{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"\n",
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*\n",
"\n",
" Pour exécuter une saisie Python, sélectionner la cellule et valider avec SHIFT+Entrée."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Interprétations géométriques de nombres complexes"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Activité en Terminale Math Expertes"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## I. Interprétations géométriques de $z_B-z_A$ et $\\displaystyle \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Dans le plan complexe muni du repère orthonormé $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$, on considère trois points distincts $A$ ; $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ et $z_C$.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__1. En utilisant le point $M$ défini par $\\overrightarrow{OM}=\\overrightarrow{AB}$, démontrer le résultat suivant :__\n",
"\n",
"\n",
" À RETENIR
\n",
" Interprétation géométrique de $z_B-z_A$ :\n",
"\n",
" - $\\left| z_B-z_A \\right| = AB$
\n",
" - $ arg \\left( z_B-z_A \\right) = \\left( \\overrightarrow{u} \\;;\\overrightarrow{AB} \\right) \\;[2\\pi]$
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexe1.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"__2. À l'aide de la propriété précédente, démontrer que :__\n",
"\n",
"\n",
" À RETENIR
\n",
" Interprétation géométrique de $\\displaystyle \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ :\n",
"\n",
" - $ \\displaystyle \\left| \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right| = \\frac{AC}{AB}$
\n",
" - $ \\displaystyle arg \\left( \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A} \\right) = \\left( \\overrightarrow{AB} \\;;\\overrightarrow{AC} \\right) \\;[2\\pi]$
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/intgeomcomplexe2.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## II. Applications directes\n",
"\n",
"On pourra réaliser les figures avec Geogebra."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Exercice 1 :
\n",
"On considère les points $A$ ; $B$ et $C$ d’affixes respectives $z_A=1+i$ ; $z_B=2+3i$ et $z_C=-1+2i$.\n",
"\n",
" - Réaliser une figure. Quelle semble être la nature du triangle ABC ?
\n",
" - Calculer $m=\\displaystyle \\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$.
\n",
" - En interprétant géométriquement le module et un argument de $m$, en déduire la nature du triangle ABC.
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Exercice 2 :
\n",
"De la même manière que dans l’exercice 1, déterminer par le calcul la nature des triangles suivants :\n",
"\n",
" - $DEF$ tel que $z_D=-2+i$ ; $z_E=-1+4i$ et $z_F=4-i$.
\n",
" - $IJK$ tel que $\\displaystyle z_I=2e^{i\\frac{\\pi}{6}}$ ; $ z_J=4i$ et $\\displaystyle z_K=2e^{i\\frac{5\\pi}{6}}$.
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Exercice 3 :
\n",
"On considère le nombre complexe $\\displaystyle j=e^{i\\frac{2\\pi}{3}}$.
\n",
"Démontrer que le triangle ABC dont les sommets ont pour affixes respectives $1$ ; $j$ et $j^2$ est équilatéral.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Exercice 4 :
\n",
"On considère les points $D(3)$ et $E(2i)$.\n",
"\n",
" - Déterminer le point $F(z_F)$ tel que $\\displaystyle \\frac{z_F-z_D}{z_F-z_E}=e^{i\\frac{\\pi}{3}}$. Quelle est la nature du triangle $DEF$ dans ce cas ?
\n",
" - Existe-t-il une autre position du point $F$ pour laquelle le triangle $DEF$ ait la même nature ? Si oui, calculer son affixe $z_F$.
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Exercice 5 :
\n",
"On considère les points $S(1+i)$ et $T(-2+2i)$.\n",
"\n",
" - Déterminer le point $R(z_R)$ tel que $\\displaystyle \\frac{z_T-z_R}{z_S-z_R}=e^{i\\frac{\\pi}{2}}$. Quelle est la nature du triangle $RST$ dans ce cas ?
\n",
" - Existe-t-il une autre position du point $R$ pour laquelle le triangle $RST$ ait la même nature ? Si oui, calculer son affixe $z_R$.
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## III. Études de configurations du plan\n",
"\n",
"Dans cette partie, on dira qu'un triangle $ABC$ est :\n",
"\n",
" - direct si l'angle $\\left( A \\;; \\overrightarrow{AB} ; \\overrightarrow{AC} \\right)$ a un argument dans l'intervalle $]0;\\pi[$, modulo $2\\pi$.
\n",
" - indirect si l'angle $\\left( A \\;; \\overrightarrow{AB} ; \\overrightarrow{AC} \\right)$ a un argument dans l'intervalle $]-\\pi;0[$, modulo $2\\pi$.
\n",
"
\n",
"(on différenciera donc les triangles $ABC$ et $ACB$, qui sont l'un direct et l'autre indirect)\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/directindirect.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"On admettra également la généralisation des résultats vus précédemment, pour 4 points $A$ ; $B$ ; $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_A$ ; $z_B$ ; $z_C$ et $z_D$.\n",
"\n",
"\n",
" Interprétation géométrique de $\\displaystyle \\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}$ :\n",
"\n",
" - $ \\displaystyle \\left| \\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \\right| = \\frac{CD}{AB}$
\n",
" - $ \\displaystyle arg \\left( \\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \\right) = \\left( \\overrightarrow{AB} \\;;\\overrightarrow{CD} \\right) \\;[2\\pi]$
\n",
"
\n",
"
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Étude 1 :
\n",
"Dans le plan complexe $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$, on considère deux triangles rectangles directs $OAB$ et $OCD$.
\n",
"On note $M$ le milieu de $[BC]$."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config1.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
" - Quelle conjecture peut-on émettre concernant les droites $(BC)$ et $(AD)$ ?\n",
"
- En considérant le triangle $OAB$, justifier que $z_B=iz_A$.
\n",
" Exprimer de même $z_c$ en fonction de $z_D$.\n",
" \n",
" - Démontrer que $\\displaystyle \\frac{z_M}{z_D-z_A}=\\frac{1}{2}i$.
\n",
" - Que peut-on conclure concernant les droites $(BC)$ et $(AD)$ ? et concernant les longueurs des segments $[BC]$ et $[AD]$ ?
\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Étude 2 :
\n",
"Dans le plan complexe $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$:\n",
"\n",
" - $OAK$ est un triangle équilatéral direct;
\n",
" - $OABC$ est un carré direct ($OAB$ est un triangle direct);
\n",
" - $ALB$ est un triangle équilatéral direct.
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config2.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Que peut-on conjecturer concernant les points $C$ ; $K$ et $L$ ?
\n",
"Démontrer ce résultat en déterminant la valeur de $\\displaystyle \\frac{z_L-z_C}{z_K-z_C}$.\n",
"
\n",
"
"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Étude 3 :
\n",
"On se place dans le plan complexe $\\left( O \\;; \\overrightarrow{u} ; \\overrightarrow{v} \\right)$ et on pose $j=e^{i\\frac{2\\pi}{3}}$.
\n",
"Dans cette étude, l'affixe d'un point $M$ sera systématiquement désignée par la lettre minuscule $m$ correspondante.\n",
"
\n",
"\n",
"\n",
" - Condition nécessaire et suffisante pour qu'un triangle soit équilatéral\n",
"
\n",
" - Démontrer que : \n",
"
\n",
" - $j^3=1$
\n",
" - $j^2=\\overline{j}$
\n",
" - $j^2=-1-j$
\n",
" - $j+1=e^{i\\frac{\\pi}{3}}$
\n",
"
\n",
" \n",
" - On considère trois points $M$ ; $N$ et $P$.
\n",
" Démontrer que $MNP$ est équilatéral direct si et seulement si $m+nj+pj^2=0$.\n",
" \n",
"
\n",
"
\n",
" \n",
" - Application
\n",
" On considère un cercle de centre $O$ et 6 points $A$; $B$; $C$; $D$; $E$ et $F$ de ce cercle tels que $OAB$; $OCD$ et $OEF$ sont des triangles équilatéraux directs.
\n",
" $M$; $N$ et $P$ sont les milieux respectifs de $[BC]$ ; $[DE]$ et $[FA]$.\n",
" \n",
" - Quelle conjecture peut-on faire concernant le triangle $MNP$ ?
\n",
" - Exprimer $a$ ; $c$ et $e$ respectivement en fonction de $b$ ; $d$ et $f$.
\n",
" - Exprimer $m$ ; $n$ et $p$ en fonction de $a$ ; $b$ ; $c$ ; $d$ ; $e$ et $f$.
\n",
" - Calculer $m+nj+pj^2$ puis conclure : Quelle est la nature du triangle $MNP$ ?
\n",
"
\n",
"
\n",
" "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Sélectionner cette zone puis SHIFT+ENTREE pour obtenir la figure dynamique\n",
"from IPython.display import display, HTML ; display(HTML('fig_dyn_GeoGebra/config3.html'))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"*(C) Copyright Franck CHEVRIER 2019-2021 http://www.python-lycee.com/*\n"
]
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"metadata": {
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"kernelspec": {
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"language": "python",
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"language_info": {
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"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
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