A_n\n",
" \"\"\"\n",
" return n*h"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
"\n",
"## 2. Construction des ordonnées"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"$h>0$ étant fixé, on note $(y_n)_{n \\geq 0}$ les ordonnées des points $(M_n)_{n \\geq 0}$ que l'on cherche à construire.
\n",
"Comme $x_0=0$ et $f(0)=1$, on pose $y_0=1$.\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"![](\"https://raw.githubusercontent.com/PythonLycee/PyLyc/master/img/Illustration_meth_Euler.png\")
\n",
"On suppose un point $M_n(x_n;y_n)$ construit, avec $y_n = f(x_n)$.
\n",
"On souhaite déterminer une valeur approchée de $y_{n+1}$, ordonnée du point suivant $M_{n+1}$.\n",
"\n",
"
\n",
"2.1. On note $T$ la tangente à la courbe $C_f$ au point $M_n$ d'abscisse $x_n$.
\n",
"$\\quad\\;\\;$On note $S$ le point de la droite $T$ qui a pour abscisse $x_{n+1}$.
\n",
"
\n",
"$\\quad\\;$ a. Démontrer que la tangente $T$ a pour équation $y = y_n(x-x_n)+y_n$.
\n",
"$\\quad\\;$ b. En déduire que $S$ a pour ordonnée $(1+h)y_n$. \n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"a. La tangente $T$ a pour équation $y = f'(x_n)(x-x_n)+f(x_n)$
\n",
"$\\;\\;\\;$Comme $f'=f$, on en déduit que $f'(x_n)=f(x_n) = y_n$.
\n",
"$\\;\\;\\;$Ainsi $T$ a pour équation $y = y_n(x-x_n)+y_n$\n",
"
\n",
"b. Comme $S$ a pour abscisse $x_{n+1}$ et appartient à $T$, son ordonnée vaut :\n",
"$y_S= y_n(x_{n+1}-x_n)+y_n = y_n h + y_n = (1+h) y_n$.\n",
" "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.2. En considérant que $h$ est fixé \"suffisamment petit\", on estime que les points $M_{n+1}$ et $S$ sont très proches, c'est à dire que $y_{n+1} = (1+h)y_n$.
\n",
"$\\quad\\;$ a. Donner la nature de la suite $(y_n)_{n \\geq 0}$.
\n",
"$\\quad\\;$ b. En déduire l'expression de $y_n$ en fonction de $h$ et $n$.
\n",
"$\\quad\\;$ c. Écrire une fonction Python y d'arguments h et n (dans cet ordre) qui renvoie la valeur $y_n$.\n",
"
\n",
"
\n",
"a. La suite $(y_n)_{n \\geq 0}$ est géométrique :\n",
"\n",
" - de premier terme $y_0=1$ ;
\n",
" - de raison $1+h$.
\n",
"
\n",
"b. On en déduit que $\\forall n \\in \\mathbb{N}$ ; $y_n = (1+h)^n$.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 2,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction y d'arguments h et n\n",
"\n",
"def y(h,n):\n",
" \"\"\"\n",
" fonction qui renvoie une valeur approchée de l'ordonnée y_n du point A_n\n",
" \"\"\"\n",
" return (1+h)**n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
"\n",
"## 3. Représentation graphique"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"3.1.a. Exécuter la cellule ci-dessous, qui permet de générer la liste des abscisses $x_0$, $x_1$, $x_2$ pour $h=0,1$. "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 3,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"[0.0, 0.1, 0.2]"
]
},
"execution_count": 3,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"# Exécuter cette cellule\n",
"\n",
"h = 0.1\n",
"\n",
"[ x(h,n) for n in range(3) ]\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"$\\quad\\;$b. Écrire une fonction Python L_x qui reçoit h et N en arguments (dans cet ordre) et qui renvoie la liste des abscisses $x_0$, $x_1$, ..., $x_N$. "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 4,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction L_x\n",
"\n",
"def L_x(h,N):\n",
" \"\"\"\n",
" fonction qui renvoie les N+1 premières abscisses\n",
" \"\"\"\n",
" return [ x(h,n) for n in range(N+1) ]\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"$\\quad\\;$c. Écrire une fonction Python L_y qui reçoit h et N en arguments (dans cet ordre) et qui renvoie la liste des ordonnées $y_0$, $y_1$, ..., $y_N$. "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 5,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction L_y\n",
"\n",
"def L_y(h,N):\n",
" \"\"\"\n",
" fonction qui renvoie les N+1 premières ordonnées\n",
" \"\"\"\n",
" return [ y(h,n) for n in range(N+1) ]\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"La fonction Graphique_Euler fournie ci-dessous permet de représenter les points $M_n$ pour $0 \\leq n \\leq N$ dans un repère.
\n",
"L'appel effectué permet d'obtenir des curseurs permettant de paramétrer :\n",
"\n",
" - la valeur $h$ ;
\n",
" - la valeur $N$ ;
\n",
" - les extrêma $x_{min}$ , $x_{max}$ , $y_{min}$ et $y_{max}$ de la fenêtre d'affichage.\n",
"
\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"3.2. Exécuter la cellule ci-dessous. À l'aide des curseurs, observer le nuage de points obtenu, et en particulier le gain en précision lorsqu'on prend des valeurs de $h$ \"suffisamment petites\".
\n",
"NB : L'exécution de cette cellule nécessite que les fonctions L_x et L_y aient été préalablement définies."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 6,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"application/vnd.jupyter.widget-view+json": {
"model_id": "5d49c22bb5354efb92f1ba113ab66202",
"version_major": 2,
"version_minor": 0
},
"text/plain": [
"interactive(children=(FloatSlider(value=0.25, description='h', max=0.5, min=0.01, step=0.01), IntSlider(value=…"
]
},
"metadata": {},
"output_type": "display_data"
},
{
"data": {
"text/plain": [
""
]
},
"execution_count": 6,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"import matplotlib.pyplot as plt\n",
"from ipywidgets import interact, widgets\n",
"\n",
"def Graphique_Euler(h,N,xmin,xmax,ymin,ymax):\n",
" \n",
" # initialisation du graphique\n",
" fig = plt.figure() \n",
"\n",
" # paramétrage des axes\n",
" ax = fig.gca()\n",
" ax.set_xticks([x for x in range(xmin,xmax+1,1 if xmax-xmin<25 else 5)])\n",
" ax.set_yticks([y for y in range(ymin,ymax+1,1 if ymax-ymin<25 else 5)]) \n",
" plt.plot([xmin,xmax],[0,0],color='black')\n",
" plt.plot([0,0],[ymin,ymax],color='black')\n",
" plt.axis([xmin,xmax,ymin,ymax]) \n",
" plt.grid()\n",
" \n",
" # représentation graphique des points\n",
" plt.scatter( L_x(h,N), L_y(h,N), s=10, color='purple' )\n",
" plt.show()\n",
" \n",
"interact(Graphique_Euler,\n",
" h = widgets.FloatSlider (min=.01, max=0.5, step=.01, value=.25),\n",
" N = widgets.IntSlider (min=0 , max=100, step=5 , value=5 ),\n",
" xmin = widgets.IntSlider (min=-20, max=-5 , step=5 , value=-3 ),\n",
" xmax = widgets.IntSlider (min=0 , max=20 , step=5 , value=10 ),\n",
" ymin = widgets.IntSlider (min=-15, max=-5 , step=5 , value=-2 ),\n",
" ymax = widgets.IntSlider (min=0 , max=100, step=5 , value=10 ),\n",
" )\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"3.3. On admet que la même méthode permet d'approcher la courbe $C_f$ par des points d'abscisses négatives, en prenant $h<0$.
\n",
"$\\quad\\;\\;$Exécuter la cellule ci-dessous pour observer un tel nuage de points."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 7,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"application/vnd.jupyter.widget-view+json": {
"model_id": "4e6549d0029a4de29ea79910c98336cd",
"version_major": 2,
"version_minor": 0
},
"text/plain": [
"interactive(children=(FloatSlider(value=-0.25, description='h', max=-0.01, min=-0.5, step=0.01), IntSlider(val…"
]
},
"metadata": {},
"output_type": "display_data"
},
{
"data": {
"text/plain": [
""
]
},
"execution_count": 7,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"interact(Graphique_Euler,\n",
" h = widgets.FloatSlider (min=-0.5, max=-0.01, step=.01, value=-.25),\n",
" N = widgets.IntSlider (min=0 , max=100 , step=5 , value=5 ),\n",
" xmin = widgets.IntSlider (min=-20 , max=-5 , step=5 , value=-3 ),\n",
" xmax = widgets.IntSlider (min=0 , max=20 , step=5 , value=10 ),\n",
" ymin = widgets.IntSlider (min=-15 , max=-5 , step=5 , value=-2 ),\n",
" ymax = widgets.IntSlider (min=0 , max=100 , step=5 , value=10 ),\n",
" )"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
"\n",
"## 4. Nombre d'Euler"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" On appelle nombre d'Euler (et on note $e$) l'image de 1 par la fonction $f$, c'est à dire $e = f(1) = \\exp (1)$\n",
"
\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"4.1. On fixe $N \\in \\mathbb{N}^*$ et on pose $h=\\displaystyle \\frac{1}{N}$.
\n",
"$\\quad\\;\\;$Déterminer la valeur de $x_N$, et en déduire que $y_N \\approx e$.
\n",
"
\n",
"\n",
"$\\displaystyle x_N=Nh=N\\times \\frac{1}{N}=1$ et $y_N \\approx f(x_N)=f(1)=e$.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"4.2. À l'aide d'un appel à la fonction L_y, déterminer une valeur approchée de $e$ en prenant $N=10000$.
\n",
"$\\quad\\;\\;$Aide : Pour une liste Python L, la syntaxe L[-1] permet d'obtenir la valeur du dernier élément de la liste."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 8,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"2.7181459268249255"
]
},
"execution_count": 8,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"# Effectuer ici un appel à la fonction L_y\n",
"\n",
"L_y(1/10000,10000)[-1]"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
" \n",
"\n",
" Leonhard Euler (1707-1783)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"© Copyright Franck CHEVRIER 2019-2022 https://www.python-lycee.com.
\n",
"Les activités partagées sur Capytale sont sous licence Creative Commons.\n",
"
\n",
"Dernière modification de l'activité : Juillet 2022"
]
}
],
"metadata": {
"celltoolbar": "Raw Cell Format",
"kernelspec": {
"display_name": "Python 3 (ipykernel)",
"language": "python",
"name": "python3"
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"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
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"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.7.12"
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},
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"nbformat_minor": 2
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