{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Le flocon de Von Koch (corrigé)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Sommaire\n",
"\n",
"1.Construction géométrique et notations \n",
"2.Étude du périmètre du flocon de Von Koch \n",
"3.Étude de l'aire du flocon de Von Koch \n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 1. Construction géométrique et notations"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
" Description de la construction :
\n",
" La figure initiale est un triangle équilatéral $P_0$ de côté $1$.
\n",
" À chaque étape, le polygone $P_n$ étant construit avec des côtés de longueur $a_n$, on obtient le polygone $P_{n+1}$ en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur $a_{n+1}=\\displaystyle \\frac{a_n}{3}$ , vers l’extérieur.
\n",
"
\n",
" Activer la figure dynamique ci-dessous, qui permet de visualiser les polygones $P_n$ pour les premières valeurs de $n$. \n",
" (Pour faire apparaître et activer la figure dynamique, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée)."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 1,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/html": [
"\n",
"\t\n",
"\t\t\n",
"\t\t\n",
"\t\t\n",
"\t\t\n",
"\t\n",
"\t\n",
"\t\t
\n",
"\t\n",
"\n"
],
"text/plain": [
""
]
},
"metadata": {},
"output_type": "display_data"
}
],
"source": [
"#Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/Flocon_Von_Koch.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"
\n",
" \n",
" \n",
" \n",
" Notations :
\n",
"Pour tout $n \\in \\mathbb{N}$, on note :\n",
"
\n",
"
$\\color{#3F48CC}{c_n}$ le nombre de côtés du polygone $P_n$ ;
\n",
"
$\\color{#22B14C}{a_n}$ la longueur des côtés du polygone $P_n$ ;
\n",
"
$\\color{#A349A4}{p_n}$ le périmètre du polygone $P_n$ ;
\n",
"
$\\color{#E36C0A}{A_n}$ l'aire du polygone $P_n$.
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 2. Étude du périmètre du flocon de Von Koch"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.1. $\\;$a. Donner les valeurs de $c_0$ ; $c_1$ et $c_2$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(c_n)_{n\\geq0}$ ? Exprimer $c_n$ en fonction de $n$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ c. Combien le polygone $P_5$ a-t-il de côtés ? \n",
"$\\quad\\;\\;$ d. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{c_n}$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ e. Écrire une fonction Python c d'argument n permettant le calcul de $c(n)$. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer ensuite les saisies nécessaires pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"a. $c_0=3$ ; $c_1=3\\times4=12$ ; $c_2=12\\times4=48$. \n",
"b. $(c_n)_{n\\geq0}$ est géométrique de premier terme $c_0=3$ et de raison $q=4$ donc $c_n=3\\times4^n$. \n",
"c. $P_5$ a $c_5=3\\times4^5=3072$ côtés. \n",
"d. $c_0=3>0$ et $q=4>1$ donc $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{c_n}=+\\infty$. \n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 2,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction c permettant le calcul de c(n)\n",
"\n",
"def c(n):\n",
" \"Fonction qui calcule le nombre de côtés du polygone P_n\"\n",
" return 3*4**n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 3,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/plain": [
"3072"
]
},
"execution_count": 3,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.1.c.\n",
"c(5)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.2. $\\;$a. Donner les valeurs exactes de $a_0$ ; $a_1$ et $a_2$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. Quelle est la nature de la suite $(a_n)_{n\\geq0}$ ? Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ c. Quelle est la longueur des côtés du polygone $P_5$ ? \n",
"$\\quad\\;\\;$ d. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{a_n}$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ e. La fonction Python a d'argument n donnée ci-dessous permet le calcul de la valeur exacte de $a(n)$. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultats de la questions 2.2.c.\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"a. $a_0=1$ ; $\\displaystyle a_1=\\frac{a_0}{3}=\\frac{1}{3}$ ; $\\displaystyle a_2=\\frac{a_1}{3}=\\frac{1}{9}$. \n",
"b. $(a_n)_{n\\geq0}$ est géométrique de premier terme $a_0=1$ et de raison $q=\\displaystyle \\frac{1}{3}$ donc $\\displaystyle a_n=\\frac{1}{3^n}$. \n",
"c. La longueur des côtés de $P_5$ est $\\displaystyle a_5=\\frac{1}{3^5}=\\frac{1}{243}$. \n",
"d. $a_0=1>0$ et $0 \n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 4,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from sympy import Rational \n",
"# Cet import permet d'utiliser la fonction Rational pour effectuer des calculs de fractions sous forme exacte\n",
"\n",
"def a(n):\n",
" \"Fonction qui calcule la longueur des côtés du polygone P_n\"\n",
" return Rational(1,3**n)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 5,
"metadata": {
"scrolled": true
},
"outputs": [
{
"data": {
"text/latex": [
"$\\displaystyle \\frac{1}{243}$"
],
"text/plain": [
"1/243"
]
},
"execution_count": 5,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.2.c.\n",
"a(5)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"2.3. $\\;$a. Exprimer $p_n$ en fonction de $c_n$ et $a_n$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. Déterminer la valeur exacte du périmètre de $P_5$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ c. Écrire une fonction Python p d'argument n permettant le calcul de la valeur exacte de $p_n$ \n",
"$\\quad\\quad\\;$ (on effectuera des appels aux fonctions précédentes avec les syntaxes c(n) et a(n)). \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"a. $p_n=c_n\\times a_n$. \n",
"b. Le périmètre de $P_5$ est $\\displaystyle p_5=c_5\\times a_5=\\frac{3\\times4^5}{3^5}=\\frac{4^5}{3^4}=\\frac{1024}{81}$. \n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 6,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Écrire ici la fonction p permettant le calcul de p(n) sous forme exacte\n",
"\n",
"def p(n):\n",
" \"Fonction qui calcule le périmètre du polygone P_n\"\n",
" return a(n)*c(n)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 7,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/latex": [
"$\\displaystyle \\frac{1024}{81}$"
],
"text/plain": [
"1024/81"
]
},
"execution_count": 7,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour vérifier le résultat de la question 2.3.b.\n",
"p(5)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"$\\quad$ d. Exprimer $p_n$ en fonction de $n$. Justifier que la suite $(p_n)_{n\\geq0}$ est géométrique. \n",
"$\\quad$ e. Déterminer $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{p_n}$. Donner une interprétation géométrique de ce résultat.\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"a. $\\displaystyle p_n=c_n\\times a_n=3\\times4^n\\times\\frac{1}{3^n}=3\\times \\left( \\frac{4}{3} \\right)^n$. \n",
"$\\;\\;\\;$On obtient l'expression d'une suite géométrique de premier terme $p_0=3$ et de raison $\\displaystyle q=\\frac{4}{3}$. \n",
"b. $p_0=3>0$ et $q=\\frac{4}{3}>1$ donc $\\displaystyle\\lim\\limits_{n \\to +\\infty}{a_n}=+\\infty$. \n",
"$\\;\\;\\;$Le périmètre de $P_n$ peut être aussi grand qu'on le souhaite, pour $n$ \"assez grand\". \n",
"$\\;\\;\\;$Ainsi le flocon de Von Koch a un contour de longueur infinie.\n",
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 3. Étude de l'aire du flocon de Von Koch"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"3.1. $\\;$Démontrer qu'un triangle équilatéral de côté $a>0$ a pour aire $\\displaystyle \\frac{\\sqrt{3}}{4}a^2$. \n",
"3.2. $\\;$Donner la valeur de $A_0$. \n",
"3.3. $\\;$a. Combien de triangles sont ajoutés lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ ? Que vaut l'aire ajoutée ? En déduire la valeur de $A_1$. \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python AireEqui d'argument a qui permet le calcul de la valeur exacte d'un triangle de côté $a$. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ Effectuer la saisie nécessaire pour effectuer le calcul de $A_1$ de la question 3.3.a. \n",
"$\\quad\\quad\\;$ (on utilisera respectivement les syntaxes a(0) et a(1) pour les longueurs des côtés de $P_0$ et $P_1$)\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"3.1. La hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut $\\displaystyle \\frac{a\\sqrt{3}}{2}$ (peut s'établir à l'aide du théorème de Pythagore ou à l'aide de résultats de trigonométrie). \n",
"$\\quad\\;$ Ainsi l'aire d'un tel triangle vaut $\\displaystyle \\frac{a\\times \\frac{a\\sqrt{3}}{2}}{2}=\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}.$ \n",
"3.2. $\\displaystyle A_0=\\frac{a_0^2\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{4}$. \n",
"3.3.a. Lorsqu'on passe de la figure $P_0$ à $P_1$ on ajoute $c_0=3$ triangles équilatéraux de côté $\\displaystyle a_1=\\frac{1}{3}$. \n",
"$\\quad\\;\\;\\;$ L'aire ajoutée vaut donc $\\displaystyle 3\\times \\frac{ \\left( \\frac{1}{3} \\right) ^2\\sqrt{3}}{4}=\\frac{\\sqrt{3}}{12}.$ \n",
"$\\quad\\;\\;\\;$ On en déduit $\\displaystyle A_1=A_0+\\frac{\\sqrt{3}}{12}=\\frac{\\sqrt{3}}{4}+\\frac{\\sqrt{3}}{12}=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$. \n",
" "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 8,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"from sympy import sqrt\n",
"# Cet import permet d'utiliser la fonction sqrt pour effectuer des calculs avec racines carrées sous forme exacte\n",
"\n",
"def AireEqui(a):\n",
" \"Fonction qui calcule l'aire d'un triangle équilatéral de côté a (sous forme exacte)\"\n",
" return sqrt(3)*Rational(a**2,4)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 9,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/latex": [
"$\\displaystyle \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"
],
"text/plain": [
"sqrt(3)/3"
]
},
"execution_count": 9,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"# Effectuer ici la saisie pour retrouver le résultat de la question 3.3.a.\n",
"AireEqui(a(0))+3*AireEqui(a(1))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" \n",
"\n",
"3.4. On effectue maintenant un raisonnement similaire à celui de la question 3.2. dans le cas général. \n",
"$\\quad\\;\\;$ a. On considère un entier $n>0$. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ En raisonnant sur les aires ajoutées lorsqu'on passe de la figure $P_{n-1}$ à $P_n$, justifier que : \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ $\\displaystyle A_n = A_{n-1}+c_{n-1}\\times \\frac{\\sqrt{3}}{4}{a_n}^2$ \n",
"$\\quad\\;\\;$ b. On fournit ci-dessous la fonction Python A d'argument n permettant le calcul de $A_n$.. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Exécuter les saisies proposées pour obtenir la valeur exacte de $A_1$ et sa valeur décimale approchée. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Vérifier la cohérence avec les résultats des questions 3.3.a. et 3.3.b.\n",
"\n",
"
\n",
"\n",
"3.4.a. Lorsqu'on passe de la figure $P_{n-1}$ à $P_n$ on ajoute $c_{n-1}$ triangles équilatéraux de côté $\\displaystyle a_n$, d'où le résultat. \n",
""
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 10,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def A(n):\n",
" \"fonction qui calcule l'aire du polygone P_n (sous forme exacte)\"\n",
" if n==0: return AireEqui(1)\n",
" return A(n-1)+c(n-1)*sqrt(3)*Rational(a(n)**2,4)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 11,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/latex": [
"$\\displaystyle \\frac{\\sqrt{3}}{3}$"
],
"text/plain": [
"sqrt(3)/3"
]
},
"execution_count": 11,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"A(1)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": 12,
"metadata": {},
"outputs": [
{
"data": {
"text/latex": [
"$\\displaystyle 0.577350269189626$"
],
"text/plain": [
"0.577350269189626"
]
},
"execution_count": 12,
"metadata": {},
"output_type": "execute_result"
}
],
"source": [
"A(1).evalf()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"$\\quad\\;\\;$ d. Effectuer des saisies pour évaluer $A_5$, $A_{10}$ et $A_{100}$. \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Que peut-on conjecturer pour la suite $(A_n)_{n\\geq0}$ ? \n",
"$\\quad\\quad\\;\\;$ Interpréter géométriquement ce résultat. \n",
"\n",
"
\n", "
![](\"img/Von_Koch_passage.gif\")
\n",
"