{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Le flocon de Von Koch "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Sommaire\n",
"\n",
"1.Construction géométrique et notations \n",
"2.Étude du périmètre du flocon de Von Koch \n",
"3.Étude de l'aire du flocon de Von Koch \n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 1. Construction géométrique et notations"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
" Description de la construction :
\n",
" La figure initiale est un triangle équilatéral $P_0$ de côté $1$.
\n",
" À chaque étape, le polygone $P_n$ étant construit avec des côtés de longueur $a_n$, on obtient le polygone $P_{n+1}$ en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur $a_{n+1}=\\displaystyle \\frac{a_n}{3}$ , vers l’extérieur.
\n",
"
\n",
" Activer la figure dynamique ci-dessous, qui permet de visualiser les polygones $P_n$ pour les premières valeurs de $n$. \n",
" (Pour faire apparaître et activer la figure dynamique, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée)."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Flocon_Von_Koch.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
" \n",
" \n",
" \n",
" Notations :
\n",
"Pour tout $n \\in \\mathbb{N}$, on note :\n",
"
\n",
"
$\\color{#3F48CC}{c_n}$ le nombre de côtés du polygone $P_n$ ;
\n",
"
$\\color{#22B14C}{a_n}$ la longueur des côtés du polygone $P_n$ ;
\n",
"
$\\color{#A349A4}{p_n}$ le périmètre du polygone $P_n$ ;
\n",
"
$\\color{#E36C0A}{A_n}$ l'aire du polygone $P_n$.
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 2. Étude du périmètre du flocon de Von Koch"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.1. $\\;$a. Donner les valeurs de $c_0$ ; $c_1$ et $c_2$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(c_n)_{n\\geq0}$ ? Exprimer $c_n$ en fonction de $n$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ c. Combien le polygone $P_5$ a-t-il de côtés ? \n",
"$\\quad\\;\\;$ d. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{c_n}$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ e. Écrire une fonction Python c d'argument n permettant le calcul de $c(n)$. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer ensuite les saisies nécessaires pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction c permettant le calcul de c(n)\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.2. $\\;$a. Donner les valeurs exactes de $a_0$ ; $a_1$ et $a_2$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(a_n)_{n\\geq0}$ ? Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ c. Quelle est la longueur des côtés du polygone $P_5$ ? \n",
"$\\quad\\;\\;$ d. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{a_n}$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ e. La fonction Python a d'argument n donnée ci-dessous permet le calcul de la valeur exacte de $a(n)$. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultats de la questions 2.2.c.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from sympy import Rational \n",
"# Cet import permet d'utiliser la fonction Rational pour effectuer des calculs de fractions sous forme exacte\n",
"\n",
"def a(n):\n",
" \"Fonction qui calcule la longueur des côtés du polygone P_n\"\n",
" return Rational(1,3**n)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {
"scrolled": true
},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.2.c.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.3. $\\;$a. Exprimer $p_n$ en fonction de $c_n$ et $a_n$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. Déterminer la valeur exacte du périmètre de $P_5$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ c. Écrire une fonction Python p d'argument n permettant le calcul de la valeur exacte de $p_n$ \n",
"$\\quad\\quad\\;$ (on effectuera des appels aux fonctions précédentes avec les syntaxes c(n) et a(n)). \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction p permettant le calcul de p(n) sous forme exacte\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"$\\quad$ d. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$. Justifier que la suite $(p_n)_{n\\geq0}$ est géométrique. \n",
"$\\quad$ e. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{p_n}$. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 3. Étude de l'aire du flocon de Von Koch"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"3.1. $\\;$Démontrer qu'un triangle équilatéral de côté $a>0$ a pour aire $\\displaystyle \\frac{\\sqrt{3}}{4}a^2$. \n",
"3.2. $\\;$Donner la valeur de $A_0$. \n",
"3.3. $\\;$a. Combien de triangles sont ajoutés lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ ? Que vaut l'aire ajoutée ? En déduire la valeur de $A_1$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python AireEqui d'argument a qui permet le calcul de la valeur exacte d'un triangle de côté $a$. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour effectuer le calcul de $A_1$ de la question 3.3.a. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ (on utilisera respectivement les syntaxes a(0) et a(1) pour les longueurs des côtés de $P_0$ et $P_1$)\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from sympy import sqrt\n",
"# Cet import permet d'utiliser la fonction sqrt pour effectuer des calculs avec racines carrées sous forme exacte\n",
"\n",
"def AireEqui(a):\n",
" \"Fonction qui calcule l'aire d'un triangle équilatéral de côté a (sous forme exacte)\"\n",
" return sqrt(3)*Rational(a**2,4)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour retrouver le résultat de la question 3.3.a.\n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" \n",
"\n",
"3.4. On effectue maintenant un raisonnement similaire à celui de la question 3.2. dans le cas général. \n",
"$\\quad\\;\\;$ a. On considère un entier $n>0$. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ En raisonnant sur les aires ajoutées lorsqu'on passe de la figure $P_{n-1}$ à $P_n$, justifier que : \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ $\\displaystyle A_n = A_{n-1}+c_{n-1}\\times \\frac{\\sqrt{3}}{4}{a_n}^2$ \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python A d'argument n permettant le calcul de $A_n$. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Exécuter les saisies proposées pour obtenir la valeur exacte de $A_1$ et sa valeur décimale approchée. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Vérifier la cohérence avec les résultats des questions 3.3.a. et 3.3.b.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def A(n):\n",
" \"fonction qui calcule l'aire du polygone P_n (sous forme exacte)\"\n",
" if n==0: return AireEqui(1)\n",
" return A(n-1)+c(n-1)*sqrt(3)*Rational(a(n)**2,4)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"A(1)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"A(1).evalf()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"$\\quad\\;\\;$ d. Effectuer des saisies pour évaluer $A_5$, $A_{10}$ et $A_{100}$. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Que peut-on conjecturer pour la suite $(A_n)_{n\\geq0}$ ? \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Interpréter géométriquement ce résultat. \n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Utiliser ces zones pour les saisies demandées\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": []
},
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"cell_type": "code",
"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
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"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"
\n", "
![](\"img/Von_Koch_passage.gif\")
\n",
"